虚功-动力学普遍方程和拉格郎日方程
合集下载
3动力学方程解析
光滑水平面上，A和B的质量分别为M和m，斜面倾角为 。
试求三棱柱A的加速度。
解：研究两三棱柱组成的系统。该系统受理想约束，
具有两个自由度。
FgA Ma
FgB FgBe FgBr
FgBe ma , FgBr mar P Mg , Q mg
给A向左的虚位移δrA，B相对A的虚位移δrBr
[(m1 m2 )x1 m2lcos m2l2 sin ]x1 (m2lx1 cos m2l m2gl sin ) 0
P1)r Q)r
g
例 椭圆摆由物块M1和摆锤M2用直杆铰 接而成，可在光滑水平面滑动，摆杆则
可在铅直面内摆动。设M1 、 M2的质量 分别为m1、 m2 ；杆长l，质量不计。试 建立系统的运动微分方程。
9
解：将物块及摆锤视为质点。系统为
两自由度，取广义坐标x1、。
x2= x1 -lsin ， y2= lcos
例 升降机。被提升的重物A重P1，平衡锤B重 P2，轮C、D半径均为r，均重Q，可看作均质 圆盘，带的重量不计。轮C上作用有转矩M，
试求A的加速度。
解：设A向上的加速度为aA，则
aB = aA ，e1= e2 = aA /r 7
虚加惯性力及惯性力偶如图。其中
FgA
P1 g
aA,
FgFi Ni Fgi ) ri 0
对理想约束，有
Ni ri 0
(Fi Fgi ) ri 0 或： (Fi mai ) ri 0
1
即： 受理想约束的质点系，在运动的任一瞬时，作用于质 点系的主动力与惯性力在任意虚位移上所作的元功之和为零。 ——动力学普遍方程，又称达兰贝尔—拉格朗日方程。 ①解析式：
试求三棱柱A的加速度。
解：研究两三棱柱组成的系统。该系统受理想约束，
具有两个自由度。
FgA Ma
FgB FgBe FgBr
FgBe ma , FgBr mar P Mg , Q mg
给A向左的虚位移δrA，B相对A的虚位移δrBr
[(m1 m2 )x1 m2lcos m2l2 sin ]x1 (m2lx1 cos m2l m2gl sin ) 0
P1)r Q)r
g
例 椭圆摆由物块M1和摆锤M2用直杆铰 接而成，可在光滑水平面滑动，摆杆则
可在铅直面内摆动。设M1 、 M2的质量 分别为m1、 m2 ；杆长l，质量不计。试 建立系统的运动微分方程。
9
解：将物块及摆锤视为质点。系统为
两自由度，取广义坐标x1、。
x2= x1 -lsin ， y2= lcos
例 升降机。被提升的重物A重P1，平衡锤B重 P2，轮C、D半径均为r，均重Q，可看作均质 圆盘，带的重量不计。轮C上作用有转矩M，
试求A的加速度。
解：设A向上的加速度为aA，则
aB = aA ，e1= e2 = aA /r 7
虚加惯性力及惯性力偶如图。其中
FgA
P1 g
aA,
FgFi Ni Fgi ) ri 0
对理想约束，有
Ni ri 0
(Fi Fgi ) ri 0 或： (Fi mai ) ri 0
1
即： 受理想约束的质点系，在运动的任一瞬时，作用于质 点系的主动力与惯性力在任意虚位移上所作的元功之和为零。 ——动力学普遍方程，又称达兰贝尔—拉格朗日方程。 ①解析式：
动力学普遍方程及拉格朗日方程
C
O1
x1
δα
l α α l
A
− FIA ⋅ δxA + FIB ⋅ δxB + m1g ⋅ δyA + m1g ⋅ δyB + m2 g ⋅ δyC = 0
根据几何关系，有 根据几何关系，
ωB
δrC
δrB FIB
l m1g
xA = −lsinα yA = lcosα xB = lsinα yB = lcosα yC = 2lcosα
由动力学普遍方程， 由动力学普遍方程，得
∑F ⋅ δr −∑m a ⋅ δr
i =1 i i i =1 i i
n j j
N
N
i
=0
∑F ⋅ δr = ∑Q δ q
i =1 i i j =1
N
Q j ——广义力
n N ∂ri ∂r && ⋅ ∑ δ qj = ∑(∑mi && ⋅ i )δ qj ri ∑miai ⋅ δr i = ∑miri j=1 ∂qj ∂qj i =1 j =1 i =1 i =1
MI2 = J2 α2
J2 = 1 m2 R2 2
α
m2 g
B
x
m1g
ar = Rα2
m2 gsinα ⋅ Rδϕ + FI2ecosα ⋅ Rδϕ − FI2r ⋅ Rδϕ－J2α2 ⋅ δϕ = 0
1 3 sinα ⋅ + (a1cosα − ar ) = 0 g 2
解：4、应用动力学普遍方程 令： δ x ≠ 0，δ ϕ = 0
i i i i i
(i = 1,2, ⋅⋅⋅, N)
动力学普遍方程的直角坐标形式
∑[(F
O1
x1
δα
l α α l
A
− FIA ⋅ δxA + FIB ⋅ δxB + m1g ⋅ δyA + m1g ⋅ δyB + m2 g ⋅ δyC = 0
根据几何关系，有 根据几何关系，
ωB
δrC
δrB FIB
l m1g
xA = −lsinα yA = lcosα xB = lsinα yB = lcosα yC = 2lcosα
由动力学普遍方程， 由动力学普遍方程，得
∑F ⋅ δr −∑m a ⋅ δr
i =1 i i i =1 i i
n j j
N
N
i
=0
∑F ⋅ δr = ∑Q δ q
i =1 i i j =1
N
Q j ——广义力
n N ∂ri ∂r && ⋅ ∑ δ qj = ∑(∑mi && ⋅ i )δ qj ri ∑miai ⋅ δr i = ∑miri j=1 ∂qj ∂qj i =1 j =1 i =1 i =1
MI2 = J2 α2
J2 = 1 m2 R2 2
α
m2 g
B
x
m1g
ar = Rα2
m2 gsinα ⋅ Rδϕ + FI2ecosα ⋅ Rδϕ − FI2r ⋅ Rδϕ－J2α2 ⋅ δϕ = 0
1 3 sinα ⋅ + (a1cosα − ar ) = 0 g 2
解：4、应用动力学普遍方程 令： δ x ≠ 0，δ ϕ = 0
i i i i i
(i = 1,2, ⋅⋅⋅, N)
动力学普遍方程的直角坐标形式
∑[(F
理论力学-第13章 动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程
需要指出的是，上述各式适用于任何理想、双侧约束系统， 不论约束是否完整、是否定常，也不论作用力是否有势。
*第13章 动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程
第二类拉格朗日方程
返回
第二类拉格朗日方程
在动力学普遍方程中，由于系统存在约束，一般情形下，各 质点的虚位移并不完全独立，应用时须建立各虚位移与广义坐标 之间的关系。
第二类拉格朗日方程
N
(Qk Qk*) δ qk 0
k 1
其中Qk为对应于广义所标qk的广义力（generalized forces）; Qk*为广义惯性力（generalized inertia forces）
Qk
n i 1
Fi
ri qk
Qk*
n i 1
miai
ri qk
由于在完整约束下，δq1， δq2，…， δqN 相互独立，
Qk*
n i 1
miri
ri qk
d dt
n
(
i 1
miri
ri qk
)
n i 1
miri
d dt
( ri qk
)
d dt
n i1
mi
ri
ri qk
n i1
mi
ri
ri qk
d dt
qk
n
(
i 1
1 2
miri2 )
qk
n
(
i 1
1 2
miri2 )
d dt
(
T qk
理论力学
第3篇 工程动力学基础
第3篇 工程动力学基础
*第13章 动力学普遍方程 和第二类拉格朗日方程
*第13章 动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程
*第13章 动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程
第二类拉格朗日方程
返回
第二类拉格朗日方程
在动力学普遍方程中，由于系统存在约束，一般情形下，各 质点的虚位移并不完全独立，应用时须建立各虚位移与广义坐标 之间的关系。
第二类拉格朗日方程
N
(Qk Qk*) δ qk 0
k 1
其中Qk为对应于广义所标qk的广义力（generalized forces）; Qk*为广义惯性力（generalized inertia forces）
Qk
n i 1
Fi
ri qk
Qk*
n i 1
miai
ri qk
由于在完整约束下，δq1， δq2，…， δqN 相互独立，
Qk*
n i 1
miri
ri qk
d dt
n
(
i 1
miri
ri qk
)
n i 1
miri
d dt
( ri qk
)
d dt
n i1
mi
ri
ri qk
n i1
mi
ri
ri qk
d dt
qk
n
(
i 1
1 2
miri2 )
qk
n
(
i 1
1 2
miri2 )
d dt
(
T qk
理论力学
第3篇 工程动力学基础
第3篇 工程动力学基础
*第13章 动力学普遍方程 和第二类拉格朗日方程
*第13章 动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程
第二十五章动力学普遍方程和拉格朗日方程
例6：空心轮的质量为m1、半径R，绳子的一端悬挂一质量为m2的 物体A，另一端固结在弹簧上。试求:物体A的微振动周期。
解： 自由度1 取广义坐标 法一
T
1 2
J0 2
1 2
m2v2
1 2
(m1
m2 )R2 2
T
(m1
m2 )R2
d dt
(
T
)
(m1
m2
)R
2
d dt
T
T
Q
δ
m1
T 0
d dt
FIi
ri q j
(3)
——广义惯性力
k
则
(Qj QI j ) δ q j 0
即
Q j QI j 0
QI j
j 1
n miai
i 1
ri q j
i
n
mi
1
d( dt
d vi ri
d
n
i 1
t mi
vi qqjrij
)
n i 1
mivi
d dt
(
ri q j
)
(4) (5)
[
5 2
aA
RC
g]m δ
x
[aA
3 2
RC
g]mR δ
0
[
5 2
aA
RC
g]
0
[aA
3 2
RC
g]
0
aA
C
FAI A
mg
M BI B
FC
mg
I
M
C
I
FAI ma A
C
M BI J B B
mg
M C I JCC
动力学方程
− ( P + FgA )∆v A + ( P2 − FgB )∆vB + ( M − M gC )∆ϕ C − M gD ∆ϕ D = 0 & & 1 P P 1 即 − ( P + a A )∆v A + ( P2 − 1 a A )∆v A + 1 g g Qr ∆v Qr ∆v (M − aA ) A − aA ⋅ A = 0 8 2g r 2g r
碰撞后，正方形作平面运动，设质
投影，有
u A = uC + u AC u Ax = uCx + u AC cos 45°
u Ay = uCy − u AC sin 45°
其中 u AC 2 = bω ' 2
（e）
(f)
18
将式（c）、（f）代入（e），解得 uCx=-0.5bω′， uCy= v1+0.5bω′ ∆uCx=-0.5b∆ω′， ∆uCy= 0.5b∆ω′ (3)受力分析 重力非碰撞力，可忽略。角A承受碰 撞力，对应为Sx、 Sy 。 (4)建立碰撞过程的动力学方程 本题为刚体的平面运动，只有一个 刚体（i=1），由式(3.2.13) 得:
所以式（A）为
d ∑[mO (Fi ) − dt LOi ]⋅ ∆ω = 0 i=1
动量矩 在t——t+τ 时间内积分，得
n
n
(3.2.7)
∑[m
i=1
O
(Si ) − (LOi − lOi )]⋅ ∆ω = 0
t +τ
(3.2.9)
这就是用动量矩和冲量矩表述的动力学方程。其中：
冲量矩 mO(Si ) = ∫ mO(F )dt i
u By − u Ay u Bx − u Ax kx = , ky = v Ax − vBx v Ay − vBy
拉格朗日方程
统的自由度数目，选取合适的广义坐标。
2、分析系统的运动，写出用广义坐标及广义速 度表示的系统的动能。（速度及角速度均为绝对的）
d L L ( ) 0 (k 1,2, , N ) k dt q qk
1.2
拉 T T d T 或 L L d L ( ) ( ) 格 q q j k dt q k dt q k q k q k k 朗 5、写出拉格朗日方程并加以整理，得到N个二 日 阶常微分方程。由2 N个初始条件，解得运动方程。 方 程
1.2
d T T Q ，得 由 ( ) dt 1 2 M (2Q 9 P)(r R) 6g
拉 6Mg 即 格 (2Q 9 P)(r R) 2 朗 积分得曲柄的运动方程为 日 3Mg 2 0t 0 t 方 2 (2Q 9 P)(r R) 程 0分别为初始转角和初始角速度。 式中， 0 、
1.2
拉 格 朗 日 方 程
例4 如图轮A的质量为 m1，在水平面上只滚动不 滑动，定滑轮B的质量为 m2，两轮均为均质圆盘，半 m3 径均为R，重物C的质量为 ，弹簧的弹性系数为 ， k 试求系统的运动微分方程。 k AR 解：以系统为研究对象， B R 系统具有一个自由度。取 x x C 为广义坐标，x 从重物的平衡 位置量起。系统的动能为 2 1 1 2 1 1 3 x x 2 2 2 T ( m1 R )( ) ( m2 R )( ) m3 x 2 2 2R 2 2 R 2 1 2 (3m1 4m2 8m3 ) x 16 设系统平衡时弹簧的静伸长为 st ，则有关系式
整理后得 3 1 1 2 2 1 2 2 2 2 T m1 x m2 ( x L Lx cos ) m2 L 4 2 4 24
2、分析系统的运动，写出用广义坐标及广义速 度表示的系统的动能。（速度及角速度均为绝对的）
d L L ( ) 0 (k 1,2, , N ) k dt q qk
1.2
拉 T T d T 或 L L d L ( ) ( ) 格 q q j k dt q k dt q k q k q k k 朗 5、写出拉格朗日方程并加以整理，得到N个二 日 阶常微分方程。由2 N个初始条件，解得运动方程。 方 程
1.2
d T T Q ，得 由 ( ) dt 1 2 M (2Q 9 P)(r R) 6g
拉 6Mg 即 格 (2Q 9 P)(r R) 2 朗 积分得曲柄的运动方程为 日 3Mg 2 0t 0 t 方 2 (2Q 9 P)(r R) 程 0分别为初始转角和初始角速度。 式中， 0 、
1.2
拉 格 朗 日 方 程
例4 如图轮A的质量为 m1，在水平面上只滚动不 滑动，定滑轮B的质量为 m2，两轮均为均质圆盘，半 m3 径均为R，重物C的质量为 ，弹簧的弹性系数为 ， k 试求系统的运动微分方程。 k AR 解：以系统为研究对象， B R 系统具有一个自由度。取 x x C 为广义坐标，x 从重物的平衡 位置量起。系统的动能为 2 1 1 2 1 1 3 x x 2 2 2 T ( m1 R )( ) ( m2 R )( ) m3 x 2 2 2R 2 2 R 2 1 2 (3m1 4m2 8m3 ) x 16 设系统平衡时弹簧的静伸长为 st ，则有关系式
整理后得 3 1 1 2 2 1 2 2 2 2 T m1 x m2 ( x L Lx cos ) m2 L 4 2 4 24
理力13(动力学-李卓球)-动力学普遍方程和拉格朗日方程
i
0
在理想约束的条件下，质点系在任一瞬时所受的主动 力系和虚加的惯性力系在虚位移上所作虚功的和等于零。 ——动力学普遍方程（达朗贝尔-拉格朗日原理）
解析表达式： x y z (( Fxi mi i ) xi ( Fyi mi i ) yi ( Fzi mi i ) zi ) 0
(a)
s1 2s2 R 0
s1 2s2 R
(b)
22
例题
第13章 动力学普遍方程和拉格朗日方程
例 题 13-5
(a)
s1 πR 2s2 2c 2πR a R l
s1 2s2 R 0
s1 2s2 R
例 题 13-3
或
Hale Waihona Puke 1 g a 2 R 0 （a） 2 令 1 0, 2 0, 则 h R1。根据动力
学普遍方程
Ⅰ O
M I1
1
或
Ⅱ FI 2
mgh FI h M I 11 0 1 g a 1R 0 2
（b）
考虑到运动学关系
s 2
2
,
a2 a1 2
a 2 s 2 ) 0 2 2
( m2 g m2 a 2 )s2 ( m1 g m1
消去δs2 ，得
FI1
m1g
a2
4m2 2m1 g 4m2 m1
6
例题
第13章 动力学普遍方程和拉格朗日方程
例 题 13-2
两个半径皆为r的均质轮，中心用连杆相连，在倾角为θ的 斜面上作纯滚动，如图所示。设轮子质量皆为m1 ，对轮心的 转动惯量皆为J，连杆质量为m2，求连杆运动的加速度。
动力学普遍方程及拉格朗日方程
动力学普遍方程的直角坐标形式
[(F
i
ix
mi xi ) δxi (Fiy mi yi ) δyi (Fiz mi zi ) δzi ] 0 i 1, 2, , N
动力学普遍方程 适用于具有理想约束或双面约束的系统。 动力学普遍方程 既适用于具有定常约束的系统，也适用于 具有非定常约束的系统。 动力学普遍方程 既适用于具有完整约束的系统，也适用于 具有非完整约束的系统。 动力学普遍方程 既适用于具有有势力的系统，也适用于具有 无势力的系统。
(m1 m2 ) g m1lcos
2
例题3 质量为m 的三棱柱ABC 1
通过滚轮搁置在光滑的水平面上。 质量为m2、半径为R的均质圆轮沿 三棱柱的斜面AB无滑动地滚下。
y
A ae C2
D
2 ar B
求：1、三棱柱后退的加速度a1； OC 2、圆轮质心C2相对于三棱 柱加速度ar。 解：1、分析运动 三棱柱作平动，加速度为 a1。 圆轮作平面运动，质心的牵连 加速度为ae= a1 ；质心的相对加 速度为ar；圆轮的角加速度为2。
N N ri ri d d ri mi ri mi (ri ) mi ri ( ) q j i 1 dt q j dt q j i 1 i 1 N
N r ri d i r r ( ) mi ri d ri i mi i ri dt q q i 1 i 1 j j dt q q q N
将虚位移原理和达朗贝尔原理综合应用于动力学
★ 建立分析力学的新体系 拉格朗日力学
动力学普遍方程
考察由N个质点的、具有理想约束的系统。根据 达朗贝尔原理，有
Fi FRi mi ai 0
分析力学动力学普遍方程和拉格朗日方程实用课件
圆柱的角速度为 O (设圆柱o的半径为r)
m(l
R )2,
d dt
L
2mR (l
R) 2
m(l
R ) 2
L mR(l R) 2 mg (l R)sin
已求得
d dt
L
2mR (l
R) 2
m(l
R ) 2
L mR(l R) 2 mg (l R)sin
将式上式代入保守系统的拉氏方程
d dt
L
L
0
得摆的运动微分方程
(l R) R 2 g sin 0
M v
P
R'=－R=－ ma
此力是摆锤被迫作非惯性运动时产生的“反作用力”， 称为惯性力。
结论：质点在作非惯性运动的任意瞬时，对于施力于它的物 体会作用一个惯性力，该力的大小等于其质量与加速度的乘 积，方向与其加速度方向相反。
若用Fg表示惯性力，则有 Fg =－ ma
说明： 1.此力是不是真实的力！ 2.此力作用于施力给质点的物体上！ 3.此力又称为牛顿惯性力！
拉格朗日
1736 — 1813,法籍 意大利人，数学家、 力学家、天文学家， 十九岁成为数学教 授，与欧拉共同创 立变分法，是十八 世纪继欧拉后伟大 的数学家。
设质点系由n个质点组成，具有s个完整理想约束，则有 N=3n-s个自由度（广义坐标）。
用q1，q2，…qN表示系统的广义坐标，第i个质点质量为mi， 矢径为ri。则
i 1
n
或 (Fi miai ) δri 0 i 1
动力学普遍方程
表明：在理想约束条件下，在任意瞬时，作用于质点系上 的主动力和惯性力在质点系的任意虚位移上所做虚功之和 等于零。
若 Fi X ii Yi j Zik, ai xii yi j zik,
动力学普遍方程
ai
xi , yi , zi ,
δ
ri
δ
xi ,δ
yi ,δ
zi
动力学普遍方程的直角坐标形式
(Fix mi xi ) δ xi (Fiy mi yi ) δ yi (Fiz mi zi ) δ zi 0
i
i 1,2, ,n
动力学普遍方程的意义和应用
动力学普遍方程是将达朗伯原理和虚位移原 理而得到的，可用来求解质点系的动力学问题。
Qk 称为与第j个广义坐标 qk 对应的广义主动力
特别地：有势力的广义力
Qk＝－
V qk
在势力场中，对应于第 j个广义坐标 qk 的广义力等
于系统势能对于这一广义坐标的偏导数的负数。
三、拉格朗日方程
Qk＝
d dt
T ( qk
)－
T qk
对于主动力为有势力的情况，拉格朗日方程可改写为：
d ( L )－ L ＝0 dt qk qk
利用理想约束条件
i
FNi δ ri 0 (i 1,2, , n)
i
得到
(Fi FIi ) δ ri 0 (i 1,2,, n)
i
(Fi FIi ) δ ri 0 (i 1,2,, n)
i
注意到：
FIi mai
动力学普遍方程
(Fi mi ai ) δ ri 0 (i 1,2, , n)
由n个质点所 组成的质点系
主 动 力 F1, F2 , , Fn
质点位置坐标 x1, y1, z1, x2 , y2 , z2 , , xn , yn , zn ,
广义坐标
q1, q2 , , qN
第i个质 点的位矢
虚位移
N 3n S
动力学普遍方程
2
6
(1)
m1 x
x
1 2
m1Rx
x R
m2 x
x
m21
L 2
cos
x
m2
2
L 2
sin
x
0
(
3 2
m1
m2 )x
m2
L 2
cos
m2
L 2
sin
2
0
(2)
9
x
A
FIA m1g
FICy
x
A x
FICx
m2 g
B M IC
分析力作用点的虚位移
xC
x
L 2
sin
yC
L 2
cos
xC
x
L 2
cos
yC
L 2
sin
C
代入动力学普遍方程
FIA
x
M IA
x R
FICx
xC
(m2 g
FICy )
FAIx M BI FCIrC MCI mgrC 0
[ [
5
2 5
2
aA aA
RC RC
g]mx
g] 0
[aA [aA
3
2 3
2
RC RC
g]mR 0
aA 2g
g] 0 C 6g
/11 / 11R
L 2
m 2 x cos
第18章分析力学基础动力学普遍方程拉格朗日方程.ppt
Q2
3 i 1
Xi
xi
2
Yi
yi
2
Zi
zi
2
(P cos2
W2 2
sin 2 )l2
5
解2：（几何法）选1、2为广义坐标，对应虚位移为1、2。
① 先令1≠0、2＝0，如图（a）。所
有力在此虚位移上的虚功为
ΣWF
mO (W1)1
注：由于使用动力学普遍方程较麻烦，通常不用其直接求
解动力学问题。其意义在于导出拉格朗日方程。
作业：选做18-5（试用动力学普遍方程求。注意为2自由度问题） 11
§18-3 拉格朗日方程（简介）
简称拉氏方程。拉格朗日推导出两种形式的拉氏方程，即第一类拉格朗日 方程和第二类拉格朗日方程。第一类方程使用直角坐标及约束方程（用待 定乘子法），因而方程组中的方程很多；第二类方程使用广义坐标、广义 力及动能的概念，使方程组中的方程数大大减少（为广义坐标数或自由度 数）。一般（此处亦如此）的拉格朗日方程均指第二类方程。
Q g
vC2
1 2
1 2
Q g
r 2 2
s
P 2Q v2 P 2Q s2
2g
2g
A C
设系统起始位置为0势能位置，系统 势能为：
vC aC
Q
V Ps Q s sin
OB
Q va
P
s
则拉格朗日函数： 拉格朗日方程：
L T V P 2Q s2 Ps Qssin
WF
n
Wi
i 1
n i 1
(
王振发版分析力学第2章动力学普遍方程和拉格朗日方程
二、质点系的达朗伯原理
设质点系由n个质点组成， 第i个质点质量为mi，受力有主动力 Fi ，约束反力FNi ，加速度为ai ，假想地加上其惯性力Fgi=－miai ，则根据质点的达朗伯原理，Fi 、 FNi与Fgi应组成形式上的平衡 力系，即
Fi + FNi +Fgi=0 （i =1，2，…，n ）
解得
a((22m m11m m22))rr22si2nJ g
(a) (b)
2. 拉格朗日方程
将动力学普遍方程用广义坐标表示，即可推导出第二类拉 格朗日方程。
m
j &x&j x j
m
j &y&j
Fyj
k i1
i
fi y j
m j &z&j
Fzj
N i1
ri qk
δqk
n
n
动力学普遍方程可写成
Fiδri miaiδri 0
其中
i1
i1
i n1miaiδri i n1mi r ikN 1qrikδqk
Nn
k1 i1
mi ri qrik
δqk
根据虚位移原理中广义力与广义虚位移的表示形式，有
n
N
Fi δri Qkδqk
设质点系由n个质点组成，第i个质点质量为mi，
受主动力Fi，约束反力FNi，加速度为ai，虚加上 M
Fgi
其惯性力Fgi=－miai
则根据达朗伯原理， Fi 、FNi 与Fgi， 应组成形式上的平衡力系，即
FNi
ai Fi
Fi + FNi +Fgi= 0
若质点系受理想约束作用，应用虚位移原理，有
拉格朗日方程
对i求和并移项得
∂ri d ∂ 1 ∂ 1 2 2 mi v i • = ∑[ ( mi vi ) − ( mi vi )] ∑ • ∂qs dt ∂ q 2 ∂qs 2 i i s
•
引入系统动能
T =
∑
i
1 2 m i vi 2
s = 1, 2, • • •, n
dvi ∂ri Qs − ∑ mi • =0 dt ∂qs i
若全部主动力均为有势力,设势能函数为 V(xi,yi,zi),则有
∂V ∂V ∂V ∂V = −( Fi = − i+ j+ k) ∂ri ∂xi ∂ yi ∂zi
∂ri Qs = ∑ Fi • ∂qs i =1
N
s=1,2, …,n 上式即为主动力有势时的广义力表达式。
∂V ∂ri • = −∑ ∂qs i =1 ∂r i
ri = ri(q1, q2, …, qn,t)
i=1,2, … ,N
于是用广义坐标的独立变分表示的虚位移为
δ ri =
∑
s =1
n
∂ ri δqs ∂qs
i
i=1,2, …,N
δW = ∑ Fi • δri
n N ∂ri ∂ri δW = ∑ Fi • ( ∑ δqs ) = ∑ ( ∑ Fi • )δqs ∂qs i =1 s =1 ∂qs s =1 i =1
m φ1 φ2
m
ϕ1 + ϕ 2 2 mr 2 • 2 • 2 cr 2 L= (ϕ1 + ϕ 2 ) − (1 − 2 cos ) 2 2 2
mr 2 • 2 • 2 cr 2 ϕ1 + ϕ 2 2 L= (ϕ1 + ϕ 2 ) − (1 − 2 cos ) 2 2 2
第三章_动力学方程的三种基本形式
& ∆vC = r∆ϕ
李永强
& ∆ϕ C =
r & ∆ϕ R
第12页
θ
应用力学研究所
§3.2 虚功率形式的动力学方程
虚功率形式的动力学方程 2）受力分析 ） 常力矩M，轮的重力mg，绞车重力m 常力矩 ，轮的重力 ，绞车重力 Og 3）惯性力分析 ） 圆轮： 圆轮： 绞车： 绞车：
RgO = 0
&& && M gO = J Oϕ = mO ρ 2ϕ
为计算虚功，可将系统上的力集中到某几个刚体上，如集中到 为计算虚功，可将系统上的力集中到某几个刚体上，如集中到O1O3曲柄上 。
应用力学研究所 李永强 第7页
§3.1 虚功形式的动力学方程－动力学普遍方程
集中后曲柄上的力为：常力偶矩 对它的摩擦力矩为M 集中后曲柄上的力为：常力偶矩M2，轮O1、O2、O3对它的摩擦力矩为 1、M2、M3
如果统一编号
∑( X
r =1
3n
r
− mr &&r ) δ xr = 0 x
注意: 注意 1. 对于非理想约束力可作为主动力处置 2. 方程中不出现约束反力
应用力学研究所
李永强
第4页
§3.1 虚功形式的动力学方程－动力学普遍方程 已知：行星轮系，在平面内运动。三个轮均为均质圆盘， 例3-1 已知：行星轮系，在平面内运动。三个轮均为均质圆盘，质量均为 m1，半径为 ，曲柄为均质杆，质量为 2，长为 ； 各轮在接触点只滚不 半径为r，曲柄为均质杆，质量为m 长为4r； 在轮心轴承O 处摩擦力矩均为M 滑。在轮心轴承 1、O2、O3处摩擦力矩均为 1。在曲柄上作用一常力偶矩 M2。求：曲柄的角加速度
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
ml M a cos a g 2 2 ml w
sin a 0
第二个解 a = 0 是不稳定的，只要稍加扰动，调 速器就会有张角，而最终在第一个解给出的位置上 处于相对平衡。
例16-2 在图16-2所示系统中，物块A的质量为m ，与接触面处的滑动摩擦因数为 fs，均质圆柱体的质 量为 M。不计绳重及定滑轮质量，当系统运动时，试
若主动力是有势力，势能是广义坐标及时间的函 数，即 V ＝V（q1, q2,…, qk, t） ，则 V j 1, 2,, k Qj qj
d T T V ( ) dt qj q j qj
T V d T V ( ) 0 dt qj qj
vi ri qj q j
（16-9）
（2）速度对广义坐标的偏导数
d ri dt q j ri ri q + q q q 1 q q 2 qk 1 1 2 2 s 1 qs
1 1 a a a x x a A x a x C A C A A C C r r 系统的惯性力和惯性力偶矩分别为
FIA m aA m x FIC M aC M xC A 1 1 2 1 x x xC M IC J C a M r M r xC A A 2 r 2
O a D FIA mg A a Mg
及轴承的摩擦，
试求稳态运动时 调速器的张角a 。
x
a
a a
a C ω
E B FIB mg
解：（1）受力分 析，球A、B作匀速圆周运 动，其加速度为
a A aB l w 2 sina
y 图 16-1
虚加在小球A、B上的惯性力的大小分别为
FIA FIB m l w 2 sin a
Mg xC FS x A mx A x A MxC xC 1 1 x Mr xC A xC x A 0 2 r 1 M xC x Mg MxC A xC 2
求物块 A和圆柱体质心 C 的加速度 。
解：此系统为二自 由度系统，视 A 块的滑
xA FIA A FN Fs δxA B FIC Mg δxC 图 16-2 C δφ MIC xC
动摩擦力为主动力，可
应用动力学普遍方程求
解。 （1）受力分析，取
xA及xC为广义坐标，物块
A、柱体质心C的加速度以及圆柱的角加速度分别为
16 动力学普遍方程与拉格 朗日方程
达朗伯原理，把质点系动力学问题转化为虚拟的 静力学平衡问题求解。
虚位移原理是用分析法求解质点系静力学平衡问
题的普遍原理。 将二者相结合，就可得到处理质点系动力学问题 的动力学普遍方程（General equations of dynamics） 对此方程进行了广义坐标变换，可以导出拉格朗日
（2）虚位移分析，系统具有一个自由度，取a 为
广义坐标。
x A l sin a
x B l sin a
y B l cos a
yC 2a cosa
y A l cos a
取变分 x A l cos a a
x B l cos a a
y B l sin a a
即为系统的运动微分方程。
a A x A aC xC
Mg 3 f s mg M 3 f s m g M 3m M 3m M 2m f s m g M 3m
讨论： （1）只有 M 3 f s m 0 时符合题意。 若 M 3 f s m 0 ，则
aA 0
M fs 3m
M M 2m m 2 3 m aC g g M 3m 3
（2）由于广义虚位移的独立性，当系统虚加惯 性力后，可分别令 x A 0 ， xC 0 ；以及 xC 0 ， x A 0 。应用动力学普遍方程，可直接得到系统 的运动微分方程。
Q
k j 1
j
QIj q j 0
（16-7）
广义惯性力
ri ri ri ri vi ri q1 q2 qk q1 q2 qk t
j 1 k
ri ri qj q j t
（16-8）
q j ——广义坐标对时间的导数，称为广义速度，
质点的速度是广义坐标、广义速度和时间的已知函数。
拉格朗日变换式： （1）速度对广义速度的偏导数
ri ri ri ri vi ri q1 q2 qk q1 q2 qk t
ri ri 、 中不包括广义速度， qj t 该式两端对 q j 求偏导数
16.2 拉格朗日方程 由于系统中各质点的虚位移并不独立，在应用动
力学普遍方程求解复杂动力学问题时，寻求虚位移间
的关系将十分麻烦。
如果利用广义坐标，对动力学普遍方程进行坐标
变换，则可得到与自由度数目相同的一组独立运动微 分方程，从而使这一方程更加简洁，便于应用。 16.2.1 拉格朗日方程 设具有理想完整约束的质点系，有 k 个自由度，
y A l sin a a
yC 2a sina a
（3）应用动力学普遍方程求解
m g yA m g yB M g yC FI A xA FI B xB 0
2 2 2 mgl sin a 2 Mga sin a 2 ml w sin a cos a a 0
Fi FNi mi ai 0
i 1,2,,n
虚平衡状态
虚位移原理： 给任一组虚位移 ri
F F
i 1 i
n
Ni
mi ai ri 0
理想约束
i 1
n
FNi ri 0
F m a r 0
i 1 i i i i n
取广义坐标为q1，q2，…，qk。任一质点 mi 的矢径 ri
可表示为广义坐标和时间的函数 ri =（q1，q2，…，qk；t） （16-3）
ri ri qj j 1 q j 代入动力学普遍方程，可得
k
虚位移：
i 1, 2,, n
（16-4）
ri Fi m ai q j 0 i 1 j 1 q j
（2）虚位移分析，当系统虚加惯性力后，系 统处于虚平衡状态。 给 A 物块以虚位移 x A ，给 C 点以虚位移 xC ， 1 圆柱体的虚转角则为 xC x A r （3）用动力学普遍方程求解
Mg xC FS xA FIA xA FIC xC M IC 0
1 FS mx M A 2
x xC A xA 0
由 x A 和 xC 的独立性，得
1 Mg MxC M xC x A 0 2 1 FS mx M x x 0 A C A 2
（16-11）
QIj
i 1
n
mi vi
ri q j d ri mi vi q d t j
vi d r i q dt q j j
i 1
n
d ri vi mi dt q j
n
（16-1）
F m x x F m y y F m z z 0 ix i i i iy i i i iz i i i i 1
动力学普遍方程。 表示：具有理想约束的质点系，任一瞬时作用于其上的 于零。 动力学普遍方程与静力学普遍方程：
L T V
L 称为拉格朗日函数（Lagrangian function）或动势 （Kinetic potential）
d L L ( ) 0 j 1, 2,, k dt qj q j
主动力为有势力的拉格朗日方程
拉格朗日方程是以广义坐标表示的动力学普遍方
程，适用于理想完整约束的任意质点系。 特点： （1）由于拉格朗日方程的数目等于系统的自由度 数，无论广义坐标如何选取，而拉氏方程的形式不变
k
ri qk
2 ri qk q j t
ri i q qs s q t q t j j s 1 qs
速度 v i
d r i vi q dt q j j
方程（Lagrange’s equations of motion）。
拉格朗日方程为建立质点系的运动微分方程提供 了十分方便而有效的方法，在振动理论、质点系动力 学问题中有着广泛地应用。
16.1 动力学普遍方程
对于 n 个质点组成的质点系，在任一瞬时，作用 于系统内的任一个质点 Mi 上的力有： 主动力主矢 Fi ，约束反力主矢 FNi 。 在该质点上虚加惯性力 FIi mi ai 达朗伯原理：
n k
（16-5）
j 1
k
n ri Fi i 1 q j
ri mi ai q j i 1
n
qj 0
对应于广义坐标 qj 的广义力 Qj
对应于广义坐标 qj 的广义惯性力 （Generalized force of inertia）QIj
（16-2）
主动力和惯性力在系统的任一组虚位移上的虚功之和等
共同点：不含理想约束反力，独立方程数等于自由
度数。 区别：动力学普遍方程中除主动力外，还有惯性 力。
例16-1 瓦特离心调速器以匀角速度w 绕铅垂固