江苏省扬中市高级中学2020-2021第一学期高三数学第一次月考试卷
江苏省扬中高级中学2020-2021学年第一学期高一八校联考12月份数学试卷
B．函数 f (x) = loga (2x −1) +1(a 0, a 1) 的图象过定点 (1,1) C．定义在 R 上的奇函数在 (0, +) 上是单调递增函数，则在区间 (−, 0) 也是单调递增函数
D．函数
f
(x)
=
ln x ,
x
+
1,
x 0 ，则方程 f ( f (x)) − 1 = 0 有 6 个不等实根
22．设函数 f (x) = 4mx − x2 + n(m, n R). （1）当 m = − 1 , n = −15 时，解方程 f (2x ) = 0 ；（2）若 m 为常数，且函数 f (x) 在区间[0, 2] 上存在零点，
2 求实数 n 的取值范围.
学 数 中 高 坊 潍 ： 号 众 公
4
一、选择题
参考答案
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
12
答案 D
C
D
A
B
B
C D ABD BCD AC BCD
二、填空题．
13． 7 ； 5
15． (0, 4),[2, 4] ；
三、解答题
14． 80 ； 16． (0,8) ；
17．解：（1）原式
=
9 4
−
2
+
0
−
2(lg
2
+
lg
5)
+
2
log3
江苏省扬中高级中学 2020-2021 第一学期高一八校联考 12 月份 数学试卷
一、选择题．请把答案直接填涂在答．题．卡．相．应．位．置．上．．
江苏省扬中高中2021届高三上学期第一次月考数学试卷Word版含答案
江苏省扬中市高级中学2021-2021第一学期高三数学第一次月考试卷姓名一、选择题．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．集合{}{}3,0,1,2,3x A y y B ===，那么A B ⋂=〔〕 A ．{}1,2,3B ．(0,)+∞C ．{}0,1,2D ．[0,)+∞2．复数(1)2(z i i i -=为虚数单位〕，那么z 等于 〔 〕 A ．1i +B ．1i -C ．1i -+ D ．1i --3．假设从甲、乙、丙、丁4人中选知名3代表参加学校会议，那么甲被选中的概率为 〔 〕 A ．14B ．13C ．12D ．344．以下函数中，既是奇函数又在区间(1,1)-上是增函数的是 〔 〕A ．1y x=B ．tan y x =C ．sin y x =-D ．cos y x = 5．假设sin cos 1sin cos 3αααα+=-，那么tan α=〔 〕A ．2-B ．34C ．43-D ．26．菱形ABCD 的边长为04,60,ABC E ∠=是BC 的中点，2DF AF =-，那么AE BF ⋅=〔 〕A ．24B ．7-C ．10-D ．12-7．?周髀算经?是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月力法〞曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部为七十六岁，二十部为一遂，遂千百五十二十岁，生住有数皆终，万物复苏，天以更元作记历〞，某老年公寓20位老人，他们的年龄〔都为正整数〕之和恰好为一遂，其中年长者已是奔百之龄〔年龄介于90至100〕，其余19人的年龄依次相差一岁，那么年长者的年龄为 〔 〕 A ．94B ．95C ．96D ．988．函数ln ,1(),()11,14x x f x g x ax x x >⎧⎪==⎨+≤⎪⎩，那么方程()()g x f x =恰有两个不同的实根时，实数a 的取值范围是 〔 〕 A ．1(0,)e B ．11[,)4e C ．1(0,]4 D ．1(,)4e二、多项选择题：〔每题给出的四个选项中，不止一项为哪一项符合题目要求的，请把正确的所有选项填涂在答题卡相应的位置上〕9．设正实数,a b 满足1a b +=，那么以下结论正确的选项是 〔〕A ．11a b+有最小值4B12 CD ．22a b +有最小值1210．将函数cos y x =的图象向左平移32π个单位，得到函数()y f x =的函数图象，那么以下说法正确的选项是〔〕AB EC D FA ．()y f x =是奇函数B ．()y f x =的周期是πC ．()y f x =的图象关于直线2x π=对称 D ．()y f x =的图象关于(,0)2π-对称11．如图，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1，那么以下四个命题正确的选项是 〔 〕 A ．假设点,M N 分别是线段,A A A D '''的中点，那么//MN BC 'B ．点C 到平面ABCD ''的距离为2 C ．直线BC 与平面ABC D ''所成的角等于4π D ．三棱柱AA D BB C ''''-的外接球的外表积为3π12．关于函数()e ,xf x ax x R =-∈，其中e 为自然对数的底数， 以下说法正确的选项是 〔 〕 A ．当1a =时，()f x 在(,0)-∞上单调递增B ．当0a =时，()lnx 3f x -≥在x (0,)∈+∞上恒成立C ．对任意0a <，()f x 在(,0)-∞上一定存在零点D ．存在0a >，()f x 有唯一的极小值二、填空题．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 13．随机变量X 服从正态分布2(1,)N σ，且(2)0.7P X <=,那么(01)P X <<=,14．等比数列{}n a 的公比为2，前n 项和为n S ，那么42S S =. 15．小明拟测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好 落在地面和一斜坡上〔如图1〕此时测得地面上树的 影子长为8米，坡面上树的影子长为4米，斜坡的坡角为030，同一时刻，一根长为1，垂直于地面上 的标杆在地面上的影子长为2米〔如图2〕，那么树的高 度为米. 16．实数,αβ满足34,(ln 1)e e e ααββ=-=，其中e 是自然对数的底数，那么αβ=.三、解答题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．平面向量(2cos ,1),(1,3sin ).a b θθ==〔1〕假设//a b ，求sin 2θ的值；〔2〕假设a b ⊥，求tan()4πθ+的值.18．如图，正四棱锥S ABCD -中，4,2,SA AB E ==为SC 中点. 〔1〕求证：//SA BDE 平面；〔2〕求异面直线SA 与BE 所成角的余弦值.19．在①32525,6a a a b =+=；②23432,3b a a b =+=；③34529,8S a a b =+=，{}n a 的公差为(1)d d >，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ，且11,a d q ==，.〔1〕求数列{}{},n n a b 的通项公式；〔2〕记nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和.n T 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.20．华为 的“麒麟970”芯片在华为处理器排行榜中最高主频2.4GHz ，同时它的线程结构也做了很大的改善，整个性能及效率至少提升了0050，科研人员曾就是否需采取用西门子制程这一工艺标准进行了ABDCB 'A 'C 'D 'MN0301（图）2（图）ABEDCS反复比拟，在一次实验中，工作人员对生产出的50片芯片进行研究，结果发现使用了该工艺的30片芯片有28片线程结构有很大的改善，没有使用该工艺的20片芯片中有12片线程结构有很大的改善.〔1〕完善列联表判断：这次实验是否有0099.5的把握认为“麒麟970〞芯片的线程结构有很大的改善与使用西门子制程这一工艺标准有关？〔2〕在“麒麟970〞芯片的线程结构有很大的改善后，接下来的生产制作还需对芯片的晶圆依次进行金属溅镀，涂布光阻，蚀刻技术，光阻去除这四个环节的精密操作，进而得到多晶的晶圆，生产出来的多晶的晶圆经过严格的质检，确定合格后才能进入下一个流程，如果生产出来的多晶的晶圆在质检中不合格，那么必须依次对前四个环节进行技术检测并对所有的出错环节进行修复才能成为合格品.在实验的初期，由于技术的不成熟，生产制作的多晶的晶圆很难到达理想状态，研究人员根据以往的数据与经验得知在实验生产多晶的晶圆的过程中，前三个环节每个环节生产正常的概率为23，每个环节出错需要修复的费用均为 200元，第四个环节生产正常的概率为34，此环节出错需要修复的费用为100元，问：一次试验生产出来的多晶的晶圆要成为合格品大约还需要消耗多少元费用？〔假设质检与检测过程不产生费用〕参考公式：22(),.()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++参考数据： 21．抛物线C 的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点(1,2)A 为抛物线C上一点.〔1〕求C 的方程；〔2〕假设点(1,2)B -在C 上，过B 作C 的两弦BP BQ 与，假设2BP BQ k k ⋅=-，求证：直线PQ 过定点.22．函数2()1.x f x e x ax =---〔1〕当0x ≥时，假设不等式()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； 〔2〕假设0x >，证明2(1)ln(1).x e x x -+>参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ACDBADBBACDACACDCD13.0.2 ； 14．152；15.63+；16．4e ； 三、解答题17．解：〔1〕1//,sin 23a b θ∴=；〔2〕2tan 1,tan ,tan() 5.341tan a b πθθθθ+⊥∴=+==-18．解：〔1〕连接AC 交BD 于O ,连接OE ，由正四棱锥S ABCD -，得O 为AC 的中点， 因为E 为SC 的中点，所以//OE SA ,20()P K k ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.0010k2.072 2.0763.841 5.024 6.635 7.879 10.828 ES,OE BDE SA BDE ⊂⊄面面，//SA BDE ∴面；〔2〕//,OE SA OEB ∴∠为异面直线SA 与BE 所成角，在正四棱锥S ABCD -中，4,2,2,SA AB OE OB BE ==∴==∴=，在Rt EOB ∆中，cos OB BEO BE ∴∠===所以异面直线SA 与BE19．解：〔1〕假设选条件①32525,6a a a b =+=，111125,2566,2,1d d b q b d d b ∴+=+==∴==，121,2n n n a n b -∴=-=；〔2〕1212n n n c --=， 122113551222n n n T c c c -∴=+++=++++，12231135522222n n n T c c c ∴=+++=++++，两式相减，得 2211112125113222222n n n nn n T --+∴=+++++-=-， 其它省略. 20．解：〔1〕由题意列表为：故2250(288212)25302040103K ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯， 故有0099.5的把握认为晶圆的制作效果使用西门子制程这一工艺有关；〔2〕设i A 表示检测到第i 个环节有问题，〔1,2,3,4i =〕X 表示成为一个合格的多晶的晶圆需消耗的费用，那么X 的可能取值为：0,100,200,300,400,500,600,700， 那么13618(0),(100),(200),(300)108108108108P X P X P X P X ========， 1236824(400),(500),(600),(700)108108108108P X P X P X P X ========，故()(01132631841253668724)3081089E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈故大约需要消耗308元.21．解：〔1〕假设抛物线C 方程为22,42,2,y px p p =∴==，即抛物线C 的方程为24y x =， 假设抛物线C 方程为212,14,,4x py p p =∴==，即抛物线C 的方程为212x y =； 〔2〕因为点(1,2)B -在C 上，所以抛物线C 的方程为24y x =， 设弦BP 的方程为22(1),(2)4y k x y kx k y x +=-=-+=即代入，得2222(244)(2)0k x k k x k -++++=，2222(2)(2)24,(,)P k k k x P k k k+++=点， 以2k-替换点P 坐标中的k 得点Q 的坐标为2((1),22)k k -- 所以2222PQ k k k k =-++，直线PQ 的方程为222(22)[(1)]22k y k x k k k --=---++， 32x y ==当时，，所以直线PQ 过定点(3,2).. 22．解：〔1〕()12x f x e ax '=--，设()12x h x e ax =--，()2x h x e a '=-，()h x ∴∞在[0,+)上单调递增，()(0),()(0)0h x h f x f ''∴≥∴≥=， ()f x ∴∞在[0,+)上单调递增，()(0)0f x f ∴≥=∞在[0,+)上恒成立，12a ∴≤满足题意， ()ln 2h x a ∴在[0,)上单调递减，()(0),()(0)0h x h f x f ''∴<∴<=， ()ln 2f x a ∴在[0,)上单调递减，()(0)0f x f ∴<=不合题意，综上所述实数a 的取值范围是1(,].2-∞〔2〕由〔1〕知12a =时，220,1,122x xx x x e x e x >>++->+即，欲证2(1)ln(1)x e x x -+>，只需要证明：2ln(1)2xx x +>+， 设222F()ln(1),F ()2(1)(2)x x x x x x x x '=+-=+++， 0F ()0x x '>>时，，F()(0,)x ∴+∞在上是增函数，F()0(0,)x ∴>+∞在上恒成立，所以不等式2(1)ln(1)x e x x -+>成立.。
2020-2021高三年级第一次月考试卷+详细答案
12020-2021学年度第一学期高三年级数学学科第一次月考考试时间：120分钟；学校： 姓名： 班级： 考号：第I 卷(选择题)一、选择题(本大题共9小题，共45.0分)1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{0，1，2，3，4，5}，B ＝{x ∈R |x ≥3}，则A ∩∁U B ＝（ ） A ．{4，5}B ．{3，4，5}C ．{0，1，2}D ．{0，1，2，3}2．已知α∈R ，则“cosα=−√32”是“α＝2kπ+5π6，k ∈Z ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．若命题p ：∀x ≥0，e x +2x ﹣1≥0，则命题p 的否定为（ ） A ．∃x 0＜0，e x 0+2x 0﹣1＜0 B ．∀x ≥0，e x +2x ﹣1＜0 C ．∃x 0≥0，e x 0+2x 0﹣1＜0 D ．∃x 0＜0，e x 0+2x 0﹣1≥04．函数y ＝4xx 2+1的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．5．设a ＝30.7，b ＝(13)−0.8，c ＝log 0.70.8，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b6．函数f（x）＝sin（2x﹣π3）+1，下列结论正确的是（）A．向右平移π6个单位，可得到函数y＝sin2x的图象B．y＝f（x）的图象关于（0，1）中心对称C．y＝f（x）的图象关于直线x＝5π12对称D．y＝f（x）在（π6，2π3）为增函数7．已知△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足C＝π3，a cos B＝b cos A，那么△ABC的形状一定是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．无法确定8．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π＝是奇函数，将y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g（x）．若g（x）的最小正周期为2π，且g（π4）＝√2，则f（3π8）＝（）A．﹣2B．﹣√2C．√2D．29．已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+4）＝f（x），且当0≤x≤2时，f（x）＝min{﹣x2+2x，2﹣x}，若方程f（x）﹣（2t+1）x＝0恰有两个根，则t的取值范围是（）A．[−32，−23]∪[−13，12]B．(−32，−23)∪(−13，12)C．(−32，−23]∪[−13，12)D．[−32，−23)∪(−13，12]第II卷(非选择题)二、填空题(本大题共6小题，共30.0分)10．函数y=13tan(x−π4)的定义域是．2311.若α∈(0，π2)，sin (α−π4)=35,则cos2α= . 12．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ），（ω＞0）的部分图象如图所示，则f （x ）的解析式为 ．13．已知函数f (x )是偶函数，当x ＞0时，f (x )＝xlnx +1，则曲线y ＝f (x )在x ＝﹣1处的切线方程为 ．14．已知函数f (x )＝{x 2+4x ，x ≥04x −x 2，x <0若f （2﹣a 2）＞f （a ），则实数a 的取值范围为 ．15．已知函数f (x )＝{a −|x +1|，x ≤1(x −1)2，x >1，函数g (x )＝2﹣f (x )，若函数y ＝f (x )﹣g (x )恰有4个零点，则实数a 的取值范围是三、解答题(本大题共5个题，共75.0分)16．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2c cos C ＝a cos B +b cos A ． （Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）若△ABC 的面积为3√32，且a +b ＝5，求c ．17．某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满200元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：一个袋子装有5只形状和大小均相同的玻璃球，其中两只是红色，三只是绿色，顾客从袋子中一次摸出两只球，若两只球都是红色，则奖励20元；共两只球都是绿色，则奖励10元；若两只球颜色不同，则不奖励．（1）求一名顾客在一次摸奖活动中获得20元的概率；（2）记X为两名顾客参与该摸奖活动获得的奖励总数额，求随机变量X的分布列和数学期望．18．已知函数f（x）＝2sin x cos x+√3cos2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；]上的最大值和最小值；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，π2]上有两个不同的零点，求实数k的取值范围．（Ⅲ）若函数g(x)＝f(x)﹣k在[0，π445619．如图，AE ⊥平面ABCD ，CF ∥AE ，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，AB ＝AD ＝1，AE ＝BC ＝2． （Ⅰ）求证：BF ∥平面ADE ；（Ⅱ）求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角E ﹣BD ﹣F 的余弦值为13，求线段CF 的长．20．已知函数f(x)=alnx +a+12x 2+1．（Ⅰ）当a =−12时，求f(x)在区间[1e ，e ]上的最值； （Ⅱ）讨论函数f(x)的单调性；（Ⅲ）当﹣1＜a ＜0时，有f (x )>1+a2ln(−a)恒成立，求a 的取值范围．参考答案一、选择题(本大题共9小题,共45.0分) CBCADCCCB二、填空题(本大题共6小题，共30.0分)10.{x|x≠kπ+3π4，k∈Z}11.−242512.f(x)＝sin（2x+π6） 13.x+y＝014.(−2，1) 15.(2，3]三、解答题(本大题共5个题，共75.0分).16.解：（Ⅰ）由正弦定理知，＝＝，因为2c cos C＝a cos B+b cos A，所以2sin C cos C＝sin A cos B+sin B cos A＝sin（A+B）＝sin C．因为sin C≠0，所以cos C＝，因为C∈（0，π），所以C＝．（Ⅱ）由知，，所以ab＝6，又a+b＝5，所以a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×6＝13，由余弦定理知，c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝13﹣2×6×＝7，所以c＝．17.解：（1）记一名顾客摸球中奖20元为事件A，则．（2）记一名顾客摸球中奖10元为事件B，不中奖为事件C，则，，78所以，，，，，X 0 10 20 30 40p所以E （X ）＝．18.解：（I ）由，得f （x ）的最小正周期为π． （II ）因为，所以 ，所以 ．从而 ．所以 当，即时，f （x ）的最大值为2；当，即时，f （x ）的最小值为．（III ）由，得，而函数f （x ）在上单调递增，，在上单调递减，f （x ）∈[1，2]，所以若函数g （x ）＝f （x ）﹣k 在上有两个不同的零点，则．19.（Ⅰ）证明：以A 为坐标原点，分别以，，所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，可得A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，1，0），E（0，0，2）．设CF＝h（h＞0），则F（1，2，h）．则是平面ADE的法向量，又，可得．又∵直线BF⊄平面ADE，∴BF∥平面ADE；（Ⅱ）解：依题意，，，．设为平面BDE的法向量，则，令z＝1，得．∴cos＜＞＝．∴直线CE与平面BDE所成角的正弦值为；（Ⅲ）解：设为平面BDF的法向量，则，取y＝1，可得，由题意，|cos＜＞|＝，解得h＝．经检验，符合题意．∴线段CF的长为．920.解：（Ⅰ）当a＝﹣时，，∴．∵f（x）的定义域为（0，+∞），∴由f′（x）＝0得x＝1．∴f（x）在区间[，e]上的最值只可能在f（1），f（），f（e）取到，而f（1）＝，f（）＝，f（e）＝，∴f（x）max＝f（e）＝，f（x）min＝f（1）＝．（Ⅱ），x∈（0，+∞）．①当a+1≤0，即a≤﹣1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递减；②当a≥0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；③当﹣1＜a＜0时，由f′（x）＞0得，∴或（舍去）∴f（x）在（，+∞）单调递增，在（0，）上单调递减；综上，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当﹣1＜a＜0时，f（x）在（，+∞）单调递增，在（0，）上单调递减；当a≤﹣1时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当﹣1＜a＜0时，f（x）min＝f（）10即原不等式等价于f（）＞1+ln（﹣a）即aln+﹣+1＞1+ln（﹣a），整理得ln（a+1）＞﹣1∴a＞﹣1，又∵﹣1＜a＜0，∴a的取值范围为（﹣1，0）．11。
江苏省扬州市第一高级中学2021年高一数学理月考试卷含解析
江苏省扬州市第一高级中学2020-2021学年高一数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的图象过定点（）A.（0，0）B.（0，1）C.（1，1）D.（1，2）[学参考答案：D2. 平面向量=（1，﹣2），=（﹣2，x），若∥，则x等于( )A．4B．﹣4C．﹣1D．2参考答案：A考点：平面向量的坐标运算；平行向量与共线向量．专题：计算题；平面向量及应用．分析：根据两向量平行的坐标表示，列出方程组，求出x的值即可．解答：解：∵平面向量=（1，﹣2），=（﹣2，x），且∥，∴1?x﹣（﹣2）?（﹣2）=0，解得x=4．故选：A．点评：本题考查了平面向量平行的坐标表示及其应用问题，是基础题目．3. 若，则（）A．B． C．D．参考答案：A略4. 已知函数，则（）A．最大值为2 B．最小正周期为C．一条对称轴为 D．一个对称中心为参考答案：D解析：因为=，选D5. 函数y=1﹣的图象是（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】函数的图象．【分析】把函数先向右平移一个单位，再关于x轴对称，再向上平移一个单位．【解答】解：把的图象向右平移一个单位得到的图象，把的图象关于x轴对称得到的图象，把的图象向上平移一个单位得到的图象．故选：B．【点评】本题考查函数图象的平移，对称，以及学生的作图能力．6. 一个几何体的三视图如图1所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的体积为( ).A．1 B．C．D．参考答案：B略7. 同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为y，构成数对（x，y），则所有数对（x，y）中满足xy＝4的概率为（）A． B． C． D ．参考答案：C8. 若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是（）A． B．a2＞b2 C． D．a|c|＞b|c|参考答案：C略9. 如果，那么a、b间的关系是A B C D参考答案：B10. 已知||=2||≠0，且关于x的方程x2+||x+?=0有实根，则与的夹角的取值范围是（）A．[0，] B．[，π] C．[，] D．[，π]参考答案：B【考点】9F：向量的线性运算性质及几何意义．【分析】根据关于x的方程有实根，可知方程的判别式大于等于0，找出，再由cosθ=≤，可得答案．【解答】解：，且关于x的方程有实根，则，设向量的夹角为θ，cosθ=≤，∴θ∈，故选B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. △ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的条件．参考答案：充要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由正弦定理知 asinA=bsinB，由sinA＞sinB，知a＞b，所以A＞B，反之亦然，故可得结论．【解答】解：由正弦定理知，若sinA＞sinB成立，则a＞b，所以A＞B．反之，若A＞B成立，则有a＞b，∵a=2RsinA，b=2RsinB，∴sinA＞sinB，所以，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件故答案为：充要．12. 函数的值域为。
新课标Ⅰ高三上学期数学第一次月考试卷(带答案)
新课标Ⅰ高三上学期数学第一次月考试卷（带答案）做题可以协助考生查缺补漏提高自己，以下是新课标Ⅰ2021届高三上学期数学第一次月考试卷，请大家仔细练习。
选择题(本大题共12小题,每题5分,共60分)1.设函数，集合，那么右图中阴影局部表示的集合为A1. B.4C.7D.92.函数的图象是时断时续的，有如下的对应值表：1 2 3 4 5 6 123.56 21.45 -7.82 11.57 -53.76 -126.49 函数在区间[1,6]上的零点至少有()A. 3个B. 2个C. 4个D.5个3..命题那么是 ( ) A. B. C. D.4.设条件,条件,其中为正常数.假定是的必要不充沛条件，那么的取值范围 ( )A. B.(0,5) C. D.(5,+)5.在中，假定,那么是( )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形6.，，，那么的大小关系是A. B. C. D.7.在中，=3，的面积，那么与夹角的取值范围是( )A. B. C. D.8.为了失掉函数的图像，需求把函数图像上的一切点( )A.横坐标延长到原来的倍，再向右平移个单位长度B.横坐标伸长到原来的倍，再向右平移个单位长度C. 横坐标延长到原来的倍，再向左平移个单位长度D. 横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位长度9.如图是函数y=2sin(x+)(|)图像上的一段，那么()(A)=，= (B)=，=-(C)=2，= (D)=2，=-10.A. B. -1 C. 1 D.11.函数对恣意恒有成立，那么实数的取值范围是( )A5. B6. C.7 D.812. 设，假定函数()有小于零的极值点，那么( )A.1B.2C.3D.4二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分.)13.偶函数在区间上单调添加，那么的x取值范围是___________________.14.，且，那么= .15. (几何证明选做题) )如图，AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延伸线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF=3，FB=1，EF=，那么线段CD的长为________.(坐标系与参数方程选做题) 直线：(t为参数)与圆C2：(为参数)的位置关系不能够是________.(不等式选做题)不等式对恣意实数恒成立，那么正实数的取值范围 .16. 如图，平行四边形的两条对角线相交于点，点是的中点. 假定，，且，那么 .三、解答题:本大题共6小题，共70分.17.在△中，是角对应的边，向量,，且.(1)求角;(2)函数的相邻两个极值的横坐标区分为、，求的单调递减区间.18.设函数.(1)事先，求曲线在处的切线方程;(2)事先，求函数的单调区间;(3)在(2)的条件下，设函数，假定关于 [1，2]， [0，1]，使成立，务实数的取值范围.19.在ABC中，内角A，B，C的对边区分为a，b，c.. (1)求的值; (2)假定cosB=，周长为5，求b的长20.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为。
2020-2021学年江苏扬州高一上数学月考试卷
2020-2021学年江苏扬州高一上数学月考试卷一、选择题1. 设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.既不充分也不必要条件D.必要不充分条件2. 函数f(x)=0√|x|−x的定义域为()A.(−∞, −1)B.(−∞, 0)C.(−∞, −1)∪(−1, 0)D.(−∞, 0)∪(0, +∞)3. 函数y=4xx2+1的图象大致为( )A. B.C. D.4. 已知函数f(x)的定义域为R，f(x)是偶函数，f(4)=2，f(x)在(−∞,0]上是增函数，则不等式f(4x−1)> 2的解集为( )A.(−34,+∞) B.(−∞,54)C.(−34,54) D.(−∞,−34)∪(54,+∞)二、多选题若函数f(x)同时满足：(1)对于定义域内的任意x，有f(x)+f(−x)=0；(2)对于定义域内的任意x1，x2，当x1≠x2时，有f(x1)−f(x2)x1−x2<0，则称函数f(x)为“理想函数”．给出下列四个函数是“理想函数”的是( ) A.f(x)={−x2，x≥0，x2，x<0B.f(x)=x−1xC.f(x)=x2D.f(x)=−x3若a>0，b>0，则下列结论正确的有( )A.若a>b>0，则a+1b>b+1aB.若ab+b2=2，则a+3b≥4C.√a2+b2a+b≤√22D.若1a+4b=2，则a+b≥92三、填空题已知9a=3，ln x=a，则x=________．已知x1，x2是函数f(x)=x2−(2k+1)x+k2的两个零点且一个大于1，一个小于1，则实数k的取值范围是________.已知正实数a，b满足a+b=1，则(1)ab的最大值是________；(2)1a+2+1b+2的最小值是________．四、解答题已知函数f(x)=xx2+1．(1)判断并证明函数f(x)的奇偶性；(2)判断当x∈(−1,1)时函数f(x)的单调性，并用定义证明；(3)若f(x)定义域为(−1,1)，解不等式f(2x−1)+f(x)<0．参考答案与试题解析2020-2021学年江苏扬州高一上数学月考试卷一、选择题1.【答案】此题暂无答案【考点】必要条水表综分条近与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】函数的定较域熔其求法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】函数奇三性的判刺函表的透象【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】函数奇明性研性质函数单验家的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、多选题【答案】此题暂无答案【考点】函较绕肠由的判断与证明函数奇三性的判刺函数来定义雨题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】基本常等式簧最母问赤中的应用不等式因质的印用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、填空题【答案】此题暂无答案【考点】对数都北算性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函验立零点【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】基本常等式簧最母问赤中的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答四、解答题【答案】此题暂无答案【考点】函数奇三性的判刺函较绕肠由的判断与证明不等式射基本性面函数奇明性研性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
2020-2021学年江苏省扬州中学高一上学期第一次月考数学试题(解析版)
2020-2021学年江苏省扬州中学高一上学期第一次月考数学试题一、单选题1．集合{}11M x x =-<<，{}02N x x =≤<，则M N =（ ）A ．{}12x x -<< B ．{}01x x ≤<C ．{}01x x <<D ．{}10x x -<<【答案】B【解析】根据集合交集的定义进行运算即可. 【详解】在数轴上分别标出集合,M N 所表示的范围如图所示， 由图象可知， {}|01M N x x =≤<.故选：B.【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题. 2．命题“20002,x x x π∃≥≥”的否定是 A ．20002,x x x π∃<≥ B ．20002,x x x π∃<< C ．22,x x x π∀≥≤ D ．22,x x x π∀≥<【答案】D【解析】根据特称命题的否定是全称命题，得出选项. 【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“20002,x x x π∃≥≥”的否定是22,x x x π∀≥<，故选D . 【点睛】本题考查特称命题与全称命题的关系，属于基础题.的集合是（ ）A ．()2,1-B ．[][)1,01,2-C ．()[]2,10,1--D ．0,1【答案】C【解析】由集合描述求集合,A B ，结合韦恩图知阴影部分为()()U C A B A B ⋂⋂⋃，分别求出()U C A B 、()A B ⋃，然后求交集即可.【详解】(){}20{|20}A x x x x x =+<=-<<，{}1{|11}B x x x x =≤=-≤≤，由图知：阴影部分为()()U C A B A B ⋂⋂⋃，而{|10}A B x x ⋂=-≤<，{|21}A B x x ⋃=-<≤，∴(){|1U C A B x x ⋂=<-或0}x ≥，即()(){|21U C A B A B x x ⋂⋂⋃=-<<-或01}x ≤≤，故选：C 【点睛】本题考查了集合的基本运算，结合韦恩图得到阴影部分的表达式，应用集合的交并补混合运算求集合.4．若0,0a b >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 【详解】当0, 0a >b >时，2a b ab +≥，则当4a b +≤时，有24ab a b +≤，解得，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件. 【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果. 5．设25a b m ==，且112a b+=，则m =（ ） A ．10 B ．10C ．20D ．100【答案】A【解析】先根据25a b m ==，得到25log ,log a m b m ==，再由11log 2log 5m m a b+=+求解. 【详解】因为25a b m ==，所以25log ,log a m b m ==， 所以11log 2log 5log 102m m m a b+=+==， 210m ∴=，又0m >，∴10m =．故选：A 【点睛】本题主要考查指数式与对数式的互化以及对数的运算，属于基础题.6．设b ＞0，二次函数y ＝ax 2+bx+a 2﹣1的图象为下列之一，则a 的值为（ ）A ．1B ．﹣1C ．152- D ．152- 【答案】B【详解】把四个图象分别叫做A ，B ，C ，D ．若为A ，由图象知a ＜0，对称轴为x ＝0，解得02ba ->矛盾，所以不成立． 若为B ，则由图象知a ＞0，对称轴为x ＝0，解得02ba-<矛盾，所以不成立． 若为C ，由图象知a ＜0，对称轴为x ＞0，且函数过原点， 得a 2﹣1＝0，解得a ＝﹣1，此时对称轴02ba->有可能，所以此时a ＝﹣1成立． 若为D ，则由图象知a ＞0，对称轴为x ＞0，且函数过原点，得a 2﹣1＝0，解得a ＝1， 此时对称轴02ba-<，矛盾，所以不成立． 故图象为第三个，此时a ＝﹣1． 故选B ． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，要求熟练掌握抛物线的开口方法，对称轴之间的关系，属于中档题．7．港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行．由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案，每次加200元的燃油，则下列说法正确的是（ ） A ．采用第一种方案划算 B ．采用第二种方案划算 C ．两种方案一样 D ．无法确定【答案】B【解析】分别求出两种方案平均油价，结合基本不等式，即可得出结论. 【详解】任取其中两次加油，假设第一次的油价为m 元/升，第二次的油价为n 元/升．第一种方案的均价：3030602m n m n++=≥第二种方案的均价：4002200200mnm nm n=≤++ 所以无论油价如何变化，第二种都更划算． 故选:B 【点睛】本题考查不等式的实际运用，以及基本不等式比较大小，属于中档题.数小于B 中的最小数的集合对(A ,B )的个数为（ ） A ．49 B ．48C ．47D ．46【答案】A【解析】利用分类计数法，当A 中的最大数分别为1、2、3、4时确定A 的集合数量，并得到对应B 的集合个数，它们在各情况下个数之积，最后加总即为总数量. 【详解】集合{}1,2,3,4,5P =知：1、若A 中的最大数为1时，B 中只要不含1即可：A 的集合为{1}， 而B 有 42115-=种集合，集合对(A ,B )的个数为15；2、若A 中的最大数为2时，B 中只要不含1、2即可：A 的集合为{2},{1,2}，而B 有3217-=种，集合对(A ,B )的个数为2714⨯=；3、若A 中的最大数为3时，B 中只要不含1、2、3即可：A 的集合为{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}，而B 有2213-=种，集合对(A ,B )的个数为4312⨯=；4、若A 中的最大数为4时，B 中只要不含1、2、3、4即可：A 的集合为{4},{1,4},{2,4},{3,4},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},{1,2,3,4}，而B 有1211-=种，集合对(A ,B )的个数为818⨯=； ∴一共有151412849+++=个， 故选：A 【点睛】本题考查了分类计数原理，按集合最大数分类求出各类下集合对的数量，应用加法原理加总，属于难题.二、多选题9．设正实数,a b 满足1a b +=，则下列结论正确的是（ ）A ．11a b+有最小值4 B 12CD ．22a b +有最小值12【解析】根据基本不等式逐项判断后可得正确的选项. 【详解】对于A ，2111142+=≥=⎛⎫+ ⎪⎝⎭a b ab a b ，当且仅当12a b ==时等号成立，故A 正确.对于B，由基本不等式有1a b +=≥12，当且仅当12a b ==时等号成立，12，故B 错误. 对于C，因为2112a b =+≤++=≤，当且仅当12a b ==，故C 正确. 对于D ，因为2221121222a b ab a b +⎛⎫=-≥-⨯=⎪⎝⎭+，当且仅当12a b ==时等号成立，故22a b +有最小值12，故D 正确.故选：ACD. 【点睛】本题考查基本不等式在最值中的应用，注意“一正、二定、三相等”，本题属于基础题. 10．下列各小题中，最大值是12的是（ ） A ．22116y x x=+B．[]0,1y x =∈ C ．241x y x =+D ．()422y x x x =+>-+ 【答案】BC【解析】利用基本不等式的性质即可判断出结论. 【详解】解：对于A ，y 没有最大值；对于B ，y 2＝x 2（1﹣x 2）≤22212x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭＝14，y ≥0，∴y ≤12，当且仅当x＝2时取等号.对于C ，x ＝0时，y ＝0.x ≠0时，y ＝2211x x+≤12，当且仅当x ＝±1时取等号. 对于D ，y ＝x +2+42x +﹣2＝2，x ＞﹣2，当且仅当x ＝0时取等号. 故选：BC. 【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力 与计算能力，属于基础题. 11．已知关于x 的方程()230x m x m +-+=，则下列结论中正确的是（ ）A ．方程有一个正根一个负根的充要条件是{}0m m m ∈< B ．方程有两个正根的充要条件是{}01m m m ∈<≤ C ．方程无实数根的必要条件是{}1m m m ∈> D ．当3m =时，方程的两个实数根之和为0 【答案】ABC【解析】根据一元二次方程根与系数的关系，结合根的分布情况、对应二次函数的性质判断各选项的正误即可. 【详解】A 选项中，方程有一个正根一个负根则()()2340{00m m f ∆=--><即0m <；同时0m <时方程有一个正根一个负根；0m <是方程有一个正根一个负根的充要条件.B 选项中，方程有两个正根则()()23403{02200m m b ma f ∆=--≥--=>>即01m <≤； 同时01m <≤时方程有两个正根；01m <≤是方程有两个正根的充要条件. C 选项中，方程无实数根则2(3)40m m ∆=--<即19m <<；而1m 时方程可能无实根也可能有实根；故1m 是方程无实数根的必要条件. D 选项中，3m =时230x +=知方程无实根； 故选：ABC本题考查了一元二次方程根与系数关系，结合二次函数的性质判断方程的根不同分布情况下的充要条件.12．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y =12x 2-200x +80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.以下判断正确的是（ ） A ．该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低 B ．该单位每月最低可获利20000元 C ．该单位每月不获利，也不亏损D ．每月需要国家至少补贴40000元才能使该单位不亏损 【答案】AD【解析】根据题意，列出平均处理成本表达式，结合基本不等式，可得最低成本；列出利润的表达式，根据二次函数图像与性质，即可得答案. 【详解】由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为1800002002002002y x x x =+-≥=， 当且仅当1800002x x=，即400x =时等号成立， 故该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元，故A 正确；设该单位每月获利为S 元， 则2211100100(80000200)3008000022S x y x x x x x =-=-+-=-+-21(300)350002x =---，因为[400,600]x ∈， 所以[80000,40000]S ∈--.故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40000元才能不亏损，故D 正确，BC 错误， 故选：AD本题考查基本不等式、二次函数的实际应用，难点在于根据题意，列出表达式，并结合已有知识进行求解，考查阅读理解，分析求值的能力，属中档题.三、填空题 13．若{}{}1,21,2,3,4,5A ⊆，则满足这一关系的集合A 的个数为______.【答案】7【解析】列举出符合条件的集合A ，即可得出答案. 【详解】由题意知，符合{}{}1,21,2,3,4,5A ⊆的集合A 有：{}1,2,3、{}1,2,4、{}1,2,5、{}1,2,3,4、{}1,2,3,5、{}1,2,4,5、{}1,2,3,4,5，共7个.故答案为7. 【点睛】本题考查集合个数的计算，一般列举出符合条件的集合即可，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.14．已知1a b >>.若5log log 2a b b a +=，b a a b =，则a b +=__________． 【答案】6【解析】根据题意，设log b t a =，根据1a b >>得出t 的范围，代入5log log 2a b b a +=求出t 的值，得到a 与b 的关系式，与b a a b =联立方程组，即可求出a 、b 的值． 【详解】由题意得，设log b t a =，由1a b >>可得1t >，代入5log log 2a b b a +=，得 152t t += 解得2t =，即2log 2b a a b =⇒= 又b a a b =，可得2b a b b = 即22a b b == 解得2,4b a == 所以6a b +=． 故答案为6．本题主要考查对数的运算性质．15．已知01,01x y <<<<，且44430xy x y --+=，则12x y+的最小值是___________.【答案】4+【解析】由44430xy x y --+=，整理得1(1)(1)4x y --=，设1,1a x b y =-=-，41ab =，再化简124224441x y a a +=++--，再结合()()44413a a -+-=，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为44430xy x y --+=，可得44441xy x y --+=， 整理得1(1)(1)4x y --=， 设1,1a x b y =-=-，则41ab =，又由01,01x y <<<<，则10,10a x b y =->=-> 所以121212181242221111141141444114a x y a b a a a a a a a a+=+=+=+=++=++----------又由()()44413a a -+-=， 则()()41444444214214()2()()[][6]444134441344411a a a a a a a a a a +=⋅+=++----------+16[633++=≥， 当且仅当4()2()44444114a a a a =----，即24a =等号成立，所以1224x y +≥=12故答案为：43+. 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最小值问题，其中解答中熟记基本不等式的条件“一正、二定、三相等”，合理化简和构造基本不等式的条件是解答的关键，着重考查推理与运算能力.四、双空题16．已知不等式210ax bx +->的解集为{|34}x x <<，则实数a = _________；函数2y x bx a -=-的所有零点之和等于_________． 【答案】112-712【解析】根据不等式解集，结合不等式与方程关系可求得参数,a b ；代入函数解析式，即可由韦达定理求得零点的和. 【详解】∵等式210ax bx +->的解集为{|34}x x <<， ∴3,4x x ==是方程210+-=ax bx 的两个实根，则13412a ⨯=-=，解得112a =-，而两根之和7b a =-，解得712b =， 故函数2y x bx a -=-的所有零点之和为712b =， 故答案为：112-，712． 【点睛】本题考查了一元二次不等式与一元二次方程的关系，由不等式解集确定参数值，属于基础题.五、解答题17．已知集合{}{}25,121A x x B x m x m =-≤≤=+≤≤-. （1）若A B A ⋃=，求实数m 的取值范围；（2）当x ∈R 时，若AB =∅，求实数m 的取值范围.【答案】（1）3m ≤；（2）(,2)(4,)-∞⋃+∞；【解析】（1）由条件知B A ⊆，讨论B =∅、B ≠∅求m 的范围，取并集即可； （2）由A B =∅分类讨论B =∅、B ≠∅，求m 的范围即可；【详解】（1）由A B A ⋃=知：B A ⊆， 当B =∅时，121m m +>-得2m <；当B ≠∅时，12215121m m m m +≥-⎧⎪-≤⎨⎪+≤-⎩解得23m ≤≤；综上，有：3m ≤； （2）x ∈R 时，AB =∅知：当B =∅时，121m m +>-得2m <；当B ≠∅时，15121m m m +>⎧⎨+≤-⎩或212121m m m -<-⎧⎨+≤-⎩，解得4m >；∴m 的取值范围为(,2)(4,)-∞⋃+∞； 【点睛】本题考查了集合，根据集合交、并结果判断集合间的关系求参数范围，属于基础题. 18．化简下列各式：（1）212.531305270.0648π-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥-- ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦；（2）2lg 2lg311ln lg 0.36lg1624e +++. 【答案】（1）0；（2）1.【解析】（1）根据分数指数幂的计算法则进行计算即可； （2）利用对数的运算法则求解. 【详解】解：（1）()213133312212.531305330.410.410270.064228π⨯---⎡⎤⎛⎫=--=--=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥-- ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦；（2）2lg 2lg3lg 4lg3lg12lg121111lg 0.6lg 2lg10lg1.2lg12ln lg 0.36lg1624e ++====+++++. 【点睛】本题考查指数幂的化简计算，考查对数式的化简运算，难度一般，解答时要灵活运用指数幂及对数的运算法则.19．已知:(1)(2)0,:p x x q +-≥关于x 的不等式2260x mx m +-+>恒成立 (1)当x ∈R 时q 成立，求实数m 的取值范围; (2)若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围. 【答案】(1) ()3,2m ∈- （2）10733m <<-【解析】（1）分析可知一元二次不等式大于零恒成立等价于0<恒成立 （2）p 是q 的充分不必要条件可得p 是q 的真子集，再进行分类讨论即可 【详解】（1）由题可知2244240,60,32m m m m m =+-<∴+-=∴-<<实数m 的取值范围是()3,2-（2）:12p x -，设{|12}A x x =-≤≤，{}2|260B x x mx m =+-+>p 是q 的充分不必要条件，∴A 是B 的真子集① 由（1）知，32m -<<时，B=R ，符合题意；② 3m =-时，{}{}26903B x x x x x =-+>=≠，符合题意 ③2m =时，{}{}24402B x x x x x =++>=≠-，符合题意④32m m <->或时，设2(2)6x m f x mx +-+=,()f x 的对称轴为直线x m =-，由A 是B 的真子集得()()1212,10203+703+100m m m m f f m m -<-->><-⎧⎧⎧⎧∴⎨⎨⎨⎨-<>->>⎩⎩⎩⎩或或，71010712,323333m m m m ∴<<-<<-∴-<<-<<或或综上所述：10733m <<- 【点睛】复杂的二次函数问题，需要判断函数值域的情况下，需要进行分类讨论，根据对称轴、单调性及特殊点进行判断20．某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7 200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x 米(2≤x ≤6). （1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低?（2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为900(1)a x x+元(a>0)，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a 的取值范围.【答案】（1）4米；（2）(0，12).【解析】（1）设甲工程队的总造价为y 元，则y=900(x+16x)+7 200，利用基本不等式求解函数的最值即可； （2）由题意可得，900(x+16x)+7 200>900(1)a x x +对任意的x ∈[2，6]恒成立，即可a<2(4)1x x ++=(x+1)+91x ++6恒成立，再利用基本不等式求解函数的最值即可【详解】（1）设甲工程队的总造价为y 元， 则y=3(150×2x+400×12x )+7 200=900(x+16x)+7 200(2≤x ≤6)，900(x+16x )+7 200≥900×27 200=14 400. 当且仅当x=16x，即x=4时等号成立. 即当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为14 400元. （2）由题意可得，900(x+16)x+7 200>900(1)a x x +对任意的x ∈[2，6]恒成立，即2(4)(1)x a x x x++>， ∴a<2(4)1x x ++=(x+1)+91x ++6，又x+1+91x ++6=12，当且仅当x+1=91x +，即x=2时等号成立， ∴a 的取值范围为(0，12).【点睛】此题考查基本不等式的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题. 21．已知函数()214y x m x =-++，区间[]0,3A =，分别求下列两种情况下m 的取值范围.（1）函数y 在区间A 上恰有一个零点； （2）若0x A ∃∈，使得1y <-成立.【答案】（1）103m >或3m =；（2）1m >． 【解析】（1）分类讨论，（i ）0或3是零点时；（ii ）0和3都不是零点，在(0,3)上有唯一零点，用零点存在定理求解； （2）不等式1y <-变形为51m x x +>+，求出5x x+的最小值即可得． 【详解】记2()(1)4f x x m x =-++， （1）显然(0)0f ≠，（i ）若2(1)160m ∆=+-=，则3m =或5-，5m =-时，()0f x =的解为122[0,3]x x ==-∉， 3m =时，()0f x =的解为122[0,3]x x ==∈，（ii ）若(3)93(1)40f m =-++=，则103m =，此时()f x 的另一零点是6[0,3]5∈，不合题意；（iii ）(0)40f =>，(3)133(1)0f m =-+<，103m >， 综上，103m >或3m =； （2）即不等式2(1)41x m x -++<-在[0,3]上有解，0x =显然不是它的解，(0,3]x ∈，则51m x x +>+，即51m x x+>+在(0,3]上有解， 设5()g x x x =+，25()1g x x '=-225x x-=,所以当0x <<时，()0g x '<，()g x3x <≤时，()0g x '>，()g x 递增，所以x =()g x取得极小值也是最小值g =1m +>，1m >．【点睛】本题考查零点存在定理，考查不等式能成立问题，不等式恒成立与能成立问题都是要进行问题的转化，常常转化为求函数的最值，但要注意是求最小值还是求最大值． 22．已知3a ≥，函数F （x ）=min{2|x−1|，x 2−2ax+4a−2}，其中min{p ，q}={,.p p q q p q ，，≤> （Ⅰ）求使得等式F （x ）=x 2−2ax+4a−2成立的x 的取值范围； （Ⅱ）（ⅰ）求F （x ）的最小值m （a ）； （ⅱ）求F （x ）在区间[0,6]上的最大值M （a ）. 【答案】（Ⅰ）[]2,2a ．（Ⅱ）（ⅰ）()20,32{42,2a m a a a a ≤≤=-+->．（ⅱ）()348,34{2,4a a a a -≤<M =≥．【解析】试题分析：（Ⅰ）分别对1x ≤和1x >两种情况讨论()F x ，进而可得使得等式()2242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围；（Ⅱ）（Ⅰ）先求函数()21f x x =-，()2242g x x ax a =-+-的最小值，再根据()F x 的定义可得()F x 的最小值()m a ；（Ⅱ）分别对02x ≤≤和26x ≤≤两种情况讨论()F x 的最大值，进而可得()F x 在区间[]0,6上的最大值()M a ． 试题解析：（Ⅰ）由于3a ≥，故当1x ≤时，()()()22242212120x ax a x x a x -+---=+-->，当1x >时，()()()22422122x ax a x x x a -+---=--．所以，使得等式()2242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围为[]2,2a ．（Ⅱ）（ⅰ）设函数()21f x x =-，()2242g x x ax a =-+-，则()()min 10f x f ==，()()2min 42g x g a a a ==-+-，所以，由()F x 的定义知()()(){}min 1,m a f g a =，即()20,32{42,2a m a a a a ≤≤+=-+->+（ⅱ）当02x ≤≤时，()()()(){}()max 0,222F x f x f f F ≤≤==，当26x ≤≤时，()()()(){}{}()(){}max 2,6max 2,348max 2,6F x g x g g a F F ≤≤=-=． 所以，()348,34{2,4a a M a a -≤<=≥．【考点】函数的单调性与最值，分段函数，不等式．【思路点睛】（Ⅰ）根据x 的取值范围化简()F x ，即可得使得等式()2242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围；（Ⅱ）（Ⅰ）先求函数()f x 和()g x 的最小值，再根据()F x 的定义可得()m a ；（Ⅱ）根据x 的取值范围求出()F x 的最大值，进而可得()M a ．。
江苏省扬中市第二高级中学2021-2022第一学期高三数学第一次检测(教师版)
江苏省扬中市第二高级中学2021-2022第一学期高三数学第一次检测姓名一、选择题．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．设x ∈R ，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的 （ B ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知随机变量ξ服从正态分布2(1,)N σ，若(4)0.9P ξ<=，则(21)0.9P ξ-<<=为 （ C ） A ．0.2 B ．0.3 C ．0.4 D ．0.63．下列有关命题的说法错误的是 （ C ） A ．若“p ∨q ”为假命题，则p 、q 均为假命题B ．若,αβ是两个不同平面，,m m αβ⊥⊂，则αβ⊥C ．“1sin 2x =”的必要不充分条件是“6x π=” D ．若命题200:,0p x R x ∃∈≥，则命题￢P ：∀x ∈R ，x 2＜04．已知函数()sin f x x x =+，x ∈R ，若()2log 3a f =，13log 2b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()22c f -=则,,a b c 的大小为 （ B ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c b a >> D ．b a c >>5．若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线被曲线22420x y x +-+=所截得的弦长为2．则双曲线C 的离心率为 （ B ） A ．3B ．233C ．5D ．2556．设1()22ln11xxxf x x-+=-++-，若()(1)2f a f a ++>，则a 的范围 （ C ） A ．1(,)2-+∞ B ．1(,1)2- C ．1(,0)2- D ．1(0,)27．函数()()2,log 22+-==x x g x x f ，则函数()()x g x f ⋅的图象大致是 （ C ）A ．B ．C ．D ．8．设函数2()f x x ax b =++，若存在实数a ，对任意1[,2]2x ∈，使得不等式()f x x <成立，则实数b 的取值范围是 （ D ）A ．1(,2)3-B ．11(,)34-C ．19(,)44D ．19(,)34-二、多选题：（每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，请把正确的所有选项填涂在答题卡相应的位置上）9．设c b a ,,为实数，且0>>b a ，则下列不等式中正确的是 （ AC ）A ．()222log log b ab > B ．22bc ac > C ．b a a b <<1 D ．ba ⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛212110．已知函数()sin cos f x x x =-，()g x 是()f x 的导函数，则下列结论中正确的是 （ CD ） A ．函数()f x 的值域与()g x 的值域不相同 B ．把函数()f x 的图象向右平移2π个单位长度，就可以得到函数()g x 的图象 C ．函数()f x 和()g x 在区间,44ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上都是增函数D ．若0x 是函数()f x 的极值点，则0x 是函数()g x 的零点11．如图，正方体ABCD —A′B′C′D′的棱长为1，则下列四个命题正确的是 （ ACD ） A ．若点M ，N 分别是线段A′A ，AD′的中点，则MN ∥BC B ．点C 到平面ABC′D′的距离为2 C ．直线BC 与平面ABC′D′所成的角等于4πD ．三棱柱AA′D′—BB′C′的外接球的表面积为3π12．关于函数2()ln f x x x=+，下列判断正确的是 （ BD ）A ．2x =是()f x 的极大值点B ．函数()y f x x =-有且只有1个零点C ．存在正实数k ，使得()f x kx >成立D ．对任意两个正实数1x ，2x ，且12x x >，若()()12f x f x =，则124x x +>三、填空题．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 13．在二项式62()x x-的展开式中，系数为有理数的项的个数是 4 ;二．项式系数．．．．最大的项为 324402T x -=- .14．设1,1,3log 2log 5x y x y y x >>-=，则1ln 2xx y -最大值为15．若ABC ∆的内角满足sin 2sin 2sin A B C +=，则cos C 的最小值是624- ． 16．正方体1111ABCD A B G D -的棱长为1，E ，F 分别为BC ，1CC 的中点．则平面AEF 截正方体所得的截面面积为__98____；以点E 为球心，以104为半径的球面与对角面11ACC A 的交线长为___23π___． 四、解答题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知等比数列{}n a 中{}n a ，11211120,,,64n n n n a a n N a a a *++>=-=∈．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设22log nn n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和T n ；（3）在（2）中的b n 中设21log (7)14(1)2(n b n n n n c λλ+-+-=+-⋅为非零整数，n ∈N *），试确定λ的值使得对任意n ∈N *都有c n +1＞c n 成立．17．解：（1）设等比数列{a n }的公比为q ，则q ＞0，∵a 1＝，﹣＝，n ∈N *． ∴﹣＝，解得q ＝2，∴{a n }的通项公式a n ＝×2n ﹣1＝2n ﹣7；（2）设b n ＝2n +log 2a n ＝2n +n ﹣7，分组求和可得T n ＝（21+22+23+…+2n ）+（﹣6﹣5﹣4+…+n ﹣7）＝2n +1+﹣2，（3）c n ＝4n +（﹣1）n ﹣1λ•2＝4n +（﹣1）n ﹣1λ•2n +1，∵c n +1＞c n ，∴4n +1+（﹣1）n λ•2n +2＞4n +（﹣1）n ﹣1λ•2n +1， 化简可得2n +（﹣1）n λ＞0，①当n ＝2k ﹣1，k ∈N *时，λ＜2n +1，对一切n ∈N *成立，则λ＜1， ①当n ＝2k ，k ∈N *时，λ＞﹣2n +1，对一切n ∈N *成立，则λ＞﹣2， 综上所述﹣2＜λ＜1，又λ为非零整数，∴λ＝﹣1．18．已知向量(,cos 2),(sin 2,)a m x b x n ==，设函数()f x a b =⋅且()y f x =的图象过点(,3)12π和点2(,2).3π-（1）当63x ππ-≤≤时，求函数()y f x =的最大值和最小值及相应的x 的值； （2）将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，若()g x m =在[0,2]π有两个不同的解，求实数m 的取值范围. 18．解：（1）由题意知，()sin 2cos 2f x a b m x n x =⋅=+，根据()y f x =的图象过点(,3)12π和点2(,2).3π- 得到解得3,n 1m ==，()32cos 22sin(2)6f x x x x π∴=+=+，当63x ππ-≤≤时，52666x πππ-≤+≤，∴12sin(2)26x π-≤+≤；∴函数()y f x =的最大值为2，此时6x π=，最小值为﹣1，此时6x π=-；（2）将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位后，得函数2sin[2()]2sin(2)463y x x πππ=-+=-的图象；再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变， 得函数()2sin()23x y g x π==-的图象， 令2[,]2333x t πππ=-∈-，如图所示，当3sin 12t ≤<时， ()g x m =在[0,2]π有两个不同的解，∴32sin()223x π≤-<，则实数m 的取值范围是32m ≤<．19．随着电子商务的发展，人们的购物习惯也在改变，几乎所有的需求都可以通过网络购物来解决，同时顾客的评价也成为电商的“生命线”．某电商平台在其旗下的所有电商中随机抽取了50家，对电商的顾客评价，包括商品符合度、物流服务、服务态度、快递包装等方面进行调查，并把调查结果转化为顾客的评价指数x ，得到了如下的频率分布表：将表中的频率作为概率，并且估计出顾客评价指数在65及以上的电商占全体电商的80%．（1）求a ，b 的值；（2）画出这50家电商顾客评价指数的频率分布直方图；（3）平台将对全体电商进行业务培训，预计培训后，原顾客评价指数在[45，65)、[65，85)和[85，95)的电商的顾客评价指数将分别提高20、10、5．现从这50家电商中随机抽取两家，经培训后，记其顾客评价指数提高值的和为ξ，求ξ的分布列和期望． 19．解：（1）有题意可得221050,5,1521040a b a b b ++=⎧∴==⎨+=⎩，（2）频率分布直方图如右图：（3）由题意ξ可能的值为10,15,20,25,30,40，211152515225050315(10),(15)3549C C C P P C C ξξ======， 211251015225050126(20),(25)4949C C C P P C C ξξ======， 112102510225050109(30),(40)49245C C C P P C C ξξ======，所以分布列为：所以315126109()10152025304021.3549494949245E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 20．如图，已知直线:1(0)l y kx k =+>关于直线1y x =+对称的直线为1l ，直线1,l l 与椭圆22:14x E y +=分别交于点,M A ,,A N ，记直线1l 的斜率为1.k （1）求1k k ⋅的值；（2）当k 变化时，试问直线MN 是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 20．解：（1）设直线l 上任意一点(,)P x y 关于直线1y x =+对称点000(,)P x y ，直线l 与直线1l 的交点为(0,1)， 所以:1l y kx =+，11:1l y k x =+，1011,y y k k x x --∴==， 由于00001,222y y x x y y x x ++=++=++即①又0001,y y y y x x x x -=--=--即② 由①②得：0011y x y x =+⎧⎨=+⎩，所以0000100(y y )1(1)(1)(2)11yy x x x x k k xx xx -++++-+++⋅===；（2）设点1122(,),N(,)M x y x y ,由222221(41)814014y kx k x kx k x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩可得， 21122814,4141k k x y k k --==++，同理22111122221181484,414414k k kk x y k k k k ----====++++，所以2242221221222144881144888(33)3144MN k k y y k k k k k k k x x k k k k k -----+++====------++， 所以直线22221418:y ()41314k k kMN x k k k -+--=--++ 即215y 33k x k +=--， 所以，当k 变化时，直线MN 过定点5(0,).3-21．如图1，在直角梯形ΑΒCD 中，//ΑD ΒC ，2ΒΑD π∠=，1ΑΒΒC ==，2ΑD =，Ε是ΑD 的中点，O 是AC 与BE 的交点．将ΑΒΕ∆沿BE 折起到1A BE ∆的位置，如图2．（1）证明：CD ⊥平面1A OC ；（2）若平面1A BE ⊥平面BCDE ，求平面1A BC 与平面1A CD 夹角的余弦值． 21．解：（1）在图1的直角梯形ΑΒCD 中，//ΑD ΒC 中，因为1AB BC ，2AD ，E 是AD 的中点， 所以//AE BC ,连接,C E ，则四边形ABCE 是菱形， 又因为2ΒΑD π∠=，所以四边形ABCE 是正方形，所以BE ⊥AC ．即在图2中，BE ⊥1OA ，BE ⊥OC ．又因为//ΑD ΒC 且1BC ，2AD ，E 是AD 的中点 所以//ΒC ED所以四边形BCDE 是平行四边形。
江苏省扬州中学2020-2021学年上学期高一数学12月月考参考答案
2020.12.19.
一、单项选择题: 1. A 2.C 3.D 4.C 5.C 6.B 7.C 8.D
二、多项选择题： 9. ABCD 10.ABC
11.AC
12.ACD
三、填空题：
13. 4 3
14.(1) 2
(2) 3 215. 2 3
33
3
16. a 10 3
四、解答题： 17.
18.
1
19.(1)设花坛的面积为 S 平方米.
S
1 2
r2 2
1 2
r12
1 36 1 9 9 m2
2
32 3 2
答：花坛的面积为 9 m2 ； 2
(2) 圆弧 AB 的长为 r1 米，圆弧 CD 的长为 r2 米，线段 AD 的长为 (r2 r1) 米
22
2a
2
2b
2a
2b
a
b
2 2 2 2 2
2
22
22
2
0
a
因为 a＜b ，所以 22
b
22 ，所以
g
a
2
b
＜0
22.（1） k 0 时, f x log3 3x 2 ,
因为 3x 2 2 .
所以 f x log3 3x 2 log3 2 ,
所以函数 y f x 的值域为 log3 2，
0
k
2 7
.
4
小值分别为 22a ， 2a ，又因为最大最小值之和为 6，所以 2a 22a 6 ， 则 t2 t 6 ，解之得： t1 2 ， t2 3 （舍去）当 t1 2 时得 2a 2 ，所以 a 1；
江苏省扬州市第一中学2020-2021学年第一学期第一次月考高三数学(无答案)
江苏省扬州市第一中学2020-2021学年第一学期第一次月考高三数学（本卷满分：150分 考试时间：120分钟）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1、已知集合{}{}30,2,1,0,1<<=-=x x B A ，则=B A （ ）A 、{}1,0,1-B 、{}1,0C 、{}2,1,1-D 、{}2,1 2、已知函数()m x x x f +-=22. 若()x f p :有零点；10:≤<m q ，则p 是q 的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件 3、已知角α是第三象限角，则2α终边落在（ ） A 、第一象限或第二象限 B 、第二象限或第三象限 C 、第二象限或第四象限 D 、第一象限或第三象限 4、设m ba==52，且111=+ba ，则=m （ ） A 、10 B 、10 C 、20 D 、1005、设8.0log ,31,37.08.07.0=⎪⎭⎫⎝⎛==-c b a ，则c b a ,,的大小关系为（ ）A 、c b a <<B 、c a b <<C 、a c b <<D 、b a c << 6、已知集合(){}1ln -==x y y A ，集合{}32<-=x x B ，则=B A （ ） A 、{}1<x x B 、{}3>x x C 、{}51<<-x x D 、{}51<<x x7、魏晋时期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术:“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”. 割圆术可以视为将一个圆内接正n 边形等分成n 个等腰三角形（如图所示），当n 变得很大时，等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，可得到︒3sin 的近似值为（ ）（π取近似值3.14）A 、30πB 、60πC 、90πD 、120π8、函数()()2,log 22+-==x x g x x f ，则函数()()x g x f ⋅的图象大致是（ ）A 、B 、C 、D 、二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9、设c b a ,,为实数，且0>>b a ，则下列不等式中正确的是（ ）A 、()222log log b ab > B 、22bc ac > C 、b a a b <<1 D 、ba ⎪⎭⎫⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛212110、若0,0>>b a ，且4=+b a ，则下列不等式恒成立的是（ ） A 、4110≤<ab B 、2<ab C 、111≥+b a D 、81122≤+b a 11、已知()x f 是定义域为()+∞∞-,的奇函数，满足()()x f x f -=2. 若()11=f ，则下列结论正确的是（ ） A 、()13=f B 、4是()x f 的一个周期 C 、()()()1202020192018-=++f f f D 、()x f 必存在极大值 12、已知函数()mx x x f -=ln 有两个零点21,x x ，且21x x <，则（ ） A 、101<<x B 、e x >2 C 、em 10<< D 、12x x -的值随m 的增大而减小 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13、命题0,:2≥-∈∀x x R x p 的否定是 . 14、已知()x f 为偶函数，当0<x 时，()()xx x f -=ln ，则曲线()x f y =在点（1，0）处的切线方程是 .15、若35cos ,2,0=⎪⎭⎫⎝⎛∈απα，则=αsin ，=α2tan . 16、若()a xx x ≥++∞∈-14,,0恒成立，则实数a 的取值范围为 .四、解答题（本大题共6小题，共70分） 17、（本题满分10分）（1）计算:⎪⎭⎫ ⎝⎛-++πππ43tan 310cos65sin ； （2）计算:3log 10225lg 37.92lg 21++++.18、（本题满分12分）已知α为第三象限角，且()()()()()()απαππααπαπα-+---=2tan sin tan cos 2sin f .（1）若5323cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πα，求()αf 的值； （2）若πα35=，求()αf 的值.19、（本题满分12分）已知函数()212x x f -=.（1）求曲线()x f y =的斜率等于-2的切线方程；（2）设曲线()x f y =在点()()t f t ,处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()t S ，求()t S 的最小值.20、（本题满分12分）已知函数()()()1,1ln -=+-=xe x g x x xf .（1）求()x f 的单调区间； （2）当[)+∞∈,2x 时，证明:()()21>-x x x g .21、（本题满分12分）某专业机械生产厂为甲乙两地（两地仅气候条件差异较大，其他条件相同）的两个不同机器生产厂配套生产同一种零件，在甲乙两地分别任意选取100个零件进行抗疲劳破坏性试验，统计每个零件的抗疲劳次数（抗疲劳次数是指从开始试验到零件磨损至无法正常使用时的循环加载次数），将甲乙两地的试验的结果，即每个零件的抗疲劳次数（单位:万次）分别按(](](](](]12,11,11,10,10,9,9,8,8,7分组进行统计，甲地的实验结果整理为如图的频率分布直方图（其中c b a ,,成等差数列，且b c 32=），乙地的统计结果整理为如下的频数分布表.（1）求c b a ,,的值并计算甲地实验结果的平均数x ；（2）如果零件抗疲劳次数超过9万次，则认为零件质量优秀，完成下列的2×2列联表:试根据上面完成的2×2列联表，通过计算分析判断，能否有97.5%的把握认为零件质量优秀与否与气候条件有关? 附: 临界值表其中()()()()()d b c a d c b a bc ad n ++++-=K 2222、（本题满分12分）已知函数()R a x x ax x f ∈--=,ln 2.（1）当83=a 时，求函数()x f 的最小值； （2）若函数()x f 有两个零点，求实数a 的取值范围.。
2020-2021学年江苏省扬州市某校高三(上)8月月考数学试卷(有答案)
2020-2021学年江苏省扬州市某校高三（上）8月月考数学试卷一、选择题1. 已知全集U ={x ∈Z|1≤x ≤6}，A ={2,3,4}，B ={1,3,5}，则(∁U A )∩B =( ) A.{1,5} B.{1,5,6} C.{3,6} D.{3,4,5}2. 设a =(13)2，b =213，c =log 213，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.b >c >a B.c >b >aC.a >b >cD.b >a >c3. log m 2=a ，log m 3=b ，则m 2a+b 的值为( ) A.6 B.7C.12D.184. “b =2”是“函数f (x )=(2b 2−3b −1)x α （α为常数）为幂函数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件5. 函数f(x)=lg (|x|−1)的大致图象是( )A. B. C. D.6. 设函数f(x)=12x 2−9ln x 在区间[a −1, a +1]上单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A.(−∞,2) B. (4,+∞) C.(0,3] D.(1,2]7. 已知函数f (x )对任意的x ∈R 都有f (x +2)−f (x )=f (1)．若函数y =f (x +2)的图象关于x =−2对称，且f (0)=8，则f (99)+f (100)=( ) A.0 B.4 C.5 D.88. 定义在(0,+∞)上的函数f (x )满足：①对于任意的x ，y ∈(0,+∞)，都有f (x ⋅y )=f (x )+f (y )；②当x >1时，f (x )>0；③f(√6)=1，则关于x 的不等式f (x )−f (15−x )≥2的解集是( )A.[2，3]B.[−√2，−1]∪[0，√2]C.[√2，+∞)D.(0，2]二、多选题若(2x−1)10=a0+a1x+a2x2+⋯+a10x10，x∈R，则下列结论正确的是( ) A.a2=180 B.|a0|+|a1|+|a2|+⋯+|a10|=310C.a1+a2+⋯+a10=1D.a12+a222+a323+⋯+a10210=−1已知在某市的一次学情检测中，学生的数学成绩X服从正态分布N(100,100)，其中90分为及格线，120分为优秀线.下列说法正确的是()附：随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ−σ<ξ<μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<ξ<μ+2σ)=0.9544，P(μ−3σ<ξ<μ+3σ)=0.9974．A.该市学生数学成绩的期望为100B.该市学生数学成绩的标准差为100C.该市学生数学成绩及格率超过0.8D.该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等2020年“七夕”期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中抽取了40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速(km/ℎ)分成六段：[60,65)，[65,70)，[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90]，得到如图所示的频率分布直方图．下列结论正确的是( )A.这40辆小型车辆车速的众数的估计值为77.5B.在该服务区任意抽取一辆车，车速超过80km/ℎ的概率为0.35C.若从车速在[60,70)的车辆中任意抽取2辆，则至少有一辆车的车速在[65,70)的概率为1415D.若从车速在[60,70)的车辆中任意抽取2辆，则车速都在[60,65)内的概率为13下列命题中，正确的命题的是( )A.已知随机变量服从二项分布B(n,p)，若E(X)=30，D(X)=20，则p=23B.将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变C.设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，若P(ξ>1)=p，则P(−1<ξ≤0)=12−pD.某人在10次射击中，击中目标的次数为X，X∼B(10,0.8)，则当X=8时概率最大三、填空题设L为曲线C:y=ln xx在点(1, 0)处的切线，则L的方程为________．已知函数f(x)={(1−2a)x+3a,x<1，2x−1，x≥1的值域为R，则实数a的取值范围为________．若函数f(x)=(1−x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=−2对称，则f′(x)=________.给出以下四个结论：①若函数f(2x)的定义域为[1，2]，则函数f(x2)的定义域是[4，8]；②函数f(x)=log a(2x−1)−1（其中a>0，且a≠1）的图象过定点(1，0)；③当a=0时，幂函数y=x a的图象是一条直线；④若log a12>1，则a的取值范围是(12，1)；⑤若函数f(x)=lg(x2−2ax+1+a2)在区间(−∞，1]上单调递减，则a的取值范围是[1，+∞).其中所有正确结论的序号是________.四、解答题已知函数f(x)=√x+1x−2的定义域为集合A，函数g(x)=√x2−(2a+1)x+a2+a的定义域为集合B．(1)求集合A，B；(2)若A∩B=A，求实数a的取值范围．已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，曲线y=f(x)在点P(0, f(0))处的切线是l:2x−y+3=0．(1)求b，c的值；(2)若f(x)在(0, +∞)上单调递增，求a的取值范围．精诚中学团委组织了“古典诗词”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生（男女各30名），将其成绩分成六组[40,50),[50,60），… [90,100]，其部分频率分布直方图如图所示．(1)求成绩在[70,80)的频率，补全这个频率分布直方图，并估计这次考试的众数和中位数；(2)从成绩在[40,50)和[90,100]的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率；(3)我们规定学生成绩大于等于80分时为优秀，经统计男生优秀人数为4人，补全下面表格，并判断是否有99%的把握认为成绩是否优秀与性别有关？K2=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)如图，已知正方形ABCD和矩形BDEF所在的平面互相垂直，AC交BD于O点，M为EF的中点，BC=√2，BF=1.(1)求证：BM//平面ACE；(2)求二面角B−AF−C的大小．已知a为常数，且a≠0，函数f(x)=−ax+2+ax ln x.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a=1时，若直线y=t与曲线y=f(x)(x∈[1，e])有公共点，求t的取值范围．e+a2x+a ln x，实数a>0．已知函数f(x)=2x(1)讨论函数f(x)在区间(0, 10)上的单调性；(2)若存在x∈(0, +∞)，使得关于x的不等式f(x)<2+a2x成立，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021学年江苏省扬州市某校高三（上）8月月考数学试卷一、选择题 1.【答案】 A【考点】交、并、补集的混合运算 【解析】本小题主要考查集合补集、交集的概念和运算，属于基础题． 【解答】解：依题意得U ={1,2,3,4,5,6}， 所以∁U A ={1,5,6}， 所以(∁U A )∩B ={1,5}． 故选A ． 2.【答案】 D【考点】指数式、对数式的综合比较 【解析】本题考查了利用指数函数、对数函数的单调性比较大小，属于基础题． 【解答】解：∵ a =(13)2=19，b =213>20=1， c =log 213<log 21=0， ∴ b >a >c ．故选D ． 3. 【答案】 C【考点】对数的运算性质 【解析】本题考查指对数互化解决指数幂运算问题.将真数化为底数的指数幂的形式进行运算是解题关键． 【解答】解：∵ log m 2=a ，log m 3=b ，∴ m a =2，m b =3，∴ m 2a+b =m 2a m b =(m a )2m b =22×3=12． 故选C ． 4.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】本题考查了充分必要条件的概念和判断，幂函数定义的应用，属于基础题．【解答】解：∵当函数f(x)=(2b2−3b−1)xα为幂函数时，2b2−3b−1=1，解得b=2或−1，2∴ “b=2”是“函数f(x)=(2b2−3b−1)x a为幂函数”的充分不必要条件．故选A．5.【答案】B【考点】对数函数的图象与性质【解析】利用特殊值法进行判断，先判断奇偶性；【解答】解：∵函数f(x)=lg(|x|−1)，∴f(−x)=lg(|x|−1)=f(x)，f(x)是偶函数.又当x=1.1时，y<0，故可排除ACD.故选B.6.【答案】D【考点】利用导数研究函数的单调性已知函数的单调性求参数问题【解析】首先求出函数的单调递减区间，然后结合数轴分析求出m的范围即可．【解答】x2−9ln x，解：∵f(x)=12∴函数f(x)的定义域是(0, +∞)，f′(x)=x−9，x∵x>0，∴由f′(x)=x−9≤0，得0<x≤3．x∵函数f(x)=1x2−9ln x在区间[a−1, a+1]上单调递减，2∴{a−1>0,a+1≤3,7.【答案】D【考点】抽象函数及其应用【解析】本题主要考查利用函数的奇偶性及周期性，求抽象函数的值，同时考查函数的图象的平移变换，属于中档题．【解答】解：因为y=f(x+2)的图象关于直线x=−2对称，所以y=f(x)的图象关于直线x=0对称，即f(x)为偶函数．因为f(x+2)−f(x)=f(1)，所以f(−1+2)−f(−1)=f(1).又f(−1)=f(1)，所以f(1)=0，可得f(x+2)=f(x)，所以f(x)的最小正周期为2，所以f(99)=f(1)=0，f(100)=f(0)=8，所以f(99)+f(100)=8．故选D．8.【答案】A【考点】函数新定义问题抽象函数及其应用函数单调性的判断与证明【解析】证明函数单调递增，f(6)=f(√6)+f(√6)=2，变换不等式为f(x)≥f(65−x)，利用函数单调性解得答案．【解答】解：设0<x1<x2，则f(x2)−f(x1)=f(x2x1⋅x1)−f(x1)=f(x2x1)>0，即函数在(0，+∞)上单调递增．∵ f(√6)=1，∴ f(6)=f(√6)+f(√6)=2．∵ f(x)−f(15−x)≥2，∴ f(x)≥f(15−x )+f(6)=f(65−x)，故满足{x>0，65−x>0，x≥65−x，二、多选题【答案】 A,B,D 【考点】二项式系数的性质二项展开式的特定项与特定系数【解析】本题主要考查二项式的通项，二项式系数的和，还考查了赋值法的应用，属于中档题． 【解答】解：A ，因为(2x −1)10=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 10x 10，所以有C 108(2x )2(−1)8=180x 2，所以a 2=180，故A 正确；B ，因为(2x +1)10=|a 0|+|a 1|x +|a 2|x 2+⋯+|a 10|x 10， 令x =1，得|a 0|+|a 1|+|a 2|+⋯+|a 10|=310，故B 正确；C ，令x =0，得a 0=1，令x =1得： a 0+a 1+a 2+⋯+a 10=1， 所以a 1+a 2+⋯+a 10=0，故C 错误，D ，令x =12，得a 0+a 12+a 222+a 323+⋯+a10210=0，所以a 12+a 222+a 323+⋯+a 10210=−1，故D 正确．故选ABD ．【答案】 A,C【考点】正态分布的密度曲线 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：因为学生的数学成绩X 服从正态分布N(100,100)，所以该市学生的数学成绩的期望为100，标准差为10，故A 正确，B 错误； P(X ≥90)=1−P(X <90)=1−12[1−P(90<X <110)]=0.8413，故该市学生数学成绩及格率超过0.8，故C 正确； P(X <90)=12[1−P(90<X <110)]=0.1587，P(X ≥120)=12[1−P(80<X <120)]=0.0228，故该市学生数学成绩不及格人数和优秀的人数不相等，故D 错误. 故选AC . 【答案】 A,B,C 【考点】用频率估计概率众数、中位数、平均数 古典概型及其概率计算公式【解析】众数的估计值为最高的矩形的中点对应的值可判断A ；用频率估计概率可判断B ；在C 中，由题可知，车速在[60,65)内的车辆数为2，车速在[65,70)内的车辆数为4，运用古典概型的概率计算公式即可判断C 、D ． 【解答】解：由题图可知，众数的估计值为最高的矩形的中点对应的值75+802=77.5，故A 正确；车速超过80km/ℎ的频率为0.05×5+0.02×5=0.35，用频率估计概率知P =0.35，故B 正确；由题可知，车速在[60,65)内的车辆数为2，车速在[65,70)内的车辆数为4，运用古典概型求概率得，至少有一辆车的车速在[65,70)的概率为P =1−C 22C 62=1−115=1415，所以车速都在[60,65)内的概率为115，故C 正确，D 错误. 故选ABC ．【答案】 B,C,D 【考点】二项分布与n 次独立重复试验的模型 正态分布的密度曲线 命题的真假判断与应用【解析】由二项分布、独立重复试验、正态分布逐个进行判断. 【解答】解：可得，E (X )=np =30，D (X )=np (1−p )=20， 解得p =13，所以A 错误；根据数据方差的计算公式可知，将一组数据中的每个数据都加上同一常数后， 方差恒不变，所以B 正确；由正态分布的图象的对称性可得， P (−1<ξ≤0)=1−2P (ξ>1)2=1−2p 2=12−p ，所以C 正确；由独立重复试验的概率计算公式可得，P (X =8)=C 108×(0.8)8×(1−0.8)2，由组合数公式，可得当X =8时取得最大值，所以D 正确. 所以正确命题为BCD . 故选BCD . 三、填空题【答案】 x −y −1=0 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】求出原函数的导函数，得到函数在x=1时的导数值，即切线的斜率，由直线方程的点斜式得答案．【解答】解：由y=ln xx ，得y′=1−ln xx2，∴y′|x=1=1−ln112=1，即曲线C:y=ln xx在点(1, 0)处的切线的斜率为1，∴曲线C:y=ln xx在点(1, 0)处的切线方程为y−0=1×(x−1)，即x−y−1=0．故答案为：x−y−1=0．【答案】[0, 1 2 )【考点】分段函数的应用函数的值域及其求法【解析】根据分段函数的表达式，分别求出每一段上函数的取值范围进行求解即可．【解答】解：当x≥1时，f(x)=2x−1≥1，当x<1时，f(x)=(1−2a)x+3a，∵函数f(x)={(1−2a)x+3a,x<1，2x−1，x≥1的值域为R，∴(1−2a)x+3a的取值必须到负无穷，即满足：{1−2a>01−2a+3a≥1，解得0≤a<1 2 .故答案为：[0, 12)．【答案】−4x3−24x2−28x+8【考点】函数的对称性导数的运算【解析】【解答】解：∵函数f(x)=(1−x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=−2对称，∴f(−1)=f(−3)=0，且f(1)=f(−5)=0，即[1−(−3)2][(−3)2+a⋅(−3)+b]=0，且[1−(−5)2][(−5)2+a⋅(−5)+b]=0，整理得{9−3a+b=0,25−5a+b=0,解得{a =8,b =15,因此，f (x )=(1−x 2)(x 2+8x +15)=−x 4−8x 3−14x 2+8x +15， 求导得f ′(x )=−4x 3−24x 2−28x +8. 故答案为：−4x 3−24x 2−28x +8. 【答案】 ①④⑤ 【考点】已知函数的单调性求参数问题 对数函数的图象与性质 命题的真假判断与应用幂函数的概念、解析式、定义域、值域 函数的定义域及其求法【解析】 无【解答】解：对于①，因为1≤x ≤2，2≤2x ≤4， 所以f (x )的定义域为[2，4]，令2≤x2≤4，故4≤x ≤8，即f (x2)的定义域为[4，8]，故①正确； 对于②，当x =1，y =−1，图象恒过定点(1,−1)，故②错误；对于③，幂函数要求x ≠0，故y =x 0的图象是两条射线，故③错误； 对于④，原不等式等价于log a 12>log a a ， 故 {a >1，a <12，（无解）或 {0<a <1，a >12，故12<a <1，故④正确；对于⑤，实数应满足{a ≥1，1−2a +1+a 2>0，解得a ≥1，故⑤正确.综上，正确结论的序号为①④⑤． 故答案为：①④⑤. 四、解答题 【答案】 解：(1)由x+1x−2≥0且x −2≠0可得x >2或x ≤−1，由x 2−(2a +1)x +a 2+a ≥0可得x ≥a +1或x ≤a ， ∴ A =(−∞, −1]∪(2, +∞)，B =(−∞, a]∪[a +1, +∞). (2)∵ A ∩B =A ， ∴ A ⊆B ， ∴ {a ≥−1，a +1≤2，解得−1≤a ≤1.【考点】函数的定义域及其求法集合的包含关系判断及应用【解析】（1）分别解得集合A，B即可；（2）根据A∩B＝A，得出A⊆B，借助数轴解得即可．【解答】解：(1)由x+1x−2≥0且x−2≠0可得x>2或x≤−1，由x2−(2a+1)x+a2+a≥0可得x≥a+1或x≤a，∴A=(−∞, −1]∪(2, +∞)，B=(−∞, a]∪[a+1, +∞).(2)∵ A∩B=A，∴ A⊆B，∴{a≥−1，a+1≤2，解得−1≤a≤1.【答案】解：(1)∵f(x)=x3+ax2+bx+c，∴f′(x)=3x2+2ax+b.∵曲线y=f(x)在点P(0, f(0))处的切线是l:2x−y+3=0，即y=2x+3，∴f(0)=c=3，f′(0)=b=2，即b=2，c=3.(2)∵b=2，c=3，∴f(x)=x3+ax2+2x+3，∴f′(x)=3x2+2ax+2.∵f(x)在(0, +∞)上单调递增，∴f′(x)≥0在(0, +∞)上恒成立.①当a≥0时，f′(x)≥0在(0, +∞)上恒成立，满足条件．②当a<0时，要使f′(x)≥0在(0, +∞)上恒成立，则Δ=4a2−4×3×2≤0，即a2≤6，∴−√6≤a<0.综上可知a≥−√6．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性【解析】（1）利用导数的几何意义，建立导数和切线之间的关系，求b，c的值；（2）利用f(x)在(0, +∞)上单调递增，则f′(x)≥0恒成立，即可求a的取值范围．【解答】解：(1)∵f(x)=x3+ax2+bx+c，∴f′(x)=3x2+2ax+b.∵曲线y=f(x)在点P(0, f(0))处的切线是l:2x−y+3=0，即y=2x+3，∴f(0)=c=3，f′(0)=b=2，即b=2，c=3.(2)∵b=2，c=3，∴f(x)=x3+ax2+2x+3，∴f′(x)=3x2+2ax+2.∵f(x)在(0, +∞)上单调递增，∴f′(x)≥0在(0, +∞)上恒成立.①当a≥0时，f′(x)≥0在(0, +∞)上恒成立，满足条件．②当a<0时，要使f′(x)≥0在(0, +∞)上恒成立，则Δ=4a2−4×3×2≤0，即a2≤6，∴−√6≤a<0.综上可知a≥−√6．【答案】解：(1)根据频率和为1，计算[70,80)的频率为：1−10(0.01+0.015+0.015+0.025+0.005)=0.3，所以[70,80)对应的频率直方图高度为0.03，如图所示：由频率分布直方图知众数为75；由0.1+0.15+0.15=0.4<0.5，0.4+0.3=0.7>0.5可知，中位数在[70,80)内，计算中位数为70+0.10.03=2203．(2)成绩在[40, 50)内有60×0.1=6人，在[90, 100]内有60×0.05=3人；从这9人中选2人，基本事件为C92=36（种），其中在同一分数段的基本事件为C62+C32=18（种），故所求的概率为P=1836=12.(3)由题意填写列联表如下：计算K2=60×(4×16−14×26)230×30×18×42≈7.937>6.635，所以有99%的把握认为成绩是否优秀与性别有关．【考点】众数、中位数、平均数频率分布直方图独立性检验古典概型及其概率计算公式【解析】本题主要考查了频率直方图的应用与利用组合求解概率的问题，同时也考查了独立性检验判定事件是否与某变量有关的问题．属于中档题．本题主要考查了频率直方图的应用与利用组合求解概率的问题，同时也考查了独立性检验判定事件是否与某变量有关的问题．属于中档题．本题主要考查了频率直方图的应用与利用组合求解概率的问题，同时也考查了独立性检验判定事件是否与某变量有关的问题．属于中档题．【解答】解：(1)根据频率和为1，计算[70,80)的频率为：1−10(0.01+0.015+0.015+0.025+0.005)=0.3，所以[70,80)对应的频率直方图高度为0.03，如图所示：由频率分布直方图知众数为75；由0.1+0.15+0.15=0.4<0.5，0.4+0.3=0.7>0.5可知，中位数在[70,80)内，计算中位数为70+0.10.03=2203．(2)成绩在[40, 50)内有60×0.1=6人，在[90, 100]内有60×0.05=3人；从这9人中选2人，基本事件为C92=36（种），其中在同一分数段的基本事件为C62+C32=18（种），故所求的概率为P=1836=12.(3)由题意填写列联表如下：计算K2=60×(4×16−14×26)230×30×18×42≈7.937>6.635，所以有99%的把握认为成绩是否优秀与性别有关． 【答案】(1)证明：连接EO ，如图.∵ AC 交BD 于O 点，M 为EF 的中点， ∴ 四边形BMEO 是平行四边形，OE//BM . 又BM ⊄平面ACE ，OE ⊂平面ACE ， ∴ BM//平面ACE ．(2)解：以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系D −xyz ，如图，则B(√2,√2,0)，A(√2,0,0)，F(√2,√2,1)，C(0,√2,0)， AB →=(0,√2,0)，AF →=(0,√2,1)，AC →=(−√2,√2,0). 设平面CAF 的法向量n →=(x,y,z )， 则{n →⋅AC →=−√2x +√2y =0,n →⋅AF →=√2y +z =0, 取x =√2，得n →=(√2,√2,−2). 又平面ABF 的法向量m →=(1,0,0)， ∴ cos ⟨n →,m →⟩=√2√8=12，而⟨n →,m →⟩∈[0,π]，∴ ⟨n →,m →⟩=60∘，∴ 二面角B −AF −C 的平面角为60∘． 【考点】用空间向量求平面间的夹角 直线与平面平行的判定 【解析】此题暂无解析 【解答】(1)证明：连接EO ，如图.∵ AC 交BD 于O 点，M 为EF 的中点， ∴ 四边形BMEO 是平行四边形，OE//BM . 又BM ⊄平面ACE ，OE ⊂平面ACE ， ∴ BM//平面ACE ．(2)解：以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系D −xyz ，如图，则B(√2,√2,0)，A(√2,0,0)，F(√2,√2,1)，C(0,√2,0)， AB →=(0,√2,0)，AF →=(0,√2,1)，AC →=(−√2,√2,0). 设平面CAF 的法向量n →=(x,y,z )， 则{n →⋅AC →=−√2x +√2y =0,n →⋅AF →=√2y +z =0, 取x =√2，得n →=(√2,√2,−2). 又平面ABF 的法向量m →=(1,0,0)， ∴ cos ⟨n →,m →⟩=√2√8=12，而⟨n →,m →⟩∈[0,π]，∴ ⟨n →,m →⟩=60∘，∴ 二面角B −AF −C 的平面角为60∘．【答案】解：(1)∵ f(x)=−ax +2+ax ln x ，定义域为(0,+∞)， ∴ f ′(x )=a ln x ． 因为a ≠0，故：①当a >0时，由f ′(x )>0得x >1，由f ′(x )<0得0<x <1；②当a<0时，由f′(x)>0得0<x<1，由f′(x)<0得x>1．综上，当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞)，单调递减区间为(0,1)；当a<0时，函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,+∞)．(2)当a=1时，f(x)=−x+2+x ln x，f′(x)=ln x．由(1)可得，当x在区间[1e，e]内变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以函数f(x)(x∈[1e，e])的值域为[1,2]．又∵ 2−2e <2，直线y=t与曲线y=f(x)[1e，e]总有公共点，∴t的取值范围是[1,2]．【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题利用导数研究函数的单调性【解析】（1）先求导数f(x)然后在函数的定义域内解不等式f(x)>0和f(x)<0，f(x)>0的区间为单调增区间，f(x)<0的区间为单调减区间；（2）要使直线y=t与曲线y=f(x)（x∈[1e ,e]）有公共点，只需t在f(x)在区间[1e,e]内值域内即可，再利用导数研究函数的最值即可求解．【解答】解：(1)∵f(x)=−ax+2+ax ln x，定义域为(0,+∞)，∴f′(x)=a ln x．因为a≠0，故：①当a>0时，由f′(x)>0得x>1，由f′(x)<0得0<x<1；②当a<0时，由f′(x)>0得0<x<1，由f′(x)<0得x>1．综上，当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞)，单调递减区间为(0,1)；当a<0时，函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,+∞)．(2)当a=1时，f(x)=−x+2+x ln x，f′(x)=ln x．由(1)可得，当x在区间[1e，e]内变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以函数f(x)(x∈[1e，e])的值域为[1,2]．又∵ 2−2e<2，直线y =t 与曲线y =f (x )[1e，e]总有公共点，∴ t 的取值范围是[1,2]． 【答案】解：(1)f ′(x)=−2x 2+a 2+ax =a 2x 2+ax−2x 2=(ax+2)(ax−1)x 2(x >0).令f ′(x)=0，可得x =1a ，x =−2a （舍）． ①当a >110时，1a <10．函数f(x)在区间(0, 1a)上单调递减，在区间(1a, 10)上的单调递增；②当0<a ≤110时，函数f(x)在区间(0, 10)上单调递减．(2)存在x ∈(0, +∞)，使得不等式f(x)<2+a 2x 成立等价于存在x ∈(0, +∞)，使得不等式2x +a ln x −2<0成立， 令g(x)=2x +a ln x −2(x >0)， g ′(x)=−2x 2+ax =ax−2x 2.∵ a >0，∴ g ′(x)>0⇒x >2a ，g ′(x)<0⇒0<x <2a ， ∴ g(x)在(0, 2a )上递减，在(2a , +∞)上递增， ∴ g(x)min =g(2a)=a +a ln 2a−2，则a +a ln 2a−2<0恒成立．又a >0，所以ln 2a +1−2a <0恒成立． 令ℎ(x )=ln x +1−x (x >0)， 则ℎ′(x )=1x −1=1−x x，在(0,1)上，ℎ′(x )>0，ℎ(x )单调递增； 在(1,+∞)上，ℎ′(x )<0，ℎ(x )单调递减， 所以ℎ(x )≤ℎ(1)=0，因此解ln 2a +1−2a <0可得2a >0，且2a ≠1，即a >0且a ≠2， 所以实数a 的取值范围是(0,2)∪(2,+∞). 【考点】利用导数研究不等式恒成立问题 利用导数研究函数的单调性 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)f ′(x)=−2x 2+a 2+ax =a 2x 2+ax−2x 2=(ax+2)(ax−1)x 2(x >0).令f ′(x)=0，可得x =1a ，x =−2a （舍）． ①当a >110时，1a<10．函数f(x)在区间(0, 1a)上单调递减，在区间(1a, 10)上的单调递增；②当0<a ≤110时，函数f(x)在区间(0, 10)上单调递减．(2)存在x ∈(0, +∞)，使得不等式f(x)<2+a 2x 成立等价于存在x ∈(0, +∞)，使得不等式2x +a ln x −2<0成立， 令g(x)=2x +a ln x −2(x >0)，g ′(x)=−2x 2+a x =ax−2x 2.∵ a >0，∴ g ′(x)>0⇒x >2a ，g ′(x)<0⇒0<x <2a ， ∴ g(x)在(0, 2a )上递减，在(2a , +∞)上递增， ∴ g(x)min =g(2a )=a +a ln 2a −2， 则a +a ln 2a −2<0恒成立．又a >0，所以ln 2a+1−2a<0恒成立．令ℎ(x )=ln x +1−x (x >0)， 则ℎ′(x )=1x −1=1−x x，在(0,1)上，ℎ′(x )>0，ℎ(x )单调递增； 在(1,+∞)上，ℎ′(x )<0，ℎ(x )单调递减， 所以ℎ(x )≤ℎ(1)=0，因此解ln 2a +1−2a <0可得2a >0，且2a ≠1，即a >0且a ≠2， 所以实数a 的取值范围是(0,2)∪(2,+∞).。
【高三】江苏省镇江市2021届扬中高级中学高三数学3月调研试卷 数学
【高三】江苏省镇江市2021届扬中高级中学高三数学3月调研试卷数学试卷说明：江苏省镇江市2021届扬中高级中学高三数学3月调研试卷第Ⅰ卷2021.03. 注意事项及说明1．考试前请将密封线内的项目填写清楚。
2．本试卷满分160分，考试时间120分钟。
3．考试结束时，需交答卷纸。
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答卷纸相应的位置）1．设集合,，,则▲ 2．已知是实数，是纯虚数，则等于▲ 3．平面向量＝（－1，m），若∥，则m等于▲ 4．抛物线的焦点坐标是5．的最小正周期是，则▲ ．某学生参加成绩的频率分布直方图如图数据的分组次为[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]．若低于60分的人数是15则该班的学生人数是7．阅读上边的程序框图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数的取值范围是▲ 8．已知直线和圆，若直线被圆截的弦长为时，则▲ 9．②；③．10．▲ 11．若函数的值域为，则＝▲ 12．若，则的最小值为▲ 13. 若数列{}是正项数列,且…N则…14．在△AOB中，G为△AOB的重心（三角形中三边上中线的交点叫重心），且.若，则的最小值是▲ 二、解答题：（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．）15．（本小题满分1分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足. (1) 求角A；(2) 若，，D为BC上一点，且,求AD的长.16．（本小题满分1分）AD∥BC，∠ADC＝，BC＝AD，PA＝PD，Q为AD的中点。
（1）求证：AD⊥平面PBQ；（2）已知点M为线段PC的中点，证明：PA∥平面BMQ。
17．（本小题满分分）设等差数列{}的前n项和为. (1)若首项公差d=1,求满足的正整数k; (2)求所有的无穷等差数列{},使得对于一切正整数k都有成立. 18．（本小题满分分）．（1）试用表示的面积；（2）求八角形所覆盖面积的最大值，并指出此时的大小．19．（本小题满分分）经过椭圆的一个焦点，且点(0, )到直线l的距离为2（1）求椭圆E的方程；（2)A、B、C是椭圆上的三个动点A与B关于原点对称，且｜AC｜＝｜CB｜．问△ABC的面积是否存在最小值？若存在，求此时点C的坐标；若不存在，说明理由．20．（本小题满分分）.（1）当时，求函数的极值；（2）设定义在D上的函数在点处的切线方程为.当时，若在D内恒成立，则称P为函数的“转点”.当时，试问函数是否存在“转点”？若存在，求出“转点”的横坐标；若不存在，请说明理由. 第Ⅱ卷（理科附加）(满分40分，考试时间30分钟)1.已知矩阵的逆矩阵，求矩阵．2.在平面直角坐标系中，过椭圆在第一象限内的一点分别作轴、轴的两条垂线，垂足分别为，求矩形周长最大值时点的坐标．3.如图，正四棱柱中，，，点在棱上，且．( I )求的长； ( II)求钝角二面角的大小．4.某品牌设计了编号依次为的种不同款式的时装，由甲、乙两位模特分别独立地从中随机选择种款式用来拍摄广告．( I )若，且甲在1到为给定的正整数，且号中选择，乙在到号中选择．记Pst为款式（编号）和同时被选中的概率，求所有的Pst的和；( II)求至少有一个款式为甲和乙共同认可的概率．．．（0，1）．；8．；9．．；14． 2；二、解答题：（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．）15．（本小题满分1分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足. (1) 求角A；(2) 若，，D为BC上一点，且,求AD的长.解：(1) ∵在△ABC中，满足由正弦定理可得，┅3分故；┅5分∵在△ABC中∴ ┅7分 (2) 由题意可得，┅9分┅10分∴ ┅13分从而可得 14分16．（本小题满分1分）AD∥BC，∠ADC＝，BC＝AD，PA＝PD，Q为AD的中点。
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．．．．．．．．1．已知集合{}{}3,0,1,2,3x A y y B ===，则A B ⋂= （ ） A ．{}1,2,3 B ．(0,)+∞ C ．{}0,1,2 D ．[0,)+∞2．复数(1)2(z i i i -=为虚数单位），则z 等于 （ ） A ．1i + B ．1i - C ．1i -+ D ．1i --3．若从甲、乙、丙、丁4人中选出3名代表参加学校会议，则甲被选中的概率为 （ ）A ．14 B ．13 C ．12 D ．344．下列函数中，既是奇函数又在区间(1,1)-上是增函数的是 （ ）A ．1y x= B ．tan y x = C ．sin y x =- D ．cos y x =5．若sin cos 1sin cos 3αααα+=-，则tan α= （ ）A ．2-B ．34C ．43- D ．26．已知菱形ABCD 的边长为04,60,ABC E ∠=是BC 的中点，2DF AF =-，则AE BF ⋅= （ ）A ．24B ．7-C ．10-D ．12- 7．《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月力法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部为七十六岁，二十部为一遂，遂千百五十二十岁，生住有数皆终，万物复苏，天以更元作记历”，某老年公寓20位老人，他们的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中年长者已是奔百之龄（年龄介于90至100），其余19人的年龄依次相差一岁，则年长者的年龄为 （ ） A ．94 B ．95 C ．96 D ．988．已知函数ln ,1(),()11,14x x f x g x ax x x >⎧⎪==⎨+≤⎪⎩，则方程()()g x f x =恰有两个不同的实根时，实数a 的取值范围是 （ ） A ．1(0,)e B ．11[,)4e C ．1(0,]4 D ．1(,)4e二、多选题：（每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，请把正确的所有选项填涂在答题卡相应的位置上）9．设正实数,a b 满足1a b +=，则下列结论正确的是 （ ）A ．11a b+有最小值4 B有最小值12CD ．22a b +有最小值1210．将函数cos y x =的图象向左平移32π个单位，得到函数()y f x =的函数图象，则下列说法正确的是（ ）AB EC D FA ．()y f x =是奇函数B ．()y f x =的周期是πC ．()y f x =的图象关于直线2x π=对称 D ．()y f x =的图象关于(,0)2π-对称11．如图，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1，则下列四个命题正确的是 （ ） A ．若点,M N 分别是线段,A A A D '''的中点，则//MN BC 'B ． 点C 到平面ABCD ''的距离为2C ．直线BC 与平面ABCD ''所成的角等于4πD ．三棱柱AA D BB C ''''-的外接球的表面积为3π12．关于函数()e ,xf x ax x R =-∈，其中e 为自然对数的底数， 下列说法正确的是 （ ） A ．当1a =时，()f x 在(,0)-∞上单调递增B ．当0a =时，()lnx 3f x -≥在x (0,)∈+∞上恒成立C ．对任意0a <，()f x 在(,0)-∞上一定存在零点D ．存在0a >，()f x 有唯一的极小值二、填空题．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 13．已知随机变量X 服从正态分布2(1,)N σ，且(2)0.7P X <=,则(01)P X <<= ,14．已知等比数列{}n a 的公比为2，前n 项和为n S ，则42S S = . 15．小明拟测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好 落在地面和一斜坡上（如图1）此时测得地面上树的 影子长为8米，坡面上树的影子长为4米，已知斜坡 的坡角为030，同一时刻，一根长为1，垂直于地面上 的标杆在地面上的影子长为2米（如图2），则树的高 度为 米. 16．已知实数,αβ满足34,(ln 1)e e e ααββ=-=，其中e 是自然对数的底数，则αβ= .三、解答题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知平面向量(2cos ,1),(1,3sin ).a b θθ== （1）若//a b ，求sin 2θ的值；（2）若a b ⊥，求tan()4πθ+的值.18．如图，正四棱锥S ABCD -中，4,2,SA AB E ==为SC 中点. （1）求证：//SA BDE 平面；（2）求异面直线SA 与BE 所成角的余弦值.19．在①32525,6a a a b =+=；②23432,3b a a b =+=；③34529,8S a a b =+=，ABDCB 'A 'C 'D 'MN0301（图）2（图）BED CS这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知等差数列{}n a 的公差为(1)d d >，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ，且11,a d q ==， .（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）记nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和.n T 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.20．华为手机的“麒麟970”芯片在华为处理器排行榜中最高主频2.4GHz ，同时它的线程结构也做了很大的改善，整个性能及效率至少提升了0050，科研人员曾就是否需采取用西门子制程这一工艺标准进行了反复比较，在一次实验中，工作人员对生产出的50片芯片进行研究，结果发现使用了该工艺的30片芯片有28片线程结构有很大的改善，没有使用该工艺的20片芯片中有12片线程结构有很大的改善.（1）完善列联表判断：这次实验是否有0099.5的把握认为“麒麟970”芯片的线程结构有很大的改善与使用西门子制程这一工艺标准有关？（2）在“麒麟970”芯片的线程结构有很大的改善后，接下来的生产制作还需对芯片的晶圆依次进行金属溅镀，涂布光阻，蚀刻技术，光阻去除这四个环节的精密操作，进而得到多晶的晶圆，生产出来的多晶的晶圆经过严格的质检，确定合格后才能进入下一个流程，如果生产出来的多晶的晶圆在质检中不合格，那么必须依次对前四个环节进行技术检测并对所有的出错环节进行修复才能成为合格品.在实验的初期，由于技术的不成熟，生产制作的多晶的晶圆很难达到理想状态，研究人员根据以往的数据与经验得知在实验生产多晶的晶圆的过程中，前三个环节每个环节生产正常的概率为23，每个环节出错需要修复的费用均为 200元，第四个环节生产正常的概率为34，此环节出错需要修复的费用为100元，问：一次试验生产出来的多晶的晶圆要成为合格品大约还需要消耗多少元费用？（假设质检与检测过程不产生费用）参考公式：22(),.()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++参考数据：21．已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点(1,2)A 为抛物线C 上一点.（1）求C 的方程；（2）若点(1,2)B -在C 上，过B 作C 的两弦BP BQ 与，若2BP BQ k k ⋅=-，求证：直线PQ 过定点.22．已知函数2()1.x f x e x ax =---（1）当0x ≥时，若不等式()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （2）若0x >，证明2(1)ln(1).x e x x -+>参考答案13. 0.2 ； 14．152； 15. 6； 16．4e ； 三、解答题17．解：（1）1//,sin23a b θ∴=；（2）2tan 1,tan ,tan() 5.341tana b πθθθθ+⊥∴=+==-18．解：（1）连接AC 交BD 于O ,连接OE ，由正四棱锥S ABCD -，得O 为AC 的中点， 因为E 为SC 的中点，所以//OE SA ,,OE BDE SA BDE ⊂⊄面面，//SA BDE ∴面；（2）//,OE SA OEB ∴∠为异面直线SA 与BE 所成角，在正四棱锥S ABCD -中，4,2,2,SA AB OE OB BE ==∴==∴=，在Rt EOB ∆中，cos OB BEO BE ∴∠===所以异面直线SA 与BE19．解：（1）若选条件①32525,6a a a b =+=，111125,2566,2,1d d b q b d d b ∴+=+==∴==， 121,2n n n a n b -∴=-=； （2）1212n n n c --=， 122113551222n n n T c c c -∴=+++=++++，12231135522222n n n T c c c ∴=+++=++++，两式相减，得A BEDCSO2211112125113222222n n n nn n T --+∴=+++++-=-， 62410.2n n nn T ⋅--∴=其它省略.20．解：（1）由题意列表为：故2250(288212)25302040103K ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯， 故有0099.5的把握认为晶圆的制作效果使用西门子制程这一工艺有关； （2）设i A 表示检测到第i 个环节有问题，（1,2,3,4i =）X 表示成为一个合格的多晶的晶圆需消耗的费用，则X 的可能取值为：0,100,200,300,400,500,600,700，那么13618(0),(100),(200),(300)108108108108P X P X P X P X ========， 1236824(400),(500),(600),(700)P X P X P X P X ========， 故()(01132631841253668724)3081089E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈故大约需要耗费308元.21．解：（1）若抛物线C 方程为22,42,2,y px p p =∴==，即抛物线C 的方程为24y x =， 若抛物线C 方程为212,14,,4x py p p =∴==，即抛物线C 的方程为212x y =； （2）因为点(1,2)B -在C上，所以抛物线C 的方程为24y x =， 设弦BP 的方程为22(1),(2)4y k x y kx k y x +=-=-+=即代入，得 2222(244)(2)0k x k k x k -++++=，2222(2)(2)24,(,)P k k k x P k k k+++=点，以2k-替换点P 坐标中的k 得点Q 的坐标为2((1),22)k k -- 所以2222PQ k k k k =-++，直线PQ 的方程为222(22)[(1)]22k y k x k k k --=---++，32x y ==当时，， 所以直线PQ 过定点(3,2)..22．解：（1）()12x f x e ax '=--，设()12x h x e ax =--，()2x h x e a '=-，01121,()02a a h x '≤≤∞≥若即时，在[0,+)上,()h x ∴∞在[0,+)上单调递增，()(0),()(0)0h x h f x f ''∴≥∴≥=， ()f x ∴∞在[0,+)上单调递增，()(0)0f x f ∴≥=∞在[0,+)上恒成立，12a ∴≤满足题意， 01221,()=0ln 2,ln 2()02a a h x x a a h x ''>>=<若即时，令，在[0,)上,()ln 2h x a ∴在[0,)上单调递减，()(0),()(0)0h x h f x f ''∴<∴<=， ()ln 2f x a ∴在[0,)上单调递减，()(0)0f x f ∴<=不合题意，综上所述实数a 的取值范围是1(,].2-∞（2）由（1）知12a =时，220,1,122x xx x x e x e x >>++->+即，欲证2(1)ln(1)x e x x -+>，只需要证明：2ln(1)2xx x +>+， 设222F()ln(1),F ()2(1)(2)x x x x x x x x '=+-=+++， 0F ()0x x '>>时，，F()(0,)x ∴+∞在上是增函数，F()0(0,)x ∴>+∞在上恒成立，所以不等式2(1)ln(1)x e x x -+>成立.。