线性代数选择填空试题及答案

一． 填空题（每小题3分，共15分）

1. 设

4512312

1231

22,x x x D x x x

x

=

=

则的系数

2. 设1

243 2 0

201

3,,,A R(A)=B ⎡⎤

⎢⎥⨯=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

是矩阵且A 的秩而 =R(AB)则 2

3. 321 2, -1, 5,,A B A A =-已知三阶矩阵的特征值为 B

则= 288

4. 齐次线性方程组1231231

230

0 , 0

,x x x x x x x x x λλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩只有零解则满足 λ=0或2

5. 当n 元二次型正定时, 二次型的秩为 n

二． 选择题（每小题3分，共15分）

1. 设

0,A n A =为阶方阵则的必要条件是( B )

(a) A 的两行(或列)元素对应成比例 (b) A 中必有一行为其余行的线性组合 (c) A 中有一行元素全为零 (d) 任一行为其余行的线性组合 2. 设n 维行向量1122

00 2 (,,

,,),,,T T

A E

B E α

αααα==-=+矩阵 ,E n AB =其中为阶单位矩阵则( B )

(a) 0 (b) E (c) –E (d) E+T

αα

3. 设 0 ,,,A B n AB =为阶方阵满足等式则必有( C )

(a) 00A B ==或 (b) 0A B +=

(c)

00A B ==或 (d) 0A B +=

4.s 维向量组12,,

,n ααα(3n s ≤≤)线性无关的充分必要条件是( C )

(a) 存在一组不全为零的数12,,,n k k k , 使得11220n n k k k ααα+++≠

(b) 12,,,n ααα中存在一个向量, 它不能由其余向量线性表出 (c) 12,,,n ααα中任意一个向量都不能由其余向量线性表出 (d) 12,,

,n ααα中任意两个向量都线性无关

5. 设A 为n 阶方阵, 且秩121 ,0(),R A n Ax αα=-=是的两个不同的解,

则

0Ax =的通解为( AB )

(a) 1k α (b) 2k α (c) 12()k αα- (d) 12()k αα+

1．下列矩阵中，（ ）不是初等矩阵。

（A ）001010100⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣

⎦ (B)100000010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (C) 100020001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(D) 100012001⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 2．设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ ）。

（A ）122331,,αααααα--- （B ）1231,,αααα+

（C ）

1212,,23αααα- （D ）2323,,2αααα+

3．设A 为n 阶方阵，且250A A E +-=。则

1(2)A E -+=（ ）

(A) A E - (B) E A + (C) 1()3A E - (D) 1

()

3A E +

4．设

A 为n m ⨯矩阵，则有（ ）。

（A ）若n m <，则b Ax =有无穷多解；

（B ）若n m <，则0=Ax 有非零解，且基础解系含有m n -个线性无关解向量；

（C ）若A 有n 阶子式不为零，则b Ax =有唯一解； （D ）若A 有n 阶子式不为零，则0=Ax 仅有零解。

5．若n 阶矩阵A ，B 有共同的特征值，且各有n 个线性无关的特征向量，则（ ） （A ）A 与B 相似 （B ）A B ≠，但|A-B |=0

（C ）A=B （D ）A 与B 不一定相似，但|A|=|B|

三、填空题（每小题4分，共20分）

1

0n - 2．

A 为3阶矩阵，且满足

=

A 3,则

1

-A =______，

*3A =

。

3．向量组1111α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2025α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，3247α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，

4120α⎛⎫ ⎪= ⎪

⎪⎝⎭是线性 （填相关或无关）的，它的一个极大线性无关组是 。

4． 已知123,,ηηη是四元方程组Ax b =的三个解，其中A 的秩()R A =3，11234η⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，

234444ηη⎛⎫

⎪ ⎪

+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则方程组Ax b =的通解为 。

5．设

23111503A a -⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦，且秩(A )=2，则a = 。

1．选B 。初等矩阵一定是可逆的。

2．选B 。A 中的三个向量之和为零，显然A 线性相关； B 中的向量组与1α，2α

，3α

等价, 其秩为3，B 向量组线性无关；C 、D 中第三个向量为前两个向量的线性组合，C 、D 中的向量组线性相关。

3．选C 。由052=-+E A A ⇒()2

232()3A A E E A E A E E

+-=⇒+-=，

()1

12()

3A E A E -⇒+=-)。

4．选D 。A 错误，因为n m <，不能保证()(|)R A R A b =；B 错误，0=Ax 的基础解系含有

()A R n -个解向量；C 错误，因为有可能

()(|)1R A n R A b n =<=+，b Ax =无解；D 正确，因为()R A n =。

5．选A 。A 正确，因为它们可对角化，存在可逆矩阵,P Q ，使得

1

112(,,,)n PAP diag QBQ λλλ--==，

因此

,A B 都相似于同一个对角矩阵。

三、1．

()!11

n n +-（按第一列展开）