2023届奉贤中学高一数学上学期第一次月考卷
上海市奉贤区2023届高三上学期一模数学试题
一、单选题二、多选题1.已知双曲线的左、右焦点分别为、，焦距为8，是双曲线右支上的一点，直线与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则该双曲线的离心率为（ ）A．B．C ．2D ．32.已知集合，则（ ）A．B．C．D．3. 等差数列，为其前项和，，，记数列的前项和为，则（ ）A ．0B ．4C ．6D ．84. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A．B．C．D．5.已知命题，命题的否定是（ ）A．B．C．D．6. 若复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7.已知函数，有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．8. 如图，在长方体中，点为底面矩形的对角线的交点，点为的中点，，设直线与直线的夹角为，与底面的夹角为，二面角的夹角为，则（）A．B．C．D．9. 小王于2016年底贷款购置了一套房子，根据家庭收入情况，小王选择了10年期每月还款数额相同的还贷方式，且截止2020年底，他没有再购买第二套房子.下图是2017年和2020年小王的家庭收入用于各项支出的比例分配图：根据以上信息，判断下列结论中不正确的是（ ）上海市奉贤区2023届高三上学期一模数学试题上海市奉贤区2023届高三上学期一模数学试题三、填空题四、解答题A ．小王一家2020年用于饮食的支出费用跟2017年相同B ．小王一家2020年用于其他方面的支出费用是2017年的3倍C ．小王一家2020年的家庭收入比2017年增加了1倍D ．小王一家2020年用于房贷的支出费用比2017年减少了10. 若函数，则（ ）A ．是周期为的周期函数B．的最大值为C ．在上单调递增D ．在上单调递减11. 函数的图象可以是（ ）A．B．C．D．12. 已知函数，则（ ）A．是周期函数B ．的最小值是C．的图象至少有一条对称轴D．的图象至少有一个对称中心13.写出一个同时具有下列性质①②③的函数______．①；②；③任取，，，．14.已知数列满足，且前8项和为761，则______．15.在平面直角坐标系中，设是函数（）的图象上任意一点，过点向直线和轴作垂线，垂足分别是，，则__________．16. 已知函数，其中且在上有且仅有2个零点，2个极值点．(1)求的最小正周期；(2)设集合且，已知△，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中，，现从集合A的所有元素中任取一值作为角A的值，求使得△存在的概率．17. 如图，四面体中，是正三角形，是直角三角形，，.（1）证明:平面平面；（2）若，求二面角的余弦值.18. 已知函数(a R)，其中e为自然对数的底数．（1）若，求函数的单调减区间；（2）若函数的定义域为R，且，求a的取值范围；（3）证明：对任意，曲线上有且仅有三个不同的点，在这三点处的切线经过坐标原点．19. 现对某市工薪阶层关于“楼市限购政策”的态度进行调查，随机抽查了人，他们月收入（单位：百元）的频数分布及对“楼市限购政策”赞成人数如下表：月收入（单位百元）频数赞成人数(1)根据以上统计数据填写下面列联表，并回答是否有的把握认为月收入以元为分界点对“楼市限购政策”的态度有差异？月收入不低于百元的人数月收入低于百元的人数合计赞成不赞成合计(2)若从月收入在的被调查对象中随机选取两人进行调查，求至少有一人赞成“楼市限购政策”的概率.（参考公式：，其中）参考值表：20.已知椭圆过点，焦距长，一直线交椭圆于，两点．(1)求椭圆的方程；(2)若点为轴上一点且=，求证：直线过定点，并求出定点坐标.21. 已知双曲线的右焦点为，，，成等差数列，过的直线交双曲线于､两点，若双曲线过点.(1)求双曲线的标准方程；(2)过双曲线的左顶点作直线､，分别与直线交于､两点，是否存在实数，使得以为直径的圆恒过，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.。
高一数学上学期第一次月考试题1 50
卜人入州八九几市潮王学校第四二零二零—二零二壹高一数学上学期第一次月考试题一、选择题：〔每一小题5分，一共50分〕1．全集U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{0,1,3,5,8}，集合B＝{2,4,5,6,8}，那么(∁U A)∩(∁U B)＝()A．{5,8}B．{0,1,3}C．{7,9} D．{2,4,6}2.设集合A＝{1,2}，那么满足A∪B＝{1,2,3}的集合B的个数是()A．8 B．4C．3 D．13.图中的阴影表示的集合是()A．(∁U B)∩A B．∁U(A∩B) C．∁U(A∪B)D．(∁U A)∩B4.集合A＝{1,3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，那么m＝()A．0或者B．0或者3C．1或者D．1或者35.假设集合P＝{x|3<x≤22}，非空集合Q＝{x|2a＋1≤x<3a－5}，那么能使Q⊆(P∩Q)成立的所有实数a的取值范围为()A．(－∞,9]B．〔－∞,9〕C．[6,9)D．(6,9]6.假设函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，那么函数y＝f(x)的图像可能是()7.函数f(x)＝的定义域是()A．{x|x>－}B．{x|x≠－且x≠1}C．{x|x>－且x≠1}D．{x|x≠－}8.设g(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，那么f(x)等于()A．－2x＋1B．2x－1 C．2x＋7D．2x－39.函数f(x)＝那么方程f(x)＝1的解是()A.或者2B.或者3 C±.或者4 D．或者410.函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在区间(－∞，3)上是减函数，那么a的取值范围是()A．(0，)B．[0，)C．(0，] D．[0，]二、填空题：(每一小题5分,一共25分)11.U＝R，集合A＝{x|x2－x－2=0}，B＝{x|mx＋1＝0}，B∩(∁U A)＝∅，那么m＝________.12.图中的图像所表示的函数的解析式f(x)＝________.13.假设函数f(x)＝的定义域为R，那么a的取值范围为________．14.集合A＝{x|x2＋a≤(a＋1)x，a∈R}，存在a∈R，使得集合A中所有整数元素的和为28，那么实数a的取值范围是________．15.给定集合A，假设对于任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，那么称集合A为闭集合，给出如下三个结论：①集合A＝{－4，－2,0,2,4}为闭集合；②集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合；③假设集合A1，A2为闭集合，那么A1∪A2为闭集合．其中正确结论的序号是________．三、(本大题一一共6个小题,每一小题12分，一共75分)16.〔12分〕假设函数f(x)＝x2－x＋a的定义域和值域均为[1，b](b>1)，求a、b的值．17.(12分)集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．(1)假设A∩B＝[1,3]，务实数m的值；(2)假设A⊆∁R B，务实数m的取值范围．18.〔12分〕f(x)＝x2－1，g(x)＝(1)求f和g(f(2))的值；(2)求f(g(x))和g(f(x))的表达式19.〔12分〕我国是水资源相对匮乏的国家，为鼓励节约用水，某打算制定一项水费措施，规定每季度每人用水不超过5吨时，每吨水费的价格(根本消费价)为元，假设超过5吨而不超过6吨时，超过局部的水费加收200%，假设超过6吨而不超过7吨时，超过局部的水费加收400%，假设某人本季度实际用水量为x(x≤7)吨，试计算本季度他应缴纳的水费．20.〔13分〕f(x)＝(x≠a)．(1)假设a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增；(2)假设a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．21.〔14分〕二次函数f(x)的图像过点A(－1,0)、B(3,0)、C(1，－8)．(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在x∈[0,3]上的最值；(3)求不等式f(x)≥0的解集．。
2023-2024学年上海奉贤中学高三上学期数学月考试卷及答案(2023.12)
奉贤中学2023学年第一学期高三年级数学12月月考2023.12一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第16∼题每题4分,第7-12题每题5分）1．函数y=______．2．已知0a >化为分数指数幂k a 形式，则k =______．3．已知复数()1z ai a R =+∈，其中i 是虚数单位，()Re 2zi =，则a =______． 4．某校学生总人数为1000人，其中高三人数为300人，现采用分层抽样方式从全校学生中抽取20人参加一项活动，则高一高二的参加活动的总人数为______． 5．{}2540A x x x=+−>，{}5,B y y x x A ==−∈，则A B = ______． 6．6log 2a =，则3log 2=______（用a 表示）． 7．已知函数()()()()()f x x a x b x c a b c =−−−<<为奇函数，函数()2g x ax bx c ++的图像与x 轴的交点为A 、B ，则AB =______．8．正三棱锥P ABC −中，4PA =，3AB =，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，PC ，PA 的中点，则四边形EFGH 的面积为______．9．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2c b =，则sin sin cos sin 2AB C B=+______．10．已知Rt △ABC 的面积为6，斜边AB 长为6，设a 为CA 在AB上的投影，a CB ⋅=______．11．过点()2,1P −的直线l 与椭圆2214x y +=交于M ，N 两点，已知()0,1A ，若直线AM ，AN 的斜率分别为1k ，2k ，且12k k +为常数λ，则λ=______．12．设函数()f x 在R 上存在导数()f x ′，对任意实数x 有()()2f x f x x −−=，且当()0,x ∈+∞时()1f x ′<，若4m ≠−，()()44f m f m +≤+，则实数m 的取值范围是______．二、选择题：（本大题满分18分，13-14小题每小题4分，15-16小题每小题5分）13．“ln 1x =”是“()2ln 2x =”的（ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件（D ）既非充分又非必要条件14．小明在某比赛活动中已经进入前四强，他遇到其余四强的三人之一的获胜概率分别为0.3、0.4、0.65，若小明等可能遇到其他选手，获胜则进入决赛，反之被淘汰，则小明进入决赛的概率为（ ） （A ）0.45（B ）0.5（C ）0.55（D ）0.615．P 为椭圆2222813x y a a +=上一点，P 到左焦点F 的距离为2a ，则P 到原点O 的距离为（ ）（A ）34a （B （C （D ）2a 16．已知a R ∈，()522910012910x x a a a x a x a x a x −+=+++…++，则下列三个代数式①81ii a =∑ ②91ii a =∑ ③101ii a =∑，其值与a 无关的个数为（ ）（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个三、解答题：17．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）数列{}n a 中，11a =−，13n n a a λ+=+，n 是正整数，数列{}n a 的前n 项和n S ． （1）若1λ=，且140n S −<，求n 的值；（2）若3λ=，求证32n a+是等比数列，并求n a ．18．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）如图，已知四棱锥P ABCD −中，四边形ABCD 是边长为4的菱形，3PA =． （1）若四棱锥P ABCD −是正四棱锥，求四棱锥P ABCD −的体积V ；（2）若AP ⊥平面PCD ，17BP AD ⋅=，求PC 的长．19．（本题满分14分，第1小题4分，第2小题10分）某电视综艺频道组织的闯关游戏，游戏规定：采用双败淘汰制，即失败一次可继续闯关，失败两次被淘汰；游戏共三关，闯关者成功闯过第一关得3分，成功闯过第二关得3分，成功闯过第三关得4分．现有一位参加游戏者单独闯第一关、第二关、第三关成功的概率分别为12、13、14，记该参加者闯三关所得总分为ξ． （1）求该参加者有资格去闯第三关的概率； （2）求ξ的分布列和数学期望．20．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）如图1，已知抛物线τ的方程为2x y =，直线l 的方程为1y kx =+，直线l 交抛物线τ于()11,A x y 、()22,B x y 两点（12x x <），O 为坐标原点．（1）若0k =，求△AOB 的面积的大小； （2）∠AOB 的大小是否是定值？证明你的结论；（3）如图2，过点A 、B 分别作抛物线的切线AP 和BP （两切线交点为P ），AP ，BP 分别与x 轴交于M ，N ，求△MNP 面积的最小值．图1 图221．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）定义：设()y f x =和()y g x =均为定义在R 上的函数，它们的导函数分别为()f x ′和()g x ′，若不等式()()()()0f x g x f x g x ′′−−≤ 对任意实数x 恒成立，则称()y f x =和()y g x =为“相伴函数”．（1）给出两组函数，①()11xf x e =和()10g x = ②()2xf x e =和()2g x x =，分别判断这两组函数是否为“相伴函数”（只需直接给出结论，不需论证）；（2）若()y f x =、()y g x =是定义在R 上的可导函数，()y f x =是偶函数，()y g x =是奇函数，()()()ln 1x f x g x e x −+=++，证明：()y f x =和()y g x =为“相伴函数”；（3）()()sin f x x θ=+，()()cos g x x θ=−，写出“()y f x =和()y g x =为相伴函数”的充要条件，证明你的结论．6高三第一学期月练习二数学答案一、填空题：（本大题满分54分，1-6小题每小题4分，7-12小题每小题5分） 1．[]1,1−2．343．2−4．145．()1,6−6．1aa− 7．28．3 9．110．4a CB ⋅=−11．1− 12．(][),80,−∞−+∞二、选择题： 13．A14．A15．B16．D三、解答题：17．（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分） 解：（1）13n n a a +−=，所以{}n a 是公差为3的等差数列，()()1132n n n S n −=−+×，所以2352n n nS −=（4分）2351402n n −−<，所以743n −<<，所以1n =或2n =或3n = （7分）（2）133n n a a +=+，131022a +=≠， 133332233322n n n n a a a a ++++==++，所以32n a + 是等比数列 （4分）131322n n a −+=×，所以1332n n a −−= （7分）18．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 解：（1）作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，因为四棱锥P ABCD −是正四棱锥，所以O 为正方形ABCD 中心，12AOAC ==，所以1PO == （3分） 所以2111641333ABCD V S PO =×=××=（6分）7（2）AP ⊥平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以AP ⊥CD ， 而AB ∥CD ，所以AB ⊥AP ，（9分） 222PB PA AB =+，所以5PB =（11分）17BP AD ⋅= ，BC AD = ，所以17BP BC ⋅= 即cos 17BP BC PBC ∠=所以222222cos 542177PC BP BC BP BC PBC +−×××∠+−×所以PC =（14分）19．（本题满分14分，第1小题4分，第2小题10分） 解：（1）112111233P =−−−= （4分）()111011233P ξ ==−−= ()1111113311112342348P ξ ==×−×−+−××−=()1111612348P ξ ==××−= ()11111117112342348P ξ ==×−×+−××= ()11111023424P ξ==××=03671013111388824（12分）（其中0ξ=，10ξ=各1分，其余各2分）8数学期望196E ξ=（14分）20．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 解：（1）1y =，11x =−，21x =，所以△AOB 的面积为1．（4分） （2）由（1）中发现△AOB 为等腰直角三角形，猜测90AOB ∠=° （6分）证明：2212121212OA OB x x y y x x x x ⋅=+=+ ， 21y kx y x=+ = 得210x kx −−=，即121x x =−， 所以110OA OB ⋅=−+=，所以90AOB ∠=°为定值 （10分）（3）()211,A x x ，()222,B x x ，对函数2y x =求导得到2y x ′=， 所以AP 方程为()21112y x x x x −=−，整理得2112y x x x =−（12分）同理BP 方程为2222y x x x =− 分别令0y =得到1,02x M，2,02x N（13分）21122222y x x x y x x x =− =− ，解得1212,2x x P x x +（15分）由第（2）小题，210x kx −−=，得到12121x x k x x +==−所以121212144x x x x Sx x −−==≥ 所以△MNP 面积的最小值为1（18分）21．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 解：（1）第①组是，第②组不是（4分）（2）()()()ln 1x f x g x e x −+−=+−，()()f x f x −=，()()g x g x −=−，9所以()()()ln 1x f x g x e x −=+−（7分）()()ln 1ln x x e e x +>=，所以()()0f x g x −>()()()()()1ln 11011x x x x e f x g x f x g x e x e e ′′ ′′−=−=+−=−=−< ++ 因此()()()()0f x g x f x g x ′′−−≤ 成立， 即()y f x =和()y g x =为“相伴函数”（10分）（3）“()y f x =和()y g x =为相伴函数”的充要条件是()4k k Z πθπ=+∈（12分）充分性：已知()4k k Z πθπ=+∈则()()sin sin 4f x x x k πθπ=+=++，()()cos cos cos 2442g x x x k x k k πππθπππ=−=−−=++−−sin 4x k ππ=++，此时()()f x g x =，所以()()()()0f x g x f x g x ′′−−=， 即()()()()0f x g x f x g x ′′−−≤ 成立，()y f x =和()y g x =为相伴函数（15分）必要性：已知()y f x =和()y g x =为相伴函数()()cos f x x θ′=+，()()sin g x x θ′=−− 所以()()()()sin cos cos sin 0x x x x θθθθ+−−++−≤ ，()()()()()()()sin cos sin cos cos cos sin x x x x x x x θθθθθθθ++−−−−+−−+ ()sin 0x θ−≤10()()sin 22sin 22cos 202x x x θθ+−−−≤cos 2sin 2cos 20x x θ−≤，即()cos 2sin 210x θ−≤，由于cos 2x 取遍[]1,1−内的所有实数，因此当且仅当sin 210θ−=时成立， 所以()4k k Z πθπ=+∈（18分）所以“()y f x =和()y g x =为相伴函数”的充要条件是()4k k Z πθπ=+∈。
2023年上海高一上册数学月考试题沪教版好题
2022~2023学年度高一年级12月份月考数学全卷满分：150分；考试时间：120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。
4．本卷主要考查内容：必修第一册第一章～第五章5.3。
第I卷(选择题)一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1．已知函数y=f(x−2)的定义域是[−2,6]，则y=√x+3的定义域是()A．(-3,+∞)B．[-4,+∞)C．(−3,4]D．[−2,6]2．下列说法中正确的是()A．命题p:∀x∈R，x2>0为真命题B．若命题p:1x−1>0，则¬p:1x−1≤0C．若p是q的充分不必要条件，则¬q是¬p的必要不充分条件D．不等式x2+ax+a>0的解集为R的充要条件是a∈(0,4)3．若x<54，则4x−2+14x−5的最大值是()A．1B．5C．−1D．−5 4．函数f(x)=e x−e−xx−x3的图象的大致形状为()A．B．C ．D ．5．砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形OCD 截去同心扇形OAB 所得图形，已知OA =0.2m ，AD =0.3m ，∠AOB =120°，则该扇环形砖雕的面积为( )A ．π5m 2B ．7π100m 2C ．π100m 2 D ．π10m 26．设a =−log 154,b =3lg2,c =0.5−0.2，则a,b,c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <b <aD ．c <a <b7．已知偶函数f (x )的定义域为R ，且对于任意x 1,x 2∈[0,+∞),(x 1≠x 2)均有f (x 2)−f (x 1)x 2−x 1>0成立，若f (1−a )>f (2a −1)，则实数a 的取值范围是( )A ．(−∞,0)∪(23,+∞) B ．(23,+∞)C ．(0,23)D ．(0,23]8． Logistic 函数是一种常见的S 形函数，它可以用来估计病毒的传播情况.忻州高级中学某学生对某地新冠肺炎爆发趋势用Logistic 函数建模研究后发现，从确诊第一名患者开始累计时间t (单位：天)与病情爆发系数f(t)之间，满足函数模型：f (t )=11+e 11−0.22t，据估算此时病情爆发系数为0.01，则此时t 约为( )(参考数据：e 4.6≈99)A ．28B ．40C ．29D ．30二、多选题(本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.) 9．双曲函数是数学中一类非常重要的函数，其中就包括双曲正弦函数：f(x)=e x−e−x2，双曲余弦函数：g(x)=e x+e−x2(e≈2.71828⋯⋯，为自然对数的底数)．下列关于f(x)与g(x)说法正确的是()A．f(x)在R上单调递增B． g(x)>1恒成立C．∀x∈R，−1≤f(x)g(x)≤1D．∀x,y∈R，都有f(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x)10．在下列所示电路图中，下列说法正确的是()A．如图①所示，开关L1闭合是灯泡M亮的必要不充分条件B．如图②所示，开关L1闭合是灯泡M亮的充分不必要条件C．如图③所示，开关L1闭合是灯泡M亮的充要条件D．如图④所示，开关L1闭合是灯泡M亮的既不充分也不必要条件11．已知θ∈(0,π),sinθ+cosθ=15，则下列结论正确的是()A．θ∈(0 ,π2)B．cosθ=−35C．tanθ=−34D．sin2θ+sinθcosθ=42512．定义在R上的函数f(x)满足f(2x)=2f2(x)−1，则下列结论正确的是() A．f(x)是偶函数B．f(x)≥−1恒成立C．f(x)是常数函数D．若存在a∈(1,+∞)，使得f(x)=a成立，则f(x)是单调递增函数第II卷(非选择题)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案写在题中横线上)13．已知函数f(x)=x3+x2−x+1x2+1在[−2023,2023]上的最大值为5，则f(x)的最小值为______.14．已知角β的终边上有一点P(cos(3π2−α),sin(α−π2))，其中α满足{α|2kπ+π2<α <(2k+1)π,k∈Z}，则角β为第______象限角．15．已知p：x≤k，q：1x+1≤1，若p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是______.16．已知f(x)=(e x−a−1)(ln(x+1)+a)，若f(x)只有一个零点，则实数a的取值范围是______.四、解答题(本大题共6小题，共70分，17题10分，其余各题12分)17．已知集合A={x|a−2＜x＜2a}，集合B={x|x2−5x+4<0}．(1)若A∩B=ϕ，求实数a的取值范围；(2)若A∪B=A，求实数a的取值范围．18．某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的浓度y(单位：毫克/立方米)随着时间x(单位：小时)变化如下图所示：当0≤x≤4时，y=a x−c；当4<x≤32时，y=5−log b x.若一次喷洒多个单位，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它能起到杀灭空气中的病毒的作用.(精确到0.01，参考数据：log23≈1.58)(1)若喷洒1个单位的消毒剂，求空气中释放的浓度随着时间变化的关系式.(2)若一次喷洒2个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？19 ．已知函数f(x)=ax2−(a+3)x+3(a>0)．(1)若对任意的x∈R，f(x)≥−1恒成立，求实数a的范围；(2)求关于x的不等式f(x)<0的解集．20．已知函数f(x)=log2(2x+1)+kx(k∈R)是偶函数．(1)求k的值；(2)若函数g(x)=f(x)−b有两个零点，求b的取值范围．21．已知函数f(x)是定义域在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=e x+x−1. (1)求函数f(x)的解析式；(2)若对任意的m∈[1,+∞),f(m2−mt)+f(tm +1m2)>0恒成立，求实数t的范围.22．对于函数f(x)，如果存在实数x0，使得f(x0)=m+x0成立，则称x0是函数f(x)关于参数m的不动点.(1) 若函数f(x)=lnx+4x−7有关于参数0的不动点x0∈[n,n+1),n∈Z，求n的值；(2) 当a∈(1,2)时，函数f(x)=log2(4x+a⋅2x+a−1)恒有关于参数m的不动点，求m的取值范围.。
2024年上海市奉贤区高一上学期期末练习数学试卷含详解
2023学年奉贤区第一学期高一数学练习卷一、填空题，考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.用描述法表示所有偶数组成的集合__________．2.函数2log (1)y x =+的定义域是______.3.若幂函数y x α=的图像经过点(，则此幂函数的表达式是___________.4.已知方程230x x +-=的两根为1x ，2x ，则12x x -=______.5.已知0a >=________.6.α：四边形ABCD 是正方形，β：四边形ABCD 的四个角都是直角，则α是β的______条件.7.不等式5331x x +-≤的解集用区间表示为______.8.如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB 与AC 的夹角为2π3，AB 的长为30cm ，贴纸部分BD 的长为20cm ，则贴纸部分的面积为______2cm.9.设a 、b 为正数，且a 与2b 的算术平均值为1，则a 与2b 的几何平均值最大值为______.10.在有声世界，声强级是表示声强度相对大小，其值为y （单位：dB （分贝）），定义为010lgIy I =.其中，I 为声场中某点的声强度，其单位为2W /m （瓦/平方米），122010W /m I -=为基准值．声强级60dB 的声强度60I 是声强级40dB 的声强度40I 的______倍.11.如图，在直角三角形ABC 中，90BAC ∠=，AD 垂直于斜边BC ，且垂足为D ，设BD 及CD 的长度分别为a 和()b a b ≠，E 是BC 的中点，点B 绕点E 顺时针旋转90后得到点F ，过D 点作DH 垂直于AE ，且垂足为H ．有以下三个命题：①由图知AD AE <2a b+<；②由图知AH AD <，即可以得到不等式2aba b <+；③由图知FE FD <，即可以得到不等式2a b +<；以上三个命题中真命题的是______.（写出所有正确命题的序号）12.如果函数()y f x =在区间[,]a b 上存在0[,]x a b ∈满足()0()()f b f a f x b a -=-，则0x 称为函数()y f x =在区间[,]a b 上的一个均值点．已知函数2133x x y m +=--在[0,1]上存在均值点，则实数m 的取值范围是______.二、选择题，每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.以下图形中，不是函数图象的是（）A.B.C.D.14.下列命题中正确的是（）A.若(0,π)α∈且210x x >>，则sin 211x x α⎛⎫< ⎪⎝⎭B.若(0,π)α∈且120x x >>，则cos 211x x α⎛⎫≥ ⎪⎝⎭C.若(0,π)α∈且210x x >>，则sin 211x x α⎛⎫> ⎪⎝⎭D .若(0,π)α∈且120x x >>，则cos 211x x α⎛⎫≤ ⎪⎝⎭15.某车辆装配车间每2h 装配完成一辆车.按照计划，该车间今天生产8h .从当天开始生产的时刻起经过的时间x （单位：h ）与装配完成的车辆数y （单位：辆）之间的函数表达式正确的是（）（数学上，常用[]x 表示不大于x 的最大整数．）A .2x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，[0,8]x ∈； B.[]2x y =，[0,8]x ∈；C.12y x =，[0,8]x ∈； D.2[]y x =，[0,8]x ∈.16.已知ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，且1a >，1b >，1c >，有以下2个命题：为边长的三角形一定存在；②以2log a 、2log b 、2log c 为边长的三角形一定存在；则下列选项正确的是（）A.①成立，②不成立；B.①不成立，②成立；C.①②都成立；D.①②都不成立.三、解答题，解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.要建造一面靠墙、且面积相同的两间相邻的长方形居室，如图所示.已有材料可建成的围墙总长度为30米，宽为x 米，居室总面积y 平方米.（1）若居室总面积不少于48平方米，求x 的取值范围；（2）当宽x 为多少米时，才能使所建造的居室总面积最大？18.已知a 为实数，集合{}1A x ax =<，{}12B x x =-<.（1）求集合A 、B ；（2）若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围.19.已知平面直角坐标系中，角α的顶点与坐标原点重合，角α始边与x 轴的正半轴重合，终边与一次函数1y x =-+的图像交于点(,)P m n .（1）当2m =-时，求sin cos αα⋅的值；（2）若πsin cos(π)123π4tan cot(π)2αααα⎛⎫+- ⎪⎝⎭=-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，求点P 的坐标.20.已知函数12x x b y a+=+（0b >且1b ≠）（1）若2a b ==，求函数的值域；（2）若0a =，是否存在正数b ，使得函数是偶函数，请说明理由.（3）若0a >，4b =，且函数在[)1,-+∞上是严格增函数，求实数a 的取值范围.21.定义：给定函数()y f x =，若存在实数m 、n ，当(1)f x -、(1)f x +、()f x 有意义时，(1)(1)()f x mf x nf x -++=总成立，则称函数()y f x =具有“*m n 性质”.（1）判别函数23y x =-是否具有“*m n 性质”，若是，写出m 、n 的值，若不是，说明理由；（2）求证：函数log a y x =（0a >且1a ≠）不具有“*m n 性质”；（3）设定义域为R 的奇函数()y f x =具有“1*0性质”，且当(0,1]x ∈时，()12,0,2112x x f x x ⎧⎛⎤-∈ ⎪⎥⎪⎝⎦=⎨⎛⎤⎪-+∈ ⎥⎪⎝⎦⎩，若对[4,4]x ∈-，函数()y f x tx =-有5个零点，求实数t 的取值范围.2023学年奉贤区第一学期高一数学练习卷一、填空题，考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.用描述法表示所有偶数组成的集合__________．【答案】{}2,x x n n Z=∈【分析】利用描述法的定义求解即可【详解】解：所有偶数组成的集合为{}2,x x n n Z =∈，故答案为：{}2,x x n n Z=∈2.函数2log (1)y x =+的定义域是______.【答案】(1,)-+∞【分析】由对数的真数大于零，即可求解.【详解】函数2log (1)y x =+有意义须，10,1x x +>>-，所以函数的定义域为(1,)-+∞.故答案为:(1,)-+∞.【点睛】本题考查函数的定义域，属于基础题.3.若幂函数y x α=的图像经过点(，则此幂函数的表达式是___________.【答案】32y x=【分析】将(代入函数求得α即可得出.【详解】将(代入函数得3α=，解得32α=，所以此幂函数的表达式是32y x =.故答案为：32y x =.4.已知方程230x x +-=的两根为1x ，2x ，则12x x -=______.【答案】【分析】由方程易知0∆>，根据根与系数的关系写出12x x +、12x x ，由12x x -=即可求值.【详解】由题设知：2141(3)130∆=-⨯⨯-=>，∴121x x +=-，123x x =-，∴12x x -=..5.已知0a >=________.【答案】34a【分析】根式形式化为分数指数幂形式再由指数运算化简即可.【详解】1113322224a a a a ⎛⎫⎛⎫=⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：34a .6.α：四边形ABCD 是正方形，β：四边形ABCD 的四个角都是直角，则α是β的______条件.【答案】充分不必要【分析】根据条件，利用充分条件与必要条件的判断方法即可得出结果.【详解】因为四边形ABCD 是正方形，由正方形的定义知，ABCD 的四个角都是直角，所以由α可以推出β，即α是β的充分条件，又四边形ABCD 的四个角都是直角时，四边形ABCD 可以为矩形，所以由β推不出α，即α不是β的必要条件，所以α是β的充分不必要条件，故答案为：充分不必要.7.不等式5331x x +-≤的解集用区间表示为______.【答案】[)3,1-【分析】根据条件，利用分数不等式的解法即可求出结果.【详解】由5331x x +-≤，得到2601x x +-≤，等价于(26)(1)0x x +-≤且1x ≠，所以31x -≤<，即[)3,1-，故答案为：[)3,1-.8.如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB 与AC 的夹角为2π3，AB 的长为30cm ，贴纸部分BD 的长为20cm ，则贴纸部分的面积为______2cm .【答案】800π3【分析】依题意可知求得大、小两部分扇形面积相减即可得出贴纸部分的面积.【详解】易知整个扇形纸扇完全打开后的面积为2112π30300π23S =⨯⨯=2cm ，未贴纸部分的扇形半径AD 的长为10cm ，该部分面积为2212π10010π233S =⨯⨯=2cm ；所以贴纸部分的面积为12100800300πππ33S S S =-=-=.故答案为：800π39.设a 、b 为正数，且a 与2b 的算术平均值为1，则a 与2b 的几何平均值最大值为______.【答案】1【分析】根据题意结合基本不等式运算求解.【详解】由题意可得：0,0a b >>，22a b +=，可知a 与2b 2212a ba b +⋅≤=，当且仅当21a b ==时等号成立，所以a 与2b 的几何平均值最大值为1.故答案为：1.10.在有声世界，声强级是表示声强度相对大小，其值为y （单位：dB （分贝）），定义为010lg Iy I =.其中，I 为声场中某点的声强度，其单位为2W /m （瓦/平方米），122010W /m I -=为基准值．声强级60dB 的声强度60I 是声强级40dB 的声强度40I 的______倍.【答案】100【分析】根据题意结合对数运算可得答案.【详解】由题意可得：6004006010lg 4010lg I I I I ⎧=⋅⎪⎪⎨⎪=⋅⎪⎩，解得660044001010I I I I ⎧=⎨=⎩，所以6604401010010I I ==.故答案为：100.11.如图，在直角三角形ABC 中，90BAC ∠= ，AD 垂直于斜边BC ，且垂足为D ，设BD 及CD 的长度分别为a 和()b a b ≠，E 是BC 的中点，点B 绕点E 顺时针旋转90 后得到点F ，过D 点作DH 垂直于AE ，且垂足为H ．有以下三个命题：①由图知AD AE <2a b+<；②由图知AH AD <，即可以得到不等式2aba b<+；③由图知FE FD <，即可以得到不等式2a b +<；以上三个命题中真命题的是______.（写出所有正确命题的序号）【答案】①②③【分析】根据图形由直角三角形相似可分别计算出各边长，可得=AD ，2a bAE +=，2ab a bAH =+，FD =.【详解】由题意利用三角形相似可得AD CDBD AD=，即得=AD ，易知122a b AE BC +==，又a b ¹，所以由AD AE <2a b+<；即①正确；在ADE V 中，易知2a b DE -=，所以可得22a b AD DE a b DH a b AE a b -⋅-===⋅++由三角形相似可得AH ADDH DE=，所以22b AD DH A H D a bab a b a b E a -=-⋅==++，由AH AD <可得2aba b <+，即②正确；易知2F bE BE a =+=，利用勾股定理可得F D ===，所以由FE FD <，即可以得2222a b a b ++<，即③正确；故答案为：①②③12.如果函数()y f x =在区间[,]a b 上存在0[,]x a b ∈满足()0()()f b f a f x b a-=-，则0x 称为函数()y f x =在区间[,]a b 上的一个均值点．已知函数2133x x y m +=--在[0,1]上存在均值点，则实数m 的取值范围是______.【答案】17,24⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【分析】先求出(1)(0)10f f --，由此列方程，再利用换元法以及函数与方程的思想求得实数m 的取值范围.【详解】根据题意由()2133xx f x m +=--可得()13(1)(0)21010m m f f -----==--；函数2133x x y m +=--在[0,1]上存在均值点，即方程21332x x m +--=在[0,1]上有解，设[]31,3xt =∈，则有2320t t m ---=在[]1,3上有解；即232m t t =--，因此函数y m =与232y t t =--图象有交点，而二次函数232y t t =--对称轴为32t =，其在[]1,3上的值域为17,24⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，所以可得实数m 的取值范围是17,24⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.故答案为：17,24⎡⎤--⎢⎥⎣⎦二、选择题，每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.以下图形中，不是函数图象的是（）A. B.C.D.【答案】A【分析】利用函数定义逐一判断选项中自变量与函数值的对应关系即可得出结论.【详解】根据函数定义，对于每一个自变量都有唯一确定的函数值与之对应，A 选项中存在一个自变量对应两个函数值，所以A 不是函数图象.故选：A14.下列命题中正确的是（）A.若(0,π)α∈且210x x >>，则sin 211x x α⎛⎫< ⎪⎝⎭B.若(0,π)α∈且120x x >>，则cos 211x x α⎛⎫≥ ⎪⎝⎭C.若(0,π)α∈且210x x >>，则sin 211x x α⎛⎫> ⎪⎝⎭D.若(0,π)α∈且120x x >>，则cos 211x x α⎛⎫≤ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】利用指数函数的性质及三角函数在()0,π上函数值的正负，再结合选项的条件，逐一分析即可得出结果.【详解】因为210x x >>，所以211x x >，又(0,π)α∈，所以sin 0α>，故sin 211x x α⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以选项A 错误，选项C正确；因为120x x >>，所以2101x x <<，又(0,π)α∈，当π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0α>，此时cos 211x x α⎛⎫< ⎪⎝⎭，当π2α=时，cos 0α=，此时cos 211x x α⎛⎫= ⎪⎝⎭，当π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0α<，此时cos 211x x α⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以选项B 和D均错误，故选：C.15.某车辆装配车间每2h 装配完成一辆车.按照计划，该车间今天生产8h .从当天开始生产的时刻起经过的时间x （单位：h ）与装配完成的车辆数y （单位：辆）之间的函数表达式正确的是（）（数学上，常用[]x 表示不大于x 的最大整数．）A.2x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，[0,8]x ∈；B.[]2x y =，[0,8]x ∈；C.12y x =，[0,8]x ∈； D.2[]y x =，[0,8]x ∈.【答案】A【分析】根据条件知当[)0,2x ∈时，0y =，再对选项B 、C 、D 逐项分析，即可判断出选项B 、C 、D 不正确，即可得出结果.【详解】因为车间每2h 装配完成一辆车，所以当[)0,2x ∈时，0y =，[)2,4x ∈时，1y =，[)4,6x ∈时，2y =，[)6,8x ∈时，3y =，4x =时，4y =，所以选项A 正确，对于选项B ，当[)1,2x ∈时，12y =，所以选项B 错误，对于选项C ，当[)0,2x ∈时，[)0,1∈y ，所以选项C 错误，对于选项D ，当[)1,2x ∈时，2y =，所以选项D 错误，故选：A.16.已知ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，且1a >，1b >，1c >，有以下2个命题：为边长的三角形一定存在；②以2log a 、2log b 、2log c 为边长的三角形一定存在；则下列选项正确的是（）A.①成立，②不成立；B.①不成立，②成立；C.①②都成立；D.①②都不成立.【答案】A【分析】对于①：根据三角形的性质结合作差法分析判断；对于②：举反例结合对数运算判断.【详解】不妨设1a b c ≥≥>，则b c a +>，即0b c a +->，1≥≥>，则>>，因为220b c a -=+-+>对于②：例如3,a b c ===,,a b c a c b b c a +>+>+>，符合题设，但222222log log log log log 3log b c a +===，所以2log a 、2log b 、2log c 不能构成三角形，故②错误；故选：A.三、解答题，解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.要建造一面靠墙、且面积相同的两间相邻的长方形居室，如图所示.已有材料可建成的围墙总长度为30米，宽为x 米，居室总面积y 平方米.（1）若居室总面积不少于48平方米，求x 的取值范围；（2）当宽x 为多少米时，才能使所建造的居室总面积最大？【答案】（1）28x ≤≤（2）5【分析】（1）根据条件，得到长方形的长为1(303)2x -米，且010x <<，从而得到2303y x x =-，再根据条件建立不等关系230348x x -≥，即可求出结果；（2）由23(5)75y x =--+，利用二次函数的性质即可求出结果.【小问1详解】由题知长方形的长为1(303)2x -米，所以212(303)3032y x x x x =⨯-=-，由3030x ->，得到010x <<，由48y ≥，得到230348x x -≥，即210160x x -+≤，解得28x ≤≤，所以x 的取值范围为28x ≤≤.【小问2详解】由（1）知223033(5)75y x x x =-=--+，又010x <<，所以当5x =时，y 有最大值为75平方米.18.已知a 为实数，集合{}1A x ax =<，{}12B x x =-<.（1）求集合A 、B ；（2）若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围.【答案】（1）当0a =时，R A =，当0a >时，1A x x a ⎧⎫=<⎨⎩⎭，当a<0时，1A x x a ⎧⎫=>⎨⎩⎭；{}13B x x =-<<（2）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）对于集合A ，分类讨论即可；对于集合B ，解不等式12x -<即可求解；（2）对集合A 进行分类讨论，由A B A ⋃=可知B A ⊆，求解实数a 的取值范围即可.【小问1详解】对于集合{}1A x ax =<，当0a =时，R A =，当0a >时，1A x x a ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，当a<0时，1A x x a ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭.对于集合{}12B x x =-<，解不等式12x -<得：212x -<-<，即13x -<<，所以{}13B x x =-<<【小问2详解】由A B A ⋃=，可知B A ⊆.当0a =时，R A =，{}13B x x =-<<，此时B A ⊆，符合题意；当0a >时，1A x x a ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，{}13B x x =-<<，要使得B A ⊆，则13a ≥，所以103a <≤.当a<0时，1A x x a ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭.{}13B x x =-<<,要使得B A ⊆，则11a≤-，所以10a -≤<.综上所述：实数a 的取值范围为：11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.19.已知平面直角坐标系中，角α的顶点与坐标原点重合，角α始边与x 轴的正半轴重合，终边与一次函数1y x =-+的图像交于点(,)P m n .（1）当2m =-时，求sin cos αα⋅的值；（2）若πsin cos(π)123π4tan cot(π)2αααα⎛⎫+- ⎪⎝⎭=-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，求点P 的坐标.【答案】（1）613-（2）31,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或3122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据题意可得1tan m mα-=，结合齐次式问题分析求解；（2）根据诱导公式结合同角三角关系可得3tan 3α=±，结合三角函数的定义分析求解.【小问1详解】由题意可得：(,1),0P m m m -≠，可得1tan mmα-=若2m =-，则33tan 22α==--，所以22223sin cos tan 62sin cos sin cos tan 113312αααααααα-⋅⋅====-++⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.【小问2详解】因为()2222π1sin cos(π)cos cos tan 12tan 113πcot cot tan 14tan cot(π)tan 2αααααααααααα⎛⎫+- ⎪⋅-⎝⎭+==-=-=-⋅+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，可得3tan 3α=±，即133m m -=±，解得332m =或332m +=，所以点P的坐标为31,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或31,22⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭.20.已知函数12x x b y a+=+（0b >且1b ≠）（1）若2a b ==，求函数的值域；（2）若0a =，是否存在正数b ，使得函数是偶函数，请说明理由.（3）若0a >，4b =，且函数在[)1,-+∞上是严格增函数，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）4b =；（3）3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【分析】（1）利用分离常数法由指数函数值域即可求出该函数值域为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭,（2）由函数奇偶性定义即可解得4b =，（3）利用函数单调性定义并根据基本不等式计算即可求得实数a 的取值范围是3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【小问1详解】若2a b ==可得函数2122111222222x x x x x y ++-===-+++，由指数函数值域易知()222,x +∈+∞，所以110,222x ⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭，因此可得111,1222x ⎛⎫-∈ ⎪+⎝⎭，即该函数的值域为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭；【小问2详解】若0a =，则函数12x x b y +=，显然定义域为R ，假设存在正数b ，使得函数是偶函数，即满足1122x x x x b b --++=，又易知()11121122x x xx x x x b b b b --++⋅+==，即可得()1212x x x x xb b b +⋅+=，即4x x b =，解得4b =，此时411222x x x x y =++=为偶函数，符合题意，所以存在正数4b =，使得函数是偶函数；【小问3详解】若0a >，4b =，则412x x y a+=+，取[)12,1,x x ∀∈-+∞，且12x x <则()()()()1212121212121222222414122212x x x x x x x x x x x x y y a a a a a +⎡⎤--⎣++-=-++=+⎦+++，若函数在[)1,-+∞上是严格增函数，则可知120y y -<,由于0a >，所以()()12220x x a a ++>，又易知12220x x -<，所以()121202221x x x x a +-++>在[)1,-+∞上恒成立即可，即12121222x x x x a +-+>+，因此求得1212max2212x x x x +⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭即可，因此12021x x +-+≤可不予考虑，只需考虑12021x x +-+>时成立即可；当12021x x +-+>，易知12121212112222x x x x x x x x +++⎛⎫-+≤== +⎝,显然y +=为减函数，所以113224⎛⎫⎛⎫≤= ⎝⎝++；当且仅当121x x ==-时，等号才成立，显然取不到等号，因此34a ≥.即实数a 的取值范围为3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.21.定义：给定函数()y f x =，若存在实数m 、n ，当(1)f x -、(1)f x +、()f x 有意义时，(1)(1)()f x mf x nf x -++=总成立，则称函数()y f x =具有“*m n 性质”.（1）判别函数23y x =-是否具有“*m n 性质”，若是，写出m 、n 的值，若不是，说明理由；（2）求证：函数log a y x =（0a >且1a ≠）不具有“*m n 性质”；（3）设定义域为R 的奇函数()y f x =具有“1*0性质”，且当(0,1]x ∈时，()12,0,2112x x f x x ⎧⎛⎤-∈ ⎪⎥⎪⎝⎦=⎨⎛⎤⎪-+∈ ⎥⎪⎝⎦⎩，若对[4,4]x ∈-，函数()y f x tx =-有5个零点，求实数t 的取值范围.【答案】（1）是，2,1m n ==（2）证明见解析（3）222,375⎛⎫⎧⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭U 【分析】（1）根据题意代入()23f x x =-整理得()()21310m n x m n ----+=，取系数为0即可得解；（2）根据题意代入log a y x =整理得(1)(1)m n x x x -+=，取值解m 即可判断；（3）根据题意分析函数的对称性和周期性，根据题意结合奇偶性可知()y f x =与y tx =在(]0,4内有2个不同的交点，数形结合处理问题.【小问1详解】函数23y x =-具有“*m n 性质”，因为(1)(1)()f x mf x nf x -++=，且()23f x x =-，则()()()21321323x m x n x ⎡⎤--++-=-⎣⎦，整理得()()21310m n x m n ----+=，可得()()210310m n m n ⎧--=⎪⎨--+=⎪⎩，解得21m n =⎧⎨=⎩，所以函数23y x =-是否具有“*m n 性质”，此时2,1m n ==.【小问2详解】假设函数log a y x =（0a >且1a ≠）具有“*m n 性质”，则log (1)log (1)log a a a x m x n x -++=，则10100x x x ->⎧⎪+>⎨⎪>⎩，解得01x <<，整理得log (1)(1)log m na a x x x -+=，则(1)(1)m n x x x -+=，取11,42x =，可得351444131222m nm n ⎧⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得95log 3m =；取11,93x =，可得8101999241333m nm n ⎧⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得85log 2m =；显然9855log 3log 2≠，即对任意()0,1x ∈，不存在实数m 、n 使得(1)(1)m n x x x -+=恒成立，假设不成立，所以函数log a y x =（0a >且1a ≠）不具有“*m n 性质”.【小问3详解】()y f x =具有“1*0性质”，则(1)(1)0f x f x -++=，可知()y f x =关于点()1,0对称，可得()(2)0f x f x -++=，即(2)()f x f x +=--又因为()y f x =为定义域为R 的奇函数，则()()f x f x =--，可得(2)()f x f x +=，即函数()f x 的周期为2，令()0y f x tx =-=，则()f x tx =，由题意可得：()y f x =与y tx =在[4,4]-内有5个不同的交点，注意到y tx =为奇函数，可知()0,0为()y f x =与y tx =的一个交点，由对称性可知：()y f x =与y tx =在(]0,4内有2个不同的交点，作出()f x 在[0,4]内的图象，当y tx =过()1.5,1时，可得23t =；当y tx =过()2.5,1-时，可得25t =-；当y tx =过()3.5,1时，可得27t =；结合图象可知：实数t 的取值范围为222,375⎛⎫⎧⎫-⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭U .【点睛】易错点睛：利用数形结合求方程解应注意两点1.讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性、否则会得到错解；2.正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合．。
上海市奉贤中学上学期第一次月考
上海市奉贤中学高一上学期第一次月考数学试卷(集合与命题)一．填空题(3'10=30' )1. 若1{a2−a−1, a, −1}, 则a的值是2. 抛物线y=x2−3x+1的顶点在第象限3. 设全集U={x|x>−1},M={x|x>5},则C U M=4. 集合P={(x,y)|x+y= −1},Q={(x,y)|x−y=3}, 则P∩Q=5. 集合A={0,1,2,3,4,5},B={1,3,6,9},C={3,7,8},(A∩B)∪C=6. 集合A={x|ax−6=0},B={x|3x2−2x=0},且AB,则实数=7. 命题“若x>1且y<−3,则x−y>4”的逆否命题是8. 由①,②,③中的两个作条件一个作结论,可构造个真命题9. 设,,,如果,那么m,n的取值范围分别是10. 已知,且则的取值范围是11. (实验班学生做)设S={0,1,2,3,4,5},A是S的一个子集,当xA时,若x+1A,且x−1A则称x是A的一个孤立元素。
那么S的4元子集中,不含孤立元素的子集共有个二．选择题(4'5=20' )12. “x>y且a>b”是“ax−ay−bx+by>0”的A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件13. 对于集合A,B,若BA不成立,则下列理解正确的是( )A.集合B的任何一个元素都属于AB.集合B的任何一个元素都不属于AC.集合B中至少有一个元素属于AD.集合B中至少有一个元素不属于A14.设集合,,则()A.M=NB.MNC.NMD.M∩N=15. 如图I为全集,M,P,S是I的三个子集,则阴影部分所表示的集合是( )A.B.C.D.16. 设都是{x|0≤x≤1}的子集,如果b−a叫做集合{x|a≤x≤b}的长度,则集合的长度的最小值是( )A.B.C. D.三．解答题(8'2+9'4=50' )17. 已知集合A={a2,a+1,−3},B={a−3,2a−1,a2+1}, 若A∩B={−3},求A∪B18. 已知集合A={x|x2+px+q=0},B={x|x2−x+r=0}.若A∩B={−1},A∪B={−1,2,3}求实数p,q,r的值.19. 已知命题p:方程x2+4x+m−1=0有两个不等的负根；命题q:方程4x2+4x+m−2=0无实根.若p,q两命题一真一假,求m的取值范围.20. 已知集合A={x|1＜x＜3},B={x|2≤x≤4}(1)请定义一种新的集合运算Δ,使AΔB={x|1＜x＜2};(2)按(1)定义的运算,分别求出集合AΔ(AΔB)和BΔ(BΔA).(3)你可以得到怎样的结论,请用如右文氏图解释你的结论21. 若集合A1,A2满足A1∪A2=A,则称(A1,A2)为集合A的一种分拆,并规定：当且仅当A1=A2时,(A1,A2)与(A2,A1)为集合A的同一种分拆,(1)集合A={a,b}的不同分拆种数为多少？(2)集合A={a,b,c}的不同分拆种数为多少？(3)由上述两题归纳一般的情形: 集合A={a1,a2,a3,…a n}的不同分拆种数为多少？(不必证明)22. (实验班学生做)设集合A={(x,y)|y=ax+b},B={(x,y)|y=3x2+15},C={(x,y)|x2+y2≤144},问:是否存在实数a,b使得A∩B≠ 和(a,b)C同时成立23. (附加题)设集合(1)对于给定的整数m,n,如果满足,那么集合A中有几个元素?(2)如果整数m,n最大公约数为1,问是否存在x,使得都属于A,如果存在,请写出一个,如果不存在,请说明理由上海市奉贤中学高一上学期第一次月考数学试卷答案一．填空题(3'10=30' )1、若1{a2−a−1, a, −1}, 则a的值是 22、抛物线y=x2−3x+1的顶点在第三象限3、设全集U={x|x>−1},M={x|x>5},则C U M= (−1,5]4、集合P={(x,y)|x+y= −1},Q={(x,y)|x−y=3}, 则P∩Q= {(1,−2)}5、集合A={0,1,2,3,4,5},B={1,3,6,9},C={3,7,8},(A∩B)∪C= {1,3,7,8}6、集合A={x|ax−6=0},B={x|3x2−2x=0},且AB,则实数= 0或97、命题“若x>1且y<−3,则x−y>4”的逆否命题是若x−y≤4,则x≤1或y≥−38、由①,②,③中的两个作条件一个作结论,可构造 3 个真命题9、设,,,如果10、,那么m,n的取值范围分别是m>−1且n<511、已知,且则的取值范围是(实验班学生做)设S={0,1,2,3,4,5},A是S的一个子集,当xA时,若x+1A,且x −1A则称x是A的一个孤立元素。
精品解析：上海市奉贤区奉贤中学2024届高三上学期12月月考数学试题(解析版)
上海市奉贤区奉贤中学2024届高三上学期12月月考数学试题一､填空题：（本大题满分54分，1-6小题每小题4分，7-12小题每小题5分）1.函数y =的定义域是________.【答案】[]1,1-【分析】令被开方数大于等于0，解不等式求出定义域．【详解】y =要使函数有意义，需满足210x - 解得11x - 函数y =[]1,1-故答案为：[]1,1-【点睛】求函数的定义域，也不从开偶次方根的被开方数大于等于0；分母非0；对数函数的真数大于0底数大于0且不等于1等方面限制，属于基础题．2.已知0a >k a 形式，则k =__________.【答案】34【分析】利用根式转化为分数指数幂，再根据指数幂的运算法则即可.133224a a ⎛⎫==== ⎪⎝⎭.故答案为：34.3.已知复数()1i R z a a =+∈，其中i 是虚数单位，()Re i 2z =，则=a __________.【答案】2-【分析】先求得i z ，然后根据i z 的实部求得a .【详解】依题意，()i 1i i i z a a =+=-+，而()Re i 2z =，所以2,2a a -==-.故答案为：2-4.某校学生总人数为1000人，其中高三人数为300人，现采用分层抽样方式从全校学生中抽取20人参加一项活动，则高一高二的参加活动的总人数为__________.【答案】14【分析】根据分层抽样的知识求得正确答案.【详解】高一高二有1000300700-=人，所以高一高二的参加活动的总人数70020141000⨯=人.故答案为：145.{}{}2540,5,A xx x B y y x x A =+->==-∈∣∣，则A B ⋃=__________.【答案】()1,6-【分析】解二次不等式化简集合A ，进而化简集合B ，从而利用集合的并集运算即可得解.【详解】因为{}{}()2540151,5A xx x x x =+->=-<<=-∣，当15x -<<时，056x <-<，则{}{}()0,6065,B yy x A y x y ∈<<==-==∣∣，所以A B ⋃=()1,6-.故答案为：()1,6-.6.6log 2a =，则3log 2=__________（用a 表示）.【答案】1a a-【分析】根据对数运算求得正确答案.【详解】由于6log 20,1a =≠，所以()222221log 6log 23log 2log 31log 3a==⨯=+=+，所以211log 31a a a -=-=，所以31log 2aa =-.故答案为：1aa-7.已知函数()()()()()f x x a x b x c a b c =---<<为奇函数，函数()2g x ax bx c =++的图象与x 轴的交点为,A B ，则AB =__________.【答案】2【分析】根据()f x 的奇偶性和零点求得b 以及c a =-，由此求得()g x 与x 轴交点的横坐标，进而求得AB .【详解】由于()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00,0f abc abc =-==，令()0f x =，解得x a =或x b =或x c =，由于a b c <<，根据奇函数图象的对称性可知0b =，0,0a c <>，且c a =-.所以()()()2211g x ax bx c ax a a x x =++=-=+-，令()0g x =，解得1x =±，所以2AB =.故答案为：28.正三棱锥-P ABC 中，4,3PA AB ==，,,,E F G H 分别是,,,AB BC PC PA 的中点，则四边形EFGH 的面积为__________.【答案】3【分析】根据正三棱锥的性质与中位线得出四边形EFGH 为矩形，且32EF HG ==,2HG GF ==，即可计算得出答案.【详解】 三棱锥-P ABC 为正三棱锥，4PA =,3AB =,PB AC ∴⊥，4PB =,3AC =，,,,E F G H 分别是,,,AB BC PC PA 的中点，EF AC ∥∴，HG AC ∥，HE PB ，GF PB ，且1322EF HG AC ===,122HG GF PB ===EF HE ∴⊥，∴四边形EFGH 为矩形，∴四边形EFGH 的面积为3232⨯=，故答案为：3.9.ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,2a b c c b =则sin sin cos sin2AB C B=+__________.【答案】1【分析】根据正弦定理和余弦定理求得正确答案.【详解】依题意sin sin sin cos sin2sin cos 2sin cos A AB C B B C B B=++，由正弦定理、余弦定理得:sin sin cos 2sin cos AB C B B +222222222aa b c a c b b b ab ac =+-+-⋅+⋅222222442222aa b b a b b b b ab a b=+-+-⋅+⋅⋅222213322aaa b a b aa a===-++.故答案为：110.已知Rt ABC 的面积为6，斜边AB 长为6，设a 为CA 在AB 上的投影向量，a CB ⋅= ____.【答案】4-【分析】根据向量的投影、向量数量积等知识求得正确答案.【详解】依题意16,6,12,22abc ab ab c====.依题意，2CA AB AB CA AB a AB AB AB AB ⋅⋅=⋅=⋅ ,所以2CA AB a CB AB CB AB⋅⋅=⋅⋅()2cos πcos cos cos bc A c a B ab A B c ⋅-=⋅⋅=-24b a ab ab c c c ⎛⎫=-⋅⋅=-=- ⎪⎝⎭.故答案为：4-11.设过点(2,1)-的直线l 与椭圆22:14xC y +=交于M ，N 两点，已知点(0,1)A ，若直线AM与直线AN 的斜率分别为1k ，2k ，则12k k +=______．【答案】1-【分析】先根据题意假设直线l 的方程，联立椭圆C 的方程，由韦达定理得到12x x +，12x x ，从而利用斜率公式直接运算即可得解.【详解】因为椭圆22:14x C y +=，所以2,1a b ==，其右顶点为()2,0，下顶点为()0,1-，所以过点(2,1)-的直线l 的斜率存在且不为0和1-，设直线l 的方程为1(2)y k x +=-，即21y kx k =--，设()11,M x y ，()22,N x y ，点M ，N 的坐标均不为(0,1)±，联立2221,1,4y kx k x y =--⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()222148(21)16160k x k k x k k +-+++=，则()()2222Δ64(21)4141616640k k kkk k =+-++=->，解得0k <,因为Δ0>时，1228(21)14k k x x k ++=+，2122161614k kx x k +=+，所以()()1221121212121111y x y x y y k k x x x x -+---+=+=()()1221122222kx k x kx k x x x --+--=()12121222(1)kx x k x x x x -++=2222216168(21)22(1)14141161614k k k k k k k k k k k ++⋅-+⋅++==-++.故答案为：1-．【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.12.设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意实数x 有()()2f x f x x --=，且当()0,x ∈+∞时()1f x '<，若()()4,44m f m f m ≠-+≤+，则实数m 的取值范围是__________.【答案】][(),80,-∞-+∞【分析】构造函数()()g x f x x =-，结合已知得出()()0gx g x --=，即()g x 为偶函数，利用导数得出函数()g x 在()0,∞+上单调递减，所求不等式变形等价于()()()4444f m m f +-+≤-，即()()44g m g +≤，再结合单调性解不等式得出答案.【详解】 当()0,x ∈+∞时()1f x '<，∴当()0,x ∈+∞时()10f x '-<，令()()g x f x x =-，()()2f x f x x --= ，()()()()()()20g x g x f x x f x x f x f x x ∴--=---+=---=⎡⎤⎣⎦，()g x ∴为偶函数，当()0,x ∈+∞时()()10g x f x ''=-<，∴函数()g x 在()0,∞+上单调递减，()()4,44m f m f m ≠-+≤+ ，等价于，()()()4444f m m f +-+≤-，即()()44g m g +≤，则当40m +>时，即4m >-时，由函数()g x 在()0,∞+上单调递减，得44m +≥，解得0m ≥，当40m +<时，即4m <-时，40m -->由()g x 为偶函数，得()()()444g m g m g +=--≤，由函数()g x 在()0,∞+上单调递减，得44m --≥，解得8m ≤-，综上，m 的取值范围为][(),80,-∞-+∞ ，故答案为：][(),80,-∞-+∞ .【点睛】关键点睛：涉及给定含有导函数的不等式，根据不等式的特点结合求导公式和求导法则构造函数，再利用导数探求给定问题是解题的关键.二､选择题：（本大题满分18分，13-14小题每小题4分，15-16小题每小题5分）13.“ln 1x =”是“()2ln 2x =”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】A【分析】根据ln 1x =与()2ln 2x=的推出关系判断充分性与必要性是否成立.【详解】当ln 1x =时，e x =，则()()22ln ln e 2x ==，故充分性成立；当()2ln 2x=时，22e x=，则e x =±，故必要性不成立，所以“ln 1x =”是“()2ln 2x =”的充分非必要条件.故选：A14.小明在某比赛活动中已经进入前四强，他遇到其余四强的三人之一的获胜概率分别为0.3、0.4、0.65，若小明等可能遇到其他选手，获胜则进入决赛，反之被淘汰，则小明进入决赛的概率为（）A.0.45B.0.5C.0.55D.0.6【答案】A【分析】根据独立事件与互斥事件的概率计算公式得出答案.【详解】设小明遇到的三人分别为A ，B ，C ，则小明遇到三人的概率都为13，若小明与A 比赛获胜的概率为0.3，与B 比赛获胜的概率为0.4，与C 比赛获胜的概率为0.65，则小明进入决赛的概率为1110.30.40.650.45333⨯+⨯+⨯=，故选：A.15.P 为椭圆()22228103x y a a a+=>上一点，P 到左焦点F 的距离为2a ，则P 到原点O 的距离为（）A.34a B.104a C.74a D.2a 【答案】B【分析】先用a 表示c ，然后根据椭圆的定义判断出三角形PFF '是直角三角形，从而求得OP .【详解】椭圆2222813x ya a+=即2222138x y a a +=，所以c ==⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.P 到左焦点F 的距离为2a ，则P 到右焦点F '的距离为3222a a a -=，2222354222a a a c ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以三角形PFF '是直角三角形，且π2FPF '∠=，所以P 到原点O的距离124OP FF c ===='.故选：B16.已知()522910012910R,a x x aa a x a x a x a x ∈-+=+++⋯++，则下列三个代数式①81ii a =∑②91ii a =∑③101ii a =∑，其值与a 无关的个数为（）A.0个 B.1个C.2个D.3个【答案】D【分析】利用赋值法，结合二项式展开式等知识求得正确答案.【详解】依题意，()522910012910R,a x x aa a x a x a x a x ∈-+=+++⋯++，令0x =，得50a a =；令1x =，得50110a a a a =+++ ，所以1100a a ++= ，5105C 1a ==，所以1291a a a +++=- ，()495C 15a =⋅-=-，所以1284a a a +++= ，所以三个代数式①81ii a =∑②91ii a =∑③101ii a =∑的值都与a 无关.故选：D 三､解答题：17.数列{}n a 中，111,3,n n a a a n λ+=-=+是正整数，数列{}n a 的前n 项和n S .（1）若1λ=，且140n S -<，求n 的值；（2）若3λ=，求证32n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求n a .【答案】（1）1n =或2n =或3n =（2）证明见解析，1332n n a --=【分析】（1）根据13n n a a +-=得{}n a 是公差为3的等差数列，求出2352n n nS -=，再解140n S -<即可.（2）根据等比数列的定义可证32n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列从而得到n a .【小问1详解】当1λ=时，13n n a a +-=，()*1,Nn n ≥∈,所以{}na 是公差为3的等差数列，所以()()1132n n n S n -=-+⨯，所以2352n n nS -=，因为2351402n n--<，所以743n -<<，因为n 是正整数，所以1n =或2n =或3n =.【小问2详解】当3λ=时，113133,022n n a a a +=++=≠，因为133332233322n n n n a a a a ++++==++，()*1,N n n ≥∈，所以32n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，所以131322n n a -+=⨯，所以1332n n a --=.18.如图，已知四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是边长为4的菱形，3PA =.（1）若四棱锥P ABCD -是正四棱锥，求四棱锥P ABCD -的体积V ；（2）若AP ⊥平面,17PCD BP AD ⋅=，求PC 的长.【答案】（1）163（2）PC =【分析】（1）根据正四棱锥的结构特征，结合锥体的体积公式运算求解；（2）由垂直关系可得AB AP ⊥，由数量积可得cos 17∠⋅⋅=BP BC PBC ，在PBC 中，利用余弦定理运算求解.【小问1详解】因为四棱锥P ABCD -是正四棱锥，取正方形ABCD 的中心O ，则PO ⊥平面ABCD ，且AC ⊂平面ABCD ，可得PO AC ⊥，则12AO AC ==，1PO ==，所以四棱锥P ABCD -的体积2111641333ABCD V S PO =⨯=⨯⨯=.【小问2详解】因为AP ⊥平面,PCD CD ⊂平面PCD ，所以AP CD ⊥，而AB ∥CD ，所以AB AP ⊥，由222PB PA AB =+，可得5PB =，又因为17,BP AD BC AD ⋅== ，则cos 17∠=⋅⋅⋅=uur uuu rBP BC BP BC PBC ，在PBC 中，由余弦定理可得：222222cos 542177PC BP BC BP BC PBC ∠=+-⨯⨯⨯=+-⨯=，所以PC =19.电视台综艺频道组织的闯关游戏，游戏规定前两关至少过一关才有资格闯第三关，闯关者闯第一关成功得3分，闯第二关成功得3分，闯第三关成功得4分．现有一位参加游戏者单独闯第一关、第二关、第三关成功的概率分别为12、13、14，记该参加者闯三关所得总分为ξ.（1）求该参加者有资格闯第三关的概率；（2）求ξ的分布列和数学期望．【答案】（1）23（2）ξ的分布列见解析，()196E ξ=【分析】（1）利用事件的独立性即可求解；（2）根据分布列的计算步骤即可求解分布列，利用数学期望的计算公式即可求解期望.【小问1详解】设该参加者单独闯第一关、第二关、第三关成功的概率分别为112p =，213p =，314p =，该参加者有资格闯第三关为事件A ．则1212121211112()(1)(1)2323233P A p p p p p p =-+-+=⨯+⨯+⨯=．【小问2详解】由题意可知，ξ的可能取值为0，3，6，7，10，()()()12121011233P p p ξ==--=⨯=，123123113(3)(1)(1)(1)(1)488P p p p p p p ξ==--+--=+=，1231(6)(1)8P p p p ξ==-=，123123111(7)(1)(1)12248P p p p p p p ξ==-+-=+=，1231(10)24P p p p ξ===，所以ξ的分布列为ξ36710p13381818124所以ξ的数学期望()13111190367103888246E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.20.如图1，已知抛物线τ的方程为2x y =，直线l 的方程为1y kx =+，直线l 交抛物线τ于()()1122,,A x y B x y ､两点()12,x x O <为坐标原点.（1）若0k =，求AOB 的面积的大小；（2）AOB ∠的大小是否是定值？证明你的结论；（3）如图2，过点A B ､分别作抛物线的切线AP 和BP （两切线交点为P ），,AP BP 分别与x 轴交于,M N ，求MNP △面积的最小值.【答案】（1）1（2）是定值，证明见解析（3）1【分析】（1）求得,A B 的坐标，进而求得AOB 的面积.（2）通过证明0OA OB ⋅=来得到AOB ∠的大小是定值.（3）利用导数求得切线方程，求得,,M N P 的坐标，进而求得MNP △面积的表达式，并根据二次函数的性质求得其最小值.【小问1详解】当0k =时，直线l 的方程为1y =，由21x y y ⎧=⎨=⎩解得121,1,1y x x ==-=，所以AOB 的面积为12112⨯⨯=.【小问2详解】由（1）中发现AOB 为等腰直角三角形，猜测AOB 90∠= .证明：2212121212OA OB x x y y x x x x ⋅=+=+ ，21y kx y x=+⎧⎨=⎩得210x kx --=，即121x x =-，240k ∆=+>，所以110OA OB ⋅=-+=，所以AOB 90∠= 为定值.【小问3详解】()()221122,,,A x x B x x ，对函数2y x =求导得到2y x '=，所以AP 方程为()21112y x x x x -=-，整理得2112y x x x =-，同理BP 方程为2222y x x x =-，分别令0y =得到12,0,,022x x M N ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，21122222y x x x y x x x ⎧=-⎨=-⎩，解得1212,2x x P x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭，由第（2）小题，210x kx --=，得到12121x x k x x +=⎧⎨=-⎩，所以12121241444x x x x S x x --===≥，所以MNP △面积的最小值为1.【点睛】求直线和圆锥曲线交点的坐标，可以通过联立方程组来进行求解，如果含有参数，则可以考虑利用根与系数关系来对问题进行求解，此时如果直线和圆锥曲线有两个不同的公共点，则需要利用判别式来进行确认.21.定义：设()y f x =和()y g x =均为定义在R 上的函数，它们的导函数分别为()f x '和()g x '，若不等式()()()()0f x g x f x g x ⎡⎤⎡⎤-''-≤⎣⎦⎣⎦对任意实数x 恒成立，则称()y f x =和()y g x =为“相伴函数”.（1）给出两组函数，①()11e xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭和()10g x =②()2e x f x =和()2g x x =，分别判断这两组函数是否为“相伴函数”（只需直接给出结论，不需论证）；（2）若()()y f x y g x ==､是定义在R 上的可导函数，()y f x =是偶函数，()y g x =是奇函数，()()()ln e 1x f x g x x -+=++，证明：()y f x =和()y g x =为“相伴函数”；（3）()()()()sin ,cos f x x g x x θθ=+=-，写出“()y f x =和()y g x =为相伴函数”的充要条件，证明你的结论.【答案】（1）第（1）组是，第（2）组不是（2）证明见解析（3）()ππZ 4k k θ=+∈，证明见解析【分析】（1）根据“相伴函数”的定义进行分析，从而作出判断.（2）根据“相伴函数”的定义进行分析，结合函数的奇偶性证得结论成立.（3）根据“相伴函数”的定义进行分析，结合充分、必要条件的知识确定正确答案.【小问1详解】第（1）组是，第（2）组不是.①()11e xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭和()10g x =，()()11e ,0x f x g x -''=-=，()()()()2e 0x f x g x f x g x -⎡⎤⎡⎤--=-≤⎣⎦⎣⎦''，所以这两组函数是“相伴函数”.②()2e xf x =和()2g x x =，()()22e ,1x f x g x ''==，()()()()()()e e 1x xf xg x f x g x x ⎡⎤⎡⎤--=-⎣⎦⎣⎦'-'不一定为非正数，所以这两组函数不是“相伴函数”.【小问2详解】()()()()()()()ln e 1,,x f x g x x f x f x g x g x -+-=+--=-=-，所以()()()ln e 1x f x g x x -=+-()()ln e 1ln e x x x +>=，所以()()0f x g x ->()()()()()''e 1[]ln e 110e 1e 1x x x x f x g x f x g x x ⎡⎤-=-=+'-=-=-<⎣+'⎦+因此()()()()0f x g x f x g x ⎡⎤⎡⎤-''-≤⎣⎦⎣⎦成立，即()y f x =和()y g x =为“相伴函数”.【小问3详解】“()y f x =和()y g x =为相伴函数”的充要条件是()ππZ 4k k θ=+∈充分性：已知()ππZ 4k k θ=+∈则()()πsin sin π4f x x x k θ⎛⎫=+=++⎪⎝⎭，()()ππππcos cos πcos π2πsin π4424g x x x k x k k x k θ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=++--=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，此时()()f x g x =，所以()()()()0f x g x f x g x ⎡⎤⎡⎤-''-=⎣⎦⎣⎦，即()()()()0f x g x f x g x ⎡⎤⎡⎤-''-≤⎣⎦⎣⎦成立，()y f x =和()y g x =为相伴函数必要性：已知()y f x =和()y g x =为相伴函数()()()()cos ,sin f x x g x x θθ'=+=--'所以()()()()sin cos cos sin 0x x x x θθθθ⎡⎤⎡⎤+--++-≤⎣⎦⎣⎦，()()()()()()()()sin cos sin cos cos cos sin sin 0x x x x x x x x θθθθθθθθ⎡⎤++----+--+-≤⎣⎦()()sin 22sin 22cos202x x x θθ+---≤，cos2sin2cos20x x θ-≤，即()cos2sin210x θ-≤，由于cos2x 取遍[]1,1-内的所有实数，因此当且仅当sin210θ-=时成立，所以()ππZ 4k k θ=+∈，所以“()y f x =和()y g x =为相伴函数”的充要条件是()ππZ 4k k θ=+∈.【点睛】解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.。
2023-2024学年上海市奉贤区四校联考高一上学期期中数学试题
2023-2024学年上海市奉贤区四校联考高一上学期期中数学试题1.对数式log 2(1−3x)中x 的取值范围为______． 2.已知集合A =(−2,2),B =(−3,−1)，则A ∪B =______． 3.已知log 2x =−1，则x =______． 4.若幂函数y =x a 的图像经过点(3,√3)，则此幂函数的表达式为y =___________. 5. 用有理数指数幂的形式表示a 3·√a 34（其中a >0）____________.6. 不等式3x 2−4x >127的解集为______．7. 下列幂函数在区间(0,+∞)上是严格增函数，且图像关于原点成中心对称的有______．（请填入全部正确的序号）①y =x 13；②y =x 12；③y =x 53；④y =x −138. 若x >0时，指数函数y =(2a 2−1)x 的值总小于1，则实数a 的取值范围为______．9. 不等式组{(2x −3)(3x +2)≤0x −a >0无解，则实数a 的取值范围是________． 10. 设log 0.2a >0,log 0.2b >0,且log 0.2a ·log 0.2b =1，则log 0.2(ab)的最小值为______．11. 某服装公司生产的衬衫每件定价160元，在某城市年销售10万件．现该公司计划在该市招收代理来销售衬衫，以降低管理和营销成本．已知代理商要收取的代理费为总销售金额的r%（每100元销售额收取r 元），且r 为正整数．为确保单件衬衫的利润保持不变，服装公司将每件衬衫价格提高到1601−r%元，但提价后每年的销售量会减少0.62r 万件．若为了确保代理商每年收取的代理费不少于65万元，则正整数r 的取值组成的集合为______．12. 已知函数y =ax+1x+2(a ∈R)，若该函数在区间[a,+∞)上是严格减函数，且函数值不恒为负，则实数a 的取值范围为______．13. 如果a <0<b ，那么下列不等式中成立的是（ ）A ． √−a <√bB ． a 2<b 2C ． a 3<b 3D ． ab >b 2 14. 若a >0,a ≠1,M >0,N >0，下列运算正确的是（ ）A ． log a √M N =1N log a MB ． (log a M)N =Nlog a MC ． (log a M)÷(log a N)=log a (M −N)D ． (log a M)+(log a N)=log a (M +N) 15. 设a 、b ∈R ，“a =0”是“方程ax =b 的解集为R ”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件16. 关于x 的不等式ax 2+bx +c <0的解集为(−∞,−2)∪(3,+∞)，则下列说法正确的个数是（ ）个.①a <0；②关于x 的不等式bx +c >0的解集为(−∞,−6)；③a +b +c >0；④关于x 的不等式cx 2−bx +a >0的解集为(−∞,−13)∪(12,+∞).A ．1B ．2C ．3D ．4 17. （1）设x,y ∈R ，用反正法证明：若x +y >2，则x >1或y >1．（2）设a ∈R ，比较(a +1)2与a 2−a +1的值的大小．18.已知方程x2+6mx+9m−2=0，且x1，x2是方程的两个不同的实数根．(1)若m=1，求1x1+1x2的值；(2)若m∈R，且x12+x22<4，求m取值范围．19.某新建居民小区欲建一面积为700m2的矩形绿地，并在绿地四周铺设人行道．设计方案为：绿地外南北两侧人行道宽3m，东西两侧人行道宽4m，如图所示（单位：m），人行道的占地面积为Sm2．(1)设矩形绿地的南北侧边长为xm，试写出S关于x的函数关系式．(2)如何设计绿地的边长，才能使人行道的占地面积最小？（结果精确到0.1m）20.（1）已知集合A={x∣|x−a∣<2},B={x|2x−1x+2<1}，且A⊆B，求实数a的取值范围；（2）已知集合A={x|x2−2x−3>0},B={x|x2+px+q≤0}，若A∪B=R且A∩B= [−2,−1)，求p+q的值；（3）已知k∈R，当k变化时，求不等式(kx−k2−4)(x−4)>0的解集．21.已知集合A为非空数集，定义：S={x|x=a+b,a,b∈A}，T={x|x=|a−b|,a,b∈A}（实数a，b可以相同）(1)若集合A={2,5}，直接写出集合S、T；(2)若集合A={x1,x2,x3,x4}，x1<x2<x3<x4，且T=A，求证：x1+x4=x2+x3；(3)若集合A⊆{x|0≤x≤2021,x∈N}，S∩T=∅，记|A|为集合A中元素的个数，求|A|的最大值．。
2022-2023学年上海市奉贤区致远高一年级上册学期12月月考数学试题【含答案】
2022-2023学年上海市奉贤区致远高级中学高一上学期12月月考数学试题一、填空题1．函数()2ln 3y x =-的定义域为______．【答案】((),3,-∞+∞【分析】直接利用对数函数的真数大于零得到答案.【详解】()2ln 3y x =-定义域满足：230x ->解得x >x <，所以函数()2ln 3y x =-的定义域为((),3,-∞+∞故答案为：((),3,-∞+∞2．若等式()()2122ax bx x x +=-++恒成立，则常数a 与b 的和为______.【答案】2【分析】整式型函数恒为0，则各项系数均同时为零是本题入手点.【详解】等式()()2122ax bx x x +=-++恒成立，即()()2110a x b x -+-=恒成立，则有1010a b -=⎧⎨-=⎩，解之得11a b =⎧⎨=⎩，故112a b +=+=故答案为：23．设集合(),5P =-∞，[),Q m =+∞，若P Q =∅，则实数m 的取值范围是______. 【答案】5m ≥【分析】由交集和空集的定义解之即可. 【详解】(),5P =-∞，[),Q m =+∞ 由P Q =∅可知，5m ≥ 故答案为：5m ≥4．设方程22510x x -+=的两根为12,x x ，则1211x x +=__________.【答案】5【分析】由韦达定理得出根与系数关系，化简即可求解.【详解】由22510x x -+=得12125212x x x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，则1212125112512x x x x x x ++===⋅.故答案为：55．若幂函数的图像过点(8,2)，则此幂函数的解析式是y =________ 【答案】13x【分析】设出幂函数的解析式,代入点坐标,即可求得解析式. 【详解】设幂函数的解析式为y x α= 因为幂函数图像过点()8,2 所以28α=,解得13α=所以13y x = 故答案为: 13x【点睛】本题考查了幂函数的定义及解析式求法,属于基础题. 6．函数1y x =-的递增区间是______. 【答案】[1，+∞）【分析】画出函数y ＝|x ﹣1|的图象，数形结合可得函数的增区间． 【详解】解：函数y ＝|x ﹣1|的图象如图所示： 数形结合可得函数的增区间为[1，+∞）， 故答案为：[1，+∞）．【点睛】本题主要考查函数的图象特征，函数的单调性的判断，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．7．若指数函数()3xy m =-在R 上是严格减函数，则实数m 的取值范围是______. 【答案】34m <<【分析】由指数函数单调性去判断即可解决. 【详解】由指数函数()3xy m =-在R 上是严格减函数 可知031m <-<，即34m << 故答案为：34m <<8．函数()12log 2y x =+，[]2,6x ∈的最大值为______.【答案】-2【分析】通过对数函数的单调性，确定函数在给定区间内的最大值.【详解】因为[]26x ∈，，则()[]248x +∈，， 由于12log y x = 是减函数，所以max 12log 42y ==-，故答案为：-29．已知()y f x =是R 上奇函数，当0x ≥时，()21xf x x =+，则()2f -的值是____． 【答案】25-【分析】结合函数的奇偶性求得正确结论. 【详解】依题意()f x 是奇函数，所以()()22222215f f -=-=-=-+. 故答案为：25-10．己知函数()y f x =是定义在R 上的严格单调递减函数，则不等式()11f f x x ⎛⎫< ⎪-⎝⎭的解集为__________．【答案】⎛⎛-∞⋃ ⎝⎭⎝⎭【分析】根据单调性得出11x x >-，再分类讨论x 结合一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】因为函数()y f x =是定义在R 上的严格单调递减函数，所以11x x >-当1x >时，(1)1x x -<，即210x x --<，解得1x <当1x <时，(1)1x x ->，即210x x -->，解得x <综上，不等式()11f f x x ⎛⎫< ⎪-⎝⎭的解集为⎛⎛-∞⋃ ⎝⎭⎝⎭故答案为：⎛⎛-∞⋃ ⎝⎭⎝⎭11．若()9log 2log a b +=，则8a b +的最小值为______. 【答案】25【分析】利用对数的运算可得出121a b +=，分析出0a >，0b >，将代数式8a b +与12a b+相乘，展开后利用基本不等式可求得8a b +的最小值.【详解】因为()99log 2log log a b ab +==，所以，20a b ab +=>，则0a >，0b >， 所以，2121b a ab a b+=+=，因为()128288171725b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭， 当且仅当2a b =时，等号成立，故8a b +的最小值为25. 故答案为：25.12．已知()y f x =在定义域R 上是连续不断的函数，对于区间R I ⊆，若存在c I ∈，使得对任意的x I ∈，都有()()f x f c ≤，则称()y f x =在区间I 上存在最大值()()M M f c =．若函数2y x mx =+在区间(]1,3存在最大值，则实数m 的取值范围_______________． 【答案】[)4,-+∞【分析】根据二次函数对称轴与区间位置分类求解即可．【详解】解：()2f x x mx =+的对称轴为2m x =-， 当12m-≤时，即2m ≥-，()f x 在(]1,3上递增， ()()max 3f x f =；当32m-≥，即6m ≤-，()f x 在(]1,3上递减， ()f x 无最大值；当122m<-≤时，即42m -≤<-，()()max 3f x f =； 当232m<-<时，即64m -<<-，()f x 无最大值． 综上：4m ≥-． 故答案为：[)4,-+∞．二、单选题13．已知a b ､为实数，若2:0,:0ab a αβ==，则α是β的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分性和必要性的判断方法来判断即可．【详解】当0ab =时，若1,0a b ==，不能推出20a =，不满足充分性；当20a +=，则0a b ，有0ab =，满足必要性； 所以α是β的必要不充分条件． 故选:B ．14．若a b c >>，则下列不等式成立的是( ). A ．11a c b c>-- B ．11a cb c<-- C ．ac bc > D ．ac bc <【答案】B【详解】∵a ＞b ＞c ，∴a ﹣c ＞b ﹣c ＞0，∴11a c b c<--． 故选B ．15．下列四组函数中，表示同一函数的是（ ） A ．()21,1y x y x =-=-B ．1,1y x t =-=-yC ．233log ,2log y x y x ==D ．21x y x y x=-=,【答案】B【分析】由同一函数要求定义域与对应关系相同逐一判断即可 【详解】对于A ：两组函数()21,1y x y x =-=-的定义域都是R ，但()211y x x =-=-，故不是同一函数，故A 错误；对于B ：11y x t =-=-，y 的定义域与对应关系都相同，故是同一函数，故B 正确； 对于C ：23log y x =的定义域是()(),00,∞-+∞， 32log y x =的定义域是()0,∞+，故不是同一函数，故C 错误；对于D ：1y x =-的定义域是R ， 2xy x=的定义域是()(),00,∞-+∞，且2x y x x==，故不是同一函数，故D 错误； 故选：B 16．函数2(0)1axy a x =>+的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】确定奇偶性，排除两个选项，再由函数值的正负排除一个选项，得出正确结论． 【详解】记2()1axf x x =+，函数定义域为R ，则2()1ax f x x -=-+()f x =-，函数为奇函数，排除BC ，又0x >时，()0f x >，排除D ． 故选：A ．【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.三、解答题17．已知全集U =R ，集合2311x A x x ⎧⎫+=<⎨⎬-⎩⎭，集合{}B x x a =≥. （1）求A ；（2）若A B ，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）()4,1A =-;（2）,4]-∞-（. 【分析】（1）解分式不等式求得集合A .（2）根据A B 列不等式，由此求得a 的取值范围. 【详解】（1）232341,10,041111x x x x x x x +++<-<<⇔-<<---， 所以()4,1A =-.（2）由于A B ，所以4a ≤-，即a 的取值范围是(],4-∞-. 18．已知函数()121x f x =+ (1)求函数()f x 的值域；(2)求证：函数()y f x =在R 上是严格减函数. 【答案】(1)()0,1 (2)证明见解析【分析】（1）由()20,x∈+∞可推出答案；（2）利用定义证明即可.【详解】（1）因为()20,x ∈+∞，所以()211,x +∈+∞所以函数()f x 的值域为()0,1（2）设12,x x 是R 上任意给定的两个实数，且12x x <， 则()()1212112121x x f x f x -=-++()()2112222121x x x x-=+⋅+ 12x x < 2122x x ∴>，1210x +>，2210x +>， ()()12f x f x ∴>∴函数()y f x =在R 上是严格减函数19．某商品销售价格和销售量与销售天数有关，第x 天()*120,x x ≤≤∈N 的销售价格506p x =--（元/百斤），第x 天()*120,x x ≤≤∈N 的销售量8q a x =+-（百斤）（a 为常数），且第7天销售该商品的销售收入为2009元．（1）求第10天销售该商品的销售收入是多少？ （2）这20天中，哪一天的销售收入最大？为多少？【答案】（1）第10天的销售收入1932元（2）第2天该商品的销售收入最大, 最大为2116元 【分析】（1）根据第7天的销售收入求得a ，再代入销售量q 中求第10天的销售收入；（2）由（1）求出的a 值，分16x ≤≤和820x ≤≤两个范围分别求出销售收入关于第x 天的函数，再分别求出其函数的最大值，再比较每一段间最大值的大小，得解.【详解】（1）由已知得第7天的销售价格49p =，销售量1q a =+．∴第7天的销售收入()74912009W a =⨯+=（元）40a ⇒=． 所以销售量408q x =+-，所以：第10天的销售收入1046421932W =⨯=（元），（2）设第x 天的销售收入为x W ，则()()()()4448,162009,75632,820x x x x W x x x x ⎧+-≤≤⎪==⎨⎪-+≤≤⎩当16x ≤≤时，()()()()22244484448444484221162,x W x x x x x x =+-=⨯+-=⨯+--=--当2x =时取最大值22116W =，当820x ≤≤时，()()()225632563224193612x W x x x x x =-+=⨯+-=--，当12x =时取最大值121936W =．由于2712W W W >>，∴第2天该商品的销售收入最大【点睛】本题考查二次函数的实际应用，运用二次函数时注意自变量的分段取值范围，属于基础题. 20．设()22x x f x a -=+⋅，其中a ∈R ．（1）若函数()y f x =的图象关于原点成中心对称图形，求a 的值； （2）若函数()y f x =在(,2]-∞上是严格减函数，求a 的取值范围． 【答案】（1）1a =-；（2）[16,)+∞．【解析】（1）根据函数()y f x =的图象关于原点成中心对称，得到()y f x =是奇函数，由此求出a 的值，再验证，即可得出结果；（2）任取122x x <≤，根据函数在区间(,2]-∞上是严格减函数，得到()()120f x f x ->对任意122x x <≤恒成立，分离出参数a ，进而可求出结果.【详解】（1）因为函数()22x x f x a -=+⋅的图象关于原点成中心对称图形，所以()22x x f x a -=+⋅是奇函数，则00(0)220f a =+⋅=，解得1a =-，此时()22x x f x -=-，因此()22()x x f x f x --=-=-，所以()22x x f x -=-是奇函数，满足题意；故1a =-；（2）任取122x x <≤，因为函数()22x x f x a -=+⋅在(,2]-∞上是严格减函数，则()()120f x f x ->对任意122x x <≤恒成立，即112222220x x x x a a --+⋅--⋅≥对任意122x x <≤恒成立， 即()12212222x x x x a --->-对任意122x x <≤恒成立，因为122x x <≤，所以12x x ->-，则12220x x --->，所以2121122112122222222222x x x x x x x x x x x x a +--+-->==--对任意122x x <≤恒成立， 又124x x +<，所以12216x x +<，为使122x x a +>对任意122x x <≤恒成立，只需16a ≥. 即a 的取值范围是[16,)+∞.【点睛】思路点睛：已知函数单调性求参数时，可根据单调性的定义，得到不等式，利用分离参数的方法分离出所求参数，得到参数大于（等于）或小于（等于）某个式子的性质，结合题中条件，求出对应式子的最值，即可求解参数范围.（有时会用导数的方法研究函数单调性，进而求解参数范围）21．已知函数()2220y ax ax a =--≠．(1)当1a =-时，求此函数在R 上的最大值，并写出取最大值时相应自变量的值； (2)写出此函数的单调增区间（不需要证明）；(3)设函数()y f x =的图象与x 轴交于不同的两点A 、B ，与y 轴交于点C ，是否存在实数a ，使得ABC？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)当1x =时，函数在R 上有最大值为1-(2)0a >时函数的单调增区间为()1,+∞，a<0时函数的单调增区间为(),1-∞ (3)存在，此时4a =，理由见解析【分析】（1）1a =-时222y x x =-+-，利用配方法可得答案； （2）分0a >、a<0讨论，结合抛物线的性质可得答案；（3）令0x =得C 点坐标，设()()12,0,,0A x B x ，令0y =利用0∆>求出a 的范围，利用韦达定理求出12x x -=12=⨯⨯=ABCSAB OC a 可得答案. 【详解】（1）当1a =-时，()222211y x x x =-+-=---， 函数的图象为开口向下对称轴为1x =的抛物线， 所以当1x =时，函数在R 上有最大值为1-；（2）函数()222212=--=---y ax ax a x a ()0a ≠图象的对称轴为1x =，当0a >时，函数的单调增区间为()1,+∞， 当a<0时，函数的单调增区间为(),1-∞； （3）令0x =得=2y -，所以()0,2C -，因为函数()y f x =的图象与x 轴交于不同的两点A 、B ，设()()12,0,,0A x B x ，令2220=--=y ax ax ，所以2480a a ∆=+>，解得0a >或2a <-，122x x +=，122x x a=-，所以12-==x x所以1211222=⨯⨯=-⨯=ABC S AB OC x x 解得4a =，40>，符合题意，所以存在，此时4a =.。
2019-2020学年上海市奉贤中学高三(上)第一次月考数学试卷(附答案详解)
2019-2020学年上海市奉贤中学高三（上）第一次月考数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）1.下列命题为真命题的是()A. 若ac>bc，则a>bB. 若a2>b2，则a>bC. 若1a >1b，则a<b D. 若√a<√b，则a<b2.设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为()A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 不确定3.某学生对一些对数进行运算，如图表格所示：现在发觉学生计算中恰好有两次地方出错，那么出错的数据是()A. (3)，(8)B. (4)，(11)C. (1)，(3)D. (1)，(4)4.已知y=f i(x)=x ai，i=1、2、……、2019为2019个不同的幂函数，有下列命题：①函数y=f1(x)+f2(x)+⋅⋅⋅+f2019(x)必过定点(1,2019)；②函数y=f1(x)+f2(x)+⋅⋅⋅+f2019(x)可能过点(−1,2018)；③若a1+a2+⋅⋅⋅+a2019=2，则函数y=f1(x)⋅f2(x)⋅⋅⋅⋅f2019(x)为偶函数；④对于任意的一组数a1、a2、…、a2019，一定存在各不相同的1009个数i1、i2、…、i2019∈{1、2、⋅⋅⋅2019}使得y=f i1(f i2(⋅⋅⋅f i2019(x)))在(0,+∞)上为增函数．其中真命题的个数为()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、单空题（本大题共12小题，共60.0分）5.已知集合A={x|0<x<2}，B={x|(x−1)(x+1)>0}，则A∪B=______．6.不等式x−2x+3≥0的解集为______ (用区间表示)7.方程4x−2x+1−3=0的解是______ ．8.已知实数x、y，命题“若x>0且y>0，则x+y>0”的逆否命题是______．9.函数y=log0.3(x2−3x+2)的单调增区间是______10.已知α∈(0,π)，sinα+cosα=1，则cos2α=______ ．511.若不等式|2x−3|<t的解集为(m,n)，则m+n=______．12.设f(x)是定义在R上的奇函数，若当x>0时，f(x)=x2−sinx+1，则f(x)的解析式为______．13.函数f(x)=2sin(πx)−1，x∈[−2,4]的所有零点之和为______．1−x14.设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a+b、a−b、ab、a∈P(除数b≠0)则称P是一个数域，例如有理数集Q是数域，有下列命题：b①数域必含有0，1两个数；②整数集是数域；③若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域；④数域必为无限集．其中正确的命题的序号是______ .(把你认为正确的命题的序号都填上)15.已知x、y、z∈R+，x−2y+3z=0，且y2−txz≥0恒成立，则实数t最大值是______．16.当x、y∈(0,1)时，min{8−x,8x−y,8y−1}的最大值是______．三、解答题（本大题共5小题，共70.0分）17.设集合A={x|x2+3x+2=0}，B={x|x2+(m+1)x+m=0}，C={x|2a−1≤x≤a}．(1)若B⊆A，求实数m的值；(2)若C∩A为空集，求实数a的取值范围．18.(1)已知a、b为正实数，a≠b，x>0，y>0.试比较a2x + b2y与(a+b)2x+y的大小，并指出两式相等的条件；(2)求函数f(x)=2x +91−2x，x∈(0,12)的最小值．19.某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%．(1)若建立函数y=f(x)模型制定奖励方案，试用数学语言表述该公司对奖励函数f(x)模型的基本要求，并分析函数y=x150+2是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因；(2)若该公司采用模型函数y=10x−3ax+2作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．20.已知关于x的不等式kx2+2kx−k+1>0的解集为M．(1)若M=R，求k的取值范围；(2)若存在两个不相等负实数a、b，使得M=(−∞,a)∪(b,+∞)，求实数k的取值范围；(3)若恰有三个整数n1、n2、n3在集合M中，求k的取值范围．21.已知函数f(x)=x2+ax+3−a，a∈R．(1)求a的取值范围，使y=f(x)在闭区间[−1,3]上是单调函数；(2)当0≤x≤2时，函数y=f(x)的最小值是关于a的函数m(a).求m(a)的最大值及其相应的a值；(3)对于a∈R，研究函数y=f(x)的图象与函数y=|x2−2x−3|的图象公共点的个数、坐标，并写出你的研究结论．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了不等式的性质，是基础题．分别举例说明选项A，B，C错误；利用基本不等式的性质说明D正确．【解答】解：由ac>bc，当c<0时，有a<b，选项A错误；若a2>b2，不一定有a>b，如(−3)2>(−2)2，但−3<−2，选项B错误；若1a >1b，不一定有a<b，如12>−13，当2>−3，选项C错误；若√a<√b，则(√a)2<(√b)2，即a<b，选项D正确．故选：D．2.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了正弦定理的应用，解题的关键是利用正弦定理把等式中的边转化为角的正弦，属于基本知识的考查．根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得sin A的值进而求得A，判断出三角形的形状．【解答】解：∵bcosC+ccosB=asinA，∴sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA=sin2A，∵sinA≠0，∴sinA=1，A=π2，故三角形为直角三角形，故选：A．3.【答案】A【解析】解：由题意可知：lg0.21=lg3+lg7−1=2a+b+c−3；lg0.27=3lg3−2=6a−3b−2；lg1.5=lg3+lg5−1=3a−b+clg2.8=2lg2+lg7−1，lg3=2a−b，lg5=a+clg6=lg2+lg3=1+a−b−c，lg7=2a+2c，lg8=3−3a−3c，lg9=2lg3=4a−2b，lg14=lg2+lg7=1−a+2b．有上述各式，可以看出，lg3，lg9，lg0.27是正确的关系式，则lg7=2a+2c，lg0.21= lg3+lg7−1=2a+b+c−3，可知lg7错误；由lg5=a+c，lg1.5=lg3+lg5−1=3a−b+c，可知lg5错误；即(3)，(8)错误．故选：A．写出对数值的关系式，然后判断正误即可．本题考查对数的运算性质，推理与证明的应用，考查分析问题解决问题的能力．4.【答案】A【解析】解：对于①：因为y=f i(x)=x a i，i=1，2，...2019为2019个不同的幂函数，且幂函数都经过点(1,1)所以可得函数y=f1(x)+f2(x)+...+f2019(x)的图象一定过定点(1,2019)，所以①正确；对于②：若定义域中可取负数时，则幂函数图象一定经过点(−1,−1)或(−1,1)，所以y=f i(x)=x a i，i=1，2...2019为2019个不同的幂函数，若这2019个不同的幂函数都经过(−1,1)，则函数y=f1(x)+f2(x)+...+f2019(x)的图象一定过定点(−1,2017)，所以y=f1(x)+f2(x)+...+f2019(x)的图象不可能过(−1,2018)，所以②错误；对于③：若a1+a2+...+a2019=2，若a1，a2，...a2019这2019个数中出现分子为奇数，分母为偶数的分数，则函数y=f1(x)+f2(x)+...+f2019(x)的定义域为[0,+∞)，不关于原点对称，所以函数y=f1(x)⋅f2(x)⋅...⋅f2019(x)不为偶函数，所以③错误；对于④：因为任意一组数a1，a2，...，a2019，一定存在各不相同的1009个数i1，i2，...i2019∈{1,2，...2019}，则当a1，a2，...，a2019，着2019个数中出现0时，y=f i1(f i2(...f i2019(x)))=a a11a i2...a i2019=1，此时y为常函数，不是增函数，所以④错误，故选：A．根据题目中的条件和幂函数的图象与性质，对四个命题分别进行判断，从而可得答案．本题考查幂函数的图象特点，幂函数的奇偶性和单调性，属于中档题．5.【答案】(−∞,−1)∪(0,+∞)【解析】解：∵B={x|(x−1)(x+1)>0}={x|x>1或x<−1}，∴A∪B=(−∞,−1)∪(0,+∞)，故答案为：(−∞,−1)∪(0,+∞)．先求出集合B，再根据并集的定义解答即可．本题考查了并集运算，熟练掌握并集的定义是解题的关键．6.【答案】(−∞,−3)∪[2，+∞)【解析】解：由x−2x+3≥0，得{x−2≥0x+3>0或{x−2≤0x+3<0，解得：x≥2或x<−3．∴不等式x−2x+3≥0的解集为(−∞,−3)∪[2，+∞)．故答案为：(−∞,−3)∪[2，+∞)．化分式不等式为不等式组求解，取并集得答案．本题考查分式不等式的解法，考查数学转化思想方法，是基础题．7.【答案】x=log23【解析】解：∵4x−2x+1−3=0∴(2x)2−2×2x−3=0∴(2x−3)(2x+1)=0∵2x>0∴2x−3=0∴x=log23故答案为x=log23根据指数幂的运算性质可将方程4x−2x+1−3=0变形为(2x)2−2×2x−3=0然后将2x看做整体解关于2x的一元二次方程即可．本题主要考差了利用指数幂的运算性质解有关指数类型的方程．解题的关键是要将方程4x−2x+1−3=0等价变形为(2x)2−2×2x−3=0然后将2x看做整体再利用因式分解解关于2x的一元二次方程．8.【答案】若x+y≤0，则x≤0或y≤0【解析】解：根据互为逆否命题的定义知，命题“若x>0且y>0，则x+y>0”的逆否命题是：“若x+y≤0，则x≤0或y≤0”．故答案为：“若x+y≤0，则x≤0或y≤0”．根据命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”，写出即可．本题考查了互为逆否命题的定义与应用问题，是基础题．9.【答案】(−∞,1)【解析】解：由x2−3x+2>0，解得x<1或x>2，∴函数的定义域为(−∞,1)∪(2,+∞)，设t=x2−3x+2，则y=log0.3t，外层函数为减函数，要求函数的单调增区间，则求内层函数t=x2−3x+2的减区间)上单调递减，而t=x2−3x+2在(−∞,32综上可得，函数y=log0.3(x2−3x+2)的单调增区间是(−∞,1)，故答案为：(−∞,1)．由对数函数的真数大于0求得函数的定义域，再求出内层函数的减区间，即可求得函数y=log0.3(x2−3x+2)的单调增区间．本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．10.【答案】−725【解析】解：已知α∈(0,π)，sinα+cosα=15，∴1+2sinαcosα=125，2sinαcosα=−2425<0，∴sinα>0，cosα<0．再根据sin 2α+cos 2α=1可得sinα=45，cosα=−35，∴cos2α=2cos 2α−1=−725， 故答案为：−725．由条件可得2sinαcosα=−2425<0，sinα>0，cosα<0.再根据sin 2α+cos 2α=1可得sinα和cosα的值，再根据cos2α=2cos 2α−1，计算求得结果．本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．11.【答案】3【解析】解：由|2x −3|<t ，可得3−t 2<x <3+t 2．再根据|2x −3|<t 的解集为(m,n)，可得m =3−t 2，n =3+t 2，∴m +n =3．故答案为：3．去绝对值解不等式得3−t 2<x <3+t 2.再根据|2x −3|<t 的解集为(m,n)，可得m 和n 的值，可得m +n 的值．本题主要考查了绝对值不等式的解法，属于基础题．12.【答案】f(x)={−x 2−sinx −1,x <00,x =0x 2−sinx +1,x >0【解析】解：根据题意，f(x)是定义在R 上的奇函数，则f(0)=0，设x <0，则−x >0，则f(−x)=x 2−sinx +1，又由f(x)是定义在R 上的奇函数，则f(x)=−f(−x)=−x 2−sinx −1，综合可得：f(x)={−x 2−sinx −1,x <00,x =0x 2−sinx +1,x >0；故答案为：f(x)={−x 2−sinx −1,x <00,x =0x 2−sinx +1,x >0．根据题意，由奇函数的性质可得f(0)=0，x <0，则−x >0，分析可得f(x)的表达式，综合可得答案．本题考查函数解析式的计算，涉及函数奇偶性的性质以及应用，属于基础题．13.【答案】8【解析】【分析】本题主要考查正弦函数的图象特征，函数的奇偶性，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．设t =1−x ，则x =1−t ，原函数可化为g(t)=2sinπt −1t ，由于g(x)是奇函数，观察函数y =2sinπt 与y =1t 的图象可知，在[−3,3]上，两个函数的图象有8个不同的交点，其横坐标之和为0，从而x 1+x 2+⋯+x 7+x 8的值．【解答】解：设t =1−x ，则x =1−t ，原函数可化为：g(t)=2sin(π−πt)−1t =2sinπt −1t，其中，t ∈[−3,3]， 因为g(−t)=−g(t)，故g(t)是奇函数，当t =12时，2sinπt −1t =0，观察函数y =2sinπt 与曲线y =1t 的图象可知，在t∈[−3,3]上，两个函数的图象有8个不同的交点，其横坐标之和为0，即t1+t2+⋯+t7+t8=0，从而x1+x2+⋯+x7+x8=8，故答案为：8．14.【答案】①④【解析】解：当a=b时，a−b=0、ab=1∈P，故可知①正确．当a=1，b=2，12∉Z不满足条件，故可知②不正确．对③当M中多一个元素i则会出现1+i∉M所以它也不是一个数域；故可知③不正确．根据数据的性质易得数域有无限多个元素，必为无限集，故可知④正确．故答案为：①④．本题考查的主要知识点是新定义概念的理解能力．我们可根据已知中对数域的定义：设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a+b、a−b、ab、ab∈P(除数b≠0)则称P是一个数域，对四个命题逐一进行判断即可等到正确的结果．这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的四个命题代入进行检验，要满足对四种运算的封闭，只有一个个来检验，如②对除法如12∉Z不满足，所以排除；对③当M中多一个元素i则会出现1+i∉M所以它也不是一个数域；①④成立．15.【答案】3【解析】解：由题意，t≤y2xz ，∴t≤(y2xz)min，y2 xz =14(x+3z)2xz=14(xz+9zx+6)≥14(2√9+6)=3，∴t≤3，∴t的最大值为3．故答案为：3．参变分离为t≤y2xz，将y变成x，z的形式即可求解．本题考查了函数恒成立，基本不等式求最值的问题，属于基础题．16.【答案】12【解析】解：当−x最小时，−x≤x−y且−x≤y−1，得1−x≤2x，解得x≥13，此时min{8−x,8x−y,8y−1}=8−x≤8−13=12；当0<x<13时，y−1或x−y最小．当y−1最小时，y−1<x−y，得y<1+x2，∴y−1<1+x2−1<1+132−1=−13，此时min{8−x,8x−y,8y−1}=8y−1<8−13=12；当x−y最小时，x−y<y−1，得y>1+x2，∴x−y<x−1+x2=−12+x2<−13，此时min{8−x,8x−y,8y−1}=8x−y<8−13=12．综上，，min{8−x,8x−y,8y−1}的最大值是12．故答案为：12．根据−x，x−y，y−1三者大小分类讨论，可求出min{8−x,8x−y,8y−1}的最大值．本题考查函数最值求法，考查运算能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)集合A={x|x2+3x+2=0}={−2,−1}，B={x|x2+(m+1)x+ m=0}={−1,−m}，因为B⊆A，所以B={−1}或B={−1,−2}，故m=1或2；(2)若A∩C不是空集，则2a−1≤−1≤a或2a−1≤−2≤a，解得−2≤a≤0，因此若A∩C为空集，则a<−2或a>0．【解析】(1)先求出集合A，B，然后利用子集的定义分析求解即可；(2)先考虑A∩C不是空集，列出关于a的不等关系，求出a的范围，即可求出C∩A为空集的a的范围．本题考查了集合包含关系求解参数问题，集合的交集不是空集问题，解题的关键是掌握集合子集和交集的定义，属于基础题．18.【答案】解：(1)作差比较：a2x + b2y−(a+b)2x+y=(ay−bx)2xy(x+y)≥0.…(4分)所以，a 2x + b2y≥(a+b)2x+y.…(6分)当ay=bx时，两式相等．…(8分)(2)函数f(x)=2x +91−2x=42x+91−2x≥(2+3)22x+1−2x=25.…(3分)当2(1−2x)=3×2x，即x=15∈(0,12)时，函数取得最小值25.…(6分)【解析】(1)作差比较，即可判断两式的关系；(2)构造满足基本不等式的条件，利用基本不等式求解即可．本题考查大小比较，考查基本不等式的运用，解题的关键是构造满足基本不等式的条件．19.【答案】解：(1)设奖励函数模型为y=f(x)，则公司对函数模型的基本要求是：当x∈[10,1000]时，①f(x)是增函数；②f(x)≤9恒成立；③f(x)≤x5恒成立．对于函数模型f(x)=x150+2：当x∈[10,1000]时，f(x)是增函数，则f(x)max=f(1000)=1000150+2=203+2<9所以f(x)≤9恒成立．因为x=10时，f(10)=115+2>105，所以，f(x)≤x5不恒成立．故该函数模型不符合公司要求；(2)对于函数模型f(x)=10x−3ax+2，即f(x)=10−3a+20x+2当3a+20>0，即a>−203时递增，为要使f(x)≤9对x∈[10,1000]时恒成立，即f(1000)≤9∴3a+18≥1000，∴a≥9823为要使f(x)≤x5对x∈[10,1000]时恒成立，即10x−3ax+2≤x5，∴x2−48x+15a≥0恒成立，∴a≥1925综上，a ≥9823，所以满足条件的最小的正整数a 的值为328．【解析】(1)设奖励函数模型为y =f(x)，根据奖金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，说明在定义域上是增函数，且奖金不超过9万元，即f(x)≤9，同时奖金不超过投资收益的20%，即f(x)≤x5.对于函数模型，由一次函数的性质研究，是否满足第一，二两个条件，利用反例研究是否满足第三个条件； (2)对于函数模型f(x)=10x−3a x+2，即f(x)=10−3a+20x+2当3a +20>0，即a >−203时递增，利用f(1000)≤9，10x−3a x+2≤x5，即可确定a 的范围，从而可求满足条件的最小的正整数a 的值．本题主要考查函数模型的选择，其实质是考查函数的基本性质，同时，确定函数关系实质就是将文字语言转化为数学符号语言--数学化，再用数学方法定量计算得出所要求的结果，关键是理解题意，将变量的实际意义符号化．20.【答案】解：(1)①当k =0时，不等式化为1>0恒成立，符合题意；②当k ≠0时，由题意知{k >0△<0， 即{k >04k 2−4k(−k +1)<0， 解得0<k <12；综上所述：k 的取值范围是[0,12)； (2)由题意可得{k >0△>0x 1+x 2<0x 1x 2>0，即{ k >04k 2−4k(−k +1)>0−2<0−k+1k >0， 解得12<k <1，所以实数k 的取值范围是(12,1)；(3)①当k =0时，不等式为1>0恒成立，不符合题意； ②由题意得：{k <0△>0，即{k <04k 2−4k(−k +1)>0， 解得k <0，所以不等式等价于x 2+2x +1−k k<0，解得−1−√2k−1k<x <−1+√2k−1k，则三个整数解为−2，−1，0；所以{−3≤−1−√2k−1k <−20<−1+√2k−1k ≤1，解得k ≤−12；综上所述，k 的取值范围是(−∞,−12]； 另解：记f(x)=kx 2+2kx −k +1， 由题意知k <0，所以{f(0)>0f(1)≤0，即{−k +1>0k +2k −k +1≤0， 解得k ≤−12，所以k 的取值范围是(−∞,−12].【解析】(1)讨论k =0和k ≠0时，利用判别式求出不等式恒成立时k 的取值范围； (2)由题意利用判别式和根与系数的关系列出不等式组，从而求出k 的取值范围；(3)根据题意知{k <0△>0，求出对应不等式x 2+2x +1−k k <0的解集，再根据解集中的三个整数解列不等式组求出k 的取值范围．另解法、构造函数f(x)=kx 2+2kx −k +1，根据题意知k <0，只需{f(0)>0f(1)≤0，求出解集即可．本题考查了一元二次不等式于对应函数的应用问题，也考查了运算求解能力与逻辑推理能力，是中档题．21.【答案】解：(1)函数f(x)=x 2+ax +3−a 图象的对称轴为x =−a2．因为f(x)在闭区间[−1,3]上是单调函数，所以−a2≤−1或−a2≥3． 故a ≤−6，或a ≥2.…(4分) (2)当a ≥0时，m(a)=f(0)=3−a ；当−4≤a <0时，m(a)=f(−a2)=−14a 2−a +3； 当a <−4时，m(a)=f(2)=a +7.…(2分)所以，m(a)={a +7,a <−4−14a 2−a +3,−4≤a <03−a,a ≥0，分段讨论并比较大小得，当a =−2时，m(a)有最大值4.…(6分) (3)公共点的横坐标x 满足x 2+ax +3−a =|x 2−2x −3|． 即x 是方程a(x −1)=|x 2−2x −3|−x 2−3的实数解． 设ℎ(x)=|x 2−2x −3|−x 2−3，则直线y =a(x −1)与y =ℎ(x)有公共点时的横坐标与上述问题等价． 当x ≤−1或x ≥3时，ℎ(x)=|x 2−2x −3|−x 2−3=−2x −6；解方程−2x −6=a(x −1)，即(a +2)x =a −6，得x =a−6a+2，a ≠−2；…(1分) 当−1≤x ≤3时，ℎ(x)=|x 2−2x −3|−x 2−3=−2x 2+2x ． 解方程−2x 2+2x =a(x −1)，即2x 2+(a −2)x −a =0，得x =−a2或x =1；…(2分) 研究结论及评分示例：(满分6分)结论1：无论a 取何实数值，点(1,4)必为两函数图象的公共点．…(1分) 结论2：(对某些具体的a 取值进行研究).…(2分) 当a =−2时，两图象有一个公共点(1,4)；当a =−6时，公共点有2个，坐标为(1,4)，(3,0)； 当a =2时，公共点有2个，坐标为(1,4)、(−1,0)．(对每一个具体的a 取值，结论正确给(1分)，总分值不超过2分) 结论3：当−2<a <2，−6<a <−2时，公共点有3个， 坐标为(1,4)、(−a2,|a 24+a −3|)、(a−6a+2,|a 2−17a+42|(a+2)2).…(4分)【解析】(1)求出函数f(x)=x 2+ax +3−a 图象的对称轴为x =−a2.由f(x)在闭区间[−1,3]上是单调函数，能够求出a 的取值范围．(2)当a ≥0时，m(a)=f(0)=3−a ；当−4≤a <0时，m(a)=f(−a2)=−14a 2−a +3；当a <−4时，m(a)=f(2)=a +7.分段讨论并比较大小得，能够求出m(a)的最大值及其相应的a 值．(3)公共点的横坐标x 满足x 2+ax +3−a =|x 2−2x −3|.即x 是方程a(x −1)=|x 2−2x −3|−x 2−3的实数解．设ℎ(x)=|x 2−2x −3|−x 2−3，由此入手进行研究，能够得到结论．本题考查二次函数的性质和应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．。
2023年上海市奉贤区高三上学期高考一模数学试卷含答案
2023届奉贤区高三一模考试数学试卷一､填空题（1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1.设{}{12},A xx B x x Z =-<<=∈∣∣，则A B ⋂=__________.2.已知(),1i i 3i a a ∈+=+R ，（i 为虚数单位），则a =__________.3.方程20x x c ++=的两个实数根为12x x ､，若2212213x x x x +=，则实数c =__________.4.已知等差数列{}n a 中，79415,1a a a +==，则12a 的值等于__________.5.己知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，它的渐近线方程为2y x =±，则它的离心率等于__________.6.若两个正数a b ､的几何平均值是1，则a 与b 的算术平均值的最小值是__________.7.在二项式11(1)x +的展开式中，系数最大的项的系数为__________（结果用数值表示）.8.下表是13-17岁未成年人的身高的主要百分位数（单位：cm ）.小明今年16岁，他的身高为176cm ，他所在城市男性同龄人约有6.4万人.可以估计出小明的身高至少高于他所在城市__________万男性同龄人.13-17岁未成年人的身高的主要百分位数P 1P 5P 10P 25P 50P 75P 90P 95P 991315-岁男141147151157164169174177182女1431471501531571611651671711617-岁男155160163167171175179181186女147150152155159163166169172数据来源：《中国未成年人人体尺寸）（标准号：GB/T 26158-2010）.9.从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率是__________.（结果用最简分数表示）.10.长方体1111ABCD A B C D -的底面是边长为1的正方形，若在侧棱1AA 上至少存在一点E ，使得190C EB ∠=，则侧棱1AA 的长的最小值为__________.11.设0,0p q >>且满足()162025log log log p q p q ==+，则pq=__________.12.已知某商品的成本C 和产量q 满足关系50000200C q =+，该商品的销售单价p 和产量q 满足关系式21242005p q =-，则当产量q 等于__________时，利润最大.二､选择题（13-14每题4分，1516-每题5分，共18分）13.下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（）A.y x =与11y x -⎛⎫= ⎪⎝⎭B.y x =与2y =C.y x =与ln xy e = D.y x =与y =14.紫砂壸是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间.紫砂壸的壸型众多，经典的有西施壸､掇球壸､石飘壸､潘壸等.其中，石瓢壸的壸体可以近似看成一个圆台.如图给出了一个石瓢壸的相关数据（单位：cm ），那么该壸的容积约接近于（）A.3100cmB.3200cmC.3300cmD.3400cm 15.下列结论不正确的是（）A.若事件A 与B 互斥，则()()()P A B P A P B ⋃=B.若事件A 与B 相互独立，则()()()P A B P A P B ⋂=C.如果X Y ､分别是两个独立的随机变量，那么[][][]D X Y D X D Y +=+D.若随机变量Y 的方差[]3D Y =，则[]2112D Y +=16.已知,,,a b αβ∈R ，满足22sin cos ,cos sin ,04a b a b αβαβ+=+=<+≤，有以下2个结论：①存在常数a ，对任意的实数b ∈R ，使得()sin αβ+的值是一个常数；②存在常数b ，对任意的实数a ∈R ，使得()cos αβ-的值是一个常数.下列说法正确的是（）A.结论①､②都成立B.结论①不成立､②成立C.结论①成立､②不成立D.结论①､②都不成立三､解答题（17-19每题14分，20-21每题18分，共78分）17.已知()y f x =为奇函数，其中()()()cos 2,0,f x x θθπ=+∈.（1）求函数()y f x =的最小正周期和()f x 的表达式；（2）若4,,252f απαπ⎛⎫⎛⎫=-∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求sin 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.18.如图，在四面体ABCD 中，已知BA BD CA CD ===.点E 是AD 中点.（1）求证：AD ⊥平面BEC ；（2）已知95,arccos ,625AB BDC AD ∠===.作出二面角D BC E --的平面角，并求它的正弦值.19.某地区1997年底沙漠面积为52910hm ⨯（注：2hm 是面积单位，表示公顷）.地质工作者为了解这个地区沙漠面积的变化情况，从1998年开始进行了连续5年的观测，并在每年底将观测结果记录如下表：观测年份该地区沙漠面积比原有（年底）面积增加数19982000199940002000600120017999200210001请根据上表所给的信息进行估计.（1）如果不采取任何措施，到2020年底，这个地区的沙漠面积大约变成多少2hm ？（2）如果从2003年初开始，采取植树造林等措施，每年改造面积28000hm 沙漠，但沙漠面积仍按原有速度增加，那么到哪一年年底，这个地区的沙漠面积将首次小于52810hm ?⨯20.已知椭圆C 的中心在原点O ，且它的一个焦点F 为)3,0.点12,A A 分别是椭圆的左､右顶点，点B 为椭圆的上顶点，OFB 的面积为32.点M 是椭圆C 上在第一象限内的一个动点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若把直线12,MA MA 的斜率分别记作12,k k ，若1234k k +=-，求点M 的坐标；（3）设直线1MA 与y 轴交于点P ，直线2MA 与y 轴交于点Q .令PB BQ λ=，求实数λ的取值范围.21.已知函数()(),y f x y g x ==，其中()()21,ln f x g x x x ==.（1）求函数()y g x =在点()()1,1g 的切线方程；（2）函数()()2,,0y mf x g x m m =+∈≠R 是否存在极值点，若存在求出极值点，若不存在，请说明理由；（3）若关于x 的不等式()()af x g x a +≥在区间(]0,1上恒成立，求实数a 的取值范围.2022学年高三第一学期数学练习卷参考答案一､填空题（1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1.{}0,12.3-3.3- 4.14 5.5 6.17.4628.4.89.63510.211.512-12.200二､选择题（13-14每题4分，15-16每题5分，共18分）13.D14.B15.A16.B三､解答题（17-19每题14分，20-21每题18分，共78分）17.（1）最小正周期是π因为()y f x =为奇函数，所以()()0f x f x +-=，化简得到求出2cos2cos 0x θ=()0,θπ∈，所以2πθ=()sin2f x x=-（2）若44,sin 255f αα⎛⎫=-∴=⎪⎝⎭3,,cos 25παπα⎛⎫∈∴=-⎪⎝⎭所以433sin sin cos cos sin 33310πππααα-⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭18.（1）,AB BD E = 是AD 中点，BE AD∴⊥又,AC CD E = 是AD 中点，CE AD∴⊥BE CE E⋂=所以AD ⊥面BEC（2）取BC 的中点F .,DB DC DF BC=∴⊥ 可以证明,BDE CDE EB EC≅∴=EF BC∴⊥所以DEF ∠是二面角D BC E --的平面角利用勾股定理计算出4,5BE BD ==余弦定理计算出BC=DF =在Rt DEF中，sin 17DE DFE DF ∠===也可以用三垂线定理由（1）DE ⊥面BEC ，垂足E ，过E 作EF BC ⊥垂足F ，连接DF ，所以DFE ∠是二面角D BC E --的平面角19.解答：从表中数据看，每年沙漠面积增长量可以假设是一个等差数列，公差约22000hm （1）假设n a 表示n 年底新增沙漠面积，那么到2020年底新增沙漠面积约()42202020021810000182000 4.610hm a a d =+≈+⨯=⨯到2020年底，这个地区的沙漠面积将大约变成5452910 4.6109.4610hm ⨯+⨯=⨯（2）以2003年年底为第一年，设x 年年底后这个地区的沙漠面积小于52810hm ⨯55591011020008000810x x ⨯+⨯+-<⨯化简得18.3x >所以到2021年底这个地区沙漠治理的总面积首次小于52810hm ⨯20.（1）223213122a b a bc b c ⎧-=⎪=⎧⎪=∴⎨⎨=⎩⎪⎪=⎩，所以椭圆标准方程为22141x y +=（2）设()()()0012,,2,0,2,0M x y A A -22000000001413,2240,0x y y y x x x y ⎧+=⎪⎪⎪+=-⎨+-⎪⎪>>⎪⎩得到()2000348x y x -=解出64,55M ⎛⎫⎪⎝⎭（3）直线1MA 的方程为()()1120,2y k x P k =+∴直线2MA 的方程为()()2220,2y k x P k =-∴-()()120,12,0,21PB k BQ k =-=--121221k k λ-∴=--200012200012244y y y k k x x x =⋅==-+-- 1111221214k k k λ-∴==---()010000,22y k x x ===∈+ 110,2k ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭()0,1λ∴∈21.（1）因为()1g x x'=()1111k g ∴==='所以在点()()1,1g 的切线方程为()011y x -=-，即1y x =-（2）设()()()22ln mH x mf x g x x x=+=+，定义域()0,∞+()'2'2332222(2ln )m m x m H x x x x x x -⎛⎫=+=-+='⎪⎝⎭当0m <时，()0H x '>恒成立，所以()()()H x mf x g x =+在()0,∞+严格增，所以不存在极值点当0m >时，令()0,H x x ='∴=当x >时()0H x '>当0x <<()0H x '<所以()()()H x mf x g x =+在(严格减，在)∞+严格增所以函数存在一个极小值点x =，无极大值点（3）原不等式()()211ln 0af x g x a a x x ⎛⎫+≥⇔-+≥ ⎪⎝⎭当1x =时a R ∈恒成立当()0,1x ∈时2ln 11xa x-≥-即2ln 11x a x≥-由（2）知()221ln N x x x =+在1x =有最小值()1011N x ≥+=所以2211ln x x -≤()2210,11ln 0x x x∈∴-≤< 所以22ln 111x x ∴≤-22ln 121,121x a a x∴≥≥∴≥-。
2023-2024学年上海市奉贤区高一上学期数学人教A版-三角函数-强化训练-16-含解析
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年上海市奉贤区高一上学期数学人教A版-三角函数-强化训练(16) 姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟 满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分） 1. 函数 （ ， ），其图象相邻两条对称轴间的距离为，将其图象向右平移 个单位长度后所得图象关于 轴对称，则下列点是 图象的对称中心的是（ ）A . B . C . D .2，﹣ 2，﹣ 4，﹣ 4，﹣2. 函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣ ＜φ＜ ）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（ ）A .B .C .D .第一象限第二象限第三象限第四象限3. 若cosα＜0，tanα＞0，则α的终边在（ ）A .B .C .D .π2π4. 函数f（x）=2tan（2x+）的最小正周期为（ ）A .B .C .D .5. 已知 ， 则tan2α=（ ）--A .B .C .D .16. （ ）A .B .C .D .7. 的值为（ ）A .B .C .D .向左平移个单位向右平移个单位向左平移个单位向右平移个单位8. 要得到函数y=sin(2x+)的图象，只需将函数y=cos2x的图象（ ）A .B .C .D .①②②③②④②③④9. 下述四个结论①若 ，则②已知扇形的半径 ，圆心角30°，则扇形的弧长是 ③函数 是单调递增函数④化简得到的结果是 其中所有正确结论的编号是（ ）A . B . C . D .--10. 已知α是第二象限角，且sinα= ， 则tanα=（ ）A .B .C .D .①②③④11. 给出下列各函数值：①sin100°；②cos（﹣100°）；③tan（﹣100°）；④ ． 其中符号为负的是（ )A .B .C .D .12. 若 ， 为第四象限角，则的值为（ ）A .B .C .D .阅卷人二、填空题（共4题，共20分）得分13. 已知 ， ，则 的值为 .14. 已知 为锐角，且 ，则 .15. 已知tanθ=2，则 = ．16. 函数 在 上的最大值为 ．17. 已知 的内角分别为 、 、 ，且满足 .(1) 求 ；(2) 若 为锐角三角形，求 的取值范围.18. 在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点A，已知点A的纵坐标为.(1) 求的值；(2) 求的值.19. 已知角 的张终边经过点 ， 且 为第二象限．(1) 求 的值；(2) 若 ，求 的值．20. 已知函数.(1) 求函数的最小正周期及单调递增区间；(2) 当时，求的最值及取得最值时的值.21. 已知 ，函数 ，且(1) 求 的最小正周期及 的对称中心；(2) 若 在 上单调递增，求 的最大值.答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.9.10.11.12.13.14.15.16.17.(1)(2)18.(1)(2)19.(1)(2)20.(1)(2)21.(1)(2)第 11 页 共 11 页。
高一数学上学期第一次月考课标A必修1 试题
卜人入州八九几市潮王学校一中二零二零—二零二壹第一学期月考考试高一数学试卷w说明：1.考试时间是是90分钟，总分值是150分。
2．将卷Ⅰ答案需要用2B 铅笔涂在答题卡上,卷Ⅱ用蓝黑钢笔或者圆珠笔答在试卷上.。
3．Ⅱ卷卷头和答题卡均填涂本次考试的考号，不要误填学号，答题卡占后５位。
卷Ⅰ〔选择题，一共60分〕一．选择题〔一共10小题，每一小题6分，一共60分。
在每一小题给出的四个选项里面，每个小题只有一个选项正确．〕{}{}4,5,7,9,3,4,7,8,9M N ==，全集U M N =，那么集合)(N M C U ⋂中的元素一共有() A.3个B.4个C.5个D.6个 260x px -+=的解集为M ，方程260x x q +-=的解集为N,且M ⋂N={2}，那么p q +=〔〕 A.21．B.8．C.6D ．7 3.集合M={x N ∈∣62Z x ∈-},那么M 中元素个数是() A.10B.7 C.6D.5x 总有()()f x f x -=，且()f x 在区间(,1]-∞-上是增函数，那么()5．函数|1|y x =+在∣[-2,2]上的最大值为〔〕A.0，B.1，C.2，D.3班级_____________考号______________6．在映射:f A B →中，{}(,)|,A B x y x y R ==∈且:(,)(,)f x y x y x y →-+那么 A 中的元素(-1,2)对应的Ｂ中的元素为〔〕A.(-1,3)B.(3,1)C.(-3,1)D.(1,3)7.函数f(x)定义域为[-1,4]，那么(31)f x -的定义域为〔〕 A.[4,19]B.[23,4]C.5[0,]3 D.[23,5] 8.f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≥<<--≤+)2(2)21()1(12x x x x x x 假设f(x)=3,那么x 的值是.()A.1B.1或者23C.23或者3± D.3 2()1f x ax x a =-++在〔－∞，２〕上单调递减，那么ａ的取值范围是〔〕Ａ．［０，４］Ｂ．[)+∞,2Ｃ．［０，41］Ｄ．(0,14] 10.函数ｆ〔ｘ〕是Ｒ上的增函数，Ａ〔０，-１〕，Ｂ〔３，１〕是其图像上的两点，那么|(21)|1f x -+<的解集的补集为〔〕 Ａ．〔－１，21〕Ｂ．〔－５，１〕 Ｃ．(],1-∞-⋃[12,)+∞Ｄ．(][)+∞⋃-∞-,15, 卷Ⅱ(非选择题一共９０分)二．填空题〔一共４小题，每一小题6分，一共24分〕11.2()91,(),[(2)]_____________f x x g x x f g =+==已知：则.22,()43,()1024,5___________a b f x x x f ax b x x a b =+++=++-=12.已知为常数，若则 13.函数f(x)＝862+++-m mx mx 的定义域为Ｒ，那么实数ｍ值为． 23,y x ax b x R =++-∈的图像恒过点〔2，0〕，那么22a b +的最小值为．三.解答题〔一共5小题,一共66分〕15.〔12分〕0(x+1)求函数16.〔13分〕求函数y=2x-3+的值域17.〔13分〕集合A={x ∣02=++b ax x },B={x ∣032=-x x },假设≠∅⊂A B ⊆, 务实数a,b 的值。
高一数学上学期第一次月考试题含解析8
卜人入州八九几市潮王学校凤冈县第一二零二零—二零二壹高一数学上学期第一次月考试题〔含解析〕一、单项选择题〔每一小题5分，一共60分〕{1,2,3,4,5,6.7},{2,4,6},{1,3,5,7}U A B ===，那么(A U C B 〕等于〔〕A.{2，4，6}B.{1，3，5}C.{2，4，5}D.{2，5}【答案】A 【解析】 【分析】 先求{2,4,6}U C B=,再求(A U C B .【详解】因为{1,3,5,7}B =,所以{2,4,6}U C B =,所以(){2,4,6}U A C B ⋂=.应选A .【点睛】此题考察了集合的运算,属根底题.A ={x |x 2-1=0}，那么以下式子中：①1∈A ；②{-1}∈A ；③∅⊆A ；④{1，-1}⊆A ．正确的个数是〔〕A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C 【解析】 【分析】先解得集合A 的元素．然后根据元素的详细情况进展逐一判断即可． 【详解】因为A ＝{x |x 2﹣1＝0}， ∴A ＝{﹣1，1}对于①1∈A 显然正确；对于②{﹣1}∈A ，是集合与集合之间的关系，显然用∈不对； 对③∅⊆A ，根据集合与集合之间的关系易知正确； 对④{1，﹣1}⊆A ．同上可知正确． 应选：C ．【点睛】此题考察的是集合元素与集合的关系问题．在解答的过程当中充分表达理解方程的思想、逐一验证的技巧以及元素的特征等知识，属于根底题．A 到B 的映射f ：x→y=2x+1，那么集合A 中元素2在B 中的象是〔〕 A.5 B.2C.6D.8【答案】A 【解析】 【详解】2x =,21y x =+,所以2215y =⨯+=,集合A 中元素2在B 中的象是5， 应选A.4.以下函数中，既是奇函数，又在定义域上是单调递增函数的是〔〕A.1y x =+B.2y x x=+C.1y x=-D.y x x =⋅【答案】D 【解析】 【分析】对每个函数的奇偶性和单调性进展判断可得. 【详解】因为1y x =+不是奇函数,所以排除A ;因为2y x x=+和1y x =-在其定义域内都不是增函数,所以排除B,C ;函数y x x=⋅既是奇函数，又在定义域上是单调递增函数,符合.应选D .【点睛】此题考察了函数的奇偶性和单调性,属根底题.5.()2,0π,00,0x x f x x x ⎧>⎪==⎨⎪<⎩，那么(){}3f f f ⎡⎤-⎣⎦的值等于〔〕．A.0B.πC.2πD.9【答案】C 【解析】 【分析】按自变量对应解析式从内到外依次求值. 【详解】∵30-<，∴()30f -=；∴()0πf =，又π0>，∴()2ππf =．∴(){}()()230ππf f f f f f ⎡⎤⎡⎤-===⎣⎦⎣⎦【点睛】求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现(())f f a 的形式时，应从内到外依次求值.()xf x x x=+的图像是〔〕A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】将函数||()x f x x x=+化成分段函数,可知A 正确. 【详解】因为1,0()1,0x x xf x x x x x +>⎧=+=⎨-<⎩, 所以选A .【点睛】此题考察了分段函数的图象,属根底题. 7.以下四组函数中表示同一函数的是〔〕 A.()f x x =，2()g x x =B.()22(),()1f x x g x x ==+ C.2()f x x =()g x x=D.()0f x =，()11g x x x=--【答案】C 【解析】 【详解】由于函数()f x x =的定义域为R ，而函数()2g x x=的定义域为{|0}x x ≥，这2个函数的定义域不同，故不是同一个函数，故排除A ． 由于函数()()()22,1f x x g x x ==+的定义域均为R ，但这2个函数的对应关系不同，故不是同一个函数，故排除B ．由于函数()f x =()g x x=的定义域，对应关系，值域完全一样， 故这2个函数是同一个函数．由于函数()0f x =的定义域为R ，函数()g x =的定义域为{|1}x x =，定义域不同，故不是同一个函数．故排除D 应选C ．2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(,4]-∞上单调递减，那么实数a 的取值范围是〔〕A.5a ≥B.5a ≤C.3a ≥-D.3a ≤-【答案】D 【解析】试题分析：二次函数()()2212f x x a x =+-+的单调递减区间为(],1a -∞-，由题可知：(](],4,1a -∞⊆-∞-，所以有41a ≤-，即3a ≤-，应选D.考点：二次函数的单调性.{a ，b ，c ，d}上定义两种运算⊕和⊗如下：那么b ⊗()a c ⊕=()A.aB.bC.cD.d【答案】C 【解析】 【分析】先计算a c ⊕=c ,再计算b⊗c =c .【详解】根据运算⊕可知:a c ⊕=c ,再根据运算⊗可得:b ⊗c =c .应选C .【点睛】此题考察了新定义的理解,属根底题.y =的定义域是〔〕A.[﹣2，2]B.〔﹣∞，﹣2]∪[2，+∞〕C.〔﹣2，2〕D.〔﹣∞，﹣2〕∪〔2，+∞〕【答案】D 【解析】 【分析】根据偶次根式的被开方非负和分母不为0,列式可解得. 【详解】要使函数有意义,只需:||20x ->,解得:2x <-或者2x >.应选D .【点睛】此题考察了函数定义域的求法,属根底题. 〕〔1〕假设12,x x I ∈，当1212()()0f x f x x x ->-时，那么()y f x =在I上是单调递增函数；〔2〕1y x=单调减区间为(,0)(0,)-∞+∞；〔3〕上述表格中的函数是奇函数；〔4〕假设()y f x =是R 上的偶函数，那么(,()),(,()),(1,(1))A a f a B a f a C a f a -+--都在()y f x =图像上.A.0B.1个C.2个D.3个【答案】C 【解析】 【分析】对于(1):当12x x <时,由1212()()0f x f x x x ->-可得:12()()f x f x <,根据增函数的定义可知(1)正确;对于(2):1y x=单调减区间的减区间有两个,它们是(,0)-∞和(0,)+∞,而不是(,0)(0,)-∞+∞;不正确. 对于(3):0x =时,不满足奇函数的定义()()f x f x -=-,不正确.对于(4):A 的坐标显然满足()y f x =,结合偶函数的定义可知点,BC 的坐标都满足()y f x =,所以点,,A B C 都在()y f x =的图象上.【详解】对于(1):假设12,x x I ∈,当12x x <时,由1212()()0f x f x x x ->-可得:12()()f x f x <,根据增函数的定义可知(1)正确; 对于(2):1y x=单调减区间为(,0),(0,)-∞+∞,不能写成并集形式,故(2)错误; 对于(3):因为(0)f -=(0)1f =,(0)1f =,不满足()()f x f x -=-,所以表格中的函数不是奇函数,所以不正确; 对于(4):显然(,())A a f a 在()y f x =图像上;因为函数()y f x =为偶函数,所以()()f a f a -=,所以(,())B a f a -也在()y f x =图像上.; 因为函数()y f x =为偶函数,所以(1)(1)f a f a +=--,所以(1,(1))C a f a +--也在()y f x =图像上.故(4)正确.应选C .【点睛】此题考察了函数的奇偶性和单调性,属根底题.()f x 是R 上的增函数，(0,1)(3,1)A B -，是其图象上的两点，那么()1f x <的解集是〔〕A.(3,0)-B.(0,3)C.(,1][3,)-∞-⋃+∞D.(,0][1,)-∞⋃+∞【答案】B 【解析】 试题分析：为图象上的点，，由，得，即，又为上的增函数，所以，即不等式的解集为，应选B ．考点：函数单调性的应用、绝对值不等式的求解.【方法点晴】此题属于对函数单调性应用使得考察，假设函数在区间上单调递增，那么时，有，事实上，假设,那么，这与矛盾，类似地，假设在区间上单调递减，那么当时有；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系.二、填空题〔每一小题5分，一共20分〕{}0,1,2A =，那么集合A 的真子集一共有个．【答案】7 【解析】试题分析：集合含有3个元素，那么子集个数为328=，真子集有7个考点：集合的子集 14.()123f x x +=+,且()6f m =,那么m 等于_________________【答案】52【解析】 【分析】先利用换元法求出函数()f x 的解析式为()21f x x =+,再由()216f m m =+=解方程可得.【详解】令1x t ,那么1x t =-,所以()2(1)321f t t t =-+=+,所以()21f x x =+,所以()216f m m =+=,解得52m =. 【点睛】此题考察了用换元法求函数的解析式,属根底题.f(x)＝2211222x x xx x x +-⎧⎪-<<⎨⎪≥⎩假设f(a)＝3，那么a=______．【解析】 【分析】对a 分三种情况讨论代解析式可解得. 【详解】当1a ≤-时,()2121f a a =+≤-+=,不合题意,当2a ≥时,()24f a a =≥,不合题意,当1a 2-<<时,2()3f a a ==,解得a =a =舍).故答案为【点睛】此题考察了分段函数,属根底题.()f x 的定义域为(1,0]-，那么函数(21)f x -的定义域为___________.【答案】102⎛⎤ ⎥⎝⎦，【解析】【分析】由1210x -<-≤可解得.【详解】因为函数()f x 的定义域为(1,0]-,所以10x -<≤,所以由1210x -<-≤,解得:102x <≤, 所以函数(21)f x -的定义域为1(0,]2.【点睛】此题考察了复合函数的定义域的求法,属根底题.三．解答题〔17题10分，18-22每一小题12分，解答中写出必要的证明过程和解答步骤〕(1).当1a =时，求A B(2).假设.U C A B ⊆，务实数a 的取值范围.【答案】〔1〕(,2)-∞-；〔2〕2a ≥ 【解析】 【分析】(1)当1a =时,化简集合,A B ,然后求出交集; (2)先求出U C A ,再根据子集关系列式可得. 【详解】(1)当1a =时,{|1}B x x =≤,又{|2A x x =>或者2}x <-,所以(,2)A B ⋂=-∞-.(2)因为[2,2]U C A =-,(,]B a =-∞,且,.U C A B ⊆所以2a ≥.【点睛】此题考察了集合的交集,补集运算以及集合的包含关系,属根底题.18.某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护需50元．〔Ⅰ〕当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？〔Ⅱ〕当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 【答案】〔1〕88〔2〕当4050x =时，()f x 最大，最大值为(4050)307050f =元．【解析】解：〔1〕当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为：=12，所以这时租出了88辆车.〔2〕设每辆车的月租金定为x 元，那么租赁公司的月收益为：f 〔x 〕=〔100－〕〔x －150〕－×50，整理得：f 〔x 〕=－+162x －21000=－〔x －4050〕2+307050.所以，当x =4050时，f 〔x 〕最大，其最大值为f 〔4050〕=307050.即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307050元.〔1〕判断函数的奇偶性，并加以证明； 〔2〕用定义证明()f x 在(0,1)上是减函数；〔3〕函数()f x 在(1,0)-上是单调增函数还是单调减函数？〔直接写出答案，不要求写证明过程〕． 【答案】〔Ⅰ〕函数()f x 为奇函数；〔Ⅱ〕证明见解析；〔Ⅲ〕()f x 在〔﹣1，0〕上是减函数． 【解析】【详解】试题分析：〔Ⅰ〕首先求函数1()f x x x=+定义域并验证其定义域是否关于原点对称，再根据奇函数的定义验证即证；〔Ⅱ〕根据减函数的定义，证明当12,(0,1)x x ∈且12x x <时，总有12()()f x f x >即证；〔Ⅲ〕由〔Ⅰ〕可知函数1()f x x x=+为奇函数，其图象关于原点对称，得()f x 在〔﹣1，0〕上是减函数。