2.2-等差数列的性质与证明

等差数列的性质
例 1 在等差数列 {an} 中，已知 a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，
求 a3＋a6＋a9 的值．
27
解 ∵a1＋a4＋a7＝(a1＋a7)＋a4＝3a4＝39，
a2＋a5＋a8＝(a2＋a8)＋a5＝3a5＝33.
∴a4＝13， a5＝11， ∴d＝a5－a4＝－ 2.
两个等差数列进行加减组合后构成的新数列 是等差数列
等差数列的证明
?
an
?
? 2(10? 2
3n)
? 3n ? 10
? 当n ? 2时，an ? an?1 ? 3n ? 10 ? [3(n ? 1) ? 10] ? 3
等差数列的证明
?
解 :由：xn
?
2xn?1 xn?1 ? 2
? 1 ? xn?1 ? 2 ? 1 ? 1 xn 2 xn?1 xn?1 2
灵活运用
例2、 若an+1 ? an ? 3,且a1 ? 7, 则an ?
3n+4
变式1、
若
1
1 ?
an+1 an
?
3,且a1 ?
1 2
,
则an
?
1 3n ? 1
1
解：由题得 {an }
是等差数列， d=3,
1
首项 a1 ? 2
Baidu Nhomakorabea
1 ? ? 2 ? (n ? 1) ? 3 ? 3n ? 1
an
变式2、 若 an+1 ? an ? 2, 且a1 ? 1,则an ? (2n ? 1)2
? { 1 }成等差数列， d ? 1
xn
2
? 1 = 1 +（n-1）?1 ? n ? 1
xn x1
22
2 ? xn ? n ? 1
2 ? x2012 ? 2013
等差数列的证明
?
2 11 ??
c? a b? c a?b ? 2(b ? c)(a ? b) ? (c ? a )(a ? b) ? (c ? a )(b ? c)
? 2b2 ? a 2 ? c2 ? b2 ? a2 ? c2 ? b2
等差数列的证明
例 4 已知数列{an}，满足 a1＝2，an＋1＝a2n＋an2，
2.2 等差数列的性质与证明
知识回顾
?
尝试证明
等差数列的性质(探究)
(1)若 {an} 是等差数列，且 k＋l＝m＋n (k、l、 m、n∈N*)，则 ak＋al＝am＋an .
(2)若 {an} 是等差数列，且公差为d，则{a2n－1} 和 {a2n}都是等差数列，且公差为 2d .
从原数列中间隔相等的依次抽出的项构成一 个新的等差数列
∴a3＋a6＋a9＝2a6＋a6＝3a6
等差数列的性质
变式 已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2 a4 a6＝45， 求此数列的通项公式．
解 因为 a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15，
所以 a4＝5.又因为 a2a4a6＝45，所以 a2a6＝9， 即(a4－2d)(a4＋2d)＝9，(5－2d)(5＋2d)＝9， 解得 d＝±2. 若 d＝2，an＝a4＋(n－4)d＝2n－3； 若 d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝13－2n.
(1)数列{a1n}是否为等差数列？说明理由．
(2)求 an.
解 (1)数列{a1n}是等差数列，理由如下：
∵a1＝2，an＋
1＝a2n＋an
， 2
∴
1＝ an＋1
an＋2＝ 2an
1＋ 1 ， 2 an
∴1 an＋
－
1
a1n＝12，即
{
1 an
}是首项为
1 a1
＝
1，公差为 2
d＝
1的等差数列． 2
(2)由上述可知a1n＝a11＋(n－1)d＝n2， ∴an＝n2.
课堂总结
1 、等差数列的性质 用来化简条件，关注下标间的关系
2 、等差数列的证明 利用定义来证明
3 、解方程组能力
等差数列的性质
(3) 若{an} ，{bn} 分别是公差为 d1，d2 的等差 数列，则数列 { pan＋qbn }(p、q是常数)是公差 为 pd1＋qd2 的等差数列．