一阶电路的零输入响应

第9章 线性电路过渡过程中 电流电压的计算
• 9.1 换路定律和初始条件的计算 • 9.2 一阶电路的零输入响应——仅由初始储能激励 • 9.3 一阶电路的零状态响应——仅由电源激励 • 9.4 一阶电路的全响应 • 9.5 线性动态电路的复频域分析
动态电路中电感、电容元件的伏安关系式都是导数关系， 那么对动态电路所列写的KCL、KVL方程都是微分方程，仅有 一个动态元件（一个电感或一个电容）的电路方程只含一阶导 数项，称为一阶电路。
解：10kV是高压三相电路的线电压， 星形连接时电容器两端 电压为相电压,则电容电压的初始值为：
uc
(0
)
uc
(0
)
10000 3
5770V
时间常数为： RC 100106 40106 4000s
电容电压为：
t
uc (t) uc (0 )e
1t
5770e 4000 V
电压衰减为36V 时，有
i
uC (0 )
t
e
R
t
i(0 )e
响应随时间变化的曲线如右图。
可知，uC和i的表达式分别仅与两个要素有关，一个是 uC和i的初始值，另一个是被称为时间常数的值.
9.2.2 时间常数的意义与计算 式中的R是换路后从电容两 端来观察的等效电阻。
计算： RC (s)
其大小仅取决于电路的结构和元件参数，反映了 电路的固有特性。一个电路只有一个τ值。
意义： （1）τ值的大小表征了一阶电路过渡过程进展的快 慢。 τ值越大， uC和i衰减越慢，过渡过程越长。 这是因为电容量C越小，电容储存的初始能量越少， 维持的时间就短；而R越小，i 越大，电阻耗能越 快。适当的选择R和C，改变电路的时间常数，可 控制放电速度。
（2） τ值还是零输入响应下降为初始值的36.8%所 需时间。并且零输入响应每经过一个τ值的时间后都 衰减为原有值的36.8%。
内容简介
本教材理论推导从简，计算思路交待详细，概念述 明来龙去脉，增加例题数量和难度档次，章节分 “重计 算”及“重概念”两类区别对待，编排讲究逐步引深的 递进关系，联系工程实际，训练动手能力，尽力为后续 课程铺垫。借助类比及对偶手法，语言朴实简练，图文 印刷结合紧密，便于自学与记忆，便于节省理论教学时 数。适用于应用型本科及高职高专电力类、自动化类、 机电类、电器类、仪器仪表类、电子类及测控技术类专 业。
i(0
)
uC (0 R
)
5.77A
时间常数τ’为 ' 1000 40106 0.04S
电压衰减为36V 所需的时间减少为
-5.08 1 t 0.04
t 5.080.04=0.2s
在检修具有大电容的设备时，停电后均需并联一个适当大 小的电阻放电才能工作，以确保操作安全。
9.2.3 RL电路的零输入响应————电感续流过程
uR Ri
代入上式，得：
i C duC dt
Fra Baidu bibliotek
RC
duC dt
uC
对应的特征方程为
0
RCp
1
一阶线性常系数齐次微分方程
0
特征根为 p 1 1
RC
则微分方程的通解为
uC (t)
Ae pt
1
Ae RC
t
1
Ae
t
（A为待定常数）
将t=0时的电容电压初始值代入，则有
10
uC (0 ) uC (0 ) U0 Ae
L
diL dt
RiL
0
即
diL dt
R L
iL
0
uR RiL
对应的特征方程为
一阶线性常系数齐次微分方程
p R 0 L
pR 1
L
则微分方程的通解为
i(t)
Ae pt
R
Ae L
t
1
Ae
t
（A为待定常数）
将t=0时的电感电流初始值代入，则有
uC随时间衰减的规律
累计起来t=5时，uC U0e5 0.007U0 ，认为uC已 基本衰减为零，过渡过程结束，电路进入新的稳态。
P [例9—5]求 uc (t)、ic (t) 和 i(t)
解：电容电压的初始值为：
uc
(0
)
uc
(0
)
5 100
25
100
4V
时间常数为：
RC (100//100) 103 10106 0.5s
图示电路换路后电感将经电阻释放储存的能量。
随着时间的延续，电感电流逐渐下降，电阻两端的电压也 逐渐减小，最后电路中的电压和电流均趋近于零，过渡过程结 束，电路进入新的稳态。电流流经电阻将电感储存的能量变成 热能耗散。
开关S断开后，根据KVL和各元件的伏安关系可得
uL uR 0
uL
L
diL dt
得待定常数 A U 0
所以微分方程
RC
duC dt
uC
0满足初始条件的定解为
uC
t
t
uC (t) U0e RC uC (0+ )e
放电电流的变化规律为
i C duC dt
C
U0
t
e Rc
RC
uC (0
)
t
e
R
t
i(0 )e
即RC放电电路的响应为
t
uC (t) uC (0+ )e
纯电阻电路中没有电源就没有电流、电压响应。动态电路 中若电感元件储有磁场能，电容元件储有电场能，那么动态电 路即使没有电源，仅由电感、电容元件的初始储能也能维持一 段时间的电流、电压响应。
“零输入响应”指外加电源为零，仅由电容元件换路（t=0） 以前储有的电场能，或电感元件换路（t=0）以前储有的磁场 能引起的电流、电压响应。
电容电压、电流为：
t
uc (t) uc (0 )e
4e2t V
i(t) uc (t) 0.04e2tmA 100
ic (t) 2i(t) 0.08e2tmA
RC电路电容电压为关键量，电容电压求出后，可直接推出其它量。
P [例9—6]试问断开后经过多长时 间，电容器的电压衰减为36V安全电 压？
1t
36V 5770e 4000 V
ln
36
1t
ln e 4000
5770
-5.08 1 t 4000
t 20320s=5小时38分
为节省检修时间，实际操作中可在每相电容器两端并联 一个适当大小的电阻R’进行放电。
如R’=1000Ω，则等效电阻为：R//R’ ≈ R’ 。
此时放电电流的初始值为
9.2.1 RC电路的零输入响应——电容放电过程
电路如图所示，换路后电容通过电阻R放电。
随着放电的进行，电容电压逐渐下降，放电电流也逐渐减 小，最后电路中的电压和电流均趋近于零，过渡过程结束，电 路进入新的稳态。放电电流流过电阻时将电容储存的能量变成 热能耗散。
根据KVL可得
uR uC 0
两元件的伏安关系为：