微分方程解的概念和定解条件

微分方程解的概念和定解条件

(),

y x I n ϕ=设函数在区间上有阶连微分方程的解续导数I 如果在区间上，()

()(,,,,)0n x F x y y y I ϕ'= 则称函数是微分方程在区间上的解.0'≡()(,(),(),,()) n F x x x x ϕϕϕ，

()

(,,,,)0n F x y y y '= 将其代入微分方程中，

这样的解称作微分方程若微分方程的解中含有任意微分常数方程的通解，且独立任意常数的个数与微分方程的阶数相同，的通解.

6.

y x ''=二阶微分方程例13

1y x C =+显然是方程的解,但是不是（1）通解呢？

312y x C C =++那是不（2）是通解呢？

312y x C C =++3123y x C x C =++（）312.

x C C C C =+=+，其中是方程的通解.

微分方程的通解不一定是该方程注：的全部解.

2.

yy xy '=例一阶微分方程20y y ≠方程等式两边解时，同除以当得

2

y x C =+同时不定积分得 ，是原方程的通解.

2y x '=，

0y =但显然 也是原方程的解.

确定微分方程通解中任意常数值的定解条件或初条件称为始条件.

不含有任何任意常数的解称为微分微方分方程的特解程的特解.000,.a t s v v ===设质点以匀加速度作直线运动，且时，例3().

s t s s t =求质点的运动位移与时间的关系由二阶导数的解物理意义知

2

02(0)0,(0).d s a s s v dt '=== ，且

2121()2

s t at C t C =++解得通解为 将定解条件带入：

2(0)00

s C =⇒=1010()(0).

s t at C s v C v ''=+=⇒= ，201().2

s t at v t =+故特解为

2(60()4)y x y x x y x x ''=→函数是方程的解，且当时 ，是例的通过两次不定积分解可得方程通解为

3

12

y x C x C =++().

y x 高阶无穷小量，求的表达式31220lim 0.x x C x C x

→++=由题意，20,C =故3211200lim lim 0.x x x C x x C x x →→++==故10,C =故3.y x =从而

21220(0,53)x x y y y y C e C e -'''+-==+方程的通解为，若例是解由题意

(0)3(0)0

y y ''==，()().

y x y x 的拐点 ，求的表达式123,

C C +=即 124, 1.C C ==-解得 24.

x x y e e -=-从而1240.

C C +=

总结

本讲主要介绍了微分方程通解的概念和常见的定解条件的形式

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