第五章误差基本知识

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第五章误差基本知识

5.1误差的来源和分类

一、定义：

观测值与真值之差，记为：

X为真值，即能代表某个客观事物真正大小的数值。

为观测值，即对某个客观事物观测得到的数值。

为观测误差，即真误差。

二、误差的来源

1、测量仪器

一是仪器本身的精度是有限的，不论精度多高的仪器，观测结果总是达不到真值的。二是仪器在装配、使用的过程中，仪器部件老化、松动或装配不到位使得仪器存在着自身的误差。

如水准仪的水准管轴不平行视准轴，使得水准管气泡居中后，视线并不水平。水准尺刻划不均匀使得读数不准确。又如经纬仪的视准轴误差、横轴误差、

竖盘指标差都是仪器本身的误差。

2、观测者

是由于观测者自身的因素所带来的误差，如观测者的视力、观测者的经验甚至观测者的责任心都会影响到测量的结果。

举例：如水准尺倾斜、气泡未严格居中、估读不准确、未精确瞄准目标都是观测误差。

3、外界条件

测量工作都是在一定的外界环境下进行的。例如温度、风力、大气折光、地球曲率、仪器下沉都会对观测结果带来影响。

上述三项合称为观测条件

a.等精度观测：在相同的观测条件下进行的一组观测。

b.不等精度观测：在不同的观测条件下进行的一组观测。

测量误差的分类

根据测量误差表现形式不同，误差可分为系统误差、偶然误差和粗差。

1、系统误差

定义：误差的符号和大小保持不变或者按一定规律变化，则称其为系统误差。

如：钢尺的尺长误差。一把钢尺的名义长度为30m，实际长度为30.005m，那么用这把钢尺量距时每量一个整尺段距离就量短了5mm，也就是会带来-5mm

的量距误差，而且量取的距离越长，尺长误差就会越大，因此系统误差具有累计性。

如：水准仪的i角误差，由于水准管轴与视准轴不平行，两者之间形成了夹角i，使得中丝在水准尺上的读数不准确。如果水准仪离水准尺越远，i角误差就会越大。由于i角误差是有规律的，因此它也是系统误差。

正是由于系统误差具有一定的规律性，因此只要找到这种规律性，就可以通过一定的方法来消除或减弱系统误差的影响。

具体措施有：

（1）采用观测方法消除：如水准仪置于距前后水准尺等距的地方可以消除i角误差和地球曲率的影响。

通过后前前后的观测顺序可以减弱水准仪下沉的影响。

通过盘左盘右观测水平角和竖直角可以消除经纬仪的横轴误差、视准轴误差、照准部偏心差和竖盘指标差的影响。

（2）加改正数：如精密钢尺量距中的尺长改正：l d＝l/ l0 ×

l（l为任意尺段长）

温度改正和高差改正。

三角高程测量中的球气差改正数：，

光电测距仪的加常数和乘常数的改正：

（3）检校仪器：将仪器的系统误差降低到最小限度或限制在一个允许的范围内。

2、偶然误差

定义：偶然误差的符号和大小是无规律的，具有偶然性。

如度盘分划不均匀引起的误差就是偶然误差，因为在度盘上有的地方可能分划的密度大一些，有的地方分划的密度要稀疏一些。又如我们在读数的时候，最后一位要估读，有时可能估读得大一些，有时估读得小一些，这是没有规律的。

虽然单个的偶然误差没有规律，但大量的偶然误差具有统计规律。

3、粗差

也称错误，如瞄错目标、读错、记错数据、算错结果等错误。在严格意义上，粗差并不属于误差的范围。

在测量工作中，粗差可以通过检核——包括测站检核、计算检核以及内业工作阶段的检核发现粗差，并从测量成果中予以剔除（如水平角实验中角度闭合差为十几分）。而系统误差和偶然误差，是同时存在的。对于系统误差，通过找到其规律性，采用一定的观测方法来消除或减小。当系统误差很小，而误差的主要组成为偶然误差时，则可以根据其统计规律进行处理——测量上称为“平差”。

偶然误差的特性

1.特性

在相同条件下，重复观测一个量，也就是等精度观测，经过重复观测所出现的大量的偶然误差具有规律性。

如：在相同条件下，对三角形的三内角进行了独立的重复观测，由于每次观测中都含有误差，所以三角形的三个内角的观测值加起来不会等于真值，真值应该是180 。

设三个内角观测值和为L i=a i+b i+c i L i即为观测值

则，为真误差。

现重复观测了358次，将其真误差的大小按一定的区间统计列表（见书P93）：

从这个列表中，我们可以看出偶然误差的几个特性：

（注：表格中误差的相对个数指的是误差在每个误差区间内出现的次数除以误差的总次数，比如在0-0.2秒的这个区间内，即第一行，负误差的相对个数0.126应该是45除以358得到的,这个相对个数实际上就是误差出现的频率。）

1、在一定观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的界限（有界性）；

2、绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大（小误差的密集性）；

3、绝对值相等的正负误差，出现的机会相等（对称性）；

4、由第3条特性可知，当n→∞时，偶然误差的算术平均值→0（即数学期望），

即(抵偿性)。（[]符号表示求和）

2.直方图

由统计表格的数据我们可以绘制出一个直方图，其中横坐标为误差的大小，纵坐标为误差在每个区间出现的频率，即以，

代表误差区间。

3.正态分布曲线

当n→∞，也就是观测的次数趋近无穷，并且→0，即误差区间无穷小时，直方图中各个小长条矩形组成的折线就会变成一条曲线，称为误差分布曲线。

误差分布曲线一条正态分布曲线，可用正态分布概率密度函数表示：