第五章误差基本知识
第五章 测量误差的基本知识
在测量工作中,如某个误差超过了容许误差,则相应 观测值应舍去重测。
3.相对误差
绝对误差值与观测值之比,称为相对误差。在某 些测量工作中,有时用中误差还不能完全反映测量精度, 例如测量某两段距离,一段长200m,另一段长100m, 它们的测量中误差均为±0.2m,为此用观测值的中误差 与观测值之比,并将其分子化为1,即用1/K表示,称为 相对误差。
180°00ˊ00"
0
0
179°59ˊ57"
-3
9
180°00ˊ01"
+1
1
24
130
m2
2 3.6 10
两组观测值的误差绝对值相等 m1 < m2,第一组的观测成果的精度高于第二组观测成
果的精度
2.容许误差
容许误差又称极限误差。根据误差理论及实践证明, 在大量同精度观测的一组误差中,绝对值大于两倍中误差 的偶然误差,其出现的可能性约为5%;大于三倍中误差 的偶然误差,其出现的可能性仅有3‰,且认为是不大可 能出现的。因此一般取三倍中误差作为偶然误差的极限误 差。
全微分
dZ Kdx
得中误差式 mZ K 2mx2 Kmx
例:量得 1:1000 地形图上两点间长度l =168.5mm0.2mm,
计算该两点实地距离S及其中误差ms: 解:列函数式 S 1000 l
求全微分 dS 1000dl
mS 1000ml 1000 0.2 200mm 0.2m
测量误差=观测值-真值
观测误差来源于仪器误差、人的感官能力和外界环境 (如温度、湿度、风力、大折光等)的影响,这三方面的 客观条件统称观测条件。
第五章 测量误差的基本知识
2 ma
解:
α
D
+a
mS = ± 30 2 × 0.04 2 + 40 2 × 0.03 2
mS = ±1.7(m 2 )
1、求D 、 D=Lcos α = =165.50×cos15°30′ × ° =159.48m
2、求mD 、 (1)函数式 ) D=Lcosα (2)偏微分 )
中误差m ㎜,中误差 d=±0.2㎜,求实地距离 及其 ㎜ 求实地距离D及其 中误差。 中误差。 解: D=500d =
n-1 [ vv ] m=± n-1
例1:
l 1 2 3 4 5 85°42′49″ ° 85°42′40″ ° 85°42′42″ ° 85°42′46″ ° 85°42′48″ ° l0=85°42′40″ ° △l 9 0 2 6 8 25 v ﹣4 ﹢5 ﹢3 ﹣1 ﹣3 0 vv 16 25 9 1 9 60
V △l(㎜) (㎜) (㎜)
vv 4 25 256 441 9 121 856
m2 = n n
=
L = l0 +
[ vv ] 1 2 + m
∑∆ l 25" = 85°42' 40" + 5 5 =85°42′45″ °
二、求观测值的函数的中误差 S=ab (一)求偏微分 dS=b da+a db (二)以偶然误差代替微分元素
60 m=± 5 -1
m = ±3.9"
mD = 0.012 + 0.02 2 + 0.03 2
=±0.037(m) ± ( ) 六、线性函数的中误差 函数: 函数: z=k1x1+k2x2+…+knxn = + 偏微分: 偏微分: dz=k1 dx1+k2 dx2+…+kn dxn = + 中误差: 中误差:
第5章 测量误差的基本知识
1.观测误差
测量误差的基本知识
§5-1 概述
在各项测量工作中,对同一个量进行多次重复的观测 其结果是不一致的;对若干个量进行观测,如果知道 这几个量所构成的某个函数应等于某个理论值,而实 际上用观测值计算的函数值与理论值不相符(如三角 形的内角和)。这就是存在观测误差的原因。
2.产生观测误差的原因
例3:水平角观测限差的制定
水平角观测的精度与其误差的综合影响有关,对于 J6光学经纬仪来说,设计时考虑了有关误差的影响, 保证室外一测回的方向中误差为±6″。实际上,顾 及到仪器使用期间轴系的磨损及其它不利因素的影 响,设计精度一般小于±6″,新出厂的仪器,其野 外一测回的方向中误差小于±6″,在精度上有所富 裕。
Δ2 0 1 49 4 1 1 64 0 9 1 130
0 -4 +3 +2 -3 24
+1 +8 0 +3 -1 24
2
中误差Biblioteka m1 2 2 .7 n
m
2
n
3 .6
1 2
n
2.4
正态分布
1 f ( x) e 2 x 0 ( x )2 2 2
1 1
√2π m 1 √2π m 2
y = f (Δ )
f 1 (Δ ) f 2 (Δ )
若 0, 1 1 则f ( x) e 2
( x) 2
2
-
-m1
+m1 +
x =Δ
m2
m2
两组观测值中误差图形的比较:
m1=2.7 m2=3.6
m1较小, 误差分布比较集中,观测值精度较高; m2较大,误差分布比较离散,观测值精度较低。
工程测量-第5章误差基础知识
5.2.1、中误差 、
设对某一未知量进行了n次等精度观 设对某一未知量进行了 次等精度观 未知量的真值 真值为 ,其观测值为l 测,未知量的真值为X,其观测值为 1、 l2、……、ln,相应的真误差为: 相应的真误差 真误差为 、
郑州大学土木工程学院 宋建学
∆ 1 = l1 − X
∆ n = ln − X … …
K=
D往 − D返 D平均
从实质上看,上式的计算结果是“较差率” 而非“ 从实质上看,上式的计算结果是“较差率”,而非“相 对误差” 但工程中也常将它称为距离测量的相对误差。 对误差”,但工程中也常将它称为距离测量的相对误差。 特别需要指出的是, 特别需要指出的是,由于角度测量的误差与角度大 小无关,因此不能用相对误差来评定测角精度 不能用相对误差来评定测角精度。 小无关,因此不能用相对误差来评定测角精度。
郑州大学土木工程学院 宋建学
2
5.1 测量误差分类
测量误差( 仪器不可能绝 测量误差(error)的产生,主要是由于仪器不可能绝 )的产生,主要是由于仪器 的鉴别能力有限, 对准确,观测者的鉴别能力有限 观测是在一定的外界条 对准确,观测者的鉴别能力有限,观测是在一定的外界条 如风力,温度、气压、照度等) 进行的。通常把仪器 仪器、 件(如风力 ,温度、 气压、照度等)下进行的。通常把仪器、 观测者和外界条件三个方面综合起来 称为观测条件 三个方面综合起来, 观测条件。 观测者和外界条件三个方面综合起来, 称为观测条件。 观 测条件相同的各次观测,其误差出现的规律相同,称为等 测条件相同的各次观测,其误差出现的规律相同, 称为 等 精度观测( 精度观测 ( equal observations) , 观测条件不同的各次观 ) 测称为非等精度观测 非等精度观测。 测称为非等精度观测。 在观测结果中,有时还会出现错误 例如, 在观测结果中,有时还会出现错误。例如,读数错误 错误。 或记录错误等,统称为粗差 粗差。 或记录错误等,统称为粗差。粗差在观测结果中是不允许 出现的。为了杜绝粗差,除认真仔细作业外, 出现的。 为了杜绝粗差,除认真仔细作业外,还必须采取 检核措施 必要的检核措施。例如,对距离进行往、返测量, 必要的检核措施。例如,对距离进行往、返测量,对角度 进行多测回观测等,这是测量的基本原则。 进行多测回观测等,这是测量的基本原则。 观测误差按其自身规律性,可分为系统误差和偶然误差。 系统误差和偶然误差。 观测误差按其自身规律性,可分为系统误差和偶然误差
第5章 误差基本知识
例如:
水准仪的视准轴与水准轴不平行,则测量结果中含有i 角 误差或交叉误差。
水准尺的分划不均匀,必然产生水准尺的分划误差。
3
2、人的原因
观测者感官鉴别能力有一定的局限性。观测者的习惯 因素、工作态度、技术熟练程度等也会给观测者成果带来 不同程度的影响。
3、外界条件
例如:外界环境如温度、湿度、风力、大气折光等因素 的变化,均使观测结果产生误差。 例如:温度变化使钢尺产生伸缩阳光曝晒使水准气泡偏 移,大气折光使望远镜的瞄准产生偏差,风力过大使仪器安置 不稳定等。 人、仪器和外界环境通常称为观测条件; 观测条件相同的各次观测称为等精度观测; 观测条件不相同的各次观测称为不等精度观测。
⑤ 随着 n 的增大,m 将趋近于σ 。
17
必须指出: 同精度观测值对应着同一个误差分布,即对应着同一个标 准差,而标准差的估计值即为中误差。 同精度观测值具有相同的中误差。 例3: 设对某个三角形用两种不同的精度分别对它进行了10次 观测,求得每次观测所得的三角形内角和的真误差为
第一组: +3″, -2″, -4″,+2″,0″,-4″,+3″, +2″, -3″, -1″; 第二组: 0″, -1″, -7″,+2″,+1″,+1″,- 8″, 0″, +3″, -1″.
2
n
lim
n
n
13
•
从5-3式可以看出正态分布具有前述的偶然误差特性。即:
1.f(△)是偶函数。即绝对值相等的正误差与负误差求得 的f(△)相等,所以曲线对称于纵轴。这就是偶然误差的第三 特性。 • 2.△愈小,f(△)愈大。当△=0时,f(△)有最大值; 反之, △愈大,f(△)愈小。当n→±∞时,f(△) →0,这就是偶然误 差的第一和第二特性。 • 3.如果求f(△)二阶导数并令其等于零,可以求得曲线拐 点横坐标: △拐=± • 如果求f(△)在区间± 的积分,则误差出现在区间内 的相对次数是某个定值 ,所以当 愈小时,曲线将愈陡峭, 即误差分布比较密集;当 愈大时,曲线将愈平缓,即误差 分布比较分散。由此可见,参数 的值表征了误差扩散的特 征。
误差基本知识
• 例如,在水准测量中,两点间的高差h=a-b,则h是直接 观测值a和b的函数;在三角高程测量的计算公式中,如 h=D×tanδ+i-L,高差h就是观测值i和δ的函数
10
0.32
20
0.22
50
0.14
本章小结:
• 误差产生的根源,观测条件 • 系统误差,偶然误差及其特点(难点) • 中误差的两种计算公式及应用条件(重点
) • 相对误差,允许(极限)误差(难点) • 常用函数的中误差计算公式(重点) • 算术平均值中误差计算
课后作业(书70页):
• 第2题. • 第3题. • 第4题. • 第6题:(1)(2)
• 限差是偶然误差的限制值,用作观测成果取舍的标 准。如果观测值的偶然误差超过限差,则认为该观 测值不合格,应舍去不用。
• 测量上常取三倍或两倍中误差作为极限误差Δ限, 也称允许误差,即:
容 3m或2m
5-5误差传播定律
• 能直接观测的量,经过多次观测后,可通过真误差或改 正数计算出观测值的中误差,作为评定观测值精度的标 准。
mZ
k12mx21
k
2 2
mx22
...
k
2 n
mx2n
1.量得某圆形建筑物得直径D=34.50m,其中误差mD 0.01m ,求建 筑物得圆周长及其中误差。
解:圆周长 P D 3.1416 34.50 108.38
中误差mP mD 3.1416 (0.01) 0.03m
分布离散, 误差就大, 精度就低。
• 中误差及其计算 • 1 中误差的定义 • 在相同的观测条件下,对同一未知量进行n次观测,
误差基本知识
1.用真误差来确定中误差
在等精度观测条件下,对真值为X的某一量进行n 次观测,其观测值为L1,L2…Ln,相应的真误差为 1,2…n。取各真误差平方的平均值的平方根, 称为该量各观测值的中误差,以m表示,即:
Δi = X - L i
m =
2
i =1
n
n
2.用改正数来确定中误差
在实际工作中,未知量的真值往往不知道,真误差也无法 求得,所以常用最或是误差即改正数来确定中误差。
系统误差除可用改正数计算公式对观测 结果进行改正加以消除外,也可以用一 定的观测方法来消除其误差影响。
如经纬仪视准轴不垂直于横轴造成的误差,可以 用盘左、盘右观测角度,取其平均值的方法加以 消除;在水准测量中,采用前、后视距离相等来 消除水准仪的视准轴不平行于水准管轴造成的误 差。
由此可见,系统误差对观测结果影响较大,因此 必须采用各种方法加以消除或减少它的影响。比 如用改正数计算公式对丈量结果进行改正。
例四 某水准路线各测段高差的观测值中误差分别为h1 = 18.316 m ± 5 mm,h2 = 8.171 m ± 4 mm,h3 = 6.625 m ± 3 mm,试求总的高差及其中误差。 解:h = h1 + h2 + h3 = 15.316 + 8.171 6.625 = 16.862 (m)
1. 在一定的观测条件下,偶然误差的绝对值不 会超过一定的限值。 ………………….(有界性)
2. 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机 会多。………………………………….(单峰性)
3.绝对值相等的正、负误差出现的机会基本相
等。 ………………………………次数的无限
容 = 2m 容 = 3m
5第五章误差基本知识
观测值的精度好坏,可以用一组误差接近于零的密集程度来表示。这可以用误差 分布图来表示,也可用数字来表示 。
一、中误差
1.观测值中误差的定义: 在相同观测条件下,对某量进行了一系列的观测,其观测值为,L1 , L2 , , Ln 1 , 2 , , n 相应的真误差为 , 则该组各个观测值得中误差m为:
Z x1 x2
Z kx
2
F 2 mn x n
2
xn
mz km
kn xn
2 2 mz k12 m12 k2 m2 2 2 kn mn
Z k1x1 k2 x2
因此,应用误差传播定律求观测值函数的精度(中误差) ,可按下述步骤进行: (1)按问题性质列出函数式:
容=m 的个数为
§5-5 误差传播律
上节介绍了衡量多次直接观测值的精度问题。但在实际工作中,许多未知 量经常不能直接测定,必须由直接观测值间接推算出来。例如,矩形的面 积A=长×宽,直接观测量是长度和宽度,面积是根据长和宽计算出的。 由于测量长和宽时有误差,因此,计算面积时一定会有误差,那么面积的 误差如何估计,计算出的面积精度(质量)如何?
(k ) f n xn
2 n 2 n n
[Z ] f [x ] f [x ]
2 2 1 2 1 2 2 2 2
f [x ] fi f j [xi x j ]
i , j 1 i j
2 [xi x j ] [xn ] n f fi f j k k i , j 1 2 n i j
求中误差时,应注意几点:
(1)各个观测值必须是等精度的(即“在相同观 测条件下”);如果观测值是不等精度的,则不 能直接使用(5-4)式。 (2)观测值的真值必须可知,真误差才可求得。 (3)根号前的“”号表示误差的偶然性质,所 以不能省去。 (4)所谓“观测值”可以是直接观测值,也可以 是由直接观测值推算出来的函数值(如一组观测 值的平均值)。
《测量学》第05章 测量误差的基本知识
5.1 测量误差概述 5.2 衡量精度的标准 5.3 误差传播定律 5.4 算术平均值及其中误差 5.5 加权平均值及其中误差
5.1 测量误差概述
测量实践中可以发现, 测量实践中可以发现,测量结果 不可避免的存在误差 比如: 存在误差, 不可避免的存在误差,比如: 1.对同一量的多次观测值不相同; 对同一量的多次观测值不相同; 对同一量的多次观测值不相同 2.观测值与理论值存在差异。 观测值与理论值存在差异。 观测值与理论值存在差异
5.3 误差传播定律
阐述观测值中误差与观测值函数的中误 差之间关系的定律,称为误差传播定律 误差传播定律。 差之间关系的定律,称为误差传播定律。 一、观测值的函数 1.和差函数 2.倍函数 3.线性函数 4.-般函数
Z = x1 + x 2 + L + x n
Z = mx
Z = k1 x1 + k 2 x 2 + L + k n x n
mZ = ± (
∂f 2 2 ∂f ∂f 2 2 ) m1 + ( ) 2 m2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +( ) 2 mn ∂x1 ∂x2 ∂xn
5.4 算术平均值及观测值的中误差
一、求最或是值
设在相同的观测条件下对未知量观测了n次 设在相同的观测条件下对未知量观测了 次 , 观测值为l 中误差为m 观测值为 1、l2……ln,中误差为 1、m2、…mn,则 其算术平均值(最或然值、似真值) 其算术平均值(最或然值、似真值)L 为:
二、研究测量误差的目的和意义
分析测量误差产生的原因及其性质。 分析测量误差产生的原因及其性质。 确定未知量的最可靠值及其精度。 确定未知量的最可靠值及其精度。 正确评价观测成果的精度。 正确评价观测成果的精度。
测量误差的基本知识
§5.5误差传播定律的应用
一、水准测量的误差分析
每站的高差为:h = a - b ;m读≈ ±3mm
一站的高差中误差:m站 =
≈ ±4mm
线路n站,则总高差:
取3倍中误差为限差,则普通水准路线的容许误 差为 :
二、水平角观测的误差分析
用DJ6经纬仪进行测回法观测水平角,那么用盘 左盘右观测同一方向的中误差为±6 ″,
1、倍数函数:Z=kx 中误差:mz=kmx
2、和差函数 :Z=x1±x2±…±xn 中误差:mz m12 m22 ... mn2
3、线形函数 : Z=k1x1±k2x2±…±knxn 中误差:mz (k1)2 m12 (k2 )2 m22 ... (k n)2 mn2
加权平均值的中误差: M0 = = ±3.2mm
一、一般函数的中误差
设Z=f(x1,x2,…,xn),其中x1,x2,…,xn属于独立自 变量(如直接观测值),他们的中误差分别为 m1,m2,…,mn则函数Z的中误差为 :
mz
(
f x1
)
2
m12
f (
x2
) 2 m22
f ... (
xn
) 2 mn2
二、特殊函数的中误差
小结
• 正确列出函数式; • 检查观测值是否独立; • 求偏微分并代入观测值确定系数; • 套用公式求出中误差。
思考题:一个边长为l的正方形,若测量一 边中误差为ml=±1cm,求周长的中误差? 若四边都测量,且测量精度相同,均为ml, 则周长中误差是多少?
§5.4等精度直接观测值
1.算术平均值原理 假设对某量X 进行了n次等精度的独立观测,得
5.偶然误差的特性
第五章测量误差的基本知识
mC
试求 中误差
5.3等精度直接观测量的最可靠值及其中 误差
▪ 当观测次数n趋于无穷大时,算术平均值趋 于未知量的真值。当n为有限值时,通常取 算术平均值做为最可靠值。
▪ 利用观测值的改正数vi计算中误差:
m [vv] (n 1)
▪ 算术平均值中误差:
M m [vv] n n(n 1)
例:对某直线丈量了6次,丈量结果如表,求算术
▪ 4相同的观测条件下,一测站高差的中误差为 _______。
▪ 5衡量观测值精度的指标是_____、_______和 ______。
▪ 6对某目标进行n次等精度观测,某算术平均值的中 误差是观测值中误差的______倍。
▪ 7在等精度观测中,对某一角度重复观测多次,观测 值之间互有差异,其观测精度是______的。
第五章 测量误差的基本知识
第五章 测量误差基本知识
5.1 测量误差与精度 5.2误差传播定律 5.3等精度直接观测量的最可靠值及其中误 差 5.4非等精度直接观测值的最可靠值及其中 误差
第五章 测量误差基本知识
▪ 主要内容:测量误差的概念、来源、分类 与处理方法;精度概念及评定标准;误差 传播定律;观测值中误差计算;直接观测 值的最可靠值及其中误差
C.水准管轴不平行与视准轴的误差
▪ 经纬仪对中误差属( )
▪ A.偶然误差; B.系统误差; C.中误差
▪ 尺长误差和温度误差属( )
▪ A.偶然误差; B.系统误差; C.中误差
▪ 下面是三个小组丈量距离的结果,只有( 测量的相对误差不低于1/5000的要求
)组
▪ A.100m 0.025m; B.200m 0.040m; C.150m 0.035m
第五章测量误差的基本知识
第五章测量误差的基本知识1、衡量测量精度的指标有中误差、相对误差、极限误差。
5.测量,测角中误差均为10〃,所以A角的精度高于B角。
(X)8.在测量工作中无论如何认真仔细,误差总是难以避免的。
(X)10 .测量中,增加观测次数的目的是为了消除系统误差。
(X)1、什么是偶然误差?它有哪些特性?定义:相同的观测条件,若误差在数值和符号上均不相同或从表面看无规律性。
如估读、气泡居中判断等。
偶然误差的特性:(D有界性(2)渐降性(3)对称性(4)抵偿性7.已知DJ6经纬仪一测回的测角中误差为nu = ±20",用这类仪器需要测几个测回取平均值,才能达到测角中误差为±10” ?()A. 1B.2C.3D.43.偶然误差服从于一定的规律。
4.对于偶然误差,绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的机会。
14.测量误差的来源有、、外界条件。
3.设对某距离丈量了6 次,其结果为246.535m、246.548m、246.520m、246.529m、246.550m、246.537m,试求其算术平均值、算术平均值中误差及其相对中误差。
6.偶然误差的算术平均值随观测次数的无限增加而趋向于o14.设对某角度观测4个测回,每一测回的测角中误差为±5",则算术平均值的中误差为±〃。
24.衡量测量精度的指标有、、极限误差。
3.观测值与之差为闭合差。
()A.理论值B.平均值C.中误差D.改正数5.由于钢尺的不水平对距离测量所造成的误差是()A.偶然误差B.系统误差C.可能是偶然误差也可能是系统误差D.既不是偶然误差也不是系统误差8.阐述函数中误差与观测值中误差之间关系的定律称为o9.什么是系统误差?什么是偶然误差?误差产生的原因有哪些?10测量误差按性质可分为和两大类。
1. 2.相对误差2.由估读所造成的误差是()oA.偶然误差B.系统误差C.既是偶然误差又是系统误差14.下列不属于衡量精度的标准的是()。
误差基本知识
第五章测量误差的基本知识5-1概述一、测量误差的来源测量工作是在一定条件下进行的,外界环境、观测者的技术水平和仪器本身构造的不完善等原因,都可能导致测量误差的产生。
通常把测量仪器、观测者的技术水平和外界环境三个方面综合起来,称为观测条件。
观测条件不理想和不断变化,是产生测量误差的根本原因。
通常把观测条件相同的各次观测,称为等精度观测;观测条件不同的各次观测,称为不等精度观测。
第五章测量误差的基本知识具体来说,测量误差主要来自以下三个方面:(1)外界条件主要指观测环境中气温、气压、空气湿度和清晰度、风力以及大气折光等因素的不断变化,导致测量结果中带有误差。
(2)仪器条件仪器在加工和装配等工艺过程中,不能保证仪器的结构能满足各种几何关系,这样的仪器必然会给测量带来误差。
(3)观测者的自身条件由于观测者感官鉴别能力所限以及技术熟练程度不同,也会在仪器对中、整平和瞄准等方面产生误差。
测量误差按其对测量结果影响的性质,可分为系统误差和偶然误差。
二、系统误差在相同的观测条件下,对某量进行了n次观测,如果误差出现的大小和符号均相同或按一定的规律变化,这种误差称为系统误差。
系统误差一般具有累积性。
系统误差产生的主要原因之一,是由于仪器设备制造不完善。
例如,用一把名义长度为50m的钢尺去量距,经检定钢尺的实际长度为50.005m,则每量尺,就带有+0.005m的误差(“+”表示在所量距离值中应加上),丈量的尺段越多,所产生的误差越大。
所以这种误差与所丈量的距离成正比。
再如,在水准测量时,当视准轴与水准管轴不平行而产生夹角时,对水准尺的读数所产生的误差为l*i″/ρ″(ρ″=206265″,是一弧度对应的秒值),它与水准仪至水准尺之间的距离l成正比,所以这种误差按某种规律变化。
系统误差具有明显的规律性和累积性,对测量结果的影响很大。
但是由于系统误差的大小和符号有一定的规律,所以可以采取措施加以消除或减少其影响。
三、偶然误差在相同的观测条件下,对某量进行了n次观测,如果误差出现的大小和符号均不一定,则这种误差称为偶然误差,又称为随机误差。
《土木工程测量》PPT课件第5章-测量误差的基本知识
1 K限 2K中误差 D
△= L观– L理 = L-X
D
9.5cm =X
0
10
N1 2 3 4 5 6 7 L 9.4 9.7 9.5 9.6 9.3 9.2 9.6 △ 0.1 -0.2 0 -0.1 0.2 0.3 -0.1
Δ
o•
• •
• •
• •
N
(2)偶然误差的示例:
1)读数误差(水准测量)
1.5
1.6
1.7
1589 中丝读数: 1590
[例] 已知:D1=100m, m1=±0.02m,D2=200m,m2=±0.02m, 求: K1, K2
解:
K1
m1
D1
0.02 100
1 5000
K2
m2
D2
0.02 200
110000, 精度高。
3、相对极限误差
当绝对误差为极限误差时,K 称为相对极限误差。测量中取 相对极限误差为相对中误差的两倍,即
§5-1 测量误差概述
测量实践中可以发现,测量结果不可避免 的存在误差,比如: 1、对同一量多次观测,其观测值不相同。 2、观测值之和不等于理论值:
三角形 α+β+γ≠180°
闭合水准测量 ∑h≠0
一、测量误差及其来源
1、测量误差: 观测值:对某一被观测量进行直接观测所获得的数 值。 真值 :任一观测量, 客观存在的能代表其大小的数值 (1)误差——真值与观测值之差(严格:真误差)
➢ 方差和中误差 ➢ 极限误差 ➢ 相对误差。
一、方差和中误差
➢ 定义: 在相同观测条件下,对某量(真值为X)进行n次 独立观测,观测值为:L1、L2、…、Ln;其相应的真误差为 Δ1,Δ2,……,Δn;则定义该组观测值的
第五章 测量误差的基本知识
一般情况下,只要是观测值必然含有误差。 一般情况下,只要是观测值必然含有误差。
5.1 测量误差的来源及分类
二、测量误差产生的原因
1. 仪器误差 2. 观测误差 3. 外界条件的影响 观测条件
如果使用的仪器是同一个精密等级, 如果使用的仪器是同一个精密等级,操作人员有相同 的工作经验和技能,工作环境的自然条件(气温、 的工作经验和技能,工作环境的自然条件(气温、风 湿度等等)基本一致,则称为相同的观测条件 相同的观测条件。 力、湿度等等)基本一致,则称为相同的观测条件。
i
正态分布曲线
图中有斜线的长方形 面积就代表误差出现 在某区间的频率。 在某区间的频率。
-21 -15 -18 -12 -9 -6 -3 0 +3 +9 +15 +21 +6 +12 +18 +24
x=∆
-24
误差分布频率直方图
5.2 偶然误差的基本特性
误差分布图
在一定的观测条件下得到一组独立的误差, 在一定的观测条件下得到一组独立的误差,对应着一种确定 的分布。 同时无限缩小误差区间, 的分布。当误差个数 n → ∞ ,同时无限缩小误差区间,上图 中的各矩形的顶边折线就成为一条光滑的连续曲线。 中的各矩形的顶边折线就成为一条光滑的连续曲线。 这条曲线称为误差分布曲线也称为 正态分布曲线。 正态分布曲线。曲线上任意一点的 纵坐标y 的函数, 纵坐标y均为横坐标 ∆ 的函数,其 函数形式为:
5.3 衡量观测值精度的指标
1、中误差
中误差不同于各个观测值的真误差, 中误差不同于各个观测值的真误差,它是衡量一组观 测值精度的指标, 测值精度的指标,它的大小反映出一组观测值的离散 程度。中误差m值小,表明误差的分布较为密集, 程度。中误差m值小,表明误差的分布较为密集,各 观测值间的差异较小,这组观测的精度就高;反之, 观测值间的差异较小,这组观测的精度就高;反之, 中误差m值较大,表明误差的分布较为离散, 中误差m值较大,表明误差的分布较为离散,观测值 之间的差异也大,这组观测的精度就低。 之间的差异也大,这组观测的精度就低。 说明:中误差越小,观测精度越高。 说明:中误差越小,观测精度越高。
(整理)第5章,误差基本知识
第5章测量误差基本知识测量工作使用仪器进行测量,在测量过程中不可避免的出现误差,为了提高测量精度及精度评定,需要了解测量误差的来源,促进测量工作方法的改进,和测量精度的提高。
误差—在一定观测条件下,观测值与真值之差。
精度—观测误差的离散程度。
5-1 误差的基本概念讨论测量误差的目的:用误差理论分析,处理测量误差,评定测量成果的精度,指导测量工作的进行。
▼▼▼▼产生测量误差的原因,▼▼测量误差的分类和处理原则,▼▼偶然误差的特性一、测量误差的来源仪器原因:仪器精度的局限,轴系残余误差等。
人的原因:判别力和分辨率的限制,经验等。
外界影响:气象因素(温度变化,风、大气折光)等。
有关名词:观测条件,等精度观测:上述三大因素总称观测条件,在上述条件基本一致的情况下进行各次观测,称等精度观测。
结论:观测误差不可避免(粗差除外)二、测量误差的分类两类误差:系统误差偶然误差粗差(错误排除)1、系统误差-- 误差出现大小、符合相同,或按规律变化,具有积累性。
处理方法①检校仪器,把仪器的系统误差降到最小程度;②求改正数,对测量结果加改正数消除;③对称观测,使系统误差对观测成果的影响互为相反数,以便外业操作时抵消。
例:误差处理方法钢尺尺长误差△D K 计算改正钢尺温度误差△Dt 计算改正水准仪视准轴误差I 操作时抵消(前后视等距)经纬仪视准轴误差C 操作时抵消(盘左盘右取平均)●结论:系统误差可以消除。
2、偶然误差-- 误差出现的大小,符合各部相同,表面看无规律性。
例:估读误差—气泡居中判断,瞄准,对中等误差,导致观测值产生误差。
◎偶然误差:是由人力不能控制的因素所引起的误差。
◎特点:具有抵偿性。
◎处理原则:采用多余观测,减弱其影响,提高观测结果的精度。
3、粗差—指在一定的观测条件下超过规定限差值。
对于粗差,应当分析原因,通过补测等方法加以消除。
三、偶然误差的特性1、偶然误差的定义:设某量的真值X对该量进行n次观测得n次的观测值l1,l2,l3……l n则产生了n个真误差真误差:△I = X-l i2、偶然误差的特性☎当观测次数很多时,偶然误差的出现,呈现统计学上的规律性,偶然误差具有正态分布的特性。
《测量学》第五章测量误差基本知识
系统误差的来源与消除方法
总结词
系统误差的来源主要包括测量设备误差、环境因素误差和测量方法误差。消除系统误差的方法包括校准设备、改 进测量方法和采用适当的修正公式。
详细描述
系统误差的来源多种多样,其中最常见的是测量设备误差,如仪器的刻度不准确、零点漂移等。此外,环境因素 如温度、湿度和气压的变化也可能导致系统误差。为了消除这些误差,可以采用定期校准设备、选择适当的测量 方法和采用修正公式等方法。
相对测量法
通过比较被测量与标准量之间 的差异来得到被测量的值,并 评估误差。
组合测量法
将被测量与其他已知量进行组 合,通过测量组合量来得到被
测量的值,并评估误差。
测量结果的表示与处理
测量结果的表示
测量结果应包括被测量的值、单位、 测量不确定度以及置信区间等。
异常值的处理
在数据处理过程中,如果发现异常值, 应进行识别、判断和处理,以确保测 量结果的准确性和可靠性。
测量学第五章 测量误差 基本知识
contents
目录
• 测量误差概述 • 系统误差 • 随机误差 • 粗大误差 • 测量误差的估计与处理
测量误差概述
01
测量误差的定义
测量误差
在测量过程中,由于受到测量仪器、 环境条件、操作者技能等因素的影响 ,使得测量结果与被测量的真实值之 间存在一定的差异。
不确定度的评定方法
不确定度的传递
不确定度的评定方法包括A类评定和B类评 定,其中A类评定基于统计分析,B类评定 基于经验和信息。
在多个量之间存在函数关系时,需要将各 个量的不确定度传递到最终的测量结果中 ,以确保最终结果的准确性和可靠性。
THANKS.
数据修约
根据测量不确定度对数据进行修约, 以确保数据的完整性和一致性。
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现在的位置:课程介绍 >> 理论部分 >> 电子讲稿第五章误差基本知识5.1误差的来源和分类一、定义:观测值与真值之差,记为:X为真值,即能代表某个客观事物真正大小的数值。
为观测值,即对某个客观事物观测得到的数值。
为观测误差,即真误差。
二、误差的来源1、测量仪器一是仪器本身的精度是有限的,不论精度多高的仪器,观测结果总是达不到真值的。
二是仪器在装配、使用的过程中,仪器部件老化、松动或装配不到位使得仪器存在着自身的误差。
如水准仪的水准管轴不平行视准轴,使得水准管气泡居中后,视线并不水平。
水准尺刻划不均匀使得读数不准确。
又如经纬仪的视准轴误差、横轴误差、竖盘指标差都是仪器本身的误差。
2、观测者是由于观测者自身的因素所带来的误差,如观测者的视力、观测者的经验甚至观测者的责任心都会影响到测量的结果。
举例:如水准尺倾斜、气泡未严格居中、估读不准确、未精确瞄准目标都是观测误差。
3、外界条件测量工作都是在一定的外界环境下进行的。
例如温度、风力、大气折光、地球曲率、仪器下沉都会对观测结果带来影响。
上述三项合称为观测条件a.等精度观测:在相同的观测条件下进行的一组观测。
b.不等精度观测:在不同的观测条件下进行的一组观测。
测量误差的分类根据测量误差表现形式不同,误差可分为系统误差、偶然误差和粗差。
1、系统误差定义:误差的符号和大小保持不变或者按一定规律变化,则称其为系统误差。
如:钢尺的尺长误差。
一把钢尺的名义长度为30m,实际长度为30.005m,那么用这把钢尺量距时每量一个整尺段距离就量短了5mm,也就是会带来-5mm的量距误差,而且量取的距离越长,尺长误差就会越大,因此系统误差具有累计性。
如:水准仪的i角误差,由于水准管轴与视准轴不平行,两者之间形成了夹角i,使得中丝在水准尺上的读数不准确。
如果水准仪离水准尺越远,i角误差就会越大。
由于i角误差是有规律的,因此它也是系统误差。
正是由于系统误差具有一定的规律性,因此只要找到这种规律性,就可以通过一定的方法来消除或减弱系统误差的影响。
具体措施有:(1)采用观测方法消除:如水准仪置于距前后水准尺等距的地方可以消除i角误差和地球曲率的影响。
通过后前前后的观测顺序可以减弱水准仪下沉的影响。
通过盘左盘右观测水平角和竖直角可以消除经纬仪的横轴误差、视准轴误差、照准部偏心差和竖盘指标差的影响。
(2)加改正数:如精密钢尺量距中的尺长改正:l d=l/ l0 ×l(l为任意尺段长)温度改正和高差改正。
三角高程测量中的球气差改正数:,光电测距仪的加常数和乘常数的改正:(3)检校仪器:将仪器的系统误差降低到最小限度或限制在一个允许的范围内。
2、偶然误差定义:偶然误差的符号和大小是无规律的,具有偶然性。
如度盘分划不均匀引起的误差就是偶然误差,因为在度盘上有的地方可能分划的密度大一些,有的地方分划的密度要稀疏一些。
又如我们在读数的时候,最后一位要估读,有时可能估读得大一些,有时估读得小一些,这是没有规律的。
虽然单个的偶然误差没有规律,但大量的偶然误差具有统计规律。
3、粗差也称错误,如瞄错目标、读错、记错数据、算错结果等错误。
在严格意义上,粗差并不属于误差的范围。
在测量工作中,粗差可以通过检核——包括测站检核、计算检核以及内业工作阶段的检核发现粗差,并从测量成果中予以剔除(如水平角实验中角度闭合差为十几分)。
而系统误差和偶然误差,是同时存在的。
对于系统误差,通过找到其规律性,采用一定的观测方法来消除或减小。
当系统误差很小,而误差的主要组成为偶然误差时,则可以根据其统计规律进行处理——测量上称为“平差”。
偶然误差的特性1.特性在相同条件下,重复观测一个量,也就是等精度观测,经过重复观测所出现的大量的偶然误差具有规律性。
如:在相同条件下,对三角形的三内角进行了独立的重复观测,由于每次观测中都含有误差,所以三角形的三个内角的观测值加起来不会等于真值,真值应该是180 。
设三个内角观测值和为L i=a i+b i+c i L i即为观测值则,为真误差。
现重复观测了358次,将其真误差的大小按一定的区间统计列表(见书P93):从这个列表中,我们可以看出偶然误差的几个特性:(注:表格中误差的相对个数指的是误差在每个误差区间内出现的次数除以误差的总次数,比如在0-0.2秒的这个区间内,即第一行,负误差的相对个数0.126应该是45除以358得到的,这个相对个数实际上就是误差出现的频率。
)1、在一定观测条件下,偶然误差的绝对值不会超过一定的界限(有界性);2、绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大(小误差的密集性);3、绝对值相等的正负误差,出现的机会相等(对称性);4、由第3条特性可知,当n→∞时,偶然误差的算术平均值→0(即数学期望),即(抵偿性)。
([]符号表示求和)2.直方图由统计表格的数据我们可以绘制出一个直方图,其中横坐标为误差的大小,纵坐标为误差在每个区间出现的频率,即以,代表误差区间。
3.正态分布曲线当n→∞,也就是观测的次数趋近无穷,并且→0,即误差区间无穷小时,直方图中各个小长条矩形组成的折线就会变成一条曲线,称为误差分布曲线。
误差分布曲线一条正态分布曲线,可用正态分布概率密度函数表示:式中,误差为真误差,是一个随机变量,因是偶然误差。
σ为随机变量的标准差。
方差的数学意义为:反映随机变量与其均值,即与其数学期望的偏离程度。
由于σ2就是的方差,显然σ2与观测条件有关,如果观测条件越好,则误差就应该越小,就越接近于0,也就是越接近于数学期望,由于与数学期望的偏离程度越小,从而σ2越小。
我们再看看有关精度的内容。
5.2 衡量精度的标准一、精度的含义所谓精度,是指误差分布的集中与离散程度。
如误差分布集中(曲线a),则观测精度高;若误差分布离散(曲线b),则观测精度就低。
误差分布的集中与离散程度可以用方差σ2或标准差σ来表示。
如果σ越小,误差偏离数学期望的程度就越低,则误差集中程度就会越高,即精度越高,反之如果σ越大,则误差的离散程度越高,精度越低,因此我们可以用σ即用标准差来衡量观测的精度。
二、中误差(均方差)测量工作中,用标准差来衡量观测的精度,我们称之为中误差,用m表示。
设在相同的观测条件下,对未知量进行重复独立观测,观测值为:l1,l2,…,l n,其真误差为:⊿1,⊿2,…,⊿n则真误差的方差:式中当n→∞,=0,根据数学期望的定义就是的算术平均值。
[ ]为累加符号,真误差的标准差:实际工作中,观测次数有限,故取标准差的估值作为中误差:应用时应注意:1、⊿i可以是对一个量n次同精度观测,亦可以是对n个量各进行一次同精度观测的误差。
如:在全站仪测距时有的同学说测出来的距离不断地在变化,这实际上是全站仪在不断地测距,也就是对一个量——这个量就是距离——进行了多次等精度观测,而每次的观测值都有误差存在,误差有时大,有时小,所以测出来的距离值不断在变化。
又如:方向法测水平角时,需要对多个方向观测,先瞄A,再瞄B,再瞄C…,这实际上就是对n个量进行了一次等精度观测);2、中误差m是衡量一组观测的精度标准,个别误差的大小并不能反映精度的高低;3、n较大时,m较可靠;n较小时,m仅做参考;4、m前要冠以±号,并有计量单位。
5、m为中误差,为真误差,不要混淆。
例1设甲乙两组观测,真误差为:甲:+4”,+3”,0”,-2”,-4”;乙:+6”,+1”,0”,-1”,-5”试比较两组的精度。
解:因此甲组的精度高。
中误差的性质∙中误差表示误差分布的离散度。
等精度观测中,中误差表示一组观测值的精度,也表示单个观测值的精度。
(如上例中甲组中误差为±3.0”,同时甲组单个观测值的中误差均为±3.0”)∙概率特性。
μ为误差的数学期望,因此μ=0。
此公式表示真误差在(-σ,+σ)内出现的概率。
我们还可计算得:我们可以看到,对于真误差来说,它的值落在区间[-3σ,+3σ]几乎是肯定的事。
因此在测量工作中,我们常常取三倍中误差作为偶然误差的容许值(或限差),如果精度要求较高时,就可以取两倍中误差作为限差,即三、相对误差1.相对中误差假设现在丈量了两段距离:甲:100米,±0.01m乙:200米,±0.01m到底那组的精度高些呢?如果从中误差来看,两组的精度相等,但这样显然不合理。
因此,在距离测量中单纯地用中误差还不能反映距离丈量的精度情况,因为实际上距离测量的误差与长度相关,距离越大,误差的累积就越大,这就需要引入相对误差:(注意化为分子为1的形式)这样,,因此乙的精度更高些。
2.相对真误差在钢尺量距中我们还接触到了一个相对误差的计算公式:K = |D往- D返| / D平均这是相对真误差的计算公式(或称相对较差或相对差)。
在答题中具体采用哪个公式应根据题目给出条件和要求来定。
例:β1=28°35′18″,;β2=308°15′12″,;谁的精度高?答:由于水平角是通过两个方向的水平度盘读数相减得到的,偶然误差是在瞄准和读数时产生的,所以与水平角的大小无关,故第一组精度高。
5.3 误差传播定律例:在三角高程测量中,粗算高差,假设测角和测距的中误差是已知的,那么;水平距离,在这个例子中,粗算高差和水平距离并不是直接观测到的,而是通过一定的函数关系间接计算得到的。
这时,就要利用误差传播定律求出它们的中误差。
所谓误差传播定律,是指描述观测值中误差与其函数中误差之间关系的定律。
中误差传播公式设y为独立随机变量x1、x2…x n的函数,即求全微分得:(1)令,则由于微分与真误差都是微小量,因此可用真误差代替微分,即(2)求真误差的方差:由方差的性质可得:中误差为标准差σ的估计值,而标准差的平方就等于方差,故或(3)(为独立随机变量对应的中误差)特例:1.若,且(也就是x1、x2…xn的观测精度相等)则:即2.若,且,则5.4 误差传播定律的应用水准测量的误差分析假设我们用DS3水准仪进行了一段普通水准测量一个测站的高差中误差每站的高差为:h = a - b ;a、b为水准仪在前后水准尺上的读数,读数的中误差m读,m读≈±3mm,则每个测站的高差中误差为m站==m读≈±4mm水准路线高差的中误差如果在这段水准路线当中一共观测了n站,则总高差为:设每站的高差中误差均为m站,则取3倍中误差为限差,则普通水准路线的容许误差为:水平角观测的误差分析用DJ6经纬仪进行测回法观测水平角,那么用盘左盘右观测同一方向的中误差为±6”。
注意,6秒级经纬仪是指一个测回方向观测的平均值中误差,不是指读数的时候估读到6”。
即假设盘左瞄准A点时读数为,盘右瞄准A点时读数为,那么瞄准A方向一个测回的平均读数应为因为盘左盘右观测值的中误差相等,所以故所以瞄准一个方向进行一次观测的中误差为由于上半测回的水平角为两个方向值之差,β半=b-a即设上下半测回水平角的差值为:考虑到其它不利因素,所以将这个数值再放大一些,取20”作为上下半测回水平角互差取2倍中误差作为容许误差,所以上下半测回水平角互差应该小于40”。