空间解析几何常见的曲面共68页
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第三章_第一节 空间解析几何,李养成(新版),
它们的图像都是一条直线，z轴！
x y z a , 例3.1.4 讨论方程组 a 的图像. x y ax
x y z a 解：方程组的图像是球面 a a 与母线平行于z轴的圆柱面 x y 的交线
F x, y, z , G x, y, z
称为空间曲线的一般方程 注： (1)表示同一条曲线的方程不唯一。 (2)曲线上点的坐标都满足方程，
z
S1 S2
o
C
y
满足方程的点都在曲线上， x试考察方程
第3章 常见的曲面
本章在初步介绍空间图形与方程之间的一般关系 后，对柱面、锥面、旋转曲面以及二次曲面(包括椭球 面、单叶双曲面、双叶双曲面、椭圆抛物面和双曲抛 物面)进行讨论.
对于前三种曲面具有明显的几何特征,我们着重从 这些曲面的几何特性来建立它们的方程.
对于五种二次曲面，我们则从曲面的标准方程出 发来讨论它们的几何性质, 描述它们的几何形状.
z
点P 在该圆锥面上
L
cos OP, k cos
OP k OP k
cos
y
x
x y tan z , 整理得二次齐次方程
圆锥面的坐标式方程
习题8（1） 已知圆锥面的顶点为P0 (1, 2,3)，轴垂直于 平面 x y z ，半顶角为 ,求这圆锥面的 方程. 解 圆锥面的轴过点 P0 , 方向向量 v 2,2, 1.
特别地,当 C0 是原点时,球面方程为
x2 y2 z 2 R2
表示上(下)球面 .
C0
第七章第四节常见曲面及其方程
2
z 2 3x 绕 z 轴旋转而成的旋转曲面的方程为：_________
z 2 3 x y
2
2
3y
2
2
高等数学 第七章 向量代数与空间解析几何
7.4 常见曲面及方程
反过来， 已知旋转曲面的方程，
可以看出它的旋转轴及它是由哪条曲线旋转得来的？
如： 已知旋转曲面的方程为： 3 x 2 3 y 2 z 2 , 则
所以，在空间中方程(1)就表示以C为准线，母线平行于z轴的柱 面.
高等数学 第七章 向量代数与空间解析几何
7.4 常见曲面及方程
同理，
方程
G( y , z ) 0 在空间中表示柱面，
zl 2
y
其母线平行于 x 轴，准线为 yoz 面上的曲线 l2. 方程
H ( z, x) 0
在空间中表示柱面，
则所求的旋转曲面方程为
x 2 y 2 ( z 4)2 (4z 12)2
即
x y 17z 104z 160 0 .
2 2 2
若由方程 x 1 y z 3
1
4
1
解出
2
y 4 x 4, z x 4,
则
y z ( 4 x 4) ( x 4)
高等数学 第七章 向量代数与空间解析几何
7.4 常见曲面及方程
建立 yoz 面上曲线 C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
给定 yoz 面上曲线 C: 设
F ( y, z ) 0 ,ห้องสมุดไป่ตู้
则有
M ( x, y, z )
z
M1 (0, y1 , z1 ) C ,
z 2 3x 绕 z 轴旋转而成的旋转曲面的方程为：_________
z 2 3 x y
2
2
3y
2
2
高等数学 第七章 向量代数与空间解析几何
7.4 常见曲面及方程
反过来， 已知旋转曲面的方程，
可以看出它的旋转轴及它是由哪条曲线旋转得来的？
如： 已知旋转曲面的方程为： 3 x 2 3 y 2 z 2 , 则
所以，在空间中方程(1)就表示以C为准线，母线平行于z轴的柱 面.
高等数学 第七章 向量代数与空间解析几何
7.4 常见曲面及方程
同理，
方程
G( y , z ) 0 在空间中表示柱面，
zl 2
y
其母线平行于 x 轴，准线为 yoz 面上的曲线 l2. 方程
H ( z, x) 0
在空间中表示柱面，
则所求的旋转曲面方程为
x 2 y 2 ( z 4)2 (4z 12)2
即
x y 17z 104z 160 0 .
2 2 2
若由方程 x 1 y z 3
1
4
1
解出
2
y 4 x 4, z x 4,
则
y z ( 4 x 4) ( x 4)
高等数学 第七章 向量代数与空间解析几何
7.4 常见曲面及方程
建立 yoz 面上曲线 C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
给定 yoz 面上曲线 C: 设
F ( y, z ) 0 ,ห้องสมุดไป่ตู้
则有
M ( x, y, z )
z
M1 (0, y1 , z1 ) C ,
第三章 常见曲面
f ( x , y ) = 0, z = 0.
在此柱面上当且仅当C上有一点 点M(x,y,z)在此柱面上当且仅当 上有一点 在此柱面上当且仅当 M 0 ( x0 , y0 , z0 ),使M在过 M 0且方向为 v = (0,0,1) 的母线上 的母线上, 在过
F1 ( x − lu, y − mu, z − nu) = 0, F2 ( x − lu, y − mu, z − nu) = 0. (1.2)
再消去参数u,得到 的一个方程,就是所求柱面 再消去参数 得到x,y,z的一个方程 就是所求柱面 得到 的一个方程 的方程。 的方程。 如果柱面的准线方程用向量参数形式表示为 r1 ( s ) = ( x1 ( s ), y1 ( s ), z1 ( s )), s ∈ I1 , 则柱面方程的向量参 数形式为 r ( s, t ) = r1 ( s ) + tv , s ∈ I1 , t ∈ ( −∞ , +∞ ). 中的例2知道 母线平行于z轴的圆柱面方 由§1中的例 知道 母线平行于 轴的圆柱面方 中的例 知道,母线平行于 程中不含z,这个结论对于一般的柱面也成立 这个结论对于一般的柱面也成立。 程中不含 这个结论对于一般的柱面也成立。
F1 ( x0 , y0 , z0 ) = 0, F2 ( x0 , y0 , z0 ) = 0, x = x0 + lu, y = y + mu, 0 z = z 0 +nu.
(2.1)
M0(x0, y0, z0)
C
v
M(x, y, z)
图3.3
消去 x0 , y0 , z0 , 得
M R
θ ϕ
N
图3.1
则有
高等数学常用二次曲面图形.ppt
围成的图形如下：
y 0,
y2
12024/9/27
图30：由 z x2 y2 , z x2 y2 围成的图形如下：
z x2 y2 , z x2 y2
22024/9/27
图31：由 z x2 y2 , x2 y2 1, z 0
围成的图形：
图32： 32024/9/27
图14：函数 函
z
1 ey
cos x yey
有无穷多个
极大值，但无极小值。
z 1 ey cos x yey
图15： 62024/9/27
抛物面 z x2 y2 被平面 x y z 1
截成一椭圆。
图16： 72024/9/27
椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1 在
点
3 a, 3
x2 y2 2x
02024/9/27
图39：由曲面 z x2 y2 和平面
z 0, x 1, y 1 围成图形如下：
z 0, x 1, y 1
12024/9/27
图40：双曲抛物面 z xy 被柱面 x2 y2 1
所截得的图形如下：
x2 y2 1
图41： 22024/9/27
62024/9/27
图1（2）：x2 y2 z2 4, x2 y2 2x
的图形在第一卦限部分如下：
x2 y2 z2 4, x2 y2 2x
图2： 72024/9/27
（2）、曲线
xyz 1
y
21
处的切线
图3： 82024/9/27
（3） 曲线
2x2 y2 z2 16
图46：曲线 x2 y2 z2 1 y z 0
的图形如下：
几何常见曲面以及用途
几何常见曲面以及用途几何中的曲面是指由曲线移动而产生的曲面。
几何常见的曲面有球面、圆锥曲面、圆柱曲面、双曲面、抛物面、椭球面、超曲面等。
每种曲面都有其独特的几何特性和应用领域。
首先，球面是最常见的曲面之一。
球面是以一个点为中心，到该点的距离相等的所有点组成的曲面。
球面在几何学中是最重要和最基本的曲面之一。
在现实生活中，球面具有广泛的应用，比如地球就是一个近似球面，球体在地理学中被用来描述地球的形状和表面特征。
此外，球面也广泛应用于建筑设计、光学、计算机图形学等领域。
第二，圆锥曲面是由一条直线沿着固定点不断旋转所生成的曲面。
具体来说，圆锥曲面是由一条生成线和一个顶点组成的，例如圆锥体的表面就是一个圆锥曲面。
在现实中，圆锥曲面广泛应用于建筑设计、航空航天工程等领域。
比如，高速公路的交叉口通常会设计成圆锥形状，以实现车辆的平稳转弯。
第三，圆柱曲面是由一条直线沿着与其垂直的固定直线不断平移所生成的曲面。
圆柱曲面可分为无限高圆柱曲面和有限高圆柱曲面两种。
无限高圆柱曲面在几何学中是最基本的曲面之一，有许多重要的应用。
在现实中，圆柱曲面广泛应用于建筑设计、工程制图等领域。
比如，很多建筑物的柱子、水管等都可以近似看作圆柱曲面。
第四，双曲面是一类重要的曲面，它由两个嵌入空间的直线族所生成。
双曲面具有许多独特的几何特性，如双曲面上的任意两点之间的最短曲线是双曲线。
双曲面广泛应用于物理学、工程学等领域。
比如，太阳能反射器就常常采用双曲面的形状，以实现对太阳光的聚集。
第五，抛物面是由一条直线沿着固定点不断平移所生成的曲面。
抛物面在几何学中具有重要的地位，有许多重要的应用。
比如，卫星天线常常采用抛物面的形状，以实现对信号的接收和发送。
第六，椭球面是由一个椭圆沿着两个垂直于其平面的固定直线不断旋转所生成的曲面。
椭球面在几何学和物理学中都有着重要的应用。
在几何学中，椭球面是椭球的表面，广泛应用于建筑设计、航空航天工程等领域。
理学解析几何常见的曲面
r
o
R
x
5环面
圆（x R)2 y 2 r 2 (R r 0) 绕 y轴 旋转所成曲面 y
o z
x
.
5环面
圆（x R)2 y 2 r 2 (R r 0) 绕 y轴 旋转所成曲面 y
生活中见过这个曲面吗？
o
x
.
z
环面方程
( x2 z 2 R)2 . y2 r 2
.
或 (x2 y2 z2 R2 r 2 )2 4R2(x2 z2 )
（1）xOz
面上双曲线 x 2 a2
z2 c2
1分别绕x
轴和
z 轴；
x
x
绕x 轴旋转
x2 y2 z2 a2 c2 1
oz
o
z
旋转双叶双曲面 y
y
（1）xOz
面上双曲线
x a
2 2
z2 c2
1分别绕x
轴和 z 轴；
绕z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
1
旋转单叶双曲面
z
z
y
y
o
x
o
x
y2 （2）yOz 面上椭圆 a 2
如果曲面S 与三元方程F ( x, y, z) 0有下述关系： （1） 曲面S 上任一点的坐标都满足方程； （2）不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程；
那么，方程F( x, y, z) 0就叫做曲面 S 的方程， 而曲面S 就叫做方程的图形．
定义3.1.1 平行于定直线并沿定曲线移动 的直线所形成的曲面称为柱面.
例 1 直线L绕另一条与 L相交的直线旋转一周，
所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面
的顶点，两直线的夹角
几种常见的曲面和曲线
2
x y 2 pz
旋转抛物面
第四节 二次曲面
一、基本内容
二次曲面的定义：三元二次方程 ax2 + by2 + cz2 +dxy + exz + fyz + gx + hy + iz +j = 0 所表示的曲面称之为二次曲面． 相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面性状的平面截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌． 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．
y z 2 2 1 （2）椭圆 a 绕 y 轴和 z 轴； c 2 2 2 x 0 y x z （长形） 绕 y 轴旋转
2 2
旋 2 2 转 a c 椭 x2 y2 z2 球 （短形） 2 1 绕 z 轴旋转 2 面 a c
1
y 2 pz （3）抛物线 绕 z 轴； x0 2 2
例3 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求 生成的旋转曲面的方程．
x2 z2 （1）双曲线 2 2 1分别绕 x 轴和 z 轴； a c
x2 y2 z2 （单叶） 旋 绕 x 轴旋转 2 1 转 a c2
双 x y z 曲 （双叶） 1 绕 z 轴旋转 面 a2 c2
2 2 2
例4、将圆
( y b) 2 z 2 a 2 (b a 0) x 0 绕Z轴旋转，求所得旋转曲面的方程。 解：所求旋转曲面的方程为：
( x 2 y 2 b) 2 z 2 a 2
即：(x2+y2+z2+b2-a2)2=4b2(x2+y2)
该曲面称为圆环面。
x y 2 pz
旋转抛物面
第四节 二次曲面
一、基本内容
二次曲面的定义：三元二次方程 ax2 + by2 + cz2 +dxy + exz + fyz + gx + hy + iz +j = 0 所表示的曲面称之为二次曲面． 相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面性状的平面截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌． 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．
y z 2 2 1 （2）椭圆 a 绕 y 轴和 z 轴； c 2 2 2 x 0 y x z （长形） 绕 y 轴旋转
2 2
旋 2 2 转 a c 椭 x2 y2 z2 球 （短形） 2 1 绕 z 轴旋转 2 面 a c
1
y 2 pz （3）抛物线 绕 z 轴； x0 2 2
例3 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求 生成的旋转曲面的方程．
x2 z2 （1）双曲线 2 2 1分别绕 x 轴和 z 轴； a c
x2 y2 z2 （单叶） 旋 绕 x 轴旋转 2 1 转 a c2
双 x y z 曲 （双叶） 1 绕 z 轴旋转 面 a2 c2
2 2 2
例4、将圆
( y b) 2 z 2 a 2 (b a 0) x 0 绕Z轴旋转，求所得旋转曲面的方程。 解：所求旋转曲面的方程为：
( x 2 y 2 b) 2 z 2 a 2
即：(x2+y2+z2+b2-a2)2=4b2(x2+y2)
该曲面称为圆环面。
空间解析几何向量曲面曲线等59页PPT
1
0
、
倚
南
窗
以
寄
傲
，
审
容
膝
之Байду номын сангаас
易
安
。
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
空间解析几何向量曲面曲线等
6
、
露
凝
无
游
氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
空间解析几何-第3章 常见的曲面3
2017/1/4
直纹面的应用
2017/1/4
室外探索乐园——广东科学中心
解法二：
设过点（ 2,3， - 4）的直线方程为 x 2 lt y 3 mt z -4 nt l2 m2 n2 2 2 1 代入曲线方程得（ )t (l m n)t 0① 4 9 16 3 2 由命题3.6.（ 1 1）知过点（ 2,3， - 4）有且仅有两条直母线 ，故①为一关于 t的恒等式 l2 m2 n2 有 0 4 9 16 2 1 和l m n 0 3 2 2x z 0 x20 解得l : m : n 1 : 0 （ : - 2）或0 : 3： (-4） , 从而母线方程为 { 与{ y 3 0 4 y 3z 0
平面是直纹面
二次柱面和二次锥面都是直纹面。
其它的二次曲面中，只有单叶双曲面和双曲抛 物面是直纹面。
2017/1/4
单叶双曲面是直纹面
x2 y2 z2 2 2 1 2 a b c
含两个直母线系 直纹面在建筑学上有意义 例如，储水塔、电视塔等 建筑都有用这种结构的。
2017/1/4
空间解析几何
第3章 常见的曲面3
2017/1/4
本章主要内容
1 2 3 4 5 6 7 8 9 柱面 锥面 旋转曲面 曲线与曲面的参数方程 椭球面 双曲面（单叶双曲面，双叶双曲面） 抛物面（椭圆抛物面，双曲抛物面） 二次直纹面 作图
五种典型的 二次曲面
§3.6 直纹面
由一簇直线构成的曲面叫直纹面，其中的直线 叫直纹面的母线。
双曲抛物面（马鞍面）是直纹面
x2 y2 2 z 2 a b
含两个直母线系2017/1/4 Nhomakorabea双曲抛物面是直纹面
空间解析几何-第3章-常见的曲面2上课讲义
相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌．
以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．
§3.5.1 椭球面
x2 y2 z2 1 (a0,b0,c0)
a2 b2 c2
1.对称性：
•主平面:三坐标平面 •主轴:三坐标轴 •中心:坐标原点
2.顶点:(±a,0,0),(0,±b,0),(0,0,±c) 轴:2a,2b,2c ( ) 半轴:a,b,c 截距:±a, ±b, ±c
空间解析几何-第3章-常见的曲 面2
§3.5 五种典型的二次曲面
➢ 椭球面
➢ 双曲面
➢ 单叶双曲面 ➢ 双叶双曲面
➢ 抛物面
➢ 椭圆抛物面 ➢ 双曲抛物面
二次曲面的定义： 三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面．
相应地平面被称为一次曲面．
讨论二次曲面形状的截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面
（0，±b，0）而与z轴无实交点.
上述四点称为单叶双曲面的实顶点，
z
而与z轴的交点（0，0，±ci）
称为它的两个虚交点. （2）截距：分别用y=0,z=0和x=0,z=0，
o
y
代入得x,y轴上的截距为: xa，y b ； x 在z轴上没有截距.
3 图形的范围
x2 a2
by22
cz22
1
z
由方程
x2 a2
oy x
oy x
一、单叶双曲面
x2 a2
by22
cz22
1单叶双曲面
1 对称性（symmetric）
关于三坐标平面对称； 关于三坐标轴对称； 关于坐标原点对称，
（0，0，0）为其对称中心.
2 顶点、与坐标轴的交点和截距 (vertex and intercept)
以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．
§3.5.1 椭球面
x2 y2 z2 1 (a0,b0,c0)
a2 b2 c2
1.对称性：
•主平面:三坐标平面 •主轴:三坐标轴 •中心:坐标原点
2.顶点:(±a,0,0),(0,±b,0),(0,0,±c) 轴:2a,2b,2c ( ) 半轴:a,b,c 截距:±a, ±b, ±c
空间解析几何-第3章-常见的曲 面2
§3.5 五种典型的二次曲面
➢ 椭球面
➢ 双曲面
➢ 单叶双曲面 ➢ 双叶双曲面
➢ 抛物面
➢ 椭圆抛物面 ➢ 双曲抛物面
二次曲面的定义： 三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面．
相应地平面被称为一次曲面．
讨论二次曲面形状的截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面
（0，±b，0）而与z轴无实交点.
上述四点称为单叶双曲面的实顶点，
z
而与z轴的交点（0，0，±ci）
称为它的两个虚交点. （2）截距：分别用y=0,z=0和x=0,z=0，
o
y
代入得x,y轴上的截距为: xa，y b ； x 在z轴上没有截距.
3 图形的范围
x2 a2
by22
cz22
1
z
由方程
x2 a2
oy x
oy x
一、单叶双曲面
x2 a2
by22
cz22
1单叶双曲面
1 对称性（symmetric）
关于三坐标平面对称； 关于三坐标轴对称； 关于坐标原点对称，
（0，0，0）为其对称中心.
2 顶点、与坐标轴的交点和截距 (vertex and intercept)
空间解析几何-第3章-常见的曲面2
把方程的右边都化成1，则左边有两项正，一项负的， 就表示单叶双曲面. 而左边有两项负，一项正的，就表示 双叶双曲面.
把方程的左边都化成两项正，一项负，则右边是1的就 表示单叶双曲面，而右边是－1的，就表示双叶双曲面.
2°绘图时要注意区分“实轴”和“虚轴”，并且保证对坐 标轴的标注要符合右手系的原则.
1、椭圆抛物面
x2 a2
, 椭圆
z h.
O
结论：单叶双曲面可看作由一
个椭圆的变动（大小位置都改
x
y
变）而产生，该椭圆在变动中，
保持所在平面与xOy 面平行，
且两对顶点分别在两定双曲线
上滑动.
用平行于坐标面的平面截割
z
(2)用y = h 截曲面
x2 Cyh： a2
z2 c2
1
h2 b2
，
y h.
①当 h b时
截线为双曲线
o
y
用平行于坐标面的平面截割
(2)用y = h 截曲面
x2 Cyh： a2
z2 c2
0，
y h.
③当 h ＝b 时
截线为直线
(0 , b , 0)
单叶双曲面： x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
用y = h 截曲面
①当 h b 时
②当 h b 时
③当 h ＝b 时
x2 Cyh： a2
x2 Czh： a2
y2 b2
h2 c2
1,
z h.
结论：双叶双曲面可看作由 一个椭圆的变动（大小位置 都改变）而产生，该椭圆在 变动中，保持所在平面与 x
xOy 面平行，且两轴的端点
分别在两定双曲线上滑动.
z
o
y
（2）用 y t截曲面
把方程的左边都化成两项正，一项负，则右边是1的就 表示单叶双曲面，而右边是－1的，就表示双叶双曲面.
2°绘图时要注意区分“实轴”和“虚轴”，并且保证对坐 标轴的标注要符合右手系的原则.
1、椭圆抛物面
x2 a2
, 椭圆
z h.
O
结论：单叶双曲面可看作由一
个椭圆的变动（大小位置都改
x
y
变）而产生，该椭圆在变动中，
保持所在平面与xOy 面平行，
且两对顶点分别在两定双曲线
上滑动.
用平行于坐标面的平面截割
z
(2)用y = h 截曲面
x2 Cyh： a2
z2 c2
1
h2 b2
，
y h.
①当 h b时
截线为双曲线
o
y
用平行于坐标面的平面截割
(2)用y = h 截曲面
x2 Cyh： a2
z2 c2
0，
y h.
③当 h ＝b 时
截线为直线
(0 , b , 0)
单叶双曲面： x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
用y = h 截曲面
①当 h b 时
②当 h b 时
③当 h ＝b 时
x2 Cyh： a2
x2 Czh： a2
y2 b2
h2 c2
1,
z h.
结论：双叶双曲面可看作由 一个椭圆的变动（大小位置 都改变）而产生，该椭圆在 变动中，保持所在平面与 x
xOy 面平行，且两轴的端点
分别在两定双曲线上滑动.
z
o
y
（2）用 y t截曲面
空间解析几何-第3章 常见的曲面2
单叶双曲面 双叶双曲面
抛物面
椭圆抛物面 双曲抛物面
二次曲面的定义： 三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面． 相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面形状的截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌． 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．
x2 y 2 h2 2 2 1＋ 2 , Cz h： b c 椭圆 a z h.
z
O x y
结论：单叶双曲面可看作由一 个椭圆的变动（大小位置都改 变）而产生，该椭圆在变动中， 保持所在平面与xOy 面平行， 且两对顶点分别在两定双曲线 上滑动.
用平行于坐标面的平面截割
（1）双叶双曲面与x轴、y轴不交，而与 z轴交于（0，0，±c），此为其实顶点. （2）用x=0,y=0代入，得曲线在z轴上的 截距，而在x,y轴上无截距.
z
x
o
y
3 图形范围
x2 y 2 z2 2 1 2 2 a b c
，易知
所以曲面分成两叶，一叶在 z c 的上方，另一叶在 z c 平面的下方，曲面在面的上半空间下半空间延伸到无穷。
z
此时的单叶双曲面是双曲线
y2 z2 1, : b2 c2 x 0
o
b
y
绕虚轴（即 z 轴）旋转形成的 x .
单叶旋转双曲面
例 用一组平行平面 z h （ h 为任意实数）截割单叶双曲面
x2 y 2 z 2 2 2 1 a b 得一族椭圆，求这些椭圆焦点的轨迹. 2 a b c
（0，±b，0）而与z轴无实交点.
上述四点称为单叶双曲面的实顶点， 而与z轴的交点（0，0，±ci） 称为它的两个虚交点. （2）截距：分别用y=0,z=0和x=0,z=0，
空间解析几何演示
27. 作图练习
4
2
.
x
0
z
y
6
6
6
平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图
27. 作图练习
a
a
x
z
y
0
28. 作图练习
z = 0
y = 0
x = 0
a
a
x
z
y
0
28. 作图练习
.
a
a
x
z
y
0
学画草图
28. 作图练习
.
a
b
c
y
x
z
o
16. 椭球面
x
z
y
0
截痕法
用z = a截曲面
用y = b截曲面
用x = c截曲面
17. 椭圆抛物面
x
z
y
0
截痕法
用z = a截曲面
用y = b截曲面
用x = c截曲面
17. 椭圆抛物面
.
用z = a截曲面
用y = 0截曲面
用x = b截曲面
x
z
y
0
截痕法
（马鞍面）
18. 双曲抛物面
截痕法
.
18. 双曲抛物面
（马鞍面）
x
z
y
0
用z = a截曲面
用y = 0截曲面
用x = b截曲面
截痕法
.
18. 双曲抛物面
（马鞍面）
x
z
y
0
用z = a截曲面
用y = 0截曲面
4
2
.
x
0
z
y
6
6
6
平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图
27. 作图练习
a
a
x
z
y
0
28. 作图练习
z = 0
y = 0
x = 0
a
a
x
z
y
0
28. 作图练习
.
a
a
x
z
y
0
学画草图
28. 作图练习
.
a
b
c
y
x
z
o
16. 椭球面
x
z
y
0
截痕法
用z = a截曲面
用y = b截曲面
用x = c截曲面
17. 椭圆抛物面
x
z
y
0
截痕法
用z = a截曲面
用y = b截曲面
用x = c截曲面
17. 椭圆抛物面
.
用z = a截曲面
用y = 0截曲面
用x = b截曲面
x
z
y
0
截痕法
（马鞍面）
18. 双曲抛物面
截痕法
.
18. 双曲抛物面
（马鞍面）
x
z
y
0
用z = a截曲面
用y = 0截曲面
用x = b截曲面
截痕法
.
18. 双曲抛物面
（马鞍面）
x
z
y
0
用z = a截曲面
用y = 0截曲面
第三章常见曲面
x1,
y1,
z1的约束条件:
F1 F2
( (
x1 x1
, ,
y1 , z1 ) y1 , z1 )
0, 0.
③消去参数 x1, y1, z1得一个三元方程: F ( x, y, z) 0
二、柱面的方程
1 柱面的一般方程
Ⅰ 准线方程
C： F1 F2
x, x,
y, y,
z z
0 0
Ⅱ母线l 的方向向量 (X,Y,Z)
设圆柱面的轴线为 x x0 y y0 z z0
轴
X
Y
Z
其中: M0 (x0 , y0 , z0 ) 为轴线上的定点, v ( X ,Y , Z）为轴线方向向量.
M(x, y, z) 是圆柱面上任意点
① M0M v r
v
rM v
M1( x1, y1, z1)
M0 ( x0 , y0 , z0 )
(x 1) 2( y 2) 2(z 1) 0
圆柱面的准线方程: x2 ( y 1)2 (z 1)2 14 (x 1) 2( y 2) 2(z 1) 0
普通方法: 轴 M1(1, 2,1)
v M0(0,1, 1)
M0 M1 14
圆柱面: ①已知轴线及半径 ②已知轴线及柱面上一定点M1
此时曲面S可以记成： S {(x, y, z) R3 : F (x, y, z) 0}
空间中曲线的一般方程
空间直线可以表示为两个平面的交一样，空间两
个曲面一般地相交于一条曲线, 所以我们称方程 组
FF12
(x, (x,
y, y,
z) z)
0 0
为空间中曲线的一般方程
一、柱面的概念
定义4.1.1 在空间，由平行于定方向且与一条定曲线相交的一 族平行直线所生成的曲面叫做定柱方面向（叫c做yli柱nd面er的）方，向，
空间解析几何常见的曲面PPT学习教案
椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
与三个坐标面的交线
x2
xOy面
:
a
2
y2 b2
1
z 0
x2
xOz面
:
a
2
z2 c2
1
y 0
y2
yOz面
:
b2
z2 c2
1
x 0
椭球面的主截线（主椭圆）
z 椭球面
o
x
y
第6页/共68页
5.平截线：
z
x2 y2 z2 1
a2 b2 c2
用z = h截曲面 用y = m截曲面 用x = n截曲面
把方程的左边都化成两项正，一项负，则右边是1的就 表示单叶双曲面，而右边是－1的，就表示双叶双曲面.
2°绘图时要注意区分“实轴”和“虚轴”，并且保证对 坐标轴的标注要符合右手系的原则.
第38页/共68页
椭球面与双曲面都是中心二次曲面，它们的方程可以写成
统一的形式：Ax2 By2 Cz2 1, ABC 0.
，
；
(5)表示一个椭圆，两半轴长分别为
a
1
h2 c2
b 1 h2 c2
由于h是变化的，(5)表示一族椭圆，椭圆面可以看成 由一个椭圆变动而生成的，其在变动中始终保持所在 的平面与坐标面xoy平行.
第8页/共68页
椭球面的几种特殊情况：
(1) a b,
x2 a2
y2 a2
z2 c2
1
旋转椭球面
由椭圆
➢ 单叶双曲面 ➢ 双叶双曲面
➢ 抛物面
➢ 椭圆抛物面 ➢ 双曲抛物面
第2页/共68页
二次曲面的定义：
解析几何全册课件
e
e
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返回
例5 证明四面体对边中点的连线交于一点，且互相平分.
A
B
C
D
E
F
P1
e1
e2
e3
.
,
,
3
2
1
叫做空间向量的基底
这时
e
e
e
.
,
,
,
.
,
,
,
,
,
,
,
,
3
2
1
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
关系式
线性表示的
，
，
用
先求
取不共面的三向量
就可以了
三点重合
下只需证
两组对边中点分别为
其余
它的中点为
§1.5 标架与坐标
§1.7 两向量的数量积
§1.9 三向量的混合积
§1.8 两向量的向量积
第二章 轨迹与方程
§2.1 平面曲线的方程
§2.2 曲面的方程
§2.3 空间曲线的方程
第三章 平面与空间直线
§3.1 平面的方程
§3.3 两平面的相关位置
1
2
1
2
2
1
1
2
1
2
1
关的向量叫做线性无关
性相
叫做线性相关，不是线
个向量
那么
（
＝
使得
个数
在不全为零的
，如果存
个向量
对于
定义
n
n
n
n
n
a
a
a
n
a
e
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返回
例5 证明四面体对边中点的连线交于一点，且互相平分.
A
B
C
D
E
F
P1
e1
e2
e3
.
,
,
3
2
1
叫做空间向量的基底
这时
e
e
e
.
,
,
,
.
,
,
,
,
,
,
,
,
3
2
1
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
关系式
线性表示的
，
，
用
先求
取不共面的三向量
就可以了
三点重合
下只需证
两组对边中点分别为
其余
它的中点为
§1.5 标架与坐标
§1.7 两向量的数量积
§1.9 三向量的混合积
§1.8 两向量的向量积
第二章 轨迹与方程
§2.1 平面曲线的方程
§2.2 曲面的方程
§2.3 空间曲线的方程
第三章 平面与空间直线
§3.1 平面的方程
§3.3 两平面的相关位置
1
2
1
2
2
1
1
2
1
2
1
关的向量叫做线性无关
性相
叫做线性相关，不是线
个向量
那么
（
＝
使得
个数
在不全为零的
，如果存
个向量
对于
定义
n
n
n
n
n
a
a
a
n
a
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