相似及对应线段成比例

线段的比（一）
基础知识：
1．两条线段的比就是两条线段 的比.
线段a 的长度为3厘米，线段b 的长度为6米，两线段a,b 的比为
2. 在地图或工程图纸上， 与 的比通常称为比例尺
A 、
B 两地的实际距离AB=250m ，画在图上的距离A′B′=5cm，求图上的距离与实际距离的比
为
3．四条线段a ,b ,c ,d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即d
c b a ,那么这四条线段a ,b ,c ,d
叫做成比例线段，简称
已知四条线段a 、b 、c 、d 的长度，试判断它们是否成比例？
（1）a=16 cm b=8 cm c=5 cm d=10 cm
（2）a=8 cm b=5 cm c=6 cm d=10 cm
课堂学习：
1.两条线段的比的概念
如果选用同一个长度单位量得两条线段AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比（ratio ）AB ∶CD =m ∶n ，或写成
CD AB =n m ，其中，线段AB 、CD 分别叫做这两个线段比的前项 和后项. 如果把n m 表示成比值k ，则CD
AB =k 或AB =k ·CD . 【 例1 】在比例尺为1∶8000的某校地图上矩形运动场的图上尺寸是1cm ×2cm ，那么矩形运动场的实际尺寸是多少？
巩固练习：
在比例尺是1∶8000000的《中国行政》地图上，量得福州到上海之间的距离为7.5厘米，求福州与上海两地的实际距离是多少千米?
归纳与小结：
1、（1）度量两条线段的必须统一
（2）线段的长度的比与所选择的度量线段的长度单位无关
（3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是
2. 比例线段的概念
四条线段a ,b ,c ,d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即d
c b a =,那么这四条线段a ,b ,c ,
d 叫做成比例线段，简称比例线段（proportional segments ）.
如果a 与b 的比值和c 与d 的比值相等，那么d
c b a =或a ∶b =c ∶
d ,这时组成比例的四个数a ,b ,c ,d 叫做比例的项，两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项.即a 、
d 为外项，c 、b 为内项.
【 例2】 （杭州市）已知：1、
、2三个数，请你再添上个数，写出一个比例
式 ．
分析：这是一道多种答案的开放性创新题
巩固练习
1.线段a=4 , b=9 , a 、b 的比例中项c=_____;a 、b 、c 的第四比例d=______．
2.已知三个数1、2、3，请你再添上一个数，使它们构成一个比例式，则这个数是多少？
归纳与小结：
（1）四条线段成比例时，要将这四条线段按 列出 .
（2）线段 又叫做a ，b ，c 的第四比例项 （3）如果比例内项是两条相同的线段，即c b b a =
或a ∶b ＝b ∶c ，那么b 叫做线段a ，c 的比例中项.
小结：
1.两条线段的比的概念
2.比例线段的概念
练习：
1．如果一张地图的比例尺是1∶150000 , 在地图上量得甲乙两地的距离是4cm , 则甲、乙两地的实际距离是 _________．
2．某地的海岸线长250千米 , 在地图上测得这条海岸线长6．25cm , 则这地图的比例尺是 _________．
3．某建筑物在地面上的影长为40m , 同时高为1．2m的测竿的影长为2m , 那么该建筑物的高是_________．
4. 若a=2,b=3,c=33,则a、b、c的第四比例项d为________．
5. 下列各组线段长度成比例的是（）
A、1㎝，2㎝，3㎝，4㎝
B、１㎝，3㎝, ５㎝，５㎝
C、１㎝，２㎝，３㎝，４㎝
D、１㎝，２㎝，２㎝，４㎝
作业：
1、在YC市的1：40000最新旅游地图上，景点A与景点B的距离是15㎝，则它们的实际
距离是（）
A、60000米
B、6000米
C、600米
D、60千米
2、延长线段AB到C，使BC=2AB，那么AC∶AB=（）
A、2∶1
B、3∶2
C、1∶2
D、3∶1
3、等边三角形的边与高的比是 _________．
4、一条线段和一个角在放大10倍的放大镜下看是10㎝和60°，则这条线段的实际长
是，角的实际是
5、在同一时刻 , 量得长2米的测杆影长3．5米 , 一电线杆的影长为17．5米 , 则这电
线杆高等于 _________．
6、已知线段a、b、c、d是成比例线段，且 a = 2㎝，b = 0.6㎝，c=4㎝，那么d= ㎝.
7、如果a∶b=3∶2 , 且b是a和c的比例中项 , 那么b：c为 _________．
8、已知线段a=6cm , b=8cm , c=15cm
(1)求它们的第四比例项d；(2)求a , b的比例中项X；(3)求a , c的比例中项Y
9、某学校如图所示,比例尺是1∶2000,请你根据图中尺寸(单位:㎝),其中AB⊥AD,求出学
校的周长及面积.
9、如图，在△ABC 中，AB=6㎝，AD=4㎝，AC=5㎝，，且
AD AE AB AC =，①求AE 的长；②等式AD AE BD EC
= 成立吗？
10、已知x 是a 、b 的比例中项，且a=（52+11），b=（52-11），若x ＜0，则x=__________
11、如图，一张矩形报纸ABCD 的长AB=acm ，宽BC=bcm ，E ，F 分别是AB ，CD 的中
点，将这张报纸沿着直线EF 对折后，矩形AEFD 的长与宽之比等于矩形ABCD 的长与宽之比，则a ∶b 等于（ ） (A)2:1 (B)1: 2 (C)3:1 (D)1: 3
线段的比（二）
基础 1、若x x y -＝2，则x y
= ； 2、已知0235a b c ==≠，则b c a b ++的值是 课堂学习：
1. 比例的基本性质
两条线段的比实际上就是两个数的比.如果a ,b ,c ,d 四个数满足
d c b a =,那么ad =bc 吗？反过来，如果ad =bc ,那么
d c b a =吗？与同伴交流. 【 例1 】（1）如图，已知
d c b a ==3,求b b a +和d d c +; （2）如果
d c b a ==k （k 为常数），那么d d c b b a +=+成立吗？为什么？ （3）如果d
c b a =,那么
d d c b b a -=-成立吗？为什么？
巩固练习:
1、 已知),0,0(32≠≠=y x y x 求：⑴y
x ；⑵x y x -；⑶x y x +. 2、如果线段a 、b 、c 、d 满足ad=bc ，则下列各式中不成立的是（ ）
A 、
a c
b d = B 、1111a
c b
d ++=++ C 、a b c d b d ±±= D 、a c a b d b ±=±
归纳与小结：可以用比例的基本性质，也可用合比性质
【 例2】 （1）如果f e d c b a ==,那么b
a f d
b e
c a =++++成立吗？为什么？ （2）如果
d c b a ==…=n
m （b +d +…+n ≠0）,那么b a n d b m c a =++++++ 成立吗？为什么.?
巩固练习:已知a ：b ：c=2：3：4,且a-2b+3c=20,则a+2b+3c=
归纳与小结：连比时，可设比例系数为 k
拓展提高：已知x ∶4 =y ∶5 = z ∶6 , 则 求①222
x y z xy xz yz
+-++ ② ()x y +：(y+z) ③(x+y-3z)：(2x-3y+z)
小结：
1.熟记成比例线段的定义.
2.掌握比例的基本性质，并能灵活运用.
当堂检测：
1、已知2925a b a b +=-，则a ：b= ；
2、如果y y x + = 47，那么y
x 的值是 3、若3x －4y = 0，则
y y x +的值是 ；4、若753z y x ==,则z y x z y x -++-=________． 作业：1、如果5
3=-b b a ,那么b a =________． 2、已知（a －b ）∶（a ＋b ）= 3∶7，那么a ∶b 的值是 .
3、若8
75c b a ==,且3a －2b +c =3,则2a +4b －3c 的值是_________． 4、如图4—1—2，等腰梯形ABCD 的周长是104 cm ，AD ∥BC ，且AD ∶AB ∶BC=2∶3∶5，则这个梯形的中位线的长是（ ）cm ．
A ．72．8
B ．51
C ．36．4
D ．28
5、已知d
c b c =,则下列式子中正确的是（ ） A ．a ∶b =c 2∶
d 2 B ．a ∶d =c ∶b
C ．a ∶b =（a +c ）∶（b +d ）
D ．a ∶b =（a －d ）∶（b －d ）
6、已知xy = mn ，则把它改写成比例式后，错误的是 （ ）
A 、n x =y m
B 、m y =x n
C 、m x =n y
D 、m x =y
n 7、若点P 在线段AB 上，点Q 在线段AB 的延长线上，AB=10，
2
3==BQ ΑQ BP AP ， 求线段PQ 的长．
8、若
65432+==+c b a ,且2a －b+3c=21．试求a ∶b ∶c ．
9、已知：a ∶b ∶c=2∶3∶5，且a 、b 、c 三数之和为100，及b=ma-10，那么m 等于（ ） A ．2 B ．23 C ．3 D ．3
5 10．如果a ：b=4：3，且c ：d=9：14，那么
ac bd bd ac 743--的值应等于（ ） A ．211- B ．1411- C ．45- D ．3
2- 4.4 相似多边形
基础
1．各角 ，各边 的两个多边形叫做相似多边形。

2．若四边形ABCD ∽四边形EFGH ，则对应角有 ； 对应线段
3．相似多边形 叫做相似比。

课堂学习
【 例1 】如图所示，有三个矩形，其中是相似形的是（ ）
A ．甲和乙
B ．甲和丙
C ．乙和丙
D ．甲、乙和丙
丙乙甲 1.511.52.53
2
归纳小结：各角 ，各边 的两个多边形叫做相似多边形。

巩固练习：
1．下列图形是相似多边形的是（ ）
A ．所有的平行四边形；
B ．所有的矩形
C ．所有的菱形；
D ．所有的正方形
2．在四边形ABCD 与四边形A ′B ′C ′D ′中，∠A=∠A ′，∠B=∠B ′，∠C=∠C ′，•∠D=∠D ′，且2''''''''3
AB BC CD DA A B B C C D D A ====，则四边形________∽四边形________，且它们的相似比是________．
3．下列命题正确的是（ ）
A ．有一个角对应相等的平行四边形相似
B ．对应边成比例的两个平行四边形相似
C ．有一个角对应相等的两个等腰梯形相似；
D ．有一个角对应相等的两个菱形相
4．下列说法中正确的是（ ）
A ．相似形一定是全等形
B ．不全等的图形不是相似形
C ．全等形一定是相似形
D ．不相似的图形可能是全等
【 例2 】如图1与2,等腰梯形ABCD 与等腰梯形A ′B ′C ′D ′相似,∠A ′=65°,A ′B ′=6 cm, AB =8 cm, AD =5 cm,试求梯形ABCD 的各角的度数与A ′D ′、B ′C ′的长.
归纳小结：相似多边形的对应边 ，对应角 。

巩固练习： 图2
图
1
1．如图3，E、F分别为矩形ABCD的边AD、BC的中点，若矩形ABCD∽矩形EABF，AB=1.求矩形ABCD的面积.
【例3 】相片框（如图所示）中，内外两个矩形是否相似？（阴影部分宽度相等）
小结
1．各角，各边的两个多边形叫做相似多边形。

2．相似多边形叫做相似比。

3．相似多边形的对应边，对应角。

练习:
1．两个多边形相似的条件是（）
A．对应角相等 B．对应边相等
C．对应角相等，对应边相等 D．对应角相等，对应边成比例
2．已知如图所示的两个梯形相似，求出未知的x，y，z的长和∠α，∠β的度数．
作业：
1．以下五个命题：①所有的正方形都相似②所有的矩形都相似③所有的三角形都相似④所有的等腰直角三角形都相似⑤所有的正五边形都相似.其中正确的命题有___ ____. 2．下列图形中一定相似的是( )
A.有一个角相等的两个平行四边形
B.有一个角相等的两个等腰梯形
C.有一个角相等的两个菱形
D.有一组邻边对应成比例的两平行四边形
3. 五边形ABCDE ∽五边形A ′B ′C ′D ′E ′，若对应边AB 与A ′B ′的长分别为50厘米和40厘米，则五边形A ′B ′C ′D ′E ′与五边形ABCDE 的相似比是( )
A.5∶4
B.4∶5
C.5∶25
D.25∶5
4. 如果一个矩形对折后所得矩形与原矩形相似，则此矩形的长边与短边的比是( )
A.2∶1
B.4∶1
C.2∶1
D.1∶2
5．两个相似多边形的对应边的比是
32，则这两个多边形的相似比是
________.
6. 如图，EF AD ∽ABCD ，则∠A 的对应角是________，
∠B 的对应角是________，AB
AF ) () ( . 7．在菱形ABCD 和菱形A ′B ′C ′D ′中，∠A =∠A ′=60°，若AB ∶A ′B ′=1∶3， 则BD ∶A ′C ′=________.
8. 如图4—4—3，有一个半径为50米的圆形草坪，现在沿草坪的四周开辟了宽10米的环形跑道，那么：①草坪的外边缘与环形跑道的外边缘所成的两个圆相似吗？
②这两个圆的半径之比和周长之比分别是多少？它们有什么关系吗？
相似三角形
基础
1.三角对应，三边对应的两个三角形叫做相似三角形（similar triangles）.如△ABC与△DEF相似，记作 . 其中要写在对应位置，如A与，B 与，C与相对应, 等于相似比.
2. 一个三角形形状的草坪，其中一边长20米，在小朋友的画板上，这条边画了5厘米，其他两边都是14米，小朋友在画板上应画多长？
课堂学习
【例 1 】如果△ABC∽△DEF，那么哪些角是对应角？哪些边是对应边？对应角有什么关系？对应边呢？
解：
注意：要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上！
归纳与小结：满足三边对应，三角对应的三角形相似
巩固练习：已知：三角形ABC与三角形DEF，它们相似吗？
【例2 】（1）两个全等三角形一定相似吗？为什么？
（2）两个直角三角形一定相似吗？两个等腰直角三角形呢？为什么？
（3）两个等腰三角形一定相似吗？两个等边三角形呢？为什么？
解：
归纳与小结：由上可知，在特殊的三角形中，有的相似，有的不相似.
两个一定相似.两个一定相似.两个一定相似.两个和两个不一定相似.
巩固练习：判断：
1.所有的矩形都相似
2.所有的菱形都相似
3.有一个角是60度的菱形都相似
4.所有的正三角形都相似
5.所有的正六边形都相似
6.边数相同的正多边形都相似
【 例3】如图，有一块呈三角形形状的草坪，其中一边的长是20 m ，在这个草坪的图纸
上，这条边长5 cm ，其他两边的长都是3.5 cm ，求该草坪其他两边的实际长度. 解：
【 例4】如图,已知△ABC ∽△ADE,AE=50cm,EC=30cm,BC=70cm,∠BAC=45,
∠ACB=40°，求（1）∠AED 和∠ADE 的度数； （2）DE 的长. 解：
思考：在例4条件下，哪些线段成比例？ 解：
归纳与小结：
1. 平行于三角形一边的直线和其它 相交，所构成的三角形与原三角形相似。

如图:如果DE ∥BC,∠ADE =∠B ∠AED=∠C;AD:AB=DE :BC=AE:AC
2、平行于三角形的一边，且和其他两边相交的直线，所截得的三角形与原三角形的三边 ． 小结：1.
2.相似三角形的判定方法 .
3. 平行于三角形一边的直线和其它两边的相交，所构成的三角形与原三角形 ，所截得的三角形与原三角形的三边 ． 练习：
1.△DEF ∽△MNH ，∠D =50°,∠E =105°,则∠H =_____；
2.如图，△ADB ∽△ABC ,若∠A =75°,∠D =45°,则∠CBD =_____.
3.△ABC ∽△A 1B 1C 1，相似比为
32，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，相似比为4
5
，则△ABC ∽△A 2B 2C 2，其相似比为____________.
4.在下面的两组图形中，各有两个相似三角形，则 X= ，y= ，m= ，n= .
5.等腰直角三角形ABC 与等腰直角三角形A ′B ′C ′相似，相似比为3∶1，已知斜边AB =5 cm ，求△A ′B ′C ′斜边A ′B ′上的高.
作业
1. 1.△ABC ∽△A ′B ′C ′，如果∠A =55°，∠B =100°，则∠C ′的度数等于( )
A.55°
B.100°
C.25°
D.30°
2.如图，△ADE ∽△ACB ，∠AED =∠B ，那么下列比例式成立的是( ) A.BC DE AB AE AC AD == B.BC DE
AC AE AB AD == C.
BC DE AB AC AE AD == D.BC
DE
EC AE AB AD == 3.下列命题错误的是（ ）
A.两个全等的三角形一定相似
B.两个直角三角形一定相似
C.两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例
D.相似的两个三角形不一定全等
4.如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，BC =3，B ′C ′=1.8，则△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比为( ) A.5∶3
B.3∶2
C.2∶3
D.3∶5
5.若△ABC ∽△A ′B ′C ′，AB =2，BC =3，A ′B ′=1，则B ′C ′等于( )
A.1.5
B.3
C.2
D.1
6.若△ABC ∽△DEF ,它们的周长分别为6 cm 和8 cm ，那么下式中一定成立的是（ ） A.3AB =4DE B.4AC =3DE C.3∠A =4∠D D.4（AB +BC +AC ）=3（DE +EF +DF ）
7.△ABC 的三边长分别为2、10、2，△A ′B ′C ′的两边长分别为1和5，如果△
ABC ∽△A ′B ′C ′，那么△A ′B ′C ′的第三边的长应等于( )
A.
2
2
B.2
C.2
D.22
8.若△ABC 的三条边长的比为3∶5∶6,与其相似的另一个△A ′B ′C ′的最小边长为12 cm ，那么△A ′B ′C ′的最大边长是________.
9. 如果△ABC 和△A ′B ′C ′的相似比等于1，则这两个三角形________.
10.如果Rt △ABC ∽Rt △A ′B ′C ′，∠C =∠C ′=90°，AB =3，BC =2，A ′B ′=12，则A ′C ′=________.
11.已知△ABC 中，AB =15 cm ，BC =20 cm ，AC =30 cm ，另一个与它相似的△A ′B ′C ′的最长边为40 cm ，求△A ′B ′C ′的其余两边的长.
12.已知：△ABC 三边的比为1∶2∶3，△A ′B ′C ′∽△ABC ，且△A ′B ′C ′的最大边长为15 cm ，求△A ′B ′C ′的周长.
基础
1、判定两个三角形全等的方法有 、 、 、 ，另外，直角三角形还可以用 。

2、判定两个三角形相似的方法有：（1）定义法：三角 、三边 的两个三角形是相似三角形。

（2）定理判别： 的两个三角形是相似三角形。

课堂学习
三角形相似的判定条件一：利用两角对应相等判定两三角形相似
两角 的两个三角形相似(AA)
△ABC ∽△A ′C ′B ′
【例1】（1）已知：△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠A =40°，∠B =70°，∠A ′=40°，∠C ′
=70°。

△ABC 与△A ′C ′B ′.是否相似？为什么？
（2）已知：△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠B =25°，∠C =50°,∠B ′=105°,∠C ′=25°。

这两个三角形相似吗？
归纳与小结：利用 判定两三角形相似。

【例2】如图，4531===∠=∠∠=∠BC DE AB D B ，，， （1）ABC ∆∽ADE ∆吗？说明理由。

（2）求AD 的长。

巩固练习：如图，在等边ABC △中，P 为BC 上一点，D 为AC 上一点，且
2
6013
APD BP CD ∠===
，，，求ABC △的边长；
【例3】如图，D 、E 分别是△ABC 边AB 、AC 上的点，DE ∥BC ，
A
B
C
C /
B /
A /
C
A
B
D E B
Ｐ
Ｃ
Ｄ60
A
B
E
F （1） 图中有哪些相等的角；（2）找出图中相似的三角形，并说明理由； （3）写出三组成比例的线段；
变式1：若点D 、E 分别是△ABC 边AB 、AC 延长线上的点，且DE ∥BC ，画出图形，图中是否仍有相似三角形？若有，请写出来。

变式2:如图，点E 、F 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，且EF 不平行于BC ，要使△ABC ∽△AFE ，除公共角∠A 外，还需补充的条件是
变式3: 点E 、F 分别在△ABC 的边AB 、AC 的延长线上，且EF 不平行于BC ，画出图形，要使△ABC ∽△AFE ，除对顶角外，还需补充的条件是 。

归纳与小结：下列图形中，具备什么条件就可以用两角来判断相似？
巩固练习
：1.如图，点E C 、分别在AB AD 、上，BC 与DE 相交于一点
O ，若B D ∠=
∠，则图中相似三角形有几对？分别写出来，并对其中一
对进行证明．
2. 如图，AF ∥CD ,∠1=∠2,∠B =∠D ,你能找出图中几对相似三角形？并说明相似的理由
“A”型 “共角”
“X”型
“蝴蝶”型
Ａ
Ｃ Ｏ
Ｄ
Ｂ
Ｅ
小结
本节课主要探索了相似三角形的判定方法1，即 对应相等的两个三角形相似，并且利用这个判定方法进行有关证明和计算.
练习：
1、下列说法错误的是（ ）
A 、有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似；
B 、顶角相等的两个等腰三角形相似；
C 、有一个角是100 °的两个等腰三角形相似；
D 、有一个角相等的两个等腰三角形相似。

2.平行四边形ABCD 中，M 为对角线AC 上一点，BM 交AD 于N ，交CD 延长线于
E 。

试问图中有多少对不同的相似三角形？请尽可能多地写出来。

作业
1.如图，∠1＝∠2，请补充条件： （写出一个即可），使△ABC∽△ADE．
2．如图，DE//BC ，ＢＥ、ＣＤ交于点Ｏ，则△ADE ∽________;△ODE ∽______．
3．如图，在平行四边形ABCD 中，AF 交DC 于E ，交BC 的延长线于F ，图中的相似三角形有 对；分别为 ； 4.已知三个边长分别为2、3、5的正方形如图排列，则图中阴影部分面积为
5.点P 是△ABC 中AB 边上的一点，过点P 作直线（不与直线AB 重合）截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似，满足这样条件的直线最多有 条，分别在图形中画出来。

6.如图，已知AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，（1）求证：△ABD ∽△CBA ∽△CAD ；（2）若BD=1，CD=4，求AD 的长
F
E
D C
B A
O
E
D
C B
A
7.如图，梯形ABCD 中，AB DC ∥，90B =∠，E 为BC 上一点，且AE ED ⊥． 若
12BC =，7DC =，BE ∶EC =1∶2，求AB 的长．
8．如图，AC BD ⊥，垂足为C ，过D 点作DF AB ⊥，垂足为
F ，交AC 于E 点．请找出图中所有的相似三角形,并对其中的一对进行
证明．
9.如图，已知△ABC 、△DEF 均为正三角形，D 、E 分别在AB 、BC 上。

请找一个与△DBE 相似的三角形并证明。

10.将两块完全相同的等腰直角三角板摆放成如图的样子，假设图形中的所有点、线都在同一平面内，回答下列问题： （1）图中共有多少个三角形？把它们一一写出来；
（2）图中有相似三角形吗？如果有，把它们一一写出来，并选择其中一对进行证明。

三角形相似的条件（二）
基础：
1.两边对应成比例且 的两个三角形相似（类似SAS ）
右图能不能判断两三角形相似，为什么？
ＢＣ
2.三边 的两个三角形相似（类似SSS ）右面每组的两个三角形是否相似？为什么
课堂学习
思考：到目前为止，共学习了几种判定三角形相似的办法（除定义外）？分别写出来。

例1.如图，在ABC △中，点D E 、分别在边AC AB 、上，且2
3AE AD AC AB ==，（1）ABC △与△ADE 相似吗？（2）若4DE =cm ，求BC 的长
归纳与小结：两边对应成比例且夹角相等的三角形相似；
巩固练习：1.如图，4cm 9cm 5cm 12cm AO DO AB BC O ====，，，，为BC 的中点，求CDO △的周长．
2.如图，D 为ABC △的边BC 上的一点，连接AD ，要使ABD CBA △∽△，应具备下
列条件中的（ ） Ａ．AC AB
CD BD = Ｂ．BC BD AB ⋅=2
Ｃ．
AB BC
CD AD
=
Ｄ．CB CD AC ⋅=2
例2.如图，AB:AD=AC:AE=BC:DE,∠1=∠2吗？为什么？
巩固练习： 1.如图，△ABC 与△A ′B ′C ′相似吗？ 你有哪些判断方法？
2.已知：ΔABC 中，AB=1.5cm, AC=2cm, BC=3cm;ΔDEF 中,DE=3cm,DF=4cm,EF=6cm,判定Δ
ABC 与ΔDEF 是否相似?为什么?
Ａ Ｅ
ＢＣ
Ｄ
Ａ Ｂ
Ｄ
Ｃ
Ａ
Ｂ
Ｏ
Ｄ
Ｃ
例3.如图，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为B 、C ，且AB=4，DC=3，BC=13，BC 上是否存在点P 使△ABP 与△DCP 相似？若有，有几个？并求出此时BP 的长，若没有，
请说明理由。

巩固练习：．如图，点C 、D 在线段AB 上，且ΔPCD 是等边三角形． (1)当AC ，CD ，DB
满足怎样的关系时，ΔACP ∽ΔPDB ； (2)当ΔPDB ∽ΔACP 时，试求∠APB 的度数．
小结
1.判定三角形相似的方法除定义外有 种，分别为 、 、 ；
2.已知有一角相等时，可考虑判定方法 ，已知有两边对应成比例时，可考虑判定方法 。

练习
1.在ABC △和A B C '''△中，326cm 10cm 32A AB A B A '''∠===∠=，，，，
3cm AC =，5cm A C ''=，则ABC △与A B C '''△是否相似？ （填“是”或“不
是”）．
2、不能使 △ABC 与△DEF 相似的条件是（ ）
A 、∠B=∠F ， ∠C=∠E ；
B 、∠A=∠D=70°,∠B =60°，∠E=50°；
C 、∠A=∠D=65°,AB=DF=6cm ，AC=4cm ，DE=9cm ；
D 、∠B=∠
E ，AB ∶AC=DE ∶E
F ，
3.如右图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC △相似的是（ ）
B
C
B
A
P
4．要做两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边的长分别为4、5、6，另一个三角形框架的一边长为2，怎样选料可使这两个三角形相似？你选的木料唯一吗？
三角形相似的条件（二）练习
1．已知△ABC 如右图，则下列4个三角形中，与△ABC 相似的是（ ）
2.如图，D 、E 分别是AB 、AC 上两点，CD 与BE 相交于点O ， 下列条件中不能使ΔABE 和ΔACD 相似的是
（ ）
A. ∠B=∠C
B. ∠ADC=∠AEB
C. BE=CD ，AB=AC
D. AD ∶AC=AE ∶AB 3.在矩形ABCD 中，E 、F 分别是CD 、BC 上的点，若∠AEF=90°，
则一定有
（ ）
A ΔADE ∽ΔAEF
B ΔECF ∽ΔAEF
C ΔADE ∽ΔECF
D ΔAEF ∽ΔABF
4．如图5，AB=BC=CD=DE ，∠B=90°，则∠1+∠2+∠3等于（ ）．
A ．45°
B ．60°
C ．75°
D ．90°
5.在△ABC 中，AB=8，AC=6，点D 在AC 上，且AD=2，若要在AB 上找一点E ， 使△ADE 与原三角形相似，那么AE= 。

6.如图，在△ABC 中，点D 在AB 上，请再添一个适当的条件，使△ADC ∽△ACB ，那么可添
加的条件是 。

7.如图，DE 与BC 不平行，当 （填有关边的条件）时，ΔABC 与ΔADE 相似。

8.如图，在ABC ∆中，C ABC ∠=∠2，BD 平分ABC ∠，
A
B
C
D
试说明：AB·B C = AC·CD
9.（1）已知：如图，在正方形ABCD 中，P 是BC 上的点，且BP=3PC ， Q 是CD 的中点.ΔADQ 与ΔQCP 是否相似？为什么？（2）ΔAQP 与ΔQCP 是否相似？为什么？若ABCD 为矩形呢？
10．（1）如图3，已知A （3，0），B （0，6），且∠ACO=•∠BAO ，•求点C•的坐标和 线段AC 的长
（2）如图，在直角坐标系中有两点A(4,0)、B(0,2)，如果点C 在x 轴上(C 与A 不重合)，使得由点B 、O 、C 组成的三角形与ΔAOB 相似(至少写出两个满足条件的点的坐标), 求点C 的坐标
11．如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AD=1，BC=8，AB=6，点P 在高AB 上滑动，当AP 长为多少时，△DAP 与△PBC 相似，并说明你的理由．
P
D
C
B
A
相似多边形的性质（一）
基础：
1.如果两个相似三角形对应高的比为4∶5, 那么这两个相似三角形的相似比是 ，对应中线的比是 ，对应角平分线的比是 。

2.已知△ABC ∽△C B A '''，AD 是△ABC 的中线，D A ''是△C B A '''的中线，若
2
1
=''D A AD ，且△ABC 的周长为20cm ，则△C B A '''的周长为_______ 3.两个三角形的相似比为2:3，它们的面积之和为78，则较大三角形的面积为________.
课堂学习：
【 例1 】钳工小王准备按照比例尺为3∶4的图纸制作三角形零件，如图4－38，图纸上的△ABC 表示该零件的横断面△A ′B ′C ′，CD 和C ′D ′分别是它们的高. （1）
B A AB '',
C B BC '',C A AC
'
' , 各等于多少？（2）△ABC 与△A ′B ′C ′相似吗？如果相似，请说明理由，并指出它们的相似比.（3）请你在图中再找出一对相似三角形.（4）D C CD
'
'等于多少？你是怎么做的？与同伴交流.
2.议一议
已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为k . （1）如果CD 和C ′D ′是它们的对应高，那么
D C CD
'
'等于多少？ （2）如果CD 和C ′D ′是它们的对应角平分线、对应中线呢？,那么
D C CD
'
'等于多少？
归纳与小结：
相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于 .
巩固练习：把一根长40cm 的细铁丝截成两段，把每段折成一个等边三角形，两个等边三
角形的高的比为3∶1，则它们的边长分别为＿＿＿和＿＿＿.
【 例2 】△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为
4
3
.（1）请你写出图中所有成比例的线段. （2）△ABC 与△A ′B ′C ′的周长比是多少？你是怎么做的？
（3）△ABC 的面积如何表示？△A ′B ′C ′的面积呢？△ABC 与△A ′B ′C ′的面积比
是多少？与同伴交流.如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，那么△ABC 与△A ′
B′C′的周长比和面积比分别是多少？
图4－45
巩固练习：
1.在设计图上，某城市中心有一个矩形广场，设计图的比例尺是1∶10000,图上矩形与实
际矩形相似吗？如果相似，它们的相似比是多少？图上矩形与实际矩形的周长比是多少？面积比呢？
2．如图，矩形ABCD的面积是72，AE=1
2
DC，BF=
1
2
AD，那么矩形EBFG的面积是（）
A．24 B．18 C．12 D．9
3.如图，平行四边形ABCD中，AE∶EB=1∶2，
则△AEF与△CDF的周长的比为．
如果S△AEF=6cm2，则S△CDF=
归纳与小结：
相似多边形的周长比等于，面积比等于 .
小结：
本节课我们重点研究了相似多边形的对应线段（高、中线、角平分线）的比，周长比都等于相似比，面积比等于相似比的平方.
练习：
1.如果两个相似三角形对应高的比是1∶2，那么它们的面积比是．
2．两个相似多边形的周长分别为80cm，140cm，面积的和为130c㎡，则两个多边形的面积
分别为 ．
3．小瑞家住在锦绣花园，在其平面图上看出，占地16公顷（1公顷=10000平方米）的锦绣花园在平面上的面积为400cm 2，则该平面图的比例尺是（ ）． A ．1∶400 B ．1∶4000 C ．1∶200 D ．1∶2000
4.用3倍的放大镜把△ABC 放大后，周长是原来的 ，面积是原来的 。

作业：
1.若△ABC ∽△A ′B ′C ′，AB=4，BC=5，AC=6，△A ′B ′C ′的最大边长为15，那么它们的相似比是________,△A ′B ′C ′的周长是________.
2.两个相似三角形的相似比为2∶3，它们周长的差是25，那么较大三角形的周长是________.
3.把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的2
1
倍，那么边长应缩小到原来的________倍.
4. .1，其中一个三角形面积是9，则另一个三角形的面积是＿＿＿
5.某市的一矩形广场被按1∶10000的比例尺画在图上，则图上矩形与实际矩形周长比与面积比分别是（ ）
A.1∶10000，1∶100000000
B.1∶10000，1∶10000
C.1∶100，1∶10000
D.1∶10000，1∶100
图4—8—1
图4—8—3 图4—8—4
6.如图4—8—1，在
ABCD 中，延长AB 到E ，使BE =
2
1
AB ，延长CD 到F ，使DF =DC ，EF 交BC 于G ，交AD 于H ，则△BEG 与△CFG 的面积之比是________.
7.如图4—8—3，在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，△ADE 和四边形BCED 的面积分别记为S 1、S 2，那么
2
1
S S 的值为（ ） A.
2
1
B.
4
1
B
C
G F D E A
A
S 1 D E S 2
F G S 3
B C
C.
3
1 D.
3
2 8.如图4—8—4，在Rt △ABC 中，AD 为斜边BC 上的高，若S △CAD =3S △ABD ，则AB ∶AC 等于（ ）
A.1∶3
B.1∶4
C.1∶3
D.1∶2 9.顺次连结三角形三边的中点，所成的三角形与原三角形对应高的比是（ ）
A.1∶4
B.1∶3
C.1∶2
D.1∶2
10．如图，DE ∥FG ∥BC ，且AD =DF =FB ， 则S △AFG ∶S △ABC 等于（ ）
．
A ．2∶3
B ．3∶5
C ．4∶9
D ．6∶9
11如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图．已知桌面的直径为1．2米，桌面距离地面1米．若灯泡距离地面3米，则地面上阴影部分的面积为（ ） A ．0.36π平方米 B ．0.81π平方米 C ．2π平方米 D ．3.24π平方米
12.某生活小区开辟了一块矩形绿草地，并画了甲、乙两张规划图，其比例尺分别为1∶200和1∶500，求这块矩形草地在甲、乙两张图纸上的面积比.
相似多边形的性质（二）
基础练习：
1. 已知：如图所示，△ABC 中，DE//FG//BC ．（1）若AD=DF=FB ，则S 1:S 2:S 3= ≡ （2）若S 1:S 2:S 3=1:8:27，则AD:DF:FB= ．
A
D B
C
F
G E
2. 如图，在ABC △中，D E ，分别是AB 和AC 的中点，F 是BC 延长线上一点，DF 平分CE 于点G ，1CF =，则BC = ，ADE △与ABC △的周长之比为 ，CFG △与BFD △的面积之比为 ．
课堂学习：
【 例1 】如图，△ABC 中，底边BC=60cm ，高AD=40cm ，四边形PQRS 是正方形， （1） △ASR 与△ABC 相似吗？为什么？ （2） 求正方形PQRS 的边长．
归纳与小结：本题就是利用相似三角形对应边的比等于对应高的比列方程求解.
巩固练习:一块直角三角形木版的一条直角边AB 为1.5m ，面积为1.52m ，要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，小明打算按图3进行加工，小华准备按图4进行裁料，他们谁的加工方案符合要求?
归纳与小结：解决这类合理下料问题的方法步骤是:①画出符合题意的图形;②用相似三角形的性质求内接正方形的边长;③求出面积并进行合理决策.
【 例 2 】 已知：ABCD 是梯形，AB//DC ，对角线AC ，BD 交于E ，ΔDCE 的面积与
ΔCEB 的面积比为1∶3． 求：ΔDCE 的面积与ΔABD 的面积比．
归纳与小结：ΔDCE 与ΔCEB 是等高三角形，因此面积比为底的比 巩固练习：
在正方形ABCD 中，点E 是BC 边上一点，且:2:1BE EC =，
AE 与BD 交于点F ，
图
3 图4
A
D
F
B
E
C
则AFD △与四边形DFEC 的面积之比是_________． 小结：
相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，运用这两个性质解决实际问题时，一定要弄清他们的关系，并努力把实际问题与之联系，从而把实际问题简单化.. 练习：
1. 如图1，矩形EFGH 内接于△ABC ，AD ⊥BC 于D ，交EH 于 P ，若矩形的周长为24，BC=10，AP=16，则BPC S ∆=
2.已知：如图，正方形ABCD 中，E 是AC 上一点，EF ⊥AB 于F ，EG ⊥AD 于G ，
AB=6，AE ∶EC=2∶1，
则S 四边形AFEG = ．
3.如图2，把△ABC 沿AB 边平移到△C B A '''的位置，它们的重叠部分(即图中阴影部分)的面积是△ABC 面积的一半，若AB=2，则此三角形移动的距离A A '= 。

作业：
1. 有一块多边形草坪，在市政建设设计图纸上的面积为2
300cm ，其中一条边的长度为
5cm ．经测量，这条边的实际长度为15m ，则这块草坪的实际面积是（ ）
A ．2
100m
B ．2
270m
C ．2
2700m
D ．2
90000m
2．一个多边形的边长分别为2，3，4，5，6，另一个多边形和这个多边形相似，其最短边长为6，则最长边长为 ,
3. 两个相似三角形的面积比为11∶7，则对应高的比为＿＿＿，周长比为＿＿＿.
图1 '
图2。