专题复习中考数学归纳与猜想(含答案)

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含答案数学中考专题：猜想与证明综合压轴题

(2)如图2，若AB＞DC，在平面内将图1中△DCE绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜120°），连接BD、AE，交于点O，连接OC，在△CDE运动过程中，猜想线段AO，OC，BO之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，将△DCE绕点C顺时针旋转30°，连接BD，点F、G为直线BD上两个动点，且FG＝，连接CF，AG．若CD＝2，AB＝ CD，求CF+FG+GA的最小值．
3．如图，以△ABC中的AB、AC为边分别向外作正方形ADEB，ACGF，连接DC、BF．（相关知识链接：正方形的四条边都相等，四个角都是直角）
(1)观察图形，利用旋转的观点说明：△ADC绕着点逆时针旋转°得到．
(2)猜想：CD与BF有怎样的数量关系和位置关系？并证明你的猜想．
4．如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的点（点E不与点B，C重合），且．
∵∠GDF=90°，
∴∠FDM=∠GDN．
∴ FDM≌ GDN．
∴DF与DG的数量关系是④．
(2)猜想论证：当∠B=30°时，如图2，试猜想DF与DG的数量关系并证明你的结论．
(3)拓展运用：若，BF=5，如图3，求BC的长．（直接写出结果不说明理由）
11．如图1，在中，，，，点，分别是边，的中点，连接．
(1)【思考尝试】同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题．
(2)【实践探究】希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），是等腰直角三角形，，连接CP，可以求出的大小，请你思考并解答这个问题．
九年级数学中考专题：猜想与证明综合压轴题

中考数学专题知识点45 规律猜想型问题2021

一、选择题16．（2021•怀化）观察等式：2+22＝23﹣2，2+22+23＝24﹣2，2+22+23+24＝25﹣2，…，已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，若2100＝m，用含m的代数式表示这组数的和是．m2﹣m【解析】由题意得2100+2101+2102+…+2199＝（2+22+23+…+2199）﹣（2+22+23+…+299）＝（2200﹣2）﹣（2100﹣2），＝（2100）2﹣2100＝m2﹣m.10．(2021·济宁) 按规律排列的一组数据：，，□，，，，…，其中□内应填的数是（）A．B．C．D．{答案}D{解析}观察这排数据发现：分子为连续的奇数，分母为序号的平方+1，∴第n个数据为：．当n＝3时，□的分子为5，分母＝32+1＝10，∴这个数为＝．11．(2021·玉林)观察下列树枝分杈的规律图，若第n个图树枝数用Y n表示，则Y9﹣Y4＝（）A．15×24B．31×24C．33×24D．63×24B {解析}由第1个图可知是Y1=1，第2个图可知Y2=1+2=3，第3个图Y3=1+2+22=7,第4个图Y4=1+2+22+23=15，可知Y n=2n-1.即Y9=29-1.因此Y9﹣Y4＝29-1-（24-1）=29-24=24（25-1）=31×24．10．（2021•绍兴）数学兴趣小组同学从“中国结”的图案（图1）中发现，用相同的菱形放置，可得到更多的菱形．如图2，用2个相同的菱形放置，得到3个菱形．下面说法正确的是（）A．用3个相同的菱形放置，最多能得到6个菱形B．用4个相同的菱形放置，最多能得到16个菱形C．用5个相同的菱形放置，最多能得到27个菱形D．用6个相同的菱形放置，最多能得到41个菱形B【解析】如图所示，用2个相同的菱形放置，最多能得到3个菱形；用3个相同的菱形放置，最多能得到8个菱形，用4个相同的菱形放置，最多能得到16个菱形．16．（2021•常德）如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有1×1个小正方形，所有线段的和为4，第二个图形有2×2个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有3×3个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n个网格中所有线段的和为.（用含n的代数式表示）2n（n+1）【解析】∵第一个图形有1×1个小正方形，所有线段的和为4＝2×1×2，第二个图形有2×2个小正方形，所有线段的和为12＝2×2×3，第三个图形有3×3个小正方形，所有线段的和为24＝2×3×4，•，按此规律，则第n个网格中所有线段的和为2n（n+1）.6．（2021•云南）按一定规律排列的单项式：a2，4a3，9a4，16a5，25a6，…，第n个单项式是（）A．n2a n+l B．n2a n﹣1C．n n a n+1D．（n+1）2a nA【解析】∵第1个单项式a2＝12•a1+1，第2个单项式4a3＝22•a2+1，第3个单项式9a4＝32•a3+1，第4个单项式16a5＝42•a4+1，……∴第n（n为正整数）个单项式为n2a n+1．14．（2021•临沂）实验证实，放射性物质在放出射线后，质量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢，实际上，物质所剩的质量与时间成某种函数关系．如图为表示镭的放射规律的函数图象，据此可计算32mg镭缩减为1mg所用的时间大约是（）A．4860年B．6480年C．8100年D．9720年C【解析】由图可知：1620年时，镭质量缩减为原来的12，再经过1620年，即当3240年时，镭质量缩减为原来的14=122，再经过1620×2＝3240年，即当4860年时，镭质量缩减为原来的18=123，...，∴再经过1620×4＝6480年，即当8100年时，镭质量缩减为原来的125=132，此时32×132=1mg．12．（2021•烟台）由12个有公共顶点O 的直角三角形拼成的图形如图所示，∠AOB ＝∠BOC ＝…＝∠LOM ＝30°．若OA ＝16，则OG 的长为（）A ．274B ．14C ．9√32D ．27√3812．A ．解析：由图可知，∠ABO ＝∠BCO ＝…＝∠LMO ＝90°，∵AOB ＝∠BOC ＝…＝∠LOM ＝30°，∴∠A ＝∠OBA ＝∠BCD ＝…＝∠OLM ＝60°，∴AB =12OA ，OB =√3AB =√32OA ，同理可得，OC =√32OB ＝（√32）2OA ，OD =√32OC ＝（√32）3OA ，…OG =√32OF ＝（√32）6OA ＝（√32）6×16=274．故选：A ．9．（2021•达州）在平面直角坐标系中，等边△AOB 如图放置，点A 的坐标为（1，0），每一次将△AOB 绕着点O 逆时针方向旋转60°，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到△A 1OB 1，第二次旋转后得到△A 2OB 2，…，依次类推，则点A 2021的坐标为（）A ．（﹣22020，−√3×22020）B ．（22021，−√3×22021）C ．（22020，−√3×22020）D ．（﹣22021，−√3×22021）C 【解析】由已知可得：第一次旋转后，A 1在第一象限，OA 1＝2，第二次旋转后，A 2在第二象限，OA 2＝22，第三次旋转后，A 3在x 轴负半轴，OA 3＝23，第四次旋转后，A 4在第三象限，OA 4＝24，第五次旋转后，A 5在第四象限，OA 5＝25，第六次旋转后，A6在x轴正半轴，OA6＝26，.....．如此循环，每旋转6次，A的对应点又回到x轴正半轴，而2021＝6×336+5，∴A2021在第四象限，且OA2021＝22021，示意图如下：OH=12OA2021＝22020，A2021H=√3OH=√3×22020，∴A2021（（22020，−√3×22020）.9．（2021•十堰）将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（）A．2025 B．2023 C．2021 D．2019B【解析】由题意可知：行数为1的方阵内包含“1”，共1个数；行数为2的方阵内包含“1、3、5、7”，共22个数；行数为3的方阵内包含“1、3、5、7、9、11、13、15、17”，共32个数；∴行数为32的方阵内包含“1、3、5、7、......”共322个数，即共1024个数，∴位于第32行第13列的数是连续奇数的第（1024﹣12）═1012个数，∴位于第32行第13列的数是：2×1012﹣1═2023．故选B．9．（2021•随州）根据图中数字的规律，若第n个图中的q＝143，则p的值为（）A．100 B．121 C．144 D．169B 【解析】通过观察可得规律：p ＝n 2，q ＝（n +1）2﹣1，∵q ＝143，∴（n +1）2﹣1＝143，解得：n ＝11， ∴p ＝n 2＝112＝121.6．(2021·鄂州) 已知1a 为实数﹐规定运算：2111a a =-，3211a a =-，4311a a =-，5411a a =-，……，111n n a a -=-．按上述方法计算：当13a =时，2021a 的值等于（） A ．23- B ．13 C ．12- D ．23D{解析}把13a =代入211121133a a =-=-=，把223a =代入321112a a =-=-，把312a =-代入43113a a =-=，把43a =代入得523a =，……，由此发现这几个结果是4个一循环，2021÷4=505……1， 2021a 的值与2a 的值相同，为23．二、填空题 22．(2021·绥化)下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三角形，图②中有5个三角形，图③中有11个三角形，图④中有19个三角形…依此规律，则第n 个图形中三角形个数是．22． n 2＋n －1解析：观察图中三角形的个数与图形的序号的关系，有如下规律: 第①个图形: 12＋0，第②个图形: 22＋1，第③个图形: 32＋2，第④个图形: 42＋3， . ……第n 个图形: n 2＋n －1. 故答案为: n 2＋n －1.16．（2021·仙桃）如图，在平面直角坐标系中，动点P 从原点O 出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得点P 1（﹣1，﹣1）；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点P 2；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点P 3；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点P 4，…，按此作法进行下去，则点P 2021的坐标为．①第n个图形(-1011,-1011)【解析】先根据点坐标的平移变换规律求出点P 2(1,1),P 3(-2,-2),P 4(2,2),P 5(-3,-3)，归纳类推得：点P 2n -1(-n ,-n )，其中n 为正整数， ∵2021=2×1011-1，∴点P 2021的（-1011，-1011）.13．（2021•嘉兴）观察下列等式：1＝12﹣02，3＝22﹣12，5＝32﹣22，…按此规律，则第n 个等式为2n ﹣1＝． n 2﹣（n ﹣1）218．（2021•泰安）如图，点B 1在直线l ：y =12x 上，点B 1的横坐标为2，过点B 1作B 1A 1⊥l ，交x 轴于点A 1，以A 1B 1为边，向右作正方形A 1B 1B 2C 1，延长B 2C 1交x 轴于点A 2；以A 2B 2为边，向右作正方形A 2B 2B 3C 2，延长B 3C 2交x 轴于点A 3；以A 3B 3为边，向右作正方形A 3B 3B 4C 3，延长B 4C 3交x 轴于点A 4；…；照这个规律进行下去，则第n 个正方形A n B n B n +1∁n 的边长为（结果用含正整数n 的代数式表示）．√52×(32)n ﹣1【解析】设直线y =12x 与x 轴夹角为α，过B 1作B 1H ⊥x 轴于H ，如图：∵点B 1的横坐标为2，点B 1在直线l ：y =12x 上，令x ＝2得y ＝1,∴OH ＝2，B 1H ＝1，OB 1=√OH 2+B 1H 2=√5，∴tanα=B 1H OH=12,Rt △A 1B 1O 中，A 1B 1＝OB 1•tanα=√52，即第1个正方形边长是√52，∴OB 2＝OB 1+B 1B 2=√5+√52=√52×3，Rt △A 2B 2O 中，A 2B 2＝OB 2•tanα=√52×3×12=√52×32，即第2个正方形边长是√52×32， ∴OB 3＝OB 2+B 2B 3=√52×3+√52×32=√52×92， Rt △A 3B 3O 中，A 3B 3＝OB 3•tanα=√52×92×12=√52×94，P 1 P 3P 2P 4即第3个正方形边长是√52×94=√52×（32）2， ∴OB 4＝OB 3+B 3B 4=√52×92+√52×94=√52×274，Rt △A 4B 4O 中，A 4B 4＝OB 4•tanα==√52×274×12=√52×278，即第4个正方形边长是√52×278=√52×(32)3，.....．观察规律可知：第n 个正方形边长是√52×(32)n ﹣1． 18．（2021•扬州）将黑色圆点按如图所示的规律进行排列：图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，…，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为．1275【解析】第①个图形中的黑色圆点的个数为：1，第②个图形中的黑色圆点的个数为：(1+2)×22=3，第③个图形中的黑色圆点的个数为：(1+3)×32=6，第④个图形中的黑色圆点的个数为：(1+4)×42=10，…第n 个图形中的黑色圆点的个数为n(n+1)2，则这列数为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，…，其中每3个数中，都有2个能被3整除， 33÷2＝16…1，16×3+2＝50，则第33个被3整除的数为原数列中第50个数，即50×512=1275．16．(2021·铜仁)观察下列各项：112，124，138，1416，…，则第n 项是______________． 12nn +{解析}此题属于数字类规律问题。

中考数学复习攻略专题1 规律探索与归纳推理(含答案)

重点专题突破专题一规律探索与归纳推理中考重难点突破数式规律数式规律类问题通常是先给出一组数或式子，要求通过观察、归纳这组数或式子的共性规律，写出一个一般性的结论．解决这类题目的关键是找出题目中的规律，即不变的和变化的，变化部分与序号的关系．常见数列规律❶2，4，6，8，10，12，… 2n (从2开始的连续偶数) ❷1，3，5，7，9，11，… 2n －1(从1开始的连续奇数)❸1，4，9，16，25，36，… n 2(正整数平方) ❹2，4，8，16，32，64，… 2n (2的整数次幂) ❺－1，1，－1，1，－1，1，…(－1)n (奇负偶正)❻1，－1, 1，－1, 1，－1，… (－1)n ＋1或(－1)n －1(奇正偶负)【例1】(2021·铜仁中考)观察下列各项：112 ，214 ，318 ，4116 ，…，则第n 项是__n ＋12n __．【解析】根据已知可得出规律：第一项：112 ＝1＋121 ，第二项：214 ＝2＋122 ，第三项：318 ＝3＋123 ，…，从而可以得出第n 项．本题属于数字类规律问题，根据已知各项的规律得出结论是解决此类题目的关键．【例2】(2020·百色一模)观察下列等式：1－12 ＝12 ，2－25 ＝85 ，3－310 ＝2710 ，4－417 ＝6417，…，根据你发现的规律，则第20个等式为 __20－20401 ＝8 000401__ .【解析】根据题意可知，这列等式的左边的被减数是从1开始的连续整数，减数是一个分数，并且分子和被减数相同，分母是被减数的平方加1；右边也是一个分数，分子是被减数的立方，分母和减数的分母相同，由此可写出第20个等式为：20－20202＋1 ＝203202＋1 ，最后化简即可．1．按一定规律排列的单项式：a ，－2a ，4a ，－8a ，16a ，－32a ，…，则第n 个单项式是( A )A ．(－2)n －1a B ．(－2)n aC ．2n －1a D ．2n a 2．(2020·百色二模)小说《达·芬奇密码》中的一个故事里出现了一串神秘排列的数：1，1，2，3，5，8，…，则这列数的第8个数是__21__.3．观察下面由※组成的图案和算式，解答问题：1＋3＝4＝22，1＋3＋5＝9＝32， 1＋3＋5＋7＝16＝42， 1＋3＋5＋7＋9＝25＝52， ……猜想：1＋3＋5＋7＋9＋…＋(2n －1)＋(2n ＋1)＋(2n ＋3)＝__(n ＋2)2__．图形规律图形规律类问题主要涉及图形的组成、分拆等过程，解答此类问题时，要将后一个图形与前一个图形进行比较，明确哪部分发生了变化，哪部分没有发生变化，分析其联系和区别，有时需要多画出几个图形进行观察，有时规律是循环性的，在归纳时要运用对应思想和数形结合思想．【例3】观察下列砌钢管的横截面图：则第n 个图的钢管数是__32 n 2＋32 n __(用含n 的式子表示).【解析】本题可先依次列出n ＝1，2，3，…时的钢管数，再根据规律依次类推，可得出第n 个图的钢管数．第1个图的钢管数为1＋2＝3＝3×1；第2个图的钢管数为2＋3＋4＝9＝3×(1＋2)；第3个图的钢管数为3＋4＋5＋6＝18＝3×(1＋2＋3)；第4个图的钢管数为4＋5＋6＋7＋8＝30＝3×(1＋2＋3＋4)；……依次类推，第n 个图的钢管数为3×(1＋2＋3＋4＋…＋n )＝32 n 2＋32n .4．(源于沪科七上P83)在公园内，牡丹按正方形种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数(n )和芍药的数量规律，那么当n ＝11时，芍药的数量为( B )A ．84株B ．88株C ．92株D ．121株 5．(2021·遂宁中考)下面图形都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第__20__个图形共有210个小球．6．下图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n 个图案中有m 个涂有阴影的小正方形，那么m 与n 的函数关系式为__m ＝4n ＋1__．与坐标有关的规律与坐标有关的规律类问题要求探索图形在运动过程中的规律，通常以平面直角坐标系为载体探索点的坐标的变化规律．解答时，应先写出前几次的变化过程，并将相邻两次的变化过程进行比照，明确哪些地方发生了变化，哪些地方没有发生变化，逐步发现规律，从而使问题得以解决．【例4】如图，直线l 为y ＝3 x ，过点A 1(1，0)作A 1B 1⊥x 轴，与直线l 交于点B 1，以原点O 为圆心，OB 1长为半径画圆弧交x 轴于点A 2；再作A 2B 2⊥x 轴，交直线l 于点B 2，以原点O 为圆心，OB 2长为半径画圆弧交x轴于点A 3……按此作法进行下去，则点A n 的坐标为(__2n －1，0__).【解析】∵直线l 为y ＝3 x ，点A 1(1，0)，A 1B 1⊥x 轴，∴当x ＝1时，y ＝3 ，即B 1(1，3 ).∴tan ∠A 1OB 1＝3 .∴∠A 1OB 1＝60°，∠A 1B 1O ＝30°.∴OB 1＝2OA 1＝2.∵以原点O 为圆心，OB 1长为半径画圆弧交x 轴于点A 2，∴A 2(2，0).同理可得A 3(4，0)，A 4(8，0)，…，∴A n (2n －1，0).7．如图，在平面直角坐标系中，A (－1，1)，B (－1，－2)，C (3，－2)，D (3，1)，一只瓢虫从点A 出发以2个单位长度/秒的速度沿A →B →C →D →A 循环爬行，问第2 021 s 瓢虫所在点的坐标是( A )A ．(3，1)B ．(－1，－2)C ．(1，－2)D ．(3，－2)8．如图，在平面直角坐标系中，△P 1OA 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3，…都是等腰直角三角形，其直角顶点P 1(3，3)，P 2，P 3，…均在直线y ＝－13 x ＋4上，设△P 1OA 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3，…的面积分别为S 1，S 2，S 3，…，依据图形所反映的规律，S 2 022＝__942 021 __．中考数学专题过关1．如图，第1个图形中有1个正方形，按照如图所示的方式连接对边中点得到第2个图形，图中共有5个正方形；连接第2个图形中右下角正方形的对边中点得到第3个图形，图中共有9个正方形；按照同样的规律得到第4个图形、第5个图形……，则第7个图形中共有正方形( B )A ．21个B ．25个C ．29个D ．32个2．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 沿x 轴向右滚动到△AB 1C 1的位置，再到△A 1B 1C 2的位置……依次进行下去，若已知点A (4，0)，B (0，3)，则点C 100的坐标为( B )A ．⎝⎛⎭⎫1 200，125 B ．(600，0)C ．⎝⎛⎭⎫600，125 D ．(1 200，0)3．(2021·百色一模)有一列有序数对：(1，2)，(4，5)，(9，10)，(16，17)，…，按此规律，第11对有序数对为 __(121，122)____．4．观察下列一组数：－23 ，69 ，－1227 ，2081 ，－30243，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n 个数是__(－1)n ·n （n ＋1）3n__．5. (2021·眉山中考)观察下列等式：x 1＝1＋112＋122 ＝32 ＝1＋11×2 ；x 2＝1＋122＋132 ＝76 ＝1＋12×3 ；x 3＝1＋132＋142 ＝1312 ＝1＋13×4；……根据以上规律，计算x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 2 020－2 021＝__－12 021__．6．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形……按此规律摆下去，第n 个图案有__(3n ＋1)__个三角形(用含n 的代数式表示)．7．(2021·扬州中考)将黑色圆点按如图所示的规律进行排列：图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，…，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为__1__275__．。

中考数学猜想求证型问题试题归类(有答案)

中考数学猜想求证型问题试题归类(有答案) 以下是查字典数学网为您推荐的中考数学猜想求证型问题试题归类(有答案)，希望本篇文章对您学习有所帮助。

中考数学猜想求证型问题试题归类(有答案)23.(2019山东省滨州中考，23，9分)我们知道连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线，三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.类似的，我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E，F分别是AB，CD的中点，那么EF 就是梯形ABCD的中位线.通过观察、测量，猜想EF和AD、BC有怎样的位置和数量关系?并证明你的结论.【解析】连接AF并延长交BC于点G，证明△ADF≌△GCF，容易看出EF为△ABG的中位线，所以，EF= (AD+BC)。

解：结论为：EF∥AD∥BC，EF= (AD+BC).理由如下：连接AF并延长交BC于点G.∵AD∥BCDAF=G，在△ADF和△GCF中，△ADF≌△GCF，AF=FG，AD=CG.又∵AE=EB，即EF∥AD∥BC，EF= (AD+BC).【点评】本题考查梯形中位线定理、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理.正确的添加辅助线是解决此题的关键，梯形的问题常常转化为三角形的问题来解决.26.(2019黑龙江省绥化市，26，8分)已知，点E是矩形ABCD 的对角线BC上的一点，且BE=BC，AB=3，BC=4，点P为EC 上的一动点，且PQBC于点Q，PRBD于点R.⑴ 如图(甲)，当点P为线段EC中点时，易证：PR+PQ= ;⑵ 如图(乙)，当点P为线段EC上任意一点(不与点E、点C 重合)时，其它条件不变，则(1)中的结论是否仍然成立?若成立，请给与证明;若不成立，请说明理由;⑶ 如图(丙)，当点P为线段EC延长线上任意一点时，其它条件不变，则PR与PQ之间又具有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想.【解析】解：(2)图2中结论PR+PQ= 仍成立.证明：连接BP，过C点作CKBD于点K.∵四边形ABCD为矩形，BCD=90，又∵CD=AB=3，BC=4，BD=∵S△BCD= BCCD= BDCK，即34=5CK，CK=∵S△BCE= BECK，S△BEP= PRBE，S△BCP= PQBC，且S△BCE=S△BEP+S△BCP，BECK= PRBE+ PQBC又∵BE=BC，CK=PR+PQ，PR+PQ=(3)图3中的结论是PR-PQ= .【答案】⑵结论PR+PQ= 仍然成立，理由见解析;⑶图(丙)中的结论是PR-PQ= .【点评】本题主要考查了矩形的性质及直角三角形的重要定理：勾股定理，解决本题的关键是掌握好矩形的性质及以图形面积的和差为平台构造出的等式关系.难度中等.23. (2019山东省青岛市，23，10)(10分)问题提出：以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共(m+n)个点为顶点，可把原n边形分割成多少个互不重叠的小三角形?问题探究：为了解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手：探究一：以△ABC的三个顶点和它内部的一个点P，共4个点为顶点，可把△ABC分割成多少个互不重叠的小三角形? 如图①，显然，此时可把△ABC分割成3个互不重叠的小三角形.探究二：以△ABC的三个顶点和它内部的2个点P、Q，共5个点为顶点，可把△ABC分割成多少个互不重叠的小三角形? 在探究一的基础上，我们可看作在图①△ABC的内部，再添加1个点Q，那么点Q的位置会有两种情况：一种情况，点Q在图①分割成的某个小三角形内部，不妨假设点Q在△PAC内部，如图②;另一种情况，点Q在图①分割成的小三角形的某条公共边上，不妨假设点Q在PA上，如图③;显然，不管哪种情况，都可把△ABC分割成5个互不重叠的小三角形.探究三：以△ABC的三个顶点和它内部的3个点P、Q、R，共6个点为顶点可把△ABC分割成个互不重叠的小三角形，并在图④画出一种分割示意图.探究四：以△ABC的三个顶点和它内部的m个点，共(m+3)个顶点可把△ABC分割成个互不重叠的小三角形。

中考数学思想方法【猜想归纳】数式规律中的猜想归纳思想(学生版+解析版)

数式规律中的猜想归纳思想知识方法精讲1.规律型：数字的变化类探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程．2. 猜想归纳思想归纳猜想类问题也是探索规律型问题，这类问题一般给出一组具有某种有规律的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境，通过认真观察、分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论。

考查学生的归纳、概括、类比能力。

有利于培养学生思维的深刻性和创造性。

解决归纳猜想类问题的基本思路是“观察→归纳→猜想→证明(验证)”，具体做法：（1）认真观察所给的一组数、式、图等，发现它们之间的关系；（2）根据它们之间的关系分析、概括，归纳它们的共性和蕴含的变化规律，猜想得出一个一般性的结论；（3）结合题目所给的材料情景证明或验证结论的正确性。

归纳猜想类问题可以分成四大类：（1）数式归纳猜想题这类题通常是先给出一组数或式子，通过观察、归纳这组数或式子的共性规律，写出一个一般性的结论。

找出题目中规律，即不变的和变化的，变化的部分与序号的关系是解这类题的关键。

（2）图形归纳猜想题此类题通常给出一组图形的排列(或操作得到一系列的图形)探求图形的变化规律，以图形为载体考查图形所蕴含的数量关系。

其解题关键是找出相邻两个图形之间的位置关系和数量关系。

（3）结论归纳猜想题结论归纳猜想题常考数值结果、数量关系及变化情况。

发现或归纳出周期性或规律性变化，是解题的关键。

（4）类比归纳猜想题类比归纳猜想题通常是指由两类对象的具有某些相同或相似的性质，和其中一类对象的某些已知的性质，推断出另一类对象也具有这些性质的一种题型，有时也指两个对象在研究方法、学习过程上类比，考查类比归纳推理能力。

中考数学专题复习— 探索规律问题完整版后附真题剖析

解:(1)观察图 1 可知:中间的每个正方形都对应了两个等腰直角三角形, 所以每增加一块正方形地砖,等腰直角三角形地砖就增加 2 块.故答案为 2. (2)观察图形 2 可知:中间一个正方形的左上、左边、左下共有 3 个等腰直角三角形,它右上和右下各对应了一个等腰直角三角形,右边还有 1 个等腰直角三角形,即 6=3+2×1+1=4+2×1;图 3 和图 1 中间正方形右上和右下都对应了两个等腰直角三角形,均有与图 2 一样的规律,图 3:8=3+2×2+1=4+2×2;归纳得:4+2n(即 2n+4); ∴若一条这样的人行道一共有 n(n 为正整数)块正方形地砖,则等腰直
中考数学专题复习
许多事物都存在着一定的规律性，只要我们善于观察、勤于思考，就可以发现它们，并利用它们来丰富我们的生活。
●解题思路
一、数字规律
例1
请你按照如下的数字规律,分别
写出第n个数字：（n为正整数）
① ②③ ④ ⑤
n
（1）2,4,6,8,10, … , _2_n__;
（2）1,3,5,7,9, … , 2n-1
一、选择题
1.平面上不重合的两点确定一条直线,不同三点最多可确定 3 条直线,
若平面上不同的 n 个点最多可确定 21 条直线,则 n 的值为 ( C )
A.5
B.6 C.7 D.8
2.(2021 山东临沂)实验证实,放射性物质在放出射线后,质量将减少,
减少的速度开始较快,后来较慢,实际上,物质所剩的质量与时间成某
•即时演练•
1.(2020 天水)观察等式:2+22=23-2;2+22+23=24-2;2+22+23+24=25-2;…已

2022年中考数学专题复习：猜想与证明解答题训练

2022年中考数学专题复习：猜想与证明解答题训练1．在学习完“图形的旋转”后，某数学兴趣小组做了如下探究ABC和DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，DEF的顶点E与ABC的斜边BC的中点重合．将DEF绕点E作逆时针旋转，该过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CM相交于点Q．(1)问题提出：如图∠，当点Q在线段AC上，且AP＝AQ时，BPE和CQE是否全等．如果全等，写出证明过程；若不赞同，请说明理由．(2)问题解决：如图∠，当点Q在线段CA的延长线上时，BPE和CQE是否有存在与第（1）问相同的关系，如果相同写出证明过程；如果不同，请说明它们的关系．当BP＝a，CQ92a时，求P，Q两点间的距离（用含a的代数式表示）．2．如图，在等腰直角三角形ABC和ADE中，AC＝AB，AD＝AE，连接BD，点M、N 分别是BD，BC的中点，连接MN．(1)如图1，当顶点D在边AC上时，请直接写出线段BE与线段MN的数量关系是，位置关系是．(2)当ADE ∆绕点A 旋转时，连接BE ，上述结论是否依然成立，若成立请就图2情况给出证明：若不成立，请说明理由．(3)当AC ＝5时，在ADE ∆绕点A 旋转过程中，以D ，E ，M ，N 为顶点可以组成平行四边形，请直接写出AD 的长．3．问题背景：如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，将CAE 绕点C 逆时针旋转90︒得到CBF ，AD 的延长线交边BF 于点P ．问题探究：(1)探究EP ，FP 之和与BP 之间的数量关系．∠先将问题特殊化，如图2，当CE AD ⊥时，直接写出EP ，FP 之和与BP 之间的数量关系；∠再探究一般情形，如图1，当CE 不垂直AD 时，证明∠中的结论仍然成立； (2)拓展探究：如图3，若AD 的延长线交BF 的延长线于点P 时，直接写出一个等式，表示EP ，FP ，BP 之间的数量关系．4．如图，已知CD 是线段AB 的垂直平分线，垂足为D ，C 点在D 点上方，∠BAC ＝30°，P 是直线CD 上一动点，E 是射线AC 上除A 点外的一点，PB ＝PE ，连接BE ．(1)如图1，若点P 与点C 重合，求∠ABE 的度数；(2)如图2，若P 在C 点上方，试猜想线段PD ，AC ，CE 的数量关系并说明理由； (3)若AC ＝6，CE ＝2，则PD 的值为．（直接写出结果）5．【问题背景】如图1：在四边形ABCD 中，AB AD =，120BAD ∠=︒，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且60EAF ∠=︒，小王同学探究此问题的方法是：延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ，再证明AEF AGF ≅△△，可得出结论．【探索延伸】如图2，若在四边形ABCD 中，AB AD =，E 、F 分别是BC ，CD 上的点12BAD ∠，上述结论是否仍然成立【学以致用】如图3，四边形ABCD 是边长为5的正方形，45EBF ∠=︒，求DEF 的周长．6．如图1，在平面直角坐标系中，()0,4A ，()2,2C --，且∠ACB ＝90°，AC ＝BC ．（1）求点B 的坐标；（2）如图2，若BC 交y 轴于点M ，AB 交x 轴与点N ，过点B 作BE y ⊥轴于点E ，作BF x⊥轴于点F，请探究线段MN，ME，NF的数量关系，并说明理由；（3）如图3，若在点B处有一个等腰Rt∠BDG，且BD＝DG，∠BDG＝90°，连接AG，点H为AG的中点，试猜想线段DH与线段CH的数量关系与位置关系，并证明你的结论．7．在Rt∠ABC中，∠BCA=90°，BC=AC，点E是∠ABC外一动点（点B，点E位于AC 异侧），连接CE，AE．(1)如图1，点D是AB的中点，连接DC，DE，当∠ADE为等边三角形时，求∠AEC的度数；(2)当∠AEC=135°时，∠如图2，连接BE，用等式表示线段BE，CE，EA之间的数量关系，并证明；∠如图3，点F为线段AB上一点，AF=1，BF=7，连接CF，EF，直接写出∠CEF面积的最大值．8．在数学活动课上，老师出示了以下两个问题，请你解答老师提出的问题：(1)如图∠，在ABCD中，BE AD⊥，垂足为E，F是CD边上一点，连接EF，BF，若EF BF=，试判断DF与CF的数量关系，并加以证明．(2)如图∠，若F是ABCD边CD上一点，连接BF，将CBF沿着边BF所在的直线折=，试判断DF与叠，点C的对应点为C'，连接DC'并延长交AB于点G，若AG BGCF的数量关系，并加以证明．9．在∠ABC中，CD∠AB于点D．(1)如图1，当点D是线段AB中点时，延长AC至点E，使得CE＝CB，连接EB．∠按要求补全图1；∠若AB＝AC EB的长．(2)如图2，当点D不是线段AB的中点时，作∠BCE（点E与点D在直线BC的异侧），使∠BCE＝2∠CAB，CE＝CB，连接AE，用等式表示线段AB，CD，AE的数量关系，并说明理由．10．如图，在∠ABC中，AB＝6，AC＝BC＝5，CD∠AB于点D，点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿折线AC—CB向终点B运动，当点P不与A，B，C重合时，过点P作PQ∠AB交AB于点Q，过点P作PM∠PQ，使得PM＝2PQ，点M、点D在PQ的同侧，连结MQ，设点P的运动时间为t（s）（1）线段CD＝．（2）当点P在线段BC上时，PC＝．（用含t的代数式表示）（3）当点M落在∠BCD的内部时，求t的取值范围；（4）连结CM，当∠CPM为锐角三角形时，直接写出t的取值范围．11．△ABC为等边三角形，AB＝4，AD∠BC于点D，E为线段AD上一点，AE＝AE为边在直线AD右侧构造等边△AEF．连结CE，N为CE的中点．（1）如图1，EF与AC交于点G，∠连结NG，求线段NG的长；∠连结ND，求∠DNG的大小．（2）如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α．M为线段EF的中点．连结DN、MN．当30°＜α＜120°时，猜想∠DNM的大小是否为定值，并证明你的结论．12．如图，在△ABC中，AB=AC，D为直线BC上一动点（不与点B，C重合），在AD的右侧作△ADE，使得AE=AD，△DAE=△BAC，连接CE．（1）当D在线段BC上时，∠求证：△BAD∠△CAE；∠若AC∠DE，求证：BD=DC；（2）当CE∠AB时，若△ABD中最小角为20°，试探究△ADB的度数（直接写出结果）13．在ABC中，∠ACB＝45°．点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如果AB＝AC．如图∠，且点D在线段BC上运动．试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论．（2）如果AB＞AC，如图∠，且点D在线段BC上运动．（1）中结论是否成立，为什么？（3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC＝BC＝3，CD＝x，求线段CP的长．（用含x的式子表示）．14．如图，以四边形ABCD的边AB，AD为边分别向外侧作等边三角形ABF和等边三角形ADE，连接EB，FD相交于点G．（1）当四边形ABCD为正方形时（如图∠），EB和FD的数量关系是______．（不用证明）（2）当四边形ABCD为矩形时（如图∠），EB和FD具有怎样的数量关系？并加以证明．∠是否（3）四边形ABCD由正方形到矩形再到一般平行四边形的变化过程中，EGD∠的度数．发生变化？如果改变，请说明理由；如果不变，请在图∠中求出EGD15．如图，在平面直角坐标系中已知A（2，2），B（6，2），点C是x轴正半轴上一点，连接OA，AB，BC，得到梯形OABC．点P是x轴正半轴上一动点（与点O不重合），AD，AE分别平分∠OAP和∠P AB，且交x轴于点D，E．（1）若梯形OABC的面积为12，直接写出C点的坐标；（2）当点P运动时，∠OP A与∠OEA之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律；（3）若∠AOC=44°，当点P运动到使∠ODA=∠OAE时，∠OAD的度数是多少？=，点D为BC边所在直线上的一个动点（不与点B､16．如图，在ABC中，AB ACC 重合），在AD 的右侧作ADE ，使得,AE AD DAE BAC =∠=∠，连接CE ．（1）求证：ABD ACE ∠=∠；（2）当点D 为线段BC 的中点时，判断DE 与AC 的位置关系，并说明理由；（3）探究DAE ∠与DCE ∠的数量关系，直接写出其结果_______．17．如图1，∠ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，D ，E 在BC 上，∠DAE ＝45°，为了探究BD ，DE ，CE 之间的等量关系，现将∠AEC 绕A 顺时针旋转90°后成∠AFB 连接DF ，（1）填空：AFD ∆≅ (填一个三角形)；（2）试判断BD ，DE ，CE 之间的等量关系式；（3）如图2，在∠ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ，D ，E 在BC 上，∠DAE ＝60°，∠ADE ＝45°，试仿照上面的方法，利用图形的旋转变换，探究BD ，DE ，CE 之间的等量关系，并说明理由18．自主探究：在ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，点D 在射线BC 上（与B 、C 两点不重合），以AD 为边作正方形ADEF ，使点E 与点B 在直线AD 的异侧，射线BA 与直线CF 相交于点G ．（1）当点D在线段BC上时，如图（1），判断：线段BC与线段CG的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）当点D在线段BC的延长线上时，如图（2），写出线段BC与线段CG的数量关系与位置关系，不必证明；（3）在（2）的基础上，随着点D位置的变化，当G为CF中点，AB正方形ADEF的边长．19．如图，正方形ABCD的顶点C处有一等腰直角三角形CEP，∠PEC＝90°，连接AP，BE．（1）若点E在BC上时，如图1，线段AP和BE之间的数量关系是；（2）若将图1中的∠CEP顺时针旋转使P点落在CD上，如图2，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）在（2）的基础上延长AP，BE交于F点，若DP＝PC＝2，求BF的长．20．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是AD边上的动点，将矩形ABCD 沿BE折叠，点A落在点A′处，连接A′C、A′D．（1）如图1，当AE＝时，A′D∠BE；（2）如图2，若AE＝3，求S△A′CB．（3）点E在AD边上运动的过程中，∠A′CB的度数是否存在最大值，若存在，求出此时线段AE的长；若不存在，请说明理由．参考答案：1．(1)见详解．(2)见详解．2．(1)12MN BE =；MN BE ⊥ (2)成立；见解析3．(1)∠2EP FP BP +=(2)2EP FP PB -=4．(1)90°(2)PD 12+AC ＝CE ， (3)1或55．【问题背景】EF BE DF =+；【探索延伸】结论EF BE DF =+仍然成立；理由见解析；【学以致用】106．（1）()4,4-（2）MN ME NF =+（3）CH DH ⊥且CH DH =7．(1)∠AEC =135°；(2)∠BE +EA ，∠48．(1)DF CF =(2)DF CF =9．(1)∠见解析；∠(2)4CD 2+AB 2＝AE 2，10．（1）4；（2）()55t -；（3）33<<117t 或19<<211t ；（4）325<<1149t 或7319<<4911t ．11．（1）∠NG =∠120DNG ∠=︒；（2）DNM ∠的大小是定值 12．（2）100°或40°或20°13．（1）CF 与BD 位置关系是垂直（2）AB ＞AC 时，CF ∠BD 的结论成立，（3）24x x CP =-+或24x CP x =+ 14．（1）BE DF =；（2）BE DF =，；（3）（3）不变，60°15．（1）C （8，0）；（2）不变，∠OP A =2∠OEA ，（3）34°． 16．（1）见解析；（2）DE ∠AC ；（3）∠DAE +∠DCE =180°或∠DAE =∠DCE 17．（1）∠AED ；（2）BD 2+CE 2=DE 2，（3）CE 2=BD 2+DE 2，18．（1）BC CG =，BC CG ⊥；（2）BC CG =，BC CG ⊥；（319．（1）AP ；（2）成立；（320．（1）4；（2）725；（3）8-。

专题复习归纳与猜想(含答案)-

①1×12＝1－12 ②2×23＝2－23 ③3×34＝3－34④4×45＝4－45 ……专题复习归纳与猜想归纳与猜想问题指的是给出一定条件（可以是有规律的算式、图形或图表），让学生认真分析，仔细观察，综合归纳，大胆猜想，得出结论，进而加以验证的数学探索题。

其解题思维过程是：从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论，这类问题有利于培养学生思维的深刻性和创造性。

一、知识网络图二、基础知识整理猜想规律型的问题难度相对较小，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。

其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。

相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。

由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的又一热点。

★ 范例精讲【归纳与猜想】例1【河北实验区05】观察右面的图形（每个正方形的边长均为1）和相应等式，探究其中的规律：⑴写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示：⑵猜想并写出与第n 个图形相对应的等式。

解：⑴5×56＝5－56⑵11+-=+⨯n nn n n n 。

例2〖归纳猜想型〗将一张正方形纸片剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一片又按同样的方法剪成四小片，再将其中的一小片正方形纸片剪成四片，⑵如果剪n 次共有A n 个正方形，试用含n 、A n 的等式表示这个规律； ⑶利用上面得到的规律，要剪得22个正方形，共需剪几次？ ⑷能否将正方形剪成2004个小正方形？为什么？ ⑸若原正方形的边长为1，设a n 表示第n 次所剪的正方形的边长，试用含n 的式子表示a n ；⑹试猜想a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n 与原正方形边长的关系，并画图示意这种关系．解：⑴100×3＋1＝301，规律是：本次剪完后得到的小正方形的个数比上次剪完后得到的小正方形的个数多3个；⑵A n ＝3n ＋1；⑶若A n ＝22，则3n ＋1＝22，∴n ＝7，故需剪7次； ⑷若A n ＝2004，则3n ＋1＝2004，此方程无自然数解， ∴不能将原正方形剪成2004个小正方形；⑸a n ＝12n ；⑹a 1＝12＜1，a 1＋a 2＝12＋14＝34＜1，a 1＋a 2＋a 3＝12＋14＋18＝78＜1，……从而猜想到：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＜1.直观的几何意义如图所示。

中考数学考前冲刺必考考点针对性复习归纳猜想型问题最新热点最新题型完整版 (4)

中考数学考前冲刺必考考点针对性复习最新热点最新题型归纳猜想型问题解题策略和解法精讲归纳猜想型问题对考生的观察分析能力要求较高，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。

其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。

由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的持续热点。

考点一：猜想数式规律通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。

一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。

例1 （巴中）观察下面的单项式：a，-2a2，4a3，-8a4，…根据你发现的规律，第8个式子是．思路分析：根据单项式可知n为双数时a的前面要加上负号，而a的系数为2（n-1），a的指数为n．解：第八项为-27a8=-128a8．点评：本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．对应训练1．（株洲）一组数据为：x，-2x2，4x3，-8x4，…观察其规律，推断第n个数据应为．1．（-2）n-1x n考点二：猜想图形规律根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律。

其中，以图形为载体的数字规律最为常见。

猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行对照，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论。

例2 （牡丹江）用大小相同的小三角形摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第n个图案中共有小三角形的个数是．思路分析：观察图形可知，第1个图形共有三角形5+2个；第2个图形共有三角形5+3×2-1个；第3个图形共有三角形5+3×3-1个；第4个图形共有三角形5+3×4-1个；…；则第n个图形共有三角形5+3n-1=3n+4个；解答：解：观察图形可知，第1个图形共有三角形5+2个；第2个图形共有三角形5+3×2-1个；第3个图形共有三角形5+3×3-1个；第4个图形共有三角形5+3×4-1个；…；则第n个图形共有三角形5+3n-1=3n+4个；故答案为：3n+4点评：此题考查了规律型：图形的变化类，解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．例3（绥化）如图所示，以O为端点画六条射线后OA，OB，OC，OD，OE，O后F，再从射线OA上某点开始按逆时针方向依次在射线上描点并连线，若将各条射线所描的点依次记为1，2，3，4，5，6，7，8…后，那么所描的第2013个点在射线上．思路分析：根据规律得出每6个数为一周期．用2013除以3，根据余数来决定数2013在哪条射线上．解：∵1在射线OA上，2在射线OB上，3在射线OC上，4在射线OD上，5在射线OE上，6在射线OF上，7在射线OA上，…每六个一循环，2013÷6=335…3，∴所描的第2013个点在射线和3所在射线一样，∴所描的第2013个点在射线OC上．故答案为：OC．点评：此题主要考查了数字变化规律，根据数的循环和余数来决定数的位置是解题关键．对应训练2．（娄底）如图，是用火柴棒拼成的图形，则第n个图形需根火柴棒．2．2n+13．（江西）观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第n个图形中所有点的个数为（用含n的代数式表示）．3．（n+1）2解：第1个图形中点的个数为：1+3=4，第2个图形中点的个数为：1+3+5=9，第3个图形中点的个数为：1+3+5+7=16，…，第n个图形中点的个数为：1+3+5+…+（2n+1）=(121)(1)2n n+++=（n+1）2．故答案为：（n+1）2．考点三：猜想坐标变化规律例3 （威海）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（1，0），（0，1），（-1，0）．一个电动玩具从坐标原点0出发，第一次跳跃到点P1．使得点P1与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点P2，使得点P2与点P1关于点B成中心对称；第三次跳跃到点P3，使得点P3与点P2关于点C成中心对称；第四次跳跃到点P4，使得点P4与点P3关于点A成中心对称；第五次跳跃到点P5，使得点P5与点P4关于点B成中心对称；…照此规律重复下去，则点P2013的坐标为．思路分析：计算出前几次跳跃后，点P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7的坐标，可得出规律，继而可求出点P2013的坐标．解：点P1（2，0），P2（-2，2），P3（0，-2），P4（2，2），P5（-2，0），P6（0，0），P7（2，0），从而可得出6次一个循环，∵20136=335…3，∴点P2013的坐标为（0，-2）．故答案为：（0，-2）．点评：本题考查了中心对称及点的坐标的规律变换，解答本题的关键是求出前几次跳跃后点的坐标，总结出一般规律．对应训练3．（兰州）如图，在直角坐标系中，已知点A（-3，0）、B（0，4），对△OAB 连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则△2013的直角顶点的坐标为．3．（8052，0）考点四：猜想数量关系数量关系的表现形式多种多样，这些关系不一定就是我们目前所学习的函数关系式。

最新九年级中考数学复习：猜想与证明压轴题

2023年九年级中考数学复习：猜想与证明压轴题1．在等边ABC 中，D 是边AC 上一动点，连接BD ，将BD 绕点D 顺时针旋转120︒，得到DE ，连接CE ．(1)如图1，连接AE ，当B 、A 、E 三点共线时，若4AB =，求AE 的长；(2)如图2，取CE 的中点F ，连接DF ，猜想AD 与DF 的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，在（2）的条件下，连接BE AF 、交于G 点，若GF DF =，请直接写出CDBE的值．2．如图，在等边ABC 中，5AB =，点D 为边AB 上一点，点E 为边AC 上一点，连接DE ．(1)如图1，过点E 作EF BC ∥交AB 于点F ，延长ED 交CB 延长线于点G ，若1AE BG ==，求DB 的长；(2)如图2，将DE 绕点D 逆时针旋转60︒得到DH ，连接AH ，请猜想CE 、AH 、BD 的数量关系并证明；(3)如图3，点K 为边BC 上一点，连接DK 、EK ，在第（2）问的条件下，当DEK 周长最小时，请直接写出DEH △的面积．3．在正方形ABCD中，M是BC边上一点，且点M不与B、C重合，点P在射线AM上，将线段AP绕点A顺时针旋转90︒得到线段AQ，连接BP，DQ．(1)如图1，当点P在线段AM上时，依题意补全图1；(2)在图1的条件下，延长BP，QD交于点H，求证：90H∠=︒．(3)在图2中，当点P在线段AM的延长线上时，连接DP，若点P，Q，D恰好在同一条直线时，猜想DP，DQ，AB之间的数量关系，并证明．4．在ABC中，90=，点D为线段AC上一点，将线段BD绕点B ∠=︒，BA BCABC顺时针旋转90︒，得到线段BE，连接DE．(1)①请补全图形：CD AD ED之间的数量关系____________；①直接写出,,(2)取AD中点F，连接BF、CE，猜想CE与BF的位置关系与数量关系，并证明．5．ABC与△DCE均为等边三角形，D在边AC上，连接BE．(1)如图1，若4AB =，2CE =，求BE 的长；(2)如图2，若AB DC >，在平面内将图1中DCE △绕点C 顺时针旋转(0120)αα︒<<︒，连接BD 、AE ，交于点O ，连接OC ，在CDE △运动过程中，猜想线段AO ，OC ，BO 之间存在的数量关系，并证明你的猜想．6．（1）正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，如图1，请直接猜想并写出AO 与CD 之间的数量关系：；（2）如图2，将（1）中的BOC 绕点B 逆时针旋转得到11BO C △，连接11AO DC ，，请猜想线段1AO 与1DC 的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，矩形ABCD 和Rt BEF △有公共顶点，且9030BEF EBF ABD ∠=︒∠=∠=︒，，则AEDF= ．7．如图所示，在ABC 中，AB BC =，90ABC ∠=︒，点D 为直线BC 上的一个动点（不与B 、C 重合），连接AD ，将线段AD 绕点D 按顺时针方向旋转90︒，使点A 旋转到点E ，连接EC ．操作感知：如果点D 在线段BC 上运动，过点E 作EF BC ⊥交直线BC 于F ，如图所示，从而求得DCE ∠=___________︒．猜想论证：如果点D 在线段CB 的延长线上运动，如图所示，以上结论是否依然成立，并说明理由．拓展应用：连接BE ，当点D 在直线BC 上运动时，若2AB =，则BE 的最小值为 ___________．8．如图1，在等腰三角形ABC 中，120A ∠=︒，AB AC =，AD AE =，连接BE ，点M 、N 、P 分别为DE 、BE 、BC 的中点．(1)观察猜想：图1中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，线段NM 、NP 的数量关系是______，MNP ∠的大小为______；(2)探究证明：把ADE 绕点A 顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接MP 、BD 、CE ，图1中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．9．综合与实践问题情境：如图①，点E 为正方形ABCD 内一点，①AEB ＝90°，将Rt ①ABE 绕点B 按顺时针方向旋转90°，得到①CBE '（点A 的对应点为点C ）．延长AE 交CE '于点F ，连接DE ．猜想证明：(1)试判断四边形BE FE '的形状，并说明理由；(2)如图①，若DA ＝DE ，请猜想线段CF 与FE '的数量关系并加以证明；解决问题：(3)如图①，若AB ＝5，CF ＝1，请直接写出DE 的长．10．如图1，四边形ABCD 和四边形DEFG 都是正方形，点A 在DG 上，连接AE ，CG ．(1)求证：AE CG =；(2)猜想：AE 与CG 之间的位置关系，并证明你的猜想；(3)在其它条件不变的前提下，如果将正方形ABCD 绕着点D 按逆时针旋转任意角度（如图2）．那么（2）中结论是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (4)如图3，将正方形ABCD 绕着点D 旋转到某一位置时恰好使得AD EG ∥，AE GE =．当正方形DEFG ABCD 的边长．11．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中①C＝90°，①B ＝①E＝30°．(1)操作发现如图2，固定①ABC，使①DEC绕点C顺时针旋转．当点D恰好落在AB边上时．①线段DE与AC的位置关系是．（不需证明）①设①BDC的面积为S1，①AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是，证明你的结论；(2)猜想论证当①DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了①BDC和①AEC中BC，CE边上的高，请你证明小明的猜想．12．如图，点A（a，0），B（0，b），且a、b满足（a﹣2）2+|4b﹣8|＝0．(1)如图1，求a，b的值；(2)如图2，点C在线段AB上（不与A、B重合）移动，AB①BD，且①COD＝45°，猜想线段AC、BD、CD之间的数量关系并证明你的结论；(3)如图3，若P为x轴正半轴上异于原点O和点A的一个动点，连接PB，将线段PB绕点P 顺时针旋转90°至PE ，直线AE 交y 轴于点Q ，当P 点在x 轴上移动时，线段BE 和线段BQ 中哪一条线段长为定值，并求出该定值．13．【问题情境】如图1，点E 为正方形ABCD 内一点，①AEB ＝90°，将Rt ①ABE 绕点B 按顺时针方向旋转90°，得到CBE '△．延长AE 交CE '于点F ，连接DE ．(1)【猜想证明】试判断四边形BE FE '的形状，并说明理由；(2)如图2，若DA ＝DE ，猜想线段CF 与FE '的数量关系并加以证明； (3)【解决问题】如图1，若AB ＝13，CF ＝7，请直接写出DE 的长度．14．如图1，在Rt ABC △中，90A ∠=︒，AB AC =，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD AE =，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．(1)观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是______，位置关系是______； (2)探究证明：把ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断PMN 的形状，并说明理由；(3)拓展延伸：把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若3AD =，5AB =，请直接写出PMN 面积的最大值______．15．如图1，已知正方形BEFG，点C在BE的延长线上，点A在GB的延长线上，且AB＝BC，过点C作AB的平行线，过点A作BC的平行线，两条平行线相交于点D．(1)证明：四边形ABCD是正方形；(2)当正方形BEFG绕点B顺时针（或逆时针）旋转一定角度，得到图2，使得点G在射线DB上，连接BD和DF，点Q是线段DF的中点，连接CQ和QE，猜想线段CQ和线段QE的关系，并说明理由；(3)将正方形BEFG绕点B旋转一周时，当①CGB等于45°时，直线AE交CG于点H，探究线段CH、EG、AH的长度关系．16．如图，在Rt△ABC中，①BAC=90°，AB=AC，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE．连接CE、DE，点F是DE的中点．(1)求证：BD=CE；(2)如图1所示，在点D运动的过程中，连接CF，CF的延长线与AB交于点P，连接DP ，试猜想DP 与CE 的位置关系和数量关系，并证明你猜想的结论．(3)如图2所示，在点D 运动的过程中，当BD =2CD 时，连接CF ，CF 的延长线与BA 的延长线交于点G ，求AGCE的值．17．如图1，已知△ABC 为等边三角形，点D ，E 分别在边AB 、AC 上， AD =AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．(1)观察猜想在图1中，线段PM 与PN 的数量关系是______，①MPN 的度数是______； (2)探究证明若△ABC 为直角三角形， ①BAC =90° ， AB =AC ，点DE 分别在边AB ，AC 上， AD =AE ，把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，如图2．连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．判断△PMN 的形状，并说明理由； (3)拓展延伸若△ABC 中①BAC =120°， AB =AC =13，点D ，E 分别在边AB ，AC 上， AD =AE =5 ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，如图3．①△PMN 的是______三角形．①若△PMN 面积为S ，直接利用①中的结论，求S 的取值取值范围．18．阅读材料：如图①，ABC 与DEF 都是等腰直角三角形，90ACB EDF ∠=∠=︒，且点D 在AB 边上，AB 、EF 的中点均为O ，连接BF 、CD 、CO ，显然，点C 、F 、O 在同一条直线上，可以证明BOF COD ≌，所以BF CD =．解决问题：△绕点O旋转到图①的位置，猜想此时线段BF与CD的数量关（1）将图①中的Rt DEF系，并证明你的结论．（2）如图①，若ABC与DEF都是等边三角形，AB、EF的中点均为O，上述（1）中结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请求出BF与CD之间的数量关系．（3）如图①，若ABC与DEF都是等腰三角形，AB、EF的中点均为O，且顶角∠=∠=，请直接写出BF与CD之间的数量关系（用含有α的式子表示出来）．ACB EDFα参考答案：1．(1)2AE =； (2)12DF AD =，(3)CD BE =2．(1)2(2)CE AH BD =+，3． (3)2222DP DQ AB +=，4．(1) 222AD CD DE +=(2)2CE BF =，CE BF ⊥，5．(1)BE =(2)BO AO CO =+，6．（1）AO =；（2）11AO ；（37．操作感知：135；猜想论证：结论不成立，；拓展应用：BE 8．(1)MN NP =，60︒(2)成立，9．(1)四边形B E 'FE 是正方形，(2)线段CF 与FE '的数量关系是CF =FE '，10． (2)AE ①CG ．(3)（2）中结论仍然成立．111．(1)①DE AC ∥，①12S S ＝12．(1)a =2,b =2(2)CD =BD +AC ．(3)BQ 是定值，4BQ =13．(1)正方形，(2)CF E F '=，14．(1)PM PN =，PM PN ⊥(2)等腰直角三角形，(3)815．(2)CQ ①QE ，CQ =QE ．(3)如图3-1中，当①CGB =45°时，结论：CH +EG =AH ．如图3-2中，当①CGB =45°时，结论：CH =EG +AH ．16． (2)PD =CE ，PD ①CE ，(3)AG CE =17．(1)PM =PN ，120°(2)①PMN 是等腰直角三角形，(3)①等边S18．（1）BF CD =；（2）不成立，BF CD =（3）tan 2BF CD α=。

【优选】2020届数学中考复习讲解课件：专题复习(二) 规律与猜想

…
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14．(2019·玉林)如图，在矩形 ABCD 中，AB＝8，BC＝4，一发光电子开始置于 AB 边的点 P 处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着 PR 方向发射，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于 45°.若发光电子与矩形的边碰撞次数经过 2 019 次后，则它与 AB 边的碰撞次数是 673 ．
12
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第 6 个等式： 121＝61＋616 (2)写出你猜想的第 n 个等式：
； 2n2－1＝n1＋n（2n1－1）
(用含
n
的等
式表示)，并证明．证明：∵n1＋n（2n1－1）＝n（22nn－－11）＋n（2n1－1）＝n2（n2－n1－＋11）＝
2n2－1，
22
(2019·鄂州)如图，在平面直角坐标系中，点 A1，A2，A3，…，
An 在
x
轴上，点
B1，B2，B3，…，Bn 在直线
y＝
3 3x
上．若
A1(1，0)，且
△ A1B1A2，△ A2B2A3，…，△ AnBnAn＋1 都是等边三角形，从左到右的小三
角形(阴影部分)的面积分别记为 S1，S2，S3，…，Sn，则 Sn 可表示为( D ) A．22n 3
A．(
22，－
2 2)
B．(1，0)
C．(－
22，－
2 2)
D．(0，－1)
26
17．(2019·广元)如图，过点
A0(0，1)作
y
轴的垂线交直线
l：y＝
3 3x
于
点 A1，过点 A1 作直线 l 的垂线，交 y 轴于点 A2，过点 A2 作 y 轴的垂线交

2021年浙江省中考数学三轮复习冲刺压轴题最后猜想：四边形(Word版含答案)

2021年浙江省中考数学三轮复习冲刺压轴题最后猜想：四边形1.（1）问题呈现：如图①，在一次数学折纸活动中，有一张矩形纸片ABCD ，点E在AD上，点F在BC上，小华同学将这张矩形纸片沿EF翻折得到四边形C′D′EF，C′F交AD于点H ，小华认为△EFH是等腰三角形，你认为小华的判断符合题意吗？请说明理由．（2）问题拓展：如图②，在“问题呈现”的条件下，当点C的对应点C′落在AD上时，已知DE=a ，CD=b ，CF=c ，写出a、b、c满足的数量关系，并证明你的结论．（3）问题应用：如图③，在平行四边形ABCD中，AB=3，AD=4．将平行四边形ABCD沿对角线AC 翻折得到△ACE ，AE交BC于点F ．若点F为BC的中点，则平行四边形ABCD的面积为________．2.（1）（探究证明）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明：如图①，在矩形ABCD中，EF⊥GH ，EF分别交AD、BC于点E、F ，GH分别交AB、DC于点G、H ，求证：EFGH =ABAD；（2）（结论应用）如图②，将矩形ABCD沿EF折叠，使得点B和点D重合，若AB＝2，BC＝3．求折痕EF的长；（3）（拓展运用）如图③，将矩形ABCD沿EF折叠．使得点D落在AB边上的点G处，点C落在点P处，得到四边形EFPG ，若AB＝2，BC＝3，EF＝2√103，请求BP的长．3.如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，M为AB的中点，点P是BC边上一点（不与B ，C重合），连接MP ，PF⊥MP交CD于点F ．点B ，B'关于MP对称，点C ，C′关于PF对称，连接B'C ．（1）求证：△PFC∽△MPB ．（2）①当BP＝2时，B'C'＝________；②求B'C的最小值．（3）是否存在点P ，使点B'，C′重合？若存在，请求出此时M ，F的距离；若不存在，请说明理由．4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，且BC，AC，AB是三个连续的偶数，在边AB上取点M，N（点M 在BN之间），使BM＝3AN．点D，E分别是边AC，BC的中点，当点P从点D出发沿DE方向匀速运动到点E时，点Q恰好从点M出发沿BA方向匀速运动到点N．记QN＝x，PD＝y，当Q为AB中点时，y=2．（1）求BC，AC，AB的长．（2）求y关于x的函数表达式．（3）①连结PQ，当PQ所在直线与△ABC的某一边所在的直线垂直时，求所有满足条件的x的值.②过点P作PH⊥AB于点H，当△PQH为等腰三角形时，求x的值.5.如图1，在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，点D在AC上.（1）求证：ADCD =ABBC（2）如图2，已知AE为BC边的中线，且AE=BE.在射线BD上取一点A'使AE=A'E，A'E交AC于点F，过点A'作AB的垂线，交BA的延长线于点G，连接EG交BD于点H，连接CH.①求证：四边形AGA′F为矩形；②若tanC=34，△BGH的面积为S，请求出△CEH的面积（用含S的代数式表示）.6.△ABC为等边三角形，AB=8,AD⊥BC于点D，点E为线段AD上一点，AE=2√3．以AE为边作等边三角形AEF，连接CE,N为CE的中点．（1）如图1，当点E和点F在直线AC两侧时，EF与AC交于点M，连接MN，①求证：ME=MF；②求线段MN的长；（2）将图1中的△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α，点M为线段EF的中点，连接BE,MN,DM，①如图2，当α=90°时，请直接写出DMBE的值；②连接BN，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，当线段BN最大时，请直接写出tan∠DAN的值．7.如图，在正方形ABCD中，点M是边BC上的一点（不与B、C重合），点N在边CD延长线上，且满足∠MAN=90°，联结MN ，AC ，MN与边AD交于点E ．（1）求证：AM=AN（2）如果∠CAD=2∠NAD，求证：AM2=√2AB⋅AE；（3）MN交AC点O ，若CMBM =k，则OMON=________（直接写答案、用含k的代数式表示）．8.综合与探究问题情境在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC ，点D是射线BC上一动点，连接AD ，将线段AD绕点A逆时针旋转90°至AE ，连接DE ，CE ．（1）探究发现如图1，BD＝CE ，BD⊥CE ，请证明；探究猜想；（2）如图2，当BD＝2DC时，猜想AD与BC之间的数量关系，并说明理由；（3）探究拓广当点D在BC的延长线上时，探究并直接写出线段BD ，DC ，AD之间的数量关系．9.综合与实践．问题情境：综合与实践课上，同学们开展了以“图形的旋转”为主题的数学活动．实践操作：如图1，将等腰Rt△AEF绕正方形ABCD的顶点A逆时针方向旋转，其中∠AEF＝90，EA＝EF ，连接CF ，点H为CF的中点，连接HD ，HE ，DE ，得到△DHE ．（1）应用探究：勤奋组：如图2，当点E恰好落在正方形ABCD的对角线AC上时，判断△DHE的形状，并说明理由；（2）善思组：如图3，当点E恰好落在正方形ABCD的边AB上时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；深入探究：（3）创新小组：为定值，请你直接写出其值________．发现若连接BE ，在旋转Rt△AEF的过程中，BECF10.如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AC于点E，DE的延长线交AB于点F，过点B作BG//DF交DC于点G，交AC于点M．过点G作GN⊥DF于点N．（1）求证：四边形NEMG为矩形；（2）若AB=26,GN=8,sin∠CAB=513，求线段AC的长．11.已知：正方形ABCD的边长为4，E是边CB上的一个动点，过点D作DF⊥DE，交BA的延长线于点F，EF交对角线AC于点M，DE交AC于点N．（1）求证：CE=AF；（2）求证：FM=EM；（3）随着点E在边CB上的运动，NA⋅MC的值是否变化？若不变，请求出NA⋅MC的值；若变化，请说明理由．12.如图，在折纸游戏中，正方形ABCD沿着BE，BF将BC，AB翻折，使A，C两点恰好落在点P .（1）求证：∠EBF=45° .（2）如图，过点P作MN//BC，交BF于点Q .①若BM=5，且MP⋅PN=10，求正方形折纸的面积.②若QP=12BC，求AMBM的值.13.如图（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD中，点E，Q分别在边BC,AB上，DQ⊥AE于点O，点G，F分别在边CD,AB上，GF⊥AE .求证：AE=FG；（2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD中，BCAB=k（k为常数）.将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG,EP交CD于点H，连接AE交GF于点O.试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP，当时k=34，若tan∠CGP=43,GF=2√5，求CP的长.14.点E是矩形ABCD边AB延长线上的一动点，在矩形ABCD外作Rt△ECF，其中∠ECF＝90°，过点F作FG⊥BC，交BC的延长线于点G，连接DF，交CG于点H.（1）发现：如图1，若AB＝AD，CE＝CF，猜想线段DH与HF的数量关系是________；（2）探究：如图2，若AB＝nAD，CF＝nCE，则（1）中的猜想是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.（3）拓展：在（2）的基础上，若射线FC过AD的三等分点，AD＝3，AB＝4，则直接写出线段EF的长.15.如图，过正方形ABCD的顶点A作AP⊥AQ，将∠PAQ绕点A旋转，AP交射线CB交于点E，AQ交射线CD交于点F，连接EF，M为EF的中点，连接BM．（1）求证：AE=AF；（2）写出CF与BM的数量关系，并说明理由；（3）若BC=4，BE=2，直接写出BM的长．16.在矩形ABCD中，AB=2BC，点E是直线AB上的一点，点F是直线BC上的一点，且满足AE= 2CF，连接EF交AC于点G．（1）tan∠CAB=________；（2）如图1，当点E在AB上，点F在线段BC的延长线上时，①求证：EG=FG；②求证：CG=√5BE；4（3）如图2，当点E在BA的延长线上，点F在线段BC上时，AC与DF相交于点H，①EG=FG这个结论是否仍然成立？请直接写出你的结论：②当CF=1，BF=2时，请直接写出GH的长．17.（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD中，点E，Q分别在边BC，AB上，DQ⊥AE于点O，点G，F分别在边CD，AB上，GF⊥AE．求证：FG=AE；（2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD中，BCAB =23将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形EFGP，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP，若BEBF =34，GF=2√10，求CP的长．18.教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第103页的部分内容．已知：如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线．求证：CD=12AB．（1）请写出完整的证明过程．（2）结论应用：如图②，BE、CF是锐角△ABC的两条高，M、N分别是BC、EF的中点，判断EF与MN的位置关系，并证明你的结论．（3）在（2）的条件下，若EF=6,BC=24，则MN的长为________．19.如图，四边形ABCD为矩形，G是对角线BD的中点．连接GC并延长至F，使CF=GC，以DC、CF为邻边作▱DCFE，连接CE．（1）若四边形DCFE是菱形，判断四边形CEDG的形状，并证明你的结论．（2）在（1）条件下，连接DF，若BC=√3，求DF的长．20.如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点B的坐标是(8,6)，点M为OA边上的一动点（不与点O、A重合），连接CM，过点M作直线l⊥CM，交AB于点D，在直线l上取一点E（点E在点M右侧），使得CMME =43，过点E作EF//AO，交BO于点F，连接BE，设OM=m(0<m<8)．（1）填空：点E的坐标为________（用含m的代数式表示）；（2）判断线段EF的长度是否随点M的位置的变化而变化？并说明理由；（3）①当m为何值时，四边形BCME的面积最小，请求出最小值；②在x轴正半轴上存在点G，使得△GEF是等腰三角形，请直接写出3个符合条件的点G的坐标（用含m的代数式表示）．21.已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△AEF中，∠ACB＝∠AFE＝90°，AC＝BC ，AF＝EF ，连接BE ，点Q为线段BE的中点．（1）如图1，当点E在线段AC上，点F在线段AB上时，连接CQ ，若AC＝8，EF＝2 √2，求线段CQ的长度．（2）如图2，B、A、E三点不在同一条直线上，连接CE ，且点F正好落在线段CE上时，连接CQ、FQ ，求证：CQ＝FQ ．（3）如图3，AC＝8，AE＝4 √2，以BE为斜边，在BE的右侧作等腰Rt△BEP ，在边CB上取一点M ，使得MB＝2，连接PM、PQ ，当PM的长最大时，请直接写出此时PQ2的值．22.请完成下面的几何探究过程：（1）观察填空：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，点D为斜边AB上一动点（不与点A，B重合），把线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CE，连DE，BE，则①∠CBE的度数为________；②当BE=________时，四边形CDBE为正方形.（2）探究证明：如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2AC=4，点D为斜边AB上一动点（不与点A，B重合），把线段CD绕点C顺时针旋转90°后并延长为原来的两倍得到线段CE，连DE，BE则：①在点D的运动过程中，请判断∠CBE与∠A的大小关系，并证明；②当CD⊥AB时，求证：四边形CDBE为矩形（3）拓展延伸：如图2，在点D的运动过程中，若△BCD恰好为等腰三角形，请直接写出此时AD的长.23.探索与应用：如图（1）问题解决：如图1.在平行四边形纸片ABCD（AD＞AB）中，将纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在AD上的点B′处，折线AE交BC于点E，连接B'E.求证：四边形ABEB′是菱形.（2）规律探索：如图2，在平行四边形纸片ABCD（AD＞AB）中，将纸片沿过点P的直线折叠，点B 恰好落在AD上的点Q处，点A落在点A′处，得到折痕FP，那么△PFQ是等腰三角形吗？请说明理由. （3）拓展应用：如图3，在矩形纸片ABCD（AD＞AB）中，将纸片沿过点P的直线折叠，得到折痕FP，点B落在纸片ABCD内部点B′处，点A落在纸片ABCD外部点A′处，A′B′与AD交于点M，且A′M＝B′M.已知：AB＝4，AF＝2，求BP的长.24.定义：若一个三角形存在两个内角之差是第三个内角的两倍，则称这个三角形为关于第三个内角的“差倍角三角形”.例如，在ΔABC中，∠A=100°，∠B=60°，∠C=20°，满足∠A−∠B=2∠C，所以ΔABC是关于∠C的“差倍角三角形”.（1）若等腰ΔABC是“差倍角三角形”，求等腰三角形的顶角∠A的度数；（2）如图1，ΔABC中，AB=3，AC=8，BC=9，小明发现这个ΔABC是关于∠C的“差倍角三角形”.他的证明方法如下：证明：在BC上取点D，使得BD=1，连结AD，（请你完成接下去的证明）（3）如图2，五边形ABCDE内接于圆，连结AC，AD与BE相交于点F，G，AB=BC=DE，ΔABE是关于∠AEB的“差倍角三角形”.①求证：四边形CDEF是平行四边形；②若BF=1，设AB=x，y=S四边形CDEFSΔAEG，求y关于x的函数关系式.25.如图，以矩形OABC的顶点O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，已知OA＝8，OC＝10，将矩形OABC绕点O逆时针方向旋转α（0＜α＜180°）得到矩形ODEF.（1）当点E恰好落在y轴上时，如图1，求点E的坐标.（2）连接AC，当点D恰好落在对角线AC上时，如图2，连接EC，EO，①求证：△ECD≌△ODC；②求点E的坐标.（3）在旋转过程中，点M是直线OD与直线BC的交点，点N是直线EF与直线BC的交点，若BM＝1BN，请直接写出点N的坐标.226.如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D，E分别为边BC，AC上的点，连接DE，过D作DF ⊥DE交AC边于点F（F不与点C重合），点G为射线DF上一点，连接EG，使∠BAC＝∠DEG＝α.（1）连接CG，求证：△DEF∽△CGF；（2）当α＝45°时，请探究AE，BD与CG三者满足的数量关系，并证明；CD，AC＝10，请直（3）如图2，点M，N分别为EG和AC的中点，连接MN.若tanα＝2，BD＝13接写出MN的最小值.27.如图（1）问题发现如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4.CD⊥AB于点D，则CD的长为________；（2）问题探究如图2，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M、N分别在BD，BC上，求CM＋MN的最小值；（3）问题解决有一度假山庄，它的平面图为矩形ABCD，现在山庄管理人员想在山庄内找到一点G（点G不在AB、BC、AD上）与CD共同构成一个三角形的绿化区，并且度假山庄大门E到点G的距离与到拐角B的距离相等，如图3，经过测量得知AB＝30m，BC＝40m，BE＝10m，请问绿化区△GCD的面积是否存在最小值，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.28.如图，平面直角坐标系中，四边形ABCO为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，B点坐标是（3，3√3）.点E从点A出发，沿AO向点O运动，速度为每秒√3个单位长度，同时点F从点A出发，沿AB向点B运动，速度为每秒1个单位长度，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动.将△AEF沿直线EF折叠，点A的对应点为G点，设运动时间为t秒.（1）当点G落在线段OB上时，t＝________；当点G落在线段CB上时，t＝________；（2）在整个运动过程中，求△EFG与△ABO重叠部分的面积S与t的函数表达式，并写出t的取值范围；（3）当点G落在线段BC上时，是否在x轴上存在点N，直线EF上存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由.29.正方形ABCD的边长是5，点M是直线AD上一点，连接BM，将线段BM绕点M逆时针旋转90°得到线段ME，在直线AB上取点F，使AF=AM，且点F与点E在AD同侧，连接EF，DF.（1）如图1，当点M在DA延长线上时，求证：△ADF≌△ABM；（2）如图2，当点M在线段AD上时，四边形DFEM是否还是平行四边形，说明理由；（3）在（2）的条件下，线段AM与线段AD有什么数量关系时，四边形DFEM的面积最大？并求出这个面积的最大值.30.如图1，正方形ABCD的边长为5，点E为正方形CD边上一动点，过点B作BP⊥AE于点P ，将△APB绕点A逆时针旋转90°得△AP′D，延长BP交P′D于点F ，连结CP．（1）判断四边形的AP′FP的形状，并说明理由；（2）若DF=1，求S△CPB；（3）如图2，若点E恰好为CD的中点时，请判断CP与DF的数量关系，请说明理由．31.已知矩形OABC在平面直角坐标系中，点A(1,0)，点C(0,2)，点O(0,0)，把矩形OABC绕点O 顺时针旋转135°，得到矩形ODEF，点A ，B ，C的对应点分别为D ，E ，F ．DE交y轴于点M ．（1）如图①，求∠FOM的大小及OM的长；（2）将矩形ODEF沿y轴向上平移，得到矩形O′D′E′F′，点O ，D ，E ，F的对应点分别为O′,D′,E′,F′，设OO′=t(0<t≤2)．①如图②，直线D′E′与x轴交于点N ，若CN//BO，求t的值；②若矩形O′D′E′F′与矩形OABC重叠部分面积为S，当重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并写出t的取值范围（直接写出答案即可）．32.在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A ，C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为(2,2√3)，将矩形OABC绕点A顺时针旋转α，得到矩形O1AB1C1，点O ，B ，C的对应点分别为O1,B1,C1．（1）如图①，当α=45°时，O1C1与AB相交于点E ，求点E的坐标；（2）如图②，当点O1落在对角线OB上时，连接BC1，四边形OAC1B是何特殊的四边形？并说明理由；（3）连接BC1，当BC1取得最小值和最大值时，分别求出点B1的坐标（直接写出结果即可）．33.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A(9，0)、B(9，12)，点M、N分别是线段OB、AB上的个单位、2个单位，作MH⊥OA于H.现点M、N分别从点O、A同时出发，动点，速度分别是每秒53当其中一点到达端点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．（1）是否存在t的值，使四边形BMHN为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；（2）是否存在t的值，使△OMH与以点A、N、H为顶点的三角形相似？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；（3）是否存在t的值，使四边形BMHN为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请探究将点N的速度改变为何值时（匀速运动），能使四边形BMHN在某一时刻为菱形．34.如图所示，BA⊥x轴于点A ，点B的坐标为（﹣1，2），将△OAB沿x轴负方向平移3个单位，平移后的图形为△EDC ．（1）直接写出点C和点E的坐标；（2）在四边形ABCD中，点P从点A出发，沿“AB→BC→CD”移动，移动到点D停止．若点P的速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，回答下列问题：①当t为何值时，点P的横坐标与纵坐标互为相反数；②用含t的式子表示点P在运动过程中的坐标（写出过程）；③当5秒＜t＜7秒时，四边形ABCP的面积为4，求点P的坐标．35.如图（1），在平面直角坐标系中，点A ，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），将线段AB先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到线段CD ，连接AC ，BD ，构成平行四边形ABDC ．（1）请写出点C的坐标为________，点D的坐标为________，S四边形ABDC________；（2）点Q在y轴上，且S△QAB＝S四边形ABDC ，求出点Q的坐标；（3）如图（2），点P是线段BD上任意一个点（不与B、D重合），连接PC、PO ，试探索∠DCP、∠CPO、∠BOP之间的关系，并证明你的结论．答案1. （1）解：小华的判断是正确的．在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠HEF=∠EFC．由折叠，得∠HFE=∠EFC，∴∠HFE=∠HEF∴HE=HF∴△EFH是等腰三角形（2）解：a2+b2=c2．在矩形ABCD中，∠D=90°，由折叠，得∠D′=∠D=90°，D′E=DE=a，C′D′=CD=b，C′F=CF=c，由问题呈现，得C′E=C′F=c．在Rt△C′D′E中，D′E2+C′D′2=C′E2，∴a2+b2=c2．（3）3√72. （1）证明：如图①，过点A作AP∥EF，交BC于P，过点B作BQ∥GH，交CD于Q，BQ交AP 于T．∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AD∥BC．∴四边形AEFP、四边形BGHQ都是平行四边形，∴AP＝EF，GH＝BQ．又∵GH⊥EF，∴AP⊥BQ，∴∠BAT+∠ABT＝90°．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABP＝∠C＝90°，AD＝BC，∴∠ABT+∠CBQ＝90°，∴∠BAP＝∠CBQ，∴△ABP∽△BCQ，∴APBQ =ABBC,∴EFGH =ABAD.（2）解：如图②中，连接BD．∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，AB＝CD＝2，∴BD＝√BC2+CD2=√32+22=√13, ∵D，B关于EF对称，∴BD⊥EF，∴EFBD =ABAD,∴√13=23,∴EF＝2√133.（3）解：如图③中，过点F作FH⊥EG于H，过点P作PJ⊥BF于J．∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝3，∠A＝90°，∴2√103DG = 23,∴DG＝√10，∴AG＝√DG2−AD2=√10−9＝1，由翻折可知：ED＝EG，设ED＝EG＝x，在Rt△AEG中，∵EG2＝AE2+AG2，∴x2＝AG2+AE2，∴x2＝（3﹣x）2+1，∴x ＝ 53，∴DE ＝EG ＝ 53 ， ∵FH ⊥EG ，∴∠FHG ＝∠HGP ＝∠GPF ＝90°， ∴四边形HGPF 是矩形， ∴FH ＝PG ＝CD ＝2，∴EH ＝ √FF 2−FH 2=(2√103)=23，∴GH ＝FP ＝CF ＝EG ﹣EH ＝ 53﹣ 23 ＝1，∵PF ∥EG ，EA ∥FB ， ∴∠AEG ＝∠JPF ， ∵∠A ＝∠FJP ＝90°， ∴△AEG ∽△JFP ， ∴ AE FJ=AG PJ =EG FP，∴43FJ=1PJ =531 ，∴FJ ＝ 45 ，PJ ＝ 35 ，∴BJ ＝BC ﹣FJ ﹣CF ＝3﹣ 45 ﹣1＝ 65 ，在Rt △BJP 中，BP ＝ √BJ 2+PJ 2=√(35)2+(65)2=3√55 ．3. （1）证明：∵PF ⊥MP ， ∴∠FPC+∠MPB ＝90°， ∵∠PMB+∠MPB ＝90°， ∴∠FPC ＝∠PMB ， ∵∠FCP ＝∠B ， ∴△PFC ∽△MPB ；（2）解：①1 ②如图2，连接MB'，CM ， ∵M 为AB 的中点， ∴MB ＝MB'＝2， ∴MB'+ CB'≥CM ， ∴当点B'在线段CM 上时，CB'有最小值， ∵CM ＝ √BC 2+BM 2=√25+4=√29 ， ∴CB'的最小值＝ √29 ﹣2；（3）解：存在，理由如下：如图4，设B'，C'重合点为N ，连接PN ，MN ，NF ，∵点B ，N 关于MP 对称，点C ，N 关于PF 对称，∴BP ＝PN ，PC ＝PN ，MN ＝BM ＝2，FN ＝CF ，∠B ＝∠MNP ＝90°，∠C ＝∠PNF ＝90°， ∴点M ，点N ，点F 三点共线，PB ＝PC ＝PN ＝ 52 ， ∵∠MPF ＝90°，∴∠MPB+∠FPC ＝90°=∠MPB+∠BMP ， ∴∠BMP ＝∠FPC ，又∵∠B ＝∠C ＝90°， ∴△BMP ∽△CPF ， ∴ BPCF =BM CP， ∴CF ＝ 52×522=258，∴MF ＝MN+NF ＝2+ 258 ＝418．4. （1）解：设AC=x ，则BC=x-2，AB=x+2，由勾股定理，得 (x −2)2+x 2=(x +2)2 ，解得 x =8 ，或 x =0 （舍去）， ∴BC=6，AC=8，AB=10.（2）解：设AN=a ，则BM=3a ， y =kx +b ，∵ED 为△ABC 的中位线，∴ED= AB 2=5由题意，得 {x =0y =5,{x =10−4a y =0,{x =5−ay =2 ，把 {x =0y =5,{x =10−4a y =0,{x =5−ay =2 代入 y =kx +b ，得 {b =5k(10−4a)+b k(5−a)+b =2=0 ，解得 {a =57b =5k =−710 ，∴ y =−710x +5（3）解：① 1)当PQ ⊥BC 时，四边形ADPQ 为平行四边形，则DP=AQ ， y =a +x ，即 −710x +5=57+x ，解得 x =300119 ；2)当PQ⊥AC时，四边形PQBE为平行四边形，则PE=BQ，5−y=10−a−x，即5−(−710x+5)=10−57−x，解得x=650119；3)当PQ⊥AB时（如图1），作DH⊥AB于H，则AH=a+x−y=165，即57+x−(−710x+5)=165，解得x=524119.∴当x=300119,650119,524119时，PQ所在直线与△ABC的某一边所在的直线垂直.(3）②如图2，作PH⊥AB于点H，则QH=PH=EBsinB= 3×45=125，AH= 57+x−125=y+ADcosA=y+4×45，把y=−710x+5，代入，得5 7+x−125=−710x+5+4×45，解得x=692119.（3）②如图3，作PH⊥AB于点H，则QH=PH=EBsinB= 3×45=125，AH= 57+x+125=y+ADcosA=y+4×45，把y=−710x+5，代入，得5 7+x+125=−710x+5+4×45，解得x=3561195. （1）证明：方法1.过点D作DM∥AB交BC于点M.则△ABC∽△DMC，∠1=∠2，ADCD =BMCM∴DMCM=ABBC∵BD为∠ABC的平分线∴∠1=∠3 ∴∠2=∠3∴DM=BM∴ADCD =BMCM=DMCM=ABBC即ADCD=ABBC方法2.过点C作CM∥AB交BD的延长线于点M，通过相似可证. 方法3.过点D作BA，BC的垂线，通过两个等高三角形面积比可证.（2）解：①证明：由题意知，AE=BE=CE∴∠3=∠4，∠BAC=90°即AC⊥AB又∠1=∠3，A′G=AB∴∠1=∠4，AG∥AC∴A′E∥AB∴四边形AGA′F为平行四边形∵A′G⊥AB∴▱AGA′F为矩形②解：由题意，在Rt△ABC中，可设AB=3t，AC=4t，则BC=5t∴EF=32t,A′E=52t,∴AG=A′F=52t−32t=t在△BEG中由（1）可得: EHGH =BEBG=52t3t+t=58∵AE为BC边的中线，∴S△CEH=S△BEH∴S△CEHS△BEH=S△BEHS△BGH=EHGH=58∴S△CEH=5S△BGH=5S6. （1）解：①如图1中，∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴∠CAD= 12CAB=30°，∵△AEF是等边三角形，∴AE=AF，∠EAF=60°，∴∠EAM=∠FAM=30°，∴ME=MF．②∵AE=AF，EM=MF，∴AM⊥EF，∵AM=AE•cos30°=2 √3×√32=3，∵等边三角形中AC=AB=8，∴CM=AC-AM=5，∵EM=MF= √3，∴CE= √CM2+ME2=√52+(√3)2=2√7，∵CN=NE，∴MN= 12EC= √7．（2）①√32；②7√397. （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD,∠CAD=45°=∠ACB,∠BAD=90°=∠CDA=∠B，∴∠BAM+∠MAD=90°,∵∠MAN=90°，∴∠MAD+∠DAN=90°,∴∠BAM=∠DAN，∵AD=AB,∠ABC=∠ADN=90°，∴△ABM≅△ADN(ASA)∴AM=AN；（2）证明：∵AM=AN,∠MAN=90°∴∠MNA=45°，∵∠CAD=2∠NAD=45°,∴∠NAD=22.5°，∴∠CAM=∠MAN−∠CAD−∠NAD=22.5°，∴∠CAM=∠NAD,∠ACB=∠MNA=45°，∴△AMC~△AEN，∴AMAE =ACAN,∴AM⋅AN=AC⋅AE，∵AN=AM,AC=√2AB，∴AM2=√2AB⋅AE；（3）kk+28. （1）解：由题意得，∠BAC=∠DAE=90°∵∠BAD+∠CAD =∠CAE+∠CAD∴∠BAD=∠CAE∵线段AD绕点A逆时针旋转90°至AE∴AD=AE又∵AB=AC，∴△BAD≌△CAE∴BD=CE，∠B=∠ACE=45°∴∠ECD=90°，BD⊥CE．（2）解：由（1）得：△BAD≌△CAE∴BD=CE，∠B=∠ACE=45°∵CD=13BC，BD＝2DC，即BD=23BC,∴BD=CE=23BC，∵AD=AE∴DE=√AD2+AE2=√2AD∴∠B=∠ACB=45°∴∠BCE=∠ACB+∠ACE =90°∴CD2+CE2=DE2，即(13BC)2+(23BC)2=2AD2，∴AD=√106BC；（3）解：如图，过点A作AM⊥BC交BC于点M∵∠BAC＝90°，AB＝AC∴BM=CM=12BC∴AM=BM=CM=12BC∴AM=12BC=12(BD−CD)，DM=CM+CD=12BC+CD=12(BD+CD)∵AM2+DM2=AD2∴[12(BD−CD)]2+[12(BD+CD)]2=AD2∴BD2+CD2=2AD2．9. （1）解：结论：△DHE是等腰直角三角形．理由：如图2中，∵四边形ABCD是正方形，∴∠CDF＝90°，∠DCA＝45°，∵点H是CF的中点，∴DH＝DH＝HF＝12CF，∵∠CEF＝90°，CH＝HF，∴EH＝CH＝HF＝12CF，∴DH＝HE，∵DH＝CH＝HE，∴∠HCD＝∠HDC，∠HCE＝∠HEC，∵∠DHF＝∠HDC+∠HCD，∠FHE＝∠HCE+∠HEC，∴∠DHE＝2∠DCH+2∠HCE＝2∠DCA＝90°，∴△DHE是等腰直角三角形．（2）解：如图3中，结论成立．理由：连接BH，过点H作HG⊥AB于G．∵四边形ABCD是正方形，∠EAF＝45°∴A，F，A共线，∵CB＝CD，∠BCH＝∠DCH＝45°，CH＝CH，∴△BCH≌△DCH（SAS），∴DH＝BH，∠CDH＝∠CBH，∵∠FEA＝∠HGA＝∠CBA＝90°，∴EF∥GH∥BC，∴BGEG =CHHF，∵CH＝HF，∴GB＝GE，∵HG⊥BE，∴HB＝HE，∴∠HBE＝∠HEB，HE＝HD，∵∠CDA＝∠CBA＝90°，∠CDH＝∠ABH，∴∠ADH＝∠ABH＝∠HEB，∵∠HEB+∠AEH＝180°，∴∠ADH+∠AEH＝180°，∴∠DHE+∠DAE＝180°，∵∠DAE＝90°，∴∠DHE＝90°，∴△DHE是等腰直角三角形．（3）√2210. （1）解：∵DE⊥AC，GN⊥DF，∴∠GNE=∠MEN=90°，∵BG//DF，∴∠MGN+∠GNE=180°，∴∠MGN=90°，∴四边形NEMG是矩形．（2）解：∵四边形NEMG是矩形，GN=8，∴∠AMB=∠AMG=90°，ME=GN=8，∵sin∠CAB= 513，AB=26，∴MB= AB⋅sin∠CAB=10，∴AM=√AB2−MB2=24，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD ，AB=CD ，∴∠CAB=∠ACD ，在△ABM 和△CDE 中， {∠BMA =∠DEC∠CAB =∠ACD AB =CD，∴△ABM ≌△CDE ，∴CE=AM=24，∴AC=AM+CE-ME=24+24-8=40．11. （1）解：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴ DC =DA,∠DCE =∠DAF =90° ，又∵ ∠CDE +∠ADE =90°,∠ADF +∠ADE =90° ， ∴ ∠CDE =∠ADF ，∴ △ECD ≅△FAD (ASA)∴ CE =AF ．（2）解：作 EI//AB ，交 AC 于点I ，连接 DM ，∵ △ECD ≅△FAD ，DF ⊥DE ，∴DF=DE ，∠FDE=90°，则 △FDE 为等腰直角三角形．∵AC 为正方形对角线，∠IEC=∠B=90°， ∴ ∠EIC =∠ECI =45° ，∴ CE =IE ，又∵ FA =CE ，∴ FA =EI ，∵ EI//FA ，∴ ∠IEM =∠AFM ， ∠EIM =∠FAM ， ∴ △FAM ≌△EM(ASA) ，∴ FM =ME ．（3）解：不变由（1），（2）可知△FDE为等腰直角三角形，FM=EM，∴DM⊥FE，∠MDE=∠MDF=45°，∵∠DNA=45°+∠CDN=∠MDE+∠CDN=∠MDC，又∵∠DAN=∠DCM=45°，∴△AND∽△CDM．∴ANCD =ADCM．∴NA⋅MC=AD⋅CD=4×4=16．12. （1）证明：∵正方形ABCD沿着BE，BF将BC，AB翻折，使A，C两点恰好落在点P . ∴△ABF≌△PBF，△BPE≌△BCE，∴AE=A′E，BE=B′E，∠PBF =12∠ABP，∠PBE =12∠PBC，∴∠EBF=∠PBF+∠PBE= 12(∠ABP+∠CBP)=12∠CBA=45∘（2）解：①由折叠的性质可得∠BPE=∠C=90°，∴∠MPB+∠NPE=90°，∵MN//BC，正方形ABCD∴四边形MBCN为矩形，∴∠PMB=∠ENP=90°，BM=CN=5；∴∠MPB+∠MBP=90°，∴∠NPE=∠MBP，∴△MBP∽△NPE，∴PMNE =BMPN，∴PM·PN=BM·NE∵BM=5，且MP⋅PN=10，∴NE=2，∴CE=PE=3，∴PN=√PE2−NE2=√32−22=√5，∴PM=2√5∴MN=AD=3√5正方形折纸的面积= AD2=45；②由折叠可知∠AFB=∠BPE，AF=PF，∵AD//MN∴∠AFB=∠FQP，∴∠BPE=∠FQP，∴PF=QP=12BC=AF，∴AF=FD=12BC，设EC=x，则DE= DC-x =BC-x；PE=x，∵在直角三角形DEF中，EF2=DF2+DE2∴(12BC+x)2=(12BC)2+(BC−x)2，∴x=13BC，∴PE=CE=13BC，∴EF=56BC，∵AD//MN∴△MBP∽△NPE，∴PNDF =PEEF=25，∵AF=FD=12BC，∴PN=15BC，∴MQ=MN-PQ-PN=BC-12BC-15BC=310BC，∵AD//MN∴△MBQ∽△ABF，∴BMAB =MQAF=310BC12BC=35，∴AMBM =2313. （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAQ，∴∠QAO+∠OAD＝90°，∵AE⊥DQ，∴∠ADO+∠OAD＝90°，∴∠QAO＝∠ADO，∴△ABE≅△DAQ(ASA)，∴AE＝DQ，∵DQ⊥AE，GF⊥AE，∴DQ∥GF，∵FQ∥DG，∴四边形DQFG是平行四边形，∴GF＝DQ，∵AE＝DQ，∴AE＝FG；（2）解：结论：GFAE=k .理由如下：如图2中，过G作GM⊥AB于M，∵AE⊥GF，∴∠AOF＝∠GMF＝∠ABE＝90°，∴∠BAE+∠AFO＝90°，∠AFO+∠FGM＝90°，∴∠BAE＝∠FGM，∴△ABE∼△GMF，∴GFAE =GMAB，∵∠AMG＝∠D＝∠DAM＝90°，∴四边形AMGD是矩形，∴GM＝AD，∴GFAE =ADAB=BCAB=k（3）解：如图3中，过点P作PM⊥BC交BC的延长线于M.∵ FB//GC ， FE//GP ，∴∠CGP ＝∠BFE ，∴ tan ∠CGP =tan ∠BFE =43=BE BF ，∴设 BE =4k ， BF =3k ，则 EF =AF =5k ， AB =BF +AF =3k +5k =8k ，∵ FG AE=34 ， FG =2√5 ， ∴ AE =8√53 ，∴ (4k)2+(8k)2=(8√53)2 ， ∴ k =23 或 k =−23 （不合题意，舍去），∴ BE =83 ， BF =2 ， EF =AF =103 ， AB =163 ，∵ BC AB =k =34 ， ∴BC ＝4，∴ CE =BC −BE =4−83=43 ， AD =PE =BC =4 ，∵∠EBF ＝∠FEP ＝∠PME ＝90°，∴∠FEB ＝∠EPM ，∴ △FEB ∼△EPM ，∴EF PE =BF ME =BE MP ， ∴ 1034=2ME =83MP ，∴解之得： ME =125， MP =165 ， ∴ CM =EM −CE =125−43=1615 ， ∴ CP =√CM 2+PM 2=√(1615)2+(165)2=16√101514. （1）DH=HF（2）解： DH =HF 仍然成立，理由如下：∵四边形ABCD 是矩形， FG ⊥BC ， ∠ECF =90° ，∴ ∠CGF =∠ECF =∠EBC =90°∴ ∠FCG +∠BCE =90° ，∵ ∠BCE +∠CEB =90° ，∴ ∠FCG =∠CEB ，∴ ΔFCG ∼ΔCEB ，∴ GF BC =FC CE =n ，∴四边形ABCD 是矩形， AB =nAD ，∴CD BC =n ， ∴ GF BC=CD BC ， ∴ GF =CD ，∵四边形ABCD 是矩形，∴ CD ⊥BC ，∵ FG ⊥BC ，∴ CD//FG ，∴ ∠HDC =∠HFG ， ∠HCD =∠HGF ，在 ΔHCD 和 ΔHGF 中，{∠HDC =∠HFGCD =GF∠HCD =∠HGF， ∴ ΔHCD ≌ΔHGF(ASA) ，∴ DH =HF（3）解：如图所示，延长FC 交AD 于R ，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=4，AD=BC=3，∠RDC=90°，RD//CH，∵AB=nAD，CF=nCE，∴n=ABAD =43，∴CE=43CF，分两种情况：①当AR=13AD时，∵AD=3，∴AR=1，DR=2，在RtΔCDR中，由勾股定理得：CR=√DR2+CD2=√22+42=2√5，∵RD//CH，DH=DF，∴RC=CF=2√5，∴CE=34×2√5=32√5，②当DR=13AD时，同理可得：DR=1，DC=√17，CF=RC=√17，CE=3√174，由勾股定理得：EF=√CF2+CE2=(√4)=5√174，综上所说，若射线FC过AD的三等分点，AD=3，AB=4，则线段EF的长为5√52或5√17415. （1）解：∵四边形ABCD是正方形∴AB=AD,∠BAD=∠ABC=∠ACB=∠ADF=90°,BC=DC 又AP⊥AQ∴∠EAF=90°∴∠EAB=∠FAD=90°−∠BAF,∠ABE=180°−90°=90°∴∠ABE=∠ADF∴△ABE≌△ADF(ASA)∴AE=AF（2）解：CF=√2BM，理由如下；过点F作FG//BM交BC于G，如图则EBBG =EMMF∵M为EF中点∴EM=MF∴EB=BG∵△ABE≌△ADF∴EB=DF∴BG=DF又BC=DC∴CG=CF∴FG=√CG2+CF2=√2CF ∵EM=MF,EB=BG∴BM=12FG=√22CF∴CF=√2BM（3）解：①当点E在线段CB的延长线上时由（2）知，BG=BE=2∴CG=CF=2∴√2BM=CF=2∴BM=√2②当点E在线段CB上时过点F作FG//BM交BC于G，如下图所示同理可得BG=BE=2∴CG=CF=BC+BG=6∴√2BM=CF=6∴BM=3√2综上所述，BM的长为√2或3√216. （1）12（2）解：①证明：过点E作EH⊥AB，交AC于点H，则∠AEH＝90°．∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠AEH＝90°．∴EH∥BF，∴∠EHG＝∠FCG，∠HEG＝∠CFG，在Rt△ABC和Rt△AEH中，∵AB＝2BC，∴tan∠CAB＝BCAB ＝EHAE＝12，∴AE＝2EH，∵AE＝2CF，∴EH＝CF，∴△EHG≌△FCG（ASA），∴EG＝FG．②证明：设EH＝x，则AE＝2x，Rt△AEH中，根据勾股定理得，AH＝√AE2+EH2＝√5x，∵EH∥BF，∴ AH HC ＝ AE EB ，∴ √5x HC ＝ 2x EB ， ∴CH ＝ √52BE ， ∵△EHG ≌△FCG ，∴HG ＝CG ，∴CG ＝ √54BE ．（3）解：①成立；过点E 作EI ∥BC 交AC 于点I ，如图2所示：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠AEI ＝∠ABC ＝90°，AB ∥CD ，AB ＝CD ，在Rt △AEI 和Rt △ABC 中，∠ABC ＝∠AEI ＝90°，AB ＝2BC ， ∴tan ∠IAE ＝IE AE =BC AB =12 ， ∴AE ＝2IE ，∵AE ＝2CF ，∴IE ＝CF ，∵EI ∥BC ，∴∠EIG ＝∠FCG ，∠IEG ＝∠CFG ，在△EIG 和△FCG 中，{∠EIG =∠FCGEI =CF∠IEG =∠CFG， ∴△EIG ≌△FCG （ASA ），∴EG ＝FG ；②解：过点F 作FP ∥AB 交AC 于P ，如图3所示：则FP ∥CD ，∠CFP ＝∠ABC ＝90°，在Rt△CFP和Rt△ABC中，AB＝2BC，∴tan∠CPF＝CFPF ＝tan∠CAB＝BCAB=12，∴PF＝2CF，∵AE＝2CF，∴AE＝PF＝2，同（2）得：△AEG≌△PFG（AAS），∴AG＝PG，∵BF＝2，CF＝1，∴BC＝3，CD＝AB＝2BC＝6，∴AC＝√AB2+BC2＝√62+32＝3 √5，∵FP∥AB，∴△CPF∽△CAB，∴PCAC =CFBC=13，∴PC＝13AC＝√5，PA＝AC﹣PC＝2 √5，∴AG＝PG＝12PA＝√5，∵FP∥CD，∴△PFH∽△CDH，∴PHCH =PFCD=26=13，∴PH＝14PC＝√54，∴GH＝PG+PH＝√5+√54＝5√54．17. （1）解：如图（1），∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAQ．∴∠QAO+∠OAD＝90°．∵AE⊥DQ，∴∠ADO+∠OAD＝90°．∴△ABE≌△DAQ（ASA），∴AE＝DQ．∵四边形ABCD是正方形，AE⊥DQ，AE⊥GF，∴DG∥QF，DQ∥GF，∴四边形DQFG是平行四边形，∴DQ=GF，∴FG=AE；（2）GFAE =23．理由：如图（2）中，作GM⊥AB于M．∵AE⊥GF，∴∠AOF＝∠GMF＝∠ABE＝90°，∴∠BAE+∠AFO＝90°，∠AFO+∠FGM＝90°，∴∠BAE＝∠FGM，∴△ABE∽△GMF，∴GF：AE＝GM：AB，∵∠AMG＝∠D＝∠DAM＝90°，∴四边形AMGD是矩形，∴GM＝AD，∴GF：AE＝AD：AB，∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD，∴GF：AE＝BC：AB，∵BCAB =23，∴GFAE =23．（3）解：如图（3）中，作PM⊥BC交BC的延长线于M．由BE ：BF ＝3：4 ，设BE ＝3k ，BF ＝4k ，则EF ＝AF ＝5k ， ∵ GF AE =23 ， GF =2√10 ， ∴AE ＝ 3√10 ，在直角三角形ABE 中，根据勾股定理，得 BE 2+AB 2=AE 2 ， ∴ (3k)2+(9k)2=(3√10)2∴k ＝1或﹣1（舍去），∴BE ＝3，AB ＝9，∵BC ：AB ＝2：3，∴BC ＝6，∴BE ＝CE ＝3，AD ＝PE ＝BC ＝6，∵∠EBF ＝∠FEP ＝∠PME ＝90°，∴∠FEB+∠PEM ＝90°，∠PEM+∠EPM ＝90°， ∴∠FEB ＝∠EPM ，∴△FBE ∽△EMP ，∴ FB EM=FE EP =BE PM ， ∴ 4EM =56=3PM ，∴EM ＝ 245 ，PM ＝ 185 ，∴CM ＝EM ﹣EC ＝ 245 ﹣3＝ 95 ，∴PC ＝ √CM 2+PM 2=√(95)2+(185)2 = 95√5 ． 18. （1）证明：取 BC 中点为E ，连接 DE ．∵CD是斜边AB上的中线∴BD=12AB，又∵BE=12BC∴DE为Rt△ABC中位线∴DE//AC,DE=12AC∵∠ACB=90°，∴DE⊥BC∴DE垂直平分BC∴CD=BD∴CD=12AB（2）MN垂直平分EF证明：连接MF,ME∵BE、CF是锐角△ABC两条高∴BE⊥AC，CF⊥AB∴∠BEC=90°，∠CFB=90°∴在Rt△BEC中，M为BC中点，EM=12BC在Rt△CFB中，FM=12BC，∴MF=ME，又∵N为EF中点，∴MN为EF中垂线．（3）3√1519. （1）解：四边形CEDG是菱形，理由如下：∵四边形ABCD为矩形，G是对角线BD的中点，∴GB=GC=GD，∵CF=GC，∴GB=GC=GD=CF，∵四边形DCFE是菱形，∴CD=CF=DE，DE//CG，∴DE=GC，∴四边形CEDG是平行四边形，∵GD=GC，∴四边形CEDG是菱形（2）解：∵CD=CF，GB=GD=GC=CF，∴△CDG是等边三角形，∴CD=BG，GCD=∠DGC=60°，∴∠DCF=∠BGC=120°，∴△BGC≌△DCF(SAS)，∴DF=BC=√3．20.（1）（m+ 92，34m）（2）解：设直线BO的解析式为：y=kx，把点B的坐标是(8,6)，代入上式可得：6=8k，解得：k= 34，∴直线BO的解析式为：y= 34x，∵点E的坐标为（m+ 92，34m），EF//AO，∴点F的坐标为（m，34m），∴EF= m+ 92-m= 92，即：线段EF的长度不会随点M的位置的变化而变化（3）解：①连接CE，过点E作EQ⊥BC于点Q，∵点E的坐标为（m+ 92，34m），∴EQ=6- 34m，∵OC=6，OM=m，∴CM= √36+m2，∵OCMN =OMNE=CMME=43，∴ME= 34CM= 34√36+m2，∴四边形BCME的面积= 12CM⋅ME+12BC⋅QE= 38m2−3m+752= 38(m−4)2+632，即：当m=4时，四边形BCME的面积最小值为：632；②（a）当点G为顶角顶点时，如图，则G(m+92+m2,0)，即：G(m+94,0)，（b）当点E为顶角顶点时，如图，则EG=EF= 92，EH= 34m，GH= √(92)2−(34m)2=34√36−m2，∴G(m+92+34√36−m2,0)或G(m+92−34√36−m2,0)，综上所述：G的坐标可以是：G(m+94,0)或G(m+92+34√36−m2,0)或G(m+92−34√36−m2,0)．21. （1）解：∵等腰Rt△ABC和等腰Rt△AEF ，∠ACB=∠AFE=90°，∴AC=BC=8，AF=EF=2√2，∴AB=√AC2+BC2=√2AC=8√2，AE=√2EF=4，∴CE=AC-AE=8-4=4，∴BE=√CE2+BC2=4√5，∵Q是线段BE的中点，∴CQ=12BE=2√5；（2）证明：如图，延长FQ至K,使KQ= FQ，连接KB,延长FC至G点，∵Q为BE的中点，∴FQ=KQ，在△EFQ与△BKQ中，{FQ= KQ∠FQE=∠KQBEQ=BQ)，∴△EFQ≌△BKQ (SAS)，∴EF= BK，∠FEQ =∠KBQ，∴AF= BK, EF ∥BK，∴∠KBC=∠BCG，∴∠ACB=90°,∴∠FCA+∠BCG = 180°-∠ACB=90°，∵∠FAC+∠FCA=∠AFE=90°,∴∠BCG =∠FAC，又∠KBC =∠BCG，∴∠FAC=∠KBC，在△AFC与△BKC中，{AF= BK∠FAC=∠KBCAC= BC)，∴△AFC≌△BKC（SAS），∴CF= CK，∠FCA=∠KCB，∴∠FCK =∠FCA+∠ACK =∠KCB+∠ACK = 90°，∴△FCK为等腰直角三角形，又Q为FK中点，∴CQ=FQ；（3）680+128√171722. （1）45°；2√2（2）证明：①∠CBE=∠A，理由如下：由旋转的性质得：∠BCE=∠ACD，∵BC=2AC，CE=2CD，∴BCAC =CECD=2，∴ΔBCE∽ΔACD，∴∠CBE=∠A；②∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠BDC=90°，由①得：ΔBCE∽ΔACD，∴∠BEC=∠ADC=90°，又∵∠DCE=90°，∴四边形CDBE是矩形；（3）解：在点D的运动过程中，若ΔBCD恰好为等腰三角形，存在两种情况：①当CD=BD时，则∠DCB=∠DBC，∵∠DBC+∠A=90°，∠ACD+∠DCB=90°，∴∠A=∠ACD，∴CD=AD，∴CD=BD=AD，AB，∴AD=12∵AB=√AC2+BC2=√22+42=2√5，∴AD=√5；②当BD=BC=4时，AD=AB−BD=2√5−4；综上所述：若ΔBCD恰好为等腰三角形，此时AD的长为√5或2√5−4 23. （1）解：由平行四边形的性质可知AD//BC，∴∠AB′E=∠CEB′，由翻折可知∠AB′E=∠ABE，∴∠CEB′=∠ABE，。