外接球练习题

1、在体积为的球的表面上有A，B，C三点，AB=1，BC=，A，C两点的球面距离为，则球心到平面ABC的距离为（）

A． B． C． D．1

2、已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于

A.2

B.

C.

D.

3、若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为

(A) (B) (C) (D)

4、各个面都是正三角形的四面体的四个顶点都在一个表面积为的球面上，

那么这个四面体的体积为

A． B．

C． D．

5、如图，是边长为1的正方体，是高为1的正四棱锥，若点在同一球面上，则该球的表面积为（）

A． B． C． D．

6、直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于。

7、如图，半径为4的球O中有一接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差是 .

8、点 A，B，C，D在同一球面上，AB=BC=，AC=2，若球的表面积为，则四面体ABCD体积的最大值为．

9、设棱锥M-ABCD的底面是正方形，且MA＝MD，MA⊥AB，如果ΔAMD的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.

参考答案

一、选择题

1、C

2、D

3、B

4、A

5、D

【解析】按如图所示作辅助线，为球心，设，则，同时由正方体的性质知，则在中，，即，解得，所以球的半径，所以球的表面积为，故选D．

二、填空题

6、解:在中,,可得,由正弦定理,可得外接圆半径r=2,设此圆圆心为，球心为，在中，易得球半径，故此球的表面积为.

7、答案：

解析：设圆柱的底面半径是，母线为，则，侧面积为.由

，当且仅当，即，时等号成立，球的表面积为，圆柱的侧面积为，故所求答案为.

8、．

【考点】球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积．

【专题】计算题；空间位置关系与距离．

【分析】根据几何体的特征，判定外接球的球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．

【解答】解：根据题意知，△ABC是一个直角三角形，其面积为1．其所在球的小圆的圆心在斜边AC的中点上，设小圆的圆心为Q，球的半径为r，

因为球的表面积为，

所以4πr2=

所以r=，

四面体ABCD的体积的最大值，底面积S△ABC不变，高最大时体积最大，

就是D到底面ABC距离最大值时，h=r+=2．

四面体ABCD体积的最大值为×S△ABC×h==，

故答案为：．

【点评】本题考查的知识点是球接多面体，球的表面积，其中分析出何时四面体ABCD的体积的最大值，是解答的关键．

三、综合题

9、分析：关键是找出球心所在的三角形，求出切圆半径.

解：∵AB⊥AD，AB⊥MA，

∴AB⊥平面MAD，

由此，面MAD⊥面AC.

记E是AD的中点，从而ME⊥AD.

∴ME⊥平面AC，ME⊥EF.

设球O是与平面MAD、平面AC、平面MBC都相切的球.

不妨设O∈平面MEF，于是O是ΔMEF的心.

设球O的半径为r，则r＝

设AD＝EF＝a,∵SΔAMD＝1.

∴ME＝.MF＝,

r＝≤＝-1。

当且仅当a＝，即a＝时，等号成立.

∴当AD＝ME＝时，满足条件的球最大半径为-1.

点评：涉及球与棱柱、棱锥的切接问题时一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系。注意多边形切圆半径与面积和周长间的关系；多面体切球半径与体积和表面积间的关系。