关于数项级数敛散性的判定(可编辑修改word版)

n 3 5 n

2 3

5

3

关于数项级数敛散性的判定

1、问题的提出

数项级数敛散性的判别问题，是数学分析的一个重要部分.数项级数，从形式上看，就是无穷多个项的代数和，它是有限项代数和的延伸，因而级数的敛散性直接与数列极限联系在一起，其判别方法多样，技巧性也强，有时也需要多种方法结合使用，同时，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，成为数学理论和应用中不可缺少的工具，所以研究数项级数的判定问题是很重要的.

2、熟练掌握并准确应用级数的概念、性质和判定定理

2.1 数项级数收敛的定义

∞ ∞

数项级数

∑u

n 收敛

⇔ 数项级数∑u n 的部分和数列{S n }收敛于 S .

n =1

n =1

这样数项级数的敛散性问题就可以转化为部分和数列{S }

的极限是否存在的问题的讨论，但由于求数列前 n 项和的问题比较困难，甚至可能不可求，因此，在实际问题中，应用定义判别的情况较少.

2.2 数项级数的性质

∞ ∞

∞

（ 1） 若级数

∑u

n 与

∑v

n 都收敛， 则对任意常数 c,d, 级数

∑(cu

n

+ dv n ) 亦收敛， 且

n =1 n =1

n =1

∞

∞

∞ ∞

∞

∑(cu

n

+ dv n ) = c ∑u n + d ∑v n ;相反的，若级数∑(cu n + dv n ) 收敛，则不能够推出级数∑u n 与

n =1 n =1

n =1

n =1

n =1

∑v

n 都收敛.

n =1

∞

∞

∞

注：特殊的，对于级数

∑u

n 与

∑v

n ，当两个级数都收敛时，

∑(u

n

± v n ) 必收敛；当其中一个

n =1 n =1

n =1

∞

∞

收敛，另一个发散时，

∑(u

n

± v n ) 一定发散；当两个都发散时， ∑(u n ± v n ) 可能收敛也可能发散.

n =1

n =1

∞

1 1 ∞

1 1

例 1 判定级数∑( n n =1 + n ) 与级数∑( + n ) 的敛散性.

n =1

∞

1

∞

1

∞

1

1

解：因为级数

∑ n

n =1

与级数

∑ n

n =1

收敛，故级数

∑( n

n =1

∞

1 2 -1 n - 1 n + 1

n - 1 n =1 ⎢ ∞

∞

1

∞

1

∞

1 1

因为级数∑ n 发散，级数∑ 2n 收敛，故级数∑( n + 2

n ) 发散.

n =1 n =1 n =1

（2） 改变、增加或去掉级数的有限个项不会改变原级数的敛散性.

（3） 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的敛散性，也不改变它的和.即收敛的级数在不

改变各项顺序的情况下，对它的各项任意加括号后，得到的新级数还是收敛的；加括号后得到的新级数发散，那么原级数也是发散的.

例 2 判定级数

-

+ + 1 - 1

+ 的敛散性.

∞ ⎛

1

1 ⎫ 1 1 2

∞ 2 解：先考察级数∑ n =1 ⎝ - ⎪ ，因为u n = - n + 1⎭

= n - 1 ，而级数∑ n - 1 发散，

由于加括号后得到得新级数发散，则原级数发散.

∞

∞

（4） 级数收敛的必要条件 若级数

∑u

n 收敛，则

lim u n = 0 .若lim u n ≠ 0 ，则级数∑u n 发散.

n =1

n →∞

n →∞

n =1

2.3 判定定理

2.3.1 级数收敛的柯西准则

级 数

∑u

n 收 敛

n =1

⇔ ∀> 0 , ∃N ∈ N *

, 使 得 当 m > N 以 及

∀p ∈ N * ,都 有

u m +1 + u m +2 + + u m + p < .

例 1 用柯西准则判别级数∑ sin 2n 2

n

的敛散性.

证明：由于

u m +1 + u m +2 + + u m + p =

+ sin 2m +2

2m +2

+ +

< 1 2

m +1

+ 1 2m +2

+ + 1 2m + p = 1

- 2m 1 < 1 2m + p 2m

因此， 对于任意的 > 0 .取 N = ⎡log

⎣

1 ⎤ 使得当 m > N 及任意的

2

⎥⎦

p ∈ N * ,由上式就有

u m +1 + u m +2 + + u m + p < 成立，故由柯西准则可推出原级数收敛.

2.3.2 正项级数判别法

（1） 正项

∑u

n 收敛

⇔ 它的部分和数列{S n }有界.

∞ 1 2 + 1 n - 1 n + 1 sin 2

m +1

2m +1 sin 2m + p

2m + p