合肥市2019届高三调研性检测数学试题-文科含答案
数学分类汇编(12)三角函数的化简与求值(含答案)
（山东省德州市2019届高三期末联考数学（理科）试题）8.第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，会标是四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为，大正方形的面积为，直角三角形中较小的锐角为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由图形可知三角形的直角边长度差为a，面积为6，列方程组求出直角边得出sinθ，代入所求即可得出答案．【详解】由题意可知小正方形的边长为a，大正方形边长为5a，直角三角形的面积为6，设直角三角形的直角边分别为x，y且x＜y，则由对称性可得y＝x+a，∴直角三角形的面积为S xy＝6，联立方程组可得x＝3a，y＝4a，∴sinθ，tanθ＝．∴===，故选：D．【点睛】本题考查了解直角三角形，三角恒等变换，属于基础题．（山东省潍坊市2019届高三上学期期末测试数学（理科）试题）3.若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本道题化简式子,计算出,结合,即可.【详解】,得到,所以,故选C.【点睛】本道题考查了二倍角公式,难度较小.（山东省烟台市2018届高三下学期高考诊断性测试数学（文）试题）14.已知,则_______【答案】【解析】原式化为，，所以，，填。
（江西省新余市2019届高三上学期期末考试数学（理）试题）15.已知，则______．【答案】【解析】【分析】根据同角的三角函数的关系和二倍角公式即可求出．【详解】解：，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查同角的三角函数关系式和二倍角公式的应用，属于基础题．（湖南省长沙市2019届上学期高三统一检测理科数学试题）15.在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则__________.【答案】【解析】【分析】结合终边过点坐标，计算出，结合二倍角公式和余弦两角和公式，即可。
【详解】，所以【点睛】本道题考查了二倍角公式与余弦的两角和公式，难度中等。
江苏省南京市2025届高三学业水平调研考试数学试卷(含答案)
江苏省南京市2025届高三学业水平调研考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={(x,y )|x 2+y 2=4},B ={(x,y )|y =2cos x }，则A ∩B 的真子集个数为( )A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个2.在复平面内，复数z 对应的点Z 在第二象限，则复数z4i 对应的点Z 1所在象限为( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.某考生参加某高校的综合评价招生并成功通过了初试，在面试阶段中，8位老师根据考生表现给出得分，分数由低到高依次为：76，a ，b ，80，80，81，84，85，若这组数据的下四分位数为77，则该名考生的面试平均得分为( )A. 79B. 80C. 81D. 824.“tan 2α=14”是“tan 3αtan α=11”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.若单位向量a ,b 满足⟨a ,b⟩=120∘，向量c 满足(c−a )⊥(c−b )，则a ⋅c +b ⋅c 的最小值为( )A.3−14B. 1−34C.3−12 D. 1−326.设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=12，a n +1=2a na n +1，若S 2024∈(k−1,k)，则正整数k 的值为( )A. 2024B. 2023C. 2022D. 20217.已知双曲线C:x 2−y 2b 2=1，在双曲线C 上任意一点P 处作双曲线C 的切线(x p >0,y p >0)，交C 在第一、四象限的渐近线分别于A 、B 两点．当S △OPA =2时，该双曲线的离心率为( )A.17B. 32C.19D. 258.在▵ABC 中，A <B <C 且tan A,tan B,tan C 均为整数，D 为AC 中点，则BCBD 的值为( )A. 12B.22C.32D. 1二、多选题：本题共3小题，共15分。
安徽省A10联盟2024届高三4月质量检测考试数学试题(含答案与解析)_5559
1号卷·A10联盟2024届高三4月质量检测考试数学试题巢湖一中 合肥八中 淮南二中 六安一中 南陵中学 舒城中学 太湖中学 天长中学 屯溪一中 宣城中学 滁州中学 池州一中 阜阳一中 灵盟中学 宿城一中 合肥六中 太和中学 合肥七中 科大附中 野寨中学本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.请在答题卡上作答.第I 卷（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}2N 250A x x x =∈-≤，则A 的子集个数为（ ）A. 4B. 7C. 8D. 162. 已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，若点54,A p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，则OAF △的面积为（ ）A.B.C. 4D. 83. 已知()0,m n ∈+∞,，14n m +=，则9m n+的最小值为（ ） A. 3B. 4C. 5D. 64. 学校安排含唐老师、李老师在内的5位老师去3个不同的学校进行招生宣传，每位老师都必须选1个学校宣传，且每个学校至少安排1人.由于唐老师是新教师，学校安排唐老师和李老师必须在一起，则不同的安排方法有（ ） A. 24种 B. 36种C. 48种D. 60种5. 已知12ln22a =+，1ln93b =+，12ec =+，则,,a b c 的大小关系为（ ） A. c a b <<B. c b a <<C. a c b <<D. a b c <<6. 在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a c =，且()22sin 21sin BB A=+，则B =（ ）A.π3B.2π3C.3π4D.5π67. 已知AB 是圆O ：222x y +=的直径，M ，N 是圆O 上两点，且120MON ∠=︒，则()OM ON AB +⋅的最小值为（ ） A. 0B. -2C. -4D. -8. 若定义在R 上的函数()f x ，满足()()()()222f x y f x y f x f y +-=+，且()11f =-，则()()()()0122024f f f f +++⋅⋅⋅+=（ ）A. 0B. -1C. 2D. 1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. “体育强则中国强，国运兴则体育兴”.为备战2024年巴黎奥运会，运动员们都在积极参加集训，已知某跳水运动员在一次集训中7位裁判给出的分数分别为：9.1，9.3，9.4，9.6，9.8，10，10，则这组数据的（ ） A. 平均数9.6 B. 众数为10 C. 第80百分位数为9.8D. 方差为3735010. 在信息时代，信号处理是非常关键的技术，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数.函数()()41sin 2121i i x f x i =⎡⎤-⎣⎦=-∑的图象可以近似模拟某种信号的波形，则（ ）A. ()f x 为偶函数B. ()f x 的图象关于点()2π,0对称C. ()f x 的图象关于直线π2x =对称 D. π是()f x 的一个周期11. 已知双曲线C ：2213y x -=左、右焦点分别为1F ，2F ，直线l ：()1x my m =-∈R 与C 的左、右两支分别交于M ，N 两点（点N 在第一象限），点01,2P y ⎛⎫⎪⎝⎭在直线l 上，点Q 在直线2NF 上，且12QF PF ∥，则（ ）A. C 的离心率为3B.当m =时，MN =为的C. 22PF M NF P ∠=∠D. 2QF 为定值第Ⅱ卷（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 若复数()()45i z a a =+-+在复平面内对应的点位于第三象限，则实数a 的取值范围是__________. 13. 若关于x 方程()eln e ln e xxm m x x +=+-有解，则实数m 的最大值为__________. 14. 已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为8，且()1101C E C B λλ=<<，则当AE EC +取得最小值时，三棱锥11B ECD -的外接球体积为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知函数()2131e 2x f x x mx -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （1）若曲线()y f x =在点11,22f ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线l 与直线50x y -=垂直，求l 的方程； （2）若函数()f x 在()0,∞+上有2个极值点，求实数m 的取值范围.16. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，45CAB CBA ∠=∠=︒，1A AC ACB ∠=∠，1160CC B ∠=︒，1BC CC =，P 为线段1BB 的中点，点N 为线段11A B 上靠近1B 的三等分点.（1）求证：1BB AP ⊥；（2）求平面NCP 与平面ACP 夹角的余弦值.17. 某学校组织一场由老师与学生进行的智力问题比赛，最终由小明同学和唐老师入围决赛，决赛规则如下： ①学生：回答n 个问题，每个问题小明回答正确的概率均为12；若小明回答错误，可以行使学生权益，即可以进行场外求助，由场外同学小亮帮助答题，且小亮每个问题回答正确的概率均为()01p p <<. ②教师：回答n 个问题，每个问题唐老师回答正确概率均为23.的的假设每道题目答对与否相互独立，最终答对题目多的一方获胜. （1）若3n =，25p =，记小明同学答对问题（含场外求助答对题数）的数量为X ，求X 的分布列及数学期望：（2）若2n =，且小明同学获胜的概率不小于51144，求p 的最小值. 18. 已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的短轴长为4，过右焦点F 的动直线l 与C 交于A ，B 两点，点A ，B在x 轴上的投影分别为A '，B '（A '在B '的左侧）；当直线l 的倾斜角为135 时，线段AB 的中点坐标为42,33⎛⎫⎪⎝⎭. （1）求C 的方程；（2）若圆C '：228x y +=，判断以线段AF 为直径的圆C ''与圆C '的位置关系，并说明理由；（3）若直线AB '与直线A B '交于点M ，MAB △面积为43，求直线l 的方程. 19. 在不大于()*,,2nkk n k ∈≥N 的正整数中，所有既不能被2整除也不能被3整除的个数记为()kF n .（1）求()24F ，()33F 的值；（2）对于*,,m n p ∈N ，m n p <<，是否存在m ，n ，p ，使得()()()666F m F n F p +=?若存在，求出m ，n ，p 的值；若不存在，请说明理由； （3）记[]x 表示不超过x 的最大整数，且()1651nn i S F i ==-∑，求[][][][]123100S S S S +++⋅⋅⋅+的值. 参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}2N 250A x x x =∈-≤，则A 的子集个数为（ ）A. 4B. 7C. 8D. 16【答案】C 【解析】【分析】求出集合A 中元素，进而求出集合A 的子集个数．的【详解】由题意得，{}5N |00,1,22A x x ⎧⎫=∈≤≤=⎨⎬⎩⎭， 则A 的子集个数为328=， 故选：C ．2. 已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，若点54,A p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，则OAF △的面积为（ ）A. B.C. 4D. 8【答案】A 【解析】【分析】根据已知条件，将A 点坐标代入抛物线方程，求得4p =，求出524,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即可求得OAF △的面积.【详解】将54,A p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入C 的方程，得5222p p =，故4p =，所以524,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则OAF △的面积521222S =⨯⨯=故选：A.3. 已知()0,m n ∈+∞,，14n m +=，则9m n+的最小值为（ ） A. 3 B. 4C. 5D. 6【答案】B 【解析】【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解.【详解】(),0,m n ∀∈+∞，919119110104444m m n mn n n m mn ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当9mn mn=，即1m =，3n =时等号成立. 故选：B.4. 学校安排含唐老师、李老师在内的5位老师去3个不同的学校进行招生宣传，每位老师都必须选1个学校宣传，且每个学校至少安排1人.由于唐老师是新教师，学校安排唐老师和李老师必须在一起，则不同的安排方法有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 48种 D. 60种【答案】B 【解析】【分析】把5位老师按3:1:1和2:2:1分组，再把分成的3组安排到3所学校，列式计算得解. 【详解】把5位老师按3:1:1和2:2:1分组，且唐老师和李老师在一起的不同分组方法数为1233C C +， 所以不同的安排方法有313332(C C )(33)636A +=+⨯=（种）. 故选：B 5. 已知12ln22a =+，1ln93b =+，12ec =+，则,,a b c 的大小关系为（ ） A. c a b << B. c b a <<C. a c b <<D. a b c <<【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，构造函数1()2ln ,1f x x x x=+>，利用导数判断单调性即可得解. 【详解】令函数1()2ln ,1f x x x x =+>，求导得221221()0x f x x x x -'=-+=>， 因此函数()f x 在(1,)+∞上单调递增，则(2)(e)(3)f f f <<，1112ln222ln32e 3+<+<+，所以a c b <<故选：C6. 在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a c =，且()22sin 21sin BB A=+，则B =.（ ） A.π3B.2π3C.3π4D.5π6【答案】D 【解析】【分析】由已知等式结合正弦定理可得()2221b a B =+，再由余弦定理可得()22222cos 21cos b a c ac B a B =+-=-，最后结合同角的三角函数关系和特殊三角函数值得到结果即可【详解】由()22sin 21sin B B A =及正弦定理得()2221b B a=+，即()2221b a B =+， 由a c =及余弦定理可得()22222cos 21cos b a c ac B a B =+-=-，∴()()222121cos a B a B =-cos B B =-，∴tan B =. 又0πB <<，∴5π6B =. 故选：D.7. 已知AB 是圆O ：222x y +=直径，M ，N 是圆O 上两点，且120MON ∠=︒，则()OM ON AB +⋅的最小值为（ ） A. 0 B. -2C. -4D. -【答案】C 【解析】【分析】取MN 的中点C ，结合垂径定理与数量积的运算表示出()OM ON AB +⋅后，借助三角函数值域即可得解.【详解】设MN 的中点为C ，∵120MON ∠=︒，OM ON =，则30OC =°=∵C 为MN 的中点，∴2OM ON OC +=，设向量OC 与AB的夹角为()0πθθ≤≤，的∴()22cos 4cos OM ON AB OC AB OC AB θθ+⋅=⋅==，又[]cos 1,1θ∈-，∴()OM ON AB +⋅的最小值为4-.故选：C.8. 若定义在R 上的函数()f x ，满足()()()()222f x y f x y f x f y +-=+，且()11f =-，则()()()()0122024f f f f +++⋅⋅⋅+=（ ）A. 0B. -1C. 2D. 1【答案】D 【解析】【分析】利用赋值法，先后求出()01f =，102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，再令12y x =-，得到()()10f x f x +-=，即可求解.【详解】令12x y ==，则有()()()()21011f f f f =+， 又()11f =-，∴()01f =.令12x =，0y =.则有()()1121011022f f f f ⎛⎫⎛⎫=+=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭令12y x =-，则有()()122221212f x f f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. ∵102f ⎛⎫=⎪⎝⎭，∴()()2210f x f x +-=，∴()()10f x f x +-=， ∴()()()()0122024f f f f +++⋅⋅⋅+.()()()()()012202320241101201f f f f f =+++⋅⋅⋅++=+⨯=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. “体育强则中国强，国运兴则体育兴”.为备战2024年巴黎奥运会，运动员们都在积极参加集训，已知某跳水运动员在一次集训中7位裁判给出的分数分别为：9.1，9.3，9.4，9.6，9.8，10，10，则这组数据的（ ） A. 平均数为9.6 B. 众数为10 C. 第80百分位数为9.8 D. 方差为37350【答案】ABD 【解析】【分析】根据平均数、众数、百分位数和方差的定义求解. 【详解】对于A ，平均数()19.19.39.49.69.810109.67=++++++=，故A 正确； 对于B ，出现次数最多的数为10，故B 正确；对于C ，7×0.8=5.6，第80百分位数为第6位，即10，故C 错误； 对于D ，方差为()()()()()()2222221379.19.69.39.69.49.69.69.69.89.62109.67350⎡⎤-+-+-+-+-+-=⎣⎦，故D 正确.故选：ABD.10. 在信息时代，信号处理是非常关键的技术，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数.函数()()41sin 2121i i x f x i =⎡⎤-⎣⎦=-∑的图象可以近似模拟某种信号的波形，则（ ）A. ()f x 为偶函数B. ()f x 的图象关于点()2π,0对称C. ()f x 的图象关于直线π2x =对称 D. π是()f x 的一个周期【答案】BC 【解析】【分析】对A ，根据奇偶函数得定义判断；对B ，计算()()4πf x f x -=-可判断；对C ，计算()()πf x f x -=可判断；对D ，根据周期函数的定义判断.【详解】由题意得，()111sin sin 3sin 5sin 7357f x x x x x =+++， 对于A ，x ∈R ，()()()()()111sin sin 3sin 5sin 7357f x x x x x -=-+-+-+-()111sin sin 3sin 5sin 7357x x x x f x =----=-，∴函数()f x 是奇函数，故A 错误；对于B ，()()()()()1114πsin 4πsin 34πsin 54πsin 74π357f x x x x x -=-+-+-+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()111sin sin 3sin 5sin 7357x x x x f x =----=-，∴()f x 的图象关于点()2π,0对称，故B 正确； 对于C ，()()()()()111πsin πsin 3πsin 5πsin 7π357f x x x x x -=-+-+-+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()111sin sin 3sin 5sin 7357x x x x f x =+++=，∴()f x 的图象关于直线π2x =对称，故C 正确； 对于D ，()()()()()111πsin πsin 3πsin 5πsin 7π357f x x x x x +=+++++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()111sin sin 3sin 5sin 7357x x x x f x =----=-，∴π不是()f x 的周期，故D 错误. 故选：BC.11. 已知双曲线C ：2213y x -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线l ：()1x my m =-∈R 与C 的左、右两支分别交于M ，N 两点（点N 在第一象限），点01,2P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭在直线l 上，点Q 在直线2NF 上，且12QF PF ∥，则（ ）A. C 的离心率为3B. 当m =时，MN =C. 22PF M NF P ∠=∠D. 2QF 为定值【答案】BCD 【解析】【分析】根据离心率的公式即可求解A ，联立直线与抛物线方程， 根据弦长公式即可求解B ，根据二倍角公式以及斜率关系即可求解C ，根据角的关系即可求解线段长度相等，判断D.【详解】由题意得，1,a b ==2c e a ===，故A 错误；联立22113x y x ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩，得2803y -=，解得0y =或y =，则0MN =-=，故B 正确；由直线l ：()1x my m =-∈R 可知()1,0M -，又1,2a b c ===，01,2P y ⎛⎫⎪⎝⎭，故P 在线段2MF 的中垂线上，设PM ，2PF 的斜率分别为k ，k -，()1,0M -，故直线MP 的方程为()1y k x =+，联立()22113y k x y x ⎧=+⎪⎨-=⎪⎩，得()22223230k x k x k ----=，设()11,N x y ，则212213k x k -+=-，21233k x k +=-，故22236,33k k N k k ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭. 当2NF x ⊥轴时，2223b MF a c NF a=+===，2MF N 是等腰直角三角形，且易知2245PF M NF P ∠=∠=︒；当2NF 不垂直于x 轴时，直线2NF 的斜率为22226233123k k k k k k-=+---，故222tan 1k NF M k ∠=--， 因为2tan PF M k ∠=，所以2222tan 2tan 1kPF M NF M k∠==∠-，所以222PF M NF M ∠=∠，22PF M NF P ∠=∠，故C 正确；因为12QF PF ∥，故212221F FQ PF M NF P F QF ∠=∠=∠=∠，故2124QF F F ==，故D 正确.故选:BCD.第Ⅱ卷（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 若复数()()45i z a a =+-+在复平面内对应的点位于第三象限，则实数a 的取值范围是__________. 【答案】()5,4-- 【解析】【分析】由实部和虚部都小于零解不等式组求出即可.【详解】由题意得，()4050a a +<⎧⎨-+<⎩，解得54a -<<-，∴实数a 的取值范围是()5,4--. 故答案为：()5,4--.13. 若关于x 的方程()eln e ln e xxm m x x +=+-有解，则实数m 的最大值为__________. 【答案】1e##1e - 【解析】【分析】根据题意，由条件可得()ln ln eeln e e ln mx x m x x -+=+-，构造函数()e e x f x x =+，即可得到()()ln ln f m f x x =-，然后利用导数求得函数()ln g x x x =-的值域即可得到结果.【详解】由题意得，()ln ln eeln e e ln mx x m x x -+=+-，令()e e xf x x =+，则()()ln ln f m f x x =-， 易知()f x 单调递增，所以ln ln m x x =-. 令()lng x x x =-，()1xg x x-'=，当()0,1x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增； 当()1,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以()ln 11m g ≤=-，得10em <≤. 所以m 的最大值为1e. 故答案为：1e14. 已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为8，且()1101C E C B λλ=<<，则当AE EC +取得最小值时，三棱锥11B ECD -的外接球体积为______. 【答案】32π3##32π3【解析】【分析】首先将平面1BCC 展成与平面11ABC D 同一平面，确定点E 的位置，再建立空间直角坐标系，确定球心的位置，根据球体积公式计算即可．【详解】由题意得，12,B AB C ==，将平面1BCC 展成与平面11ABC D 同一平面， 当点,,A E C 共线时，此时AE EC +最小， 在展开图中作CN AB ⊥，垂足为N ，因为1BCC 为等腰直角三角形，所以12BC CC ==，BN CN ==由ABE ANC 得，BE AB CN AN =⇒=2BE =-，在正方体1111ABCD A B C D -，过点E 作EF BC ⊥，垂足为F ，则2EF BF ==如图，以D 为原点，1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则()()2,0,0,2,2,0A B ，()0,2,0C ，2,2E-，()()()1112,2,2,0,2,2,0,0,2B C D ，则()()()11112,2,2,2,0,2,2,2,0AC B C B D =-=--=--， 因为111110,0AC B C AC B D ⋅=⋅= ，所以11111,AC B C AC B D ⊥⊥ ，又因为111,B C B D ⊂平面11B CD ，且1111B C B D B ⋂=， 所以1AC ⊥平面11CB D ，因为1111111,AD AB AC C D C B C C ====， 所以三棱锥11B ECD -外接球的球心在1AC 上，设球心为O ，设()()12,2,20AO k AC k k k k ==-≠，则()22,2,2O k k k -，因为OC OE =，所以()()()(()(22222222222222222k k k k k k -+-+=-+-+-+，解得1k =，即()0,2,2O ，所以外接球2R OC ==， 所以三棱锥11B ECD -外接球的体积3432ππ33V R ==， 故答案为：32π3. 【点睛】方法点睛：立体图形中求线段和最小值，将线段所在平面展开在同一平面，即可确定最小值；确定立体图形的外接球，可先确定球心所在直线，建立空间直角坐标系求解.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知函数()2131e 2x f x x mx -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （1）若曲线()y f x =在点11,22f ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线l 与直线50x y -=垂直，求l 的方程； （2）若函数()f x 在()0,∞+上有2个极值点，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）10230x y +-=（2）4,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解；（2）令()0f x '=，分离参数可得212e 3x m x -=，由题意可得方程212e3x m x-=在()0,∞+上有2个根，构造函数()212e 3x g x x-=，()0,x ∈+∞，利用导数求出其极值和单调区间即可得解.【小问1详解】 由题意得，()()21212212e 21e 32e 3x x x f x x mx x mx ---'=+--=-，故131524f m ⎛⎫'=-=-⎪⎝⎭，解得8m =， 而112f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故所求切线方程为1152y x ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，即10230x y +-=； 【小问2详解】 令()0f x '=，则2122e3x x mx -=，故212e 3x m x-=， 因为函数()f x 在()0,∞+上有2个极值点，所以方程212e 3x m x-=在()0,∞+上有2个根，令()212e 3x g x x -=，()0,x ∈+∞，则()()21221e23x x g x x --'=⋅，令()0g x '=，解得12x =，故当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减， 当1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增， 且1423g ⎛⎫=⎪⎝⎭，当0x →时，()g x ∞→+，当x →+∞，()g x ∞→+， 故实数m 的取值范围为4,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭. 16. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，45CAB CBA ∠=∠=︒，1A AC ACB ∠=∠，1160CC B ∠=︒，1BC CC =，P 为线段1BB 的中点，点N 为线段11A B 上靠近1B 的三等分点.（1）求证：1BB AP ⊥；（2）求平面NCP 与平面ACP 夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2. 【解析】【分析】（1）先得到1AC CC ⊥，ACBC ⊥，得到线面垂直，故1AC B B ⊥，再得到1B C BC =，由三线合一得到1BB CP ⊥，得到线面垂直，得到结论；（2）先证明出面面垂直，再建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，得到面面角的余弦值. 【小问1详解】因为45CAB CBA ∠=∠=︒，故90ACB ∠=︒， 又1A AC ACB ∠=∠，所以190A AC ∠=︒， 故侧面11AAC C 为矩形，故1AC CC ⊥， 又ACBC ⊥，1BC CC C ⋂=，1,BC CC ⊂11CC B B ，所以AC ⊥平面11CC B B ，而1B B ⊂平面11CC B B ，故1AC B B ⊥，又1BC CC =，11160B BC CC B ∠=∠=︒，故1BCB △为等边三角形， 所以1B C BC =，因为P 是线段1BB 的中点，故1BB CP ⊥，且AC CP C ⋂=，,AC CP ⊂平面ACP ，故1BB ⊥平面ACP ， 因为AP ⊂平面ACP ，故1BB AP ⊥.【小问2详解】由（1）知，AC ⊥平面11CC B B ，又AC ⊂平面ABC ， 故平面11CC B B ⊥平面ABC ，以C 为原点，CA ，CB 所在直线分别为x ，y 轴， 过点C 在平面11CC B B 内作垂直CB 的直线为z 轴， 建立空间直角坐标系，不妨设2AC =，则()2,0,0A ，()0,2,0B，(1B，(10,C -，30,2P ⎛ ⎝，(12,A -，设(),,N a b c ，则11123A N AB =，即(()22,1,2,2,03a b c -+-=-，解得21,,33a b c ===故21,33N ⎛⎝， 易得平面ACP的一个法向量为(10,BB =-，设平面NCP 的法向量(),,n x y z =，则2033302x y n CN n CP y z ⎧⋅=++=⎪⎪⎨⎪⋅==⎪⎩ ，令1y =，则(4,1,n =.记平面NCP 与平面ACP 夹角为θ，故cos cos ,n θ==， 即平面NCP 与平面ACP .17. 某学校组织一场由老师与学生进行的智力问题比赛，最终由小明同学和唐老师入围决赛，决赛规则如下： ①学生：回答n 个问题，每个问题小明回答正确的概率均为12；若小明回答错误，可以行使学生权益，即可以进行场外求助，由场外同学小亮帮助答题，且小亮每个问题回答正确的概率均为()01p p <<. ②教师：回答n 个问题，每个问题唐老师回答正确的概率均为23. 假设每道题目答对与否相互独立，最终答对题目多的一方获胜. （1）若3n =，25p =，记小明同学答对问题（含场外求助答对题数）的数量为X ，求X 的分布列及数学期望：（2）若2n =，且小明同学获胜的概率不小于51144，求p 的最小值. 【答案】（1）分布列见解析，2110； （2）12. 【解析】【分析】（1）求出小明答每个问题，回答正确的概率，再利用二项分布求出分布列及期望.（2）求出小明答对1个、2个试题的概率，唐老师答对0个、1个试题的概率，再把小明获胜的事件分拆成互斥事件的和，即可求出概率. 【小问1详解】小明同学答每个问题，回答正确的概率112722510P =+⨯=， X 的所有可能取值为0,1,2,3，显然7~(3,10X B ， 则3327(0)(101000P X ===，1230()37189(1)C 1010100P X =⋅==，22337441(2)C 10101000(P X =⋅==⋅，3337343(3)C ()101000P X ===，则X 的分布列为X0 1 2 3P271000 1891000 4411000 3431000数学期望721()31010E X =⨯=. 【小问2详解】记事件i A 为小明同学答对了i 道题，事件j B 为唐老师答对了j 道题，1,2i =，0,1j =，其中小明同学答对某道题的概率为111(1)222p p +=+，答错某道题的概率为1(1)2p -，则1212111(C (1)(1)(12)22)P A p p p =⋅+⋅-=-，=+=+22211()[(1)](1)24P A p p ，==2011()()39P B ，112214(C 39)3P B =⋅⋅=， 所以小明同学获胜概率为102120102120)()()(()P A B A B A B P A B P A B P A B ++=++2222111411151(1(1)(1)(3107)29494936144)p p p p p =-⋅++⋅++⋅=++≥，解得112p ≤<，所以p 的最小值为12.18. 已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的短轴长为4，过右焦点F 的动直线l 与C 交于A ，B 两点，点A ，B在x 轴上的投影分别为A '，B '（A '在B '的左侧）；当直线l 的倾斜角为135 时，线段AB 的中点坐标为42,33⎛⎫⎪⎝⎭. （1）求C 的方程；（2）若圆C '：228x y +=，判断以线段AF 为直径的圆C ''与圆C '的位置关系，并说明理由；（3）若直线AB '与直线A B '交于点M ，MAB △的面积为43，求直线l 的方程. 【答案】（1）22184x y +=（2）圆C ''与圆C '内切，理由见解析（3）20x y --=或20x y +-=【解析】【分析】（1）利用点差法，结合中点坐标，以及直线的斜率，求椭圆方程； （2）根据椭圆的定义，表示圆心距和两圆半径的关系，即可判断两圆的位置关系；（3）首先设直线l 的方程，并与椭圆方程联立，利用韦达定理表示点M 的坐标，并利用坐标表示MAB △的面积，即可求解直线方程. 【小问1详解】 易知24b =，则2b =.的.设()11,A x y ，()22,B x y ，则22112222222211x y a bx y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 相减得，()()()()12121212220x x x x y y y y a b -+-++=，故22231043b a -⋅=，解得2212b a =，则28a =，故椭圆C 的方程为22184x y +=.【小问2详解】设2AF r =，圆C '的半径为椭圆C 的左焦点为F '，则1r ⎤∈-+⎦，2AF r '=-，设D 为线段AF的中点，则12OD AF r '==-， 故圆C ''与圆C '内切. 【小问3详解】当直线l 斜率为0时，不符合题意，舍去.当直线l 斜率不为0时，设直线l 方程为()20x my m =+≠，联立222184x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222440m y my ++-=，易知()22161620m m =++> ，则12242m y y m +=-+，12242y y m ⋅=-+. 易知()1,0A x '，()2,0B x '， 所以直线AB '：()1212y y x x x x =--①，直线A B '：()2121yy x x x x =--②，联立①②()()122112211212121222224M my y my y x y x y my y x y y y y y y ++++===+=+++，所以12121211142222MAB M S BB x x y x y my y =⋅-=-=-'⋅ ， 因为12121my y y y =+，所以()212121142223MABS y y y y y =-+=-===，解得1m =±，故直线l 的方程为20x y --=或20x y +-=.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是联立方程求出点M 的坐标，并利用坐标表示面积公式. 19. 在不大于()*,,2nkk n k ∈≥N 的正整数中，所有既不能被2整除也不能被3整除的个数记为()kF n .（1）求()24F ，()33F 的值；（2）对于*,,m n p ∈N ，m n p <<，是否存在m ，n ，p ，使得()()()666F m F n F p +=?若存在，求出m ，n ，p 的值；若不存在，请说明理由； （3）记[]x 表示不超过x 的最大整数，且()1651nn i S F i ==-∑，求[][][][]123100S S S S +++⋅⋅⋅+的值.【答案】（1）()245F =，()339F =（2）不存在，理由见解析（3）500 【解析】【分析】（1）由()k F n 的定义，分别求出()24F ，()33F ；（2）若()()()666F m F n F p +=成立，可转化为666m n p +=，即166n m p m --+=，即可判断； （3）根据题意可知[]15S =，当2n ≥时，可证5 5.6n S <<，即[]5n S =，得解. 【小问1详解】在不大于42的所有正整数中，所有既不能被2整除也不能被3整除的数为1，5，7，11，13，共5个，所以()245F =.在不大于33的所有正整数中，所有既不能被2整除也不能被3整除的数为1，5，7，11，13，17，19，23，25，共9个，所以()339F =. 【小问2详解】因为在不大于6n的所有正整数中，能被2整除的数有62n 个，能被3整除的数有63n个，能被6整除的数有66n个， 所以()1666666262363n n n nnn F n -=--+==⨯.若()()()666F m F n F p +=，则666333m n p+=，即666m n p +=， 因为m n p <<，所以166n m p m --+=，易知16n m -+是奇数，6p m -是偶数，上式不成立， 故不存在m ，n ，p ，使得()()()666F m F n F p +=. 【小问3详解】由（2）知，当1n =时，()165551121S F ===--，所以[]15S =，当2n ≥时，()111165561631261261266n n n n F n -----==<=-⋅-⋅-⋅，（上式变换注意用到不等式，若0,0a b c >>>，则b bc a a c+<+.） 所以当2n ≥时，()211165111315351166656nn n n i S F i --=⎛⎫⎛⎫=<+++⋅⋅⋅+=+- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑，所以当2n ≥时，5 5.6n S <<，[]5n S =， 所以[][][][]1231005100500S S S S +++⋅⋅⋅+=⨯=.【点睛】关键点点睛：本题第二问，关键是根据()k F n 的定义分析在不大于6n 的所有正整数中，能被2整除的数有62n 个，能被3整除的数有63n 个，能被6整除的数有66n个，进而可得()1666666262363n n n nnn F n -=--+==⨯.第三问，关键是分析得到当2n ≥时，()1165631266n n F n --<=-⋅成立，此处用到糖水不等式放缩.。
2024届河北省邯郸市高三上学期第二次调研监测数学试题及答案
邯郸市2024届高三年级第二次调研检测20231219数学注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A =x ∣y =log 2x -x 2 ,B =x ∣x >12, 则A ∪B =A.{x ∣x >0} B.x ∣12<x <1 C.x ∣x >12D.{x ∣x <1}2.若角α为第二象限角, tan α=-24, 则cos α=A.223B.-223C.13D.-133.设α,β为两个不同的平面, a ,b ,c 为三条不同的直线, 则下列命题正确的是A.若a ⎳α,b ⊂α, 则a ⎳b B.若α⎳β,a ⊂α,b ⊂β, 则a ⎳bC.若α⊥β,a ⊂α,α∩β=c ,a ⊥c , 则a ⊥βD.若α⊥β,a ⊂α,b ⊂β, 则a ⊥b4.已知复数z 满足z 2+z +1=0, 则|z |=A.12B.22C.1D.25.直线y =kx -3k +1被圆x 2+y 2-4x -5=0截得的弦长的最小值为A.4B.25C.26D.276.在23x +2xn的二项展开式中, 各二项式系数之和为a n , 各项系数之和为b n , 若a n +b n =1056 , 则n =A.4B.5C.6D.77.已知函数f (x )=1e x -2-e x -2, 若f (a -2)+f 2a 2 >0, 则实数a 的取值范围是A.(2,+∞)B.-2,32C.-∞,-32D.(-2,+∞)8.在棱长为4的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中, P ,Q 分别为AB ,CC 1的中点, 则平面A 1PQ 截此正方体所得的截面周长为A.25+213+953B.25+413+953C.254+65D.252+65二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数f (x )=2cos 2x +π6, 则下列描述正确的是A.函数f (x )的最小正周期为πB.x =π6是函数f (x )图象的一个对称轴C.-π3,0 是函数f (x )图象的一个对称中心D.若函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度可得函数g (x )的图象, 则g (x )为奇函数10.已知实数a ,b ,m 满足a >b >0, 则以下大小关系正确的是A.a 2>b 2B.a +1a >b +1b C.b a <b +m a +mD.a b +b a >a +b11.已知等差数列a n 的前n 项和为S n , 且满足a 1=1,a 2+a 3=8, 现将数列a n 与数列{S n -1 的公共项从小到大排列得到新数列b n , 则下列叙述正确的是A.a n =2n -1 B.S N =n 2-1C.b 10=399D.数列1b n 的前10项和为102112.已知椭圆C :x 2a2+y 2=1(a >1)的上顶点为B , 左、右焦点分别为F 1,F 2, 则下列叙述正确的是A.若椭圆C 的离心率为32, 则a =2B.若直线BF 1与椭圆C 的另一个交点为A , 且BF 1 =2F 1A, 则a 2=2C.当a =2时, 过点B 的直线被椭圆C 所截得的弦长的最大值为433D.当a =2时, 椭圆C 上存在异于B 的两点P ,Q , 满足BP ⊥BQ , 则直线PQ 过定点0,-35三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.现有一组数据按照从小到大的顺序排列如下:4,6,7,7,8,9,11,14,15,19, 则这组数据的上四分位数为.14.已知非零向量a,b满足2|a|=3|b|,b⊥(2a-b), 则向量a,b夹角的余弦值为.15.已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F, 过点F的直线l与该抛物线相交于M,N两点,若|MN|=5|NF|, 则直线l的斜率为.16.已知函数f(x)=x log a x-12x2(a>0, 且a≠1)存在极小值和极大值, 则实数a的取值范围是.四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)已知数列a n的前n项和为S n, 且满足S n=n2+1.(1)求数列a n的通项公式;(2)若数列b n=(-1)n a n, 求数列b n的前2n项和T2n.在△ABC 中, 角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c , 且2a -b c =cos Bcos C.(1)求角C ;(2)若c =3, 角C 的平分线交AB 于点D , 且满足BD =-2AD, 求△BCD 的面积.19.(本小题满分12分)如图,已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积为23(其中底面三角形ABC 为锐角三角形), A1C 1=A 1B 1=AA 1=2.(1)求点C 1到平面A 1BC 的距离;(2)求平面A 1BC 与平面BCC 1B 1夹角的余弦值.20.(本小题满分12分)已知函数f (x )=ln x +(a -2)x +a .(1)若a =1, 求曲线y =f (x )在点(e ,f (e ))处的切线方程;(2)讨论函数f (x )的零点个数.随着芯片技术的不断发展,手机的性能越来越强大, 为用户体验带来了极大的提升. 某科技公司开发了一款学习类的闯关益智游戏,每一关的难度分别有“容易”“适中”“困难”三个档次,并且下一关的难度与上一关的难度有关, 若上一关的难度是“容易”或者“适中”, 则下一关的难度是“容易”“适中”“困难”的概率分別为16,12,13, 若上一关的难度是“困难”, 则下一关的难度是“容易”“适中”“困难”的概率分别为16,13,12, 已知第1关的难度为“容易”.(1)求第3关的难度为“困难”的概率;(2)用P n表示第n关的难度为“困难”的概率,求P n.22.(本小题满分12分)已知点F1,F2分别为双曲线C:x2-y23=1的左、右焦点, 点A在双曲线C的右支上, 且双曲线在点A处的切线l与圆C2:(x-2)2+y2=10交于M,N两点, 设直线F1M,F1N的倾斜角分别为α,β.(1)求|α-β|;(2)设直线l与x轴的交点为D, 且满足F1D=2F2D, 求△F1MN的面积.邯郸市2024届高三年级第二次调研监测数学参考答案题号123456789101112答案ABCCDBBAA C D A D A C D A C D 1.A 解析:因为A ={x y =l o g 2x -x 2 },所以x -x 2>0,解得0<x <1,所以A ={x |0<x <1},又B =x x >12,所以A ɣB =x x >0 ,故选A .[命题意图]集合是高考必考内容,该题考查了集合的运算,该题从数学素养上体现对学生数学运算素养的考查,考查学生的运算求解能力.2.B 解析:因为s i n 2α+c o s 2α=1,t a n α=s i n αc o s α=-24,角α为第二象限角,所以c o s α=-223,故选B .[命题意图]三角函数是高考必考内容,该题考查了同角三角函数关系,该题从数学素养上体现对学生数学运算素养的考查,考查学生的运算求解能力.3.C 解析:选项A ,若a ʊα,b ⊂α,不能判断直线a ,b 的位置关系,故A 错误;选项B ,若αʊβ,a ⊂α,b ⊂β,不能判断直线a ,b 的位置关系,故B 错误;选项C ,根据面面垂直的性质定理可得C 正确;选项D ,若αʅβ,a ⊂α,b ⊂β,不能判断直线a ,b 的位置关系,故D 错误,故选C .[命题意图]立体几何是高考的必考内容,该题考查了立体几何中线线㊁线面㊁面面关系,该题从数学素养上体现对学生直观想象素养的考查,考查学生的空间想象能力.4.C 解析:根据题意,设复数z =a +b i ,由z 2+z +1=0,得a +b i 2+a +b i+1=0,得a 2-b 2+a +1=0,2a b +b =0,当b =0时,a 2+a +1=0无解,当a =-12时,b =ʃ32,所以z =a 2+b 2=1,故选C .[命题意图]复数是高考的必考内容,该题考查了复数的模的运算,该题从数学素养上体现对学生数学运算素养的考查,考查学生的数学运算能力.5.D 解析:根据题意可知,直线y =k x -3k +1过定点3,1 ,判断可知点3,1 在圆x 2+y 2-4x -5=0内,x 2+y 2-4x -5=0,则x -2 2+y 2=9,圆心2,0 到直线y =k x -3k +1距离的最大值为2,所以直线被圆截得的弦长的最小值为232-2=27,故选D .[命题意图]直线与圆是高考的必考内容,该题考查了直线与圆的位置关系,该题从数学素养上体现对学生数学运算素养的考查,考查学生的数学运算能力.6.B 解析:由题意可得,当x =1时,各项系数之和为4n ,各二项式系数之和为2n ,故4n +2n=1056,则n =5,故选B .[命题意图]二项式定理是高考要求的内容,该题考查了二项展开式中系数的运算,该题从数学素养上体现对学生数学运算素养的考查,考查学生的数学分析能力.7.B 解析:由函数f (x )=1e x -2-e x -2,可得f (x +2)=1e x -e x ,令g (x )=f (x +2)=1ex -e x ,则g (-x )=-g (x ),所以g (x )为奇函数,所以f (x )的图象关于点(2,0)中心对称,所以f (x )+f 4-x =0,又f (a -2)+f (2a 2)>0,所以f (2a 2)>-f (a -2),所以f (2a 2)>f6-a ,函数f (x )=1ex -2-e x -2单调递减,所以2a 2<6-a ,即2a 2+a -6<0,解得-2<a <32,故选B .[命题意图]函数的性质是高考要求的内容,该题考查了利用函数性质解抽象函数不等式,该题从数学素养上体现对学生逻辑推理素养的考查,考查学生的数学分析能力.8.A解析:根据题意,如图所示,取点M 为棱C 1D 1上靠近C 1的四等分点,可得P A 1ʊQ M ,取点N 为棱B C 上靠近C 的三等分点,可得P N ʊA 1M ,所以截面为五边形A 1M Q N P ,计算可得A 1P =25,A 1M =5,Q M =5,N Q =2133,P N =103,所以截面周长为103+2133+5+5+25=25+213+953,故选A .[命题意图]立体几何是高考的必考内容,该题考查立体几何截面的内容,该题从数学素养上体现对学生直观想象素养的考查,考查学生的空间想象能力.9.A C D 解析:函数f x 的最小正周期为2π2=π,故A 正确;fπ6 =2c o s 2ˑπ6+π6=0,故B 错误;f -π3 =2c o s 2ˑ-π3 +π6=0,故C 正确;g x =f x +π6 =2c o s 2x +π6+π6=2c o s 2x +π2 =-2s i n 2x ,故D 正确,故选A C D .[命题意图]三角函数的图象是高考的必考内容,该题考查了三角函数图象的内容,该题从数学素养上体现对学生逻辑推理素养的考查,考查学生的数形结合思想.10.A D 解析:对于选项A ,a >b >0,可得a 2>b 2,故A 正确;对于选项B ,a +1a >b +1b ,即a -b +b -a a b>0,即a -b 1-1a b>0,当a >b >0时,不一定正确,故B 错误;对于选项C ,当m =0时,b a =b +m a +m ,故C 错误;对于选项D ,a b +b a -a -b =a -b 2a +b a b>0,故D 正确,故选A D .[命题意图]不等式性质是高考的必考内容,该题考查了不等式的基本性质,该题从数学素养上体现对学生数学运算素养的考查,考查学生的数学运算能力.11.A C D 解析:设数列{a n }的公差为d ,因为a 1=1,a 2+a 3=a 1+d +a 1+2d =8,所以d =2,所以a n =2n -1,S n =n 1+2n -1 2=n 2,故A 正确,B 错误;因为a n =2n -1是全体奇数,又S n -1=n 2-1=n -1 n +1 ,当n 为偶数时,S n -1为奇数,当n 为奇数时,S n -1为偶数,所以b n =4n 2-1,所以b 10=399,故C 正确;1b n=14n 2-1=12n -1 2n +1 =12ˑ12n -1-12n +1,则其前10项和为12ˑ1-13 +12ˑ13-15 + +12ˑ119-121 =12ˑ1-121=1021,故D 正确,故选A C D .[命题意图]数列是高考要求的内容,该题考查了有关数列的综合应用,该题从数学素养上体现对学生数据分析㊁数学运算素养的考查,考查学生的数学分析和数学运算能力.12.A C D 解析:对于选项A ,e 2=c 2a 2=34=a 2-1a2,则a 2=4,则a =2,故A 正确;对于选项B ,因为B (0,1),F 1-c ,0 ,又B F 1ң=2F 1A ң,可得A -3c 2,-12,代入椭圆C :x 2a 2+y 2=1(a >1),可得94ˑc 2a 2+14=1,则c 2a 2=13,则a 2-1a2=13,则a 2=32,故B 错误;对于选项C ,设点M (x 0,y 0)在椭圆C 上,所以满足x 204+y 20=1,则x 20=4-4y 20,M B 2=x 20+(y 0-1)2=4-4y 02+y 20-2y 0+1=-3y 20-2y 0+5-1ɤy 0ɤ1 ,所以当y 0=-13时,|M B |2取得最大值163,所以弦长的最大值为433,故C 正确;对于选项D ,设点P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),当直线P Q 斜率不为0时,设直线P Q 的方程为n y =x +m ,联立n y =x +m ,x 24+y 2=1,可得n 2+4 y 2-2m n y +m 2-4=0,可得y 1+y 2=2m n n 2+4,y 1y 2=m 2-4n 2+4,因为B P ʅB Q ,可得y 1-1x 1㊃y 2-1x 2=-1,则y 1y 2-y 1+y 2 +1=-x 1x 2,因为x 1=n y 1-m ,x 2=n y 2-m ,代入可得n 2+1 y 1y 2-m n +1 y 1+y 2+m 2+1=0,代入根与系数的关系,可得n 2+1 m 2-4n 2+4-m n +12m n n 2+4+m 2+1=0,即5m 2-2m n -3n 2=0,即5m +3n m -n=0,可得m =n 或m =-35n ,当m =n 时,直线P Q 的方程为n y =x +n ,恒过0,1 ,不成立;当m =-35n ,直线P Q 的方程为n y =x -35n ,恒过0,-35 ,当直线P Q 斜率为0时,若直线P Q 过点0,-35,经验证满足条件,故D 正确,故选A C D .[命题意图]圆锥曲线问题是高考要求的内容,该题考查了有关椭圆问题的综合应用,该题从数学素养上体现对学生数学建模㊁数学运算素养的考查,考查学生的数学分析和数学运算能力.13.14 解析:已知上四分位数为第75百分位数,10ˑ75%=7.5,所以第75百分位数为第8个数据,所以为14.[命题意图]统计中的百分位数是高考要求的内容,该题考查了有关百分位数的定义,该题从数学素养上体现对学生数据分析㊁数学运算素养的考查,考查学生的数学分析和数学运算能力.14.13解析:因为b ʅ2a -b ,所以b ㊃2a -b =0,则2a ㊃b -b 2=0,所以2a b c o s θ-b 2=0,则c o s θ=b 2a =13.[命题意图]向量是高考要求的内容,该题考查了向量的数量积的应用,该题从数学素养上体现对学生数学运算素养的考查,考查学生的数学运算能力.15.ʃ34解析:如图所示,过点M 作准线的垂线,垂足为M ',过点N 作准线的垂线,垂足为N ',过点N 作MM '的垂线,垂足为G ,因为MN =5N F ,不妨设N F =t ,可得MN =5t ,M F =4t ,根据抛物线的定义可得MM '=M F =4t ,N N '=N F =t ,可得M G =MM '-N N '=3t ,分析可得直线l 的倾斜角为øMN G ,所以直线l 的斜率为k =t a n øMN G =|M G ||N G |,因为M G =3t ,MN =5t ,所以N G =4t ,所以k =t a n øMN G =|M G ||N G |=3t 4t =34,根据对称性,可得直线l 的斜率为ʃ34.[命题意图]圆锥曲线是高考要求的内容,该题考查了有关抛物线的性质,该题从数学素养上体现对学生逻辑推理素养的考查,考查学生的数学分析和数学运算能力.16.1,e 解析:因为函数f (x )存在极小值和极大值,所以f '(x )有两个变号零点,因为f (x )=x l o g ax -12x 2,所以f '(x )=l o g a x +1l n a -x ,令f '(x )=0,得1l n a =x -l o g a x ,设g (x )=x -l o g ax ,所以1l n a=g (x )有两个不同的根,g '(x )=1-1x l n a,若0<a <1,l n a <0,g'x >0,函数g (x )单调递增,所以g (x )=1l n a 至多有一个根,与题意不符;若a >1,l n a >0,g 'x 单调递增,令g '(x )=0,则x =1l n a,当x ɪ0,1l n a时,g '(x )<0,g (x )单调递减,当x ɪ1l n a,+ɕ时,g '(x )>0,g (x )单调递增,所以g (x )的最小值为g 1l n a=1l n a -l o g a1l n a ,若要使得g (x )=1l n a 有两个根,则g 1l n a=1ln a -l o g a 1l n a <1l n a ,即l o g a 1l n a >0,又a >1,所以1l n a>1,则0<l n a <1,即1<a <e ,所以实数a 的取值范围是1,e.[命题意图]函数与导数是高考要求的内容,该题考查了有关函数导数的极值问题,该题从数学素养上体现对学生数学运算素养的考查,考查学生的数学运算能力.17.解:(1)根据题意,S n =n 2+1,S n -1=n -1 2+1,所以a n =S n -S n -1=2n -1(n ȡ2),(2分) 当n =1时,a 1=S 1=2,(3分) 所以a n =2,n =1,2n -1,n ȡ2.(5分)(2)b n =(-1)n a n =-2,n =1,(-1)n2n -1 ,n ȡ2,(7分)所以T 2n =b 1+b 2+b 3+b 4+ +b 2n -1+b 2n =-2+3-5+7-9+11- -4n -3 +4n -1 =2n -1.(10分)[命题意图]数列是高考要求的内容,该题考查了有关数列的通项公式与求和,考查了数列求和中的分组求和的方法,该题从数学素养上体现对学生数据分析㊁数学运算素养的考查,考查学生的数学分析和数学运算能力.18.解:(1)由正弦定理可得2s i n A -s i n B s i n C =c o s B c o s C,则(2s i n A -s i n B )c o s C =s i n C c o s B ,(2分)所以2s i n A c o s C =s i n C c o s B +s i n B c o s C =s i n B +C =s i n A ,(4分)因为s i n A ʂ0,所以c o s C =12,因为C ɪ(0,π),所以C =π3.(6分) (2)根据题意,B D ң=-2A D ң,所以点D 为A B 上靠近点A 的三等分点,B D =2A D ,所以S әB C D =2S әA C D ,即12ˑa ˑC D ˑs i n øB C D =2ˑ12ˑb ˑC D ˑs i n øA C D ,可得a =2b ,(8分) 由余弦定理可得,c o s C =a 2+b 2-92a b =12,可得a =23,b =3,(10分) 所以S әA B C =12ˑa ˑb ˑs i n C =332,所以S әB C D =23S әA B C =3.(12分) [命题意图]解三角形是高考要求的内容,该题考查了正㊁余弦定理解三角形的问题,该题从数学素养上体现对学生数学建模㊁数学运算素养的考查,考查学生的数形结合思想和数学运算能力.19.解:(1)由V A B C A 1B 1C 1=A A 1ˑS әA B C =2ˑ12ˑ2ˑ2ˑs i n A =23,得s i n A =32,因为A ɪ0,π2 ,所以A =π3,(1分) 所以底面三角形A B C 为等边三角形,分析可得点C 1到平面A 1B C 的距离等于点A 到平面A 1B C 的距离,设点A 到平面A 1B C 的距离为h ,由V A A 1B C =V A 1A B C ,得13ˑh ˑS әA 1B C =13ˑA A 1ˑS әA B C =13ˑ2ˑ12ˑ2ˑ2ˑs i n π3=233,(3分) 因为A 1B =A 1C =22,所以S әA 1B C =7,(4分) 所以h =2217.(5分)(2)取A C 的中点O ,A 1C 1的中点E ,连接O B ,O E ,以O 为原点,O B ,O C ,O E 所在直线分别为x ,y ,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,A 1(0,-1,2),B (3,0,0),C (0,1,0),A (0,-1,0),则A 1B ң=3,1,-2 A 1C ң=0,2,-2 ,(7分 设平面A 1B C 的法向量为n =x ,y ,z ,则n ㊃A 1B ң=0,n ㊃A 1C ң=0, 即3x +y -2z =0,2y -2z =0, 取x =1,所以n =1,3,3 ,(9分 取B C 的中点D ,连接A D ,易得A D ʅ平面B C C 1B 1,即A D ң为平面B C C 1B 1的一个法向量,D32,12,0 ,A D ң=32,32,0,(10分) 设平面A 1B C 与平面B C C 1B 的夹角为θ,所以c o s θ=|c o s <n ,A D ң>|=n ㊃A D ңn A D ң=237ˑ3=277,所以平面A 1B C 与平面B C C 1B 1夹角的余弦值为277.(12分) [命题意图]立体几何是高考的必考内容,该题考查了求解点到面的距离与面面所成的角的问题,该题从数学素养上体现对学生直观想象㊁数学运算素养的考查,考查学生的空间想象能力.20.解:(1)当a =1时,fx =l n x -x +1,f (e )=l n e -e +1=2-e ,故切点为e ,2-e ,(1分) f 'x =1x -1,则f '(e )=1e-1,(2分) 所以切线方程为y -2-e =1e -1 x -e ,即y =1e-1x +1.(4分) (2)f x =l n x +a -2 x +a ,则f 'x =1x +a -2(x >0),(5分) 当a -2ȡ0,即a ȡ2时,f 'x >0,函数f x 单调递增,当x ң0时,f x <0,当x ң+ɕ,fx >0,所以函数f x 有一个零点;(7分) 当a -2<0,即a <2时,函数f 'x 单调递减,令f 'x =1x +a -2=0,得x =12-a,所以函数f x 在0,12-a 上单调递增,在12-a ,+ɕ 上单调递减,当x ң0时,f x <0,当x ң+ɕ,fx <0,当f 12-a =l n 12-a-1+a >0,即a >1时,函数f x 有两个零点,当f 12-a =l n 12-a -1+a =0,即a =1时,函数f x 有一个零点,当f 12-a =l n 12-a -1+a <0,即a <1时,函数f x 没有零点.(10分) 综上,当a <1时,函数f x 没有零点;当a =1或a ȡ2时,函数f x 有一个零点;当1<a <2时,函数f x 有两个零点.(12分) [命题意图]函数与导数是高考的必考内容,该题考查了函数的零点问题,该题从数学素养上体现对学生数学运算素养的考查,考查学生的数学运算能力.21.解:(1)已知第1关的难度为 容易 ,则第2关的难度是 容易 适中 困难 的概率分别为16,12,13,故第3关的难度是 困难 的概率为P =16ˑ13+12ˑ13+13ˑ12=718.(4分) (2)由题意可得,P n 表示第n 关的难度为 困难 的概率,P n -1表示第(n -1)关的难度为 困难 的概率,则P n =12P n -1+131-P n -1 (n ȡ2),(8分) 整理可得,P n -25=16P n -1-25 ,根据题意得P 1=0,所以P n -25是首项为-25,公比为16的等比数列,所以P n -25=-25ˑ16 n -1,则P n =25-25ˑ16 n -1.(12分)[命题意图]概率是高考的必考内容,该题考查了利用概率的知识解决实际问题,该题从数学素养上体现对学生数学建模㊁数据分析素养的考查,考查学生的数学建模能力㊁数据分析能力和运算能力.22.解:(1)因为双曲线C :x 2-y 23=1,则F 1(-2,0),F 2(2,0),当直线l 的斜率不存在时,直线l :x =1,此时由对称性不妨令M (1,3),N (1,-3),则F 1M ң㊃F 1N ң=0,所以α-β=π2;(1分) 当直线l 的斜率存在时,设直线l :y =k x +m ,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),联立y =k x +m ,x -2 2+y 2=10, 得k 2+1 x 2+2k m -4 x +m 2-6=0,则x 1+x 2=4-2k m k 2+1,x 1x 2=m 2-6k 2+1,(3分) 所以F 1M ң㊃F 1N ң=x 1+2 x 2+2 +y 1y 2=k 2+1 x 1x 2+k m +2 x 1+x 2 +m 2+4,(4分)代入根与系数的关系可知F 1M ң㊃F 1N ң=2(m 2-k 2+3)k 2+1.联立x 2-y 23=1,y =k x +m ,得3-k 2 x 2-2k m x -m 2-3=0,因为直线l 与双曲线C 相切,所以Δ=0,得m 2-k 2+3=0,故F 1M ң㊃F 1N ң=0,所以α-β=π2.综上,|α-β|=π2.(6分) (2)由对称性,设k >0,m <0,点D -m k ,0 ,因为F 1D =2F 2D ,所以2-m k =22+m k,3m =-2k ,由(1)得m 2-k 2+3=0,求解可得m 2=125,k 2=275,(8分) S әF 1M N=12F 1D y 1-y 2=122-m k k x 1-x 2=k -m 2 x 1-x 2=k -m 2 x 1+x 2 2-4x 1x 2,(9分) 代入根与系数的关系整理可得,S әF 1M N =k -m 2 26k 2-m 2-4k m +10k 2+1=4k 2+m 2-4k m 6k 2-m 2-4k m +10 k 2+1,(10分) 因为m 2=125,k 2=275,k >0,m <0,所以m =-125,k =275,代入计算可得S әF 1M N =51.(12分)[命题意图]圆锥曲线是高考的必考内容,该题考查了圆锥曲线中的角和面积的问题,该题从数学素养上体现对学生数学建模㊁数学运算素养的考查,考查学生的数形结合思想和数学运算能力.。
安徽省合肥市2020-2021学年高三上学期期初调研性检测理科数学试题
合肥市2021届高三调研性检测数学试（理科）（考试时间：120分钟 满分：150分）第Ⅰ卷（60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若复数z满足1zi -=，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为（ ）A.B.C.D. 3B首先根据题意得到z i =，再计算模长即可.因为1zi -=，所以221++===iz i ii.所以==z 故选：B2. 若集合{}1A xx =>∣，{}2230B x x x =--≤∣，则A B =（ ） A. (1,3] B. [1,3] C. [1,1)- D. [1,)-+∞A化简集合B ，根据交集的定义，即可求解.{}2230[1,3]B x x x =--≤=-∣, {}1(1,)A x x =>=+∞∣,(1,3]A B ∴=。
故选：A.3. 若变量x ，y 满足约束条件1133x y x y x y -≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≥⎩，则目标函数3z x y =+的最小值为（ ）A. 92- B. 4- C. 3- D. 1D根据变量x ，y 满足1133x y x y x y -≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≥⎩，画出可行域，然后平移直线30x y +=，当直线在y 轴上截距最小时，目标函数取得最小值.由变量x ，y 满足1133x y x y x y -≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≥⎩，画出可行域如图所示：平移直线30x y +=，当直线在y 轴上截距最小时，经过点1,0A ，此时目标函数取得最小值，最小值是1，故选：D4. 为了保障广大人民群众的身体健康，在新冠肺炎疫情防控期间，有关部门对辖区内15家药店所销售的A 、B 两种型号的口罩进行了抽检，每家药店抽检10包口罩（每包10只），15家药店中抽检的A 、B 型号口罩不合格数（Ⅰ、Ⅱ）的茎叶图如图所示，则下列描述不正确．．．的是（ ）A. 估计A 型号口罩的合格率小于B 型号口罩的合格率B. Ⅰ组数据的众数大于Ⅱ组数据的众数C. Ⅰ组数据的中位数大于Ⅱ组数据的中位数D. Ⅰ组数据的方差大于Ⅱ组数据的方差 D根据茎叶图中的数据计算出两种型号口罩的合格率，可判断A 选项的正误；求出两组数据的众数，可判断B 选项的正误；求出两组数据的中位数，可判断C 选项的正误；利用排除法可判断D 选项的正误. 对于A选项，由茎叶图可知，A 型号口罩的不合格数为658210124131416202130199++⨯++⨯++++++=，B 型口罩的不合格数为245682101131416212528180++++⨯++⨯+++++=，A 型号口罩的合格率为1991301115001500-=，B 型口罩的合格率为1801320115001500-=， 所以，A 型口罩的合格率小于B 型口罩的合格率，A 选项正确； 对于B 选项，Ⅰ组数据的众数为12，Ⅱ组数据的众数11，B 选项正确； 对于C 选项，Ⅰ组数据的中位数为12，Ⅱ组数据的11，C 选项正确； 由排除法可知D 选项不正确.故选：D.5. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3122n n S a =-，则5S =（ ）A. 81B. 121C. 243D. 364B利用递推式与等比数列求和的通项公式即可得出.31,22n n S a =-∴当2n ≥时，113122n n S a --=-，∴111313133222222n n n n n n n a S S a a a a ---⎛⎫=-=---=- ⎪⎝⎭， 化简可得：13n n a a -=， 当1n =时，1113122a S a ==-，解得：11a =. ∴数列{}n a 是等比数列,首项为1,公比为3,()()55151113121113a q S q-⨯-∴===--.故选：B.6. 函数cos ()x xx xf x e e -=+在[],ππ-上的图象大致是（ ）A. B.C .D.A先由函数的奇偶性定义，判断()f x 为奇函数，排除B ，D ，再由()f x 在(0,),(,)22πππ函数值的正负值判断，即可得出结论.cos (),[,]x xx xf x x e eππ-=∈-+定义域关于原点对称， cos ()(),()x xx xf x f x f x e e ---==-∴+是奇函数，图象关于原点对称，排除选项B ，D ，(0,),()0,,()022x f x x f x ππ∈>==，(,),()02x f x ππ∈<，所以选项C 不满足，选项A 满足.故选：A. 7. 周六晚上，小红和爸爸、妈妈、弟弟一起去看电影，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起，为安全起见，每个孩子至少有一侧有家长陪坐，则不同的坐法种数为（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20C先计算出4个人的全排列，再减去不符合情况的种数即可.4个人坐四个座位，共有4424A =种坐法，当孩子坐在一起并且坐在最边上时，有一个孩子没有大人陪伴，共有222228A A =种，所以每个孩子旁边必须有大人陪着共有24-8=16种坐法. 故选：C .8. 已知函数()2)0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则函数()f x 的单调递减区间为（ ）A. 32,2()88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B. 3,()88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C. 372,2()88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D. 37,()88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D由图可知，20,218822f f ππππωϕωϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，338288T πππ=-=，从而可求出2,4πωϕ==-，()2)4f x x π=-，进而由3222,242k x k k Z πππππ+≤-≤+∈可求得答案解：由图可知，20,218822f f ππππωϕωϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以18k πωϕπ+=，1k Z ∈，2224k ππωϕπ+=+或2232,24k k Z ππωϕπ+=+∈，因为338288T πππ=-=，所以T π=，所以2ππω=， 因为0>ω，所以2ω=， 所以14k πϕπ=-，1k Z ∈，2324k πϕπ=-+或222,4k k Z πϕπ=-+∈ 因为||2ϕπ<，所以4πϕ=-， 所以()2)4f x x π=-，由3222,242k x k k Z πππππ+≤-≤+∈， 解得37,88k x k k Z ππππ+≤≤+∈，所以()f x 的单调递减区间为37,()88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，故选：D 由三视图可知，几何体为一个三棱锥A BCD -， 如下图所示：根据三视图可知，4DB =，2DC =，高为2，1182323A BCD V DC DB -∴=⨯⨯⨯⨯=，∴所求几何体体积：83，故选：C .10. 在ABC 中，D 、E 、F 分别是边BC 、CA 、AB 的中点，AD 、BE 、CF 交于点G ，则：①1122EF CA BC =-；②1122BE AB BC =-+；③AD BE FC +=； ④0GA GB GC ++=． 上述结论中，正确的是（ ） A. ①② B. ②③C. ②③④D. ①③④C 分析】作出图形，利用平面向量的加法法则可判断①②③④的正误. 如下图所示：对于①，F 、E 分别为AB 、AC 的中点，111222FE BC CA BC ∴=≠-，①错误； 对于②，以BA 、BC 为邻边作平行四边形ABCO ，由平面向量加法的平行四边形法则可得2BE BO BA BC AB BC ==+=-+，1122BE AB BC ∴=-+，②正确；对于③，由②同理可得2AD AB AC =+，1122AD AB AC ∴=+，同理可得1122CF CA CB =+，()102AD BE CF AB AC BA BC CA CB ∴++=+++++=， AD BE CF FC ∴+=-=，③正确；对于④，易知点G 为ABC 的重心，所以，23GA AD =-，23GB BE =-，23GC CF =-，因此，()203GA GB GC AD BE CF ++=-++=，④正确.故选：C. 11. 双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，M 为C 的渐近线上一点，直线2F M 交C 于点N ，且20F M OM ⋅=，2232F M F N =（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为（ ） A. 5 B. 2 C. 3 D. 2 A设点M 为第一象限内的点，求出直线2F M 的方程，可求得点M 的坐标，由2232F M F N =可求得点N 的坐标，再将点N 的坐标代入双曲线C 的方程，进而可求得双曲线C 的离心率.设点M 为第一象限内的点，可知直线OM 的方程为by x a=，()2,0F c ，2F M OM ⊥，所以，直线2F M 的方程为()ay x c b=--， 联立()b y x a a y x c b ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得2a x c ab y c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点2,a ab M c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设点(),N x y ，()222,,0,a ab b ab F M c c c c c ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2,F N x c y =-，2232F M F N =，()23232b x c c ab y c ⎧-=-⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，解得222323a c x c ab y c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点2222,33a c ab N c c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，将点N 的坐标代入双曲线C 的方程得22222222331a c ab c c a b ⎛⎫+⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=， 可得22249e e e⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，整理得25e =，1e >，解得5e =故选：A.12. 已知a 、b R ∈，函数()()3210f x ax bx x a =+++<恰有两个零点，则+a b 的取值范围（ ）A. (),0-∞B. (),1-∞-C. 1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D. 1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D利用导数分析函数()y f x =的单调性，可得出该函数的极小值()10f x =，由题意得出()()2111321111321010f x ax bx f x ax bx x ⎧=++=⎪⎨=+++='⎪⎩，进而可得23112111223a x xb x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，可得出32111222a b x x x +=--，令110t x =<，由0a <可得出12t <-，构造函数()32222g t t t t =--，求得函数()y g t =在区间1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上的值域，由此可求得+a b 的取值范围.()321f x ax bx x =+++且0a <，()2321f x ax bx '=++，24120b a ∆=->， 则方程()0f x '=必有两个不等的实根1x 、2x ，设12x x <， 由韦达定理得1223bx x a+=-，12103x x a=<，则必有120x x <<，且()21113210f x ax bx '=++=，① 当1x x <或2x x >时，()0f x '<；当12x x x <<时，()0f x '>.所以，函数()y f x =的单调递增区间为()12,x x ，单调递减区间为()1,x -∞和()2,x +∞.由于()010f =>，若函数()y f x =有两个零点，则()32111110f x ax bx x =+++=，②联立①②得21132111321010ax bx ax bx x ⎧++=⎨+++=⎩，可得23112111223a x xb x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，所以，32111222a b x x x +=--， 令110t x =<，令()32222g t t t t =--，则()a b g t +=， ()3222210a t t t t =+=+<，解得12t <-，()()()()2264223212311g t t t t t t t '=--=--=+-.当12t <-时，()0g t '>，此时，函数()y g t =单调递增，则()321111122222224a b g t g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=<-=⨯--⨯--⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：D.第Ⅱ卷（90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在答题卡上的相应位置． 13. 若命题:p 若直线l 与平面α内的所有直线都不平行，则直线l 与平面α不平行；则命题p ⌝是________命题（填“真”或“假”）．假先写出p ⌝，再判断真假即可.命题:p 若直线l 与平面α内的所有直线都不平行，则直线l 与平面α不平行； 命题p ⌝：若直线l 与平面α内的所有直线都不平行，则直线l 与平面α平行，假命题. 故答案为：假命题.14. 若直线l 经过抛物线24x y =-的焦点且与圆22(1)(2)1x y -+-=相切，则直线l 的方程为________．0x =或4330x y --=先根据抛物线方程24x y =-，求得焦点坐标()0,1F -，再分直线的斜率不存在和直线的斜率存在时，两种情况设直线方程，然后利用圆心到直线的距离等于半径求解. 因为抛物线方程为24x y =-， 所以焦点坐标为：()0,1F -，当直线的斜率不存在时，设直线方程为：0x =， 圆心到直线的距离为1d r ，符合题意，当直线的斜率存在时，设直线方程为：1y kx =-，即10kx y --=， 圆心到直线的距离为2311k d r k -===+，解得43k =， 所以直线方程为4330x y --=， 故答案为：0x =或4330x y --=15. 已知函数()cos ()f x x x x R =-∈，α，β是钝角三角形的两个锐角，则(cos )f α________(sin )f β （填写：“>”或“<”或“=”）．>对函数()f x 求导判断其单调性，再由钝角三角形内角判断cos ,sin αβ的大小. 由()1sin 0f x x '=+≥，可得()f x 在R 上单调递增， 因为α，β是钝角三角形两个锐角，所以2παβ+<，022ππβα<<-<，sin y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调增，sin sin 2πβα⎛⎫∴<- ⎪⎝⎭，sin cos βα<，所以()(cos )sin f f αβ> 故答案为：>16. 已知三棱锥P ABC -的顶点P 在底面的射影O 为ABC 的垂心，若2ABC OBC PBC S S S ⋅=△△△，且三棱锥P ABC -的外接球半径为3，则PAB PBC PAC S S S ++△△△的最大值为________． 18连AO 交BC 于D ，由顶点P 在底面的射影O 为ABC 的垂心，得AD BC ⊥，进而证明,,BC PA PC AB PD BC ⊥⊥⊥，由2ABC OBC PBC S S S ⋅=△△△。
山东省青岛市2024-2025学年高三上学期期初调研检测 数学试题[含答案]
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2024年高三年级期初调研检测数学试题本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（ ）(){}ln 4A x y x ==-{}1,2,3,4,5B =A B = A ．B ．C ．D ．{5}{1,2,3}{1,2,3,4}{1,2,3,4,5}2．已知复数z 满足，则z 的虚部为（ ）()12i 43i z +=+A ．1B ．C ．D ．1-ii-3．已知命题p ：，，则为（ ）R α∀∈sin cos 44ππαα⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭p ⌝A ．，B ．，R α∀∈sin cos 44ππαα⎛⎫⎛⎫-≠+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R α∃∈sin cos 44ππαα⎛⎫⎛⎫-≠+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．，D ．，R α∀∉sin cos 44ππαα⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R α∃∉sin cos 44ππαα⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4．等差数列的首项为，公差不为0，若成等比数列，则的前6项和为{a n }1-236,,a a a {a n }（ ）A ．B ．3C ．D ．241-24-5．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以x 轴的非负半轴为始边，它们的终边关于x轴对称．若，则（ ）1cos 3α=-()cos αβ-=A ．B ．C ．1D ．1979-796．两个粒子A ，B 从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为，(1,2)A S =．粒子B 相对粒子A 的位移为，则在上的投影向量为（ ）(4,3)B S = S S A SA ．B ．C．D．(1,2)(2,1)7．设，若是的最小值，则a 的取值范围为（ ）()()2,01,0x a x f x x a x x ⎧+≤⎪=⎨++>⎪⎩()0f ()f x A ．B ．C ．D ．[]1,0-[]1,2-[]2,1--[]2,0-8．已知双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2．以F 1F 2为直径的圆2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>和C 的渐近线在第一象限交于A 点，直线AF 1交C 的另一条渐近线于点B ，，则1F B BA =C 的离心率为（ ）ABC ．2D ．3二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．一组数据：x 1，x 2，…，x 10是公差为－2的等差数列，去掉首末两项x 1，x 10后得到一组新数据，则（ ）A ．两组数据的极差相同B ．两组数据的中位数相同C ．两组数据的平均数相同D ．两组数据的标准差相同10．平面过正方体的顶点，平面平面，平面平面α1111ABCD A B C D -A //α11CB D α ，平面平面，则（ ）ABCD m =α 11ABB A n =A ．B ．平面C ．平面D ．所成的角为11//B D m1//A B αn ⊥11ADC B ,m n π611．设数列和的项数均为，称为数列和的距离．记满足{a n }{b n }m 1mi ii a b =-∑{a n }{b n }的所有数列构成的集合为．已知数列和为中的两个元素，项111nn n a a a ++=-{a n }C {}n A {}n B C 数均为，下列正确的有（ ）m A ．数列和数列的距离为1,3,5,72,4,6,84B ．若，则()*4N m p p =∈1122mmA A AB B B =C ．若，则()*4N m p p =∈1mii Am=≤∑D ．若，，数列和的距离小于，则的最大值为12A =13B ={}n A {}n B 2017m 3456三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分．12．若曲线在点处的切线斜率为，则．cos y ax x =()0,01-a =13．若，是函数的两个相邻极值点，则．1π3x =2πx =()()sin 0f x x ωω=>ω=14．正方体的棱长为，是侧面（包括边界）上一动点，是棱1111ABCD A B C D －3P 11ADD A E 上一点，若，且的面积是面积的倍，则三棱锥体CD APB DPE ∠=∠APB △DPE 9P ABE －积的最大值是．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局．已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动2312甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响．(1)求在一次猜谜活动中，有一方获胜的概率；(2)若有一方获胜则猜谜活动结束，否则猜谜继续，猜谜最多进行3次，求猜谜次数X 的分布列和期望．16．已知的内角的对边分别为．ABC ,,A B C ,,a b c )cos cos cos ac B b C A +=(1)求；A (2)若边上的高等于，求．AB 13csin C 17．如图，在四棱锥中，底面四边形是正方形，，底面P ABCD -ABCD PD DC =PD ⊥，是线段的中点，在线段上，．ABCD E PC F PB EF PB ⊥(1)证明：平面；PB ⊥DEF (2)在线段上，与所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值．G PB EG PA 45DEF DEG 18．已知双曲线，点在上．按如下方式构造点（）；过点22:4C x y m -=()11,1P C n P 2n ≥作斜率为的直线与的左支交于点，点关于轴的对称点为，记点的坐1-n P 1C 1n Q -1n Q -y n P n P 标为．(),n n x y (1)求点的坐标；23,P P (2)记，证明：数列为等比数列；2n n n a x y =-{}n a (3)为坐标原点，分别为线段，的中点，记，的面积O ,G H 2n n P P +13n n P P ++12n n OP P ++△OGH 分别为，求的值．12,S S 12S S 19．已知函数定义域为，，若，，当时，都()f x I D I ⊆x D ∀∈t D ∃∈x t <有．则称为在上的“Ω点”．()()f x f t <t ()f x D(1)设函数．()()()2ln 12f x ax x x=++-（i ）当时，求在上的最大“Ω点”；0a =()f x ()1,-+∞（ii ）若在上不存在“Ω点”，求a 的取值范围；()f x []0,1(2)设，且，．证明：在D 上的“Ω{}()*1,2,,N D m m ∈= ()10f =()()11f x f x --≤()f x 点”个数不小于．()f m1．B【分析】根据对数中真数大于0解出集合，再利用交集含义即可得到答案.A 【详解】，则.(){}{}ln 44A x y x x x ==-=<{1,2,3}A B ⋂=故选：B.2．A【分析】根据复数的除法的计算公式得，再根据共轭复数和复数虚部的概念即可.2i z =-【详解】，()()()()43i 12i 43i 105i2i 12i 12i 12i 5z +-+-====-++-则，则其虚部为1.2i z =+故选：A.3．B【分析】根据全称量词命题的否定，否定结论，全称变特称即可.【详解】根据全称量词命题的否定，否定结论，全称变特称,则为“，p ⌝R α∃∈”.sin cos 44ππαα⎛⎫⎛⎫-≠+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：B.4．D【分析】根据等比中项得到方程，解出，后根据等差数列求和公式计算即可.2=d 【详解】成等比数列,则，即，236,,a a a 2326a a a =⋅21112()(5)()a d a d a d +=+⋅+代入.得到，，解得.11a =-212)1)15)(((d d d -+-+-+⋅=0d ≠2=d 则的前6项和.{}n a 6656(1)2242S ⨯=⨯-+⨯=故选：D.5．B【分析】运用角的终边对称性，得到正弦余弦值之间的关系，再用两角差的余弦值计算即可.【详解】角α与角β均以x 轴的非负半轴为始边，它们的终边关于x 轴对称. 则，，且，1cos cos 3αβ==-sin sin αβ=-228sin 1cos 9αα=-=，28sin sin sin 9αβα⋅=-=-故.()187cos cos cos sin sin 999αβαβαβ-=⋅+⋅=-=-故选：B 6．C【分析】根据题意，求得，结合向量的数量积的公式和投影向量的公式，(3,1)B A S S S=-=准确计算，即可求解.【详解】由向量，，可得粒子相对粒子的位移为，(1,2)A S =(4,3)B S =B A (3,1)B A S S S=-=可得，13215AS S =⨯⨯=⋅+所以在上的投影向量为.S A S (1,2)(1,2)A A A AS S S S S ⋅⋅== 故选：C.7．A【分析】根据分段函数的最值，结合二次函数和基本不等式，二次不等式求解.【详解】由于，当，，由于是的最小值，()()2,01,0x a x f x x a x x ⎧+≤⎪=⎨++>⎪⎩0x =()20f a =()0f ()f x 则为减区间，即有，则恒成立.(,0]-∞0a≤21,0a x a x x ≤++>由，当且仅当时取等号，所以 ，解得.12x x +≥=1x =22a a ≤+12a -≤≤综上，a 的取值范围为.[]1,0-故选：A.8．C【分析】根据题意，利用双曲线的对称性，得到，结合双曲21π3AOF F OB AOB ∠=∠=∠=线的几何性质，求得，进而求得双曲线的离心率，得到答案.πtan 3b a ==【详解】如图所示，因为，可得点为线段的中点，则，1F B BA=B 1F A 1OB F A ⊥可得，1F OB AOB ∠=∠因为直线是双曲线的渐近线，由双曲线的对称性可知，,OA OB 21AOF F OB ∠=∠所以，21π3AOF F OB AOB ∠=∠=∠=可得直线的斜率为，则，OA πtan 3b a ==2c e a ===所以双曲线的离心率为.C 2故选：C.9．BC【分析】根据平均数的概念结合等差数列的性质判断C ，由中位数的概念可判断B ，由方差及等差数列的通项公式计算即可判断D ，根据极差及等差数列的通项公式可判断A ．【详解】对于C ，原数据的平均数为 ，1210511()5(1010x x x x x =+++=⨯+ 6561)()2x x x =+去掉，后的平均数为，则C 正确；1x 10x 2395656111()4()()882x x x x x x x x x '=+++=⨯+=+= 对于B ，原数据的中位数为，561()2x x +去掉，后的中位数仍为，即中位数没变，则B 正确；1x 10x 561()2x x +对于A ，原数据的极差为，110918x x d -=-=去掉，后的极差为，即极差变小，则A 错误；1x 10x 29714x x d -=-=对于D ，设公差为d ，则原数据的方差为222215625610561111()()()10222s x x x x x x x x x ⎧⎫⎪⎪⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-++-+++-+⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎩⎭2221975()()()10222[d d d =-+-+-222311()()()222d d d +-+-++，22223579()()()()3322]22d d d d +++=去掉，后的方差为1x 10x 22222563569561111()()()8222s x x x x x x x x x ⎧⎫⎪⎪⎡⎤⎡⎤⎡⎤'=-++-+++-+⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎩⎭，22222222175311357()()()()()()()()2182222222[]2d d d d d d d d =-+-+-+-++++=即方差变小．标准差也变小，则D 错误.故选：BC 10．ABC【分析】设平面平面证得和，可判定A 正确；过作α 1111A B C D m '=//m m '11//m B D '1D C 平面，设平面平面，证得，可判定B 正确；设平面平面γγ α=a 1//A B a α ，证得平面，可判定C 正确；把所成的角转化为与11DCC D n '=n '⊥11ADC B ,m n 11B D 所成的角，结合为等边三角形，可判定D 不正确.1D C 11CB D 【详解】对于A 中，设平面平面α 1111A B C D m '=在正方体中，可得平面平面，1111ABCD A B C D -//ABCD 1111D C B A 因为平面平面，所以，α ABCD m =//m m '又因为平面平面，且平面平面，//α11CB D α 1111A B C D m '=平面平面，所以，所以，所以A 正确；11CB D ⋂111111A B C D B D =11//m B D '11//m B D 对于B 中，在正方体中，可得，1111ABCD A B C D -11//A B D C 因为平面平面，且平面平面，所以平面，//α11CB D 1D C ⊂11CB D 1//D C α过作平面，设平面平面，可得，1D C γγ α=a 1//D C a 可得，且，所以平面，所以B 正确；1//A B a 1A B α⊄1//A B α对于C 中，设平面平面，α 11DCC D n '=因为平面平面 且平面平面，所以，//α11CB D 11CB D ⋂111DCC D D C =1//n D C '在正方体中，可得平面，1111ABCD A B C D -AD ⊥11DCC D 因为平面，所以，1D C ⊂11DCC D 1AD D C ⊥又因为，且，平面，11DC D C ⊥1AD DC D = 1,AD DC ⊂11ADC B 所以平面，所以平面，1D C ⊥11ADC B n '⊥11ADC B 在正方体中，可得平面平面，1111ABCD A B C D -11//ABB A 11DCC D 因为平面平面，平面平面，所以，α 11DCC D n '=α 11ABB A n =//n n '所以平面，所以C 正确；n ⊥11ADC B 对于D 中，因为且，所以所成的角，即为与所成的角，11//m B D 1//n D C ,m n 11B D 1D C 因为为等边三角形，可得，11CB D 11π3CD B ∠=所以异面直线所成的角为，所以D 不正确.,m n π3故选：ABC.11．ABD【分析】根据数列距离的定义求两数列的距离判断A ，结合数列，的递推关系证{}n A {}n B 明两数列具有周期性，判断B ，利用基本不等式求，由此求41424344k k k k A A A A +++++++，判断C ，由条件求，结合周期性可求，，由此1mii A=∑4173i i i A B =-=∑34561i i i A B =-∑34571i i i A B =-∑判断D.【详解】对于A ，根据数列距离的定义可得：数列和数列的距离为，A 正确；1,3,5,72,4,6,8123456784-+-+-+-=对于B ，设，其中，且，由，1A t =0t ≠1t ≠±111nn n A A A ++=-所以，，，，211t A t +=-31A t =-411t A t -=+5A t =则，15A A =因此数列中的项周期性重复，且间隔项重复一次，{}n A 4所以，，，414243441k k k k A A A A ++++=11k p ≤≤-N p *∈设，其中，且，由，1B s =0s ≠1s ≠±111nn n B B B ++=-所以，，，，211s B s +=-31B s =-411s B s -=+5B s =则，15B B =因此数列中的项周期性重复，且间隔项重复一次，{}n B 4所以，，，414243441k k k k B B B B ++++=11k p ≤≤-N p *∈所以若，则，B 正确；()*4N m p p =∈1122mm A A AB B B = 因为，其中，且，4142434411111k k k k t t A A A A t t t t +++++-+++=++-+-+0t ≠1t ≠±所以，111,11t t t t t t +-≠≠-+所以，4142434411122411k k k k t t A A A A t t t t +++++-+++=+++>+=-+所以若，，C 错误；()*4N m p p =∈14mii Ap m=>=∑所以数列中，，，，，，{}n A 432k A -=423k A -=-4112k A -=-413k A =k *∈N 故中，，，，，，{}n B 433k B -=422k B -=-4113k B -=-412k B =k *∈N ，111k kiiiii i b c b c+==-≥-∑∑所以项数越大，数列和的距离越大，m {}n A {}n B 由，可得，4173i i i A B =-=∑34561i i i b c =-=∑786420163⨯=，34571201612017iii b c=-=+=∑所以时，，3456m ≤12017miii b c=-<∑故的最大值为；m 3456所以数列和的距离小于，则的最大值为，D 正确.{}n A {}n B 2017m 3456故选：ABD.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.12．1-【分析】先求导，再代入0，运用导数几何意义可解.【详解】求导得到，将0代入导数，运用导数几何意义，得(cos sin )y a x x x '=-.(cos0sin 0)1a a -==-故答案为：.1-13．32【分析】根据题意得到借助最小正周期公式，再用两个相邻极值点相差半个周期可解.【详解】，是函数的两个相邻极值点,则，1π3x =2πx =()()sin 0f x x ωω=>1π(π)23T =-即，解得.12ππ(π)23ω⨯=-32ω=故答案为：3214【分析】由条件先证明，结合面积关系可得，在平面上建APB EPD ∽3AP PD =11ADD A 立平面直角坐标系，确定点的轨迹方程，结合体积公式求三棱锥体积的最大值.P P ABE －【详解】由已知平面，平面，AB ⊥11ADD A AP ⊂11ADD A 所以,AB AP ⊥因为平面，平面，DE ⊥11ADD A DP ⊂11ADD A 所以，DE DP ⊥所以，又，90BAP EDP ∠=∠=APB DPE ∠=∠所以，又的面积是面积的倍，APB DPE ∽APB △DPE 9所以，13AP DP=以点为原点，为轴建立空间直角坐标系，D 1,,DA DC DD ,,x y z 则，，()3,0,0A ()0,0,0D 设点的坐标为，则，，P (),0,x z 03x ≤≤03z ≤≤由已知，3AP PD==所以，其中，，2239048x z x ++-=03x ≤≤03z ≤≤所以点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆在侧面内的一段圆弧，P 3,0,08⎛⎫- ⎪⎝⎭9811ADD A 过点作，因为平面，P 1//PQ DD 1DD ⊥ABCD 所以平面，即平面，PQ ⊥ABCD PQ ⊥ABE 所以为三棱锥的高，PQ P ABE -所以三棱锥的体积，P ABE -133322P ABE ABE V S PQ PQ z-=== 因为，，223948x z x ++-=03z ≤≤所以，z =03x ≤≤所以当时，0x =z 所以当时，三棱锥体积取最大值，最大值为0x =P ABE－32=【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于通过证明相似，结合相似三角形APB DPE ∽的性质证明.13APDP=15．(1)12(2)分布列见解析，74【分析】（1）有一方获胜，意味着结果为一对一错，分情况用相互独立事件的乘法公式计算相加即可；（2）确定取每一个值对应时间的概率，即可求解.X 【详解】（1）设甲猜对为事件A ，乙猜对为事件B ，事件表示“星队”第一轮活动中只有1人猜对，且事件与互斥，AB AB +AB AB 则，，()()()16P AB P A P B =⨯=()()()13P AB P A P B =⨯=∴，即有一方获胜的概率为.()()()12P AB AB P AB P AB +=+=12（2）由题意的可能取值为1，2，3X 表示第一次猜谜有人获胜，所以,1X =()112p X ==表示第一次猜谜没人获胜同时第二次猜谜有人获胜，所以2X =()1112224p X ==⨯=由分布列的性质，可得，()11131244p X ==--=所以分布列为X 123p121414所以()11171232444E X =⨯+⨯+⨯=16．(1)π4【分析】（1）利用正弦定理，边化角，结合两角和的正弦公式化简即可；（2）先用表示中线段的长度，然后利用等面积法求解即可.c ABC【详解】（1，)cos cos cos a c B b C A +=)sin sin cos sin cos cos AC B B C A +=，又，所以()sin cos A B C A +=sin cos AA A =sin 0A ≠cos A =又，得.0πA <<π4A =（2）由题得示意图作，则，CD AB ⊥13CD c=因为，所以，得，，π4A =13AD CD c ==AC =23DB c=所以BC =11sin 22AB CD AC BC C =即，1sin 3c c C ⨯=⨯解得：sin C =17．(1)证明见解析【分析】（1）根据题意，证得和，得到平面，证得PD BC ⊥DC BC ⊥⊥BC PDC ，再由，得到，证得平面，得到，进而BC DE ⊥PD DC =DE PC ⊥DE ⊥PBC DE PB ⊥证得平面；PB ⊥DEF （2）以点为原点，建立空间直角坐标系，设正方形的边长为，设，D ABCD 2PG PB λ=根据与所成的角为，求得，得到，求得平面和平面的EG PA 4512λ=(1,1,1)G DEG DEF 法向量分别为和，结合向量的夹角公式，即可求解.(0,1,1)n =-(2,2,2)PB =- 【详解】（1）证明：因为底面，且底面，所以，PD ⊥ABCD ⊂BC ABCD PD BC ⊥又因为为正方形，可得，ABCD DC BC ⊥因为，且平面，所以平面，PD DC C = ,PD DC ⊂PDC ⊥BC PDC 又因为平面，所以，DE ⊂PDC BC DE ⊥因为，且为的中点，所以，PD DC =E PC DE PC ⊥又因为，且平面，所以平面，PC BC C ⋂=,PC BC ⊂PBC DE ⊥PBC 因为平面，所以，PB ⊂PBC DE PB ⊥又因为，且，平面，所以平面.EF PB ⊥DE EF E = ,DE EF ⊂DEF PB ⊥DEF （2）解：以点为原点，以所在的直线分别为轴、轴和轴，建立空间直D ,,DA DC DP x y z 角坐标系，如图所示，设正方形的边长为，可得，ABCD 22DP =可得，(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,2),(0,1,1)D A B C P E 则，，(2,0,2)PA =-(2,2,2)PB =- (0,1,1)PE =- 因为在线段上，设，其中，G PB (2,2,2)PG PB λλλλ==- 01λ<<则，(2,21,21)EG PG PE λλλ=-=--+因为与所成的角为，可得，EG PA 45cos 45PA EG PA EG ⋅=== 解得，所以，所以，可得，214λ=12λ=(1,1,1)G (0,1,1),(1,1,1)DE DG ==设平面的法向量为，则，DEG (,,)n x y z = 00n DE y z n DG x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩令，可得，所以，1y =0,1x z ==-(0,1,1)n =-因为平面，所以平面的一个法向量为，PB ⊥DEF DEF (2,2,2)PB =-设平面与平面所成的二面角为，其中，DEF DEG θ090θ<<可得，即平面与平面.cos n PB n PBθ⋅=== DEF DEG 18．(1)，2()1,1-P 3713,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)证明见解析(3)12925S S =【分析】（1）由点可得的值，求出的方程后联立双曲线可得，即可得，()11,1P m 11PQl 1Q 2P 再借助的方程后联立双曲线可得，即可得；22P Q l 2Q 3P （2）联立与双曲线方程，结合韦达定理可得，结合点11n n y y x x ---=-11352n n n x x y --=-代入可得，再利用等比数列定义与判定定理计算即可得证；()1,n n n Q x y --11n n n n y y x x --=--（3）由，结合，从而可得与，再利用面积公式分别计算出123n n n x y --=2243n n x y -=n x n y 即可得.12,S S 【详解】（1）由题知，所以双曲线，413m =-=22:43C x y -=又过点，斜率为的直线方程为，()11,1P 1y x =由双曲线与直线的对称性可知，所以，1(1,1)Q --2()1,1-P 又过，且斜率为的直线方程为，即，2()1,1-P 111y x +=-2y x =-由，解得或，当时，，22243y x x y =-⎧⎨-=⎩1x =73x =-73x =-713233y =--=-所以，所以；2713,33Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭3713,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）设，111(,)(2,N )n n n P x y n n *---≥∈则过，且斜率为的直线方程为，111(,)(2,N )n n n P x y n n *---≥∈111n n y y x x ---=-联立，消得到，112243n n y y x x x y ---=-⎧⎨-=⎩y ()()2211113230n n n n x x y x x y ----+----=由题有，得到，()11123n n n n x x x y ----+=--11352n n n x x y --=-由题知点在直线上，即有，()1,n n n Q x y --11n n y y x x ---=-11n n n n y y x x ---=--所以，因为，11n n n n y y x x --=--2nn n a x y =-则，111111111111111112235232222n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a x x y x y x y x y y x x x y a x y x y x y x ----------------------===++++==----由（1）知，所以数列为为首项，的公比的等比数列；1211a =-={a n }13（3）由（2）知，得到，123n n n n a x y --==123n n n y x -=-由，即，2243n n x y -=()()224223n n n n n n x y x y x y -=-+=即，21332323nn n n n n x y x y --+===-则，()()21223344n n n n n n nx y x y x --++-+==，()()21223322n n n n n n nx y x y y --+---==故，，21213333,42n n n n n P ----⎛⎫+- ⎪⎝⎭1113333,42n n n nn P --+⎛⎫+-⎪⎝⎭，，1123333,42n n n n n P -+-++⎛⎫+- ⎪⎝⎭121233333,42n n n n n P --+--++⎛⎫+-⎪⎝⎭故，()1211533133332444n n n n n n G x -----++⎛⎫++=+=⎪⎝⎭，()1211533133332222n n n n n n G y -----+-⎛⎫--=+=⎪⎝⎭即，则，()()11533533,42n n n n G ----⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭()()11533533,42n n n n H ----⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭则1111112211133333333224242n n n n n n n n n n n n S x y x y --+-+-++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-=-=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()111133333333128n n n n n n n n --+-+-+--+-=1221122113193391328n n n n -+-++----++=，116128-==()()()()1111253353353353311224242n n n n n n n n G H H G S x y x y --------+-+-=-=-()()()()11111253333333328n n n n n n n n --------=⨯+--+-2121212125113133131699n n n n ------=-+---++，2516251699-==故.121925259S S ==【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于得到后，结合，123n n n x y --=2243n n x y -=从而可得与，再利用面积公式计算即可得.n x n y 19．(1)（i ）；（ii ）022ln 2a ≤-(2)证明见解析【分析】（1）（i ）由题意可得对，，当时，都有，(]1,0x ∀∈-(]1,0t ∃∈-x t <()()f x f t <即可结合导数研究单调性后取最大值点即可得；()f x （ii ）由题意可得在时恒成立，借助导数分、、及()()0f x f ≤[]0,1x ∈0a ≤1a ≥203a <≤讨论函数单调性即可得；213a <<（2）分“Ω点”个数为，及大于等于进行讨论，结合，从而得到相012()()11f x f x --≤邻两个“Ω点”的函数值之差小于等于，即可得“Ω点”个数与的关系.1()f m 【详解】（1）（i ）当时，，0a =()()2ln 12f x x x=+-则，()()221222111x xf x x x x -+'=-==-+++则当时，，当时，，()1,0x ∈-f ′(x )>0x ∈(0,+∞)f ′(x )<0即在上单调递增，在上单调递减，()f x ()1,0-(0,+∞)即对，，当时，都有，(]1,0x ∀∈-(]1,0t ∃∈-x t <()()f x f t <即在上的最大“Ω点”为；()f x ()1,∞-+0（ii ）由题意可得在时恒成立，()()0f x f ≤[]0,1x ∈，()()2ln 121axf x a x x +=++-+'令，，()()2ln 121axg x a x x +=++-+[]0,1x ∈则，()()()()()221222111a x ax aax a g x x x x +-++-=+=+++'当时，恒成立，故在上单调递减，0a ≤()0g x '<()g x [0,1]则，()()()200ln12001f x g x g a +=≤=-+'+=故在上单调递减，此时，符合要求；()f x [0,1]()()0f x f ≤当时，令，则，0a >220ax a +-=2222a x a a -==-则当，即时，，即在上单调递增，220a -≤1a ≥()0g x '≥()g x [0,1]则，即在上单调递增，()()()00f xg x g ≥'==()f x [0,1]有，不符合要求，故舍去；()()0f x f ≥当，即时，恒成立，故在上单调递减，221a -≥203a <≤()0g x '<()g x [0,1]则，故在上单调递减，()()()00f x g x g ≤'==()f x [0,1]此时，符合要求；()()0f x f ≤当，即时，()220,1a -∈213a <<若，，若，，20,2x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()0g x '<22,1x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()0g x '>即在上单调递减，在上单调递增，()g x 20,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭22,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭则若需恒成立，有，解得，()()0f x f ≤22ln 2a ≤-由，故，223e ln223ln 2ln e ln 28210ln 2ln 2ln 2ln 2----===<221ln 2-<由，故，()()334e ln2ln e ln 2234ln 2221620ln 233ln 23ln 2ln 2----===>222ln 23->即当时，符合要求；222l 23n a ≤-<综上所述，；22ln 2a ≤-（2）若在D 上的“Ω点”个数为，则，符合要求；()f x 0()()10f m f ≤=若在D 上的“Ω点”个数为，令在D 上的“Ω点”分别为、、、，()f x *N s ∈()f x 1i 2i s i 其中、，、、、，12s i i i m <<<≤ *N 1s m ≤-∈1i 2i {}()*2,,N s i m m ∈∈ 若，1s =则若，由，则，即，111i -=()()11f x f x --≤()()1011f i f <-≤()101f i <≤若，由题意，，，11k i j -=>()()111f i f i -<()()11f f i <()()111f i f -≤故，即，又，故，符合要求；()()1011f i f <-≤()101f i <≤()()1f m f i ≤()1f m ≤若，2s ≥则，，，，()()()1110f i f f i -=>()()210f i f i -> ()()10s s f i f i -->由，则，()()11f x f x --≤()()011k k f i f i <--≤若，即，则，11k k i i --=11k k i i -=-()()101k k f i f i -<-≤若，由题意，，且11k k i i j --=>()()()111k k k f i j f i f i -+-=-<()()1k k f i f i -<，()()11k k f i f i --≤又，故，即，()()011k k f i f i <--≤()()101k k f i f i -<-≤()()2101f i f i <-≤，，，()()3201f i f i <-≤ ()()101s s f i f i -<-≤即有，即，()()()()()2132101s f i f i f i f i f i s -<-+-+-≤- ()()101s f i f i s <-≤-由，故，()101f i <≤()0s f i s<≤又，故，()()s f m f i ≤()f m s≤即在D 上的“Ω点”个数不小于.()f x ()f m 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于借助，结合定义得到相邻两()()11f x f x --≤个“Ω点”的函数值之差小于等于，即可得“Ω点”个数与的关系.1()f m。
广东省江门市2025届普通高中高三上学期调研测试语文试题(含答案)
广东省江门市2025届普通高中高三调研测试语文试题本试卷共10页，23小题，满分150分，考试时间150分钟。
注意事项：1.答题前，考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上。
2.做选择题时，必须用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
3.非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上指定位置作答，不按以上要求作答的答案无效。
5.考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将答题卡交回。
一、现代文阅读(35分)(一)现代文阅读I(本题共5小题，19分)阅读下面文字，完成1～5题。
材料一：关于信息，现在还没有一个统一的定义。
一般说来，信息是消息中不确定性的排除。
例如气象预报是一种消息。
明天是否会下雨呢?我们不确定。
听气象预报说，明天天晴，原有的不确定性就排除了，我们就获得了信息。
如果气象预报说，明天既可能下雨，又可能不下雨，我们听了后原有的不确定性并未排除，这种气象预报就没有提供信息。
信息是对消息接受者来说预先不知道的报道。
信息同物质、能量密切相关，但信息不等于物质或能量。
一般说来，信息是物质和能量的有序组合。
在一定意义上，可以把物质和能量的有序结构看作是信息。
结构不同，信息则异，结构决定信息。
信息是具有新知识的消息。
知识有两种：可表述的知识和不可表述的知识，这可表述的知识便是信息。
只有可表述的知识才能大规模传播。
在现代信息技术中，只有可以编码的知识才可能大量、高速的传播。
可表述的知识越来越成为知识的主体。
所以在这个意义上，我们甚至可以说知识是信息。
信息必须有载体，但信息不等于载体，一张报纸的信息，不等于印刷符号印在上面的那张纸。
相对于信息载体而言，信息具有一定的独立性。
信息资源的主体是知识资源。
知识资源可以共享。
由于物质守恒，所以物质资源不可以共享。
我有一个苹果，你没有；我把这个苹果给了你，你得到了这个苹果，我就失去了这个苹果。
2020高考数学文科刷题(2019真题+2019模拟)讲练(课件+优选练)专题18 统计、统计案例
答案 C 解析 由茎叶图得：b 品种所含 β-胡萝卜素普遍高于 a 品种，∴－x a<－x b， 故 A 正确；a 品种的数据波动比 b 品种的数据波动大，∴a 的方差大于 b 的 方差，故 B 正确；b 品种的众数为 3.31 与 3.41，故 C 错误；a 品种的中位数 为3.23＋2 3.31＝3.27，故 D 正确．故选 C.
与性别有关”．故选 B.
答案
解析
11．(2019·全国卷Ⅰ)某学校为了解 1000 名新生的身体素质，将这些学
生编号为 1,2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取 100 名学
生进行体质测验．若 46 号学生被抽到，则下面 4 名学生中被抽到的是( )
A．8 号学生
B．200 号学生
答案 D
答案
解析 由整个互联网行业从业者年龄分布的饼状图可知，互联网行业从 业者中 90 后占了 56%，故 A 正确；由两个统计图知，互联网行业从事技术 岗位的 90 后人数占总人数的 56%×39.6%＝22.176%，已经超过了 20%， 所以整个互联网行业从事技术岗位的人数肯定会超过总人数的 20%，故 B 正确；由两个统计图知，互联网行业从事运营岗位的人数 90 后占总人数的 56%×17%＝9.52%，超过了 80 前互联网行业从业者人数，故 C 正确；由 两个统计图知互联网行业 80 后的人数占 41%，但没有 80 后的岗位分布图， 因此无法判断互联网行业中从事技术岗位的人数 90 后与 80 后谁多谁少，故 D 不一定正确，故选 D.
答案 D
答案
解析 在频率等高条形图中，a＋a b与c＋c d相差很大时，我们认为两个分 类变量有关系，在四个选项中(等高的条形图)中，若 x1，x2 所占比例相差越 大，则分类变量 x，y 的相关性越强．故选 D.
2019届高三上期末数学分类汇编(18)等差数列与等比数列(含答案)
（山东省德州市2019届高三期末联考数学（理科）试题）4.已知数列为等差数列，且成等比数列，则的前6项的和为（）A. 15B.C. 6D. 3【答案】C【解析】【分析】利用成等比数列,得到方程2a1+5d＝2，将其整体代入 {a n}前6项的和公式中即可求出结果．【详解】∵数列为等差数列，且成等比数列，∴，1，成等差数列，∴2，∴2＝a1+a1+5d，解得2a1+5d＝2，∴{a n}前6项的和为2a1+5d）=．故选：C．【点睛】本题考查等差数列前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．（福建省宁德市2019届高三第一学期期末质量检测数学理科试题）3.等差数列中，，，则数列的前20项和等于（）A. -10B. -20C. 10D. 20【答案】D【解析】【分析】本道题结合等差数列性质，计算公差，然后求和，即可。
【详解】，解得，所以，故选D。
【点睛】本道题考查了等差数列的性质，难度中等。
（江西省新余市2019届高三上学期期末考试数学（理）试题）5.在等差数列中，已知是函数的两个零点，则的前10项和等于( )A. -18B. 9C. 18D. 20【答案】D【解析】【分析】由韦达定理得，从而的前10项和，由此能求出结果.【详解】等差数列中，是函数的两个零点，，的前10项和.故选：D.【点睛】本题考查等差数列的前n项和公式，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用.（湖南省长沙市2019届上学期高三统一检测理科数学试题）13.设等差数列的前项和为，且,则__________．【答案】【解析】分析：设等差数列{a n}的公差为d，由S13=52，可得13a1+d=52，化简再利用通项公式代入a4+a8+a9，即可得出．详解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S13=52，∴13a1+d=52，化为：a1+6d=4．则a4+a8+a9=3a1+18d=3（a1+6d）=3×4=12．故填12.点睛：本题主要考查等差数列通项和前n项和，意在考查学生等差数列基础知识的掌握能力和基本的运算能力.（湖南省湘潭市2019届高三上学期第一次模拟检测数学（文）试题）3.已知数列是等比数列，其前项和为，，则（）A. B. C. 2 D. 4【答案】A【解析】【分析】由题意，根据等比数列的通项公式和求和公式，求的公比，进而可求解，得到答案。
安徽省合肥市2024届高三下学期二模试题 数学含答案
2024年合肥市高三第二次教学质量检测数学（答案在最后）（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1．答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U R =，集合{}{}220,1A x x x B x x =-->=≥，则()U A B = ð（）A ．{}12x x ≤≤B ．{}12x x <≤C ．{}2x x >D ．{}12x x ≤<2．已知i2i z z-=+，则z =（）A ．12B ．22C ．1D ．23．设,αβ是两个平面，,a b 是两条直线，则αβ∥的一个充分条件是（）A ．,,a b a b αβ∥∥∥B ．,,a b a b αβ⊥⊥⊥C ．,,a b a bαβ⊥⊥∥D ．,,a b a αβ∥∥与b 相交4．甲、乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束）．已知每局比赛甲获胜的概率均为12，则甲以4比2获胜的概率为（）A ．164B ．332C ．532D ．15645．常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为T （单位：天）．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为12,T T ．开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的14，则12,T T 满足的关系式为（）A ．125125122T T -+=B ．125125122T T +=C ．22125125122log log T T -+=D ．22125125122log log T T +=6．已知函数()22,113,1x x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩，若关于x 的方程()()10f x f a --=至少有两个不同的实数根，则a 的取值范围是（）A ．(]),4-∞-+∞B ．[]1,1-C ．(-D ．⎡-⎣7．记ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知1112,1tan tan tan tan c A B A B=++=．则ABC △面积的最大值为（）A ．1+B ．1+C ．D ．8．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线左支上，线段2PF 交y 轴于点E ，且23PF PE = ．设O 为坐标原点，点G 满足：213,0PO GO GF PF =⋅=，则双曲线C 的离心率为（）A ．12+B ．1+C ．1+D ．2+二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知圆22:1O x y +=，圆22:()(1)4,C x a y a R -+-=∈，则（）A ．两圆的圆心距OC 的最小值为1B ．若圆O 与圆C 相切，则a =±C ．若圆O 与圆C 恰有两条公切线，则a -<<D ．若圆O 与圆C 相交，则公共弦长的最大值为210．已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则（）A ．11n nS S qS +=+B ．对任意*232,,,n n n n n n S S S S S ∈--N 成等比数列C ．对任意*n ∈N ，都存在q ，使得23,2,3n n n S S S 成等差数列D ．若10a <，则数列{}21n S -递增的充要条件是10q -<<11．已知函数()sin sin sin 66f x x x ππ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，则（）A ．函数()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减B ．函数51122y f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为奇函数C ．当,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()41y f x =+恰有两个零点D ．设数列{}n a 是首项为6π，公差为6π的等差数列，则()1202420272i i f a ==-∑三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．在6x ⎛- ⎝的展开式中，3x 的系数为_________．13．抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为,l A 为C 上一点，以点F 为圆心，以AF 为半径的圆与l 交于点,B D ，与x 轴交于点,M N ，若AB FM = ，则AM =_________．14．已知实数,,x y z，满足20y z +-=，则+++的最小值为_________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60,BAD M ∠=︒是侧棱PC 的中点，侧面PAD 为正三角形，侧面PAD ⊥底面ABCD．（1）求三棱锥M ABC -的体积；（2）求AM 与平面PBC 所成角的正弦值．16．（15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，左顶点为A ，短轴长为31,2⎛⎫⎪⎝⎭．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 的直线l （不与x 轴重合）与C 交于,P Q 两点，直线,AP AQ 与直线4x =的交点分别为,M N ，记直线,MF NF 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k ⋅为定值．17．（15分）树人中学高三（1）班某次数学质量检测（满分150分）的统计数据如下表：性别参加考试人数平均成绩标准差男3010016女209019在按比例分配分层随机抽样中，已知总体划分为2层，把第一层样本记为123,,,,n x x x x ，其平均数记为x ，方差记为21s ；把第二层样本记为123,,,,m y y y y ，其平均数记为y ，方差记为22s ；把总样本数据的平均数记为z ，方差记为2s ．（1）证明：()(){}22222121x s n s z m y m n z s ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦+；（2）求该班参加考试学生成绩的平均数和标准差（精确到1）；（3）假设全年级学生的考试成绩服从正态分布()2,Nμσ，以该班参加考试学生成绩的平均数和标准差分别作为μ和σ的估计值．如果按照16%,34%,34%,16%的比例将考试成绩从高分到低分依次划分为,,,A B C D 四个等级，试确定各等级的分数线（精确到1）．附：()17,18,19P X μσμσ-≤≤+≈．18．（17分）已知曲线():e e x x C f x x =-在点()()1,1A f 处的切线为l ．（1）求直线l 的方程；（2）证明：除点A 外，曲线C 在直线l 的下方；（3）设()()1212,f x f x t x x ==≠，求证：1221etx x t +<--．19．（17分）在数学中，广义距离是泛函分析中最基本的概念之一．对平面直角坐标系中两个点()111,P x y 和()222,P x y ，记1212121212max ,11tx x y y PP x x y y ⎧⎫--⎪⎪=⎨+-+-⎪⎪⎩⎭，称12t PP 为点1P 与点2P 之间的“t -距离”，其中{}max ,p q 表示,p q 中较大者．（1）计算点()1,2P 和点()2,4Q 之间的“t -距离”；（2）设()000,P x y 是平面中一定点，0r >．我们把平面上到点0P 的“t -距离”为r 的所有点构成的集合叫做以点0P 为圆心，以r 为半径的“t -圆”．求以原点O 为圆心，以12为半径的“t -圆”的面积；（3）证明：对任意点()()()111222333131223,,,,,,t t t P x y P x y P x y PP PP P P ≤+．2024年合肥市高三第二次教学质量检测数学试题参考答案及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．A 2．B 3．C4．C5．B6．D7．A 8．D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．9．AD10．ACD11．BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．1513．14．+四、解答题：本题共5小题，共77分．15．解析：（1）如图所示，取AD 的中点O ，连接PO ．因为PAD △是正三角形，所以PO AD ⊥．又因为平面PAD ⊥底面,ABCD PO ⊂平面PAD ，所以PO ⊥平面ABCD ，且PO =又因为M 是PC 的中点，M 到平面ABCD 的距离为2，1222sin 23ABC S π=⨯⨯⨯=△所以三棱锥M ABC -的体积为11322=．（2）连接,BO BD ，因为3BAD π∠=，所以ABD △为等边三角形，所以BO AD ⊥，以O 为原点，,,OA OB OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(()()(),1,0,0,0,,2,P A B C -，所以(()33331,,,,,3,3,2,0,02222M AM PB BC ⎛⎫⎛-=-=-=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭．设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =，则00PB n BC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即33020z x -=-=⎪⎩，取1z =，则1y =，所以()0,1,1n =．设AM 与平面PBC 所成角为θ，则33sin cos ,11AM n θ== ．即AM 与平面PBC 所成角的正弦值为3311．注：其他解法酌情赋分．16．解析：（1）因为23b =，所以3b =31,2⎛⎫⎪⎝⎭代入22213x y a +=得21314a +=，解得24a =，故粗圆C 的方程为22143x y +=；（2）由题意可设()()1122:1,,,,l x ty P x y Q x y =+，由221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()2234690t y ty ++-=，所以12122269,3434t y y y y t t +=-=-++，又因为()2,0A -，所以直线PA 的方程为()1122y y x x =++，令4x =，则1162yy x =+，故1164,2y M x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，同理2264,2y N x ⎛⎫⎪+⎝⎭，从而()()112112126662,413333y y y x k k ty ty +===-++，故()()()212121222212121222363643419189333993434y y y y t k k t t ty ty t y y t y y t t -+===-+++++--+++．注：其他解法酌情赋分．17．解析：（1）()()222111n mi i i i s x z y z m n ==⎡⎤=-+-⎢⎥+⎣⎦∑∑()()22111n mi i i i x x x z y y y z m n ==⎡⎤=-+-+-+-⎢⎥+⎣⎦∑∑()()()()2222111()2()()2()n mi i i i i i x x x z x x x z y y y z y y y z m n ==⎧⎫⎡⎤⎡⎤=-+-+--+-+-+--⎨⎬⎣⎦⎣⎦+⎩⎭∑∑()()()123112()2()2()0nni i n i i x x x z x z x x x z x x x x nx ==--=--=-++++-=⎡⎤⎣⎦∑∑ ,同理()12()0nii yy y z =--=⎡⎤⎣⎦∑．所以{}222221()(x y s n s x z m s y z m n ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎣⎦⎣⎦+（2）将该班参加考试学生成绩的平均数记为z ，方差记为2s ，则()13010020909650z =⨯+⨯=，所以{}222130256(10096)20361(9096)32250s ⎡⎤⎡⎤=+-++-=⎣⎦⎣⎦18≈，所以18s ≈．即该班参加考试学生成绩的平均数为96分，标准差约为18分．（3）由（2）知96,18μσ==，所以全年级学生的考试成绩X 服从正态分布()296,18N ，所以()()961896180.68,960.5P X P X -≤≤+≈≥=．()(7896)(96114)0.34,114(78)0.16P X P X P X P X ≤<=≤<≈≥=<≈．故可将114X ≥定为A 等级，96114X ≤<定为B 等级，7896X ≤<定为C 等级，78X <定为D 等级．注：其他解法酌情赋分．18．解析：（1）因为()e e x x f x x =-，所以()()()10,e ,1e x f f x x f =-''==-，所以直线l 的方程为：e e y x =-+（2）令()e e e e x x g x x x =-+-+，则()e e e e e e x x x x g x x x =--++=-+'，令()()h x g x ='，则()()1e x h x x +'=，由()0h x '>，解得1x >-，由()0h x '<，解得1x <-，所以()h x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增，当x →-∞时，()()e,10h x h →-=，所以()g x 在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以()()10g x g ≥=，当且仅当1x =等号成立，所以除切点()1,0之外，曲线C 在直线l 的下方．（3）由()e 0x f x x '=->，解得()0,e 0x x f x x <=-<'，解得0x >，所以()f x 在(),0-∞上单调递增，在()0,+∞上单调递减，()()max ()01,10f x f f ===，当x →-∞时，()0f x →．因为()()1212,f x f x t x x ==≠，则01t <<，不妨令120,01x x <<<．因为曲线C 在()1,0点的切线方程为()e e x x ϕ=-+，设点()3,x t 在切线上，有()3e 1t x =--，由（1）知()0,1x ∈时，()()x f x ϕ>，则()()()223x f x t x ϕϕ>==，即231etx x <=-+，要证：1221etx x t +<--，只要证：121121e et tx x x t +<+-<--，只要证：122x t <-，又111e e x xt x =-，只要证：11112e 2e 2x xx x <--，令()2e 2e 2,0xxF x x x x =---<，则()2e 1xF x x '=--，易证()F x '在(),1-∞-上单调递增，在()1,0-上单调递减，所以()()2110eF x F ≤-=-'<'，所以()F x 在(),0-∞上单调递减，所以()()00F x F >=成立，所以原命题成立．注：其他解法酌情赋分．19．解析：（1）由定义知，1224122||max max ,112124233t PQ ⎧⎫--⎪⎪⎧⎫===⎨⎨⎬+-+-⎩⎭⎪⎪⎩⎭；（2）设(),P x y 是以原点O 为圆心，以12为半径的t -圆上任一点，则1max ,112x y x y⎧⎫⎪⎪=⎨⎬++⎪⎪⎩⎭．若1112y x y x ≤=++，则1,1x y =≤；若1112x y x y ≤=++，则有1,1y x =≤．由此可知，以原点O 为圆心，以12为半径的t -圆的面积为4（3）考虑函数()()01t f t t t =≥+．因为()210(1)f t t ='>+，所以()f t 在[)0,+∞上单调递增．又131223x x x x x x -≤-+-，于是1312231223131223122312231111x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x --+---≤=++-+-+-+-+-+-+-1223122311x x x x x x x x --≤++-+-，同理，131223131223111y y y y y y y y y y y y ---≤++-+-+-．不妨设1313131311y y x x y y x x --≤+-+-，则13122313131223111t x x x x x x PP x x x x x x ---=≤++-+-+-1212232312122323max ,max ,1111x x y y x x y y x x y y x x y y ⎧⎫⎧⎫----⎪⎪⎪⎪≤+⎨⎬⎨⎬+-+-+-+-⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭1223t tPP P P =+注：其他解法酌情赋分．。
湖北省随州市曾都区随州一中2025届高三下学期第五次调研考试数学试题含解析
湖北省随州市曾都区随州一中2025届高三下学期第五次调研考试数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．单位正方体ABCD -1111D C B A ，黑、白两蚂蚁从点A 出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”．白蚂蚁爬地的路线是AA 1→A 1D 1→‥，黑蚂蚁爬行的路线是AB →BB 1→‥，它们都遵循如下规则：所爬行的第i +2段与第i 段所在直线必须是异面直线（i ∈N *）.设白、黑蚂蚁都走完2020段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两蚂蚁的距离是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．02．函数()()23ln 1x f x x+=的大致图象是A ．B ．C ．D ．3．已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3π+），则f （x ）的最小值为（ ） A ．12B ．14C ．34D ．224．△ABC 中，AB ＝3，BC 13=AC ＝4，则△ABC 的面积是（ ）A ．33B ．332C ．3D ．325．从抛物线24y x =上一点P (P 点在x 轴上方)引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且||5PM =，设抛物线的焦点为F ，则直线MF 的斜率为（ ）A ．2-B ．2C ．43-D ．436．已知函数3ln ()3ln x a x f x a x x=-+-在区间()1,+∞上恰有四个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,3)(3,)e +∞ B ．[)0,eC ．()2,e +∞D ．(,){3}e -∞7．设a ，b 是非零向量，若对于任意的R λ∈，都有a b a b λ-≤-成立，则 A ．//a bB ．a b ⊥C ．()-⊥a b aD ．()-⊥a b b8．已知,αβ是空间中两个不同的平面，,m n 是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ） A ．若,m n αβ⊂⊂，且αβ⊥，则 m n ⊥ B ．若,m n αα⊂⊂，且//,//m n ββ，则//αβ C ．若,//m n αβ⊥，且αβ⊥，则 m n ⊥ D ．若,//m n αβ⊥，且//αβ，则m n ⊥9．已知(0,)απ∈，且tan 2α=，则cos2cos αα+=（ ）A B C D 10．已知函数()2121f x ax x ax =+++-（a R ∈）的最小值为0，则a =（ ） A ．12B ．1-C ．±1D ．12±11．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为()32222x y x y +=.给出下列四个结论：①曲线C 有四条对称轴；②曲线C 上的点到原点的最大距离为14； ③曲线C 第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为18； ④四叶草面积小于4π. 其中，所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．①③④D ．①②④12．()cos sin xe f x x=在原点附近的部分图象大概是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024-2025学年重庆市高三上学期11月期中数学调研检测试题
2024-2025学年重庆市高三上学期11月期中数学调研检测试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名、班级填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答案无效.3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知为虚数单位，，则（ ）i 112i z =+z =A. B.15132.已知集合，，则（）{}0,1,2,3,4,5M =()(){}130N x x x =+-≤M N = A.B.C.D.{}3{}2,3{}1,2,3{}0,1,2,33. 已知，，则（ ）a b >0c d <<A. B. C. D. a c b d+>+22a cb d+>+ac bd >22ac bd>4. 已知数列满足：，，则（ ）{}n a 13a =1111n n a a ++=6a =A. B. C. 2 D. 332235. 已知平面上的两个非零向量，满足，则（ ）a b ()()22a b a b a b b -⋅+=⋅= ,a b = A. B. C. D. π6π4π3π26. 已知实数，且，若函数在上存在零点，则（）0a >1a ≠()log x a f x a x=+()1,2A. B. C.D.2log 20a a +<22log 0a a -<4log 20a a +>log 20a a -<7.设的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，且ABC V sin2B =，则（ ）2222690a ac c c -+-+=b =A. B. 4C. 8.已知实数a ，b ，c 满足：，，，则2229a b +=223448b c +=225651c a +=的最大值为（ ）32a b c -+A. 6B. 9C. 10D. 15二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9. 已知p ：“，是奇数”，q ：“，是偶数”，则（ ）x ∀∈N 21x +x ∃∈N 31x +A. ：，是偶数” B. ：“，是偶数”p ⌝x ∀∈N 21x +p ⌝x ∃∈N 21x +C. ：“，是奇数”D. ：“，是奇数”q ⌝x ∃∈N 31x +q ⌝x ∀∈N 31x +10. 已知等比数列的公比，其前n 项和记为，且，则（ ）{}n a 12q =-n S 621S =A.B.C.D.481a a =2n a a ≥21n S ≤16n S ≥11.设，函数，则（ ）a ∈R ()32f x x x a =-+-A. 当时，函数为单调递增函数0a <()f x B. 点为函数图象的对称中心()0,2-()y f x =C. 存在，使得函数图象关于直线对称,a b ()y f x =x b =D. 函数有三个零点的充要条件是()f x 3a >三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知平面直角坐标系中，向量，单位向量满足，则x()1,2a =-(),b x y =a b a b+=- 的值可以是__________.（写出一个正确结果即可）13. 已知为定义在上的奇函数，且当时，，则()f x R 0x <()1e2x f x x+=+__________.()1f =14. 已知函数，.若的零点恰为的零点，则a 的()sin f x a x=a ∈Z ()()y f f x =()y f x =最大值是__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 已知非零等差数列满足：，.{}n a 10982a a a =-1670a a a +=（1）求数列的通项公式；{}n a （2）记的前n 项和为，求的最小值.{}n a n S n S 16. 已知函数.()22f x x x a=++（1）讨论的奇偶性；()f x （2）若在上具有单调性，求实数的取值范围.()f x ()1,1-a 17. 在中，已知，.ABC V π3A B +>2sin 2cos cos tan 2sin 2cos sin A B AB B A A -+=-+（1）证明：；1sin 1cos 2C C=+（2）若，求面积的最大值.2AB =ABC V 18. 已知函数（）.()()ln f x x a x x=+-a ∈R （1）当时，求曲线在点处的切线方程；1a =()y f x =()()1,1f （2）若函数有两个极值点，求a 的取值范围；()f x （3）在（2）的条件下，确定函数零点的个数.()f x 19. 已知，表示不超过x 的最大整数，如，，.x ∈R []x []33=1=[]1.52-=-（1）若，，，且是无穷数列，求的取值范围；10a >[]11n n a a +=n +∈N {}n a 1a （2）记.[]x x x =-①若，，，求；11a =22a =21n n n a a a ++=+505014422log log k k k a a a a +=⎡⎤+⎢⎥⎣⎦∑②设，，，证明：，使得时，.1a =m +∈N []1n n n a a a +=⋅k +∃∈N n k ≥0n a =。
人教版数学高三期末测试精选(含答案)3
【答案】A
15．设 Sn 为等差数列an 的前 n 项和，若 3S3 S2 S4 ， a1 2 ，则 a5
A． 12
B． 10
C．10
D．12
【来源】2018 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标 I 卷)
【答案】B
16．若圆的半径为 4，a、b、c 为圆的内接三角形的三边，若 abc＝16 2 ，则三角形的
b
c
a
A．都大于 2
B．都小于 2
C．至少有一个不大于 2
D．至少有一个不小于 2
【来源】2015-2016 湖南常德石门一中高二下第一次月考文科数学卷（带解析)
【答案】D
5． ABC 中， A 、 B 、 C 的对边的长分别为 a 、 b 、 c ，给出下列四个结论： ①以 1 、 1 、 1 为边长的三角形一定存在；
人教版数学高三期末测试精选（含答案)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人 得分
一、单选题
1．在 ABC 中， a 2 3 0°或150
B． 60 或120
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
【来源】2013-2014 学年河南省郑州一中高二上学期期中考试文科数学试卷（带解析)
【答案】C
21．在△ABC 中，如果 sin A : sin B : sin C 2 : 3 : 4 ，那么 cosC 等于 （ ）
2
A．
3
B． 2 3
【答案】D
10．在锐角 ABC 中，a ，b ，c 分别是角 A ，B ，C 的对边，a b cosC 3 c sin B ， 3
河北省衡水市2024-2025学年高三上学期9月第二次调研考试语文试题含答案
2024～2025学年高三年级学科素养检测（二调）语文（答案在最后）（时间150分钟，满分150分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、文言文阅读（66分）（一）文言文阅读Ⅰ（本题共5小题，20分）阅读下面的文字，完成下面小题。
材料一：初，帝好文学，自造《皇羲篇》五十章，因引诸生能为文赋者并待制鸿都门①下。
后诸为尺牍及工书鸟篆者，皆加引召，遂至数十人。
侍中祭酒乐松、贾护多引无行趣．势之徒置其间，喜陈闾里小事；帝甚悦之，待以不次之位；又久不亲行郊庙之礼②。
会诏群臣各陈政要，蔡邕上封事曰：“夫迎气五郊，清庙祭祀，养老辟雍③，皆帝者之大业也。
而有司数以种种废阙不行，忘礼敬之大，拘信小故，以亏大典。
自今斋制宜如故典，庶答风霆、灾妖之异。
又，古者取士必使诸侯岁．贡，孝武之世，郡举孝廉，又有贤良、文学之选，于是名臣辈出，文武并兴。
汉之得人，数路而已。
夫书画辞赋，才之小者；匡国治政，未有其能。
陛下即位之初，先涉经术，听政余日，观省篇章，聊以游意当代博弈，非以为教化取士之本。
而诸生竞利作者鼎沸其高者颇引经训风喻之言下则连偶俗语而有类俳优，或窃成文，虚冒名氏。
臣每受诏于盛化门，差次录第，其未及者，亦复随辈皆见拜擢。
既加之恩，难复收改，但守奉禄，于义已弘，不可复使治民及在州郡。
昔孝宣会诸儒于石渠，章帝集学士于白虎，通经释义，其事优大，文武之道，所宜从之。
若乃小能小善，虽有可观，孔子以为致远则泥．，君子固当志其大者。
”书奏，帝乃亲迎气北郊及行辟雍之礼。
（节选自《资治通鉴》卷第五十七，汉纪四十九）材料二：呜呼！世愈移而士趋日异，亦恶知其所归哉！灵帝好文学之士，能为文赋者，待制鸿都门下，乐松等以显，而蔡邕露章④谓其“游意篇章，聊代博弈”。
干货提取01(第一篇)- 干货提取之2019届高三数学最新模拟试题精选精析(原卷版)
干货提取之2019届高三数学最新模拟试题精选精析 01一.选择题精选1.【广东省惠州市2019届高三第一次调研考试】已知三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三 角形，2AB =， 2SA SB SC ===，则三棱锥的外接球的球心到平面ABC 的距离是（ ）A B ．1 C D 2. 【安徽省合肥市2019届高三第一次教学质量检测】某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是( ).注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.A ．互联网行业从业人员中90后占一半以上B ．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C ．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D ．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多 3. 【河北省武邑中学2019届高三上学期期末考试】在中，为的中点，，则（ ） A ． B ．C ．3D ．4. 【河北省武邑中学2019届高三上学期期末考试】设函数，若，则实数的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．5. 【安徽省合肥市2019届高三第一次教学质量检测】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的体积为( ).A．B．C．D．6.【河北省武邑中学2019届高三上学期期末考试】在三棱锥中，,是线段上一动点，线段长度最小值为，则三棱锥的外接球的表面积是（）A．B．C．D．7.【安徽省定远重点中学2019届高三上学期期末考试】过抛物线（）的焦点作斜率大于的直线交抛物线于，两点（在的上方），且与准线交于点，若，则（）A．B．C．D．8.【安徽省合肥市2019届高三第一次教学质量检测】某商场进行购物摸奖活动，规则是：在一个封闭的纸箱中装有标号分别为1，2，3，4，5的五个小球，每次摸奖需要同时取出两个球，每位顾客最多有两次摸奖机会，并规定：若第一次取出的两球号码连号，则中奖，摸奖结束；若第一次未中奖，则将这两个小球放回后进行第二次摸球.若与第一次取出的两个小球号码相同，则为中奖.按照这样的规则摸奖，中奖的概率为( ).A．B．C．D．9.【河南省周口市2019届高三上学期期末调研考试】函数的图像大致为( )A．B．C．D．10.【河南省周口市2019届高三上学期期末调研考试】如图，图中的大、小三角形分别为全等的等腰直角三角形，向图中任意投掷一飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率为( )A．B．C．D．11.【河南省周口市2019届高三上学期期末调研考试】已知双曲线，分别过其左、右焦点，作圆：的切线，四条切线围成的四边形的面积为（），则双曲线的离心率为( )A．B．C．2D．12.【安徽省合肥市2019届高三第一次教学质量检测】设双曲线()的左、右焦点分别为，过的直线分别交双曲线左右两支于点，连结，若，，则双曲线的离心率为( ).A．B．C．D．13.【河南省周口市2019届高三上学期期末调研考试】已知函数，若在区间内无最值，则的取值范围是( )A．B．C．D．14.【河北省武邑中学2019届高三上学期期末考试】函数是定义在上的可导函数，为其导函数，若且，则不等式的解集为（）A．B．C．D．15.【安徽省合肥市2019届高三第一次教学质量检测】已知函数有两个不同的极值点，若不等式恒成立，则实数的取值范围是( ).A．B．C．D．二．填空题精选1．【山西省长治二中、忻州一中、 临汾一中、康杰中学、晋城一中2019届高三上学期第一次联考】已知ABC ∆的面积为S ，三内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,．若2224c b a S +=+，则)4πco s(si n +-B C 取最大值时C = ．2. 【河北省武邑中学2019届高三上学期期末考试】已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且,则该三棱锥的外接球的体积为____．3. 【河南省周口市2019届高三上学期期末调研考试】在中，，，，过作交于，则__________．4. 【安徽省定远重点中学2019届高三上学期期末考试】设函数（是常数，）.若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为_________. 5. 【安徽省合肥市2019届高三第一次教学质量检测】在锐角中，，，则中线AD 长的取值范围是_________.6. 【河北省武邑中学2019届高三上学期期末考试】已知函数的定义域为，若其值域也为，则称区间为的保值区间．若的保值区间是，则的值为_____．7. 【安徽省定远重点中学2019届高三上学期期末考试】设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则以1S ，3S ， 4S 为前三项的等差数列的第8项与第4项之比为________.8. 【河南省周口市2019届高三上学期期末调研考试】已知函数在区间上恒满足，则实数的取值范围是____．9. 【河南省周口市2019届高三上学期期末调研考试】《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑中，平面，，且，过点分别作于点，于点，连接，则三棱锥的体积的最大值为__________．10. 【安徽省合肥市2019届高三第一次教学质量检测】在平面直角坐标系中，点()()，记的面积为，则____________.二．解答题精选1.【河南省周口市2019届高三上学期期末调研考试】【理】已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，若函数的两个零点分别为，（），证明：.【河南省周口市2019届高三上学期期末调研考试】【文】已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若对任意，函数的图像不在轴上方，求的取值范围.2.【河南省周口市2019届高三上学期期末调研考试】【理】如图，在四棱锥中，底面，，，，为的中点.（1）求证：平面；（2）若点在线段上，且满足，求直线与平面所成角的正弦值.【河南省周口市2019届高三上学期期末调研考试】【文】如图，在四棱锥中，底面，，，，为的中点.（1）求证：平面；（2）若为的中点，求点到平面的距离.3.【安徽省合肥市2019届高三第一次教学质量检测】【理】每年3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠状况是保持身体健康的重要基础.为了做好今年的世界睡眠日宣传工作，某社区从本辖区内同一年龄层次的人员中抽取了100人，通过问询的方式得到他们在一周内的睡眠时间(单位：小时)，并绘制出如右的频率分布直方图：(Ⅰ)求这100人睡眠时间的平均数(同一组数据用该组区间的中点值代替，结果精确到个位)；(Ⅱ)由直方图可以认为，人的睡眠时间近似服从正态分布，其中近似地等于样本平均数，近似地等于样本方差，.假设该辖区内这一年龄层次共有10000人，试估计该人群中一周睡眠时间位于区间(39.2，50.8)的人数.附：.若随机变量服从正态分布，则，.【河北省武邑中学2019届高三上学期期末考试】【文】未了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，某部门从年龄在15岁到65岁的人群中随机调查了100人，将这100人的年龄数据分成5组：，，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图.在这100人中不支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：（1）由频率分布直方图，估计这100人年龄的平均数；（2）由频率分布直方图，若在年龄，，的三组内用分层抽样的方法抽取12人做问卷调查，求年龄在组内抽取的人数；（3）根据以上统计数据填写下面的列联表，据此表，能否在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的不支持态度存在差异？附：，其中.参考数据：4.【广东省雷州市2019届高三上学期期末考试】【文理】已知正项数列满足，且对任意，．（I）求数列的通项公式；（II）设，求数列的前项和．5.【安徽省合肥市2019届高三第一次教学质量检测】【理】设椭圆()的离心率为，圆与轴正半轴交于点，圆在点处的切线被椭圆截得的弦长为．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)设圆上任意一点处的切线交椭圆于点，试判断是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.【河北省武邑中学2019届高三上学期期末考试】【文】已知抛物线上一点的纵坐标为6，且点到焦点的距离为7.（1）求抛物线的方程；（2）设为过焦点且互相垂直的两条直线，直线与抛物线相交于两点，直线与抛物线相交于点两点，若直线的斜率为，且，试求的值.。
河北省2024届高三大数据应用调研联合测评 数学(Ⅵ)(含解析)
河北省2024届高三年级大数据应用调研联合测评（Ⅵ）数学班级______姓名______注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合()2{|12}{Z |log 32}A x x B x x =-≤≤=∈+<，，则A B = （）A ．{}1,0-B ．{}2,1,0--C ．{}1,0,1-D ．{}0,12．已知复数i z x y =+（x ，R y ∈），则2z z z z -=+，则复数z 在复平面内对应点的轨迹为（）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线3．有一组正数共5个，其平均值为x ，这5个正数再添加一个数28，其平均值为212x ，则x =（）A ．2B ．4C ．6D ．84．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次正面向上的数字为a ，第二次正面向上的数字为b ，记事件A =“a 为偶数”，事件B =“15ab ≤”，则()|P A B =（）A ．1115B ．1318C ．1324D ．11255．已知1tan 22θ=-，则3cos sin cos θθθ=+（）A ．925-B ．925C ．2725-D ．27256．已知定义在()(),00,∞-+∞U 上的函数()f x 满足()()()1f x f y f xy yxxy--=++，则（）A ．()f x 是奇函数且在()0,∞+上单调递减B ．()f x 是奇函数且在(),0∞-上单调递增C ．()f x 是偶函数且在()0,∞+上单调递减D ．()f x 是偶函数且在(),0∞-上单调递增7．在ABC 中，角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，若3,2,c b BAC ∠==的平分线AD，则BC 边上的高线AH 的长等于（）A ．43B ．3C ．2D ．38．已知M 是圆222:(0)O x y a a +=>上的动点，点N 满足(,)(0)MN a a λλ=>，记点N的轨迹为C ，若圆O 与轨迹C 的公共弦方程为250x y +-=，则（）A ．4,1a λ==B ．2,1a λ==C ．14,2a λ==D ．12,2a λ==二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．π3ϕ=-C ．()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．()f x 在π2π,33⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减10．已知直线,a b 和平面,,αβα与β所成锐二面角为θ.则下列结论正确的是（）A ．若,a b αβ⊥⊥，则a 与b 所成角为θB ．若//,//a b αβ，则a 与b 所成角为θC ．若a α⊂，则a 与β所成角最大值为θD ．若b β⊥，则b 与α所成角为π2θ-11．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，过点A 且倾斜角为π6的直线l 顺次交两条渐近线和C 的右支于M N B 、、，且AM MN =，则下列结论正确的是（）AB ．AB OM⊥C ．OAM OBNS S = D ．23ABF S a= 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.第14题第一个空2分，第二个空3分）12．已知平面向量()()2321x x =-=,，,a b ，若//a b ，则8log 1x -=.13．已知四面体ABCD 中，,,AB CD BC AD AC BD ===，过A 点的其外接球直径AH 与AB 、AC 夹角正弦值分别为23AH 与AD 夹角正弦值为.14．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，{}[]x x x =-，设*n ∈N ，且1346n n n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫++=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭，则n 的最小值为；当12024n ≤≤时，满足条件的所有n 值的和S =.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．有5个型号和形状完全相同的纳米芯片，已知其中有两件是次品，现对产品随机地逐一检测.(1)求检测过程中两件次品不相邻的概率；(2)设检测完后两件次品中间相隔正品的个数为X ，求X 的分布列和数学期望.16．已知函数()()2ln R f x ax x x a =-+∈.(1)若1a =，求()f x 的单调区间和极值；(2)若()f x 在(),0∞-和()0,∞+上均为单调函数，求实数a 的取值范围.17．如图，正四棱台1111ABCD A B C D -有内切球1O ，且1124A B AB ==，.(1)设平面1O BC ⋂平面111O B C l =，证明//l 平面ABCD ；(2)求平面11ABB A 与平面11A B CD 夹角的余弦值.18．已知数列{}n b 的前n 项和为n S ，且2212333n n n b b b S n ++⋯+=+.(1)求数列{}n b 的通项公式；(2)证明：43n S <.19．已知圆()()22:4,1,0,1,0O x y B C +=-.点M 在圆O 上，延长CM 到A ，使CM MA =，点P 在线段AB 上，满足()0PA PC AC +⋅=.(1)求点P 的轨迹E 的方程；(2)设Q 点在直线1x =上运动，()()122,0,2,0D D -.直线1QD 与2QD 与轨迹E 分别交于G H ，两点，求OGH 面积的最大值.1．A【分析】解集合B 中的不等式，得到集合B ，由交集的定义求A B ⋂.【详解】不等式()22log 32log 4x +<=，得034x <+<，解得31x -<<，则有(){}2{Z |log 32}2,1,0B x x =∈+<=--，又{|12}A x x =-≤≤，得{}1,0A B ⋂=-.故选：A.2．D【分析】运用复数加、减运算及复数模的公式计算即可.【详解】因为i z x y =+（x ，R y ∈），则i z x y =-（x ，R y ∈），所以i+i=2z z x y x y x +=+-，(i)(i)=2i z z x y x y y -=+--，所以22||4z z y -=，又2||z z z z -=+，所以242y x =，即212y x =，所以复数z 在复平面内对应点的轨迹为抛物线.故选：D.3．B【分析】由已知条件，根据平均数的定义直接求解即可.【详解】设这5个正数分别为(1,2,3,4,5)i x i =，所以515i i x x ==∑，若增加一个数28，则平均数为212x ，因此52112862i i x x =+=⨯∑，即2152862x x +=⨯，化简得：235280x x --=，解得：4x =或73x =-（舍）.故选：B.4．D【分析】分别列举出事件A 、事件B 、事件AB 的基本事件个数，代入条件概率公式求解即可.【详解】由题意知，事件A 包含的基本事件有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共18个，事件B 包含的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(6,1)，(6,2)，共有25个，则事件A 与事件B 同时发生的基本事件有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(6,1)，(6,2)，共11个，所以()11(|)()25n AB P A B n B ==.故选：D.5．C【分析】根据正切的倍角公式求得tan θ，再利用同角三角函数关系，将目标式进行转化，计算即可.【详解】1tan22θ=-，故22tan142tan 131tan 124θθθ-===---；则3cos sin cos θθθ=+2222cos cos 111127416sin cos cos sin tan 11tan 251139θθθθθθθθ⨯=⨯=⨯=-++++-++.故选：C.6．A【分析】令1x y ==-，求出()1f ，令1x y ==，求出()1f -，再分别令1y =-，1y =，即可求出函数()f x 的解析式，进而可得出答案.【详解】令1x y ==-，则()()1211f f =-+，所以()113f =，令1x y ==，则()()1211f f =-+，所以()113f -=-，令1y =-，则()()()()()1111233f f x f x f x f x xx x x x-=--+-=--+-=---，所以()13f x x-=-，令1y =，则()()()111111333f f x f x xx x x x x-=-++=--+=，所以()13f x x =，因为()()13f x f x x-=-=-，且定义域关于原点对称，所以函数()f x 是奇函数，由反比例函数的单调性可得函数()13f x x=在()0,∞+上单调递减.故选：A.7．B【分析】由ABC ABD ACD S S S =+ 可得cos α的值，进而可求得cos 2α、sin 2α的值，结合余弦定理可得a ，由等面积法11sin 2||22ABC S bc a AH α==⋅△可求得||AH .【详解】由题意知，设BAD CAD α∠=∠=，则2BAC α∠=，如图所示，由ABC ABD ACD S S S =+可得11132sin 23sin 2sin 22525ααα⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯，整理得3sin 2αα=，即sin (3cos 0αα=，又因为sin 0α≠，所以cos 3α=，所以21cos 22cos 13=-=αα，所以sin 2α=在ABC 中，由余弦定理得22232232cos 21349a α=+-⨯⨯=-=，所以3a =，由11sin 2||22ABC S bc a AH α==⋅△可得11323||232AH ⨯⨯⨯=，解得||3AH =.故选：B.8．C【分析】利用相关点法求得圆N 的轨迹方程，进而得到两圆的公共弦的方程，利用待定系数法得到关于,a λ的方程组，解之即可得解.【详解】因为点M 在圆222:O x y a +=上的动点，点N 满足(,)MN a a λ=，设11(,)M x y ，(,)N x y ，则11(,)MN x x y y =--，所以11x x a y y a λ-=⎧⎨-=⎩，即11x x a y y a λ=-⎧⎨=-⎩，代入圆O 的方程，可得()()222x a y a a λ-+-=，即2222220x y ax ay a λλ+--+=，可得两圆的公共弦的方程为222220ax ay a a λλ+--=，即2220x y a a λλ+--=，又因为两圆的公共弦的方程为250x y +-=，可得2215a a λλ=⎧⎨+=⎩，解得14,2a λ==.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用向量的线性运算与相关点法，求得圆N 的轨迹方程，从而得解.9．ABC【分析】根据函数图象可得5π4πππ2π,2π,Z 6346k k k ωϕωϕ+=++=+∈，从而可求出,ωϕ，即可判断AB ；再根据正弦函数的单调性即可判断CD.【详解】由图可知ππ5π5π2sin 1,2sin 4466f f ωϕωϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以π15πsin ,sin 426ωϕωϕ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合题设图象，不妨令5π4πππ2π,2π,Z 6346k k k ωϕωϕ+=++=+∈，两式相减得7π7π126ω=，所以2ω=，所以π2π,Z 3k k ϕ=-+∈，又π2ϕ<，所以π3ϕ=-，所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以最小正周期2ππ2T ==，故AB 正确；由π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得πππ2,333x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故C 正确；由π2π,33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得ππ2,π33x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，所以()f x 在π2π,33⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，故D 错误.故选：ABC.10．ACD【分析】根据线线角，线面角，二面角的定义结合题意逐一分析判断即可.【详解】对于A ，因为,a b αβ⊥⊥，α与β所成锐二面角为θ，所以a 与b 所成角为θ，故A 正确；对于B ，若//,//a b αβ，此时不能确定a 与b 所成角，如直线//a b 时，此时a 与b 所成角为0，故B 错误；对于C ，如图，设平面,αβ的交线为直线l ，当//a l 时，a 与β所成角为0，当a 与l 不平行时，设a l C ⋂=，在直线a 上取点A ，过点A 作AB β⊥于点B ，作OA l ⊥于点O ，连接OB ，因为,,OA OB l ββ⊥⊂，所以,OA OB OA l ⊥⊥，又,OA l OA OB O ⊥⋂=，所以l ⊥平面OAB ，又OB ⊂平面OAB ，所以OB l ⊥，则AOB ∠即为α与β所成锐二面角的平面角，则AOB θ∠=，因为,AB a a β⊥∈，所以ACB ∠即为a 与β所成角的平面角，则tan tan AB ABACB BC OBθ∠=≤=，当且仅当a l ⊥时，取等号，所以a 与β所成角最大值为θ，故C 正确；对于D ，因为b β⊥，α与β所成锐二面角为θ，所以b 与α所成角为π2θ-，故D 正确.故选：ACD.11．BC【分析】对于A 项，联立直线AB 方程与直线OM 方程、直线ON 方程可求得点M 、点N 坐标，由||||AM MN =，可知M 为AN 中点，结合中点坐标公式可得ba的值，进而可求得离心率，对于B 项，计算AB OM k k ⨯的值即可，对于C 项，联立直线AB 方程与双曲线方程可求得点B 坐标，由点M 、点N 、点B 纵坐标可知M 、N 为线段AB 的三等分点，结合三角形面积公式判断即可，对于D 项，由1||||2ABF S AF BH =⋅△求解即可.【详解】如图所示，由题意知，(,0)A a -，直线OM 方程为b y x a =-，直线ON 方程为b y x a=，设直线AB 方程为3)3y x a =+，233()33b a y x x a a by y x a a b ⎧⎧=-=⎪⎪⎪⎪+⇒⎨⎨⎪⎪==+⎪⎪⎩+⎩，即2()33a ab M a b a b ++，233()33b a y x x a b ay y x a b a ⎧⎧==⎪⎪⎪⎪-⇒⎨⎨⎪⎪==+⎪⎪⎩-⎩，即2(33a ab N b a b a --，对于A 项，因为||||AM MN =，所以M 为AN 中点，22323a a b a a b-+-=+，整理得3b a=所以离心率22211(3)2c b e a a==++，故A 项错误；对于B 项，由A 项知，直线OM 方程为3y =-，即3OM k =又因为π3tan63AB k =1AB OM k k ⨯=-，所以AB OM ⊥，故B 项正确；对于C 项，过M 作ME AF ⊥垂足为E ，过N 作NG AF ⊥垂足为G ，过B 作BH AF ⊥垂足为H ，如图所示，由A 项知，3b a =，所以双曲线方程为222213x y a a -=，3()44a a M -，3(,)22a a N ，22225143333)43a x y x a a a y y x a ⎧⎧=-=⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪==+⎪⎪⎩⎩，则533()44a a B ，所以3||4a ME 3||2a NG ，33||4a BH =所以||||||1:2:3ME NG BH =：：，所以M 、N 为线段AB 的三等分点，即||||||AM MN BN ==，设O 到直线AB 距离为h ，则1||2OAM S AM h =⋅△，1||2OBN S BN h =⋅△，所以OAM OBN S S =△△，故C 项正确；对于D项，如图所示，由A 项知，2c a =，所以211393||||()2248ABFa a S AF BH a c =⋅=⨯+⨯=△，故D 项错误.故选：BC.12．13【分析】先根据平面向量平行的坐标运算得出x ；再代入8log 1x -即可求解.【详解】因为()()23,2,1a x b x =-=，，//a b ，所以232x x -=，解得：3x =或1x =-.所以881log 1log 23x -==.故答案为：13.13．3【分析】由题意，将四面体ABCD 放在长方体AGDF ECHB -中，则AH 即为长方体AGDF ECHB -的体对角线，设,,BE a BH b BF c ===，再结合已知即可得解.【详解】由题意，将四面体ABCD 放在长方体中，如图所示，则AH 即为长方体AGDF ECHB -的体对角线，设,,BE a BH b BF c ===，则AH AB AC ==因为BH ⊥平面AEBF ，AB ⊂平面AEBF ，所以BH AB ⊥，因为CH ⊥平面AECG ，AC ⊂平面AECG ，所以CH AC ⊥，因为DH ⊥平面AGDF ，AD ⊂平面AGDF ，所以DH AD ⊥，又因为AH 与AB 、AC 夹角正弦值分别为23所以2sin ,sin 33BAH CAH ∠==∠=，而221⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=⎪⎪⎭⎭，即243199++=3=，即sin DAH ∠==所以AH 与AD 夹角正弦值为3.故答案为：23.14．4342732【分析】由3,4,6的最小公倍数为12，得只需在112n ≤≤这个范围内讨论即可，再结合等差数列得前n 项和公式即可得解.【详解】由题意，当13n ≤<时，0346n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则313463464n n n n n n n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫++=++==⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭，解得43n =（舍去），当3n =时，1,0346n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则31113463464n n n n n n n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫++=-++=-=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭，解得83n =（舍去），当46n ≤<时，1,0346n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则311213463464n n n n n n n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫++=-+-+=-=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭，解得4n =，所以n 的最小值为4，当68n ≤<时，2,1346n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则3211413463464n n n n n n n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫++=-+-+-=-=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭，解得203n =（舍去），当8n =时，2,1346n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则3221513463464n n n n n n n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫++=-+-+-=-=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭，解得8n =，当911n ≤≤时，3,2,1346n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则3321613463464n n n n n n n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫++=-+-+-=-=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭，解得283n =，当12n =时，{}{}{}43201346n n n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫++=++=≠⎨⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭，故12n =舍去，因为3,4,6的最小公倍数为12，以4为首项12为公差的等差数列，设为{}m a ，则128m a m =-，以8为首项12为公差的等差数列，设为{}m b ，则124m b m =-，所以数列{}m a 和{}m b 是满足条件的所有n 值，令1282024m a m =-≤，解得169m ≤，令1242024m b m =-≤，解得169m ≤，则当12024n ≤≤时，满足条件的所有n 值的和()()4121698169812169416934273222S +⨯-⨯+⨯-⨯=+=.故答案为：4；342732.【点睛】关键点点睛：由3,4,6的最小公倍数为12，可得只需在112n ≤≤这个范围内讨论，求出这个范围内的n 的值，是解决本题的关键.15．(1)35(2)分布列见解析，()1E X =【分析】（1）用插空法求出符合条件的事件数，再由古典概型计算可得；（2）依题意X 的可能取值为0、1、2、3，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望.【详解】（1）记检测过程中两件次品不相邻为事件B ，依题意即将5个芯片排列，其中两件次品不相邻的概率，所以()323455A A 3A 5PB ==.（2）依题意X 的可能取值为0、1、2、3，所以()242455A A 20A 5P X ===，()12332355A A A 31A 10P X ===，()22232255A A A 22A 10P X ===，()232355A A 13A 10P X ===，所以X 的分布列为：X0123P 2531015110所以()2321012315101010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.16．(1)()f x 的单调递增区间为(1,0)-，1(,)2+∞，单调递减区间为(,1)-∞-，1(0,)2，()f x 的极小值为0和3ln 24+，无极大值(2)1(,]8-∞-【分析】（1）将()f x 化为分段函数，求导后计算()0f x '>，()0f x '<，进而可求得结果.（2）将问题转化为()0f x '≥或()0f x '≤恒成立，由211()[2(f x x a x x '=--且211y x x =-无最大值，所以分别研究0x >与0x <时，min 2112()a x x ≤-求解即可.【详解】（1）当1a =时，222ln ,0()ln ln(),0x x x x f x x x x x x x x ⎧-+>=-+=⎨--+<⎩，当0x >时，1()21f x x x '=-+，当0x <时，11()2121f x x x x x-'=-+=-+-，故2121()21x x f x x x x+-'=-+=（0x ≠），20()0210x f x x x >⎧>⇒⎨+->'⎩或20210x x x <⎧⎨+-<⎩，解得10x -<<或12x >，20()0210x f x x x >⎧<⇒⎨+-<'⎩或20210x x x <⎧⎨+->⎩，解得1x <-或102x <<，所以()f x 的单调递增区间为(1,0)-，1(,)2+∞，单调递减区间为(,1)-∞-，1(0,2.又因为(1)0f -=，13(ln 224f =+，所以()f x 的极小值为0和3ln 24+，无极大值.（2）因为()f x 在(),0∞-和()0,∞+上均为单调函数，所以()0f x '≥或()0f x '≤恒成立.又因为222ln ,0()ln ln(),0ax x x x f x ax x x ax x x x ⎧-+>=-+=⎨--+<⎩，则2111()21[2()]f x ax x a x x x '=-+=--，又因为22111111(244y x x x =-=--≥-，所以211y x x=-无最大值，所以对()0x ∞∀∈-，，()0x ∞∀∈+，，max 2112(a x x≥-不成立，所以①当0x >时，min 2112()a x x≤-，令211()h x x x=-（0x >），令1t x =，则2y t t =-（0t >），且其对称轴为12t =，又2y t t =-在1(0,)2上单调递减，在1(,)2+∞上单调递增，所以当12t =时，2y t t =-（0t >）取得最小值为14-，所以124a ≤-，解得18a ≤-，②当0x <时，min 2112(a x x ≤-，令211()g x x x =-（0x <），令1t x=，则2y t t =-（0t <），又2y t t =-在(,0)-∞上单调递减，所以2y t t =-（0t <）的值域为(0,)+∞，所以20a ≤，解得0a ≤，综述：18a ≤-.故实数a 的取值范围为1(,8-∞-.17．(1)证明见解析；(2)51.【分析】（1）先证BC //面111O B C ，再根据线面平行的性质证明l //BC ，再证线面平行即可；（2）以底面对角线交点为坐标原点建立空间直角坐标系，设出棱台的高为2m ，根据1O 到平面11ABB A 的距离为m ，利用向量法求得m ，再求平面11ABB A 与平面11A B CD 的法向量，即可求得两平面夹角的余弦值.【详解】（1）因为1111ABCD A B C D -是正棱台，故11B C //BC ，11B C ⊂面111O B C ，BC ⊄面111O B C ，故BC //面111O B C ，又BC ⊂面1O BC ，面1O BC ⋂面111O B C l =，故l //BC ，又BC ⊂面ABCD ，l ⊄面ABCD ，故l //面ABCD .（2）连接1111,A C D B ，设其交点为H ；连接,AC BD ，设其交点为O ，连接OH ；因为1111ABCD A B C D -是正棱台，故1,,O O H 三点共线，且,,OH OA OB 两两垂直，故以O为坐标原点，建立如下所示空间直角坐标系：设2,0OH m m =>，则()()())()()111,0,,0,0,,2,2,0,A B O m A m B m D -，又()()1,2AB AA m =-= ，设平面11ABB A 的法向量为(),,n x y z = ，则100n AB n AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020mz ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，取x，则1y z m ==，故1n m ⎫=⎭ ；由题可知，点1O 到平面11ABB A 的距离为m，又()1O A m =- ，则1O A n m n ⋅==m =，故2n =⎭ ；()111,A B DA == ，设平面11A B CD 的法向量为()111,,t x y z = ，则11100t A B t DA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1111100⎧=⎪++=，取11x =，则1131,2y z ==-，故31,1,2t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ；则cos ,n t n t n t ⋅=== 故平面11ABB A 与平面11A B CD夹角的余弦值为51.18．(1)2131n n n b -=-(2)证明见解析【分析】根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求解即可；（2）方所可得()1131211133313131333131n n n n n n n n n n n n n n b ++-+-++⎛⎫⎛⎫===-<- ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭，再利用裂项相消法求解即可.【详解】（1）由2212333n n n b b b S n ++⋯+=+，①当1n =时，111311b S b =+=+，所以112b =，当2n ≥时，()21212113331n n n b b b S n ---++⋯+=+-，②由①-②得321n n n b b n =+-，所以2131n n n b -=-，当1n =时，上式也成立，所以2131n n n b -=-；（2）()131213113313131313133n n n n n n n n n n n n n n b +-+-++⎛⎫===-=- ⎪------⎝⎭，因为11113331n n n n ++++>--，所以11113331333131n n n n n n n n n b ++++⎛⎫⎛⎫=-<- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭，当1n =时，11423n S b ==<，当2n ≥时，123n nS b b b b =++++ 11233413282626803131n n n n ++⎛⎫<+-+-++- ⎪--⎝⎭ ()11311315543283143143n n n n ++++⎛⎫=+-=-<< ⎪--⎝⎭，综上所述，43n S <.【点睛】思路点睛：已知数列{}n a 的前n 项和n S ，求通项公式n a 的步骤：（1）当1n =时，11a S =；（2）当2n ≥时，根据n S 可得出1n S -，化简得出1n n n a S S -=-；（3）如果1a 满足当2n ≥时1n n n a S S -=-的通项公式，那么数列{}n a 的通项公式为1n n n a S S -=-；如果1a 不满足当2n ≥时1n n n a S S -=-的通项公式，那么数列{}n a 的通项公式要分段表示为11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩.19．(1)22143x y +=【分析】（1）由题意可得PA PC = ，再根据M 为AC 的中点，可得12OM AB =，再根据PB PC PB PA AB +=+=，结合椭圆的定义即可得解；（2）设()()()011221,,,,,Q y G x y H x y ，根据1,,Q G D 三点共线，2,,Q H D 三点共线，求出,G H 两点坐标的关系，设GH 的方程为ty x m =+，联立方程，利用韦达定理求得1212,y y y y +，再根据弦长公式及点到直线的距离公式分析即可得解.【详解】（1）因为()0PA PC AC +⋅= ，所以()()0PA PC PC PA +=-⋅ ，所以22PA PC = ，所以PA PC = ，因为CM MA =，所以M 为AC 的中点，又因O 为BC 的中点，所以122OM AB ==，所以AB 4=，则4PB PC PB PA AB BC +=+==>，所以点P 的轨迹是以,B C 为焦点的椭圆，而22213-=，所以点P 的轨迹E 的方程为22143x y +=；（2）由（1）得()()122,0,2,0D D -是椭圆E 的左右顶点，设()()()011221,,,,,Q y G x y H x y ，由1,,Q G D 三点共线，得11//D Q D G ，而()()101113,,2,D Q y D G x y ==+ ，所以()10132y y x =+，所以10132y y x =+，由2,,Q H D 三点共线，得22//D Q D H ，而()()101221,,2,D Q y D G x y =-=- ，所以()1012y y x -=-，所以2022y y x =--，所以1212322y y x x =-+-，即()()12213220y x y x -++=，设GH 的方程为ty x m =+，联立22143ty x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2223463120t y tmy m +-+-=，则()()()2222223643431248340t m t m t m ∆=-+-=-+>，21212226312,3434tm m y y y y t t -+==++，所以()2121242m ty y y y m-=+，由()()12213220y x y x -++=，得()()12213220y ty m y ty m --+-+=，即()()122142320ty y m y m y ---+=，所以()()()()21221242320m y y m y m y m -+---+=，所以()()()214220m m y m y +--+=⎡⎤⎣⎦恒成立，所以4m =-，则()2483120t ∆=->，所以24t >，则21221234243634,t y y y y t t ==++-+，GH 的方程为4ty x =-，所以GH ==原点O 到直线GH的距离d =则()221242432343416OGH S GH d t t ===⋅=+-+≤===t =所以OGH【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．。
安徽省合肥市第一中学2024届高三下学期三模数学试题含答案
安徽省合肥市第一中学2024届高三下学期三模数学试题注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必将姓名、考生号等个人信息填写在答题卡指定位置。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。
选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答。
超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合}{}{22,R ,230x M y y x N x x x ==∈=--≤，则M N ⋂=（）A ．()0,3B ．(]0,3C ．()3,+∞D ．[)3,+∞2．已知1e ，2e 是单位向量，且它们的夹角是60︒，若122a e e =+ ，12b e e λ=- ，且a b ⊥，则λ=（）A ．25B ．45C ．1D ．23．拋掷一枚质地均匀的硬币()2n n ≥次，记事件A =“n 次中至多有一次反面朝上”，事件B =“n 次中全部正面朝上或全部反面朝上”，若A 与B 独立，则n 的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．54．在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，3AB =，2BC BD CD ===，E ，F 分别为AC ，CD 的中点，则下列结论正确的是（）A ．AF ，BE 是异面直线，AF BE⊥B ．AF ，BE 是相交直线，AF BE⊥C ．AF ，BE 是异面直线，AF 与BE 不垂直D ．AF ，BE 是相交直线，AF 与BE 不垂直5．波斯诗人奥马尔•海亚姆于十一世纪发现了一元三次方程32(0,0)x a x b a b +=≠>的几何求解方法.在直角坐标系xOy 中，,P Q 两点在x 轴上，以OP 为直径的圆与抛物线C ：2x ay =交于点R ，RQ OQ ⊥.已知x OQ =是方程32x a x b +=的一个解，则点P 的坐标为（）A ．2,0b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,0b a ⎛⎫⎪⎝⎭C ．2,0a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．,0a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭6．已知数列{}n a 满足12a =，12n n a a +=，若10114n n a ==-∑，则13579a a a a a ++++=（）A ．512B ．678C ．1010D ．10227．已知函数()()π2sin 22f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，若关于x 的方程()1f x =在()0,π上恰有一个实数根m ，则(2)f m （）A ．2-B ．CD ．28．已知函数()()sin (0,0,π2π)f x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，其图象上最高点的纵坐标为2，且图象经过点()π0,1,,13⎛⎫- ⎪⎝⎭，则5π6f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）AB ．1C ．－1D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列说法正确的是（）A ．某校高一年级共有男女学生500人，现按性别采用分层抽样的方法抽取容量为50人的样本，若样本中男生有30人，则该校高一年级女生人数是200B ．数据1，3，4，5，7，9，11，16的第75百分位数为10C ．线性回归方程中，若线性相关系数r 越大，则两个变量的线性相关性越强D ．根据分类变量x 与y 的成对样本数据，计算得到2 3.937χ=，根据小概率值0.05α=的独立性检验()0.05 3.841=x ，可判断x 与y 有关联，此推断犯错误的概率不大于0.0510．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是侧面11ADD A 内的一点，点E 是线段1CC 上的一点，则下列说法正确的是（）A ．当点P 是线段1A D 的中点时，存在点E ，使得1A E ⊥平面11PB D B ．当点E 为线段1CC 的中点时，过点A ，E ，1D 的平面截该正方体所得的截面的面积为94C ．点E 到直线1BD 2D ．当点E 为棱1CC 的中点且22PE =时，则点P 的轨迹长度为2π311．我们把方程1x xe =的实数解称为欧米加常数，记为Ω.Ω和e 一样，都是无理数，Ω还被称为在指数函数中的“黄金比例”.下列有关Ω的结论正确的是（）A ．()Ω0.5,1∈B ．1lnΩΩ=C ．Ωu u u =，其中1eu =D ．函数()1e ln 1xx x f x x +=+的最小值为(Ω)f 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知向量(2,3),(1,2)a t b t =--=-+ ，若a b ⊥，则t =.13．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，半径为6的圆C 过坐标原点O 以及F ，且与该抛物线的准线l 相切，则p =.14．欧拉函数()n ϕ表示不大于正整数n 且与n 互素（互素：公约数只有1）的正整数的个数.已知()12111111r n n p p p ϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅⋅⋅-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中1p ，2p ，…，r p 是n 的所有不重复的质因数（质因数：因数中的质数）.例如()11100100114025ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯--= ⎪⎝⎭⎝⎭.若数列{}n a 是首项为3，公比为2的等比数列，则()()()()123100a a a a ϕϕϕϕ+++⋅⋅⋅+=.四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知)tan tan 1C B C +-，(1)求角A .(2)若a =ABC 所在平面内有一点D 满足2π3BDC ∠=，且BC 平分ABD ∠，求ACD 面积的取值范围.16．已知某科技公司的某型号芯片的各项指标经过全面检测后，分为Ⅰ级和Ⅱ级，两种品级芯片的某项指标的频率分布直方图如图所示：若只利用该指标制定一个标准，需要确定临界值K ，按规定须将该指标大于K 的产品应用于A 型手机，小于或等于K 的产品应用于B 型手机．若将Ⅰ级品中该指标小于或等于临界值K 的芯片错误应用于A 型手机会导致芯片生产商每部手机损失800元；若将Ⅱ级品中该指标大于临界值K 的芯片错误应用于B 型手机会导致芯片生产商每部手机损失400元；假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．(1)设临界值60K =时，将1个Ⅰ级品芯片和1个Ⅱ级品芯片分别应用于A 型手机和B 型手机．求两部手机有损失的概率（计算结果用小数表示）；(2)设K x =且[]50,55x ∈，现有足够多的芯片Ⅰ级品、Ⅱ级品，分别应用于A 型手机、B 型手机各1万部的生产，试估计芯片生产商损失费用的最小值．17．如图，四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是菱形，π3ABC ∠=，ABP 是正三角形，G 是BCD △的重心，点F 满足3AP FP =.(1)求证：//FG 平面BCP ；(2)若32CP AB =，求直线BG 与平面BCP 所成角的正弦值.18．若正实数数列{}n c 满足()2*12n n n c c c n ++≤∈N ，则称{}n c 是一个对数凸数列；若实数列{}n d 满足122n n n d d d ++≤+，则称{}n d 是一个凸数列.已知{}n a 是一个对数凸数列，ln n n b a =．(1)证明：11056a a a a ≥；(2)若1220241a a a ⋅⋅⋅=，证明：101210131a a ≤；(3)若11b =，20242024b =，求10b 的最大值．19．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率为3，且过点()3,1M ．若斜率为1k 的直线1l 与椭圆E 相切于点T ，过直线1l 上异于点T 的一点P ，作斜率为2k 的直线2l 与椭圆E 交于,A B 两点，定义2PTPA PB⋅为点P 处的切割比，记为P λ．(1)求E 的方程；(2)证明：P λ与点P 的坐标无关；(3)若35P λ=，且2l OT ∥（O 为坐标原点），则当20k <时，求直线1l 的方程．参考答案：1．B【分析】利用指数函数的性质及一元二次不等式的解法，结合交集的定义即可求解.【详解】由x ∈R ，得20x y =>，所以()0,M =+∞，由2230x x --≤，得()()130x x +-≤，解得[]1,3N =-，所以()[](]0,30,1,3M N +∞-== .故选：B.2．B【分析】由a b ⊥ 得0a b ⋅=，列出方程求解即可．【详解】由a b ⊥ 得，()2212121122(2)()220a b e e e e e e e e λλλ⋅=+⋅-=+-⋅-=，即22102λλ-+-=，解得4=5λ，故选：B ．3．B【分析】分别求出11C ()2nnP A +=，2()2n P B =，1()2n P AB =，根据相互独立事件概率乘法公式即可求解.【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币()2n n ≥次，则基本事件总数为2n ，事件A =“n 次中至多有一次反面朝上”，则n 次全部正面朝上或n 次中恰有1次反面朝上，则11C ()2nnP A +=，事件B =“n 次中全部正面朝上或全部反面朝上”，则2()2n P B =，于是1()2n P AB =，因为A 与B 独立，所以()()()P AB P A P B =，即121n n -=+，分别代入2n =，3，4，5，验证，可得3n =符合题意.故选：B 4．A【分析】先用定理判断AF ，BE 是异面直线，再证明BE 与AF 垂直，连接BF ，即可得到CD ⊥平面ABF ，取AF 的中点Q ，连接BQ ，EQ ，从而得到EQ AF ⊥、BQ AF ⊥，即可证明AF ⊥平面BEQ ，从而得解．【详解】显然根据异面直线判定方法：经过平面ACD 外一点B 与平面ACD 内一点E 的直线BE 与平面ACD 内不经过E 点的直线AF 是异面直线．下面证明BE 与AF 垂直：证明：因为AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，所以AB CD ⊥，因为BC BD CD ==，F 分别为CD 的中点，连接BF ，所以BF CD ⊥，因为AB BF B = ，,AB BF ⊂平面ABF ，所以CD ⊥平面ABF ，如图：取AF 的中点Q ，连接BQ ，EQ ，因为AF ⊂平面ABF ，所以CD AF ⊥，又因为//EQ CD ，所以EQ AF ⊥，因为2BC BD CD ===，所以2BF AB =，又因为Q 为AF 的中点，所以BQ AF ⊥，因为BQ EQ Q ⋂=，,BQ EQ ⊂平面BEQ ，所以AF ⊥平面BEQ ，又因为BE ⊂平面BEQ ，所以AF BE ⊥．故选：A ．5．A【分析】求得以OP 为直径的圆的方程，与抛物线的方程联立，消去y ，可得x 的方程，由题意考虑两个三次方程有相同的解，可得所求点的坐标．【详解】设(,0)P t ，OP 的中点为,02t ⎛⎫⎪⎝⎭，则以OP 为直径的圆的方程为22224t t x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，与抛物线2:C x ay =联立，可得2242124t t x x a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，化简可得4220x x tx a-+=，由于RQ OQ ⊥，可得R ，Q 的横坐标相等，则方程32x a x b +=和方程320x x t a -+=有相同的解，即有2b a t =，解得2bt a =，则2,0b P a ⎛⎫⎪⎝⎭．故选：A ．6．B【分析】由12a =，12n n a a +=计算出前10项，利用分析分类讨论进行计算【详解】由题意知12a =，222a =，⋅⋅⋅，101021024a ==，因为11014n n a =∑=-，所以110,,a a ⋅⋅⋅中至少有一项是负数．①若101024a =-，则111010910141010n n n n a a a a ==∑=∑-=--=，若129,,,a a a ⋅⋅⋅均为正数，则()919212102212n n a =⨯-∑==-，比1010多12，所以前9项中必有负项，且其和为6-．易得当122,4a a =-=-，且其他项为正项时满足题意，故135792832128512678a a a a a ++++=-++++=．②若101024a =，当129,,,a a a ⋅⋅⋅均为负数时，数列{}n a 的前9项和最小，此时()919212102212n n a =⨯-∑=-=--，11010221024214n na=∑=-+=>-，不符合题意．综上，13579678a a a a a ++++=故选：B 7．A【分析】直接利用三角函数的图象和性质求出结果.【详解】若关于x 的方程()1f x =在()0,π上恰有一个实数根m ，则()2sin 21x ϕ+=，即()1sin 22x ϕ+=在()0,π上恰有一个实数根m ，因为π恰为()sin 2y x ϕ=+的最小正周期，且当()0,πx ∈时，2(,2π)x ϕϕϕ+∈+，所以1sin 2ϕ=，若1sin 2ϕ≠，则关于x 的方程()1f x =在()0,π上有两个实数根，因为π2ϕ<，所以π6ϕ=，此时π()2sin(2)16f m m =+=，即π5π266m +=，解得π3m =，所以2π4ππ(2)()2sin(2336f m f ==+=-．故选：A 8．A【分析】先通过图象经过点()π0,1,,13⎛⎫- ⎪⎝⎭列方程求出,ωϕ，进而可得()f x 的解析式，再代入5π6x =-计算即可.【详解】由已知得2A =，所以()()2sin f x x ωϕ=+，又图象经过点()π0,1,,13⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()02sin 1ππ2sin 133f f ϕωϕ⎧==-⎪⎨⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，即1sin 2π1sin 32ϕωϕ⎧=-⎪⎪⎨⎛⎫⎪+=⎪⎪⎝⎭⎩，又()0,1-为单调减区间上的点，π,13⎛⎫⎪⎝⎭为单调增区间上的点，且在一个周期内，所以5π2π6,Z ππ2π36k k k ϕωϕ⎧=-+⎪⎪∈⎨⎪+=+⎪⎩，两式相减得π3πω=，所以3ω=，又π2πϕ<<，所以π67ϕ=，所以()7π2sin 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以5π5π7π4π2π2sin 2sin 2sin 62633f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：A.9．ABD【分析】利用分层抽样计算判断A ；求出第75百分位数判断B ；利用线性相关系数的意义判断C ；利用独立性检验的思想判断D.【详解】对于A ，该校高一年级女生人数是503020050500-=，A 正确；对于B ，由875%6⨯=，得第75百分位数为911102+=，B 正确；对于C ，线性回归方程中，线性相关系数r 绝对值越大，两个变量的线性相关性越强，C 错误；对于D ，由20.053.937 3.841x χ=>=，可判断x 与y 有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05，D 正确.故选：ABD 10．ACD【分析】由题意分别画出图形，再逐项解决线面垂直、截面面积、距离最值和轨迹问题即可.【详解】对于A ，如下图所示，连接11,A C AB，因为点P 是线段1A D 的中点，所以点P 也是线段1AD 的中点，所以平面11PB D 即为平面11AB D .根据正方体的性质，1AD ⊥平面1A DC ，1AB ⊥平面1A BC ，所以1111,AD A C AB A C ⊥⊥，又因为11AD AB A ⋂=，1AD ⊂平面11AB D ，1AB ⊂平面11AB D ，所以1A C ⊥平面11AB D ，所以E 与C 重合时，1A E ⊥平面11PB D ，故A 正确；对于B ，如下图所示，取BC 的中点M ，根据,E M 分别为1,CC BC 的中点，易得1EM AD ∥，所以1,,,A M E D 四点共面，所以截面为四边形1AMED ，且该四边形为等腰梯形.又因为11ME AD AM ED ====所以等腰梯形1AMED 2，所以截面面积为1922=，故B 错误；对于C ，如图建立空间直角坐标系，由图可得，1(2,2,0),(0,0,2)B D ，所以1(2,2,2)BD =--，设(0,2,)(02)E m m ≤≤，所以(2,0,)BE m =-，所以点E 到直线1BD的距离d =所以1m=C 正确；对于D ，如图所示，取1DD 的中点G ，连接,,EG GP PE ，易得GE ⊥平面11AA D D ，又因为GP ⊂平面11AA D D ，所以GE GP ⊥，所以2GP ==，则点P 在侧面11AA D D 内的运动轨迹为以G 为圆心，半径为2的劣弧，圆心角为π3，所以点P 的轨迹长度为π2π2=33⨯，故D 正确.故选：ACD.11．ABC【分析】对于A ：构建()e 1xg x x =-，利用导数判断其单调性，结合零点存在性定理分析判断；对于B ：对e 1ΩΩ=，()Ω0.5,1∈，取对数整理即可；对于C ：设u uu a =N，整理得1e aa ⎛⎫= ⎪⎝⎭，结合选项A 分析判断；对于D ：结合不等式e 1x x ≥+分析可知()1f x ≥，当且仅当1ln 0x x-=时，等号成立，结合()1ln m x x x=-的零点分析判断.【详解】对于选项A ：构建()e 1xg x x =-，则Ω为()g x 的零点，因为()()1e xg x x +'=，若1x <-，则()0g x '<，可知()g x 在(),1∞--内单调递减，且()0g x <，所以()g x 在(),1∞--内无零点；若1x >-，则()0g x '>，可知()g x 在()1,∞-+内单调递增，()0.510g =<且()1e 10g =->，所以()g x 在()1,∞-+内存在唯一零点()Ω0.5,1∈；综上所述：()Ω0.5,1∈，故A 正确；对于选项B ：因为e 1ΩΩ=，()Ω0.5,1∈，即1e Ω=Ω，两边取对数可得：1lnlne Ω==ΩΩ，故B 正确；对于选项C ：设u uu a =N，则a u a =，整理得au a =，即1e aa ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得e 1a a =，所以a =Ω，即Ωu u u =，故C 正确；对于选项D ：构建()e 1xh x x =--，则()e 1x h x '=-，令()0h x '>，解得0x >；令()0h x '<，解得0x <；可知()h x 在(),0∞-内单调递减，在()0,∞+内单调递增，则()()00h x h ≥=，可得e 1x x ≥+，当且仅当0x =时，等号成立，则()1111ln 111e ln ln 1ln e ln e ln 11111111x xx xx x x x x x x x f x x x x x+++++++===≥=++++，当且仅当11ln 0x x+=，即1ln 0x x -=时，等号成立，因为1,ln y y x x==-在()0,∞+内单调递减，可知()1ln m x x x =-在()0,∞+内单调递减，且()()1110,e 10em m =>=-<，可知()m x 在()0,∞+内存在唯一零点()01,e x ∈，即0>Ωx ，所以()f x 的最小值为()01f x =，不为(Ω)f ，故D 错误；故选：ABC.【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；（2）求导数，得单调区间和极值点；（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x 轴的交点情况进而求解．12．4-【分析】根据题意，利用空间向量的坐标表示，列出方程，即可求解.【详解】由向量(2,3),(1,2)a t b t =--=-+，因为a b ⊥，可得(2,3)(1,2)2630a b t t t t ⋅=--⋅-+=-+--= ，解得4t =-.故答案为：4-.13．8【分析】首先得到抛物线的焦点坐标与准线方程，依题意可知圆心C 在直线4px =上，且642p p+=，解得即可.【详解】抛物线22(0)y px p =>的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线为2p x =-，因为圆C 过坐标原点O 以及F ，所以圆心C 在直线4px =上，因为圆C 的半径为6且与该抛物线的准线l 相切，所以642p p+=，解得8p =.故答案为：814．1002【分析】计算出等比数列的通项公式后，结合欧拉函数()n ϕ计算即可得解.【详解】由题意可得132n n a -=⨯，则()()1133123a ϕϕ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭，当2n ≥时，()11113211223n n n a ϕ--⎛⎫⎛⎫=⋅⨯--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则()()()()()99129910012310021222222212a a a a ϕϕϕϕ-+++⋅⋅⋅+=++++=+=- .故答案为：1002.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于分1n =及2n ≥进行讨论，结合题中公式求(){}n a ϕ的通项公式.15．(1)π3(2)⎛ ⎝⎭【分析】（1）由两角和的正切公式结合题意化简得tan A =（2）设ABC CBD x ∠=∠=，由正弦定理把边化成角，再用三角形面积公式得34sin cos ACD S x x = ，结合导数求解即可.【详解】（1）由题)tan tan 1C BC =-，即)tan tan 1tan tan B C B C +=-，即tan tan 1tan tan B CB C+=-所以()tan B C +=()tan πA -=，所以tan A =，又(0,π)A ∈，所以π3A =.（2）由题（1）知π3BAC ∠=，又2π3BDC ∠=，设ABC CBD x ∠=∠=，由BCD △中，2π3BDC ∠=，故π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则π2π2π2π233ACD x x ∠=---=-，由正弦定理有sin sin BC AC BAC x =∠，sin sin BC DCBDC x=∠，则2sin AC CD x ==，故ACD 面积()()2312sin sin π24sin cos 2ACD S x x x x =⋅-= ，令()34sin cos x x x ϕ=，则())224212sin cos 4sin 4sin sin sin x x x x xx xx x ϕ=-=+-'，又π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()0x ϕ'>，知函数()34sin cos x x x ϕ=在π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，又()00ϕ=，π3ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故ACD 面积的取值范围为⎛ ⎝⎭.16．(1)0.007(2)136万元【分析】（1）根据频率分布直方图，I 级品中该指标小于或等于60的频率和II 级品中该指标大于60的频率，即可求解；（2）由题意分别计算A 、B 型手机的损失费用可得()5768f x x =-，结合一次函数的性质即可求解.【详解】（1）临界值60K =时，I 级品中该指标小于或等于60的频率为()0.0020.005100.07+⨯=，II 级品中该指标大于60的频率为0.1，故将1个I 级品芯片和1个II 级芯片分别应用于A 型手机和B 型手机，两部手机均有损失的概率为：0.070.10.007⨯=；（2）当临界值K x =时，I 级品中该指标小于或等于临界值K 的概率为()0.002100.005500.0050.23x x ⨯+⨯-=-，可以估计10000部A 型手机中有()100000.0050.23502300x x -=-部手机芯片应用错误；II 级品中该指标大于临界值K 的概率为()0.01100.03600.03 1.9x x ⨯+⨯-=-+，可以估计10000部B 型手机中有()100000.03 1.919000300x x -+=-部手机芯片应用错误；故可以估计芯片生产商的损失费用()()()0.085023000.0419000300f x x x =⨯-+⨯-5768x=-又[]50,55x ∈，所以()[]136,176f x ∈，即芯片生产商损失费用的最小值为136万元.17．(1)证明见解析【分析】（1）根据重心的性质可得FG PC ∥，即可根据线线平行求证，（2）根据线线垂直可得线面垂直，进而可得平面COP ⊥平面ABP ，根据余弦定理以及勾股定理求解长度，即可利用等体积法求解长度，利用线面角的几何法求解，或者建立空间直角坐标系，利用法向量与直线方向向量的夹角求解即可.【详解】（1）如图，连接AC BD 、，交点为M ，则M 是BD 的中点.因为G 是BCD △的重心，所以2CG GM =.又M 是AC 的中点，所以3AC GC =.由3AP FP =知F 在线段AP 上，且3AP FP =，所以FG PC ∥，而FG ⊄平面BCP ，PC ⊂平面BCP ，所以//FG 平面BCP .（2）方法1：设2AB =，则3CP =.取AB 中点O ，连接CO PO 、，则AB CO ⊥，AB PO ⊥，,,CO PO O CO PO ⋂⊂=平面COP ,故AB ⊥平面COP ，又AB ⊂平面ABP ，所以平面COP ⊥平面ABP ，交线为PO .由3CO PO ==3PC =，则2221cos 22CO PO PC COP CO PO +-∠==-⋅,得2π3COP ∠=.所以C 到平面ABP 的距离1h 等于C 到直线OP 的距离2π33sin32==.设G 到平面BCP 的距离为2h ，由//FG 平面BCP 知F 到平面BCP 的距离也是2h .由F BCP C BPF V V --=得211133BCP BPF S h S h ⋅=⋅△△，22221113373222224BCPS PC BC PC ⎛⎫⎛⎫=⋅-⨯⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，113331222332BPF BPA S S =⨯⨯⨯=△△从而221h =在CGB △中，2CB =，23CG =，π3BCG ∠=，由余弦定理得2211272333BG BC CA BC CA ⎛⎫=+-⋅=⎪⎝⎭所以直线BG 与平面BCP 所成角的正弦值是223372127h BG ==方法2：如图，以AB 中点O 为原点，OC 所在直线为x 轴，OB 所在直线为y 轴建立空间直角坐标系.设2AB =，则3CP =，()0,1,0A -，()0,1,0B ，332P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，)3,0,0C ，()3,2,0D-，31,033G ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以234,,033BG ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,333,0,22CP ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭ ,()3,1,0BC =-,设平面PBC 的法向量是()000,,m x y z =，由()()())()0000000000000000,,1,0000,,033,,000,,,0,0222x y z y x y z BC x y z CP z x y z ⎧⋅-=-+=⎪⎧⋅=⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨⎛⎫⋅=++=⋅-=⎪⎪⎪ ⎪⎩ ⎪⎩⎪⎝⎭⎩.令01x =，则00y z =，(m =.所以，cos<,m BG =>= ，从而直线BG 与平面BCP18．(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)10.【分析】（1）法一：由212n n n a a a ++≤得到10695a a a a ≥，9584a a a a ≥，8473a a a a ≥，7362a a a a ≥，6251a aa a ≥，累乘法得到11056a a a a ≥；法二：由109329821a a a aa a a a ≥≥⋅⋅⋅≥≥得到11029384756a a a a a a a a a a ≥≥≥≥；（2）法一：由题意得()111n k n k n k n k a a a a k n +-++--⋅≤⋅≤<，从而得到()1012101210131220241a a a a a ⋅≤⋅⋅⋅=，证明出101210131a a ⋅≤；法二：考虑反证法，假设101210131a a >，得到101110141a a >，进而推出1220241a a a ⋅⋅⋅>，假设不成立；法三：得到1220240b b b ++⋅⋅⋅+=，且121n n n n b b b b +++-≤-，利用累加法得到()101210131210120n b b b b b +≤++⋅⋅⋅+=，证明出结论；（3）由222n n n a a a ++≤可得()()222ln ln n n n a a a ++≤，即121n n n n b b b b +++-≤-，累加得()20241011102014b b b b -≥-，另外()11101019b b b b -≥-，故202410101111020149b b b bb b --≥-≥，故10102024120149b b --≥，化简得：1010b ≤，显然n b n =符合题意，此时1010b =，综上，10b 的最大值为10．【详解】（1）法一：由题意得：212n n n a a a ++≤，∴21121121n n n n n n n n a a a a aa a a a a ++-+--≥≥≥≥⋅⋅⋅，∴10695a a a a ≥，9584a a a a ≥，8473a a a a ≥，7362a a a a ≥，6251a aa a ≥，将以上式子累乘得：10651a a a a ≥，也即11056a a a a ≥成立．法二：由题意得：109329821a a a a a a a a ≥≥⋅⋅⋅≥≥，∴11029384756a a a a a a a a a a ≥≥≥≥，∴11056a a a a ≥成立．（2）法一：∵121n n n n a a a a +++≤，∴112111n k n k n n n k n k n k n n n k a a a a aa a a a a --+++++---++≤≤⋅⋅⋅≤≤≤⋅⋅⋅≤，∴()111n k n k n k n k a a a a k n +-++--⋅≤⋅≤<，则10121013101110141010101512024a a a a a a a a ⋅≤⋅≤⋅≤⋅⋅⋅≤⋅，∴()1012101210131220241a a a a a ⋅≤⋅⋅⋅=，∴101210131a a ⋅≤．法二：考虑反证法，假设101210131a a >，由121n n n n a a a a +++≤得101210131014101110121013a a a a a a ≤≤，∴1012101310111014a a a a ≤，∴101110141a a >，同理：101210121011101410151015101010111010101310141013a a a a a a a a a a a a =⋅≤⋅=，∴1010101510121013a a a a >，∴101010151a a >，同理可证：100910161a a >，100810171a a >，…，120241a a >，综上可得：1220241a a a ⋅⋅⋅>，与条件矛盾，∴假设不成立，∴101210131a a ≤成立．法三：∵1220241a a a ⋅⋅⋅=，∴122024()ln 0a a a ⋅⋅⋅=，也即1220240b b b ++⋅⋅⋅+=，同时，由212n n n a a a ++≤可得：()()212ln ln n n n a a a ++≤，∴122n n n b b b ++≤+，也即121n n n n b b b b +++-≤-，∴1013101220242023b b b b -≤-，1012101120232022b b b b -≤-，…，2110131012b b b b -≤-，将以上式子累加得：1013120241012b b b b -≤-，也即1012101312024b b b b +≤+，同理可得：1012101322023b b b b +≤+，1012101332022b b b b +≤+，……1012101310121013b b b b +≤+，将以上式子累加得：()101210131210120n b b b b b +≤++⋅⋅⋅+=，∴101210130b b +≤，∴10121013ln ln 0a a +≤，∴101210131a a ≤成立．（3）由222n n n a a a ++≤可得：()()222ln ln n n n a a a ++≤，∴122n n n b b b ++≤+，也即121n n n n b b b b +++-≤-，∴202420231110b b b b -≥-，202320221110b b b b -≥-，…，11101110b b b b -≥-，将以上式子累加得：()20241011102014b b b b -≥-，①另外，1110109b b b b -≥-，111098b b b b -≥-，…，111021b b b b -≥-，将以上式子累加得：()11101019b b b b -≥-，②结合①②式可得：202410101111020149b b b b b b --≥-≥，∴10102024120149b b --≥，化简得：1010b ≤，另外，显然有n b n =符合题意，此时1010b =，综上，10b 的最大值为10．【点睛】思路点睛：数列{}n b 的性质可参考2y x =这类下凸函数进行理解，不等式2024101110101201419b b b b b b ---≥≥相当于函数图象上三条直线的斜率大小关系．19．(1)221124x y +=(2)证明见解析(3)4y x =-或4y x =+．【分析】（1）根据椭圆离心率得223a b =，又()3,1M 在椭圆上得22911a b +=，联立可得结果；（2）设点(),P m n ，直线1l 的方程为()1y n k x m -=-，联立椭圆方程，由直线1l 与椭圆E 相切，得()2211124n k m k -=+，并求2PT ，设直线2l 的方程为()2y n k x m -=-，联立椭圆方程结合韦达定理，求出PA PB ⋅，利用()2211124n k m k -=+化简2PT PA PB ⋅可得结果；（3）由（2）可知切点()00,T x y ，得00113OT y k x k ==-，结合已知进而可得直线OT 的方程，联立椭圆方程求T 点坐标，从而求出直线1l 的方程.【详解】（1）设椭圆E 的半焦距为c，由题意知，c a =22223a b a -=，解得223a b =．又椭圆E 过点()3,1M ，所以22911a b+=，结合223a b =，解得2212,4a b ==，所以E 的方程为221124x y +=．（2）设点(),P m n ，直线1l 的方程为()1y n k x m -=-，由()2211124x y y n k x m ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩，消去y ，得()()()22211111363120k x k n k m x n k m ++-+--=，()()()()22222111111Δ641331212124k n k m k n k m k n k m ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=--+--=--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦，由直线1l 与椭圆E 相切，得()2211124n k m k -=+．设切点()00,T x y ，则()11021313k n k m x k -=-+，101012113n k m y k x n k m k -=+-=+，所以()()()()()22221111212221113311313k m nk k n k m PT k m k k ++⎡⎤-=+--=⎢⎥++⎣⎦，设直线2l 的方程为()2y n k x m -=-，联立由()2221124x y y n k x m ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩，消去y ，得()()()22222221363120k x k n k m x n k m ++-+--=，设()()1122,,,A x y B x y ，则()221222613k n k m x x k -+=-+，()22122231213n k m x x k --=+，所以12PA PB m m ⋅=--()()22212121k x x m x x m =+-++()()()22222222222312611313n k m k n k m k m m k k ⎡⎤---=+--+⎢⎥++⎣⎦222222131213k n m k +=+-+，易知，点(),P m n 在椭圆E 外，所以221124m n +>，所以223120n m +->，()222222131213k PA PB n m k +⋅=+-+．由()2211124n k m k -=+，得22221112124n k m mnk k +-=+，即()222112412mnk n k m -+=-．因为()()212221331213m nk n m k +-+-+()()()2222112131331213m nk k n m k +-++-=+()222222221112196312331213m k n mnk n m k n m k ++--+-+-=+()()222222111219324331213k n mnk n k n m k +-+-+-=+()()2222222111219312331213k n k m k n m k +--+-=+()()22222211213312331213k n m k n m k +--+-=+0=．所以()212221331213m nk n m k+=+-+，所以()2222121131213k PT n m k +=+-+．所以()()()()222122212113131P k k PT PA PB k k λ++==⋅++，与点P的坐标无关．（3）由（2）得()11021313k n k m x k -=-+，102113n k m y k -=+，所以00113OT y k x k ==-，因为2l OT ∥，所以2113k k =-①，又35P λ=，所以()()()()2212221211335131k k k k ++=++②，由①②解得12113k k =⎧⎪⎨=-⎪⎩或12113k k =-⎧⎪⎨=⎪⎩（舍去）．所以直线OT 的方程为13y x =-，由22112413x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得3,1x y =⎧⎨=-⎩或3,1,x y =-⎧⎨=⎩故切点T 的坐标为()3,1-或()3,1-．所以直线1l 的方程为4y x =-或4y x =+．【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题，往往需联立直线与圆锥曲线方程，消元并结合韦达定理，运用弦长公式、点到直线距离公式、斜率公式、向量数量积公式进行转化变形，结合已知条件得出结果.。
语文丨江苏省盐城五校联盟2025届高三10月第一次学情调研检测考试语文试卷及答案
2024/2025学年度第一学期联盟校第一次学情调研检测高三年级语文试题（总分150分考试时间150分钟）注意事项：1.本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分．2.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上．3.作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择题必须用2B铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑。
如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损。
一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读1（本题共5小题，19分）阅读下列文字，完成下面小题。
你对于某个问题没有调查，就停止你对于某个问题的发言权。
这不太野蛮了吗？一点也不野蛮，你对那个问题的现实情况和历史情况既然没有调查，不知底里，对于那个问题的发言便一定是瞎说一顿。
瞎说一顿之不能解决问题是大家明了的，那末，停止你的发言权有什么不公道呢？许多的同志都成天地闭着眼睛在那里瞎说，这是共产党员的耻辱，岂有共产党员而可以闭着眼睛瞎说一顿的吗？要不得！要不得！注重调查！反对瞎说！你对于那个问题不能解决吗？那末，你就去调查那个问题的现状和它的历史吧！你完完全全调查明白了，你对那个问题就有解决的办法了。
一切结论产生于调查情况的末尾，而不是在它的先头。
只有蠢人，才是他一个人，或者邀集一堆人，不作调查，而只是冥思苦索地“想办法”，“打主意”。
须知这是一定不能想出什么好办法，打出什么好主意的。
换一句话说，他一定要产生错办法和错主意。
许多巡视员，许多游击队的领导者，许多新接任的工作干部，喜欢一到就宣布政见，看到一点表面，一个枝节，就指手画脚地说这也不对，那也错误。
这种纯主观地“瞎说一顿”，实在是最可恶没有的。
他一定要弄坏事情，一定要失掉群众，一定不能解决问题。
许多做领导工作的人，遇到困难问题，只是叹气，不能解决。
他恼火，请求调动工作，理由是“才力小，干不下”。
2022-2023学年高三起航调研测试(Ⅱ)数学试题含答案
本试卷共6页，22小题，满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知命题p ：x ＞x ，q ：x ＜1，则p 是q 的A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件2．已知集合A ＝{sin x |0≤x ＜π2}，B ＝{x |0≤x ＜π2}，则A ∩B ＝A ．{1}B ．{0}C ．{0，1}D ．{x |0≤x ＜1}3．已知a ，b 为单位向量．若|a ·b |＝|a ＋2b |，则|a －3b |＝A ．2B ．10C ．4D ． 54．抛物线C ：y 2＝4x 在点(2，22)处的切线与双曲线E ：y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线平行，则E 的离心率为 A ．2 2B ．2C ．62D ． 35．设a ＝sin 2π6－sin 2π12，b ＝tan π12，c ＝sin π8，则A ．b ＜a ＜cB ．a ＜c ＜bC ．a ＜b ＜cD ．c ＜a ＜b6．在空间直角坐标系O －xyz 中，已知圆A ：(x －2)2＋(y －1)2＝1在平面xOy 内，C (0，t ，2)(t ∈R )．若△OAC 的面积为S ，以C 为顶点，圆A 为底面的几何体的体积为V ，则VS 的最大值为2022～2023学年度高三年级起航调研测试（Ⅱ）数 学A ．510π B ．2515π C ．255π D ．53π 7．已知公差为d (d ＞0)的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝d ，b n ＝S n －1S n，且b 1＋b 2＋…＋b 10＝0，则b 11＝ A ．6B ．356C ．11D ．120118．定义在R 上的函数f (x )的值域为(0，π2)，且sin f (x )＝cos f (2x －1)．若f (2)＝1，则A ．f (1)＝π2B ．f (log 23)＝1C ．f (127)＝π2－1D ．f (7)＝π2－1二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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合肥市2019届高三调研性检测
数学试题(文科)
(考试时间：120分钟 满分：150分)
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
(1)已知集合{|2}M x x =>，集合{|13}N x x =<≤，则M N =
(A)(]2 3，
(B)(1，2) (C)(]1 3， (D)[]2 3， (2)已知i 为虚数单位，复数z 满足()1i z i -=，在复平面内z 所对的点位于
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
(3)已知命题:p 1
02x x
∀>+≥，，则
暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.已知图中直角三角形两个直角边的长分别为2和3.若从右图中任选一点，则该点恰在阴影区域的概率为
(A)23 (B)8
9
(C)1213 (D)2425
(5)已知实数x y ，满足条件0
0220x y x y x y -≤⎧⎪
+≥⎨⎪+-≤⎩，且2z x y =-，则z 的取值范围是
(A)[)6 -+∞， (B)2 3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦， (C)2 63⎡
⎤-⎢⎥⎣⎦， (D)
26 3⎡
⎤-⎢⎥
⎣
⎦，
(6)已知双曲线22
22:1x y M a b
-=(00a b >>，)的一条渐近线与y 轴所形成的锐角为30︒，则双曲线M 的离心率是
(C)2或2 (7)已知1a =，2b =，3a b +=，则下列说法正确的是
(A)2a b ⋅=- (B)()()
a b a b +⊥- (C)a 与b
的夹角为
3
π
(D)7a
b -=
(8)已知直线:50l x y +-=与圆()()(
)22
2:210C x y r r
-+-=>相交所得的弦长为
，则圆C 的半径r =
2 (C)4 (9)某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图的上半部分均为半圆，下
半部分为等腰直角三角形，则该几何体的表面积为
(A)(20π+ (B)(20π+
(C)(40π+ (D)(40
π+
(10)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，()121n n S S
n N ++=-∈
，则
10
a =
(A)128 (B)256 (C)512 (D)1024
(11)将函数()()sin f x x ωϕ=+图象上所有的点向左平移6
π
个单位，再
将横坐
标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到sin y x =的图象，则下列各式正确的是
(C)01515f f ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (D)01515f f ⎛⎫⎛⎫
--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
(12)已知函数()sin x x f x e e x x -=-+-(其中e 为自然对数的底数)，则不等式()(
)23f x x f x -<+的解集为 (A)(-1，3) (B)(-3，1) (C)(3)(1)-∞-+∞，， (D)()()13-∞-+∞，
，
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡上相应的位置.
(13)一支田径队有男运动员56人，女运动员42人，用分层抽样的方法，按性别从全体运动员中抽出一个容量为7的样本，则抽出的女运动员的人数是 .
(14)执行右图所示的程序框图，若输出的y 为1，则输入的x 的值等于 .
(15)若函数()ln 1f x ax x =--有零点，则实数a 的取值范围是 .
(16)已知ABC ∆是等腰直角三角形，斜边2AB =，P 是平面ABC 外的一点，且
满足PA PB PC ==，o 120APB ∠=，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为 .
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (17)(本小题满分10分)
已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，36a =，420S =. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)求数列1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n T .
(18)(本小题满分12分)
已知：在ABC ∆中，a b c ，，分别是角A B C ，，所对的边长，c o s b B 是cos a C 和cos c A 的等差中项. (Ⅰ)求角B ；
(Ⅱ)若ABC ∆的面积os ABC S B ∆=，且b =ABC ∆的周长.
(19)(本小题满分12分)
某保险公司决定每月给推销员确定一个具体的销售目标，对推销员实行目标管理.销售目标确定的适当与否，直接影响公司的经济效益和推销员的工作积极性，为此该公司随机抽取了50位推销员上个月的月销售额(单位：万元)，绘制成如下频率分布直方图：
(Ⅰ)(ⅰ)根据图中数据，求出月销售额在[14 16)，内的频率； (ⅱ)根据直方图估计，月销售目标定为多少万元时，能够使70%的推销员完成任务？说明理由.
(Ⅱ)公司决定从销售额为[)22 24，和[]24 26，的两个小组中，选取2位推销员介绍销售经验.求选出的销售员来自同一个小组的概率.
(20)(本小题满分12分)
如图，矩形ABCD 和菱形ABEF 所在的平面相互垂直，60AFE ∠=︒，G 为AF 中点． (Ⅰ)求证：EG ⊥平面DAF ；
(Ⅱ)若32AB BC ==，，求多面体BCE ADF -的体积.
(21)(本小题满分12分)
已知椭圆22221x y C a b +=：(0a b >>)经过点12⎫⎪⎭，. (Ⅰ)求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)已知()0 A b ，
，() 0B a ，，点P 是椭圆C 上位于第三象限的动点，直线AP 、BP 分别将x 轴、y 轴于点M 、N ，求证：AN BM ⋅为定值.
(22)(本小题满分12分)
已知函数()()232
2ln 13
f x x x ax =--．
(Ⅰ)若曲线()y f x =在()1(1)f ，处切线的斜率等于6-，求a 的值；
(Ⅱ)若对于任意的()121 x x ∈+∞，，
，12x x ≠，总有()()1212
20f x f x x x -+<-，求a 的取值范
围.。