动态电路的电路方程

uS
R1iL R1iC uC 0
L diL dt
(R1
R2 )iL
R1iC
uS
R1iL R1iC uC 0
代入电容的VCR方程
iC

C
duC dt
得到以iL(t)和uC(t)为变量的方程
L
diL dt
(R1 R2 )iL
对于图(b)所示RL并联电路，可以写出以下方程
iS (t) iR (t) iL (t) GuL (t) iL (t)
在上式中代入 ：
uL
(t)

L
diL (t) dt
得到
GL
diL (t) dt

iL (t)＝iS (t)
(7 22)
这是常系数非齐次一阶微分方程。图(b)是一阶电路。
例7-9 电路如图7－19(a)所示，以iL为变量列出电路的微分 方程。
图7-19
解一：列出网孔方程
(
R1

R2 )i1

R2iL

uS
(1)

R2i1

L
diL dt
R2iL

0
(2)
由式(2)求得
i1

L R2

diL dt
iL
代入式(1)得到
( R1
R2 )L R2

1 R2
uC
将 i1(t)代入式(1)，得到以下方程
( R3

R1R2 )C R1 R2
duC dt
uC

R2 R1 R2
uS
(7 25)
这是以电容电压为变量的一阶微分方程。
图7-20
解二：将连接电容的含源电阻单口网络用戴维宁等效电路 代替，得到图(b)所示电路，其中
Ro

R3


uS
经过整理得到以下微分方程
LC
d 2 uC dt 2

L ( R1

R2C)
duC dt

(R1 R2 ) R1
uC

uS
(7 26)
这是常系数非齐次二阶微分方程，图示电路是二阶电路。
必作习题：第266~267页 习题七：7 – 9 、 7 – 13 2002年春节摄于成都人民公园
R1R2 R1 R2
uoc

R2 R1 R2
uS
由图(b)电路得到与式7－25相同的微分方程。
例7-11 电路如图7-21所示，以uC(t)为变量列出电路的微分 方程。
图7-21
解：以iL(t)和iC(t)为网孔电流，列出网孔方程
L diL dt
(R1
R2 )iL
R1iC
动态电路的电路方程
含有储能元件的动态电路中的电压电流仍然 受到KCL、KVL的拓扑约束和元件特性VCR的约 束。一般来说，根据KCL、KVL和VCR写出的电 路方程是一组微分方程。
由一阶微分方程描述的电路称为一阶电路。 由二阶微分方程描述的电路称为二阶电路。 由n阶微分方程描述的电路称为n阶电路。
例7－8 列出图7－18所示电路的一阶微分方程。
diL dt
(R1
R2 )iL
R2iL
uS
整理
( R1
R2 )L R2
diL dt
R1iL
uS
(7 23)
图7-19
解二：将含源电阻单口用诺顿等效电路代替，得到图(b)电 路，其中
Ro

R1R2 R1 R2
iSC

uS R1
图7-19
图(b)电路与前面图(b)电路完全相同，直接引用式7－ 22可以得到
R1C
duC dt
uS
(1)

R1iL

R1C
duC dt
uC

0
( 2)
从式(2)得到
iL
C
duC dt

1 R1
uC
将iL(t)代入式(1)中
LC
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
d 2 uC dt 2

L R1
duC dt
(R1

R2 )C
duC dt

(
R1
R1
R2
)
uC
R1C
duC dt
( R1＋R2 )L R1 R2
diL dt
iL

uS R1
(7 24)
这是常系数非齐次一阶微分方程，图(a)是一阶电路。
例7-10 电路如图7-20(a)所示，以uC(t)为变量列出电路的微 分方程。
解一：列出网孔方程
图7-20
(RR1 2i1R2
)i1 R2iC (R2 R3 )iC
图7-18
解：对于图(a)所示RC串联电路，可以写出以下方程
uS (t) uR (t) uC (t) Ri(t) uC (t)
在上式中代入: 得到
i(t) C duC (t) dt
RC
duC (t) dt

uC
(t)＝uS (t)
(7－21)
这是常系数非齐次一阶微分方程，图(a)是一阶电路。
uS uC

0
补充方程
iC

C
duC dt
得到以i1(t)和uC(t)为变量的方程
( R1
R2 )i1

R2C
duC dt
uS
(1)
R2i1
(R2

R3 )C
duC dt
uC

0
(2)
从式(2)中写出i1(t)的表达式
i1

( R2
R3 )C R2
duC dt