直线与平面平行平面与平面平行综合练习题

第1题. 已知a αβ=，m βγ=，b γα=，且m α//，求证：a b //．

答案：证明：

m m m a a b a m b β

γααβ=⎫⎫

⎪⎪

⇒⇒⎬⎬⎪⎪=⇒⎭⎭

同理////////．

第2题. 已知：b α

β=，a α//，a β//，则a 与b 的位置关系是（ A ）

Ａ．a b // Ｂ．a b ⊥

Ｃ．a ，b 相交但不垂直 Ｄ．a ，b 异面

第3题. 如图，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是PA ，BD 上的点且PE EA BF FD =∶∶，求证：EF //平面PBC ．

答案：证明：连结AF 并延长交BC 于M ．连结PM ，

AD BC ∵//，BF MF FD FA =∴

，又由已知PE BF EA FD =，PE MF

EA FA

=

∴． 由平面几何知识可得EF //PM ，又EF PBC ⊄，PM ⊂平面PBC ， ∴EF //平面PBC ．

第4题. 如图，长方体1111ABCD A B C D -中，11E F 是平面11A C 上的线段，求证：11E F //平面AC ．

答案：证明：如图，分别在AB 和CD 上截取11AE A E =，11DF D F =，连接1EE ，1FF ，EF ．

∵长方体1AC 的各个面为矩形，

11A E ∴平行且等于AE ，11D F 平行且等于DF 故四边形11AEE A ，11DFF D 为平行四边形．

1EE ∴平行且等于1AA ，1FF 平行且等于1DD ．

1AA ∵平行且等于1DD ，1EE ∴平行且等于1FF 四边形11EFF E 为平行四边形，11E F EF //．

EF ⊂∵平面ABCD ，11E F ⊄平面ABCD ， ∴11E F //平面ABCD ．

第5题. 如图，在正方形ABCD 中，BD 的圆心是A ，半径为AB ，BD 是正方形ABCD 的对角线，正方形以AB 所在直线为轴旋转一周．则图中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三部分旋转所得几何体的体积之比为 1:1:1 ．

第6题. 如图，正方形ABCD

M ，N 分别是

PA ，DB 上的点，且PM MA =∶（１） 求证：直线MN //平面（２） 求线段MN 的长．

（１） 答案：证明：连接AN 并延长交BC 于E ，连接PE ，

则由AD BC //，得BN NE

ND AN

=

． BN PM ND MA =∵，NE PM

AN MA

=

∴． MN PE ∴//，又PE ⊂平面PBC ，MN ⊄平面PBC ， ∴MN //平面PBC ．

（２） 解：由13PB BC PC ===，得60PBC ∠=； 由58BE BN AD ND ==，知5651388

BE =⨯=， 由余弦定理可得918PE =，8

713

MN PE ==∴．

第7题. 如图，已知P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 为PB 的中点， 求证：PD //平面MAC ．

第8题. 如图，在正方体1111中，，分别是棱，11C D 的中点，求证：EF //平面11BB D D ．

答案：证明：如图，取11D B 的中点O ，连接OF ，OB ，

OF ∵ 平行且等于1112B C ，BE 平行且等于111

2

B C ，

OF ∴ 平行且等于BE ，则OFEB 为平行四边形， EF ∴//BO ．

EF ⊄∵平面11BB D D ，BO ⊂平面11BB D D ，

∴EF //平面11BB D D ．

第9题. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，试作出过AC 且与直线1D B 平行的截面，并说明理由．

答案：解：如图，连接DB 交AC 于点O ，取1D D 的中点M ，连接MA ，MC ，则截面MAC 即为所求作的截面．

MO ∵为1D DB △的中位线，1D B MO ∴//．

1D B ⊄∵平面MAC ，MO ⊂平面MAC ，

1D B ∴//平面MAC ，则截面MAC 为过AC 且与直线1D B 平行的截面．

第10题. 设a ，b 是异面直线，a ⊂平面α，则过b 与α平行的平面（ c ） Ａ．不存在 Ｂ．有1个 Ｃ．可能不存在也可能有1个 Ｄ．有2个以第 11题. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，求证：平面1A BD //平面11CD B ．

答案：证明：11111

1B B A A B B D D A A D D ⎧⎪⇒⎨⎪⎩ ∥ ∥ ∥ ⇒ 四边形11BB D D 是平行四边形

⇒ 111111D B DB

DB A BD D B A BD

⎧⎪

⊂⎨⎪⊄⎩平面平面//

⇒1111111

11D B A BD

B C A BD D B B C B

⎧⎪

⎨⎪=⎩平面同理平面//// ⇒111B CD A BD 平面平面//．

第12题. 如图，M 、N 、P 分别为空间四边形

上的点，且

AM MB CN NB CP PD ==∶∶∶．

求证：（１）AC //平面MNP ，BD //平面MNP ； （２）平面MNP 与平面ACD 的交线AC //．

答案：证明：（１）

AM CN

MN AC

MB NB

AC MNP AC MNP

MN MNP

⎫

=⇒⎪

⎪

⊄⇒

⎬

⎪

⊂

⎪

⎭

//

平面//平面

平面

．

CN CP

PN BD

NB PD

BD MNP BD MNP

PN MNP

⎫

=⇒⎪

⎪

⊄⎬

⎪

⊂

⎪

⎭

//

平面//平面

平面

．

（２）

MNP ACD PE

AC ACD PE AC

AC MNP

=⎫

⎪

⊂⇒

⎬

⎪

⎭

设平面平面

平面//，

//平面

MNP ACD AC

即平面与平面的交线//．

第14题. 过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a，b，c，…，则这些交线的位置关系为（）

Ａ．都平行Ｂ．都相交且一定交于同一点

Ｃ．都相交但不一定交于同一点Ｄ．都平行或都交于同一点

第15题. a，b是两条异面直线，A是不在a，b上的点，则下列结论成立的是（）

Ａ．过A且平行于a和b的平面可能不存在Ｂ．过A有且只有一个平面平行于a和b

Ｃ．过A至少有一个平面平行于a和bＤ．过A有无数个平面平行于a和b答案：Ａ．

第16题. 若空间四边形ABCD的两条对角线AC，BD的长分别是8，12，过AB的中点E且平行于BD、AC的截面四边形的周长为．

第17题. 在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA上的一点，且EFGH为菱形，若AC//平面EFGH，BD//平面EFGH，AC m

=，BD n

=，则AE BE=

：．

第18题. 如图，空间四边形ABCD的对棱AD、BC成60的角，且AD BC a

==，平行于AD与BC的截面分别交AB、AC、CD、BD于E、F、G、H．

（１）求证：四边形EGFH为平行四边形；

（２）E在AB的何处时截面EGFH的面积最大？最大面积是多少？