人教版初一数学平行线的判定及性质
初一数学知识点：平行线的性质与判定知识点
初一数学知识点：平行线的性质与判定知识点
人生的路途很长，但关键的却往往只要几步，而初中就是这关键几步中的第一步，查字典数学网为大家预备了平行线的性质与判定知识点，欢迎阅读与选择!
【判定方法】
(1) 同角相等,两直线平行;
(2)内错角相等,两直线平行;
(3)同旁内角互补,两直线平行;
(4)在同一平面内,垂直于同不时线的两直线平行.
【性质】
(1)两直线平行,同位角相等;
(2)两直线平行,内错角相等;
(3)两直线平行,同旁内角互补.
【相反点】
平行线的判定和性质研讨的都是两直线被第三条直线所截的图形，可以说这个图形是它们共同的、必备的前提条件。
【区别】
平行线的性质战争行线的判定中的条件和结论恰恰相反：平行线的〝判定〞，是为了判别两条直线能否平行，就要先研讨同位角、内错角、同旁内角的数量关系，当知道了〝同位角相等〞或〝内错角相等〞或〝同旁内角互补〞时，就可
以判定这两条直线平行。
它们是由〝数〞到〝形〞的判别。
平行线的〝性质〞，是曾经知道两条直线平行时，就可以推出同位角相等，内错角相等，同旁内角互补的数量关系，即〝平行线〞这种图形具有的性质。
它们是由〝形〞到〝数〞的说理。
平行线的性质与判定知识点就到这儿了，体会每篇文章的不同，摘取自己想要的，友谊提示，了解最重要哦!。
人教版七年级数学课件《平行线的判定》
B.①③
C.①④
D.③④
2.如图，下列条件中,能判断直线.l1//l2的是( B )
A.∠2=∠3
C.∠4+∠5=180°
B.∠1=∠3
D.∠2=∠4
达标检测
人教版数学七年级下册
3.如图，下列条件中，能判断直线l1//l2的是( C )
A.∠1=∠2
C.∠1+∠3=180°
B.∠1=∠5
D.∠3=∠5
得∠1=∠2(等量代换)，
内错角相等，两直线平行
所以_________(________________________)．
AE∥GF
针对练习
人教版数学七年级下册
已知如图所示，∠ = ∠，点、、在同一条直线上，
∠ = ∠ + ∠，且平分∠，试说明 ∥ 的理由．
复习回顾
人教版数学七年级下册
如何用直尺和三角板过直线AB外一点P做AB的平行线CD.
知识精讲
人教版数学七年级下册
在用直尺和三角尺画平行线的过程中，直尺和三角尺分别
起着什么样的作用？
知识精讲
人教版数学七年级下册
可以看出，画直线AB的平行线CD，实际上就是过点P画与∠2
在用直尺和三角尺画平行线的过程中，直尺和三角尺分别
4.如图，下列结论中正确的是( C)
A.若∠1=∠4，则m//c
B.若∠1=∠2，则a//b
C.若∠1+∠3=180，则n//c
D.若∠2+∠3=180°，则m//n
达标检测
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5.如图(1)，光线AB,CD被一个平面镜反射，此时
∥
CD
∠1=∠3,∠2=∠4，则AB // _____,BE_____DF.
人教版七年级初一数学平行线的判定ppt
1 24
c
新知探究 知识点: 平行线的性质
例1 如图是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A=100°，
∠B=115°，梯形的另外两个角分别是多少度？
解：∵梯形上、下底互相平行，
D
C
∴∠A 与∠D 互补,∠B 与∠C 互补.
∴∠D=180 °-∠A=180°-100°=80°，
A
B
∠C= 180 °-∠B=180°-115°=65°.
这就是我们下面要学习的平行线的性质. 类似于研究平行线的判定，我们先来研究两条直线 平行时，它们被第三条直线截得的同位角质关系.
新知探究 知识点: 平行线的性质
ห้องสมุดไป่ตู้
画两条平行线 a//b，然后画一条截线 c 与 a，b 相
交，标出如图所示的角. 度量所形成的 8 个角的度
数，把结果填入下表：
角 ∠1 ∠2 ∠3 ∠4 度数
谢谢！再见！
主讲：XXX
度数是( D ) A.20° B.25° C.30° D.35°
能力提升：
5. [2022兴安盟期末]如图,已知AB∥CD,∠ABD的平分线BF和∠BDC的平分线DE交于点 E,BF交CD于点F. (1)求∠1+∠2的度数; (2)若∠2=40°,求∠3的度数.
解:(1)因为BF,DE分别平分∠ABD和∠BDC, 所以∠ABD=2∠1,∠BDC=2∠2. 因为AB∥CD,所以∠ABD+∠BDC=180°, 即2∠1+2∠2=180°,所以∠1+∠2=90°.
应用格式:
a
∵a∥b（已知）
∴∠1=∠2
b
（两直线平行，同位角相等）
1 2 c
新知探究 知识点: 平行线的性质
人教版七年级数学下册 平行线的判定和性质 讲义
平行线的概念和性质1、在同一平面内，没有交点的两条直线叫做平行线2、平行公理：过直线外的一点，有且只有一条直线与已知直线平行3、平行的传递性：三条直线a、b、c，如果a//b，b//c，那么a//c例1、下列说法正确的是（）A、两点之间，直线最短B、过一点有一条直线平行于已知直线C、和已知直线垂直的直线有且只有一条D、在平面内过一点有且只有一条直线垂直于已知直线1、在同一平面内,两条不重合直线的位置关系可能是（）A.平行或相交B.垂直或相交C.垂直或平行D.平行、垂直或相交2、在同一平面内的三条直线，若其中有且只有两条直线互相平行，则它们的交点个数是（）A、0个B、1个C、2个D、3个3、下列说法中，正确的是（）A、两直线不相交则平行B、两直线不平行则相交C、若两线段平行，那么它们不相交D、两条线段不相交，那么它们平行4、下列说法正确的有（）①不相交的两条直线是平行线②在同一平面内，不相交的两条线段平行③过一点有且只有一条直线与已知直线平行④若a//b，b//c，则a与c不相交A、1个B、2个C、3个D、4个5、在同一平面内，下列说法正确的个数是（）①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直②过一点有且只有一条直线与已知直线平行③三条直线两两相交，总有三个交点④若a//b，b//c，则a//cA、1个B、2个C、3个D、4个6、下列说法中，错误的有（）①若a与c相交，b与c相交，则a与b相交②若a//b，b//c，那么a//c③过一点有且只有一条直线与已知直线平行④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种A、3个B、2个C、1个D、0个7、不相邻的两个直角，如果它们有一边在同一直线上，那么另一边互相（）A、平行B、垂直C、平行或垂直D、平行或垂直或相交还记得小学的时候我们是怎么画平行线的吗？画完之后，我们是用什么依据来判定a//b 的呢？你觉得∠1和∠2有什么关系？性质总结：1、同位角相等，两直线平行2、内错角相等，两直线平行3、同旁内角互补．．，两直线平行例1、如图所示，BE 是AB 的延长线，（1）由∠CBE=∠A 可以判定______∥______，根据是______________________ （2）由∠CBE=∠C 可以判定______∥______，根据是______________________ （3）由∠A+∠D=180°，可以判定_____//_____，根据是____________________例2、如图所示,下列条件中,能判定AB ∥CD 的是( ) A.∠1=∠2 B.∠ABD=∠BDC C.∠3=∠4D.∠BAD+∠ABC=180°ED CB A34DCBA211、如图所示，下列条件中，能判断直线l1∥l2的是（）A、∠2＝∠1B、∠1＝∠4C、∠2＝∠4D、∠4＋∠2＝180°2、如图所示，如果∠D=∠EFC，那么( )A、AD∥BCB、EF∥BCC、AB∥DCD、AD∥EF3、如图3所示,能判断AB∥CE的条件是( )A、∠A=∠ACEB、∠A=∠ECDC、∠B=∠BCAD、∠B=∠ACE4、如图所示，在下列条件中，不能判断l1∥l2的是（）．A．∠1=∠3B．∠2=∠3C．∠4+∠5=180°D．∠2+∠4=180°F EDCBAEDCBAl1l2123455、两条直线被第三条直线所截，那么下面说法正确的是（ ）A 、同位角相等B 、内错角相等C 、同旁内角互补D 、以上都不对6、如图所示的四个图形中，∠1=∠2，能判定AB//CD 的是（ ）7. 如图所示，要得到DE ∥BC ，则需要条件（ ） A 、CD ⊥AB ，GF ⊥AB B 、∠4＋∠5＝180° C 、∠1＝∠3 D 、∠2＝∠38. 如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 若∠3＝∠5，则CD ∥EF B. 若∠2＝∠6，则CD ∥EF C. 若∠4＝∠3，则CD ∥EF D. 若∠1＝∠6，则GH ∥AB9、在同一平面内，直线a 、b 相交于P ，若a//c ，则b 与c 的位置关系是___________10、在同一平面内，若直线a 、b 、c 满足a ⊥b ，a ⊥c ，则b 与c 的位置关系是__________11、如图所示，要使AB//CD//EF ，则需要∠BAC+∠ACE+∠CEF 等于（ ） A 、360° B 、270° C 、200° D 、180°ABCD E A B CD A BCD ABCD12121212ABCDAB CD E F12、如图，在△ABC中，DE//BC，EF//AB，则与∠B相等的角有______个平行线的逻辑推理例1、如图所示，直线EF与直线AB、CD相交于点M和点N，MG、NH分别平分∠AMN和∠MND，并且∠1＝∠2，由这些条件能得出AB平行于CD吗？能得出MG平行于NH吗？请证明例2、如图，已知a//c，∠1+∠3=180°。
初一数学：平行线(含解析)
平行线知识互联网板块一 平行线的定义、性质及判定知识导航【例1】 ⑴ 如下左图，AB CD ∥，AD AC ⊥，32ADC ∠=°，则CAB ∠的度数是________． ⑵ 如下中图，直线l 与直线a ，b 相交．若a b ∥，170∠=°，则2∠的度数是________． ⑶ 如下右图，已知a b ∥，170∠=°，240∠=°，则3∠=________． 图DCBA21ba lb a321CBA 【解析】⑴ 122°；⑵ 110°；⑶ 70°【例2】 ⑴ 根据图在（）内填注理由：① ∵B CEF ∠ =∠（已知）∴AB CD ∥（ ）② ∵B BED ∠= ∠（已知）∴AB CD ∥（ ） ③ ∵180B CEB ∠+∠=°（已知） ∴AB CD ∥（ ）⑵ 下列说法中，不正确的是（ ）A ．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行B ．过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线相交C ．同一平面内的两条不相交直线平行D ．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行【解析】⑴ ① 同位角相等，两直线平行；② 内错角相等，两直线平行；③ 同旁内角互补，两直线平行．⑵ 本题主要考察两直线平行的识别．根据平行公理及其推论可知A 、D 正确；同一平面内的两条直线的位置关系只有相交和平行两种，C 正确；过直线外一点，有且只有一条直经典例题FC EB D A线与这条直线平行，而有无数条直线与这条直线相交，B 不正确．【例3】 请你分析下面的题目，从中总结规律，填写在空格上，并选择一道题目具体书写证明．⑴ 如图⑴，已知：AB CD ∥，直线EF 分别交AB ，CD 于M ，N ，MG ，NH 分别平分AME ∠，CNE ∠．求证：MG NH ∥．从本题我能得到的结论是：____________________________________．⑵ 如图⑵，已知：AB CD ∥，直线EF 分别交AB ，CD 于M ，N ，MG ，NH 分别平分BMF ∠，CNE ∠．求证：MG NH ∥．从本题我能得到的结论是：____________________________________．⑶ 如图⑶，已知：AB CD ∥，直线EF 分别交AB ，CD 于M ，N ，MG ，NH 分别平分AMF ∠，CNE ∠，相交于点O ．求证：MG NH ⊥．从本题我能得到的结论是：____________________________________．(1)A B C DE FG H M N(2)NMFEDC B A GH (3)NM FEDC B A G H O 【解析】⑴ 两直线平行，同位角的角平分线平行．⑵ 证明：∵AB ∥CD ，∴BMFCNE ∠ 又∵MG ，NH 分别平分BMF从本题我能得到的结论是：两直线平行，内错角的角平分线平行．⑶ 证明：∵AB ∥CD ，∴180AMF CNE ∠+∠=又∵MG ，NH 分别平分AMF ∠，CNE ∠ ∴∴18090MON GMF HNE ∠= ，∴MG ⊥NH从本题我能得到的结论是：两直线平行，同旁内角的角平分线垂直．【例4】 证明：三角形三个内角的和等于180°．【解析】平角为180°，若能用平行线的性质，将三角形三个内角集中到同一个顶点，并得到一个平角，问题即可解决．证法1 : 如图所示，过ABC △的顶点A 作直线l BC ∥，则1BBAC所以180B BAC C ∠+∠+∠=°量代换）．即三角形三个内角的和等于180°． 证法2 : 如图所示，延长BC ，过C 作CE AB ∥，则1A ∠=∠ （两直线平行，内错角相等），2B ∠= ∠ （两直线平行，同位角12180BCA ∠+∠+∠=°， 所以180BCA A B ∠+∠+∠=°，即三角形三个内角的和等于180°．【教师备案】利用平行线证明三角形内角和为180°的方法有很l21C BA 21D C EB A多，老师可以带着学生多练几个【例5】 如图，ABC △中CD AB ⊥于D ，DE BC ∥，交AC 于点E ．过BC 上任意一点F ，作FG AB ⊥于G ，求证：12∠=∠．GFE 21D CBA【解析】∵FG AB CD AB ⊥⊥，， ∴GF CD ∥ ∴∠∵DE BC ∥， ∴2BCD ∠=∠， ∴12∠=∠【例6】 我们知道，光线从空气射入水中会发生折射现象．光线从水射入空气中，同样也会发生折射现象．如图，为光线从空气射入水中，再从水射入空气中的示意图．由于折射率相同，因此有14∠=∠，23∠=∠．请你用所学的知识来判断光线c 与d 是否平行？并说明理由．ba465dcba321【解析】c d ∥如图：∵25180∠+∠=°，36180∠+∠=°，23∠= ∠ ∴56∠= ∠（等角的补角相等）又∵14∠=∠∴1564∠+∠=∠+∠∴c d ∥（内错角相等，两直线平行）【例7】 （成都市初中数学竞赛）如图，已知AE 平分BAC ∠，BE AE ⊥，垂足为E ，ED AC ∥，36BAE ∠ = ° 求BED ∠ 的度数．EDCBA【解析】126°【例8】 ⑴ 如图所示AB CD ∥．求证：360B E D ∠+∠+∠=°EDCBA⑵ 已知，如图，AEC A C ∠=∠+∠,证明AB CD ∥ED CBA【解析】⑴ 如图，过E 点作EF AB ∥，则180B BEF ∠+∠=°因为AB CD ∥，所以EF CD ∥，180FED D ∠+∠=°所以360B BEF FED D ∠+∠+∠+∠=°又BEF FED BED ∠+∠=∠，∴360B BED D ∠+∠+∠=°即360B E D ∠+∠+∠=°F EDCBA ⑵ 解法一：过点E 作AEF A ∠=∠,则AB EF ∥， 又AEC A C AEF CEF ∠=∠+∠=∠+∠，∴C CEF ∠=∠，∴EF CD ∥，∴AB CD ∥． F ED CBA解法二：作180AEF A ∠+∠=°, 则AB EF ∥,∵360AEC AEF CEF ∠+∠+∠=°， ∴360A C AEF CEF ∠+∠+∠+∠=°， 经典例题板块二 平行线的构造∴180C CEF ∠+∠=°， ∴CD EF ∥, ∴AB CD ∥FE DCB A 【教师备案】这两个模型非常重要，建议各位老师分别从已知角度关系证明平行和已知平行证明角度关系两个方面讲解这两个小题，重点强调书写过程 【例9】 ⑴ 如图⑴，已知14MA NA ∥，探索1A ∠、2A ∠、3A ∠、4A ∠，1B ∠、2B ∠之间的关系．⑵ 如图⑵，已知1n MA NA ∥，探索1A ∠、2A ∠、…、n A ∠之间的关系．⑶ 如图⑶，已知1n MA NA ∥，探索1A ∠、2A ∠、…、n A ∠，1B ∠、2B ∠、…、1n B −∠之间的关系．MNA 4B 2A 2A 3B 1A 1MNA nA 4A 3A 2A 1B n -1B 2B 1A nA n -1A 2A 1NM图⑴ 图⑵ 图⑶【解析】⑴ 123412180A A A A B B ∠+∠+∠+∠=∠+∠+°；⑵ 123(1)180n A A A A n ∠+∠+∠++∠=−×° ． ⑶ 12121n n A A A B B B −∠+∠++∠=∠+∠++∠ ；【例10】如图，已知，CD EF ∥，C F ABC +=∠∠∠，求证AB GF ∥G FDECBAQPABCEDFG【解析】如图，过点B 作PQ CD ∥交GF 的延长线于点Q 则PQ EF ∥，【拓1】 如图所示，已知CB OA ∥，100C OAB∠ =∠ ，E ，F 在CB 上，且满足FOB AOB ∠= ∠，OE 平分COF ∠．思维拓展⑴ 求EOB ∠的度数；⑵ 若平行移动AB ，那么OBC ∠：OFC ∠的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值；⑶ 在平行移动AB 的过程中，是否存在某种情况，使OECOBA ∠=∠？若存在，求出其度数；若不存在，请说明理由．ABC E FO 【解析】⑴40°；⑵1:2；⑶存在，60OECOBA ∠=【拓2】 在同一平面内有1a ，2a ，3a ，…，97a 共97条直线，如果12a a ∥，23a a ⊥，34a a ∥，45a a ⊥，56a a ∥，67a a ⊥，…，那么1a 与97a 的位置关系是________．【解析】寻找规律，12a a ∥，13a a ⊥，14a a ⊥；15a a ∥，16a a ∥，17a a ⊥，18a a ⊥…，4个一循环，974241÷= ，所以971a a ∥【拓3】 在同一平面内有7条直线，证明：必有两条直线的夹角小于26°．【解析】由平行线的性质可知，平移某条直线不影响该直线与其它直线的夹角，故可将7条直线平移使其交于同一点（如下图），A 7A 6A 5A 4A 3A 2A 1O点O 把7条直线分成14条射线，记为1OA ，2OA ，…，14OA ，相邻两射线组成14个角，记为1α，2α，…，14α，其和为一个周角：1214360ααα+++=° ， 若结论不成立，则26i α°≥，()1214i = ，，，， 相加，得360这一矛盾说明，在1α，2α，…，14α中，必有一个角小于26°，即必有两条直线的夹角小于26°．【拓4】 如图，已知ABCDFED BC A FEDBC A【解析】如右图所示，分别过点E ，F 做AB 和CD 的平行线，易得：AEC EAB ECD∠=∠+∠x 90°50°30°30°ABCD E FG HMNPR Qx 90°50°30°30°AB CDE FG HMNOP【解析】过点G ，H 作AB ，CD 的平行线，那么AB OG HQ CD ∥∥∥∵AB OG ∥，HQ CD ∥∵OG HQ ∥，∴60GHQ OGH HGE EGO ∠=∠=∠−∠=° ∵在MHQ ∆中,180MHQ HMQ MQH ∠+∠+∠=°又∵180MQR MQH ∠+∠=°，∴MHQ HMQ MQR ∠+∠=∠ ，∴40GHM GHQ MHQ ∠=∠−∠=°习题1． 如图：已知12∠=∠，A C ∠= ∠，求证：①ABDC ∥证明：∵12∠=∠（ ）∴______∥______（ ）． ∴C CBE ∠= ∠（ ）又∵C A ∠=∠（ ）∴A ∠=________（ ） ∴______∥______（ ）．EDCBA21【解析】已知：AB ，CD ；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；已知；CBE ∠； 等量代换；AD ，BC ；同位角相等，两直线平行． 习题2． 如图所示，复习巩固⑴ 已知：AB CD ∥，12∠=∠，求证：BE CF ∥； ⑵ 已知：AB CD ∥，BE CF ∥，求证：12∠=∠．F 21E B DA C【解析】⑴ ∵AB CD ∥（已知），∴ABC BCD ∠= ∠（两直线平行，内错角相等） ∵12∠=∠（已知），∴EBC BCF ∠= ∠（等量减等量差相等） ∴BE CF ∥（内错角相等，两直线平行）⑵ ∵AB CD ∥（已知），∴ABC BCD ∠= ∠（两直线平行，内错角相等） 又BE CF ∥（已知），∴EBCBCF ∠= ∠（两直线平行，内错角相等） ∴12∠=∠（等量减等量差相等）习题3． 如图，A B C ，，和D E F ，，分别在同一直线上，AF 分别交CE ，BD 于点G ，H ．已知H BCG FE D A习题4． 如图，在折线ABCDEFG 中，已知∠1=∠2=∠3=∠4=∠5，延长AB GF 、交于点M ．试探索AMG ∠与3∠的关系，并说明理由．M5G4321DCFEBA【解析】3AMG ∠= ∠．理由：∵12∠=∠，∴AB CD ∥（内错角相等，两直线平行）． ∵34∠= ∠，∴CD EF ∥（内错角相等，两直线平行）． ∴AB EF又53习题5． （十二届希望杯）如图所示，AB ED ∥，A E α=∠+∠，B C D β=∠+∠+∠，证明：2βα=．DCEBA21D CFEBA21DCFEBA【解析】证法l ：因为AB ED ∥，所以180A E α=∠+∠=°．（两直线平行，同旁内角互补）过C 作CF AB ∥．由AB ED ∥，得CF ED ∥ （平行于同一条直线的两条直线平行） 因为CF AB ∥，有1B ∠= ∠ （两直线平行，内错角相等） 又CF ED ∥，有2D ∠= ∠，（两直线平行，内错角相等）所以12360B C D BCD β=∠+∠+∠=∠+∠+∠=° （周角定义）所以2βα=（等量代换）证法2：由AB ED ∥，得180A E α=∠+∠=°．（两直线平行，同旁内角互补）过C 作CF AB ∥（如图）． 由AB ED ∥，得CF ED ∥．（平行于同一条直线的两条直线平行）因为CF AB ∥，所以1180B ∠+∠=（两直线平行，同旁内角互补）， 又CF ED ∥，所以2180D ∠+∠=（两直线平行，同旁内角互补） 所以(12)(1)(2)360BCD B D B D β=∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠=°所以2βα=（等量代换）． 习题6． 如图，已知：AB CD ∥，ABFDCE ∠=∠，求证：BFE FEC ∠=∠ FEDCBA4321ABC DEF 习题7． 如图，AB DE ∥，70ABC ∠=，147CDE ∠= °，求C ∠的度数． 147°70°ED CB AF147°70°E DCBA∴CF DE∥∴18018014733DCF CDE ∴703337BCD BCF DCF ∠=∠−∠=°−°=°．练习1． （2012年第23届“希望杯”初一决赛试题）下面四个命题：① 若两个角是同旁内角，则这两个角互补② 若两个角互补，则这两个角是同旁内角③ 若两个角不是同旁内角，则这两个角不互补④ 若两个角不互补，则这两个角不是同旁内角其中错误的命题个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】D练习2． 如图，已知AB CD ∥，CE 平分ACD ∠，且交AB 于E ，118A ∠=°，则AEC ∠=________． E BC DA 【解析】∵AB CD练习3． 如图，∵3E ∠=∠（已知），12∠=∠（已知） 又∵∠________=∠________（ ）∴∠________=∠________（ ）∴AB CE ∥（ ）【解析】2；3；对顶角相等；1；E ；等量代换；内错角相等，两直线平行． 练习4． 如图，AD 是ABC △的角平分线，2BAC B ∠=∠，DE BA ∥．试探究B ∠与ADE ∠有何关系？并对你的结论加以说明．补充练习12图F 3E D AAB C D E【解析】 B ADE ∠= ∠，证明略．练习5． 已知，如图所示，AB DE ∥,116D ∠=°，93DCB ∠，求B ∠的度数． E D C B A FED C BA 【解析】过点C 作直线CF AB ∥，因为AB DE ∥,所以AB DE CF ∥∥，练习6． 如图所示，两直线AB CD 、平行，则123456∠+∠+∠+∠+∠+∠=（）A ．630° B ．720° C ．800° D ．900°65HG4321DC FE BA 【解析】分别过E F G H ，，，点做AB 的平行线，再求各个角度的和．选D。
初一平行线的判定及性质
平行线的判定及性质一、知识概述1、在“三线八角”中，同位角、内错角、同旁内角的识别角的名称位置特征图形结构特征同位角在截线同侧在被截线同一方形如字母“F”(或倒置)内错角在截线两侧(交错)夹在两条被截线之间形如字母“Z”(或反置)同旁内角在截线同侧夹在两条被截线之间形如字母“U”2、平行线的判定方法平行线的判定定理：定理1：同位角相等，两直线平行．定理2：内错角相等，两直线平行．定理3：同旁内角互补，两直线平行．另外：1、平行于同一直线的两条直线相互平行（平行线的传递性）2、在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线相互平行（经常出现在图中有3条平行线的题目中）3、平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等性质2：两直线平行，内错角相等性质3：两直线平行，同旁内角互补二、例题讲解例1、如图，直线AB、CD、EF相交，①指出∠3与其它角（带标号的），是什么关系的角；②图中共有多少对同位角、内错角和同旁内角.变式：如图，AB、CD被EF、EG所截，在∠1～∠6的6个角中，同位角、内错角、同旁内角的对数分别是（）A．8、12、8B．8、2、8 C．3、3、2D．12、12、8例2、已知平面内四条直线共有三个交点，则这四条直线中有几条平行？例3、如图，CD⊥AB，EF⊥AB，∠1=∠2，则∠AGD与∠ACB相等吗?请说明理由.解: ∠AGD= ∠ACB.理由如下：∵CD⊥AB，EF⊥AB(已知)，∴∠EFB=∠CDF=90°(垂直的意义)，∴CD//EF( )∴∠2=( ) ( )∵∠1= ∠2(已知).∴∠1= ∠BCD( )∴DG//BC( )∴∠AGD= ∠ACB( )例4、如图，已知∠B=110°∠BCG=110°∠BCD=150°∠D=100°，求证：DE∥AB 证明：∵∠B=∠BCG=110°（）∴AB∥FG（）∴∠BCF+ ∠B =180°（）即∠BCF= 180°—∠B = 180°—110°= 70°∵∠BCD=150°∴∠FCD= ∠BCD—∠BCF= 150°—70°= 80°又∵∠D=100°∴（∠＋∠）=100°＋80°=180°∴FG∥ED（）∴AB∥ED（）变式1：如图，已知∠1＋∠2=∠APC，试说明AB∥CD的理由．变式2：如下图，已知∠ABE +∠DEB = 180°，∠1 =∠2，求证：∠F =∠G．课外拓展：例1、如图，B 处在A 处的南偏西450方向，C 处在B 处的北偏东800方向.（1）求∠ABC.（2）要使CD ∥AB ，D 处应在C 处的什么方向？例2、在小学我们就知道“三角形三个内角的和等于1800”，现在你能用学过的知识说明理由吗？例3、如图(1)，线段AB//CD ，点P 是AB 、CD 间的－个点． (1)试判断∠A 、∠C 与∠APC 的数量关系；(2)如果点P 移动到线段AC 的左侧，那你发现的上述结论还成立吗?说明理由；(3)如果点P 移到两平行线的同侧，那么你发现的上述结论还成立吗?说明理由．12ACB FG E DAB 北 南DABC练习：1、如图1，已知直线a∥b,c∥d，∠1=115°，则∠2=_____，∠3=_____.2、如图2，∠1=82°，∠2=98°，∠3=80°,则∠4的度数为_____.3、如图3，已知AB∥CD，∠1=100°，∠2=120°，则∠α=_____.图1 图2 图34、如图，AB∥CD，AD∥BC，则图中与∠A相等的角有_____个.5、如图，标有角号的7个角中共有_____对内错角，_____对同位角，_____对同旁内角.6、下列结论中，正确的个数是多少个（）（1）在同一平面内不相交的两条线段必平行；（2）在同一平面内不相交的两条直线必平行；（3）在同一平面内不平行的两条线段必相交；（4）在同一平面内不平行的两条直线必相交．A．1 B．2 C．3 D．4 7、如图，下列能判定AB∥CD的条件有（）个．（1）∠B+∠BCD=180°；（2）∠1=∠2；（3）∠3=∠4；（4）∠B=∠5．A、1B、2C、3D、48、下列四个图中若∠1=∠2，能够判定AB∥CD的是（）A ．B ．C ．D ．9、如图15，CD平分∠ACB，DE∥BC，∠AED=80°，求∠EDC的度数.10、如图已知∠B=25°，∠BCD=45°，∠CDE=30°，∠E=10°．试证AB∥EF．。
人教版七年级数学下平行线的性质及其判定定理
平行线的性质一、平行线的概念：注意：（1）在平行线的定义中，“在同一平面内”是个重要前提；（2）必须是两条直线；（3）同一平面内两条直线的位置关系是：相交或平行，互相重合的直线视为同一条直线。
进行分类的。
2. 平行线的表示方法平行用“∥”表示，直线AB 与直线CD 平行，记作AB ∥CD ，读作AB 平行于CD 。
3. 平行线的画法4. 平行线的基本性质（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。
（2）平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行。
二、“三线八角”两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图所示。
（1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线l 的同一侧，直线a 、b 的同一方，这样位置的一对角就是同位角。
图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。
（2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线l 的两旁，直线a 、b 的两方，这样位置的一对角就是内错角。
图中的内错角还有∠4与∠6。
（3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线l 的同一侧，直线a 、b 的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。
图中的同旁内角还有∠3与∠6。
例1. 判断下列语句是否正确，如果是错误的，说明理由。
（1）过直线外一点画直线的垂线，垂线的长度叫做这个点到这条直线的距离；（2）从直线外一点到直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离；（3）两条直线相交，若有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直；（4）两条直线的位置关系只有相交和平行两种情况。
例2. 如下图所示，直线DE 、BC 被直线AB 所截，请把下面的角分类。
AD12 3E4 B C l 2 3 6 45 1 2 l 1l 3例2 例3例3 如图（1）21∠∠与是两条直线____与___被第三条直线___所截构成的__角。
（2）31∠∠与是两条直线____与______被第三条直线____所截构成的____角。
初中数学 平行线的判定定理有哪些
初中数学平行线的判定定理有哪些平行线的判定定理是初中数学中的一个重要概念，用于判断两条直线是否平行。
在本文中，我将详细介绍平行线的判定定理，包括定义、相关定理以及实际应用。
同时，我还会提供一些示例和习题，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
1. 同位角定理：如果两条直线被一条横截线所切，且同位角相等，则这两条直线是平行线。
即如果两条直线l和m被一条直线n所切，且∠A=∠B，则l||m。
2. 平行线的性质：如果两条直线l和m都与第三条直线n平行，那么l和m也是平行线。
即如果l||n且m||n，则l||m。
3. 垂直定理的逆定理：如果两条直线l和m在同一个平面内，且l和m的任意一条垂线相互垂直，则l||m。
即如果l∠n且m∠n，则l||m。
4. 对顶角定理：如果两条直线l和m被一条横截线所切，且对顶角相等，则这两条直线是平行线。
即如果两条直线l和m被一条直线n所切，且∠A=∠C，则l||m。
5. 平行线的传递性：如果直线l||m，且直线m||n，那么直线l||n。
即如果l||m且m||n，则l||n。
6. 锐角等于直角的定理：如果两条直线l和m在同一个平面内，且l和m的任意一条垂线与另一条直线的某一角度相等，则l||m。
即如果l∠n且∠A=90°，则l||m。
7. 平行线的平行线定理：如果两条直线l和m被同一条直线n所切，且其中一条直线与n 的某一角度为锐角，另一条直线与n的某一角度为钝角，则l||m。
8. 平行线的交角定理：如果两条直线l和m被同一条直线n所切，且其中一条直线与n的某一角度为锐角，另一条直线与n的某一角度为钝角，则l与m不平行。
9. 平行线的平行截线定理：如果两条直线l和m被同一条直线n所切，且直线l与n的交点A与直线m与n的交点B之间的线段AB与直线n的某一条垂线相交于点C，则直线l和直线m平行。
以上是一些常见的平行线的判定定理，可以根据不同的条件来判断两条直线是否平行。
人教版七年级数学下册5-2平行线的性质和判定
平行线的性质和判定1，平行线的概念及公理一般地，在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.记作“a∥b”平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行2，平行线的判定两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行。
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行。
在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行.简记为：在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行.3，平行线的性质两直线平行，同位角相等。
两直线平行，内错角相等。
两直线平行，同旁内角互补。
同时垂直于两条平行直线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度相等，叫做这两条平行线间的距离，即平行线间的距离处处相等4，命题及定理判断一件事情的语句，叫做命题。
从长期的实践活动中总结出来的正确命题叫做公理。
通过正确的推理得出的真命题叫做定理.例1.下列说法中，错误的有（）．①若a与c相交，b与c相交，则a与b相交;②若a∥b，b∥c，那么a∥c;③过一点有且只有一条直线与已知直线平行;④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、•相交、垂线三种A．3个 B．2个 C．1个 D．0个例2．如图所示，若∠1=∠2，则_____∥______，根据是__ ____．若∠1=∠3，则______∥______，根据是_____ ____．例3．根据图3完成下列填空（括号内填写定理或公理） A D（1）∵∠1=∠4（已知）∴∥（）（2）∵∠ABC +∠ =180°（已知） B ∴AB∥CD（）（3）∵∠ =∠（已知）∴AD∥BC（）（4）∵∠5=∠（已知）∴AB∥CD（）例4．下列命题中，是真命题的是（）A．相等的两个角是对顶角C12345B ．有公共顶点的两个角是对顶角C ．一条直线只有一条垂线D ．过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线例5．把命题“直角都相等”改写为“如果…，那么…”的形式是______________________．分析：将命题改写为“如果…，那么…”的形式，如果后面是题设，那么后面是结论。
(完整版)七年级数学_平行线的性质与判定的证明_练习题及答案
平行线的性质与判定的证明练习题温故而知新可以为师以：重点1.平行线的性质(1)两直线平行，同位角相等；(2)两直线平行，内错角相等；(3)两直线平行，同旁内角互补.2.平行线的判定(1)同位角相等,两直线平行；(2)内错角相至两直线平行；(3)同旁内角互补,两直线平行互补例1 已知如图2-2 , AB// CD// EF,点M, N, P分别在AB, CD, EF上，NQ 平分/ MNP. (1) 若/AMN=60° , ZEPN=80° ,分别求/MNP, / DNQ 的度数;(2)探求/DNQ与/AMN, /EPN的数量关系.解析：根据两直线平行，内错角相等及角平分线定义求解(标注/ MND= /AMN , /DNP=/EPN)答案：(标注/ MND= / AMN=60 ° ,/DNP=/EPN=80° )解：(1) V AB// CD// EF,・・./MND= /AMN=60 ° ,/DNP=/EPN=80° ,Z MNP= Z MND+ Z DNP=60 +80 =140 0 ,又NQ平分/ MNP,Z MNQ= 1Z MNP= 1 X140 =70 0 , 2 2・./DNQ=/MNQ- /MND=70 -60 =10 ° ,・••/MNP, / DNQ 的度数分别为140° ,10°.fT一步)(2)(标注 / MND= /AMN, / DNP= / EPN)由(1)得/ MNP= ZMND+ /DNP= /AMN+ / EPN,・./MNQ= 1 /MNP」(/AMN+/EPN), 2 2・./DNQ= / MNQ- /MND1, ， ___ _ ,=-(/AMN+/EPN) - /AMN21 ,，一 , 、=一(/ EPN-ZAMN), 2即2/DNQ= / EPN-/AMN.小结：在我们完成涉及平行线性质的相关问题时，注意实现同位角、内错角、同旁内角之间的角度转换，即同位角相等，内错角相等，同旁内角互补例2 如图，/ AGD=/ACB,CD，AB,E口AB,证明：/ 1 = / 2.解析：(标注：/ 1 = /2=/DCB, DG//BC, CD//ER答案：(标注：/ 1 = /2=/DCB)证明：因为/ AGD=/ACB,所以DG // BC,所以/ 1 = / DCB,又因为CD±AB,EF^AB,所以CD// EF,所以/ 2=/ DCB,所以/ 1 = /2.小结：在完成证明的问题时，我们可以由角的关系可以得到直线之间的关系，由直线之间的关系也可得到角的关系.例3 (1)已知：如图2-4 ①，直线AB//ED,求证：/ABC+/CDE=/ BCD;(2)当点C位于如图2-4②所示时，/ABC, /CDE与/ BCD存在什么等量关系？并证明.图①图⑵(1)解析：动画过点C作CF//AB由平行线性质找到角的关系.(标注/1=/ABC, /2=/CDE)£口答案：证明：如图，过点C作CF// AB,•.直线AB// ED,••.AB// CF// DE,•./ 1=/ABC, /2= /CDE.ZBCD= Z1+Z2,•./ABC+/CDE=/ BCD;(2)解析：动画过点C作CF//AB,由平行线性质找到角的关系.图2解析：动画过点B作BD // AE,答案：解：过点B 作BD//AE,=AE〃CF,・.AE//BD//CF, . ./A=/1, /2+/C=180° ・•/A=120° , /+/2=/ABC=150° ,・・/2=30 ° , ZC=180 -30 =150° .小结：把关于角度的问题转化为平行线问题，利用平行线的性质与判定予以解答举一反三：1.如图2-9 , FG// HI,则/ x的度数为（）A.600B. 72°C. 90°D. 100°解析：/ AEG=180°-120 °=60°,由外凸角和等于内凹角和有60 +30 +30 0次+48 ° ,解彳取=72答案:B.2.已知如图所示，AB//EF// CD, EG 平分/BEF, / B+/BED+/D=192 ° , zB-/ D=24 /GEF的度数.解析：解:「AB // EF// CD, . B= / BEF/ DEF=/D.,• / B+ / BED+Z D=192 °, 即 / B+ / BEF+Z DEF+ / D=192 • .2(/B+/ D)=192 °, 即/ B+ZD=96 °./ B- Z D=24 °,・./ B=60 °,即/ BEF=60 °.••• EG 平分/ BEF,GEF=1 / BEF=30。
人教版数学七年级下册 5.2.2 平行线的判定 课件
为什么？
解：直线与平行. 理由如下：
∵∠1 + ∠ = 180°， ∠1 + ∠ = 180°，
∴∠ = ∠.
∵∠ = ∠，
∴∠ = ∠.
∴∥（同位角相等，两直线平行）.
【例题2】如图，∠ + ∠ = 180°，∠ = ∠，试说明∥.
∥
∥
∥
∠ + ∠ = ∠
∠ = ∠ − ∠
∠ = ∠
∠ = ∠ − ∠ = ∠
【例题3】如图，∠ + ∠ = ∠，试说明∥.
解： 如图，作∠ = ∠.
∵∠ = ∠
∴∥.
又∵∠ + ∠ = ∠，
解： ∵∠1=∠2， ∴AB∥CD．
∵∠3+∠4=180°，∴CD∥EF，
∴AB∥EF．
3.如图，B、A、E三点在同一直线上，请你添加一个条件，使AD∥BC．你
∠EAD=∠B或∠DAC=∠C或∠DAB+∠B=180°
所添加的条件是___________________________________________（不允许添加
任何辅助线）．
4.如图，下列条件不能判断直线a∥b的是( D
).
A. ∠1=∠4 B. ∠3=∠5 C. ∠2+∠5=180° D. ∠2+∠4=180°
平行线的判定方法
1. 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
2. 同位角相等，两直线平行.
3. 内错角相等，两直线平行.
4. 同旁内角互补，两直线平行.
∠1 = ∠2
∥
判定方法2
线平行.
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直
人教版数学七年级下册 第2讲 平行线的判定和性质
平行线的判定和性质知识互联网平行的定义、性质及判定平行公理及推论基本模型中平行线的证明课堂思维碰撞题型一：平行线的定义、性质及判定思路导航典例精讲题型一例1.下列说法正确的是（）A.两条直线不平行则相交B.在同一个平面内，没有公共点的两条射线必平行C.在同一个平面内，若两条线段平行，它们不相交D.在同一个平面内，若两条线段没有公共点，则它们平行故选C题点精练1．在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是( )A．平行B．相交 C．平行或相交D．平行、相交或垂直故选C2.下列说法正确的是( )A．同一平面内没有公共点的两条线段平行B．两条不相交的直线是平行线C．同一平面内没有公共点的两条直线平行D．同一平面内没有公共点的两条射线平行故选C题型二平行线画法：①一落：把三角板的一边落在已知直线上②二靠：紧靠三角板的另一边放直尺③三移：沿直尺移动三角板，使得原来落在已知直线上的那一边过已知点④四画：沿原来落在已知直线上的那一边画直线例2.在如图所示的各图形中，过点M 画PQ ∥AB .题点精练3. 如图，(1)过BC 上一点P 画AB 的平行线交AC 于T ；(2)过点C 画MN ∥AB ；4.画图：(1)利用图①中的网格，过P 点画直线AB 的平行线和垂线；(2)测量∠CPE ，∠EPD ，∠DPF ，CPF 的度数．解：如图①，CD ∥AB ，PQ ⊥AB.（2）∠CPE ＝120°，∠EPD ＝60°，∠DPF ＝120°，∠CPF ＝60°.例3.多选题：下列说法错误的有（ ）A ：不相交的两条直线是平行线．B ：两条直线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．C ：三条直线a 、b 、c ．若a b ∥，b c ∥，则a c ∥；同理，若a b ⊥，b c ⊥，则a c ⊥．D ：已知α∠的两边与β∠的两边平行，若48α∠=°，则48β∠=°．E ：若AB CD ∥，CD EF ∥，则AB EF ∥．理由是等量代换． F ：有公共端点且没有公共边的两个角是对顶角．G ：同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行． 【解析】 A BCDEF提点精练5.下列说法正确的有（）①一条直线的平行线只有一条；②过一点与已知直线平行的直线只有一条；③因为a ∥b ，c ∥d ，所以a ∥d ；④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行A .1个 2.B 个 3.C 个 .D 4个解析：1-43错，4对故选A6.下列说法正确的是()A．两条不相交的直线叫做平行线B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行C．在同一平面内不相交的两条线段互相平行D．在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线【点拨】对平行线定义的理解要抓住三个关键要素：“同一平面内”“不相交”“直线”，本题易错之处在于理解平行线定义时，容易只关注其中一个或两个要素而导致判断错误故选D例4.如图，已知∠1＝∠2，则下列结论正确的是( )A．AD∥BC B．AB∥CDC．AD∥EF D．EF∥BC【点拨】∠1和∠2是直线AD，EF被直线CD所截而形成的同位角，因此由∠1＝∠2可得出AD∥EF.C题点精练7.如图，不添加辅助线，请写出一个能判定EB AC ∥的条件： .8如图，点E 在AC 的延长线上，给出下列条件：① 12∠=∠；② 34∠=∠；③ A DCE ∠=∠； ④ D DCE ∠=∠；⑤ 180A ABD ∠+∠=°； ⑥ 180A ACD ∠+∠=°；⑦ AB CD =. 能说明AC BD ∥的条件有 .故是②②②；9．如图，已知AB ⊥BD 于点B ，CD ⊥BD 于点D ，∠1＝∠2，试问CD 与EF 平行吗？为什么？ 解：CD ∥EF.理由：因为∠1＝∠2(__________)， 所以AB ∥EF(________________________________)． 因为AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，所以AB ∥CD(____________________________________ __________________________)．所以CD ∥EF(____________________________________).第3空 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行10.【2020·金华】如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB 的垂线a 和b ，得到a ∥b.理由是( ) A ．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 B ．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行ABCD E4321EDCBAC ．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已 知直线D ．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行故选B11. 已知：如图，AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，∠1＝∠2，BE 与CF 平行吗？请说明理由．解：BE ∥CF .理由如下：∵AB ⊥BC ，CD ⊥BC (__________________)，∴∠ABC ＝∠BCD ＝________°(垂直的定义)．∵∠1＝∠2(______________)，∴∠EBC ＝∠FCB (______________________)．∴BE ∥CF (______________________________)．解析：已知；已知；90度；等角的余角想等；内错角想等，两直线平行.12.在下面的括号内填上理由．已知：如图，直线NF 与直线HB ，CD 分别交于点E ，F ，直线AM 与直线HB 交于点A ，且∠1＝∠4＝105°，∠2＝75°.试说明：AM ∥NF ，AB ∥CD.解：∵∠2＝∠3(__________)，∠2＝75°(已知)，∴∠3＝75°.∵∠1＝105°(已知)，∴∠MAB＝180°－∠1＝75°.∴∠MAB＝∠3.∴AM∥NF(_____________________________)．∵∠3＝75°，∠4＝105°，∴∠3＋∠4＝180°.∴AB∥CD(______________________________)．解析：对顶角想等；内错角想等两直线平行；同旁内角互补两直线平行13.如图，∠1：∠2：∠3＝2：3：4，∠AFE＝60°，∠BDE＝120°，写出图中平行的直线，并说明理由．解析：解：DE∥AB，EF∥BC.理由：设∠1＝2x°，则∠2＝3x°，∠3＝4x°，∵∠1＋∠2＋∠3＝180°，∴2x°＋3x°＋4x°＝180°，解得x°＝20°.∴∠2＝60°.∵∠AFE＝60°，∴∠AFE＝∠2＝60°.∴DE∥AB.∵∠BDE＝120°，∴∠BDE＋∠2＝120°＋60°＝180°.∴EF∥BC.14．如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，∠1＋∠2＝90°，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．【点拨】利用整体思想，将∠1＋∠2＝90°看成一个整体，求得∠ABD＋∠CDB＝180°，再由同旁内角互补，两直线平行，判断AB∥CD.解：AB∥CD.理由如下：因为B．E平分∠ABD，DE平分∠BDC，∠1＋∠2＝90°，所以∠ABD＋∠BDC＝2∠1＋2∠2＝2(∠1＋∠2)＝180°.所以AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)15.如图，以下四个条件：①∠1＝∠3，②∠2＝∠4，③∠BAD＋∠D＝180°，④∠EAD＝∠B.其中，能够判定AB∥DC的有( )A．①③B．③④C．①②D．②④【点拨】若∠1＝∠3，则AB∥DC；若∠2＝∠4，则AD∥BC；若∠BAD＋∠D＝180°，则AB∥DC；若∠EAD＝∠B，则AD∥BC. 选A题型三：平行线的性质例5.．【2020·铜仁】如图，直线AB∥CD，∠3＝70°，则∠1＝() A．70°B．100°C．110°D．120°故选C例6.【2020·枣庄】一副直角三角尺如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，则∠DBC的度数为( )30A．10°B．15°C．18°D．0【点拨】由题意可得∠EDF＝45°，∠ABC＝30°，∵AB∥CF，∴∠ABD＝∠EDF＝45°.∴∠DBC＝45°－30°＝15°.例7.【2019·南通】如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C＝70°，则∠AED的度数为( )A．110°B．125°C ．135°D ．140°解析：【点拨】∵AB ∥CD ，∴∠C ＋∠CAB ＝180°.∵∠C ＝70°，∴∠CAB ＝110°.∵AE 平分∠CAB ，∴∠BAE ＝12∠CAB ＝55°.又∵AB ∥CD ，∴∠AED ＝180°－∠BAE ＝180°－55°＝125°.16.【中考·重庆B 卷】如图，AB ∥CD ，三角形EFG 的顶点F ，G 分别落在直线AB ，CD 上，GE 交AB 于点H ，GE 平分∠FGD .若∠EFG ＝90°，∠E ＝35°，求∠EFB 的度数．解：∵在三角形EFG 中，∠EFG ＝90°，∠E ＝35°，∴∠EGF ＝180°－90°－35°＝55°.∵GE 平分∠FGD ，∴∠EGF ＝∠EGD ＝55°.∵AB ∥CD ，∴∠EHB ＝∠EGD ＝55°.又∵∠EHB ＝180°－∠AHE ＝∠EFB ＋∠E ，∴∠EFB＝∠EHB－∠E＝55°－35°＝20°.17.如图，已知AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠E＝∠3.AD是∠BAC的平分线吗？若是，请说明理由．解：AD是∠BAC的平分线．理由如下：∵AD⊥BC，EG⊥BC，∴EG∥AD.∴∠3＝∠1，∠E＝∠2.又∵∠E＝∠3，∴∠1＝∠2，即AD是∠BAC的平分线．18.如图，已知AB∥CD，EF⊥AB于点O，∠FGC＝125°，求∠EFG的度数．下面提供三种思路：(1)过点F作FH∥AB；(2)延长OF交CD于点M；(3)延长GF交AB于点K.请你利用三种思路中的两种思路，将图形补充完整，并求∠EFG的度数．解：利用思路(1)．过点F作FH∥AB，如图①.∵EF⊥AB，∴∠BOF＝90°.∵FH∥AB，∴∠HFO＝∠BOF＝90°.∵AB∥CD，∴FH∥CD，∴∠FGC＋∠GFH＝180°.∵∠FGC＝125°，∴∠GFH＝55°，∴∠EFG＝∠GFH＋∠HFO＝55°＋90°＝145°.题型四例7.已知：如图∥AB CD ,点E 为其内部任意一点，求证：BED B D ∠=∠+∠．解析：过点E 作∥EF AB ,∵∥EF AB ,∥AB CD （已知）∴∥EF CD （平行于同一条直线的两直线平行） ∵∥EF AB ,（已知）∴B BEF ∠=∠（两直线平行，内错角相等）∵∥EF CD ,（已知）∴D DEF ∠=∠（两直线平行，内错角相等） ∵BED BEF DEF ∠=∠+∠ ∴BED B D ∠=∠+∠（等量代换）例8.如图，已知AB DE ∥，80ABC ∠=︒，140CDE ∠=︒，求BCD ∠的度数．FABC D EE DBAA BCDEEDCBA321 BbC DM ca解析：过点C 作CF AB ∥．∵AB DE ∥且CF AB ∥（已知）∴CF AB DE ∥∥（平行于同一条直线的两直线平行） ∵AB CF ∥且80ABC ∠=︒（已知）∴80BCF ABC ∠=∠=︒（两直线平行，内错角相等） ∵DE CF ∥且140CDE ∠=︒（已知）∴180********DCF CDE ∠=︒-∠=︒-︒=︒（两直线平行，同旁内角互补） ∴804040BCD BCF DCF ∠=∠-∠=︒-︒=︒【拓展】如图所示，已知直线a b ∥，直线c 和直线a 、b 交于C 、D 两点，在C 、D之间有一点M ，如果点M 在C 、D 之间运动，问1∠、2∠、3∠之间有怎样的关系？这种关系是否发生变化？试着证明你的结论.解析：2=1+3∠∠∠. 关系不变.提示：过点M 做直线d a ∥.例9.如图，已知3180DCB ∠+∠=，12∠=∠，:4:5CME GEM ∠∠=，求CME ∠的度数．解析：如图延长CM 交直线AB 于点N∵3180DCB ∠+∠=，（已知）3ABC ∠=∠（对顶角相等）∴180ABC DCB ∠+∠=（等量代换）∴AB∥CD，（同旁内角互补，两直线平行）∴14∠=∠（两直线平行，内错角相等）∵12∠=∠，（已知）∴24∠=∠（等量代换）∴GE∥CM，（同位角相等，两直线平行）∴180∠+∠=（两直线平行，同旁内角互补）CME GEM∵:4:5∠∠=，CME GEM∴80∠=CME【点评】通过辅助线将相关角联系起来.题点精练19.【2020·南通】如图，已知AB∥CD，∠A＝54°，∠E＝18°，则∠C的度数是（）A．36°B．34°C．32°D．30°【点拨】如图，过点E作EF∥AB，则EF∥CD.∵EF∥AB，∴∠AEF＝∠A＝54°.∴∠CEF＝∠AEF－∠AEC＝54°－18°＝36°.又∵EF∥CD，∴∠C＝∠CEF＝36°.20.【2020·常德】如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（）A．70°B．65°C．35°D．5°【点拨】如图，作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE.∴AB∥CF∥DE.∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2.∵∠1＝30°，∠2＝35°，∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°.∴∠BCE＝65°.21.如图，A ，B 两岛位于东西方向的一条水平线上，C 岛在A 岛的北偏东50°方向，C 岛在B 岛的北偏西40°方向，求∠ACB 的度数．解：如图，过点A ，C ，B 分别画出南北方向的方向线，由题意，得∠EAC ＝50°，∠FBC ＝40°.∵AE ∥DC ∥BF ，∴∠ACD ＝∠EAC ＝50°，∠BCD ＝∠FBC ＝40°.∴∠ACB ＝∠ACD ＋∠BCD ＝50°＋40°＝90°.22.阅读下列解题过程，然后解答后面的问题．如图①，已知AB ∥CD ，∠B ＝35°，∠D ＝32°，求∠BED 的度数（1）如图②，已知∠D ＝30°，∠ACD ＝65°，为了保证AB ∥DE ，∠A 应多大？（2）如图③，要使GP ∥HQ ，则∠G ，∠GFH ，∠H 之间有什么关系？解：如图①，过点E作EF∥AB.则AB∥CD∥EF.因为AB∥EF，所以∠1＝∠B＝35°.因为CD∥EF，所以∠2＝∠D＝32°.所以∠BED＝∠1＋∠2＝35°＋32°＝67°.如图②③是明明设计的智力拼图玩具的一部分，现在明明遇到两个问题，请你帮他解决．解：如图①，过点C作CF∥DE，则∠2＝∠D＝30°.因为∠ACD＝65°，即∠1＋∠2＝65°，所以∠1＝65°－∠2＝65°－30°＝35°.因为AB∥DE，CF∥DE，所以AB∥CF，所以∠A＝∠1＝35°.解：如图②，过点F作FI∥GP，则∠G＋∠1＝180°.因为GP∥HQ，FI∥GP，所以HQ∥FI.所以∠2＋∠H＝180°，所以∠G＋∠1＋∠2＋∠H＝360°，即∠G＋∠GFH＋∠H＝360°.23.如图，AB∥CD，BN，DN分别平分∠ABM，∠MDC，则∠BMD与∠N之间的数量关系如何？请说明理由．解：∠BMD ＝2∠N .理由如下：如图，过点M 作ME ∥AB ，则∠ABM ＝∠BME .∵AB ∥CD ，ME ∥AB ，∴ME ∥CD .∴∠CDM ＝∠DME .∴∠ABM ＋∠CDM ＝∠BME ＋∠DME ＝∠BMD .同理∠N ＝∠ABN ＋∠CDN .∵BN ，DN 分别平分∠ABM ，∠MDC ，∴∠ABM ＝2∠ABN ，∠CDM ＝2∠CDN .∴∠ABM ＋∠CDM ＝2∠ABN ＋2∠CDN .∴∠BMD ＝2∠N .24.【2020·武汉】如图，直线EF 分别与直线AB ，CD 相交于点E ，F .EM 平分∠BEF ，FN 平分∠CFE ，且EM ∥FN .求证：AB ∥CD .证明：∵EM ∥FN ，∴∠FEM ＝∠EFN .又∵EM 平分∠BEF ，FN 平分∠CFE ， ∴∠FEB ＝∠EFC .∴AB ∥CD .25. 如图，已知∠ABC ，请你再画一个∠DEF ，使DE ∥AB ，EF ∥BC ，且DE 交BC 边于点P .探究：∠ABC与∠DEF 有怎样的数量关系？并说明理由．解：画图如图①②③④所示．∠ABC 与∠DEF 相等或互补，理由如下：如图①，∵AB ∥DE ，∴∠ABC ＝∠DPC .∵BC ∥EF ，∴∠DEF ＝∠DPC .∴∠ABC ＝∠DEF . 如图②，∵AB ∥DE ，∴∠ABC ＝∠EPC .∵BC ∥EF ，∴∠EPC ＝∠DEF .∴∠ABC ＝∠DEF .如图③，∵AB ∥DE ，∴∠ABC ＝∠BPE .∵BC ∥EF ，∴∠DEF ＋∠BPE ＝180°.∴∠ABC ＋∠DEF ＝180°. 如图④，∵AB ∥DE ，∴∠ABC ＝∠EPC .∵BC ∥EF ，∴∠EPC ＋∠DEF ＝180°.∴∠ABC ＋∠DEF ＝180°. 综上可知，∠ABC 与∠DEF 相等或互补．。
初一上册数学平行线的判定
初一上册数学平行线的判定
一、平行线的定义
在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。
二、平行线的性质
1. 两条平行线被一条直线所截，同位角相等。
2. 两条平行线被一条直线所截，内错角相等。
3. 两条平行线被一条直线所截，同旁内角互补。
三、平行线的判定方法一：同位角相等
如果两直线的同位角相等，则这两条直线平行。
四、平行线的判定方法二：内错角相等
如果两直线的内错角相等，则这两条直线平行。
五、平行线的判定方法三：同旁内角互补
如果两直线的同旁内角互补，则这两条直线平行。
六、平行线的判定方法四：直线被一条横截线所截，同位角相等或内错角相等或同旁内角互补
如果一条直线被另一条横截线所截，同位角相等或内错角相等或同旁内角互补，则这两条直线平行。
七、平行线的判定方法五：直线被两条平行线所截，对应角相等
如果一条直线被两条平行线所截，对应的同位角或内错角相等，则这两条直线平行。
八、平行线的判定方法六：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
过直线外一点，只能画出一条与给定直线平行的直线。
九、平行线的判定方法七：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
在同一平面内，如果两条直线都垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行。
十、平行线的判定方法八：若两直线同时与第三条直线平行，则这两条直线也互相平行。
人教版数学第5章平行线的性质与判定及辅助线模型
平行线判定和性质以及四大模型汇总第一部分平行线的判定判定方法l：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简称：同位角相等，两直线平行．判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简称：内错角相等，两直线平行，判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简称：同旁内角互补，两直线平行，如上图：若已知∠1=∠2，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；若已知∠1=∠3，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；若已知∠1+ ∠4= 180°，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．另有平行公理推论也能证明两直线平行：平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．第二部分平行线的性质性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简称：两直线平行，同位角相等性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简称：两直线平行，内错角相等性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简称：两直线平行，同旁内角互补第三部分平行线的四大模型模型一“铅笔”模型点P在EF右侧，在AB、CD内部“铅笔”模型结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°；结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.模型二“猪蹄”模型（M模型）点P在EF左侧，在AB、CD内部“猪蹄”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.模型三“臭脚”模型点P在EF右侧，在AB、CD外部“臭脚”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.模型四“骨折”模型点P在EF左侧，在AB、CD外部“骨折”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.第四部分平行线的四大模型证明（1）已知AE // CF ,求证∠P +∠AEP +∠PFC = 360°.（2）已知∠P=∠AEP+∠CFP，求证AE∥CF．（3）已知AE∥CF，求证∠P=∠AEP-∠CFP.（4）已知∠P= ∠CFP -∠AEP,求证AE //CF.第五部分平行线的四大模型的应用案例1如图，a∥b,M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么∠l+∠2+∠3= ．2如图，AB∥CD，且∠A=25°，∠C=45°，则∠E的度数是．3如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE =140°，则∠BCD= .4如图，射线AC∥BD，∠A= 70°，∠B= 40°，则∠P= ．5如图所示，AB ∥CD ，∠E =37°，∠C = 20°，则∠EAB 的度数为 ．6 如图，AB ∥CD ，∠B =30°，∠O =∠C ．则∠C = .7如图，已知AB ∥DE ，BF 、 DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ，求∠C 、 ∠F 的关系.8如图，已知AB ∥DE ，∠FBC =n 1∠ABF ，∠FDC =n1∠FDE . (1)若n =2,直接写出∠C 、∠F 的关系 ； (2)若n =3，试探宄∠C 、∠F 的关系；(3)直接写出∠C 、∠F 的关系 （用含n 的等式表示）.9如图，已知AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ．求证：∠E = 2 (∠A +∠C ) .10如图，己知AB∥DE，BF、DF分别平分∠ABC、∠CDE，求∠C、∠F的关系.11如图，∠3==∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D= 180°．12如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠l+∠2= 90°，M、N分别是BA、CD的延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线相交于点F则∠F的度数为（）．A. 120°B. 135°C. 145°D. 150°133如图，直线AB∥CD，∠EF A= 30°，∠FGH= 90°，∠HMN=30°，∠CNP= 50°，则∠GHM= .14如图，直线AB∥CD，∠EFG =100°，∠FGH =140°，则∠AEF+ ∠CHG= .15 已知∠B =25°，∠BCD=45°，∠CDE =30°，∠E=l0°，求证：AB∥EF．16已知AB∥EF，求∠l-∠2+∠3+∠4的度数.17如图(l )，已知MA 1∥NA n ，探索∠A 1、∠A 2、…、∠A n ，∠B 1、∠B 2…∠B n -1之间的 关系．(2)如图(2)，己知MA 1∥NA 4，探索∠A 1、∠A 2、∠A 3、∠A 4，∠B 1、∠B 2之间的关系． (3)如图(3)，已知MA 1∥NA n ，探索∠A 1、∠A 2、…、∠A n 之间的关系．如图所示，两直线AB ∥CD 平行，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6．18如图1，直线AB ∥CD ，P 是截线MN 上的一点，MN 与CD 、AB 分别交于E 、F ． (1) 若∠EFB =55°，∠EDP = 30°，求∠MPD 的度数；(2) 当点P 在线段EF 上运动时，∠CPD 与∠ABP 的平分线交于Q ,问：DPBQ∠∠是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，说明其范围；(3) 当点P 在线段EF 的延长线上运动时，∠CDP 与∠ABP 的平分线交于Q ，问DPBQ∠∠的值足否定值，请在图2中将图形补充完整并说明理由．第六部分 平行线的四大模型实战演练1.如图，AB // CD // EF , EH ⊥CD 于H ,则∠BAC +∠ACE +∠CEH 等于( ).A . 180°B . 270°C . 360°D . 450° 2 若AB ∥CD ，∠CDF =32∠CDE ，∠ABF =32∠ABE ，则∠E ：∠F =( )．A ．2:1B ．3:1C ．4:3D ．3:23.如图3，己知AE ∥BD ，∠1=130°，∠2=30°，则∠C = .4.如图，已知直线AB ∥CD ，∠C =115°，∠A = 25°，则∠E = ．5． 6． 7．8．如阁所示，AB∥CD，∠l=l l0°，∠2=120°，则∠α= .9．如图所示，AB∥DF，∠D =116°，∠DCB=93°，则∠B= .10．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b.∠1=50°，∠2 =60°，则∠3的度数为 .11．如图，AB∥CD，EP⊥FP, 已知∠1=30°，∠2=20°．则∠F的度数为．9.如图，若AB∥CD，∠BEF=70°，求∠B+∠F+∠C的度数.10．已知，直线AB∥CD．(1)如图l，∠A、∠C、∠AEC之间有什么关系？请说明理由；（2）如图2，∠AEF、∠EFC、∠FCD之间有什么关系？请说明理由；(3)如图3，∠A、∠E、∠F、∠G、∠H、∠O、∠C之间的关是.第七部分平行线的性质和判定综合应用1．如图，直线AB∥EF，点C是直线AB上一点，点D是直线AB外一点，若∠BCD ＝95°，∠CDE＝25°，则∠DEF的度数是（）A．110°B．115°C．120°D．125°2．如图，将一副直角三角板按图中所示位置摆放，保持两条斜边互相平行，则∠1＝（）A．30°B．25°C．20°D．15°3．如图，AE∥BF，∠1＝110°，∠2＝130°，求∠3的度数为（）4．如图，∠B+∠C＝180°，∠A＝50°，∠D＝40°，则∠AED＝．5．如图，如果∠C＝70°，∠B＝135°，∠D＝110°，那么∠1+∠2＝6．如图，AB∥CD，求∠1+∠2+∠3+∠4＝7．如图，AB∥CD，试找出∠B、∠C、∠BEC三者之间的数量关系．8．如图，三角形ABC中，点E为BC上一点（1）作图：过点E作EM∥AC交AB于M，过点E作EN∥AB交AC于N；（2）求∠A+∠B+∠C的度数，写出推理过程．9．如图，AB∥CD，BE平分∠ABF，DE平分∠CDF，∠BFD＝120°，求∠BED．10．如图，AC∥BD．（1）作图，过点B作BM∥AP交AC于M；（2）求证：∠PBD﹣∠P AC＝∠P．11．如图，AB∥CD，∠B＝∠C，求证：BE∥CF．12．如图①，木杆EB与FC平行，木杆的两端B，C用一橡皮筋连接，现将图①中的橡皮筋拉成下列各图②③的形状，请问∠A、∠B、∠C之间的数量关系?。
初中数学平行线的性质及判定知识点
初中数学平行线的性质及判定知识点学校数学平行线的性质及判定学问点1平行线的性质及判定平行线的性质：性质1：两直线平行，同位角相等。
性质2：两直线平行，内错角相等。
性质3：两直线平行，同旁内角互补。
平行线的判定：判定1：同位角相等，两直线平行。
判定2：内错角相等，两直线平行。
判定3：同旁内角相等，两直线平行。
通过上面对数学中平行线的性质及判定学问点的内容讲解学习，信任同学们已经能很好的把握了吧，盼望同学们会从中学习的更好。
学校数学平行线的性质及判定学问点2相交线1、两条直线相交，有且只有一个交点。
(反之，若两条直线只有一个交点，则这两条直线相交。
)两条直线相交，产生邻补角和对顶角的概念：邻补角：两角共一边，另一边互为反向延长线。
邻补角互补。
要留意区分互为邻补角与互为补角的异同。
对顶角：两角共顶点，一角两边分别为另一角两边的反向延长线。
对顶角相等。
注：①、同角或等角的余角相等;同角或等角的补角相等;等角的对顶角相等。
反过来亦成立。
②、表述邻补角、对顶角时，要留意相对性，即“互为”，要讲清谁是谁的邻补角或对顶角。
例如：推断对错：由于∠ABC +∠DBC = 180°，所以∠DBC是邻补角。
( )相等的两个角互为对顶角。
( )2、垂直是两直线相交的特别状况。
留意：两直线垂直，是相互垂直，即：若线a垂直线b，则线b垂直线a 。
垂足：两条相互垂直的直线的交点叫垂足。
垂直时，肯定要用直角符号表示出来。
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
(注：这一点可以在已知直线上，也可以在已知直线外)3、点到直线的距离。
垂线段：过线外一点，作已知线的垂线，这点到垂足之间的线段叫垂线段。
垂线与垂线段：垂线是一条直线，而垂线段是一条线段，是垂线的一部分。
垂线段最短：连接直线外一点与直线上各点的全部线段中，垂线段最短。
(或说直角三角形中，斜边大于直角边。
)点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫这点到直线的距离。
人教版初一数学 5.3.1 平行线的性质PPT课件
探究新知 两直线平行，内错角相等吗?
探究新知
已知：如图，直线l1//l2，∠1和∠2是直线l1，l2被 直线l3 截出的内错角.
求证：∠1=∠2. 证明：∵l1//l2(已知)， ∴∠1=∠3(两直线平行，同位角相等). 又∵∠2=∠3(对顶角相等)， ∴∠1=∠2(等量代换).
探究新知 两直线平行，同旁内角有什么关系?
课后作业
1.教材第20页 练习第1,2题，第22， 23页习题5.3第2,4,5题. 2.七彩作业.
探究新知
学生活动三【典例精讲】 例 如图，已知平行线AB，CD 被直线AE 所截. (1)从∠1=110°可以知道∠2是多少度吗?为什么? 解：∠2=110°. 理由：两直线平行，内错角相等.
探究新知
例 如图，已知平行线AB，CD 被直线AE 所截. (2)从∠1=110°可以知道∠3是多少度吗?为什么? 解：∠3=110°. 理由：两直线平行，同位角相等.
回顾复习
通过上题可知平行线的判定方法有什么? 1.同位角相等，两直线平行. 2.内错角相等，两直线平行. 3.同旁内角互补，两直线平行.
反过来，如果两条直线平行，那么同位角、内错 角、同旁内角各有什么关系呢?
探究新知
学生活动一【一起探究】 我们知道，同位角相等，两直线平行；反过来，
若两直线平行，同位角会有什么关系?
探究新知
例 如图，已知平行线AB，CD 被直线AE 所截. (3)从∠1=110°可以知道∠4是多少度吗?为什么? 解：∠4=70°. 理由：两直线平行，同旁内角互补.
拓展应用
如图，将一个三角尺的直角顶点放在直尺的一
边上，当∠1＝35°时，∠2的度数为（ C ）
A．35°
B．45°
人教版七年级下数学课件平行线的判定
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拓展点二 平行线的判定方法的综合运用 例2 如图,∠α=∠A,∠β=∠B.证明MN与CD平行.
分析:证明MN∥CD的思路有很多. (1)∠NMD=∠α.(2)∠NMD+∠MDC=180°.(3)∠AMN=∠ADC.(4)平 行公理的推论等.同时一种思路有可能有多种变式.本题根据题目 条件和图形特点,可选择的思路是:由∠A=∠α推出AB∥DC,由 ∠β=∠B推出AB∥MN,最后根据平行公理的推论得到MN∥CD.
教材习题答案
知识点一
知识点二
知识点三
例1 如图,已知∠AED=60°,∠2=30°,EF平分∠AED,可以判断 EF∥BD吗?为什么?
分析:本题可通过证直线EF与BD的内错角∠1和∠2相等,来得出 EF∥BD的结论.
解:EF∥BD.理由如下:
∵∠AED=60°,EF平分∠AED, ∴∠FED=∠1=30°. 又∵∠2=30°, ∴∠1=∠2. ∴EF∥BD(内错角相等,两直线平行).
知识点一
知识点二
知识点三
教材新知精讲
综合知识拓展
教材习题答案
知识点二 平行线的判定方法2 两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线 平行.简单地说,内错角相等,两直线平行. 名师解读 符号语言为:因为∠2=∠3,所以l1∥l2(内错角相等,两直 线平行).
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综合知识拓展
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教材习题答案
5.解:可以根据“同旁内角互补,两直线平行”,分别量出一对同旁内 角,看它们是否互补.也可以在上面画一条截线,利用平行线的判定 方法,测出相应的角度进行判断.
6.解:a∥b,c∥d,e⊥b,e⊥a. 7.解:(1)AB∥CD(同位角相等,两直线平行);(2)AD∥BC(内错角相 等,两直线平行);(3)AD∥EF(同旁内角互补,两直线平行). 8.学生课后独立完成. 9.解:a∥b,d∥e,f∥g,a⊥d,b⊥d,a⊥e,b⊥e,g⊥h,f⊥h. 10.解:通过度量图中的∠2,∠3,∠4,∠5等于90°,都可以说明平安大 街与长安街是互相平行的. 11.解:A1B1∥AB,AA1⊥AB,A1D1⊥C1D1,AD∥BC. 12.∠1=∠3时,a∥b.根据“同位角相等,两直线平行”. ∠2+∠3=180°时,a∥b.根据“同旁内角互补,两直线平行”.
精品人教版初中数学七年级下册平行线的判定和性质精品ppt课件
（ 垂直于同一条直线的两条直线平行 ）
bc
1
2
a
A
C
1．如图，AB，CD被EF所截，AB//CD.
E
2F
按要求填空：
13
B
D
若∠1＝120°，则∠2＝_1＿20__°（ 两直线平行，内错角相等．）；
∠3＝＿1＿80＿°－ ∠1＝＿6＿0 °（ 两直线平行，同旁内角互补．）
AC平分∠DAB？请说明理由？
D
3
C
答： AC平分∠DAB
理由：∵ AB∥CD （ 已知）
1
∴ ∠3=∠2（ 两直线平行）， ）A
2
内错角相等
B
又∵ ∠1= ∠3（ 已知）
∴ ∠2=∠1（ 等量代换）
∴ AC平分∠DAB( 角平分线的定义)
4.已知：如图∠1＝∠2， ∠A＝∠C, 说明：AE∥BC
解：因为∠1＝∠2 （已知） 所以AB//CD （同位角相等，两直线平行） 所以∠3＝∠A
（两直线平行，同位角相等）
因为∠A＝∠C （已知） 所以∠3＝∠C （等量代换）
所以AE∥BC
（内错角相等，两直线平行）
1（2007.温州）如图1，直线a，b被直线c所截，已知a∥b，
∠1=400，则∠2的度数（ C ）
A 450
c B 50 0
1
a
C B1400 14
D 1600 D
23 （1）
2
b
A
3 C
E
（2）
2.（2012.梧州）如图2点E在AC的延长线上，下列条件中能
判断AB∥CD的是 （ C ）
A ∠3= ∠4
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初中数学复习讲学案
姓名： 班级： 学号：
平行线的性质及判定复习课
第一部分 知识梳理
1． 平行线的表示、画法及性质
2． ⎧⎪
⎨⎪⎩
同位角相等，两直线平行两直线平行的条件内错角相等，两直线平行同旁内角互补，两直线平行
3． ⎧⎪
⎨⎪⎩
两直线平行，同位角相等平行线的性质两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补
4.⎧⎨⎩定义
尺规作图步骤
第二部分 例题精讲
考点1.平行线的性质
例1.下列语句：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②若直线ａ∥ｂ，b ∥c ，则ａ∥c ；③在
同一平面内，与已知直线l 平行的直线只有一条；④过两条直线a ，b 外一点P ，可画出直线c ，使c ∥a 且c ∥b,其中不正确的有（ ）
A ．3个
B ．2个
C ．1个
D ．0个
考点2. 平行线判定定理的简单应用
例2. 如图１，若∠A=∠3，则 ∥ ，理由是 若∠2=∠E ，则 ∥ ；理由是
若∠ +∠ = 180°，则 ∥ ；理由是 。
变式训练
1.如图2，写出一个能判定直线ａ∥ｂ的条件： ．
A
B C
E
D
1 2 3 图１
4
3 2 1 5 a
b
1 3
2 A E F
2. 如图所示，若∠1+∠2=180°，∠1=∠3，EF 与GH 平行吗？ 解：∵∠1+∠2=180°（ ） ∴AB ∥_______（ ） 又∵∠1=∠3（ ） ∴∠2+∠________=180°（ ）
∴EF ∥GH （ ）
3.如图，填空并在括号中填理由：
（1）由∠ABD =∠CDB 得 ∥ （ ）； （2）由∠CAD =∠ACB 得 ∥ （ ）； （3）由∠CBA +∠BAD = 180°得 ∥ （ ）
4．如图，推理填空：
（1）∵∠A =∠ （已知）， ∴AC ∥ED （ ）；
（2）∵∠2 =∠ （已知）， ∴AC ∥ED （ ）； （3）∵∠A +∠ = 180°（已知）， ∴AB ∥FD （ ）；
（4）∵∠2 +∠ = 180°（已知）， ∴AC ∥ED （ ）；
考点3. 平行线判定的综合应用（书写过程要完整） 例3．已知：如图⑿，CE 平分∠ACD ，∠1=∠B ，
求证：AB ∥CE
变式训练 1．
已知：如图，
，
，且
. 求证：EC ∥DF.
2． 如图，∠1∶∠2∶∠3 = 2∶3∶4， ∠AFE = 60°，∠BDE =120°， 写出图中平行的直线，并说明理由．
1 2 3
A F C D
B E
一、如图，直线AB 、CD 被EF 所截，∠1 =∠2，∠CNF =∠BME 。
求证：AB ∥CD ，MP ∥NQ ．
二、如图，已知：∠AOE ＋∠BEF ＝180°，∠AOE ＋∠CDE ＝180°，
求证：CD ∥BE 。
拓展练习
5．如图所示，BE 是∠ABD 的平分线，DE 是∠BDC 的平分线，•且∠1+∠2=90°，那么直线AB ，CD 的位置关
系如何？并说明理由．
考点4.添加辅助线说明直线平行
例4.如图，已知=B+D BED ∠∠∠，试说明AB 与CD 的位置关系。
=45=3010CDE E ︒︒=︒，∠，∠，试说明AB ∥EF
F
2 A B C D Q
E 1 P M
N
考点5. 平行线的性质
例5．如图，已知AD∥BE，AC∥DE，12
∠=∠，可推出（1）34
∠=∠；（2）AB∥CD。
填出推理理由。
证明：（1）∵AD∥BE（）
∴35
∠=∠（）
又∵AC∥DE（）
∴54
∠=∠（）
∴34
∠=∠（）
（2）∵AD∥BE（）
∴16
∠=∠（）
又∵12
∠=∠（）
∴26
∠=∠（）
∴AB∥CD（）
变式训练：如图，下列推理所注理由正确的是（）A、∵DE∥BC
∴1C
∠=∠（同位角相等，两直线平行）
B、∵23
∠=∠
∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）
C、∵DE∥BC
∴23
∠=∠（两直线平行，内错角相等）
D、∵1C
∠=∠
∴DE∥BC（两直线平行，同位角相等）
考点6. 添加辅助线运用平行线的性质
例6．如图，已知AB∥CD，求B BED D
∠+∠+∠的度数。
变式训练：1.如图，已知AB∥CD，试说明BED B D
∠=∠+∠
2.已知：如图，AB∥CD，求证：∠BED=∠D-∠B。
6
54
31
2E
D
C
A
3
1
2
B
E
D
C
A
B
E
D C
A
3．已知：如图，AB ∥EF ，∠ABC=∠DEF 。
求证：∠BCD=∠EDC 。
考点7.平行线的判定与性质的综合应用
例7.如图，已知B D ⊥AC ，EF ⊥AC ，D 、F 为垂足，G 是AB 上一点，且∠l=∠2．求证：∠AGD=∠ABC ．
变式训练：1. 已知：如图，12,.:C D A F ∠=∠∠=∠∠=∠求证
2．AB ∥CD ，AE 、DF 分别是∠BAD 、∠CDA 的角平分线，AE 与DF 平行吗？•为什么？
第三部分 过关检测
4
F
B
E
D
C
A
3
12
1. 下列说法:①两条直线平行,同旁内角互补;②同位角相等,两直线平行;•③内错角相 等，两直线平行;④垂直于同一直线的两直线平行,A.① B.②和③ C.④ D.①和④
2. 若两条平行线被第三条直线所截,则一组同位角的平分线互相( ) A.垂直 B.平行 C.重合 D.相交
3. 如图所示,AB ∥CD,则∠A+∠E+∠F+∠C 等于( ) A.180° B.360° C.540° D.720°
4. 如图，下列推理错误的是( ) A.∵∠1＝∠2,∴a ∥b B.∵∠1＝∠3,∴a ∥b C.∵∠3＝∠5,∴c ∥d D.∵∠2＋∠4＝180°,∴c ∥d
7.已知：如图l －2－15，下列条件中，不能判定是直线l 1∥l 2的是（ ） A ．∠1=∠3 B ．∠2=∠3
C ．∠4=∠5
D ．∠2+∠4=180○
8.如图，EB ∥DC ，∠C=∠E ，请你说出∠A=∠ADE 的理由。
9.如图，AD 是∠EAC 的平分线，AD ∥BC ，∠B=30 o
，求∠EAD 、∠DAC 、∠C 的度数。
10.如图l －2－16，直线AD 与AB 、CD 相交于 A 、D 两点，EC 、BF 与AB 、CD 交于点E 、C 、B 、F ，且∠l=∠2，∠B=∠C ，求证：∠A=∠D ．
d c
b a
5
43
21。