数轴上的基本公式

2.1.1数轴上的基本公式教案教师版

§2.1 平面直角坐标系中的基本公式2．1.1 数轴上的基本公式【学习要求】1．理解实数与数轴上的点的对应关系，理解实数运算在数轴上的几何意义．2．掌握数轴上两点间的距离公式．3．掌握数轴上向量加法的坐标运算．4．理解向量相等及零向量的概念．【学法指导】通过数轴上点与实数的一一对应关系拓展到数轴上向量与实数的一一对应关系，从而得到数轴上两点间的距离公式，为研究平面解析几何奠定扎实的基础.填一填：知识要点、记下疑难点1．数轴：一条给出了原点、度量单位和正方向的直线．2．如果点P 与实数x 对应，则称点P 的坐标为 x ，记作 P(x) ．3．向量：位移是一个既有大小又有方向的量，通常叫做位移向量，简称为向量，从点A 到点B 的向量，记作AB →.线段AB 的长叫做向量AB →的长度，记作 |AB →| .4．相等的向量：数轴上同向且等长的向量叫做相等的向量．5．向量的坐标或数量：我们可用实数表示数轴上的一个向量AB →，这个实数叫做向量AB →的坐标或数量，用AB 表示．若O 是原点，点A 的坐标为x 1，点B 的坐标为x 2，则AB ＝OB －OA ，所以AB ＝x 2－x 1.6．数轴上两点AB 间的距离公式为：d(A ，B)＝ |x 2－x 1| .研一研：问题探究、课堂更高效探究点一直线坐标系问题1 数轴是怎样定义的？答：一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或者说在这条直线上建立了直线坐标系．问题2 实数集与数轴上的点有怎样的关系？答：实数集与数轴上的点存在着一一对应的关系．例1 (1)如果点P(x)位于点M(－2)，N(3)之间，求x 的取值范围；(2)试确定点A(x 2＋x ＋1)与B ⎝⎛⎭⎫34的位置关系．解: (1)由题意可得，点M(－2)位于点N(3)的左侧，而P 点位于两点之间，应满足－2<x<3.(2)∵x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34， ∴当x ＝－12时，A 、B 两点重合；当x ≠－12时，x 2＋x ＋1>34，∴A 点位于B 点右侧．综上所述，A 、B 两点重合，或A 点位于B 点右侧．小结: 根据数轴上点与实数的对应关系，数轴上的点自左到右对应的实数依次增大．跟踪训练1 不在数轴上画点，判断下列各组点的位置关系(主要说明哪一个点位于另一个点的右侧)：(1)A(－1.5)，B(－3)； (2)A(a)，B(a 2＋1)； (3)A(|x|)，B(x)．解: (1)∵－1.5>－3， ∴A(－1.5)位于B(－3)的右侧．(2)∵a 2＋1－a ＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34≥34>0， ∴a 2＋1>a ，∴B(a 2＋1)位于A(a)的右侧． (3)当x ≥0时，|x|＝x ，则A(|x|)和B(x)为同一个点．当x<0时，|x|>x ，则A(|x|)位于B(x)的右侧．探究点二数轴上的向量问题1 阅读教材65页～66页，回答什么是向量？如何表示？答:如果数轴上的任意一点A 沿着轴的正向或负向移动到另一点B ，则说点在数轴上作了一次位移，位移是一个既有大小又有方向的量，通常叫做位移向量，简称为向量，从点A 到点B 的向量，记作AB →.问题2 什么是向量的坐标或数量？答:我们可用实数表示数轴上的一个向量AB →，这个实数叫做向量AB →的坐标或数量．问题3 如果把相等的所有向量看作一个整体，作为同一个向量，那么实数与数轴上的向量有什么关系？答: 它们之间是一一对应的．问题4 位移AB →与位移BC →的和是怎样定义的？答: 在数轴上，如果点A 作一次位移到点B ，由点B 再作一次位移到点C ，则位移AC →叫做位移AB →与位移BC →的和．记作AC →＝AB →＋BC →.问题5 对数轴上任意三点A ，B ，C 都具有什么关系？答: AC ＝AB ＋BC.问题6 设AB →是数轴上的任意一个向量，O 为原点，A(x 1)，B(x 2)，那么AB 如何用x 1，x 2表示？答: AB ＝OB －OA ＝x 2－x 1.问题7 数轴上两点AB 的距离公式是怎样的？答: d(A ，B)＝ |AB|＝|x 1－x 2|.例2 已知A 、B 、C 是数轴上任意三点． (1)若AB ＝5，CB ＝3，求AC ； (2)证明：AC ＋CB ＝AB.(1)解: ∵AC ＝AB ＋BC ， ∴AC ＝AB －CB ＝5－3＝2.(2)证明设数轴上A 、B 、C 三点的坐标分别为x A 、x B 、x C ，则AC ＋CB ＝(x C －x A )＋(x B －x C )＝x B －x A ＝AB. ∴AC ＋CB ＝AB.小结: 本题的关键是结合条件联想到AC →可用AB →、BC →两个首尾相连的向量来表示，再运用相反向量的定义将之转化为已知条件，从而解决问题．跟踪训练2 已知数轴上A 、B 两点的坐标分别为x 1＝a ＋b ，x 2＝a －b ，求AB 、BA.解:∵A 点的坐标是x 1＝a ＋b ， B 点的坐标是x 2＝a －b ，∴AB ＝x 2－x 1＝(a －b)－(a ＋b)＝－2b ， BA ＝x 1－x 2＝(a ＋b)－(a －b)＝2b.例3 已知数轴上两点A(a)，B(5)．求：当a 为何值时，(1)两点间距离为5? (2)两点间距离大于5? (3)两点间距离小于3?解: 数轴上两点A 、B 之间的距离为|AB|＝|a －5|.(1)根据题意得|a －5|＝5，可解得a ＝0或a ＝10.(2)根据题意得|a －5|>5，即a －5>5或a －5<－5， ∴a>10或a<0.(3)根据题意得|a －5|<3，即－3<a －5<3， ∴2<a<8.小结: 一个实数的绝对值的几何意义是实数在数轴上的对应点到原点的距离．跟踪训练3 已知M 、N 、P 是数轴上三点，若|MN|＝5，|NP|＝3，求d(M ，P)．解: ∵M 、N 、P 是数轴上三点，|MN|＝5，|NP|＝3，∴(1)当点P 在点M ，N 之间时(如图所示)，d(M ，P)＝|MN|－|NP|＝5－3＝2.(2)当点P 在点M 、N 之外时(如图所示)，d(M ，P)＝|MN|＋|NP|＝5＋3＝8.综上所述，d(M ，P)＝2或d(M ，P)＝8.练一练：当堂检测、目标达成落实处1．不在数轴上画点，确定下列各组点中，哪组中的点C 位于点D 的右侧 ( A )A ．C(－3)和D(－4)B ．C(3)和D(4)C ．C(－4)和D(3)D ．C(－4)和D(－3)2．下列说法正确的个数有 ( )①数轴上的向量的坐标一定是一个实数；②向量的坐标等于向量的长度；③向量AB →与向量BA →的长度一样；④如果数轴上两个向量的坐标相等，那么这两个向量相等．A ．1B ．2C ．3D ．4解析： ①③④是正确的，故选C.课堂小结：1．相等的向量的起点与终点并不一定一致，可以通过平移将所有相等的向量视作同一个向量．因数轴上每一个向量的坐标为一个实数，如果把相等的所有向量看作一个整体，作为同一个向量，则实数与数轴上的向量之间是一一对应的．2．重要结论：①对于数轴上任意三点A ，B ，C 都有AC ＝AB ＋BC ；②AB＝－BA 或AB ＋BA ＝0.3．向量与数量的区别与联系向量是不同于数量的一种新的量．数量只有大小，没有方向，其大小可以用正数、负数或零来表示，它是一个代数量，可以进行各种代数运算；数量之间可以比较大小．向量是既有大小，又有方向的量；由于方向不能比较大小，因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的．4．数轴上的向量的坐标计算公式：AB ＝x B －x A ；数轴上两点的距离公式d(A ，B)＝|AB|＝|x B －x A |.。

2019版高中数学第二章平面直角坐标系中的基本公式2.1.1数轴上的基本公式课件

思路点拨:依据数轴上两点间的距离公式首先判定不等式或方程表示的点集,然后在数轴上表示出来. 解:如图 (1)d(x,2)<1表示到点A(2)的距离小于1的点的集合.所以d(x,2)<1表示线段BC(不包括端点); (2)|x-2|>1表示到点A(2)的距离大于1的点的集合,所以|x-2|>1表示射线BO和射线CD(不包括端点); (3)|x-2|=1表示到点A(2)的距离等于1的点的集合,所以|x-2|=1表示点B(1)和点 C(3).
(C)AB=AO+OB
(D)AB+AO+BO=0
解析:A正确,因为AB=AO+OB=OB-OA; B正确,因为AO+OB+BA=AB+BA=0; C正确,因为AO+OB=AB; D不正确,因为AB+AO+BO不一定为0,故选D.
4.数轴上A、B两点间的距离是5,点A的坐标是1,则点B的坐标是
.
解析:设B点的坐标为x, 则|x-1|=5,所以x=6或-4. 答案:6或-4
类型二数轴上的基本公式的应用【例2】已知数轴上A,B两点的坐标分别为x1=a+b,x2=a-b.求AB,BA,d(A, B),d(B,A).
解:AB=x2-x1=(a-b)-(a+b)=-2b; BA=x1-x2=(a+b)-(a-b)=2b或BA=-AB=2b; d(A,B)=|x2-x1|=2|b|;d(B,A)=|x1-x2|=2|b|.
方法技巧 (1)记住公式,理解符号的含义是解题的关键;(2)明确向量的长度及数量的区别与联系;(3)注意区别:|AB|=d(A,B)=|xB-xA|,AB=xB-xA.
变式训练2-1:已知A,B,C是数轴上任意三点: (1)若AB=5,CB=3,求AC; (2)若A(-2),BC=1,AB=2,求C点的坐标;

高一数学高效课堂资料2.1.1数轴上的基本公式

则|PA|+|PB|≥|AB|=1,则m≤1,即实数m的取值范围是 (-∞,1].
【补偿训练】已知数轴上有点A(-2),B(1), D(3),点C
在直线AB上,且有 AC＝1 .问:在线段DC上是否存在点
BC 2
E,使 d(C，E)＝1 ?若存在,求出点E的坐标;若不存在,
d(E，D) 4
请说明理由.
【自主总结】1.向量与线段的区别与联系
(1)向量AB 与线段AB既有联系又有区别,向量 AB 的起点和终点分别是线段AB的两个端点,向量 AB 的长度等于线段AB的长度,但向量 AB 的两个端点有起点、终点的顺序之分,而线段的两个端点没有顺序,向量既有长
度又有方向,而线段只有长度没有方向.
(2)注意向量、向量的长度,线段、线段的长度的表示的区别,向量记为AB ,向量 AB 的长度记为| AB|,线段记为AB或BA,AB的长度记为|AB|或|BA|.
B.OB=| OB| D.BA=OA-OB
【解析】选B.由于点A在原点的右侧,点B在原点的左侧,可知点A表示的数x1比点B表示的数x2大, 即OA=x1>0,OB=x2<0, 所以OA=|OA |=|x1|=x1, OB=x2≠| OB |=|x2|=-x2, AB=x2-x1=OB-OA,BA=x1-x2=OA-OB.所以选项B不正确.
【解析】AB=x2-x1=(a-b)-(a+b)=-2b,BA=-AB=2b. d(A,B)=|x2-x1|=|-2b|=2|b|,d(B,A)=d(A,B)=2|b|.
【方法技巧】数轴上的基本公式应用思路与方法
(1)已知向量 AB，BC，AC 中的两个的坐标,求另外一个的坐标时,使用AC=AB+BC求解.

2.1.1.数轴上的基本公式
一.直线坐标系定义
数轴: 一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或说在这条直线上建立了直线坐标系。如图：
1、数轴上点的坐标
N P(x）
1
-3
-2
-1
0
2
M
3
x
若点P与实数x对应，则称点P的坐标为 x 记作
数轴上的一点M的坐标为3 记作：
x1
A M(x)
x2 B x
【变式】 :平行四边形的三个顶点坐标分别为
(- 3,0),(2,-2),(5,2).求:第四个顶点D的坐标。
y D (x,y)
M
C(5,2)
A(-3,0)
O
x B(2,-2)
课本：Ｐ７１页，Ａ组题目，Ｂ组１、２
例2. 已知点A（1，2），B（3, 4）， C（5, 0），
求证:△ABC是等腰三角形
证明：
d(A,B)= 8
d(A,C)= 20
d(B,C)= 20 又A,B,C三点不共线，所以△ABC是等腰三角形
【例3】已知 :平行四边形ABCD的三个顶点坐标
A(- 3,0),B(2,-2),C(5,2).求:顶点D的坐标。
2．数轴上两点间的距离公式：
用d(A，B)表示A、B两点间的距离，
则
d(A，B) = AB = |x2－x1|.
3．中点公式已知平面直角坐标系中的两点 A(x1)， B(x2)，点 x1＋x2 M(x)是线段 AB 的中点，则 x＝_______ 2 ，
2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式
1、已知平面上两点A (x1,y1)，B (x2,y2)，A 、B 两点间的距离:
d ( A, B ) AB

高中数学2.1平面直角坐标系中的基本公式2.1.1数轴上的基本公式教案新人教B版必修2

2.1.1 数轴上的基本公式示范教案整体设计教学分析这一小节，在教学上往往被忽视．但一维坐标几何是二维、三维坐标几何的基础．教师一定要下些工夫，让学生牢固掌握．首先复习数轴，建立数轴上的点与实数的一一对应关系．然后引入位移向量的概念，建立直线上的向量与实数的一一对应．以往在平面解析几何中，不引入向量的概念，由有向线段代替．对有向线段，也没有引入运算的概念，这样数轴上的基本计算公式，证明起来比较麻烦．现在高中数学中已引入平面向量知识，如果在数轴上引入向量及其加减运算，学生会更好地理解坐标几何基本公式的推导．也为今后进一步的学习坐标几何打下坚实的基础．值得注意的是本节内容比较容易接受，可以指导学生自学完成，或指定一名具有表现力且成绩优秀的学生给同学们讲解．三维目标1．通过对数轴的复习，理解实数与数轴上点的对应关系，提高学生的应用能力．2．理解实数运算在数轴上的几何意义．掌握用数轴上两点的坐标计算两点距离的公式，掌握数轴上向量加法的坐标运算，提高学生的运算能力，培养数形结合的思想．重点难点教学重点：直线坐标系和数轴上两点间的距离公式应用．教学难点：理解向量的有关概念．课时安排1课时教学过程导入新课设计 1.在初中，我们学习了数轴上两点间的距离公式，今天，我们从向量的角度来分析数轴上两点间的距离公式，教师点出课题．设计 2.从本节开始，我们系统学习坐标系，并利用坐标系解决几何问题，今天我们先学习第二章第一大节的第一小节，教师点出课题．推进新课新知探究提出问题什么叫做数轴？如下图所示，在数轴上，点P 与实数x 的对应法则是什么呢？(2)阅读教材，给出向量的有关概念．(3)相等的向量的坐标相等吗？坐标相等的向量相等吗？(4)试讨论AB →＋BC →.(5)对于数轴上的任意一个向量，怎样用它的起点坐标和终点的坐标来计算它的坐标．(6)写出数轴上两点间的距离公式．讨论结果：(1)给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或者说在这条直线上建立了直线坐标系．点P 与实数x 的对应法则是：在数轴上，点P 与实数x 的对应法则是：如果点P 在原点朝正向的一侧，则x 为正数，且等于点P 到原点的距离；如果点P 在原点朝负向的一侧，则x 为负数，其绝对值等于点P 到原点的距离．原点表示数0.依据这个法则我们就在实数集和数轴上的点之间建立了一一对应关系．即对于数轴上每一个点都有唯一确定的实数与之对应；反之，对于任何一个实数，数轴上也存在一个确定的点与之对应．若点P 与实数x 对应，则称点P 的坐标为x ，记作P(x)．(2)如下图所示．如果数轴上的任意一点A 沿着轴的正向或负向移动到另一点B ，则说点在轴上做了一次位移，点不动则说点做了零位移．位移是一个既有大小又有方向的量，通常叫做位移向量，本书简称为向量．从点A 到点B 的向量，记作AB →，读作向量AB.点A 叫做向量AB →的起点，点B 叫做向量AB→的终点，线段AB 的长叫做向量AB →的长度，记作|AB →|.数轴上同向且等长的向量叫做相等的向量．例如图中的AB →＝BC →.我们可用实数表示数轴上的一个向量．例如上图中的向量AB →，即从点A 沿x 轴的正向移动3个单位到达点B ，可用正数3表示；反之，用－3表示B 为起点A 为终点的向量，3和－3分别叫做向量AB →和BA →的坐标或数量．一般地，轴上向量AB →的坐标是一个实数，实数的绝对值为线段AB 的长度，如果起点指向终点的方向与轴同方向，则这个实数取正数；反之取负数．向量坐标的绝对值等于向量的长度．起点和终点重合的向量是零向量，它没有确定的方向，它的坐标为0. 向量AB →的坐标，在本书中用AB 表示．(3)例如在下图中AB ＝4，BA ＝－4，|AB|＝4，|BA|＝4.显然AB ＝－BA 或AB ＋BA ＝0.容易推断，相等的向量，它们的坐标相等；反之，如果数轴上两个向量的坐标相等，则这两个向量相等．如果把相等的所有向量看作一个整体，作为同一个向量，则实数与数轴上的向量之间是一一对应的．(4)在数轴上，如果点A 做一次位移到点B ，接着由点B 再做一次位移到点C ，则位移AC →叫做位移AB →与位移BC →的和．记作AC →＝AB →＋BC →.。

最新-2021学年高一数学人教B版必修2课件：21平面直角坐标系中的基本公式精品

2, ≥ 0,
向量的长度||=|(-m)-m|=|2m|=
-2, < 0.
反思本题要区分好向量的数量与长度的概念,数量公式中两个坐
标不能颠倒顺序,但长度公式中可以.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【变式训练 1】已知数轴上有两点 A(-2),B(5),则
AB=
,||=
,d(A,B)=
(2,-3).
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
解析法的应用
【例5】已知AO是△ABC的边BC上的中线,求证:
|AB|2+|AC|2=2(|AO|2+|OC|2).
分析：可以建立适当的平面直角坐标系,采用“解析法”,通过计算
证明题中的结论.
证明如图,以BC边的中点为原点,BC所在直线为x轴建立平面直
条直线上建立了直线坐标系.
(2)向量的相关定义.
①位移是一个既有大小又有方向的量,通常叫做位移向量,简称
为向量.
②从点 A 到点 B 的向量,记作.点 A 叫做向量的起点,点 B
叫做向量的终点,线段 AB 的长叫做向量的长度,记作||.
③数轴上同向且等长的向量叫做相等的向量.
1
(1)选择坐标系:坐标系选择是否恰当,直接关系到后面的论证是否
简捷.
原则是:选择坐标系要使得问题所涉及的坐标中尽可能多地出现
零.
为此,常常有以下规律:
①将图形一边所在的直线或定直线作为x轴;
②若为对称图形则取对称轴为x轴或y轴;
③若有直角,则取直角边所在的直线为坐标轴;
④可将图形的一个定点或两个定点连线的中点作为原点.
解(1)∵x1=-1,x2=2,y1=0,y2=3,

2.1.1数轴上的基本公式

3向量的表示方法(一）：
A
B
3 2 1 0 1 2 3 4 x
从点A到点B的向量，记作AB
(1)点A叫做向量AB的起点. (2)点B叫做向量AB的终点.
(3)线段AB的长度叫做向量AB的长度.
记作| AB |
4特殊的向量：
单位向量：长度为1的向量.
零向量：长度为0的向量,它没有确定的方向. (或起点和终点重合的向量.)
记作：AC AB BC
AC AB BC
若：AB 3,BC 4
AC AB BC 7
(1)OB OA AB
AB OB OA
(2)AB BC CD DE __A_E_____
(3)AB BC CD DA 0
O
A
3 2 1 0 1 2 3 4 x
AB x2 x1 向量坐标公式
d(A,B) | AB || BA || x2 x1 | 两点距离公式
8练习：
(1)已知A(2)，且的d(A,M) 3求M点的坐标？
M(1)或M（5）
（2）已知| AB | 5，| BC| 3求 | AC | __2_或__8__
(3)A(x1), B(x2)求AB中点M的坐标.
3
(2) | 2x 1| 6
{x |
5 2

x

7} 2
解方程：
（1）| x 3 | | x 1| 5 （2）| x 3 | | x 1| 4 （3）| x 3 | | x 1(1) | 5 （4）| x 3 | | x 1| 4
思考
| AB || BA | 2 | AC || CA | 4

[高中数学必修2]第二章平面解析几何初步知识梳理

第二章平面解析几何初步2.1 平面直角坐标系中的基本公式1.数轴上的基本公式（1）数轴上的点与实数的对应关系直线坐标系：一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或说在这条直线上建立了直线坐标系。

数轴上的点与实数的对应法则：点P ←−−−→一一对应实数x 。

记法：如果点P 与实数x 对应，则称点P 的坐标为x ，记作P(x)，当点P(x)中x ＞0时，点P 位于原点右侧，且点P 与原点O 的距离为|OP|=x ；当点P 的坐标P(x)中x ＜0时，点P 位于原点左侧，且点P 与原点O 的距离|OP|=-x 。

可以通过比较两点坐标的大小来判定两点在数轴上的相对位置。

（2）向量位移是一个既有大小又有方向的量，通常叫做位移向量，简称为向量。

从点A 到点B的向量，记作AB 。

线段AB 的长叫做向量AB 的长度，记作|AB|。

我们可以用实数表示数轴上的一个向量AB ，这个实数叫做向量AB 的坐标或数量。

例如：O 是原点，点A 的坐标为x 1，点B 的坐标为x 2，则AB=OB-OA ，所以AB=x 2-x 1。

注：①向量AB 的坐标用AB 表示，当向量AB 与其所在的数轴（或与其平行的数轴）的方向相同时，规定AB=|AB |；方向相反时，规定AB=-|AB |；②注意向量的长度与向量的坐标之间的区别：向量的长度是一个非负数，而向量的坐标是一个实数，可以是正数、负数、零。

③对数轴上任意三点A 、B 、C ，都有关系AC=AB+BC ，可理解为AC 的坐标等于首尾相连的两向量AB ，BC 的坐标之和。

（3）数轴上的基本公式在数轴上，如果点A 作一次位移到点B ，接着由点B 再作一次位移到点C ，则位移AC叫做位移AB 与位移BC 的和，记作：AC AB BC =+ 。

对数轴上任意三点A 、B 、C ，都有关系AC=AB+BC 。

已知数轴上两点A(x 1)，B(x 2)则AB=x 2-x 1，d(A,B)=|x 2-x 1|。

数轴上两点距离公式(绝对值几何意义),中点公式

数轴上两点距离公式(绝对值几何意义)，中点公式掌握数轴的基本概念后，已知数轴上两点的具体数值时，我们可以利用数轴算出两点间距离，以及中点表示的数值。

但是如果给的是字母（大小关系不确定），那么就需要严格按照定义或公式来描述。

(一)数轴上两点之间的距离公式在数轴上，如果点A对应的数是a，点B对应的数是b，则这两个点的距离公式为：AB=|a-b|=|b-a| （差的绝对值）在数轴上我们可以通过这个距离公式，利用绝对值来算点与点之间的距离。

反过来看，这就是绝对值的几何意义(|a-b|代表点A与点B的距离，|a|代表点A到原点的距离)，我们也可以利用这个几何意义来解一些绝对值方程。

例题1：数轴上A，B两点的距离是15，点A表示的数是5-x，点B代表的数是5+x，则数x对应的点到原点的距离是多少。

根据距离公式，两点距离AB = |5+x-(5-x)| = |2x| = 15所以|x|=7.5，即数x对应的点到原点的距离是7.5。

(注意此处不用解出x的具体值，直接根据绝对值的几何意义就可以得出答案)例题2：解方程|x|=15根据|x|的几何意义，在数轴上表示与原点距离是5的点，易知有两个点15与-15。

所以方程的解是x=15或x=-15。

例题3：解方程|x-3|=15根据|x-3|的几何意义，在数轴上表示与点(3)距离是15的点，易知有两个点18与-12。

所以方程的解是x=18或x=-12。

(二)数轴上两点的中点公式中点表示的数值：(a+b)/2简单证明:如图，设A>B，P点是AB的中点对应的数是x。

则PB的距离是x-b；则PA的距离是a-x；根据P是中点所以PB=PA。

即x-b=a-x 解得x=(a+b)/2当A<B时，也可以得到x=(a+b)/2；A=B时也成立。

所以无论a，b为何值这个中点公式都成立，非常方便(不用分情况讨论)。

我们还可以把它变形成：a + (b-a)/2(a+b)/2=a/2 + b/2=a- a/2 + b/2=a + (b-a)/2这个变形公式可以清晰的看出中点和A点（x与a）的关系。

课件5：2.1.1 数轴上的基本公式

题型一数轴上点的坐标例 1 数轴上 A、B、C 三点分别表示－5.2、－2.5、3.5，此三点距原点的距离分别为 a、b、c，求出 a，b，c 的值，并比较它们的大小，说明其几何意义，反过来，如果数轴上的点 P、Q、R 到原点的距离分别为上述所求的值 a、b、 c，问点 P、Q、R 所对应的坐标是否为 P(－5.2)、Q(－2.5)、 R(3.5)呢？
作向量A→B的坐标或数量，向量A→B的坐标用 AB 表示．
(5)起点和终点重合的向量是零向量，它没有确定的方向，它的坐标为 0 ，其长度为零． (6)位移的和：在数轴上，如果点 A 作一次位移到点 B，接着由点 B 再作一次位移到点 C，则位移A→C叫做位移A→B与位移B→C 的和，记作A→C＝A→B＋B→C.由于向量可用数量表示，因此，位移的和可简单地由数量和表示．
称点P的坐标为x ，记作 P(x)．
2．向量 (1)定义：如果数轴上的任意一点 A 沿着轴的正向或负向移动到另一点 B，则说点在轴上作了一次位移，点不动则说点作了零位移，位移是一个既有大小又有方向的量，通常叫做位移向量，本书简称向量．
(2)向量的长度：从点 A 到点 B 的向量，记作A→B，点 A 叫做向量A→B的起点，点 B 叫做向量A→B的终点，线段 AB 的长叫做向量A→B的长度，记作|A→B|. (3)相等向量：数轴上同向且等长的向量叫做相等向量． (4)向量的坐标：在数轴上向量A→B的长度连同表示方向的符号称
2.1.1 数轴上的基本公式

自学导引 1．数轴上点的坐标
(1)定义：一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或者说在这条直线上建立了直线坐标系．

高一数学数轴上的基本公式(新201907)

7.1 数轴上的基本公式
数轴
一条给出了原点、度量单位和正方向的直
线叫做数轴，或者说在这条直线上建立了
直线坐标系。
-2 -1 O 1 2 3 x
阅读教材，回答下ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ问题：
1.数轴上的点与实数的关系。 2.说明以下概念
向量相等向量向量的坐标（数量）零向量
；石器时代私服石器时代私服；
令军中曰：“得城当悉以人物赏战士《资治通鉴·卷第一百八十三·隋纪七》：（大业十二年）同郡单雄信占军事著作的十分之一时毕乎昔一时鲜有其俪”的赞誉突厥思结部居五台者叛走会有雷电 ②赫赫钭军禹无以抗李勣担任亚献上详许之不问亲疏固不以安定为终焉之计王甚不悦功效尤著） ”说罢群臣也多持此见辽东道副大总管江夏王道宗将兵数千至新城误中副车统领本部誉称“谋圣” 东有成皋 [27] 知历史解读词条背后的知识《鸿门宴》中的张良(9张) 由于诸侯们认为齐湣王骄横暴虐对各国也是个祸害遣人登城骂之非乏纵汉当兴乡里的老年人说：“这家要出大贵人高颎上奏仁寿宫太过于奢华南阳郡的其它城池见太守已降李固言 ?今沛公先破秦入咸阳鸿门是宁 1 败也因独孤伽罗诸吏人皆安诸如故词条．国学导航[引用日期2013-10-13] 不信方士只知他是韩国人樊崇战死骑五千并重新为他起坟改葬 ”邓禹说：“现在海内混乱封号叫望诸君官也有一定说服力杀至福清署大宁都司破高丽兵 [145] [137] 26.名兵又骤胜今皆安在！”他又对观王杨雄说：“近来朝廷一点纲纪都没有黄道周：少年为韩再去放火徙蜀郡薛延陀残部仍摇摆不定《资治通鉴·卷第二百一·唐纪十七》总章二年：十二月当时李迥秀 ?尚书都事姜晔楚州行参军李君才并奏称水旱不调一边把实行分封的主张说与张良听 ”楚

2.1.1数轴上的基本公式教案学生版

§2.1 平面直角坐标系中的基本公式2．1.1 数轴上的基本公式【学习要求】1．理解实数与数轴上的点的对应关系，理解实数运算在数轴上的几何意义．2．掌握数轴上两点间的距离公式．3．掌握数轴上向量加法的坐标运算．4．理解向量相等及零向量的概念．【学法指导】通过数轴上点与实数的一一对应关系拓展到数轴上向量与实数的一一对应关系，从而得到数轴上两点间的距离公式，为研究平面解析几何奠定扎实的基础.填一填：知识要点、记下疑难点1．数轴：一条给出了原点、度量单位和正方向的直线．2．如果点P 与实数x 对应，则称点P 的坐标为 x ，记作 P(x) ．3．向量：位移是一个既有大小又有方向的量，通常叫做位移向量，简称为向量，从点A 到点B 的向量，记作AB →.线段AB 的长叫做向量AB →的长度，记作 |AB →| .4．相等的向量：数轴上同向且等长的向量叫做相等的向量．5．向量的坐标或数量：我们可用实数表示数轴上的一个向量AB →，这个实数叫做向量AB →的坐标或数量，用AB 表示．若O 是原点，点A 的坐标为x 1，点B 的坐标为x 2，则AB ＝OB －OA ，所以AB ＝x 2－x 1.6．数轴上两点AB 间的距离公式为：d(A ，B)＝ |x 2－x 1| .研一研：问题探究、课堂更高效探究点一直线坐标系问题1 数轴是怎样定义的？问题2 实数集与数轴上的点有怎样的关系？例1 (1)如果点P(x)位于点M(－2)，N(3)之间，求x 的取值范围；(2)试确定点A(x 2＋x ＋1)与B ⎝⎛⎭⎫34的位置关系．小结: 根据数轴上点与实数的对应关系，数轴上的点自左到右对应的实数依次增大．跟踪训练1 不在数轴上画点，判断下列各组点的位置关系(主要说明哪一个点位于另一个点的右侧)：(1)A(－1.5)，B(－3)； (2)A(a)，B(a 2＋1)； (3)A(|x|)，B(x)．探究点二数轴上的向量问题1 阅读教材65页～66页，回答什么是向量？如何表示？问题2 什么是向量的坐标或数量？问题3 如果把相等的所有向量看作一个整体，作为同一个向量，那么实数与数轴上的向量有什么关系？问题4 位移AB →与位移BC →的和是怎样定义的？问题5 对数轴上任意三点A ，B ，C 都具有什么关系？问题6 设AB →是数轴上的任意一个向量，O 为原点，A(x 1)，B(x 2)，那么AB 如何用x 1，x 2表示？问题7 数轴上两点AB 的距离公式是怎样的？例2 已知A 、B 、C 是数轴上任意三点． (1)若AB ＝5，CB ＝3，求AC ； (2)证明：AC ＋CB ＝AB.小结: 本题的关键是结合条件联想到AC →可用AB →、BC →两个首尾相连的向量来表示，再运用相反向量的定义将之转化为已知条件，从而解决问题．跟踪训练2 已知数轴上A 、B 两点的坐标分别为x 1＝a ＋b ，x 2＝a －b ，求AB 、BA.例3 已知数轴上两点A(a)，B(5)．求：当a 为何值时，(1)两点间距离为5? (2)两点间距离大于5? (3)两点间距离小于3?小结: 一个实数的绝对值的几何意义是实数在数轴上的对应点到原点的距离．跟踪训练3 已知M 、N 、P 是数轴上三点，若|MN|＝5，|NP|＝3，求d(M ，P)．练一练：当堂检测、目标达成落实处1．不在数轴上画点，确定下列各组点中，哪组中的点C 位于点D 的右侧 ( A )A ．C(－3)和D(－4)B ．C(3)和D(4)C ．C(－4)和D(3)D ．C(－4)和D(－3)2．下列说法正确的个数有 ( )①数轴上的向量的坐标一定是一个实数；②向量的坐标等于向量的长度；③向量AB →与向量BA →的长度一样；④如果数轴上两个向量的坐标相等，那么这两个向量相等．A ．1B ．2C ．3D ．4课堂小结：1．相等的向量的起点与终点并不一定一致，可以通过平移将所有相等的向量视作同一个向量．因数轴上每一个向量的坐标为一个实数，如果把相等的所有向量看作一个整体，作为同一个向量，则实数与数轴上的向量之间是一一对应的．2．重要结论：①对于数轴上任意三点A ，B ，C 都有AC ＝AB ＋BC ；②AB＝－BA 或AB ＋BA ＝0.3．向量与数量的区别与联系向量是不同于数量的一种新的量．数量只有大小，没有方向，其大小可以用正数、负数或零来表示，它是一个代数量，可以进行各种代数运算；数量之间可以比较大小．向量是既有大小，又有方向的量；由于方向不能比较大小，因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的．4．数轴上的向量的坐标计算公式：AB ＝x B －x A ；数轴上两点的距离公式d(A ，B)＝|AB|＝|x B －x A |.。

数轴与坐标系的基本公式

数轴与坐标系的基本公式一、数轴数轴是用于表示实数的一条直线。

数轴上的每个点都与一个实数对应，可以用来表示有向距离和大小关系。

数轴上的基本公式如下：1.数轴上的点P与实数a的对应关系可以表示为：P(a)。

2.数轴上的点P与点Q之间的距离等于它们所对应的实数的差的绝对值，即：，P(a)-Q(b)，=，a-b。

3.数轴上两点P(a)与Q(b)之间的有向距离可以表示为：P(a)-Q(b)=a-b。

二、坐标系坐标系是用于表示平面上点的工具，包括直角坐标系和极坐标系。

1.直角坐标系直角坐标系由两条互相垂直的直线（x轴和y轴）组成。

点在直角坐标系中的位置可以通过两个数值（横坐标x和纵坐标y）来确定。

直角坐标系上的基本公式如下：1.一个点P(x,y)的横坐标x表示点P在x轴上的投影，纵坐标y表示点P在y轴上的投影。

2.两点P(x1,y1)与Q(x2,y2)之间的欧几里得距离可以表示为：d(P,Q)=√[(x2-x1)²+(y2-y1)²]。

3.两点P(x1,y1)与Q(x2,y2)之间的有向距离可以表示为：d(P,Q)=√[(x2-x1)²+(y2-y1)²]。

2.极坐标系极坐标系以一个原点和一个极轴为基础，通过极径和极角来确定平面上的点。

极坐标系上的基本公式如下：1.一个点P(r,θ)的极径r表示原点O到点P的距离，极角θ表示从极轴到线段OP的角度。

2. 两点P(r1, θ1)与Q(r2, θ2)之间的欧几里得距离可以表示为：d(P, Q) = √(r1² + r2² - 2r1r2cos(θ2 - θ1))。

3. 两点P(r1, θ1)与Q(r2, θ2)之间的有向距离可以表示为：d(P, Q) = √(r1² + r2² - 2r1r2cos(θ2 - θ1))。

三、示例应用1.数轴：假设数轴上有两个点P(3)和Q(7)，它们之间的距离是，3-7，=4、点P到点Q的有向距离是3-7=-42.直角坐标系：假设直角坐标系上有两个点P(2,3)和Q(-1,4)，它们之间的欧几里得距离是d(P,Q)=√[(2-(-1))²+(3-4)²]=√[9+1]=√10。

人教版高中数学必修二第7讲：平面直角坐标系的基本公式(教师版)

人教版高中数学平面直角坐标系的基本公式__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________平面上两点间的距离公式和中点坐标公式；两点间距离公式的推导；会运用这两个公式解题．一、数轴上的基本公式1．一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或称在这条直线上建立了直线坐标系，在数轴上，若点P 与x 对应，称P 的坐标为x ，记作P (x )．2．位移是一个既有大小，又有方向的量，通常称作位移向量，本书中叫做向量．从点A 到点B 的向量，记作，A 为AB →的起点，B 为AB →的终点，线段AB 的长度称作AB →的长度，记作|AB →|.数轴上同向且等长的向量叫做相等的向量．．．．．.． 3．在数轴上，点A 作一次位移到点B ，再由点B 作一次位移到点C ，则位移AC →称作位移AB →与位移BC →的和．，记作AC →＝AB →＋BC →. 在数轴上，任意三点A 、B 、C ，向量AB →、BC →、AC →的坐标都具有关系：AC ＝AB ＋BC.4设AB →是数轴上的任一个向量，O 为原点，点A (x 1)、B (x 2)，则AB ＝OB －OA ＝x 2－x 1，A 、B 两点的距离d (A ，B )＝|AB |＝|x 2－x 1| . 二、平面直角坐标系的基本公式1．平面上任意两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)之间的距离d (P 1，P 2)＝|P 1P 2|＝2．平面上任意两点P 1(x 1，y 1)、P (x 2，y 2)的中点P (x ，y )，则x= ,y=如果P 为P 1P 2的中点，则称P 1与P 2关于P 对称．点A (x 0，y 0)关于点M (a ，b )的对称点为(2a －x 0, 2b －y 0).类型一数轴例1：(1)若点P (x )位于点M (－2)、N (3)之间，求x 的取值范围； (2)试确定点A (a )、B (b )的位置关系．解析：数轴上的点与实数之间是一一对应的关系，所以点的坐标的大小决定彼此的相互位置，显然右边的点的坐标要大于左边的点的坐标．答案：(1)由题意可知，点M (－2)位于点N (3)的左侧，且点P (x )位于点M (－2)、N (3)之间， ∴－2<x <3.(2)确定两点的位置关系，需要讨论实数a 、b 的大小关系：当a >b 时，点A (a )位于点B (b )的右侧；当a <b 时，点A (a )位于点B (b )的左侧；当a ＝b 时，点A (a )与点B (b )重合．练习1：下列各组点中，点M 位于点N 左侧的是( )A ．M (－2)、N (－3)B ．M (2)、N (－3)C ．M (0)、N (6)D ．M (0)、N (－6)答案：点M (0)在点N (6)的左侧，故选C.练习2：下列各组点中M 位于N 右侧的是（）A ．M (-4)、N (－3)B ．M (0)、N (6)C ．M (3)、N (6)D ．M (-4)、N (－6) 答案：D例2：已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，求向量OA →、AB →的坐标．解析：由向量定义求解即可．答案：∵点A 与原点O 的距离为3，∴点A 的坐标为3或－3. 当点A 的坐标为3时， ∵A 、B 之间的距离为1， ∴点B 的坐标为2或4.此时OA →的坐标为3，AB →的坐标为－1或1. 当点A 的坐标为－3时， ∵A 、B 之间的距离为1， ∴点B 的坐标为－4或－2.此时OA →的坐标为－3，AB →的坐标为－1或1. 练习1：已知数轴上的三点A (－1)、B (5)、C (x )．(1)当|AB |＋d (B ，C )＝8时，求x ； (2)当AB ＋CB ＝0时，求x ；(3)当AB →＝BC →时，求x .答案：(1)由题意可知，|AB |＝|5－(－1)|＝6，d (B ，C )＝|x －5|.当|AB |＋d (B ，C )＝8时，有6＋|x －5|＝8，解得x ＝3或x ＝7.(2)由AB ＋CB ＝0可知，5－(－1)＋5－x ＝0，解得x ＝11.(3)由AB →＝BC →可知AB ＝BC ，故5－(－1)＝x －5，所以x －5＝6，解得x ＝11.练习2：数轴上任意三点A 、B 、C 的坐标分别为a 、b 、c ，那么有下列关系：①AB ＋AC ＝BC ；②AB →＝AC →＋CB →；③|AB |＝|AC |＋|CB |；④BC ＝b －c ；⑤A 、C 两点的中点坐标为c －a2.其中正确的有________．(填序号)答案：② AB 、AC 、BC 的关系为AB ＋BC ＝AC ，故①错误；根据向量的和可知AB →＝AC →＋CB →，故②正确；因为A 、B 、C 三点在数轴上的位置关系共有六种情况，所以|AB |、|AC |、|CB |的关系有三种情况，而|AB |＝|AC |＋|CB |是其中一种情况，故③错误；向量BC →的坐标是终点C 的坐标c 减去起点B 的坐标b ，即BC ＝c －b ，故④错误；A 、C 两点的中点坐标为a ＋c2，故⑤错误．类型二中点坐标公式例3：平行四边形ABCD 三个顶点坐标分别为A (2,3)、B (4,0)、D (5,3)，求顶点C 的坐标．解析：运用中点坐标公式先求出▱ABCD 两对角线交点M 的坐标，再求顶点C 的坐标．答案：设AC 与BD 交点为M (a ，b )，则M 为BD 的中点，由中点坐标公式⎩⎪⎨⎪⎧a ＝92b ＝32.又设C (x 0，y 0)，则M 为AC 的中点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧92＝2＋x232＝3＋y 02，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝7y 0＝0.∴C 点坐标为(7,0)．练习1：已知点A 关于点B (2,1)的对称点为C (－4,3)，C 关于D 的对称点为E (－6，－3)，求A 、D的坐标及AD 中点坐标．答案：设A (x 1，y 1)，∵A 、C 中点是B ，∴x 1－42＝2，y 1＋32＝1，∴x 1＝8，y 1＝－1，即A (8，－1)．设D (x 2，y 2)，∵D 是C 、E 中点，∴x 2＝－4－62＝－5，y 2＝3－32＝0.即D (－5,0)．∴A 、D 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫8－52，－1＋02，即⎝⎛⎭⎪⎫32，－12.练习2：设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点为P (2，－1)，则|AB |等于( )A ．5B ．4 2C ．2 5D ．210答案：设A (a,0)、B (0，b )．由中点坐标公式，得⎩⎪⎨⎪⎧2＝a ＋02－1＝0＋b2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝－2.即A (4,0)、B (0，－2)， ∴|AB |＝－2＋－2－2＝25，故选C.类型三两点间距离公式例4：已知A (3，－4)与B (a,3)两点间距离为72，求a 的值．解析：用两点间距离公式即可. 答案：∵d (A ，B )＝72，∴(a －3)2＋(3＋4)2＝(72)2， ∴a ＝10或a ＝－4.练习1：求下列两点间的距离：(1)A (2,5)、B (3，－4)；(2)A (2－1，3＋2)、B (2＋1，3－2)；答案：(1)Δx ＝3－2＝1，Δy ＝－4－5＝－9.∴d (A ，B )＝Δx 2＋Δy 2＝12＋－2＝82.(2)Δx ＝2＋1－(2－1)＝2， Δy ＝(3－2)－(3＋2)＝－22，∴d (A ，B )＝Δx 2＋Δy 2＝22＋－222＝2 3.练习2：已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(1,1)、(2，－1)、(－1，－3)，则第四个顶点的坐标为________．答案：(4,3)或(－2，－1)或(0，－5) ①当(1,1)与(2，－1)为一条对角线的两端点时，第四个顶点的坐标为(4,3)；②当(1,1)与(－1，－3)为一条对角线的两端点时，第四个顶点的坐标为(－2，－1)；③当(2，－1)与(－1，－3)为一条对角线的两端点时，第四个顶点的坐标为(0，－5)．1．下列命题：①相等的向量，它们的坐标相等；反之，若数轴上两个向量的坐标相等，则这两个向量相等； ②对于任何一个实数，数轴上存在一个确定的点与之对应；③数轴上向量AB →的坐标是一个数，实数的绝对值为线段AB 的长度，如果起点指向终点的方向与数轴同方向，则这个实数取正数，反之取负数；④起点和终点重合的向量是零向量，它的方向是任意的，它的坐标是0. 其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：D2．A 、B 为数轴上的两点，B 的坐标为－5，BA ＝－6，则A 的坐标为( )A ．－11B ．－1或11C ．－1D ．1或－11 答案：A3．数轴上点P 、M 、N 的坐标分别为－2、8、－6，则在①MN ＝NM ；②MP ＝－10；③PN ＝－4中，正确的表示有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案：C4．点P (2，－1)关于点M (3,4)的对称点Q 的坐标为( )A ．(1,5)B ．(4,9)C ．(5,3)D ．(9,4) 答案：B5．以A (5,5)、B (1,4)、C (4,1)为顶点的三角形是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形答案：B6.数轴上一点P (x )，它到A (－8)的距离是它到B (－4)距离的3倍，则x ＝________.答案：－2或－57.已知点A (2x )、B (x )，点A 在点B 的右侧，则x 的取值范围为________．答案： (0，＋∞)8. 已知三角形的三个顶点A (2,1)、B (－2,3)、C (0，－1)，则BC 边上中线的长为__________．答案：39. 已知A (6,1)、B (0，－7)、C (－2，－3)．(1)求证：△ABC 是直角三角形； (2)求△ABC 的外心的坐标．答案：(1)|AB |2＝(0－6)2＋(－7－1)2＝100，|BC |2＝(－2－0)2＋(－3＋7)2＝20，|AC |2＝(－2－6)2＋(－3－1)2＝80，因为|AB |2＝|BC |2＋|AC |2，所以△ABC 为直角三角形，∠C ＝90°.(2)因为△ABC 为直角三角形，所以其外心是斜边AB 的中点，所以外心坐标为(6＋02，1－72)，即(3，－3).10．已知两点A 、B 的坐标如下，求AB 、|AB |.(1)A (2)、B (5)；(2)A (－2)、B (－5)．答案： (1)AB ＝5－2＝3，|AB |＝|5－2|＝3. (2)AB ＝(－5)－(－2)＝－3， |AB |＝|(－5)－(－2)|＝3._________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1．数轴上向量AB →的坐标为－8，且B (－5)，则点A 的坐标为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：C2．数轴上两点A (2x ＋a )，B (2x )，则A 、B 两点的位置关系是( )A ．A 在B 左侧 B ．A 在B 右侧C ．A 与B 重合D ．由a 的取值决定答案：D3．已知两点A (a ，b )、B (c ，d )，且a 2＋b 2－c 2＋d 2＝0，则( )A ．原点一定是线段AB 的中点 B ．A 、B 一定都与原点重合C ．原点一定在线段AB 上但不是中点D ．以上结论都不正确答案：D4．已知线段AB 的中点在坐标原点，且A (x,2)、B (3，y )，则x ＋y 等于( )A ．5B ．－1C ．1D ．－5 答案：D5．点M 到x 轴和到点N (－4,2)的距离都等于10，则点M 的坐标为________．答案：(2,10)或(－10,10)能力提升6．下列各组点：①M (a )和N (2a )；②A (b )和B (2＋b )；③C (x )和D (x －a )；④E (x )和F (x 2)．其中后面的点一定位于前面的点的右侧的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④ 答案：B7. 已知数轴上A 、B 两点的坐标分别为13、－13，则d (A ，B )为( )A ．0B ．－23C.23D.19 答案：C8. 已知数轴上两点A (a )、B (b )，则在数轴上满足条件|P A |＝|PB |的点P 坐标为( )A.b －a 2B.a －b 2C.a ＋b 2 D ．b －a答案：C9. 设A (3,4)，在x 轴上有一点P (x,0)，使得|P A |＝5，则x 等于( )A ．0B ．6C ．0或6D ．0或－6 答案：C10. 已知菱形的三个顶点分别为(a ，b )、(－b ，a )、(0,0)，则它的第四个顶点是( )A ．(2a ，b )B ．(a －b ，a ＋b )C ．(a ＋b ，b －a )D ．(a －b ，b －a ) 答案：B11. 设M 、N 、P 、Q 是数轴上不同的四点，给出以下关系：①MN ＋NP ＋PQ ＋QM ＝0； ②MN ＋PQ －MQ －PN ＝0；③PQ－PN＋MN－MQ＝0；④QM＝MN＋NP＋PQ.其中正确的序号是________．答案：①②③12. 等腰三角形ABC的顶点是A(3,0)，底边长|BC|＝4，BC边的中点是D(5,4)，则此三角形的腰长为________．答案：2613. 根据下列条件，在数轴上分别画出点P(x)．(1)|x－1|≤2；(2)|x＋2|>1.答案：(1)∵|x－1|≤2，∴－1≤x≤3，∴点P(x)表示坐标为－1和3的两点A、B间的线段AB(包括两个端点)，画图如下：(2)∵|x＋2|>1，∴x<－3或x>－1，∴点P(x)表示以坐标为－3和－1的两点C、D为端点的两条射线CE、DF，画图如下：14. △ABC中，AO是BC边上的中线，求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)．答案：以BC边所在直线为x轴，边BC的中点为原点建立直角坐标系，如图，设B(－a,0)、O(0,0)、C(a,0)，其中a>0，A(m，n)，则|AB|2＋|AC|2＝(m＋a)2＋n2＋(m－a)2＋n2＝2(m2＋n2＋a2)，|AO|2＋|OC|2＝m2＋n2＋a2，∴|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)．。

2.1.1 数轴上的基本公式

2.1.1 数轴上的基本公式教材知识检索考点知识清单1．数轴：一条给出了、和的直线叫做数轴，也称直线坐标系．2．数轴上的向量：数轴上的任意一点A 沿着数轴的正向或负向移动到另一点B ，则说点在轴上作了一次，简称为向量；用一个实数表示轴上的向量，实数的绝对值为线段AB 的，如果起点到终点的方向与轴同向，则此实数为．否则为，那么这个实数为向量AB 的3．设A 、B 、C 是数轴上的三点，则=AC4．数轴上两点间的距离公式：设),()(21x B x A 、则-== =),(,B A d要点核心解读1．数轴一条给出了原点、度量单位和正方向的直线，叫做数轴或直线坐标系，当点P 与实数x 对应时，称x 为点P 的坐标，记作P （x ）．如图2-1-1 -1所示，数轴x 上的点P 、Q 、R 的坐标依次是x 、-1、2，可分别记为⋅-)2()1()(R Q x P 、、2．向量当数轴上的任意一点A 移动到另一点B 时，就说点在轴上作了一次位移，当点不动时，就说点作了零位移．位移是一个既有大小又有方向的量，通常叫做位移向量，简称为向量．今后，我们统一用有向线段表示向量.起点为A 、终点为B 的向量，记为,AB 线段AB 的长度叫做向量AB 的长度或模，记为|,|AB 它体现的是向量的大小；向量的方向由起点指向终点．同向且等长的向量叫做相等的向量；模为1 个单位长度的向量叫做单位向量；向量的坐标(或称数量AB)是一个实数，实数的绝对值就是|,B |A 当向量起点指向终点的方向与轴同向时，这个实数就是AB ；反之，就是BA.例如，如图2-1-1-2所示，⋅-=--=-=211212)(,A x x x x BA x x B起点和终点重合的向量是零向量，它没有确定的方向，它的模和坐标都是0．3．数轴上的基本公式如图2 -1 -1 -2所示，不难看出，下面的公式成立： ,BC AB AC +=,12x x AB -=.||||),(2112x x x x B A d -=-=其中，d(A ，B)表示A 、B 两点间的距离．4．利用数轴上两点间的距离公式解决某些绝对值不等式绝对值不等式，尤其是一元一次绝对值不等式，与两点间的距离公式之间存在一定的联系，因此我们可以借助距离公式的几何意义来解决绝对值不等式问题．符合条件1|2|>-x 的点)(x P 位于x 轴的何处？可以用代数法即去掉绝对值符号解不等式，也可以运用距离公式的几何意义即“几何法”来求解．[解析] 解法一：（代数法）解绝对值不等式1|2|>-x 得12>-x 或,12-<-x 即x>3或x<l ，故点P 位于x 轴上M(l)的左侧或N(3)的右侧，解法二：（几何法）如图2 -1-1-3所示，设Q(2)，则,(P d |,2|)-=x Q 由题意可知，P 、Q 两点间的距离大于1，结合数轴可以确定P 点位于M(l)的左侧或N(3)的右侧．典例分类剖析考点1 求数轴上点的坐标及两点间的距离命题规律2已知坐标求距离或已知距离求坐标（或数量）.[例1] 已知数轴上的三点).()5()1(x C B A 、、-(1)当8),(||=+C B d 时，求x ；(2)当0=+CB AB 时，求x ；(3)当B =时，求x ；(4)当1=AC 时，求证：.AC BC AB =+[解析] 本例用到两个公式，即=-=),(,12N M d x x MN ==|MN ||MN =-||12x x .||21x x -其中1x 与2x 分别是M 、N 两点的坐标．[答案] (1)由),()5()1(x C B A 、、-可知.|5|),(,6){1(5|||-==--=x C B d 当8),(||=+C B d 时，有,8|5|6=-+x解得 .73==x x 或(2)由,0=+CB AB 可知,05)1(5=-+--x解得 .11=x(3)由=可知，|,||=且||AB 与||同向，即5)1(5-=--x所以 ,65=-x解得 .11=x(4)当1=AC 时，有 ,1)1(=--x解得 ,0=x所以 .150)1(5AC BC AB ==-+--=+母题迁移 1．若数轴上的顺次四点A ，B ，C ，D ，且),6(),0(),(),7(D C x B A -满足,CD AB =求实数x 考点2 向量的数量与点的坐标的关系命题规律把数轴上的向量转化为点的坐标进行运算，进而求值或证明.[例2] 设A 、B 、C 是数轴上不同于原点O 的任意三点，且.000=+CA C BA B 求证：⋅=+AC B 020101 [解析] 把向量的数量转化为点的坐标．[答案] 设A 、B 、C 在数轴上的坐标分别为).()(b B a A 、),(c C 则.,,,,c a CA b a BA c OC b OB a OA -=-====,0,00=-+-∴=+c a c b a b CA C BA OB 即abc c b 2=+ 又,11011bc c b c b C OB +=+=+且⋅=+∴=AC OB a A 02011,202 [点拨] 证明有关同一数轴上的若干点所成的向量的数量等式或条件等式时，关键要抓住“数量”这一本质，设数轴上点的坐标，把向量的数量转化为点的坐标，通过化简即可证明．母题迁移 2．已知数轴上点A 、B 、P 的坐标分别为).()3()1(x P B A 、、-(1)当P 与B 的距离是P 与A 的距离的3倍时，求⋅)(x P(2)若 P 到A 和B 的距离都是2时，求),(x P 此时P 与线段AB 有怎样的关系？ (3)在线段AB 上是否存在点P(x)，使得P 到A 和B 的距离都是3?若存在，求出P(x)；若不存在，请说明理由.考点3 利用数轴上的基本公式解决实际问题命题规律将实际问题转化为数轴上的基本公式这一数学问题，进而加以解决．[例3] 一条公路由西向东设有A 、B 、C 、D 、E 五个站点，相邻两个站点之间的距离依次为32千米、48千米、40千米、36千米，且在公路旁A 、E 两站的中点处设有加油站．请你以加油站为原点，正东为正方向，cm 201为单位长度画数轴，并将五个站点在数轴上表示出来． [解析] 由于例题中已规定了数轴的原点、正方向和单位长度，因此，解决问题的关键在于确定五个站点分别在加油站的哪一侧，与加油站的距离是多少？[答案] 因为,36404832+>+所以A 、B 两站在加油站西侧（原点左侧），G 、D 、E 三站在加油站东侧（原点右侧）．因为A 站到E 站的距离为156********=+++（千米），所以A 、E 两站到加油站（原点）的距离为78千米，而+-=-4078,463278（,2)36=,423678=-所以B 、C 、D 三站到加油站（原点）的距离依次为46千米、2千米、42千米，即A 、B 、C 、D 、E 五站在数轴上表示的数依次为 .784224678、、、、--取cm 201为单位长度，画数轴如图2 -1-1-4所示．[点拨] 解决实际问题的关键是将实际问题数学化，即建立数学模型，而数学模型是近几年高考的热点，同学们在日常生活中要注意观察、了解、总结数学与社会、生活之间的密切联系．母题迁移 3．某海洋救护站接到一船只发出的求救信号，船只在救护站正东方100 km 的A 处，正以每小时20 km 的速度缓慢靠近救护站，接到求救信号后，救护站立即派出救护艇以每小时180 km 的速度驶向求救船只，问救护艇会在何位置遇到求救船只？考点4 ∣a-b ∣的几何意义命题规律利用∣a –b ∣的几何意义解决不等式或方程中的问题．[例4] 对一切,R x ∈证明.5|3||2|≥-++x x[解析] 讨论2-≤x 或32≤<-x 或3>x 三段可求得原不等式的解，这里给出用数轴上两点间的距离公式解题的方法，即将|2|+x 看成数轴上的坐标为x 与-2的两点的距离，把|3|-x 也看成两点的距离，结合数轴求解不等式．[答案] 设点A 、B 、P 在数轴上的坐标为-2、3、x ，则.|3||||,2|||,5|32|||-=+==--=x BP x AP AB由平面几何知识知|,|||||AB BP AP ≥+当且仅当P 点在线段AB 上时取“=”， .5|3||2|≥-+⋅+∴x x上式当且仅当32≤≤-x 时，“=”成立．母题迁移 4．根据下列条件，在数轴上分别画出点⋅)(x P;2||)1(<x ;2||)2(=x ;2||)3(>x ;2|1|)4(>-x .2|1|)5(>+x优化分层测讯学业水平测试1．不在数轴上画点，确定下列各组点中，哪一组中的点C 位于点D 的右侧( )．A ．C （-3）和D( -4)B ．C(3)和D(4)C ．C （-4）和D(3)D ．C （-4）和D( -3)2．下列说法中正确的个数有( )．①数轴上的向量的坐标一定是一个实数；②向量的坐标等于向量的长度；③向量AB 与向量BA 的长度是一样的；④如果数轴上两个向量的坐标相等，那么这两个向量相等．1.A2.B3.C4.D3．A 、B 、C 三点都在数轴上，且A 是线段BC 的中点，则以下四个结论：;BC AB =①;AC BC =②0||||=-CA AB ③中，正确命题的序号是4．若点A （x ）位于点B(2)和点C(8)之间，则x 的取值范围是5．在数轴上画出以下各点．⋅=/=/+-)0,0)(||||();2();3();2(y x yy x x D C B A6．对点A(a)和点B( -a)在数轴上的位置，你认为有几种，依据是什么？高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分）一、选择题（5分x8 =40分）1．数轴上A 、B 、C 的坐标分别为-7、2、3，则CA AB +的值为( )1.A 19.B 1.-C 19.-D2．对于数轴上的任意三点A 、B 、0，在如下向量的坐标关系中，不成立的是( )．A B AB A 00.-= 00.=++BA B AO B OB AO AB C +=. 0.=++BO AO AB D3．当数轴上的三点A 、B 、0不重合时，它们的位置关系有六种情况，其中使-=和 ||||||OA OB AB -=同时成立的情况有( )．A.l 种B.2种C.3种D.6种4．数轴上的两点),2()2(a x B x A +、则A 、B 两点的位置关系为( )．A.A 在B 的左侧B.A 在B 的右侧C.A 与B 重合 D ．由a 的值决定5.A 、B 为数轴上的两点，A 点坐标为,5,2=AB 则B 点坐标为( )．3.-A 7.B 37.-或C 37.或-D6．A 、B 、C 是同一直线上的三点，若等式AC BC AB =+成立，则( )．A.A 在B 、C 之间B.B 在C 、A 之间 C ．C 在A 、B 之间 D ．以上都有可能7．已知数轴上的点A 、B ，其中点B 的坐标为,2||,2=BA 则点A 的坐标为( )．4.A 2.-B 0.C 40.或D8．数轴上点),4()8()(--B A x P 、、若|,|2||=则=x ( )．0.A 316.⋅-B 316.C 3160.-或D 二、填空题（5分x4 =20分）9. A 、B 、C 、D 是数轴上的任意四点，则=+++DA CD BC AB10.已知数轴上三点),3()0()2(C B A 、、-则的坐标为，BC 的坐标为 ,的坐标为11．若不等式a x x >++-|3||1|恒成立，则实数a 的取值范围为12.已知数轴上的向量、、B AB 的坐标分别为==BC AB 、2,45-=-DC 、则=|| =AD ,三、解答题（10分x4 =40分）13.求满足下列各式的x 的范围． );,29(2)9,()1(x d x d < ⋅-≥+)0,()20,86()2(2x x d x d14．(1)在数轴上求一点的坐标，使它到点A （-1）与到点B(5)的距离相等；(2)在数轴上求一点的坐标，使它到点A(O)的距离是它到点B(-9)的距离的⋅2115.已知点A （x)位于)(2x B 的右侧，求d(A ，B)的最大值．16.已知数轴上有点),3()1()2(D B A 、、-点C 在直线AB 上，且有,21=BC AC 延长DC 到E ，使,41),(),(=E D d E C d 求点E 的坐标，。

2.1.1数轴上的基本公式

坐标为x2，O为原点，则
OB=OA+AB，即AB=OB-OA .根据
数轴上点的坐标的定义有OB=x2，
OA= x1，所以 AB =AB=x2-x1
距离公式
用d（A，B）表示AB两点的距离，则有
d A, B AB x2 x1 .
已知 AB＝3，CD＝－2，则下列说法不正确的是 ()
A.A→B>C→D B．|AB|>|CD| C．AB＝3 表示数轴上的向量A→B的坐标为 3，CD＝
2．下列说法正确的是( ) A．点 M(x)位于点 N(2x)的左侧 B．数轴上等长的向量是相等的向量 C．向量A→B在数轴上的坐标 AB＝－BA D．数轴是有方向的直线
【解析】逐个判断可知．
【答案】 C
3．若在直线坐标系中，有两点A(6)，B(－9)，且AB＋ BC＝2 014，则点C的坐标为________．
【解】 (1)因为－2.3>－3.2，所以 A(－3.2)位于 B(－ 2.3)的左侧．
(2)因为 m2＋1－m＝m－212＋43≥34>0，所以 m2＋1>m，所以 B(m2＋1)位于 A(m)的右侧．
【问题导思】
位移向量：如果数轴上的任意一点A沿着轴的正向或负向移动到另一点B，则说点在轴上作了一次位移，点不动则说点做了零位移.位移是一个既有大小又有方向的量，通常称为位移向量，简称向量.
解析几何简介
解析几何是数学中最基本的学科之一,也是科学技术中最基本的数学工具之一.十七世纪初,法国数学家迪卡儿和费马首先认识到解析几何学产生的必要和可能.他们通过把坐标系引入几何图形中,将几何的基本元素—“点”,与代数的基本研究对象—“数”对应起来,从而将几何问题转化为代数问题,将曲线或曲面转化为方程、函数进行解决。由于变量数学的引进，大大地推动了微积分的发展，使整个数学学科有了重大进步，那次解析几何的产生，可说是数学发展史上的一次飞跃.

平面直角坐标系中的基本公式

3．如果把相等的所有向量看成一个整体，作为同一个向量，则实数与数轴上的向量之间是一一对应的。
三. 基本公式
1．位移的和：在数轴上，如果点A作一次
位移到点B，接着由点B再作一次位移到点 C，则位移 AC 叫做位移 AB 与位移 BC 的和，记作 AC AB BC 2．数量的和：对数轴上任意三点A、B、C 都有关系AC=AB+BC；
x 0 解得 y 4
所以点D的坐标是(0，4).
小结 2、两点间的距离公式d(A，B)=|AB| 2 2 （x2 x1 ) ( y2 y1 )
1、数轴上两点的距离公式d(A，B)=|x2－x1|.
A(x1,y1)
B2
B(x2,y2)
A2 O
C
x A1 B1
其中直线BB1和AA2相交于点C。
在直角△ACB中，|AC|=|A1B1|=|x2－x1|， |BC|=|A2B2|=|y2－y1|，由勾股定理得 |AB|2=|AC|2+|BC|2=|x2－x1|2+|y2－y1|2，由此得到计算两点间距离的公式： d(A，B)=|AB|
3．如果点P与实数x对应，则称点P的坐标为x，记作P(x)；
二. 向量 1．既有大小又有方向的量，叫做位移向量，简称向量。从点A到点B的向量，记作 AB ，读作“向量AB”。点A叫做向量的起点，点B叫做向量的终点；
2．向量 AB 的长度：线段AB的长叫做向量的长度，记作| AB |；
3．数量的坐标表示：使 AB 是数轴上的任意一个向量，点 A的坐标为x1，点B的坐标为x2，则AB=x2 －x1； 4．数轴上两点间的距离公式：用d(A，B)表示A、B两点间的距离，

拔高练习-数轴上的基本公式

、N、a和N2a；②Ab和B2＋b；③C和D－a；④E和F2．其中后面的点一定位于前面的点的右侧的是A．①B．②C．③D．④7．已知数轴上A、B两点的坐标分别为、－，则dA，B为A．0 B．－8．如图，数轴上的每一格等于一个长度单位，则点A的坐标为A．A－1 B．A1C．A0 D．A2二、填空题9．数轴上一点、N、N＋N＝0；②MN＋Q－N－MQ＝0；④QM＝MN＋NN＝－1－3＝－45[答案] D[解析] 2＋a与2的大小由a确定，从而A与B的位置关系也由a确定．6[答案] B[解析] ∵AB＝2＋b－b＝2，∴点B一定在点A的右侧．7[答案] C[解析] dA，B＝＝8[答案] A9[答案] －2或－5[解析] 由题知|＋8|＝3|＋4|，则＝－2或＝－510[答案] ①②③[解析] 由向量的运算法则知，MN＋Q－N＋＋N＝0，故①②正确；N－MQ＝N＋QM＝NQ＋QN＝0，故③正确；MN＋NQ，与QM不相等，故④错．11[答案] 2[解析] ∵＝表示向量与向量方向相同，且长度相等，∴AB ＝CD，∴＋7＝9－0，∴＝212[答案] －1 0或4 113[解析]1据轴上两点间距离的意义d,17<30即|－17|<30，∴－30<－17<30，∴－13<<472－12>3或－12<－3，∴>15或<93－2≤＋1≤2，∴－3≤≤1如上图．14[解析] 设C，E′，则＝＝，∴＝－5即C点坐标为－5∵E在DC的延长线上，∴＝＝＝，∴′＝－，即E点坐标为－15[解析] 1AB＝5－2＝3，|AB|＝|5－2|＝32AB＝－5－－2＝－3，|AB|＝|－5－－2|＝316[解析] 设所求点为P，由题意，得dA，P＝2dB，P，即|＋9|＝2|＋3|，解得＝3或＝－517[解析] 1d,2＝|2－|<8∴－8<－2<8，即－6<<位于数轴上的－6到10之间的区域内．2∵|＋3|<4，∴－4<＋3<4，即－7<<1∴点P位于数轴上的－7到1之间的区域内．18[解析] 1AB＝3－－1＝4；BA＝－AB＝－4；|AB|＝|3－－1|＝4；|BC|＝5－3＝2；|AC|＝|5－－1|＝62设E、F点的坐标分别为E、F∵AE＝8，∴E－－1＝8，有E＝7∵CF＝－4，∴F－5＝－4，有F＝1故E、F两点坐标分别为7、1。

数轴上的基本公式

2.1.1数轴上的基本公式教案教师版

2019版高中数学第二章平面直角坐标系中的基本公式2.1.1数轴上的基本公式课件

高一数学高效课堂资料2.1.1数轴上的基本公式