10、正多边形和圆

知识回顾 菱形是正多边形吗？
矩形是正多边形吗？
不是，角不相等
不是，边不相等
生活中的多边形 日常生活中，我们经常能看到正多边形形状的物体， 利用正多边形，也可以得到许多美丽的图案．
你还能举出一些这样的例子吗？
生活中的多边形
探究
你知道正多边形和圆的关系吗？
正多边形和圆的关系非常密切，只要把一个圆分成相等的一些弧
复习巩固 1.完成下表中有关正多边形的计算：
复习巩固
2.要用圆形铁片截出边长为a的正方形铁片，选用的圆形铁片 的半径至少是多少？
复习巩固
3．正多边形都是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴在哪 里？ 正多边形都是中心对称图形吗？如果是，它的对称中 心在哪里？
复习巩固
4．如图，I，I，J，K，L分别是正五边形 ABCDE各边的中 点求证：五边形 HIJKL是正五边形
拓广探究
圆周率π
圆周率π
圆周率π
圆周率π
随着时代的发展，人们利用高等数学的知识来计算π的值 ，先后得出了许多计算π的公式，π的近似值的位数也迅速增 长. 电子计算机问世以后，圆周率的计算突飞猛进，π的小 数点后的位数不断增长．20世纪50年代得到千位以上，60年 代则达到50万位，80年代得到10亿位．到21世纪初，科学家 已计算出π的小数点后超过万亿的位数.
综合运用
5．如下页图，要拧开一个边长a＝12mm的六角形螺帽，扳 手张开的开ロb至少要多少？
综合运用
6．如图，正方形的边长为4cm，剪去四个角后成为一个正八 边形．求这个正八边形的边长和面积
综合运用
7．用48m长的篱笆在空地上围成一个绿化场地，现有四种设计 方案：正三角形、正方形、正六边形、圆，哪种场地的面积最 大（可以利用计算器计算）？
探究
你能作出正五边形的内切圆吗？
相关概念
①我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做 这个正多边形的中心（即点O）
②外接圆的半径叫做正多边形的半径（即OA）
③正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形 的中心角（即∠AOB ）
④中心到正多边形的一边的距离叫做正多边 形的边心距（内切圆的半径、即OM）
练习
以半径长在圆周上截取六段相等 的弧，依次连结各等分点，则作 出正六边形．
在此基础上，你能得到正三角形吗？
正十二边形呢？正二十四边形呢？
一些正多边形的尺规画法 你能尺规作出正方形吗？
作两条互相垂直的直径，就可以把圆 四等分， 从而作出正方形．
在此基础上，你能得到正八边形吗？
正十六边形呢？正三十二边形呢？
当今时代，π的计算成为测试超级计算机的各项性能的 方法之一．运算速度与计算过程的稳定性对计算机至关重要 ．这正是超高精度的π的计算直到今天仍然有重要意义的原因 之一.
1．正方形ABCD的外接圆圆心O，叫做正方形ABCD的_中__心_____； 边心距
2．正方形ABCD的内切圆的半径OE叫做正方形ABCD的_________ ．
练习
1．图中正六边形ABCDEF的中心角的度数是__6_0__°___；
2．你发现正六边形ABCDEF的半径与边长具有什么数量关
系？为什么？
相等
练习
正n边形的每一个外角的度数都是____________；
中心角是___________；
相等
正多边形的中心角与外角的大小关系是________．
练习 1．矩形是正多边形吗？菱形呢？正方形呢？为什么？
练习
2．各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆 内接多边形呢？如果是，说明为什么？如果不是，举出反例 ．
方法二：用量角器或30°角的 三角板度量，使 ∠BAO=∠CAO=30°
正多边形的画法 你能用以上方法画出正四边形、正五边形、正六边形吗？
归纳：由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的 圆心角就可以等分圆周，从而得到相应的正多边形．
一些正多边形的尺规画法 你能尺规作出正六边形、正三角形、正十二边形吗？
教学重点 正多边形的有关计算问题． 利用等分圆周画正多边形．
教学难点 用尺规作图画特殊的正多边形．
知识回顾
三条边相等， 三个角相等（ 60°）
四条边相等， 四个角相等（ 90°）
正多边形定义
各边相等,各角也相等的多边形是正多边形． 正n 边形：如果一个正多边形有n 条边，
那么这个正多边形叫做正n 边形．
，
就可以作出这个圆的内接正多边形，
这个圆就是这个正多边形的外接圆．
Байду номын сангаас你知道怎么 证明吗？
证明
我们以圆内接正五边形为例证明
如图,把⊙O分成相等的5段弧,依次连接各分点得到正五边形ABCDE.
∴ AB=BC=CD=DE=EA,
∴ ∠A=∠B. 同理∠B=∠C=∠D=∠E. 又∵五边形ABCDE的顶点都在⊙O上, ∴ 五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形 ,⊙O是五边形ABCDE的外接圆.
有一个亭子，它的地基半径为4 m的正六边形，求地基的周长 和面积(结果保留小数点后以为)．
利用勾股定理,可得边心距
亭子地基的面积
练习
分别求半径为R的圆内接正三角形、正方形的边长、边心距和 面积．
练习
分别求半径为R的圆内接正三角形、正方形的边长、边心距和 面积．
练习 正八边形的每个内角是_1_3__5_°_度．
正多边形和圆
教学目标
理解正多边形和圆的关系，知道把圆分成相等的一些弧， 就可以得到这个圆的内接正多边形．
理解正多边形的边长、半径、边心距和中心角等概念，会 计算正多边形的边长、半径、边心距、中心角、周长和面 积．
理解正多边形和圆的关系，会利用等分圆周的方 法画正多 边形，会利用尺规作图的方法画一些特殊的正多边形．
一些正多边形的尺规画法 你能尺规作出正五边形吗？
练习
1．画一个半径为2cm的正五边形，再作出这个正五边形的各 条对角线，画出一个五角星．
练习
2．用等分圆周的方法画出下列图案．
正八边形的相关计算
如图，有一圆内接正八边形ABCDEFGH，若△ADE的面积 为10，则正八边形ABCDEFGH的面积为4__0_______．
正八边形的相关计算 正八边形的面积计算有什么技巧？
总结
这节课我们学会了什么？
1．正多边形和圆的关系以及相关概念： 只要把一个圆分成相等的一些弧，
就可以作出这个圆的内接正多边形．
2．正多边形的相关计算．
3．正多边形的画法：
①用量角器等分圆； ②用尺规作图等分圆．
正多边形和圆
正多边形和圆有什么的关系？ 什么是正多边形的半径，中心角，边心距？ 怎么利用圆画正多边形？
E（2，0 ）
练习
如图，⊙O的周长为6πcm，求以它的半径为边长的正六边形 ABCDEF的面积．
想一想 实际生活中，经常遇到画正多边形的问题．
比如画一个六角螺帽的平面图、画一个五角星等． 那你知道怎么画正多边形吗？
正多边形的画法 问题1：已知⊙O的半径为2cm，求作圆的内接正三角形．
方法一：用量角器度量，使 ∠AOB=∠BOC=∠COA=120°．
练习 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠CFD的度数是_3_0__°___.
练习
如果一个正多边形绕它的中心旋转90°就与原来的图形重合 ，那么这个正多边形是（B ） A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
练习 12
练习 边长为6的正三角形的半径是_______．
练习 如图，正六边形ABCDEF的半径为2，以它的中心O为坐标原点 ，顶点B、E在x轴上，求正六边形ABCDEF的各顶点的坐标． B（-2，0 ）
与多边形有关的计算 连接OA，由垂径定理（运用圆的有关知识）得
有一个亭子，它的地基半径为4 m的正六边形，求地基的周长 和面积(结果保留小数点后一位)．
解: 如图由于ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于 ，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等
于它的半径．
因此,亭子地基的周长
l =4×6=24(m)