10、正多边形和圆

有一个亭子，它的地基半径为4 m的正六边形，求地基的周长 和面积(结果保留小数点后以为)．
利用勾股定理,可得边心距
亭子地基的面积
练习
分别求半径为R的圆内接正三角形、正方形的边长、边心距和 面积．
练习
分别求半径为R的圆内接正三角形、正方形的边长、边心距和 面积．
练习 正八边形的每个内角是_1_3__5_°_度．
教学重点 正多边形的有关计算问题． 利用等分圆周画正多边形．
教学难点 用尺规作图画特殊的正多边形．
知识回顾
三条边相等， 三个角相等（ 60°）
四条边相等， 四个角相等（ 90°）
正多边形定义
各边相等,各角也相等的多边形是正多边形． 正n 边形：如果一个正多边形有n 条边，
那么这个正多边形叫做正n 边形．
复习巩固 1.完成下表中有关正多边形的计算：
复习巩固
2.要用圆形铁片截出边长为a的正方形铁片，选用的圆形铁片 的半径至少是多少？
复习巩固
3．正多边形都是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴在哪 里？ 正多边形都是中心对称图形吗？如果是，它的对称中 心在哪里？
复习巩固
4．如图，I，I，J，K，L分别是正五边形 ABCDE各边的中 点求证：五边形 HIJKL是正五边形
练习 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠CFD的度数是_3_0__°___.
练习
如果一个正多边形绕它的中心旋转90°就与原来的图形重合 ，那么这个正多边形是（B ） A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
练习 12
练习 边长为6的正三角形的半径是_______．
练习 如图，正六边形ABCDEF的半径为2，以它的中心O为坐标原点 ，顶点B、E在x轴上，求正六边形ABCDEF的各顶点的坐标． B（-2，0 ）
相等
练习
正n边形的每一个外角的度数都是____________；
中心角是___________；
相等
正多边形的中心角与外角的大小关系是________．
练习 1．矩形是正多边形吗？菱形呢？正方形呢？为什么？
练习
2．各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆 内接多边形呢？如果是，说明为什么？如果不是，举出反例 ．
正八边形的相关计算 正八边形的面积计算有什么技巧？
总结
这节课我们学会了什么？
1．正多边形和圆的关系以及相关概念： 只要把一个圆分成相等的一些弧，
就可以作出这个圆的内接正多边形．
2．正多边形的相关计算．
3．正多边形的画法：
①用量角器等分圆； ②用尺规作图等分圆．
正多边形和圆
正多边形和圆有什么的关系？ 什么是正多边形的半径，中心角，边心距？ 怎么利用圆画正多边形？
E（2，0 ）
练习
如图，⊙O的周长为6πcm，求以它的半径为边长的正六边形 ABCDEF的面积．
想一想 实际生活中，经常遇到画正多边形的问题．
比如画一个六角螺帽的平面图、画一个五角星等． 那你知道怎么画正多边形吗？
正多边形的画法 问题1：已知⊙O的半径为2cm，求作圆的内接正三角形．
方法一：用量角器度量，使 ∠AOB=∠BOC=∠COA=120°．
探究
你能作出正五边形的内切圆吗？
相关概念
①我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做 这个正多边形的中心（即点O）
②外接圆的半径叫做正多边形的半径（即OA）
③正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形 的中心角（即∠AOB ）
④中心到正多边形的一边的距离叫做正多边 形的边心距（内切圆的半径、即OM）
练习
方法二：用量角器或30°角的 三角板度量，使 ∠BAO=∠CAO=30°
正多边形的画法 你能用以上方法画出正四边形、正五边形、正六边形吗？
归纳：由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的 圆心角就可以等分圆周，从而得到相应的多边形．
一些正多边形的尺规画法 你能尺规作出正六边形、正三角形、正十二边形吗？
，
就可以作出这个圆的内接正多边形，
这个圆就是这个正多边形的外接圆．
你知道怎么 证明吗？
证明
我们以圆内接正五边形为例证明
如图,把⊙O分成相等的5段弧,依次连接各分点得到正五边形ABCDE.
∴ AB=BC=CD=DE=EA,
∴ ∠A=∠B. 同理∠B=∠C=∠D=∠E. 又∵五边形ABCDE的顶点都在⊙O上, ∴ 五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形 ,⊙O是五边形ABCDE的外接圆.
正多边形和圆
教学目标
理解正多边形和圆的关系，知道把圆分成相等的一些弧， 就可以得到这个圆的内接正多边形．
理解正多边形的边长、半径、边心距和中心角等概念，会 计算正多边形的边长、半径、边心距、中心角、周长和面 积．
理解正多边形和圆的关系，会利用等分圆周的方 法画正多 边形，会利用尺规作图的方法画一些特殊的正多边形．
综合运用
5．如下页图，要拧开一个边长a＝12mm的六角形螺帽，扳 手张开的开ロb至少要多少？
综合运用
6．如图，正方形的边长为4cm，剪去四个角后成为一个正八 边形．求这个正八边形的边长和面积
综合运用
7．用48m长的篱笆在空地上围成一个绿化场地，现有四种设计 方案：正三角形、正方形、正六边形、圆，哪种场地的面积最 大（可以利用计算器计算）？
与多边形有关的计算 连接OA，由垂径定理（运用圆的有关知识）得
有一个亭子，它的地基半径为4 m的正六边形，求地基的周长 和面积(结果保留小数点后一位)．
解: 如图由于ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于 ，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等
于它的半径．
因此,亭子地基的周长
l =4×6=24(m)
一些正多边形的尺规画法 你能尺规作出正五边形吗？
练习
1．画一个半径为2cm的正五边形，再作出这个正五边形的各 条对角线，画出一个五角星．
练习
2．用等分圆周的方法画出下列图案．
正八边形的相关计算
如图，有一圆内接正八边形ABCDEFGH，若△ADE的面积 为10，则正八边形ABCDEFGH的面积为4__0_______．
拓广探究
圆周率π
圆周率π
圆周率π
圆周率π
随着时代的发展，人们利用高等数学的知识来计算π的值 ，先后得出了许多计算π的公式，π的近似值的位数也迅速增 长. 电子计算机问世以后，圆周率的计算突飞猛进，π的小 数点后的位数不断增长．20世纪50年代得到千位以上，60年 代则达到50万位，80年代得到10亿位．到21世纪初，科学家 已计算出π的小数点后超过万亿的位数.
知识回顾 菱形是正多边形吗？
矩形是正多边形吗？
不是，角不相等
不是，边不相等
生活中的多边形 日常生活中，我们经常能看到正多边形形状的物体， 利用正多边形，也可以得到许多美丽的图案．
你还能举出一些这样的例子吗？
生活中的多边形
探究
你知道正多边形和圆的关系吗？
正多边形和圆的关系非常密切，只要把一个圆分成相等的一些弧
1．正方形ABCD的外接圆圆心O，叫做正方形ABCD的_中__心_____； 边心距
2．正方形ABCD的内切圆的半径OE叫做正方形ABCD的_________ ．
练习
1．图中正六边形ABCDEF的中心角的度数是__6_0__°___；
2．你发现正六边形ABCDEF的半径与边长具有什么数量关
系？为什么？
当今时代，π的计算成为测试超级计算机的各项性能的 方法之一．运算速度与计算过程的稳定性对计算机至关重要 ．这正是超高精度的π的计算直到今天仍然有重要意义的原因 之一.
以半径长在圆周上截取六段相等 的弧，依次连结各等分点，则作 出正六边形．
在此基础上，你能得到正三角形吗？
正十二边形呢？正二十四边形呢？
一些正多边形的尺规画法 你能尺规作出正方形吗？
作两条互相垂直的直径，就可以把圆 四等分， 从而作出正方形．
在此基础上，你能得到正八边形吗？
正十六边形呢？正三十二边形呢？