2 第2课时 两向量共线的充要条件及应用

－8)．
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第六章 平面向量及其应用
2．若三点 A(4，3)，B(5，m)，C(6，n)在一条直线上，则下列
式子一定正确的是( )
A．2m－n＝3
B．n－m＝1
C．m＝3，n＝5 D．m－2n＝3
解析：选 A.因为三点 A(4，3)，B(5，m)，C(6，n)在一条直线
上，所以A→B＝λA→C，所以(1，m－3)＝λ(2，n－3)，所以 λ＝12，
解：(1)因为 a＝mb＋nc，所以(3，2)＝m(－1，2)＋n(4，1)＝ (－m＋4n，2m＋n)． 所以－ 2mm＋＋n4＝n＝ 2，3，解得mn＝＝8959.， (2)因为(a＋kc)∥(2b－a)， 又 a＋kc＝(3＋4k，2＋k)，2b－a＝(－5，2)， 所以 2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0. 所以 k＝－1163.
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因为A→M∥A→D，
第六章 平面向量及其应用
所以－72x－2(y－5)＝0， 即 7x＋4y＝20.①
又C→M＝x，y－54，C→B＝4，74， 因为C→M∥C→B，所以74x－4y－54＝0， 即 7x－16y＝－20.②
联立①②解得 x＝172，y＝2，故点 M 的坐标为172，2.
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第六章 平面向量及其应用
[变问法]若本例(1)条件不变，判断向量(3a－b)与(a＋kb)是反向还是 同向？ 解：由向量(3a－b)与(a＋kb)共线，得 k＝－13， 所以 3a－b＝(3，－6)－(3，4)＝(0，－10)， a＋kb＝a－13b＝(1，－2)－13(3，4) ＝0，－130＝13(0，－10)， 所以向量(3a－b)与(a＋kb)同向．
又A→B＝(－2，－4)，A→C＝(x＋3，0)，
所以－2×0＋4(x＋3)＝0.
所以 x＝－3.
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第六章 平面向量及其应用
2．设点 A(x，1)，B(2x，2)，C(1，2x)，D(5，3x)，当 x 为何值 时，A→B与C→D共线且方向相同，此时 A，B，C，D 能否在同一 条直线上？ 解：A→B＝(2x，2)－(x，1)＝(x，1)， B→C＝(1，2x)－(2x，2)＝(1－2x，2x－2)， C→D＝(5，3x)－(1，2x)＝(4，x)．
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第六章 平面向量及其应用
三点共线问题 (1)已知O→A＝(3，4)，O→B＝(7，12)，O→C＝(9，16)，求证： 点 A，B，C 共线； (2)设向量O→A＝(k，12)，O→B＝(4，5)，O→C＝(10，k)，求当 k 为何值 时，A，B，C 三点共线．
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第六章 平面向量及其应用
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第六章 平面向量及其应用
已知 a＝(3，1)，b＝(2，λ)，若 a∥b，则实数 λ 的值为________． 答案：23
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第六章 平面向量及其应用
向量共线的判定 (1)已知向量 a＝(1，－2)，b＝(3，4)．若(3a－b)∥(a＋ kb)，则 k＝________． (2)已知 A(－1，－1)，B(1，3)，C(2，5)，判断A→B与A→C是否共 线？如果共线，它们的方向相同还是相反？
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第六章 平面向量及其应用
已知两点 A(2，－1)，B(3，1)，与A→B平行且方向相反的向量 a 可能是( ) A．a＝(1，－2) B．a＝(9，3) C．a＝(－1，2) D．a＝(－4，－8) 解析：选 D.由题意得A→B＝(1，2)，结合选项可知 a＝(－4，－8)＝ －4(1，2)＝－4A→B，所以 D 正确．
所以 A，B，C，D 不在同一条直线上．
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第六章 平面向量及其应用
向量共线的应用 如图所示，在△AOB 中，A(0，5)， O(0，0)，B(4，3)，O→C＝14O→A，O→D＝12O→B， AD 与 BC 相交于点 M，求点 M 的坐标．
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第六章 平面向量及其应用
【解】 因为O→C＝14O→A＝14(0，5)＝0，54， 所以 C0，54. 因为O→D＝12O→B＝12(4，3)＝2，32， 所以 D2，32. 设 M(x，y)，则A→M＝(x，y－5)， A→D＝2－0，32－5＝2，－72.
所以 m－3＝12(n－3)，即 2m－n＝3.
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第六章 平面向量及其应用
3．平面内给定三个向量 a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1)． (1)求满足 a＝mb＋nc 的实数 m，n 的值； (2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数 k 的值．
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第六章 平面向量及其应用
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第六章 平面向量及其应用
判断向量(或三点)共线的三个步骤
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第六章 平面向量及其应用
1．已知 A，B，C 三点共线，且 A(－3，6)，B(－5，2)，若 C
点的纵坐标为 6，则 C 点的横坐标为( )
A．－3
B．9
C．－9
D．3
解析：选 A.设 C(x，6)，
因为 A，B，C 三点共线，所以A→B∥A→C，
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第六章 平面向量及其应用
应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤
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第六章 平面向量及其应用
如图所示，已知△ABC，A(7，8)，B(3，5)， C(4，3)，M，N，D 分别是 AB，AC，BC 的中点，且 MN 与 AD 交于点 F，求D→F的坐标．
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第六章 平面向量及其应用
解：因为 A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)， 所以A→B＝(3－7，5－8)＝(－4，－3)，A→C＝(4－7，3－8)＝(－3， －5)． 又因为 D 是 BC 的中点，所以A→D＝12(A→B＋A→C)＝12(－4－3，－3 －5)＝12(－7，－8)＝－72，－4. 因为 M，N 分别为 AB，AC 的中点，所以 F 为 AD 的中点，所 以D→F＝－F→D＝－12A→D＝－12－72，－4＝74，2.
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由A→B与C→D共线，所以 x2＝1×4，
第六章 平面向量及其应用
所以 x＝±2.
又A→B与C→D方向相同，所以 x＝2.
所以当 x＝2 时，A→B与C→D共线且方向相同．
此时，A→B＝(2，1)，B→C＝(－3，2)，
而 2×2≠－3×1，所以A→B与B→C不共线，
所以 A，B，C 三点不在同一条直线上．
可得－1×3－2×(λ－1)＝0，解得 λ＝－12.
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第六章 平面向量及其应用
2．已知 A(2，1)，B(0，4)，C(1，3)，D(5，－3)．判断A→B与C→D是 否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？ 解：A→B＝(0，4)－(2，1)＝(－2，3)， C→D＝(5，－3)－(1，3)＝(4，－6)． 法一：因为(－2)×(－6)－3×4＝0，且(－2)×4<0， 所以A→B与C→D共线且方向相反． 法二：因为C→D＝－2A→B，所以A→B与C→D共线且方向相反．
【解】 (1)证明：由题意知A→B＝O→B－O→A＝(4，8)， A→C＝O→C－O→A＝(6，12)，所以A→C＝32A→B， 即A→B与A→C共线． 又因为A→B与A→C有公共点 A，所以点 A，B，C 共线．
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第六章 平面向量及其应用
(2)法一：因为 A，B，C 三点共线，即A→B与A→C共线， 所以存在实数 λ(λ∈R)，使得A→B＝λA→C. 因为A→B＝O→B－O→A＝(4－k，－7)，A→C＝O→C－O→A＝(10－k，k －12)， 所以(4－k，－7)＝λ(10－k，k－12)， 即4－－7＝k＝λ（λ（k－10－12）k），，解得 k＝－2 或 k＝11. 所以当 k＝－2 或 k＝11 时，A，B，C 三点共线．
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第六章 平面向量及其应用
向量共线的判定方法
1．(2019·河北衡水景县中学检测)已知向量 a＝(－1，2)，b＝(λ，1)．若
a＋b 与 a 平行，则 λ＝( )
A．－5
B．52
C．7
D．－12
解析：选 D.a＋b＝(－1，2)＋(λ，1)＝(λ－1，3)，由 a＋b 与 a 平行，
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第六章 平面向量及其应用
法二：由已知得A→B与A→C共线， 因为A→B＝O→B－O→A＝(4－k，－7)，A→C＝O→C－O→A＝(10－k，k －12)， 所以(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0， 所以 k2－9k－22＝0，解得 k＝－2 或 k＝11. 所以当 k＝－2 或 k＝11 时，A，B，C 三点共线．
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第六章 平面向量及其应用
1．已知向量 a＝(1，－2)，b＝(m，4)，且 a∥b，那么 2a－b＝( )
A．(4，0)
B．(0，4)
C．(4，－8)
D．(－4，8)
解析：选 C.因为向量 a＝(1，－2)，b＝(m，4)，且 a∥b，所以 1×4
＝(－2)×m，所以 m＝－2，所以 2a－b＝(2－m，－4－4)＝(4，
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第六章 平面向量及其应用
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量(1，2)与向量(4，8)共线．(√ ) (2)已知 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若 a∥b，则必有 x1y2＝x2y1.( √ )
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第六章 平面向量及其应用
下列各组的两个向量共线的是( ) A．a1＝(－2，3)，b1＝(4，6) B．a2＝(1，－2)，b2＝(7，14) C．a3＝(2，3)，b3＝(3，2) D．a4＝(－3，2)，b4＝(6，－4) 答案：D
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第六章 平面向量及其应用
【解】 (1)3a－b＝(0，－10)，a＋kb＝(1＋3k，－2＋4k)， 因为(3a－b)∥(a＋kb)，所以 0－(－10－30k)＝0， 所以 k＝－13.故填－13. (2)因为A→B＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)， A→C＝(2－(－1)，5－(－1))＝(3，6)， 因为 2×6－3×4＝0， 所以A→B∥A→C，所以A→B与A→C共线． 又A→B＝23A→C，所以A→B与A→C的方向相同．
第六章 平面向量及其应用
第 2 课时 两向量共线的充要条件及应用
第六章 平面向量及其应用
问题导学 预习教材 P31－P33 的内容，思考以下问题： 1．两向量共线的充要条件是什么？ 2．如何利用向量的坐标表示两个向量共线？
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第六章 平面向量及其应用
两向量共线的充要条件 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0.则 a，b(b≠0)共线的充 要条件是___x_1y_2_－__x_2y_1_＝__0____． ■名师点拨 (1)两个向量共线的坐标表示还可以写成xx21＝yy12(x2≠0，y2≠0)， 即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例． (2)当 a≠0，b＝0 时，a∥b，此时 x1y2－x2y1＝0 也成立，即对 任意向量 a，b 都有 x1y2－x2y1＝0⇔a∥b.
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第六章 平面向量及其应用
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第六章 平面向量及其应用
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