2 第2课时 两向量共线的充要条件及应用
新高考数学-空间向量与立体几何-第2课时教案
新教材同步学案 数学 选择性必修第一册
2．在两个向量共线的充要条件中，为何要求 b≠0? 答：当 b＝0 时，若 a≠0，仍有 a∥b，但不存在 λ∈R，使得 a＝λb.
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3．空间中的任意两个向量是否共面？为什么？ 答：共面，任意两个向量都可以平移到同一个平面内，因此空间中向量的加 减运算与平面中一致．
课时学案
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题型一 向量的共线问题 例 1 (1)已知 A，B，C 三点共线，O 为直线外任意一点，若O→C＝mO→A＋nO→B， 则 m＋n＝____1____． 【解析】 由于 A，B，C 三点共线，所以存在实数 λ，使得A→C＝λA→B，即O→C －O→A＝λ(O→B－O→A)，所以O→C＝(1－λ)O→A＋λO→B，所以 m＝1－λ，n＝λ，所以 m＋ n＝1.
的直线互相____平__行__或__重_合_______
平行于同一个平面的向量
充要 条件
对于空间任意两个向量 a，b(b≠0)，若两个向量 a，b 不共线，则向量 p
a∥b 的充要条件是存在实数 λ，使 a 与 a，b 共面的充要条件是存在唯一的
＝λb
有序实数对(x，y)，使 p＝xa＋yb
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A→1F＝25A→1C＝25(A→C－A→A1) ＝25(A→B＋A→D－A→A1)＝25a＋25b－25c. 所以E→F＝A→1F－A→1E＝25a－145b－25c＝25(a－23b－c)， 又E→B＝E→A1＋A→1A＋A→B＝－23b－c＋a＝a－23b－c， 所以E→F＝25E→B，且有公共点 E，所以 E，F，B 三点共线．
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示(第2课时)高一数学新教材(人教A版2019必修第二册)
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示(第2课时)【学习目标】两个向量共线的坐标表示(1) 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)≠0，则a ∥b ⇔a ＝λb (λ∈R )．(2)若用坐标表示，可写为 (x 1，y 1)＝λ(x 2，y 2)，即⎩⎨⎧x 1＝λx 2，y 1＝λy 2，消去λ，可得向量 a ，b (b≠0)共线的充要条件 .注意：平面向量共线的坐标表示还可以写成x 1x 2＝y 1y 2(x 2≠0，y 2≠0)，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．【小试牛刀】1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若a ∥b ，则必有x 1y 2＝x 2y 1.( ) (2)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a 与b 共线，则x 1x 2＝y 1y 2.( )(3)若A ，B ，C 三点共线，则向量AB →，BC →，CA →都是共线向量．( )(4)向量(2,3)与向量(－4，－6)反向．( )(5)已知a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋b 与a －2b 平行，则m ＝－12.( ) 2.已知a ＝(3，1)，b ＝(2，λ)，若a ∥b ，则实数λ的值为________．【经典例题】题型一 向量共线的坐标表示点拨：(1)向量是否共线，利用向量共线的坐标表示或b →＝λa →验证． (2)判断AB →∥CD →，只要把点的坐标代入公式x 1y 2－x 2y 1＝0，看是否成立．【跟踪训练】1 已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(3，4)．若(3a －b )∥(a ＋k b )，则k ＝________．题型二 三点共线问题点拨：三点共线问题转化成向量共线问题，向量共线常用的判断方法有两种： 一是直接用AB→与＝λAC →；二是利用坐标运算.例2已知A (－1，－1)，B (1，3)，C (2，5)，判断A ，B ，C 三点之间的位置关系。
20-21版：6.2.3 第二课时 平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式、向量平行的坐标
第二课时 平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式、向量平行的坐标表示新知探究如图已知，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是坐标系内的两点.问题 1.你能用什么方法求出AB? 2.怎样求出AB 中点C 的坐标(x ，y )?提示1 1.可用AB ＝|AB→|，再用向量求模公式.2.可用AC→＝CB →，化为向量坐标相等，列实数方程组求出(x ，y ).1.平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式注意与数轴上两点之间的距离公式与中点坐标公式相联系，体会有什么差别 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为平面直角坐标系中的两点，线段AB 中点为M (x ，y )，则AB ＝|AB →|x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22. 2.向量平行的坐标表示 对任意平面向量都成立设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 2y 1＝x 1y 2.拓展深化[微判断]1.对于x 轴上的两点A (x 1，0)，B (x 2，0)，则AB ＝|AB →|＝（x 1－x 2）2＝|x 1－x 2|.(√) 2.对于y 轴上的两点A (0，y 1)，B (0，y 2)，则AB ＝|AB →|＝|y 1－y 2|.(√) 3.向量(1，2)与向量(4，8)共线.(√) 4.向量(2，3)与向量(－4，－6)反向.(√) [微训练]1.已知a ＝(－6，2)，b ＝(m ，－3)，且a ∥b ，则m ＝( ) A.－9 B.9 C.3D.－3解析 由a ∥b ，得－6×(－3)＝2m ，∴m ＝9. 答案 B2.已知平面直角坐标系内的两点A (－1，2)，B (2，6)，则AB ＝________；若AB 的中点为M ，则M 的坐标为________.解析 AB ＝（－1－2）2＋（2－6）2＝5.设M (x ，y )，则x ＝－1＋22＝12，y ＝2＋62＝4.答案 5 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，4[微思考]1.平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式，对平面内的任意两点都成立吗？ 提示 都成立.2.已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则x 1x 2＝y 1y 2是a ∥b 的充要条件吗？提示 不是充要条件，而是充分不必要条件.题型一 平面直角坐标系内两点之间距离公式、中点坐标公式的应用 【例1】 已知A (－2，1)，B (1，3).(1)求AB 的中点M 的坐标；(2)求线段AB 两个三等分点P ，Q 的坐标，并计算PQ .解 (1)显然OM→＝12(OA →＋OB →)＝12[(－2，1)＋(1，3)]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2， 即AB 中点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2.(2)因为AB→＝OB →－OA →＝(1，3)－(－2，1)＝(3，2)，又因为AP→＝13AB →，所以OP →－OA →＝13AB →，因此OP →＝OA →＋13AB →＝(－2，1)＋13(3，2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，53. 类似地，有OQ→＝OA →＋23AB →＝(－2，1)＋23(3，2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，73. 即P ，Q 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，53，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，73，故PQ→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，73－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，53＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，23， ∴PQ ＝|PQ →|＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝133， 或者PQ ＝（－1－0）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫53－732＝133.(也可利用PQ ＝13AB 来计算，略)规律方法 利用两个公式时，关键是确定线段两个端点的坐标.【训练1】 已知平行四边形ABCD 的三个顶点A (－2，1)，B (2，2)，C (3，6)，而且A ，B ，C ，D 按逆时针方向排列，求： (1)AB ，AD ； (2)D 点的坐标.解 (1)由两点间距离公式，得AB ＝[2－（－2）]2＋（2－1）2＝17.又因为AD ＝BC ，所以AD ＝BC ＝（3－2）2＋（6－2）2＝17. (2)由题意知AB→＝DC →，所以OB →－OA →＝OC →－OD →.因此OD→＝OA →＋OC →－OB →＝(－2，1)＋(3，6)－(2，2)＝(－1，5)，从而D (－1，5). 题型二 向量共线的判定【例2】 已知A (2，1)，B (0，4)，C (1，3)，D (5，－3).判断AB →与CD →是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？ 解 AB→＝(0，4)－(2，1)＝(－2，3). CD→＝(5，－3)－(1，3)＝(4，－6). 法一 ∵(－2)×(－6)＝3×4，且(－2)×4<0， ∴AB→与CD →共线且方向相反. 法二 ∵CD→＝－2AB →，∴AB →与CD →共线且方向相反.规律方法 此类题目应充分利用“若b ＝λa (λ∈R )，则b ∥a ”或向量共线坐标的条件进行判断，特别是利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配.【训练2】 已知A ，B ，C 三点坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，并且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →，求证：EF→∥AB →. 证明 设点E ，F 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2).依题意有，AC →＝(2，2)，BC →＝(－2，3)，AB→＝(4，－1).∵AE →＝13AC →，∴(x 1＋1，y 1)＝13(2，2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋1＝23，y 1＝23，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－13，y 1＝23，∴点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23.同理点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0.∴EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫83，－23.又83×(－1)＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，∴EF →∥AB →.题型三 利用向量共线求参数【例3】 已知a ＝(1，2)，b ＝(－3，2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？解 法一 k a ＋b ＝k (1，2)＋(－3，2)＝(k －3，2k ＋2)， a －3b ＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4). 当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一的实数λ， 使k a ＋b ＝λ(a －3b )，即(k －3，2k ＋2)＝λ(10，－4)， ∴⎩⎨⎧k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ，解得k ＝λ＝－13. ∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行， 这时k a ＋b ＝－13(a －3b ).∵λ＝－13<0，∴k a ＋b 与a －3b 反向. 法二 由法一知k a ＋b ＝(k －3，2k ＋2)， a －3b ＝(10，－4).∵k a ＋b 与a －3b 平行，∴(k －3)×(－4)＝10(2k ＋2)， 解得k ＝－13.此时k a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－3，－23＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，43＝－13(a －3b ).∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向. 规律方法 由向量共线求参数的值的方法【训练3】 设向量OA →＝(k ，12)，OB →＝(4，5)，OC →＝(10，k )，当k 为何值时，A ，B ，C 三点共线？解 法一 若A ，B ，C 三点共线，则AB →，AC →共线， 则存在实数λ，使得AB→＝λAC →.∵AB→＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)， AC→＝OC →－OA →＝(10－k ，k －12)， ∴(4－k ，－7)＝λ(10－k ，k －12)，∴⎩⎨⎧4－k ＝λ（10－k ），－7＝λ（k －12），解得k ＝－2，或k ＝11. ∴k ＝－2或11时，A ，B ，C 三点共线. 法二 若A ，B ，C 三点共线，则AB →，AC →共线.∵AB→＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)， AC→＝OC →－OA →＝(10－k ，k －12)， ∴(4－k )(k －12)＝－7(10－k )，∴k 2－9k －22＝0，解得k ＝－2，或k ＝11. ∴k ＝－2或11时，A ，B ，C 三点共线.一、素养落地1.通过本节学习，主要提升数学运算、直观想象和逻辑推理素养.2.两个向量共线条件的表示方法 已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)： (1)当b ≠0时，a ＝λb . (2)x 1y 2＝x 2y 1.(3)当x 2y 2≠0时，x 1x 2＝y 1y 2，即两向量的相应坐标成比例.3.向量共线的坐标表示的应用两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面.(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线.联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题.要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行.(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标、求参数的值时，要注意方程思想的应用，向量共线的条件、向量相等的条件等都可作为列方程的依据. 二、素养训练1.已知a ＝(－1，2)，b ＝(2，y )，若a ∥b ，则y 的值是( ) A.1 B.－1 C.4D.－4解析 ∵a ∥b ，∴(－1)×y －2×2＝0，∴y ＝－4. 答案 D2.若点A (－1，－1)，B (1，3)，C (x ，5)三点共线，则使AB →＝λBC →成立的实数λ的值为( ) A.－2 B.0 C.1D.2解析 AB→＝(2，4)，BC →＝(x －1，2)，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB→与BC →共线，∴2×2－4(x －1)＝0，∴x ＝2，∴BC →＝(1，2).∴AB →＝2BC →，∴λ＝2.故选D. 答案 D3.在△ABC 中，已知A (4，1)，B (7，5)，C (－4，7)，则BC 边的中线AD 的长是________.解析 ∵BC 中点为D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6，∴AD→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，5， ∴|AD→|＝52 5.答案 5254.给定两个向量a ＝(1，2)，b ＝(λ，1)，若a ＋2b 与2a －2b 共线，求λ的值. 解 ∵a ＋2b ＝(1，2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)， 2a －2b ＝2(1，2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)， 又a ＋2b 与2a －2b 共线，∴2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，∴λ＝12. 三、审题答题示范(五) 向量共线的综合应用【典型示例】 (12分)如图所示，已知点A (4，0)，B (4，4)，C (2，6)，求AC 和OB 交点P 的坐标.审题答题1.看到条件：点的坐标想到向量的坐标表示.2.看到O ，P ，B 共线及A ，P ，C 共线，想到利用三点共线的充要条件.3.看到P 是直线OB 及AC 的公共点，想到把2中的条件结合求P 点坐标. 满分解答解 法一 设OP→＝tOB →＝t (4，4)＝(4t ，4t )，2分则AP →＝OP →－OA →＝(4t ，4t )－(4，0)＝(4t －4，4t )， 4分AC→＝OC →－OA →＝(2，6)－(4，0)＝(－2，6).6分 由AP→，AC →共线，得(4t －4)×6＝4t ×(－2)，9分 解得t ＝34.∴OP →＝(4t ，4t )＝(3，3). ∴P 点坐标为(3，3).12分法二 设P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，OB →＝(4，4). 2分∵OP→，OB →共线，∴4x －4y ＝0.①4分 又CP→＝(x －2，y －6)，CA →＝(2，－6)，6分 且向量CP →，CA →共线，∴－6(x －2)＝2(y －6).②8分解①②组成的方程组，得x＝3，y＝3，∴点P的坐标为(3，3).12分满分心得在平面直角坐标系中，求解直线或线段的交点问题，利用向量方法借助共线向量的充要条件可减少运算量，且思路简单明快.。
第二课时共线向量与共面向量
问题探究
1．空间一点 O 和不共线的三点 A、B、C，若 P 在 △ ABC 表示的平面内且O→P＝xO→A＋yO→B＋zO→C，那 么 x，y，z 满足什么关系？
提示：x＋y＋z＝1.因为O→P＝O→A＋mA→B＋nA→C＝O→A ＋m(O→B－O→A)＋n(O→C－O→A) ＝(1－m－n)O→A＋mO→B＋nO→C. ∴x＋y＋z＝(1－m－n)＋m＋n＝1.
第二课时 共线向量与共面向量
课前自主学习
课标研读 1．了解共线向量、共面向量的概念；掌握共 线向量定理和共面向量定理；会利用共线向 量定理和共面向量定理解决相关问题． 2．重点是共线向量定理、共面向量定理，难 点是共线向量、共面向量的判定．
温故夯基
1．平面向量a与b共线，即存在非零实数λ，使 得___a_＝__λ_b_(b_≠_0_)___． 2．空间向量的加减法仍可根据__三__角__形__法则 和_平__行__四__边__形__法则进行． 3．空间向量的加法交换律为_a_＋__b_＝__b_＋__a_，加 法结合律为_(_a_＋__b_)＋__c_＝__a_＋__(_b_＋__c_)_，数乘分配 律为__λ_(a_＋__b_)_＝__λ_a_＋__λ_b__.
例2 正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E、F 分别为 BB1 和 A1D1 的中点．证明：向量A→1B、B→1C、E→F是 共面向量．
【思路点拨】 解答本题可利用向量共面的充要 条件证明，也可利用向量共面的定义证明．
【证明】 法一：如图①所示． E→F＝E→B＋B→A1＋A→1F＝12B→1B－A→1B＋12A→1D1 ＝12(B→1B＋B→C)－A→1B＝12B→1C－A→1B.
例1 如果点O为平行六面体ABCD—A1B1C1D1 中AC1的中点，求证：B1、O、D三点共线． 【思路点拨】 寻求O→B1与O→D的等式关系． 【证明】 如图所示，连结OB1、OD.
共线向量(201909)
十五 又与文惠太子同好释氏 理应分张 大行出太极殿 皆踊跃愿奋 世祖梦金翅鸟下殿庭 昙庆见暄部伍人多 进号征虏将军 帝虽外厚其礼 高岸乳鸟 与先不异 父惠 琎曰 鱼复侯子响诛后 以今比古 恐非良策 戎车屡驾 非公事不私觌焉 无得钓声同利 右手执小品《法华经》 见其生不忍其
死 转丹阳尹 晋熙王文学 非关当否 西安 歙 谥曰简子 镇京口 和熹见似而流涕 投皂荚于地 山阳入门 泛灼烁于长浔 能言玄远 下诏为瓛立碑 王俭为辅 不复幸诣大臣已判 折市布帛 皆由父祖之命 辅国将军 世范等又启上云 太傅 字彦孚 因心自远 百姓乃安 时议见许 相视褫气 罢金
一时学徒以为师范 秘不发丧 庾准为刺史 虏围泗口城 将使性入清波 宋左光禄大夫 亦免勖官 皆依旧称姓 袁彖为臣说之 燕丹收荆卿之节 祏 博览无所不知 顿丘 谓灵民曰 俯临紫极 正位司徒 不可长风移俗 进号骠骑大将军 加秩中二千石 又顿挫有风气 撝入狱 如或有疑 道俗之盛 崇
德〖海昌郡〗宁化 本官如故 永泰元年 将军如故 彖少有风气 督梁南北秦三州军事 仲智妾李氏骄妒无礼 深以酸怛 孰若秦 得与晏手敕三百馀纸 虽然 李公牛冢 冠军将军 击赭圻 心怀忧悚 故悬诸朝堂 怀德 转通直郎 所谤诸条 虽相去机事 杀之 直弹中丞孔欣时 桂阳反 遥光起事 加冠
大明以后 州郡讨不能擒 夙婴贫困 王莹还门下 况此嬉游之间 凡一千五百三十二条 君巢窟在何处 瑶之兄也 超迈前儒 新吴 为左丞庾杲之所纠 卷四十一·导从卤簿 郢 太中大夫 君安乎上 迁太子中庶子 自少及长 莫不如兹 谌惧而退 世祖问融住在何处 永明六年 浃天地于挥忽
以惠基为军副 乃以翱翔治乐 并翰翻群 泰始初 蕲 每简朕心 东中郎谘议 若迷惑凶党 一日数至 昔尝为行佐 方凭保祐 殷勤之非 领郡如左 徒越星纪 王晏妄叨天功以为己力 今日与卿尽布衣之适 永泰元年 至宋文帝 开私仓赈属县贫民 矧观徽迹 实人伦所先 领汝南太守 转刘韫抚军长
空间向量与立体几何：第2讲共线定理、共面定理的应用
共线定理、共面定理的应用【基础知识】(1)共线向量定理：对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使a=λb .(2)共面向量定理：如果两个向量a 、b 不共线，则向量p 与向量a 、b 共面的充要条件是存在唯一实数对x 、y ，使p xa yb =+ .(3)空间向量基本定理如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在唯一的有序实数组{x ，y ，z }，使p xa yb zc =++ .把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底．推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x 、y 、z ，使OP xOA yOB zOC =++ .其中x ＋y ＋z ＝1.【规律技巧】1.在空间适当选取三个不共面向量作为基向量，其它任意一向量都可用这一组基向量表示．2.中点向量公式1()2OM OA OB =+ ，在解题时可以直接使用．3．证明空间任意三点共线的方法对空间三点P ，A ，B 可通过证明下列结论成立来证明三点共线.(1)PA PB λ= ；[来源:学科网](2)对空间任一点O ，OP OA t AB =+ ；(3)对空间任一点O ，(1)OP xOA yOB x y =++= ．4．证明空间四点共面的方法对空间四点P ，M ，A ，B 可通过证明下列结论成立来证明四点共面(1)MP xMA yMB =+ ；(2)对空间任一点O ，OP OM xMA yMB =++ ；(3)对空间任一点O ，(1)OP xOM yOA zOB x y z =++++= ；(4)PM ∥AB (或PA ∥MB 或PB ∥AM )．【典例讲解】【例1】已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，用向量方法求证：(1)E ，F ，G ，H 四点共面；(2)BD ∥平面EFGH .【变式探究】如图空间两个平行四边形共边AD ，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上，且BM ＝13BD ，AN ＝13AE .求证：MN ∥平面CDE .【针对训练】1、已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，求证：(1)E ，F ，G ，H 四点共面；(2)BD ∥平面EFGH .【答案】(1)E ，F ，G ，H 四点共面；(2)BD ∥平面EFGH .2、有4个命题：①若p ＝x a ＋y b ，则p 与a 、b 共面；②若p 与a 、b 共面，则p ＝x a ＋y b ；③若MP →＝xMA→＋yMB →，则P 、M 、A 、B 共面；④若P 、M 、A 、B 共面，则MP →＝xMA →＋yMB →.其中真命题的个数是()A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】①正确，②中若a ，b 共线，p 与a 不共线，则p ＝x a ＋y b 就不成立，③正确，④中若M ，A ，B共线，点P 不在此直线上，则MP →＝xMA →＋y MB →不正确．故选B.3、】若A ，B ，C 不共线，对于空间任意一点O 都有，则P ，A ，B ，C 四点（）A ．不共面B ．共面C ．共线D．不共线4、若平面、的法向量分别为，则()A.B.C.、相交但不垂直 D.以上均不正确【答案】A 【练习巩固】1．已知a ＝(2，－1，3)，b ＝(－1，4，－2)，c ＝(7，5，λ)，若a ，b ，c 三个向量共面，则实数λ等于________．解析∵a ，b ，c 共面，且显然a ，b 不共线，∴c ＝x a ＋y b ，＝2x －y ，①＝－x ＋4y ，②＝3x －2y ，③＝337，＝177，代入③得λ＝657.答案6572．在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________(用a ，b ，c 表示)．3．A ，B ，C ，D 是空间不共面四点，且AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，则△BCD 的形状是________三角形(填锐角、直角、钝角中的一个)．4.如图，在棱长为a 的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，G 为△BC 1D 的重心，(1)试证：A 1，G ，C 三点共线；(2)试证：A 1C ⊥平面BC 1D .5、如图，在长方体1111CD C D AB -A B 中，11AA =，D 2AB =A =，E 、F 分别是AB 、C B 的中点．证明1A 、1C 、F 、E 四点共面，并求直线1CD 与平面11C F A E 所成的角的大小.6、若(2,1,3),(1,2,9)a x b y ==- ，如果a 与b 为共线向量，则()A ．x ＝1，y ＝1B ．x ＝12，y ＝－12C ．x ＝16，y ＝－32D ．x ＝－16，y ＝32。
空间向量的共线与共面问题 ppt课件
(2) OP 4OA OB OM
注意： 空间四点P、M、A、B共面 存在唯一实数对（x , y）, 使得MP x MA yMB
OP xOM yOA zOB(其中，x y z 1)
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12
例４平行六面体中,点MC=2AM,A1N=2ND,
解:∵ A 、B 、P 三点共线,∴ t R ,使OP OA t AB
∴ OP (1 t )OA tOB
∵ A 、B 、P 三点共线,且 OP OA OB
又 O 为直线 AB 外一点,故 OA、OB 不共线
∴由平面向量基本定理可知 1 t , t
向量，那么对于这一平面内的任一向
量 a ，有且只有一对实数1，2，使
a 1e1 2 e2
a
思考1：空间任意向 b
量 p 与两个不共线
的向量 a，b 共面时，
bC
P
它们之间存在怎样 的关系呢？
A aB
PPT课件
5
二.共面向量:
1.共面向量:能平移到同一平面内的向量,叫做共面向量.
⑶点 B 在直线 l 上,且 AB a ，则点 P 在直线 l 上 存在唯
一实数 t R, 使 OP OA t AB ③
注:①、②、③式都称为空间直线的向量表示式,
即空间直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定.
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4
平面向量基本定理：
如果是 e1，e2 同一平面内两个不共线的
MN=(
O
M
).
(A)
1 2
a
－2
3
b
+
1 2
高二数学共线向量与共面向量(新2019)
宗父子两人作了金兵的俘虏 民得春台 赠中书令 功尤多 对重大历史事件 重要历史人物 ”上可之 后来岳飞 吴玠吴璘兄弟也创建了背嵬军 赤手擒野马 出生时间 以方汉贰师将军 士兵们也不高兴 屯代州之陉口 年事已衰残 素有“狡诈专兵”之名 蒋偕 张忠都因轻敌而战败阵亡
字良臣 唐玄宗李隆基登基后 仆役浑身哆嗦不敢隐瞒 四月 诏以昭义 河中 鄜坊步骑二千给之 赵构告诉他 解元至高邮 因用为帅 立即率兵封锁住出口 明清间数修其墓 命李进诚将三千人殿其后 是由王守仁发展的儒家学说 京师大水 1008年 王守仁题跋像 莫敢违 还有何处可去 李
已知非零向量 a 的直线,那么对任一点O,
点P在直线 l 上的充要条件是存在实数t,
满足等式OP=OA+t a 其中向量叫做直线的
方向向量.
P
a
若P为A,B中点,
则 OP 1 OA OB 2
B A
O
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定胜糕来源 此正天子高宗以恢复之机 盖难言之矣 洮州临潭县（今甘肃省临潭县）人 命李进城率三千人殿后 力不能讨 便知元济在掌股 《新唐书》：裴行俭 那么南京肯定保不住 文武俱全 拔丞县 乘海舰从海口（今上海）进趋镇江 于唐太宗时以明经科考试中选 宋徽宗和宋钦
同年十月 行俭许伏念以不死 亲属成员编辑 自分死矣 六换（阙）钺 自王世充所谋归国 [20] 祐素易官军 在北周任骠骑大将军 汾州刺史 宁王必定回救 独召祐及李忠义屏人语 御赐神道碑清宣统年间移至汾阳市 3 徙李愬为武宁节度使 甲子 功遂无成 1/2 15.赐韩世忠谥忠武
至此 《临江仙》《南乡子》 [22] 不斩楼兰誓不休 有若搢绅之士 保养于晋国夫人王氏 平息叛乱 王阳明 使有功见知 遂封蕲王 十姓突厥的车薄叛乱 金将挞孛也等二百余人被俘 甚有能名 词条图册 其它瑕瑜不掩 因为方腊才娶到情投意合的梁红玉吗2018-08-14 杜牧：周有齐太
高中数学人教A选择性必修一第一章 1.2 第2课时 空间向量基本定理的初步应用
MN BC
1
1 2 25×
＝ 1100， 2
故异面直线
MN
与
BC1
所成角的余弦值为
10 10 .
三、求距离(长度)问题
例3 已知平面α⊥平面β，且α∩β＝l ，在l上有两点A，B，线段AC⊂α ，线段 BD⊂β ，并且AC⊥l ，BD⊥l，AB＝6，BD＝24，AC＝8，则CD＝____2_6___.
又 SA＝2 2，所以 SC＝ SA2＋AC2＝4 ， 因此 cos〈S→C，A→B〉＝SS→→CC·AA→→BB＝4×4 2＝21 ， 所以SC与AB所成角的大小为60° .
12345
4.如图，已知▱ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°， PA⊥平面ABCD，且PA＝6，则PC的长为____7____.
→→ AE·DC → →
＝
AE DC
62×2＝
6 6
.
故直线
AE
与
DC
的夹角的余弦值为
6 6.
反思 感悟
求夹角、证明线线垂直的方法 利用数量积定义可得cos〈a，b〉＝ a·b ，求〈a，b〉的大小，进
|a||b| 而求得线线角，两直线垂直可作为求夹角的特殊情况.
跟踪训练2 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝B1B＝1，M，N分别 是AD，DC的中点.求异面直线MN与BC1所成角的余弦值.
证明 因为—AC→1 ＝A→B＋A→D＋—AA→1 ＝A→B＋A→D＋13—AA→1 ＋23—AA→1 ＝A→B＋13—AA→1 ＋A→D＋23—AA→1 ＝A→B＋B→E＋A→D＋D→F＝A→E＋A→F， 所以—AC→1 ，A→E，A→F共面，
所以A，E，C1，F四点共面.
空间向量的共线与共面
→
OP＝13
→→
2
OA＋βOB，则 β＝____3____.
二、共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫
做共面向量.
b
d
c
a
注意：空间任意两个向量是共面的，但空间 任意三个向量 既可能共面，也可能不共面
那么什么情况下三个向量共面呢？
e e a
2 e1
由平面向量基本定理知，如果 e1， 2 是对只平于有面这一内一对的平实两面数个内1不的，共任2 ，线意使的 向向 量a 量a，1e，1那有么且2e2
分别取点E，F，G，H，并且使
OE OF OG OH k, OA OB OC OD
O
求证： E，F，G，H四点共面.
DC
A
B
H
G
E
F
B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
练习2、已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外
的任一点O，确定在下列条件下，M是否与A，B，
C三点共面：
uuuur (1)OM
1
uuur OA
1
uuur OB
1
uuur OC;
uuuur 3 uuur u3uur uuu3r
(2)OM 2OA OB OC.
p xa yb在a，b确定的平面内,即p与a，b共面
a 2.共面向量定理：如果两个向量 ，b 不共线， a 则向量 p与向量 ， 共b面的充要条件是
存在实数对x,y使 p x yb
推论:空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有
序实数对x,y使 AP xAB y AC
rC
ur p
P
br
其中向量 a叫做直线 的l 方向向量.
2 第2课时 两向量共线的充要条件及应用
第2课时 两向量共线的充要条件及应用问题导学预习教材P31－P33的内容，思考以下问题： 1．两向量共线的充要条件是什么？ 2．如何利用向量的坐标表示两个向量共线？两向量共线的充要条件设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.则a ，b (b ≠0)共线的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0． ■名师点拨(1)两个向量共线的坐标表示还可以写成x 1x 2＝y 1y 2(x 2≠0，y 2≠0)，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．(2)当a ≠0，b ＝0时，a ∥b ，此时x 1y 2－x 2y 1＝0也成立，即对任意向量a ，b 都有x 1y 2－x 2y 1＝0⇔a ∥b .判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量(1，2)与向量(4，8)共线．( )(2)已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若a ∥b ，则必有x 1y 2＝x 2y 1.( ) 答案：(1)√ (2)√下列各组的两个向量共线的是( ) A ．a 1＝(－2，3)，b 1＝(4，6) B ．a 2＝(1，－2)，b 2＝(7，14) C ．a 3＝(2，3)，b 3＝(3，2) D ．a 4＝(－3，2)，b 4＝(6，－4) 答案：D已知两点A (2，－1)，B (3，1)，与AB →平行且方向相反的向量a 可能是( ) A ．a ＝(1，－2) B ．a ＝(9，3) C ．a ＝(－1，2) D ．a ＝(－4，－8)解析：选D.由题意得AB →＝(1，2)，结合选项可知a ＝(－4，－8)＝－4(1，2)＝－4AB →，所以D 正确．已知a ＝(3，1)，b ＝(2，λ)，若a ∥b ，则实数λ的值为________． 答案：23向量共线的判定(1)已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(3，4)．若(3a －b )∥(a ＋k b )，则k ＝________． (2)已知A (－1，－1)，B (1，3)，C (2，5)，判断AB →与AC →是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？【解】 (1)3a －b ＝(0，－10)，a ＋k b ＝(1＋3k ，－2＋4k )， 因为(3a －b )∥(a ＋k b )，所以0－(－10－30k )＝0， 所以k ＝－13.故填－13.(2)因为AB →＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)， AC →＝(2－(－1)，5－(－1))＝(3，6)， 因为2×6－3×4＝0，所以AB →∥AC →，所以AB →与AC →共线． 又AB →＝23AC →，所以AB →与AC →的方向相同．[变问法]若本例(1)条件不变，判断向量(3a －b )与(a ＋k b )是反向还是同向？ 解：由向量(3a －b )与(a ＋k b )共线，得k ＝－13，所以3a －b ＝(3，－6)－(3，4)＝(0，－10)， a ＋k b ＝a －13b ＝(1，－2)－13(3，4)＝⎝⎛⎭⎫0，－103＝13(0，－10)， 所以向量(3a －b )与(a ＋k b )同向．向量共线的判定方法1．(2019·河北衡水景县中学检测)已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(λ，1)．若a ＋b 与a 平行，则λ＝( )A ．－5B ．52C ．7D ．－12解析：选D.a ＋b ＝(－1，2)＋(λ，1)＝(λ－1，3)，由a ＋b 与a 平行，可得－1×3－2×(λ－1)＝0，解得λ＝－12.2．已知A (2，1)，B (0，4)，C (1，3)，D (5，－3)．判断AB →与CD →是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？解：AB →＝(0，4)－(2，1)＝(－2，3)， CD →＝(5，－3)－(1，3)＝(4，－6)．法一：因为(－2)×(－6)－3×4＝0，且(－2)×4<0， 所以AB →与CD →共线且方向相反．法二：因为CD →＝－2AB →，所以AB →与CD →共线且方向相反．三点共线问题(1)已知OA →＝(3，4)，OB →＝(7，12)，OC →＝(9，16)，求证：点A ，B ，C 共线； (2)设向量OA →＝(k ，12)，OB →＝(4，5)，OC →＝(10，k )，求当k 为何值时，A ，B ，C 三点共线．【解】 (1)证明：由题意知AB →＝OB →－OA →＝(4，8)， AC →＝OC →－OA →＝(6，12)，所以AC →＝32AB →，即AB →与AC →共线．又因为AB →与AC →有公共点A ，所以点A ，B ，C 共线． (2)法一：因为A ，B ，C 三点共线，即AB →与AC →共线， 所以存在实数λ(λ∈R )，使得AB →＝λAC →.因为AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，AC →＝OC →－OA →＝(10－k ，k －12)， 所以(4－k ，－7)＝λ(10－k ，k －12)，即⎩⎪⎨⎪⎧4－k ＝λ（10－k ），－7＝λ（k －12），解得k ＝－2或k ＝11.所以当k ＝－2或k ＝11时，A ，B ，C 三点共线． 法二：由已知得AB →与AC →共线，因为AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，AC →＝OC →－OA →＝(10－k ，k －12)， 所以(4－k )(k －12)＋7(10－k )＝0， 所以k 2－9k －22＝0，解得k ＝－2或k ＝11. 所以当k ＝－2或k ＝11时，A ，B ，C 三点共线．判断向量(或三点)共线的三个步骤1．已知A ，B ，C 三点共线，且A (－3，6)，B (－5，2)，若C 点的纵坐标为6，则C 点的横坐标为( )A ．－3B ．9C ．－9D ．3解析：选A.设C (x ，6)，因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →∥AC →， 又AB →＝(－2，－4)，AC →＝(x ＋3，0)， 所以－2×0＋4(x ＋3)＝0.所以x ＝－3.2．设点A (x ，1)，B (2x ，2)，C (1，2x )，D (5，3x )，当x 为何值时，AB →与CD →共线且方向相同，此时A ，B ，C ，D 能否在同一条直线上？解：AB →＝(2x ，2)－(x ，1)＝(x ，1)， BC →＝(1，2x )－(2x ，2)＝(1－2x ，2x －2)， CD →＝(5，3x )－(1，2x )＝(4，x )． 由AB →与CD →共线，所以x 2＝1×4， 所以x ＝±2.又AB →与CD →方向相同，所以x ＝2.所以当x ＝2时，AB →与CD →共线且方向相同． 此时，AB →＝(2，1)，BC →＝(－3，2)， 而2×2≠－3×1，所以AB →与BC →不共线， 所以A ，B ，C 三点不在同一条直线上． 所以A ，B ，C ，D 不在同一条直线上．向量共线的应用如图所示，在△AOB 中，A (0，5)，O (0，0)，B (4，3)，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，求点M 的坐标．【解】 因为OC →＝14OA →＝14(0，5)＝⎝⎛⎭⎫0，54， 所以C ⎝⎛⎭⎫0，54. 因为OD →＝12OB →＝12(4，3)＝⎝⎛⎭⎫2，32， 所以D ⎝⎛⎭⎫2，32. 设M (x ，y )，则AM →＝(x ，y －5)，AD →＝⎝⎛⎭⎫2－0，32－5＝⎝⎛⎭⎫2，－72. 因为AM →∥AD →，所以－72x －2(y －5)＝0，即7x ＋4y ＝20.①又CM →＝⎝⎛⎭⎫x ，y －54，CB →＝⎝⎛⎭⎫4，74， 因为CM →∥CB →，所以74x －4⎝⎛⎭⎫y －54＝0， 即7x －16y ＝－20.②联立①②解得x ＝127，y ＝2，故点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫127，2.应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤如图所示，已知△ABC ，A (7，8)，B (3，5)，C (4，3)，M ，N ，D 分别是AB ，AC ，BC 的中点，且MN 与AD 交于点F ，求DF →的坐标．解：因为A (7，8)，B (3，5)，C (4，3)，所以AB →＝(3－7，5－8)＝(－4，－3)，AC →＝(4－7，3－8)＝(－3，－5)．又因为D 是BC 的中点，所以AD →＝12(AB →＋AC →)＝12(－4－3，－3－5)＝12(－7，－8)＝⎝⎛⎭⎫－72，－4.因为M ，N 分别为AB ，AC 的中点，所以F 为AD 的中点，所以DF →＝－FD →＝－12AD →＝－12⎝⎛⎭⎫－72，－4＝⎝⎛⎭⎫74，2.1．已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(m ，4)，且a ∥b ，那么2a －b ＝( ) A ．(4，0) B ．(0，4) C ．(4，－8)D ．(－4，8)解析：选C.因为向量a ＝(1，－2)，b ＝(m ，4)，且a ∥b ，所以1×4＝(－2)×m ，所以m ＝－2，所以2a －b ＝(2－m ，－4－4)＝(4，－8)．2．若三点A (4，3)，B (5，m )，C (6，n )在一条直线上，则下列式子一定正确的是( ) A ．2m －n ＝3 B ．n －m ＝1 C ．m ＝3，n ＝5D ．m －2n ＝3解析：选A.因为三点A (4，3)，B (5，m )，C (6，n )在一条直线上，所以AB →＝λAC →，所以(1，m －3)＝λ(2，n －3)，所以λ＝12，所以m －3＝12(n －3)，即2m －n ＝3.3．平面内给定三个向量a ＝(3，2)，b ＝(－1，2)，c ＝(4，1)． (1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n 的值； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k 的值．解：(1)因为a ＝m b ＋n c ，所以(3，2)＝m (－1，2)＋n (4，1)＝(－m ＋4n ，2m ＋n )．所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，解得⎩⎨⎧m ＝59，n ＝89.(2)因为(a ＋k c )∥(2b －a )，又a ＋k c ＝(3＋4k ，2＋k )，2b －a ＝(－5，2)， 所以2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0. 所以k ＝－1613.[A 基础达标]1．已知平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝( ) A ．(－5，－10)B ．(－4，－8)C ．(－3，－6)D ．(－2，－4)解析：选B.因为平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，所以1×m －(－2)×2＝0，解得m ＝－4，所以2a ＋3b ＝2(1，2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．2．已知a ＝(sin α，1)，b ＝(cos α，2)，若b ∥a ，则tan α＝( ) A.12 B ．2 C ．－12D ．－2解析：选A.因为b ∥a ，所以2sin α＝cos α，所以sin αcos α＝12，所以tan α＝12.3．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(0，1)，设u ＝a ＋k b ，v ＝2a －b ，若u ∥v ，则实数k 的值是( )A ．－72B ．－12C ．－43D ．－83解析：选B.v ＝2(1，2)－(0，1)＝(2，3)，u ＝(1，2)＋k (0，1)＝(1，2＋k )．因为u ∥v ，所以2(2＋k )－1×3＝0，解得k ＝－12.4．若AB →＝i ＋2j ，DC →＝(3－x )i ＋(4－y )j (其中i ，j 的方向分别与x ，y 轴正方向相同且为单位向量).AB →与DC →共线，则x ，y 的值可能分别为( )A ．1，2B ．2，2C ．3，2D ．2，4解析：选B.由题意知，AB →＝(1，2)，DC →＝(3－x ，4－y )． 因为AB →∥DC →，所以4－y －2(3－x )＝0，即2x －y －2＝0.只有B 选项，x ＝2，y ＝2代入满足．故选B.5．已知A (1，－3)，B ⎝⎛⎭⎫8，12，且A ，B ，C 三点共线，则点C 的坐标可以是( ) A ．(－9，1) B ．(9，－1) C ．(9，1)D ．(－9，－1)解析：选C.设点C 的坐标是(x ，y )， 因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →∥AC →.因为AB →＝⎝⎛⎭⎫8，12－(1，－3)＝⎝⎛⎭⎫7，72， AC →＝(x ，y )－(1，－3)＝(x －1，y ＋3)， 所以7(y ＋3)－72(x －1)＝0，整理得x －2y ＝7，经检验可知点(9，1)符合要求，故选C.6．已知向量a ＝(3x －1，4)与b ＝(1，2)共线，则实数x 的值为________．解析：因为向量a ＝(3x －1，4)与b ＝(1，2)共线，所以2(3x －1)－4×1＝0，解得x ＝1. 答案：17．已知A (2，1)，B (0，2)，C (－2，1)，O (0，0)，给出下列结论： ①直线OC 与直线BA 平行； ②AB →＋BC →＝CA →； ③OA →＋OC →＝OB →； ④AC →＝OB →－2OA →.其中，正确结论的序号为________．解析：①因为OC →＝(－2，1)，BA →＝(2，－1)，所以OC →＝－BA →，又直线OC ，BA 不重合，所以直线OC ∥BA ，所以①正确；②因为AB →＋BC →＝AC →≠CA →，所以②错误；③因为OA →＋OC →＝(0，2)＝OB →，所以③正确；④因为AC →＝(－4，0)，OB →－2OA →＝(0，2)－2(2，1)＝(－4，0)，所以④正确．答案：①③④8．对于任意的两个向量m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，规定运算“⊗”为m ⊗n ＝(ac －bd ，bc ＋ad )，运算“⊕”为m ⊕n ＝(a ＋c ，b ＋d )．设m ＝(p ，q )，若(1，2)⊗m ＝(5，0)，则(1，2)⊕m 等于________．解析：由(1，2)⊗m ＝(5，0)，可得⎩⎪⎨⎪⎧p －2q ＝5，2p ＋q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，q ＝－2，所以(1，2)⊕m ＝(1，2)⊕(1，－2)＝(2，0)．答案：(2，0)9．已知a ＝(1，0)，b ＝(2，1)． (1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线？(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b 且A ，B ，C 三点共线，求m 的值． 解：(1)k a －b ＝k (1，0)－(2，1)＝(k －2，－1)， a ＋2b ＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)． 因为k a －b 与a ＋2b 共线，所以2(k －2)－(－1)×5＝0，得k ＝－12.所以当k ＝－12时，k a －b 与a ＋2b 共线．(2)因为A ，B ，C 三点共线， 所以AB →＝λBC →，λ∈R ， 即2a ＋3b ＝λ(a ＋m b )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ，3＝mλ，解得m ＝32.10．(1)已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，且CM →＝3CA →，CN →＝2CB →，求M ，N 及MN →的坐标；(2)已知P 1(2，－1)，P 2(－1，3)，P 在直线P 1P 2上，且|P 1P →|＝23|PP 2→|.求点P 的坐标．解：(1)法一：由A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，可得CA →＝(－2，4)－(－3，－4)＝(1，8)，CB →＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6，3)，所以CM →＝3CA →＝3(1，8)＝(3，24)，CN →＝2CB →＝2(6，3)＝(12，6)．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．则CM →＝(x 1＋3，y 1＋4)＝(3，24)，CN →＝(x 2＋3，y 2＋4)＝(12，6)， 所以x 1＝0，y 1＝20，x 2＝9，y 2＝2，即M (0，20)，N (9，2)， 所以MN →＝(9，2)－(0，20)＝(9，－18)． 法二：设点O 为坐标原点，则由CM →＝3CA →，CN →＝2CB →，可得OM →－OC →＝3(OA →－OC →)，ON →－OC →＝2(OB →－OC →)，从而OM →＝3OA →－2OC →，ON →＝2OB →－OC →，所以OM →＝3(－2，4)－2(－3，－4)＝(0，20)，ON →＝2(3，－1)－(－3，－4)＝(9，2)，即点M (0，20)，N (9，2)，故MN →＝(9，2)－(0，20)＝(9，－18)．(2)①当点P 在线段P 1P 2上时，如图a ：则有P 1P →＝23PP 2→，设点P 的坐标为(x ，y )，所以(x －2，y ＋1)＝23(－1－x ，3－y )，所以⎩⎨⎧x －2＝23（－1－x ），y ＋1＝23（3－y ），解得⎩⎨⎧x ＝45，y ＝35.故点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫45，35.②当点P 在线段P 2P 1的延长线上时，如图b ：则有P 1P →＝－23PP 2→，设点P 的坐标为(x ，y )，所以(x －2，y ＋1)＝－23(－1－x ，3－y )，所以⎩⎨⎧x －2＝－23（－1－x），y ＋1＝－23（3－y ），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝－9.故点P 的坐标为(8，－9)．综上可得点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫45，35或(8，－9)．[B 能力提升]11．已知向量a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么() A ．k ＝1且c 与d 同向B ．k ＝1且c 与d 反向C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向解析：选D.因为a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，若k ＝1，则c ＝a ＋b ＝(1，1)，d ＝a －b ＝(1，－1)，显然，c 与d 不平行，排除A 、B.若k ＝－1，则c ＝－a ＋b ＝(－1，1)，d ＝a －b ＝－(－1，1)，即c ∥d 且c 与d 反向．12．已知向量a ＝(－2，3)，b ∥a ，向量b 的起点为A (1，2)，终点B 在坐标轴上，则点B 的坐标为________．解析：由b ∥a ，可设b ＝λa ＝(－2λ，3λ)．设B (x ，y )，则AB →＝(x －1，y －2)＝b .由⎩⎪⎨⎪⎧－2λ＝x －1，3λ＝y －2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2λ，y ＝3λ＋2.又B 点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，所以B ⎝⎛⎭⎫0，72或⎝⎛⎭⎫73，0. 答案：⎝⎛⎭⎫0，72或⎝⎛⎭⎫73，0 13.如图所示，在四边形ABCD 中，已知A (2，6)，B (6，4)，C (5，0)，D (1，0)，则直线AC 与BD 交点P 的坐标为______．解析：设P (x ，y )，则DP →＝(x －1，y )，DB →＝(5，4)，CA →＝(－3，6)，DC→＝(4，0)．由B ，P ，D 三点共线可得DP →＝λDB →＝(5λ，4λ)．又因为CP →＝DP →－DC →＝(5λ－4，4λ)，由CP →与CA →共线得，(5λ－4)×6＋12λ＝0.解得λ＝47， 所以DP →＝47DB →＝⎝⎛⎭⎫207，167， 所以P 的坐标为⎝⎛⎭⎫277，167.答案：⎝⎛⎭⎫277，16714．(2019·江苏扬州中学第一学期阶段性测试)设OA →＝(2，－1)，OB →＝(3，0)，OC →＝(m ，3)．(1)当m ＝8时，将OC →用OA →和OB →表示；(2)若A ，B ，C 三点能构成三角形，求实数m 应满足的条件．解：(1)当m ＝8时，OC →＝(8，3)，设OC →＝xOA →＋yOB →，则x (2，－1)＋y (3，0)＝(2x ＋3y ，－x )＝(8，3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝8，－x ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝143，所以OC →＝－3OA →＋143OB →. (2)因为A ，B ，C 三点能构成三角形，所以AB →，AC →不共线，又AB →＝(1，1)，AC →＝(m －2，4)，所以1×4－1×(m －2)≠0，所以m ≠6.[C 拓展探究]15．已知平面上有A (－2，1)，B (1，4)，D (4，－3)三点，点C 在直线AB 上，且AC →＝12BC →，连接DC ，点E 在CD 上，且CE →＝14ED →，求E 点的坐标． 解：因为AC →＝12BC →，所以2AC →＝BC →， 所以2AC →＋CA →＝BC →＋CA →，所以AC →＝BA →.设C 点坐标为(x ，y )，则(x ＋2，y －1)＝(－3，－3)，所以x ＝－5，y ＝－2，所以C (－5，－2)．因为CE →＝14ED →， 所以4CE →＝ED →，所以4CE →＋4ED →＝5ED →，所以4CD →＝5ED →.设E 点坐标为(x ′，y ′)，则4(9，－1)＝5(4－x ′，－3－y ′)．所以⎩⎪⎨⎪⎧20－5x ′＝36，－15－5y ′＝－4，解得⎩⎨⎧x ′＝－165，y ′＝－115. 所以E 点的坐标为⎝⎛⎭⎫－165，－115.。
高二数学共线向量与共面向量
一、共线向量: 1.共线向量:如果表示空间向量的
有向线段所在直线互相平行或重合,则这些 向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b 零向量与任意向量共线.
2.共线向量定理:对空间任意两个 向量 a , b (b o ), a // b 的充要条件是存在实 数使 a b
C.又不共面向量
3.已知点M在平面ABC内，并且对空间任 1 1 意一点O， OM xOA ＋ OB ＋ OC ,则x 3 3 的值为：
A. 1
B. 0
C. 3
1 D. 3
4.已知A、B、C三点不共线，对平面外一点 O，在下列条件下，点P是否与A、B、C共面？
已知非零向量 a 的直线,那么对任一点O, 点P在直线 l 上的充要条件是存在实数t, 满足等式OP=OA+t a 其中向量叫做直线的 方向向量. P
a
推论:如果 l 为经过已知点A且平行
若P为A,B中点, 则 1 OP OA OB 2
O
B A
例1 已知A、B、P三点共线，O为空间任
2 1 2 (1) OP OA OB OC ; 5 5 5
(2) OP 2OA 2OB OC ；
5. 课本第31页
练习
1、 2。
三、课堂小结：
1.共线向量的概念。
2.共线向量定理。
3.共面向量的概念。 4.共面向量定理。
巨大惊喜之中の水清瞪大咯眼睛，呆呆地看着白衣男子缓缓地转向她。看到咯，看到咯，仅是他の侧脸就已经是如此の完美，线条清晰、轮廓分明、冷峻清 瘦、坚毅果敢……此刻の水清完全屏住咯呼吸，她生怕即使是微乎其微の呼吸声音都会将白衣男子惊吓得夺路而走。水清の小心谨慎得到咯应有の回报，此 刻，他也已经完全地转过头来，完整の壹张脸毫无遮拦地呈现在咯她の面前！可是，可是，她の眼睛，她の眼睛怎么咯？为啥啊她の眼前壹片模糊？为啥啊 她看不清他の脸庞？为啥啊眼前只是壹团白色、壹团红色？她急得大喊：“公子，公子，为啥啊，为啥啊我看不到您！”水清看不到那白衣男子，可是他の 紫竹箫却从袖笼中滑落出来，水清见状赶快上前壹步接住，由于脚踩の是祥云，差点儿站立不稳从空中跌落。但是她来不及稳住身子，就急急地说道：“公 子，您の竹箫！”此时，那壹团白色和那壹团红色已经越来越小，越来越小，而水清の身边已经连半朵祥云都没有咯，眼睁睁地看着那白衣男子与枣红骏马 消失在天际，伴随着壹各虚无缥缈の声音回荡在她の耳际：“后会有期！” “公子！不要！”随着那壹声“公子，不要”，正在外间屋值夜の月影被骤然惊 醒，不晓得发生咯啥啊事情の她立即冲进咯里间屋，只见水清竟然坐起咯身子，呆呆地低着头，望着空空如也の壹双手，满脸泪痕，痛苦不已。“仆役，仆 役，您怎么咯？您这是怎么咯？您怎么起来咯？您为啥啊哭咯？”任凭月影怎么问，水清都是默不做声。最后被月影问急咯，她也只是壹言不发地抬起头， 将目光转向窗外，此时の窗外，已经微微泛起晨曦。天际已然破晓，此后可会有期？水清在心中默默地问着自己。天已微微泛起晨曦，起早摆摊の小商小贩 们已经开始稀稀拉拉地在街巷中穿行，杂乱の脚步声、车轮の吱吱声，偶尔の吆喝声，刚开始只是零零星星，慢慢地呈燎原之势。他再也没有等到他の玉盈， 她连“浪迹天涯”の机会都没有给他。这是预料中の结局，这是天意，是命数。他颓然地翻身上马，任由枣红骏马自顾自地嗒嗒奔跑，他连拉动缰绳の力气 都没有。老马识途，根本无需他任何指示，就将主人直接带回咯王府。苏培盛在王府门口足足守咯壹夜，见到王爷平安回来，总算是放下咯心。只是当他看 到王爷面容憔悴、双眼失神、动作失控地翻身下马，这副失魂落魄の样子让苏培盛也是唏嘘不已，于是赶快和其它人壹起上前，将他壹路扶进咯府里。第壹 卷 第391章 病痛壹进到书院，他就直接病倒在床榻上。壹夜寒深露重，壹夜箫曲独奏，壹夜心伤情痛！喉咙火烧火撩地痛起来，连喝水都困难，即使这样， 他宁愿身体再痛壹些，再痛壹些，这样，就不会感觉到，心の痛。排字琦晓得王爷昨夜出咯府，今早回来就病倒咯。头壹天她被王爷狠狠地重罚，又被淑清 晓得咯，令她の脸上很没有脸面。因为被淑清得咯消息，就意味着王府里所有人都会晓得。对于他施予の重罚，排字琦不敢有丝毫の不满，但是对于淑清， 她可是会好好地记上壹笔。王爷病倒咯，这各消息就像福晋被爷责罚の消息壹样，立即传遍咯整各王府。虽然朗吟阁里也有壹大堆の奴才，但怎么可能抵得 过女眷の精心服侍呢？于是壹向清静、森严の朗吟阁门庭若市起来，各院主子、奴才们纷至踏来。女眷们の初衷无可非厚，爷病倒在床榻，最需要の是诸人 们关怀备至の悉心照料。但是她们都忽略咯壹点，病中の他，既需要悉心照料，也需要静心休养，更何况此时正是深陷永失恋人の痛苦深渊之中。可是王府 里六七各女眷，这各表示咯关心，那各怎么可能甘居人后？假设是平常，他壹般是睁壹只眼闭壹只眼也就算咯，毕竟都是自己の诸人，关心夫君是她们の天 职。可是此时，无论哪各诸人他都也无法去面对，因为他の心，正在滴血。第壹各撞上枪口の自然是淑清。以前被他宠惯咯，潜移默化中就会不自觉地持宠 而骄。毕竟很少被他严厉地斥责过，也从没见过他の冷脸子，因此淑清今天头壹遭地突然面对壹各全新の王爷，打得她措手不及、猝不及防，特别是她还像 往常那样带着满心关切，带着脉脉温情。“给爷请安。”“爷要你来咯吗？”“爷，您不是生病咯吗？妾身实在是担心您，壹听到消息就心急得不行，所以 ……”“退下去吧，没有爷の吩咐不要来咯。你不是也晓得福晋昨天在爷这里‘伺候’咯两各多时辰？你今天是想在这里‘伺候’三各时辰吗？”这是他の 严重警告，淑清虽然听得明白，但是从没有受过他如此冷遇，她脸面上立即就挂不住，眼泪哗哗地往下流。不过他の脾气禀性淑清更是清楚，这是他极力隐 忍の结果，已经很给她留情面，否则依着他那六亲不认の脾气，现在哪里还容得她痛哭流涕？早就已经被他要求开始立规矩咯。“回爷，妾身知错咯，这就 告退。不过，妾身还是希望您能尽快将病养好，早日能让妾身心安。”眼见着淑清委屈地退咯下去，他直接唤进咯秦顺儿：“没有爷の吩咐，谁也不要来。 再有擅自过来の，你自己再领二十板子！”秦顺儿旧伤都没养好，哪儿还敢再添新伤？当然更不会好咯伤疤忘咯痛，于是他立即打起十二分の精神，严厉地 吩咐咯守门の太监：“你们都给仔细听好咯，爷已经吩咐下来，不管是谁，胆敢擅自放人进来，就是阿猫阿狗，也要领三十板子！”第壹卷 第392章 要求 禁令壹下，立竿见影，朗吟阁果然恢复咯清静，但各类补品炖汤源源不 ； https:/// 配资炒股
共线向量
OH k OD, 求证：
(1)四点E、F、G、H共面； (2)平面AC∥平面EG．
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君真の是爱上了自身.无暇天君多次帮自身,应该也是看好自身の未来潜历,毕竟自身呐个冥空境修道者已经能够硬撼善韵强者了.对无暇天君来说,自身可能值得她去拉拢去投资.但不管怎么说,呐人情鞠言得记下.“如此就多谢了！也感谢无暇天君对俺の帮助！”鞠言接过材料,又取出三亿 陆千万乌翠玉交给对方.黑衣女子收下乌翠玉,对鞠言点了点头便离开鞠言の住处.……壹座银白色庞大宫殿,伫立在雾气缭绕の云端.“无暇天君,善尊大人请你进去.”壹名身穿银色甲胄魁梧护卫,出声说道.呐名护卫の对面云层中,便是蓝雨申州の无暇天君.“有劳带路.”无暇天君冲着甲胄 护卫笑了笑.甲胄护卫在前面引路,无暇天君跟在他の后方,穿过壹片虚空法纹之地,进入银白色庞大宫殿.宫殿之内,壹罔座椅上,有壹名身穿琛蓝色长袍の年轻男子.“无暇,你怎么有空来俺呐里?”琛蓝色长袍男子见到无暇天君,露出壹个笑容.“见过远瞳善尊！”无暇天君拱手见礼.“你需 要还与俺客气?”远瞳善尊摆摆手,又道：“有事就直接说吧！俺知道你若是无事,不会来俺呐里.”“俺呐次来,是想向善尊大人举荐壹名冥空境修道者受雇者,为黄泉洞窟.”无暇天君略微躬身.远瞳善尊眼睛眯起.他当然知道无暇天君是哪个意思.他顿了壹下道：“下壹次黄泉洞窟开启,距 现在只有三百年.拾个受雇者名单,俺早已经确定.你现在向俺推荐壹个人,呐不太合适.俺倒是愿意帮你,可如果俺将你推荐の人加进来,那么已经确定の拾个人中,就要有壹个被挤出去.”每壹次黄泉洞窟开启,不仅仅是进入洞窟名额数量是固定の,就连呐高级入口名额争夺の受雇者数量,也是 固定の.受雇者の数量,壹直以来都是维持拾个人.而且,拾个事受雇者壹般都很难全部有被四大势历雇佣の机会.壹般情况下,
《两向量共线的充要条件及应用》平面向量及其应用
推论三：向量的三角形法则
总结词
三角形法则是指两个向量共线时，可以通过第三个向 量形成一个三角形。
详细描述
如果向量$overset{longrightarrow}{a}$、向量 $overset{longrightarrow}{b}$和向量 $overset{longrightarrow}{c}$共线，那么这三个向量 可以形成一个三角形。具体来说，从起点出发，沿着 $overset{longrightarrow}{a}$、 $overset{longrightarrow}{b}$和 $overset{longrightarrow}{c}$的方向分别作相同长度 的线段，连接三个终点，形成一个三角形。这个三角形 满足三角形的法则，即任意两边之和大于第三边，任意 两边之差小于第三边。
《两向量共线的充要条件及 应用》平面向量及其应用
汇报人： 2023-12-29
目录
• 平面向量的基本概念 • 两向量共线的充要条件 • 两向量共线的应用 • 两向量共线定理的证明 • 两向量共线定理的推论
01
平面向量的基本概念
向量的定义
总结词ห้องสมุดไป่ตู้
向量是一个既有大小又有方向的量， 通常用有向线段表示。
定理的证明方法三
总结词
利用向量的模的性质证明
详细描述
第三种证明两向量共线的方法是利用向量的 模的性质。如果两向量共线，则它们的模之 比是一个常数。通过比较两个向量的模，我 们可以找到这个常数。如果两个向量的模之 比等于这个常数，则它们共线。
05
两向量共线定理的推论
推论一：向量的倍数关系
总结词
向量的倍数关系是指两个向量共线时，一个 向量是另一个向量的倍数。
03
数学知识点：向量共线的充要条件及坐标表示_知识点总结
数学知识点：向量共线的充要条件及坐标表示_知识点总结
数学知识点：向量共线的充要条件及坐标表示向量共线的充要条件：向量与共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得。
向量共线的几何表示：
设，其中，当且仅当时，向量共线。
向量共线（平行）基本定理的理解：
(1)对于向量a（a≠0），b，如果有一个实数λ，使得b=λa，那么由向量数乘的定义知,学习规律，a与b共线．
(2)反过来，已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的μ倍，即|b|=μ|a|，那么当a与b同方向时，有b=μa；当a与b反方向时，有b=-μa.
(3)向量平行与直线平行是有区别的，直线平行不包括重合.
(4)判断a（a≠0）与b是否共线时，关键是寻找a前面的系数，如果系数有且只有一个，说明共线；如果找不到满足条件的系数，则这两个向量不共线.
(5)如果a=b=0，则数λ仍然存在，且此时λ并不唯一，是任意数值.。
第2课时 共线向量、共面向量 高中数学人教A版选择性必修第一册课件
(2)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N,P,
Q 分别为 A1D1,D1C1,AA1,CC1 的中点,求
证:M,N,P,Q 四点共面.
证明:令1 1 =a,1 1 =b,1 =c.
因为 M,N,P,Q 均为相应棱的中点,
1 1
1
1
所以= b- a,=1 +1 = a+ c,
第一章
空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算
1.1.1
空间向量及其线性运算
第 2 课时
[学习目标]
共线向量、共面向量
1.理解共线向量的充要条件,能应用其证
明共线问题.
2.理解共面向量的充要条件,能应用其证明共面问题.
3.通过类比、猜想、证明,将平面向量拓展到空间范畴,
发展直观想象素养.
一、共线向量
=-5a+6b, =7a-2b,则一定共线的三点是
A.A,B,D
B.A,B,C
C.B,C,D
(
)
D.A,C,D
解析:因为 = + + =3a+6b=3(a+2b)=3 ,所以
∥ .又因为 与 有公共点 A,所以 A,B,D 三点共线.
答案:A
(2)设 e1,e2 为空间两个不共线的向量,如果=e1+ke2,
【思考】
如何证明“向量 p 与向量 a,b 共面(a,b 不共线)”的充要条
件是“存在唯一的有序实数对(x,y),使 p=xa+yb”?
提示:充分性.因为 xa,yb 分别与 a,b 共线,
所以 xa,yb 都在 a,b 确定的平面内.
又因为 xa+yb 是以|xa|,|yb|为邻边的平行四边形的一条
新教材高中数学第一章空间向量与立体几何2空间向量基本定理的初步应用练习人教A版选择性必修第一册
第2课时 空间向量基本定理的初步应用学习目标 1.会用基底法表示空间向量. 2.初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的思想．知识点一 证明平行、共线、共面问题(1) 对于空间任意两个向量a ,b (b ≠0),a ∥b 的充要条件是存在实数λ,使a ＝λb . (2) 如果两个向量a ,b 不共线,那么向量p 与向量a ,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ,y ),使p ＝x a ＋y b .思考 怎样利用向量共线、向量共面解决几何中的证明平行、共线、共面问题？ 答案 平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题． 知识点二 求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a ,b 的夹角,则cos θ＝a ·b|a ||b |. (2)若a ,b 是非零向量,则a ⊥b ⇔a ·b ＝0.思考 怎样利用向量的数量积解决几何中的求夹角、证明垂直问题？答案 几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题,解题中要注意角的范围． 知识点三 求距离(长度)问题 ||a ＝a ·a ( ||AB →＝AB →·AB →)．思考 怎样利用向量的数量积解决几何中的求距离(长度)问题？ 答案 几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模,用数量积可以求得．1．四点A ,B ,C ,D 构成平行四边形ABCD 的充要条件是AB →＝DC →.( × ) 2．若AB →＝CD →,则A ,B ,C ,D 四点共线．( × )3．已知两个向量 NM →,MP →的夹角为 60°,则 ∠NMP ＝60°.( × ) 4．如果OP →＝OM →＋ON →,则四点O ,P ,M ,N 一定共面．( √ )一、证明平行、共面问题例1 如图,已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′,E ,F 分别为AA ′和CC ′的中点．求证：BF ∥ED ′.证明 BF →＝BC →＋CF →＝BC →＋12CC ′——→＝AD →＋12DD ′——→,ED ′——→＝EA ′——→＋A ′D ′———→＝12AA ′——→＋AD →＝12DD ′——→＋AD →,∴BF →＝ED ′——→, ∴BF →∥ED ′——→,∵直线BF 与ED ′没有公共点,∴BF ∥ED ′. 反思感悟 证明平行、共面问题的思路(1)利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行． (2)利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行．跟踪训练1 如图所示,在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别在B 1B 和D 1D 上,且BE ＝13BB 1,DF ＝23DD 1.求证：A ,E ,C 1,F 四点共面． 证明 因为AC 1—→＝AB →＋AD →＋AA 1—→＝AB →＋AD →＋13AA 1—→＋23AA 1—→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13AA 1—→＋⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋23AA 1—→＝AB →＋BE →＋AD →＋DF →＝AE →＋AF →, 所以AC 1—→,AE →,AF →共面, 所以A ,E ,C 1,F 四点共面． 二、求夹角、证明垂直问题例2 如图所示,在三棱锥 A －BCD 中,DA ,DB ,DC 两两垂直,且DB ＝DC ＝DA ＝2,E 为BC 的中点．(1)证明：AE ⊥BC ；(2)求直线AE 与DC 的夹角的余弦值．(1)证明 因为AE →＝DE →－DA →＝12(DB →＋DC →)－DA →,CB →＝DB →－DC →,所以AE →·CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12DB →＋12DC →－DA →·(DB →－DC →)＝12DB →2－12DC →2－DA →·DB →＋DA →·DC →, 又DA ,DB ,DC 两两垂直, 且DB ＝DC ＝DA ＝2, 所以AE →·CB →＝0, 故 AE ⊥BC .(2)解 AE →·DC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12DB →＋12DC →－DA →·DC →＝12DB →·DC →＋12DC →2－DA →·DC →＝12DC →2＝2, 由AE →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12DB →＋12DC →－DA →2＝14DB →2＋14DC →2＋DA →2＝6,得||AE→＝ 6. 所以cos 〈AE →,DC →〉＝AE →·DC →||AE →||DC→＝26×2＝66 .故直线AE 与DC 的夹角的余弦值为66. 反思感悟 求夹角、证明线线垂直的方法利用数量积定义可得cos 〈a ,b 〉＝a ·b|a ||b |,求〈a ,b 〉的大小,进而求得线线角,两直线垂直可作为求夹角的特殊情况．跟踪训练2 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,AB ＝2,BC ＝B 1B ＝1,M ,N 分别是AD ,DC 的中点．求异面直线MN 与BC 1所成角的余弦值．解 MN →＝DN →－DM →＝12(DC →－DA →),BC 1—→＝BC →＋CC 1—→＝－DA →＋DD 1—→ ,所以MN →·BC 1—→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12DC →－12DA →·()－DA →＋DD 1—→＝12DA →2＝12, 又||MN →＝12||AC →＝52, ||BC 1—→＝2, 所以 cos 〈MN →,BC 1—→〉＝MN →·BC 1—→||MN →||BC 1—→＝1252×2＝1010,故异面直线MN 与BC 1所成角的余弦值为1010. 三、求距离(长度)问题例3 已知平面α⊥平面β,且α∩β＝l ,在l 上有两点A ,B ,线段AC ⊂α ,线段BD ⊂β ,并且AC ⊥l ,BD ⊥l ,AB ＝6,BD ＝24,AC ＝8,则 CD ＝ ________.答案 26解析 ∵平面α⊥平面β,且α∩β＝l ,在l 上有两点A ,B ,线段AC ⊂α,线段BD ⊂β,AC ⊥l ,BD ⊥l ,AB ＝6,BD ＝24,AC ＝8,∴CD →＝CA →＋AB →＋BD → , ∴CD →2 ＝(CA →＋AB →＋BD → )2＝CA →2＋AB →2＋BD →2＝64＋36＋576＝676, ∴CD ＝26.反思感悟 求距离(长度)问题的思路选择已知长度和夹角的三个向量作为基向量,利用基底表示向量,将距离(长度)问题转化为向量的模的问题．跟踪训练3 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ,AM →＝12MC 1—→,点N 为B 1B 的中点,则|MN →|等于( )A.216aB.66aC.156a D.153a 答案 A解析 ∵MN →＝AN →－AM →＝AN →－13AC 1—→＝AB →＋BN →－13(AB →＋AD →＋AA 1—→)＝23AB →＋16AA 1—→－13AD →, ∴|MN →|＝49|AB →|2＋136|AA 1—→|2＋19|AD →|2 ＝216a .1．(多选)已知A ,B ,C 三点不共线,O 为平面ABC 外的任一点,则“点M 与点A ,B ,C 共面”的充分条件是( ) A.OM →＝2OA →－OB →－OC →B.OM →＝OA →＋OB →－OC →C.OM →＝OA →＋12OB →＋13OC →D.OM →＝12OA →＋13OB →＋16OC →答案 BD解析 根据“OM →＝xOA →＋yOB →＋zOC →,若 x ＋y ＋z ＝1,则点M 与点A ,B ,C 共面”, 因为2＋(－1)＋(－1)＝0≠1,1＋1＋(－1)＝1,1＋12＋13＝116≠1,12＋13＋16＝1,由上可知,BD 满足要求．2．设A ,B ,C ,D 是空间不共面的四点,且满足AB →·AC →＝0,AC →·AD →＝0,AB →·AD →＝0,则△BCD 是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定答案 B解析 在△BCD 中,BC →·BD →＝(AC →－AB →)·(AD →－AB →)＝AB →2＞0,∴B 为锐角, 同理,C ,D 均为锐角．3．如图,三棱锥S －ABC 中,SA ⊥底面 ABC ,AB ⊥BC ,AB ＝BC ＝2,SA ＝22,则SC 与AB 所成角的大小为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°答案 B解析 因为SA ⊥底面ABC ,所以SA ⊥AC ,SA ⊥AB ,所以AS →·AB →＝0, 又AB ⊥BC ,AB ＝BC ＝2,所以 ∠BAC ＝45° ,AC ＝2 2 . 因此AB →·AC →＝||AB→||AC →cos 45°＝2×22×22＝4,所以SC →·AB →＝AC →·AB →－AS →·AB →＝4, 又SA ＝22,所以 SC ＝SA 2＋AC 2＝4 , 因此cos 〈SC →,AB →〉＝SC →·AB →||SC →||AB →＝44×2＝12 , 所以SC 与AB 所成角的大小为60° .4．如图,已知▱ABCD 中,AD ＝4,CD ＝3,∠D ＝60°,PA ⊥平面ABCD ,且PA ＝6,则PC 的长为________．答案 7解析 ∵PC →＝PA →＋AD →＋DC →,∴|PC →|2＝PC →·PC →＝(PA →＋AD →＋DC →)2＝|PA →|2＋|AD →|2＋|DC →|2＋2PA →·AD →＋2PA →·DC →＋2AD →·DC → ＝62＋42＋32＋2|AD →||DC →|cos 120°＝61－12＝49. ∴PC ＝7.5．已知a ,b 是空间两个向量,若|a |＝2,|b |＝2,|a －b |＝7,则cos 〈a ,b 〉＝________. 答案 18解析 将|a －b |＝7化为(a －b )2＝7,求得a ·b ＝12,再由a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ,b 〉求得cos 〈a ,b 〉＝18.1．知识清单： (1)空间向量基本定理．(2)空间向量共线、共面的充要条件． (3)向量的数量积及应用． 2．方法归纳：转化化归． 3．常见误区：(1)向量夹角和线线角的范围不同,不要混淆．(2)转化目标不清：表示向量时没有转化目标,不理解空间向量基本定理的意义．1．已知O ,A ,B 是平面上的三个点,直线AB 上有一点C ,满足2AC →＋CB →＝0,则OC →等于( ) A ．2OA →－OB → B ．－OA →＋2OB → C.23OA →－13OB → D ．－13OA →＋23OB →答案 A解析 由已知得2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝0, ∴OC →＝2OA →－OB →.2．如图,已知空间四边形ABCD 中,AC ＝BD ,顺次连接各边中点P ,Q ,R ,S ,所得图形是( )A ．长方形B ．正方形C ．梯形D ．菱形 答案 D解析 因为PQ →＝BQ →－BP →＝12BC →－12BA →＝12AC →.同理SR →＝12AC →,所以PQ →＝SR →,所以四边形PQRS 为平行四边形． 又PS →＝AS →－AP →＝12AD →－12AB →＝12BD →,所以|PS →|＝12|BD →|,即PS ＝12BD .又|PQ →|＝12|AC →|,故PQ ＝12AC ,而AC ＝BD ,所以PS ＝PQ ,故四边形ABCD 为菱形．3．如图,长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,AA 1＝AB ＝2,AD ＝1,E ,F ,G 分别是DC ,AB ,CC 1的中点,则异面直线A 1E 与GF 所成角的余弦值是( )A ．0 B.33 C.55D.155答案 A解析 根据题意可得,A 1E —→·GF →＝(A 1A —→＋AD →＋DE →)·(GC →＋CB →＋BF →) ＝(－AA 1—→＋AD →＋12DC →)·(－12AA 1—→－AD →－12DC →)＝12AA 1—→2 －AD →2 －14DC →2＝12×4－1－14×4＝0, 从而得到A 1E →和GF →垂直,故其所成角的余弦值为0.4．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1 中,若AB ＝2BB 1,则 CA 1 与 C 1B 所成的角的大小是( ) A ．60° B ．75° C ．90° D ．105°答案 C解析 设|BB 1→|＝m ,CA →＝a ,CB →＝b ,CC 1—→＝c , 则CA 1—→＝a ＋c ,C 1B —→＝b －c , CA 1—→·C 1B —→ ＝(a ＋c )·(b －c ) ＝a ·b ＋b ·c －a ·c －c 2＝2m ·2m cos π3＋0－0－m 2＝0,∴CA 1—→⊥C 1B —→,∴CA 1 与 C 1B 所成的角的大小是 90°. 5．如图,二面角α－l －β等于2π3,A ,B 是棱l 上两点, BD, AC 分别在平面α,β内,AC ⊥l ,BD ⊥l ,且 2AB ＝AC ＝BD ＝2,则CD 的长等于( )A ．2 3 B.13 C ．4 D ．5答案 B解析 ∵二面角α－l －β等于2π3,AC ⊥l ,BD ⊥l ,所以〈CA →,BD →〉＝π－2π3＝π3,∵CD →＝CA →＋AB →＋BD →,∴CD →2＝CA →2＋AB →2＋BD →2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD →＝22＋12＋22＋0＋0＋2×2×2×cos π3＝13.即CD ＝13.6．已知向量a ,b 满足条件|a |＝32,|b |＝4,若m ＝a ＋b ,n ＝a ＋λb ,〈a ,b 〉＝135°,m ⊥n ,则实数λ＝________. 答案 －32解析 因为m ·n ＝0,所以(a ＋b )·(a ＋λb )＝0, 所以a 2＋(1＋λ)a ·b ＋λb 2＝0, 所以18＋(1＋λ)×32×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋16λ＝0, 解得λ＝－32.7．如图,在空间四边形ABCD 中,∠ABD ＝∠CBD ＝π2 ,∠ABC ＝π4,BC ＝BD ＝1,AB ＝2,则异面直线 AB 与 CD 所成角的大小是________．答案π3解析 依题意可知CD ＝BC 2＋BD 2＝2,AB →·CD →＝AB →·(BD →－BC →) ＝AB →·BD →－AB →·BC →＝0＋BA →·BC →＝||BA →·||BC →·cos 45°＝1. 设直线AB 与CD 所成角为α,则cos α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB →·CD →||AB →·||CD→＝12×2＝12,故α＝π3. 8．如图,平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,|AB |＝|AD |＝|AA 1|＝1,∠BAD ＝∠BAA 1＝120°,∠DAA 1＝60°,则线段AC 1的长度是________．答案2解析 ∵AC 1—→＝AB →＋AD →＋AA 1—→,∴AC 1—→2＝AB →2＋AD →2＋AA 1—→2＋2AB →·AD →＋2AB →·AA 1—→＋2AD →·AA 1—→ ＝1＋1＋1＋2×1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋2×1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋2×1×1×12＝2,∴AC 1＝ 2. 9．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,设AB →＝a ,AD →＝b ,AA 1—→＝c ,E ,F 分别是AD 1,BD 的中点．(1)用向量a ,b ,c 表示D 1B —→,EF →；(2)若D 1F →＝x a ＋y b ＋z c ,求实数x ,y ,z 的值．解 (1)如图,连接AC ,EF ,D 1F ,BD 1,D 1B —→＝D 1D —→＋DB →＝－AA 1—→＋AB →－AD →＝a －b －c ,EF →＝EA →＋AF →＝12D 1A —→＋12AC →＝－12(AA 1—→＋AD →)＋12(AB →＋AD →)＝12(a －c )．(2)D 1F —→＝12(D 1D —→＋D 1B —→)＝12(－AA 1—→＋D 1B —→)＝12(－c ＋a －b －c )＝12a －12b －c ,∴x ＝12,y ＝－12,z ＝－1.10.如图,在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别是C 1D 1,D 1D 的中点,正方体的棱长为1.(1)求〈CE →,AF →〉的余弦值；(2)求证：BD 1—→⊥EF →.(1)解 AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋12AA 1—→,CE →＝CC 1—→＋C 1E —→＝AA 1—→＋12CD →＝AA 1—→－12AB →.因为AB →·AD →＝0,AB →·AA 1—→＝0,AD →·AA 1—→＝0,所以CE →·AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AA 1—→－12AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12AA 1—→＝12. 又|AF →|＝|CE →|＝52,所以cos 〈CE →,AF →〉＝25. (2)证明 BD 1—→＝BD →＋DD 1—→＝AD →－AB →＋AA 1—→,EF →＝ED 1—→＋D 1F →＝－12(AB →＋AA 1—→), 所以BD 1—→·EF →＝0,所以BD 1—→⊥EF →.11．在四面体O －ABC 中,G 是底面△ABC 的重心,且OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →,则log 3|xyz |等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3 答案 A解析 连接AG (图略), OG →＝OA →＋AG →＝OA →＋13(AC →＋AB →)＝OA →＋13(OC →－OA →＋OB →－OA →) ＝13OA →＋13OB →＋13OC →＝xOA →＋yOB →＋zOC →, ∴x ＝y ＝z ＝13,则log 3|xyz |＝log 3127＝－3. 12．在三棱柱ABC － A 1B 1C 1中, AA 1⊥底面ABC, AB ＝BC ＝AA 1, ∠ABC ＝90°, 点E ,F 分别是棱AB ,BB 1的中点, 则直线EF 和BC 1所成的角是( )A ．30°B ．45°C ．90°D ．60°答案 D解析 因为点E ,F 分别是棱AB ,BB 1的中点,所以 EF → ＝BF →－BE →＝12(BB 1—→－BA →),BC 1—→＝BC →＋BB 1—→, 所以EF →·BC 1—→＝12(BB 1—→－BA →)(BC →＋BB 1—→)＝12BB 1—→2 , 设所求异面直线的夹角为 θ,则cos θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪EF →·BC 1—→|EF →||BC 1—→|＝12,所以θ＝60° . 13．如图,已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各条棱长都相等,M 是侧棱CC 1的中点,则异面直线AB 1和BM 所成的角的大小是________．答案 90° 解析 不妨设棱长为2,则AB 1—→＝BB 1—→－BA →,BM →＝BC →＋12BB 1—→, cos 〈AB 1—→,BM →〉＝BB 1—→－BA →·⎝ ⎛⎭⎪⎫BC →＋12BB 1—→22×5＝0－2＋2－022×5＝0, 则〈AB 1—→,BM →〉＝90°.14．如图,一个结晶体的形状为平行六面体 ABCD －A 1B 1C 1D 1 ,其中,以顶点A 为端点的三条棱长都相等,且它们彼此的夹角都是60°,下列说法中正确的是________．(填序号)① (AA 1—→＋AB →＋AD →)2＝2(AC →)2 ；②AC 1—→·(AB →－AD →)＝0 ；③向量B 1C —→与AA 1—→的夹角是60°；④BD 1与AC 所成角的余弦值为63. 答案 ①②解析 以顶点A 为端点的三条棱长都相等, 它们彼此的夹角都是60°,可设棱长为1,则AA 1—→·AB →＝AA 1—→·AD →＝AD →·AB →＝1×1×cos 60°＝12, (AA 1—→＋AB →＋AD →)2＝AA 1—→2＋AB →2＋AD →2＋2AA 1—→·AB →＋2AB →·AD →＋2AA 1—→·AD →＝1＋1＋1＋3×2×12＝6, 而 2(AC →)2＝2(AB →＋AD →)2＝2(AB →2＋AD →2＋2AB →·AD →)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1＋2×12＝2×3＝6,所以①正确．AC 1—→·(AB →－AD →)＝(AA 1—→＋AB →＋AD →)·(AB →－AD →)＝AA 1—→·AB →－AA 1—→·AD →＋AB →2－AB →·AD →＋AD →·AB →－AD →2＝0,所以②正确． 向量B 1C —→＝A 1D —→,显然△AA 1D 为等边三角形,则∠AA 1D ＝60° .所以向量A 1D —→与AA 1—→的夹角是 120°,向量B 1C —→与AA 1—→的夹角是 120° ,则③不正确．又BD 1—→＝AD →＋AA 1—→－AB →,AC →＝AB →＋AD →,则|BD 1—→|＝AD →＋AA 1—→－AB →2＝2,|AC →|＝AB →＋AD →2＝3,BD 1—→·AC →＝()AD →＋AA 1—→－AB →·(AB →＋AD →)＝1,所以cos 〈BD 1—→,AC →〉＝BD 1—→·AC →|BD 1—→||AC →|＝12×3＝66 ,所以④不正确,故①②正确．15．(多选)在四面体P －ABC 中,以上说法正确的有( )A ．若AD →＝13AC →＋23AB →,则可知 BC →＝3BD →B ．若Q 为△ABC 的重心,则PQ →＝13PA →＋13PB →＋13PC →C ．若PA →·BC →＝0,PC →·AB →＝0,则 PB →·AC →＝0D ．若四面体P －ABC 各棱长都为2,M ,N 分别为PA ,BC 的中点,则|MN →|＝1 答案 ABC解析 对于A, ∵AD →＝13AC →＋23AB →,∴3AD →＝AC →＋2AB →,∴2AD →－2AB →＝AC →－AD →,∴2BD →＝DC →,∴3BD →＝BD →＋DC →,即3BD →＝BC →,故A 正确；对于B,若Q 为△ABC 的重心,则QA →＋QB →＋QC →＝0,∴3PQ →＋QA →＋QB →＋QC →＝3PQ →,∴3PQ →＝PA →＋PB →＋PC →,即PQ →＝13PA →＋13PB →＋13PC →,故B 正确； 对于C,∵PA →·BC →＝0,PC →·AB →＝0,∴PA →·BC →＋PC →·AC →＋PC →·CB →＝0,∴(PA →－PC →)·BC →＋PC →·AC →＝0,∴CA →·BC →＋PC →·AC →＝0,∴AC →·()CB →＋PC→＝0, ∴AC →·PB →＝0,故C 正确；对于D,∵MN →＝PN →－PM →＝12(PB →＋PC →)－12PA → ＝12(PB →＋PC → －PA →), ∴|MN →|＝12|PA →－PB →－PC →|, ∵|PA →－PB →－PC →|＝2 2.∴|MN →|＝2,故D 错误,故选ABC .16．如图,正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,P 是DD 1的中点,O 是底面ABCD 的中心．求证：B 1O ⊥平面PAC .证明 如图,连接BD ,则BD 过点O ,令AB →＝a ,AD →＝b ,AA 1—→＝c ,则|a |＝|b |＝|c |＝1,且AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ,OB 1—→＝OB →＋BB 1—→＝12DB →＋BB 1—→＝12(AB →－AD →)＋BB 1—→＝12a －12b ＋c . ∴AC →·OB 1—→＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －12b ＋c＝12|a |2＋12a ·b －12a ·b －12|b |2＋a ·c ＋b ·c ＝12－12＝0.∴AC →⊥OB 1—→,即AC ⊥OB 1.又AP →＝AD →＋12DD 1—→＝b ＋12c ,∴OB 1—→·AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －12b ＋c ·⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12c＝12a ·b －12|b |2＋c ·b ＋14a ·c －14b ·c ＋12|c |2＝－12＋12＝0,∴OB 1—→⊥AP →,即OB 1⊥AP .又AC ∩AP ＝A ,AC ,AP ⊂平面PAC , ∴OB 1⊥平面PAC .。
高二数学共线向量与共面向量
3.对于空间任意一点O，下列命题正确的 是：
A.若 OP OA t AB ，则P、A、B共线 B.若 3OP OA AB ，则P是AB的中点 C.若 OP OA t AB ，则P、A、B不共线 D.若 OP OA AB ，则P、A、B共线
4.若对任意一点O，且OP xOA y AB ， 则x+y=1是P、A、B三点共线的： A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
共线向量与共面向量
一、共线向量:
1.共线向量:如果表示空间向量的
有向线段所在直线互相平行或重合,则这些
向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b
零向量与任意向量共线.
2.共线向量定理:对空间任意两个 向量 a, b(b o), a // b 的充要条件是存在实 数使 a b
推论:如果 l 为经过已知点A且平行
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没有回头路可以走的，刻骨铭心的友谊也如仇恨一样，没齿难忘。 友情这棵树上只结一个果子，叫做信任。红苹果只留给灌溉果树的人品尝。别的人摘下来尝一口，很可能酸倒了牙。 友谊之链不可继承，不可转让，不可贴上封条保存起来而不腐烂，不可冷冻在冰箱里永远新鲜。 友谊需要滋养。有的人用钱，有的人用汗，还有的人用血。友谊是很贪婪的，绝不会满足于餐风饮露。友谊是最简朴同时也是最奢侈的营养，需要用时间去灌溉。友谊必须述说，友谊必须倾听，友谊必须交谈的时刻双目凝视，友谊必须倾听的时分全神贯注。友谊有的时候是那样脆弱，一 句不经意的言辞，就会使大厦顷刻倒塌。友谊有的时候是那样容易变质，一个未经实的传言，就会让整盆牛奶变酸。这个世界日新月异。在什么都是越现代越好的年代里，唯有友谊，人们保持着古老的准则。朋友就像文物，越老越珍贵。 礼物
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－8)．
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第六章 平面向量及其应用
2．若三点 A(4，3)，B(5，m)，C(6，n)在一条直线上，则下列
式子一定正确的是( )
A．2m－n＝3
B．n－m＝1
C．m＝3，n＝5 D．m－2n＝3
解析：选 A.因为三点 A(4，3)，B(5，m)，C(6，n)在一条直线
上，所以A→B＝λA→C，所以(1，m－3)＝λ(2，n－3)，所以 λ＝12，
解：(1)因为 a＝mb＋nc，所以(3，2)＝m(－1，2)＋n(4，1)＝ (－m＋4n，2m＋n)． 所以－ 2mm＋＋n4＝n＝ 2，3，解得mn＝＝8959.， (2)因为(a＋kc)∥(2b－a)， 又 a＋kc＝(3＋4k，2＋k)，2b－a＝(－5，2)， 所以 2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0. 所以 k＝－1163.
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因为A→M∥A→D，
第六章 平面向量及其应用
所以－72x－2(y－5)＝0， 即 7x＋4y＝20.①
又C→M＝x，y－54，C→B＝4，74， 因为C→M∥C→B，所以74x－4y－54＝0， 即 7x－16y＝－20.②
联立①②解得 x＝172，y＝2，故点 M 的坐标为172，2.
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第六章 平面向量及其应用
[变问法]若本例(1)条件不变，判断向量(3a－b)与(a＋kb)是反向还是 同向？ 解：由向量(3a－b)与(a＋kb)共线，得 k＝－13， 所以 3a－b＝(3，－6)－(3，4)＝(0，－10)， a＋kb＝a－13b＝(1，－2)－13(3，4) ＝0，－130＝13(0，－10)， 所以向量(3a－b)与(a＋kb)同向．
又A→B＝(－2，－4)，A→C＝(x＋3，0)，
所以－2×0＋4(x＋3)＝0.
所以 x＝－3.
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第六章 平面向量及其应用
2．设点 A(x，1)，B(2x，2)，C(1，2x)，D(5，3x)，当 x 为何值 时，A→B与C→D共线且方向相同，此时 A，B，C，D 能否在同一 条直线上？ 解：A→B＝(2x，2)－(x，1)＝(x，1)， B→C＝(1，2x)－(2x，2)＝(1－2x，2x－2)， C→D＝(5，3x)－(1，2x)＝(4，x)．
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第六章 平面向量及其应用
三点共线问题 (1)已知O→A＝(3，4)，O→B＝(7，12)，O→C＝(9，16)，求证： 点 A，B，C 共线； (2)设向量O→A＝(k，12)，O→B＝(4，5)，O→C＝(10，k)，求当 k 为何值 时，A，B，C 三点共线．
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第六章 平面向量及其应用
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第六章 平面向量及其应用
已知 a＝(3，1)，b＝(2，λ)，若 a∥b，则实数 λ 的值为________． 答案：23
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第六章 平面向量及其应用
向量共线的判定 (1)已知向量 a＝(1，－2)，b＝(3，4)．若(3a－b)∥(a＋ kb)，则 k＝________． (2)已知 A(－1，－1)，B(1，3)，C(2，5)，判断A→B与A→C是否共 线？如果共线，它们的方向相同还是相反？
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第六章 平面向量及其应用
已知两点 A(2，－1)，B(3，1)，与A→B平行且方向相反的向量 a 可能是( ) A．a＝(1，－2) B．a＝(9，3) C．a＝(－1，2) D．a＝(－4，－8) 解析：选 D.由题意得A→B＝(1，2)，结合选项可知 a＝(－4，－8)＝ －4(1，2)＝－4A→B，所以 D 正确．
所以 A，B，C，D 不在同一条直线上．
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第六章 平面向量及其应用
向量共线的应用 如图所示，在△AOB 中，A(0，5)， O(0，0)，B(4，3)，O→C＝14O→A，O→D＝12O→B， AD 与 BC 相交于点 M，求点 M 的坐标．
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第六章 平面向量及其应用
【解】 因为O→C＝14O→A＝14(0，5)＝0，54， 所以 C0，54. 因为O→D＝12O→B＝12(4，3)＝2，32， 所以 D2，32. 设 M(x，y)，则A→M＝(x，y－5)， A→D＝2－0，32－5＝2，－72.
所以 m－3＝12(n－3)，即 2m－n＝3.
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第六章 平面向量及其应用
3．平面内给定三个向量 a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1)． (1)求满足 a＝mb＋nc 的实数 m，n 的值； (2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数 k 的值．
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第六章 平面向量及其应用
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第六章 平面向量及其应用
判断向量(或三点)共线的三个步骤
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第六章 平面向量及其应用
1．已知 A，B，C 三点共线，且 A(－3，6)，B(－5，2)，若 C
点的纵坐标为 6，则 C 点的横坐标为( )
A．－3
B．9
C．－9
D．3
解析：选 A.设 C(x，6)，
因为 A，B，C 三点共线，所以A→B∥A→C，
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第六章 平面向量及其应用
应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤
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第六章 平面向量及其应用
如图所示，已知△ABC，A(7，8)，B(3，5)， C(4，3)，M，N，D 分别是 AB，AC，BC 的中点，且 MN 与 AD 交于点 F，求D→F的坐标．
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第六章 平面向量及其应用
解：因为 A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)， 所以A→B＝(3－7，5－8)＝(－4，－3)，A→C＝(4－7，3－8)＝(－3， －5)． 又因为 D 是 BC 的中点，所以A→D＝12(A→B＋A→C)＝12(－4－3，－3 －5)＝12(－7，－8)＝－72，－4. 因为 M，N 分别为 AB，AC 的中点，所以 F 为 AD 的中点，所 以D→F＝－F→D＝－12A→D＝－12－72，－4＝74，2.
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由A→B与C→D共线，所以 x2＝1×4，
第六章 平面向量及其应用
所以 x＝±2.
又A→B与C→D方向相同，所以 x＝2.
所以当 x＝2 时，A→B与C→D共线且方向相同．
此时，A→B＝(2，1)，B→C＝(－3，2)，
而 2×2≠－3×1，所以A→B与B→C不共线，
所以 A，B，C 三点不在同一条直线上．
可得－1×3－2×(λ－1)＝0，解得 λ＝－12.
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第六章 平面向量及其应用
2．已知 A(2，1)，B(0，4)，C(1，3)，D(5，－3)．判断A→B与C→D是 否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？ 解：A→B＝(0，4)－(2，1)＝(－2，3)， C→D＝(5，－3)－(1，3)＝(4，－6)． 法一：因为(－2)×(－6)－3×4＝0，且(－2)×4<0， 所以A→B与C→D共线且方向相反． 法二：因为C→D＝－2A→B，所以A→B与C→D共线且方向相反．
【解】 (1)证明：由题意知A→B＝O→B－O→A＝(4，8)， A→C＝O→C－O→A＝(6，12)，所以A→C＝32A→B， 即A→B与A→C共线． 又因为A→B与A→C有公共点 A，所以点 A，B，C 共线．
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第六章 平面向量及其应用
(2)法一：因为 A，B，C 三点共线，即A→B与A→C共线， 所以存在实数 λ(λ∈R)，使得A→B＝λA→C. 因为A→B＝O→B－O→A＝(4－k，－7)，A→C＝O→C－O→A＝(10－k，k －12)， 所以(4－k，－7)＝λ(10－k，k－12)， 即4－－7＝k＝λ（λ（k－10－12）k），，解得 k＝－2 或 k＝11. 所以当 k＝－2 或 k＝11 时，A，B，C 三点共线．
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第六章 平面向量及其应用
向量共线的判定方法
1．(2019·河北衡水景县中学检测)已知向量 a＝(－1，2)，b＝(λ，1)．若
a＋b 与 a 平行，则 λ＝( )
A．－5
B．52
C．7
D．－12
解析：选 D.a＋b＝(－1，2)＋(λ，1)＝(λ－1，3)，由 a＋b 与 a 平行，
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第六章 平面向量及其应用
法二：由已知得A→B与A→C共线， 因为A→B＝O→B－O→A＝(4－k，－7)，A→C＝O→C－O→A＝(10－k，k －12)， 所以(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0， 所以 k2－9k－22＝0，解得 k＝－2 或 k＝11. 所以当 k＝－2 或 k＝11 时，A，B，C 三点共线．
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第六章 平面向量及其应用
1．已知向量 a＝(1，－2)，b＝(m，4)，且 a∥b，那么 2a－b＝( )
A．(4，0)
B．(0，4)
C．(4，－8)
D．(－4，8)
解析：选 C.因为向量 a＝(1，－2)，b＝(m，4)，且 a∥b，所以 1×4
＝(－2)×m，所以 m＝－2，所以 2a－b＝(2－m，－4－4)＝(4，
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第六章 平面向量及其应用
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量(1，2)与向量(4，8)共线．(√ ) (2)已知 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若 a∥b，则必有 x1y2＝x2y1.( √ )
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第六章 平面向量及其应用
下列各组的两个向量共线的是( ) A．a1＝(－2，3)，b1＝(4，6) B．a2＝(1，－2)，b2＝(7，14) C．a3＝(2，3)，b3＝(3，2) D．a4＝(－3，2)，b4＝(6，－4) 答案：D
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第六章 平面向量及其应用
【解】 (1)3a－b＝(0，－10)，a＋kb＝(1＋3k，－2＋4k)， 因为(3a－b)∥(a＋kb)，所以 0－(－10－30k)＝0， 所以 k＝－13.故填－13. (2)因为A→B＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)， A→C＝(2－(－1)，5－(－1))＝(3，6)， 因为 2×6－3×4＝0， 所以A→B∥A→C，所以A→B与A→C共线． 又A→B＝23A→C，所以A→B与A→C的方向相同．