高中数学函数的奇偶性

§2.4 函数的奇偶性
§2.4 函数的奇偶性
一、对于函数的奇偶性，应注意：
1、奇偶函数的定义： （1）对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称， 且这是函数具有奇偶性的必要不充分条件； （2）整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内 任意一个都必须成立；
（3）可逆性：f (x) f (x) f (x) 是偶函数；
f (x) f (x) f (x) 奇函数；
（4）等价性：f (x) f (x) f (x) f (x) 0
f (x) f (x) f (x) f (x) 0
二、利用定义判断函数奇偶性的一般步骤:
（1）首先确定函数的定义域，看它是否关于原点对称。若 不对称，则既不是奇函数又不是偶函数。 （2）若定义域关于原点对称，再判定f(-x)与f(x)之间的关系 ①若f(-x)=-f(x)（或f(-x) +f(x)=0），则为奇函数； ②若f(-x)=f(x)(或 f(-x) -f(x)=0)，则f(x)为偶函数； ③若f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数; ④若f(-x) ≠f(x)且f(-x)≠- f(x)，则f(x)既不是奇函数也不是偶函 数。
考向二 解不等式
例2 已知奇函数f(x)是定义在(-1,1)上的增函数，试求解 关于a的不等式 f(a-2)+ f(a2-4)<0.
学生作业展示
知能迁移2 设定义在[-2，2]上的偶函数f(x)在区间[0，2]上单调
递减，若 f (1 m) f (m) ，求实数m的取值范围. （注意数形结合解题）
有
ex 0, e2x 1 0此, 时 f (x) 所0以. f（x）在（0，+∞）上是增函
数．
知能迁移3
思想方法 感悟提高
方法与技巧
1.正确理解奇函数和偶函数的定义,必须把握好两个问题: (1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数
或偶函数的必要非充分条件; (2)f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式.
知能迁移2 设定义在[-2，2]上的偶函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，
若 f (1 m) f (m) ，求实数m的取值范围。
（注意数形结合解题）
-2 1-m 2
解：根据题意得：2 m 2 ,

1
m

m
所以m的范围是：-1 m 1 . 2
考向三 综合运用 例3：设 a 0, f (x) ex a 是R上的偶函数．
(2) f (x) lg 1 x ; 1 x
(3)f
(
x)

x2

x
2

x x
(x (x

0), 0).
知能迁移1 判断下列函数的奇偶性: (1) f (x) 4 x2 ; | x 3 | 3
x 2 (2) f (x) 0
x 2
(x 1) (| x | 1) . (x 1)
解：
(1)∵4

x2

0 ,
| x 3 | 3
∴-2≤x≤2且x≠0,
∴函数f(x)的定义域关于原点对称.
f (x) 4 x2 4 x2 . x33 x
又f (x)
4 (x)2
4 x2 ,
2.奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据.为了便于判断函数 的奇偶性,有时需要先将函数进行化简,或应用定义的等价形式:
f(-x)=±f(x) f(-x)±f(x)=0 f (x) =±1(f(x)≠0).
f (x)
3.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称,反之也真. 利用这一性质可简化一些函数图象的画法,也可以利用它去判断函数 的奇偶性.
谢谢大家
e x2 x1
,由
x1 0, x2 0, x2 x1 0,得x1 x2 0,
e x2 x1 1 0,1 e x2 x1 0. 即f（x）在（0，+∞）上是增函数．
证明二：由 f (x) e x ex 得 f (x) e x ex ex (e2x 1). 当 x (0,时，)
三、函数奇偶性几种常用的性质
1、特值法、赋值法在函数奇偶性的应用：例如 若奇函数f(x)在x=0处有定义，则f(0)=0；
2、f(x)为偶函数，则 f (x) f ( x.)
题型分类 深度剖析
考向一用定义法判断函数的奇偶性： 【例1】 判断下列函数的奇偶性：
(1) f (x) x 1 1 x

1 ex
)

0
对一切
x
R成立.由此得到源自文库 a

1 a

0,又因为a＞0，所以a=1.
（II）证明一：设0＜x1＜x2，
f (x1)
f (x2 ) ex1 ex2

1 e x1

1 e x2
(ex2

e
x1
)(
e
1
x1
x2
1)

e (e x1 x2 x1
1 e x2 x1 1)
a ex
（Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）证明f（x）在（0，+∞）上是增函数．
本小题主要考查函数的奇偶性和单调性等基本性质，指数函数和不等式的 基本性质和运算，以及综合分析问题的能力.
解：依题意，对一切 x R有
f (x) f (x)
，即
ex a
a ex

1 ae x
aex ,
所以
(a

1 )(e x a
x
x
∴f(-x)=-f(x),即函数f(x)是奇函数.
(2)当x<-1时,f(x)=x+2,-x>1, ∴f(-x)=-(-x)+2=x+2=f(x). 当x>1时,f(x)=-x+2,-x<-1, ∴f(-x)=(-x)+2=-x+2=f(x). 当-1≤x≤1时,f(x)=0,-1≤-x≤1, ∴f(-x)=0=f(x). 综上可知,对于定义域内的每一个x都有f(-x)=f(x), ∴f(x)为偶函数.