高等数学微分方程练习题
专升本高等数学一(常微分方程)模拟试卷1(题后含答案及解析)
专升本高等数学一（常微分方程）模拟试卷1(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．微分方程(y’)2=x的阶数为( )A．1B．2C．3D．4正确答案：A解析：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，称为该微分方程的阶，故此微分方程的阶数为1．知识模块：常微分方程2．微分方程y2dx一(1一x)dy=0是( )A．一阶线性齐次方程B．一阶线性非齐次方程C．可分离变量方程D．二阶线性齐次方程正确答案：C解析：将该微分方程整理可得dx，所以该微分方程是可分离变量方程．知识模块：常微分方程3．已知函数y=+x+C是微分方程y’’=x一1的解，则下列正确的是( )A．y是该微分方程的通解B．y是微分方程满足条件y｜x=0=1的特解C．y是微分方程的特解D．以上都不是正确答案：D解析：方程为二阶微分方程，则通解中应含有两个任意常数，因此y=x3一x2+x+C显然不是方程的通解，又y’=一x+1，y’’=x－1，故可知y=x2+x+C为y’’=x－1的解，因含有未知数，故不是特解，因此选D．知识模块：常微分方程4．方程xy’=2y的特解为( )A．y=2xB．y=x2C．y=2x3D．y=2x4正确答案：B解析：分离变量可得，两边积分得ln｜y｜=lnx2＋C1，即y=Cx2，所以方程的特解中x的最高次数也应该为2，故选B．知识模块：常微分方程5．微分方程y’+的通解是( )A．arctanx+CB．(arctanx+C)C．arctanx+CD．+arctanx+C正确答案：B解析：所求方程为一阶线性微分方程，由通解公式可得其中C为任意常数，故选B．知识模块：常微分方程6．方程y’’一y’=ex+1的一个特解具有形式( )A．Aex+BB．Axex+BC．Aex+BxD．Axex+Bx正确答案：D解析：方程对应二阶齐次线性微分方程的特征方程为r2一r=r(r一1)=0，所以r1=0，r2=1，又有f(x)=ex＋1，λ1=0，λ2=1是该二阶非齐次微分方程的一重特征根，所以特解形式为y*=Axex+Bx．故选D．知识模块：常微分方程7．某二阶常微分方程的下列解中为特解的是( )A．y=CsinxB．y=C1sin3x+C2cos3xC．y=sin3x+cos3xD．y=(C1+C2)cosx正确答案：C解析：由特解定义可知，特解中不含有任意常数，故排除A、B、D项，选C．知识模块：常微分方程8．下列方程中，可用代换p=y’，p’=y’’降为关于p的一阶微分方程的是( )A．+xy’一x=0B．＋yy’一y2=0C．＋x2y’一y2x=0D．＋x=0正确答案：A解析：可降阶方程中的y’’=f(x，y’)型可用代换p=y’，p’=y’’，观察四个选项，只有A项是y’’=f(x，y’)型，故选A．知识模块：常微分方程填空题9．方程(xy2+x)dx+(y－x2y)dy=0满足y｜x=0=1的特解为_______．正确答案：=2解析：分离变量得，两边积分得ln｜x2一1｜=．所以x2一1=C(y2+1)，又y｜x=0=1，故=2．知识模块：常微分方程10．已知微分方程y’+ay=ex的一个特解为y=xex，则a=_______．正确答案：一1解析：把y=xex，y’=ex+xex代入微分方程y’+ay=ex=(1+a)xex+ex，利用对应系数相等解得a=一1．知识模块：常微分方程11．微分方程y’’一4y’+3y=excosx+xe3x对应齐次微分方程的通解为=_______，它的特解形式为y*=________．正确答案：C1ex+C2e3x，ex(Acosx+Bsinx)+x(ax+b)e3x解析：事实上，原方程对应的齐次微分方程的特征方程为r2一4r+3=0，r1=1，r2=3，故齐次微分方程的通解为=C1ex+C2e3x．非齐次方程特解形式的假设，可分为两个方程进行：y’’一4y’+3y=excosx，①y’’一4y’+3y=xe3x．②λ=1±i不是特征方程的特征根，故①的特解形式是y1*=ex(Acosx+Bsinx)；λ=3是特征方程的一重特征根，故②的特解形式应是y2*=x(ax+b)e3x，则y1*+y2*=y*即是原方程的特解形式．知识模块：常微分方程12．非齐次微分方程y’’+9y=cosx，它的一个特解应设为________．正确答案：y=Acosx+Bsinx解析：方程对应二阶齐次线性微分方程的特征方程为r2+9=0，所以r1，2=±3i，f(x)=cosx，则±i不是该二阶齐次微分方程的特征根，所以特解形式为y=Acosx+Bsinx．知识模块：常微分方程13．设二阶常系数线性齐次微分方程y’’＋ay’+by=0的通解为y=C1ex+C2e2x，那么非齐次微分方程y’’+ay’+by=1满足的条件y(0)=2，y’(0)=一1的解为________．正确答案：y=4ex一解析：二阶线性常系数齐次方程对应的特征方程为r2+ar+b=0，又由通解可得特征根r1=1，r2=2，即(r一1)(r一2)=0，r2一3r＋2=0，故a=一3，b=2．所以非齐次微分方程为y’’一3y’＋2y=1，由于λ=0不是特征方程的根，因此，设特解y*=A，则(y*)’=0，(y*)’’=0，代入可得，所以y’’一3y’＋2y=1的通解为y=C1ex＋C2e2x+，再由y(0)=2，y’(0)=一1，可得C1=4，C2=，故满足初始条件的特解为y=4ex一．知识模块：常微分方程解答题14．求微分方程dy=sin(x+y+100)dx的通解．正确答案：方程可写成y’=sin(x+y+100)，令μ=x+y+100，则，于是原方程化为=1+sinμ，就得到了可分离变量方程．分离变量，得=dx，恒等变形，有=dx，即(sec2μ—tanμsecμ)dμ=dx．两边积分，得tanμ—secμ=x+C，将μ=x+y+100回代，得方程通解为tan(x+y+100)一sec(x+y+100)=x+C，其中C为任意常数．涉及知识点：常微分方程15．求微分方程xy’一=0的通解．正确答案：方程分离变量得，两边积分有+C1，则方程的通解为2ln｜y｜+y2一ln2x=C，其中C为任意常数．涉及知识点：常微分方程16．求方程xsecydx+(1+x2)dy=0，满足初始条件y｜x=0=的特解．正确答案：方程分离变量得dy，即dx=一cosydy，两边积分有dx=－∫cosydy，即n(1+x2)=一siny+C，由初始条件y｜x=0=得C=1，则方程的特解为siny＋=1．涉及知识点：常微分方程17．求微分方程secx．y’+tanx．y=ecosx的通解．正确答案：将原方程改写成y’+ysinx=cosxecosx，则y=e－∫sinxdx(∫cosxecosxe∫sinxdxdx+C)=ecosx(∫cosxdx＋C)=ecosx(sinx+C)．其中C为任意常数．涉及知识点：常微分方程18．(1)求微分方程xy’+ay=1+x2满足y｜x=1=1的解y(x，a)，其中a为常数．(2)证明(x，a)是方程xy’=1+x2的解．正确答案：(1)原方程可改写成y’+，微分方程的通解为(2)设y0=+lnx，则xy0’=x(x＋)=1+x2，故结论成立．涉及知识点：常微分方程19．求微分方程y’+3x2y=xe－x3的通解．正确答案：由通解公式得y=e－∫3x2dx(∫xe－x3e3x2dxdx+C)=e－x3(∫xdx+C)=x2e－x3+Ce－x3．C为任意常数．涉及知识点：常微分方程20．求微分方程xy’+2y=xlnx满足y(1)=的解．正确答案：方程xy’+2y=xlnx两边同时除以x，得y’＋y=lnx，是一阶线性微分方程，其中P(x)=，Q(x)=lnx，利用通解公式得涉及知识点：常微分方程21．求解方程∫0x(x—s)y(s)ds=sinx+∫0xy(s)ds．正确答案：∫0x(x—s)y(s)ds=x∫0xy(s)ds－∫0xsy(s)ds=sinx+∫0xy(s)ds，两边对x求导，得∫0xy(s)ds=cosx+y(x)，且y(0)=一1，再次对x求导，得y’一y=sinx 为一阶线性非齐次微分方程．其中P(x)=一1，Q(x)=sinx，故解为y=e－∫P(x)dx[∫Q(x)eP(x)dxdx+C]=ex[∫sinxe－xdx+C]=Cex一(sinx+cosx)，又由y(0)=一1，得C=，故原方程解为y(x)=(ex+sinx+cosx)．涉及知识点：常微分方程22．已知某曲线经过点(1，1)，它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求它的方程．正确答案：根据题意可知，f(1)=1．由导数几何意义可知，曲线y=f(x)上任意一点(x0，y0)处的切线方程为：y—y0=f’(x0)(x—x0)．令x=0，y=一f’(x0)x0+y0，其中，y0=f(x0)，∴x0=一x0f’(x0)+f(x0)，即x0f’(x0)一f(x0)=一x0，求曲线方程相当于求=一1满足y(1)=1的特解．由通解公式得又∵y(1)=1，∴C=1，故所求曲线方程为y=一xln｜x｜+x．涉及知识点：常微分方程23．求y’’一2y’+y=x3的特解．正确答案：对应的齐次方程的特征方程为r2一2r＋1=0，解得r=1，为二重根，故λ=0不是特征方程的根．由f(x)=x3，设特解为y=Ax3+Bx2＋Cx+D，则y’=3Ax2+2Bx＋C，y’’=6Ax＋2B，代入原方程得6Ax＋2B一2(3Ax2＋2Bx+C)＋Ax3+Bx2+Cx＋D=Ax3+(B一6A)x2＋(6A+C一4B)x＋2B+D－2C=x3，则A=1，B=6，C=18，D=24，故特解为y=x3+6x2+18x+24．涉及知识点：常微分方程24．求y’’一5y’一14y=9e7x的特解．正确答案：原方程对应的齐次方程的特征方程为r2一5r一14=0，解得r=一2，7，λ=7是特征方程的一重根，故设原方程的特解为y=Axe7x，则y’=A(7x+1)e7x，y’’=A(49x+14)e7x，代入原方程得A(49x+14)e7x一5A(7x+1)e7x 一14Axe7x=9e7x，则A=1，故特解为y=xe7x．涉及知识点：常微分方程25．求y’’一4y’+4y=xe2x的通解．正确答案：原方程对应的齐次方程的特征方程为r2一4r+4=0，解得r=2(二重根)，所以对应的齐次方程的解为=(C1x+C2)e2x，λ=2是特征方程的二重根，故设原方程的特解为y*=x2e2x(Ax+B)，则(y*)’=2xe2x(Ax+B)+x2e2x(2Ax+2B+A)，(y*)’’=e2x(2Ax+2B)+xe2x(8Ax+8B+4A)+x2e2x(4Ax+4B+4A)，代入原方程得e2x(2Ax+2B)+xe2x(8Ax+8B+4A)+x2e2x(4Ax+4B+4A)一8xe2x(Ax+B)一4x2e2x(2Ax+2B+A)+4x2e2x(Ax+B)=xe2x，解得A=，B=0，故原方程的通解为y=(C1x+C2)e2x+x3e2x．其中C1，C2为任意常数．涉及知识点：常微分方程26．已知函数y=(x+1)ex是一阶线性微分方程y’+2y=f(x)的解，求二阶常系数线性微分方程y’’+3y’+2y=f(x)的通解．正确答案：据题意的，y’=ex+(x+1)ex=(x+2)ex，f(x)=y’+2y=(x+2)ex+2(x+1)ex=(3x+4)ex，则下面求微分方程y’’+3y’+2y=(3x+4)ex 的通解，特征方程为r2+3r+2=0，求得r1=一1，r2=一2，所以y’’+3y’+2y=0的通解为y=C1e－x+C2e－2x，因λ=1不是特征方程的根，所以设y*=(Ax+B)ex 为原方程y’’+3y’+2y=(3x+4)ex的一个特解，则把(y*)’=(Ax+A+B)ex，(y*)’’=(Ax+2A+B)ex代入原方程，并比较系数得A=，B=，所以微分方程y’’+3y’+2y=(3x+4)ex的通解为y=C1e－x+C2e－2x+ex．其中C1，C2为任意常数．涉及知识点：常微分方程27．求y’’=y’+x的通解．正确答案：令y’=p，y’’=p’，原方程化为p’=p+x，解此一阶线性非齐次方程得p=e∫dx[∫xe－∫dxdx+C1]=ex(∫xe－xdx+C1)=C1ex－x－1即y’=C1ex一x一1，两边积分得通解为y=C1ex一一x+C2，其中C1，C2为任意常数．涉及知识点：常微分方程设函数f(x)在[1，+∞)上连续，若由曲线y=f(x)，直线x=1，x=t(t＞1)与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体体积为V(t)=[t2f(t)一f(1)]，求：28．y=f(x)所满足的微分方程；正确答案：据题意，V(t)=π∫1t[f(x)]2dx=[t2f(t)一f(1)]，即3∫1t[f(x)]2dx=t2f(t)一f(1)，上式两边同时对t求导得，3f2(t)=2tf(t)+t2f’(t)，即y=f(x)所满足的微分方程为x2y’+2xy一3y2=0；涉及知识点：常微分方程29．该微分方程满足条件y｜x=2=的解．正确答案：将微分方程x2y’+2xy一3y2=0，化为，即为齐次方程．令μ=＋μ，代入方程并化简得=3μ2一3μ．变量分离得，两端积分并代入μ=得通解为y—x=Cx3y，再把y｜x=2=代入可得C=－1，故该微分方程满足条件y｜x=2=的解为y—x=一x3y．涉及知识点：常微分方程。
高等数学题库常微分方程
高等数学题库常微分方程第6章常微分方程习题一一、填空题： 1、微分方程1sin 2=+''-'''x y y 的阶数为__________。
2、设某微分方程的通解为()xex c c y 221+=，且00==x y，10='=x y 则___________1=c ，_____________2=c 。
3、通解为xce y =（c 为任意常数）的微分方程是___________。
4、满足条件()()=+?dx x f x f x2的微分方程是__________。
5、 y y x 4='得通解为__________。
6、1+=y dxdy的满足初始条件()10=y 的特解为__________。
7、设()n c c c x y y =,,,21是微分方程12=+'-'''y y x y 的通解，则任意常数的个数__________=n 。
8、设曲线()x y y =上任意一点()y x ,的切线垂直于该点与原点的连线，则曲线所满足的微分方程为___________。
二、求下列微分方程满足初始条件的特解： 1、y y x y ln sin ='，e y x ==2π2、()0sin 1cos =-+-ydy e ydx x ，40π==x y3、yx ey -='2，00==x y4、xdx y xdy y sin cos cos sin =，4π==x y三、求下列微分方程得通解：1、1222+='y y y x 2、2211y y x -='-3、0ln =-'y y y x4、by ax e dx dy+= 5、022=---'x y y y x 6、xy y dx dy x ln = 四、验证函数xe c x c y 21+=是微分方程()01=-'+''-y y x y x 的通解，并求满足初始条件1,100='-===x x y y的特解。
高等数学 第11章 微分方程习题详解
第十一章 微分方程习题详解第十一章 微分方程 习 题 11—11．判断下列方程是几阶微分方程？（1）23d tan 3sin 1;d y y t t t t ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（2）(76)d ()d 0;x y x x y y -++=（3）2()20;x y yy x ''''-+= （4）422()0'''''++=xy y x y ．解 微分方程中所出现的未知函数导数（或微分）的最高阶数，叫做微分方程的阶．所以有：（1）一阶微分方程； （2）一阶微分方程； （3）三阶微分方程； （4）三阶微分方程． 2．指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解： （1）2'=xy y ，25=y x ；（2）0''+=y y ，3sin 4cos =-y x x ； （3）20'''-+=y y y ，2e =x y x ；（4）2()()20'''''-++-=xy x y x y yy y ，ln()=y xy ．解 （1）将10'=y x 代入所给微分方程的左边，得左边210=x 22()5x ==右边，故25=y x 是微分方程2'=xy y 的解．（2）将3cos 4sin '=+y x x ，3sin 4cos ''=-+y x x 代入所给微分方程的左边，得左边(3sin 4cos )(3sin 4cos )0=-++-==x x x x 右边，故3sin 4cos =-y x x 是微分方程0''+=y y 的解．（3）将2e =x y x ，22e e '=+x x y x x ，22e 4e e ''=++x x x y x x 代入微分方程的左边，得左边222(2e 4e e )2(2e e )e 2e 0=++-++=≠x x x x x x x x x x x x （右边），故2e =x y x 不是所给微分方程20'''-+=y y y 的解．（4）对方程ln()=y xy 的两边关于x 求导，得 1''=+y y x y，即 ''=+xyy y xy ．再对x 求导，得2()''''''''++=++yy x y xyy y y xy ，即2()()20'''''-++-=xy x y x y yy y ，故ln()=y xy 是所给微分方程的解．3．确定下列各函数关系式中所含参数，使函数满足所给的初始条件． （1）22-=x y C ， 05==x y ；（2）2120()e ,0==+=x x y C C x y ，01='=x y ．解 （1）将0=x ，5=y 代入微分方程，得220525=-=-C所以，所求函数为2225-=y x ．（2）222212122e 2()e (22)e '=++=++x x x y C C C x C C C x ，将00==x y，01='=x y 分别代入212()e =+x y C C x 和2122(22)e '=++x y C C C x ，得10=C ，21=C ，所以，所求函数为2e =x y x ．4．能否适当地选取常数λ，使函数e λ=x y 成为方程90''-=y y 的解．解 因为e λλ'=x y ，2e λλ''=x y ，所以为使函数e λ=x y 成为方程 90''-=y y 的解，只须满足2e 9e 0λλλ-=x x ，即2(9)e 0λλ-=x ．而e 0λ≠x ，因此必有290λ-=，即3λ=或3λ=-，从而当3λ=，或3λ=-时，函数33e ,e -==x x y y 均为方程90''-=y y 的解．5．消去下列各式中的任意常数12,,C C C ，写出相应的微分方程． （1）2;y Cx C =+ （2）()tan ;y x x C =+ （3）12e e ;x x xy C C -=+ （4）212()y C C x -=．解 注意到，含一个任意常数及两个变量的关系式对应于一阶微分方程；含两个独立常数的式子对应于二阶微分方程．（1）由2=+y Cx C 两边对x 求导，得'=y C ，代入原关系式2y Cx C =+，得所求的微分方程为2()''+=y xy y ．（2）由tan()=+y x x C 两边对x 求导，得2tan()sec ()'=+++y x C x x C ，即 2tan()tan ()'=++++y x C x x x C ．而tan()=+yx C x，故所求的微分方程为 2⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭y y y x x x x ，化简得 22'=++xy y x y ．（3）由12e e -=+x x xy C C 两边对x 求导，得 12e e -'+=-x x y xy C C ，两边再对x 求导，得12e e -''''++=+x x y y xy C C ，可得所求的微分方程为2'''+=xy y xy ．（4）由212()-=y C C x 两边对x 求导，得122()'-⋅=y C y C ，将212()-=y C C x代，并化简得12'=-xy y C ，对上式两边再对x 求导，得22''''+=y xy y ，故第十一章 微分方程习题详解所求的微分方程为20'''+=xy y ．习 题 11—21．求下列微分方程的通解或特解：（1）ln 0;xy y y '-= （2）cos sin d sin cos d 0;x y x x y y += （3）22();y xy y y '''-=+ （4）(1)d ()d 0;x y x y xy y ++-= （5）23yy xy x '=-，01;x y == （6）22sin d (3)cos d 0x y x x y y ++=，16x y=π=． 解 （1）分离变量，得11d d ln =y x y y x，两端积分，得 ln(ln )ln ln =+y x C ，即 ln =y Cx ，所以原方程的通解为 e C x y =．注 该等式中的x 与C 等本应写为||x 与||C 等，去绝对值符号时会出现±号；但这些±号可认为含于最后答案的任意常数C 中去了，这样书写比较简洁些，可避开绝对值与正负号的冗繁讨论，使注意力集中到解法方面，本书都做这样的处理．（2）原方程分离变量，得cos cos d d sin sin =-y xy x y x，两端积分，得 ln(sin )ln(sin )ln =-+y x C ，即 ln(sin sin )ln ⋅=y x C ，故原方程的通解为 sin sin ⋅=y x C ．（3）原方程可化成 2d (1)2d -+=yx y x ，分离变量，得 212d d 1=-+y x y x ，两端积分，得 12ln(1)-=-+-x C y， 即 12ln(1)=++y x C是原方程的通解．（4）分离变量，得d d 11=+-y x y x y x ，两边积分，得 ln(1)ln(1)ln -+=+-+y y x x C ，即 e (1)(1)y x C y x -=+- 是原方程的通解．（5）分离变量，得2d d 31=-y y x x y ，两端积分，得2211ln(31)ln 62-=+y x C ， 即 211262(31)ex y C -=．由定解条件01==x y，知16(31)-=C ，即162=C ，故所求特解为 21112662(31)2x y e-=，即223312e -=x y ．（6）将方程两边同除以2(3)sin 0+≠x y ，得22cos d d 03sin +=+x yx y x y，两端积分，得 122cos d d 3sin +=+⎰⎰x yx y C x y ，积分后得 2ln(3)ln(sin )ln ++=x y C （其中1ln =C C ），从而有2(3)sin +=x y C ，代入初始条件16=π=x y，得 4sin 26π==C ．因此，所求方程满足初始条件的特解为 2(3)sin 2+=x y ，即 2arcsi 3n2y x =+． 2．一曲线过点0(2,3)M 在两坐标轴间任意点处的切线被切点所平分，求此曲线的方程． 解 设曲线的方程为()y y x =，过点(,)M x y 的切线与x 轴和y 轴的交点分别为(2,0)A x 及(0,2)B y ，则点(,)M x y 就是该切线AB 的中点．于是有22'=-yy x ，即xy y '=-，且(2)3=y ， 分离变量后，有11d d =-y x y x，积分得 ln ln ln =-y C x ，即 =C y x ．由定解条件23==x y ，有6=C ，故 6=y x为所求的曲线． 3．一粒质量为20克的子弹以速度0200v =（米/秒）打进一块厚度为10厘米的木板，然后穿过木板以速度180v =（米/秒）离开木板．若该木板对子弹的阻力与运动速度的平方成正比（比例系数为k ），问子弹穿过木板的时间．解 依题意有2d d =-vmkv t，0200==t v ， 即 21d d -=kv t v m，两端积分，得 10.02=+=+k kt C t C v m （其中20克＝0.02千克）， 代入定解条件0200==t v ，得1200=C ，故有200100001=+v kt ．第十一章 微分方程习题详解设子弹穿过木板的时间为T 秒，则2000.1d 100001Tt kt =+⎰200ln(100001)10000=+Tkt k 1ln(100001)50=+kT k， 又已知=t T 时，180==v v 米/秒，于是20080100001=+kT ，从而，0.00015=kT ，为此有 0.1ln(1.51)500.00015=+⨯T，所以0.10.0075ln 2.5=⨯T 0.000750.00080.9162≈=（秒）， 故子弹穿过木板运动持续了0.0008=T （秒）．4．求下列齐次方程的通解或特解：（1）0;xy y '- （2）22()d d 0;x y x xy y +-= （3）332()d 3d 0;x y x xy y +-= （4）(12e )d 2e (1)d 0;x x yyxx y y++-=（5）22d d yx xy y x=-，11;x y == （6）22(3)d 2d 0y x y xy x -+=， 01x y==．解 （1）原方程变形，得'=+y y x ，令=yu x，即=y ux ，有''=+y u xu ，则原方程可进一步化为'+=u xu u分离变量，得1d =u x x ，两端积分得ln(ln ln +=+u x C ，即u Cx ，将=yu x代入上式并整理，得原方程的通解为2y Cx ．（2）原方程变形，得22d d +=y x y x xy，即21d d x xy y x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=． 令=yu x，即=y ux ，有''=+y u xu ，则原方程可进一步化为 21+'+=u u xu u， 即 1d d =u u x x ，两端积分，得 211ln 2=+u x C ，将=yu x代入并整理，得原方程的通解22(2ln )=+y x x C （其中12=C C ）．（3）原方程变形，得332d d 3+=y x y x xy ，即32d 1()d 3()+=y y x x y x ， 令=y ux ，有d d d d =+y uu x x x，则原方程可进一步化为 32d 1d 3++=u u u x x u ， 即 3231d d 12u u x u x=-，两端积分，得311ln(12)ln ln 22--=-u x C ， 即 23(12)-=x u C ，将=yu x代入上式并整理，得原方程的通解为 332-=x y Cx ．（4）显然，原方程是一个齐次方程，又注意到方程的左端可以看成是以xy为变量的函数，故令=x u y ，即=x uy ，有d d d d =+x u u y y y，则原方程可化为 d ()(12e )2e (1)0d +++-=u u uu yu y， 整理并分离变量，得2e 11d d 2e +=-+u uu y u y， 两端积分，得ln(2e )ln ln +=-+u u y C ，第十一章 微分方程习题详解即 2e +=u C u y ．将 =xu y代入并整理，得原方程的通解为 2e +=xy y x C ．（5）原方程可化为2d d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭y y y x x x ． 令=yu x，有d d d d =+y u u x x x ，则原方程可进一步化为2d d +=-uu xu u x， 即 211d d -=u x u x ，两端积分，得 1ln =+x C u ，将=yu x代入，得 ln =+xx C y， 代入初始条件11==x y，得 1ln11=-=C ．因此，所求方程满足初始条件的特解为1ln =+xy x．（6）原方程可写成22d 1320d -+=x x x y y y．令=x u y ，即=x uy ，有d d d d =+x uu y y y，则原方程成为 2d 132()0d -++=uu u u yy， 分离变量，得221d d 1=-u u y u y，两端积分，得 2ln(1)ln ln -=+u y C ，即 21-=u Cy ，代入=xu y并整理，得通解 223-=x y Cy ．由初始条件01==x y，得1=-C ．于是所求特解为322=-y y x ．5．设有连结原点O 和(1,1)A 的一段向上凸的曲线弧OA ，对于OA 上任一点(,)P x y ，曲线弧OP 与直线段OP 所围成图形的面积为2x ，求曲线弧OA 的方程．解 设曲线弧的方程为()=y y x ，依题意有201()d ()2-=⎰xy x x xy x x ，上式两端对x 求导，11()()()222'--=y x y x xy x x ，即得微分方程4'=-yy x， 令=yu x，有d d d d =+y u u x x x ，则微分方程可化为d 4d +=-u u xu x ，即d 4d =-u x x， 积分得4ln =-+u x C ，因=yu x，故有 (4ln )=-+y x x C ．又因曲线过点(1,1)A ，故1=C ．于是得曲线弧的方程是(14ln )=+y x x ．6．化下列方程为齐次方程，并求出通解：（1）(1)d (41)d 0--++-=x y x y x y ； （2）()d (334)d 0+++-=x y x x y y ． 解 （1）原方程可写成d 1d 41-++=+-y x y x y x ， 令10410x y y x --=+-=⎧⎨⎩，解得交点为1=x ，0=y ．作坐标平移变换1=+x X ，=y Y ，有d d d d d(1)d ==+y Y Yx X X， 所以原方程可进一步化为d d 4-=+Y Y XX Y X（※） 这是齐次方程．设=Y u X ，则=Y uX ，d d d d =+Y u u X X X，于是（※）式可化为 1d d 41YY X Y X X-=⋅+， 即第十一章 微分方程习题详解d 1d 41-+=+u u u XX u ， 变量分离，得2411d d 41+=-+u u X u X， 两端积分，得2111ln(41)arctan(2)ln 22++=-+u u X C ， 即 22ln (41)arctan(2)⎡⎤++=⎣⎦X u u C 1(2)=C C ，将1==-Y y u X x 代入，得原方程的通解为 222ln 4(1)arctan1⎡⎤+-+=⎣⎦-yy x C x ． （2）原方程可写成d d 43()+=-+y x yx x y ， 该方程属于d ()d =++yf ax by c x类型，一般可令=++u ax by c ． 令=+u x y ，有d d 1d d =-y u x x，则原方程可化为 d 1d 43-=-u ux u， 即34d 2d 2-=-u u x u ，积分得 32ln 22+-=+u u x C ，将=+u x y 代入上式，得原方程的通解为32ln 2+++-=x y x y C ．习 题 11—31．求下列微分方程的通解：（1）22e -'+=x y xy x ； （2）23'-=xy y x ； （3）d tan 5d yx y x-=； （4）1ln '+=y y x x ； （5）2(6)d 2d 0-+=y x y y x ； （6）d 32d ρρθ+=． 解 （1） ()d ()d e ()e d -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰p x x p x x y q x x C ()222d 2d e e e d e d x x x xx x x x C x x C ---⎛⎫⎰⎰=+=+ ⎪⎝⎭⎰⎰2221e e 2x x C x --=+． （2）原方程可化为3'-=y y x x， 故通解为33d d 3321e e d ---⎡⎤⎛⎫⎰⎰=+=-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎰x x x x y x x C x C Cx x x ．（3）原方程可化为d cos 5cos d sin sin -=y x x y x x x， 故通解为cos cos d d sin sin 5cos e e d sin ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰x x x x x x x y x C x 25cos sin d sin 5sin x x x C C x x ⎡⎤=+=-⎢⎥⎣⎦⎰． （4）所给方程的通解为()11d d ln ln 1e ed ln d ln -⎡⎤⎰⎰=+=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰x xx x x x y x C x x C x1(ln )ln ln -=-+=+C xx x x C x x x． （5）方程可化为 2d 6d 2x x y y y -=，即 d 31d 2x x y y y -=-，故通解为 33d d 1e e d 2-⎡⎤⎰⎰=-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰y yy y x y y C3211d 2y y C y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰312⎛⎫=+ ⎪⎝⎭y C y ． （6）()3d 3d 33e 2e d e 2e d θθθθρθθ--⎡⎤⎰⎰=+=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰C C 33322e e e 33C C θθθ--⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．2．求下列微分方程的特解： （1）d tan sec d yy x x x -=，00x y ==； （2）cos d cot 5e d x y y x x +=，24π==-x y ； （3）23d 231d y x y x x -+=，10x y ==．第十一章 微分方程习题详解解 （1）tan d tan d e sec e d -⎛⎫⎰⎰=⋅+ ⎪⎝⎭⎰x xx x y x x C ()lncos lncos e sec ed -=+⎰x xx x C()1sec cos d cos x x x C x=⋅+⎰cos +=x Cx， 代入初始条件0,0==x y ，得0=C ．故所求特解为 cos =xy x． （2） cot d cot d cos e 5e e d -⎛⎫⎰⎰=⋅+ ⎪⎝⎭⎰x x x x x y x C ()cos 15esin d sin xx x C x=⋅+⎰()cos 15e sin =-+x C x， 代入初始条件,42π==-x y ，得1C =，故所求特解为cos 15e sin -=xy x， 即 cos sin 5e 1+=x y x ．（3） 332323d d ee d ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰x x x x x x y x C 22113ln 3ln e e d ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰x x xx x C 222211113332e 11e d ee d 2x x x x x x C x C x x --⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎪=+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎪⎝⎭⎰⎰ 2221133311e e e 22x x x x x C Cx -⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，代入初始条件1,0==x y ，得12e=-C ，故所求特解为 21311e 2-⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭x x y ． 3．求一曲线的方程，这曲线通过原点，并且它在点(,)x y 处的切线斜率等于2+x y ． 解 设曲线方程为()=y y x ，依题意有2'=+y x y ，即2'-=y y x ．从而有()d de 2e d e2ed --⎛⎫⎰⎰=+=+ ⎪⎝⎭⎰⎰x x xxy x x C x x Ce (2e 2e )22e x x x x x C x C --=--+=--+． 由0=x ，0=y ，得2=C ．故所求曲线的方程为2(e 1)=--x y x ．4．设曲线积分2()d [2()]d +-⎰Lyf x x xf x x y 在右半平面（0>x ）内与路径无关，其中()f x 可导，且(1)1=f ，求()f x ．解 依题意及曲线积分与路径无关的条件，有2[2()][()]0∂-∂-=∂∂xf x x yf x x y，即 2()2()2()0'+--=f x xf x x f x ．记()=y f x ，即得微分方程及初始条件为112'+=y y x，11==x y ． 于是，)11d d22e e d -⎛⎫⎰⎰=+=+ ⎪⎝⎭⎰x xx x y x C x C23⎫=⎪⎭C x 代入初始条件 1,1==x y ，得13=C ，从而有 2()3=f x x5．求下列伯努利方程的通解：（1）2d ;d yx y xy x+= （2）42323;y y x y x '+=（3）4d 11(12);d 33y y x y x +=- （4）3d [(1ln )]d 0-++=x y y xy x x ． 解 （1）方程可以化为21d 11d --+=y y y x x． 令1-=z y ，则2d d d d -=-z y y x x ，即2d d d d -=-y z y x x ．代入方程，得d 11d -+=z z x x，即 d 11d -=-z z x x， 其通解为11d de (e )d ln -⎛⎫⎰⎰=-+=- ⎪⎝⎭⎰x xx x z x C Cx x x ，所以原方程的通解为1ln =-Cx x x y． （2）原方程化为41233d 23d --+=y yy x x x． 令13-=z y ，则43d 1d d 3d -=-z y y x x ，即43d d 3d d -=-y z y x x ．代入方程，得2d 233d -+=z z x x x，即2d 2d 3-=-z z x x x，第十一章 微分方程习题详解其通解为22d d 233e (e )d -⎡⎤⎰⎰=-+⎢⎥⎣⎦⎰x x x xz x x C2433()d ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦⎰x x x C273337⎛⎫=- ⎪⎝⎭x C x ．所以原方程的通解为 12733337-=-yCx x ．（3）原方程化为4311(12)33--'+=-y y y x ．令3-=z y ，则43-''=-z y y ，于是原方程化为21z x z '-=-，其通解为d d 21e ()e d e ()e 21d x x x x z x C x x x C --⎡⎤⎰⎰⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦⎣--⎦⎰⎰ e (21)e 21e x x xx C x C -⎡⎤=--+=--+⎣⎦，所以原方程的通解为 321e -=--+x y x C ．（4）原方程化为31(1ln )'-=+y y x y x ，即3211ln --'-=+y y y x x． 令2-=z y ，则32-''=-z y y ，则原方程化为22(1ln )'+=-+z z x x，其通解为 22d de 2(1ln )e d -⎡⎤⎰⎰=-++⎢⎥⎣⎦⎰x xx x z x x C222(1ln )d x x x x C -⎡⎤=-++⎣⎦⎰233221(1ln )d 33x x x x x C x -⎡⎤=-++⋅+⎢⎥⎣⎦⎰23322(1ln )39x x x x C -⎡⎤=-+++⎢⎥⎣⎦222(1ln )39x x x Cx -=-+++，所以原方程的通解为 2222(1ln )39--=-+++y x x x Cx ，或写成233242ln 93=--+x x x x C y ．习 题 11—41．求下列全微分方程的通解：（1）21d ()d 0;2xy x x y y ++= （2）3222(36)d (46)d 0;x xy x y x y y +++=（3）e d (e 2)d 0;y y x x y y +-= （4）(cos cos )sin sin 0x y x y y x y '+-+=． 解 （1）易知，=P xy ，21()2=+Q x y ．因为∂∂==∂∂P Q x y x ，所以原给定的方程为全微分方程．而21(,)0d ()d 2x yu x y s x t t =++⎰⎰22221111()2224x y y x y y =+=+，于是，所求方程的通解为221124+=x y y C ． （2）易知，2236=+P x xy ，3246=+Q y x y ．因为12∂∂==∂∂P Qxy y x， 所以原给定的方程为全微分方程．而2320(,)3d (46)d xyu x y s s t x t t =++⎰⎰34223x y x y =++， 于是，所求方程的通解为 34223++=x y x y C ．（3）易知，e y P =，e 2y Q x y =-．因为 e y P Qy x∂∂==∂∂，原方程为全微分方程．将原方程的左端重新组合，得2(e d e d )2d d(e )y y y x x y y y x y +-=-，于是，所求方程的通解为 2e y x y C -=．（4）原方程可化为(cos cos )d (sin sin )d 0x y x y y x y x ++-+=，易知，sin sin P y x y =-+，cos cos Q x y x =+．因为 sin cos P Qx y y x∂∂=-+=∂∂，原方程为全微分方程．方程的左端重新组合，得(cos d sin d )(cos d sin d )0x y y y x x y y x x ++-=， d(sin )d(cos )d(sin cos )0x y y x x y y x +=+=，于是，所求方程的通解为 sin cos x y y x C +=．第十一章 微分方程习题详解2．用观察法求出下列方程的积分因子，并求其通解：（1）2()d d 0;x y x x y =-+ （2）22(3)d (13)d 0y x y x xy y -+-=． 解 （1）用21x 乘方程，便得到了全微分方程 211d d 0⎛⎫+-= ⎪⎝⎭y x y x x ，将方程左端重新组合，得2d d d d 0-⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭y x x y y x x x x ． 于是，通解为 -=yx C x． （2）原方程可化为232d 3d d 3d 0xy x y x y xy y -+-=，即232d d 3(d d )0xy x y y x xy y +-+=，用21y 乘方程，便得到了全微分方程 21d d 3(d d )0+-+=x x y y x x y y ， 221111d d 3d()d 3022x xy x xy y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，于是，原方程的通解为21132--=x xy C y． 3．用积分因子法解下列一阶线性方程：（1）24ln xy y x '+=； （2）tan y y x x '-=． 解 （1）将原方程写成24ln '+=xy y x x， 此方程两端乘以2d 2eμ⎰==xx x 后变成224ln '+=x y xy x x ，即 2()4ln '=x y x x ，两端积分，得2224ln d 2ln ==-+⎰x y x x x x x x C ，于是，原方程的通解为 22ln 1=-+C y x x ． （2）方程两端乘以tan d e cos μ-⎰==x xx ，则方程变为cos sin cos '-=y x y x x x ，即 (cos )cos '=y x x x ，两端积分，得cos cos d sin cos ==++⎰y x x x x x x x C ，于是，原方程的通解为 tan 1cos =++Cy x x x．习 题 11—51．求下列微分方程的通解： （1）211y x ''=+； （2）e x y x '''=； （3）(5)(4)10y y x -=．解（1）1121d arctan 1'=+=++⎰y x C x C x ， ()212121arctan d arctan ln(1)2y x C x C x x x C x C =++=-+++⎰．（2）11e d e e ''=+=-+⎰x x x y x x C x C ，1212(e e )d e 2e x x x x y x C x C x C x C '=-++=-++⎰， 2112323(e 2e )d e 3e 2x x x x C y x C x C x C x x C x C =-+++=-+++⎰． （作为最后的结果，这里12C 也可以直接写成1C ）． （3）令(4)=z y ，则有d 10d -=z z x x，可知=z Cx ，从而有 44d d =yCx x ， 再逐次积分，即得原方程的通解53212345=++++y C x C x C x C x C ．2．求下列微分方程的通解：（1）;y y x '''=+ （2）0;xy y '''+= （3）310;y y ''-= （4）()3y y y ''''=+． 解 （1）令'=y p ，则'''=y p ，且原方程化为'-=p p x ．利用一阶线性方程的求解公式，得()d d 11e e d eed x x xxp x x C x x C --⎛⎫⎰⎰=+=+ ⎪⎝⎭⎰⎰()11e e e 1e x x x x x C x C --=--+=--+．第十一章 微分方程习题详解即11e x p x C =--+，再积分，得通解21121(1e )d e 2x x y x C x x x C C =--+=--++⎰．（2）令'=y p ，则'''=y p ，且原方程化为0'+=xp p ，分离变量，得d d =-p xp x，积分得 11ln ln ln =+p C x，即 1=C p x，再积分，得通解 112d ln ==+⎰C y x C x C x ．（3）令'=y p ，则d d ''=py py，且原方程化为 3d 10d -=py py， 分离变量，得 31d d =p p y y ，积分得 2121=-+p C y ，故'==y p ， 再分离变量，得d =±x ．由于||sgn()=y y y ，故上式两端积分，sgn()d =±⎰y x，即12sgn(=±+y C x C ，两边平方，得()221121-=+C y C x C ．（4）令'=y p ，则d d ''=p y py ，且原方程化为3d d =+ppp p y，即 2d (1)0d ⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦p p p y ． 若0≡p ，则≡y C ．≡y C 是原方程的解，但不是通解． 若0≡p ，由于p 的连续性，必在x 的某区间有0≠p ．于是2d (1)0d -+=pp y，分离变量，得2d d 1=+py p ，积分得 1arctan =-p y C ，即()1tan =-p y C ，亦即 ()1cot d d -=y C y x ．积分得()12ln sin ln -=+y C x C ．即 ()12sin e -=x y C C ，也可写成()21arcsin e =+x y C C ．由于当20=C 时，1=y C ，故前面所得的解≡y C 也包含在这个通解之内．3．求下列初值问题的解：（1）sin ''=+y x x ，(0)1=y ，(0)2'=-y ； （2）2(1)2'''+=x y xy ，(0)1=y ，(0)3'=y ； （3）2e y y ''=，(0)0=y ，(0)0'=y ； （4）()21'''+=y y ，(0)0=y ，(0)0'=y ．解 （1）易知，211cos 2'=-+y x x C ，3121sin 6=-++y x x C x C ．由初值条件(0)2'=-y ，知1201-=-+C ，得11=-C ；由(0)1=y ，知21000=-++C ，得21=C ．故特解为31sin 16=--+y x x x ．（2）令'=y p ，则'''=y p ，且原方程化为2(1)2'+=x p xp ，变量分离，得212d d 1=+x p x p x，两端积分，得 21(1)'==+y p C x ．再两端积分，得 3121()3=++y C x x C ．由初值条件(0)3y '=，有213(10)=+C ，解得，13=C ，由初值条件(0)1y =，有22113(00)3=+⋅+C ，解得，21=C ，故所给初值条件的微分方程的特解为 331=++y x x ．（3）令'=y p ，则d d py py ''=，且原方程化为 2d e d y ppy=，即2d e d y p p y =，第十一章 微分方程习题详解两端积分得22111e 22yp C =+． 代入初始条件(0)0=y ，(0)0y '=，得 112C =-，从而22111e 222y p =-，即22e 1y p =-，亦即 '=y ．分离变量后积分d =±⎰x ，即d -=⎰y x ，得2arcsin(e )-=+y x C ，代入初始条件(0)0y =，得2π=2C ．于是，符合所给初值条件的特解为 e sin -π⎛⎫=⎪2⎝⎭y x ， 即 lncos lnsec =-=y x x ．（4）令'=y p ，则d d py py''=，且原方程化为 2d 1d ppp y+=， 分离变量，得2d d 1pp y p =-，两端积分，得 211ln(1)2--=+p y C ， 代入初始条件(0)0y =，(0)0y '=，得 10=C ．从而，21ln(1)2=--y p ，即'==y p再分离变量，得d =±y x d =±y y x ．两端积分，得2arch(e )=±+y x C ，代入初始条件(0)0=y ，得20=C ，从而有满足所给初始条件的特解为arch(e )=±y x ，即e ch()ch()=±=y x x ，或写成 ln ch()=y x ．4．试求''=y x 的经过点(0,1)M 且在此点与直线112=+y x 相切的积分曲线． 解 由于直线112=+y x 在(0,1)M 处的切线斜率为12，依题设知，所求积分曲线是初值问题''=y x ，01==x y ，012='=x y 的解．由''=y x ，积分得2112'=+y x C ，再积分，得 21216=++y x C x C ，代入初始条件01==x y ，012='=x y ，解得 112=C ，21=C ，于是所求积分曲线的方程为 211162=++y x x ．5．对任意的0>x ，曲线()=y f x 上的点(,())x f x 处的切线在y 轴上的截距等于1()d xf t t x ⎰， 且()=y f x 存在二阶导数，求()f x 的表达式．解 设曲线的方程为()=y f x ，其中()=y f x 有二阶导数，则在点(,())M x f x 处的切线方程为()()()'-=-Y f x f x X x ，令0=X ，知切线在y 轴上的截距为()()'=-Y f x xf x ，据题意，有1()d ()()'=-⎰x f t t f x xf x x ，即20()()()d '-=⎰x xf x x f x f t t ． 两端求导，得2()()2()()()''''+--=f x xf x xf x x f x f x ，即[]()()0x f x xf x '''+=，已知0>x ，故有()()0f x xf x '''+=，令'=y p ，则'''=y p ，且原方程化为d 0d pp xx+=， 分离变量，得11d d =-p x p x，两端积分，得 1ln ln ln =-p C x ，即1'==C y p x．第十一章 微分方程习题详解再对两端积分，得12ln =+y C x C ，即12()ln =+f x C x C ．习 题 11—61．下列函数组中，在定义的区间内，哪些是线性无关的． （1）e x ，e ;x - （2）23sin x ，21cos ;x - （3）cos2x ，sin 2;x （4）ln x x ，ln x ． 解 （1）因为1e x y =，2e x y -=满足：212e e exx x y y -==≠常数， 所以函数组e x ，e x -是线性无关的．（2）因为213sin y x =，221cos y x =-满足：21223sin 31cos y x y x==-， 所以函数组23sin x ，21cos -x 是线性相关的．（3）因为1cos2y x =，2sin 2y x =满足：12cos2cot 2sin 2y x x y x==≠常数， 所以函数组cos2x ，sin 2x 是线性无关的．（4）因为1ln y x x =，2ln y x =满足：12ln ln y x x x y x==≠常数， 所以函数组ln x x ，ln x 是线性无关的．2．验证1cos y x ω=及2sin y x ω=都是方程20y y ω''+=的解，并写出该方程的通解． 证明 由1cos y x ω=，得1sin y x ωω'=-，21cos y x ωω''=-； 由2sin y x ω=，得1cos y x ωω'=，21sin y x ωω''=-． 可见，2sin 0i y x ωω''+= (1,2)i =，故1cos y x ω=及2sin y x ω=都是方程20y y ω''+=的解．又因为12cot y x y ω=≠常数，故1cos y x ω=与2sin y x ω=线性无关．于是所给方程的通解为 1212cos sin y y y C x C x ωω=+=+．3．验证21e x y =及22e x y x =都是微分方程24(42)0y xy x y '''-+-=的解，并写出该方程的通解．证明 由21e x y =，得212e x y x '=，221(24)e x y x ''=+； 由22e x y x =，得222(12)e x y x '=+，232(64)e x y x x ''=+． 因为2222221114(42)(24)e 42e (42)e 0x x x y xy x y x x x x '''-+-=+-⋅+-=； 22223222224(42)(64)e 4(12)e (42)e 0x x x y xy x y x x x x x x '''-+-=+-⋅++-=， 所以21e x y =及22e x y x =都是方程24(42)0y xy x y '''-+-=的解．又因为21y x y =≠常数，故21e x y =与22e x y x =线性无关，于是所给方程的通解为 21212()e x y y y C C x =+=+．4．若13y =，223y x =+，22e 3x y x =++都是方程()()()y P x y Q x y f x '''++=(()0)f x ≠的特解，当()P x ，()Q x ，()f x 都是连续函数时，求此方程的通解．解 因为221y y x -=，32e x y y -=，所以2x 及e x 都是方程()()()y P x y Q x y f x '''++=对应齐次方程的特解．又因为32221e xy y y y x -=≠-常数，所以21y y -与32y y -线性无关．因此，所给方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的通解为212e 3x y C x C =++．习 题 11—71．求下列微分方程的通解．（1）40;y y '''-= （2）3100;y y y '''--= （3）960;y y y '''++= （4）0;y y ''+=（5）6250;y y y '''-+= （6）(4)5360''+-=y y y ．解 （1）所给方程对应的特征方程为240r r -=，解之，得10r =，24r =，所以原方程的通解为412e x y C C =+．（2）所给方程对应的特征方程为23100r r --=解之，得15r =，22r =-，所以原方程的通解为第十一章 微分方程习题详解5212e e x x y C C -=+．（3）所给方程对应的特征方程为29610r r ++=解之，得 1213r r ==-，所以原方程的通解为1312()ex y C C x -=+．（4）所给方程对应的特征方程为210r +=，解之，得 1i r =，2i r =-，所以原方程的通解为12cos sin y C x C x =+．（5）所给方程对应的特征方程为26250r r -+=，解之，得 134i r =-，234i r =+，所以原方程的通解为312e (cos 4sin 4)x y C x C x =+．（6）所给方程对应的特征方程为425360r r +-=，解之，得 1,22r =±，3,43i r =±，所以原方程的通解为221234e e cos3sin3x x y C C C x C x -=+++．2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解： （1）00430,6,10==''''-+===x x y y y y y ； （2）00440,2,0==''''++===x x y y y y y ； （3）00250,2,5=='''+===x x y y y y ； （4）004130,0,3==''''-+===x x y y y y y ．解 （1）所给方程对应的特征方程为2430r r -+=，解之，得 11r =，23r =，所以原方程的通解为312e e x x y C C =+，从而，312e 3e x x y C C '=+，代入初始条件006,10x x y y =='==，得12126,310,C C C C +=⎧⎨+=⎩ 解得124,2,C C =⎧⎨=⎩ 故所求特解为34e 2e x x y =+．（2）所给方程对应的特征方程为24410r r ++=，解之，得 1,212r =-，所以原方程的通解为1212()ex y C C x -=+，从而，12211221211e ee 22x x x C C C x y ----'=-， 代入初始条件002,0x x y y =='==，得1122,10,2C C C =⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 解得，122,1,C C =⎧⎨=⎩ 故所求特解为12(2)ex y x -=+．（3）所给方程对应的特征方程为2250r +=，解之，得 1,25i r =±，所以原方程的通解为12cos5sin5y C x C x =+，从而，125sin55cos5y C x C x '=-+，代入初始条件002,5x x y y =='==，得122,55,C C =⎧⎨=⎩ 解得，122,1,C C =⎧⎨=⎩ 故所求特解为2cos5sin5y x x =+．（4）所给方程对应的特征方程为24130r r -+=，解之，得 1,223i r =±，所以原方程的通解为212e (cos3sin 3)x y C x C x =+，从而，21221e [(23)cos3(23)sin3]x y C C x C C x '=++-，代入初始条件000,3x x y y =='==，得1120,233,C C C =⎧⎨+=⎩ 解得120,1,C C =⎧⎨=⎩ 故所求特解为2e sin3x y x =．3．设圆柱形浮筒，直径为0.5米，铅直放在水中，当稍向下压后突然放开，浮筒在水第十一章 微分方程习题详解中上下振动的周期为2秒，求浮筒的质量．解 设x 轴的正向铅直向下，原点在水面处．平衡状态下浮筒上一点A 在水平面处，又设在时刻t ，点A 的位置为()x x t =，此时它受到的恢复力的大小为21000||gV g R x ρ=π排水（R 是浮筒的半径），恢复力的方向与位移方向相反，故有21000mx g R x ''=-π，其中m 是浮筒的质量．记221000g R mωπ=，则得微分方程20x x ω''+=．其对应的特征方程为220r ω+=，解得1,2i r ω=±，故12cos sin sin()x C t C t A t ωωωϕ=+=+，A 1sin C Aϕ=． 由于振动周期22T ωπ==，故ω=π，即221000g R m π=π，从中解出浮筒的质量为 21000195gR m =≈π（千克）．习 题 11—81．求下列微分方程的特解*y 的形式（不必求出待定系数）． （1）2331;y y x ''-=+ （2）;y y x '''+= （3）2e ;x y y y '''-+= （4）23e ;x y y y -'''--= （5）32e ;x y y y x '''-+= （6）22(3)e ;x y y x x '''-=+- （7）276e sin ;x y y y x '''++= （8）245e sin ;x y y y x '''-+= （9）2222e cos ;x y y y x x '''-+= （10）22e sin x y y y x x '''-+=．解 （1）2()31f x x =+属于e ()λx m P x 型（其中，2()31m P x x =+，0λ=），对应齐次方程的特征方程为230r -=．易知，0λ=不是特征方程的根，所以特解*y 的形式为*2y Ax Bx C =++ （这里A 、B 和C 为待定系数）．（2）()f x x =属于e ()λx m P x 型（其中，()m P x x =，0λ=），对应齐次方程的特征方程为20r r +=．易知，0λ=是特征方程的一个单根，所以特解*y 的形式为*2()y x Ax B Ax Bx =+=+ （这里A 和B 为待定系数）．（3）()e x f x =属于e ()λx m P x 型（其中，()1m P x =，1λ=），对应齐次方程的特征方程为2210r r -+=，易知，1λ=是特征方程的二重根，所以特解*y 的形式为*2e x y Ax = （其中A 为待定系数）．（4）()e x f x -=属于e ()λx m P x 型（其中，()1m P x =，1λ=-），对应齐次方程的特征方程为2230r r --=，易知，1λ=-是特征方程的一个单根，所以特解*y 的形式为*e x y Ax -= （其中A 为待定系数）．（5）()e x f x x =属于e ()λx m P x 型（其中，()m P x x =，1λ=），对应齐次方程的特征方程为2320r r -+=，易知，1λ=是特征方程的一个单根，所以特解*y 的形式为*2()e ()e x x y x Ax B Ax Bx =+=+ （其中A 和B 为待定系数）．（6）2()(3)e x f x x x =+-是e ()λx m P x 型（其中，2()3m P x x x =+-，1λ=），对应齐次方程的特征方程为220r r -=，易知，1λ=是不是特征方程的根，所以特解*y 的形式为*2()e x y Ax Bx C =++ （其中A 、B 和C 为待定系数）．（7）2()e sin x f x x =属于[]e ()cos ()sin x l n P x x P x x λωω+型（其中2λ=，1ω=，()0l P x =，()1n P x =）．对应齐次方程的特征方程为2760r r ++=，易知，i 2i λω+=+不是特征方程的根，所以应设其特解为*2e (cos sin )x y A x B x =+ （其中A 、B 为待定系数）．（8）2()e sin x f x x =属于[]e ()cos ()sin x l n P x x P x x λωω+型（其中2λ=，1ω=，()0l P x =，()1n P x =）．对应齐次方程的特征方程为2450r r -+=，易知，i 2i λω+=+是特征方程的根，所以应设其特解为*2e [cos sin )]x y x A x B x =+ （其中A 和B 为待定系数）．（9）由2()2e cos xf x x x =属于[]e ()cos ()sin x l n P x x P x x λωω+型（其中2λ=，1ω=，()2l P x x =，()0n P x =），对应齐次方程的特征方程为2220r r -+=，易知，i 2i λω+=+不是特征方程的根，所以应设其特解为*2e [()cos ()sin )]x y Ax B x Cx D x =+++ （其中A 、B 、C 和D 为待定系数）．（10）()e sin x f x x x =属于[]e ()cos ()sin x l n P x x P x x λωω+型（其中1λ=，1ω=，()0l P x =，()n P x x =）．对应齐次方程的特征方程为2220r r -+=，易知，i 1i λω±=±是特征方程的根，所以应设其特解为[]*e ()cos ()sin )x y x Ax B x Cx D x =+++（其中A 、B 、C 和D 为待定系数）．2．求下列各微分方程的通解．（1）22e ;x y y y '''+-= （2）323e ;x y y y x -'''++= （3）369(1)e ;x y y y x '''-+=+ （4）e cos ''+=+x y y x ．解 （1）()2e x f x =是e ()λx m P x 型（其中，()2m P x =，1λ=），对应齐次方程的特征方第十一章 微分方程习题详解程为2210r r +-=，解得 112r =，21r =-，故对应齐次方程的通解为 1212e e x x Y C C -=+．因为1λ=不是特征方程的根，所以特解*y 的形式为*e x y A =，代入原方程得2e e e 2e x x x x A A A +-=．消去e x ，有1A =，即 *e x y =，故原方程的通解为1*212e e e x x x y Y y C C -=+=++．（2）()3e x f x x -=是e ()λx m P x 型（其中，()3m P x x =，1λ=-），对应齐次方程的特征方程为 2320r r ++=，解得 11r =-，22r =-，故对应齐次方程的通解为212e e x x Y C C --=+．因为1λ=-是特征方程的单根，所以特解*y 的形式为*2()e ()e x x y x Ax B Ax Bx --=+=+，代入原方程并消去e x -，得2(2)3Ax A B x ++=．比较系数，得32A =，3B =-，即 *233e 2x y x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故原方程的通解为 *22123e e 3e 2x x x y Y y C C x x ---⎛⎫=+=++- ⎪⎝⎭．（3）3()(1)e x f x x =+是e ()λx m P x 型（其中，()1m P x x =+，3λ=），对应齐次方程的特征方程为 2690r r -+=，解得 1,23r =，故对应齐次方程的通解为312()e x Y C C x =+．因为3λ=是特征方程的二重根，所以特解*y 的形式为*23323()e ()e x x y x Ax B Ax Bx =+=+，代入原方程并消去e x ，得621Ax B x +=+．比较系数，得16A =，12B =，即 *32311e 62x y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故原方程的通解为*33231211()e e 62x x y Y y C C x x x ⎛⎫=+=+++ ⎪⎝⎭．（4）原方程对应的齐次方程的特征方程为210r +=，解得1,2i r =±，故对应齐次方程的通解为。
微积分综合练习题与参考答案完美版
微积分综合练习题与参考答案完美版综合练习题1（函数、极限与连续部分）1．填空题（1）函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是 ． 答案：2>x 且3≠x .（2）函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ．答案：]2,1()1,2(-⋃--（3）函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f． 答案：3)(2+=x x f（4）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,0,13sin )(x k x xx x f 在0=x 处连续，则=k ．答案：1=k（5）函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ．答案：1)(2-=x x f（6）函数1322+--=x x x y 的间断点是 ．答案：1-=x（7）=∞→xx x 1sin lim ．答案：1（8）若2sin 4sin lim0=→kxxx ，则=k ．答案：2=k 2．单项选择题（1）设函数2e e xx y +=-，则该函数是（ ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数 答案：B（2）下列函数中为奇函数是（）．A ．x x sinB ．2e e x x +- C ．)1ln(2x x ++ D ．2x x +答案：C（3）函数)5ln(4+++=x x xy 的定义域为（ ）． A ．5->x B ．4-≠x C ．5->x 且0≠x D ．5->x 且4-≠x答案：D（4）设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （ ）A ．)1(+x xB ．2x C ．)2(-x x D ．)1)(2(-+x x 答案：C（5）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D（6）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．1- 答案：B （7）函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（ ）A ．2,1==x xB ．3=xC ．3,2,1===x x xD ．无间断点 答案：A 3．计算题（1）423lim 222-+-→x x x x ． 解：4121lim )2)(2()1)(2(lim 423lim 22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x （2）329lim 223---→x x x x解：234613lim )1)(3()3)(3(lim 329lim 33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x（3）4586lim 224+-+-→x x x x x解：3212lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x综合练习题2（导数与微分部分）1．填空题 （1）曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的切斜率是 ．答案：21 （2）曲线x x f e )(=在)1,0(点的切线方程是 ． 答案：1+=x y（3）已知x x x f 3)(3+=，则)3(f '= ． 答案：3ln 33)(2x x x f +=')3(f '=27（)3ln 1+（4）已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ． 答案：x x f 1)(='，)(x f ''=21x- （5）若x x x f -=e )(，则='')0(f．答案：x xx x f --+-=''e e2)(='')0(f 2-（1）若x x f xcos e)(-=，则)0(f '=（ ）．A. 2B. 1C. -1D. -2 因)(cos e cos )e ()cos e()('+'='='---x x x x f x x x)sin (cos e sin e cos e x x x x x x x +-=--=---所以)0(f '1)0sin 0(cos e 0-=+-=-答案：C（2）设y x =lg2，则d y =（ ）． A ．12d x x B ．1d x x ln10 C ．ln10x x d D ．1d xx 答案：B（3）设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （ ）．A ．x x f d )2(cos 2'B ．x x x f d22sin )2(cos 'C ．x x x f d 2sin )2(cos 2'D ．x x x f d22sin )2(cos '- 答案：D（4）若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （ ）．A ．23cos a x +B ．a x 6sin +C ．x sin -D ．x cos 答案：C3．计算题（1）设xx y 12e =，求y '．解： )1(e e 22121xx x y xx -+=')12(e 1-=x x（2）设x x y 3cos 4sin +=，求y '.解：)sin (cos 34cos 42x x x y -+='x x x 2cos sin 34cos 4-=（3）设xy x 2e 1+=+，求y '. 解：2121(21exx y x -+='+ （4）设x x x y cos ln +=，求y '.解：)sin (cos 12321x x x y -+=' x x tan 2321-=综合练习题3（导数应用部分）1．填空题（1）函数y x =-312()的单调增加区间是 ． 答案：),1(+∞（2）函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足 ． 答案：0>a2．单项选择题（1）函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ ） A ．单调增加 B ．单调减少 C ．先增后减 D ．先减后增 答案：D（2）满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（ ）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ． 间断点 答案：C（3）下列结论中（ ）不正确． A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微. B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导. C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D ．函数的极值点一定发生在不可导点上. 答案： B（4）下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（ ）． A ．x sin B ．xe C ．2xD ．x -3答案：B3．应用题（以几何应用为主）（1）欲做一个底为正方形，容积为108m 3的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为x m ，高为h m ，容器的表面积为y m 2。
《高等数学》第11章 微分方程习题详解
即 ．
再对 求导，得
，
即 ，
所以 是所给微分方程 的解．
3．确定下列各函数关系式中所含参数，使函数满足所给的初始条件．
（1） ， ；（2） ， ．
解（1）将 ， 代入微分方程，得
所以，所求函数为 ．
（2） ，将 ， 分别代入
和 ，
得
， ，
所以，所求函数为 ．
4．能否适当地选取常数 ，使函数 成为方程 的解．
（*）
这是齐次方程．
设 ，则 ， ，于是（*）式可化为
，
即
，
变量分离，得
，
两端积分，得
，
即
，
将 代入上式，得原方程的通解为
．
（2）原方程可写成
，
该方程属于 类型，一般可令 ．
令 ，有 ，则原方程可化为
，
即
，
积分得
，
将 代入上式，得原方程的通解为
．
习 题 11-3
1．求下列微分方程的通解：
（1） ；（2） ；（3） ；
（2） ， ；
（3） ， ；
（4） ， ．
解（1）将 代入所给微分方程的左边，得左边 ，而右边＝2 左边，所以 是 的解．
（2）将 ， 代入所给微分方程的左边，得左边 右边，所以 是所给微分方程 的解．
（3）将 ， ， 代入所给微分方程的左边，得
左边 （右边），
所以 不是所给微分方程 的解．
（4）对 的两边关于 求导，得
（2）原方程分离变量，得
，
两端积分，得
，
即
，
故原方程的通解为．Biblioteka （3）原方程可化成，
分离变量，得
，
两端积分，得 ，
高等数学 第十二章 常微分方程 习题课
1 4x41 2x2y21 4y4
(0,0) (x,0)
1 4x41 2x2y21 4y4c 为原方程的隐式通解.
例 5. (x3x2y)dx(x2yy3)dy0
又.解dy dx
x3xy2 x2yy3
1
y x
y2
x2 y3 x3
齐次方程
设 u x y,则 y x u ,d d x y u x d d u x .
P y(xys(xiyyn ) syi(y x n )2 coy)s
Q x
例 6. dy3(x1)2(y1)2 dx 2(x1)(y1)
解 .令 u x 1 ,v y 1 ,
则dyd(v1) d v dx d(u1) d u
dv 3u2 v2 du 2uv
3
2
v u v u
x
du dx
1 cosu
,
cousdudxx, xcesinxy .
例 3.(cx o )d dx s yysixn 1 解 . d dx y(tax)n ysexc 一阶线性方程
ye ta xd nx se xe c ta xd nd x x c
e lc n x o ss x e e lc c n x d o c s x
uxd du x1 u u u2 3, xd d u x 1 2 u u 2 u 3 u 4 1 u u 2, 1uduu2 dxx, 1 2ln 1u (2) ln xln c,
ln 1 u (2 ) 2 ln x 2 lc n ,
x2(1u2)2c, x2y2c2.
例 5 .( x 3 x 2 ) d y ( x 2 y y 3 ) d 0 y 事 ,x ( x 实 2 y 2 ) d 上 y x ( x 2 y 2 ) d 0 y
高等数学微分方程第七章练习题答案
第七章 练习题一、填空： 第一节1、微分方程()1y x 2='+'y 的阶 一 __.2、0)()67(=++-dy y x dx y x 是 一 阶常微分方程. 3、01"=+xy 是 二 阶常微分方程. 4、微分方程2'=y x 的通解为 c x y +=2 。
5、 153'+=+x y xy 是 1 阶常微分方程 6、与积分方程()dx y x f y x x ⎰=0,等价的微分方程初值问题是0|),,(0'===x x y y x f y7、223421xy x y x y x ''''++=+是 3 阶微分方程。
8、方程222(1)1xxd ye e dx+⋅+=的通解中应包含的任意常数的个数为 29、微分方程()1/22///=+y x y 的通解中含有任意常数的个数是 310、方程()01///=+--y xy y x 的通解中含有 2 个任意常数 11、 微分方程03322=+dx x dy y 的阶是 1 第二节 1、微分方程x dye dx=满足初始条件(0)2y =的解为1x y e =+． 2、微分方程y x e y -=2/的通解是 C e e xy +=221 3、微分方程2dyxy dx=的通解是 2x y Ce = 4、一阶线性微分方程23=+y dx dy的通解为 323x Ce -+5、微分方程0=+'y y 的通解为 x ce y -=6、 微分方程323y y ='的一个特解是 ()32+=x y第三节1、tan dy y ydx x x=+通解为arcsin()y x Cx =．第五节1、微分方程x x y cos "+=的通解为213cos 6C x C x x y ++-= 2、微分方程01=+''y 的通解是（ 21221C x C x y ++-= ）3、 微分方程044=+'+''y y y 的通解是（ x e C x C y 221)(-+= )4、微分方程032=-'+''y y y 的通解是（ x x e C e C y 231+=- )5、 方程x x y sin +=''的通解是=y 213sin 61C x C x x ++-第六节1、 一阶线性微分方程x e y dxdy-=+的通解为 ()C x e y x +=- 2、已知1=y 、x y =、2x y =是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为)1(21221c c x c x c y --++=或1)1()1(221+-+-=x c x c y第七节1、 微分方程230y y y '''--=的通解为x x e C e C y 321+=-.2、 分方程2220d xx dtω+=的通解是 12cos sin C t C t ωω+3、微分方程02=+'-''y y y 的通解为 12()x y c c x e =+第八节1、设二阶常系数线性微分方程'''x y y y e αβγ++=的一个特解为2(1)x x y e x e =++，则,,αβγ的值是3,2,1αβγ=-==-2、微分方程2563x y y y xe -'''++=的特解可设为=*y *201()x y x b x b e -=+二、选择 第一节1、方程222(1)1xxd ye e dx+⋅+=的通解中应包含的任意常数的个数为（ A ）（A ） 2 （B ） 4 （C ） 3 （D ） 02、方程422421x xd y d ye e dx dx+⋅+=的通解中应包含的任意常数的个数为（ B ）（A ） 2 （B ） 4 （C ） 3 （D ） 03、微分方程()1/22///=+y x y 的通解中含有任意常数的个数是（ C ）A 、1B 、2C 、3D 、54、微分方程1243/2///+=++x y x y x xy 的通解中含有任意常数的个数是（ C ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、55、微分方程34()0'''-=x y yy 的阶数为（B ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 46、下列说法中错误的是（ B ）(A) 方程022=+''+'''y x y y x 是三阶微分方程； (B) 方程220()x y yy x ''-+=是二阶微分方程；(C) 方程0)3()2(22232=+++dy y x y dx xy x 是全微分方程； (D) 方程()()dyf xg y dx=是可分离变量的微分方程． 7、方程()01///=+--y xy y x 的通解中含有（ B ）个任意常数A 、1B 、2C 、3D 、4 8、 微分方程3447()5()0y y y x '''+-+=的阶数为（ B ） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．49、微分方程()043='-'+''y y y x y xy 的阶数是（ A ）.A. 2B. 4C. 5D. 310、 微分方程03322=+dx x dy y 的阶是（ A ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 11、 微分方程323y y ='的一个特解是（ B ）A. 13+=x yB. ()32+=x y C. ()3C x y += D. ()31+=x C y12、 方程322321x xd y d ye e dx dx+⋅+=的通解中应包含的任意常数的个数为（ C ）（A ） 2 （B ） 4 （C ） 3 （D ） 0第二节1、微分方程20y y '-=的通解为（B ）A ．sin 2y c x =B ．2x y ce =C ．24x y e =D ．x y e =2、微分方程0ydx xdy -=不是 （ B ）A. 线性方程B. 非齐次线性方程C. 可分离变量方程D. 齐次方程 3、微分方程0=+'y y 的通解为（ D ）A ．x y e =B ． x ce y -=C ． x e y -=D ． x ce y -=4、一阶常微分方程e yx dxdy -=2满足初始条件00==x y 的特解为（ D ） A x ce y = B x ce y 2= C 1212+=x y e e D ()1212+=x y e e5、微分方程02=+'y y 的通解为（ D ）A ．x e y 2-=B ．x y 2sin =C ．x ce y 2=D ．x ce y 2-= 6、 微分方程 ydy x xdx y ln ln =满足11==x y 的特解是（ C ）A. 0ln ln 22=+y xB. 1ln ln 22=+y xC. y x 22ln ln =D. 1ln ln 22+=y x第五节1、 微分方程2(1)0y dx x dy --=是（ C ）微分方程．A ．一阶线性齐次B ．一阶线性非齐次C ．可分离变量D ．二阶线性齐次第六节1、已知x y cos =，xe y =，x y sin =是方程()()()xf y x Q dx dyx P dxy d =++22的三个解，则通解为 （ C ）A x c e c x c y x sin cos 321++=B ()()x x e x c e x c y -+-=sin cos 21C ()x c x c e c c y x sin cos 12121--++=D ()x c x c e c c y x sin cos 12121++++=第七节1、微分方程02=+'-''y y y 的通解为（ D ）A ．12x x y c e c e -=+；B ．12()x y c c x e -=+；C ．12cos sin y c x c x =+；D ．12()x y c c x e =+ 2、下面哪个不是微分方程''5'60y y y +-=的解（ D ） （A ）65x x e e -+ （B ）x e （C ）6x e - （D ）6x x e e -+3、 已知2,sin ,1x y x y y ===是某二阶非齐次常微分方程的三个解，则该方程的通解为（ D ） A ．221sin 1x C x C y ++=B ．2321sin xC x C C y ++=C ．21221sin C C x C x C y --+=D ．212211sin C C x C x C y --++= 4、已知x y x y y cos ,sin ,1===是某二阶非齐次常微分方程的三个解，则该方程的通解为（ D ）A ．x C x C C y cos sin 321++=B ．xC x C C y cos sin 321++= C ．2121sin cos C C x C C y --+=D ．21211cos sin C C x C x C y --++= 5、微分方程0y y ''+=的通解为（ C ）(A) 12x x y c e c e -=+； (B) 12()x y c c x e -=+； (C) 12cos sin y c x c x =+； (D) 12()x y c c x e =+6、已知1=y ，x y =，2x y =是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则方程的通解为（ C ） A 2321x C x C C ++ B 21221C C x C x C --+ C )1(21221C C x C x C --++ D ()()2122111C C x C x C ++-+-7、已知x y y x 4='+''的一个特解为2x ，对应齐次方程0='+''y y x 有一个特解为x ln ，则原方程的通解为 （ A ）A 、221ln x c x c ++ B 、221ln x x c x c ++ C 、221ln x e c x c x ++ D 、221ln x e c x c x ++- 8、微分方程04=+''y y 的通解为（ A ）A ．x c x c y 2sin 2cos 21-= ；B ．x e x c c y 221)(-+=C x x e c e c y 2221-+=；D ．x e x c c y 221)(+=9、 分方程2220d xx dtω+=的通解是( A );A .12cos sin C t C t ωω+B .cos t ωC .sin t ωD .cos sin t t ωω+第八节1、微分方程x e y dxyd =-22的一个特解应具有的形式为 DA ()x e b ax +B ()x e bx ax +2C x aeD x axe2、设二阶常系数线性微分方程'''x y y y e αβγ++=的一个特解为2(1)x x y e x e =++，则,,αβγ的值是（ C ）（A ）3,2,1αβγ===- （B ）3,2,1αβγ==-=- （C ）3,2,1αβγ=-==- （D ）3,2,1αβγ=-=-= 三、计算第二节1、求微分方程0ln '=-y y xy 的通解 解：分离变量xdxy y dy =ln ...........2分 两边积分可得 1ln ln ln C x y += ..........4分 整理可得Cx e y = .........6分 5、计算一阶微分方程ln 0x x y y '⋅-=的通解。
考研数学一-高等数学常微分方程(一)
考研数学一-高等数学常微分方程(一)(总分：178.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：11，分数：11.00)1.以下可以看作某个二阶微分方程的通解的函数是(A) y=C1x2+C2x+C3． (B) x2+y2=C．(C) y=ln(C1x)+ln(C1sinx)． (D) y=C1sin2x+C2cos2x．（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 由二阶微分方程的通解需含两个任意的独立常数可知，仅(D)符合要求，故应选(D)．2.微分方程y"+2y'+y=3xe-x的特解形式为(A) axe-x． (B) (ax+b)e-x． (C) (ax+b)xe-x． (D) (ax+b)x2e-x．（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 由于方程对应的特征方程为λ2+2λ+1=0，故特征根为重根λ1=λ2=-1，方程的非齐次项为Q(x)e-x且Q(x)=3x为一次多项式，因此待定特解的形式为(ax+b)x2e-x．故应选(D)．3.微分方程y"-3y'+2y=3x-2e x的特解形式为(A) (ax+b)e x． (B) (ax+b)xe x．(C) (ax+b)+ce x． (D) (ax+b)+cxe x．（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 由于特征方程为λ2-3λ+2=0，所以特征根为λ1=1，λ2=2．从而方程y"-3y'+2y=3x待定特解形式为；方程y"-3y'+2y=-2e x待定特解形式为，是原方程的一个特解，故选(D)．4.微分方程y"+2y'+y=(x+1)e-x+2x+1有一个特解y*形式为(A) y*=x(ax+b)e-x+(cx+d)． (B) y*=(ax+b)e-x+x2(cx+d)．(C) y*=x2(ax+b)e-x+(cx+d)． (D) y*=(ax+b)e-x+x(cx+d)．（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 因为特征方程为λ2+2λ+1=0，特征根为重根λ1=λ2=-1，所以对应于非齐次项(x+1)e-x应设特解，对应非齐次项2x+1，再由迭加原理知应设特解y*=x2(ax+b)e-x+(cx+d)，故应选(C)．5.若A，B为非零常数，c1，c2为任意常数，则微分方程y"+k2y=cosx的通解应具有形式(A) c1coskx+c2sinkx+Asinx+Bcosx． (B) c1coskx+c2sinkx+Axsinx．(C) c1coskx+c2sinkx+Axcosx． (D) c1coskx+c2sinkx+Axsinx+Bxcosx．（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 由于对应的齐次方程的通解为c1coskx+c2sinkx．这样需验证的是哪一个是非齐次方程的特解．如果非齐次方程的特解有形式Asinx+Bcosx，说明此时k≠1，经验证可知特解为，即A=0，．而根据题设，A，B均为非零常数，说明它不符合题意，故选项(A)错误．如果k=1，则特解应具有形式Axsinx+Bxcosx，B=0，由此可见，应选(B)．6.设y1(x)，y2(x)，y3(x)是二阶线性非齐次微分方程y"+p(x)y'+q(x)y=f(x)的三个线性无关解，C1，C2是任意常数，则此微分方程的通解是(A) C1y1+C2y2+y3． (B) C1y1+C2y2+(1-C1-C2)y3．(C) C1y1+C2y2-(C1+C2)y3． (D) C1y1+C2y2-(1-C1-C2)y3．（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 因为y1(x)，y2(x)，y3(x)是线性微分方程y"+p(x)y'+q(x)y=f(x)的解，所以y1-y3和y2-y3都是相应的二阶齐次微分方程的解．由于y1(x)，y2(x)，y3(x)线性无关，若令k1(y1-y3)+k2(y2-y3)=0，即 k1y1+k2y2-(k1+k2)y3=0，则必有k1=k2=0，故y1-y3和y2-y3线性无关．所以原方程的通解为y=C1(y1-y3)+C2(y2-y3)+y3=C1y1+C2y2+(1-C1-C2)y3，故正确选项为(B)．7.已知y1=xe x+e2x，y2=xe x+e-x是二阶非齐次线性微分方程的解，则此方程为(A) y"-y'-2y=e x-2xe x． (B) y"+y'+2y=e x-2xe x．(C) y"-y'-2y=-e x+2xe x． (D) y"+y'+2y=-e x+2xe x．（分数：1.00）A. √B.C.D.解析：[解析] 因y1-y2=e2x-e-x为对应齐次方程的解，故特征方程为(λ-2)(λ+1)=λ2-λ-2=0，从而对应齐次方程为y"-y'-2y=0．把特解y1代入方程得y"1-y'1-2y1=e x-2xe x，因此所求方程为y"-y'-2y=e x-2xe x．所以应选(A)．8.设y1(x)，y2(x)为二阶常系数齐次线性方程y"+py'+qy=0的两个特解，则c1y1(x)+c2y2(x)(c1，c2为任意常数)是该方程通解的充分必要条件是(A) y1(x)y'2(x)-y2(x)y'1(x)=0． (B) y1(x)y'2(x)-y2(x)y'1(x)≠0．(C) y1(x)y'2(x)+y2(x)y'1(x)=0． (D) y1(x)y'2(x)+y2(x)y'1(x)≠0．（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 根据题设，y1(x)与y2(x)应线性无关，也就是说(常数)．反之若这个比值为常数，即y1(x)=λy2(x)，则y1(x)与y2(x)线性相关．由y1(x)=λy2(x)可得：y'1(x)=λy'2(x)，所以y1(x)y'2(x)-y2(x)，y'1(x)=0，因此应选(B)．9.下列结论不正确的是(A) 若已知y'=P(x)+Q(x)y+R(x)y2的一个特解，则必定可将该方程化为伯努利方程．(B) 若微分方程P(x，y)dx+Q(x，y)dy=0有积分因子μ(x，y)，则μ(x，y)必定满足(C) 是微分方程y'+y2=0的解，则y=Cy1也是该方程的解．(D) 方程y"-y'2+2y=0的任何积分曲线在下半平面内不能有拐点．（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 对于(A)：设y*是微分方程y'=P(x)+Q(x)y+R(x)y2的一个特解．令y=z+y*，代入方程化简得z'=[Q(x)+2R(x)y*]z+R(x)z2，这正是伯努利方程，故(A)正确．对于(B)：函数μ=μ(x，y)是微分方程Pdx+Qdy=0的积分因子的充分必要条件是即．故(B)正确．对于(C)不满足方程y'+y2=0，故(C)不正确．对于(D)：用反证法．假设下半平面(y＜0)的点(x0，y0)是积分曲线的拐点，则y"(x0)=0，于是与题设条件矛盾．故(D)正确．综上分析，应选(C)．10.在下列微分方程中，以y=C1e x+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是(A) y'"+y"-4y'-4y=0． (B) y'"+y"+4y'+4y=0．(C) y'"-y"-4y'+4y=0． (D) y'"-y"+4y'-4y=0．（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 从通解的结构知，三阶线性常系数齐次方程相应的三个特征根是：1方程是(λ-1)(λ+2i)(λ-2i)=(λ-1)(λ2+4)=λ3-λ2+4λ-4=0，因此所求的微分方程是y'"-y"+4y'-4y=0．选(D)．11.具有特解y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3e x的三阶常系数齐次线性微分方程是(A) y'"-y"-y'+y=0． (B) y'"+y"-y'-y=0．(C) y'"-6y"+11y'-6y=0． (D) y'"-2y"-y'+2y=0．（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 首先，由已知的三个特解可知特征方程的三个根为r1=r2=-1，r3=1，从而特征方程为(r+1)2(r-1)=0，即r3+r2-r-1=0，由此，微分方程为y'"+y"-y'-y=0．应选(B)．二、填空题(总题数：22，分数：22.00)12.______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：解析：[解析] 原方程可化为，这是一阶线性微分方程，所以其通解为13.______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：y(x-1)=Cx）解析：[解析]y(x-1)=Cx．14.______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：解析：[解析] 此微分方程既不是齐次微分方程也不是可分离变量的微分方程．若以y为未知函数也不是一阶线性微分方程．但注意到其特点，把它改写成以x为未知函数的微分方程，即这是以x为未知函数的一阶线性微分方程，由通解公式得：15.微分方程2x3y'=y(2x2-y2)的通解为______．（分数：1.00）填空项1:__________________ 是不为零的任意常数)）解析：[解析] 原方程可改写为，从而是齐次微分方程，令得方程(*)是变量可分离的，其通解为(C是不为零的任意常数)．16.微分方程x3yy'=1-xyy'+y2的通解为______．（分数：1.00）填空项1:__________________解析：[解析] 原方程经整理后化成可分离变量的方程两边积分得17.微分方程3e x tanydx+(1-e x)sec2ydy=0的通解是______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：tany=C(e x-1)3）解析：[解析] 在原方程两边同乘以，经分离变量可化为积分得 ln|tany|=3ln|e x-1|+ln|C|，所以方程有通解为tany=C(e x-1)3．18.微分方程(2y-x)dy=ydx的通解是 1．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：y2-xy=C）解析：[解析] 题设方程可变形为2ydy-(xdy+ydx)=0即d(y2-xy)=0，故通解为y2-xy=C．19.y(0)=1的特解为 1．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：[解析] 方程是齐次微分方程，令，则原方程变为，由此可得方程的通解为，由y(0)=1可得C=1．20.______．（分数：1.00）填空项1:__________________解析：[解析] 因为，令，则原方程可化为这是一个一阶线性微分方程，解得所以原微分方稗的通解为21.______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：siny=Ce-x+x-1．）解析：[解析] 因为y'cosy=(siny)'，令u=siny，则原微分方程化为u'+u=x．这是关于未知函数u(x)的一个一阶线性非齐次微分方程，其通解为所以原微分方程的通解为siny=Ce-x+x-1．22.设函数y1(x)，y2(x)，y3(x)是二阶线性微分方程y"+a(x)y'+b(x)y=f(x)该微分方程的通解为______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：y=y1(x)+C1[y2(x)-y1(x)]+C2[y3(x)-y1(x)]）解析：[解析] 根据线性微分方程解的叠加原理及题中条件知函数y2(x)-y1(x)和y3(x)-y1(x)都是原方程所，所以函数y2(x)-y1(x)和y3(x)-y1(x)线性无关．根据线性微分方程解的结构知原方程的通解为y=y1(x)+C1[y2(x)-y1(x)]+C2[y3(x)-y1(x)]．23.已知(x-1)y"-xy'+y=0的一个解是y1=x，又知y=e x-(x2+x+1)，y*=-x2-1是(x-1)y"-xy'+y=(x-1)2的两个解，则此方程的通解是y=______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：y=C1x+C2e x-x2-1）解析：[解析] 由非齐次方程(x-1)y"-xy'+y=(x-1)2①的两个特解与y*可得它的相应的齐次方程(x-1)y"-xy'+y=0②的另一特解．事实上 y2=(e x-x)+x=e x也是②的一个解，又e x与x线性无关，因此非齐次方程①的通解为y=C1x+C2e x-x2-1．24.已知y1=3，y2=3+x2，y3=3+x2+e x都是微分方程(x2-2x)y"-(x2-2)y'+(2x-2)y=6x-6的解，则此方程的通解为______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：y=C1(y2-y1)+C2(y3-y2)+y1=C1x2+C2e x+3）解析：[解析] 根据解的结构定理，方程的通解为y=C1(y2-y1)+C2(y3-y2)+y1=C1x2+C2e x+3．25.设二阶线性微分方程y"+p(z)y'+q(x)y=f(x)有三个特解y1=e x，y3=e x+e-x，则该方程为______．（分数：1.00）填空项1:__________________解析：[解析] 因为y2-y1，y3-y1是对应的齐次方程的解，代入齐次方程可求得，q(x)=，再将y1代入原方程可得f(x)=e x．．26.______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：y"-4y'+7y=0）解析：[解析] 由给定的两个线性无关的特解可知：该二阶常系数线性齐次方程对应的特征方程的特征根为．由根与系数的关系知：相应的特征方程为λ2-4λ+7=0．因此该二阶常系数线性齐次方程为：y"-4y'+7y=0．27.以y=(C1+C2x)e-x+x2e-x(其中C1，C2为任意常数)为通解的微分方程为______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：y"+2y'+y=2e-x）解析：[解析] 设所求微分方程为y"+py'+qy=f(x)，其对应的齐次微分方程的特征方程的根为r1=r2=-1，因而特征方程为(r+1)2=0，即r2+2r+1=0，其对应的齐次微分方程为y"+2y'+y=0．非齐次微分方程对应的特解为y*=x2e-x，代入微分方程即得=2e-x．故所求微分方程为y"+2y'+y=2e-x．28.以y=C1e-x+C2e2x+sinx为通解的二阶常系数非齐次微分方程为______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：y"-y'-2y=-3sinx-cosx）解析：[解析] 由所给通解知二阶常系数线性微分方程的二特征根分别为λ1=-1与λ2=2，从而特征方程为(λ+1)(λ+2)=0，即λ2-λ-2=0，又方程的非齐次项f(x)=(sinx)"-(sinx)'-2sinx=-sinx-cosx-2sinx=-3sinx-cosx．故以y=C1e-x+C2e2x+sinx为通解的二阶常系数非齐次微分方程为y"-y'-2y=-3sinx-cosx．29.微分方程y"+2y'=12x2-10的通解是______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：y=C1+C2e-2x+2x3-3x2-2x）解析：[解析] 方程对应的齐次方程的特征方程为λ2+2λ=0，所以特征根为λ=-2，λ=0．从而对应的齐次方程有二线性无关特解y*1=1与y*2=e-2x．设原方程的一个特解为y*=x(ax2+6x+c)，代入原方程得6ax+2b+2(3ax2+2bx+c)=12x2-10，不难求得：a=2，b=-3，c=-2．故非齐次方程有一个特解y*=2x3-3x2-2x．因此原方程的通解为：y=C1+C2e-2x+2x3-3x2-2x．30.微分方程y"+4y=cos2x的通解为y=______．（分数：1.00）填空项1:__________________解析：[解析] 方程对应的齐次方程的特征方程为λ2+4=0，它的特征根为λ1，2=±2i．因此对应齐次方程二线性无关的特解为．设原非齐次方程的一个特解为y*=x(Acos2x+Bsin2x)，代入原方程得-4Asin2x+4Bcos2x=cos2x．所以A=0，．因此原方程的通解为．31.微分方程y"-3y'+ay=e-x有一特解为Axe-x，则a=______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：-4）解析：[解析] 将y=Axe-x代入方程y"-3y'+ay=e-x得A(a+4)xe-x-5Ae-x=e-x．所以a=-4．32.微分方程(2xsiny+3x2y)dx+(x3+x2cosy+y2)dy=0的通解是______．（分数：1.00）填空项1:__________________解析：[解析] 令P(x，y)=2xsiny+3x2y，Q(x，y)=x3+x2cosy+y2，则它们在整个平面上都有一阶连续偏导数，且，故方程是全微分方程，它的通解为33.已知，及相应的齐次方程，分别有特解则方程满足y(0)=1的特解是y=______．（分数：1.00）填空项1:__________________解析：[解析] 由一阶线性方程通解的结构得该一阶线性非齐次方程的通解为由y(0)=1C=-1．因此特解为三、解答题(总题数：29，分数：145.00)34.求微分方程xy'=y(1+lny-lnx)的通解．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(方程可变形为，是一阶齐次微分方程．令，则原方程变为(*)(*)是变量可分离的微分方程，分离变量得．上式两端求不定积分得u=e Cx．从而原方程的通解为y=xe Cx．)解析：35.求微分方程(1+y2)dx+(x-arctany)dy=0的通解．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(原微分方程可变形为，这是一阶线性微分方程，其通解为)解析：36.（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(原微分方程两边同除以x，得当x＞0时，这是齐次微分方程．作变换，有，即．解之，得arcsinu=lnCx．再以代回，便得原方程的通解：，即y=xsin(lncx)．)解析：37.（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(方程变形为，是齐次微分方程．令，则，两边积分得所以有即代回即得原方程通解为)解析：38.设求微分方程y(0)=0的连续解．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(当0≤x≤1时，微分方程为，这是一阶线性微分方程，通解为y=C1e-x+2；当x＞1时，微分方程为，这是变量可分离的微分方程，通解为y=C2e-x．根据y(x)的连续性知：，所以C2=C1+2e．故原方程的通解为由于y(0)=0，所以C=-2，故满足条件的特解为)解析：39.求微分方程y"-2y'-3y=3x+1+e-x+sin2x的通解．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(将方程右端作变形，得(1)特征方程λ2-2λ-3=0，特征根λ1=-1，λ2=3，则相应齐次微分方程通解(2)求原方程一个特解y*．因为有特解=ax+b；y"-2y'-3y=e-x有特解有特解=dcos2x+esin2x，所以其中a，b，c，d，e为待定系数．将y*代入原方程得待定系数于是(3)原方程通解为)解析：40.求微分方程y"+4y'+4y=cos2x满足条件y(0)=y'(0)=0的特解．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(先求方程对应的齐次方程的通解．特征方程为λ2+4λ+4=0，特征根为λ1=λ2=-2，所以对应的齐次方程的通解为Y=(C1+C2x)e-2x．再求原方程的一个特解．设y*=acos2x+bsin2x是原方程的一个特解，代入原方程得：a=0，，因此是原方程的一个特解．从而原方程的通解为．又因为y(0)=y'(0)=0，代入通解可得C1=0，．所以满足初始条件的特解为)解析：41.求微分方程y"+4y=3|sinx|在[-π，π]（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(当-π≤x≤0时，方程为y"+4y=-3sinx，可求得该方程的通解为y=C1cos2x+C2sin2x-sinx．当0＜x≤1T时，方程为y"+4y=3sinx，可求得此方程的通解为y=C3cos2x+C4sin2x+sinx．由于方程的解y(x)及其导函数y'(x)都在分段点x=0处连续，所以从而C1=C3，C2=C4+1．故原方程通解为又因为因此所求特解为)解析：42.求常数a，b，c，d的值，使得微分方程y"+ay'+by=(cx+d)e2x有一个解是y=e x+x2e2x．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(将y=e x+x2e2x代入原方程得(1+a+b)e x+[2+(8+2a)x+(4+2a+b)x2]e2x≡(cx+d)e2x，从而)解析：43.求微分方程3y'-ysecx=y4tanx的通解．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(这是伯努利方程．令z=y-3，于是原方程化为一阶线性方程上述方程的通解为因此原方程的通解为)解析：44.已知方程(6y+x2y2)dx+(8x+x3y)dy=0的两边乘以y3f(x)后便成为全微分方程，试求出可导函数f(x)，并解此微分方程．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(设P(x，y)=(6y4+x2y5)f(x)，Q(x，y)=(8xy3+x3y4)f(x)，由得(8y3+3x3y4)f(x)+(8xy3+x3y4)f'(x)=(24y2+5x2y4)f(x)．消去y3得 16f(x)-8xf'(x)+y[2x2f(x)-x3f'(x)]=0，有且全微分方程为(6y4+x2y5)C1x2dx+(8xy2+x3y4)C1x2dy=0，故微分方程的通解为 10x3y4+x5y5=C．)解析：45.（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(这是欧拉方程，令x=±e t即t=ln|x|，方程变成(*)特征方程λ2+2λ+1=0，特征根λ1=λ2=-1．(*)的通解为y=e-t(C1t+C2)．因此，原方程的通解为，C1，C2常数．)解析：46.设f(x)在(-∞，+∞)上满足对任意x，y恒有f(x+y)=e2y f(x)+f(y)cosx，又f(x)在x=0处可导，且f'(0)=1，求f(x)．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(由于对任意x∈(-∞，+∞)，由于f(x+y)=e2y f(x)+f(y)cosx，所以f(0)=0，因此=2f(x)+f'(0)cosx=2f(x)+cosx．从而得到f(x)满足的微分方程f'(x)-2f(x)=cosx．这是一阶线性微分方程，其通解为记所以从而．由f(0)=0，可得，所以)解析：47.设函数f(x)在[0，+∞)上可导，且f(1)=3，若f(x)的反函数g(x)满足求f(x)．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(这是含变上限定积分的方程，两端对x求导得因为f(x)与g(x)互为反函数，所以gf(u)]=u，从而上式变为令x=e t-1，且f'(t)=e t-1，积分得f(t)=e t-1+C．由f(1)=3可得C=2，故f(x)=e x-1+2．)解析：48.设f(x)f(x)．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(这是含变上限积分的方程，且被积函数中含有参变量，所以应首先去掉被积函数中的参变量，化为被积函数中不含参变量的情况．令x-t=u，原方程变为，即．将以上方程求导两次可转化为微分方程为f"(x)=2+f(x)且f(1)=0，f'(1)=0．方程f"(x)=2+f(x)的通解为f(x)=C1e-x+C2e x-2．由f(1)=0，f'(1)=0可得：C1=e，C2=e-1．因此f(x)=e1-x+e x-1-2．) 解析：49.若y(x)是[0，1]上的连续可微函数，且满足条件求y(x)的表达式．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(原方程两边关于x求导两次，得到分离变量后再积分，得．因为函数y(x)在点x=0处右连续，则所以方程的通解为将初始条件y(1)=2代入，得C=2e，故所求函数为)解析：50.设函数f(x)在(-∞，+∞)内有连续导数，且满足求f(t)．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(令x=rcosθ，r=sinθ，由可得所以f'(t)=4πt3f(t)+4t3，且f(0)=0，即，且f(0)=0．因此，将，f(0)=0代入可得C=0)解析：51.设函数u的全微分du=[e x+f'(x)]ydx+f'(x)dy，其中f在(-∞，+∞)内具有二阶连续的导数，且f(0)=4，f'(0)=3，求f(x)．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(，且由于f有二阶连续的导数，则u，即f"(x)-f'(x)=e x．方程的通解为 f(x)=C1+C2e x+xe x，由条件f(0)=4，f'(0)=3求得C1=2，C2=2．因而 f(x)=2+(2+x)e x．)解析：52.设f(x)在区间[0，+∞)上连续，且，求证：微分方程x→+∞时都趋于1．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(这是一阶非齐次线性微分方程，其通解为因为，所以存在X＞0，当x＞X时，．因此当x＞X时，．于是)解析：53.设f(x)二阶连续可导，且f(0)=0，f'(0)=1，求u(x，y)，使du=y[f(x)+3e2x]dx+f'(x)dy．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(，由Pdx+Qdy是u(x，y)的全微分知：，从而f"(x)-f(x)=3e2x，解此微分方程得f(x)=-e x+e2x．于是)解析：54.设当x＞0时，f(x)存在一阶连续导数，且f'+(0)存在，并设对于半空间x＞0内的任意光滑封闭曲面∑，恒有求f(x)．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(根据高斯公式可得即 f(x)+xf'(x)-y+f(x)+2yz+y-2yz-x2=0，解得：．由于f'+(0)存在，所以C=0．)解析：55.作变换t=tanx y关于t的微分方程，并求原微分方程的通解．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(由于，，解之得：y=(C1+C2t)e-t+t-2．故原方程的通解为y=(C1+C2tanx)e-tanx+tanx-2．)解析：56.若一曲线上任一点M(x，y)处的切线斜率为，且过点，求此曲线方程．又当x取何值时，．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(所求曲线方程为如下齐次微分方程定解问题的特解令，方程可化为，其通解为从而原方程的通解为，由得，故所求曲线方程为欲使即，解得y=x，代入曲线方程程得，即当时，切终斜率为1/4．)解析：57.在xOy平面的第一象限求一曲线，使由其上任一点P处的切线，x轴与线段OP所同成的三角形的面积为常数k，且曲线通过点(1，1)．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(设P点坐标为(x，y)，曲线方程为y=y(x)，该曲线在点P的切线方程为Y-y=y'(X-x)，它与x轴交点Q坐标为，从而所围成三角形的面积为这是以x为未知函数，并以y．由初始条件y(1)=1，可确定C=1-k，于是所求曲线为xy=(1-k)y2+k．)解析：58.对任意实数x＞0，设曲线y=f(x)上点(x，f(x))处的切线在y[0，x2]上的平均值，求f(x)．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(25，曲线y=f(x)上点(x，f(x))处的切线方程为Y-f(x)=f'(x)(X-x)，它在y轴上的截距等于f(x)-f'(x)x．由题设可得：，即．上式两端求导数可得-x3f"(x)一2x2J。
(完整版)高等数学-微分方程证明题
17、验证 是初值问题 的解。
18、验证 是方程 的通解，并确定积分常数 ，使积分曲线经过点 。
19、验证 是方程 的通解。
20、设 试证明 是初始值问题
的解。
21、验证：当 时，曲线族 为方程 在 上的解；而当 时，该曲线族是上述方程在 上的解。
22、证明：若 和 是全微分方程 的两个解，则它们只差一个常数。
（2）（6分）
由（1），（2）消去 得
故知已知函数是微分方程的解，且是通解。（10分）
1Байду номын сангаас、
（2分）
（6分）
将 代入原方程，得
故 为初始问题的解。（10分）
11、
对已知隐函数方程两边关于 求导得
即 （8分）
此外， 含有任意常数 ，故它是方程的通解。（10分）
12、
（4分）
（6分）
即 （8分）
此外， 含有一任意常数 ，所以它是方程的通解。
故 是方程的通解。（10分）
6、
对已知隐函数两边微分得
（5分）
即 （8分）
故已知隐函数为方程的通解。（10分）
7、
（3分）
（7分）
即
所以 是方程的通解。（10分）
8、
因
（4分）
（8分）
故 是初值问题的解。（10分）
9、
对已知隐函数方程两边关于 求导得：
（2分）
上式再对 求导得
（1）（4分）
（1）式关于x求导得
23、设 是方程 的两个互异的解，求证：对于该方程中的任何一个解 ，恒等式 永远成立，其中 为常数。
24、证明： 为方程 的解的充分必要条件是， 可微且满足方程 。
(完整word)高等数学：常微分方程的基础知识和典型例题
常微分方程1 .( 05,4 分)微分方程xy 2yxln x 满足y(1)22x y)= x ln x.2 .( 06,4 分) 微分方程 y= y(1 x)的通解为 ———— x分析：这是可变量分离的一阶方程，分离变量得dy( 11)dx.积分得 ln y ln x x C 1，即 y e C1xe x yxy Cxe x, 其中C 为任意常数 .(二)奇次方程与伯努利方程1 .( 97,2,5 分) 求微分方程 (3x2 2xy y 2)dx (x 22xy)dy 0的通解解：所给方程是奇次方程 . 令 y=xu, 则 dy=xdu+udx. 代入原方程得 3 ( 1+u- u 2) dx+x(1-2 u) du=0. 分离变量得1-2u2 du 3dx, 1uu x积分得 ln 1 u u 2 3ln x C 1,即 1 u u 2=Cx 3. 以 u y代入得通解 x 2xy y 2.xx( y x 2y 2)dx xdy 0(x 0),2 .(99,2,7 分 ) 求初值问题 的解 .y x1 0分析：这是一阶线性微分方程原方程变形为 . dy +2y dx x 2 dx lnx, 两边乘 e x=x 得积分得y(1)x 2y=C+ x 2 ln xdx C 1 ln xdx 3 3 1 11 得 C 0 y xln x x.9 39 C 1 x 3 ln x 3 13 x. 9 1 的解解：所给方程是齐次方程 (因 dx, dy 的系数 (y+ x 2 y 2)与 (-x)都是一次齐次函数)令 dy xdu udx,带入得x(u 1 u 2dx x( xdu udx) 0, 化简得 12u 2dx xdu 0.分离变量得dx- du=0. x 1 u 2积分得 ln x ln(u 1 u 2) C 1,即 u 1 u 2Cx. 以 u y代入原方程通解为y+ x 2 y 2 Cx 2.x 再代入初始条件 y x 1 0,得 C=1.故所求解为 y+x 2y2x 2，或写成y 12 (x 2 1).(三)全微分方程 练习题(94,1,9 分)设 f ( x)具有二阶连续导数， f (0) 0, f (0) 1,且 [xy(x+y)- f(x)y]dx+[ f (x)+x 2y]dy=0为一全微分方程，求 f(x)以及全微分方程的通解先用凑微分法求左端微分式的原函数：122 122( y dx x dy ) 2( ydx xdy ) yd (2sin x cos x) (2sin x cos x)dy 0, 22 122d [ x y 2xy y (cos x 2sin x)] 0. 2其通解为 1x 2y 2 2xy y (cos x 2sin x) C.4.( 98,3分) 已知函数y y(x)在任意点x 处的增量 y= y2 x ,当 x0时 ,1x是 x 的高阶无穷小，y(0)= ，则 y(1)等于 ( )解：由全微分方程的条件，有 即 x22xy f (x) f (x)y因而 f (x)是初值问题y x 2[xy(x y) f(x)y] y 2xy, 亦即 f (x) f (x) x 2.2yx的解，从而解得0, y x 0 12.22[ f (x) xy], x 2sin x cosx)dy 0.(A)2 .(B) .(C)e 4 .(D) e 4 .分析：由可微定义，得微分方程 y y. 分离变量得21x1y dx2,两边同时积分得 ln y arctan x C ,即 y Ce arctanx.y1x代入初始条件y(0) ，得 C= ，于是 y(x) earctanx,由此， y(1) e 4.应选 ( D)二、二阶微分方程的可降阶类型5( . 00,3分) 微分方程 x y 3y 0的通解为分析：这是二阶微分方程的一个可降阶类型，令 y =P( x)，则 y =P ，方程可化为一阶线性方程xP 3P 0,标准形式为 P+3P=0，两边乘 x 3得 (Px 3) =0. 通解为 y P C 30 .xx再积分得所求通解为 y C 22C 1.x216 .( 02,3分)微分方程 yy y 2=0满足初始条件y x 01， y x 0 2的特解是分析：这是二阶的可降阶微分方程 .令 y P(y)(以 y 为自变量 )，则 y dy dP P dP.dx dx dy代入方程得 yP dP +P 2=0，即 y dP+P=0(或 P=0, ，但其不满足初始条件y x 0 1)dy dy2分离变量得 dP dy 0,PyC积分得 ln P +ln y =C ，即 P= 1(P=0对应 C 1=0)； y11由 x 0时 y 1， P=y , 得 C 1 ，于是221 y P ,2 ydy dx, 积分得 y x C 2 2y .又由 y x 0 1 得 C 2. 1，所求特解为 y 1 x.三、二阶线性微分方程(一)二阶线性微分方程解的性质与通解结构7 .( 01,3分)设 y e x(C 1sin xC 2cosx)(C 1,C 2为任意常数 )为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为 ___ .r1，r2 1 i，从而得知特征方程为分析一：由通解的形式可得特征方程的两个根是22(r r1 )(r r2) r (r1 r2 )r r1r2 r 2r 2 0.由此，所求微分方程为y 2y 2y 0.分析二：根本不去管它所求的微分方程是什么类型(只要是二阶)，由通解y e x(C1sinx C2 cosx)求得y e x[( C1 C2 )sin x (C1 C2)cos x], y e x( 2C2 sin x 2C1 cos x),从这三个式子消去C1与C2,得y 2y 2y 0.(二)求解二阶线性常系数非齐次方程9.( 07,4分) 二阶常系数非齐次线性微分方程y 4y 3y 2e2x的通解为y=分析：特征方程24 3 ( 1)( 3) 0的根为1, 3.非齐次项 e x, 2不是特征根，非齐次方程有特解y Ae2x.代入方程得(4A 8A 3A)e2x2e2x A 2.因此，通解为y C1e x C2e3x2e2x..10.(10,10分 )求微分方程y 3y 2y 2xe x的通解.分析：这是求二阶线性常系数非齐次方程的通解.1由相应的特征方程2 3 2 0, 得特征根 1 1, 2 2 相应的齐次方程的通解为y C1e x C2e2x.2非齐次项 f ( x) 2xe x , 1是单特征根，故设原方程的特解xy x(ax b)e .代入原方程得ax2 (4a b)x 2a 2b 3[ax2 (2a b)x b] 2(ax2 bx) 2x,即 2ax 2a b 2x, a 1,b 2.3原方程的通解为y C1e x C2e2x x(x 2)e x,其中 C1，C2为两个任意常数.04， 2, 4分)微分方程y y x2 1 sin x的特解形式可设为( )22(A)y ax bx c x(Asin x B cosx).(B)y x(ax bx c Asin x B cos x).22(C)y ax bx c Asin x.(D )y ax bx c Acosx.分析：相应的二阶线性齐次方程的特征方程是2 1 0,特征根为i .y y x2 1L()与 1 y y sin xL( 2)方程 (1) 有特解 y ax2 bx c,方程(2)的非齐次项 f (x) e x sin x sin x( 0, 1，i 是特征根), 它有特解y x(Asin x B cosx).y ax2 bx c x(Asin x Bbcosx).应选 (A).(四)二阶线性变系数方程与欧拉方程12.(04, 4分 )欧拉方程x2 d2y 4x dy 2y 0(x 0)的通解为dx dx分析：建立 y 对 t 的导数与y 对 x 的导数之间的关系 .222dy dy dx dyd y d y 2 dy 2 d y dy( sin x), 2 2 sin t cost (1 x ) 2 x .dt dx dt dx dt dx dx dx dxd 2y于是原方程化为 2 y 0,其通解为 y C 1 cost C 2sint.dt 2 回到 x 为自变量得 y C 1x C 2 1 x 2.x由 y (0) C 2 1 C 2 1.y(0) C 1x 02 C 1 2.1 x 2因此 特解为 y 2x 1 x 2 .四、高于二阶的线性常系数齐次方程13.( 08， 4分)在下列微分方程中，以 y C 1e xC 2cos2x C 3 sin 2x(C 1, C 2, C 3为任意常数)为通 解的是()(A)y y 4y 4y 0.(B)y y 4y 4y 0. (C)y y 4y 4y 0.(D ) y y 4y 4y 0.分析：从通解的结构知，三阶线性常系数齐次方程相应的三个特征根是： 1, 2i(i 1)，对 应的特征方程是 ( 1)( 2i)( 2i) ( 1)( 24) 3244 0,因此所求的微分方程是 y y 4y 4y 0，选(D).(00,2,3分 ) 具有特解 y 1 e x , y 2 2xe x ,y 3 3e x的三阶常系数齐次线性微分方程是( )(A)y y y y 0.(B)y y y y 0. (C)y 6y 11y 6y 0.(D)y2y y 2y 0.分析：首先，由已知的三个特解可知特征方程的三个根为 r 1 r 21,r 3 1，从而特征方程为(1)求导数 f (x)； (2)证明：当 x 0时 ,成立不等式 e分析：求解欧拉方程的方法是：作自变量22d y dy d y dy 2 (4 1) 2y 0,即 2 3 2y xe t(t l n x)，将它化成常系数的情形： 0.1, 2 2, 通解为 yC 1e t C 2e 2t. y C 1 x C 22,其中C 1,C 2为任意常数(05,2,12分 )用变量代换 xcost (0 t)化简微分方程 (1 x 2)y xy y 0，并求其(r 1)2(r 1) 0,即r3r 2r 1 0,由此，微分方程为y y y y 0.应选(D).五、求解含变限积分的方程00, 2,8分) 函数y=f(x)在0, 上可导，f (0) 1，且满足等式1xf (x) f (x) 1 f (t)dt 0，x10f(x) 1.求解与证明()首先对恒等式变形后两边求导以便消去积分： 1x(x 1)f (x) (x 1)f(x) 0f (t)dt 0,(x 1)f (x)(x 2)f (x)0.在原方程中令变限 x 0得 f (0) f (0) 0,由 f (0) 1,得 f (0) 1.现降阶：令 u f (x),则有 u x 2u 0，解此一阶线性方程得x1x e f (x) u C eu 0x1 x e 由 f (0) 1,得 C 1,于是 f (x) e. x1xe (2)方法 1 用单调性 . 由f (x) e0(x 0), f (x)单调减 , f(x) f(0) 1(x );x1x 又设 (x) f (x) e x ,则 (x) f (x) e x x e x0(x 0), (x)单调增，因此 (x)x1 (0) 0(x 0),即 f(x) e x(x 0) . 综上所述，当 x 0时 ,e x f (x) 1.方法 2 用积分比较定理 . 由 牛顿 -莱布尼茨公式，有六、应用问题 (一)按导数的几何应用列方程 练习题 1 .( 96,1,7分)设对任意 x 0,曲线 y f(x)上点 (x, f(x))处的切线在 y 轴上的截距等于1 xf (t)dt,求 f ( x)的一般表达式 . x 0解：曲线 y f (x)上点 (x, f ( x))处的切线方程为 Y f ( x) f ( x)( X x).令 X 0得 y 轴上的截距 Y f(x) xf (x).由题意 1x1f(t)dt f(x) xf (x) x 0x, 得x 2f(t)dt xf (x) x 2f (x)( ) 恒等式两边求导，得 f (x) f (x) xf (x) 2xf (x) x 2f ( x)，即 xf (x) f (x) 0 在 ( )式中令 x 0得 0 0,自然成立 . 故不必再加附加条件. 就是说f (x)是微分方程 xy y 0的通解 . 令 y P(x),则 y P ,解 xP P 0,得 y P C 1.xf ( x) f (0) x0 f (t)dt, f(x) t 由于 0 e t1从而有 e x e t (t 0),有 0 f (x) 1. 0t e t d t 1 dt . 1 x t e t dt x e (x再积分得 y f ( x) C1 ln x C2.12( . 98,2,8分) 设 y y(x)是一向上凸的连续曲线 ,其上任意一点 (x, y)处的曲率为 1,1 y 2y P tan( x).(二 )按定积分几何应用列方程3.(97,2,8分 )设曲线 L 的极坐标方程为 r r( ), M (r, )为 L 上任一点 ,M 0(2,0)为 L 上一定点 ,若极径 OM 0,OM 与曲线 L 所围成的曲边扇形面积值等于 L 上 M 0、 M 两点间弧长值的一半， 求曲线L 的方程 .且此曲线上点 (0,1)处的切线方程为 y x 1, 求该曲线的方程，并求函数 y y( x)的极值 .解：由题设和曲率公式有y( x)向上凸 , y 0, y令 y P(x)，则 y P ,方程化为 y) ,化简得 y 12. yP1 P 21， dP 分离变量得 2 dx,积分得C 1.y (0) 1即 P(0) 1,代入可得 C 1，故再积分得 y ln cos( x) C 2 又由题设可知y(0)1,代入确定 C 2 11ln 2，1y ln cos( x) 1 ln 2x , 即当 4 2,3时 ,cos( x) 0, 而3 或 时, 44cos( x)y ln cos( 40,ln cos( x)1 x) 12 ln2( 4 x34 )显然，当 x 时 ,ln cos( x) 4410, y 取最大值 1 1ln 2,显然 y 在 (3)，没有极小值解：由已知条件得r 2d r 2 r 2d ， 2020 两边对 求导 ,，得 r 2 r 2 r (隐式微分方程)2 ,解出 r r r 2 1，从而， L 的直角坐标方程为 x m 3y 2.1 arccos r 分离变量，得 dr r r 2 dr r r 2 1 d 1 1 d( )1 r (r 1)2 arccos 1 , 或 r dr r r 2 1d tarccos 1(r sect ) 两边积分，得 代入初始条件 r(0) 2，得 1arccos 2 1arccos r3L 的极坐标方程为 1 r cos( ) 31 co s 3si。
专升本高等数学一(常微分方程)模拟试卷2
专升本高等数学一（常微分方程）模拟试卷2(总分：54.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.下列方程是一阶微分方程的是 ( )（分数：2.00）A.2y '' +x 2 y ' +y=0B.(7x一6y)dx+(x+y)dy=0 √C.(y ' ) 2 +xy (4)一y 2 =0D.(y '' ) 2 +5(y ' ) 2一y 5 +x 7 =0解析：解析：A、D项是二阶微分方程，C项是四阶微分方程，只有B项是一阶的，故选B．2.下列哪组函数是线性相关的 ( )（分数：2.00）A.e 2x，e －2xB.e 2＋x，e x－2√C.e x2，e －x2解析：解析：=e 4，是常数，故B项的函数是线性相关的；而A、C、D 项函数都是线性无关的，故选B．3.y ' ( )（分数：2.00）A.arctany—arctanx=CB.arctany+arctanx=CC.arcsiny—arcsinx=C √D.arcsiny+arcsinx=Carcsiny=arcsinx+C，C为任意常数，故选C．4.设函数y(x)满足微分方程cos 2 x．y ' +y=tanx，且当y=0，则当x=0时，y= ( )（分数：2.00）C.一1 √D.1解析：解析：方程两边同时除以cos 2 x，得y ' +sec 2 x．y=tanxsec 2 x．此为一阶线性非齐次方程，由其通解公式可得y=e －∫P(x)dx[∫Q(x)e ∫P(x)dx dx+C]=e －∫sec2xdx[∫tanxsec 2xe sec2xdx dx+C] =e －tanx[∫tanxsec 2 xe tanx dx+C]=e －tanx [tanxe tanx一∫sec 2 xe tanx dx+C] =e －tanx [tanxe tanx一e tanzx +C]=tanx一1+Ce －tanx，又当时，y=0，则C=0，即y=tanx一1．所以x=0时，y=0—1=一1，故选C．5.微分方程y ''一2y ' =x的特解应设为 ( )（分数：2.00）A.AxB.Ax+BC.Ax 2 +Bx √D.Ax 2 +Bx+C解析：解析：因f(x)=x为一次函数，且特征方程为r 2一2r=0，得特征根为r 1 =0，r 2 =2．于是特解应设为y * =(Ax＋B)x=Ax 2 +Bx．6.设方程y ''一2y '一3y=f(x)有特解y*，则它的通解为 ( )（分数：2.00）A.y=C 1 e －x +C 2 e 3x +y* √B.y=C 1 e －x +C 2 e 3xC.y=C 1 xe －x +C 2 e 3x +y*D.y=C 1 e x +C 2 e －3x +y*解析：解析：考虑对应的齐次方程y ''一2y '一3y=0的通解．特征方程为r 2一2r一3=0，所以r 1 =一1，r 2 =3，所以y ''一2y '一3y=0的通解为=C 1 e －x＋C 2 e 3x，所以原方程的通解为y=C 1e －x＋C 2 e 3x +y*，其中C 1，C 2为任意常数．7.已知曲线y=y(x)经过原点，且在原点处的切线平行于直线2x—y+5=0，而y(x)满足微分方程y ''一6y ' +9y=e 3x，则此曲线方程为y= ( )（分数：2.00）A.sin2x2 e 3x +sin2xx(x+4)e 3x√D.(x 2 cosx+sin2x)e 3x解析：解析：原方程对应的二阶齐次微分方程的特征方程r 2一6r+9=(r－3) 2=0，所以其特征根为r 1=r3x，λ=3是方程的二重特征根，原方程特解形式为y *=Ax 2 =3，二阶齐次方程对应通解为y=(C 1 +C 2 x)e2 e 3x，(y * ) ' =(3Ax 2 +2Ax)e 3x，(y * ) '' =(9Ax 2 +12Ax＋2A)e 3x．代入到方程中可得A= ．则原方程通解为y=(C 1 +C 2 x)e 3x + x 2 e 3x．由题意可得y ' (0)=2，y(0)=0，代入可得C 1 =0，C 2 =2，故所求曲线方程为y=( x 2 +2x)e 3x x(x+4)e 3x．8.微分方程y ' = 的通解为（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：解析：设=μ，y=xμ，y '=μ＋=tanμ．所以，ln｜sinμ｜=ln｜x｜+ln｜C｜，sinμ=Cx，原方程的通解为=Cx(C为任意常数)．二、填空题(总题数：5，分数：10.00)9.微分方程的解中含有独立的任意常数的个数若与微分方程的 1相同，则该解叫作微分方程的通解．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：阶数）解析：解析：由微分方程通解定义可知，通解中任意常数的个数与微分方程中的未知数的最高阶导数的阶数即方程的阶数一致．10.微分方程3e x tanydx+(1一e x )sec 2 ydy=0的通解是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：tany=C(e x一1) 3）解析：解析：两边同乘以，方程分离变量为积分得ln｜tany｜=3ln｜e x一1｜+1n｜C｜．所以方程有通解为 tany=C(e x一1) 3，其中C为任意常数．11.微分方程(1+x)ydx+(1一y)xdy=0的通解为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：y=ln｜xy｜+x+C）解析：解析：分离变量，(1+x)ydx+(1一｜x｜+C=y—ln｜y｜，即通解为y=x+ln｜xy｜＋C，C为任意常数．12.方程y ''一2y ' +5y=e x sin2x的特解可设为y*= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：xe x (Asin2x+Bcos2x)）解析：解析：由特征方程为r 2—2r+5=0，得特征根为1±2i，而非齐次项为e x sin2x，因此其特解应设为y*=xe x (Asin2x+Bcos2x)．13.满足y '' =x，且经过点(0，1)，在该点与直线相切的积分曲线为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：对等式积分得y ' = x 2 +C 1，再积分得y= x 3 +C 1 x+C，且直线过点(0，1)，则C=1，又直线在该点与y= +1相切，所以y ' (0)= ，故所求积分曲线为＋1．三、解答题(总题数：14，分数：28.00)14.求方程y ' =e 3x－2y满足初始条件y｜x=0 =0的特解．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：原题可改写为，即e 2y dy=e 3x dx，两边积分得 e 2y= e 3x+C，代入初始条件y｜x=0 =0，得＋C，所以．)解析：15.求微分方程(1+y 2 )arctanydx+(1+x 2 )arctanxdy=0的通解．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：方程分离变量得，，即ln｜arctany｜=一ln｜arctanx｜+ln｜C｜，则方程的通解为arctany．arctanx=C，其中C为任意常数．)解析：16.求方程(1+x 2 )ydy＋(1+y 4 )dx=0，满足y｜x=0 =1的特解．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：方程分离变量得，丙边积分有arctany 2 =一arctanx+C，将初始条件y｜x=0 =1代入得C= ，则方程的特解为arctany 2．)解析：17.求微分方程(x 2 +3)y ' +2xy—e 2x =0的通解．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：将原方程改写成y ' + ，则．其中C为任意常数．)解析：18.设f(x)+2∫ 0x f(t)dt=x 2，求f(x)．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：由f(x)+2∫ 0x f(t)dt=x 2，两边对x求导得 f ' (x)+2f(x)=2x，这是一个一阶线性常微分方程，由通解公式得 f(x)=e －∫2dx(∫2xe ∫2dx dx+C)=e －2x(∫2xe 2x dx+C) =x一+Ce －2x．又由题意可得f(0)=0，则 e －2x．)解析：19.已知连续函数f(x)满足f(x)=∫ 03x＋e 2x ,求f(x)．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：等式两端对x求导得f ' (x)一3f(x)=2e 2x，利用通解公式得 y=e ∫3dx[∫2e 2x e －∫3dx dx+C]=e 3x[∫2e －x dx+C] =e 3x (一2e －x +C)=Ce 3x一2e 2x，又f(0)=0+1=1，所以C一2=1，C=3，故f(x)=3e 3x一2e 2x．)解析：20.求一个不恒等于零的可导函数f(x)，使它满足f 2(x)=∫ 0x（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：据题意，f 2(x)=∫ 0x f(t)．两边同时对x求导，可得 2f(x)．f '(x)=f(x)．，即f ' (x)= ，解微分方程两端积分得又因f(0)=0，可得C=ln3，所以所求函数ln3．)解析：21.假设： (1)函数y=f(x)(0≤x＜+∞)满足条件f(0)=0和0≤f(x)≤e x一1； (2)平行于y轴的动直线MN与曲线y=f(x)和y=e x一1分别相交于点P 1和P 2； (3)曲线y=f(x)、直线MN与x轴所封闭图形的面积S恒等于线段P 1 P 2的长度，求函数y=f(x)的表达式．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：由题设可得示意图如图6—1所示．由图可知∫ 0x f(t)dt=e x一1一f(x)，两端求导，得 f(x)=e x一f ' (x)，即 f ' (x)+f(x)=e x．由一阶线性微分方程求解公式，得 f(x)=e －∫P(x)dx[∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C] =e －x (∫e x ．e x dx+C)=Ce －x+e x． 由f(0)=0，得C=． 因此，所求函数为f(x)= (e x一e －x)．)解析：22.求9y ''＋6y '+y=0的通解． （分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：对应的特征方程为9r 2+6r ＋1=0，解得r= ，为二重根，故原方程的通解为(C 1 +C 2 x)． 其中C 1 ，C 2 为任意常数．)解析：23.求微分方程y ''一2y '一3y=3x+1的一个特解． （分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：这是二阶线性常系数非齐次线性微分方程，其中f(x)=3x+1， 方程的特征方程为r2一2r 一3=0． 其特征根为r 1 =一1，r 2 =3． 由于λ=0不是特征根，所以设特解为y *=Ax+B ． 把y *=Ax+B 代入所给方程，得 一3Ax 一2A 一3B=3x+1， 比较系数，得A=一1，B=． 于是求得所给方程的一个特解为 y *=一x ＋．)解析：24.求y ''－4y '+5y=e 2x(sinx+cosx)的通解． （分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：原方程对应的齐次方程的特征方程为，r 2—4r+5=0，解得r=2±i，所以对应的齐次方程的解为=(C 1 sinx+C 2 cosx)e 2x，λ±ωi=2±i，是特征方程的根，故设原方程的特解为y=xe 2x(Asinx+Bcosx)，则 Y '=e 2x(Asinx+Bcosx)+xe 2x[(2A —B)sinx+(A+2B)cosx]， Y ''=e 2x[(4A 一2B)sinx+(2A+4B)cosx]+xe 2x[(3A 一4B)sinx+(4A+3B)cosx]， 代入原方程得 e 2x[(4A 一2B)sinx+(2A+4B)cosx]+xe 2x[(3A 一4B)sinx+(4A+3B)cosx]一4e 2x(Asinx+Bcosx)一4xe 2x[(2A —B)sinx+(A+2B)cosx]+5xe 2x(Asinx+Bcosx)=e 2x(sinx+cosx)， 解得 ，故原方程的通解为 y=(C1sinx+C 2 cosx)e 2x(sinx 一cosx)． 其中C 1 ，C 2 为任意常数．)解析：25.已知函数f(x)满足方程f ''(x)+f '(x)一2f(x)=0，且f '(x)+f(x)=2e x，求表达式f(x)． （分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：解微分方程f ''(x)+f '(x)一2f(x)=0， 特征方程r 2+r 一2=0，解得r 1 =一2，r 2 =1， 所以微分方程的通解为f(x)=C 1 e －2x +C 2 e x ，其中C 1 ，C 2 为任意常数． 则f '(x)=一2C 1 e －2x+C 2 e x，又f '(x)+f(x)=2e x， 所以一C 1 e －2x+2C 2 e x=2e x，得C 1 =0，C 2 =1，所以f(x)=e x．) 解析：26.（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：方程化为为齐次方程，令=μ，dy=μdx+xdμ，代入上式再分离变量cosμdμ=dx．两边积分得sinμ=一ln｜x｜+C，将μ=代入得通解为=一ln｜x｜+C，C为任意常数．)解析：27.的通解．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：令y '=p，y ''= －p=0，分离变量得，两边积分得ln｜p｜=ln｜y｜+ln｜C 1｜即p=C 1 y，即y ' =C 1 y，再分离变量得dy=C 1 dx，两边积分得ln｜y｜=C 1 x+C，即通解y=C 2 e C1x，其中C 1，C 2为任意常数．)解析：。
高数测试题十（微分方程）答案
高数测试题十（微分方程）答案高等数学测试题（十）微分方程部分（答案）一、选择题（每小题4分，共20分）1、若 12,y y 是方程 ()()(()y P x y Q x Q x '+=≡0) 的两个特解，要使12y y αβ+ 也是解，则α 与β 应满足的关系是（ D ）A 12αβ+=B 1αβ+=C 0αβ=D 12αβ== 2、下列方程中为全微分方程的是（ C ）A 22(22)(1)0xy y dx x y dy ---+-=B 2222()()0x xy dx y x y dy ---=C 22(1)20e d e d θθρρθ--+-=D 22()(2)0x y dx xy x dy +++=3、设λ 为实常数，方程220y y y λλ'''++= 的通解是（ D ）A 12x C e C λ-+B 12cos sinC x C x λλ+ C 12(cos sin )x e C x C x λλλ-+D 12()x C C x e λ-+4、方程 22cos x y y y e x '''-+= 的特解 *y 形式为（ B ）A B cos sin x x axe x bxe x +C 22cos sin x x ax e x bx e x +D 2cos x ax e x5、已知 0()x x y e y t dt =+，则函数 ()y x 的表达式为（ D ） A x y xe C =+ B x y xe = C x x y xe Ce =+ D (1)xy x e =+二、填空题（每cos x axe x 小题4分，共20分）1、方程 212y dy dx x e=+ 的通解是 2()y x e y C =+ 2、方程 (1)x y y '-= 的通解是 (ln )y x x C =+3、以 2212,x x y e y xe == 为特解的二阶常系数线性齐次微分方程为440y y y '''-+=4、已知方程 0y y ''-= 的积分曲线在点 (0,0)O 处与直线 y x = 相切，则该积分曲线的方程为 1()2x x y e e shx -=-= 5、方程 0xdy ydx -= 的一个只含有 x 的积分因子为21x μ=三、（共60分）1、（8分）求方程 (1)(223)0y x dx y x dy -+--+= 的通解解：令 1y x u -+=，则 dy du dx =+，代入原方程得(1)(21)u dx u du -+=+ 即 1(2)1du dx u -=-+，两边积分得 12ln(1)u u x C -+=-+，代回原方程，得通解2ln(2)y x y x C ---+=2、（6分）求方程 22(1)(233)x dy xy x dx +=++的通解解：方程改写为 2231x y y x '-=+，则通解为 22ln(1)ln(1)2[3](1)(3arctan )x x y e e dx C x C x +-+=+=++?3、（8分）求微分方程 21(1)()02y yxe dx x e y dy +++= 的通解解：设 21(,)1,(,)2y y P x y xe Q x y x e y =+=+ 有 y P Q xe y x==?? ，则原方程为全微分方程，于是 2222001111(,)(1)()2222x y y y u x y x dx x e y dy x x x e y =+++=+++?? 故原方程的通解为 2222y x x x e y C +++=4、（10分）求解 2312,(0)1,(0)2yy y y y y ''''+===解：此方程不含x ，令 y P '=，则 dP y P dy''=，原方程化为 232212,2dP dP yP P y P P y dy dy y+=+= 此方程为贝努力方程，令 2P z =，上述方程化为21dz z y dy y += 则 ln 2ln 1[]y y z e y e dy C -=+?，即 24311111()44C y y C y y y'=+=+，由初始条件 1(0)1,(0)2y y '== 得 10C =，于是，方程化为 2314y y '=，或 3212dy y dx =± 由初始条件应取 3212dy y dx =，即 3212y dy dx -=，积分得 2114x C y=-+，再由初始条件(0)1y =得21C =，所以原方程的特解为1114x y =- 或 21(1)4y x =-5、（6分）求方程 (4)30y y ''+= 的通解解：特征方程为 4230r r +=，特征根为123,40,3r r r i ===± 方程的通解为 1234cos 3sin 3y C C x C x C x =+++6、（10分）求方程 223y y x '''+=- 的通解解：对应的齐次方程为 0y y '''+=，其特征方程为 20r r += 特征根为 120,1r r ==-，齐次方程的通解为 12x Y C C e -=+ 因0λ= 是特征方程的单根，所以非齐次方程的特解形式为*2012()y x b x b x b =++代入原方程，比较系数得 0122,2,13b b b ==-=，于是得到一个特解 *22(21)3y x x x =-+，所求方程的通解为 *2122(21)3x y Y y C C e x x x -=+=++-+ 7、（12分）求满足条件 (0)1,(0)1f f '=-= 且具有二阶连续导数的函数()f x ，使方程 3()[sin 2()]02f x ydx x f x dy '+-=是全微分方程。
(完整版)高等数学第七章微分方程试题及答案
解：特征根为
i ，齐次方程的通解为： y c1 cos x c2 sin x
y' ' y x ， y ? c1 c2 x c1 0, c2 1 y ? x
?
0x
y' ' y 3sin 2 x ， y x e c1 cos x c2 sin x c1 sin 2x c2 cos 2x
待入原式得出： c1 1, c2 0 ，所以 y ? sin 2 x
Байду номын сангаас
解：变形得： dx x y 4 即 dx 1 x y3 ，是一阶线性方程
dy
y
dy y
P( y)
1
3
,Q ( y) y
y
1 dy
x ey
1 dy
y3e y dy C
1 y 4 Cy 3
三、伯努力方程 xy ' y x 3y 6
解： xy 6 y' y 5 x 3 ，
dy y 6 y 5 x 2 ，
dx
dx
du
du
u y , 所以 u y
dy
dy
dy
yu .( 将 y 看成自变量 )
eu (u 1)
u
1e
du ueu eu
y
u
u
dy 1 e
u eu
u
1e
1 eu u eu du
dy
d (u eu )
,
y
u eu
dy
u eu
, ln
y
c
1 ln y ln
y
1 u eu
,
yc
c y u eu
二、一阶线形微分方程
2
高等数学微分方程习题(最新整理)
第七章微分方程与差分方程习题7－1（A ）1．说出下列微分方程的阶数：;02)()1(2=+'-'x y y y x ;0)2(2=+'+'''y y x y x .0)32()67()3(=++-dy y x dx y x 2．下列函数是否为该微分方程的解：x e x y y y y 2;02)1(==+'-'')(2;0)()2(2、、、、、C xx C y xdy dx y x -==++),(cos sin ;0)3(2121222、、、、、C C ax C ax C y y a dx y d +==+)(ln ;02)()4(2xy y y y y y x y x xy =='-'+'+''+3．在下列各题中，确定函数关系式中所含的参数，写出符合初始条件的函数：;5,)1(022==-=x yC y x ;1,0,)()2(0221='=+===x x x y ye x C C y .0,1,)(sin )3(21='=-===ππx x y yC x C y 4．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、),()1(y x 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、y PQ Q x y x P ),()2(习题7－1（B ）1．在下列各题中，对各已知曲线族（其中 C 1, C 2, C 3 都是任意常数）求出相应的微分方程：;1)()1(22=+-y C x .)2(21x x e C e C xy -+=2．用微分方程表示下列物理问题：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、P T P )1(、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、)))2(11k k t m 习题7－2（A ）1．求下列微分方程的通解：;0ln )1(=-'y y y x ;0553)2(2='-+y x x ;)()3(2y y a y x y '+='-';10)4(y x dxdy+=;11)5(22x y y --=';1)6(2xy x dx dy -=;63)7(3222yx y y x x dx dy --=;0tan sec tan sec )8(22=+xdy y ydx x ;0sec )1(tan 3)9(2=-'+y e y ydx e x x .0)()()10(=++-++dy e e dx e e y y x x y x 2．求解下列初值问题：;0,)1(02=='=-x y x ye y ;4,cos cos sin cos )2(0π===x y dydxxy y x ;0,ln sin )3(2=='=πx yy y x y .1,)1()4(1=='+=x x x ye y y e 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、)3,2(.3、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、)31,1(.4习题7－2（B ）、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、2)(5.0,60)(10.1m c cm o 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、)(/4/50)(10)(1.22s cm g s cm s t g ⋅=、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、t R R R 01600.3、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、5)/(6.40s m v =、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、)(.50k kv v m 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、)1(1],[),2(.6>m my x a b a .)(,)()1()()(.70x y dx x y x x dx x y xx y x x 、、、、、、、、、、、、、、、⎰⎰+=习题7－3（A ）1．求下列齐次方程的通解：;)ln (ln )1(x y y y x -=';0)2(22=---'x y y y x ;0)()3(22=-+xydy dx y x ;0)2()4(=+-xdy dx y xy ;)ln ln 1()5(dx x y y dy x -+=.0332()6(=-+dy xych x dx x y ch y x y shx 2．求解下列初值问题：;0)1(,0cos cos()1(==-+y dy xyx dx x y y x .2)1(,)2(=+='y xy y xy 3．求一曲线方程，使其切线介于坐标轴间的部分被切点等分。
江苏专转本高等数学 常微分方程 例题加习题
- 142 -第五章 常微分方程（简记ODE ）本章主要知识点● 可分离变量的ODE● 一阶线性非齐次常微分方程及推广● 二阶常系数线性齐次与非齐次常微分方程● 一些特殊类方程一、可分离变量的ODE1．基本型的解法 基本型：()()dy G x H y dx= 基本解法： ()()dy G x dx H y = ()()dy G x dx H y =⎰⎰例5.1．1)0(,==-y e dx dy y x 解：dx e dy e xy =⎰⎰=dx e dy e x y通解为：c e e x y += 将1,0==y x 得： 1-=e c 得 1-+=e e e x y例5.2．(1)ln y y y xdx '+= 解：(1)ln y dy xdx y+= 1(1)ln dy xdx y +=⎰⎰，- 143 -得：ln ||ln y y x x x C +=-+例5.3．dxy x dy y x )1()1(122+=+- 解：dx x x y dy y 2211)1(-=++，2(1)1y dy y +=+⎰ 得：()21arctan ln 12y y C ++= 例5.4．已知()f x 满足0()(1)()1x f t dt x f x +-=⎰，求()f x 。
解：由0()(1)()1xf t dt x f x +-=⎰知(0)1f =-。
方程两边对x 求导得()()(1)()0f x f x x f x '++-=，分离变量求得2()(1)c f x x =-， 将(0)1f =-代入得1c =-，21()(1)f x x =--。
2．可转化的可分离变量的齐次方程 ()x y f y'= 方法：令()y p y p x x y p xp x''=⇒=⇒=+ xdx p p f dp p f dx dp x p =-⇒=+⇒)()(。
例5.5．y x y x dx dy +-= 解：xyx ydx dy +-=11 令p p dx dp x p xp p y px y x y p +-=+⇒+=⇒=⇒=11'', pp p p p p dx dp x +--=-+-=⇒121112- 144 -x dx p p dp p =--+⇒221)1( xdx p dp p =+-+⇒⎰2)1(2)1( C x p p +=---⇒ln 21ln 212， 将x y p =代入即可。
(完整版)高等数学微分方程试题
第十二章 微分方程§12-1 微分方程的基本概念、判断题 1.y=ce 2x(c 的任意常数 )是 y =2x 的特解。
2. y=( y ) 3是二阶微分方程。
3. 微分方程的通解包含了所有特解。
4. 若微分方程的解中含有任意常数，则这个解称为通解。
5. 微分方程的通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数。
二、填空题 微分方程 .(7x-6y)dx+dy=0 的阶数是 函数 y=3sinx-4cosx 微分方程的解。
A)( y )+x 2 y+x 2=0 (B) ( y ) 2+3x 2y=x 3 (C) y +3 y +y=0 (D) y -y 2=sinx2 2 2x 3x 1．y Cx 2 C 2(其中 C 为任意常数) 2.y C 1e 2x C 2e 3x (其中 C 1 ,C 2为任意常数)五、质量为 m 的物体自液面上方高为 h 处由静止开始自由落下，已知物体在液体中受的阻 力与运动的速度成正比。
用微分方程表示物体， 在液体中运动速度与时间的关系并写出初始 条件。
12-2 可分离变量的微分方程 一、求下列微分方程的通解1. 2. 3. 积分曲线 y=(c 1 +c 2 x)e 2x中满足y x=0=0, y x=0=1 的曲线是三、选择题 1．下列方程是常微分方程A )、x 2+y 2=a 2 (B) 、 y+ d(earctanx) 0 (C)dx2 a2+ 2a2 22=0 (D)、 y =x 2+y 2y2.下列方程中是二阶微分方程3.微分方程 ddx 2y+w 2y=0 的通解是其中 c.c 1.c 2 均为任意常数A ) y=ccoswx(B)y=c sinwx (C)y=c 1coswx+c 2sinwx (D)y=c coswx+c sinwx2 则微分方程 y =3y3 的一个特解是 (B)y=x 3+1 (C) y=(x+c) 34. C 是任意常数，(A )y-=(x+2) 3 四、试求以下述函数为通解的微分方程。
高等数学 微分方程
第十二章 微分方程§ 1 微分方程的基本概念1、由方程x 2-xy+y 2=C 所确定的函数是方程（ ）的解。
A. (x-2y)y '=2-xy '=2x-y C.(x-2)dx=(2-xy)dy D.(x-2y)dx=(2x-y)dy2、曲线族y=Cx+C 2 (C 为任意常数) 所满足的微分方程 （ ） 4.微分方程y '=yx 21-写成以y 为自变量，x 为函数的形式为（ ）A.yx 21dxdy -=B.yx 21dydx -='=2x-y D. y '=2x-y §2 可分离变量的微分方程1.方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0是（ ）A.可分离变量的微分方程 一阶微分方程的对称形式， C.不是微分方程 D.不能变成)y ,x (P )y ,x (Q dy dx -= 2、方程xy '-ylny=0的通解为（ ）A y=e x B. y=Ce x cx D.y=e x +C 3、方程满足初始条件：y '=e 2x-y , y|x=0=0的特解为（ ）A. e y=e 2x+1 21e ln x 2+= C. y=lne 2x +1-ln2 D. e y =21e 2x +C4、已知y=y(x)在任一点x 处的增量α+∆+=∆x x1yy 2，且当∆x →0时，α是∆x 高阶无穷小，y(0)=π,则y(1)=( )A. 2πB. πC. 4e π 4eππ5、求特解 cosx sinydy=cosy sinxdx ， y|x=0=4π解：分离变量为tanydy=tanxdx ，即-ln(cosy)=-ln(cosx)-lnC ，cosy=ccosx 代入初始条件：y|x=0=4π得：22C =特解为：2cosy=cosx 6、求微分方程()2y x cos y x 21cos dxdy +=-+满足y(0)=π的特解。
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题在学习高等数学的过程中，二阶常系数非齐次线性微分方程是一个重要的知识点。
理解和掌握它的解法，对于解决许多实际问题和理论研究都具有重要意义。
首先，我们来了解一下二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式：＄y'＇＋ py' ＋ qy ＝ f(x)＄，其中$p$、＄q$是常数，＄f(x)＄是一个已知函数。
其解法的关键在于先求出对应的齐次方程的通解，然后再求出非齐次方程的一个特解，最终将两者相加得到非齐次方程的通解。
对于齐次方程$y'＇＋ py' ＋ qy ＝ 0$，我们可以通过特征方程$r^2＋ pr ＋ q ＝ 0$来求解。
特征方程的根有三种情况：1、两个不相等的实根$r_1$和$r_2$，此时齐次方程的通解为$y_c＝ C_1e^｛r_1x} ＋ C_2e^｛r_2x}＄。
2、两个相等的实根$r$，通解为$y_c ＝（C_1 ＋C_2x)e^｛rx}＄。
3、一对共轭复根$＼alpha ＼pm ＼beta i$，通解为$y_c ＝ e^｛＼alpha x}（C_1\cos\beta x ＋ C_2\sin\beta x)＄。
接下来，我们重点讨论如何求非齐次方程的特解。
根据$f(x)＄的形式，通常使用待定系数法来求解。
常见的$f(x)＄形式有以下几种：1、＄f(x) ＝ P_n(x)e^｛＼lambda x}＄，其中$P_n(x)＄是$x$的$n$次多项式。
若$＼lambda$不是特征根，设特解为$y_p ＝ Q_n(x)e^｛＼lambda x}＄，其中$Q_n(x)＄是与$P_n(x)＄同次的待定多项式。
若$＼lambda$是特征方程的单根，设特解为$y_p ＝ xQ_n(x)e^｛＼lambda x}＄。
若$＼lambda$是特征方程的重根，设特解为$y_p ＝ x^2Q_n(x)e^｛＼lambda x}＄。
2、＄f(x) ＝ e^｛＼lambda x}P_l(x)＼cos\omega x ＋ Q_m(x)＼sin\omega x$若$＼lambda ＼pm ＼omega i$不是特征根，设特解为$y_p ＝ e^｛＼lambda x}R_{l+m}（x)＼cos\omega x ＋ S_{l+m}（x)＼sin\omegax$，其中$R_{l+m}（x)＄和$S_{l+m}（x)＄是与$P_l(x)＄和$Q_m(x)＄同次的待定多项式。
高等数学-微分方程证明题
高等数学一、证明题（共 52 小题，）1、验证322131t t C C x ++=是方程tx x t ¢¢-¢=2的通解。
的通解。
2、证明：由参数方程x t t y t t C =+=+++ìíïïîïï31321413332()所确定的函数y y x C =(,)是方程是方程x y xy 3330+¢-¢=的通解。
的通解。
3、证明：()x C y C ++=2221（C C12,为任意常数）是方程102+¢¢+¢=yy y 的通解。
的通解。
4、证明：y e x x =-2333212sin 是初值问题ïîïïíì===++==1d d ,00d d d d 0022x x xy y y x y x y 的解。
的解。
5、证明：方程¢+=y ky kq x ()的通解是y e C kq u e u kxkux=+æèçöø÷-ò()d 0，其中，其中 C 为任意常数。
为任意常数。
6、验证：x x y y C 42242++=（C 为任意常数）是方程()d x xy x 32+++=()d x y y y 230的通解。
的通解。
7、验证：y x e x x C x =+æèçöø÷òd 是微分方程xy y xe x¢-=的通解。
的通解。
8、验证x t t =-223(sin sin )是初值问题是初值问题d d sin d d 2200410302x t x t x xt t t +===-ìíïïîïï==的解。
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高等数学微分方程练习
题
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
（一）微分方程的基本概念
微分方程：含未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程.
微分方程的阶：微分方程所含未知函数的最高阶导数或微分的阶数称为微分方程的阶数.
1.不是一阶微分方程．
A.正确
B.不正确
2.不是一阶微分方程．
A.正确
B.不正确
一阶线性微分方程：未知函数及其导数都是一次的微分方程d
()() d
y
P x y Q x x
+=
称为一阶线性微分方程.
微分方程的解：如果一个函数代入微分方程后，方程两边恒等，则称此函数为微分方程的解.
通解：如果微分方程的解中所含独立任意常数C的个数等于微分方程的阶数，则此解称为微分方程的通解.
特解：在通解中根据附加条件确定任意常数C的值而得到的解，称为特解.
1.是微分方程的解．
A.正确
B.不正确
2.是微分方程的解．
A.正确
B.不正确
3.是微分方程的通解．
A.正确
B.不正确
4.微分方程
的通解是（ ）． A. B. C. D.
（二）变量可分离的微分方程：()()dy f x g y dx = 一阶变量可分离的微分方程的解法是： （1）分离变量：1221()()()()
g y f x dy dx g y f x =；（2）两边积分：1221()()()()g y f x dy dx g y f x =⎰⎰
左边对y 积分，右边对x 积分，即可得微分方程通解.
1.微分方程
的通解是（ ）． A.
B. C.
D.
2.微分方程
的通解是（ ）． A.
B. C. D. 3.微分方程的通解是（ ）．
A.
B. C. D. 4.微分方程的通解是（ ）．
A. B. C. D.
5.微分方程
的通解是（ ）． A. B. C. D.
6.微分方程的通解（ ）． A. B. C. D.
7.微分方程
的通解是（ ）． A. B. C. D. 8. x y dy e dx
-=是可分离变量的微分方程． A.正确 B.不正确
9.微分方程0dx dy y x
+=满足(3)4y =的特解是（ ）． A.22x y C += B. 22x y C -= C. 2225x y += D. 2225x y -=
（二）一阶线性微分方程
)()(x q y x p y =+'
通解公式为：()()(())p x dx p x dx y e q x e dx C -⎰
⎰=⋅+⎰ 1.微分方程2d 2e d x y xy x
-+=的通解是y =（ ）． A ．e ()x x C + B ．2e ()x x C + C ．2
e ()x x C -+ D ． e ()x x C -+ 2.微分方程的通解是（ ）．
A. B. C. D.
3.微分方程的通解是（ ）． A. B. C. D.
4．微分方程22d (+1)24d y x xy x x
+=的通解是（ ）． A ．3241x C x ++ B ．3241
x C x +- C ．3243(1)x C x +- D ．3243(1)x C x ++ 5．微分方程2(1)d (2cos )d 0x y xy x x -+-=满足01x y ==的特解是（ ）．
A ．2sin 11x y x -=
- B ．2cos 1x y x =+ C ．2sin 11x y x +=+ D ．2cos 1x y x
=- 6．微分方程3d 2e d x y x y x x -=满足10x y ==的特解是（ ）． A ．2(e e)x y x -=+ B ．2(e e)x y x -=-
C ．2(e e)x y x =-
D ．2(e e)x y x =+。