2误差理论(第二章第三节粗大误差)-2015版教程
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误差理论2
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4） 余切函数形式为: 函数随机误差公式为：
cot ϕ = f (x1, x2,L, xn )
∂f 2 ∂f 2 ∂f 2 σ xn σ x2 +L+ σϕ = sin ϕ σ x1 + ∂x ∂x ∂x 1 2 n
处的误差传播系数 和 ∆y 的量纲或单位相同，则 ∂f ∂xi起到误差放大 或缩小的作用
∆xi
和 ∆y 的量纲或单位不相同，则 ∂f ∂xi起到误差单位 换算的作用
∆xi
第一节
几种简单函数的系统误差 1、线性函数
函数误差
y = a1x1 + a2 x2 +... + an xn
系统误差公式 ∆y = a1∆x1 + a2∆x2 +... + an∆xn
∆y = ∆x1 +∆x2 +... +∆xn 当 ai =1 当函数为各测量值之和时，其函数系统误差亦为各 个测量值系统误差之和
2、三角函数形式
sinϕ = f ( x1, x2 ,..., xn )
cosϕ = f ( x1, x2,..., xn )
1 n ∂f ∆ϕ = ∑∂x ∆xi cosϕ i=1 i
xi 与 xj 虽相互有影响，但其影响甚微，视为可忽略不
第一节
函数误差
可判断 ρij = +1 或 ρij = −1 的情形 断定 xi 与 xj 两分量间近似呈现正的线性关系或负的 线性关系 当一个分量依次增大时，引起另一个分量依次增大或 减小，反之亦然
xi 与 xj 属于同一体系的分量，如用1m基准尺测2m尺， 则各米分量间完全正相关
2
2
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4） 余切函数形式为: 函数随机误差公式为：
cot ϕ = f (x1, x2,L, xn )
∂f 2 ∂f 2 ∂f 2 σ xn σ x2 +L+ σϕ = sin ϕ σ x1 + ∂x ∂x ∂x 1 2 n
处的误差传播系数 和 ∆y 的量纲或单位相同，则 ∂f ∂xi起到误差放大 或缩小的作用
∆xi
和 ∆y 的量纲或单位不相同，则 ∂f ∂xi起到误差单位 换算的作用
∆xi
第一节
几种简单函数的系统误差 1、线性函数
函数误差
y = a1x1 + a2 x2 +... + an xn
系统误差公式 ∆y = a1∆x1 + a2∆x2 +... + an∆xn
∆y = ∆x1 +∆x2 +... +∆xn 当 ai =1 当函数为各测量值之和时，其函数系统误差亦为各 个测量值系统误差之和
2、三角函数形式
sinϕ = f ( x1, x2 ,..., xn )
cosϕ = f ( x1, x2,..., xn )
1 n ∂f ∆ϕ = ∑∂x ∆xi cosϕ i=1 i
xi 与 xj 虽相互有影响，但其影响甚微，视为可忽略不
第一节
函数误差
可判断 ρij = +1 或 ρij = −1 的情形 断定 xi 与 xj 两分量间近似呈现正的线性关系或负的 线性关系 当一个分量依次增大时，引起另一个分量依次增大或 减小，反之亦然
xi 与 xj 属于同一体系的分量，如用1m基准尺测2m尺， 则各米分量间完全正相关
第二章 误差理论基础
1.非线性特性近似地视 为线性
例：激光扫描测径仪
激光光束被工件遮挡 相当于计算电路中的 计数脉冲
•设多面棱镜的转速 和角速度为n，ω， 透镜6的焦距为f •认为激光光速的扫描速度是匀速的
v 2f 4nf
•实际上，在时间t内，光束转过了2 ωt角
y f tg(2t ) f tg(4nt)
第二章 误差理论基础
例：加工一个直径为7.5mm的轴，共150只，原材料相同，同 一台机床，同一个工人 结果：直径在7.4mm到7.5mm之间变化 影响因素： 机床误差：主轴的径向偏摆、导轨的直线度和平行度误差 等 夹具误差：夹具是否有偏心 刀具误差：定尺寸刀具的尺寸误差、刀具在加工过程中的 磨损 机床-刀具-工件的变形，即刚度 温度变形：刀具、机床、工件的温度变形 材料内应力的不均匀 调整误差：特别是自动机床 测量误差 人员误差 其它
则实际速度：
dy v0 4nf sec2 (4nt) dt y 4nf [1 tg 2 (4nt)] 4nf [1 ( ) 2 ] f
V0∝y，则可得到： 离光轴垂直距离越大，扫描速度越高 被遮挡的时间越短 读到的脉冲数越少 测得值总小于被测直径的实际值
原理误差
测量杆1感受被测工件2的尺寸变化 位移s经过一级杠杆传动（正弦机构） 和两级圆柱齿轮传动，使指针l偏转 角度φ 指针末端位移L的理论值
L l l s s sin ， arcsin , a a
z1 z3 z2 z4
机械测微仪的刻度方程式 L和s是非线性的
1 绝对误差
测得值x与被测量真值x0（或相对真值）之差
误差理论第二章
三、系统误差的分类和特征
四、系统误差对测量结果的影响 五、系统误差的发现 六、系统误差的消除
2.3 粗大误差
一、粗大误差产生的原因 二、判别粗大误差的准则
七、不等精度测量
八、随机误差的其他分布 九、减小随机误差的技术途径
三、防止与消除粗大误差的方法
2.4 测量结果的数据处理实例 一、等精度测量数据处理 二、不等精度测量数据处理 2.5 三类误差性质与特征小结
x ＝ 1879.64 。
x 1879.65 0.01 ＝1879.64
l
i 1
10
i
10
v
i 1
n
i
0.01
（二）算术平均值的计算校核
算术平均值及其残余误差的计算是否正确，可用求得的残余误差 代数和来校核。 由 i li x v l nx ，式中的 x 是根据（2-8）计算的， n x 当求得的 为未经凑整的准确数时，则有： vi 0 (2-11)
（一）均方根误差（标准偏差）σ 为什么用σ来作为评定随机误差的尺度？可以从高斯（ 1 正态）分布的分布密度 f ( ) 推知：f ( ) ( 2 ) exp[ 2 ]
2 2
令
h
1 2
，则有： f ( ) 1 exp[ h 2 2 ]
高斯参数h为精密度。由于h值无法以实验中得到，故以 σ值代之。
第2章 误差的基本性质与处理
误差理论与数据处理
教学目标
本章阐述。
误差理论与数据处理
重点与难点
三大类误差的特征、性质以及减小 各类误差对测量精度影响的措施 掌握等精度测量的数据处理方法 掌握不等精度测量的数据处理方法
1 误差理论(绪论)-2015版
由于在计算中使用了较大误差的地球半径值，使得他测得的月 球加速度的值和理论计算值相差约10％，因而不得不推迟20年 才发表他的引力论文。
《误差理论与数据处理》
第16页
第一节 研究误差理论的意义
瑞利（Rayleigh）发现惰性气体 （科学发明与实验数据处理的关系）
在测定氮的密度时，从大气中分离的氮 与用化学方法制取的氮 二者密度相差1/2000，由于正确估计了误差，导致他发现惰性 气体（氩气）。
具体实验数据（雷莱测定的氮气的密度数 据）： ① 化学方法制得的氮，其平均密度和实验 标准偏差分别为：2.29971和0.00041； ② 从大气中分离的氮，其平均密度和实验 标准偏差分别为：2.31022和0.00019
《误差理论与数据处理》 第17页
第一节 研究误差理论的意义
爱因斯坦广义相对论 （科学实验测量结果的可置信度）
完整的测量包括：
① 被测量：测量对象的特定量。 ② 测量单位：以定量表示同种量的量值而约定采 用的特定量。物质形式：光波波长和精密量块。 ③ 测量方法：在实施测量过程中对测量原理的运 用及实际操作。可以理解为测量原理、测量器具（计量器具）
和测量条件（环境和操作者）的总合。
④ 测量精度：测量结果与真值的一致程度。
L L L0
问题：
真值可知吗？真值存在吗？ 绝对误差的值可知吗？ 绝对误差与误差的绝对值的区别？
《误差理论与数据处理》
第24页
第二节 测量误差的概念
真值：指在观测一个量时，该量本身所具有的真实 大小。
理论真值：仅存在于纯理论之中，如三角形内角和恒为 180°。 约定真值：指由国家设立尽可能维持不变的实物或基准， 以法令的形式指定其所体现的量值。
《误差理论与数据处理》
第16页
第一节 研究误差理论的意义
瑞利（Rayleigh）发现惰性气体 （科学发明与实验数据处理的关系）
在测定氮的密度时，从大气中分离的氮 与用化学方法制取的氮 二者密度相差1/2000，由于正确估计了误差，导致他发现惰性 气体（氩气）。
具体实验数据（雷莱测定的氮气的密度数 据）： ① 化学方法制得的氮，其平均密度和实验 标准偏差分别为：2.29971和0.00041； ② 从大气中分离的氮，其平均密度和实验 标准偏差分别为：2.31022和0.00019
《误差理论与数据处理》 第17页
第一节 研究误差理论的意义
爱因斯坦广义相对论 （科学实验测量结果的可置信度）
完整的测量包括：
① 被测量：测量对象的特定量。 ② 测量单位：以定量表示同种量的量值而约定采 用的特定量。物质形式：光波波长和精密量块。 ③ 测量方法：在实施测量过程中对测量原理的运 用及实际操作。可以理解为测量原理、测量器具（计量器具）
和测量条件（环境和操作者）的总合。
④ 测量精度：测量结果与真值的一致程度。
L L L0
问题：
真值可知吗？真值存在吗？ 绝对误差的值可知吗？ 绝对误差与误差的绝对值的区别？
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第二节 测量误差的概念
真值：指在观测一个量时，该量本身所具有的真实 大小。
理论真值：仅存在于纯理论之中，如三角形内角和恒为 180°。 约定真值：指由国家设立尽可能维持不变的实物或基准， 以法令的形式指定其所体现的量值。
误差理论课件
（5）认真记录测量数据，实验记录中的每 一个数据的位数都应符合有效数字的表达规 范，如发现记录的数据有错误，可在错误的 数据上画一直线或打叉。
（6）完成实验后要将实验数据交给教师审 查签字，达到要求后，再将实验仪器整理还 原，方可离开实验室。
（7）离开实验室后不允许修改记录的数据。
3．撰写实验报告
渡到t分布（即学生分
布）。
t分布曲线与正态分布曲线类似，两者的主要区别
是分布的峰值低于正态分布，而且上部较窄、下 部较宽，如图所示，在有限次测量的情况下，就 要将随机误差的估算值取大一些。即在贝塞尔公
式的基础上再乘以一个tp因子，tp与测量次数有关
，也与置信概率有关。
tpSx
tp因子与测量次数、置信概率的对应关系
§1.2.2 随机误差的处理
3、算术平均值和标准偏差
多次测量，x1、 x2、…、xn，测量列的算术平均值为：
1 n
x n i1 xi 其中 xi 为第 i 次测得值。
x
1 n
n i1
xi
1 n
n i1
x0 i
1 n
n i1
i
x0
n
n , i 0 误差的对称性和抵偿性 i1
1. 测量的基本概念
测量是利用仪器设备通过一定测量方法，将待测物理 量与一个选做为标准的同类物理量进行比较，确定待测物 理量大小的过程。
测量的目的：获得测量值(数据)。
例如：用最小刻度为mm的米尺测量 物体的长度。
90.70cm
测量三个要素
（1）测量方法；（2）仪器设备；（3）测量结果
比较法
米尺
90.70cm
物理实验报告一般应包括以下几项内容： （1）实验名称。 （2）实验目的。 （3）实验仪器。
第2章 测量误差理论
选择合适性能的仪表和量程非常重要，否则导致测量
成本的提高或测量结果的不满意。
26
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三、仪器误差的有关概念
绝对误差与相对误差是误差的基本概念，适用于
所有的测量工作。但是还有针对仪器的误差指标。
一)引用误差
(1) 定义:测量器具的绝对误差与其引用值的比值。
(2) 定义式为
xf xmaxxmin
rf
e xf
100%
引 用 误 差绝 量 对 程 误 差 100%
引用误差又称为基本误差，也是一种相对误差。
国家统一了仪表的精度等级，将引用误差的%及±去掉，便可套 用国家标准了。
0.005-0.5；1.0；2.5；4等。 27
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3)说明:
e 10099.4
rf
xf
100% 0.4%
1500
电压表在100.0V处的相对误 差：
e 10099.4
r
100% 0.6%
x 99.4
30
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【例2-7】用4½位数字式电压表2V档和200V档测量IV电
压，该电压表各档允许误差限均为 士(0.02%x+1digit)，分析测量的相对误差。
解： 用2V档测量时：
绝对误差： e 2 V ( 0 .0 2 % 1 0 .0 0 0 1 ) 0 .0 0 0 3 ( V )
相对误差： r2V0.01 003100%0.03%
用200V档测量时：
绝对误差： e 2 0 0 V ( 0 .0 2 % 1 0 .0 1 ) 0 .0 1 0 2 ( V )
成本的提高或测量结果的不满意。
26
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三、仪器误差的有关概念
绝对误差与相对误差是误差的基本概念，适用于
所有的测量工作。但是还有针对仪器的误差指标。
一)引用误差
(1) 定义:测量器具的绝对误差与其引用值的比值。
(2) 定义式为
xf xmaxxmin
rf
e xf
100%
引 用 误 差绝 量 对 程 误 差 100%
引用误差又称为基本误差，也是一种相对误差。
国家统一了仪表的精度等级，将引用误差的%及±去掉，便可套 用国家标准了。
0.005-0.5；1.0；2.5；4等。 27
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3)说明:
e 10099.4
rf
xf
100% 0.4%
1500
电压表在100.0V处的相对误 差：
e 10099.4
r
100% 0.6%
x 99.4
30
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【例2-7】用4½位数字式电压表2V档和200V档测量IV电
压，该电压表各档允许误差限均为 士(0.02%x+1digit)，分析测量的相对误差。
解： 用2V档测量时：
绝对误差： e 2 V ( 0 .0 2 % 1 0 .0 0 0 1 ) 0 .0 0 0 3 ( V )
相对误差： r2V0.01 003100%0.03%
用200V档测量时：
绝对误差： e 2 0 0 V ( 0 .0 2 % 1 0 .0 1 ) 0 .0 1 0 2 ( V )
粗大误差
中右方） 。 3σ’=3×0.016=0.048
所有 14 个|Vi’|值均小于 3σ’ ，故无再需剔除的坏值。 表 4-4 测量顺序 测 得 值 例 4-1 数据表 （℃） 按 15 个数据计算 按 14 个数据计算
ti
vi = t - t
i
15
vi 2 10 6
vi ' = ti - t14
所有|V i’|值均小于 Z cσ’ ，故已无坏值。 （3）按格拉布斯准则 以 n=15 取置信概率 P ɑ=0.99，查表 4-2 得 G 值为 2.70。
Gσ=2.7×0.033=0.09<|V8|
故 t8 应剔除，再按 n=14，β=0.99 查表 4-2，得 G 值为 2.66。
Gσ’=2.66×0.016=0.04
再取一个 x ' j 值继续判断，直到数据不含粗大误差为止。 表 4-3 t 检验准则中的系数 k 值 ɑ n 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ɑ 0.05 4.97 3.56 3.04 2.78 2.62 2.51 2.43 2.37 2.33 0.01 11.46 6.53 5.04 4.36 3.96 3.71 3.54 3.41 3.31 n 13 14 15 16 17 18 19 20 21 0.05 2.29 2.26 2.24 2.22 2.20 2.18 2.17 2.16 2.15 0.01 3.23 3.17 3.12 3.08 3.04 3.01 3.00 2.95 2.93 n 22 23 24 25 26 27 28 29 30 ɑ 0.05 2.14 2.13 2.12 2.11 2.10 2.10 2.09 2.09 2.08 0.01 2.91 2.90 2.88 2.86 2.85 2.84 2.83 2.82 2.81
所有 14 个|Vi’|值均小于 3σ’ ，故无再需剔除的坏值。 表 4-4 测量顺序 测 得 值 例 4-1 数据表 （℃） 按 15 个数据计算 按 14 个数据计算
ti
vi = t - t
i
15
vi 2 10 6
vi ' = ti - t14
所有|V i’|值均小于 Z cσ’ ，故已无坏值。 （3）按格拉布斯准则 以 n=15 取置信概率 P ɑ=0.99，查表 4-2 得 G 值为 2.70。
Gσ=2.7×0.033=0.09<|V8|
故 t8 应剔除，再按 n=14，β=0.99 查表 4-2，得 G 值为 2.66。
Gσ’=2.66×0.016=0.04
再取一个 x ' j 值继续判断，直到数据不含粗大误差为止。 表 4-3 t 检验准则中的系数 k 值 ɑ n 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ɑ 0.05 4.97 3.56 3.04 2.78 2.62 2.51 2.43 2.37 2.33 0.01 11.46 6.53 5.04 4.36 3.96 3.71 3.54 3.41 3.31 n 13 14 15 16 17 18 19 20 21 0.05 2.29 2.26 2.24 2.22 2.20 2.18 2.17 2.16 2.15 0.01 3.23 3.17 3.12 3.08 3.04 3.01 3.00 2.95 2.93 n 22 23 24 25 26 27 28 29 30 ɑ 0.05 2.14 2.13 2.12 2.11 2.10 2.10 2.09 2.09 2.08 0.01 2.91 2.90 2.88 2.86 2.85 2.84 2.83 2.82 2.81
粗大误差理论(精)
一、粗大误差问题概述
1、什么是粗大误差？ 粗大误差，亦称过失误差或反常误差， 它是由于测试人员主观因素或者由于测试 条件突然变化引起的明显与测量结果不符 的误差，比如仪器操作不当，读数错误、 记录和计算错误、测试系统的突然故障和 环境条件（如仪器的灵敏度、电源电压和 频率、环境温度）等疏忽因素而造成的误 差，因而又简称粗差。
v
i 1
n
2 i
n2
3、格罗布斯准则
设对某量作多次等精度独立测量，得 x1 , x2 ,..., xn
当x j 服从正态分布时，计算
1 x x n
vi xi x
2 v
n 1
为了检验 xi (i 1,2,...,n)中是否存在粗大误差，将 x i 按大小顺 序排列成顺序统计量 xi ，而 x1 x2 ... xn 格罗布斯导出了gn 及 g1 的分布，取定显著 （一般为0.05或0.01），可以得到格罗布斯系数 g0 (n, ) 度 而 x x1 x x
2、粗大误差对测量数据的影响 ▫可疑数据：在一列重复测量的数据中，有个别数 据xd 与其它数据有明显差异，它可能是含有粗大 误差（简称粗差）的数据。 ▫异常值：确定混有粗大误差的数据。
不恰当地剔除 含大误差的正 常数据，会造 成测量重复性 偏好的假象
未加剔除，必 然会造成极差比的方法，得到简化而严 密的结果。
狄克松研究了x1 , x2 ,..., xn的顺序统计量 xi 的分布，当 x i 服从正 态分布时，得到 xn 的统计量 xn xn1 xn xn1
r10
xn x1
xn xn2 xn x2
xn x
x x1
2 误差理论(第二章第三节粗大误差)-2015版
第三节 粗大误差
三、粗大误差的统计判别方法
（一） 3σ 准则(莱以特准则)
前提条件：测量次数充分大，不会含有系统误差。
, xn 对某量等精度测量n次，得测得值 x1 , x2 ,莱以特准则认为：
如果某测得值的残余误差的绝对值大于三倍的标准差时，即
vi 3
则认为它含有粗大误差，应予剔除。
课堂问题讨论：
a
统计量
a
0.05
n
0.01
统计量
n
0.01
0.05
r0 (n, a)
r0 (n, a)
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 0.616 0.595 0.577 0.561 0.547 0.535 0.524 0.514 0.505 0.497 0.489 0.525 0.507 0.490 0.475 0.462 0.450 0.440 0.430 0.421 0.413 0.406
1 n x xi n 1 i 1
i j
特点：首先剔除一个可疑的测得值，然后按 t 分布检验被剔除的值是否是
v
i 1 i j
n
2 i
并求得测量列的标准差(计算时不包括 vj xj x )： n2 根据测量次数n 和选取的显著度 ，即可由表2-12查得 t 分布的检验系数K (n, )。 若 x j x K 则认为测量值 x j 含有粗大误差，剔除 x j 是正确的，否则认为 x j 不含有粗大误 差，应予保留。
第三节 粗大误差
三、粗大误差的统计判别方法
测量中出现的随机误差大多服从正态分布，由正态 分布的单峰性和有界限可知，大误差出现的机会很 少（对有限次测量而言，可看做小概率事件） 粗大误差统计判别方法的基本依据：
粗大误差ppt
n
判别下列等权测量某一物理量15 次所得的测得值中是否有异常值。
1 2
3
解：首先根据测量数据计算
4
算术平均值和标准差
5
1 15
x 15 i1 xi 20.404
6 7
15
s
vi2 i1
0.014960 0.033
8 9
n1
15 1
10
x8 20.30为可疑数据
11
v8 0.104 3s 0.099
x8为异常值，应剔除
12 13 14
对剩余的14个测量值重新判别
15
xi
20.42 20.43 20.40 20.43 20.42 20.43 20.39 20.30 20.40 20.43 20.42 20.41 20.39 20.39 20.40
vi
+0.016 +0.026 -0.004 +0.026 +0.016 +0.026 -0.014 -0.104 -0.004 +0.026 +0.016 +0.006 -0.014 -0.014 -0.004
vi -0.44 -1.04 0.46 -0.24 -0.14 -0.74 1.16 -0.64 -1.04 2.66
解：首先根据测量数据计算算术平均值和标准差
1 10
x 10 i1 xi 55.64
x10 58.3为可疑数据
10
s
vi2 i1
12.024 1.16
n 1 10 1
教学目标
本章介绍在测量前或测量后如何发现粗大 误差，如果无法发现并剔除粗大误差，则 又如何在测量数据处理中去减小其对测量 结果的影响。具体介绍三个常用的统计判 断准则。
2-4粗大误差
二、坏值判别准则
计算算术平均值
x
i 1
n
i
633.98
x xi
i 1
n
633.98 n 39.624 16
计算各测量值的残余误差vi及vi2，并填入
表2-8。
二、坏值判别准则
计算标准差
v
i 1
n
2 i
2.159976
s
vi2
i 1
n
n 1
2.159976 0.38 16 1
1.224975 0.295 15 1
取定置信水平α＝0.05，根据测量次数n
＝15查出相应的格拉布斯临界系数g0（n， α）＝2.41，计算格拉布斯鉴别值 〔g0（n，α）〕s＝2.41×0.295＝0.71
二、坏值判别准则
将各测量值的残余误差vi与格拉布斯鉴别
值相比较，所有残余误差vi的绝对值均小 于格拉布斯鉴别值，故已无坏值。 至此，判别结束，全部测量值中仅有x8为 坏值，予以剔除。
应用格拉布斯准则时，先计算测量列的
算术平均值和标准偏差；再取定置信水 平α，根据测量次数n查出相应的格拉布 斯临界系数g0（n，α），计算格拉布斯 鉴别值〔g0（n，α）〕s；将各测量值的 残余误差vi与格拉布斯鉴别值相比较，若 满足鉴别式，则可认为对应的测量值xi为 坏值，应予剔除；否则xi不是坏值，不予 剔除。
二、坏值判别准则
采用以上坏值判别准则，每次只能剔除一 个坏值，剔除一个坏值后需重新计算测量 列的算术平均值和标准偏差，再进行判别， 直至无坏值为止。
二、坏值判别准则
例2-8 多次重复测量某工件的厚度，得测 量列如下：36.44，39.27，39.94，39.44， 38.91，39.69，39.48，40.56，39.78， 39.35，39.86，39.71，39.46，40.12， 39.39，39.76mm，试判定该测量列是否存 在坏值，若有坏值，则将其剔除。 解：采用表格形式运算，见表2-8 。
dfsservice_第二章课误差理论
第二节 随机误差的分布规律
N次测量结果 --- xi ( i =1, 2, …, N )
1、分布： 正态分布（高斯分布） --- 大多数； 均匀分布 --- 量化误差、舍入误差； 其它 --- 正弦分布、二次分布、卡方分布、指数分布、 分布、 分布等
概率密度分布函数
1 f () e 2
1 5 0 x xi 989.69( C ) 5 i 1
(2)求
x 的标准误差估计值 S x
1 5 2 0 ( xi x ) 4.85( C ) 5 4 i 1
Sx
X x t( 0.05,4 )S x 989 .6 13.4( 0 C )
(P =95%) 即被测金属固液共存点温度有95％的可能在温度 [976.20C，1003.00C]
x
x
i 1
n
99.73%
i
随机误差的正态分布曲线
n
0.5
1
2
不同标准差的正态分布曲线
每个测量值的变动越大，标准差也越大， 说明测量误差的分散性越大。
二、正态分布的概率运算
例2-1 在同样条件下，一组重复测量值的误差服从 正态分布，求误差|δ|不超过σ ,2σ, 3σ的置信概率P
(3)根据给定的置信概率P=95%求得显著性水平a=1P=0.05和自由度v=5-1=4，查表1－2，得 t(0.05,4)=2.77。所以测量结果为
用正态分布求上题,从表2-1中查得z=1.96,可求置
信区间为[-9.20C,+9.20C],小于[-13.40C,+13.40C],
夸大了测量结果的精密程度。
2 ( x x ) i i 1 n 2 v i i 1 n
《理论误差》PPT课件
准 误 差 为 σ， 服 从 正 态 分 布 的 随 机 变 量 可 表 示 x 为～ N （ a， ( )2） ， 按 正 态 分 布 概 率 积 分
n
表 可 查 得 ：
F （ x － ≤ a ≤ x ＋ ） ＝ 6 8 .2 7 %
n
n
为 ：
可改写为：
图示说明
F （ a － ≤ x ≤ a ＋ ） ＝ 6 8 .2 7 %
n
n
F （ x－ 2 ≤ x ≤ x＋ 2 ） ＝ 9 5 .4 5 %
n
n
图例说明
F （ x－ 3 ≤ x ≤ x＋ 3 ） ＝ 9 9 .7 3 %
n
n
II. 电子表格计算法 计算步骤如下：
2021/8/17 13
f (x) a或 x 落在此区间中 的概率为68 .2 6%
o
a
或
n x
n
2021/8/17
f i 18% 16%
14%
12%
10%
8%
6%
4%
2%
0%
-0.06 -0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
△x
0.06
图2.1 误差频率直方图
2021/8/17 2
由图2.1可以看出，误差集中在零值附近，若进一步增加试验的次数， 区间宽度进一步缩小，则图2.1可以变成一条光滑曲线，如图2.2所示。
在数据处理中，只提出母体参数的无偏估值还是不够的，因为任何 一种估计，如果不附以某种偏差范围及在此区间内包含参数X真值的可靠 程度（或置信概率），是没有多大意义的。
2021/8/17 15
n
表 可 查 得 ：
F （ x － ≤ a ≤ x ＋ ） ＝ 6 8 .2 7 %
n
n
为 ：
可改写为：
图示说明
F （ a － ≤ x ≤ a ＋ ） ＝ 6 8 .2 7 %
n
n
F （ x－ 2 ≤ x ≤ x＋ 2 ） ＝ 9 5 .4 5 %
n
n
图例说明
F （ x－ 3 ≤ x ≤ x＋ 3 ） ＝ 9 9 .7 3 %
n
n
II. 电子表格计算法 计算步骤如下：
2021/8/17 13
f (x) a或 x 落在此区间中 的概率为68 .2 6%
o
a
或
n x
n
2021/8/17
f i 18% 16%
14%
12%
10%
8%
6%
4%
2%
0%
-0.06 -0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
△x
0.06
图2.1 误差频率直方图
2021/8/17 2
由图2.1可以看出，误差集中在零值附近，若进一步增加试验的次数， 区间宽度进一步缩小，则图2.1可以变成一条光滑曲线，如图2.2所示。
在数据处理中，只提出母体参数的无偏估值还是不够的，因为任何 一种估计，如果不附以某种偏差范围及在此区间内包含参数X真值的可靠 程度（或置信概率），是没有多大意义的。
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《误差理论与数据处理》
第3页
第三节 粗大误差
一、粗大误差产生的原因
定义：
超出在规定条件下预期的误差。是测量过程中操作 者的偶然失误或环境的突发干扰造成的。明显歪曲测 量结果。
或称为“异常值” （abnormal value)。
• 对已确知是在受到外界不正常干扰下测得的数据，或经查 是错读、错记的数据，则应舍弃。
则 因
K 2.24 0.016 0.036 x8 x 20.30 20.411 0.111 0.036
故第八组测量值含有粗大误差，应予剔除。 然后对剩下的14个测得值进行判别，可知这些测得值不再含有粗大误差。
第三节 粗大误差
（三）格拉布斯准则
n vi xi x
• 3σ准则只宜用于重复测量次数较多（有的资料推荐测量 次数n>50）的重要测量中。
第三节 粗大误差
（二）罗曼诺夫斯基准则（ t 检验准则）
前提条件：当测量次数较少时，按t分布判断系统误差较为合理
三、粗大误差的统计判别方法
含有粗大误差。 设对某量作多次等精度测量，得x1 , x2 , …, xn ，若认为测量值xj 为可疑数据，将 其剔除后计算平均值为(计算时不包括 x j ) ：
重庆大学 光电工程学院 本科课程
误差理论与数据处理
李伟红 副教授
2015/5/1
第二章 误差的基本性质与处理
第一节 第二节 第三节 第四节 随机误差 系统误差 粗大误差 测量结果的数据处理
《误差理论与数据处理》
第2页பைடு நூலகம்
第三节 粗大误差
一、粗大误差产生的原因 二、可疑值处理的基本原则 二、粗大误差的统计判别方法 三、防止与消除粗大误差的方法
1 n x xi n 1 i 1
i j
特点：首先剔除一个可疑的测得值，然后按 t 分布检验被剔除的值是否是
v
i 1 i j
n
2 i
并求得测量列的标准差(计算时不包括 vj xj x )： n2 根据测量次数n 和选取的显著度 ，即可由表2-12查得 t 分布的检验系数K (n, )。 若 x j x K 则认为测量值 x j 含有粗大误差，剔除 x j 是正确的，否则认为 x j 不含有粗大误 差，应予保留。
② 客观外界条件的原因
测量条件意外地改变（如机械 冲击、外界振动、电磁干扰 等）。
第三节 粗大误差
二、可疑值处理的基本原则
两个错误做法：
• 凭主观臆断，轻易地剔除主观认定为反常的数据，从而 人为地使测得数据一致起来；
• 不敢舍弃任一个测得数据，一概当作是正常信息。
处理原则：
• • • • 直观判断、及时处理 增加测量次数、继续观察 用统计的方法继续判断 保留不剔、确保安全
第三节 粗大误差
三、粗大误差的统计判别方法
测量中出现的随机误差大多服从正态分布，由正态 分布的单峰性和有界限可知，大误差出现的机会很 少（对有限次测量而言，可看做小概率事件） 粗大误差统计判别方法的基本依据：
• 给定一置信概率（如99%）； • 确定其随机误差的分布范围； • 凡超出这个范围的误差，就认为是不属于正常测量条件 下测量值所含有的随机误差，而应视为粗大误差予以剔 除。
三、粗大误差的统计判别方法
设对某量作多次等精度独立测量，得 x1 , x2 , xn ，当 xi 服从正态分布时, 1 计算得 x x
v
2
( n 1)
按大小顺序排列成顺序统计量，而
第三节 粗大误差
三、粗大误差的统计判别方法
（一） 3σ 准则(莱以特准则)
前提条件：测量次数充分大，不会含有系统误差。
, xn 对某量等精度测量n次，得测得值 x1 , x2 ,莱以特准则认为：
如果某测得值的残余误差的绝对值大于三倍的标准差时，即
vi 3
则认为它含有粗大误差，应予剔除。
课堂问题讨论：
•为什么每次只能剔除一个vi最大的测值作为粗大误差？一次剔除两个行不行？
•若vi绝对值最大的测量值同时有两个相同怎么办？
第三节 粗大误差
三、粗大误差的统计判别方法
例2-18 对某量进行15次等精度测量，测得值如下表2-11所列，设这些测得值 已消除了系统误差，试判别该测量列中是否含有粗大误差的测得值。
v
i 1
n
'2 i
n 1
0.003374 0.016 13
由表2-11知，剩下的14个测得值的残余误差均满足 测得值不再含有粗大误差。
,故可以认为这些 vi' 3 0.048
第三节 粗大误差
三、粗大误差的统计判别方法
• 特点：
• 3σ准则比较保守，因为在测量次数有限时，出现在靠近 ±3σ界限处的数据极少，除非有较大的粗大误差，否则|v| ＞3σ而导致数据被剔除的可能性很小。 • 在测量次数小于10次时， 3σ准则失效。为什么？
• 但不能在不知原因的情况下，不加分析就轻易舍弃测量列 中最大或最小的数据，这样可能造成错觉。
对数据中异常值的正确判断与处理，是获得客观的测量结果的重要方法
第三节 粗大误差
一、粗大误差产生的原因
产生粗大误差的原因是多方面的，大致可归纳为： ① 测量人员的主观原因
测量者工作责任感不强、工作 过于疲劳、缺乏经验操作不当， 或在测量时不小心、不耐心、 不仔细等，造成错误的读数或 记录。
第三节 粗大误差
三、粗大误差的统计判别方法
例2-19 试判断例2-18中是否含有粗大误差。
第三节 粗大误差
三、粗大误差的统计判别方法
解：首先怀疑第八组测得值含有粗大误差，将其剔除。然后根据剩下的14 个测量值计算平均值和标准差，得：
x 20.411, 0.016 选取显著度 a 0 ，已知 .05 n＝15，查表2-12得： K (15,0.05) 2.24
表2-11
第三节 粗大误差
三、粗大误差的统计判别方法
由表2-11可得 x 20.404
0.01496 0.033 n 1 14 3 3 0.033 0.099
i 1
v
n
2 i
根据3σ准则，第八测得值的残余误差为：
v8 0.104 0.099
即它含有粗大误差,故将此测得值剔除。再根据剩下的14个测得值重新计算 ，得： x ' 20.411