_2014——2017竞赛中的解析几何问题_解析几何试题集萃

b
0) ，圆 O : x2

y2

a2
与
y
轴正半
轴于点 B, 过点 B 的直线与椭圆 E 相切，且与圆 O 交于另一点 A, 若 AOB 60 ，则椭圆 E
的离心率为___________.
（2017 陕西）7.设集合 A {n | n N *}, B {y | y x 4 5 x2 }，则集合 A B 中元 3
（2017 四川）9.若 P(x, y) 是双曲线 x2 y2 1上的点，则| x y | 的最小值为___________. 84
（2017 四川）15.如图，点 A 与点 A ' 在 x 轴上，且关于 y 轴对称，过点 A ' 垂直于 x 轴的直
线与抛物线 y2 2x 交于两点 B, C ,点 D 为线段 AB 上的动点，点 E 在线段 AC 上，满足
天津）9.设 F
x2
是椭圆
a2

y2 b2
1(a
b

0) 的左焦点， A 是该椭圆上位于第一象限
的一点.过 A 作圆 x2 y2 b2 的切线，切点为 P ，则| AF | | AP | ___________.
（2017 天津）13.设直线 l1 : y 3x, l2 : y 3x, 点 A 和点 B 分别在直线 l1 和 l2 上运动，
的结论.
x2 （2017 江苏）4.在平面直角坐标系 xOy 中，设 F1, F2 分别是双曲线 a2

y2 b2
1(a

0, b

0)
的左、右焦点， P 是双曲线右支上一点， M 是 PF2 的中点，且 OM PF2 , 3PF1 4PF2 ,
则双曲线的离心率为_____________.
_____________.
（2017 甘肃）15.设向量 i, j 为平面直角坐标系中 x, y 轴正方向上的单位向量，若向量

百度文库


a (x 2)i y j,b (x 2)i y j, 且| a | | b | 2 .
（I）求满足条件的点 P(x, y) 的轨迹方程. （II）设 A(1, 0), F (2, 0) ，问是否存在常数 0, 使得 PFA PAF 恒成立？证明你
| CE | | AD | . | CA | | AB |
（1）求证：直线 DE 与此抛物线有且只有一个公共点.
（2）设直线
DE
与抛物线的公共点为
F,
记 BCF
与 ADE
的面积分别为
S1, S2 ,求
S1 S2
的
值.
（2017 陕西）4.如图，已知椭圆 E :
x2 a2

y2 b2
1(a
别为 A, B ，以 A 为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆与椭圆交于 C, D 两点，CD 的中点的
横坐标为 6 3 3 .
（1）求椭圆的方程；
（2）直线 l 过椭圆的右焦点 F 且不垂直于 x 轴，l 与椭圆交于 M , N 两点，设点 N 关于 x 轴
的对称点为 N ' .问直线 MN ' 是否经过定点？若经过定点，求出这个定点，否则说明理由. （2017 全国）3.在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的方程为 x2 y2 1， F 是 C 的上焦
为直线 y 2 上一点，过点T 的直线TM 、TN 分别与椭圆 C 交于 E, F 两点.若 TMN 的面
积是 TEF 的面积的 k 倍.问：当 t 为何值时， k 为最大值? （2017 年山东）11.实数 x, y (1, ) ，且 xy 2x y 1 0 ，求 3 x2 y2 的最小值.
于 1 的弦， AB 的垂直平分线与椭圆交于两点 C ， D ，设 CD 的中点为 F ， CD 交 AB 于
点E.
（1）求证：
CD
2

AB
2

4
EF
2
；
（2）求证：四点 A ， B ， C ， D 共圆.
（2017
x2 新疆）10.已知椭圆 a2

y2 b2
1(a
b
0) 的离心率为 1 , 椭圆短轴的上、下端点分 2
线 E 交于 A, B 两点， O 为坐标原点，且 OAOB 2 .
（1）求证：直线 l 过定点； （2）设点 F 关于直线 OB 的对称点为 C ，求四边形 OABC 面积的最小值.
（2017 甘肃）7.已知正数 a,b 满足 2a b 1, 则 4a2 b2 4 ab 的最大值为____________.
62
交椭圆于 P, Q 两点（ k 0 ）.若 PQ 的中点为 N, O 为原点，直线 ON 交直线 x 3 于点 M .
（I）求 MFQ 的大小；
| PQ |
（II）求
的最大值.
| MF |
（2017 湖南）16．如图所示， AB 是椭圆 mx2 ny2 1（ m n 0 ， m n ）的斜率等
（2）若椭圆 E 上三点 P, A(0,b), B(a, 0) 到直线 l 的距离分别为 d1, d2 , d3 .求证：d1, d2 , d3 可
以是某三角形三条边的边长.
（2017 贵州）4.已知抛物线 C : y2 4x 的焦点为 F ，对称轴与准线的交点为T , P 为抛物线
C 上任意一点，当 | PF | 取最小值时， PTF 等于___________. | PT |
（2017
年福建）6．已知 P 为双曲线 C ：
x2 4
y2 12
1上一点， F1 、 F2 为双曲线 C 的左、
右焦点， M 、 I 分别为 △PF1F2 的重心、内心，若 M I x 轴，则△PF1F2 内切圆的半径
为
。
x2 y2
2
（2017
年福建）12．已知椭圆 C
：
a2

b2
1（ a b 0 ）过点 P(2 ，1) ，且离心率为
x2 y2
（2017 甘肃）10.已知双曲线 a2
b2
1(a 0,b 0) ，A1, A2 是实轴的顶点，F
是右焦点，
B(0,b) 是 虚轴 的端 点. 若线 段 BF 上 （不含 端点 ）存 在不同的 两点 Pi (i 1, 2) ， 使 得
Pi A1A2 (i 1, 2) 构成以 A1A2 为斜边的直角三角形，则双曲线的离心率的取值范围为
（I）求证： EF AB .
（2）设
AF


FB
，当


[1
,
1
]
，求
ABE
的面积
S
的最小值.
32
x2 y2 （2017 四川）4.已知 F1, F2 是椭圆 E : a2 b2 1(a b 0) 的左、右焦点，该椭圆上存在
两点 A, B ，使得 F1A 3F2B ,则该椭圆的离心率的取值范围为______________.
（ 2017
x2 江苏 ） 12. 在平 面直 角坐 标系 xOy 中 ， 设 椭圆 E : a2
y2 b2
1(a b 0) , 直 线
l : x y 3a 0 ，若椭圆 E 的离心率为
3 ，原点 O 到直线 l 的距离为 3 2 .
2
（1）求椭圆 E 与直线 l 的方程.
2
（2017 年山东）13.已知椭圆经过点 P( 6 , 1 ) ，离心率为 2 ，动点 M (2, t)(t 0) .
22
2
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求以 OM 为直径且被直线 3x 4 y 5 0 解得的弦长为 2 的圆的方程.
（3）设 F 是椭圆的右焦点，过点 F 作 OM 的垂线与以 OM 为直径的圆交于点 N ，证明线 段 ON 的长为定值，并求出这个定值.
2014——2017 全国高中数学联赛各地预赛中的解析几何试题集萃
（2017 天津）3.将曲线 y log2 x 沿 x 轴正方向移动 1 个单位，再沿 y 轴负方向移动 2 个单 位，得到曲线 C ，则与 C 关于直线 x y 0 对称的曲线的方程为_____________.
（2017
9 10 点， A 为 C 的右顶点，P 为 C 上位于第一象限内的动点，则四边形 OAPF 的面积的最大值
为___________.
（2017 全国）11.设复数 z1, z2 满足 Re(z1) 0, Re(z2 ) 0, 且 Re(z12 ) Re(z22 ) 2 （其中 Re(z) 表示复数 z 的实部）. （1）求 Re(z1z2 ) 的最小值. （2）求| z1 2 | | z2 2 | | z1 z2 | 的最小值. （2017 内蒙古）9.过抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点 F 作弦 BC ，若 BC 的中垂线交 BC 于 M ，交 x 轴于 N ，求证：| MN |2 | FC | | FB | . （ 2017 上 海 ） 7. 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 已 知 点 A(0,3), B(2,3) 及 圆
（2017 贵州）17.已知 ABC 的三个顶点在椭圆 x2 y2 1，坐标原点 O 为 ABC 的重心， 12 4
试求 ABC 的面积.
（2017 安徽）6.过椭圆 x2 2 y2 3 的一个焦点作斜率为 k 的直线，交椭圆于 A, B 两点， 若| AB | 2 ,则| k | _____________. （ 2017 浙 江 ） 7 、 已 知 动 点 P, M , N 分 别 在 x 轴 上 、 圆 (x 1)2 ( y 2)2 1 和 圆 (x 3)2 ( y 4)2 3 上，则| PM | | PN | 的最小值为________________. （2017 浙江）12、已知椭圆 x2 y2 1的右焦点为 F ，过 F 的直线 y k (x 2) 的直线 l
且 OAOB 2 .
（1）求线段 AB 的中点 M 的轨迹.
（2）设点 P(2, 0) 关于直线 AB 的对称点为 Q ，证明：直线 MQ 过定点.
（2017 河北）2.已知 x, y R, 2x2 3y2 12 ，则| x 2 y | 的最大值为___________.
（2017 河北）5.双曲线 C : x2 y2 2 的右焦点为 F ， P 为其左支上任意一点，点 A 的坐
标为 (1,1) ，则 AFP 周长的最小值为___________.
（2017 河北）13.设椭圆 x2 y2 1的两条互相垂直的切线的交点轨迹为 C .曲线 C 的两条 54
切线 PA, PB 的交点为 P ，且与 C 分别切于 A, B 两点，求 PA PB 的最小值.
（2017 山西）5.直线 y kx 2 交抛物线 y2 8x 于 A, B 两但，若线段 AB 中点的横坐标为 2，则线段 AB 的长度为____________.
x2 y2 （ 2017 辽 宁 ） 9. 已 知 F1, F2 分 别 为 椭 圆 : a2 b2 1(a b 0) 的 左 、 右 焦 点 ，
| F1F2 | 2, A 为 的右顶点，直线 l 过点 A 且垂直于 x 轴，P 为直线 l 上一动点，若 F1PF2

的最大值为
，则此时点 P
的坐标为____________.
4
（2017 辽宁）13.已知椭圆 C : x2 y2 1 的上顶点为 M ，下顶点为 N ，T (t, 2) （ t 0 ） 4
素的个数为______.
（ 2017 陕 西 ） 8. 设 x y 0, 若 存 在 实 数 a,b 满 足 0 a x, 0 b y ， 则
(x a)2 ( y b)2 x2 +b2 y2 a2 ，则 x 的最大值为___________. y
（2017 陕西）14.已知抛物线 E : y x2 的焦点为 F , 过 y 轴正半轴上一点 M 的直线 l 与抛物
2
。
过点 P 作两条互相垂直的直线分别交椭圆于 A 、 B 两点（ A 、 B 与点 P 不重合）。求证： 直线 AB 过定点，并求该定点的坐标。
（2017 江西）4.若椭圆的一个顶点关于它的一个焦点的对称点恰好在其准线上，则椭圆的离 心率为_______.
（2017 湖北）9.过抛物线 y2 4x 的焦点 F 的直线交抛物线于 M , N 两点， E(m, 0) 为 x 轴
上一点，ME, NE 的延长线分别交抛物线于点 P, Q .若 MN , PQ 的斜率 k1, k2 满足 k1 3k2 ， 则实数 m 的值为__________.
（2017 湖北）12.过抛物线 y2 2x 的焦点 F 的直线 l 交抛物线 A, B 两点，抛物线在 A, B 两
点处的切线交于点 E.