第十章 无穷级数
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第十章 无穷级数
1．判断下列级数的敛散性：
（1）Λ
Λ++++⋅+⋅)2(1421311n n
（2）Λ
Λ++++++)31
21()3121()3121(22n n
（3）
Λ
Λ++++++2cos
5cos
4cos
3
cos
n π
π
π
π
解：（1）由 )211(21+-=n n u n ，所以43)2111211(21→
+-+-+=n n S n （∞→n ）
故原级数收敛，且其和为43
。
（2）由 ΛΛ+++++++)31
21()3121()3
121(22n n ∑∞
=+=1)
3121(n n n 而级数∑∞=121n n 及∑∞
=131n n
均收敛，故原级数收敛。
（3）由0
12
cos
≠→+=n u n π
，（∞→n ），故原级数发散。 注：应用（1）中的技巧，可得对任何自然数p ，有：
)1211(1)(1
p p p n n +++=
+∑Λ。
2．判别下列级数的敛散性。
（1）)1ln(1∑∞
=+n n π
（2）∑∞
=⋅11
n n
n n （3）∑∞
=-+12)1(2n n n
（4）)1sin (10∑⎰∞
=+n n dx x x π
（5）∑∞
=1!n n n n
（6）∑∞=+++12)1()1)(1(n n n x x x x Λ（0≥x ）
（7）n
n n a b ∑∞
=1)(，其中a a n →，a b a n ,,皆为正数，0≠a 。
解：（1）由 n n u n π
π~)1ln(+= （∞→n ），又 ∑∞
=1n n π 发散，故由比较判别法知，
原级数发散。
（2）由 1111
→=⋅n n n n n
n （∞→n ），又
∑∞
=11
n n 发散，故由比较判别法的极限形式
可知，原级数发散。
（3）法1：
n
n n n
n u )21(2
12)1(21
-+=-+=
-，而∑∞
=-1121
n n 及 n
n ∑∞
=-1)21
(均收敛，故原级数
收敛。
法2： 由 121
23lim 2)1(2lim lim <==-+=∞→∞→∞→n
n n n n n n n n u ，故原级数收敛。
法3： 由 n n
n n u 23
2)1(2≤-+=，而 ∑∞
=123n n 收敛，故原级数收敛。
（4）由
n dx x x u n n π
π
≤
+=≤⎰01sin 02
0)(11n dx x n ππ
≤+⎰，而
∑∞
=12)(n n π
收敛，故级数
)1sin (1
∑⎰
∞
=+n n dx x x
π
收敛。
（5）由 1)11(!)!1()1(11>→+=⋅++=++e n n n n n u u n n n n n )(∞→n ，故级数∑∞
=1!n n
n n 发散。 （6）由n
n n n n n x x x x x x x x u u )
1()1)(1()1()1)(1(21211+++⋅+++=+++ΛΛ
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧>=<≤→+=
+1
,01,2110,11
x x x x x x
n
故原级数收敛。
（7）由
a b a b u n n
n →=
（∞→n ），当 1时，原级数收敛；当 1
>a b
即 b a <时，原级数发散；当 b a =时，不一定。
例如：级数 ∑∑∞
=∞
==111)1
(n n n
n n n
发散；级数 ∑
∑∞
=∞
==12
1
2
1)1
(
n n n
n
n n 收敛。
3．若正项级数
∑∞
=1
n n
u
收敛，证明
∑∞
=1
2n n
u
也收敛，其逆如何？
证明：由
∑∞
=1
n n
u
收敛，故
lim =∞
→n n u ，则存在N ∈0n ，当 0n n >时，10<≤n u ，
从而当 0n n >时，n n
u u <≤20，故由比较判别法可知
∑∞
=1
2n n
u
收敛。反之，不真。
例如：
n u n 1=，2
2
1n u n =，级数 ∑∞
=12
1n n 收敛，而级数
∑∞
=11n n 发散。
4．若两个正项级数
∑∞
=1
n n
u
和
∑∞
=1
n n
v
发散，∑∞
=1
)
,max (n n n
v u
，∑∞
=1
)
,min(n n n
v u
两级数敛散性
如何？
解：∑∞
=1
)
,max (n n n
v u
一定发散。这是由于0),m ax (≥≥n n n u v u ，而级数∑∞
=1
n n
u 发散，