第十章 无穷级数
高等数学第十章无穷级数精选讲义
第十章 无穷级数精选讲义【考试要求】1．理解级数收敛、发散的概念．掌握级数收敛的必要条件，了解级数的基本性质． 2．掌握正项级数的比值审敛法．会用正项级数的比较审敛法． 3．掌握几何级数、调和级数与p 级数的敛散性．4．了解级数绝对收敛与条件收敛的概念，会使用莱布尼茨判别法． 5．了解幂级数的概念，收敛半径，收敛区间．6．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和、差、逐项求导与逐项积分）． 7．掌握求幂级数的收敛半径、收敛区间的方法．【考试内容】一、常数项级数的相关概念1．常数项级数的定义一般地，如果给定一个数列1u ，2u，，n u，，则由这数列构成的表达式123n u u u u +++++叫做常数项无穷级数，简称常数项级数或级数，记为1nn u∞=∑，即1231nn n uu u u u ∞==+++++∑，其中第n 项n u 叫做级数的一般项．2．常数项级数收敛、发散的概念作常数项级数1nn u∞=∑的前n 项和121nn n ii s u u u u ==+++=∑，n s 称为级数1nn u∞=∑的部分和，当n 依次取1,2,3,时，它们构成一个新的数列11s u =，212s u u =+，3123s u u u =++，，12n n s u u u =+++，．如果级数1nn u∞=∑的部分和数列{}n s 有极限s ，即limn n s s →∞=，则称无穷级数1nn u ∞=∑收敛，这时极限s 叫做这级数的和，并写成123n s u u u u =+++++或者1nn us ∞==∑；如果{}n s 没有极限，则称无穷级数1n n u ∞=∑发散．3．收敛级数的基本性质 （1）如果级数1nn u∞=∑收敛于和s ，则级数1nn ku∞=∑也收敛，且其和为ks ．一般地，级数的每一项同乘一个不为零的常数后，它的收敛性不变． （2）如果级数1n n u ∞=∑、1nn v∞=∑分别收敛于和s 、σ，则级数1()nn n uv ∞=±∑也收敛，且其和为s σ±． （3）在级数1nn u∞=∑中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性．（4）如果级数1nn u∞=∑收敛，则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变．（5）如果级数1nn u∞=∑收敛，则它的一般项n u 趋于零，即lim 0nn u →∞=．说明：此条件称为级数收敛的必要条件．由原命题成立逆否命题一定成立可得，如果lim nn u →∞不为零，则级数1nn u∞=∑一定发散．4．几个重要的常数项级数 （1）等比级数级数21nnn q q q q ∞==++++∑或21n n n q q q q ∞==+++++∑称为等比级数或几何级数，其中q 叫做级数的公比．其收敛性为：当1q <时，级数收敛；当1q ≥时级数发散．（2）调和级数级数 11111123n nn∞==+++++∑ 称为调和级数，此级数是一个发散级数．（3）p 级数级数 11111123p p p p n nn∞==+++++∑称为p 级数，其中常数0p >．其收敛性为：当1p >时，级数收敛；当1p ≤时级数发散．二、正项级数的审敛法1．比较审敛法设1n n u ∞=∑和1nn v∞=∑都是正项级数，且存在正数N ，使当n N ≥时有n n u v ≤成立．若级数1nn v∞=∑收敛，则级数1nn u∞=∑收敛；如果级数1nn u∞=∑发散，则级数1nn v∞=∑也发散．2．比较审敛法的极限形式 设1n n u ∞=∑和1nn v∞=∑都是正项级数．（1）如果lim nn n u l v →∞=，0l ≤<+∞，且级数1n n v ∞=∑收敛，则级数1n n u ∞=∑收敛；（2）如果lim nn nu l v →∞=，0l <≤+∞，且级数1n n v ∞=∑发散，则级数1n n u ∞=∑发散．说明：极限形式的比较审敛法，在两个正项级数的一般项均趋于零的情况下，其实是比较它 们的一般项作为无穷小的阶．上述结论表明，当n→∞时，如果n u 是与n v 同阶或是比nv 高阶的无穷小，而级数1nn v∞=∑收敛，则级数1nn u∞=∑收敛；如果n u 是与n v 同阶或是比n v 低阶的无穷小，而级数1nn v∞=∑发散，则级数1nn u∞=∑发散．3．比值审敛法（达朗贝尔判别法）设1n n u ∞=∑为正项级数，如果1lim n n nu u ρ+→∞=，则当1ρ<时级数收敛；1ρ>（或1lim n n nu u +→∞=+∞）时级数发散；1ρ=时级数可能收敛也可能发散． 4．根值审敛法（柯西判别法）设1nn u∞=∑为正项级数，如果n ρ→∞=，则当1ρ<时级数收敛；1ρ>（或n →∞=+∞）时级数发散；1ρ=时级数可能收敛也可能发散．三、交错级数及其审敛法1．交错级数的概念所谓交错级数是这样的级数，它的各项是正负交错的，从而可以写成下面的形式：112341(1)n n n u u u u u ∞-=-+-+=-∑ ，或12341(1)nn n u u u u u ∞=-+-+-=-∑ ， 其中1u ，2u ，都是正数．2．交错级数的审敛法—莱布尼茨定理如果交错级数11(1)n n n u ∞-=-∑满足条件： （1）1nn u u +≥ （1,2,3,n =）；（2）lim 0nn u →∞=．则级数收敛．四、绝对收敛与条件收敛1．绝对收敛与条件收敛对于一般的级数12n u u u ++++，它的各项为任意实数．如果级数1nn u∞=∑各项的绝对值所构成的正项级数1nn u∞=∑收敛，则称级数1nn u∞=∑绝对收敛；如果级数1nn u∞=∑收敛，而级数1nn u ∞=∑发散，则称级数1n n u ∞=∑条件收敛．例如，级数1211(1)n n n ∞-=-∑是绝对收敛级数，而级数111(1)n n n∞-=-∑是条件收敛级数．对于绝对收敛级数，我们有如下结论：如果级数1nn u∞=∑绝对收敛，则级数1nn u∞=∑必定收敛．这说明，对于一般的级数1nn u∞=∑，如果我们用正项级数的审敛法判定级数1nn u∞=∑收敛，则此级数一定收敛．这就使得一大类级数的收敛性判定问题，转化为正项级数的收敛性 判定问题． 2．重要结论一般说来，如果级数1nn u∞=∑发散，我们不能断定级数1nn u∞=∑也发散．但是，如果我们用比值审敛法或根值审敛法根据1lim1n n nu u ρ+→∞=>或1n ρ→∞=>判定级数1nn u∞=∑发散，则我们可以断定级数1nn u∞=∑必定发散（这是因为从1ρ>可推知n →∞时nu 不趋于零，从而n→∞时n u 也不趋于零，因此级数1n n u ∞=∑发散）．五、幂级数（一）函数项级数1．函数项级数的定义如果给定一个定义在区间I 上的函数列1()u x ，2()u x ，，()n u x ，，则由这函数列构成的表达式1231()()()()()n n n u x u x u x u x u x ∞=+++++=∑称为定义在I 上的函数项无穷级数，简称函数项级数． 2．收敛域、发散域、和函数对于每一个确定的值0x I ∈，函数项级数1()n n u x ∞=∑成为常数项级数1020300()()()()n u x u x u x u x +++++．如果该常数项级数收敛，就称点0x 是函数项级数1()nn u x ∞=∑的收敛点；如果该常数项级数发散，就称点0x 是发散点．函数项级数1()n n u x ∞=∑的收敛点的全体称为收敛域，发散点的全体称为发散域．对应于收敛域内的任意一个常数x ，函数项级数成为一收敛的常数项级数，因而有一确定的和s ．这样，在收敛域上，函数项级数的和是x 的函数()s x ，通常称()s x 为函数项级数的和函数，这函数的定义域就是级数的收敛域，并写成123()()()()()n s x u x u x u x u x =+++++．（二）幂级数及其收敛性1．幂级数的定义函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都是幂函数的函数项级数，即所谓幂级 数，形式为20120nn n n n a xa a x a x a x ∞==+++++∑，其中常数0a ，1a ，2a ，，n a，叫做幂级数的系数．2．阿贝尔定理如果级数nn n a x∞=∑当0xx =（00x ≠）时收敛，则适合不等式0x x <的一切x 使这幂级数绝对收敛．反之，如果级数0nn n a x ∞=∑当0x x =时发散，则适合不等式0x x >的一切x 使这幂级数发散．由上述定理可以推出，如果幂级数nn n a x∞=∑不是仅在0x =一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个确定的正数R 存在，使得当x R <时，幂级数绝对收敛；当x R >时，幂级数发散；当x R =或x R =-时，幂级数可能收敛也可能发散．正数R叫做幂级数的收敛半径，开区间(,)R R -叫做幂级数的收敛区间． 3．求收敛半径及收敛区间的方法（1）对于标准形式的幂级数nn n a x∞=∑或1n n n a x ∞=∑，有如下方法： 如果1limn n na a ρ+→∞=，其中n a 、1n a +是幂级数0n n n a x ∞=∑的相邻两项的系数，则这幂级数的收敛半径1,0,00,R ρρρρ⎧≠⎪⎪⎪=+∞=⎨⎪=+∞⎪⎪⎩．（2）对于非标准形式的幂级数0()n n u x ∞=∑或1()n n u x ∞=∑（如202!n n n x n ∞=∑或0(1)2nn n x n ∞=-∑），方法如下：令1()lim1()n n n u x u x +→∞<，得到x 的范围，然后再求x 的两个边界值所对应的常数项级数的敛散性即可．（三）幂级数的和函数1．幂级数和函数的性质 性质1 幂级数0n n n a x ∞=∑的和函数()s x 在其收敛域I 上连续． 性质2 幂级数n n n a x ∞=∑的和函数()s x 在其收敛域I 上可积，并有逐项积分公式 10000()1xxx n nn n n n n n n a s x dx a x dx a x dx x n ∞∞∞+===⎡⎤===⎢⎥+⎣⎦∑∑∑⎰⎰⎰ （x I ∈）， 逐项积分后所得到的幂级数和原来的幂级数有相同的收敛半径． 性质3 幂级数0nn n a x ∞=∑的和函数()s x 在其收敛区间(,)R R -内可导，并有逐项求导公式()1001()n n n n n n n n n s x a x a x na x ∞∞∞-==='⎛⎫''=== ⎪⎝⎭∑∑∑ （x R <），逐项求导后所得到的幂级数和原来的幂级数有相同的收敛半径．2．幂级数和函数的求法（“先导后积”或“先积后导”）当幂级数的一般项形如(1)nx n n +时，可用先求导后求积分的方法求其和函数；当幂级数的一般项形如2(21)nn x +、1n nx-等形式，可用先求积分后求导的方法求其和函数．3．常用的幂级数展开式（1）20111n n n x x x x x ∞===+++++-∑，11x -<<；（2）201(1)1(1)1n n n n n x x x x x ∞==-=-+-+-++∑，11x -<<．【典型例题】【例10-1】用比较法或其极限形式判别下列级数的敛散性． 1．1n ∞= ．解：因1lim 2n n n→∞→∞==，而调和级数11n n ∞=∑发散，故原级数发散． 2．1n ∞=．解：因223n n n →∞→∞==，而级数211n n∞=∑是收敛的p 级数，故原级数收敛．3．1352nnnn ∞=-∑ ．解：因 33552lim lim 152335nn n n n n n n nn n →∞→∞-=⋅=-⎛⎫⎪⎝⎭，而级数135n n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑是收敛的等比级数，故原级数收敛．4．11sin n n ∞=∑ ．解：因 1sinlim 11n n n→∞=，而调和级数11n n∞=∑发散，故原级数发散．5．11(1cos )n n ∞=-∑ ． 解：因211cos1lim12n n n→∞-=，而级数211n n ∞=∑是收敛的p 级数，故原级数收敛．6．32tan n nn π∞=∑ ． 解：因 2222tan lim lim 211n n n n n n n n πππ→∞→∞⋅==，而级数211n n∞=∑是收敛的p 级数，故原级数收敛．7．312(1)n n n n ∞=++∑ ．解：因 333322(1)limlim 11(1)n n n n n n n n n n →∞→∞+++=⋅=+，而级数311n n∞=∑是收敛的p 级数，故原级数收敛． 8．111nn a∞=+∑ （0a >）． 解：当1a=时， 111limlim 0122n n n a →∞→∞==≠+，故原级数发散；当01a <<时，11limlim 10110n n n a →∞→∞==≠++，故原级数发散；当1a >时，因11lim lim 111n n n n n na a a a →∞→∞+==+，而级数11n n a∞=∑是收敛的等比级数，故原级数收敛．【例10-2】利用比值审敛法判别下列级数的敛散性． 1．1(1)!2nn n ∞=+∑ ． 解：因11(2)!(2)!222lim lim lim (1)!2(1)!22n n n n n n n n n n n n ++→∞→∞→∞+++=⋅==∞++，故原级数发散．2．213nn n ∞=∑ ．解：因221212(1)(1)313lim lim 1333n n n n n nn n n n ++→∞→∞++=⋅=<，故原级数收敛． 3．1135(21)3!nn n n ∞=⋅⋅⋅⋅-⋅∑ ． 解：因1135(21)(21)2123(1)!lim lim 1135(21)3(1)33!n n n n n n n n n n n +→∞→∞⋅⋅⋅⋅-⋅++⋅+==<⋅⋅⋅⋅-+⋅，故原级数收敛．4．110!nn n ∞=∑ ．解：因111010!(1)!lim lim 0110(1)!10!n n n n n n n n n n ++→∞→∞+=⋅=<+，故原级数收敛．5．1212nn n ∞=-∑ ． 解：因112121212lim lim 12122122n n n n n nn n n n ++→∞→∞++=⋅=<--，故原级数收敛．6．21sin2nn nπ∞=∑ ．解：因22sin22lim lim 1122n nn n nnn n πππ→∞→∞==⋅，故原级数与级数212n n n ∞=∑敛散性相同． 对于级数212n n n ∞=∑，因221212(1)(1)212lim lim 1222n n n n n nn n n n ++→∞→∞++=⋅=<，故级数212n n n ∞=∑收敛，所以原级数也收敛．【例10-3】利用根值审敛法判别下列级数的敛散性．1．12(1)2nn n ∞=+-∑．解：1ln[2(1)]11lim 122n nn n n e+-→∞→∞→∞===<，故原级数收敛． 2．11[ln(1)]n n n ∞=+∑ ．解：1lim 01ln(1)n n n n →∞→∞→∞===<+，故原级数收敛． 【例10-4】判定下列级数的敛散性，如果是收敛的，判定是绝对收敛还是条件收敛． 1．11(1)n n ∞-=-∑．解：因级数111(1)n n n ∞∞-==-=∑发散，但由莱布尼茨定理可知，原级数满足1n n u u +=>=，且0n →∞=，所以原级数收敛且为条件收敛．2．1211(1)n n n∞-=-∑ ． 解：因级数1221111(1)n n n n n∞∞-==-=∑∑收敛，所以原级数绝对收敛．3．11(1)1n n nn ∞+=-+∑ ． 解：因1lim(1)1n n nn +→∞-+不存在，故原级数发散． 4．11sin27n n n π∞=∑ ．解：11sin 272n n n π≤，而级数112n n ∞=∑是收敛的等比级数，故根据比较审敛法可知，级数11sin 27n n n π∞=∑收敛，故原级数绝对收敛．【例10-5】求下列幂级数的收敛半径和收敛域． 1．11(1)nn n x n∞-=-∑ ． 解：因111limlim 11n n n na n a nρ+→∞→∞+===，所以收敛半径11R ρ==，故收敛区间为(1,1)-．又当1x =-时，原级数即为11()n n ∞=-∑，发散；当1x =时，原级数即为111(1)n n n∞-=-∑，收敛，故原级数的收敛域为(1,1]-． 2．0!nn x n ∞=∑ ．解：因111(1)!limlim lim 011!n n n n na n a n n ρ+→∞→∞→∞+====+，所以收敛半径R =+∞，故级数的收敛域为(,)-∞+∞．3．0!n n n x ∞=∑ ． 解：因1(1)!limlim !n n n n a n a n ρ+→∞→∞+===+∞，所以收敛半径0R =，即级数仅在点0x =处收敛． 4．2121n nn x n ∞=+∑ ． 解：因12212222(1)(1)1limlim lim 22(1)11n n n n n n na n n a n n ρ++→∞→∞→∞+++====+++，所以收敛半径112R ρ==，故收敛区间为11(,)22-．又当12x =-时，原级数即为21(1)1n n n ∞=-+∑，收敛；当12x =时，原级数即为2111n n ∞=+∑，收敛，故原级数的收敛域为11[,]22-．【例10-6】求下列幂级数的收敛域．1．1(1)2nnn x n ∞=-⋅∑ ．解：这是非标准形式的幂级数，我们用比值审敛法．令 11(1)1(1)2lim 1(1)22n n n n nx x n x n ++→∞--+⋅=<-⋅，则12x -<，故当13x -<<时级数收敛，当1x <-或3x >时级数发散．当1x =-时，原级数即为1(1)nn n ∞=-∑，收敛；当3x =时，原级数即为11n n∞=∑，发散．因此原级数的收敛域为[1,3)-． 2．211(1)21n nn x n +∞=-+∑ ．解：这是非标准形式的幂级数，我们用比值审敛法．令 231221(1)23lim 1(1)21n n n n nxn x xn +++→∞-+=<-+，则当11x -<<时级数收敛，当1x <-或1x >时级数发散．当1x =-时，原级数即为111(1)21n n n ∞+=-+∑，收敛；当1x =时，原级数即为11(1)21nn n ∞=-+∑，也收敛．因此原级数的收敛域为[1,1]-．【例10-7】求下列幂级数的和函数． 1．11n n nx∞-=∑ ．解：先求幂级数的收敛域． 令1(1)lim 1nn n n x x nx-→∞+=<，可得收敛区间为(1,1)-．当1x =-时，原级数即为1(1)nn n ∞=-∑，发散；当1x =时，原级数即为1n n ∞=∑，也发散．因此原级数的收敛域为(1,1)-．再求和函数．设和函数11()n n s x nx ∞-==∑，则2111()()()()1(1)nnn n x s x x x x x ∞∞=='''====--∑∑， (1,1)x ∈-．2．2111(1)21n n n x n -∞-=--∑ ．解：先求幂级数的收敛域．令 212211(1)21lim 1(1)21n nn n n x n x xn +-→∞--+=<--，可得收敛区间为(1,1)-．当1x =-时，原级数即为11(1)21nn n ∞=--∑，收敛；当1x =时，原级数即为111(1)21n n n ∞-=--∑，也收敛．因此原级数的收敛域为[1,1]-．再求和函数．设和函数2111()(1)21n n n x s x n -∞-==--∑，则12224122211()(1)1(1)1n n n n n s x xx x xx ∞----='=-=-+-+-+=+∑，故[]2001()arctan arctan 1xxs x dx x x x ===+⎰， [1,1]x ∈-．3．111(1)n n x n n ∞+=+∑． 解：先求幂级数的收敛域．令 211(1)(2)lim 11(1)n n n x n n x x n n +→∞+++=<+，可得收敛区间为(1,1)-．当1x =-时，原级数即为111(1)(1)n n n n ∞+=-+∑，收敛；当1x =时，原级数即为11(1)n n n ∞=+∑，也收敛．因此原级数的收敛域为[1,1]-．再求和函数．设和函数111()(1)n n s x x n n ∞+==+∑，(1,1)x ∈-，则11111111()(1)(1)n n n n n n s x x x x n n n n n∞∞∞++===''⎡⎤⎡⎤'===⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦∑∑∑，1111111()()()1n n n n n n s x x x x n n x ∞∞∞-===''''====-∑∑∑， 故[]001()ln(1)ln(1)1x xs x dx x x x'==--=---⎰，[]0()ln(1)(1)ln(1)x s x x dx x x x =--=--+⎰，[1,1)x ∈-． 当1x =时，原级数即为11(1)n n n ∞=+∑，令 1111223(1)n s n n =+++⋅⋅+， 则11111111112233411n s n n n =-+-+-+-=-++， 所以1(1)lim lim(1)11n n n s s n →∞→∞==-=+，故原幂级数的和函数为 1,1()(1)ln(1),11x s x x x x x =⎧=⎨--+-<<⎩ ． 4．1(1)nn n n x∞=+∑ ．解：先求幂级数的收敛域．令 1(1)(2)lim 1(1)n n n n n x x n n x+→∞++=<+，可得收敛区间为(1,1)-．当1x =-时，原级数即为1(1)(1)nn n n ∞=-+∑，发散；当1x =时，原级数即为1(1)n n n ∞=+∑，也发散．因此原级数的收敛域为(1,1)-．再求和函数．设和函数1()(1)n n s x n n x ∞==+∑，则1111111()(1)(1)()()()n nn n n n n n s x x n n xx n x x x x x ∞∞∞∞-++===='''''=+=+==∑∑∑∑222322()[]1(1)(1)x x x x x x x x x -'''===---，(1,1)x ∈-．【例10-8】将下列函数展开成相应的幂级数． 1．将函数21()32f x x x =-+展开成关于x 的幂级数． 解：11111()()(1)(2)1212(1)2f x x x x x x x ==--=-------， 而 011nn x x ∞==-∑（1x <），01()212n n x x ∞==-∑（12x <，即2x <）， 所以1000111()(1)222nn n n n n n n f x x x x ∞∞∞+====-=-∑∑∑，1x <．2．将函数21()32f x x x =++展开成关于(4)x +的幂级数． 解：11111()(1)(2)123(4)2(4)f x x x x x x x ==-=-++++-++-++ 111144321132x x =-⋅+++--． 因 011n n x x ∞==-∑（11x -<<）， 故 011(4)4313nnn x x ∞==++-∑ （4113x +-<< 即 71x -<<-）， 011(4)4212n n n x x ∞==++-∑ （4112x +-<< 即 62x -<<-）， 从而001111()(4)(4)3322nn n n n n f x x x ∞∞===-+++∑∑11011()(4)23nn n n x ∞++==-+∑， 62x -<<-．【历年真题】一、选择题1．（2010年，1分）lim 0nn u →∞=是级数1n n u ∞=∑收敛的 条件（ ）（A ）必要 （B ）充分 （C ）充分必要 （D ）不确定 解：根据收敛级数的性质，lim 0nn u →∞=是级数1n n u ∞=∑收敛的必要条件．选项（A ）正确．2．（2009年，1分）幂级数13(1)3n nnn x ∞=+-∑的收敛半径是（ ） （A ）6 （B ）32（C ）3 （D ）13解：原幂级数即为1333n n n x x ∞=⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑，由13x ≤及13x-≤可得，3x ≤，故级数的收敛半径为3，选项（C ）正确．3．（2008年，3分）数项级数21sin n an n∞=∑（a 为常数）是（ ）级数 （A ）发散的（B ）条件收敛（C ）绝对收敛（D ）敛散性由a 确定 解：因22sin a an n n ≤，而级数 21n a n∞=∑收敛，故原级数绝对收敛．选项（C ）正确．4．（2007年，3分）数项级数1(1)[1cos ]nn a n ∞=--∑（其中a 为常数）是（ ） （A ）发散的 （B ）条件收敛（C ）收敛性根据a 确定 （D ）绝对收敛解：级数1(1)[1cos ]nn a n ∞=--∑加绝对值后的级数为1(1cos )n an ∞=-∑，对于此正项级数，由于2222211cos 2limlim 112n n a a a n n n n →∞→∞-⋅==为常数，而级数211n n∞=∑收敛，故级数1(1cos )n an ∞=-∑也收敛，所以原级数绝对收敛．选项（D ）正确． 5．（2005年，3分）幂级数1(1)(1)nnn x n ∞=--∑的收敛区间是（ ）（A ）(0,2]（B ）(1,1]- （C ）[2,0]- （D ）(,)-∞+∞解：令111(1)(1)()1lim lim 11(1)()(1)n n n n n n n nx u x n x x u x n+++→∞→∞--+==-<-- 可得，02x <<，故级数的收敛区间为(0,2)．又当0x =时，原级数即为11n n∞=∑，发散；当2x =时，原级数即为11(1)nn n∞=-∑，收敛，故原级数的收敛域为(0,2]．选项（A ）正确． 二、填空题1．（2010年，2分）幂级数1!nn x n ∞=∑的收敛区间为 ．解：因111(1)!limlim lim 011!n n n n na n a n n ρ+→∞→∞→∞+====+，故1R ρ==+∞，所以原幂级数的收敛区间为(,)-∞+∞．2．（2006年，2分）函数1()12f x x=+在1x =处展开的泰勒级数是 ．解：因01(1)1n n n x x ∞==-+∑，故1111()21232(1)31(1)3f x x x x ===⋅++-+- 10012(2)(1)[(1)](1)333n n n n n n n x x ∞∞+==-=--=-∑∑．其中，21(1)13x -<-<，即1522x -<<．3．（2006年，2分）幂级数11(1)(2)12nnnn x ∞=--+∑在0.6x =处的敛散性是 ． 解：令 11111(1)(2)()112lim lim 211()2(1)(2)12n n n n n n n n n nx u x x u x x ++++→∞→∞--+==-<--+，可得04x <<，即收敛区间为(0,4)，故幂级数在0.6x =处是收敛的．说明：此题也可将0.6x =代入原幂级数，判定对应的常数项级数的敛散性．三、计算题1．（2009年，5分）求幂级数231(1)23nn x x x x n--+-+-+的收敛半径和收敛域．解：原级数即为11(1)n n n x n ∞-=-∑．因111(1)1limlim 11(1)nn n n n n a n a n ρ+→∞→∞--+===-，故收敛半径11R ρ==，收敛区间为(1,1)-．又当1x =-时，原级数即为11()n n ∞=-∑，发散；当1x=时，原级数即为111(1)n n n∞-=-∑，收敛．故原级数的收敛域为(1,1]-． 2．（2008年，7分）将函数1()3f x x=-展开成(2)x -的幂级数． 解：因011nn x x ∞==-∑，故011()(2)31(2)n n f x x x x ∞====----∑． 其中，121x -<-<，即13x <<．3．（2007年，7分）求幂级数1(1)n n n x ∞=-∑的收敛区间与和函数． 解：令11()(1)(1)lim lim 11()(1)n n n n n nu x n x x u x n x ++→∞→∞+-==-<-，可得02x <<，故幂级数的收敛区间为(0,2)．21设 1()(1)n n s x n x ∞==-∑，则 111()(1)(1)(1)n n n n s x n x x n x ∞∞-===-=--∑∑ 101(1)(1)(1)(1)(1)n n n n x x x x x x x ∞∞==''-⎡⎤⎛⎫'⎡⎤=--=--=- ⎪⎣⎦⎢⎥-⎝⎭⎣⎦∑∑ 22(1)(1)1(1)x x x x x x---⋅--=-⋅=， 02x <<． 4．（2006年，4分）判定级数21(1)(1)nn n n ∞=-+∑的敛散性． 解：此级数为交错级数，其中2(1)n n u n =+． 由于3322123221(1)331(2)1(2)44(1)n n n u n n n n n n u n n n n nn +++++++===<++++，即1n n u u +<，且2lim lim 0(1)n n n n u n →∞→∞==+，故此交错级数符合莱布尼茨定理的条件，故该级数收敛．。
无穷级数
第十章 无穷级数一、本章结构图⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧→⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧→⎪⎩⎪⎨⎧→函数的幂级数展开收敛半径、收敛区间和函数求解幂级数函数项级数发散条件收敛绝对收敛敛散性判定交错级数根值审敛法比值审敛法比较审敛法敛散性判定正项级数常数项级数无穷级数二、基本概念1．无穷级数：设给定一个数列1u ，2u ，， n u ，，则由这数列构成的表达式12n u u u ++++称为无穷级数，简称级数，记为1nn u∞=∑，即121nn n uu u u ∞==++++∑其中n u 称为级数的一般项（或通项），2．级数1n n u ∞=∑前n 项的部分和：级数1n n u ∞=∑的前n 项的和，记作n S3．级数的和：若级数1n n u ∞=∑的部分和数列{}n S 的极限存在，即lim n n S S →∞=,则称级数1nn u∞=∑收敛，S 为级数1nn u∞=∑的和，记为121nn n uu u u S ∞==++++=∑如果lim n n S →∞不存在，则称级数1nn u∞=∑发散4．正项级数：如果级数1nn u∞=∑的每一项都是非负数，即0(1,2,)n u n ≥=，则称此级数为正项级数5．交错级数：如果各项是正负交错的级数，可以写成下面的形式1234u u u u -+-+-或 1234u u u u -+-+其中1u ，2u ，都是正数，则称此级数为交错级数6．绝对收敛：如果级数1nn u∞=∑各项的绝对值所构成的正项级数1nn u∞=∑收敛，则称级数1nn u∞=∑绝对收敛7．条件收敛：如果级数1nn u∞=∑收敛，而级数1nn u∞=∑发散，则称级数1nn u∞=∑条件收敛8．函数项级数：如果给定一个定义在区间I 上的函数列12(),(),,(),n u x u x u x ，则称有这个函数列构成的表达式121()()()nn n uu x u x u x ∞==++++∑ （1）为定义在区间I 上的函数项无穷级数，简称函数项级数9．收敛点：对于任意的0x I ∈，函数项级数就成为常数项级数1()nn u x ∞=∑，若此常数项级数收敛，则称点0x 是函数项级数的收敛点；若常数项级数发散，则称点0x 是函数项级数的发散点10．收敛域：函数项级数的所有收敛点的全体称为它的收敛域；所有发散点的全体称为它的发散域11．和函数：在收敛域上，函数项级数的和是x 的函数()S x ，称()S x 为函数项级数的和函数，这个函数的定义域就是级数的收敛域，即12()()()()n S x u x u x u x =++++12．幂级数：形如2012nn a a x a x a x +++++的级数称为幂级数，记作nn n a x∞=∑，其中012,,,,,n a a a a 都是常数，称为幂级数的系数13．幂级数收敛半径：对于幂级数nn n a x∞=∑，若存在正数R ，使得当x R <时，幂级数绝对收敛；使得当x R >时，幂级数发散；当x R =与x R =-时，幂级数可能收敛也可能发散，这个正数R 称为幂级数nn n a x∞=∑的收敛半径，收敛域内的最大开区间),R R -（称为幂级数nn n a x∞=∑的收敛区间14．泰勒级数：如果函数)(x f 在点0x 的某邻域内具有任意阶导数，有泰勒公式可知，函数)(x f 将展成幂级数+-++-''+-'+n n x x n x f x x x f x x x f x f )(!)()(!2)())(()(00)(200000称以上幂级数为函数)(x f 在点0x 处的泰勒级数，其系数称为函数)(x f 在点0x 处的泰勒系数三、基本定理1．收敛级数的基本性质：（1）如果级数1n n u ∞=∑收敛于S ，则它的各项同乘以一个常数k 所得的级数1n n ku ∞=∑也收敛，且级数1nn ku∞=∑收敛于kS（2）如果级数1n n u ∞=∑，1n n v ∞=∑分别收敛于1S 和2S ，则级数1()n n n u v ∞=±∑也收敛，且级数1()nn n uv ∞=±∑收敛于12S S ±（3）在级数1n n u ∞=∑中任意去掉、增加或改变有限项，级数的敛散性不会改变，但对于收敛级数，其和将受到影响（4）如果级数1n n u ∞=∑收敛，则任意加括号后得到的级数1121111()()()k k n n n n n u u u u u u -++++++++++++仍收敛，其和不变（5）如果加括号后所得的级数发散，则原来级数也发散 （6）级数收敛的必要条件：若级数1nn u∞=∑收敛，则它的一般项n u 趋于零，即lim 0n n u →∞=（7）lim 0n n u →∞≠（包括极限不存在），则级数1nn u∞=∑必发散2、正项级数审敛法（1）正项级数1nn u∞=∑收敛的成分必要条件是它的部分和数列有界（2）比较审敛法：设级数1nn u∞=∑和1nn v∞=∑都是正项级数，且(1,2,)n n u v n ≤=，若级数1nn v∞=∑收敛，则级数1nn u∞=∑收敛；反之，若级数1nn u∞=∑发散，则级数1nn v∞=∑发散（3）设级数1nn u∞=∑和1nn v∞=∑都是正项级数，如果级数1nn v∞=∑收敛，且存在自然数N ，使当n N ≥时，有(0)k n u kv k ≤>成立，则级数1nn u∞=∑收敛；若级数1nn v∞=∑发散，且当n N≥时，有(0)k n u kv k ≥>成立，则级数1nn u∞=∑发散（4）设级数1n n u ∞=∑是正项级数，如果有1p >，使1(1,2,)n p u n n ≤=，则级数1nn u ∞=∑收敛；如果1(1,2,)n u n n≥=，则级数1n n u ∞=∑发散（5）比较审敛法的极限形式：设级数1nn u∞=∑和1nn v∞=∑都是正项级数，如果lim (0)nn nu l l v →∞=<<+∞，则级数1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑有相同的敛散性 （6）比值审敛法：若正项级数1n n u ∞=∑的后项与前项的比的极限等于ρ，即1lim n n nu u ρ+→∞=，则当1ρ<时级数收敛；当1ρ>（或1lim n n nu u +→∞=∞）时级数发散；当1ρ=时级数可能收敛也可能发散，要用其他方法判定（7）根值审敛法：设级数1nn u∞=∑是正项级数，如果它的一般项n u 的n 次根的极限等于ρ，即n ρ=，则当1ρ<时级数收敛；当1ρ>（或n =∞）时级数发散；当1ρ=时级数可能收敛也可能发散 3、交错级数审敛法莱布尼茨定理：如果交错级数11(1)n n n u ∞-=-∑满足条件1(1,2,)n n u u n +≥=及lim 0n n u →∞=，则级数收敛，且其和1S u ≤，其余项n r 的绝对值1n n r u +≤4、绝对收敛与条件收敛的关系如果级数1nn u∞=∑绝对收敛，则级数1nn u∞=∑一定收敛 （逆定理不成立）5、幂级数收敛域的定理（1）阿贝尔定理：如果幂级数nn n a x∞=∑，当00(0)x x x =≠时收敛，则适合不等式0x x <的一切x 使次幂级数绝对收敛。
第十章 无穷级数
解
该级数收敛 该级数发散，故收敛域是 .
∴ 收敛区间 .
，∴ 故收敛域为 。
例2求幂级数 的收敛半径。
解:1)若 因为对一切 ,而调和级数 发散,由比较审敛法可知p级数 发散。
2)若 因为当 时, 故
考虑级数 的部分和
故级数收敛,由比较审敛法知p级数收敛。
结论：若 都有
则 发散； 则 收敛。
例2.证明级数 发散。
证:
而级数 发散，根据比较审敛法可知,所给级数发散。
定理3.(比较审敛法的极限形式)设两正项级数 满足 则有
的收敛性问题，通常是化为研究级数
的敛散性问题，即转化为正项级数的敛散性问题．
下面讨论级数 与 敛散性之间的关系。
定理7绝对收敛的级数一定收敛。
证:设 收敛，令
显然 ,且 根据比较审敛法 收敛,
而 、 都收敛，所以 也收敛。
注：如果级数 发散时，级数 不一定发散。例如级数 是发散的，但级数 却是收敛的。
解:考虑加括号后的级数
项通 ，
发散,从而原级数发散。
性质5（级数收敛的必要条件）设收敛级数 则必有
证: ，
注:若级数的一般项不趋于0 ,则级数必发散。
例如, 其一般项为 ，
当 时, 不趋于0,因此这个级数发散。
注: 并非级数收敛的充分条件.
如,调和级数 ，虽然 但此级数发散。
事实上,假设调和级数收敛于S,则 ，但
基本内容
一、函数项级数的概念
定义1设 是定义在区间 上的函数列，则称
为定义在区间I上的函数项级数．
对于区间 内每一点 ，函数项级数既为常数项级数
．
若级数 收敛，则称点x0为函数项级数 的收敛点，级数 的收敛点的全体，称为该级数的收敛域．若级数 发散，则称点x0为函数项级数 的发散点．
第十章 无穷级数1
n
1
)
lim s n lim
n
1 2
(1
1 2 .
1 2n 1
)
1 2
1 2
12
级数收敛 , 和为
即
s
常数项级数的概念
例 证明调和级数
1 n
1
1 2
1 3
1 n
n 1
发散。 (重要) 证明 反证： 假设调和级数收敛，且其和为s. 则
n
当n充分大时, s n s
误差为 | rn |
7
常数项级数的概念
例 判定级数 1 2 3 n 的敛散性。 解 级数的部分和 而
sn 1 2 3 n 2 n( n 1) lim s n lim n n 2
n1
数列 s n 有极限 s , 即 lim s n s . 则称无穷级数
u 收敛, 这时极限s叫做级数 u 的和.
n
n
n 1
n 1
并写成 s u1 u2 un
如果 s n 没有极限 , 则称无穷级数
n
u
n1
n
发散 .
即 lim sn存在 (不存在) 常数项级数收敛(发散).
这样, 级数(1)对应一个部分和数列:
s1 u1 , s2 u1 u2 , s3 u1 u2 u3 ,
sn u1 u2 un ,
,
5
常数项级数的概念
部分和数列可能存在极限,也可能不存在极限. 定义 当 n 无限增大时 , 如果级数
第十章 无穷级数2正项级数的收敛判别法
(1) 当 0 h 时,若 vn收敛,则 un收敛;
n1
n1
(2) 当 0 h 时,若 vn发散,则 un发散.
n1
n1
例3
讨论下列级数的收敛性:
(1)
2n 1
;
n1 (n 1)(n 2)(n 3)
(2) sin 1 ;
n1
n
(3) (1 cos ), (0 ).
在a, A 上可积,若极限 lim A f ( x)dx 存在,则称函数 A a
f
(x)
在a,
上的无穷积分 a
f
( x)dx 收敛.并将上
述极限值定义为无穷积分的值,即
A
f ( x)dx lim f ( x)dx
a
A a
若无极限,则称无穷积分发散.
定理 6 (积分判别法)
设 un为正项级数.若存在一个单调下降的非负 n1
数学分析II
第十章 无穷级数
§2 正项级数的收敛判别法
生物数学教研室
定义: 当 un 0 (n 1,2,) 时, un称正项级数. n1
<注>: 正项级数的部分和序列Sn是单调递增的.
命题: 正项级数 un收敛 其部分和序列有上界. n1
1. 比较判别法
定理 1 ( 比较判别法 )
设两正项级数 un与 vn的一般项满足
n2
1 n(ln n)
p
发散.
当
p 1 时,由比较判别法
1 n(ln n) p
1 (n nln n
3),
级数
n2
1 n(ln n)
p
发散.
当 p 1 时,
A 2
1 x(ln x) p
第十章 无穷级数1 柯西收敛原理与数项级数的概念
也收敛,并收敛于cS .
❖ 设有两级数 ak 与 bk .若存在一个 N ,使得
k 1
k 1
ak bk , 当 k N ,
则两个级数敛散性相同.
❖ 将收敛级数的项任意加括号所成的新级数,仍然收
敛到原级数的和. (反之不成立!)
Remark:
1. 级数收敛与否,与前有限项的取值无关.
2. 设 ak收敛, bk发散,则 (ak bk ) 一定发散.
k 1
k 1
k 1
设 ak发散, bk发散,则 (ak bk ) 不一定发散.
k 1
k 1
k 1
例如: (1)n 发散, (1)n1发散.
n1
n1
思考题
判断级数
1
n1 n(n 1)(n 2)
是否收敛;若收敛,求其和.
思考题答案
an
1 2
( n1
n
1
) 1
( n
1
1
n
1
2)
数学分析II
第十章 无穷级数
§1 柯西收敛原理与数项级数的概念
生物数学教研室
1. Cauchy收敛原理
定理 1 (Cauchy收敛原理)
Cauchy序列
设an是一个序列,则an有极限的充要条件是:
0, N , s.t. 当 n N , m N 时,有
an am .
定理 2 (函数的Cauchy收敛原理)
4 3
n1
P1
n 1,2,
An
An1
3{4n2
[(
1 )n1 9
A1
]}
A1
3
1 9
A1
3
4
(1)2 9
第十章 无穷级数
当 p 1时收敛; 解 当
当
p 1
时, 有
1 而 n 1 n
1 1 , p n n
发散.
1 所 以 p 发 散 n 1 n
calculus
当
p 1 时;
1 1 因 为n 1 x n时 ， 有 p p , 所 以 n x
n 1 1 dx p p n 1 n n
故当 n 时,
n 与
sk n
的极限同时存在或不存在.
所以级数(1)与(2)具有相同的敛散性. 其它情况类似可证.
calculus
例如,
2 与 3 n 2
均收敛.
n
2 3 n 0
n
具有相同的敛散性,
n
但收敛和不同
2 1 3 1 2 / 3 3, n 0 n 2 2 2 ( ) 3 n 2 3 1 2/ 3
lim Sn lim n( n 1)
n
n( n 1) 2
n
2
所以,级数发散.
calculus
例2. 判别级数 的敛散性.
解
1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 n( n 1)
1 1 1 1 Sn 1 2 2 3 3 4 n ( n 1)
calculus
性质3
收敛级数加括号后所得新级数仍收敛, 且收敛和不变
证
设
u1 u2 u3 u4 u5
(1) (2)
加括号后得
(u1 u2 ) (u3 u4 u5 )
(2)的前m项和相当于(1)的前n 项和.
第十章 无穷级数 复习
满足 lim un1 l,
u n n
则
(1)当l 1时级数收敛;
(2)当l 1时级数发散;
(3)当l 1时级数可能收敛也可能发散。
§2 正项级数的收敛判别法
5.正项级数的柯西判别法(根值判别法)
定理4：若正项级数 u n n 1
(1)当l1时级数收敛;
满足
limn
n
un
l,
则
(2)当l1时级数发散;
(1)由级数 v n 收敛可断定级数 u n 也收敛；
n 1
n 1
(2)由 u n 发散可断定 v n 也发散。
n 1
n 1
正项级数的比较判别法
1
n1 n p
P级数 当 当pp 11时 时,,
收敛 发散
§2 正项级数的收敛判别法
定理2(比较判别法的极限形式)：设有两正项级数 u n
n 1
任意项级数
正项级数
注意
un发散|un |发散。
n1
n1
一般而言，由 | u n | 发散，并不能推出 u n 发散
i1
i1
如 (1)n 1
n1
n
1 例如 i 1 n
发散 但 (1)n 1 收敛
n1
n
如果 | u n | 发散是由比值法和根值法而审定
i 1
则 u n 必定发散， 这是因为比值法与根值法
k1
则级数 a k bk 收敛。 k 1
§3 任意项级数
3.狄利克莱判别法与阿贝尔判别法 (4)阿贝尔判别法 定理6：若无穷数列{ak}单调且有界而
级数 b k 收敛，则级数 a k bk 收敛。
n 1
k 1
常数项级数审敛法
第十章 无穷级数
第十章 无穷级数一、概念 1.定义无穷数列}{n u 中：∑∞==++++121......n nn uu u u无穷数列}{n u 的各项之和∑∞=1n n u 叫无穷级数，简称级数。
n u 叫∑∞=1n n u 的一般项（通项）；......21++++n u u u 为展开式。
【例】 ①∑∞=++++⨯+⨯=+1...)1(1 (3)21211)1(1n n n n n②...ln ...3ln 2ln 1ln ln 1+++++=∑∞=n n n③ (32321)++++=∑∞=nn nnee e e ne④ (3)2321++++=∑∞=nxxxx nxnn n2.级数的分类⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∑∞=),1x u u u n n n n （其中函数项级数：（数项级数）是具体数字常数项级数：每一项都①两个特殊的数项级数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥⋅-≥∑∑∞=∞=0,1011n n n n n n n u u u u ）（交错级数：中，正项级数： ②一个特殊的函数项级数∑∞=1)(n n x u 中，nn n x a x u ⋅=)(（常数乘以x 的幂级数），即∑∞=1n n n x a 称为幂级数。
3.级数∑∞=1n n u 的收敛与发散前n 项和n n u u u S +++= (21)数列}{n S 叫∑∞=1n n u 的部分和数列。
敛散性：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=→∑∑∑∑∞=→∞∞=∞=∞=→∞→∞发散不存在，则若分和数列的极限）要求级数的和，即求部的和，记为叫收敛，则存在（若1111lim ()lim lim n nn n n nn n n nn n n n uS Suu S uS S S【例】①∑∞=+1)1(1n n n111)111(...)3121()211()1(1 (3212)11+-=+-++-+-=+++⨯+⨯=n n n n n S n 1lim =∞→n n S ，∑∞=+∴1)1(1n n n 收敛②∑∞=1ln n n!ln ln ...2ln 1ln n n S n =+++=+∞=∞→n n S lim ，∑∞=∴1ln n n 发散4.几何级数与-p 级数（1）∑∞=-11n n aq 几何级数，首项a ，公比qqq a aqaq a S nn n --=++=-1)1( (1)∞→n 时：⎪⎪⎪⎪⎨⎧∞→⎩⎨⎧=⋅-+-+-=-=∞→∞→===-不存在时时n n n n S n aa a a a S q S n na S qq 0)1(...,1,,11||1Ⅰ：1||<q ，0lim =∞→nn q ，qa S n n -=∞→1limⅡ：1||>q ，∞=∞→nn q lim ，∞=∞→n n S limⅢ：【例】①111)21(2121-∞=∞=⋅=∑∑n n n n收敛 n nnn S 211211)211(2121 (2)1212-=--=+++=∴1lim =∞→n n S②1111)35(3135-∞=∞=-⋅=∑∑n n n nn ，135>=q 发散（2）-p 级数⇒≤⇒>发散收敛11p p ∑∞=131n n收敛∑∑∞=∞==121111n n n n发散调和级数 (3)121111+++=∑∞=n n发散二、级数的性质1.∑∞=1n nu与∑∞=1n n ku 具有相同敛散性（0≠k ）【例】∑∞=14n n发散，∑∞=-125n n收敛2.在∑∞=1n n u 中增加、减少、改变有限项不改变敛散性。
(高数详解1-10章全部)10第十章无穷级数
第十章无穷级数【考试要求】1．理解级数收敛、发散的概念．掌握级数收敛的必要条件，了解级数的基本性质．2．掌握正项级数的比值审敛法．会用正项级数的比较审敛法．3．掌握几何级数、调和级数与p级数的敛散性．4．了解级数绝对收敛与条件收敛的概念，会使用莱布尼茨判别法．5．了解幂级数的概念，收敛半径，收敛区间．6．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和、差、逐项求导与逐项积分）．7．掌握求幂级数的收敛半径、收敛区间的方法．【考试内容】一、常数项级数的相关概念 1．常数项级数的定义一般地，如果给定一个数列 1u ，2u，，n u，，则由这数列构成的表达式123n u u u u +++++叫做常数项无穷级数，简称常数项级数或级数，记为1nn u∞=∑，即1231n n n u u u u u ∞==+++++∑，其中第n 项n u 叫做级数的一般项． 2．常数项级数收敛、发散的概念作常数项级数1nn u ∞=∑的前n 项和121nn n i i s u u u u ==+++=∑，ns 称为级数1nn u ∞=∑的部分和，当n 依次取1,2,3,时，它们构成一个新的数列11s u =，212s u u =+，3123s u u u =++，，1n s u =，． 如果级数1nn u ∞=∑的部分和数列{}n s 有极限s ，即lim n n s s →∞=，则称无穷级数1n n u ∞=∑收敛，这时极限s 叫做这级数的和，并写成123n s u u u u =+++++或者1nn us ∞==∑；如果{}n s 没有极限，则称无穷级数1n n u ∞=∑发散．3．收敛级数的基本性质（1）如果级数1nn u ∞=∑收敛于和s ，则级数1nn ku ∞=∑也收敛，且其和为ks ．一般地，级数的每一项同乘一个不为零的常数后，它的收敛性不变． （2）如果级数1nn u ∞=∑、1nn v ∞=∑分别收敛于和s 、σ，则级数1()nn n uv ∞=±∑也收敛，且其和为s σ±． （3）在级数1nn u ∞=∑中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性．（4）如果级数1nn u ∞=∑收敛，则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变． （5）如果级数1nn u ∞=∑收敛，则它的一般项n u 趋于零，即lim 0n n u →∞=． 说明：此条件称为级数收敛的必要条件．由原命题成立逆否命题一定成立可得，如果lim n n u →∞不为零，则级数1n n u ∞=∑一定发散．4．几个重要的常数项级数（1）等比级数级数21nnn q q q q ∞==++++∑或 21nnn q q q q ∞==+++++∑称为等比级数或几何级数，其中q 叫做级数的公比．其收敛性为：当1q <时，级数收敛；当1q ≥时级数发散． （2）调和级数级数11111123n nn∞==+++++∑ 称为调和级数，此级数是一个发散级数． （3）p 级数级数11111123p p p pn nn ∞==+++++∑称为p 级数，其中常数0p >．其收敛性为：当1p >时，级数收敛；当1p ≤时级数发散．二、正项级数的审敛法 1．比较审敛法设1n n u ∞=∑和1nn v ∞=∑都是正项级数，且存在正数N ，使当n N ≥时有n n u v ≤成立．若级数1nn v ∞=∑收敛，则级数1n n u ∞=∑收敛；如果级数1nn u ∞=∑发散，则级数1nn v ∞=∑也发散． 2．比较审敛法的极限形式设1nn u ∞=∑和1nn v ∞=∑都是正项级数．（1）如果lim nn nu l v →∞=，0l ≤<+∞，且级数1n n v ∞=∑收敛，则级数1nn u∞=∑收敛；（2）如果lim nn nu l v →∞=，0l <≤+∞，且级数1n n v ∞=∑发散，则级数1nn u ∞=∑发散．说明：极限形式的比较审敛法，在两个正项级数的一般项均趋于零的情况下，其实是比较它 们的一般项作为无穷小的阶．上述结论表明，当n →∞时，如果n u 是与n v 同阶或是比n v 高阶的无穷小，而级数1n n v ∞=∑收敛，则级数1nn u∞=∑收敛；如果n u 是与n v 同阶或是比n v 低阶的无穷小，而级数1nn v ∞=∑发散，则级数1nn u ∞=∑发散． 3．比值审敛法（达朗贝尔判别法）设1nn u∞=∑为正项级数，如果1lim n n nu u ρ+→∞=，则当1ρ<时级数收敛；1ρ>（或1limn n nu u +→∞=+∞）时级数发散；1ρ=时级数可能收敛也可能发散．4．根值审敛法（柯西判别法）设1nn u ∞=∑为正项级数，如果lim n ρ→∞=，则当1ρ<时级数收敛；1ρ>（或lim n →∞=+∞）时级数发散；1ρ=时级数可能收敛也可能发散．三、交错级数及其审敛法1．交错级数的概念所谓交错级数是这样的级数，它的各项是正负交错的，从而可以写成下面的形式：1234u u u u -+-+=，或12341(1)nnn u u u u u ∞=-+-+-=-∑ ，其中1u ，2u，都是正数．2．交错级数的审敛法—莱布尼茨定理如果交错级数11(1)n nn u ∞-=-∑满足条件：（1）1n n u u +≥ （1,2,3,n =）；（2）lim 0n n u →∞=．则级数收敛．四、绝对收敛与条件收敛 1．绝对收敛与条件收敛对于一般的级数12n u u u ++++ ，它的各项为任意实数．如果级数1nn u ∞=∑各项的绝对值所构成的正项级数1nn u ∞=∑收敛，则称级数1nn u ∞=∑绝对收敛；如果级数1n n u ∞=∑收敛，而级数1nn u ∞=∑发散，则称级数1n n u ∞=∑条件收敛．例如，级数1211(1)n n n ∞-=-∑是绝对收敛级数，而级数111(1)n n n ∞-=-∑是条件收敛级数．对于绝对收敛级数，我们有如下结论：如果级数1nn u ∞=∑绝对收敛，则级数1nn u ∞=∑必定收敛．这说明，对于一般的级数1nn u ∞=∑，如果我们用正项级数的审敛法判定级数1nn u ∞=∑收敛，则此级数一定收敛．这就使得一大类级数的收敛性判定问题，转化为正项级数的收敛性 判定问题． 2．重要结论一般说来，如果级数1nn u ∞=∑发散，我们不能断定级数1nn u ∞=∑也发散．但是，如果我们用比值审敛法或根值审敛法根据1lim 1n n nu u ρ+→∞=>或lim 1n ρ→∞=>判定级数1n n u ∞=∑发散，则我们可以断定级数1nn u ∞=∑必定发散（这是因为从1ρ>可推知n →∞时n u 不趋于零，从而n →∞时n u 也不趋于零，因此级数1nn u ∞=∑发散）． 五、幂级数 （一）函数项级数1．函数项级数的定义如果给定一个定义在区间I 上的函数列 1()u x ，2()u x ，，()n u x ，，则由这函数列构成的表达式123()()()()n u x u x u x u x +++++称为定义在I 上的函数项无穷级数，简称函数项级数．2．收敛域、发散域、和函数对于每一个确定的值0x I ∈，函数项级数1()n n u x ∞=∑成为常数项级数102030()()()u x u x u x +++．如果该常数项级数收敛，就称点0x 是函数项级数1()n n u x ∞=∑的收敛点；如果该常数项级数发散，就称点0x 是发散点．函数项级数1()n n u x ∞=∑的收敛点的全体称为收敛域，发散点的全体称为发散域．对应于收敛域内的任意一个常数x ，函数项级数成为一收敛的常数项级数，因而有一确定的和s ．这样，在收敛域上，函数项级数的和是x 的函数()s x ，通常称()s x 为函数项级数的和函数，这函数的定义域就是级数的收敛域，并写成 123()()()(s x u x u x u x=++ ．（二）幂级数及其收敛性1．幂级数的定义函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都是幂函数的函数项级数，即所谓幂级 数，形式为012nn n a x a a x a x ∞==++∑，其中常数0a ，1a ，2a ，，n a ，叫做幂级数的系数． 2．阿贝尔定理 如果级数nn n a x ∞=∑当0x x =（00x ≠）时收敛，则适合不等式0x x <的一切x 使这幂级数绝对收敛．反之，如果级数nnn a x ∞=∑当0x x =时发散，则适合不等式0x x >的一切x 使这幂级数发散．由上述定理可以推出，如果幂级数nn n a x∞=∑不是仅在0x =一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个确定的正数R 存在，使得当x R <时，幂级数绝对收敛；当x R >时，幂级数发散；当x R =或x R =-时，幂级数可能收敛也可能发散．正数R 叫做幂级数的收敛半径，开区间(,)R R -叫做幂级数的收敛区间．3．求收敛半径及收敛区间的方法 （1）对于标准形式的幂级数nnn a x ∞=∑或1nnn a x ∞=∑，有如下方法：如果1lim n n na a ρ+→∞=，其中n a 、1n a +是幂级数0nn n a x ∞=∑的相邻两项的系数，则这幂级数的收敛半径1,0,00,R ρρρρ⎧≠⎪⎪⎪=+∞=⎨⎪=+∞⎪⎪⎩ ．（2）对于非标准形式的幂级数0()n n u x ∞=∑或1()nn u x ∞=∑（如202!nnn x n ∞=∑或0(1)2n nn x n ∞=-∑），方法如下：令1()lim 1()n n nu x u x +→∞<，得到x 的范围，然后再求x 的两个边界值所对应的常数项级数的敛散性即可．（三）幂级数的和函数 1．幂级数和函数的性质 性质 1 幂级数n n n a x ∞=∑的和函数()s x 在其收敛域I 上连续．性质 2 幂级数n n n a x ∞=∑的和函数()s x 在其收敛域I 上可积，并有逐项积分公式0000()xxn n n n s x dx a x dx ∞∞==⎡⎤==⎢⎥⎣⎦∑∑⎰⎰ （x I ∈），逐项积分后所得到的幂级数和原来的幂级数有相同的收敛半径．性质 3 幂级数nnn a x ∞=∑的和函数()s x 在其收敛区间(,)R R -内可导，并有逐项求导公式()00()n n n n n n s x a x a x ∞∞==''⎛⎫'=== ⎪⎝⎭∑∑（x R <），逐项求导后所得到的幂级数和原来的幂级数有相同的收敛半径． 2．幂级数和函数的求法（“先导后积”或“先积后导”）当幂级数的一般项形如(1)nxn n +时，可用先求导后求积分的方法求其和函数；当幂级数的一般项形如2(21)n n x +、1n nx -等形式，可用先求积分后求导的方法求其和函数．3．常用的幂级数展开式 （1）2111n nn x x x x x ∞===+++++-∑，11x -<<；（2）21(1)11n n n x x x x ∞==-=-+-++∑，11x -<<．【典型例题】【例10-1】用比较法或其极限形式判别下列级数的敛散性． 1．11n ∞=∑． 解：因1141lim lim 12n n n n n→∞→∞-==，而调和级数11n n∞=∑发散，故原级数发散．2．213n n ∞=-∑ ．解：因222233lim lim 31n n n n n n n →∞→∞-==-，而级数211n n∞=∑是收敛的p 级数，故原级数收敛．3．1352nn nn ∞=-∑ ．解：因33552lim lim 152335nn n n n n n n nn n →∞→∞-=⋅=-⎛⎫ ⎪⎝⎭，而级数135nn ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑是收敛的等比级数，故原级数收敛．4．11sin n n ∞=∑ ．解：因 1sin lim 11n n n→∞=，而调和级数11n n ∞=∑发散，故原级数发散． 5．11(1cos )n n ∞=-∑ ．解：因 211cos1lim 12n n n→∞-=，而级数211n n∞=∑是收敛的p 级数，故原级数收敛．6．32tan n nn π∞=∑ ．解：因2222tan lim lim 211n n n n n n n n πππ→∞→∞⋅==，而级数211n n∞=∑是收敛的p 级数，故原级数收敛．7．312(1)n n n n ∞=++∑ ．解：因333322(1)lim lim 11(1)n n n n n n n n n n→∞→∞+++=⋅=+，而级数311n n∞=∑是收敛的p 级数，故原级数收敛．8．111nn a∞=+∑ （0a >）． 解：当1a =时， 111lim lim 0122n n n a →∞→∞==≠+，故原级数发散；当01a <<时，11lim lim 10110n n n a →∞→∞==≠++，故原级数发散；当1a >时，因11lim lim 111n n n n n n a a aa →∞→∞+==+，而级数11nn a∞=∑是收敛的等比级数，故原级数收敛．【例10-2】利用比值审敛法判别下列级数的敛散性．1．1(1)!2nn n ∞=+∑ ． 解：因11(2)!(2)!22lim lim (1)!2(1)!2n n n n n n n n n n ++→∞→∞++=⋅=++，故原级数发散．2．213n n n∞=∑ ．解：因221212(1)(1)313lim lim 1333n n n n n n n n n n ++→∞→∞++=⋅=<，故原级数收敛．3．1135(21)3!nn n n ∞=⋅⋅⋅⋅-⋅∑ ．解：因1135(21)(21)3(1)!limlim 135(21)3!n n n nn n n n n +→∞→∞⋅⋅⋅⋅-⋅+⋅+=⋅⋅⋅⋅-⋅，故原级数收敛．4．110!nn n ∞=∑ ．解：因111010!(1)!lim lim 0110(1)!10!n n n n n n n n n n ++→∞→∞+=⋅=<+，故原级数收敛．5．1212nn n ∞=-∑ ． 解：因112121212lim lim 2122122n n n n n n n n n n ++→∞→∞++=⋅=<--，故原级数收敛． 6．21sin2nn nπ∞=∑ ． 解：因22sin22limlim 1122nnn n nnn n πππ→∞→∞==⋅，故原级数与级数212n n n∞=∑敛散性相同．对于级数212n n n∞=∑，因221212(1)(1)212lim lim 1222n n n n n n n n n n ++→∞→∞++=⋅=<，故级数212n n n∞=∑收敛，所以原级数也收敛．【例10-3】利用根值审敛法判别下列级数的敛散性．1．12(1)2nnn ∞=+-∑ ． 解：111lim lim lim 22nn n n e→∞→∞→∞==，故原级数收敛．2．11[ln(1)]nn n ∞=+∑ ． 解：lim lim lim ln(1n n n →∞→∞→∞==，故原级数收敛．【例10-4】判定下列级数的敛散性，如果是收敛的，判定是绝对收敛还是条件收敛． 1．111(1)n n ∞-=-∑ ． 解：因级数11111(1)n n n ∞∞-==-=∑∑发散，但由莱布尼茨定理可知，原级数满足111n n u u +=>=，且1lim 0n →∞=，所以原级数收敛且为条件收敛． 2．1211(1)n n n∞-=-∑ ．解：因级数1221111(1)n n n n n∞∞-==-=∑∑收敛，所以原级数绝对收敛．3．11(1)1n n nn ∞+=-+∑ ．解：因1lim(1)1n n n n +→∞-+不存在，故原级数发散．4．11sin 27n n n π∞=∑ ．解：11sin 272n n n π≤，而级数112nn ∞=∑是收敛的等比级数，故根据比较审敛法可知，级数11sin 27n n n π∞=∑收敛，故原级数绝对收敛．【例10-5】求下列幂级数的收敛半径和收敛域． 1．11(1)nn n xn∞-=-∑． 解：因111lim lim 11n n n na n a nρ+→∞→∞+===，所以收敛半径11R ρ==，故收敛区间为(1,1)-．又当1x =-时，原级数即为11()n n ∞=-∑，发散；当1x =时，原级数即为111(1)n n n ∞-=-∑，收敛，故原级数的收敛域为(1,1]-．2．0!nn xn ∞=∑ ．解：因111(1)!lim lim lim11!n n n n na n a n n ρ+→∞→∞→∞+===+，所以收敛半径R =+∞，故级数的收敛域为(,)-∞+∞．3．0!nn n x ∞=∑． 解：因1(1)!lim lim !n n n na n a n ρ+→∞→∞+===+∞，所以收敛半径0R =，即级数仅在点0x =处收敛．4．2121n nn x n ∞=+∑ ． 解：因12122(1)1limlim lim 21n n n n n n na n a n ρ++→∞→∞→∞++===+，所以收敛半径112R ρ==，故收敛区间为11(,)22-．又当12x =-时，原级数即为21(1)1n n n ∞=-+∑，收敛；当12x =时，原级数即为2111n n ∞=+∑，收敛，故原级数的收敛域为11[,]22-．【例10-6】求下列幂级数的收敛域．1．1(1)2nnn x n ∞=-⋅∑ ．解：这是非标准形式的幂级数，我们用比值审敛法．令 11(1)1(1)2lim 1(1)22n n n n n x x n x n ++→∞--+⋅=<-⋅，则12x -<，故当13x -<<时级数收敛，当1x <-或3x >时级数发散．当1x =-时，原级数即为1(1)n n n ∞=-∑，收敛；当3x =时，原级数即为11n n∞=∑，发散．因此原级数的收敛域为[1,3)-．2．211(1)21n nn xn +∞=-+∑ ．解：这是非标准形式的幂级数，我们用比值审敛法．令 231221(1)23lim 1(1)21n n n n n xn x x n +++→∞-+=<-+，则当11x -<<时级数收敛，当1x <-或1x >时级数发散．当1x =-时，原级数即为111(1)21n n n ∞+=-+∑，收敛；当1x =时，原级数即为11(1)21nn n ∞=-+∑，也收敛．因此原【例10-7】求下列幂级数的和函数． 1．11n n nx∞-=∑ ．解：先求幂级数的收敛域．令 1(1)lim 1nn n n xx nx-→∞+=<，可得收敛区间为(1,1)-．当1x =-时，原级数即为1(1)nn n ∞=-∑，发散；当1x =时，原级数即为1n n ∞=∑，也发散．因此原再求和函数．设和函数11()n n s x nx ∞-==∑，则11()()()()1nnn n xs x x x x ∞∞=='''====-∑∑， (1,1)x ∈-．2．2111(1)21n n n xn -∞-=--∑ ． 解：先求幂级数的收敛域．令212211(1)21lim 1(1)21n nn n n x n x x n +-→∞--+=<--，可得收敛区间为(1,1)-．当1x =-时，原级数即为11(1)21nn n ∞=--∑，收敛；当1x =时，原级数即为111(1)21n n n ∞-=--∑，也收敛．因此原级数的收敛域为[1,1]-．再求和函数．设和函数2111()(1)21n n n xs x n -∞-==--∑，则 122241()(1)1n n n s x xx x ∞--='=-=-+-∑， 故[]2001()arctan arct 1xxs x dx x x ===+⎰， [1,1]x ∈-．3．111(1)n n x n n ∞+=+∑． 解：先求幂级数的收敛域． 令211(1)(2)lim 11(1)n n n xn n x xn n +→∞+++=<+，可得收敛区间为(1,1)-．当1x =-时，原级数即为111(1)(1)n n n n ∞+=-+∑，收。
第十章无穷级数小结
∑ |u
n=1
∞
n
| 收 敛 u n 敛 ∑ 收
n=1
∞
∑| u
n =1
∞
n
| 发散
∑ u 发散
n =1 n
∞
补充定理 如果任意项级数
∑u
n =1
∞
n
= u1 + u2 + un +
un +1 lim =l n →∞ un
满足条件
当l < 1时级数绝对收敛,当l > 1时级数发散
命题3 命题3:不一致收敛的极限形式: 一致收敛的极限形式:
设函数序列{ Sn ( x )}在区间I 上收敛到极限函数S ( x ).若存在 点列xn ∈ X ( n = 1, 2,), 使得 lim[ Sn ( xn ) S ( xn )] = k ≠ 0,
n →∞
则{ Sn ( x )}在X 上不一致收敛.
若 u n > 0, 则称
∑1 u n 是 正 项 n=
∞
∞
级数
1.
n =1
收 ∑ un(un > 0)收敛 部分和数列有界
∞
2. 比较判别法: ∑ un ( un > 0),
则
∑vn 收敛 n=1
∞
n =1
∑1 u n 收敛 n=
∞
∞
n =1
∑ v n (ν n > 0),
∞
un ≤ v n ,
部分和数列: Sn = ∑ui = u1 + u2 + + un
i =1
n
敛散性: 敛散性: 若
记为
n→ ∞
lim S n = S ,
第十章 无 穷 级 数
1 1 1 2 2 3 1 ( x x )dx ( x x )dx 0 2 0
( x n 1 x n )dx
0
1
1 1 1 2 2 3 3 4 1 n(n 1)
上的函数族 {un ( x)}
n1
n 1
与数项级数类似，若定义在相同区间 I [a, b] ，称和式
u1 ( x) u2 ( x) un ( x)
为函数项级数。
简单地说，无穷级数就是无穷多项数或函数相加的 理论，它是高等数学的重要内容之一。无穷级数在数学 的各个分支中都有重要应用，如： 近似计算公式：
为级数的余项. 显然
例1 判别级数
n 的敛散性。
n 1
n 1 例2 判别级数 ln 的敛散性。 n n 1
例3 讨论等比级数 (又称几何级数 geometric series)
( q 称为公比 ) 的敛散性. 解: 1) 若 q 1 则部分和
a lim S q 1 时，n n 1q a 因此级数收敛 , 其和为 1 q lim S n , q 1 时，
证: 令 S n
n
n 1
k 1
uk ,
n
则 n c uk c S n ,
cS
lim n
这说明
c un 收敛 , 其和为 cS .
注: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .
3 1 例6 求级数 ( n ) 的和。 2 n 1 n( n 1)
回顾：广义积分
1
p 1 时，收敛。 p 1 时，发散。
高等数学：第十章 无穷级数1-2
1 45
1 n(n 1)
也是收敛的
3.收敛级数的性质
(4)将收敛级数的项任意加括号后所成的新级数， 仍然收敛到原级数的和（无穷和的结合律）。
注意: 如果加括号后所成的级数收敛 则 不能断定去括号后原来的级数也收敛。
例如: 级数(11)+(11) + 收敛, 但级数1-11-1 却是发散的.
推 论 如果加括号后所成的级数发散, 则原来级数也发散.
k
1
ak收敛
lim
n
Sn存在.
设 lim n
Sn
S.则有
Sn S，Sn-1 S.
从而 an Sn Sn1 0.
2.数项级数及其收敛性概念
(4)级数收敛的充要条件 定理4：对于任意给定的ε>0，存在一 个N,使得
n p
| ak | ,只要n N , p 1. k n1
定理4的证明：
n
便有 0 1 (n ) 2
这是不可能的.
级数发散 .
1
n1 n
调和级数的部分和
sn
1
1 2
1 n
1
把每一项看成是以 n 为高 以 1 为底的的矩形面积
sn 就是图中 n 个矩形的面积之和
由定积分的几何意义 这块面积显然大于定积分
n1 1dx 即
1x
Sn
1
1 2
1 n
n1 1dx ln( n 1) ,
n1
2.数项级数及其收敛性概念
(2)无穷级数的收敛与发散 ㄥ?在亩ý
仪讯 n? Í
篇 ¶ 恐停 , 艨滞蛐{Sn} 蝎轘 蚱? ý
詹移S? 怫? Ç
.琨祸? 恐万衶Sn }恍 蚱? ⅲ
n
第十章无穷级数
第十章 无穷级数讲授内容：§10-1 常数项级数的概念与性质教学目的与要求：1．数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念. 2．掌握级数的基本性质及收敛的必要条件.教学重难点：重点——级数收敛与发散概念，尤其是级数收敛的必要条件.难点——用级数收敛性及基本性质判别一些级数收敛性问题.教学方法: 讲授法.教学建议：通过实际的例子（学生原有的知识背景），抽象内容和具体例子的结合，比较自然地引入级数的基本概念；学时：2 教学过程:一．常数项级数的概念1. 定义:设有数列u 1,u 2,…,u n …，称∑∞=1n u n = u 1+u 2+…+u n +…为常数项级数.其中 u n 称为级数的通项(或一般项或第n 项);S n = u 1+u 2+…+u n 称为级数的部分和(或前n 项和); {S n }称为级数的部分和数列. 由部分和数列{S n }的敛散性有: 2. 定义:若∞→n lim S n =s 存在,称级数∑∞=1n u n 收敛,s 称为此级数的和,记为: u 1+u 2+…+u n +…=∑∞=1n u n = s ；否则称此级数发散(或此级数不存在和).当级数收敛于和s 时,称 r n = s －S n =u n+1+u n+2+… 为级数的余项.称|r n |为用S n 代替s 所产生的误差.例1. 讨论等比级数(几何级数)∑∞=0n aq n =a+aq+aq 2+…+aq n+…(a ≠0)的敛散性.解: 当q ≠1时,S n = a+aq+aq 2+…+aq n -1=qaq a n--1 当|q |<1时, ∞→n lim s n =q a -1,所以级数收敛,其和为s=qa -1; 当|q |>1时,级数发散;当q =1时, S n =n a , 级数发散; 当q =－1时,由于S 2n =0,S 2n +1=a (≠0),所以级数发散.综合得:∑∞=0n aq n=⎪⎩⎪⎨⎧≥<-1|| ,1|| ,1q q q a发散 例2. 判别级数∑∞=1n )1(1+n n =211∙+321∙+…+)1(1+n n +…的敛散性.解: 由于u n =)1(1+n n =n 1-11+n ,所以,S n =1－11+n →1 于是级数收敛于和1.例3. 讨论调和级数∑∞=11n n 的敛散性.解:假设级数收敛于和s,则有,S n →s,S 2n →s, (n →∞),从而: S n －S 2n →0,(n →∞) 又:S n －S 2n =11+n +21+n +…+n 21≥n 21+n 21+…+n 21=21所以 S n －S 2n 0(n →∞)于是级数发散. 二．收敛级数的性质性质1. 设Σun =s,则Σkun=ks(k为常数)证明:设Σun 和Σkun的部分和分别为Sn和σn,则σn=kSn.由Sn →s,得σn=kSn→ks(n→∞)又当k≠0时,若{Sn }不存在极限,则{Sn}也不存在极限.由此得到:级数的每一项同乘以一个不为零的常数后,它的敛散性不变.性质2. 若Σun =s,Σvn=σ,则Σ(un±vn)=s±σ.证明:设Σun 、Σvn和Σ(un± vn)的部分和分别为Sn、σn和τn,则τn =Sn±σn→s±σ(n→∞).从而得到:两个收敛的级数可以逐项相加和逐项相减.发散的级数不满足此条性质,例如当a≠0时,级数Σa和Σ(－a)都发散,但Σ[a+(－a)]=0.性质3. 在级数中去掉、加上、或改变有限项,级数的敛散性不变.证明:只需证明“在级数的前面部分去掉或加上有限项,不会改变级数的敛散性”,其它情形(即在级数中任意去掉、加上或改变有限项的情形)都可以看成在级数的前面部分先去掉有限项,然后再加上有限项的结果.将级数u1+u2+…+uk+ uk+1+uk+2+…+uk+n+…的前k项去掉,得新级数:uk+1+uk+2+…+uk+n+…设Σun 的部分和为Sn,则新级数的部分和为σn=u k+1+u k+2+…+u k+n=S n+k－S k由于Sk 为常数,所以{σn}和{Sn+k}同时收敛或同时发散.同样可以证明在级数的前面加上有限项,也不会改变级数的敛散性.性质4. (级数收敛的必要条件)若级数Σun收敛,则有un→0(n→∞)证明:设Σu n 的部分和为S n ,且S n →s(n →∞),则u n =S n －S n －1→s －s=0(n →∞)由此可知,若u n 0(n →∞),则级数Σu n 必定发散. 例4、∑∞=+1n 12n 1-n发散，∵ 02112n 1n lim a lim n n n ≠=+-=∞→∞→ 例5、∑∞=-1n n n3n 3 发散，∵ 013n 3lim n nn ≠-=-∞→注意: 当u n →0(n →∞),级数Σu n 也不一定收敛.例如01lim =∞→n n ,但∑∞=11n n是发散的.作业: 高等数学C 类练习册习题56 教学后记:1.常数项级数的基本概念2.基本审敛法(1)由定义,若S n →s 则级数收敛; (2)当u n 0,则级数发散;(3)按基本性质.教学参考书:《高等数学》，第四版，同济大学数学教研室主编，高等教育出版社 《高等数学习题课教程》，张小柔等编，科学出版社 《新编高等数学导学》，蔡子华等编，科学出版社 《高等数学习题课讲义》，梅顺治等编，科学出版社思考题:设∑∞=1n nb与∑∞=1n nc都收敛，且n n n c a b ≤≤),2,1( =n ，能否推出∑∞=1n na收敛？讲授内容：§10-2 常数项级数的审敛法教学目的与要求：掌握数项级数收敛性的判别方法.教学重难点：重点——正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，数的莱布尼兹判别法，绝对收敛与条件收敛的概念.难点——任意项级数收敛性的判别方法.教学方法:讲授法教学建议：与学生互动，让学生真正理解几种收敛法学时：2教学过程:一．正项级数及其审敛法1.定义:若级数Σun 满足un≥0,则称此级数为正项级数.2.定理1.正项级数收敛的充分必要条件为其部分和数列{Sn}有界.证明:设Σun (un≥0)的部分和数列为{Sn},则显然{Sn}单调上升即有:S1≤S2≤…≤Sn≤….若{Sn}有界,则由单调有界数列必有极限可知,{Sn }必定有极限,从而Σun收敛;若Σun 收敛,则{Sn}必定有极限,由收敛数列必有界可知,数列{Sn}有界.注:若正项级数Σun 发散,则必定有:Sn→∞,（n→∞）定理2.（比较审敛法）设Σun 和Σvn都是正项级数,且un≤vn（n=1,2,…）.1) 若级数Σvn 收敛,则级数Σun也收敛;2) 若级数Σun 发散,则级数Σvn也发散.证明:设Σun 和Σvn的部分和分别为Sn和σn.由un≤vn（n=1,2,…）可知:Sn=u1+u2+…+un≤σn=v1+v2+…+vn,1) 若级数Σvn 收敛,则{σn}有界,从而{Sn}有界,所以级数Σun收敛;2)若级数Σun 发散,则级数Σvn也发散.因为若级数Σvn 收敛,则级数Σun也收敛;与假设矛盾.推论1. 设Σu n 和Σv n 都是正项级数:1)若级数Σv n 收敛,且存在自然数N,使当n ≥N 时有u n ≤kv n (k>0)成立,则级数Σu n 收敛;2)若级数Σv n 发散,且当n ≥N 时有u n ≥kv n (k>0)成立,则级数Σu n 发散. 例1.讨论p —级数∑∞=11n pn的敛散性,其中常数p >0. 解: 当p ≤1时,由于1/n p≥1/n ,而∑∞=11n n 发散,所以∑∞=11n p n 发散; 当p >1时,因为当n －1≤x ≤n 时,有p p x n 11≤,所以p n 1=⎰-n n pdx n 11≤⎰-nn p dx x 11=11-p ⎥⎦⎤⎢⎣⎡----111)1(1p p n n (n =2,3,…) 但正项级数∑∞=2n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡----111)1(1p p n n 的部分和为:S n =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--1211p +⎥⎦⎤⎢⎣⎡---113121p p +…+⎥⎦⎤⎢⎣⎡----111)1(1p p n n =1-1)1(1-+p n →1(n →∞)所以∑∞=11n p n 收敛. 即 当p ≤1时, ∑∞=11n p n发散; 当p >1时,∑∞=11n pn收敛.由此得到与p —级数相比较的: 推论2. 设Σu n 是正项级数:1) 若有p>1,使u n ≤1/n p (n=1,2,…)则Σu n 收敛; 2) 若u n ≥1/n p (n=1,2,…) 则Σu n 发散. 例2.判别下列级数的敛散性:1)∑∞=+-+12121)1(n n n n n解:由于2121)1(+-+n n n n < 11+-n n n n =21n ,而∑∞=121n n收敛,所以原级数收敛.2)∑⎰∞=+1121n n dx xx解:由于dx x x n ⎰+1021<dx x n⎰10<⎰n dx n 101=231n ,而∑∞=12/31n n收敛, 所以原级数收敛. 3)∑∞=++1211n n n 解:由于:112++n n >n n n ++21=n 1(n ≥2)而∑∞=11n n发散,所以原级数发散.定理3.（比较审敛法的极限形式）设Σu n 和Σv n 都是正项级数,若∞→n limnnv u =l （0<l <+∞）则级数Σu n 和级数Σv n 同时收敛或同时发散. 证明:设ε= l/2,由∞→n limnnv u =l 可知:存在自然数N,当n ＞N 时有: l-2l <n nv u <l+2l , ⇒ 2l v n <u n <23l 由比较法的推论1可知:级数Σu n 和级数Σv n 同时收敛或同时发散. 注:（特殊情形）1) 当l =0时,若级数Σv n 收敛,则级数Σu n 收敛; 2) 当l =+∞时,若级数Σv n 发散,则级数Σu n 发散; 例3.判别下列级数的敛散性1）n nn pπsin 11∑∞= 解: 因为1sin 1lim+∞→p p n n nn ππ=nnn ππsinlim ∞→=1所以n nn p πsin 11∑∞=与∑∞=+11n p n π具有相同的敛散性.又∑∞=+11n p nπ当p >0时收敛, 当p ≤0是发散,所以nnn pπsin11∑∞= 当p >0时收敛, 当p ≤0是发散.2）∑∞=++-+112ln)1(n n n n n 解: 因为∞→n lim 2/3112ln)1(n n n n n ++-+=nn n n n n ++++∞→112lnlim 2/3 =111)111ln(1111lim++++++∞→n n n n nn 所以原级数收敛. 3）∑∞=11n nnn解:因为11lim 11lim==∞→∞→n n n n nn n n ,所以原级数收敛.或n n =n n n1111个-∙∙∙<n n n 1)1(∙-+=nn 12-<2.所以n nn 1>n21 定理4.(比值判别法)若正项级数Σu n 的后项与前项之比值的极限等于ρ, 即:∞→n limnn u u 1+=ρ, 则1) 当ρ＜1时,级数收敛;2) 当ρ＞1(或ρ=+∞)时,级数发散; 3) 当ρ=1时,级数可能收敛也可能发散.证明:1) 当ρ＜1时,取正数ε,使ρ+ε=r ＜1,由∞→n limnn u u 1+=ρ知: 存在正数N,当n ≥N 时,有 nn u u 1+＜ρ+ε=r , 即u n +1＜ru n ,从而:u N+1＜ru N ,u N+2＜ru N+1＜r 2u N ,…,u n ＜r n -N u N ,…由于等比级数:ru N +r 2u N +…+r n -N u N +…收敛 (|r|<1) 所以由比较法可知级数u N+1+u N+2+…+u n +…收敛.从而Σu n 收敛.2）当ρ>1时,取正数ε,使ρ-ε=l >1,由∞→n limnn u u 1+=ρ知: 存在正数N,当n ≥N 时,有 nn u u 1+>ρ-ε=l , 即u n +1>lu n >u n从而当n ≥N 时{u n }单调增加. 所以u n0,(n →∞)[事实上u n →∞,当n →∞]于是级数Σu n 发散.3）当ρ=1时,Σu n 可能收敛,也可能发散.例如:p —级数:∑∞=11n p n对于∀p,有:nn n u u 1lim +∞→11)1(1lim=+=∞→pp n n n , 但 当p>1时级数收敛,当p ≤1时级数发散.注: 当用比值判别法判断级数发散时,由定理的证明中可以看出,级数通项u n →∞,n →∞.例4.判别下列级数的收敛性:1）∑∞=+123tan)1(n nn π解: ∵nn n u u 1lim+∞→=n n n n n 3tan )1(3tan )2(lim 212ππ+++∞→=31<1, ∴ 级数收敛.2）∑∞=1!22n nn解:∵nn n u u 1lim +∞→=!2)!1(2lim22)1(n n nn n ++∞→=142lim +∙∞→n n n =+∞, ∴级数发散. 3）∑∞=++++++1)1()12)(1()1()12)(1(n nb b b na a a (a ＞0,b ＞0) 解:∵nn n u u 1lim+∞→=1)1(1)1(lim ++++∞→b n a n n =b a∴ 当a ＜b 时,级数收敛;当a ＞b 时,级数发散; 当a =b 时,有u n =1,级数发散. 4）∑∞=∙-12)12(1n nn 解:由于nn n u u 1lim+∞→=1,所以不能用比值法判断.∵212)12(1nn n <∙-∴级数收敛.二.交错级数及其审敛法1. 定义: 称∑∞=--11)1(n n n u =u 1-u 2+u 3-u 4+…+(-1)n -1u n +…(u n ＞0)或∑∞=-1)1(n nnu =-u 1+u 2-u 3+u 4-…+(-1)n u n +… (u n ＞0)为交错级数.2．定理5.(莱布尼茨(Leibniz)定理) 如果交错级数∑∞=--11)1(n n n u 满足条件:1) u n ≥u n +1(n =1,2,…); 2) n n u ∞→lim =0则级数收敛,且其和s ≤u 1,其余项的绝对值满足:|r n |≤u n +1. 证明:设级数的部分和为S n ,则S 2n =(u 1-u 2)+(u 3-u 4)+…+(u 2n －1-u 2n ) （1） S 2n = u 1-(u 2-u 3)-…-(u 2n －2-u 2n －1)-u 2n（2）由条件1）可知:（1）、（2）两式中括号内两数的差都是非负的,于是 由（1）知: {S 2n }单调上升,且S 2n ≥0;由（2）知: S 2n ≤u 1;根据单调有界数列必有极限可知数列{S 2n }存在极限,记为s. 且显然s ≤u 1.又由于S 2n +1= S 2n + u 2n +1, 而u 2n +1→0,(n →∞) 所以:S 2n +1= S 2n + u 2n +1→s ,(n →∞). 由于:S 2n +1→s , S 2n →s ,(n →∞),所以:S n →s (n →∞).即交错级数收敛,且其和s ≤u 1.又由于此时余项: r n =±(u n +1-u n+2+u n+3-u n+4+…)所以:|r n |=u n +1-u n+2+u n+3-u n+4+…也是一个交错级数,且满足交错级数的条件,从而且和应小于级数的第一项,即有: |r n |≤u n +1. 例5.判断级数∑∞=--111)1(n n n的敛散性. 解:由于u n =1/n ＞1/(n +1)= u n +1,且u n →0,(n →∞),所以级数收敛. 且知其和s ＜1,以s n =1-21+31-…+n n 1)1(1--代替s 产生的误差r n 满足|r n |≤1/(n +1).例6.判断级数∑∞=--11ln )1(n n nn 的敛散性.解: 级数为交错级数,由于x x x ln lim+∞→=xx 1lim +∞→=0, 所以n x u +∞→lim =nnx ln lim+∞→=0;设 f (x )=xxln , 则有 2ln 1)(x xx f -=', 故当x ≥3时,有)(x f '≥0,从而当x ≥3时,f (x )单调上升,于是当n ≥3时,有 u n =ln n /n ＞ln(n +1)/(n +1)= u n +1.所以该级数收敛.三．绝对收敛与条件收敛1．定义:对于一般项级数Σu n ,若:1) Σ|u n |收敛,则称级数Σu n 绝对收敛; 2) Σu n 收敛,但Σ|u n |发散,则称Σu n 条件收敛.例如:211)1(n n n ∑∞=-是绝对收敛 ; n n n 1)1(1∑∞=-是条件收敛2．定理6 若Σu n 绝对收敛,则Σu n 必定收敛.证明:设Σu n 绝对收敛,即Σ|u n |收敛.记:W n =21(|u n |+u n ), V n =21(|u n |-u n ). 显然:0≤W n ,V n ≤|u n |,由于Σ|u n | 收敛,所以正项级数 ΣW n 和ΣV n 收敛.因为: u n = W n -V n ,由级数的性质可知:级数 Σu n 收敛.注: 1）上述定理的逆不成立;例如:n n n1)1(1∑∞=-收敛,但∑∞=11n n发散.2）对Σu n 敛散性的判断,可以转化为对正项级数Σ|u n |的敛散性的判断; 3）当Σ|u n |发散时,不能断定Σu n 发散,但当用比值法或根值法得到正项级数Σ|u n |发散时,则可断定级数Σu n 发散.(此时有|u n |0,n →∞),从而un0,(n →∞)例7.判断下列级数的敛散性,并指明是绝对收敛还是条件收敛1）∑∞=+-12)11(21)1(n n nnn 解: 因为∞→n limnn u ||=n n n)11(21lim +∞→=e/2＞1,所以|u n |0,n →∞,从而 un 0,n →∞,因此原级数发散.2）∑∞=-+-11212)1(n n n n解: ∵ ∞→n lim ||||1nn u u +=1222)1(2lim 1+∙++∞→n n n n n =1/2＜1, ∴ Σ|u n |收敛,从而原级数绝对收敛. 3）nn n n n 112)1(11++-∑∞=-解:因为nn n n 1112>++, 而级数∑∞=11n n发散, 所以∑∞=1||n n u =∑∞=++1112n n n n 发散. 由于∞→n limnn n 112++=0,且u n =nn 1)111(++>11)211(+++n n =u n +1, 所以此交错级数满足收敛条件,从而原级数为条件收敛.4）∑∞=1sin1n nn θ解: 由于∞→n lim ||||1nn u u +=∞→n lim nn n n |sin ||sin |11θθ++=|sin θ|所以当|sin θ|＜1,即θ≠2k π±π/2时,级数绝对收敛;当sin θ=1, 即θ=2k π+π/2时,级数发散; 当sin θ=-1, 即θ=2k π-π/2时,级数收敛.5) ∑∞=+-11!2)1(2n nn n解: 由于|un |=!22nn=!)2(nnn>!])11[(nnn+>!)1(nn n+>!nn n>1所以,|un |0,从而,un0.即原级数发散.作业:高等数学C类练习册习题57;高等数学C类练习册习题58 教学后记:1．三个重要的级数：(1) -p级数：∑∞=11npn1≤p（发散）1>p（收敛）(2) 几何级数：∑∞=-11nnaq1≥q（发散）1<q（收敛）(3) ∑∞=--111)1(n nn收敛2．正项级数的审敛法是：比较法，比较法的极限形式，比值法3．交错级数的判定法及绝对收敛，条件收敛教学参考书:《高等数学》，第四版，同济大学数学教研室主编，高等教育出版社《高等数学习题课教程》，张小柔等编，科学出版社《新编高等数学导学》，蔡子华等编，科学出版社《高等数学习题课讲义》，梅顺治等编，科学出版社思考题:设正项级数∑∞=1nnu收敛, 能否推得∑∞=12nnu收敛?反之是否成立?由正项级数∑∞=1nnu收敛，可以推得∑∞=12nnu收敛：nnn uu2lim∞→nnu∞→=lim＝0由比较审敛法知∑∞=12nnu收敛.反之不成立.讲授内容：§ 10-3幂级数教学目的与要求：1．了解幂级数的收敛域的构造及求法.2．掌握利用幂级数的性质求和函数，以及利用和函数求某些数项级数的和教学重难点：重点——幂级数收敛域的求法，求和函数难点——求幂级数的和函数教学方法:讲授法教学建议：利用多媒体教学的直观性，使抽象的内容直观形象学时：2教学过程:一、函数项数的概念1.定义:如果给定一个定义在区间I上的函数列u1(x),u2(x),u3(x)…,un(x),…则由这函数列构成的表达式:u 1(x)+u2(x)+u3(x)+…+un(x)+ (1)称为定义在区间I上的(函数项)级数.对于每一个确定的值xI,函数项级数(1)成为常数项级数u 1(x)+u2(x)+u3(x)+…+un(x)+ (2)这个级数(2)可能收敛也可能发散.如果(2)收敛,称点x是函数项级数(1)的收敛点;函数项级数(1)的所有收敛点的全体称为它的收敛域.如果(2)发散,称点x是函数项数项级数(1)的发散点.函数项级数(1)的所有发散点全体称为它的发散域.对于收敛域内的任意一个数x,函数项级数成为一收敛的常数项级数,因而有一确定的和s.这样,在收敛域上,函数项数项级数的和是x的函数s(x),通常称s(x)为函数项级数的和函数,函数s(x)的定义域就是级数(1)的收敛域,并写成s(x)= u 1(x)+u 2(x)+u 3(x)+…+u n (x)+….称s n (x)= u 1(x)+u 2(x)+u 3(x)+…+u n (x)为函数项级数(1)的前n 项的部分和, 在收敛域上有:∞→n lim s n (x)=s(x)称 r n (x)=s(x)-s n (x)为函数项级数的余项(只有x 在收敛点处r n (x)才有意义),于是有:∞→n lim r n (x)=0.二、 幂级数及其收敛性1. 幂级数的定义:称形如 a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n +…⋯⋯(3) 或 a 0+a 1(x-x 0)+a 2(x-x 0)2+…+a n (x-x 0)n+…⋯⋯(4)的级数为幂级数.其中常数a 0,a 1,a 2,…a n ,…叫做幂级数的系数.级数(4)作代换t=x-x 0可变为级数(3)的形式,因此只讨论级数(3).例如:1+x+x 2+…+…x n +…, 1+x+!21x 2+…+!1n x n +…都是幂级数. 2. 幂级数的收敛域与发散域x 取数轴上哪些点时幂级数收敛,取哪些点是幂级数发散?这就是幂级数的收敛性问题.例1.考察幂级数1+x+x 2+…+x n +… 解: 当|x|<1时,这级数收敛于和x-11; 当|x|≥1时,这级数发散.因此,这幂级数的收敛区域是开区间(-1,1),发散域是(-∞,-1)及[1,+∞].如果x 在区间(-1,1)内取值,则x-11=1+x+x 2+…x n+… 在这个例中这个幂级数的收敛域是一个区间, 事实上,对于一般的幂级数如下定理: 定理1(阿贝尔定理):如果级数∑∞=0n a n x n 当x=x 0(x 0≠0)时收敛,则适合不等式|x|<|x 0|的一切x,这幂级数绝对收敛,反之.如果级数∑∞=0n a n x n当x=x 0时发散,则适合不等式|x|>|x 0|的一切x 这幂级数发散. 证明:设x 0是幂级数(3)的收敛点,即级数a 0+a 1x 0+a 2x 02+…+a n x 0n +…收敛. 根据级数收敛的必要条件,有 ∞→n lim a n x 0n =0,于是存在一个常数M,使得|a n x 0n|≤M (n=0,1,2,…).这样级数(3)的一般项的绝对值|a n x n|=|a n x 0n•n n x x 0|= |a n x 0n |•|0x x |n ≤M|0x x |n因为当|x|<|x 0|时,等比级数∑∞=0n M|x x |n收敛 (公比|x x|<1), 所以级数∑∞=0n |a n x n|收敛, 即级数∑∞=0n a n x n绝对收敛.定理的第二部分可用反证法证明：倘若幂级(3)当x=x 0时发散,而有一点x 1适合|x 1|>|x 0|使级数收敛, 则级数当x=x 0时应收敛,这与假设矛盾,定理得证. 由定理1可知:如幂级数在x=x 0处收敛,则对开区间(-|x 0|,|x 0|)内的任何x,幂级数都收敛; 如幂级数在x=x 0处发散,则对区间[-|x 0|,|x 0|]外的任何x,幂级数都发散. 设已给幂级数在数轴上既有收敛点(不仅是原点)也有发散点.现在从原点沿数轴向右方走,最初只遇到收敛点,然后就只遇到发散点,这两部分的界点可能是收敛点也可能是发散点,从原点沿数轴向左方走也是如此,两个界点p 与p ′在原点的两侧,由定理1可知它们到原点的距离相等. 从上面的几何说明,我们就得到重要的推论: 推论:如果幂级数∑∞=0n a n x n 不是仅在x=0一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个确定的正数R 存在,使得:当|x|<R 是时,幂级数绝对收敛; 当|x|>R 时,幂级数发散;当x=R 与x=-R 时,幂级数可能收敛也可能发散.正数R 通常叫做幂级数(3)的收敛半径.由幂级数在x=±R 处的收敛性可以决定它在区间(-R,R),[-R,R),(-R,R]或[-R,R]上收敛,这区间叫做幂级数(3)的收敛区间.如果幂级数(3)只在x=0处收敛,这时收敛域只有一点x=0,规定收敛半径R=0,并说收敛区间只有一点x=0;如果幂级数(3)对一切x 收敛 ,则规定收敛半径R=+∞,收敛区间是(-∞,+∞). 3. 幂级数的收敛半径求法定理2:如果∞→n lim |n n αα1+|=ρ,其中a n ,a n+1是幂级数∑∞=0n a n x n 的相邻两项的系数,则幂级数的收敛半径:R=⎪⎩⎪⎨⎧+∞==∞+≠ρρρρ ,00 ,,0 ,/1 证明:考察幂级数(3)的各项取绝对值所成的级数|a 0|+|a 1x|+|a 2x 2|+…+|a n x n|+ (5)这级数相邻两项之比为:||||11nn n n x x αα++=|nn αα1+|•|x|. 1) 如果∞→n lim |nn αα1+|=ρ(ρ≠0)存在,根据比值审敛法,则:当ρ|x|<1即|x|<ρ1时,级数(4)收敛,从而级数(3)绝对收敛;当ρ|x|>1即|x|>ρ1时,级数(4)发散,并且从某一个n 开始|a n+1x n+1|>|a n x n|,因此一般项|a n x n|0所以 a n xn从而级数(3)发散,于是收敛半径R=ρ1.2) 如果ρ=0,则对任何x ≠0,有||||11nn n n x x αα++→0(n →∞),所以级数(5)收敛,从而级数绝对收敛,于是R=+∞.3) 如果ρ=+∞,则对于除x=0外的一切x 值,级数(3)必发散,否则由定理1知道将有点x ≠0使级数(5)收敛,于是R=0. 定理3. 如果∞→n limnn a ||=ρ, 则幂级数的收敛半径:R=⎪⎩⎪⎨⎧+∞==∞+≠ρρρρ ,00 ,,0 ,/1证明:对于幂级数∑∞=0n |a n x n |,由于∞→n limnn n x a ||=ρ|x|.因此由根值法可知:当ρ|x|<1即|x|<ρ1时,级数(4)收敛,从而级数(3)绝对收敛;当ρ|x|>1即|x|>ρ1时,级数(4)发散,并且|a n x n |→+∞,因此一般项|a n x n |所以a n x n0,从而级数(3)发散,于是收敛半径R=ρ1.当ρ=0时,对任意的x,级数收敛,且R=+∞.例2.求幂级数x-22x +33x -…+(-1)n-1nx n+…的收敛半径与收敛区间. 解: 因为ρ=∞→n lim |nn αα1+|=∞→n lim 1+n n =1, 所以收敛半径R=ρ1=1.对于端点x=1,级数成为交错级数 1-21+31-…+(-1)n-1n1+…,收敛;对于端点x=-1,级数成为-1-21-31-…-n1-…,发散; 因此,收敛区间是 (-1,1).例3.求幂级数1+x+!21x 2+…+!1n x n+…,的收敛区间. 解:因为 ρ=∞→n lim |nn αα1+|=∞→n lim 11+n =0, 所以收敛半径R=∞,,从而收敛区间是(-∞,+∞). 例4.求幂级数∑∞=0!n n x n的收敛半径(记号0!=1).解: 因为P=∞→n lim |nn αα1+|=∞→n lim !)!1(n n +=+∞, 所以收敛半径R=0,即级数仅在x=0处收敛. 例5.求幂级数∑∞=02)!()!2(n n n x 2n 的收敛半径.解: 级数缺奇次幂的项,定理2不能直接应用,根据比值审敛法来求收敛半径:∞→n limn n x n n x n n 22)1(22)!()!2(:])!1[()]!1(2[+++=4|x|2. 当4|x|2<1即|x|<21时级数收敛; 当4|x|2>1即|x|>21时级数发散,所以收敛半径R=21. 例6.求幂级数∑∞=-12)1(n nnn x 的收敛区间. 解: 令t=x-1,则级数变为 ∑∞=12n n nnt .因为 ρ=∞→n lim |n n αα1+|=∞→n lim )1(221++n nn n =21,所以收敛半径R=2.当t=2时,级数∑∞=11n n 这级数发散; 当t=-2时,级数∑∞=-1)1(n n n ,这级数收敛,因此收敛区间为:-2≤t<2, 即-2≤x-1<2, 或-1≤x<3,所以原级数的收敛区间为 [-1,3). 例7.求幂级数∑∞=1n 2)11(n n+x n 的收敛区间.解: 由于∞→n lim[nn n2)11(+]=e,因此R=1/e.当|x|=1/e 时,由于∞→n lim 2)11(n n+ne 1=∞→n lim n nen ])11([+=e -1/2因此级数的收敛区间为(-1/e,1/e).三、 幂级数的运算1. 设幂级数:a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n +… 及b 0+b 1x+b 2x 2+…+b n x n+…分别在区间(-R,R) 及 (-R ′,R ′) 内收敛,对于这两个幂级数,可以进行下列四则运算:加法: (a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n +…)+(b 0+b 1x+b 2x 2+…+b n x n +…)=(a 0+b 0)+(a 1+b 1)x+(a 2+b 2)x 2+…+(a n +b n )x n +….减法: (a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n +…)- (b 0+b 1x+b 2x 2+…+b n x n +…)=(a 0-b 0)+(a 1-b 1)x+(a 2-b 2)x 2+…+(a n -b n )x n+….根据收敛级数的基本性质,上面两式在(-R,R)与(-R ′,R ′)中较小的区间内成立.乘法: (a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n+…)(b 0+b 1x+b 2x 2+…+b n x n+…)=a 0b 0+(a 0b 1+a 1b 0)x+(a 0b 2+a 0b 2+a 2b 0)x 2+…+(a 0b n +a 1b n-1+…+ a n-1b 1+a n b 0)x n+…这是两个幂级数的柯西乘积,可以证明上式在(-R,R)与(-R ′,R ′)中较小的区间内成立.除法:++++++++++nn n n x b x b x b b x x x 22102210αααα=c 0+c 1x+c 2x 2+…+c n x n+…,假设b 0≠0.为了决定系数c 0,c 1,c 2,…,c n …,可以将级数∑∞=0n nn xb 与∑∞=0n nn xc 相乘,并令乘积中各项系数分别等于级数∑∞=0n n nx α中同次幂的系数,即得:a 0=b 0c 0,a 1=b 1c 0+b 0c 1, a 2=b 2c 0+b 1c 1+b 0c 2, ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯由这些方程就可以顺序地求出c 0,c 1,c 2,…c n ,…. 相除后所得幂级数∑∞=0n nn xc 的收敛区间可能比原来两级数收敛区间小.2. 幂级数的和函数性质: 性质1:设幂级数∑∞=0n n nx α的收敛半径为R(R>0),则其和函数s(x)在区间(-R,R)内连续,如果幂级数在x=R(或x=-R)也收敛,则和函数s(x)在(-R,R)(或[-R,R]连续.性质2:设幂级数∑∞=0n n nx α的收敛半径为R(R>0),则其和函数s(x)在区间(-R,R)内是可导的,且有逐项求导公式:s ′(x)=(∑∞=0n nnx α)′=)(0'∑∞=n nn x α=∑∞=-11n n n x n α其中|x|<R,逐项求导后得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.性质3:设幂级数∑∞=0n n nx α的收敛半径为R(R>0),则其和函数s(x)在区间(-R,R)内是可积的,且有逐项积分公式:⎰xs(x)dx=⎰x[∑∞=0n nn xα]dx=∑∞=0n ⎰xa n x ndx=∑∞=0n 1+n a nx n+1.其中|x|<R,逐项积分后得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径. 例8.求级数∑∞=0n 1+n x n的和函数. 解:此级数的收敛区间为(-1,1).设和函数为s(x)=∑∞=0n 1+n x n, 则有s(0)=1 ,从而: xs(x)=∑∞=0n 11++n x n 于是 [xs(x)]′=∑∞=0n (11++n x n )′=∑∞=0n x n =x -11 -1<x<1.所以: xs(x)=⎰xx-11dx=-ln(1-x) 从而:s(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=<<--0,11||0),1ln(1x x x x例9.求级数∑∞=1n nn3的和. 解:设幂级数∑∞=1n nnx 3的和函数为s(x).由于∞→n lim |nn αα1+|=1/3,所以此级数的收敛半径为:R=3. 当|x|=3时,级数发散,因此级数的收敛区间为(-3,3). 于是s(x)=∑∞=1n n x)3(=x x -3 (|x|<3)从而[s(x)]′=(x x -3)′=2)3(3x -=∑∞=1n n n nx 31-. 令x=1,得:∑∞=1n n n x 3=43. 作业: 高等数学C 类练习册习题59 教学后记:1、函数项级数的概念:2、幂级数的收敛性: 收敛半径R3、幂级数的运算: 分析运算性质教学参考书:《高等数学》，第四版，同济大学数学教研室主编，高等教育出版社 《高等数学习题课教程》，张小柔等编，科学出版社 《新编高等数学导学》，蔡子华等编，科学出版社 《高等数学习题课讲义》，梅顺治等编，科学出版社 思考题幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的收敛域是否也不变？ 不一定,)(12∑∞==n n n x x f ,)(11∑∞=-='n n n x x f ,)1()(22∑∞=--=''n n n x n x f它们的收敛半径都是1, 但它们的收敛域各是)1,1(),1,1[],1,1[---讲授内容：§ 10-4函数展开成幂级数§ 10-5幂级数在近似计算中的应用教学目的与要求：1. 解函数展开成幂级数的充要条件.2. 掌握如何将函数展开成幂级数.3. 了解幂级数在近似计算中的应用.教学重难点：重点——5个基本初等函数的展开式，将函数展开成幂级数 难点——函数展开成幂级数的间接方法教学方法: 讲授法教学建议: 应根据学生的实际情况，对教材中的例题进行增讲、补充. 学时：2 教学过程:一.泰勒级数上节例子中)11()1ln()1(11≤<-+=-∑∞=-x x nx n nn n n nx x ax f )()(00-=∑∞=，是否存在幂级数在收敛域内以)(x f 为和函数？问题：（1）如果能展开，n a 是什么？ （2）展开式是否唯一？ （3）在什么条件下可以展开？1. 泰勒级数定义:给定函数f(x),若存在一个幂级数,在某区间内收敛,且收敛的和函数为f(x),则称函数f(x)在该区间内能展开成幂级数.如果函数)(x f 在)(0x U δ内具有任意阶导数, 且在)(0x U δ内能展开成)(0x x -的幂级数, 即 n n n x x a x f )()(00-=∑∞=则其系数 ),2,1,0()(!10)( ==n x f n a n n且展开式是唯一的. f(x)=f(x 0)+f ′(x 0)(x-x 0)+!2)(0x f ''(x-x 0)2+…+ !)(0)(n x f n (x-x 0)+ ⋯ (1) 证明：因为即内收敛于在),()()(0x f x u x x a nn n-∑∞=+-++-+=n n x x a x x a a x f )()()(0010 逐项求导任意次,得+-++-+='-10021)()(2)(n n x x na x x a a x f +-⋅++=+)(23)1(!)(01)(x x a n n a n x f n n n即得令,0x x = ),2,1,0()(!10)( ==n x f n a n n泰勒系数是唯一的,所以.)(的展开式是唯一的x f2.麦克劳林级数定义在(1)式中取x 0=0,得:f(0)+f ′(0)x+!2)0(f ''x 2+…+!)0()(n f n x n +…,称此级数为函数f(x)的麦克劳林级数.二.函数展开成幂级数1. 直接法将函数f(x)展开成x 的幂级数的方法为:1) 求出f(x)的各阶导数:如果在x=0处的某阶导数不存在,则停止.表明此函数不能展成x 的幂级数;2) 计算: f ′(0),f ′′(0),⋯,f (n)(0),⋯ 3) 写出幂级数,求出收敛半径R. 4) 对端点x=±R 要另外讨论. 例1.将函数f(x)=e x 展成x 的幂级数. 解: 所给函数的各阶导数为: f (n)(x)=e x(n=1,2,…),f (n)(0)=1(n=0,1,2,…),这里记号f (0)(0)=f(0).于是得级数: 1+x+!22x +…+!n x n+…,它的收敛半径R=+∞.e x=1+x+!22x +!33x …+!n x n+…(-∞<x<+∞).例2.将函数f(x)=sin x 展开成x 的幂级数. 解: 给函数的各阶导数为f (n)(x)=sin(x+n ∙2π) (n=1,2,⋯).f (n)(0)顺序循环地取0,1,0,-1,…(n=0,1,2,3,…),于是得级数x-!33x +!55x -…+(-1)n-1)!12(12--n x n +…, 收敛半径R=+∞. 因此得展开式sin x= x-!33x +!55x -…+(-1)n-1)!12(12--n x n +… (-∞<x<+∞). 例3.将函数f(x)=(1+x)m展开成x 的幂级数.其中m 为任意常数.解:f(x)的各阶导数为:f ′(x)=m(1+x)m-1, f ′′(x)=m(m-1)(1+x)m-2,…………………,f (n)(x)=m(m-1)(m-2)…(m -n+1)(1+x)m-n ,………………… f(0)=1, f ′(0)=m,f ′′(0)=m(m-1),…,f (n)(0)=m(m-1)…(m -n+1), … 于是得级数: 1+mx+!2)1(-m m x 2+…+!)1()1(n n m m m +-- x n+….由于:11+-=+n nm n n αα→1(n →∞), 因此,对于任意常数m 这级数在开区间(-1,1),内收敛. 因此在区间(-1,1)内,我们有展开式f(x)=(1+x)m=1+mx+!2)1(-m m x 2+…+!)1()1(n n m m m +-- x n+…. 在区间的端点,展开式是否成立要看m 的数值而定.此公式叫做二项展开式,特殊地,当m 为正整数时,即为二项式定理. 对应于m=21,-21的二项展开式分别为 x +1=1+21x-421∙x 2+64231∙∙∙x 3-8642531∙∙∙∙∙x 4+… (-1≤x ≤1),x+11=1-21x+4231∙∙x 2-642531∙∙∙∙x 3+86427531∙∙∙∙∙∙x 4-… (-1<x≤1).关于x-11,e x ,sin x ,cosx, ln(1+x)和(1+x)m 幂级数展开式可以直接引用.2.间接法:根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法,求展开式. 例4.将函数cosx 展开成x 的幂级数.解:逐项求导:cos x=[sinx]′=1-!22x +!44x -…+(-1)n )!2(2n x n+… (-∞<x<+∞). 例5.将函数211x+展开成x 的幂级数. 解:因为x+11=1-x+x 2-…+(-1)n x n+…(-1<x<1), 把x 换成x 2,得211x+=1-x 2+x 4-…+(-1)n x 2n+…(-1<x<1) 必须指出,假定函数f(x)在开区间(-R,R)内的展开式f(x)=∑∞=0n αn x n (-R<x<R)已经得到,如果上式的幂级数在该区间的端点x=R(或x=-R)仍收敛,而函数f(x)在x=R(或x=-R)处有定义且连续,那末根据幂级数的和函数的连续性,该展开式对x=R(或x=-R)也成立.例6.将函数f(x)=ln(1+x)展开成x 的幂级数. 解:f ′(x)=x+11=1-x+x 2-x 3+…+(-1)n x n +… (-1<x<1),所以将上式从0到x 逐项积分,得:ln(1+x)=x-22x +33x -44x +…+(-1)n 11++n x n +…(-1<x<1). 由于右端的幂级数当x=1时收敛,而ln(1+x)在x=1处有定义且连续.因此展开式对x=1也成立,即有:ln(1+x)=x-22x +33x -44x +…+(-1)n 11++n x n +…(-1<x ≤1). 例7.将函数sin x 展开成(x-4π)的幂级数. 解:因为sin x=sin[4π+(x-4π)] =sin4πcos(x-4π)+cos 4πsin(x-4π)=21[cos(x-4π)+sin(x-4π)], cos(x-4π)=1-!2)4(2π-x +!4)4(4π-x -… (-∞<x<+∞), sin(x-4π)=(x-4π)-!3)4(3π-x +!5)4(5π-x -… (-∞<x<+∞),sin x=21 [1+(x-4π)-!2)4(2π-x -!3)4(3π-x +…] (-∞<x<+∞). 例8.将函数f(x)=3412++x x 展开成(x-1)的幂级数. 解:因为f(x)=3412++x x =)3)(1(1++x x=)1(21x +-)3(21x +=)211(41-+x -)411(81-+x ,)211(41-+x =41[1-21-x +222)1(-x -…(-1)n nnx 2)1(-+…] (-1<x<3),)411(81-+x =81[1-41-x +224)1(-x -…+(-1)n nnx 4)1(-+…] (-3<x<5), 所以: f(x)=3412++x x =∑∞=0n (-1)n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-++3222121n n (x-1)n (-1<x<3).例9.将f(x)=arctanxx-+11展为x 的幂级数. 解: f ′(x)= (arctan xx-+11)′=211x +=∑∞=0n (-1)n x 2nx ∈(-1,1):f(x)=⎰xf ′(t)dt+f(0)=∑∞=0n ⎰x(-1)nx 2ndx+4π=4π+∑∞=0n 12)1(+-n n x 2n+1.当x=±1时,级数为交错级数,且满足收敛条件,从而级数收敛, 即收敛区间为[-1,1]. 从而:arctan x x -+11=4π+∑∞=0n 12)1(+-n n x 2n+1. x ∈[-1,1].三．幂级数在近似计算中的应用例. 计算5240的近似值,误差不超过0.0001.解: 5240=53243-=3(1-431)1/5. 利用二项式展式: 其中m=1/5, x=-1/34. 5240=3(1-43151∙-8231!2541∙∙∙-12331!35941∙∙∙∙-⋯ 取前两项的和作为近似值,则有|r n |=3(8231!2541∙∙∙+12331!35941∙∙∙∙+⋯) <3∙8231!2541∙∙∙[1+811+2811+⋯] =4027251∙∙<200001 因此 5240≈3(1-43151∙)≈2.9926. 作业: 高等数学C 类练习册60教学后记:如何求函数的泰勒级数;泰勒级数收敛于函数的条件;函数展开 成泰勒级数的方法.教学参考书《高等数学》，第四版，同济大学数学教研室主编，高等教育出版社 《高等数学习题课教程》，张小柔等编，科学出版社《新编高等数学导学》，蔡子华等编，科学出版社《高等数学习题课讲义》，梅顺治等编，科学出版社思考题什么叫幂级数的间接展开法？讲授内容： 第十章习题课教学目的与要求：通过习题讲解，让学生巩固本章的内容，提高解题能力 教学重难点：重点——正项级数，交错级数的收敛性判断；绝对收敛，件收敛；收敛半径，收敛域；幂级数的展开，求和函数难点——绝对收敛，条件收敛，求和函数，函数间接展开幂级数 教学方法: 讲授法教学建议：分散难点，逐个讲解；多与学生互动，让整个习题课更加生动. 学时：2教学过程:1. 根据定义，判别级数∑∞=+-1)23)(13(1n n n 的敛散性． 分析：由于级数的一般项n u =)23)(13(1+-n n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--23113131n n ．根据定义，我们只需判别部分和n S =∑=n k ku1是否有极限即可． 解： 部分和 n S =∑=n k k u 1=∑=+-nk k k 1)23)(13(1 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-231131311118131815131512131n n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2312131n 故612312131lim lim =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=∞−→−∞−→−n S n n n ,根据级数的收敛定义知此级数收敛．2. 判别级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1111n n n 的敛散性分析： 首先判别级数的一般项n u 是否趋于零．由级数收敛的必要条件知当n u 不趋于零时，级数∑∞=1n n u发散．若有0lim =∞→n n u ，则再用其它的审敛法判断级数是否收敛．解： 由于=∞→n n u lim n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→111lim =01≠e根据上述分析，由级数收敛的必要条件知级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1111n n n 发散．3. 判别级数∑∞=+122)1(sin n n n 的敛散性．分析： 一般项n u =22)1(sin nn +显然趋于零，又知分子sin 2(n+1)当n ∞→时无极限，但有01)1(sin 2≤+≤n ，故可用比较审敛法，选择合适的参照级数∑=121n n 做比较．解： 由于2221)1(sin n n n ≤+，而由P-级数的结论知级数∑∞=121n n收敛．根据正项级数的比较审敛法知级数∑∞=+122)1(sin n n n 收敛． 4. 判别级数∑∞=++1312n n n n 的敛散性分析： 显然有0123lim lim =++=∞→∞→nn n u n n n ，考虑到该级数的一般项为n 的有理分式函数，分子的次数为1．分母的次数为3．故取P-级数作为参考级数，取P=3-1=2,即采用∑∞=121n n 为参考级数． 解：取级数∑∑∞=∞==1121n n n n v 作为参考级数，由于212lim 3=++∞→n n v n n n ，且P-级数∑∞=121n n 收敛．根据比较判别法的极限形式知级数∑∞=++1312n n n n 级数∑∞=121n n 同样收敛．5. 判别级数∑∞=1!4n n nn n 的敛散性．分析:此级数的n U 中含有因式乘积和阶乘!n 项,首先应考虑采用比值审敛法． 解：1lim n n nU U ρ+→∞= =)!1(4)1(lim 11++++∞→n n n nn !4n n n n =nn n n n 4)1(lim +∞→=n n n )11(41lim +∞→=14<e 根据交错级数的莱布尼兹审敛法，知此级数收敛．且由于非绝对收敛，故此级数为条件收敛．。
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第十章 无穷级数1．判断下列级数的敛散性：（1）ΛΛ++++⋅+⋅)2(1421311n n（2）ΛΛ++++++)3121()3121()3121(22n n（3）ΛΛ++++++2cos5cos4cos3cosn ππππ解：（1）由 )211(21+-=n n u n ，所以43)2111211(21→+-+-+=n n S n （∞→n ）故原级数收敛，且其和为43。
（2）由 ΛΛ+++++++)3121()3121()3121(22n n ∑∞=+=1)3121(n n n 而级数∑∞=121n n 及∑∞=131n n均收敛，故原级数收敛。
（3）由012cos≠→+=n u n π，（∞→n ），故原级数发散。
注：应用（1）中的技巧，可得对任何自然数p ，有：)1211(1)(1p p p n n +++=+∑Λ。
2．判别下列级数的敛散性。
（1）)1ln(1∑∞=+n n π（2）∑∞=⋅11n nn n （3）∑∞=-+12)1(2n n n（4）)1sin (10∑⎰∞=+n n dx x x π（5）∑∞=1!n n n n（6）∑∞=+++12)1()1)(1(n n n x x x x Λ（0≥x ）（7）nn n a b ∑∞=1)(，其中a a n →，a b a n ,,皆为正数，0≠a 。
解：（1）由 n n u n ππ~)1ln(+= （∞→n ），又 ∑∞=1n n π 发散，故由比较判别法知，原级数发散。
（2）由 1111→=⋅n n n n nn （∞→n ），又∑∞=11n n 发散，故由比较判别法的极限形式可知，原级数发散。
（3）法1：nn n nn u )21(212)1(21-+=-+=-，而∑∞=-1121n n 及 nn ∑∞=-1)21(均收敛，故原级数收敛。
法2： 由 12123lim 2)1(2lim lim <==-+=∞→∞→∞→nn n n n n n n n u ，故原级数收敛。
法3： 由 n nn n u 232)1(2≤-+=，而 ∑∞=123n n 收敛，故原级数收敛。
（4）由n dx x x u n n ππ≤+=≤⎰01sin 020)(11n dx x n ππ≤+⎰，而∑∞=12)(n n π收敛，故级数)1sin (1∑⎰∞=+n n dx x xπ收敛。
（5）由 1)11(!)!1()1(11>→+=⋅++=++e n n n n n u u n n n n n )(∞→n ，故级数∑∞=1!n nn n 发散。
（6）由nn n n n n x x x x x x x x u u )1()1)(1()1()1)(1(21211+++⋅+++=+++ΛΛ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<≤→+=+1,01,2110,11x x x x x xn故原级数收敛。
（7）由a b a b u n nn →=（∞→n ），当 1<a b 即 b a >时，原级数收敛；当 1>a b即 b a <时，原级数发散；当 b a =时，不一定。
例如：级数 ∑∑∞=∞==111)1(n n nn n n发散；级数 ∑∑∞=∞==12121)1(n n nnn n 收敛。
3．若正项级数∑∞=1n nu收敛，证明∑∞=12n nu也收敛，其逆如何？证明：由∑∞=1n nu收敛，故lim =∞→n n u ，则存在N ∈0n ，当 0n n >时，10<≤n u ，从而当 0n n >时，n nu u <≤20，故由比较判别法可知∑∞=12n nu收敛。
反之，不真。
例如：n u n 1=，221n u n =，级数 ∑∞=121n n 收敛，而级数∑∞=11n n 发散。
4．若两个正项级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv发散，∑∞=1),max (n n nv u，∑∞=1),min(n n nv u两级数敛散性如何？解：∑∞=1),max (n n nv u一定发散。
这是由于0),m ax (≥≥n n n u v u ，而级数∑∞=1n nu 发散，故∑∞=1),max (n n nv u也发散。
∑∞=1),min(n n nv u可能收敛，也可能发散。
例如：级数∑∞=-+12)1(1n n 及∑∞=--12)1(1n n均发散，但ΛΛ++++=∑∞=000),min(1n n nv u收敛。
又例如：级数∑∞=11n n 及∑∞=121n n 均发散，但∑∑∞=∞==1121),min(n n nn n v u 也发散。
5．若级数∑∞=1n nu是收敛的正项级数，并且数列}{n u 单调下降，证明：0lim =∞→n n nu 。
证明：对于任意的m 及n ，不妨设m n >，则m n m m n r u u u u m n <+++<-++Λ21)( ，其中m r 为该级数的余和。
mn r m n nnu -<由级数∑∞=1n nu收敛，则任意的0>ε，存在0m ，使得ε<0m r 。
又由 1lim=-∞→m n n n ，故存在0n （00m n >），使当0n n >时有 2<-m n n所以当0n n >时，有 ε20<≤n nu ，故0lim =∞→n n nu 。
6．用积分判别法讨论下列级数的收敛性。
（1） ∑∞=⋅2)(ln 1n pn n ； （2）∑∞=⋅⋅3ln ln ln 1n n n n 。
解：（1）不论p 为何数，当x 充分大时，函数p n n x f )(ln 1)(⋅=都是非负递减的，并且⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=⋅-∞→∞→⎰1,|)ln(ln 1,|))(ln 1(1lim )(ln lim 2212p x p x p n x dx n n p n n p n ⎪⎩⎪⎨⎧≤∞>-=-1,1,)2)(ln 1(11p p p p故当1>p 时原级数收敛，当1≤p 时原级数发散。
（2）由)ln(ln ln 1)(x x x x f ⋅⋅=，当3≥x 时是非负递减函数，而 ⎰∞==⋅⋅∞→∞→n nn n x x x x dx 33]|ln ln [ln lim )ln(ln ln lim故原级数发散。
7．讨论下列级数的敛散性（包括条件收敛或绝对收敛）：（1）∑∞=+121sinn n π（2）∑∞=--21ln )1(n n n n（3）ΛΛ++--+++--++--1111131131121121n n（4） ∑∞=1!)2sin(n n n x解：（1）∑∞=+121sin n n π∑∞=-+-=12)1sin()1(n nn n ππ∑∞=++-=121sin )1(n nn n π所以原级数条件收敛。
注：对原级数的通项进行适当的变形是必要的。
（2）由)(ln 1ln ∞→∞→=n n n n n，故原级数非绝对收敛。
但由于)(0ln ∞→→n n ，且n n n n ln 1)1ln(<++（这是因为令x x x f ln )(=， 2ln 1)(x xx f -='，当e x >时0)(<'x f ，故)(x f 单减）所以原级数条件收敛。
（3）将原级数加括号所得的级数∑∑∞=∞=-=+--1112)1111(n n n n n 发散，故原级数发散。
（4）法1： 由!1|!)2sin(|n n x n ≤，而∑∞=1!1n n 收敛，故原级数绝对收敛。
法2： )(101|)2cos(|2||1∞→<→+=+n n x u u n n n ，故原级数绝对收敛。
8．设}{n na 收敛，∑∞=--11)(n n n a a n 收敛，则∑∞=1n na收敛。
证明：由∑∞=--11)(n n na an 收敛，所以Sa a k nk k k n =-∑=-∞→11)(lim 又)()(2)()(1120111-=--++-+-=-∑n n nk k ka a n a a a a a ak Λnn k k n n na a na a a a +-=+----=∑-=-1110Λ所以∑∑=--=--=nk k k n n k ka a k na a111)(由已知}{n na 收敛，不妨设Cna n n =∞→lim ，所以SC a a k na a nk k k n n n k k n -=--=∑∑=-∞→-=∞→])([lim lim 1110故 ∑∞=1n na收敛于S C -。
9．设正项数列{n a }单调减少，且∑∞=-1)1(n nna 发散，试问级数nn n a )11(1∑∞=+是否收敛？并说明理由。
证明：由↓n a ，且0≥n a ，则n n a ∞→lim 存在。
假设a a n n =∞→lim ，由0≥n a ，则0≥a 。
又由于∑∞=-1)1(n nna 发散，所以0>a （否则∑∞=-1)1(n nna 收敛）。
因 ≤+11n a 111<+a ，且n n a )11(1∑∞=+收敛，所以n n n a )11(1∑∞=+收敛。
10．设0>n a ，0>n b （Λ,2,1=n ），若级数∑∞=1n nb ，)(11∑∞=+-n n n a a收敛，证明级数nn n ba ∑∞=1收敛。
证明：由)(11∑∞=+-n n n a a收敛，而其前n 部分和为11a a S n n -=+，则nn a ∞→lim 存在。
设0lim ≥=∞→a a n n ，所以{n a }有界，即存在0>M ，N n ∈∀，有：M a n ≤≤0。
又由 n n n Mb b a ≤<0，且级数∑∞=1n nb 收敛，故nn n ba ∑∞=1收敛。
11．设0>n u ，0>n v ，且≤+n n u u 1n n v v 1+（Λ,2,1=n ），试证明若级数∑∞=1n n v 收敛，则级数∑∞=1n nu也收敛。
证明：由0>n u ，0>n v ，且≤+n n u u 1n n v v 1+（Λ,2,1=n ），则≤++11n n v u 11v uv u n n ≤≤Λ 所以 1111++⋅≤n n v v uu又级数∑∞=1n nv收敛，所以级数∑∞=1n nu也收敛。
12．求幂级数∑∞=+++111)1ln(n n x n n 的收敛区间。
解：因为1)1ln(12)2ln(lim ||lim 1=++⋅++=∞→+∞→n n n n a a n n n n ，所以 1=R当1=x 时，级数∑∞=++11)1ln(n n n ，而 +∞=++∞→n n n n 11)1ln(lim ，故∑∞=++11)1ln(n n n 发散当1-=x 时，级数∑∞=+-++11)1(1)1ln(n n n n 为Leibniz 级数，收敛综上所述，级数∑∞=+++111)1ln(n n x n n 的收敛区间为 )1,1[-13．求幂级数∑∞=122n nnx 的收敛区间。