第6章 力系的平衡—思考题-解答

第6章力系的平衡——思考题——解答

6-1 空间一般力系向三个相互相交的坐标平面投影，得到三个平面一般力系，每个平面一般力系都有三个独立的平衡方程，这样力系就有九个平衡方程，那么能否求解九个未知量为什么

6-1 解答：

(1) 空间一般平衡力系，有六个独立的平衡方程，能求解六个未知量。

(2) 空间一般力系向三个相互相交的坐标平面投影，得到三个平面一般力系，每个平面一般力系都有三个独立的平衡方程，这样力系就有九个平衡方程，但并非独立，因为三个相互相交的坐标平面满足一定的几何关系（每一个坐标平面之间的夹角是确定的，共有三个确定的夹角），这样得到的三个平面一般力系，每个平面一般力系都有三个独立的平衡方程，力系就有九个平衡方程，其实独立的还是六个平衡方程，能求解六个未知量。

6-2 试问在下述情况下，空间平衡力系最多能有几个独立的平衡方程为什么

（1）各力的作用线均与某直线垂直； （2）各力的作用线均与某直线相交； （3）各力的作用线均与某直线垂直且相交； （4）各力的作用线均与某一固定平面平行； （5）各力的作用线分别位于两个平行的平面内； （6）各力的作用线分别汇交于两个固定点； （7）各力的作用线分别通过不共线的三个点；

（8）各力的作用线均平行于某一固定平面，且分别汇交于两个固定点； （9）各力的作用线均与某一直线相交，且分别汇交于此直线外的两个固定点； （10）由一组力螺旋构成，且各力螺旋的中心轴共面；

（11）由一个平面任意力系与一个平行于此平面任意力系所在平面的空间平行力系组成；

（12）由一个平面任意力系与一个力偶矩均平行于此平面任意力系所在平面的空间力偶系组成。

6-2 解答：

空间的一般平衡力系共有六个独立的平衡方程

0=∑x

F

，0=∑y F ，0=∑z F ，0=∑x M ，0=∑y M ，0=∑z M

(1) 各力的作用线均与某直线垂直 —— 最多有五个独立平衡方程。

假设各力的作用线均与z 轴垂直，则0=∑z F 自动满足，独立的平衡方程有5个。 (2) 各力的作用线均与某直线相交 —— 最多有五个独立平衡方程。

假设各力的作用线均与z 轴相交，则0=∑z M 自动满足，独立的平衡方程有5个。

(3) 各力的作用线均与某直线垂直且相交 —— 最多有四个独立平衡方程。 假设各力的作用线均与z 轴相交且垂直，则0=∑z F ，0=∑z M 自动满足，独立的平衡方程有4个。

(4) 各力的作用线均与某一固定平面平行（与“各力的作用线均与某直线垂直”相等价） —— 最多有五个独立平衡方程。

假设各力的作用线均与xy 平面平行（与“各力的作用线均与z 轴垂直”相等价），则0=∑z F 自动满足，独立的平衡方程有5个。

(5) 各力的作用线分别位于两个平行的平面内 —— 最多有四个独立的平衡方程。

(6) 各力的作用线分别汇交于两个固定点 —— 最多有五个独立的平衡方程。

6-3 如图所示，ABCDA′B′C′O 为边长等于a 、b 、c 的长方体，试问下列方程组中， 是空间力系平衡的充分必要条件

（1）0=∑x F ，0=∑z F ，0=∑x M ，0=∑y M ，0=∑z M ，0=∑'A A M ； （2）0=∑x M ，0=∑y M ，0=∑z M ，0=∑'B B M ，0=∑'C C M ，0=∑y F ； （3）0=∑x M ，0=∑y M ，0=∑z M ，0=∑'A A M ，0=∑'B B M ，0=∑'C C M 。

6-3 解答：

(1) 0=∑x F ，0=∑z F ，0=∑x M ，0=∑y M ，0=∑z M ，0=∑'A A M ： 是空间力系平衡的充分必要条件。 原因如下：

设空间力系向点O 简化所得到的一个力和一个力偶的力偶矩分别为

k F j F i F k F j F i F F F z y x z y x O

)()()(R R R R ∑∑∑++=++==

k M j M i M k M j M i M M z y x z y x O

)()()(∑∑∑++=++=

思考题6-3图

由于满足方程 0=∑x M ，0=∑y M ，0=∑z M ，

故 0=O M

，

又满足方程 0=∑x F ，0=∑z F ，

又根据 0R ==∑'b F M y A A ⇒ 0R =y F ⇒ 0=∑y F 。

由此可见，题目中的六个方程能保证空间力系一定是平衡力系，所以它们是空间力系平衡的充分必要条件。

(2) 0=∑x M ，0=∑y M ，0=∑z M ，0=∑'B B M ，0=∑'C C M ，0=∑y F ： 是空间力系平衡的必要而非充分条件。 原因如下：

设空间力系向点O 简化所得到的一个力和一个力偶的力偶矩分别为

k F j F i F k F j F i F F F z y x z y x O

)()()(R R R R ∑∑∑++=++==

k M j M i M k M j M i M M z y x z y x O

)()()(∑∑∑++=++= 由于满足方程 0=∑x M ，0=∑y M ，0=∑z M ，

故 0=O M

，

又根据 0R =-=∑'b F M x C C ⇒ 0R =x F ， 再根据 0R R =+-=∑'a F b F M y x B B ⇒ 0R =y F ，

至此，空间力系的简化结果可能是一个合力 k F F F z O

R R ==或平衡力系，这两个结果均满足0R ==∑y y F F ，即题目中第六个方程给不出任何新的信息，也就是说它与前五个方程是线性相关的。因此，这六个方程不能保证空间力系一定是平衡力系，所以它们不是空间力系平衡的充分条件，但显然是必要条件。 解析：

(1) 空间力系与其向点O 简化所得力系是等效力系，它们对任何一根轴的矩和