第次课第章含沙量沿垂线分布
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y z
从河底高度为a处到y 范围内积分，Sa代表 参考点y=a处的时均 含沙量（一般取a＝ 0.05h）
h z y
s a sa
5
1、Rouse方程的推导
③ 含沙量沿水深分布方程
dS dy 1 1 dy U* 1 y h y U* 1 y h y h S h
y 大堤 水面 渠底 h y0 a=0.05h s(y) s(a)
23
s(y 0 ) 河流
含沙量沿垂线分布方程的应用
4、对排沙底孔来说，总希望尽量合理地确定排沙底孔的高程， 尽可能少排水、多排沙，以防止闸坝前的淤积。这种情况下， 排沙底孔底板高程的确定，除要满足结构和工程总体要求外， 还要考虑坝前泥沙淤积、推移质泥沙的运动和悬移质泥沙沿
21
含沙量沿垂线分布方程的应用 1、在理论上，应用含沙量沿水深分布方程，可以确
ya 定水下任一点（
S / Sa ）处的相对含沙量
；
2、同时给定水下任意两点处的含沙量，也可由含 沙量沿水深分布方程推求它们的相互位置。
22
含沙量沿垂线分布方程的应用
3、从河道中引水总是希望在满足引水量的前提下，能尽量多 引表层较清的水，少引含沙量大的浑水，那么取水口底部高 程的确定就非常重要，它与取水口允许引入的最大含沙量有 关，可以应用含沙量沿垂线分布方程来确定。
罗斯公式
1、Rouse方程的推导 ①、基本假设
（6-10）
b、泥沙紊动扩散系数εs相等水流动量交换系数εm （动量扩散系数、动量传递系数）； c、挟沙水流的流速分布符合Karman-Prandtl对数 流速分布规律，并取卡门常数k=0.4；
umax u 1 h ln U* y
S
w
表示将悬沙组成
18
6.2.2
公式的验证
2、Rouse公式的改进 （6）针对浮指标中水流剪切流速值U*的修正
U* ghJ
a、当床面平整无沙波时 b、当床面有沙波存在时
U*取与沙粒阻力相应的摩阻流速 U * ，其计算可 按爱因斯坦动床阻力计算方法求得。
'
19
6.2.2
公式的验证
S h y a Sa y h a
d、泥沙悬浮高度可以看作是z的函数。当z≥5时，悬移质
相对含沙量接近于0，说明以悬浮形式运动的泥沙数量甚微。
Einstein建议，将z≈5作为泥沙是否进入悬浮状态的临界
判别值。 z≥5，推移质；z<5，为悬移质。(第9次课结束)
8
6.2 6.2.2
含沙量沿垂线分布 公式的验证
z z
S h y a h/ y 1 Sa y h a h/ a 1
第6章 6.2
悬移质运动和水流挟沙力 含沙量沿垂线分布
百度文库
二维恒定均匀流平衡情况下含沙量沿垂线分布的微分方程
S s
dS 0 dy
（6-10）
1、Rouse方程的推导 ①、基本假设 a、沉速不随水深变化（就是不考虑含沙量对沉速的影 响），等于单个颗粒静水沉速。
1
6.2
6.2.1
含沙量沿垂线分布
dS S s 0 dy
10 6 3 1.09 1.65 9.8 0.1 10 13.95 0.1 10 3
2
2
10 6 13.95 0.1 10 3
④、悬浮指标Z
悬浮指标 z
的物理意义 U *
a、z包含了泥沙粒径和水力条件等因素，是反映泥沙沿 垂线分布均匀程度的无因次参数； b、z实质上代表重力作用（ω）与紊动扩散作用（κU*） 的对比关系。
7
6.2.1
罗斯公式
⑤、悬浮指标Z c、如图6-3所示，z值越
大，表示重力作用相对于 紊动扩散作用越强，泥沙 分布越不均匀；z值越小， 表示重力作用相对于紊动 扩散作用越弱，泥沙分布 越均匀。
从河底高度为a处到y范围内积分，Sa代表参考点y=a处的时 均含沙量
y S 1 1 y h y a ln d ln y y u* a 1 h u y h a Sa * h h
垂线分布问题。
y 水面 s(y) h s(y 0 ) 排沙底孔 y0
24
例、某宽浅河道实测水深h=8.0m，平均流速U=1.12m/s，糙
率系数n=0.025，悬移质平均粒径D=0.1mm，经修正后的卡门
系数κ=0.295，水温t=20℃（ 0.01cm 2 / s （a=0.05h）的含沙量Sa=12kg/m3，问 ），若临底处
u*
3、Rouse公式的应用 （1）参考点高度的选取 和临底含沙量的确定
h y a y ha
z
Rouse给出的是相对含沙量，要求出任意点的绝对含沙量，必 须知道参考点的含沙量。 靠近河底处参考点的含沙量称为临底含沙量，参考点高度 的选取 a、可由y=a处实测含沙量确定，此时一般取a=0.05h。 b、爱因斯坦认为泥沙运动强度不大时，可取a等于床沙粒 径的2倍，即a=2D，该处的含沙量根据推移质输沙率确定。
（6-16）
2
1、Rouse方程的推导
S s
dS 0 dy
（6-10）
② 动量交换系数沿水深分布规律
a、 εm的表达式 紊动切应力仿照粘滞切应力 的表达式可写为
m
du dy
m
du dy
（6-17）
（ a）
h-z h-y h z y
z y
b、紊动切应力的表达式 水流切应力沿水深变 化关系为
速的影响）
c、挟沙水流流速分布采用对数流速分布，κ＝0.4。
12
6.2.2
公式的验证
2、Rouse公式的改进
y m U * 1 y h
（1）范诺尼的改进 ----针对实测悬浮指标较理论计算值偏小的改进
泥沙扩散系数修正为
s m
β为大于1的比例常数， 随泥沙的粗细而变化。
(6-22）
z U *
15
上式中的z为Rouse 公式中的悬浮指标
6.2.2
公式的验证
2、Rouse公式的改进
（3）针对水面含沙量总是零的改进
如果在推导含沙量沿垂线分布方程时，采用其它适当
的流速分布公式，可以避免含沙量在水面总是零的缺
点。 (4) 悬浮指标中ω的改进 含沙量不大时，沉速可取清水中的沉速值； 当含沙量很高时（数十公斤），应考虑含沙量对沉速 的影响。
清水与浑水水流中流速分布的对比
17
6.2.2
公式的验证
2、Rouse公式的改进 （5）针对浮指标中卡门系 数k值的改进 可由钱宁实验曲线确定挟沙 水流的卡门常数 纵坐标
E s
S
w
UJ
S w 是沉速为ω的泥沙以重量
百分比计的垂线平均含沙量，
中各粒径级的 S w 求和
悬移质存在对卡门常数k值的影响
01
y h
τ τ
0
（6-18）
3
1、Rouse方程的推导 ② 动量交换系数沿水深分布规律
m
du dy
01
01
由以上两式得 c、流速梯度的表达式
y h s m du dz umax u 1 h ln U* y
(6-21）
1、对公式结构的检验 （1）公式结构
悬移质含沙量沿垂线分布的室内实验结果
9
6.2.2
6.2 含沙量沿垂线分布 公式的验证
z z
S h y a h/ y 1 Sa y h a h/ a 1
(6-21）
Z
U *
1、对公式结构的检验
泥沙交换系数与动量交换系数沿垂线分布
13
6.2.2
公式的验证
2、Rouse公式的改进 （1）范诺尼的改进 ----针对实测悬浮指标较理论计算值偏小的改进
s m
z1 z
泥沙扩散系数修正为 悬浮指标改写为
U*
(6-22）
z1
修正后的含沙量沿水深分布方程为
S h y a Sa y h a
20
6.2.2
公式的验证
3、Rouse公式的应用 （2）非均匀沙的含沙量沿垂线分布计算
u*
z
S h y a Sa y h a
h y a y ha
对于非均匀沙，应将悬移质按粒径大小分为若干组，再按 各组代表粒径的相应沉速计算各组的含沙量分布，最后将 各组相同水深的含沙量分别加起来，得到总的含沙量分布 情况。
S h y a Sa y h a
u*
h y a y ha
Z U *
z
(6-21）
指数z称为悬浮指标
上式即为二维恒定均匀流平衡情况下，相对含沙量沿水深 分布方程式，一般又称为Rouse方程。
6
6.2.1 罗斯公式
y h
（6-18） （6-19）
（6-16）
0 hJ U*2
对上式求导，可得
d u U* 1 dy y
s m 01
（3-38）
得εm沿水深的变 化规律如下：
y y h U* 1 y U* 1 h du y dy
16
6.2.2
公式的验证
2、Rouse公式的改进 （5）针对浮指标中卡门系
数k值的改进 根据实测资料，可以采用对 数流速分布规律描述挟沙水 流的流速分布，但卡门常数 有了变化，浑水的卡门系数 较清水的小，k值随含沙量增 大而减小，k值减小，流速梯 度增大，即挟沙水流的流速 分布不如清水中均匀，如图 所示。
4
1、Rouse方程的推导
dS S s 0 dy
（6-10）
y h
y s U* 1 y h
dS 0 dy
③ 含沙量沿水 深分布方程 分离变量，得
S U* 1 y
（6-20）
dS dy 1 1 dy U* 1 y h y U* 1 y h y h S h
14
6.2.2
公式的验证
2、Rouse公式的改进
S h y a Sa y h a
z1
（2）谢鉴衡的改进-----改进后的悬浮指标z1的取值问题 对于形态规则的渠道，可z1由图6-5中的曲线确定； 对于天然河流可由谢鉴衡给出的下面的关系式决定
e 1.5 z 1 z1 0.034 1.5 z e 1
（1） 距河底4m处的含沙量为多少？ （2） 如果在岸边开引渠，要求引水渠中沿水深最大含 沙量不能超过河道临底含沙量的12％，试确定引水渠底 的位置？
25
解：（1）求距河底4m处的含沙量 ①、求沉速，采用张瑞瑾统一沉速公式
s 13 . 95 1 . 09 gD 13 . 95 D D
11
6.2 6.2.2
含沙量沿垂线分布 公式的验证
1、对公式结构的检验
S h y a h/ y 1 Sa y h a h/ a 1
z
z
(6-21）
(4)、Rouse方程存在问题的原因 a、泥沙交换系数与动量交换系数相等 ；（没有考虑两种 交换性质上的差异） b、ω沿水深不变；（忽略了含沙量沿垂线的不均匀性对沉
（2）悬浮指标Z
图6-5 含沙量沿垂线分布公式中指数的实测值 Z1与理论值的对比 10
6.2 6.2.2
含沙量沿垂线分布 公式的验证
z
1、对公式结构的检验
z
S h y a h/ y 1 Sa y h a h/ a 1
(6-21）
（3） Rouse公式存在的问题 b、如果泥沙颗粒较粗，含沙量较大，计算结果与实测资 料偏离较大； c、实测的悬浮指标一般较理论计算的偏小，说明实际的 含沙量分布较理论计算的更均匀，Z值越大，差别越大。 d、按照Rouse方程计算，水面含沙量总是0，床面含沙量总 是∞，这自然不符合实际。
从河底高度为a处到y 范围内积分，Sa代表 参考点y=a处的时均 含沙量（一般取a＝ 0.05h）
h z y
s a sa
5
1、Rouse方程的推导
③ 含沙量沿水深分布方程
dS dy 1 1 dy U* 1 y h y U* 1 y h y h S h
y 大堤 水面 渠底 h y0 a=0.05h s(y) s(a)
23
s(y 0 ) 河流
含沙量沿垂线分布方程的应用
4、对排沙底孔来说，总希望尽量合理地确定排沙底孔的高程， 尽可能少排水、多排沙，以防止闸坝前的淤积。这种情况下， 排沙底孔底板高程的确定，除要满足结构和工程总体要求外， 还要考虑坝前泥沙淤积、推移质泥沙的运动和悬移质泥沙沿
21
含沙量沿垂线分布方程的应用 1、在理论上，应用含沙量沿水深分布方程，可以确
ya 定水下任一点（
S / Sa ）处的相对含沙量
；
2、同时给定水下任意两点处的含沙量，也可由含 沙量沿水深分布方程推求它们的相互位置。
22
含沙量沿垂线分布方程的应用
3、从河道中引水总是希望在满足引水量的前提下，能尽量多 引表层较清的水，少引含沙量大的浑水，那么取水口底部高 程的确定就非常重要，它与取水口允许引入的最大含沙量有 关，可以应用含沙量沿垂线分布方程来确定。
罗斯公式
1、Rouse方程的推导 ①、基本假设
（6-10）
b、泥沙紊动扩散系数εs相等水流动量交换系数εm （动量扩散系数、动量传递系数）； c、挟沙水流的流速分布符合Karman-Prandtl对数 流速分布规律，并取卡门常数k=0.4；
umax u 1 h ln U* y
S
w
表示将悬沙组成
18
6.2.2
公式的验证
2、Rouse公式的改进 （6）针对浮指标中水流剪切流速值U*的修正
U* ghJ
a、当床面平整无沙波时 b、当床面有沙波存在时
U*取与沙粒阻力相应的摩阻流速 U * ，其计算可 按爱因斯坦动床阻力计算方法求得。
'
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6.2.2
公式的验证
S h y a Sa y h a
d、泥沙悬浮高度可以看作是z的函数。当z≥5时，悬移质
相对含沙量接近于0，说明以悬浮形式运动的泥沙数量甚微。
Einstein建议，将z≈5作为泥沙是否进入悬浮状态的临界
判别值。 z≥5，推移质；z<5，为悬移质。(第9次课结束)
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6.2 6.2.2
含沙量沿垂线分布 公式的验证
z z
S h y a h/ y 1 Sa y h a h/ a 1
第6章 6.2
悬移质运动和水流挟沙力 含沙量沿垂线分布
百度文库
二维恒定均匀流平衡情况下含沙量沿垂线分布的微分方程
S s
dS 0 dy
（6-10）
1、Rouse方程的推导 ①、基本假设 a、沉速不随水深变化（就是不考虑含沙量对沉速的影 响），等于单个颗粒静水沉速。
1
6.2
6.2.1
含沙量沿垂线分布
dS S s 0 dy
10 6 3 1.09 1.65 9.8 0.1 10 13.95 0.1 10 3
2
2
10 6 13.95 0.1 10 3
④、悬浮指标Z
悬浮指标 z
的物理意义 U *
a、z包含了泥沙粒径和水力条件等因素，是反映泥沙沿 垂线分布均匀程度的无因次参数； b、z实质上代表重力作用（ω）与紊动扩散作用（κU*） 的对比关系。
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6.2.1
罗斯公式
⑤、悬浮指标Z c、如图6-3所示，z值越
大，表示重力作用相对于 紊动扩散作用越强，泥沙 分布越不均匀；z值越小， 表示重力作用相对于紊动 扩散作用越弱，泥沙分布 越均匀。
从河底高度为a处到y范围内积分，Sa代表参考点y=a处的时 均含沙量
y S 1 1 y h y a ln d ln y y u* a 1 h u y h a Sa * h h
垂线分布问题。
y 水面 s(y) h s(y 0 ) 排沙底孔 y0
24
例、某宽浅河道实测水深h=8.0m，平均流速U=1.12m/s，糙
率系数n=0.025，悬移质平均粒径D=0.1mm，经修正后的卡门
系数κ=0.295，水温t=20℃（ 0.01cm 2 / s （a=0.05h）的含沙量Sa=12kg/m3，问 ），若临底处
u*
3、Rouse公式的应用 （1）参考点高度的选取 和临底含沙量的确定
h y a y ha
z
Rouse给出的是相对含沙量，要求出任意点的绝对含沙量，必 须知道参考点的含沙量。 靠近河底处参考点的含沙量称为临底含沙量，参考点高度 的选取 a、可由y=a处实测含沙量确定，此时一般取a=0.05h。 b、爱因斯坦认为泥沙运动强度不大时，可取a等于床沙粒 径的2倍，即a=2D，该处的含沙量根据推移质输沙率确定。
（6-16）
2
1、Rouse方程的推导
S s
dS 0 dy
（6-10）
② 动量交换系数沿水深分布规律
a、 εm的表达式 紊动切应力仿照粘滞切应力 的表达式可写为
m
du dy
m
du dy
（6-17）
（ a）
h-z h-y h z y
z y
b、紊动切应力的表达式 水流切应力沿水深变 化关系为
速的影响）
c、挟沙水流流速分布采用对数流速分布，κ＝0.4。
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6.2.2
公式的验证
2、Rouse公式的改进
y m U * 1 y h
（1）范诺尼的改进 ----针对实测悬浮指标较理论计算值偏小的改进
泥沙扩散系数修正为
s m
β为大于1的比例常数， 随泥沙的粗细而变化。
(6-22）
z U *
15
上式中的z为Rouse 公式中的悬浮指标
6.2.2
公式的验证
2、Rouse公式的改进
（3）针对水面含沙量总是零的改进
如果在推导含沙量沿垂线分布方程时，采用其它适当
的流速分布公式，可以避免含沙量在水面总是零的缺
点。 (4) 悬浮指标中ω的改进 含沙量不大时，沉速可取清水中的沉速值； 当含沙量很高时（数十公斤），应考虑含沙量对沉速 的影响。
清水与浑水水流中流速分布的对比
17
6.2.2
公式的验证
2、Rouse公式的改进 （5）针对浮指标中卡门系 数k值的改进 可由钱宁实验曲线确定挟沙 水流的卡门常数 纵坐标
E s
S
w
UJ
S w 是沉速为ω的泥沙以重量
百分比计的垂线平均含沙量，
中各粒径级的 S w 求和
悬移质存在对卡门常数k值的影响
01
y h
τ τ
0
（6-18）
3
1、Rouse方程的推导 ② 动量交换系数沿水深分布规律
m
du dy
01
01
由以上两式得 c、流速梯度的表达式
y h s m du dz umax u 1 h ln U* y
(6-21）
1、对公式结构的检验 （1）公式结构
悬移质含沙量沿垂线分布的室内实验结果
9
6.2.2
6.2 含沙量沿垂线分布 公式的验证
z z
S h y a h/ y 1 Sa y h a h/ a 1
(6-21）
Z
U *
1、对公式结构的检验
泥沙交换系数与动量交换系数沿垂线分布
13
6.2.2
公式的验证
2、Rouse公式的改进 （1）范诺尼的改进 ----针对实测悬浮指标较理论计算值偏小的改进
s m
z1 z
泥沙扩散系数修正为 悬浮指标改写为
U*
(6-22）
z1
修正后的含沙量沿水深分布方程为
S h y a Sa y h a
20
6.2.2
公式的验证
3、Rouse公式的应用 （2）非均匀沙的含沙量沿垂线分布计算
u*
z
S h y a Sa y h a
h y a y ha
对于非均匀沙，应将悬移质按粒径大小分为若干组，再按 各组代表粒径的相应沉速计算各组的含沙量分布，最后将 各组相同水深的含沙量分别加起来，得到总的含沙量分布 情况。
S h y a Sa y h a
u*
h y a y ha
Z U *
z
(6-21）
指数z称为悬浮指标
上式即为二维恒定均匀流平衡情况下，相对含沙量沿水深 分布方程式，一般又称为Rouse方程。
6
6.2.1 罗斯公式
y h
（6-18） （6-19）
（6-16）
0 hJ U*2
对上式求导，可得
d u U* 1 dy y
s m 01
（3-38）
得εm沿水深的变 化规律如下：
y y h U* 1 y U* 1 h du y dy
16
6.2.2
公式的验证
2、Rouse公式的改进 （5）针对浮指标中卡门系
数k值的改进 根据实测资料，可以采用对 数流速分布规律描述挟沙水 流的流速分布，但卡门常数 有了变化，浑水的卡门系数 较清水的小，k值随含沙量增 大而减小，k值减小，流速梯 度增大，即挟沙水流的流速 分布不如清水中均匀，如图 所示。
4
1、Rouse方程的推导
dS S s 0 dy
（6-10）
y h
y s U* 1 y h
dS 0 dy
③ 含沙量沿水 深分布方程 分离变量，得
S U* 1 y
（6-20）
dS dy 1 1 dy U* 1 y h y U* 1 y h y h S h
14
6.2.2
公式的验证
2、Rouse公式的改进
S h y a Sa y h a
z1
（2）谢鉴衡的改进-----改进后的悬浮指标z1的取值问题 对于形态规则的渠道，可z1由图6-5中的曲线确定； 对于天然河流可由谢鉴衡给出的下面的关系式决定
e 1.5 z 1 z1 0.034 1.5 z e 1
（1） 距河底4m处的含沙量为多少？ （2） 如果在岸边开引渠，要求引水渠中沿水深最大含 沙量不能超过河道临底含沙量的12％，试确定引水渠底 的位置？
25
解：（1）求距河底4m处的含沙量 ①、求沉速，采用张瑞瑾统一沉速公式
s 13 . 95 1 . 09 gD 13 . 95 D D
11
6.2 6.2.2
含沙量沿垂线分布 公式的验证
1、对公式结构的检验
S h y a h/ y 1 Sa y h a h/ a 1
z
z
(6-21）
(4)、Rouse方程存在问题的原因 a、泥沙交换系数与动量交换系数相等 ；（没有考虑两种 交换性质上的差异） b、ω沿水深不变；（忽略了含沙量沿垂线的不均匀性对沉
（2）悬浮指标Z
图6-5 含沙量沿垂线分布公式中指数的实测值 Z1与理论值的对比 10
6.2 6.2.2
含沙量沿垂线分布 公式的验证
z
1、对公式结构的检验
z
S h y a h/ y 1 Sa y h a h/ a 1
(6-21）
（3） Rouse公式存在的问题 b、如果泥沙颗粒较粗，含沙量较大，计算结果与实测资 料偏离较大； c、实测的悬浮指标一般较理论计算的偏小，说明实际的 含沙量分布较理论计算的更均匀，Z值越大，差别越大。 d、按照Rouse方程计算，水面含沙量总是0，床面含沙量总 是∞，这自然不符合实际。