高一数学必修1模块阶段测试卷及答案解析(人教A版)(原始打印版)
高中数学 模块1 高考真题(含解析)新人教A版必修1-新人教A版高一必修1数学试题
模块1高考真题对应学生用书P81剖析解读高考全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷都是由教育部按照普通高考考试大纲统一命题，适用于不同省份的考生．但在难度上会有一些差异，但在试卷结构、命题方向上基本上都是相同的．“稳定”是高考的主旋律．在今年的高考试卷中，试题分布和考核内容没有太大的变动，三角、数列、立体几何、圆锥曲线、函数与导数等都是历年考查的重点．每套试卷都注重了对数学通性通法的考查，淡化特殊技巧，都是运用基本概念分析问题，基本公式运算求解、基本定理推理论证、基本数学思想方法分析和解决问题，这有利于引导中学数学教学回归基础．试卷难度结构合理，由易到难，循序渐进，具有一定的梯度．今年数学试题与去年相比整体难度有所降低．“创新”是高考的生命线．与历年试卷对比，Ⅰ、Ⅱ卷解答题顺序有变，这也体现了对于套路性解题的变革，单纯地通过模仿老师的解题步骤而不用心去理解归纳，是难以拿到高分的．在数据处理能力以及应用意识和创新意识上的考查有所提升，也符合当前社会的大数据处理热潮和青少年创新性的趋势．全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷对必修1集合与函数知识的考查，相对来说比较常规，难度不大，变化小，综合性低，属于基础类必得分试题，主要考查集合的概念及运算，函数的图象及定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期、最值等基本性质．做题时若能熟练应用概念及性质，掌握转化的技巧和方法，基本不会丢分。
若综合其他省市自主命题卷研究，必修1的知识又能与命题、不等式、导数、分段函数等知识综合，强化了数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归的数学思想的运用，提高了试题的难度，所以作为高一学生来说，从必修1就应该打好牢固的基础，培养最基本的能力．下面列出了2018年全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷及其他自主命题省市试卷必修1所考查的全部试题，请同学们根据所学必修1的知识，测试自己的能力，寻找自己的差距，把握高考的方向，认清命题的趋势！(说明：有些试题带有综合性，是与以后要学习内容的小综合试题，同学们可根据目前所学内容，有选择性地试做！)穿越自测一、选择题1．(2018·全国卷Ⅰ，文1)已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B＝( ) A．{0,2} B．{1,2}C．{0} D．{－2，－1,0,1,2}答案A解析根据集合交集中元素的特征，可以求得A∩B＝{0,2}，故选A.2．(2018·全国卷Ⅱ，文2)已知集合A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,4,5}，则A∩B＝( ) A．{3} B．{5}C．{3,5} D．{1,2,3,4,5,7}答案C解析∵A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,4,5}，∴A∩B＝{3,5}，故选C.3．(2018·某某卷，1)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，则∁U A＝( )A．∅B．{1,3}C．{2,4,5} D．{1,2,3,4,5}答案C解析因为全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，所以根据补集的定义得，∁U A＝{2,4,5}，故选C.4．(2018·全国卷Ⅲ，文1)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝( ) A．{0} B．{1} C．{1,2} D．{0,1,2}答案C解析由集合A＝{x∈R|x≥1}，所以A∩B＝{1,2}，故选C.5．(2018·某某卷，文1)设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{－1，0,2,3}，C＝{x∈R|－1≤x<2}，则(A∪B)∩C＝( )A．{－1,1} B．{0,1}C．{－1,0,1} D．{2,3,4}答案 C解析由并集的定义可得，A∪B＝{－1,0,1,2,3,4}，结合交集的定义可知，(A∪B)∩C ＝{－1,0,1}．故选C.6．(2018·某某卷，理1)设全集为R，集合A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x≥1}，则A∩(∁R B)＝( )A．{x|0<x≤1} B．{x|0<x<1}C．{x|1≤x<2} D．{x|0<x<2}答案 B解析由题意可得，∁R B＝{x|x<1}，结合交集的定义可得，A∩(∁R B)＝{x|0<x<1}．故选B.7．(2018·卷，文1)已知集合A ＝{x ||x |<2}，B ＝{－2,0,1,2}，则A ∩B ＝( ) A ．{0,1} B ．{－1,0,1} C ．{－2,0,1,2} D ．{－1,0,1,2} 答案 A解析 A ＝{x ||x |<2}＝{x |－2<x <2}，B ＝{－2,0,1,2}，∴A ∩B ＝{0,1}．故选A. 8．(2018·全国卷Ⅰ，理2)已知集合A ＝{x |x 2－x －2>0}，则∁R A ＝( ) A ．{x |－1<x <2} B ．{x |－1≤x ≤2} C ．{x |x <－1}∪{x |x >2} D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2} 答案 B解析 解不等式x 2－x －2>0，得x <－1或x >2，所以A ＝{x |x <－1或x >2}，于是∁R A ＝{x |－1≤x ≤2}，故选B.9．(2018·全国卷Ⅲ，文7)下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( )A ．y ＝ln (1－x )B ．y ＝ln (2－x )C ．y ＝ln (1＋x )D ．y ＝ln (2＋x ) 答案 B解析 函数y ＝ln x 过定点(1,0)，(1,0)关于x ＝1对称的点还是(1,0)，只有y ＝ln (2－x )过此点．故B 正确．10．(2018·某某卷，理5)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．c >a >b 答案 D解析 由题意结合对数函数的性质可知，a ＝log 2e>1，b ＝ln 2＝1log 2e ∈(0,1)，c ＝log1213＝log 23>log 2e ，据此可得，c >a >b .故选D.11．(2018·全国卷Ⅱ，文3)函数f (x )＝e x －e－xx2的图象大致为( )答案 B解析 ∵x ≠0，f (－x )＝e －x－e xx2＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数，排除A ，∵f (1)＝e －e －1>0，∴排除D ；∵f (2)＝e 2－e －24＝4e 2－4e 216；f (4)＝e 4－e－416＝e 2·e 2－1e 416，∴f (2)<f (4)，排除C.因此选B.12．(2018·全国卷Ⅰ，理9)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值X 围是( )A ．[－1,0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞) D．[1，＋∞) 答案 C解析 画出函数f (x )的图象，再画出直线y ＝－x ，之后上下移动，可以发现当直线过点A 时，直线与函数图象有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图象有两个交点，即方程f (x )＝－x －a 有两个解，也就是函数g (x )有两个零点，此时满足－a ≤1，即a ≥－1，故选C.13．(2018·全国卷Ⅰ，文12)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值X 围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0) 答案 D解析 将函数f (x )的图象画出来，观察图象可知⎩⎪⎨⎪⎧2x <0，2x <x ＋1，解得x <0，所以满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值X 围是(－∞，0)，故选D.14．(2018·全国卷Ⅲ，理12)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( ) A ．a ＋b <ab <0 B ．ab <a ＋b <0 C ．a ＋b <0<ab D ．ab <0<a ＋b 答案 B解析 ∵a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，∴1a ＝log 0.30.2，1b ＝log 0.32，∴1a ＋1b＝log 0.30.4，∴0<1a ＋1b <1，即0<a ＋b ab<1.又∵a >0，b <0，∴ab <0，即ab <a ＋b <0，故选B.二、填空题15．(2018·某某卷，1)已知集合A ＝{0,1,2,8}，B ＝{－1，1,6,8}，那么A ∩B ＝________. 答案 {1,8}解析 由题设和交集的定义可知，A ∩B ＝{1,8}．16．(2018·某某卷，5)函数f (x )＝log 2x －1的定义域为________． 答案 [2，＋∞)解析 要使函数f (x )有意义，则log 2x －1≥0，解得x ≥2，即函数f (x )的定义域为[2，＋∞)．17．(2018·全国卷Ⅰ，文13)已知函数f (x )＝log 2(x 2＋a )，若f (3)＝1，则a ＝________. 答案 －7解析 根据题意有f (3)＝log 2(9＋a )＝1，可得9＋a ＝2，所以a ＝－7.18．(2018·全国卷Ⅲ，文16)已知函数f (x )＝ln (1＋x 2－x )＋1，f (a )＝4，则f (－a )＝________.答案 －2解析 f (x )＋f (－x )＝ln (1＋x 2－x )＋1＋ln (1＋x 2＋x )＋1＝ln (1＋x 2－x 2)＋2＝2，∴f (a )＋f (－a )＝2，则f (－a )＝－2.19．(2018·卷，理13)能说明“若f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，则f (x )在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是________．答案 y ＝sin x (答案不唯一)解析 令f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ＝0，4－x ，x ∈0，2]，则f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，但f (x )在[0,2]上不是增函数．又如，令f (x )＝sin x ，则f (0)＝0，f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，但f (x )在[0,2]上不是增函数．20．(2018·某某卷，9)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，且在区间(－2,2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx2，0<x ≤2，x ＋12，－2<x ≤0，则f [f (15)]的值为________．答案22解析 由f (x ＋4)＝f (x )得函数f (x )的周期为4，所以f (15)＝f (16－1)＝f (－1)＝－1＋12＝12，因此f [f (15)]＝f 12＝cos π4＝22. 21．(2018·某某卷，15)已知λ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x <λ，当λ＝2时，不等式f (x )<0的解集是________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值X 围是________．答案 (1,4) (1,3]∪(4，＋∞)解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x －4<0或⎩⎪⎨⎪⎧x <2，x 2－4x ＋3<0，所以2≤x <4或1<x <2，即1<x <4，不等式f (x )<0的解集是(1,4)，当λ>4时，f (x )＝x －4>0，此时f (x )＝x 2－4x ＋3＝0，x ＝1,3，即在(－∞，λ)上有两个零点；当λ≤4时，f (x )＝x －4＝0，x ＝4，由f (x )＝x 2－4x ＋3在(－∞，λ)上只能有一个零点，得1<λ≤3.综上，λ的取值X 围为(1,3]∪(4，＋∞)．22．(2018·某某卷，理14)已知a >0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ＋a ，x ≤0，－x 2＋2ax －2a ，x >0.若关于x的方程f (x )＝ax 恰有2个互异的实数解，则a 的取值X 围是________．答案 (4,8)解析 当x ≤0时，方程f (x )＝ax ，即x 2＋2ax ＋a ＝ax ，整理可得，x 2＝－a (x ＋1)，很明显x ＝－1不是方程的实数解，则a ＝－x 2x ＋1，当x >0时，方程f (x )＝ax ，即－x 2＋2ax －2a ＝ax ，整理可得，x 2＝a (x －2)，很明显x ＝2不是方程的实数解，则a ＝x 2x －2，令g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2x ＋1，x ≤0，x 2x －2，x >0，其中－x 2x ＋1＝－x ＋1＋1x ＋1－2，x 2x －2＝x －2＋4x －2＋4，原问题等价于函数g (x )与函数y ＝a 有两个不同的交点，求a 的取值X 围．结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数g (x )的图象，同时绘制函数y ＝a 的图象如图所示，考查临界条件，结合a >0观察可得，实数a 的取值X 围是(4,8)．。
人教A版高中数学必修第一册全册测试卷(含答案)
人教A版高中数学必修第一册全册测试卷（含答案）一、单选题
1．“”是“”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．已知集合，则（）
A．B．
C．D．
3．若集合，0，1，，则
A．B．C．D．
4．已知正数x，y满足：，则x＋y的最小值为( )
A ．B．C．6D．
5．函数，其中，记在区间，上的最小值为（a），则函数（a）的最大值为（）
A．B．0C．1D．2
6．二次函数的图象如图所示，反比例函数与正比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是（）
A．B．
C．D．
7．设函数，则函数的定义域为（）A．B．C．D．
8．函数的定义域为（）A．B．C．D．
9．函数的图象大致为（）
A．B．C．D．
10．设，则的大小关系是（）A．B．C．D．
11．“”是“直线和直线互相垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件。
人教A版高一数学必修第一册全册复习测试题卷含答案解析(56)
人教A 版高一数学必修第一册全册复习测试题卷3（共30题）一、选择题（共10题）1. 下列命题中真命题的个数是 ( ) ①函数 y =sinx ，其导函数是偶函数；②“若 x =y ，则 x 2=y 2”的逆否命题为真命题； ③“x ≥2”是“x 2−x −2≥0”成立的充要条件；④命题 p:“存在 x 0∈R ，x 02−x 0+1<0”，则命题 p 的否定为：“对任意的 x ∈R ，x 2−x +1≥0”． A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 32. 已知定义在实数集 R 上的偶函数 f (x ) 满足 f (x +1)=f (x −1)，且当 x ∈[0,1] 时，f (x )=x 2，则关于 x 的方程 f (x )=12∣x ∣ 在 [−1,2] 上根的个数是 ( ) A ． 2 B ． 4 C ． 6 D ． 83. 设函数 f (x ) 的定义城为 A ，如果对于任意的 x 1∈A ，都存在 x 2∈A ，使得 f (x 1)+f (x 2)=2m （其中 m 为常数）成立，则称函数 f (x ) 在 A 上“与常数 m 相关联”．给定函数：① y =1x ；② y =x 3；③ y =(12)x；④ y =lnx ；⑤ y =cosx +1，则在其定义域上与常数 1 相关联的所有函数是 ( ) A ．①②⑤ B ．①③ C ．②④⑤ D ．②④4. 若不等式x 2+mx +1>0的解集为R ，则m 的取值范围是( ) A ．RB ．(−2，2)C ．(−∞，−2)∪(2，+∞)D ．[−2，2]5. 已知 0<a <1，则方程 a ∣x∣=∣log a x ∣ 的实根个数为 ( ) A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ．与 a 的值有关6. 集合 {x ∈N ∗∣ x −2<3} 的另一种表示形式是 ( ) A ． {0,1,2,3,4} B ． {1,2,3,4} C ． {0,1,2,3,4,5} D ． {1,2,3,4,5}7. 要得到函数 y =cos2x 的图象，只需将函数 y =cos (2x −π) 的图象 ( )A ．向左平移 π3个单位长度B ．向右平移 π3个单位长度C ．向左平移 π6 个单位长度D ．向右平移 π6 个单位长度8. 给出下列命题：①如 a >b ，则 ac 2>bc 2； ② sinx +1sinx ≥2； ③ x 2+2+1x 2+2≥2；④若 a >b >0，则 a −1a >b −1b ； ⑤若 x ≥0，则 t =2x x 2+1的最大值为 1．以上命题正确命题的个数为 ( ) A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 19. 已知函数 f (x )={∣2x −1∣,x ≤1log 2(x −1),x >1，若 f (x 1)=f (x 2)=f (x 3)（x 1，x 2，x 3 互不相等）则x 1+x 2+x 3 的取值范围是 ( ) A ． (0,8) B ． (1,3) C ． (3,4] D ． (1,8]10. k 为整数，化简 sin [(k+1)π+θ]⋅cos [(k+1)π−θ]sin (kπ−θ)⋅cos (kπ+θ)的结果是 ( )A ． ±1B ． −1C ． 1D ． tanθ二、填空题（共10题）11. 方程 ∣∣cos (x +π2)∣∣=∣log 18x ∣ 的解的个数为 （用数字作答）．12. 已知 k 为常数，函数 f (x )={x+2x+1,x ≤0∣lnx ∣,x >0，若关于 x 的方程 f (x )=kx +2 有且只有四个不同解，则实数 k 的取值构成的集合为 ．13. 已知函数 f (x )={∣log 2x ∣,0<x <2sin (π4x),2≤x ≤10，若存在实数 x 1，x 2，x 3，x 4 满足 x 1<x 2<x 3<x 4，且 f (x 1)=f (x 2)=f (x 3)=f (x 4)，则 x 1x 2+x 3+x 4= ．14. 已知函数 f (x )=∣∣∣sinx1x 131∣∣∣，若 f (a )=2021，则 f (−a )= ．15. 已知 tanα，tanβ 是一元二次方程 x 2+3√3x +4=0 的两根，α,β∈(−π2,0)，则 cos (α+β)= ．16. 已知函数 f (x )={∣x 2+5x +4∣,x ≤0,2∣x −2∣,x >0,若函数 y =f (x )−a∣x∣ 恰有 4 个零点，则实数 a的取值范围为 ．17. 如图，是我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为 4，大正方形的面积为 100，直角三角形中较小的锐角为 α，则 tanα= ．18. 若函数 f (x )={−x +6,x ≤23+log a x,x >2（a >0 且 a ≠1）的值域为 [4,+∞)，则 f (1)= ；实数a 的取值范围为 ．19. 已知命题 p ：∃x ∈R ，ax 2+2ax +1≤0，若命题 p 为假命题，则实数 a 的取值范围是 ．20. 已知函数 f (x )={log 2(−x ),x <0x −2,x ≥0，若函数 g (x )=a −∣f (x )∣ 有四个零点 x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1<x 2<x 3<x 4，则 ax 1x 2+x 3+x 4a的取值范围是 ．三、解答题（共10题）21. 已知命题 p ：集合 M ={x∣ x <−3或x >5}，q ：集合 N ={x∣ −a ≤x ≤8}．(1) 若 M ∩N ={x∣ 5<x ≤8}，求实数 a 的取值范围； (2) 若 p 是 q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围．22. 已知函数 f (x )=ln (x −1+a )．(1) 设 f −1(x ) 是 f (x ) 的反函数．当 a =1 时，解不等式 f −1(x )>0；(2) 若关于 x 的方程 f (x )+ln (x 2)=0 的解集中恰好有一个元素，求实数 a 的值；(3) 设 a >0，若对任意 t ∈[12,1]，函数 f (x ) 在区间 [t,t +1] 上的最大值与最小值的差不超过 ln2，求 a 的取值范围．23. 已知函数 f (x ) 的定义域为 D ，值域为 f (D )，即 f (D )={y∣ y =f (x ),x ∈D }．若 f (D )⊆D ，则称 f (x ) 在 D 上封闭．(1) 试分别判断函数 f (x )=2017x +log 2017x ，g (x )=x 2x+1 在 (0,1) 上是否封闭，并说明理由． (2) 函数 f (x )=√x +1+k 的定义域为 D =[a,b ]，且存在反函数 y =f −1(x )．若函数 f (x )在 D 上封闭，且函数 f −1(x ) 在 f (D ) 上也封闭，求实数 k 的取值范围．(3) 已知函数 f (x ) 的定义域是 D ，对任意 x ，y ∈D ，若 x ≠y ，有 f (x )≠f (y ) 恒成立，则称 f (x ) 在 D 上是单射．已知函数 f (x ) 在 D 上封闭且单射，并且满足 f n (D )⫋D ，其中 f n+1(x )=f(f n (x ))，(n ∈N ∗)，f 1(x )=f (x )．证明：存在 D 的真子集 D n ⫋D n−1⫋⋯⫋D 3⫋D 2⫋D 1⫋D ，使得 f (x ) 在所有 D i (i =1,2,3,⋯n ) 上封闭．24. 设函数 f (x ) 的定义域为 D ，若存在正实数 a ，使得对于任意 x ∈D ，有 x +a ∈D ，且f (x +a )>f (x )，则称 f (x ) 是 D 上的“a 距增函数”．(1) 判断函数 f (x )=2x −x 是否为 (0,+∞) 上的“1 距增函数”？说明理由；(2) 写出一个 a 的值，使得 f (x )={x +2,x <0√x x ≥0 是区间 (−∞,+∞) 上的“a 距增函数”；(3) 已知函数 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x >0 时，f (x )=∣x −a ∣−a ．若 f (x ) 为R 上的“2021 距增函数”，求 a 的取值范围．25. 已知关于 x 的方程 x 2−2x +a =0．当实数 a 为何值时，(1) 方程的一个根大于 1，另一个根小于 1？(2) 方程的一个根在区间 (−1,1) 内，另一个根在区间 (2,3) 内？ (3) 方程的两个根都大于零？26. 解答：(1) 函数 y =log 2(x −1) 的图象是由 y =log 2x 的图象如何变化得到的？ (2) 在下边的坐标系中作出 y =∣log 2(x −1)∣ 的图象．(3) 设函数 y =(12)x与函数 y =∣log 2(x −1)∣ 的图象的两个交点的横坐标分别为 x 1，x 2，设M =x 1x 2−2(x 1+x 2)+4，请判断 M 的符号．27. 已知 −π<x <0，且 cos (π2+x)−cosx =−15．(1) 求 sinx −cosx 的值； (2) 求 tanx 的值．28. 已知函数 f (x )=sin (π2−x)sinx −√3cos 2x ．(1) 求 f (x ) 的最小正周期和最大值； (2) 讨论 f (x ) 在 [π6,2π3] 上的单调性．29. 已知二次函数 y =x 2−(a +1a)x +1．(1) 当 a =12 时，求关于 x 的不等式 y ≤0 的解集； (2) 若 a >0，求关于 x 的不等式 y ≤0 的解集．30. 设 x >y >0，求证：x 2x y 2y >(xy )x+y ．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】D【解析】①正确；因为函数 y =sinx ，所以 yʹ=cosx 是偶函数；②正确；因为命题“若 x =y ，则 x 2=y 2”是真命题，所以其逆否命题也是真命题；③错误；当 x ≥2 时，x 2−x −2=(x +1)(x −2)≥0 成立；当 x 2−x −2=(x +1)(x −2)≥0 时，有 x ≥2 或 x ≤−1．④正确；依据特称命题的否定的格式可知正确．【知识点】命题的概念与真假判断、全（特）称命题的概念与真假判断、全（特）称命题的否定2. 【答案】B【知识点】函数的奇偶性、函数的零点分布、函数的周期性3. 【答案】D【解析】若在其定义域上与常数 1 相关联，则满足 f (x 1)+f (x 2)=2． ① y =1x 的定义域为 {x∣ x ≠0}，由 f (x 1)+f (x 2)=2 得 1x 1+1x 2=2，即1x 2=2−1x 1，当 x 1=12时，2−1x 1=2−2=0，此时1x 2=0 无解，不满足条件；② y =x 3 的定义域为 R ，由 f (x 1)+f (x 2)=2 得 (x 1)3+(x 2)3=2，即 x 2=√2−x 133唯一，满足条件；③ y =(12)x 定义域为 R ，由 f (x 1)+f (x 2)=2 得 (12)x 1+(12)x 2=2，即 (12)x 2=2−(12)x 1，当 x 1=−2 时，(12)x 2=2−(12)x 1=2−4=−2，无解，不满足条件；④ y =lnx 定义域为 {x∣ x >0}，由 f (x 1)+f (x 2)=2 得 lnx 1+lnx 2=2，得 lnx 1x 2=2， 即 x 1x 2=e 2，x 2=e 2x 1，满足唯一性，满足条件；⑤ y =cosx +1 的定义域为 R ，由 f (x 1)+f (x 2)=2 得 cosx 1+cosx 2=2，得 cosx 2=2−cosx 1，当 x 1=π3 时，cosx 2=2−cosx 1=2−0=2，无解，不满足条件．故满足条件的函数是②④．【知识点】余弦函数的性质、对数函数及其性质、幂函数及其性质、指数函数及其性质4. 【答案】B【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法即可得出．【解析】解：∵不等式x 2+mx +1>0的解集为R ，∴△=m 2−4<0，解得−2<m <2． ∴m 的取值范围是(−2，2)． 故选：B ．【点评】熟练掌握一元二次不等式的解法是解题的关键．5. 【答案】A【解析】设y1=a∣x∣，y2=∣log a x∣，分别作出它们的图象如图所示．由图可知，有两个交点，故方程a∣x∣=∣log a x∣有两个根．【知识点】函数零点的概念与意义6. 【答案】B【解析】由x−2<3，得x<5，又x∈N∗，所以x=1，2，3，4，即集合的另一种表示形式是{1,2,3,4}，故选B．【知识点】集合的表示方法7. 【答案】C【解析】y=cos(2x−π3)=cos2(x−π6)的图象，向左平移π6个单位长度可得函数y=cos2x的图象．【知识点】三角函数的图象变换8. 【答案】C【知识点】均值不等式的应用9. 【答案】C【解析】设f(x1)=f(x2)=f(x3)=a，作出函数f(x)的图象与直线y=a，如图．由图可知0<a≤1，不妨设x1<x2<x3，则x1+x2=1，log2(x3−1)=a，因此x3=2a+1，故x1+x2+x3=2+2a，又0<a≤1，所以1<2a≤2，因此3<x1+x2+x3≤4．【知识点】函数的零点分布10. 【答案】B【解析】当k为偶数时，设k=2n，n∈Z，则原式=sin[(2n+1)π+θ]⋅cos[(2n+1)π−θ]sin(2nπ−θ)⋅cos(2nπ+θ)=sin(π+θ)⋅cos(π−θ)−sinθ⋅cosθ=−sinθ⋅(−cosθ)−sinθ⋅cosθ=−1.当k为奇数时，设k=2n+1，n∈Z，则原式=sin[(2n+2)π+θ]⋅cos[(2n+2)π−θ]sin[(2n+1)π−θ]⋅cos[(2n+1)π+θ]=sin[2(n+1)π+θ]⋅cos[(2n+1)π−θ]sin(π−θ)⋅cos(π+θ)=sinθ⋅cosθsinθ⋅(−cosθ)=−1.综上，原式的值为−1．【知识点】诱导公式二、填空题（共10题）11. 【答案】12【知识点】对数函数及其性质、函数的零点分布、Asin(ωx+ψ)形式函数的性质12. 【答案】{1e3}∪(−e,−1)【解析】作函数y=f(x)和y=kx+2的图象，如图所示，两图象除了(0,2)还应有3个公共点，当k≥0时，直线应与曲线y=f(x)（x>1）相切，设切点(x0,lnx0)，则切线斜率为k=1x0，又 k =lnx 0−2x 0，则 1x 0=lnx 0−2x 0，解得 x 0=e 3，此时 k =1e 3，当 k <0 时，当 y =kx +2 与曲线 y =x+2x+1相切于点 (0,2) 时，函数 y =f (x ) 和 y =kx +2的图象只有三个公共点，不符合题意，此时 k =−1，当 −1<k <0 时，函数 y =f (x ) 和 y =kx +2 的图象只有三个公共点，不符合题意， 当直线 y =kx +2 与 y =f (x )（0<x <1）相切时，两图象只有三个公共点， 设切点 (x 0,−lnx 0)，则切线的斜率 k =−1x 0，又 k =−lnx 0−2x 0，则 −1x 0=−lnx 0−2x 0，解得 x 0=e −1，此时 k =−e 不符合题意， 当 k <−e 时，两图象只有两个公共点，不合题意， 而当 −e <k <−1 时，两图象有 4 个公共点，符合题意， 所以实数 k 的取值范围是 {1e 3}∪(−e,−1)．【知识点】函数的零点分布、利用导数求函数的切线方程13. 【答案】 13【解析】作出函数 y =f (x ) 的图象如图所示：由于 f (x 1)=f (x 2)=f (x 3)=f (x 4)，则 x 1，x 2，x 3，x 4 可视为直线 y =k 与曲线 y =f (x ) 有四个交点时，四个交点的横坐标．由图象可知，∣log 2x 1∣=∣log 2x 2∣，由于 0<x 1<1<x 2<2，则 log 2x 1<0，log 2x 2>0， 所以，−log 2x 1=log 2x 2，即 log 2x 1+log 2x 2=log 2(x 1x 2)=0，得 x 1x 2=1， 由图象知，曲线 y =sin πx 4(2≤x ≤10) 的图象关于直线 x =6 对称，所以，x 3+x 4=12， 因此，x 1x 2+x 3+x 4=13， 故答案为 13．【知识点】函数的零点分布14. 【答案】 −2021【解析】 f (x )=sinx −x 13，为奇函数， 所以 f (−a )=−f (a )=−2021． 【知识点】函数的奇偶性15. 【答案】 −12【知识点】两角和与差的正切、两角和与差的余弦16. 【答案】(1,2)【解析】考查函数 y =f (x ) 图象与 y =a ∣x ∣ 图象的交点的情况，根据图象，得 a >0． 当 a =2 时，函数 y =f (x ) 与 y =a ∣x ∣ 图象有 3 个交点； 当 y =a ∣x ∣(x ≤0) 图象与 y =∣x 2+5x +4∣ 图象相切时，在整个定义域内，函数 y =f (x ) 图象与 y =a ∣x ∣ 图象有 5 个交点，此时，由 {y =−ax,y =−x 2−5x −4, 得 x 2+(5−a )x +4=0．由 Δ=0，解得 a =1 或 a =9（舍去）．故当 1<a <2 时，函数 y =f (x ) 与 y =a ∣x ∣ 图象有 4 个交点．【知识点】函数零点的概念与意义、函数图象17. 【答案】 34【解析】由题意得大正方形的边长为 10，小正方形的边长为 2， 所以 2=10cosα−10sinα， 即 cosα−sinα=15 ⋯⋯ ①， 两边同时平方得 (cosα−sinα)2=125，即 cos 2α+sin 2α−2sinαcosα=125，又因为 cos 2α+sin 2α=1， 所以 2sinαcosα=2425， 所以(cosα+sinα)2=cos 2α+sin 2α+2sinαcosα=1+2425=4925,已知 α 为锐角，所以 cosα+sinα=75 ⋯⋯ ②， 由①②得 cosα=45，sinα=35，所以 tanα=34．【知识点】同角三角函数的基本关系18. 【答案】 5 ； (1,2]【知识点】函数的值域的概念与求法19. 【答案】 [0,1)【解析】因为“∃x ∈R ，ax 2+2ax +1≤0”为假命题， 所以其否定“∀x ∈R ，ax 2+2ax +1>0”为真命题． 当 a =0 时，显然成立；当 a ≠0 时，ax 2+2ax +1>0 恒成立可化为：{a >0,4a 2−4a <0,解得 0<a <1．综上实数 a 的取值范围是 [0,1)．【知识点】全（特）称命题的概念与真假判断20. 【答案】 [4,+∞)【知识点】函数的零点分布三、解答题（共10题）21. 【答案】(1) −5≤a≤3．(2) a≥3．【知识点】交、并、补集运算、充分条件与必要条件22. 【答案】(1) 当a=1时，f(x)=ln(x−1+1)，由y=ln(x−1+1)得x−1+1−=e y，所以x=1e y−1，因为f−1(x)是f(x)=ln(x−1+a)的反函数，所以f−1(x)=1e x−1，x≠0，由f−1(x)>0得1e x−1>0，所以：e x−1>0，解得：x>0，即不等式f−1(x)>0的解集为{x∣ x>0}；(2) 方程f(x)+ln(x2)=0即ln(x−1+a)+ln(x2)=0，所以x+ax2=1，① a=0，则x=1，经过验证，满足关于x的方程f(x)+ln(x2)=0的解集中恰好有一个元素；② a≠0时，（i）若Δ=1+4a=0，解得a=−14，代入x+ax2=1，解得x=2，经过验证，满足关于x的方程f(x)+ln(x2)=0的解集中恰好有一个元素；(ii)若Δ=1+4a>0，则a>−14；当a>0时由1x +a>0解x>0或x<−1a，即方程f(x)+ln(x2)=0的解要在(−∞,−1a)∪(0,+∞)范围内，解方程x+ax2=1得x=−1±√1+4a2a，因为x=−1+√1+4a2a >2√a2a>0，所以为使关于x的方程f(x)+ln(x2)=0的解集中恰好有一个元素，只需−1−√1+4a2a ≥−1a，即1+√1+4a≤1，显然不成立；当−14<a<0时，由1x+a>0解得：0<x<−1a，即方程f(x)+ln(x2)=0的解要在(0,−1a)范围内，解方程x+ax2=1得x=−1±√1+4a2a，因为a<0，所以−1−√1+4a2a >0，−1+√1+4a2a>0，且−1+√1+4a2a >−1−√1+4a2a，因此只需−1+√1+4a2a <−1a<−1−√1+4a2a，即1−√1+4a2<1<1+√1+4a2，即{−√1+4a<1,√1+4a>1,解得：a>0，与−14<a<0矛盾，也不满足题意；综上，实数a的值为0或−14；(3) 由对数函数的单调性可得y=lnx单调递增，根据幂函数单调性可得y=x−1+a在(0,+∞)上单调递减，因为a>0，t∈[12,1]，所以，根据复合函数单调性，可得f(x)=ln(x−1+a)在区间[t,t+1]上单调递减，因此f(x)max=ln(t−1+a)，f(x)min=ln(1t+1+a)，又函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值的差不超过ln2，所以ln(t−1+a)−ln(1t+1+a)≤ln2，即(at+1)(t+1)t(at+a+1)≤2，整理得a≥1−tt2+t即a≥1−tt2+t对任意的t∈[12,1]恒成立，令g(t)=1−tt2+t ，t∈[12,1]，任取12≤t1<t2≤1，则g (t 1)−g (t 2)=1−t 1t 12+t 1−1−t2t 22+t 2=(1−t 1)(t 22+t 2)−(1−t 2)(t 12+t 1)(t 12+t 1)(t 22+t 2)=(t 22+t 2−t 1t 22−t 1t 2)−(t 12+t 1−t 12t 2−t 1t 2)(t 12+t 1)(t 22+t 2)=(t 2−t 1)(t 2+t 1+1−t 1t 2)(t 12+t 1)(t 22+t 2),因为 12≤t 1<t 2≤1，所以 t 2−t 1>0，t 2+t 1+1−t 1t 2>0，(t 12+t 1)(t 22+t 2)>0，因此 g (t 1)−g (t 2)=(t 2−t 1)(t 2+t 1+1−t 1t 2)(t 12+t 1)(t 22+t 2)>0，即 g (t 1)>g (t 2)；所以 g (t )=1−t t 2+t 在 t ∈[12,1] 上单调递减， 所以 g (t )max =g (12)=23，因此，只需 a ≥g (t )max =23，故 a 的取值范围为 [23,+∞)．【知识点】对数函数及其性质、函数的最大（小）值、反函数23. 【答案】(1) 因为函数 f (x ) 的定义域为 (0,+∞)，值域为 (−∞,+∞)，（取一个具体例子也可），所以f (x ) 在 (0,1) 上不封闭． t =x +1∈(1,2)，g (x )=ℎ(t )=(t−1)2t=t +1t −2∈(0,12)⊆(0,1)，g (x ) 在 (0,1) 上封闭．(2) 函数 f (x ) 在 D 上封闭，则 f (D )⊆D . 函数 f −1(x ) 在 f (D ) 上封闭，则 D ⊆f (D )， 得到：D =f (D )．f (x )=√x +1+k 在 D =[a,b ] 单调递增．则 f (a )=a ，f (b )=b ⇔f (x )=√x +1+k =x 在 [−1,+∞) 两不等实根． g (x )=x 2−(2k +1)x +k 2−1=0({x ≥−1,x ≥k,)故 {(2k +1)2−4(k 2−1)>0,g (−1)≥0,g (k )≥0,2k+12>k,2k+12>−1,解得k∈(−54,−1]．另解：⇔f(x)=√x+1+k=x在[−1,+∞)两不等实根．令t=√x+1(t≥0)，k+1=t2−t在t∈[0,+∞)有两个不等根，画图，由数形结合可知，k+1∈(−14,0]，解得k∈(−54,−1]．(3) 如果f(D)=D，则f n(D)=D，与题干f n(D)⫋D矛盾．因此f(D)⫋D，取D1=f(D)，则D1⫋D．接下来证明f(D1)⫋D1．因为f(x)是单射，因此取一个p∈D∖D1，则p是唯一的使得f(x)=f(p)的根，换句话说f(p)∉f(D1)．考虑到P∈D∖D1，即D1∉D∖{p}．因为f(x)是单射，则f(D1)⫋f(D∖{p})=f(D)∖{f(p)}=D1∖{f(p)}⫋D1．这样就有了f(D1)⫋D1．接着令D n+1=f(D n)，并重复上述论证证明D n+1⫋D n．【知识点】函数的值域的概念与求法、指数函数及其性质、反函数24. 【答案】(1) 函数f(x)=2x−x是(0,+∞)上的“1距增函数”，任意x∈(0,+∞)，有x+1∈(0,+∞)，且2x>1，所以f(x+1)−f(x)=2x+1−(x+1)−(2x−x)=2x−1>0，因此f(x)=2x−x是(0,+∞)上的“1距增函数”．(2) a=10（答案不唯一，不小于4即可）(3) f(x)={∣x−a∣−a,x>0 0,x=0−∣x+a∣+a,x≤0因为f(x)为R上的“2021距增函数”，∪）当x>0时，由定义∣x+2021−a∣−a>∣x−a∣−a恒成立，即∣x+2021−a∣>∣x−a∣恒成立，由绝对值几何意义可得a+a−2021<0，a<20212；∪）当x<0时，分两种情况：当x<−2021时，由定义−∣x+2021+a∣+a>−∣x+a∣+a恒成立，即∣x+2021+a∣<∣x+a∣恒成立，由绝对值几何意义可得−a−a−2021>0，a<−20212；当−2021≤x<0时，由定义−∣x+a∣+a<∣x+2021−a∣−a恒成立，即 ∣x +2021−a ∣+∣x +a ∣≥∣2021−2a ∣>2a 恒成立， 当 a ≤0 时，显然成立， 当 a >0 时，可得 0<a <20214； 综上，a 的取值范围为 (−∞,20214)．【知识点】函数的单调性25. 【答案】(1) 已知方程的一个根大于 1，另一个根小于 1，结合二次函数 y =x 2−2x +a 的图象知（图略），当 x =1 时的函数值小于 0，即 12−2+a <0，所以 a <1． 因此 a 的取值范围是 {a∣ a <1}．(2) 由方程的一个根在区间 (−1,1) 内，另一个根在区间 (2,3) 内，结合二次函数 y =x 2−2x +a 的图象知（图略），x 取 −1，3 时函数值为正，x 取 1，2 时函数值为负．即 {1+2+a >0,1−2+a <0,4−4+a <0,9−6+a >0,解得 −3<a <0．因此 a 的取值范围是 {a∣ −3<a <0}．(3) 由方程的两个根都大于零，结合二次函数 y =x 2−2x +a 的图象知（图略），判别式不小于 0，图象的对称轴在 y 轴右侧，且当 x =0 时，函数值为正，即 {Δ=4−4a ≥0,−−22>0,a >0,解得 0<a ≤1．因此 a 的取值范围是 {a∣ 0<a ≤1}． 【知识点】函数的零点分布26. 【答案】(1) 函数 y =log 2(x −1) 的图象是由 y =log 2x 的图象向右平移 1 个单位得到的．(2) 在下边的坐标系中作出 y =∣log 2(x −1)∣ 的图象，如图所示；(3) 设函数 y =(12)x与函数 y =∣log 2(x −1)∣ 的图象的两个交点的横坐标分别为 x 1，x 2， 所以 M =x 1x 2−2(x 1+x 2)+4=(x 1−2)(x 2−2)<0．【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质、函数的图象变换27. 【答案】(1) 由已知，得 sinx +cosx =15，两边平方得 sin 2x +2sinxcosx +cos 2x =125， 整理得 2sinxcosx =−2425．因为 (sinx −cosx )2=1−2sinxcosx =4925，由 −π<x <0 知，sinx <0，又 sinxcosx =−1225<0， 所以 cosx >0，所以 sinx −cosx <0， 故 sinx −cosx =−75．(2) 故此 sinx =−35，cosx =45， 所以 tanx =−34．【知识点】同角三角函数的基本关系28. 【答案】(1)f (x )=sin (π2−x)sinx −√3cos 2x=cosxsinx −√32(1+cos2x )=12sin2x −√32cos2x −√32=sin (2x −π3)−√32,所以 f (x ) 的最小正周期为 π，最大值为 2−√32．(2) 当 x ∈[π6,2π3] 时，0≤2x −3≤π，所以当 0≤2x −π3≤π2，即 π6≤x ≤5π12时，f (x ) 单调递增，当π2≤2x −π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x ) 单调递减．综上，可知 f (x ) 在 [π6,5π12] 上单调递增，在 [5π12,2π3] 单调递减．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质29. 【答案】(1) 当 a =12 时，有 x 2−52x +1≤0，即 2x 2−5x +2≤0，解得 12≤x ≤2，故不等式y≤0的解集为{x∣ 12≤x≤2}．(2) y≤0⇔x2−(a+1a )x+1≤0⇔(x−1a)(x−a)≤0，①当0<a<1时，a<1a ，不等式的解集为{x∣ a≤x≤1a}；②当a=1时，a=1a=1，不等式的解集为{1}；③当a>1时，a>1a ，不等式的解集为{x∣ 1a≤x≤a}．综上，当0<a<1时，不等式的解集为{x∣ a≤x≤1a}；当a=1时，不等式的解集为{1}；当a>1时，不等式的解集为{x∣ 1a≤x≤a}．【知识点】二次不等式的解法30. 【答案】由x>y>0，x2x y2y>(xy)x+y可等价变形为x2x y2y(xy)x+y >1，即要证(xy)x−y>1．因为xy >1，x−y>0，由幂的基本不等式，可知(xy)x−y>1．【知识点】幂的概念与运算。
人教A版高一数学必修第一册《函数的概念与性质》单元练习题卷含答案解析(25)
人教A 版高一数学必修第一册《函数的概念与性质》单元练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1. 若函数 f (x )=x 2−3x −4 的定义域为 [0,m ]，值域为 [−254,−4]，则实数 m 的取值范围是( ) A ． (0,4] B ． [−254,−4]C ． [32,3]D ． [32,+∞)2. 已知定义域在 R 上的函数 f (x ) 满足 f (x +y )=f (x )+f (y )+4xy (x,y ∈R )，若 f (1)=2，则 f (−2) 等于 ( ) A ． 2 B ． 4 C ． 8 D ． 163. 设 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，当 x ≤0 时，f (x )=2x 2−x ，则 f (1)= ( ) A ． −3 B ． −1 C ． 1 D ． 34. 据统计，一名工人组装第 x 件某产品所用的时间（单位：分钟）f (x )=√x x <m√mx ≥m （m ，c 为常数），已知工人组装第 4 件产品所用的时间为 30 分钟，工人组装第 m 件产品所用的时间为 15 分钟，则 m = ( ) A ．49 B ．25 C ．16 D ．95. 设 f (x ) 是定义在 R 上的函数若存在两个不等实数 x 1,x 2∈R ，使得 f (x 1+x 22)=f (x 1)+f (x 2)2，则称函数 f (x ) 具有性质 P ，那么下列函数：①f (x )={1x ,x ≠00,x =0；②f (x )=x 3；③f (x )=∣x 2−1∣；④f (x )=x 2．不具有性质 P 的函数为 ( ) A ． ① B ． ② C ． ③ D ． ④6. 下列函数中，定义域是 R 且为增函数的是 ( ) A ． y =(x −1)2 B ． y =x 3 C ． y =1xD ． y =∣x ∣7. 已知定义在 (0,+∞) 上的函数 f (x ) 为增函数，且 f (x )⋅f (f (x )+1x )=1，则 f (1) 等于( ) A ． 1+√52B ．1−√52C ．1+√52或 1−√52D ． √58. 已知函数 f (x ) 满足：对任意 x 1,x 2∈R 有 f (x 1+x 2)=f (x 1)+f (x 2)+1，下列说法一定正确的是 ( ) A ． f (x ) 为奇函数 B ． f (x ) 为偶函数 C ． f (x )+1 为奇函数D ． f (x )+1 为偶函数9. 已知 a ∈{−1,2,12,3,13}，若 f (x )=x a 为奇函数，且在 (0,+∞) 上单调递增，则实数 a 的值为( ) A ． −1，3 B ． 13，3C ． −1，13，3D ． 13，12，310. 根据统计，一名工人组装第 x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为 f (x )={√x x <a√ax ≥a （a ，c为常数）．已知该工人组装第 4 件产品用时 30 分钟，组装第 a 件产品用时 5 分钟，则 c 和 a 的值分别是 ( ) A ． 75，25 B ． 75，16 C ． 60，144 D ． 60，16二、填空题（共6题）11. 在平面直角坐标系 xOy 中，对于点 A (a,b )，若函数 y =f (x ) 满足：∀x ∈[a −1,a +1]，都有y ∈[b −1,b +1]，则称这个函数是点 A 的“界函数”．已知点 B (m,n ) 在函数 y =−12x 2 的图象上，若函数 y =−12x 2 是点 B 的“界函数”，则 m 的取值范围是 ．12. 已知 f (x )=ax 7−bx 5+cx 3+2，且 f (−5)=m ，则 f (5)+f (−5) 的值为 ．13. 常见函数模型（1）一次函数模型： (k ≠0)； （2）二次函数模型： (a ≠0)； （3）反比例函数模型： (k ≠0)；（4）分段函数模型：y ={f (x ),x ∈I 1g (x ),x ∈I 2⋯⋯.14. 若 2f (x )+f (1x )=2x +12(x ≠0)，则 f (2)= ．15. 已知定义在区间 [−1,0)∪(0,1] 上的函数 y =f (x ) 的图象如图所示，则不等式 f (x )>2x +f (−x ) 的解集为 ．16. 已知 f (x )=x x+1+x+1x+2+x+2x+3+⋯⋯+x+2020x+2021，F (x )=f (x +m )−n ，若函数 y =F (x ) 为奇函数，则 ∣x 2+m ∣+∣x −n ∣ 的最小值为 ．三、解答题（共6题）17. 某企业生产的新产品必须先靠广告打开销路，该产品广告效益应该是产品的销售额与广告费之间的差，如果销售额与广告费的算术平方根成正比，那么根据对市场的抽样调査发现：每投入 100 万元的广告费，所得的销售额是 1000 万元，问：该企业投入多少广告费才能获得最大的广告效益？18. 定义在 R 上的严格减函数 y =f (x ) 满足：当且仅当 x ∈M ⊆R + 时，函数值 f (x ) 的集合为[0,2] 且 f (12)=1；对 M 中的任意 x 1，x 2 都有 f (x 1⋅x 2)=f (x 1)+f (x 2)．(1) 求证；14∈M ，18∉M ；(2) 求证：y =f (x ) 在 M 上的反函数 f −1(x ) 满足 f −1(x 1)⋅f −1(x 2)=f −1(x 1+x 2)； (3) 设 x ∈[0,2]，解不等式 f −1(x 2+x )⋅f −1(x +2)≤14．19. 国庆期间，某旅行组团去风景区旅游，若旅行团人数在 30 人或 30 人以下，飞机票价格为 900元；若旅行团人数多于 30 人，则给予优惠：每多 1 人，飞机票价格就减少 10 元，直到达到规定人数 75 人为止．旅行团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费 15000 元． (1) 写出飞机票的价格关于人数的函数；(2) 旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？20.用区间表示下列集合：(1) {x∣ x≥1}；(2) {x∣ x−2x+1≥0}；(3) {x∣ x=1,或2≤x≤8}；(4) {x∣ x<−4,或−1<x≤2}．21.判断下列函数的奇偶性．(1) f(x)=∣x∣⋅(3x−3−x)，x∈R．(2) f(x)=x(12x−1+12)，x∈R，x≠0．22.已知函数f(x)=(x−2)(x+a)，其中a∈R．(1) 若f(x)的图象关于直线x=1对称，求a的值；(2) 求f(x)在区间[0,1]上的最小值．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】C【解析】如图，作出y=x2−3x−4的图象．,3]．由图可知，m∈[32【知识点】函数的值域的概念与求法、函数的定义域的概念与求法2. 【答案】C【知识点】抽象函数3. 【答案】A【解析】因为当x≤0时，f(x)=2x2−x，所以f(−1)=2(−1)2−(−1)=3，又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(1)=−f(−1)=−3．【知识点】函数的奇偶性4. 【答案】C=15为定值，【解析】由已知条件可知当x=m时，f(x)=√m且当x=4时，f(x)=30≠15，所以4<m．=30，解得c=60．所以f(4)=√4=15中，解得m=16．代入f(m)=√m【知识点】函数模型的综合应用5. 【答案】D【解析】 ① 选择的两点关于原点对称即可，如图（1），A 1(x 1,y 2)，A 2(x 2,y 2) 满足； ② 同 ①，选择的两点关于原点对称即可，如图（2）；③ 如图，y =1 与 f (x ) 的交点满足题意，当然，其他点对也有满足； ④ 没有满足的点对，证明：假设存在 x 1,x 2∈R ，使得：f (x 1+x 22)=f (x 1)+f (x 2)2，即：(x 1+x 22)2=x 12+x 222⇒x 1=x 2，又 x 1≠x 2，故不存在．【知识点】幂函数及其性质6. 【答案】B【知识点】函数的单调性7. 【答案】B【解析】令 x =1，得 f (1)f (f (1)+1)=1， 令 t =f (1)，则 tf (t +1)=1， 所以 f (t +1)=1t ．令 x =t +1，则 f (t +1)f (f (t +1)+1t+1)=1t ⋅f (1t +1t+1)=1， 所以 f (1t +1t+1)=t =f (1)．因为函数 f (x ) 为定义在 (0,+∞) 上的增函数， 所以 1t +1t+1=1，变形可得 t 2−t −1=0， 解得 t =1+√52或 t =1−√52．所以 f (1)=1+√52或 f (1)=1−√52．令 x =2，得 f (2)f (f (2)+12)=1，令 s =f (2)，则 sf (s +12)=1，所以 f (s +12)=1s ，令 x =s +12，则 f (s +12)⋅f (f (s +12)+1s+12)=1s f (1s +22s+1)=1，则 f (1s +22s+1)=s =f (2)． 所以 1s +22s+1=2， 所以 4s 2−2s −1=0， 解得 s =1−√54或 s =1+√54，所以 f (2)=1−√54或 f (2)=1+√54．因为 f (1)<f (2)， 所以 f (1)=1−√52．【知识点】函数的解析式的概念与求法、函数的单调性8. 【答案】C【解析】方法一：对任意的 x 1,x 2∈R 有 f (x 1+x 2)=f (x 1)+f (x 2)+1， 取 x 1=x 2=0 得 f (0)=−1， 取 x 1=x ，x 2=−x 得， f (0)=f (x )+f (−x )+1，所以 f (x )+1=−f (−x )=−[f (−x )+1]， 所以 f (x )+1 为奇函数． 方法二：由已知 f (x 1+x 2)=f (x 1)+f (x 2)+1， 设 x 1=x 2=0，则 f (0)=2f (0)+1， 解得：f (0)=−1，又设 x 1=x ，x 2=−x ，则 x 1+x 2=x −x =0， 所以 f (0)=f (x )+f (−x )+1，所以 f (x )+f (−x )+1+1=0，所以 [f (x )+1]+[f (−x )+1]=0，由奇函数定义可知，f (x )+1 为奇函数． 【知识点】抽象函数、函数的奇偶性9. 【答案】B【解析】因为 f (x ) 在 (0,+∞) 上单调递增，所以 a >0，排除选项A ，C ；当 a =12 时，f (x )=x 12=√x 为非奇非偶函数，不满足条件，排除D ，故选B ． 【知识点】幂函数及其性质10. 【答案】C【解析】显然 a >4，则由题意可得 {√4=30,√a=5, 解得 {c =60,a =144,故选C ．【知识点】函数模型的综合应用二、填空题（共6题） 11. 【答案】 [−12,12]【解析】 B (m,n ) 在 y =−12x 2 上， 所以 n =−12m 2，所以 ∀x ∈[m −1,m +1]， 都有 y ∈[−12m 2−1,12m 2+1]，即都有 y max ≤12m 2+1，y min ≥12m 2−1，所以下面讨论 13x ∈[m −1,m +1] 时，y 的最值， ① m ≤−1 时，m +1≤0， 所以单调减，所以 y max =−12(m +1)2，y min =−12(m −1)2，所以 {−12(m +1)2≤12m 2+1,−12(m −1)2≥12m 2−1,无解．② −1<m ≤0 时，0<m +1≤1，−2<m −1≤−1，所以 y max =0，y min =−12(m −1)2 (取不到)， 所以 {0≤12m 2+1,−12(m −1)2≥12m 2−1,所以 −12≤m ≤0． ③ 0<m ≤1 时，1<m +1≤2，−1<m −1≤0， 所以 y max =0，y min =−12(m +1)2，所以 {0≤12m 2+1,−12(m +1)2≥12m 2−1,所以 0<m ≤12．④ m >1 时，m −1>0，所以 y max =−12(m −1)2 (取不到)，y min =−12(m +1)2，所以 {−12(m −1)2≤12m 2+1,−12(m +1)2≥12m 2−1,无解．综上：−12≤m ≤12．【知识点】函数的最大（小）值12. 【答案】 4【解析】由 f (−5)=a (−5)7−b (−5)5+c (−5)3+2=−a ⋅57+b ⋅55−c ⋅53+2=m ， 得 a ⋅57−b ⋅55+c ⋅53=2−m ，则 f (5)=a ⋅57−b ⋅55+c ⋅53+2=2−m +2=4−m ， 所以 f (5)+f (−5)=4−m +m =4． 【知识点】函数的奇偶性13. 【答案】 y =kx +b ； y =ax 2+bx +c ； y =kx【知识点】函数模型的综合应用14. 【答案】 52【解析】令 x =2 得，2f (2)+f (12)=92， 令 x =12 得，2f (12)+f (2)=32，消去 f (12) 得，f (2)=52．【知识点】函数的解析式的概念与求法15. 【答案】 [−1,12)∪(0,12)【解析】如图可知 f (x ) 是在区间 [−1,0)∪(0,1] 上的奇函数， f (x )=−f (−x )，不等式 f (x )>2x +f (−x )，f (x )−f (−x )>2x ， 2f (x )>2x ， f (x )>x ，所以解集为 [−1,12)∪(0,12)．【知识点】函数的单调性、函数的奇偶性16. 【答案】 2021−√1011【解析】由已知可得：f (x )=1−1x+1+1−1x+2+⋯+1−1x+2021=2021−(1x+1+1x+2+⋯+1x+2021),所以f =(−2022−x )=2021−(1−2021−x +1−2020−x +⋯+1−x−1), 所以 f (x )+f (−2022−x )=4042，又函数 F (x ) 为奇函数，则 F (−x )=−F (x )， 所以 f (x )+f (2m −x )=2n ， 则 2m =−2022，2n =4042， 所以 m =−1011，n =2021， 令g (x )=∣x 2+m ∣+∣x −n ∣=∣x 2−1011∣+∣x −2021∣={ x 2−x +1010,x <−√1011−x 2−x +3033,−√1011≤x ≤√1011x 2−x +1010,√1011<x <2021x 2+x −3033,2021≤x , 由二次函数的单调性可知：min {g (−√1011,g(√1011))}=g(√1011)=2021−√1011． 【知识点】函数的最大（小）值、函数的奇偶性三、解答题（共6题）17. 【答案】设广告费为 x 万元时，广告效益为 y 万元，销售额为 t 万元．由题意可设 t =k √x (k >0)，则 y =t −x =k √x −x ．因为当 x =100 时，t =1000．故 1000=√100k ，解得 k =100．所以 t =100√x, 所以 y =100√x −x ．令 √x =m ，则 m ≥0，y =100m −m 2=−(m −50)2+2500，所以当 m =50，即 x =2500 时，y 取得最大值，最大值为 2500． 所以该企业投入 2500 万元广告费时，能获得最大的广告效益．【知识点】函数模型的综合应用18. 【答案】(1) 因为 12∈M ，又 14=12×12，f (12)=1，所以 f (14)=f (12×12)=f (12)+f (12)=2∈[0,2]，所以 14∈M ，又因为 f (18)=f (14×12)=f (14)+f (12)=3∉[0,2]，所以 18∉M ．(2) 因为 y =f (x ) 在 M 上是严格减函数，所以 y =f (x ) 在 M 上有反函数 y =f −1(x )，x ∈[0,2]．任取 x 1,x 2∈[0,2]，设 y 1=f −1(x 1)，y 2=f −1(x 2)，所以 x 1=f (y 1)，x 2=f (y 2)（y 1,y 2∈M ）．因为 x 1+x 2=f (y 1)+f (y 2)=f (y 1y 2)，所以 y 1y 2=f −1(x 1+x 2)．又 y 1y 2=f −1(x 1)f −1(x 2)，所以 f −1(x 1)⋅f −1(x 2)=f −1(x 1+x 2)．(3) 因为 y =f (x ) 在 M 上是严格减函数，所以 f −1(x ) 在区间 [0,2] 上也是严格减函数．f −1(x 2−x )⋅f −1(x +2)≤14 等价于 f −1(x 2−x +x +2)≤f −1(2)． 转化为 {0≤x 2−x ≤2,0≤x +2≤2,x 2+2≥2,解得 {−1≤x ≤0或1≤x ≤2,−2≤x ≤0,x ∈R.即 −1≤x ≤0．所以，不等式的解集为 [−1,0]．【知识点】函数的单调性、抽象函数、反函数19. 【答案】(1) 设旅行团人数为 x ，飞机票价格为 y 元，则 y ={900,0<x ≤30,x ∈N ∗900−10(x −30),30<x ≤75,x ∈N ∗， 即 y ={900,0<x ≤30,x ∈N ∗1200−10x,30<x ≤75,x ∈N ∗． (2) 设旅行社获利 S 元，则 S ={900x −15000,0<x ≤30,x ∈N ∗x (1200−10x )−15000,30<x ≤75,x ∈N ∗， 即 S ={900x −15000,0<x ≤30,x ∈N ∗−10(x −60)2+21000,30<x ≤75,x ∈N ∗． 因为 S =900x −15000 在区间 (0,30] 上单调递增，当 x =30 时，S 取最大值 12000．又 S =−10(x −60)2+21000 在区间 (30,75] 上的对称轴为 x =60， 当 x =60 时，S 取最大值 21000．故当 x =60 时，旅行社可获得最大利润．【知识点】建立函数表达式模型、函数模型的综合应用20. 【答案】(1) {x∣ x ≥1}=[1,+∞)．(2) {x∣ x−2x+1≥0}={x∣ x <−1,或x ≥2}=(−∞,−1)∪[2,+∞)．(3) {x∣ x =1,或2≤x ≤8}={1}∪[2,8]．(4) {x∣ x <−4,或−1<x ≤2}=(−∞,−4)∪(−1,2]．【知识点】函数的相关概念21. 【答案】(1) 由于 f (−x )=∣−x ∣⋅(3−x −3x )=∣x ∣⋅(3−x −3x )=−∣x ∣⋅(3x −3−x )=−f (x )， 且函数的定义域为 (−∞,+∞)，关于原点对称，所以 f (x ) 为奇函数．(2) f (x ) 的定义域为 (−∞,0)∪(0,+∞)，关于原点对称．f (x )=x (12x −1+12)=x ⋅1+2x 2(2x −1)， 又 f (−x )=−x ⋅1+2−x 2(2−x −1)=−x ⋅(1+2−x )⋅2x 2(2−x −1)⋅2x =−x (2x +1)2(1−2x )=x ⋅1+2x 2(2x −1)=f (x )，所以 f (x ) 为偶函数．【知识点】函数的奇偶性22. 【答案】(1) 方法一：因为f(x)=(x−2)(x+a)=x2+(a−2)x−2a，所以，f(x)的图象的对称轴方程为x=2−a2，由2−a2=1，得a=0．方法二：因为函数f(x)的图象关于直线x=1对称，所以必有f(0)=f(2)成立，所以−2a=0，得a=0．(2) 函数f(x)的图象的对称轴方程为x=2−a2，①当2−a2≤0，即a≥2时，因为f(x)在区间(0,1)上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)=−2a，②当0<2−a2<1，即0<a<2时，因为f(x)在区间(0,2−a2)上单调递减，在区间(2−a2,1)上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(2−a2)=−(2+a2)2，③当2−a2≥1，即a≤0时，因为f(x)在区间(0,1)上单调递减，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)=−(1+a)．【知识点】二次函数的性质与图像、函数的最大（小）值、函数的对称性。
高中人教A版数学必修1单元测试：创优单元测评 (第一章 第二章)A卷 Word版含解析
18．(本小题满分 12 分) 设 A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}． (1)当 x∈N*时，求 A 的子集的个数； (2)当 x∈R 且 A∩B＝∅时，求 m 的取值范围．
19．(本小题满分 12 分) 2
已知函数 f(x)＝m－ 是 R 上的奇函数， 2x＋1
(1)求 m 的值； (2)先判断 f(x)的单调性，再证明．
loga1≤loga(x＋1)≤loga2＝1，∴a＝2；当 0<a<1 时，loga2≤loga(x＋ 1)≤loga1＝0 与值域 0,1]矛盾．
13．(1,5] 解析：由Error!解得 1<x≤5.
14．(1，－1) 解：当 x＝1 时，f(1)＝a1－1－2＝a0－2＝－1，∴
过定点(1，－1)．
1
1
函数，y＝ 和 y＝x|x|是奇函数，但 y＝ 不是增函数，故选 D.
x
x
11．D 解析：(m，n)关于 y＝x 的对称点(n，m)，要求 f(1)，即
1
1
求满足
1＝log2
的 x＋1
x
的值，解得
x＝－ . 2
12． D 解 析 ： ∵ x∈ 0,1]， ∴ x＋ 1∈ 1,2]． 当 a>1 时 ，
A．2m>2n
( ) ( ) B. 1 m< 1 n 22
C．log2m>log2n
D．log1m>log1n
2
2
4．已知函数 f(x)＝Error!若 f(f(0))＝4a，则实数 a 等于( )
14 A. B. C．2 D．9
25
5．函数 f(x)＝|log2x|的图象是( )
2020-2021学年高一数学必修第一册(人教A版(2019))(试卷+答案)
2020-2021学年高一数学必修一单元测试卷第5章 三角函数（一）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1、在平面直角坐标系xOy 中，角与均以Ox 为始边，它们的终边关于x 轴对称，若=αsin 54，则=βsin (A ．53B ．54C ．53-D ．-54 2.（2020全国 Ⅱ卷）若α为第四象限角，则（ ） A ．cos 20α> B ．cos 20α< C ．sin 20α>D ．sin 20α<3..设α是第二象限角，P(x ，4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝( ) A ．43B ．34C ．－34D ．－434. 一段圆弧的长度等于其圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数为（ ） A ．2π B ．3π C 2 D 35.若4sin cos 3θθ-=，且3π,π4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin(π)cos(π)θθ---=（ ） A ．23- B ．23C ．43-D ．436.（2020全国III 卷）已知2tan tan()74πθθ-+=，则tan θ=（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．27.若2cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()cos 2πα-=（ ）A ． 29- B ．29 C ． 59- D ． 598 （2020海南卷改编）右图是函数sin()y x ωϕ=+的部分图像，则sin()x ωϕ+=（ ）A ．sin()3x π+B ．sin(2)3x π-C ．)62cos(π-xD ．5cos(2)6x π-9. （2020全国卷I ）已知(0,)απ∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=（ ）A ．5B ．23C ．13D 510. 设函数()sin()3)f x x x ωϕωϕ=++（0,2πωϕ><）的最小正周期为π，且()f x 为偶函数，则（ ）A ．()f x 在(0,)2π单调递减B ．()f x 在3(,)44ππ单调递减C ．()f x 在(0,)2π单调递增D ．()f x 在3(,)44ππ单调递增11. 若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝( )A ．33B ．－33C ．539D ．－69 12. 设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，9π8，若方程f (x )＝a 恰好有三个根，分别为x 1，x 2，x 3(x 1<x 2<x 3)，则2x 1＋3x 2＋x 3的值为( )A ．πB ．3π4C ．3π2D ．7π4二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13. （2020江苏卷）将函数3sin(2)4y x π=+的图象向右平移6π个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是 .14. （2020北京） 若函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为________．15. （2020江苏卷）已知22sin ()43πα+=，则sin2α的值是________.16．(2020天津卷改编）已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．给出下列结论：①()f x 的最小正周期为2π；②2f π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值；③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象． 其中所有正确结论的序号是________三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.（10分）已知π02α<<，4sin 5α=． （1）求tan α及sin 2α的值；（2）求πcos 2sin()2αα++的值．18.（12分）已知f(α)＝.(1)化简f(α)；(2)若f(α)＝，且<α<，求cosα－sinα的值；(3)若α＝－，求f(α)的值．19. （12分）（2020·湖北武汉高一期末）一半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O 距离水面1米；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3秒转一圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时（图中点0P ）开始计算时间.（1）以水轮所在平面与水面的交线为x 轴，以过点O 且与水面垂直的直线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P 距离水面的高度h （单位：米）表示为时间t （单位：秒）的函数； （2）在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P 距水面的高度超过2米？20．（12分）【2020·天津高三二模】已知函数()()21cos 3sin cos 2f x x x x x =+-∈R （1）求()f x 的最小正周期；（2）讨论()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性；21. （12分）(本小题满分12分)已知α，β为锐角，sin α＝17，cos(α＋β)＝35. (1)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6的值； (2)求cos β的值．22.（12分） 已知函数f(x)＝sin2x －2sin2x.(1)求函数f(x)的最大值； (2)求函数f(x)的零点的集合．2020-2020学年高一数学必修一第一册提优卷 第5章 三角函数（一）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1、在平面直角坐标系xOy 中，角与均以Ox 为始边，它们的终边关于x 轴对称，若=αsin 54，则=βsin (A ．53B ．54C ．53-D ．-54 答案D【解析】角与均以Ox 为始边，且它们的终边关于x 轴对称，=αsin βsin ， 又=αsin 54，∴=βsin -54． 故选：D ．2.（2020全国 Ⅱ卷）若α为第四象限角，则（ ） A ．cos 20α> B ．cos 20α<C ．sin 20α>D ．sin 20α<答案:D 【解析】∵22()2k k k Z ππαπ-+<<∈，∴424()k k k Z ππαπ-+<<∈，∴2α是第三象限角或第四象限角，∴sin 20α<故选D ．3..设α是第二象限角，P(x ，4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝( ) A ．43 B ．34C ．－34D ．－43答案:D【解析】：α是第二象限角，所以x<0，r ＝x 2＋16， 所以cos α＝x x 2＋16＝15x ，所以x 2＝9，所以x ＝－3， 所以tan α＝－43. 故选D ．4. 一段圆弧的长度等于其圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数为（ ） A ．2π B ．3π CD【答案】C【解析】：设圆内接正方形的边长为a ，所以弧长等于a的圆弧所对的圆心角为l rα===，故选C ． 5.若4sin cos 3θθ-=，且3π,π4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin(π)cos(π)θθ---=（） A ．3-B ．3C ．43-D ．43【答案】A【解析】由题意，416sin cos 12sin cos 39θθθθ-=⇒-=， 则72sin cos 09θθ=-<，由于3π,π4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 22sin(π)cos(π)sin cos (sin cos )12sin cos 3θθθθθθθθ---=+=-+=-+=-故选A ．6.（2020全国III 卷）已知2tan tan()74πθθ-+=，则tan θ=（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2答案：D【解析】由题可知1tan 2tan 71tan θθθ+-=-，化解得：22tan 2tan 1tan 77tan θθθθ---=-，解得tan 2θ=.故选D ．7.若2cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()cos 2πα-=（ ）A ． 29-B ．29C ． 59-D ．59【答案】C【解析】2cos sin 23παα⎛⎫-== ⎪⎝⎭， ()2225cos 2cos22sin 12139πααα⎛⎫-=-=-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭.选C ． 8 （2020海南卷改编）右图是函数sin()y x ωϕ=+的部分图像，则sin()x ωϕ+=（ ）A ．sin()3x π+B ．sin(2)3x π-C ．)62cos(π-x D ．5cos(2)6x π- 【答案】：B 、 【解析】由图易知22362T πππ=-=，则T π=，22T πω==，由题意结合图像知，26πϕπ⨯+=，故23πϕ=，则2sin(2)sin(2)sin(2)333y x x x ππππ=+=+-=- sin(2)cos(2)266x x πππ=++=+.故选B ．9. （2020全国卷I ）已知(0,)απ∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=（ ）A ．B ．23 C ．13D 【答案】：A【解析】由3cos28cos 5αα-=，得23(2cos 1)8cos 5αα--=， 得23cos 4cos 40αα--=，化为(3cos 2)(cos 2)0αα+-=，得2cos 3α=-，那么sin 3α=．故选A ．10. 设函数()sin())f x x x ωϕωϕ=++（0,2πωϕ><）的最小正周期为π，且()f x 为偶函数，则（ ）A ．()f x 在(0,)2π单调递减B ．()f x 在3(,)44ππ单调递减C ．()f x 在(0,)2π单调递增D ．()f x 在3(,)44ππ单调递增【答案】C【解析】()2sin 3f x x πωϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，周期为2,2T ππωω===，函数为偶函数，故,326πππϕϕ-=-=-，故()cos2f x x =-，所以函数在(0,)2π上单调递增. 故选C ．11. 若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝( )A ．33 B ．－33 C ．539 D ．－69【答案】C【解析】：根据条件可得α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，34π，π4－β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝223，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝13×33＋223×63＝539.故选C ．12. 设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，9π8，若方程f (x )＝a 恰好有三个根，分别为x 1，x 2，x 3(x 1<x 2<x 3)，则2x 1＋3x 2＋x 3的值为( )A ．πB ．3π4C ．3π2D ．7π4【答案】D【解析】：由题意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，9π8，则2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π2， 画出函数的大致图象，如图所示．由图可得，当22≤a <1时，方程f (x )＝a 恰有三个根． 由2x ＋π4＝π2得x ＝π8； 由2x ＋π4＝3π2得x ＝5π8.由图可知，点(x 1，a )与点(x 2，a )关于直线x ＝π8对称；点(x 2，a )和点(x 3，a )关于x ＝5π8对称，所以x 1＋x 2＝π4，x 2＋x 3＝5π4，所以2x 1＋3x 2＋x 3＝2(x 1＋x 2)＋(x 2＋x 3)＝7π4，故选D ．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13. （2020江苏卷）将函数3sin(2)4y x π=+的图象向右平移6π个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是 . 【答案】524x π=- 【解析】因为()3sin(2)4f x x π=+，将函数()3sin(2)4f x x π=+的图象向右平移6π个单位长度得()()3sin(2)3sin(2)63412g x f x x x ππππ=-=-+=-，则()y g x =的对称轴为2122x k πππ-=+，k Z ∈，即7242k x ππ=+，k Z ∈，0k =时，724x π=，1k =-时，524x π=-，所以平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是524x π=-. 14. （2020北京）若函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为________．【答案】2π（2,2k k Z ππ+∈均可）【解析】因为()()()cos sin sin 1cos f x x x x ϕϕθ=++=+，2=，解得sin 1ϕ=，故可取2ϕπ=. 15. （江苏卷）已知22sin ()43πα+=，则sin2α的值是________.【答案】：13【解析】因为22sin ()43πα+=，由2112sin ()(1cos(2))(1sin2)42223ππααα+=-+=+=，解得1sin 23α=16．(2020天津卷改编）已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．给出下列结论：①()f x 的最小正周期为2π；②2f π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值；③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象． 其中所有正确结论的序号是________【答案】①③【解析】因为()sin()3f x x π=+，所以周期22T ππω==，故①正确； 51()sin()sin 122362f ππππ=+==≠，故②不正确； 将函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，得到sin()3y x π=+的图象， 故③正确.三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.（10分）已知π02α<<，4sin 5α=． （1）求tan α及sin 2α的值；（2）求πcos 2sin()2αα++的值．【答案】（1）4tan 3α=，24sin 225α=；（2）825．【解析】（1）因为π02α<<，4sin 5α=，所以3cos 4α=，所以sin 4tan cos 3ααα==，4324sin 22sin cos 25525ααα=⋅=⋅⋅=．（2）原式223382cos 1cos 2()15525αα=-+=⋅-+=．18.（12分）已知f(α)＝.(1)化简f(α)；(2)若f(α)＝，且<α<，求cosα－sinα的值；(3)若α＝－，求f(α)的值．【答案】（1）f(α)＝sinα·cosα.（2）cosα－sinα＝－.(3)－【解析】(1)f(α)＝＝sinα·cosα.(2)由f(α)＝sinαcosα＝可知(cosα－sinα)2＝cos 2α－2sinαcosα＋sin 2α＝1－2sinαcosα＝1－2×＝.又∵<α<，∴cosα<sinα，即cosα－sinα<0.∴cosα－sinα＝－.(3)∵α＝－＝－6×2π＋，∴f(-)＝cos(-)·sin(-)＝cos(-6)·sin(-6)＝cos ·sin ＝cos(2π－)·sin(2π－)＝cos ·＝·(-)＝－. 19. （12分）（2020·湖北武汉高一期末）一半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O 距离水面1米；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3秒转一圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时（图中点0P ）开始计算时间.（1）以水轮所在平面与水面的交线为x 轴，以过点O 且与水面垂直的直线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P 距离水面的高度h （单位：米）表示为时间t （单位：秒）的函数； （2）在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P 距水面的高度超过2米？【答案】（1）()22sin 1036t h t ππ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭；（2）有1s 时间点P 距水面的高度超过2米. 【解析】（1）设水轮上圆心O 正右侧点为A ，y 轴与水面交点为B ，如图所示：设()sin h a t b ωϕ=++，由1OB =，2OP =，可得03BOP π∠=，所以06AOP π∠=.2a ∴=，1b =，6πϕ=-，由题意可知，函数2sin 16h t πω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的最小正周期为3T =，223T ππω∴==， 所以点P 距离水面的高度h 关于时间t 的函数为()22sin 1036t h t ππ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭； （2）由22sin 1236t h ππ⎛⎫=-+>⎪⎝⎭，得21sin 362t ππ⎛⎫-> ⎪⎝⎭， 令[]0,3t ∈，则211,3666t ππππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 由256366t ππππ<-<，解得1322<<t ，又31122-=，所以在水轮转动的任意一圈内，有1s 时间点P 距水面的高度超过2米.20．（12分）【2020·天津高三二模】已知函数()()21cos 3cos 2f x x x x x =-∈R （1）求()f x 的最小正周期；（2）讨论()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性；【答案】（1）π；（2）()f x 在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；在区间,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.【解析】（1）依题意，()211cos 231cos 3sin cos 2sin 222226x f x x x x x x +π⎛⎫=+-=+-=+ ⎪⎝⎭所以2T ωπ==π.（2）依题意，令222262k x k πππ-+π≤+≤+π，k ∈Z ， 解得36k x k ππ-+π≤≤+π，所以()f x 的单调递增区间为,36k k ππ⎡⎤-+π+π⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .设,44A ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，,36B k k ππ⎡⎤=-+π+π⎢⎥⎣⎦，易知,46A B ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，所以当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；在区间,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.21. （12分）(本小题满分12分)已知α，β为锐角，sin α＝17，cos(α＋β)＝35. (1)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6的值； (2)求cos β的值．【答案】（1）5314（2）4＋12335 【解析】 (1)∵α为锐角，sin α＝17， ∴cos α＝1－sin 2α＝437，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝sin αcos π6＋cos αsin π6 ＝17×32＋437×12＝5314.(2)∵α，β为锐角，∴α＋β∈(0，π)，由cos(α＋β)＝35得，sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝45，∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝35×437＋45×17＝4＋12335.22.（12分）已知函数f(x)＝sin2x－2sin2x.(1)求函数f(x)的最大值；(2)求函数f(x)的零点的集合．【答案】（1）1 （2）{x|x＝kπ或x＝kπ＋，k∈Z}【解析】(1)因为f(x)＝sin 2x－(1－cos 2x)＝2sin(2x＋)－1，所以，当2x＋＝2kπ＋，k∈Z，即x＝kπ＋，k∈Z时，函数f(x)取得最大值1.(2)法一：由(1)及f(x)＝0得sin(2x＋)＝，所以2x＋＝2kπ＋或2x＋＝2kπ＋，k∈Z，即x＝kπ或x＝kπ＋，k∈Z.故函数f(x)的零点的集合为{x|x＝kπ或x＝kπ＋，k∈Z}．法二：由f(x)＝0得2sin xcos x＝2sin2x，于是sin x＝0或cos x＝sin x即tan x＝. 由sin x＝0可知x＝kπ；由tan x＝可知x＝kπ＋.故函数f(x)的零点的集合为{x|x＝kπ或x＝kπ＋，k∈Z}．。
人教A版高一数学必修第一册《一元二次函数、方程和不等式》单元练习题卷含答案解析(60)
人教A 版高一数学必修第一册《一元二次函数、方程和不等式》单元练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1. 已知正实数 a ，b ，若 2(a +b )+1a +1b =6，z =a +b ，则 z 的取值范围是 ( ) A ． {z∣ 1≤z ≤2} B ． {z∣ 12≤z ≤2} C ． {z∣ 1≤z ≤4}D ． {z∣ z ≥4}2. 对于问题“已知关于 x 的不等式 ax 2+bx +c >0 的解集为 (2,5)，解关于 x 的不等式 cx 2+bx +a >0”，给出如下一种解法：由 ax 2+bx +c >0 的解集为 (2,5)，得 a (1x )2+b (1x )+c >0 的解集为 (15,12)，即关于 x 的不等式 cx 2+bx +a >0 的解集为 (15,12)．类比上述解法，若关于 x 的不等式 x+a x+b <0 的解集为 (1,3)，则关于 x 的不等式 1+alog x 31+blog x3<0 的解集为 ( )A ． (3,27)B ． (3,9)C ． (1,27)D ． (1,9)3. 若实数 x ，y 满足 x 2+y 2+xy =1，则 x +y 的最大值是 ( ) A ． 6 B ．2√33C ． 4D ． 234. 若不等式 ax 2+bx +c >0 的解集为 {x∣ −2<x <1}，则不等式 ax 2+(a +b )x +c −a <0 的解集为 ( ) A ． {x∣ x <−√3或x >√3} B ． {x∣ −3<x <1}C ． {x∣ −1<x <3}D ． {x∣ x <−3或x >1}5. 设 a >0，b >0 且 ab −(a +b )≥1，则 ( )A ． a +b ≥2(√2+1)B ． a +b ≤√2+1C ． a −b ≤(√2+1)2D ． a +b >2(√2+1)6. 设 a,b ∈R ，定义运算" ∧ "和" ∨ "如下：a ∧b ={a,a ≤b,b,a >b, a ∨b ={b,a ≤b,a,a >b. 若正数 a,b,c,d满足 ab ≥4，c +d ≤4，则 A ．a ∧b ≥2,c ∧d ≤2 B ．a ∧b ≥2,c ∨d ≥2 C ．a ∨b ≥2,c ∧d ≤2D ．a ∨b ≥2,c ∨d ≥27. 设 a >b >c >0，则 2a 2+1ab +1a (a−b )−10ac +25c 2 的最小值是 ( )A ． 2B ． 4C ． 2√5D ． 58. 已知 −π2<α<β<π2，则 α−β 的范围是 ( ) A ． ∣α−β∣<π2B ． ∣α−β∣<πC ． −π<α−β<0D ． −π2<α−β<09. 若不等式 ax 2+2x +c <0 的解集是 (−∞,−13)∪(12,+∞)，则不等式 cx 2+2x +a ≤0 的解集是 ( ) A ． [−12,13]B ． [−13,12]C ． [−2,3]D ． [−3,2]10. 若关于 x 的不等式 ax 2−(a +1)x +1<0(a ∈R ) 的解集为 (1a ,1)，则 a 的取值范围为( ) A ． a <0 或 a >1 B ． a >1 C ． 0<a <1 D ． a <0二、填空题（共6题）11. 已知正数 a ，b 满足 4a +b =30，使得 1a+4b 取最小值的实数对 (a,b ) 是 ．12. 已知 a >0，b >0，ab =9，则 a +3b 的最 值为 ．13. 已知 x >−1，则函数 y =(x+10)(x+2)x+1的最小值为 ．14. 已知 a +2b =1(a >0,b >0)，则 2b a+1b 的最小值等于 ．15. 若实数 x ，y 满足 xy =1，则 x 2+4y 2 的最小值为 ．16. 已知 a >0，b >0，且 3a+2+3b+2=1，则 a +2b 的最小值为 ．三、解答题（共6题）17. 已知 a >0，b >0，且 2a +b =1．求 S =2√ab −4a 2−b 2 的最大值．18.已知a>b>c，1a−b +1b−c≥na−c，求n的最大值．19.已知关于x的不等式ax2+2x+c>0的解集为{x∣ −13<x<12}，求a+c的值．20.物联网(Internet of Things，缩写：IoT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境（家庭、办公、工厂）等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：仓库每月占地费为y1（单位：万元），仓库到车站的距离为x（单位：千米），其中y1与x+1成反比，每月库存货物费y2（单位：万元）与x成正比．若在距离车站9千米处建仓库，则y1和y2分别为2和7.2．问这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？最小费用是多少万元？21.如图，矩形草坪AMPN中，点C在对角线MN上．CD垂直AN于点D，CB垂直AM于点B，∣CD∣=∣AB∣=3m，∣AD∣=∣BC∣=2m，设∣DN∣=x m，∣BM∣=y m．求这块矩形草坪AMPN面积的最小值．22.已知函数y=x2−x+m．(1) 当m=−2时，求不等式y>0的解集；(2) 若m>0，y<0的解集为{x∣ a<x<b}，求1a +4b的最小值．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】A【解析】由2(a+b)+1a +1b=(a+b)(2+1ab)=6，得a+b=62+1ab≤62+4(a+b)2，化简得(a+b)2−3(a+b)+2≤0，解得1≤a+b≤2，即z的取值范围为{z∣ 1≤z≤2}．【知识点】均值不等式的应用2. 【答案】A【解析】将关于x的不等式1+alog x31+blog x3<0变形可得1log x3+a1log x3+b<0，从而由条件可得1<1log x3<3．利用对数换底公式有1<log3x<3，即log33<log3x<log327，于是所求不等式的解集为(3,27)，故选A．【知识点】二次不等式的解法3. 【答案】B【解析】x2+y2+xy=1⇒(x+y)2−xy=1，因为xy≤(x+y2)2，当且仅当x=y时取等号，所以(x+y)2−(x+y2)2≤1，解得34(x+y)2≤1，所以−2√33≤x+y≤2√33，所以x+y的最大值是2√33．【知识点】均值不等式的应用4. 【答案】D【解析】由已知得方程ax2+bx+c=0的两根分别为x1=−2，x2=1，且a<0，所以ba =1，ca=−2．所以不等式ax2+(a+b)x+c−a<0可化为x2+(1+ba )x+ca−1>0，即x2+2x−3>0，解得x<−3或x>1．【知识点】二次不等式的解法5. 【答案】A【解析】由条件知 a +b ≤ab −1≤(a+b 2)2−1，令 a +b =t ，则 t >0 且 t ≤t 24−1，解得 t ≥2+2√2．【知识点】均值不等式的应用6. 【答案】C【解析】根据题意知，a ∧b 表示 a,b 中较小的，a ∨b 表示 a,b 中较大的，因为(a+b 2)2≥ab ≥4,所以a +b ≥4.又因为 a,b 为正数，所以 a,b 中至少有一个大于或等于 2，所以a ∨b ≥2.因为 c +d ≤4，c,d 为正数，所以 c,d 中至少有一个小于或等于 2，所以c ∧d ≤2. 【知识点】均值不等式的含义7. 【答案】B【解析】因为 a >b >c >0， 所以原式=a 2+1ab +1a (a−b )−10ac +25c 2+a 2=a 2−ab +1a (a−b )+ab +1ab+(a −5c )2≥2+2+0=4,当且仅当 a (a −b )=1，ab =1，a −5c =0，即当 a =√2，b =√22，c =√25时，等号成立．故所求式子取得最小值 4． 【知识点】均值不等式的应用8. 【答案】C【解析】 −π2<α<π2，−π2<−β<π2由不等式的性质，所以 −π<α−β<π， 又 α<β，所以 −π<α−β<0，选C ． 【知识点】不等式的性质9. 【答案】D【知识点】二次不等式的解法10. 【答案】B【解析】不等式 ax 2−(a +1)x +1<0 可化为 (ax −1)(x −1)<0，由不等式 ax 2−(a+1)x+1<0的解集为(1a,1)，得a>0，方程(ax−1)(x−1)=0的两根为x1=1，x2=1 a ，且1a<1，所以a的取值范围为a>1．【知识点】二次不等式的解法二、填空题（共6题）11. 【答案】(154,15)【解析】因为正数a，b满足4a+b=30，所以1 a +4b=130(4a+b)(1a+4b)=130(8+ba+16ab)≥130(8+2√ba⋅16ab)=815.当且仅当b=4a=15时取等号，所以使得1a +4b取最小值的实数对(a,b)是(154,15)．【知识点】均值不等式的应用12. 【答案】小；6√3【知识点】均值不等式的应用13. 【答案】16【解析】由x>−1得x+1>0，则y=[(x+1)+9][(x+1)+1]x+1=(x+1)2+10(x+1)+9x+1=(x+1)+9x+1+10≥2⋅√(x+1)⋅9x+1+10=6+10=16.当且仅当x+1=9x+1，即x=2或x=−4（舍去）时，等号成立，所以y min=16．【知识点】均值不等式的应用14. 【答案】2+2√2【解析】因为 a +2b =1， 所以2b a +1b =1−a a +1b =1a +1b −1，所以 1a +1b =(1a +1b )(a +2b )=3+2b a+a b ≥3+2√2b a ⋅ab =3+2√2，当且仅当 2b a =ab 时取等，所以2b a+1b=1a+1b−1≥3+2√2−1=2+2√2．故答案为：2+2√2． 【知识点】均值不等式的应用15. 【答案】 4【知识点】均值不等式的应用16. 【答案】 6√2+3【解析】由题意，设 z =a +2b +6=(a +2)+2(b +2)，又由[(a +2)+2(b +2)]⋅(3a+2+3b+2)=9+6(b+2)a+2+3(a+2)b+2≥9+2√6(b+2)a+2×3(a+2)b+2=9+6√2.当且仅当6(b+2)a+2=3(a+2)b+2时，即 a +2=√2(b +2) 时等号成立．即 z 的最小值为 9+6√2，所以 a +2b 的最小值是 6√2+3．【知识点】均值不等式的应用三、解答题（共6题）17. 【答案】因为 a >0，b >0，2a +b =1，所以 4a 2+b 2=(2a +b )2−4ab =1−4ab ，且 1=2a +b ≥2√2ab ， 即 √ab ≤√24，ab ≤18，所以 S =2√ab −4a 2−b 2=2√ab −(1−4ab )=2√ab +4ab −1≤√2−12， 当且仅当 a =14，b =12 时，等号成立． 因此，当 a =14，b =12时，S 的最大值为√2−12． 【知识点】均值不等式的应用18. 【答案】因为 a >b >c ，所以 a −b >0，b −c >0，a −c >0． 因为 1a−b +1b−c ≥na−c ， 所以 n ≤a−c a−b +a−c b−c．因为 a −c =(a −b )+(b −c )， 所以(a−b )+(b−c )a−b+(a−b )+(b−c )b−c=b−c a−b+a−b a−c+2≥2√b−c a−b⋅a−b b−c+2=4（当且仅当 2b =a +c 时取等号）， 所以 n ≤4，所以 n 的最大值是 4． 【知识点】均值不等式的应用19. 【答案】由 ax 2+2x +c >0 的解集为 {x∣ −13<x <12} 知 a <0，且 −13，12 为方程 ax 2+2x +c =0 的两个根， 由根与系数的关系得 −13+12=−2a ， −13×12=ca ，解得 a =−12，c =2， 所以 a +c =−10．【知识点】二次不等式的解法20. 【答案】设 y 1=kx+1(k ≠0)，y 2=mx (m ≠0)，其中 x >0，当 x =9 时，y 1=k 9+1=2，y 2=9m =7.2， 解得 k =20，m =0.8， 所以 y 1=20x+1，y 2=0.8x ， 设两项费用之和为 z 万元，则z=y 1+y 2=20x+1+0.8x =20x+1+0.8(x +1)−0.8≥2√20x+1×0.8(x +1)−0.8=7.2,当且仅当20x+1=0.8(x+1)，即x=4时，“=”成立，所以这家公司应该把仓库建在距离车站4千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是7.2万元．【知识点】均值不等式的实际应用问题21. 【答案】由题意∠NCD=∠CMB⇒x3=2y⇒xy=6，S矩形AMPN=(x+2)(y+3)=xy+3x+2y+6=12+3x+2y≥12+2√3x⋅2y=24．当且仅当3x=2y，即x=2，y=3时取得等号．则这块矩形草坪AMPN面积的最小值为24m2．【知识点】均值不等式的应用22. 【答案】(1) 当m=−2时，y=x2−x+m=x2−x−2，所以当y>0时，x2−x−2>0，由x2−x−2=0，得x1=−1，x2=2，故不等式y>0的解集为{x∣ x<−1或x>2}．(2) 因为y<0的解集为{x∣ a<x<b}，所以a，b为方程x2−x+m=0的两个实数根，所以a+b=1，ab=m．因为m>0，所以a>0，b>0，所以1 a +4b=(1a+4b)(a+b)=ba+4ab+5≥2√ba⋅4ab+5=9,当且仅当ba =4ab，即a=13，b=23时，等号成立．故1a +4b的最小值为9．【知识点】二次不等式的解法、均值不等式的应用。
人教A版高一数学必修第一册《一元二次函数、方程和不等式》单元练习题卷含答案解析(1)
人教A 版高一数学必修第一册《一元二次函数、方程和不等式》单元练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1. 已知关于 x 的不等式 (a 2−1)x 2−(a −1)x −1<0 的解集是 R ，则实数 a 的取值范围是 ( ) A ． (−∞,−35)∪(1,+∞)B ． (−35,1)C ． [−35,1]D ． (−35,1]2. 若不等式 ax 2−bx +c >0 的解集是 (−2,3)，则不等式 bx 2+ax +c <0 的解集是 ( ) A ． (−3,2)B ． (−2,3)C ． (−∞,−2)∪(3,+∞)D ． (−∞,−3)∪(2,+∞)3. 已知 a >0，b >0，a +b =2，则 1a +4b 的最小值为 ( ) A ． 72B ． 4C ． 92D ． 54. 若 2x +2y =1，则 x +y 的取值范围是 ( ) A ． [0,2] B ． [−2,0] C ． [−2,+∞)D ． (−∞,−2]5. 若不等式x 2+mx +1>0的解集为R ，则m 的取值范围是( ) A ．RB ．(−2，2)C ．(−∞，−2)∪(2，+∞)D ．[−2，2]6. 不等式 x 2−ax −12a 2<0(其中a <0) 的解集为 ( ) A ．(−3a,4a ) B ．(4a,−3a ) C ．(−3,4) D ．(2a,6a )7. 气象学院用 32 万元购置了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启动的第 1 天开始连续使用，第 n 天的维修保养费为 4n +46(n ∈N ∗) 元，使用它直至“报废最合算”（所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器平均每天耗资最少）为止，则一共要使用 ( ) A ． 300 天 B ． 400 天 C ． 600 天 D ． 800 天8. 已知 x >0，y >0，x +2y +2xy =8，则 x +2y 的最小值是 A ． 3 B ． 4C ． 92D ．1129.若m2x−1mx+1<0(m≠0)对一切x≥4恒成立，则实数m的取值范围是( )A．{m∣ m<3}B．{m∣∣ m<−12}C．{m∣ m>2}D．{m∣ −2<m<3}10.已知集合A={x∣ x2−3x+2<0}，B={x∣ x(x−m)>0}，若A∩B=∅，则实数m的取值范围是( )A．{m∣ m≤0}B．{m∣ 0≤m≤2}C．{m∣ m≥2}D．{m∣ 0≤m≤1}二、填空题（共6题）11.不等式x2−x+1<0的解集为．12.设正实数x，y，z满足x2−xy+4y2−z=0，则当zxy 取得最小值时，2x+3y−6z的最大值为．13.二次函数y=x2−x−6的零点是．14.定义区间[a,b](a<b)的长度为b−a，若关于x的不等式x2−4x+m≤0的解集区间长度为2，则实数m的值为．15.已知集合A={x∣ x2−x−12<0}，集合B={x∣ x2+2x−8>0}，集合C={x∣ x2−4ax+3a2<0,a≠0}，若C⊇(A∩B)，则实数a的取值范围是．16.若不等式ax2+1x2+1≥2−3a3(a>0)恒成立，则实数a的取值范围是．三、解答题（共6题）17.求下列不等式的解集：(1) 13−4x2>0；(2) (x−3)(x−7)<0；(3) x2−3x−10>0；(4) −3x2+5x−4>0．18.已知a>0，b>0．(1) 求证：a3+b3≥a2b+ab2；(2) 若 a +b =3，求 1a +4b 的最小值．19. 已知 f (x )=(a −2)x 2+2(a −2)x −4(a ∈R )．(1) 当 x ∈R 时，恒有 f (x )<0，求 a 的取值范围；(2) 当 x ∈(1,3) 时，不等式 f (x )<mx −7(m ∈R ) 恰好成立，求 a ，m 的值．20. 阅读：已知 a,b ∈(0,+∞)，a +b =1，求 y =1a+2b 的最小值．解法如下：y =1a +2b =(1a +2b )(a +b )=b a +2a b+3≥3+2√2，当且仅当 ba =2a b，即 a =√2−1，b =2−√2 时取到等号，则 y =1a+2b 的最小值为 3+2√2． 应用上述解法，求解下列问题：(1) 已知 a,b,c ∈(0,+∞)，a +b +c =1，求 y =1a+1b+1c的最小值；(2) 已知 x ∈(0,12)，求函数 y =1x +81−2x 的最小值；(3) 已知正数 a 1，a 2，a 3，⋯，a n ，a 1+a 2+a 3+⋯+a n =1，求证：S =a 12a1+a 2+a 22a2+a 3+a 32a 3+a 4+⋯+a n2an +a 1≥12．21. 请回答下列问题：(1) 已知 x >0，y >0，xy =4，求 2x +1y 的最小值； (2) 已知 x >0，y >0，x +2y =2，求 2x +1y 的最小值．22. 不等式性质(1) 如果 a >b >0，那么 a n >b n （n ∈N ∗，且 n >1）．本性质根据 n 为奇数或偶数时，可以怎样的推广？ (2) 如果 a >b >0，那么 （n ∈N ∗，且 n >1）． (3) 如果 a >b 且 ab >0，那么 1a 1b ． (4) 如何理解上述性质？答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】D【解析】当 a =1 时，不等式为 −1<0，恒成立，满足题意； 当 a =−1 时，不等式为 2x −1<0，解得 x <12，不满足题意；当 a ≠±1 时，由 (a 2−1)x 2−(a −1)x −1<0 的解集为 R ， 可知 {a 2−1<0,[−(a −1)]2+4(a 2−1)<0,解得 −35<a <1． 综上，−35<a ≤1． 【知识点】二次不等式的解法2. 【答案】D【解析】不等式 ax 2−bx +c >0 的解集是 (−2,3)， 所以方程 ax 2−bx +c =0 的解是 −2 和 3，且 a <0； 即 {−2+3=ba ,−2×3=c a ,解得 b =a ，c =−6a ；所以不等式 bx 2+ax +c <0 化为 ax 2+ax −6a <0， 即 x 2+x −6>0， 解得 x <−3 或 x >2，所以所求不等式的解集是 (−∞,−3)∪(2,+∞)． 【知识点】二次不等式的解法3. 【答案】C【知识点】均值不等式的应用4. 【答案】D【解析】因为 2x +2y ≥2√2x ⋅2y =2√2x+y （当且仅当 2x =2y 时等号成立）， 所以 √2x+y ≤12，所以 2x+y ≤14，得 x +y ≤−2． 【知识点】均值不等式的应用5. 【答案】B【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法即可得出．【解析】解：∵不等式x2+mx+1>0的解集为R，∴△=m2−4<0，解得−2<m<2．∴m的取值范围是(−2，2)．故选：B．【点评】熟练掌握一元二次不等式的解法是解题的关键．6. 【答案】B【知识点】二次不等式的解法7. 【答案】B【解析】使用n天的平均耗资为320000+(50+4n+46)n2n=320000n+2n+48（元），当且仅当320000n=2n时取得最小值，此时n=400．【知识点】均值不等式的应用8. 【答案】B【知识点】均值不等式的应用9. 【答案】B【解析】依题意，对任意的x≥4，有y=(mx+1)⋅(m2x−1)<0恒成立，结合图象（图略）分析可知{m<0,−1m<4,1m2<4,由此解得m<−12，即实数m的取值范围是{m∣∣ m<−12}．【知识点】恒成立问题10. 【答案】C【解析】集合A={x∣ 1<x<2}，若m<0，则集合B={x∣ x<m或x>0}，不满足A∩B=∅，舍去；若m=0，则B={x∣ x≠0}，不满足A∩B=∅，舍去；若m>0，则B= {x∣ x<0或x>m}，要使A∩B=∅，则m≥2，综上可得m的取值范围是{m∣ m≥2}，故选C．【知识点】二次不等式的解法、交、并、补集运算二、填空题（共6题）11. 【答案】∅【知识点】二次不等式的解法12. 【答案】4【解析】由已知z=x2−xy+4y2，得zxy =x2−xy+4y2xy=xy+4yx−1≥2√xy⋅4yx−1=3，当且仅当xy =4yx，即x=2y时等号成立，则z=6y2，2x +3y−6z=22y+3y−66y2=4y−(1y)2，当1y=2时，取最大值4．【知识点】均值不等式的应用13. 【答案】−2，3【解析】方法一：令x2−x−6=0．因为Δ=(−1)2−4×1×(−6)=25>0，所以方程x2−x−6=0有两个不相等的实数根，x1=−2，x2=3．所以函数y=x2−x−6的零点是x1=−2，x2=3．方法二：由x2−x−6=(x−3)(x+2)=0，得x1=−2，x2=3．所以函数y=x2−x−6的零点是x1=−2，x2=3．方法三：作出函数y=x2−x−6的图象，如图所示．因为函数的图象是一条开口向上的抛物线，且f(0)=−6<0，所以函数y=x2−x−6的图象与x轴有两个交点A(−2,0)，B(3,0)，故y=x2−x−6的零点是x1=−2，x2=3．【知识点】函数零点的概念与意义14. 【答案】3【知识点】二次不等式的解法15. 【答案】43≤a≤2【知识点】交、并、补集运算16. 【答案】{a∣ a≥19}【知识点】均值不等式的应用三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) {x∣∣∣−√132<x<√132}．(2) {x∣ 3<x<7}．(3) {x∣ x<−2或x>5}．(4) ∅．【知识点】二次不等式的解法18. 【答案】(1) 因为a>0，b>0，所以a3+b3−a2b−ab2=a2(a−b)+b2(b−a)=(a2−b2)(a−b)=(a−b)2(a+b)≥0,所以a3+b3≥a2b+ab2．(2) 因为a>0，b>0，a+b=3，所以1 a +4b=13(a+b)(1a+4b)=13(5+ba+4ab)≥13(5+2√ba⋅4ab) =3,当且仅当ba =4ab，即a=1，b=2时取等号，所以1a +4b的最小值为3．【知识点】均值不等式的应用、不等式的性质19. 【答案】(1) a∈(−2,2]．(2) 将原不等式整理变形，可得(a−2)x2+(2a−4−m)x+3<0，则该不等式在1<x<3时恰好成立．不妨设g(x)=(a−2)x2+(2a−4−m)x+3，可知{a>2,g(1)=0, g(3)=0.所以 a =3，m =6．【知识点】二次函数的性质与图像、二次不等式的解法20. 【答案】(1)y =1a +1b +1c=(1a +1b +1c )(a +b +c )=3+(ba +ab +ca +ac +cb +bc),而 ba +ab +ca +ac +cb +bc ≥6，当且仅当 a =b =c =13 时取到等号，则 y ≥9， 即 y =1a+1b+1c的最小值为 9．(2)y =22x +81−2x=(22x +81−2x )⋅(2x +1−2x )=10+2⋅1−2x 2x+8⋅2x1−2x ,而 x ∈(0,12)，2⋅1−2x 2x+8⋅2x1−2x ≥2√16=8，当且仅当 2⋅1−2x 2x =8⋅2x1−2x ，即 x =16∈(0,12) 时取到等号，则 y ≥18，所以函数 y =1x+81−2x的最小值为 18．(3) 2S=(a 12a1+a 2+a 22a2+a 3+⋯+a n2an +a 1)[(a 1+a 2)+(a 2+a 3)+⋯+(a n +a 1)]=(a 12+a 22+⋯+a n 2)+a 12a1+a 2⋅(a 2+a 3)+a 22a2+a 3⋅(a 1+a 2)+⋯+a n2an +a 1⋅(a 1+a 2)+a 12a1+a 2⋅(a n +a 1)≥(a 12+a 22+⋯+a n 2)+(2a 1a 2+2a 2a 3+⋯+2a n a 1)=(a 1+a 2+⋯+a n )2=1.当且仅当 a 1=a 2=⋯=a n =1n时取到等号，则 S ≥12．【知识点】均值不等式的应用21. 【答案】(1) 因为 xy =4，且 x >0，y >0， 所以 2x +1y ≥2√2xy =2√12=√2， 当且仅当 x =2√2，y =√2 时取等号，即 2x+1y的最小值为 √2．(2) 因为 x >0，y >0，x +2y =2， 所以 2(2x +1y )=(x +2y )(2x +1y )=4+4y x+xy ≥4+4=8，所以 2x +1y ≥4， 当且仅当4y x=xy ，即 x =2y =1 时取等号，即 2x +1y 的最小值为 4． 【知识点】均值不等式的应用22. 【答案】(1) 当 n 为奇数时，如果 a >b ，那么 a n >b n （n ∈N ∗，n 为奇数）；当 n 为偶数时，如果 a >b >0，那么 a n >b n ，如果 0>a >b ，那么 a n <b n （n ∈N ，n 为偶数）． (2) √a n>√b n(3) <(4) 上述性质称为倒数的性质，注意 ab <0 时，此性质不成立（此时 1a >1b ）． 【知识点】不等式的性质。
人教A版高一数学必修第一册《函数的概念与性质》单元练习题卷含答案解析(60)
人教A 版高一数学必修第一册《函数的概念与性质》单元练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1. 已知不等式 ax 2−x +c >0 的解集为 {x∣ −2<x <1}，则函数 y =ax 2+x +c 的图象大致为 ( )A ．B ．C ．D ．2. 已知函数 f (x ) 为定义在 R 上的奇函数，当 x <0 时，f (x )=x (x −1)，则 f (2)= ( ) A ． −6 B ． 6 C ． −2 D ． 23. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若 a,b,c ∈R ，则下列命题正确的是 ( ) A ．若 ab ≠0 且 a <b ，则 1a >1b B ．若 a >b >0，则b+1a+1>baC ．若 a +b =2，则 ab <1D ．若 c <b <a 且 ac <0，则 cb 2<ab 24. 定义全集 U 的子集 A 的特征函数 f A (x )={1,x ∈A0,x ∉A ，对于任意的集合 A,B ⊆U ，下列说法错误的是 ( )A ．若 A ⊆B ，则 f A (x )≤f B (x )，对于任意的 x ∈U 成立B ． f A∩B (x )=f A (x )f B (x )，对于任意的 x ∈U 成立C ． f A∪B (x )=f A (x )+f B (x )，对于任意的 x ∈U 成立D ．若 A =∁U B ，则 f A (x )+f B (x )=1，对于任意的 x ∈U 成立5. 已知 −π2<α<0，sinα+cosα=15，则 1cos 2α−sin 2α= ( )A ． 75B ．257C ．725D ．24256. 若不等式x 2+mx +1>0的解集为R ，则m 的取值范围是( ) A ．RB ．(−2，2)C ．(−∞，−2)∪(2，+∞)D ．[−2，2]7. 设 a ，b ，c 是实数，下列条件中可以推出“a =b ”的是 ( ) A ．1a=1bB ． a 2=b 2C ． ac =bcD ． a −c =c −b8. 定义在 R 上的函数 f (x ) 满足：f (x −2) 的对称轴为 x =2，f (x +1)=4f (x )(f (x )≠0)，且 f (x ) 在区间 (1,2) 上单调递增，已知 α，β 是钝角三角形中的两锐角，则 f (sinα) 和 f (cosβ) 的大小关系是 ( ) A ． f (sinα)>f (cosβ) B ． f (sinα)<f (cosβ) C ． f (sinα)=f (cosβ)D ．以上情况均有可能9. 若函数 f (x ) 为定义在 D 上的单调函数，且存在区间 [a,b ]⊆D ，使得当 x ∈[a,b ] 时，f (x ) 的取值范围恰为 [a,b ]，则称函数 f (x ) 是 D 上的正函数．若函数 g (x )=x 2+m 是定义在 (−∞,0) 上的正函数，则实数 m 的取值范围为 ( ) A ． (−54,−1) B ． (−54,−34) C ． (−1,−34)D ． (−34,0)10. 定义函数 [x ] 为不大于 x 的最大整数，对于函数 f (x )=x −[x ] 有以下四个结论：① f (2019.67)=0.67；②在每一个区间 [k,k +1)，k ∈Z 上，f (x ) 都是增函数； ③ f (−15)<f (15)；④ y =f (x ) 的定义域是 R ，值域是 [0,1)．其中正确的个数是 ( ) A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4二、填空题（共6题）11. 关于函数 f (x )=∣x∣∣∣x∣−1∣，给出以下四个命题：（1）当 x >0 时，y =f (x ) 单调递减且没有最值；（2）方程 f (x )=kx +b (k ≠0) 一定有实数解；（3）如果方程 f (x )=m ，（m 为常数）有解，则解的个数一定是偶数；（4）y =f (x ) 是偶函数且有最小值．其中假命题的序号是 ．12. 已知函数 f (x )={x 2+4x −1,x ≤02x −3−k,x >0，若方程 f (x )−k ∣x −1∣=0 有且只有 2 个不相等的实数解，则实数 k 的取值范围是 ．13. 给出下列四个命题：① f (x )=sin (2x −π4) 的对称轴为 x =kπ2+3π8，k ∈Z ；②函数 f (x )=sinx +√3cosx 的最大值为 2； ③ ∀x ∈(0,π)，sinx >cosx ；④函数 f (x )=sin (π3−2x) 在区间 [0,π3] 上单调递增． 其中正确命题的序号为 ．14. 设函数 f (x )=sin2x +2cos 2x ，则函数 f (x ) 的最小正周期为 ；若对于任意 x ∈R ，都有f (x )≤m 成立，则实数 m 的最小值为 ．15. 若对任意 x >3，x >a 恒成立，则 a 的取值范围是 ．16. 若 log a (a +1)<log a (2√a)<0（a >0 且 a ≠1），则实数 a 的取值范围是 ．三、解答题（共6题）17. 求下列函数的定义域与值域．(1) y =21x−1；(2) y =3√5x−1； (3) y =(12)x−1．18. 已知函数 f (x )=2x +2−x ．(1) 求证：函数f(x)是偶函数；(2) 设a∈R，求关于x的函数y=22x+2−2x−2af(x)在x∈[0,+∞)时的值域g(a)的表达式；(3) 若关于x的不等式mf(x)≤2−x+m−1在x∈(0,+∞)时恒成立，求实数m的取值范围．19.定义：若函数f(x)的定义域为R，且存在实数a和非零实数k（a，k都是常数），使得f(2a−x)=k⋅f(x)对x∈R都成立，则称函数f(x)是具有“理想数对(a,k)”的函数．比如，函数f(x)有理想数对(2,−1)，即f(4−x)=−f(x)，f(4−x)+f(x)=0，可知函数图象关于点(2,0)成中心对称图形．设集合M是具有理想数对(a,k)的函数的全体．(1) 已知函数f(x)=2x−1，x∈R，试判断函数f(x)是否为集合M的元素，并说明理由；(2) 已知函数g(x)=2x，x∈R，证明：g(x)∉M；(3) 数对(2,1)和(1,−1)都是函数ℎ(x)的理想数对，且当−1≤x≤1时，ℎ(x)=1−x2．若正比例函数y=mx(m>0)的图象与函数ℎ(x)的图象在区间[0,12]上有且仅有5个交点，求实数m的取值范围．20.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)（A>0，ω>0，∣φ∣<π2）的部分图象如图所示．(1) 求函数f(x)的解析式；(2) 设π12<x<11π12，且方程f(x)=m有两个不同的实数根，求实数m的取值范围和这两个根的和．21.某广告公司要为客户设计一幅周长为l（单位：m）的矩形广告牌，如何设计这个广告牌可以使广告牌的面积最大？22.化简1−cos4α−sin4α．1−cos6α−sin6α答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】C【解析】因为 不等式 ax 2−x +c >0 的解集为 {x∣ −2<x <1}， 所以 a <0，故 x 2−1ax +ca<0 的解集为 {x∣ −2<x <1}，所以 −2 和 1 是方程 x 2−1ax +c a=0 的两个根，故 −2+1=1a，−2×1=ca，解得 a =−1，c =2．故函数 y =ax 2+x +c =−x 2+x +2=−(x +1)(x −2)，其图象大致为 C ． 【知识点】二次函数的性质与图像2. 【答案】A【知识点】函数的奇偶性3. 【答案】B【解析】对于A ，取 a =−2，b =1，可知1a>1b不成立，因此选项A 不正确；对于B ，因为 a >b >0，所以 b+1a+1−ba =a−ba (a+1)>0，所以 b+1a+1>ba ，因此选项B 正确； 对于C ，取 a =b =1 时，ab =1，因此选项C 不正确； 对于D ，取 b =0 时，cb 2<ab 2 不正确，因此选项D 不正确． 【知识点】不等式的性质4. 【答案】C【知识点】函数的表示方法5. 【答案】B【解析】因为 sinα+cosα=15， 所以 1+2sinαcosα=125，所以 2sinαcosα=−2425，(cosα−sinα)2=1+2425=4925，又因为 −π2<α<0， 所以 cosα>0>sinα， 所以 cosα−sinα=75， 所以1cos 2α−sin 2α=1(cosα+sinα)(cosα−sinα)=115×75=257.故选B ．【知识点】同角三角函数的基本关系6. 【答案】B【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法即可得出．【解析】解：∵不等式x 2+mx +1>0的解集为R ，∴△=m 2−4<0，解得−2<m <2． ∴m 的取值范围是(−2，2)． 故选：B ．【点评】熟练掌握一元二次不等式的解法是解题的关键．7. 【答案】A【知识点】充分条件与必要条件8. 【答案】A【知识点】抽象函数、函数的单调性9. 【答案】C【解析】因为函数 g (x )=x 2+m 是定义在 (−∞,0) 上的正函数，所以存在 a <b <0，使得当 x ∈[a,b ] 时，g (x )∈[a,b ]，且函数单调递减， 则 g (a )=b ，g (b )=a ， 即 a 2+m =b ，b 2+m =a ， 两式左右分别相减得 a 2−b 2=b −a ， 即 b =−(a +1)，代入 a 2+m =b 得 a 2+a +m +1=0， 因为 a <b <0，且 b =−(a +1)， 所以 a <−(a +1)<0， 解得 −1<a <−12．故关于 a 的方程 a 2+a +m +1=0 在区间 (−1,−12) 内有实数根，把新定义的正函数问题转化为方程有解问题，采用了转化与化归思想．记 ℎ(a )=a 2+a +m +1，则 ℎ(−1)=1−1+m +1>0 且 ℎ(−12)=14−12+m +1<0，解得 m >−1 且 m <−34，即 −1<m <−34． 【知识点】函数的单调性、抽象函数10. 【答案】C【解析】 f (2019.67)=2019.67−2019=0.67，故①正确；设 k ≤x 1≤x 2<k +1，则 f (x 1)−f (x 2)=x 1−k −x 2+k =x 1−x 2<0， 所以 f (x 1)<f (x 2)，所以 f (x ) 在 [k,k +1)，k ∈Z 上是增函数，故②正确； 因为 f (−15)=−15−(−1)=45，f (15)=15−0=15，所以 f (−15)>f (15)，故③错误； 因为 x −[x ]∈[0,1)， 所以④正确． 故选C ．【知识点】函数的值域的概念与求法、函数的单调性二、填空题（共6题） 11. 【答案】（1）、（3）【解析】（1）当 x >1 时，y =f (x )=xx−1=1+1x−1 在区间 (1,+∞) 上是单调递减函数，当 0<x <1 时，y =f (x )=−xx−1=−1−1x−1 在区间 (0,1) 上是单调增函数．所以（1）是假命题． （2）函数 f (x )=∣x∣∣∣x∣−1∣ 是偶函数，当 x >0 时，y =f (x ) 在区间 (0,1) 上单调递增，在 (1,+∞) 上单调递减．当 k >0 时，函数 y =f (x ) 与 y =kx 的图象在第一象限内有交点，由对称性可知，当 x <0 且 k <0 时，函数 y =f (x ) 与 y =kx 的图象在第二象限内有交点．所以，方程 f (x )=kx +b (k ≠0) 一定有解．所以（2）是真命题．（3）因为函数 f (x )=∣x∣∣∣x∣−1∣ 是偶函数，且最小值 f (0)=0，举例：当 m =0 时，函数 y =f (x ) 与 y =m 的图象只有一个交点．此时方程 f (x )=m 的解是奇数．所以（3）是假命题． （4）函数 f (x )=∣x∣∣∣x∣−1∣ 是偶函数，y =f (x )=∣x∣∣∣x∣−1∣ 在区间 (0,1) 上单调递增，(1,+∞) 上单调递减．且 f (0)=0,x >0 时，f (x )>0 恒成立，由对称性可知，函数 f (x ) 有最小值 f (0)=0．所以( 4 )是真命题．【知识点】函数的零点分布、函数的最大（小）值、函数的单调性12. 【答案】 (−2,−32]∪(−1,2)【解析】当 x ≤0 时，f (x )−k ∣x −1∣=x 2+4x −1−k (1−x )=x 2+(4+k )x −k −1， 当 0<x <1 时，f (x )−k ∣x −1∣=2x −3−k −k (1−x )=(k +2)x −3−2k ，当 x ≥1 时，f (x )−k ∣x −1∣=2x −3−k −k (x −1)=(2−k )x −3，设 g (x )=f (x )−k ∣x −1∣，则 g (x )={x 2+(4+k )x −k −1,x ≤0(k +2)x −3−2k,0<x <1(2−k )x −3,x ≥1，f (x )−k ∣x −1∣=0 有且只有 2 个不相等的实数解等价于g (x ) 有且仅有 2 个零点， 若 g (x ) 一个零点位于 (0,1)，即 0<2k+3k+2<1⇒k ∈(−32,−1)，若 g (x ) 一个零点位于 [1,+∞)，即 {2−k >0,22−k≥1⇒k ∈[−1,2)，可知 g (x ) 在 (0,1)，[1,+∞) 内不可能同时存在零点，即当 k ∈(−32,2) 时，g (x ) 在 (0,+∞)上有一个零点；当 k ∈(−∞,−32]∪[2,+∞) 时，g (x ) 在 (0,+∞) 上无零点， ① 当 g (x ) 在 (−∞,0] 上有且仅有一个零点时，（1）当 Δ=(4+k )2+4(k +1)=0 时，k =−2 或 k =−10， 此时 g (x ) 在 (0,+∞) 上无零点， 所以不满足 g (x ) 有两个零点；（2）当 Δ=(4+k )2+4(k +1)>0，即 k <−10 或 k >−2 时， 只需 g (0)=−k −1<0，即 k >−1，所以当 k >−1 时，g (x ) 在 (−∞,0] 上有且仅有一个零点， 因为 k ∈(−32,2) 时，g (x ) 在 (0,+∞) 上有一个零点， 所以 k ∈(−1,2) 时，g (x ) 有且仅有 2 个零点； ② 当 g (x ) 在 (−∞,0] 上有两个零点时，只需 {Δ=(4+k )2+4(k +1)>0,−4+k 2<0,g (0)=−k −1≥0⇒k ∈(−2,−1]，因为 k ∈(−∞,−32]∪[2,+∞) 时，g (x ) 在 (0,+∞) 上无零点， 所以 k ∈(−2,−32] 时，g (x ) 有且仅有 2 个零点， 综上所述：k ∈(−2,−32]∪(−1,2)．【知识点】函数的零点分布13. 【答案】①②【解析】① y =sinx 的对称轴为 x =kπ+π2(k ∈Z )，故 f (x )=sin (2x −π4) 的对称轴由 2x −π4=kπ+π2(k ∈Z )，解得 x =kπ2+3π8(k ∈Z )，故①正确；②函数f(x)=sinx+√3cosx=2sin(x+π3)，故该函数的最大值为2，故②正确；③ ∀x∈(0,π)，sinx>cosx；当x=π4时，sinx=cosx，故③错误；④函数f(x)=sin(π3−2x)在区间[0,π3]上单调递减，故④错误．故答案为：①②．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质14. 【答案】π；√2+1【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质15. 【答案】a≤3【知识点】恒成立问题16. 【答案】(14,1)【解析】当0<a<1时，函数y=log a x单调递减，由题意得{a+1>2√a,2√a>1,解得a>14，所以14<a<1；当a>1时，函数y=log a x单调递增，由题意得{a+1<2√a,2√a<1,无解．综上可知，实数a的取值范围是(14,1)．【知识点】对数函数及其性质三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) 由x−1≠0，得x≠1．所以函数的定义域为{x∣ x∈R且x≠1}．又1x−1≠0，所以21x−1>0，且21x−1≠1．所以函数的值域为{y∣ y>0且,y≠1}．(2) 由5x−1≥0，得x≥15．所以函数的定义域为{x∣ x≥15}．因为 5x −1≥0，所以 3√5x−1≥1．所以函数的值域为 {y∣ y ≥1}．(3) y =(12)x−1 的定义域是 R ，值域是 {y∣ y >−1}．【知识点】函数的定义域的概念与求法、函数的值域的概念与求法18. 【答案】(1) 函数 f (x ) 的定义域为 R ，对任意 x ∈R ，f (−x )=2−x +2x =f (x )， 所以函数 f (x ) 是偶函数．(2) y =22x +2−2x −2a (2x +2−x )=(2x +2−x )2−2a (2x +2−x )−2， 令 2x +2−x =t ，因为 x ≥0，所以 2x ≥1，故 t ≥2， 原函数可化为 y =t 2−2at −2，t ∈[2,+∞)，y =t 2−2at −2=(t −a )2−a 2−2 图象的对称轴为直线 t =a ，当 a ≤2 时，函数 y =t 2−2at −2 在 t ∈[2,+∞) 时是增函数，值域为 [2−4a,+∞)；当 a >2 时，函数 y =t 2−2at −2 在 t ∈[2,a ] 时是减函数，在 t ∈[a,+∞) 时是增函数，值域为 [−a 2−2,+∞)．综上，g (a )={[2−4a,+∞),a ≤2[−a 2−2,+∞),a >2．(3) 由 mf (x )≤2−x +m −1 得 m [f (x )−1]≤2−x −1，当 x >0 时，2x >1，所以 f (x )=2x +2−x >2，所以 f (x )−1>1>0， 所以 m ≤2−x −1f (x )−1=2−x −12x +2−x −1=1−2x 22x +1−2x恒成立．令 t =1−2x ，则 t <0，1−2x 22x +1−2x=t (1−t )2+t=t t 2−t+1=1t+1t−1，由 t <0 得 t +1t≤−2，所以 t +1t−1≤−3，−13≤1t+1t−1<0．所以 m ≤−13，即 m 的取值范围为 (−∞,−13]．【知识点】函数的奇偶性、指数函数及其性质、函数的值域的概念与求法19. 【答案】(1) 依据题意，知 f (x )=2x −1，若 f (2a −x )=k ⋅f (x )，即 2(2a −x )−1=k (2x −1)． 化简得 −2x +4a −1=2kx −k ，此等式对 x ∈R 都成立，则 {2k =−2,4a −1=−k,解得 {k =−1,a =12.于是，函数 f (x )=2x −1 有理想数对 (12,−1)．所以，函数 f (x )∈M ． (2) 用反证法证明 g (x )∉M ． 假设 g (x )∈M ，则存在实数对 (a,k )(k ≠0) 使得 g (2a −x )=k ⋅g (x ) 成立． 又 g (x )=2x ，于是，22a−x =k ⋅2x ， 即 22a =k ⋅22x ．一方面，此等式对 x ∈R 都成立；另一方面，该等式左边是正的常数，右边是随 x 变化而变化的实数．两方面互相矛盾，故假设不成立．因此，函数 g (x ) 不存在理想数对 (a,k )(k ≠0) 使 g (x )∈M ， 即 g (x )∉M ．(3) 因为数对 (2,1) 和 (1,−1) 都是函数 ℎ(x ) 的理想数对， 所以 ℎ(4−x )=ℎ(x )，ℎ(2−x )=−ℎ(x )，x ∈R ， 所以ℎ(4+x )=ℎ(4−(4+x ))=ℎ(2−(2+x ))=−ℎ(2+x )=−ℎ(4−(2−x ))=−ℎ(2−x )=ℎ(x ).所以函数 ℎ(x ) 是以 4 为周期的周期函数．由 ℎ(2−x )=−ℎ(x )，ℎ(2−x )+ℎ(x )=0，x ∈R ，可知函数 ℎ(x ) 的图象关于点 (1,0) 成中心对称图形．又 −1≤x ≤1 时，ℎ(x )=1−x 2，所以 1<x ≤3 时，−1≤2−x <1，则 ℎ(x )=−ℎ(2−x )=(2−x )2−1．先画出函数 ℎ(x ) 在 [−1,3] 上的图象，再根据周期性，可得到函数 ℎ(x ) 的图象如图： 所以 ℎ(x )={1−(x −2k )2,k 为偶数,2k −1≤x <2k +1(x −2k )2−1,k 为奇数,2k −1≤x <2k +1，所以 ℎ(x )=1−(x −8)2，7≤x ≤9；ℎ(x )=1−(x −12)2，11≤x ≤13．由 {ℎ(x )=1−(x −8)2,y =mx (7≤x ≤9) 有且仅有一个交点，解得 m =16−6√7（m =16+6√7，舍去）．由 {ℎ(x )=1−(x −12)2,y =mx (11≤x ≤13) 有且仅有一个交点，解得 m =24−2√143（m =24+2√143，舍去）．所以函数 y =mx (m >0) 的图象与函数 ℎ(x ) 的图象在区间 [0,12] 上有且仅有 5 个交点时，实数 m 的取值范围是 24−2√143<m <16−6√7．【知识点】恒成立问题、函数的零点分布、反证法、函数的周期性20. 【答案】(1) 由函数图象知，A =2．因为图象过点 (0,1)，所以 f (0)=1，所以 sinφ=12． 又因为 ∣φ∣<π2，所以 φ=π6． 由函数图象知T 2=2π3−π6=π2，所以 T =π，得 ω=2．所以函数 f (x ) 的解析式为 f (x )=2sin (2x +π6)．(2) 由（1）知，函数 y =2sin (2x +π6)，若 π12<x <11π12，在原图中标出 (π12,√3) 和 (11π12,0)，如图所示： 当 −2<m <0 或 √3<m <2 时，直线 y =m 与曲线 y =2sin (2x +π6) 有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根． 所以 m 的取值范围为 (−2,0)∪(√3,2)． 由对称性可知，当 −2<m <0 时，两根和为 4π3；当 √3<m <2 时，两根和为 π3．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质21. 【答案】设矩形的一边长为 x ，广告牌面积为 S ，则 S =−(x −l 4)2+l 216，x ∈(0,l 2)． 当 x =l4 时，S 取得最大值，且 S max =l 216，所以当广告牌是边长为 l4 的正方形时，广告牌的面积最大．【知识点】函数模型的综合应用22. 【答案】 1−cos 4α−sin 4α1−cos 6α−sin 6α=(sin 2α+cos 2α)2−cos 4α−sin 4α(sin 2α+cos 2α)3−cos 6α−sin 6α=2sin 2αcos 2α3sin 4αcos 2α+3sin 2αcos 4α=2sin 2αcos 2α3sin 2αcos 2α=23.【知识点】同角三角函数的基本关系。
人教A版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》单元练习题卷含答案解析(21)
人教A 版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》单元练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1. 设 f (x ) 是定义在 R 上的周期函数，周期 T =4，对于任意 x ∈R 都有 f (−x )=f (x )，且当 x ∈[−2,0] 时，f (x )=(12)x−1，若在区间 (−2,6] 内关于 x 的方程 f (x )−log a (x +2)=0(a >1) 恰有 3 个不同的实根，则 a 的取值范围是 ( ) A ． (1,2)B ． (2,+∞)C ． (1,√43)D ． (√43,2)2. 已知 log x 3=3，log y 7=6，z =717，则实数 x ，y ，z 的大小关系是 ( ) A ． x <z <y B ． z <x <y C ． x <y <z D ． z <y <x3. 已知定义在 R 上的函数 f (x ) 满足：①f (x )+f (2−x )=0；②f (x −2)=f (−x )；③ 当 x ∈[−1,1] 时，f (x )={√1−x 2,x ∈[−1,0]cos (π2x),x ∈(0,1]；则函数 y =f (x )−(12)∣x∣在区间 [−3,3] 上的零点个数为 ( ) A ． 5B ． 6C ． 7D ． 84. 在同一坐标系中函数 y =2−x 与 y =log 2x 的图象是 ( )A ．B ．C ．D ．5. 设 a 是函数 f (x )=2x −log 12x 的零点，若 x 0>a ，则 f (x 0) 满足 ( )A ． f (x 0)=0B ． f (x 0)>0C ． f (x 0)<0D ．以上都有可能6. 在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况：一种是即时价格曲线 y =f (x )，另一种是平均价格曲线 y =g (x )，如 f (2)=3 表示股票开始买卖后 2 小时的即时价格为 3 元；g (2)=3 表示 2 小时内的平均价格为 3 元，下面给出了四个图象，实线表示 y =f (x )，虚线表示 y =g (x )，其中可能正确的是 ( )A ．B ．C ．D ．7. 已知偶函数 f (x ) 的定义域为 R ，对 ∀x ∈R ，f (x +2)=f (x )+f (1)，且当 x ∈[2,3] 时，f (x )=−2(x −3)2，若函数 F (x )=log a (∣x∣+1)−f (x )(a >0,a ≠1) 在 R 上恰有 6 个零点，则实数 a 的取值范围是 ( ) A ． (0,√55)B ． (√55,√33)C ． (√55,1)D ． (√33,1)8. 方程 x 3−2x 2+3x −6=0 在区间 [−2,4] 上的根必定在 ( ) A ． [−2,1] 内 B ． [52,4] 内C ． [1,74] 内D ． [74,52] 内9. log 212 的值为 ( ) A ． √2B ． −√2C ． 1D ． −110. 若 log a b +3log b a =132，则用 a 表示 b 的式子为 ( )A ． b =a 6B ． b =√aC ． b =a 6 或 b =√aD ． b =a 6 且 b =√a二、填空题（共6题）11. 已知函数 f (x )={log 2x,x >04x ,x ≤0，若函数 g (x )=f (x )−k 存在两个零点，则实数 k 的取值范围是 ．12. 函数 f (x )=log a (x −2)+1(a >0,a ≠1) 的图象恒过定点 P ，则点 P 的坐标是 ．13. 若正数 a ，b 满足 log 2a =log 5b =lg (a +b )，则 1a +1b 的值为 ．14. 对于实数 a 和 b ，定义运算“∗”：a ∗b ={a (a −b )3,a ≤bb (b −a )3,a >b，设 f (x )=(2x–1)∗(x–1)，若函数 g (x )=f (x )−mx 2(m ∈R ) 恰有三个零点 x 1，x 2，x 3，则 m 的取值范围是 ；x 1x 2x 3 的取值范围是 ．15. 函数 f (x )=log a (x +2)+3（a >0，且 a ≠1）的图象恒过定点 ．16. 如果函数 y =lg (x 2−ax +1) 的值域为 R ，那么实数 a 的取值范围是 ．三、解答题（共6题）17. 某地区今年 1 月，2 月，3 月患某种传染病的人数分别为 52，54，58，为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型 f (x )=ax 2+bx +c ，乙选择了模型 y =p ⋅q x +r ，其中 y 为患病人数，x 为月份数，a ，b ，c ，p ，q ，r 都是常数，结果 4 月，5 月，6 月份的患病人数分别为 66，82，115．(1) 你认为谁选择的模型较好？（需说明理由）(2) 至少要经过多少个月患该传染病的人数将会超过 2000 人？试用你认为比较好的模型解决上述问题．18. 若存在常数 k (k >0)，使得对定义域 D 内的任意 x 1，x 2(x 1≠x 2)，都有 ∣f (x 1)−f (x 2)∣≤k∣∣x 1−x 2∣ 成立，则称函数 f (x ) 在其定义域 D 上是“k − 利普希兹条件函数”． (1) 若函数 f (x )=√x (1≤x ≤4) 是“k − 利普希兹条件函数”，求常数 k 的取值范围； (2) 判断函数 f (x )=log 2x 是否是“2− 利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；(3) 若 y =f (x )(x ∈R ) 是周期为 2 的“1− 利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数 x 1，x 2，都有 ∣f (x 1)−f (x 2)∣≤1．19. 求下列函数的零点：(1) f (x )=−x 2−4x −4 (2) f (x )=(x−1)(x 2−4x+3)x−3(3) f (x )=2x +x −1 (4) f (x )=log 3(x +1)20. 零点存在定理一般地，如果函数 y =f (x ) 在区间 [a,b ] 上的图象是一条连续不断的曲线，且有 f (a )⋅f (b )<0，那么在区间 (a,b ) 内至少存在一个实数 c ，使得 f (c )=0，即 y =f (x ) 在 (a,b ) 上至少有一个零点．如何理解零点存在性？21. 计算：(1) (−78)0+813+(√32)2×(214)−12−(0.25)0.5．(2) lg25+lg2×lg50+(lg2)2．22. 已知 f (x )=log a (a x −1)（a >0 且 a ≠1）．(1) 求证：函数 y =f (x ) 的图象在 y 轴的一侧； (2) 求证：函数 y =f (x ) 在定义域上是增函数．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】D【解析】因为对于任意 x ∈R 都有 f (−x )=f (x )，所以函数 f (x ) 是定义在 R 上的偶函数，因为在区间 (−2,6] 内关于 x 的方程 f (x )−log a (x +2)=0(a >1) 恰有 3 个不同的实数解， 所以函数 y =f (x ) 与 y =log a (x +2) 在区间 (−2,6] 上有三个不同的交点， 因为当 x ∈[−2,0] 时，f (x )=(12)x−1， 故函数图象如图所示， 又 f (−2)=f (2)=f (6)=3， 则有 log a 4<3，且 log a 8>3，解得 √43<a <2．故 a 的取值范围是 (√43,2)．【知识点】函数的奇偶性、函数的周期性、函数的零点分布2. 【答案】D【解析】因为 log x 3=3，所以 x =313，同理可得：y =716=(√7)13， 因为函数 y =7x为单调增函数，且 16>17，故 716>717，即 z >y ，因为函数 y =x 13为单调增函数，且 3>√7， 所以 313>(√7)13，即 x >y ， 所以综上，x >y >z ．【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质3. 【答案】A【解析】由 ①f (x )+f (2−x )=0， 可得 f (x ) 的图象关于点 (1,0) 对称，由 ②f (x −2)=f (−x )，可得 f (x ) 的图象关于直线 x =−1 对称， 作出 f (x ) 在 [−1,1] 的图象，再由对称性，作出 f (x ) 在 [−3,3] 的图象， 作出函数 y =(12)∣x∣在 [−3,3] 的图象，由图象观察可得它们故有 5 个交点，即有函数 y =f (x )−(12)∣x∣在区间 [−3,3] 上的零点个数为 5．【知识点】函数的零点分布4. 【答案】A【解析】因为 y =2−x 为减函数，y =log 2x 在 (0,+∞) 上为增函数． 【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质5. 【答案】B【解析】画出 y =2x 与 y =log 12x 的图象（图略），可知当 x 0>a 时，2x 0>log 12x 0，故f (x 0)>0．【知识点】零点的存在性定理6. 【答案】C【知识点】函数模型的综合应用7. 【答案】B【解析】令 x =−1，则 f (1)=f (−1)+f (1)=2f (1)，所以 f (1)=0， 所以 f (x +2)=f (x )，即函数的周期为 2．若 F (x )=f (x )−log a (∣x∣+1) 恰有 6 个零点，则 0<a <1， 则 y =f (x ) 的图象与 y =log a (∣x∣+1) 有 6 个不同的交点，因为 y =f (x ) 和 y =log a (∣x∣+1) 均为偶函数且 f (0)=f (2)=−2≠0=log a (∣x∣+1)， 故 y =f (x ) 的图象与 y =log a (∣x∣+1) 在 (0,+∞) 上有三个不同的交点． 画出函数 y =f (x ) 和 y =log a (∣x∣+1) 的图象如下图所示，由图可知： f (2)=−2=log a 3，得 a =√33，f (4)=−2=log a 5，得 a =√55， a ∈(√55,√33)．（或 {f (2)<log a 3,f (4)>log a 5即 {−2<log a 3,−2>log a 5, 故 a ∈(√55,√33)）【知识点】函数的零点分布8. 【答案】D【解析】令 f (x )=x 3−2x 2+3x −6， 因为 f (−2)=−28<0，f (4)=38>0，且 f (−2+42)=f (1)=−4<0，所以 f (x ) 的零点在区间 [1,4] 内． 又 f (1+42)=f (52)=378>0，所以 f (x ) 的零点在区间 [1,52] 内． 又 f (1+522)=f (74)=−9764<0，所以 f (x ) 的零点在区间 [74,52] 内，即方程 x 3−2x 2+3x −6=0 在 [−2,4] 上的根在 [74,52] 内． 【知识点】零点的存在性定理9. 【答案】D【解析】 log 212=log 22−1=−1．【知识点】对数的概念与运算10. 【答案】C【解析】由 log a b +3log b a =132 得 log a b +3logab=132，即 2(log a b )2−13log a b +6=0，解得 log a b =6 或 log a b =12，所以 b =a 6 或 b =√a ． 【知识点】对数的概念与运算二、填空题（共6题）11. 【答案】0<k≤1【解析】由g(x)=f(x)−k=0，得f(x)=k，令y=k与y=f(x)，作出函数y=k与y=f(x)图象如图：当x≤0时，0<f(x)≤1；当x>0时，f(x)∈R．所以要使函数g(x)=f(x)−k存在两个零点，则k∈(0,1]．【知识点】函数的零点分布12. 【答案】(3,1)【知识点】对数函数及其性质13. 【答案】1【解析】设log2a=log5b=lg(a+b)=k，所以a=2k，b=5k，a+b=10k，所以ab=10k，所以a+b=ab，则1a +1b=1．【知识点】对数函数及其性质14. 【答案】{14}；{0}【知识点】二次函数的性质与图像、函数的零点分布、分段函数15. 【答案】(−1,3)【解析】本题考查对数函数的图象．当x+2=1时，x=−1，f(−1)=log a(−1+2)+3=3，所以函数f(x)=log a(x+2)+3的图象恒过定点(−1,3)．【知识点】对数函数及其性质16. 【答案】(−∞,−2]∪[2,+∞)【解析】由题意知x2−ax+1应能取到大于0的一切实数，因此g(x)=x2−ax+1应与x轴有交点，所以Δ=a2−4≥0．【知识点】对数函数及其性质三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) 由题意，把 x =1,2,3 代入 f (x ) 得：{a +b +c =52,4a +2b +c =54,9a +3b +c =58,解得 a =1，b =−1，c =52，所以 f (x )=x 2−x +52，所以 f (4)=42−4+52=64，f (5)=52−5+52=72，f (6)=62−6+52=82， 则 ∣f (4)−66∣=2，∣f (5)−82∣=10，∣f (6)−115∣=33； 把 x =1,2,3 代入 y =g (x )=p ⋅q x +r ，得：{pq +r =52,pq 2+r =54,pq 3+r =58,解得 p =1，q =2，r =50，所以 g (x )=2x +50，所以 g (4)=24+50=66，g (5)=25+50=82，g (6)=26+50=114， 则 ∣g (4)−66∣=0，∣g (5)−82∣=0，∣g (6)−115∣=1．因为 g (4)，g (5)，g (6) 更接近真实值，所以应将 y =2x +50 作为模拟函数．(2) 令 2x +50>2000，解得 x >log 21950≈10.9， 所以至少经过 11 个月患该传染病的人数将会超过 2000 人．【知识点】函数模型的综合应用18. 【答案】(1) 由题意得：对任意 x 1,x 2∈[1,4]，x 1≠x 2，都有 ∣∣√x 1−√x 2∣≤k∣∣x 1−x 2∣ 成立， 所以 k ≥√x +√x ．因为 x 1,x 2∈[1,4]，x 1≠x 2， 所以√x +√x <12，所以常数 k 的取值范围是 [12,+∞)．(2) 取 x 1=18，x 2=1，则 ∣f (x 1)−f (x 2)∣=3，而 2∣∣x 1−x 2∣=74， 所以 x 1=18，x 2=1 不满足 ∣f (x 1)−f (x 2)∣≤2∣∣x 1−x 2∣， 所以函数 f (x )=log 2x 不是“2− 利普希兹条件函数”．(3) 若 x 1,x 2∈[0,2]，①当 ∣x 1−x 2∣≤1 时，∣f (x 1)−f (x 2)∣≤∣x 1−x 2∣≤1， ②当 ∣x 1−x 2∣>1 时，设 0≤x 1<1<x 2≤2，则 ∣f (x 1)−f (x 2)∣=∣f (x 1)−f (0)+f (2)−f (x 2)∣≤∣f (x 1)−f (0)∣+∣f (2)−f (x 2)∣≤∣x 1∣+∣2−x 2∣=x 1+2−x 2<1.因此对任意x1,x2∈[0,2]，都有∣f(x1)−f(x2)∣≤1，因为y=f(x)(x∈R)周期为2，所以对任意x1,x2∈R，都存在p1,p2∈[0,2]，使f(x1)=f(p1)，f(x2)=f(p2)，所以∣f(x1)−f(x2)∣=∣f(p1)−f(p2)∣≤1．【知识点】对数函数及其性质、函数的周期性、幂函数及其性质19. 【答案】(1) 令−x2−4x−4=0，解得x=−2，所以函数f(x)的零点为−2．(2) 令(x−1)(x2−4x+3)x−3=0，解得x=1，所以函数f(x)的零点为1．(3) 在同一平面直角坐标系中作出函数y=2x，y=−x+1的图象，由图可知函数f(x)的零点为0．(4) 令log3(x+1)=0，解得x=0，所以函数f(x)的零点为0．【知识点】函数零点的概念与意义20. 【答案】（1）当函数y=f(x)同时满足：①函数的图象在[a,b]上是连续曲线；② f(a)⋅f(b)<0．则可判定函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，但是不能明确肯定有几个零点，也不是说可能有1个、2个、3个、4个、⋯⋯零点．（2）不满足零点存在性定理并不能说明不存在零点，即当函数y=f(x)的图象在[a,b]上是连续的曲线，但是不满足f(a)⋅f(b)<0时，函数y=f(x)在区间(a,b)内可能存在零点，也可能不存在零点．【知识点】零点的存在性定理21. 【答案】(1)(−78)+813+(√32)2×(214)−12−(0.25)0.5=1+2+34×√49−(14)12=1+2+34×23−12=1+2+12−12.(2)lg25+lg2×lg50+(lg2)2 =2lg5+lg2×(lg50+lg2) =2lg5+lg2×lg(2×50) =2lg5+lg2×lg100=2lg5+2lg2=2×(lg5+lg2)= 2.【知识点】对数的概念与运算、幂的概念与运算22. 【答案】(1) 当0<a<1时，定义域为(−∞,0)，当a>1时，定义域为(0,+∞)，所以y=f(x)的图象总在y轴的一侧．(2) 当0<a<1时，y=a x−1在区间(−∞,0)上是严格减函数，又0<a<1，y=f(x)在区间(−∞,0)上是严格增函数．当a>1时，y=a x−1在区间(0,+∞)上是严格增函数，又a>1，y=f(x)在区间(0,+∞)上是严格增函数．【知识点】对数函数及其性质、函数的单调性11。
人教A版高一数学必修第一册全册复习测试题卷含答案解析(21)
人教A版高一数学必修第一册全册复习测试题卷5（共30题）一、选择题（共10题）1.设实数x，y满足x+2y+1=0，则2x+4y的最小值是( )A．√2B．2√2C．3√2D．4√22.设a=0.60.6，b=0.61.5，c=1.50.6，则a，b，c的大小关系是( )A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．b<c<a3.设a，b，c依次为方程x+3=log13x，(13)x=log13x，(13)x=x+3的实根，则有( )A．a<b<c B．c<b<a C．b<a<c D．c<a<b4.已知全集U={−2,−1,0,1,2,3}，集合A={0,1}，B={1,2}，则∁U(A∪B)=( )A．{1,2}B．{0,1,2}C．{−2,−1,3}D．{−2,−1,0,3}5.函数f(x)=x a满足f(2)=4，那么函数g(x)=∣log a(x+1)∣的图象大致为( )A．B．C．D．6.若a<1，b>1，则下列命题中正确的是( )A．1a >1bB．ba>1C．a2<b2D．ab<a+b−17.设S，T是两个非空集合，且它们互不包含，那么S∪(S∩T)等于( )A．S∩T B．S C．∅D．T8.已知集合A={1,2,4}，B={2,4,8}，则A∩B=( )A．{1,4}B．{2,4}C．{2,4,8}D．{1,2,4,8}9.函数y=x2+4∣x∣+5在定义域内有( )A．最小值1B．最大值1C．最小值5D．最大值510. 函数 y =xln∣x∣∣x∣的图象是 ( )A ．B ．C ．D ．二、填空题（共10题）11. 已知集合 A ={1,2}，集合 B 满足 A ∪B ={1,2,3}，则集合 A 的子集个数有 个；这样的集合 B 有 个．12. 已知 cos (π6−α)=13，则 cos (5π6+α)= ，sin (2π3−α)= ．13. 将函数 f (x )=sin (4x −π6) 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，得到函数y =g (x ) 的图象，则 g (x ) 的最小正周期是14. 函数 y =cosx 在区间 [−π,a ] 上为增函数，则 a 的取值范围是 ．15. 若集合 A ={x∣ ∣ x∣ <2}，B ={x ∣ 1x+1>0}，则 A ∩B = ．16. 函数 f (x )=x −12 的定义域为集合 ．17. 下列命题中，是全称量词命题的是 ；是存在量词命题的是 ．①正方形的四条边相等；②有两个角相等的三角形是等腰三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．18.设a，b为正实数，有下列命题：①若a2−b2=1，则a−b<1；②若1b −1a=1，则a−b<1；③若∣∣√a−√b∣∣=1，则∣a−b∣<1．其中正确的命题为（写出所有正确命题的序号）．19.已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x−4)=f(x)，且在区间[0,2]上f(x)=x，若关于x的方程f(x)=log a x有三个不同的实根，则a的取值范围为．20.已知全集U={x∣ 1≤x≤5}，A={x∣ 1≤x<a}，若∁U A={x∣ 2≤x≤5}，则a=．三、解答题（共10题）21.判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由．(1) 与定点A，B等距离的点；(2) 高中学生中的游泳能手．22.已知定义域为R的函数f(x)=−2x+b2x+1+a是奇函数．求a，b的值．23.画出下列函数的图象，观察其变化规律：(1) f(x)=x．①从左至右图象上升还是下降？；②在区间上，随着x的增大，f(x)的值随之．(2) f(x)=−2x+1．①从左至右图象上升还是下降？；②在区间上，随着x的增大，f(x)的值随之．(3) f(x)=x2．①在区间上，f(x)的值随着x的增大而；②在区间上，f(x)的值随着x的增大而；24.求下列函数的定义域．(1) y=log2(x2−4x−5)；(2) y=√log0.5(4x−3)．≤1,x∈R}，集合B={x∣ ∣x−a∣≤1,x∈R}．25.已知集合A={x∣∣ 2x−1x+1(1) 求集合A；(2) 若B∩∁R A=B，求实数a的取值范围．26.在平面直角坐标系中，用阴影部分表示下列集合．(1) {α∣ 30∘+k⋅360∘≤α≤60∘+k⋅360∘,k∈Z}；(2) {α∣ 30∘+k⋅180∘≤α≤60∘+k⋅180∘,k∈Z}．27.已知函数y=f(x)是R上的奇函数，x>0时，f(x)=1．求：x2+1(1) y=f(x)的解析式；(2) y=f(x)的值域．28.求下列函数的定义域．(1) y=√x2−x−2．．(2) y=√4−x+1∣x∣−1．(3) y=0√∣x∣−x29.子集（1）对于两个集合A和B，如果集合A中都属于集合B（若a∈A，则a∈B），那么集合A叫做集合B的子集，记作或，读作“ ”或“ ”．可用文氏图表示为（2）子集的性质：①A⊆A，即任何一个集合是它本身的子集；②∅⊆A，即空集是任何集合的子集．问题：集合A是集合B的子集的含义是什么？30.回答下列问题．(1) 已知f(x)是奇函数，定义域为D，g(x)是偶函数，定义域也是D．设F(x)=f(x)g(x)，判断函数F(x)的奇偶性；(2) 已知f(x)，g(x)的定义域都是D，若F(x)=f(x)g(x)是偶函数，研究f(x)和g(x)的奇偶性．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】A【知识点】均值不等式的应用2. 【答案】C【解析】因为函数y=0.6x在R上单调递减，所以b=0.61.5<a=0.60.6<1．又c=1.50.6>1，所以b<a<c．【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质3. 【答案】D【知识点】函数的零点分布4. 【答案】C【知识点】交、并、补集运算5. 【答案】C【知识点】对数函数及其性质、幂函数及其性质6. 【答案】D【解析】由a<1，b>1，得a−1<0，b−1>0，所以(a−1)(b−1)<0，即ab<a+ b−1．【知识点】不等式的性质7. 【答案】B【解析】因为(S∩T)⊆S，所以S∪(S∩T)=S．【知识点】交、并、补集运算8. 【答案】B【解析】因为集合A={1,2,4}，B={2,4,8}，所以A∩B={1,2,4}∩{2,4,8}={2,4}．【知识点】交、并、补集运算9. 【答案】C【知识点】函数的最大（小）值10. 【答案】B【解析】易知函数y=xln∣x∣∣x∣为奇函数，故排除A，C；当x>0时，y=lnx，只有B项符合．【知识点】函数图象、函数的奇偶性二、填空题（共10题）11. 【答案】4；4【知识点】交、并、补集运算12. 【答案】−13；13【知识点】诱导公式13. 【答案】π【解析】依题意可得g(x)=sin(2x−π6)，故T=2π2=π．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质14. 【答案】(−π,0]【解析】∵y=cosx在[−π,0]上是增函数，在[0,π]上是减函数，∴只有−π<a≤0时满足条件，故a∈(−π,0]．【知识点】余弦函数的性质15. 【答案】(−1,2)【知识点】交、并、补集运算16. 【答案】x∈(0,+∞)【解析】f(x)=x−12=√x f(x)有意义，则x>0，故f(x)=x−12的定义域为x∈(0,+∞)．【知识点】函数的定义域的概念与求法17. 【答案】①②③；④【解析】①可表述为“每一个正方形的四条边相等”，是全称量词命题；②是全称量词命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述为“所有正数的平方根都不等于0”，是全称量词命题；④是存在量词命题.【知识点】全（特）称命题的概念与真假判断18. 【答案】①【解析】对于①，由题意a，b为正实数，则a2−b2=1⇒a−b=1a+b⇒a−b>0⇒a>b>0，故a+b>a−b>0．若a−b≥1，则1a+b≥1⇒a+b≤1≤a−b，这与a+b>a−b>0矛盾，故a−b<1成立．对于②，取特殊值，a=3，b=34，则a−b>1；对于③，取特殊值，a=9，b=4时，∣a−b∣>1．【知识点】不等式的性质19. 【答案】(√6,√10)【解析】由f(x−4)=f(x)知，函数的周期为4，又函数为偶函数，所以f(x−4)=f(x)= f(4−x)，所以函数图象关于x=2对称，且f(2)=f(6)=f(10)=2，要使方程f(x)=log a x有三个不同的根，则满足{a>1,log a6<2, log a10>2,如图，解得√6<a<√10．故a的取值范围是(√6,√10)．【知识点】函数的零点分布20. 【答案】2【解析】因为A={x∣ 1≤x<a}，∁U A={x∣ 2≤x≤5}，所以A∪(∁U A)=U={x∣ 1≤x≤5}，且A∩(∁U A)=∅，所以a=2．【知识点】交、并、补集运算三、解答题（共10题）21. 【答案】(1) 是，即线段 AB 的垂直平分线．(2) 不是，因为游泳能手与不是能手没有具体的划分标准．【知识点】集合的概念22. 【答案】因为 f (x ) 是定义域为 R 的奇函数，所以 f (0)=0，即 −1+b 2+a=0，解得 b =1．从而 f (x )=−2x +12x+1+a，又由 f (−1)=−f (1)，即 −12+11+a=−−2+14+a，解得 a =2．【知识点】函数的奇偶性23. 【答案】(1) 上升；(−∞,+∞)；增大 (2) 下降；(−∞,+∞)；减小 (3) (−∞,0)；减小；(0,+∞)；增大 【知识点】函数图象、函数的单调性24. 【答案】(1) 要使函数有意义，需 x 2−4x −5>0， 即 (x −5)(x +1)>0， 所以 x <−1 或 x >5，故所求函数的定义域为 (−∞,−1)∪(5,+∞)．(2) 要使函数有意义，需 log 0.5(4x −3)≥0， 即 log 0.5(4x −3)≥log 0.51， 故 0<4x −3≤1， 解得 34<x ≤1，故所求函数的定义域为 (34,1]．【知识点】函数的定义域的概念与求法、对数函数及其性质25. 【答案】(1) 由2x−1x+1≤1，得 x−2x+1≤0，所以 A =(−1,2]．(2) ∁R A =(−∞,−1]∪(2,+∞)，B =[a −1,a +1]，由 B ∩∁R A =B ，得 B ⊆∁R A ，所以 a +1≤−1 或 a −1>2， 所以 a 的取值范围为 (−∞,−2]∪(3,+∞)． 【知识点】分式不等式的解法、交、并、补集运算26. 【答案】(1) (2)【知识点】任意角的概念27. 【答案】(1) f (x )={1x 2+1,x >00,x =0−1x 2+1,x <0． (2) (−1,1)．【知识点】函数的解析式的概念与求法、函数的值域的概念与求法、函数的奇偶性28. 【答案】(1) 由 x 2−x −2≥0 得 x ≤−1或≥2． 所以定义域为 (−∞,−1]∪[2,+∞)．(2) 因为 {4−x ≥0,∣x ∣−1≠0⇒{x ≤4,x ≠±1,所以所求定义域为 (−∞,−1)∪(−1,1)∪(1,4]． (3) 由 {x +1≠0,∣x ∣−x >0⇒{x ≠−1,x <0,所以所求定义域为 (−∞,−1)∪(−1,0)． 【知识点】函数的定义域的概念与求法29. 【答案】（1）任何一个元素；A ⊆B ；B ⊇A ；A 包含于 B ；B 包含 A（2）集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素，即由 x ∈A 能推出 x ∈B ．例如 {0,1}⊆{−1,0,1}，则由 0∈{0,1} 能推出 0∈{−1,0,1}． 【知识点】包含关系、子集与真子集30. 【答案】(1) 奇函数，(2) f (x ) 和 g (x ) 同是奇函数或同是偶函数，则 F (x ) 为偶函数；若 f (x ) 和 g (x ) 都是非奇非偶函数，F (x ) 也可以为偶函数，比如 f (x )=x +1，g (x )=x −1．【知识点】函数的奇偶性11。
2014年高中数学 模块质量评估A同步测试(含解析,含尖子生题库)新人教A版必修1
2014年高中数学 模块质量评估A 同步测试（含解析，含尖子生题库）新人教A 版必修1模块质量评估A(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |－2≤x ≤3}，B ＝{x |x <－1或x >4}，那么集合A ∩(∁U B )等于( )A ．{x |－2≤x <4}B ．{x |x ≤3或x ≥4}C ．{x |－2≤x <－1}D ．{x |－1≤x ≤3} 解析： ∵B ＝{x |x <－1或x >4}， ∴∁U B ＝{x |－1≤x ≤4}，由数轴分析可知，在数轴上标注A 及∁U B ，再找其公共部分．∴A ∩(∁U B )＝{x |－1≤x ≤3}． 答案： D2．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，若f (α)＝1，则α＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析： 依题意知log 2(α＋1)＝1，则α＋1＝2，故α＝1. 答案： B3．下列对应或关系式中是A 到B 的函数的是( )A ．A ∈R ，B ∈R ，x 2＋y 2＝1B ．A ＝{1,2,3,4}，B ＝{0,1}，对应关系如图：C ．A ＝R ，B ＝R, f ：x →y ＝1x －2D ．A ＝Z ，B ＝Z, f ：x →y ＝2x －14．函数y ＝xx －1－lg x 的定义域为( )A ．{x |x >1}B ．{x |x ≥1}C ．{x |x ≤0}D ．{x |x ≥1}∪{0} 解析： x 应满足⎩⎪⎨⎪⎧x (x －1)≥0，x －1≠0，x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1或x ≤0，x ≠1，x >0，∴{x |x >1}．答案： A5．三个数0.76,60.7，log 0.76的大小关系为( )A ．0.76<log 0.76<60.7B ．0.76<60.7<log 0.76C ．log 0.76<60.7<0.76D ．log 0.76<0.76<60.7 解析： ∵0<0.76<1,60.7>1，log 0.76<0， ∴log 0.76<0.76<60.7. 答案： D6．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，14，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为( )A ．－1,1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．1,3解析： 当α＝－1时，y ＝1x，此时x 不能为0，因此不符合；当α＝1时，y ＝x ，显然定义域为R 且为奇函数，因此符合；当α＝12时，y ＝x ，此时x 不能为负数，因此不符合；当α＝3时，y ＝x 3，显然定义域为R 且为奇函数，因此符合．所以所有符合条件的α值包括1,3.答案： D72A ．(－3，－1)和(2,4)B ．(－3，－1)和(－1,1)C ．(－1,1)和(1,2)D ．(－∞，－3)和(4，＋∞) 解析： ∵f (－3)＝6>0，f (－1)＝－4<0，f (2)＝－4<0， f (4)＝6>0， ∴f (－3)·f (－1)<0，f (2)·f (4)<0.故方程的两根所在区间分别是(－3，－1)和(2,4)． 答案： A8．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －x 2，(0≤x ≤3)x 2＋6x (－2≤x ≤0)的值域是( )A ．RB ．[1，＋∞)C ．[－8,1]D ．[－9,1]解析： 设g (x )＝2x －x 2,0≤x ≤3，结合二次函数的单调性可知：g (x )min ＝g (3)＝－3，g (x )max ＝g (1)＝1；同理，设h (x )＝x 2＋6x ，－2≤x ≤0，则h (x )min ＝h (－2)＝－8，h (x )max ＝h (0)＝0， 所以f (x )max ＝g (1)＝1，f (x )min ＝h (－2)＝－8，故选C. 答案： C9．下列函数在(0，＋∞)上是增函数并且是定义域上的偶函数的是( )A ．y ＝x 23 B ．y ＝⎝⎛⎫12x C ．y ＝ln x D ．y ＝x 2＋2x ＋3解析： y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在(0，＋∞)上是减函数，故B 项不正确．y ＝ln x 与y ＝x 2＋2x ＋3都是非奇非偶函数，故C 、D 不正确．答案： A10．设P 、Q 是两个非空集合，定义集合间的一种运算“⊙”：P ⊙Q ＝{x |x ∈P ∪Q ，且x ∉P ∩Q }，如果P ＝{y |y ＝4－x 2}，Q ＝{y |y ＝4x ，x >0}，则P ⊙Q ＝( )A ．[0,1]∪(4，＋∞)B ．[0,1]∪(2，＋∞)C ．[1,4]D ．(4，＋∞) 解析： P ＝[0,2]，Q ＝(1，＋∞)， ∴P ⊙Q ＝[0,1]∪(2，＋∞)．答案： B11．若函数f (x )＝log a (2x ＋1)(a >0，且a ≠1)在区间⎝⎛⎭⎫－12，0内恒有f (x )>0，则f (x )的单调减区间是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，－12 B.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞)解析： 当x ∈⎝⎛⎭⎫－12，0时，2x ＋1∈(0,1)，所以0<a <1. 又f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎫－12，＋∞，2x ＋1在⎝⎛⎭⎫－12，＋∞上为增函数，所以f (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. 答案： B12．若函数f (x )＝log a (x ＋b )的大致图象如图所示，其中a ，b (a >0且a ≠1)为常数，则函数g (x )＝a x ＋b 的大致图象为( )解析： 由f (x )＝log a (x ＋b )的图象可知，0<a <1，b >0且b <1.因此B 答案正确． 答案： B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知A ＝{－1,3，m }，集合B ＝{3,4}，若B ∩A ＝B ，则实数m ＝________. 解析： ∵A ＝{－1,3，m }，B ＝{3,4}，B ∩A ＝B ，∴m ＝4. 答案： 4 14．已知f (x )在R 上是奇函数，且f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝________. 解析： 由题设f (7)＝f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－2×12＝－2. 答案： －215．建造一个容积为8 m 3、深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的总造价y 与池底宽x 之间的函数解析式为________．解析： 因为容积为8 m 3，深为2 m ，所以底面积为4 m 2.因为池底宽为x m ，则另一边长为4x m ，因此水池的总造价y ＝82×120＋⎝⎛⎭⎫2x ＋2·4x ×2×80＝480＋320x ＋1 280x(x >0)． 答案： y ＝480＋320x ＋1 280x(x >0)16．下列说法中，正确的是________． ①任取x >0，均有3x >2x .②当a >0，且a ≠1时，有a 3>a 2.③y ＝(3)－x 是增函数． ④y ＝2|x |的最小值为1.⑤在同一坐标系中，y ＝2x 与y ＝2－x 的图象关于y 轴对称．解析： 由y ＝3x 与y ＝2x 的图象知当x >0时3x >2x ，故①正确． 当a >1时函数y ＝a x 是增函数，则a 3>a 2；当0<a <1时函数y ＝a x 是减函数，则a 3<a 2. 故②不正确．y ＝(3)－x ＝⎝⎛⎭⎫33x 是减函数，故③不正确．y ＝2|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， (x ≥0)2－x ， (x <0)当x ＝0时y min ＝1，故④正确，⑤正确． 答案： ①④⑤三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |3≤x <7}，B ＝{x |2<x <10}，C ＝{x |x <a }． (1)求A ∪B ； (2)求(∁R A )∩B ；(3)若A ⊆C ，求a 的取值范围．解析： (1)因为A ＝{x |3≤x <7}，B ＝{x |2<x <10}， 所以A ∪B ＝{x |2<x <10}． (2)因为A ＝{x |3≤x <7}， 所以∁R A ＝{x |x <3或x ≥7}． 因为B ＝{x |2<x <10}，所以(∁R A )∩B ＝{x |2<x <3或7≤x <10}．(3)因为A ＝{x |3≤x <7}，C ＝{x |x <a }，A ⊆C ， 所以a 需满足a ≥7.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈(2，5].(1)在直角坐标系内画出f (x )的图象； (2)写出f (x )的单调递增区间．解析： (1)函数f (x )的图象如下图所示：(2)函数f (x )的单调递增区间为[－1,0]和[2,5]． 19．(本小题满分12分)若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围． 解析： (1)由f (0)＝1得，c ＝1.∴f (x )＝ax 2＋bx ＋1， 又∵f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ，即2ax ＋a ＋b ＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.因此，f (x )＝x 2－x ＋1.(2)f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上的最小值大于0即可．∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上单调递减， ∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1， 由－m －1>0，得m <－1.因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)．20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫23|x |－a. (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的最大值等于94，求a 的值．解析： (1)令t ＝|x |－a ，则f (x )＝⎝⎛⎭⎫23t，不论a 取何值，t 在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，又y ＝⎝⎛⎭⎫23t是单调递减的，因此f (x )的单调递增区间是(－∞，0]， 单调递减区间是[0，＋∞)；(2)由于f (x )的最大值是94，且94＝⎝⎛⎭⎫23－2，所以g (x )＝|x |－a 应该有最小值－2，从而a ＝2.21．(本小题满分12分)通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间，讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f (x )表示学生掌握和接受概念的能力(f (x )的值越大，表示接受能力越强)，x 表示提出和讲授概念的时间(单位：分)，可以有以下公式：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.1x 2＋2.6x ＋43， (0<x ≤10)59， (10<x ≤16)－3x ＋107， (16<x ≤30)(1)开讲多少分钟后，学生的接受能力最强？能维持多少分钟？ (2)开讲5分钟与开讲20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？(3)一个数学难题，需要55的接受能力以及13分钟的时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？解析： (1)当0<x ≤10时， f (x )＝－0.1x 2＋2.6x ＋43 ＝－0.1(x －13)2＋59.9，故f (x )在0<x ≤10时递增，最大值为f (10)＝－0.1×(10－13)2＋59.9＝59. 当10<x ≤16时，f (x )＝59.当x >16时，f (x )为减函数，且f (x )<59.因此，开讲10分钟后，学生达到最强接受能力(为59)，能维持6分钟时间． (2)f (5)＝－0.1×(5－13)2＋59.9＝53.5， f (20)＝－3×20＋107＝47<53.5，故开讲5分钟时学生的接受能力比开讲20分钟时要强一些． (3)当0<x ≤10时，令f (x )＝55， 解得x ＝6或x ＝20(舍)， 当x >16时，令f (x )＝55，解得x ＝1713.因此学生达到(含超过)55的接受能力的时间为1713－6＝1113<13，所以老师来不及在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题．22．(本小题满分14分)已知定义在实数集R 上的偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调增函数．(1)求证：函数f (x )在区间(－∞，0]上是单调减函数； (2)若f (1)<f (lg x )，求x 的取值范围．解析： (1)证明：设x 1<x 2≤0，则－x 1>－x 2≥0，因为f (x )在区间[0，＋∞)上是单调增函数， ∴f (－x 1)>f (－x 2)． 又因为f (x )是偶函数，所以f (－x 1)＝f (x 1)，f (－x 2)＝f (x 2)， f (x 1)>f (x 2)，∴函数f (x )在区间(－∞，0]上是单调减函数． (2)当0<x ≤1时，lg x ≤0， 由f (1)<f (lg x )得f (－1)<f (lg x )，函数f (x )在区间(－∞，0]上是单调减函数．∴－1>lg x,0<x <110.当x ≥1时，lg x ≥0，由f (1)<f (lg x )，f (x )在区间[0，＋∞)上是单调增函数， ∴lg x >1，x >10，综上所述，x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，110∪(10，＋∞)．。
人教A版高一数学必修第一册全册复习检测题卷含答案解析(43)
人教A版高一数学必修第一册全册复习检测题卷（共30题）一、选择题（共10题）1.cos2π3=( )A．−12B．12C．√32D．−√322.函数f(x)=3x−3−xx4的大致图象为( )A．B．C．D．3.函数y=√3−xlnx的定义域为( )A．(0,3)B．(0,1)∪(1,3]C．(0,3]D．(0,1)∪(1,3)4.设函数f(x)=2xx+1+lnx满足f(a)f(b)f(c)<0(a<b<c)，若f(x)存在零点x0，则下列选项中一定错误的是( )A．x0∈(a,c)B．x0∈(a,b)C．x0∈(b,c)D．x0∈(c,+∞)5.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)={x−x2,0≤x<22−xe x,x≥2．若函数x2−7ab+b2−4a k+kab−1有6个零点，则实数m的取值范围是( )A．(−1e3,14)B．(−1e3,0)∪(0,14)C．(−1e3,0]D．(−1e3,0)6.如图所示的是某池塘中浮萍蔓延的面积(m2)与时间t（月）的关系：y=a t，有以下叙述：①这个指数函数的底数是2；②第5个月时，浮萍的面积就会超过30m2；③浮萍从4m2蔓延到16m2需要经过2个月；④浮萍每个月增加的面积都相等．其中正确的是( )A ．①②③B ．①②③④C ．②③④D ．①②7. 已知定义域为 (0,+∞) 的函数 f (x ) 满足：（ⅰ）对任意 x ∈(0,+∞)，恒有 f (2x )=2f (x ) 成立； （ⅰ）当 x ∈[1,2) 时，f (x )=2−x ．给出下列结论：①当 x ∈[2,4) 时，f (x )=4−x ；②对任意 m ∈N ，f (2m )=2m ；③函数 f (x ) 的值域为 (0,+∞)，则其中所有正确的结论有 ( ) A ． 0 个 B ． 1 个 C ． 2 个 D ． 3 个8. 若不等式 ax 2−x +a >0 对一切实数 x 都成立，则实数 a 的取值范围为 ( ) A ． a <−12 或 a >12 B ． a >12 或 a <0 C ． a >12D ． −12<a <129. 函数 f (x ) 是定义在 R 上的偶函数，且满足 f (x +2)=f (x ) ,当 x ∈[0,1] , f (x )=2x ，若在区间 [−2,3] 上方程 ax +2a −f (x )=0 恰有四个不相等的实数根，则实数 a 的取值范围是 A ．(0,25)B ．(25,23)C ．[25,23]D ．(23,1)10. 设 x,y ∈R ，则“a ≥2 且 b ≥2”是“a 2+b 2≥4”的 ( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题（共10题）11. 某商场对顾客实行优惠活动，规定一次购物付款总额：① 200 元以内（包括 200 元）不予优惠；②超过 200 元不超过 500 元，按标价 9 折优惠；③超过 500 元其中 500 元按②优惠，超过部分按 7 折优惠，某人两次购物分别付款 168 元和 423 元，若他一次购物，应付款 元．12. tan36∘+tan24∘+√3tan36∘tan24∘= ．13. 已知函数 f (x )=2sin (ωx +φ)(ω>0,∣φ∣<π2) 的图象过点 B(0,−√3)，且在 (π18,π3) 上单调，同时 f (x ) 的图象向左平移 π 个单位长度后与原来的图象重合，当 x 1,x 2∈(−4π3,−2π3)，且x 1≠x 2 时，f (x 1)=f (x 2)，则 f (x 1+x 2)= ．14. lg8+3lg5 的值为 ．15. 已知函数 f (x )=lnx −m 的零点位于区间 (1,e ) 内，则实数 m 的取值范围是 ．16. 计算：log 43×log 932= ．17. 设函数 f (x )=e x +ae −x （a 为常数）．若 f (x ) 为奇函数，则 a = ；若 f (x ) 是 R 上的增函数，则 a 的取值范围是 ．18. 求值：tan22∘+tan38∘+√3tan22∘⋅tan38∘= ．19. 已知 a >b >1．若 log a b +log b a =52，a b =b a ，则 a = ，b = ．20. 定义在 R 上的函数 f (x ) 满足 f (x +2)=f (x )−2，当 x ∈(0,2] 时，f (x )={x 2−x −6,x ∈(0,1]−2x−1−5,x ∈(1,2]，若 x ∈(−6,−4] 时，关于 x 的方程 af (x )−a 2+2=0(a >0) 有解，则实数 a 的取值范围是 ．三、解答题（共10题）21. 对于区间，若函数 y =f (x ) 同时满足：① f (x ) 在 [a,b ] 上是单调函数；②函数 y =f (x )，x ∈[a,b ] 的值域是 [a,b ]，则称区间 [a,b ] 为函数 f (x ) 的“保值”区间． (1) 求函数 y =x 2 的所有“保值”区间．(2) 函数 y =x 2+m (m ≠0) 是否存在“保值区间”？若存在，求出 m 的取值范围，若不存在，说明理由．22. 某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为 48 m 2，房屋正面每平方米的造价为 1200 元，房屋侧面每平方米的造价为 800 元，屋顶的造价为 5800 元，如果墙高为 3 m ，且不计房屋背面和地面的费用，那么怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？23. 定义在 R 上的函数 f (x ) 既是偶函数又是周期函数，若 f (x ) 的最小正周期是 π，且当 x ∈[0,π2]时，f(x)=sinx，求f(5π3)的值．24.求函数y=√4−x2x+∣x∣的定义域．25.著名的数学家歌拉在数学的许多领域中都取得了很大的成就，以他名字命的有欧拉定理、欧拉公式、欧拉线等，当然也有许多美丽的传说，“欧拉机智改羊圈”就是讲述欧拉小时候的故事．欧拉放学后负责帮爸爸放羊，爸爸的羊慢慢增多了，原来的羊圈就显得有些小了，爸爸打算再修建一个新的羊圈．他有100只羊，每只羊需要占地面积6平方米，所以他计划建一个长40米，宽15米的羊面．可是，一切工作准备就绪的时候，他发现围篱笆所用材料根本就不够用，只能够围100米的篱笆．如果仍把羊圈围成长40米，宽15米，就要缺少10米长的材料：要是缩小面积，每头羊的平均居住面积就会减少，父亲感到左右为难．小欧拉对父亲说，不用增加材料，也不用担心每头羊的占用的面积会变小，他有办法解决这个问题．父亲照着小欧拉设计的羊圈扎上了篱笆，长100米的篱笆，不多不少，正好用完，面积也足够了，而且比预想的要稍微大一些．【注：欧拉和爸爸设计的羊圈均为矩形ABDC，如图1，本题所有篱笆所占面积忽略不计】(1) 请你用学过的知识解释欧拉是怎样帮助父亲解决问题的．(2) 如果欧拉爸爸又想把羊圈一分为二，需要在中间增加一道篱笆，即还是用100米的材料目成如图所示的“日”字形羊圈，请问当宽的长度是多少时，“日”字形羊圈面积最大．(3) 请推广你的结论，把矩形长进行等分，若用100米的材料围成的羊图面积最大，求宽AB的长．【第ⅰ问只写出结论即可】．26.已知函数f(x)=lg(x+ax−2)，其中x>0，a>0．(1) 求函数f(x)的定义域；(2) 若对任意x∈[2,+∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围．27.下列每组对象能否构成一个集合？（1）我们班的所有高个子同学；（2）不超过20的非负数；（3）直角坐标平面内第一象限的一些点；（4）√3的近似值的全体．28.解答题．]的定义域为R，求实数k的取值范围；(1) 已知函数y=lg[(k+2)x2+(k+2)x+54]的值域为R，求实数k的取值范围．(2) 已知函数y=lg[(k+2)x2+(k+2)x+5429.在平面直角坐标系中，两点P(x1,y1)，Q(x2,y2)的“曼哈顿距离”定义为∣x1−x2∣+∣y1−y2∣，记为∣∣PQ∣∣．如，点P(−1,−2)，Q(2,4)的“曼哈顿距离”为9，记为∣∣PQ∣∣=9．(1) 点P(−1,−2)，Γ是满足∣∣PQ∣∣≤1的动点Q的集合，求点集Γ所占区域的面积；(2) 动点P在直线y=2x−2上，动点Q在函数y=x2图象上，求∣∣PQ∣∣的最小值；(3) 动点Q在函数y=x2(x∈[−3,3])的图象上，点P(a,b)，∣∣PQ∣∣的最大值记为M(a,b)，请选择下列二问中的一问，做出解答．①求证：不存在实数a，b，使M(a,b)=5．②求M(a,b)的最小值．30.已知角α与β终边相同．求角α．(1) −360∘<α≤0∘，β=15∘；(2) 360∘≤α<720∘，β=−120∘；(3) −720∘≤α<−360∘，β=180∘；(4) 0∘≤α<360∘，β=400∘．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】A【知识点】任意角的三角函数定义2. 【答案】B【解析】易知定义域为 (−∞,0)∪(0,+∞)，关于原点对称 f (−x )=3−x −3x (−x )4=−3x −3−xx 4=−f (x )，则 f (x ) 是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ，f (1)=3−13=83>0，排除D ，当 x →+∞ 时，3x →+∞，则 f (x )→+∞，排除C ，选项B 符合． 【知识点】函数的奇偶性、函数图象3. 【答案】B【解析】由 {3−x ≥0,x >0,x ≠1 得 0<x ≤3，且 x ≠1．所以函数 y =√3−xlnx的定义域为 (0,1)∪(1,3]．【知识点】函数的定义域的概念与求法4. 【答案】C【解析】函数 f (x )=2xx+1+lnx =2+lnx −2x+1 的定义域为 {x∣ x >0}，函数是增函数，满足 f (a )f (b )f (c )<0(a <b <c )，说明 f (a )，f (b )，f (c )，有 1 个是负数一定是 f (a ) 两个正数或 3 个负数，由函数的零点判断定理可知，函数的零点在 (a,c )，在 (a,b )，在 (c,+∞)，不可能在 (b,c )． 故选：C ．【知识点】零点的存在性定理5. 【答案】D【解析】函数 f (x ) 是定义在 R 上偶函数，函数 F (x )=f (x )−m 有六个零点， 则当 x >0 时，函数 F (x )=f (x )−m 有三个零点， 令 F (x )=f (x )−m =0，即 m =f (x )．①当 0<x <2 时，f (x )=x −x 2=−(x −12)2+14， 当 x =12 时有最大值，即为 f (12)=14，且 f (x )>f (2)=2−4=−2，故 f (x ) 在 [0,2) 上的值域为 (−2,14]；②当 x ≥2 时，f (x )=2−x e x<0，且当 x →+∞，f (x )→0，因为 fʹ(x )=x−3e x，令 fʹ(x )=x−3e x=0，解得 x =3，当 2≤x <3 时，fʹ(x )<0，f (x ) 单调递减； 当 x ≥3 时，fʹ(x )≥0，f (x ) 单调递增，所以 f (x )min =f (3)=−1e 3，故f (x ) 在 [2,+∞) 上的值域为 [−1e 3,0)．因为 −1e 3>−2， 所以当 −1e 3<m <0 时，当 x >0 时，函数 F (x )=f (x )−m 有三个零点，故当 −1e 3<m <0 时，函数 F (x )=f (x )−m 有六个零点，当 x =0 时，函数有 5 个零点． 【知识点】函数的零点分布6. 【答案】A【解析】由图知：函数图象过点 (1,2) 代入 y =a t 得 2=aʹ，得 a =2，①正确． 当 a =2，t =5 时，25=32>30，则②正确．当 t =2 时，2t =4；t =4 时，2t =16，则从 4 m 2 到 16 m 2 需要经过两个月，③正确． 由图知：从 t =1 到 t =2，增加量为 4−2=2 m 2，从 t =2 到 t =3，增加量为 8−4=4 m 2，增加的面积不同，④不正确． 综上①②③正确．【知识点】函数模型的综合应用7. 【答案】D【解析】对于①，当 x ∈[2,4) 时，x2∈[1,2)，则 f (x2)=2−x2， 所以 f (x )=2(x2)=4−x ，故①正确；对于②，f (2m )=f (2⋅2m−1)=2f (2m−1)=⋯=2m−1f (2)=2m ，故②正确； 对于③由题意，当 x ∈[1,2) 时，f (x )=2−x >0， 当 x ∈[2,4) 时，12x ∈[1,2)，f (x )=2f (x2)=4−x >0，当 x ∈[4,8) 时，12x ∈[2,4)，f (x )=2f (x2)=8−x >0， ⋯一般地，当x∈[2m,2m+1)，则x2m∈[1,2)，f(x)=2m+1−x>0，从而f(x)∈(0,+∞)，故③正确．综上所述，其中所有正确的结论有3个．故选D．【知识点】函数的值域的概念与求法、指数函数及其性质8. 【答案】C【知识点】恒成立问题、二次不等式的解法9. 【答案】B【解析】在区间[−2,3]上方程ax+2a−f(x)=0恰有四个不相等的实数根，等价于在区间[−2,3]上，函数f(x)与y=a(x+2)的图象有四个不同的交点，由f(x+2)=f(x)可得函数的周期为2，且为偶函数，函数y=a(x+2)的图象过定点(−2,0)，且斜率为a的直线，其图象为：由图可知，当直线介于CB和CA之间时符合题意，而由斜率公式可得k CB=2−01−(−2)=23，k CA=2−03−(−2)=25，故实数a的取值范围为(25,23 )．【知识点】函数的奇偶性、函数的零点分布、函数的周期性10. 【答案】A【知识点】充分条件与必要条件二、填空题（共10题）11. 【答案】513.7【知识点】函数模型的综合应用12. 【答案】√3【知识点】两角和与差的正切【解析】函数 f (x )=2sin (ωx +φ)(ω>0,∣φ∣<π2) 的图象，过点 B(0,−√3)，则 2sinφ=−√3，解得：sinφ=−√32， 由于：∣φ∣<π2，所以 φ=−π3，则 f (x )=2sin (ωx −π3)，同时 f (x ) 的图象向左平移 π 个单位之后与原来的图象重合， 所以 g (x )=2sin [ω(x +π)−π3]=2sin (ωx −π3)，则 ωπ=2kπ，函数在 x ∈(π18,π3) 上单调，则 π3−π18≤T2=πω，解得 0<ω≤185，所以 ω=2，则 f (x )=2sin (2x −π3)，函数的对称轴方程为：2x −π3=kπ+π2(k ∈Z )，x =512π+kπ2∈(−43π,−23π)，则当 k =−3 时，x =−1312π，由于 x =x 1+x 22，则 f (x 1+x 2)=f (−136π)=2sin (−143π)=−√3．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、三角函数的图象变换14. 【答案】 3【解析】 lg8+3lg5=lg8+lg53=lg1000=3． 【知识点】对数的概念与运算15. 【答案】 (0,1)【解析】由题意，函数 f (x )=lnx −m 在定义域上单调递增， 又因为函数零点位于区间 (1,e ) 内，所以 f (1)=−m <0，f (e )=1−m >0，解得 0<m <1， 故 m ∈(0,1)．【知识点】零点的存在性定理16. 【答案】 54【知识点】对数的概念与运算17. 【答案】 −1 ； (−∞,0]【知识点】函数的奇偶性、函数的单调性【知识点】两角和与差的正切19. 【答案】 4 ； 2【解析】令 log a b =t ，因为 a >b >1，所以 0<t <1， 由 log a b +log b a =52 得 t +1t =52，解得 t =12 或 t =2（舍去），即 log a b =12，所以 b =√a ， 又因为 a b=b a，所以a √a=(√a)a，即a √a=a a2，即 √a =a2，解得 a =4，所以 b =2． 【知识点】对数的概念与运算20. 【答案】 1≤a ≤√2【解析】因为函数 f (x ) 满足 f (x +2)=f (x )−2，所以若 x ∈(−6,−4] 时，则 x +2∈(−4,−2]，x +4∈(−2,0]，若 x +6∈(0,2]，即若 x ∈(−6,−5] 时， 则 x +2∈(−4,−3]，x +4∈(−2,−1]， 若 x +6∈(0,1]，则f (x )=2+f (x +2)=4+f (x +4)=6+f (x +6)=6+(x +6)2−(x +6)−6=x 2+11x +30,若 x ∈(−5,−4] 时，则 x +2∈(−3,−2]，x +4∈(−1,0]， 若 x +6∈(1,2]，则 f (x )=2+f (x +2)=4+f (x +4)=6+f (x +6)=6−2x+6−1−5=1−2x+5,由 af (x )−a 2+2=0(a >0) 得 af (x )=a 2−2(a >0)， 即 f (x )=a −2a (a >0)．作出函数 f (x ) 在 x ∈(−6,−4] 的图象如图． 在函数的值域为 −1≤f (x )≤0， 由 −1≤a −2a ≤0，得 {a −2a ≥−1,a −2a ≤0, 即 {a 2+a −2≥0,a 2−2≤0, 即 {a ≥1 或 a ≤−2,−√2≤a ≤√2,因为 a >0，所以 1≤a ≤√2．【知识点】函数的零点分布三、解答题（共10题）21. 【答案】(1) 因为 y =x 2 的值域为 [0,+∞)，且在 [a,b ] 上值域为 [a,b ]，所以 a ≥0，从而 y =x 2 在 [a,b ] 上单调递增，则 {a 2=a,b 2=b,得 {a =0,b =0 或 {a =1,b =1, 又 a <b ，所以 {a =0,b =1,即 y =x 2 的保值区间为 [0,1]．(2) 若 y =x 2+m (m ≠0) 存在保值区间，则有：①若 a <b ≤0，此时 y =x 2+m 在 [a,b ] 上单调递减．则 {a 2+m =b,b 2+m =a,消去 m ，得 a 2−b 2=b −a ，即 (a −b )(a +b +1)=0，因为 a <b ，所以 a −b ≠0，a +b +1=0，即 a =−b −1，又 {b ≤0,−b −1<b,所以 −12<b ≤0， 因为 m =−b 2+a =−b 2−b −1=−(b +12)2−14，当 −12<b ≤0 时，−1≤m <−34，符合条件；②若 b >a ≥0 时，此时 y =x 2+m 在 [a,b ] 上为增函数，则 {b 2+m =b,a 2+m =a,消去 m 得 a 2−b 2=a −b ， 整理得 (a −b )(a +b −1)=0，因为 a <b ，所以 a −b ≠0，a +b −1=0，即 b =1−a ，又 {a ≥0,a <1−a,所以 0≤a <12， m =−a 2+a =−(a −12)2+14，当0≤a<12时，0≤m<14，又m≠0，所以0<m<14．综上，m∈[−1,−34)∪(0,14)．【知识点】函数的单调性22. 【答案】设房屋地面相邻两边边长分别为x m，y m，总造价为z元．因为xy=48，所以z=3600y+4800x+5800=48×3600x+4800x+5800≥2×4800√36x⋅x+5800=63400,当x=6时，上式取等号．所以当房屋地面相邻两边边长分别建成6m和8m时，造价最低，最低总造价为63400元．【知识点】均值不等式的实际应用问题23. 【答案】因为f(x)的最小正周期是π，所以f(5π3)=f(5π3−2π)=f(−π3)，因为f(x)是R上的偶函数，所以f(−π3)=f(π3)=sinπ3=√32．所以f(5π3)=√32．【知识点】正弦函数的性质24. 【答案】(0,2]【知识点】函数的定义域的概念与求法25. 【答案】(1) 设羊圈长为x米，则宽为(50−x)米，面积为y．则y=x⋅(50−x)=−x2+50x，所以当x=25时，y取最大值625．所以羊圈长宽约为25米时面积最大．(2) 设AB长为x，面积为y，y=x⋅(50−32x)=−32x2+50x，所以当 x =503 时，y 最大． (3) x =50m+1．【解析】 (3) 设 AB 长为 x ，面积为 y ，y =x ⋅100−(m+1)x 2=−m+12x 2+50x.所以当 x =50m+1时，面积最大． 【知识点】函数模型的综合应用26. 【答案】(1) 由 x +a x −2>0，得 x 2−2x+a x >0．因为 x >0，所以 x 2−2x +a >0．当 a >1 时，定义域为 (0,+∞)；当 a =1 时，定义域为 (0,1)∪(1,+∞)；当 0<a <1 时，定义域为 (0,1−√1−a)∪(1+√1−a,+∞)．(2) 对任意 x ∈[2,+∞) 恒有 f (x )>0，即 x +a x −2>1 对 x ∈[2,+∞) 恒成立， 即 a >−x 2+3x 对 x ∈[2,+∞) 恒成立，记 ℎ(x )=−x 2+3x ，x ∈[2,+∞)，则只需 a >ℎ(x )max ，而 ℎ(x )=−x 2+3x =−(x −32)2+94 在 [2,+∞) 上是减函数，所以 ℎ(x )max =ℎ(2)=2，故 a >2．【知识点】对数函数及其性质、函数的单调性、函数的定义域的概念与求法、函数的最大（小）值27. 【答案】（1）“高个子”没有明确的标准，因此不能构成集合；（2）任给一个实数 x ，可以明确地判断是不是“不超过 20 的非负数”，即“0≤x ≤20”与“x >20 或 x <0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过 20 的非负数”能构成集合；（3）“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；（4）“√3 的近似值”不明确精确到什么程度，因此无法判断一个数（如“2”）是不是它的近似值，所以（4）不能构成集合．【知识点】集合的概念28. 【答案】(1) k ∈[−2,3)．(2) k ≥3．【知识点】对数函数及其性质29. 【答案】(1) 设 Q (x,y )，∣∣PQ ∣∣=∣−1−x ∣+∣−2−y ∣≤1．点集 Γ 是以 P (−1,−2) 为中心，对角线长为 2 的正方形．其面积为 2．(2) 设 P (x 1,2x 1−2)，Q (x 2,x 22)，∣∣PQ ∣∣=∣x 1−x 2∣+∣2x 1−2−x 22∣．将 ∣∣PQ ∣∣ 看成关于 x 1 的函数，则 ∣∣PQ ∣∣ 在 x 1=x 2 或 x 1=x 22+22 时取到最小值，即 ∣∣PQ ∣∣≥min {∣x 22−2x 2+2∣,∣∣∣x 22+22−x 2∣∣∣}． 又 x 22−2x 2+2≥1， x 22+22−x 2≥12， 故当 x 1=32，x 2=1 时，∣∣PQ ∣∣ 的最小值为 12．(3) ①若存在实数 a ，b ，使 M (a,b )=5，则 ∣∣PQ ∣∣=∣a −x ∣+∣b −x 2∣≤5 对任意的 x ∈[−3,3] 成立．取 x =3，得 ∣a −3∣+∣b −9∣≤m ．取 x =0，得 ∣a −0∣+∣b −0∣≤m ．故 12≤∣a −0∣+∣b −0∣+∣a −3∣+∣b −9∣≤10 成立，这与 12>10 矛盾． ②若存在实数 a ，b ，使 M (a,b )=m ，则 ∣∣PQ ∣∣=∣a −x ∣+∣b −x 2∣≤m 对任意的 x ∈[−3,3]成立．取 x =−12 与 x =3，得 ∣∣a +12∣∣+∣∣b −14∣∣≤m ，∣a −3∣+∣b −9∣≤m ． 故 494≤∣∣a +12∣∣+∣∣b −14∣∣+∣a −3∣+∣b −9∣≤2m ，于是 m ≥498．当 a =0，b =478 时，M (a,b )=498． 故 M (a,b ) 的最小值是 498．【知识点】绝对值不等式的性质、函数的最大（小）值30. 【答案】(1) −345∘．(2) 600∘．(3) −540∘．(4) 40∘．【知识点】任意角的概念。
人教A版高一数学必修第一册第五章《三角函数》单元练习题卷含答案解析(24)
人教A版高一数学必修第一册第五章《三角函数》单元练习题卷4（共22题）一、选择题（共10题）1.若函数f(x)=sin(2x−π3)与g(x)=cos(x+π4)都在区间(a,b)(0<a<b<π)上单调递减，则b−a的最大值为( )A．π6B．π3C．π2D．5π122.化简：√1−sin20∘+√1−cos20∘2=( )A．cos10∘B．sin10∘C．2sin10∘−cos10∘D．2cos10∘−sin10∘3.在△ABC中，若tanAtanB=tanA+tanB+1，则cosC的值为( )A．−√22B．√22C．12D．−124.sin40∘cos10∘−sin130∘sin10∘等于( )A．−√32B．√32C．−12D．125.若sinα=13，则cos2α=( )A．89B．79C．−79D．−896.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(∣φ∣<π2)的图象如图所示，则下列说法正确的是( )A ．在区间 [7π6,13π6] 上单调递减B ．在区间 [7π12,13π12] 上单调递增 C ．在区间 [7π12,13π12] 上单调递减 D ．在区间 [7π6,13π6] 上单调递增7. 设 a ∈R ，函数 f (x )={cos (2πx −2πa ),x <ax 2−2(a +1)x +a 2+5,x ≥a ，若函数 f (x )(0,+∞) 内恰有 6 个零点，则 a 的取值范围是 ( ) A ． (2,94]∪(52,114]B ． (74,2]∪(52,114]C ． (2,94]∪[114,3)D ． (74,2)∪[114,3)8. 函数 f (x )=2sin (ωx +φ)(ω>0) 对任意 x 都有 f (π6+x)=f (π6−x)，则 f (π6) 的值为( ) A ． 2 或 0 B ． −2 或 2 C ． 0 D ． −2 或 09. 已知 α 是第二象限角，tanα=−12，则 cosα 等于 ( ) A ． 15B ． −15C ．2√55D ． −2√5510. 有下列四种变换方式：①向左平移 π4，再将横坐标变为原来的 12（纵坐标不变）； ②横坐标变为原来的 12（纵坐标不变），再向左平移 π8；③横坐标变为原来的 12（纵坐标不变），再向左平移 π4； ④向左平移 π8，再将横坐标变为原来的 12（纵坐标不变）．其中能将正弦曲线 y =sinx 的图象变为 y =sin (2x +π4) 的图象的是 ( ) A ．①和③ B ．①和② C ．②和③ D ．②和④二、填空题（共6题）11. 函数 f (x )=3cos 2x −4cosx +1，x ∈[π3,2π3]，当 x = 时，f (x ) 最小且最小值为 ．12. 已知 a ，b ∈R ，a 2−2ab +5b 2=4，则 ab 的最小值为 ．13. 已知 tanα=√22，则 cosα−sinαcosα+sinα= ；cos2α= ．14. 已知 α 是三角形的内角，且 tanα=−13，则 sinα+cosα 的值为 ．15. 已知 ω>0，函数 f (x )=sin (ωx +π4) 在 (π2,π) 上单调递减，则 ω 的取值范围是 ．16. 设 α∈(0,π3)，β∈(π6,π2)，且 5√3sinα+5cosα=8，√2sinβ+√6cosβ=2，则 cos (α+β) 的值为 ．三、解答题（共6题）17. 已知二次函数 f (x )=ax 2+x ．(1) 若 f (sinx )(x ∈R ) 的最大值为 54，求实数 a 的值；(2) 对于任意的 x ∈R ，总有 ∣f (sinxcosx )∣≤1．求实数 a 的取值范围．18. 函数 f (x )=Asin (ωx +φ)（A >0，ω>0，∣φ∣<π2）的部分图象如图所示．(1) 求f(x)的最小正周期及解析式；(2) 设g(x)=f(x)+cosx，将g(x)化简为Asin(ωx+φ)+b形式，并求g(x)在区间[0,π2]上的最小值与最大值．19.请回答下列问题：(1) 比较大小：tan2与tan9；(2) 求满足−√3<tanx≤1的x的集合．20.已知函数y=Asin(ωx+φ)（x∈R，A>0，ω>0，∣φ∣<π2），若该函数图象一个最高点坐标为(π6,3)，与其相邻的对称中心的坐标是(−π2,0)．(1) 求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式．(2) 求函数的最小值，并写出函数取得最小值时自变量x的集合．21.已知函数f(x)=sin(x−π6)+cosx．(1) 求函数f(x)的最小正周期；(2) 若α是第一象限角，且f(α+π3)=45，求tan(α−π4)的值．22.某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)（ω>0，∣φ∣<π2）在某一周期内的图象时，列表并填入的部分数据如表：x−2π3π3x1x210π3ωx+φ0π2π3π22πsin(ωx+φ)010−10f(x)0√30y20 (1) 请写出上表的x1，x2，y2，及函数f(x)的解析式；(2) 将函数f(x)的图象向右平移2π3个单位，再所得图象上各点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，求g(x)的解析式及y=log12[g(x)−√32]的单调递增区间；(3) 在（2）的条件下，若F(x)=g2(x)+√33a⋅g(x)−1在x∈(0,2019π)上恰有奇数个零点，求实数a与零点个数n的值．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】B【解析】对于函数 f (x )，令 π2+2kπ≤2x −π3≤3π2+2kπ(k ∈Z )，解得5π12+kπ≤x ≤11π12+kπ(k ∈Z )，当 x ∈(0,π) 时，令 k =0，则 5π12≤x ≤11π12；对于函数 g (x )，令 2kπ≤x +π4≤π+2kπ(k ∈Z )， 解得 −π4+2kπ≤x ≤3π4+2kπ(k ∈Z )，当 x ∈(0,π) 时，令 k =0，则 0<x ≤3π4.易得当函数 f (x ) 与 g (x ) 均在区间 (a,b )（0<a <b <π）上单调递减时，b 的最大值为 3π4，a 的最小值为5π12，所以 b −a 的最大值为 3π4−5π12=π3.【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质2. 【答案】A【解析】 √1−sin20∘+√1−cos20∘2=√sin 210∘+cos 210∘−2sin10∘cos10∘+√1−cos (2×10∘)2=∣sin10∘−cos10∘∣+sin10∘=cos10∘−sin10∘+sin10∘=cos10∘.【知识点】半角公式3. 【答案】B【解析】由 tanAtanB =tanA +tanB +1，可得 tanA+tanB 1−tanAtanB=−1，即 tan (A +B )=−1，又 A +B ∈(0,π)，所以 A +B =3π4，则 C =π4，cosC =√22．【知识点】两角和与差的正切4. 【答案】D【知识点】两角和与差的正弦5. 【答案】B【解析】因为sinα=13，所以cos2α=1−2sin2α=1−2×19=79．故选：B．【知识点】二倍角公式6. 【答案】B【解析】由题中图象可得A=2，最小正周期T=4×(π3−π12)=π，所以ω=2，则f(x)=2sin(2x+φ)．因为函数图象过点(π12,2)，所以2×π12+φ=π2+2kπ，k∈Z，则φ=π3+2kπ，k∈Z．又∣φ∣<π2，所以φ=π3．所以f(x)=2sin(2x+π3)．当−π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ，k∈Z，即−5π12+kπ≤x≤π12+kπ，k∈Z时，f(x)单调递增，当π2+2kπ≤2x+π3≤3π2+2kπ，k∈Z，即π12+kπ≤x≤7π12+kπ，k∈Z时，f(x)单调递减．令k=1，所以f(x)在[π+π12,7π12+π]，即[13π12,19π12]上单调递减，在[π−5π12,π12+π]，即[7π12,13π12]上单调递增．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质7. 【答案】A【解析】因为f(x)在区间(0,+∞)内恰有6个零点，又因为二次函数最多有两个零点，所以当 x <a 时，f (x )=6 至少有四个根， 因为 f (x )=cos (2πx −2πa )=cos2π(x −a )， 所以令 f (x )=0，即 2π(x −a )=π2+kπ，k ∈Z ， 所以 x =k2+14+a ，又因为 x ∈(0,+∞)，所以 0<k2+14+a <a ，即 −2a −12<k <−12，①当 x <a 时，−5≤−2a −12≤−4，f (x ) 有 4 个零点，即 74<a ≤64， −6≤−2a −12≤−5，即 94<x ≤114， −7≤−2a −42≤−6，即115<x ≤134，②当 x ≥a 时，f (x )=x 2−2(a +1)x +a 2+8，所以 Δ=b 2−4ac =8(a +1)2−5(a 2+5)=8a −16=0，解得 a =2， 当 a <7 时，Δ<0， 当 a =2 时，Δ=2，当 a >2 时，f (a )=a 2−7a (a +1)+a 2+5=−2a +5， 因为 f (x ) 的对称轴 x =a +7，即 f (a ) 在对称轴的左边， 所以当 −2a +5≥4 时，即 2<a ≤52，当 −2a +5<6 时，即 a >52，综合①②可得，若函数 f (x ) 在区间 (0,+∞) 内恰有 6 个零点，则需满足：{74<a ≤64,2<a ≤82 或{94<a ≤114,a >52或a =2 或 {114<a ≤135,a <2.解得 a ∈(2,84]∪(56,114]．故选：A ．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、函数的零点分布8. 【答案】B【解析】因为函数 f (x )=2sin (ωx +φ) 对任意 x 都有 f (π6+x)=f (π6−x)，所以该函数图象关于直线x=π6对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，故选B．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质9. 【答案】D【解析】因为α是第二象限角，tanα=−12，由sin2α+cos2α=1，tanα=sinαcosα=−12，解得cosα=−2√55．【知识点】同角三角函数的基本关系10. 【答案】B【解析】本题考查三角函数的图象变换．依次判断各选项，① sinx→sin(x+π4)→sin(2x+π4)；② sinx→sin2x→sin2(x+π8)=sin(2x+π4)；③ sinx→sin2x→sin2(x+π4)=sin(2x+π2)；④ sinx→sin(x+π8)→sin(2x+π8)，故只有①②符合题意．【知识点】三角函数的图象变换二、填空题（共6题）11. 【答案】π3；−14【知识点】余弦函数的性质12. 【答案】1−√52【解析】因为a2−2ab+5b2=4，所以(a−b2)2+b2=1，令a−b2=cosθ，b=sinθ(0≤θ<2π)，所以a=2cosθ+sinθ，所以ab=(2cosθ+sinθ)sinθ=sin2θ−12cos2θ+12=√52sin(2θ−φ)+12.（其中 cosφ=2√55） 所以当 sin (2θ−φ)=−1 时，ab 取得最小值 1−√52．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质13. 【答案】 3−2√2 ； 13【知识点】二倍角公式14. 【答案】 −√105【解析】由 tanα=−13，得 sinα=−13cosα， 将其代入 sin 2α+cos 2α=1，得 109cos 2α=1，所以 cos 2α=910，易知 cosα<0，所以 cosα=−3√1010，sinα=√1010， 故 sinα+cosα=−√105． 【知识点】同角三角函数的基本关系15. 【答案】 [12,54]【解析】由 π2<x <π，ω>0 得ωπ2+π4<ωx +π4<ωπ+π4，又 y =sinx 的单调递减区间为 [2kπ+π2,2kπ+3π2]，k ∈Z ，所以 {ωπ2+π4≥π2+2kπ,ωπ+π4≤3π2+2kπk ∈Z ，解得 4k +12≤ω≤2k +54，k ∈Z ．又由 4k +12−(2k +54)≤0，k ∈Z 且 2k +54>0，k ∈Z ，得 k =0，所以 ω∈[12,54]．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质16. 【答案】−√210【解析】由5√3sinα+5cosα=8，得sin(α+π6)=45，因为α∈(0,π3)，α+π6∈(π6,π2)，所以cos(α+π6)=35．又β∈(π6,π2)，β+π3∈(π2,56π)，由已知得sin(β+π3)=√22．所以cos(β+π3)=−√22．所以cos(α+β)=sin[π2+(α+β)]=sin[(α+π6)+(β+π3)]=sin(α+π6)cos(β+π3)+cos(α+π6)sin(β+π3)=−√210.【知识点】两角和与差的正弦三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) 二次函数中a≠0，设s=sinx，x∈R，所以s∈[−1,1]，若f(sinx)(x∈R)的最大值为54，即关于S的二次函数g(s)=as2+s在区间上s∈[−1,1]有最大值54，由二次函数图象性质可知此最大值只能是g(−1)，g(1)，g(−12a)之一，若g(−1)=−a−1=54⇒a=−94，此时二次函数开口向下且对称轴s=−12a=29∈[−1,1]，函数在区间上最大值在顶点处取得，不是g(−1)，不合题意；若g(1)=a+1=54⇒a=14，此时二次函数开口向上且对称轴s=−12a=−2<−1，最大值是g(1)，符合题意；若g(−12a )=54⇒a=−15，此时二次函数开口向下且对称轴s=−12a=52∉[−1,1]，并不在顶点处有最大值，不符合题意，综上所述a=14．(2) 因为对于任意的 x ∈R ，总有 ∣f (sinxcosx )∣≤1， 令 t =sinxcosx =12sin2x ∈[−1,1]，则命题转化为 ∀t ∈[−12,12]，不等式 ∣f (t )∣≤1 恒成立，①当 t =0 时，f (t )=0 使 ∣f (t )∣≤1 成立； ②当 t ≠0 时，有 {a ≤1t 2−1t =(1t −12)2−14,a ≥−1t2−1t=−(1t+12)2+14.对于任意的 t ∈[−12,0)∪(0,12] 恒成立， 因为 t ∈[−12,0)∪(0,12]，所以 1t ≥2 或 1t ≤−2，则 (1t −12)2−14≥2，故要使①式成立，则有 a ≤2， 又 −(1t +12)2+14≤−2，故要使②式成立，则有 a ≥−2，由题设知 a ≠0，综上，a ∈[−2,0)∪(0,2] 为所求．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、函数的最大（小）值18. 【答案】(1) 根据图象：T2=4π3−π3=π，T =2π，故 T =2πω=2π，ω=1，A =1，f (x )=sin (x +φ)，f (π3)=sin (π3+φ)=1，故 φ=π6+2kπ，k ∈Z ，当 k =0 时，满足题意，故 φ=π6，f (x )=sin (x +π6)． (2) g (x )=f (x )+cosx =sin (x +π6)+cosx =√32sinx +32cosx =√3sin (x +π3)， 当 x ∈[0,π2] 时，x +π3∈[π3,5π6]，故 f (x )min =f (π2)=√32，f (x )max =f (π6)=√3．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、三角函数的图象19. 【答案】(1) 因为 tan9=tan (9−2π)，π2<2<9−2π<π， 又函数 y =tanx 在 (π2,π) 上是增函数，所以tan2<tan(9−2π)，即tan2<tan9．(2) 根据正切函数的图象可知，在(−π2,π2)上，满足−√3<tanx≤1的x的取值范围是(−π3,π4]，又正切函数的最小正周期是π，故满足−√3<tanx≤1的x的集合是{x∣ kπ−π3<x≤kπ+π4,k∈Z}．【知识点】正切函数的性质20. 【答案】(1) 由题意知A=3，14T=π6−(−π12)=π4，所以T=π，ω=2πT=2，y=3sin(2x+φ)，又由2×π6+φ=2kπ+π2，k∈Z，所以φ=2kπ+π6，k∈Z，因为∣φ∣<π2，所以φ=π6，所以y=3sin(2x+π6)，x∈R．(2) 由（1）知，函数的最小值为−3，由2x+π6=2kπ−π2，k∈Z得x=kπ−π3，所以函数取得最小值时的自变量x的集合为{x∣ x=kπ−π3,k∈Z}．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质21. 【答案】(1) f(x)=sin(x−π6)+cosx=sinxcosπ6−cosxsinπ6+cosx=√32sinx+12cosx=sinxcosπ6+cosxsinπ6=sin(x+π6).所以函数 f (x ) 的最小正周期为 2π． (2) 因为 f (α+π3)=45， 所以 sin (α+π3+π6)=45．所以 sin (α+π2)=45． 所以 cosα=45． 因为 α 是第一象限角， 所以 sinα=√1−cos 2α=35． 所以 tanα=sinαcosα=34．所以tan (α−π4)=tanα−tanπ41+tanα⋅tanπ4=34−11+34×1=−17.【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、两角和与差的正切22. 【答案】(1) 由表格根据五点法作图的规律，可得 π3+2π3=x 1−π3=x 2−x 1=10π3−x 2，解得 x 1=4π3，x 2=7π3，A =√3，y 2=−√3，f (x )=√3sin (12x +4π3)．(2) 将函数 f (x )=√3sin (12x +4π3) 的图象向右平移 2π3个单位，可得 y =√3sin (12x −π3+4π3)=−√3sin 12x 的图象； 再所得图象上各店的横坐标缩小为原来的 12，纵坐标不变，得到函数 g (x )=√3sinx 的图象． 函数 y =log 12[g (x )−√32]=log 12[√3sinx −√32]， 由 √3sinx −√32>0，可得 sinx >12，要求函数的单调递增区间，即求 y =sinx 的减区间，而 y =sinx 的减区间为 [π2,5π6)，故 y =log 12[g (x )−√32] 的单调递增区间为 [π2,5π6)．(3) F(x)=g2(x)+√33a⋅g(x)−1=3sin2x+asinx−1，令F(x)=0，则asinx=1−3sin2x，显然当sinx=0时，F(x)不存在零点，因此只需考虑sinx≠0时，F(x)的零点情况，令t=sinx（sinx≠0且0<x≤2π），则t∈[−1,0)∪(0,1]，a=1−3t 2t =1t−3t，则函数y=1t−3t在[−1,0)和(0,1]上单调递减，且t=1时y=2，当t=−1时，y=−2，所以当y∈(−2,2)时，y=t与y=1t−3t有两个交点，此时方程asinx=1−3sin2x存在4个实根，当y∈(−∞,−2)∪(2,+∞)时，y=t与y=1t−3t有一个交点，此时方程asinx=1−3sin2x 存在2个实根，当y=2或y=−2时，y=t与y=1t−3t有两个交点，此时方程asinx=1−3sin2x存在3个实根．因为F(x)=g2(x)+√33a⋅g(x)−1在x∈(0,2019π)上恰有奇数个零点，所以当x∈(2018π,2019π)时，F(x)只可能存在2个零点．因此只有a=2时符合条件，所以x∈(0,2019π)时F(x)的零点为：2018×32+2=3029个．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、正弦函数的图象。
高中数学人教版必修1第一章集合与函数概念单元测试卷(A)(含答案)
第一章 集合与函数概念 单元测试卷（A ）时间：120分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)1．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{2,4}，则A ∪B ＝( ) A ．{2} B ．{1,2,2,4} C ．{1,2,4}D ．∅2．设全集U ＝R ，集合M ＝{y |y ＝x 2＋2，x ∈U }，集合N ＝{y |y ＝3x ，x ∈U }，则M ∩N 等于( ) A ．{1,3,2,6} B ．{(1,3)，(2,6)} C ．MD ．{3,6}3．如图1所示，阴影部分表示的集合是( ) A ．(∁U B )∩A B ．(∁U A )∩B C ．∁U (A ∩B )D ．∁U (A ∪B )图14．设全集U ＝{x |0<x <10，x ∈Z }，A ，B 是U 的两个真子集，(∁U A )∩(∁U B )＝{1,9}，A ∩B ＝{2}，(∁U A )∩B ＝{4,6,8}，则( )A ．5∈A ，且5∉B B ．5∉A ，且5∉B C ．5∈A ，且5∈BD ．5∉A ，且5∈B5．下列各图中，可表示函数y ＝f (x )的图象的只可能是( )6．下表表示y 是x 的函数，则函数的值域是( )A ．[2,5] C ．(0,20)D ．N7．图中给出的对应是从A 到B 的映射的是( )8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，x 2，x <0，则f [f (－2)]的值是( )A ．2B ．－2C ．4D ．－49．函数y ＝x 2－2x ＋3，－1≤x ≤2的值域是( )A ．RB ．[3,6]C ．[2,6]D ．[2，＋∞)10．已知函数f (x )是(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，且当x <0时，函数的部分图象如图4所示，则不等式xf (x )<0的解集是( )图4A ．(－2，－1)∪(1,2)B ．(－2，－1)∪(0,1)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(－1,0)∪(1,2)D ．(－∞，－2)∪(－1,0)∪(0,1)∪(2，＋∞)11．定义在R 上的偶函数f (x )在[0,7]上是增函数，在[7，＋∞)上是减函数，f (7)＝6，则f (x )( )A ．在[－7,0]上是增函数，且最大值是6B ．在[－7,0]上是减函数，且最大值是6C ．在[－7,0]上是增函数，且最小值是6D ．在[－7,0]上是减函数，且最小值是612．定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意x 1，x 2∈(－∞，0](x 1≠x 2)，都有x 2－x 1f (x 2)－f (x 1)>0，则( )A ．f (－5)<f (4)<f (6)B ．f (4)<f (－5)<f (6)C ．f (6)<f (－5)<f (4)D ．f (6)<f (4)<f (－5)第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．设P 和Q 是两个集合，定义集合P －Q ＝{x |x ∈P ，且x ∉Q }，若P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{x |x ＋12<2，x ∈R }，则P －Q ＝________.14．函数y ＝x 2＋2x －3的单调递减区间是________．15．若函数f (x )＝kx 2＋(k －1)x ＋2是偶函数，则f (x )的递减区间是________．16．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|(0<x <2)，2－|x －1|(x ≤0，或x ≥2)，则函数y ＝f (x )与y ＝12的图象的交点个数是________．三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)已知集合A ＝{x |2≤x ≤8}，B ＝{x |1<x <6}，C ＝{x |x >a }，U ＝R . (1)求A ∪B ，(∁U A )∩B ；(2)若A ∩C ≠∅，求a 的取值范围．18．(12分)设A ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0}，B ＝{x |x (x ＋4)(x －12)＝0，x ∈Z }．若A ∩B ＝A ，求a 的取值范围．19．(12分)已知函数f (x )＝－2x ＋m ，其中m 为常数． (1)求证：函数f (x )在R 上是减函数； (2)当函数f (x )是奇函数时，求实数m 的值．20．(12分)某公司生产的水笔上年度销售单价为0.8元，年销售量为1亿支．本年度计划将销售单价调至0.55～0.75元(含端点值)，经调查，若销售单价调至x元，则本年度新增销售量y(亿支)与x－0.4成反比，且当x＝0.65时，y＝0.8.(1)求y与x的函数关系式；(2)若每支水笔的成本价为0.3元，则水笔销售单价调至多少时，本年度该公司的收益比上年度增加20%?21．(12分)已知函数f(x)是正比例函数，函数g(x)是反比例函数，且f(1)＝1，g(1)＝2，(1)求函数f(x)和g(x)；(2)判断函数f(x)＋g(x)的奇偶性．(3)求函数f(x)＋g(x)在(0，2]上的最小值．22．(12分)函数f(x)＝ax＋b1＋x2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f(12)＝25.(1)求f(x)的解析式；(2)证明f(x)在(－1,1)上为增函数；(3)解不等式f(t－1)＋f(t)<0.第一章集合与函数概念单元综合测试一答案第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．答案：C2．解析：M＝[2，＋∞)，N＝R.答案：C3．解析：因为阴影部分既在集合∁U B中又在集合A中，所以阴影部分为(∁B)∩A.U答案：A4．解析：可借助V enn图(如图2)解决，数形结合．图2答案：A5．解析：根据函数的概念知，只有“一对一”或“多对一”对应才能构成函数关系．答案：A6．答案：B7．解析：根据映射定义，A中每一个元素在B中仅有1个元素与之对应，仅D适合．答案：D8．解析：∵x ＝－2，而－2<0， ∴f (－2)＝(－2)2＝4. 又4>0，∴f [f (－2)]＝f (4)＝4. 答案：C9．解析：画出函数y ＝x 2－2x ＋3，－1≤x ≤2的图象，如图3所示，观察函数的图象可得图象上所有点的纵坐标的取值范围是[2,6]，所以值域是[2,6]．图3答案：C10．解析：xf (x )<0⇔x 与f (x )异号，由函数图象及奇偶性易得结论． 答案：D11．解析：∵f (x )是偶函数，∴f (x )的图象关于y 轴对称．∴f (x )在[－7,0]上是减函数，且最大值为6. 答案：B12．解析：∵对任意x 1，x 2∈(－∞，0](x 1≠x 2)，都有x 2－x 1f (x 2)－f (x 1)>0，∴对任意x 1，x 2∈(－∞，0]，若x 1<x 2，总有f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，0]上是增函数．∴f (－4)>f (－5)>f (－6)．又∵函数f (x )是偶函数，∴f (－6)＝f (6), f (－4)＝f (4)，∴f (6)<f (－5)<f (4)． 答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．解析：因为x ∉Q ，所以x ∈∁R Q ，又Q ＝{x |－12≤x <72}， 故∁R Q ＝{x |x <－12，或x ≥72}，故P －Q ＝{4}． 答案：{4}14．解析：由x 2＋2x －3≥0，得x ≥1或x ≤－3， ∴函数减区间为(－∞，－3]． 答案：(－∞，－3]15．解析：∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝kx 2－(k －1)x ＋2＝kx 2＋(k －1)x ＋2＝f (x )． ∴k ＝1.∴f (x )＝x 2＋2，其递减区间为(－∞，0]． 答案：(－∞，0]16．解析：函数y ＝f (x )的图象如图5所示，则函数y ＝f (x )与y ＝12的图象的交点个数是4.图5答案：4三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分) 17．解：(1)A ∪B ＝{x |2≤x ≤8}∪{x |1<x <6}＝{x |1<x ≤8}． ∁U A ＝{x |x <2或x >8}． ∴(∁U A )∩B ＝{x |1<x <2}． (2)∵A ∩C ≠∅，∴a <8.18．解：由B ＝{x |x (x ＋4)(x －12)＝0，x ∈Z }，得B ＝{－4,0}．由A ∩B ＝A ，得A ⊆B .于是，A 有四种可能，即A ＝∅，A ＝{－4}，A ＝{0}，A ＝{－4,0}．以下对A 分类讨论：(1)若A ＝∅，则Δ＝4(a ＋1)2－4a 2＋4＝8a ＋8<0，解得a <－1； (2)若A ＝{－4}，则Δ＝8a ＋8＝0，解得a ＝－1.此时x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0可化为x 2＝0，所以x ＝0，这与x ＝－4是矛盾的；(3)若A ＝{0}，则由(2)可知，a ＝－1； (4)若A ＝{－4,0}，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝8a ＋8>0，－2(a ＋1)＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1.综上可知，a 的取值范围是{a |a ≤－1，或a ＝1}．19．解：(1)证明：设x 1，x 2是R 上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(－2x 1＋m )－(－2x 2＋m )＝2(x 2－x 1)，∵x 1<x 2，∴x 2－x 1>0. ∴f (x 1)>f (x 2)．∴函数f (x )在R 上是减函数． (2)∵函数f (x )是奇函数，∴对任意x ∈R ，有f (－x )＝－f (x )． ∴2x ＋m ＝－(－2x ＋m )．∴m ＝0.20．解：(1)设y ＝kx －0.4，由x ＝0.65，y ＝0.8，得k ＝0.2，所以y ＝15x －2(0.55≤x ≤0.75)．(2)依题意，(1＋15x －2)·(x －0.3)＝1×(0.8－0.3)×(1＋20%)，解得x ＝0.6或x ＝0.5(舍去)，所以水笔销售单价应调至0.6元． 21．解：(1)设f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x ，其中k 1k 2≠0. ∵f (1)＝1，g (1)＝2，∴k 1×1＝1，k 21＝2. ∴k 1＝1，k 2＝2.∴f (x )＝x ，g (x )＝2x . (2)设h (x )＝f (x )＋g (x )，则h (x )＝x ＋2x ， ∴函数h (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． ∵h (－x )＝－x ＋2－x＝－(x ＋2x )＝－h (x )，∴函数h (x )是奇函数，即函数f (x )＋g (x )是奇函数．(3)由(2)知h (x )＝x ＋2x ，设x 1，x 2是(0，2]上的任意两个实数，且x 1<x 2， 则h (x 1)－h (x 2)＝(x 1＋2x 1)－(x 2＋2x 2)＝(x 1－x 2)＋(2x 1－2x 2)＝(x 1－x 2)(1－2x 1x 2)＝(x 1－x 2)(x 1x 2－2)x 1x 2，∵x 1，x 2∈(0，2]，且x 1<x 2，∴x 1－x 2<0,0<x 1x 2<2. ∴x 1x 2－2<0，(x 1－x 2)(x 1x 2－2)>0. ∴h (x 1)>h (x 2)．∴函数h (x )在(0，2]上是减函数，函数h (x )在(0，2]上的最小值是h (2)＝2 2.即函数f (x )＋g (x )在(0，2]上的最小值是2 2.22．解：(1)由题意得⎩⎨⎧f (0)＝0，f (12)＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.所以f (x )＝x 1＋x 2. (2)证明：任取两数x 1，x 2，且－1<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝x 11＋x 21－x 21＋x 22＝(x 1－x 2)(1－x 1x 2)(1＋x 21)(1＋x 22).因为－1<x 1<x 2<1，所以x 1－x 2<0，x 1x 2<1，故1－x 1x 2>0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，故f (x )在(－1,1)上是增函数．(3)因为f (x )是奇函数，所以由f (t －1)＋f (t )<0，得f (t －1)<－f (t )＝f (－t )．由(2)知， f (x )在(－1,1)上是增函数，所以－1<t －1<－t <1，解得0<t <12，所以原不等式的解集为{t |0<t <12}．。
人教A版(2019)必修一 数学第一章+第二章综合测试卷(含答案)
必修一数学一-二章一、单选题1．设全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={1，3，6}，B={2，3，5，7}，则A∩（∁U B ）等于（ ）A ．{3，4}B ．{1，6}C ．{2，5，7}D ．{1，3，4，6}2．已知集合 A ={x∣x 2⩽14} ，集合 B ={y∣y =1―x 2} ，则 A ∩B = （ ）A ．[―12,12]B ．[―1,1]C ．[0,1]D ．[0,12]3．已知正数a ，b 满足a 2+2ab =3，则2a +b 的最小值是（ ）A ．1B ．3C ．6D ．124．已知集合M={x|﹣2＜x ＜2}，N={x|x 2﹣2x ﹣3＜0}，则集合M∩N=（ ）A ．{x|x ＜﹣2}B ．{x|x ＞3}C ．{x|﹣1＜x ＜2}D ．{x|2＜x ＜3}5．已知 x >0 ， y >0 ， 2x ―1x=8y ―y ，则 2x +y 的最小值为（ ）A ．2B ．22C ．32D ．46．若两个正实数 x ，y 满足 1x +4y =1 ，且不等式 x +y 4<m 2―3m 有解，则实数 m 的取值范围是（ ）A ．{m |―1<m <4}B ．{m |m <―1 或 m >4}C ．{m |―4<m <1}D ．{m |m <0 或 m >3}7．若关于 x 的不等式 ax +6+|x 2―ax ―6|≥4 恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ）A ．(―∞,1]B ．[―1,1]C ．[―1,+∞)D ．(―∞,―1]∪[1,+∞)8．定义：若集合A ,B 满足A ∩B ≠∅，存在a ∈A 且a ∉B ，且存在b ∈B 且b ∉A ，则称集合A ,B 为嵌套集合．已知集合A ={x |2x ―x 2≤0且x ∈R +}，B ={x |x 2―(3a +1)x +2a 2+2a <0}，若集合A ,B 为嵌套集合，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(2,3)B ．(―∞,1)C ．(1,3)D ．(1,2)二、多选题9．设集合M ={1，3}，N ={x |ax +3=0，a ∈R }且M ∩N =N ，则实数a 可以是（ ）A ．―1B ．1C ．―3D ．010．已知关于x 的不等式a x 2+bx +c ≤0的解集为{x |x ≤―4或x ≥3}，则（ ）A ．a >0B．a+b+c>0C．不等式bx+c>0的解集为{x|x<12}D．不等式c x2―bx+a<0的解集为{x|―14<x<13}11．设正实数m，n满足m+n=2，则（ ）A．1m +2n的最小值为22B．m+n的最小值为2C．mn的最大值为1D．m2+n2的最小值为2 12．已知x>0，y>0，且x+y―xy+3=0，则下列说法正确的是（ ）A．3<xy≤12B．x+y≥6C．x2+y2≥18D．0<1x +1y≤13三、填空题13．已知集合A={1，2}，B={2a，a2+3}.若A∩B={1}，则实数a的值为 .14．已知﹣1＜a+b＜3且2＜a﹣b＜4，求2a+3b的取值范围 ．15．已知正实数x，y满足xy―x―2y=0，则x+y的最小值是 .16．对于给定的非空数集，其最大元素最小元素的和称为该集合的“特征值”，A1，A2，A3，A4，A5都含有20个元素，且A1∪A2∪A3∪A4∪A5={x∈N*|x≤100}，则这A1，A2，A3，A4，A5的“特征值”之和的最小值为 ．四、解答题17．已知p:x2―8x―20>0, q:x2―2x+1―a2>0(a>0),若p是q的充分而不必要条件，求实数a 的取值范围.18．集合A={x|3≤x＜9}，B={x|1＜x＜7}，C={x|x＞m}．（1）求A∪B；（2）求（∁R A）∩B；（3）若B⊆C，求实数m的取值范围．19．已知关于x的不等式2x2+x>2ax+a(a∈R)．（1）若a=1，求不等式的解集;（2）解关于x的不等式．20．已知a>0，b>0，满足a2+4b2=6ab+λ（1）当λ=―1时，求a+2b的最小值（2）若λ>0，求ba的取值范围21．已知a,b,c>0，4abc=1a +1b+1c，判断(1a+1b)(1a+1c)是否存在最大值和最小值，若存在，请求解出最大值和最小值。
人教A版高一数学必修第一册《函数的概念与性质》单元练习题卷含答案解析(34)
人教A 版高一数学必修第一册《函数的概念与性质》单元练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1. 幂函数的图象过点 (2,√2)，则该幂函数的解析式是 ( ) A ． y =x −1B ． y =x 12C ． y =x 2D ． y =x 32. 函数 f (x )=ax +bx +5（a ，b 均正数），若 f (x ) 在 (0,+∞) 上有最大值 8，则 f (x ) 在(−∞,0) 上 ( ) A ．有最大值 −8 B ．有最小值 −8 C ．有最小值 2D ．有最大值 23. 下列函数中，在区间 (0,1) 上是增函数的是 ( ) A ． y =−x 2+1 B ． y =√xC ． y =1xD ． y =3−x4. 下列函数是偶函数的为 ( ) A ． y =2x B ． y =log 12xC ． y =x −1D ． y =x 25. 已知函数 f (x )=4x 2−kx −8 在 (−∞,5] 上具有单调性，则实数 k 的取值范围是 ( ) A ． (−24,40)B ． [−24,40]C ． (−∞,−24]D ． [40,+∞)6. 下列给出的函数是分段函数的是 ( ) A ． f (x )={±x,x >0,x +1,x ≤0.B ． f (x )={x 2+1,x ∈R,x,x ≥4.C ． f (x )=|x +1|D ． f (x )={x −1,0<x ≤5,4x,x ≤2.7. 下列函数中，定义域是 R 且为增函数的是 ( ) A ． y =e −xB ． y =x 3C ． y =lnxD ． y =∣x ∣8. “f (0)=0”是“y =f (x ) 是奇函数”的 ( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件； C ．非充分非必要条件D ．充要条件；9. 设函数 f (x )={3−x,x <02g (x ),x >0，若 f (x ) 是奇函数，则 g (1) 等于 ( )A ． −4B ． −2C ． 2D ． 410. 已知函数 y =a x−3−23（a >0，且 a ≠1）的图象恒过点 P ．若点 P 在幂函数 f (x ) 的图象上，则幂函数 f (x ) 的图象大致是 ( )A ．B ．C ．D ．二、填空题（共6题）11. 偶函数 f (x ) 的定义域为 [t −4,t ]，则 t = ．12. 2019 年 7 月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳 14 的质量 N 随时间 t （单位：年）的衰变规律满足 N =N 0⋅2−r 5730（N 0 表示碳 14 原有的质量），则经过 5730年后，碳 14 的质量变为原来的 ；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳 14 的质量是原来的 37 至 12，据此推测良渚古城存在的时期距今约在 5730 年到 年之间．（参考数据：lg2≈0.3，lg7≈0.84，lg3≈0.48）13. 函数 f (x )=√x−2x−3的定义域为 ．14. 函数 y =f (x ) 在 R 上为增函数，且 f (2m )>f (−m +9)，则实数 m 的取值范围是 ．15. 如图，图中曲线是幂函数 y =x α 在第一象限的大致图象，已知 α 取 −2，−12，12，2 四个值，则相应于曲线 C 1，C 2，C 3，C 4 的 α 依次为 ．16. 已知函数 f (x )={2x ,x <1log 2x,x ≥1，则 f (8)= ；若直线 y =m 与函数 f (x ) 的图象只有 1个交点，则实数 m 的取值范围是 ．三、解答题（共6题）17. 北京某附属中学为了改善学生的住宿条件，决定在学校附近修建学生宿舍，学校总务办公室用1000 万元从政府购得一块廉价土地，该土地可以建造每层 1000 平方米的楼房，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高 0.02 万元，已知建筑第 5 层楼房时，每平方米建筑费用为 0.8 万元．(1) 若学生宿舍建筑为 x 层楼时，该楼房综合费用为 y 万元（综合费用是建筑费用与购地费用之和），写出 y =f (x ) 的表达式．(2) 为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低，学校应把楼层建成几层？此时平均综合费用为每平方米多少万元？18. 已知函数 f (x )=3x 2−5x +2，求 f(−√2)，f (−a )，f (a +3)，f (a )+f (3) 的值．19. 如图（1）（2）所示的分别是函数 y 1=f (x ) 和 y 2=g (x ) 的图象，试分别写出函数 y 1=f (x )和 y 2=g (x ) 的单调递增区间．20. 如何理解区间的概念？21. 判断函数 f (x )={x 2+2x,x <01,x =0−x 2+2x,x >0 的奇偶性．22. 求下列函数的定义域：(1) f (x )=√3x −1+√1−2x +4； (2) f (x )=0√∣x∣−x．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】B【知识点】幂函数及其性质2. 【答案】C【解析】设 g (x )=ax +bx ，则 g (x ) 为奇函数，且在 (0,+∞) 上的最大值为 3， 所以 g (x ) 在 (−∞,0) 上的最小值为 −3， 故 f (x ) 在 (−∞,0) 上有最小值 2． 【知识点】函数的最大（小）值3. 【答案】B【知识点】函数的单调性4. 【答案】D【解析】A 项，y =2x 定义域为 R ，为非奇非偶函数； B 项，y =log 12x 定义域为 (0,+∞) 为非奇非偶函数；C 项，y =x −1 定义域为 {x∣ x ≠0}，反比例函数 y =1x为奇函数；D 项，y =x 2=(−x )2，定义域为 R 为偶函数． 【知识点】函数的奇偶性5. 【答案】D【解析】因为函数 f (x )=4x 2−kx −8 的对称轴方程为 x =k8，且函数 f (x )=4x 2−kx −8 在 (−∞,5] 上具有单调性，所以根据二次函数的性质可知 k8≥5，解得 k ≥40．故 k 的取值范围为 [40,+∞)． 【知识点】函数的单调性6. 【答案】C【解析】对于A ，取 x =1，得 f (1)=1 或 −1，不是分段函数； 对于B ，取 x =4，得 f (4)=17 或 4，不是分段函数； 对于C ，f (x )=|x +1|={x +1,x ≥−1,−x −1,x ≤−1是分段函数；对于D ，取 x =2，得 f (2)=1 或 8，不是分段函数，故选C ． 【知识点】分段函数7. 【答案】B【解析】对于A ，y =e −x =(1e )x，是 R 上的减函数，不合题意； 对于B ，y =x 3 是定义域是 R 且为增函数，符合题意； 对于C ，y =lnx ，定义域是 (0,+∞)，不合题意；对于D ，y =∣x ∣，定义域是 R ，但在 R 上不是单调函数，不合题，故选B ． 【知识点】函数的单调性、函数的定义域的概念与求法8. 【答案】C【知识点】充分条件与必要条件、函数的奇偶性9. 【答案】B【解析】因为 f (x ) 是奇函数，且 f (x )={3−x,x <02g (x ),x >0，因为 f (1)=−f (−1)=−[3−(−1)]=−4， 所以 g (1)=12f (1)=−2．故选B ． 【知识点】函数的奇偶性10. 【答案】A【解析】令 x −3=0，即 x =3， 所以 y =a 0−23=13， 所以 P (3,13)． 设 f (x )=x α，因为点 P (3,13) 在幂函数 f (x ) 的图象上， 所以 f (3)=3α=13，解得 α=−1， 所以 f (x )=x −1，故幂函数 f (x ) 的图象大致同选项A ． 【知识点】幂函数及其性质二、填空题（共6题） 11. 【答案】2【解析】由于偶函数 f (x ) 的定义域为 [t −4,t ]，关于原点对称，故有 t +t −4=0， 所以 t =2．【知识点】函数的奇偶性12. 【答案】 12 ； 6876【知识点】函数模型的综合应用13. 【答案】 [2,3)∪(3,+∞)【知识点】函数的定义域的概念与求法14. 【答案】 (3,+∞)【解析】因为函数 y =f (x ) 在 R 上为增函数，且 f (2m )>f (−m +9)， 所以 2m >−m +9，解得 m >3． 【知识点】函数的单调性15. 【答案】 2，12，−12，−2【解析】令 x =2，则 22>212>2−12>2−2，故相应于曲线 C 1，C 2，C 3，C 4 的 α 依次为 2，12，−12，−2．【知识点】幂函数及其性质16. 【答案】 3 ； {0}∪[2,+∞)【解析】 f (8)=log 28=3，作出函数 f (x ) 的图象，如图所示．若直线 y =m 与函数 f (x ) 的图象只有 1 个交点，则 m ≥2 或 m =0．【知识点】分段函数三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) 由题意知建筑第 1 层楼房时，每平方米建筑费用为 0.72 万元， 建筑第 1 层楼房的建筑费用为 0.72×1000=720（万元）， 楼房每开高一层，整层建筑费用提高 0.02×1000=20（万元），则建筑第 x 层楼房的建筑费用为 720+(x −1)×20=(20x +700) 万元， 建筑 x 层楼房时，该楼房综合费用为 y =f (x )=(720+20x+700)x2+1000=10x 2+710x +1000，综上可知，y =f (x )=10x 2+710x +1000(x ≥1,x ∈Z )．(2) 设该楼房每平方米的平均综合费用为 g (x )， 则 g (x )=f (x )1000x =x 100+1x+71100≥2√x 100×1x+71100=0.91，当且仅当x 100=1x，即 x =10 时等号成立，综上可知，应把楼房建成 10 层，此时每平方米的平均综合费用最低为 0.91 万元．【知识点】建立函数表达式模型、均值不等式的实际应用问题18. 【答案】 f(−√2)=8+5√2； f (−a )=3a 2+5a +2；f (a +3)=3a 2+13a +14； f (a )+f (3)=3a 2−5a +16． 【知识点】函数的表示方法19. 【答案】由题图（1）可知，在 (1,4] 和 (4,6] 内，y 1=f (x ) 是单调递增的，所以 y 1=f (x ) 的单调递增区间是 (1,4] 和 (4,6]．由题图（2）可知，在 (−1,0) 和 (1,2) 内，y 2=g (x ) 是单调递增的， 所以 y 2=g (x ) 的单调递增区间是 (−1,0) 和 (1,2)．【知识点】函数的单调性20. 【答案】区间是表示数集的一种形式，因此对于集合的运算仍然成立；区间表示连续的数集，左端点必须小于右端点，开或闭不能混淆；∞ 是一个符号，而不是一个数，以“−∞”或“+∞”作为区间的一端时，这端必须用小括号．【知识点】函数的相关概念21. 【答案】当 x <0 时，−x >0，则 f (−x )=−(−x )2−2x =−(x 2+2x )=−f (x )．当 x >0 时，−x <0，则 f (−x )=(−x )2−2x =x 2−2x =−(−x 2+2x )=−f (x )． 而当 x =0 时，f (0)=1≠−f (0)． 所以 f (x ) 既不是奇函数也不是偶函数．【知识点】函数的奇偶性22. 【答案】(1) 要使函数式有意义，必须满足 {3x −1≥0,1−2x ≥0, 即 {x ≥13,x ≤12.所以 13≤x ≤12，即函数的定义域为 {x∣ 13≤x ≤12}．(2) 要使函数式有意义，必须满足 {x +3≠0,∣x ∣−x >0,即 {x ≠−3,∣x ∣>x, 解得 {x ≠−3,x <0.所以函数的定义域为 {x∣ x <0且x ≠−3}．【知识点】函数的定义域的概念与求法。
高中人教A版数学必修1单元测试：创优单元测评 (模块检测卷)AB卷 Word版含解析
高中同步创优单元测评A 卷数学班级：________姓名：________得分：________创优单元测评(模块检测卷)名师原创·基础卷](时间：120分钟满分：150分)第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为()A．0B．1C．2D．42．若函数y＝f(x)的定义域是0,2]，则函数g(x)＝f(2x)x－1的定义域是()A．0,1] B．0,1)C．0,1)∪(1,4] D．(0,1)3．下列各组函数中，表示同一函数的是()A．y＝x2和y＝(x)2B．y＝lg(x2－1)和y＝lg(x＋1)＋lg(x－1)C．y＝log a x2和y＝2log a xD．y＝x和y＝log a a x4．如果lg x＝lg a＋3lg b－5lg c，那么()A ．x ＝ab 3c 5 B ．x ＝3ab5c C ．x ＝a ＋3b －5cD ．x ＝a ＋b 3－c 35．已知a ＝21.2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <b <aB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a 6．若f (x )＝1log 12(2x ＋1)，则f (x )的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D ．(0，＋∞) 7．函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)8．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )A ．y ＝x －2B ．y ＝x －1C ．y ＝x 2－2D ．y ＝log 12x9．当x <0时，a x >1成立，其中a >0且a ≠1，则不等式log a x >0的解集是( )A ．{x |x >0}B ．{x |x >1}C ．{x |0<x <1}D ．{x |0<x <a }10．设P ，Q 是两个非空集合，定义集合间的一种运算“⊙”：P ⊙Q ＝{x |x ∈P ∪Q ，且x ∉P ∩Q }，如果P ＝{y |y ＝4－x 2}，Q ＝{y |y ＝4x ，x >0}，则P ⊙Q ＝( )A ．0,1]∪(4，＋∞)B ．0,1]∪(2，＋∞)C ．1,4]D ．(4，＋∞)11．已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a >b )，若f (x )的图象如下图所示，则函数g (x )＝a x ＋b 的图象是( )12．若y ＝f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝2x ＋1，则f ⎝⎛⎭⎪⎫log 213＝( )A ．7 B.103 C ．－4 D.43第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)13．已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点(2，2)，那么f (9)＝________.14．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，10x ，x ≤0，则f (f (－2))＝________.15．已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出：x 1 2 3 f (x )131则不等式fg (x )]>gf (x )]的解为________．16．直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值范围为________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知集合A ＝{x |3≤3x ≤27}，B ＝{x |log 2x >1}． (1)分别求A ∩B ，(∁R B )∪A ；(2)已知集合C ＝{x |1<x <a }，若C ⊆A ，求实数a 的取值范围．18．(本小题满分12分)定义在(－1,1)上的函数f (x )满足：①对任意x ，y ∈(－1,1)都有f (x )＋f (y )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy ；②f (x )在(－1,1)上是单调函数；③f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1. (1)求f (0)的值； (2)证明：f (x )为奇函数；(3)解不等式f (2x －1)<1.19．(本小题满分12分) 已知函数f (x )＝x 2＋ax (x ≠0)．(1)判断f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若f (1)＝2，试判断f (x )在2，＋∞)上的单调性．20．(本小题满分12分)已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x 且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈－1,1]时，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x ≤0，12x 2－x ＋1，x >0.(1)请在直角坐标系中画出函数f (x )的图象，并写出该函数的单调区间；(2)若函数g (x )＝f (x )－m 恰有3个不同零点，求实数m 的取值范围．22．(本小题满分12分)某专营店经销某商品，当售价不高于10元时，每天能销售100件；当售价高于10元时，每提高1元，销量减少3件．若该专营店每日费用支出为500元，用x 表示该商品定价，y 表示该专营店一天的净收入(除去每日的费用支出后的收入)．(1)把y 表示成x 的函数；(2)试确定该商品定价为多少元时，一天的净收入最高？并求出净收入的最大值．详解答案 创优单元测评 (模块检测卷) 名师原创·基础卷]1．D 解析：∵A ∪B ＝{0,1,2，a ，a 2}，又∵A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，a 2＝16，即a ＝4.否则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝16，a 2＝4矛盾． 2．B 解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2，x ≠1，∴0≤x <1.3．D 解析：要表示同一函数必须定义域、对应法则一致，A ，B ，C 中的定义域不同，故选D.4．A 解析：∵lg x ＝lg a ＋3lg b －5lg c ，∴lg x ＝lg a ＋lg b 3－lg c 5＝lg ab3c 5，即x ＝ab 3c 5.5．A 解析：b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8＝20.8<a ＝21.2，c ＝2log 52＝log 54<log 55＝1<b＝20.8，所以c <b <a .6．A 解析：要使函数f (x )＝1log 12(2x ＋1)的解析式有意义，自变量x 需满足：log 12(2x ＋1)>0,2x ＋1>0，则0<2x ＋1<1，解得－12<x <0.7．B 解析：∵f (－1)＝12－3<0，f (0)＝1>0，∴f (－1)·f (0)<0. 又函数f (x )在(－1,0)上是连续的，故f (x )的零点所在的一个区间为(－1,0)．8．A 解析：∵y ＝x －1是奇函数，y ＝log 12x 不具有奇偶性，故排除B ，D ，又函数y ＝x 2－2在区间(0，＋∞)上是单调递增函数，故排除C ，故选A.9．C 解析：由x <0时，a x >1可知0<a <1，故y ＝log a x 在(0，＋∞)上为减函数，∴log a x >0＝log a 1，∴0<x <1，故不等式log a x >0的解集为{x |0<x <1}．10．B 解析：P ＝0,2]，Q ＝(1，＋∞)，∴P ⊙Q ＝0,1]∪(2，＋∞)．11．A 解析：由函数f (x )的图象可知0<a <1，b <－1，故函数g (x )＝a x ＋b (0<a <1，b <－1)可以看作把y ＝a x 的图象向下平移|b |个单位，且g (x )是单调递减函数，又g (0)＝a 0＋b ＝1＋b <0，故选A.12．C 解析：∵f (x )是奇函数， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫log 213＝f (－log 23)＝－f (log 23)．又log 23>0，且x >0时，f (x )＝2x ＋1，故f (log 23)＝2log 23＋1＝3＋1＝4， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 213＝－4. 13．3 解析：设y ＝f (x )＝x α(α是常数)，则2＝2α，解得α＝12，所以f (x )＝x 12，则f (9)＝9 12＝3.14．－2 解析：∵x ＝－2<0，∴f (－2)＝10－2＝1100>0， ∴f (10－2)＝lg 10－2＝－2，即f (f (－2))＝－2.15．x ＝2 解析：∵f (x )，g (x )的定义域都是{1,2,3}，∴当x ＝1时，fg (1)]＝f (3)＝1，gf (1)]＝g (1)＝3，此时不等式不成立；当x ＝2时，f g (2)]＝f (2)＝3，gf (2)]＝g (3)＝1，此时不等式成立； 当x ＝3时，f g (3)]＝f (1)＝1，gf (3)]＝g (1)＝3， 此时不等式不成立． 因此不等式的解为x ＝2.16.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，54 解析：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋a ，x ≥0，x 2＋x ＋a ，x <0， 作出图象，如图所示．此曲线与y 轴交于(0，a )点，最小值为a －14，要使y ＝1与其有四个交点，只需a －14＜1＜a ，∴1＜a ＜54.解题技巧：数形结合的思想的运用． 17．解：(1)A ＝{x |3≤3x ≤27}＝{x |1≤x ≤3}， B ＝{x |log 2x >1}＝{x |x >2}，A ∩B ＝{x |2<x ≤3}， (∁R B )∪A ＝{x |x ≤2}∪{x |1≤x ≤3}＝{x |x ≤3}， (2)①当a ≤1时，C ＝∅，此时C ⊆A ； ②当a >1时，C ⊆A ，则1<a ≤3；综合①②，可得a 的取值范围是(－∞，3]．18．(1)解：取x ＝y ＝0，则f (0)＋f (0)＝f (0)，所以f (0)＝0. (2)证明：定义域(－1,1)关于原点对称，令y ＝－x ∈(－1,1)，则f (x )＋f (－x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 1－x 2＝f (0)＝0，所以f (－x )＝－f (x )，则f (x )在x ∈(－1,1)上为奇函数．(3)解：∵f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1，∴f (x )是在(－1,1)上的单调增函数，∴不等式可化为⎩⎨⎧－1<2x －1<1，2x －1<12，∴⎩⎨⎧0<x <1，x <34，∴0<x <34，∴不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34. 19．解：(1)当a ＝0时，f (x )＝x 2，f (－x )＝f (x )，函数是偶函数． 当a ≠0时，f (x )＝x 2＋ax (x ≠0，常数a ∈R )，取x ＝±1，得f (－1)＋f (1)＝2≠0；f (－1)－f (1)＝－2a ≠0，∴f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)． ∴函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数． (2)若f (1)＝2，即1＋a ＝2，解得a ＝1， 这时f (x )＝x 2＋1x .任取x 1，x 2∈2，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 21＋1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋1x 2＝(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2－1x 1x 2.由于x 1≥2，x 2≥2，且x 1<x 2， ∴x 1－x 2<0，x 1＋x 2>1x 1x 2，∴f (x 1)<f (x 2)，故f (x )在2，＋∞)上是单调递增函数． 20．解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题意可知，a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c －(ax 2＋bx ＋c )＝2x ， c ＝1.整理，得2ax ＋a ＋b ＝2x ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，c ＝1，∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)当x ∈－1,1]时，f (x )>2x ＋m 恒成立，即x 2－3x ＋1>m 恒成立； 令g (x )＝x 2－3x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－54，x ∈－1,1]，则g (x )min ＝g (1)＝－1，∴m <－1. 21．解：(1)函数f (x )的图象如下图．函数f (x )的单调递减区间是(0,1)； 单调递增区间是(－∞，0)及(1，＋∞)． (2)作出直线y ＝m ，函数g (x )＝f (x )－m 恰有3个不同零点等价于函数y ＝m 与函数f (x )的图象恰有三个不同公共点．由函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x ≤0，12x 2－x ＋1，x >0的图象易知m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 解题技巧：方程f (x )＝g (x )的根是函数f (x )与g (x )的图象交点的横坐标，也是函数y ＝f (x )－g (x )的图象与x 轴交点的横坐标．22．解：(1)由题意可得，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧100x －500，0<x ≤10，x ∈N *，[100－3(x －10)]·x －500，x >10，x ∈N *， ∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧100x －500，0<x ≤10，x ∈N *，－3x 2＋130x －500，x >10，x ∈N *. (2)当0<x ≤10时，y ＝100x －500为增函数．∴当x ＝10时，y max ＝500. 当x >10时，y ＝－3x 2＋130x －500 ＝－3⎝⎛⎭⎪⎫x －6532＋2 7253，∴当x ＝653时，y max ＝2 7253. 又∵x ∈N *，∴当x ＝22时，y 取得最大值，y max ＝908. 又908>500，∴当该商品定价为22元时，净收入最大，最大为908元．高中同步创优单元测评B 卷 数 学班级：________ 姓名：________ 得分：________创优单元测评 (模块检测卷) 名校好题·能力卷](时间：120分钟 满分：150分) 第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知全集U ＝A ∪B ＝{x ∈N |0≤x ≤8}，A ∩(∁U B )＝{1,3,5,7}，则集合B ＝( )A ．{0,2,4}B ．{0,2,4,6}C ．{0,2,4,6,8}D ．{0,1,2,3,4}2．下列四类函数中，具有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )”的是( )A ．幂函数B ．对数函数C ．指数函数D ．一次函数3．下列各函数中，表示同一函数的是( ) A ．y ＝x 与y ＝log a a x (a >0且a ≠1) B ．y ＝x 2－1x －1与y ＝x ＋1C ．y ＝x 2－1与y ＝x －1D ．y ＝lg x 与y ＝12lg x 24．定义运算a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，则函数f (x )＝1⊕2x 的图象是( )5．已知a ＝log 135，b ＝3 15，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫150.3，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．a <c <bD ．b <c <a6．下列函数中既是偶函数，又在(0，＋∞)上是单调递增函数的是( )A ．y ＝－x 2＋1B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝log 2x ＋1D ．y ＝x 37．函数f (x )＝2x ＋log 3x －1的零点所在的区间是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1 8．已知函数f (x )＝－x 5－3x 3－5x ＋3，若f (a )＋f (a －2)>6，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，3)C ．(1，＋∞)D ．(3，＋∞) 9．函数y ＝log 2(x 2－3x ＋2)的递减区间是( )A ．(－∞，1)B ．(2，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ 10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －4，x ≤1，x 2－4x ＋3，x >1，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．111．如图，平面图形中阴影部分面积S 是h (h ∈0，H ])的函数，则该函数的图象大致是( )12．设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f (2)D ．f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)13．函数y ＝a x －1＋1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点________．14．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且在区间0，＋∞)上是单调减函数，若f (2x ＋1)＋f (1)<0，则x 的取值范围是________．15．设a 为常数且a <0，y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝x ＋a 2x －2.若f (x )≥a ＋1对一切x ≥0都成立，则a 的取值范围为________．16．下列命题中：①若集合A ＝{x |kx 2＋4x ＋4＝0}中只有一个元素，则k ＝1； ②已知函数y ＝f (3x )的定义域为－1,1]，则函数y ＝f (x )的定义域为(－∞，0]；③函数y ＝11－x 在(－∞，0)上是增函数；④方程2|x |＝log 2(x ＋2)＋1的实根的个数是2.所有正确命题的序号是____________(请将所有正确命题的序号都填上)．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分) 计算下列各式的值： (1)(－0.1)0＋32×2 23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－12；(2)log 327＋lg 25＋lg 4.18．(本小题满分12分)已知幂函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3在(0，＋∞)上是增函数，又g (x )＝log a 1－mx x －1(a >1，a ≠0)．(1)求函数g (x )的解析式；(2)当x ∈(t ，a )时，g (x )的值域为(1，＋∞)，试求a 与t 的值．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝1＋1x －x α(α∈R )，且f (3)＝－53. (1)求α的值； (2)求函数f (x )的零点；(3)判断f (x )在(－∞，0)上的单调性，并给予证明．20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax ＋b x 2＋1为定义在R 上的奇函数，且f (1)＝12.(1)求函数f (x )的解析式；(2)判断并证明函数f (x )在(－1,0)上的单调性．21．(本小题满分12分)函数f (x )＝12(a x ＋a －x )(a >0，且a ≠1)的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫2，419.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：f (x )在0，＋∞)上是增函数．22．(本小题满分12分)某网店经营的一种消费品的进价为每件12元，周销售量p(件)与销售价格x(元)的关系如图中折线所示，每周各项开支合计为20元．(1)写出周销售量p(件)与销售价格x(元)的函数关系式；(2)写出周利润y(元)与销售价格x(元)的函数关系式；(3)当该消费品销售价格为多少元时，周利润最大？并求出最大周利润．详解答案 创优单元测评 (模块检测卷) 名校好题·能力卷]1．C 解析：因为集合U ＝A ∪B ＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，又B ∪∁U B ＝U ，所以A ＝∁U B ＝{1,3,5,7}，所以B ＝{0,2,4,6,8}．2．C 解析：f (x )f (y )＝a x a y ＝a x ＋y ＝f (x ＋y )．3．A 解析：要表示同一函数必须定义域、对应法则一致，B ，D 中的定义域不同，C 中的对应法则不同．故选A.4．A 解析：根据题意得f (x )＝1⊕2x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <0，1，x ≥0.5．C 解析：a ＝log 135<0，b ＝315>1,0<c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫150.3<1.6．B 解析：函数y ＝－x 2＋1为偶函数，在区间(0，＋∞)上为减函数，y ＝log 2x ＋1为非奇非偶函数，函数y ＝x 3为奇函数．故选B.7．C 解析：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝log 312<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝log 3334>0， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34<0. 又函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34上是连续的，故f (x )的零点所在的区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34. 8．A 解析：设F (x )＝f (x )－3＝－x 5－3x 3－5x ，则F (x )为奇函数，且在R 上为单调减函数，f (a )＋f (a －2)>6等价于f (a －2)－3>－f (a )＋3＝－f (a )－3]，即F (a －2)>－F (a )＝F (－a )，所以a －2<－a ，即a <1，故选A.9．A 解析：由x 2－3x ＋2>0，得x <1或x >2，底数是2，所以在(－∞，1)上递减．故选A.10．B 解析：当x ≤1时，函数f (x )＝4x －4与g (x )＝log 2x 的图象有两个交点，可得h (x )有两个零点，当x >1时，函数f (x )＝x 2－4x ＋3与g (x )＝log 2x 的图象有1个交点，可得函数h (x )有1个零点，∴函数h (x )共有3个零点．11．D 解析：由图中可知，S 随着h 的增加而减少，并且减小的趋势在减小，当h ＝H 2时，阴影部分的面积小于整个半圆面积的一半．故选D.12．C 解析：由f (2－x )＝f (x )知f (x )的图象关于直线x ＝2－x ＋x 2＝1对称，又当x ≥1时，f (x )＝ln x ，所以离对称轴x ＝1距离大的x 的函数值大，∵|2－1|>⎪⎪⎪⎪⎪⎪13－1>⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f (2)． 解题技巧：由f (2a －x )＝f (x )知f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．13．(1,2) 解析：当x －1＝0，即x ＝1时，y ＝2.∴函数y ＝a x －1＋1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点(1,2)．14．(－1，＋∞) 解析：f (2x ＋1)＋f (1)<0，f (2x ＋1)<－f (1)＝f (－1)．由于f (x )是奇函数，在区间0，＋∞)上是单调减函数．所以在定义域上是减函数，故2x ＋1>－1，x ∈(－1，＋∞)．15．(－∞，－1] 解析：当x ＝0时，f (x )＝0，则0≥a ＋1，解得a ≤－1，当x >0时，－x <0，f (－x )＝－x ＋a 2－x－2，则f (x )＝－f (－x )＝x ＋a 2x ＋2，由函数的图象或增减性可知，当x ＝a 2＝|a |＝－a 时，有f (x )min＝－2a ＋2，所以－2a ＋2≥a ＋1，解得a ≤13，又a <0，所以a <0.综上所述：a ≤－1.16．③④ 解析：对于①，k ＝0也符合题意；对于②，y ＝f (x )的定义域应该是3－1,3]；对于③，画出y ＝11－x的图象或利用定义可判定y ＝11－x在(－∞，0)上是增函数；对于④，在同一坐标系中作出y ＝2|x |，y ＝log 2(x ＋2)＋1的图象，由图可知有两个交点．故方程的实根的个数为2.18．解：(1)∵f (x )是幂函数，且在(0，＋∞)上是增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －1＝1，－5m －3>0，解得m ＝－1， ∴g (x )＝log a x ＋1x －1. (2)由x ＋1x －1>0可解得x <－1或x >1， ∴g (x )的定义域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．又a >1，x ∈(t ，a )，可得t ≥1，设x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，于是x 2－x 1>0，x 1－1>0，x 2－1>0， ∴x 1＋1x 1－1－x 2＋1x 2－1＝2(x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1)>0， ∴x 1＋1x 1－1>x 2＋1x 2－1.由a >1，有log a x 1＋1x 1－1>log a x 2＋1x 2－1，即g (x )在(1，＋∞)上是减函数． 又g (x )的值域是(1，＋∞)，∴⎩⎪⎨⎪⎧t ＝1，g (a )＝1，得g (a )＝log a a ＋1a －1＝1，可化为a ＋1a －1＝a ， 解得a ＝1±2，∵a >1，∴a ＝1＋2，综上，a ＝1＋2，t ＝1.19．解：(1)由f (3)＝－53，得1＋13－3α＝－53，解得α＝1.(2)由(1)，得f (x )＝1＋1x －x .令f (x )＝0，即1＋1x －x ＝0，也就是x 2－x －1x＝0， 解得x ＝1±52.经检验，x ＝1±52是1＋1x －x ＝0的根，所以函数f (x )的零点为1±52.(3)函数f (x )＝1＋1x －x 在(－∞，0)上是单调减函数．证明如下：设x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－x 2＝(x 2－x 1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1x 2＋1. 因为x 1<x 2<0，所以x 2－x 1>0，x 1x 2>0，所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )＝1＋1x －x 在(－∞，0)上是单调减函数． 20．解：(1)由题意得⎩⎨⎧ f (0)＝0，f (1)＝12，解得a ＝1，b ＝0，所以f (x )＝x x 2＋1. (2)函数f (x )在(－1,0)上单调递增，证明如下：任取x 1，x 2∈(－1,0)，且x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 21＋1－x 2x 22＋1＝x 1x 22＋x 1－x 2x 21－x 2(x 21＋1)(x 22＋1)＝(1－x 1x 2)(x 1－x 2)(x 21＋1)(x 22＋1)<0，即f (x 1)<f (x 2)．所以函数f (x )在(－1,0)上单调递增．21．(1)解：∵ f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫2，419， ∴ 12(a 2＋a －2)＝419，即9a 4－82a 2＋9＝0，解得a 2＝9或a 2＝19.∵ a >0，且a ≠1，∴ a ＝3或a ＝13.当a ＝3时，f (x )＝12(3x ＋3－x )；当a ＝13时，f (x )＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x ＝12(3x ＋3－x )． ∴ 所求解析式为f (x )＝12(3x ＋3－x )．22．解：(1)由A (12,26)，B (20,10)可知线段AB 的方程为p ＝－2x＋50,12≤x ≤20，由B (20,10)，C (28,2)可知线段BC 的方程为p ＝－x ＋30,20<x ≤28， ∴p ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋50，12≤x ≤20，－x ＋30，20<x ≤28.(2)当12≤x ≤20时，y ＝(x －12)(－2x ＋50)－20＝－2x 2＋74x －620；当20<x ≤28时，y ＝(x －12)(－x ＋30)－20＝－x 2＋42x －380.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x 2＋74x －620，12≤x ≤20，－x 2＋42x －380，20<x ≤28.(3)当12≤x ≤20时，y ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3722＋1292.故当x ＝372时，y 取得最大值1292.当20<x ≤28时，y ＝－(x －21)2＋61，故当x ＝21时，y 取得最大值为61.∵1292＝64.5>61，∴当该消费品销售价格为18.5元时，周利润最大，最大周利润为64.5元．。
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三明九中2009――2010学年高一数学必修1模块阶段测试卷(I 卷)
一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.下列不能构成集合的是( )
A.1—20以内的所有质数
B.方程2
20x x +-=的所有实根 C.新华高中的全体个子较高的同学 D.所有的正方形 2.下列四个选项中正确的是( )
A. }1,0{1∈
B. }1,0{1∉
C. }1,0{1⊆
D. }1,0{}1{∈ 3．已知集合}5,1,0,1{-=M ,}5,2,1,2{-=N ,则=N M ( )
A.{}1,1-
B.{}5,2,1
C.{}5,1
D.φ 4．集合{
}2,1的真子集有( )个 A.1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5.下列四个区间能表示数集{}
0510A x x x =≤<>或的是( )
A.(0,5)
(10,)+∞ B.[0,5)(10,)+∞
C.(5,0][10,)+∞
D.[0,5]
(10,)+∞
6.函数[]()2 1 ( 2,2 )f x x x =-+∈-的最小、最大值分别为( )
A. 3 ，5
B. 3- ，5
C. 1 ，5
D. 5 ，3- 7．下列函数中，为偶函数的是( )
A.4
x y = B.5
x y = C.1+=x y D.x
y 1
= 8．下列函数中，与函数x y =相等的是( )
A.2
)(x y = B.33x y = C.2
x y = D.x
x y 2
=
9．若一次函数b mx y +=在),(+∞-∞上是增函数，则有( )
A.0>b
B.0<b
C.0>m
D.0<m
10．下列图象中不能作为函数图象的是( )
11．若奇函数)(x f 在[3,7]上是增函数，且最小值是1，则它在[7,3]--上是( )
A ．增函数且最小值是1- B. 增函数且最大值是1- C ．减函数且最大值是1- D. 减函数且最小值是1-
12．向高为H 的水瓶以等速注水，注满为止，若水量V 与水深h 的函数的图象如右图所示，则水瓶的形状可能为( )
二、填空题(共4小题，每小题4分，共16分)
13．若函数])4,2[(2)(2
∈-=x x x x f ，则)(x f 的最小值是 14．已知函数 4 0
() 4 x > 0
x x f x x +<⎧=⎨
-⎩，则)3([-f f ]的值为
15．如果()f x 是偶函数且在区间(,0)-∞上是增函数，又(1)0f =，那么()0f x >的解集为 16．如果函数2
f(x)=x 22ax -+在区间[)3,+∞ 上是增函数，则a 的取值范围为
V 0 h A ． B ． C ． D ．
三明九中2009――2010学年高一数学必修1模块阶段测试卷(II 卷)
一、选择题(本大题每小题3分，共36分)
二、填空题(本大题每小题4分，共16分)
13． 14.
15. 16.
三、解答题(本大题共6题，每题8分，共48分)
17．(8分)已知全集{}1,2,3,4,5,6,7U =，集合{}2,4,5A =,集合{}1,3,5,7B =,
求值: (1)()U A
C B (2) ()U C A
B
18．(8分)已知函数3
||1
2)(-+
+=
x x x f
(1) 求(1),(0)f f -的值; (2)求函数的定义域.
19．(8分)已知函数()1m
f x x
=+，且(1)2f =, (1)求m 的值 (2)试判断函数)(x f 在),0(+∞上的单调性,并用定义加以证明。
20．(8分)已知()f x 是二次函数，若(0)0f =且(1)()1f x f x x +-=+，求函数()f x 的解析式， 并求出它在区间[]1,3-上的最大、最小值。
21．(8分)已知函数2(1) 2 ( 0 )
() 1 (0 )
x x f x x x ⎧-++≤=⎨-+>⎩，
求:(1)求出[](3)f f 的值；
(2)画出该函数的大致图象，并写出函数的单调区间。
22．(8分)若对一切非零实数，已知函数()(0)y f x x =≠，满足()()()f xy f x f y =+， (1)求(1)f ，(1)f -，
(2)判断函数()y f x =的奇偶性；
(3)若()y f x =，在(0,)+∞上是增函数，且满足1()()02
y f x f x =+-≤，求x 的取值范围。