2010电子科技大学随机信号分析期末考试A

一、已知随机变量X 服从11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦

区间的均匀分布，Y 是取值为(-1,1)的二值随机变量，且满足1[1][1]2P Y P Y =-===

。

若X 和Y 彼此统计独立，求随机变量Z X Y =+的： 1、概率密度函数

()Z f z 。

2、特征函数()Z v Φ。

解：

1、随机变量X 均服从11,22⎡⎤

-⎢⎥⎣⎦区间的均匀分布，

111,()()22

0,X x f x rect x otherwise ⎧

-≤≤

⎪==⎨⎪⎩

11

()(1)(1)

22

Y f y x x δδ=++- 由于X 和Y 彼此统计独立，所以

11

()()()(1)(1)

22

Z X Y f z f z f z rect z rect z =*=++- 131/2,

220,z otherwise ⎧

≤≤⎪=⎨⎪⎩

2、

()2rect z Sa ω⎛⎫

⇔ ⎪

⎝⎭

且 ()()FT

z

z f z v Φ-

所以()1()cos 222j j z v Sa e e Sa ωωωωω-⎛⎫⎛⎫Φ=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

二、取值()0,1，等概分布的独立半随机二进制传输信号()X t ，时隙长度为0T ，问：

1、信号的均值函数()E X t ⎡⎤⎣

⎦。 2、信号的自相关函数(),X R t t τ+。

3、()X t 的一维概率分布函数

();X F x t 和二维概率分布函数()1212,;,X F x x t t 。

解：1、()00.510.50.5X t E =⨯+⨯=⎡⎤⎣⎦

2、当,t t τ+在同一个时隙时：

[]

2

2

2

(,)()()[()]00.510.50.5X R t t E X t X t E X t ττ+=+==⨯+⨯=

当,t t τ+不在同一个时隙时：

[]

[][](,)()()()()0.50.50.25X R t t E X t X t E X t E X t τττ+=+=+=⨯=

1、 一维分布：()()();0.50.51X F x t u x u x =+- 二维分布：

当

12,t t 在同一个时隙时 ()[][]12121212,;,0.5,0.51,1X F x x t t u x x u x x =+--

当12,t t 不在同一个时隙时：

()121211221112,;,[(),()][()][()]

X F x x t t P X t x X t x P X t x P X t x =≤≤=≤≤

()()()()121212120.25,0.251,0.25,10.251,1u x x u x x u x x u x x =+-+-+--

三、广义平稳高斯随机信号X (t )、Y(t )具有均值各态历经性，其功率谱如下图所示。

1、随机信号的()X t 直流功率。

2、互相关函数XY R ()τ。

3、概率密度函数XY x y f (x,y,t ,t )。

解：1. ()X S ω是带宽为200π的低通白噪声，其相关函数是

()()()0sin sin 200200

2200X W N W R W τπττπτπτ⋅==

直流功率：()2

X Y m R =∞=

交流功率：()20200X

X C σ==

2．因为X (t )与Y(t )的功率谱不重叠，故两个信号正交，互相

关函数0XY R ()=τ，且互不相关和独立。

3.

Y(t )是广义平稳带通随机信号，故0Y

m =

2

1

010012100

2

Y

Y R ()==⨯⨯⨯=σ

222200

2100

11XY x y X x Y y x y f (x,y,t ,t )f (x,t )f (y,t )e

e -

-

⨯⨯==⋅

四、设有随机信号()X t 和()Y t 都不是广义平稳的，且

()()cos ,()()sin X t A t t Y t B t t ==，其中()A t 和()B t 是相互独立

的广义平稳信号，它们均为零均值且有相同的相关函数。判断

()()()Z t X t Y t =+的广义平稳性。

解： 1、均值：

]sin )([]cos )([)]()([)]([=+=+=t t B E t t A E t Y t X E t Z E 为

常数 2、自相关函数：

()()(,)()()()()(,)(,)(,)(,)()cos()cos ()sin()sin 00()cos Z X Y XY YX A B A R t t E X t Y t X t Y t R t t R t t R t t R t t R t t R t t R τττττττττττττ

+=+++⋅+⎡⎤⎣⎦=+++++++=+++++=

只与τ有关

可知()Z t 是广义平稳信号。

五、设正弦随机信号()()cos X t A t π=，其中

()2

~0,A A N σ。令()(),Y t X t =-Θ且A 和Θ统计独立，求解： 1、()X t 是否严格循环平稳？ 2、()X t 是否广义循环平稳？

3、当Θ满足什么分布时，()Y t 是广义平稳信号？ 解： 1、由