清华大学微积分
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清华大学微积分B1课程讲义及习题答案
(2) Z+. (思路: 当" ! 1, G¯" = {a1, a2, . . . , an, . . . }, 即当"足够大时, A的"邻域可包
含{a1, a2, . . . , an, . . . }, 此时G" = Z+. 注意等号的位置.)
证明: 令M=max{|a1 A|, |a2 A|, . . . , |an A|, . . . }, 8"M > M, G¯"M = {x|x 2
<
pp 2, 故 2是S的上界. p
8c < 2, 9x 2 (c, 2), x > c(满足定理1.2.3的第二个条件), 故supS= 2.
4. 若A,B为R中的非空有界集,则A[B与A\B也是有界集,并且 inf(A[B)=min{infA,infB}, sup(A[B)=max{supA,supB},
1.3.3 习题1.3解答
8
8
1.
设f (x)
=
<x + :0,
1,
1.2.2 定理1.2.3的证明
定理1.2.3 设E为非空集合, a, b为实数. 则有
(1) b=supE的充分必要条件是下列两个条件同时满足:
1 b是E的一个上界; 2 对于任意满足c < b的实数c, 9x 2 E, 使得x > c.
(2) b=infE的充分必要条件是下列两个条件同时满足:
1 a是E的一个下界; 2 对于任意满足c > a的实数c, 9x 2 E, 使得x < c.
微信: 18811708556 • 基础习题课的教学目标:
– 使同学掌握课程基本内容 – 使同学掌握常见问题的一般解法 – 使同学学会正确地书写解答过程 • 其他要求和说明:
清华大学微积分高等数学课件第讲常微分方程二 共32页
29.07.2019
10
给 y(x0)y0 得 C y0
特解
x
x
yex0p(x)d(xy0xx0q(非x)齐e次x0特p(x解)dd x )x
非齐次通解的结构：
设y是y'p(x)y0 (2)的通 解 ,
y(x)是y'p(x)yq(x) (1)的 一 个 ,
则(1)的 通 解 为 y(x)yy(x)
代入方程并计算化简
yC (y) C (y) C (y) yye
C(y)ey
积分得 C(y)eyd yeyC
通解 xCyyey
29.07.2019
14
[例 3]设 a0,f(x)在 [0, )连 续,证 有明 界 方程
dxaxf(t) (t0) dt
每个[0 解 , 在 )有.界
x2 ydx x2ydyd(x2y2) 2
29.07.2019
23
[ 例 1 ]解(x 方 2 y ) d 程 ( x x y ) d 0 y
[解] 凑微分
x 2 d x (xd yyd )x yd 0 y
d(x3)d(x)yd(y2)0
3
2
d(x3 xyy2)0
3
2
通解
x3 xy y2 C
3
2
29.07.2019
24
[例 2] 解方 yd 程 x(y3ln x)d y0
x
[解] 改写为
(ydx lnxd) yy3dy 0 x
(yld n x ln x) d y y 3 d y 0
d(ylnx)d(y4)0 4
通解为
yl nx1 y4 C 4
例如 xd ydx d(x)y
清华大学微积分高等数学课件第7讲定积分二
若fC[a,b],则 有
x
f(x)dxa f(t)d tC (x[a,b])
2020/4/28
12
思考题：
1.有原函数的函数是否一定连续？ 2.有原函数的函数是否一定黎曼可积？ 3.黎曼可积的函数是否一定存在原函
数？
2020/4/28
13
二、牛顿—莱布尼兹公式 定理2：设f(x)C[a, b],F(x)是f(x)在[a, b]
2020/4/28
路程函数是速度函数的原函数4
[证] (1) 用连续定义证明
任 x [ a 取 ,b ],x x [ a ,b ]
xx
x
F (xx)F (x)f(t)d tf(t)dt
xx
a
a
a
x x
f(t)dt f(t)dt f (t )dt
a
x
x
f R [ a ,b ] M 0 ,f ( x ) M x [ a ,b ]
满足三个条件：
(1) (t) C1[ , ];
(2) a (t) b;
(3) ( ) a, ( ) b ,
则有
b
f ( x)dx
f [ (t)] (t) dt
a
2020/4/28
20
x
b
x(t)
x
b
x(t)
a o
t
a o
t
[证] 设F(x)是f(x)的一个原函数
d[F ( t) ] F ( x )( t) f( x )( t) f[( t)] ( t) dt f[(t)] (t)d tF [() ]F [()]
试比 I1与 较 I2的大小。
[解] 利用估值定理
当 x [0,]时 ,有 six n x,
清华大学微积分A习题课_6一致连续 函数的可积性 定积分的性质 不定积分
n
“ ”. 用反证法. 假设 f ( x) 在 I 上非一致连续，即 0 0, 0, x, y I ，满足 | x y | ，但
f ( x) f ( y ) 0 ．
取 1, x1 , y1 I ,| x1 y1 | 1, 有 f ( x1 ) f ( y1 ) 0 . 取
n
lim[ f ( xn ) f ( yn )] 0 ,与已知条件矛盾.故函数 f ( x) 在区间 I 上一致连续.
n
二、函数的可积性. 5. 已知 f ( x)) R[a, b] . 证明：因为 f ( x) 在 [a, b] 上可积，所以 f ( x) 在 [a, b] 上有界，设 M sup {| f ( x) |} ．
1 1 , x2 , y2 I ,| x2 y2 | , 有 f ( x2 ) f ( y2 ) 0 . 2 2 1 1 , xn , yn I ,| xn yn | , 有 f ( xn ) f ( yn ) 0 . n n
取
从 而 在 区 间 I 上 构 造 出 两 个 数 列 { xn } 与 { yn } . 显 然 lim( xn yn ) 0 ， 但
i 1
n
由于
f ( x) 可积，当划分直径趋向于零时， i xi 0 ，于是
i 1
n
ie
i 1
n
f
xi 0 ，
故函数 exp[ f ( x)] 在 [a, b] 上可积． 6. 证明：当 f ( x) 0 时， w
a x b
对于区间 [a, b] 的任意划分 T {x0 , x1 , x2 ,, xn } ， 记
“ ”. 用反证法. 假设 f ( x) 在 I 上非一致连续，即 0 0, 0, x, y I ，满足 | x y | ，但
f ( x) f ( y ) 0 ．
取 1, x1 , y1 I ,| x1 y1 | 1, 有 f ( x1 ) f ( y1 ) 0 . 取
n
lim[ f ( xn ) f ( yn )] 0 ,与已知条件矛盾.故函数 f ( x) 在区间 I 上一致连续.
n
二、函数的可积性. 5. 已知 f ( x)) R[a, b] . 证明：因为 f ( x) 在 [a, b] 上可积，所以 f ( x) 在 [a, b] 上有界，设 M sup {| f ( x) |} ．
1 1 , x2 , y2 I ,| x2 y2 | , 有 f ( x2 ) f ( y2 ) 0 . 2 2 1 1 , xn , yn I ,| xn yn | , 有 f ( xn ) f ( yn ) 0 . n n
取
从 而 在 区 间 I 上 构 造 出 两 个 数 列 { xn } 与 { yn } . 显 然 lim( xn yn ) 0 ， 但
i 1
n
由于
f ( x) 可积，当划分直径趋向于零时， i xi 0 ，于是
i 1
n
ie
i 1
n
f
xi 0 ，
故函数 exp[ f ( x)] 在 [a, b] 上可积． 6. 证明：当 f ( x) 0 时， w
a x b
对于区间 [a, b] 的任意划分 T {x0 , x1 , x2 ,, xn } ， 记
清华大学本科生高等数学微积分B(2)第四周讲课提纲(多元函数的几何应用条件极值最小二乘法切线切平面)
数，且
y y ( x), ( F , G) 0 ．这时可有 L ： 且 ( y, z ) z z ( x),
( F , G ) ( x, z ) ( F , G ) ( y, z ) (F , G) ( z, x ) (F , G) ( y, z ) (F , G) ( y, x ) (F , G) ( y, z ) (F , G) ( x, y ) (F , G) ( y, z )
0 , y0 , z0 )
0 , y0 , z0 )
0 , y0 , z0 )
Note1：切线的方向余弦、方向角．
T1 T2 Note2：两曲线间的夹角 cos ． T1 T2
Note3：空间曲线的长度 l
x(t ) 2 y (t ) 2 z (t ) 2 dt T dt ．
F 0． z
法平面方程为 y z 0 ．
x2 y2 a2 , a a a 例 2：求曲线 2 在点 ( , , ) 处的切线与法平面方程． 2 2 2 2 2 x z a
第 4 周讲课提纲（5 学时）By Huzm
Page 3 of 19
解法 1：记 F ( x, y, z ) x 2 y 2 a 2 ，在点 (
y ( x)
， z ( x)
．
( F , G ) ( F , G) ( F , G) , , )． 所以切向量为 T ( ( y, z ) ( z , x ) ( x, y )
切线方程为
x x0 ( F , G) ( y, z) ( x
0 , y0 , z0 )
清华大学多元函数微积分题库
=
．
8．（2008j）设函数 z = z(x，y) 由方程 z + e z + 2xy = 5 确定，则 dz (1，2，0) =
．
9．（2004gj）由方程 xyz + x 2 + y 2 + z 2 = 2 所确定的函数 z = z(x，y) 在点 (1, 0, -1) 处
的全微分 dz (1,0,-1) =
．（
2007g
）
曲
线
L：îíì3xx2
2 +2 + y2
y2 +
- 2z -1= 0, z2 - 4y - 2z
+
2
=
0
在
点
M
(1，1，2)
处
的
切线
方
程
为
．
19．（2011g）椭球面 x 2 + 2 y 2 + z 2 = 1上平行于平面 x - y + 2z = 0 的切平面方程为
与
．
二、单项选择题
．
10 ．（ 2006gj ） 设 函 数 z = z(x，y) 由 方 程 z - x - y + xe z-x- y = 2 所 z = z(x，y) 由方程 2 y = z - e2x-3z 所确定，则 3 ¶z + ¶z =
．
¶x ¶y
r 12 ．（ 2002g ） 函 数 z = x 2 - xy + y 2 在 点 (-1，1) 处 沿 方 向 l =
（B） 函数 u(x，y) 的最大值点与最小值点都在区域 D 的边界上；
（C） 函数 u(x，y) 的最大值点在区域 D 的内部，最小值点在区域 D 的边界上；
清华大学微积分习题课(Stolz定理、数列极限、函数极限)
（ ）求极限 ． 4
lim
x→0
2 1
+ +
1
ex
4
ex
+
sin x
x
Page 1 of 3
2/3
3．求下列极限
（ ）求 ．1
1
lim(1 + sin x)2x
x→0
（ ） ． x2 −1x2
3
lim
x→∞
x2
+
1
4．求下列极限
（ ）求 2
lim(sin 1 + cos 1 )x .
x→∞
f (x) g(x)
τ = Tf ∈Q
f (x) g(x)
x→∞
Tg
什么关系？
．证明：若 ，且 ≤ ，则 11
f (x) = a1 sin x + a2 sin 2x + ⋯ + an sin nx
| f (x) | | sin x |
≤ ． a1 + 2a2 + ⋯ + nan 1
Page 2 of 3
．已知 ，求证： ． 1
lim
n→∞
an
=
+∞
lim a1 + a2 + ⋯ + an = +∞
n→∞
n
．已知数列 单调，且 ，证明： ． 2
{an }
lim a1 + a2 + ⋯ + an = A
n→∞
n
lim
n→∞
an
=
A
3．证明：数列
{an
}
没有收敛子列等价于
lim
n→∞
清华大学微积分习题课参考答案(微分法、方向导数与梯度、泰勒公式)
(x
+
y)
+
f
(x
−
y)
+
∫ x+y x− y
g (t )dt
其中函数
f
具有二阶导数
g
具有一阶导
数，求 ， ． ∂2u , ∂2u ∂x2 ∂y2
∂2u ∂x∂y
解：因为 ， ∂u ∂x
=
f
′(x +
y) +
f
′(x
−
y) +
g(x
+
y) −
g(x −
y)
， ∂u
∂y
=
f ′(x +
y) −
f ′(x −
． x(z
+
y)x
−1
(
∂z ∂y
+ 1)
=
x
所以 ． ∂z ∂y
(1,2)
=
0
（ ）设函数 由方程 确定，求 ． 2
z = z(x, y)
x + y − z = ez
∂z
∂x（1,0）
解：将 y 看作常数， z 看作是 x 的函数，在 x + y − z = ez 两端关于 x 求导，得
． 1 −
r2 cos2 θ
−
∂f ∂x
r
cosθ
−
∂f ∂y
r sinθ
， ∂2u = ∂2 f
∂z2 ∂z2
微积分 B(2)
第 2 次习题课（By ） Huzm
6 / 12
所以
∂2u ∂r 2
+
1 r2
∂2u ∂θ 2
+
1 r
清华大学微积分(数列极限的运算、存在性判断、柯西准则)题目
lim
n→∞
an
=
A
lim
n→∞
bn
=
B
lim a1bn + a2bn−1 + ⋯ + anb1 = AB
n→∞
n
．设极限 存在，证明 ． 2
lim
n→∞
(a1
+
a2
+⋯
+
an
)
=
a
lim a1 + 2a2 + ⋯ + nan = 0
n→∞
n
3．设θ ≠ kπ ，证明数列{sin nθ}发散．
三、实数理论（柯西收敛准则，Bolzano 定理，区间套，有限覆盖）
Page 1 of 2
2/2
3．下列哪些命题与柯西准则等价，证明你的结论或举出反例．
（ ）对于任意的 ，均有 ． 1
p ∈ ℕ*
lni→m∞(an+ p − an ) = 0
（ ） ， ，只要 ，就有 ． 2 ∀ε > 0 ∃N ∈ℕ*
n>N
| an − aN |< ε
（ ） ， 以及 ，只要 ，就有 ． 3 ∀ε > 0 ∃Nε ∈ℕ*
Aε ∈ ℝ
n > Nε
| an − Aε |< ε
．证明：有界数列 若不收敛，则必存在两个子列 ， ，使得 4
{an }
{ank } {amk }
lim
k →∞
ank
= a,
lim
k →∞
amk
=b
且a≠b．
5．（1）利用 Cauchy 收敛准则证明单调有界数列收敛；
（2）利用区间套定理证明单调有界数列收敛．
清华大学微积分B2课程基础习题课讲义及习题答案
8p
)
@z @x
=
>>>>>><不2p|存yx| ,在,
>>>>>>:0,
p |y| p 2x
,
x > 0, x = 0且y 6= 0 x = 0, y = 0 x < 0.
y 6= 0 ，
y=0
3. 求下列偏导数：
(1)z
=
x+y xy
，求
@z @x
,
@z @y
；
(2)f (x,
y)
=
arctan
x2+y2 sin(x2+y2)
<
1 cos(x2+y2)
，即cos(x2
+ y2)
<
sin(x2+y2) x2+y2
<
1
* lim cos(x2 + y2) = 1 x!0 y!0
) lim f (x, y) = 1. x!0 y!0
(4)方法1：lim f (x, y) x!0
=
lim
x!0
1
cos(xy) x2+y2
y)
=
p x
ln(x
+
y)；
(2)f (x, y) = ln(y
x2)；
x
(3)f (x, y)
=
ey ；
xy
(4)f
(x,
y)
=
arcsin
x y
.
解：(1)由x 0, x + y > 0得该函数的定义域为{(x, y) | x
0且x + y > 0}.
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即 f g( x) : f (g( x))
例 (1) y f (u) eu , u g( x) sin x,
则有 f ( g( x)) esin x x ( , )
(2) y f (u) u, u g( x) x2 ,
则有 f (g( x)) x2 x
2020/11/13
sinh x 1 (e x ex ) 2
双曲余弦 cosh x 1 (e x ex ) 2
双曲正切
tanh
x
sinh x cosh xຫໍສະໝຸດ ex exex ex
2020/11/13 x ( , )
34
反双曲正弦 arcsinhx ln(x 1 x2 ) x (, )
反双曲余弦 arccoshx ln(x x2 1)
3.逻 辑 符 号
（1）全称量词“” “” 表 示 “ 任 意 的 ” 。 例如“：x R”表示“对于任意的实数x”。
（2） 存 在 量 词 “” “”表示“存在”。 例如“：a,b Q,a b,c Q且c （a,b）”
表 示 “ 任 意 两 个 有 理 数a , b之 间 ， 存 在
有 理 数c". 2020/11/13
星期五 课后
理科楼 数学系 1111
2020/11/13
6
引言
（一）上大学学什麽？
• 珍惜时光
• 三个方面 做人之道, 治学之方, 健身之术
• 学会自学 学会向书本、老师、周围学
尝试研究性的学习方法： 提出问题、研究问题、解决问题
注重持续性学习：
有计划地安排学习
2020/11/13
7
（二）学数学学什麽？ 数学的基本特征
x x0 x0 x x0
x0 O
x0
x0
x
N(x0, ) {x x x0 } (x0 , x0 )
数 集{ x 0 x x0 } N *( x0, )称 为
点 x 的 空 心 邻 域 2020/011/13 ( x0 , x0 ) {1x3 0 }
14
二、函数概念
存在
唯一
定义： 设 D R为 非 空 数 集.
如 果 x D , 按 确 定 的 规 则f , !实 数
y 与 之 对 应, 记 作 y f ( x).则 称 f 为 定 义
在D上 的 一 个 函 数.
或记 f : D R
x —自变量, y —因变量, D —定义域.
{ y y R, y f ( x), x D}— 值 域 f (D)
[例如] 2.5 2 y 2.5 3
3
•
2
•
1 •
3 2 1 O•
1234
x
因 为x (, ), 有 e x 0 和 e x 0
所以, y e x和 y e x 在(, )上,
有 下 界, 无 上 界.
2020/11/13
20
[问题] 如何定义无界函数？
如 果 对 任 意 的 正 数M 0,总 存 在x* D,
使 得 f ( x* ) M ,则 称 函 数 f 在 D 上 无 界.
,
则 x ( x1 , x2 ) , 有x 1 x1 2 x2
其中0 1, 2 1 , 且 1 2 1
2020/11/13
24
弦线AB的方程为
Y(x)
f ( x1 )
f
(
x2 ) x2
f( x1
x1
)
(
x
x1
)
x ( x1, x2 ) , 有
Y ( x) Y (1 x1 2 x2 )
f 1 的 值 域 是f 的 定 义 域D.
2020/11/13
31
[例2] 设 y f ( x) sin x 则 f :[ , ] [1, 1] 严格单调
22 有反函数
x f 1( y) arcsin y y [1, 1]
[例3] y e x (, ) (0, )
有反函数
是严格单调函数
x f 1( y) ln y y (0, )
习惯上, 记 y ln x x (0, )
2020/11/13
32
五、 初等函数
基本初等函数
（1）常量函数 y c (常 数) （2）幂函数 y x
e是无理数
（3）指数函数 y a x (a 0) y e x
（4）对数函数 y log a x y ln x : loge x
则有 f ( g( x)) ln( x2 1), x (, 1) (1, ).
2020/11/13
29
2. 反函数
在函数定义中，要求函数是单值的，即
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) 但 是, x1 x2 , 不 一定 有 f ( x1 ) f ( x2 )
如果 x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 )
2020/11/13
定义域不同， 表 示 的 是 不 同 的 函16 数
三、函数的初等性质
1. 函数的奇偶性
x D, f ( x) f ( x), f ( x)称为奇函数
x D, f ( x) f ( x), f ( x)称为偶函数
2. 函数的增减性
x1 , x2 I , x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 )
3. 函数的周期性
T 0,x R f ( x T ) f ( x ) 称 f 为周期函数 若 f 有最小周期T ,则称T 是 f 的周期
[注意] 并不是所有的函数都有最小周期 例如：考察狄里克雷函数
1, 当x为有理数
(x)
0,
当x为无理数
2020/11/13
18
4. 函数的有界性
定义： (1) 如果存在一个实数M , 使得对 每一个x D,都有 f ( x ) M, 则称函 数f 在 D 上是有 上界的.
u g( x),并 且 g的 值 域R( g)与 f 的 定 义 域D( f )的 交 集 非 空, 这 时 在 集 合
D {x x D(g), 且 g( x) D( f )}上,
可以确定一个函数y f (g( x)),则称
这个函数为由f 与g 构成的复合函数.
2020/11/13
27
记作 f g
极限的直观定义与计算 导数与微分的概念与计算
微分学应用
• 一元函数积分 • 简单微分方程
2020/11/13
不定积分 定积分概念与计算 积分学应用
10
第一讲 函数
一、予备知识
二、函数概念
三、函数的初等性质
四、复合函数与反函数
五、初等函数
2020/11/13
11
一、予备知识
1. 常用的数的集合
N {0，1，2,，n,} 自然数集
抽象性 （研究对象）
演绎性 广泛性
（论证方法）
假设
结论
logic
（应用）
理性 思维
2020/11/13
8
关于学习数学的要求 1)搞清概念，侧重思路。 2)适当做题，掌握基本。 3)广泛联想，多方应用。
2020/11/13
9
（三）这个学期学什麽？
利用极限研究函数的种种表达及其诸多 性质
• 一元函数微分
x (, )
28
(3) f (u) arcsin u, g( x) e x 1.
因为 D( f ) [1, 1], R(g) (1, ),
D( f ) R(g) .
所以, 不能构成复合函数 f (g( x)).
(4) y f (u) ln u, u g( x) x2 1,
x
2020/11/13
22
y 凹的（上凸）
y f (x)
B
A
o x1 x
2020/11/13
x2
x
23
x ( x1, x2 ) , x可 表 示 为 如 下 形 式 ：
记 x x1 k, (k 0)
x2 x
可解出
1
k
x 1 k x1 1 k x2 ,
令1
1 1 k
,
2
k 1 k
3. 《微积分学习指导》韩云瑞等
清华大学出版社
4. 《大学数学概念、方法与技巧 》
微积分部分
刘坤林等
2020/11/13
清华大学出版社 4
作业
P3 习题1.1 4(2)(4)(6). 7.
P7 习题1.2 2. 5. P12 习题1.3 7. 9.
预习：P27—39
2020/11/13
5
交作业时间： 星期一 答疑时间地点：
则 在 定 义 域D与 值 域 f (D) 之 间 就 有 如下 关 系
y f (D), ! x D, 使得 y f ( x)
这是一个由 f (D)到D 新的对应关系, 称为函数
y f ( x)的反函数.
记作 x f 1( y) y f (D)
2020/11/13
30
由定义可以知道：
反 函 数 f 1 的 定 义 域 是 函 数 f 的 值 域 f ( D)；
x [1, )
反双曲正切
2020/11/13
arctanhx 1 ln 1 x 2 1 x
x (1, 1) 35
非初等函数的例子
1,
（1）符号函数
y
sgn
x
0,
y
1
1,
x 0, x 0, x 0.
O•
x
1
[注意] x x sgn x
2020/11/13
36
（2）取整函数
y x: k (k x k 1, k Z )
（5）三角函数 sin x, cos x, tan x, cot x
例 (1) y f (u) eu , u g( x) sin x,
则有 f ( g( x)) esin x x ( , )
(2) y f (u) u, u g( x) x2 ,
则有 f (g( x)) x2 x
2020/11/13
sinh x 1 (e x ex ) 2
双曲余弦 cosh x 1 (e x ex ) 2
双曲正切
tanh
x
sinh x cosh xຫໍສະໝຸດ ex exex ex
2020/11/13 x ( , )
34
反双曲正弦 arcsinhx ln(x 1 x2 ) x (, )
反双曲余弦 arccoshx ln(x x2 1)
3.逻 辑 符 号
（1）全称量词“” “” 表 示 “ 任 意 的 ” 。 例如“：x R”表示“对于任意的实数x”。
（2） 存 在 量 词 “” “”表示“存在”。 例如“：a,b Q,a b,c Q且c （a,b）”
表 示 “ 任 意 两 个 有 理 数a , b之 间 ， 存 在
有 理 数c". 2020/11/13
星期五 课后
理科楼 数学系 1111
2020/11/13
6
引言
（一）上大学学什麽？
• 珍惜时光
• 三个方面 做人之道, 治学之方, 健身之术
• 学会自学 学会向书本、老师、周围学
尝试研究性的学习方法： 提出问题、研究问题、解决问题
注重持续性学习：
有计划地安排学习
2020/11/13
7
（二）学数学学什麽？ 数学的基本特征
x x0 x0 x x0
x0 O
x0
x0
x
N(x0, ) {x x x0 } (x0 , x0 )
数 集{ x 0 x x0 } N *( x0, )称 为
点 x 的 空 心 邻 域 2020/011/13 ( x0 , x0 ) {1x3 0 }
14
二、函数概念
存在
唯一
定义： 设 D R为 非 空 数 集.
如 果 x D , 按 确 定 的 规 则f , !实 数
y 与 之 对 应, 记 作 y f ( x).则 称 f 为 定 义
在D上 的 一 个 函 数.
或记 f : D R
x —自变量, y —因变量, D —定义域.
{ y y R, y f ( x), x D}— 值 域 f (D)
[例如] 2.5 2 y 2.5 3
3
•
2
•
1 •
3 2 1 O•
1234
x
因 为x (, ), 有 e x 0 和 e x 0
所以, y e x和 y e x 在(, )上,
有 下 界, 无 上 界.
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20
[问题] 如何定义无界函数？
如 果 对 任 意 的 正 数M 0,总 存 在x* D,
使 得 f ( x* ) M ,则 称 函 数 f 在 D 上 无 界.
,
则 x ( x1 , x2 ) , 有x 1 x1 2 x2
其中0 1, 2 1 , 且 1 2 1
2020/11/13
24
弦线AB的方程为
Y(x)
f ( x1 )
f
(
x2 ) x2
f( x1
x1
)
(
x
x1
)
x ( x1, x2 ) , 有
Y ( x) Y (1 x1 2 x2 )
f 1 的 值 域 是f 的 定 义 域D.
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31
[例2] 设 y f ( x) sin x 则 f :[ , ] [1, 1] 严格单调
22 有反函数
x f 1( y) arcsin y y [1, 1]
[例3] y e x (, ) (0, )
有反函数
是严格单调函数
x f 1( y) ln y y (0, )
习惯上, 记 y ln x x (0, )
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32
五、 初等函数
基本初等函数
（1）常量函数 y c (常 数) （2）幂函数 y x
e是无理数
（3）指数函数 y a x (a 0) y e x
（4）对数函数 y log a x y ln x : loge x
则有 f ( g( x)) ln( x2 1), x (, 1) (1, ).
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29
2. 反函数
在函数定义中，要求函数是单值的，即
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) 但 是, x1 x2 , 不 一定 有 f ( x1 ) f ( x2 )
如果 x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 )
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定义域不同， 表 示 的 是 不 同 的 函16 数
三、函数的初等性质
1. 函数的奇偶性
x D, f ( x) f ( x), f ( x)称为奇函数
x D, f ( x) f ( x), f ( x)称为偶函数
2. 函数的增减性
x1 , x2 I , x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 )
3. 函数的周期性
T 0,x R f ( x T ) f ( x ) 称 f 为周期函数 若 f 有最小周期T ,则称T 是 f 的周期
[注意] 并不是所有的函数都有最小周期 例如：考察狄里克雷函数
1, 当x为有理数
(x)
0,
当x为无理数
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18
4. 函数的有界性
定义： (1) 如果存在一个实数M , 使得对 每一个x D,都有 f ( x ) M, 则称函 数f 在 D 上是有 上界的.
u g( x),并 且 g的 值 域R( g)与 f 的 定 义 域D( f )的 交 集 非 空, 这 时 在 集 合
D {x x D(g), 且 g( x) D( f )}上,
可以确定一个函数y f (g( x)),则称
这个函数为由f 与g 构成的复合函数.
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27
记作 f g
极限的直观定义与计算 导数与微分的概念与计算
微分学应用
• 一元函数积分 • 简单微分方程
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不定积分 定积分概念与计算 积分学应用
10
第一讲 函数
一、予备知识
二、函数概念
三、函数的初等性质
四、复合函数与反函数
五、初等函数
2020/11/13
11
一、予备知识
1. 常用的数的集合
N {0，1，2,，n,} 自然数集
抽象性 （研究对象）
演绎性 广泛性
（论证方法）
假设
结论
logic
（应用）
理性 思维
2020/11/13
8
关于学习数学的要求 1)搞清概念，侧重思路。 2)适当做题，掌握基本。 3)广泛联想，多方应用。
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9
（三）这个学期学什麽？
利用极限研究函数的种种表达及其诸多 性质
• 一元函数微分
x (, )
28
(3) f (u) arcsin u, g( x) e x 1.
因为 D( f ) [1, 1], R(g) (1, ),
D( f ) R(g) .
所以, 不能构成复合函数 f (g( x)).
(4) y f (u) ln u, u g( x) x2 1,
x
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22
y 凹的（上凸）
y f (x)
B
A
o x1 x
2020/11/13
x2
x
23
x ( x1, x2 ) , x可 表 示 为 如 下 形 式 ：
记 x x1 k, (k 0)
x2 x
可解出
1
k
x 1 k x1 1 k x2 ,
令1
1 1 k
,
2
k 1 k
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4. 《大学数学概念、方法与技巧 》
微积分部分
刘坤林等
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作业
P3 习题1.1 4(2)(4)(6). 7.
P7 习题1.2 2. 5. P12 习题1.3 7. 9.
预习：P27—39
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5
交作业时间： 星期一 答疑时间地点：
则 在 定 义 域D与 值 域 f (D) 之 间 就 有 如下 关 系
y f (D), ! x D, 使得 y f ( x)
这是一个由 f (D)到D 新的对应关系, 称为函数
y f ( x)的反函数.
记作 x f 1( y) y f (D)
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30
由定义可以知道：
反 函 数 f 1 的 定 义 域 是 函 数 f 的 值 域 f ( D)；
x [1, )
反双曲正切
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arctanhx 1 ln 1 x 2 1 x
x (1, 1) 35
非初等函数的例子
1,
（1）符号函数
y
sgn
x
0,
y
1
1,
x 0, x 0, x 0.
O•
x
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[注意] x x sgn x
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（2）取整函数
y x: k (k x k 1, k Z )
（5）三角函数 sin x, cos x, tan x, cot x