第四章稳定性
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如果x(t)为无界，则称xe不稳定。 在经典控制理论中，只有渐近稳定的系统才称做稳定系统。 只在李雅普诺夫意义下稳定，但不是渐近稳定的系统则称临界 稳定系统，这在工程上属于不稳定系统。
经典控制理论(线性系统） 不稳定 (Re(s)>0) 临界情况 (Re(s)=0) 稳定 (Re(s)<0) Lyapunov意义下 不稳定 稳定 渐近稳定
可通过线性化处理，取其一次近似得到线性化方
程，然后再根据其特征根来判断系统的稳定性。
李亚普诺夫第二法
李亚普诺夫第二方法又称直接法。它的基本思想不是通过 求解系统的运动方程，而是借助了一个李亚普诺夫函数来
直接对系统平衡状态的稳定性做出判断，它是从能量观点
进行稳定性分析的。如果一个系统被激励后，其储存的能 量随着时间的推移逐渐衰减，到达平衡状态时，能量将达 最小值，那么，这个平衡状态是渐近稳定的。反之，如果 系统不断地从外界吸收能量，储能越来越大，那么这个平
3、大范围渐近稳定
如果平衡状态xe是稳定的，而且从状态空间中所有初始状态出 发的轨线都具有渐近稳定性，称这种平衡状态xe大范围渐近稳 定。
显然，大范围渐近稳定的必要条件是在整个状态空间中只有一 个平衡状态。 对于线性系统来说，由于满足叠加原理，如果平衡状态是渐近 稳定的，则必然是大范围渐近稳定的。 对于非线性系统，使xe为渐近稳定平衡状态的球域s()一般是不 大的，常称这种平衡状态为小范围渐近稳定。
渐进稳定
如果平衡状态xe是稳定的，而且当t无限增长时，轨线不仅不超 出s()，而且最终收敛于xe，则称这种平衡状态xe渐近稳定。
从实际意义上说，渐近稳定比稳定更重要。 但渐近稳定是一个局部概念，通常只确定某平衡状态的渐近稳 定性并不意味着整个系统就能正常运行。
因此，如何确定渐近稳定的最大区域，并且尽可能扩大其范围 是尤其重要的。
x描述了系统在n维状态空间中从初始条件(t0,x0)出发的一条状 态运动的轨线，称系统的运动或状态轨线
பைடு நூலகம்衡状态
若系统存在状态向量xe，对所有t，都使：
f (x e , t ) 0
成立，则称xe为系统的平衡状态。 对于一个任意系统，不一定都存在平衡状态，有时即使存在也 未必是唯一的。
f (x, t ) Ax x
衡状态就是不稳定的。如果系统的储能既不增加，也不消
耗，那么这个平衡状态就是李亚普诺夫意义下的稳定。
4.1 稳定性基本概念 4.2 李雅普诺夫意义下的稳定性
4.3 李雅普诺夫第一法
4.4 李雅普诺夫第二法 4.5 线性定常系统渐进稳定性判别法
4.2 李雅普诺夫关于稳 定性的定义
线性系统的稳定性只决定于系统的结构和参数，而与系统的初 始条件及外界扰动的大小无关。 非线性系统的稳定性则还与初始条件及外界扰动的大小有关。 因此在经典控制理论中没有给出稳定性的一般定义。 李雅普诺夫给出了对任何系统都普遍适用的稳定性的一般定义
研究系统稳定性的方法：
经典方法：
罗斯-霍维兹稳定性判据
Routh-Hurwitz稳定性判 据 第一法 第二法
现代方法：李亚普诺夫稳定性
李亚普诺夫第一法
李亚普诺夫第一法又称间接法。它的基本思路是
通过系统状态方程的解来判别系统的稳定性。对
于线性定常系统，只需解出特征方程的根即可作
出稳定性判断；对于非线性不很严重的系统，则
4、不稳定
如果对于某个实数>0和任一实数>0，不管这个实数多么小， 由s()内出发的状态轨线，至少有一个轨线越过s()，则称这种 平衡状态xe不稳定。
球域s()限制着初始状态x0的取值，球域s()规定了系统自由响 应 x (t; x 0 , t 0 ) 的边界。
如果x(t)为有界，则称xe稳定。 如果x(t)不仅有界而且有： lim x(t ) 0 则称xe渐近稳定
一、系统状态的运动及平衡状态
设所研究的齐次状态方程为：
f ( x, t ) x
f为与x同维的向量函数，是x的各元素x1,x2,,xn和时间t的函数。
运动、状态轨线
设方程式在给定初始条件(t0,x0)下，有唯一解：
x (t; x 0 , t 0 ) x 0 (t 0 ; x 0 , t 0 ) 表示x在初始时刻t0的状态。
稳定性问题都是相对于某个平衡状态而言的。 线性定常系统，其所有平衡状态的稳定性都是一样的，所以才 笼统地讲所谓的系统稳定性问题。 对其余系统则由于可能存在多个平衡点，而不同平衡点可能表 现出不同的稳定性，因此必须逐个加以讨论。
1、李雅普诺夫意义下稳定
若对应于每一个s()，都存在一个s()，使当t无限增长时，从 s()出发的状态轨线(系统的响应)总不离开s()，即系统响应的 幅值是有界的，则称平衡状态xe为李雅普诺夫意义下的稳定， 简称为稳定。
第四章稳定性
1982年，俄国学者李雅普诺夫提出的 稳定性定理采用了状态向量来描述， 适用于单变量，线性，非线性，定常， 时变，多变量等系统。
一个实际的系统必须是稳定的，不 稳定的系统是不可能付诸于工程实 施的。 系统的稳定性，表示系统在遭 受外界扰动偏离原来的平衡状态， 而在扰动消失后，系统自身仍有能 力恢复到原来平衡状态的一种“顽 性”。
当A为非奇异矩阵时，满足Axe0的解xe=0是系统唯一存在的一 个平衡状态。 而当A为奇异矩阵时，则系统将有无穷多个平衡状态。
对非线性系统，通常可有一个或多个平衡状态。
1 x1 x 3 x x x x 1 2 2 2
0 0 0 x e1 , x e2 , x e1 0 1 1
如果x(t)为无界，则称xe不稳定。 在经典控制理论中，只有渐近稳定的系统才称做稳定系统。 只在李雅普诺夫意义下稳定，但不是渐近稳定的系统则称临界 稳定系统，这在工程上属于不稳定系统。
经典控制理论(线性系统） 不稳定 (Re(s)>0) 临界情况 (Re(s)=0) 稳定 (Re(s)<0) Lyapunov意义下 不稳定 稳定 渐近稳定
可通过线性化处理，取其一次近似得到线性化方
程，然后再根据其特征根来判断系统的稳定性。
李亚普诺夫第二法
李亚普诺夫第二方法又称直接法。它的基本思想不是通过 求解系统的运动方程，而是借助了一个李亚普诺夫函数来
直接对系统平衡状态的稳定性做出判断，它是从能量观点
进行稳定性分析的。如果一个系统被激励后，其储存的能 量随着时间的推移逐渐衰减，到达平衡状态时，能量将达 最小值，那么，这个平衡状态是渐近稳定的。反之，如果 系统不断地从外界吸收能量，储能越来越大，那么这个平
3、大范围渐近稳定
如果平衡状态xe是稳定的，而且从状态空间中所有初始状态出 发的轨线都具有渐近稳定性，称这种平衡状态xe大范围渐近稳 定。
显然，大范围渐近稳定的必要条件是在整个状态空间中只有一 个平衡状态。 对于线性系统来说，由于满足叠加原理，如果平衡状态是渐近 稳定的，则必然是大范围渐近稳定的。 对于非线性系统，使xe为渐近稳定平衡状态的球域s()一般是不 大的，常称这种平衡状态为小范围渐近稳定。
渐进稳定
如果平衡状态xe是稳定的，而且当t无限增长时，轨线不仅不超 出s()，而且最终收敛于xe，则称这种平衡状态xe渐近稳定。
从实际意义上说，渐近稳定比稳定更重要。 但渐近稳定是一个局部概念，通常只确定某平衡状态的渐近稳 定性并不意味着整个系统就能正常运行。
因此，如何确定渐近稳定的最大区域，并且尽可能扩大其范围 是尤其重要的。
x描述了系统在n维状态空间中从初始条件(t0,x0)出发的一条状 态运动的轨线，称系统的运动或状态轨线
பைடு நூலகம்衡状态
若系统存在状态向量xe，对所有t，都使：
f (x e , t ) 0
成立，则称xe为系统的平衡状态。 对于一个任意系统，不一定都存在平衡状态，有时即使存在也 未必是唯一的。
f (x, t ) Ax x
衡状态就是不稳定的。如果系统的储能既不增加，也不消
耗，那么这个平衡状态就是李亚普诺夫意义下的稳定。
4.1 稳定性基本概念 4.2 李雅普诺夫意义下的稳定性
4.3 李雅普诺夫第一法
4.4 李雅普诺夫第二法 4.5 线性定常系统渐进稳定性判别法
4.2 李雅普诺夫关于稳 定性的定义
线性系统的稳定性只决定于系统的结构和参数，而与系统的初 始条件及外界扰动的大小无关。 非线性系统的稳定性则还与初始条件及外界扰动的大小有关。 因此在经典控制理论中没有给出稳定性的一般定义。 李雅普诺夫给出了对任何系统都普遍适用的稳定性的一般定义
研究系统稳定性的方法：
经典方法：
罗斯-霍维兹稳定性判据
Routh-Hurwitz稳定性判 据 第一法 第二法
现代方法：李亚普诺夫稳定性
李亚普诺夫第一法
李亚普诺夫第一法又称间接法。它的基本思路是
通过系统状态方程的解来判别系统的稳定性。对
于线性定常系统，只需解出特征方程的根即可作
出稳定性判断；对于非线性不很严重的系统，则
4、不稳定
如果对于某个实数>0和任一实数>0，不管这个实数多么小， 由s()内出发的状态轨线，至少有一个轨线越过s()，则称这种 平衡状态xe不稳定。
球域s()限制着初始状态x0的取值，球域s()规定了系统自由响 应 x (t; x 0 , t 0 ) 的边界。
如果x(t)为有界，则称xe稳定。 如果x(t)不仅有界而且有： lim x(t ) 0 则称xe渐近稳定
一、系统状态的运动及平衡状态
设所研究的齐次状态方程为：
f ( x, t ) x
f为与x同维的向量函数，是x的各元素x1,x2,,xn和时间t的函数。
运动、状态轨线
设方程式在给定初始条件(t0,x0)下，有唯一解：
x (t; x 0 , t 0 ) x 0 (t 0 ; x 0 , t 0 ) 表示x在初始时刻t0的状态。
稳定性问题都是相对于某个平衡状态而言的。 线性定常系统，其所有平衡状态的稳定性都是一样的，所以才 笼统地讲所谓的系统稳定性问题。 对其余系统则由于可能存在多个平衡点，而不同平衡点可能表 现出不同的稳定性，因此必须逐个加以讨论。
1、李雅普诺夫意义下稳定
若对应于每一个s()，都存在一个s()，使当t无限增长时，从 s()出发的状态轨线(系统的响应)总不离开s()，即系统响应的 幅值是有界的，则称平衡状态xe为李雅普诺夫意义下的稳定， 简称为稳定。
第四章稳定性
1982年，俄国学者李雅普诺夫提出的 稳定性定理采用了状态向量来描述， 适用于单变量，线性，非线性，定常， 时变，多变量等系统。
一个实际的系统必须是稳定的，不 稳定的系统是不可能付诸于工程实 施的。 系统的稳定性，表示系统在遭 受外界扰动偏离原来的平衡状态， 而在扰动消失后，系统自身仍有能 力恢复到原来平衡状态的一种“顽 性”。
当A为非奇异矩阵时，满足Axe0的解xe=0是系统唯一存在的一 个平衡状态。 而当A为奇异矩阵时，则系统将有无穷多个平衡状态。
对非线性系统，通常可有一个或多个平衡状态。
1 x1 x 3 x x x x 1 2 2 2
0 0 0 x e1 , x e2 , x e1 0 1 1