2014年学大伟业国庆数学联赛(黄利兵)

22. 设整数 a, b 满足 a > b > 1 且 b 为奇数, n 为正整数. 如果 bn|an − 1, 证明 ab > 3n/n.
组合与数论问题选讲
3
23. 如果存在正整数 m, n 使得 (m2 + n)(n2 + m) = a(m − n)3, 则称整数 a 为 友好的. (1) 证明: 在 {1, 2, · · · , 2012} 中, 至少有 500 个是友好的; (2) 判断 2 是否友好.
18. 对于正整数 n ≥ 3, 证明存在互不相等的正整数 a1, a2, · · · , an, 使得 ∏ ak ≡ 1 (mod ai), i = 1, 2, · · · , n.
1≤k≤n,k̸=i
19. 给定有理数 r, (1) 是否存在若干个有理数 x1, x2, · · · , xn, 使得 x1x2 · · · xn = 1, x1 + x2 + · · · + xn = r? (2) 是否存在若干个有理数 x1, x2, · · · , xn, 使得 x1x2 · · · xn = r, x1 + x2 + · · · + xn = 1?
13. 平面上 n 条一般位置的直线将平面划分为若干个区域. 证明: 其中三角形区 域至少有 n − 2 个.
14. 求所有这样的数列 x0, x1, x2, · · · , xn, 使得 xj 恰好等于 j 在该数列中出现 的次数, j = 0, 1, 2, · · · , n.
15. 黑板上写着 1, 2, · · · , n. 每次, 可擦去两个数 x 和 y, 并写上 2x + 2y. 反复 进行此操作, 直到黑板上只剩下一个数 a. 证明: a > 4n3/9.
20. 设 p ≥ 5 为素数, N = (p − 1)p + 1. (1) 证明 N 有异于 p 的素因子. (2) 若
∏ni=1pai i Nhomakorabea是
N
的素因数分解式,
证明
∑n
i=1
ai
pi
≥
p2/2.
21. 给定正整数 m 和 n, 证明存在正整数 c, 使得 cm 和 cn 的数字中包含同样多 个 1, 同样多个 2, · · · , 同样多个 9.
3. 在凸 n 边形内部有 m 个点, 使得这 n + m 个点中任意三点不共线. 现将每 个点染以两种颜色之一, 使得某些点之间能用线段连接, 而且: (1) 每条线段 的端点颜色相同; (2) 任意两条线段不相交; (3) 任意两个同色的点能通过若 干条线段连接. 求染色方法的种数.
4. 一只青蛙在格点之间跳动. 每次, 它允许从 (a, b) 跳向 (a + 1, b), 或 (a, b + 1), 或 (a + 1, b + 1). 如果在青蛙的路线中没有直角, 它从 (0, 0) 跳到 (n, n) 有多 少种不同的跳法?
1
≤
i
<
j
≤
r
且
r
≥
[
1 n
Cnm
].
1
2
组合与数论问题选讲
11. 设集合 A 有 2n 个元素, n > 10. 它的 m 个 n 元子集 A1, A2, · · · , Am 满足 |Ai ∩ Aj ∩ Ak| ≤ 1, 1 ≤ i < j < k ≤ m, 求 m 的最大值.
12. 一个 2009 元集合 X 有 n 个子集 A1, A2, · · · , An, 满足 |Ai| ≥ 4 (1 ≤ i ≤ n) 且 |Ai ∩ Aj| ≤ 2(1 ≤ i < j ≤ n). 证明: 存在一个 24 元子集 B, 使得 Ai(1 ≤ i ≤ n) 都不是 B 的子集.
36. 给定正实数 α, 证明: 存在无穷多个正整数 n, 使得 [αn2] 为偶数.
( 1 )(
1 )( 1 )
k − m − n − ≤ kmn − (k + m + n).
k
m
n
30. 将 1, 2, · · · , n2 填入一个 n × n 方格表中 (每格填一个数), 使得任意 n 个彼 此既不同行也不同列的格子中的数, 其乘积被 n2 + 1 除的余数都相同. 问: 对于 n = 8, 这是否可能? n = 10 呢?
27. 给定素数 p = n2 + 1. 求下述方程的正整数解: x2 − (n2 + 1)y2 = n2.
28. 设 p > 5 为素数, 如果存在整数 k, 使得 p|k2 + 5, 证明: 存在正整数 m, n, 使 得 p2 = m2 + 5n2.
29. 设 k, m, n 是互不相等的正整数, 证明
组合与数论问题选讲
1. 设 a1, a2, · · · , a2014 是 1, 2, · · · , 2014 的排列, 且当 1 ≤ i < j ≤ 2014 时有 i + ai ≤ j + aj. 求这样的排列的个数.
2. 设 m. n 为整数且 m ≥ 2, n ≥ 2. 将一个 m × n 方格表的每一格都用四种颜 色之一来染, 使得每个 2 × 2 的子方格表中的 4 个格子颜色互不相同. 一共 有多少种不同的染法?
34. 若存在有理数 a, b 使得 a + b 和 an + bn 都是整数, 但 a, b 都不是整数, 求 正整数 n > 1 的所有可能值.
35.
是否存在正整数
n,
使得
√n,
√ n
+
1,
···,
√ n + 999
这
1000
个数中,
小数
点后第 200 位数字为 0, 1, · · · , 9 的恰好各有 100 个?
9. 集合 A1, A2, · · · , A11 满足 |Ai| = 45(1 ≤ i ≤ 11), 且 |Ai ∩ Aj| = 9(1 ≤ i < j ≤ 11), 证明 |A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ A11| ≥ 165, 并给出等号成立的例子.
10. 证明存在 {1, 2, · · · , n} 的 r 个 m 元子集 A1, · · · , Ar, 使得 |Ai ∩ Aj| ≤ m − 2,
24. 设正奇数 m, n ≥ 3. 证明: 2m − 1 3n − 1.
25. 设 m, n 为正整数. 证明 6m|(2m + 3)n + 1 当且仅当 4m|3n + 1.
26. (1) 求所有素数 p 使得 (7p−1 − 1)/p 为完全平方数; (2) 求所有素数 p 使得 (11p−1 − 1)/p 为完全平方数.
7. 如果存在 {1, 2, · · · , n} 的一个排列 a1, a2, · · · , an, 使得 |a1 − 1|, |a2 − 2|, · · · , |an − n| 互不相等, 求 n 的所有可能值.
8. 有 10 套试卷, 每套包含 4 道题. 已知每两套试卷至多只有 1 道题相同, 不同 的题目至少有多少道?
16. 设 S = {1, 2, · · · , n}(n ≥ 2). 起初, 我们在黑板上写下 S 的所有 1 元子集. 此后, 每次操作是指: 选择黑板上的两个不相交的子集 A 和 B, 写下 A ∪ B. 为了得到 S 的所有 n − 1 元子集, 至少需要多少次操作?
17. 给定正整数 a, b 且 a > b. 三个非负整数 x, y, z 若满足 x > y > z 且 {x − y, y − z} = {a, b}, 则称 {x, y, z} 为好集合. 证明: N 可以写为互不相交 的好集合的并集.
31. 求所有的正整数 n, 使得存在两个不相等的 n 位正整数 a 和 b, 使得 10na + b 能被 10nb + a 整除.
32. 求所有的正整数 n, 使得存在正整数 m, 它能被 1, 2, · · · , n 整除, 但不能被 n + 1, n + 2, n + 3 整除.
33. 证明: 至少有 31 组正整数 (x, y) 满足 4x3 − 3x + 1 = 2y2 且 x ≤ 2005.
5. 正 n 边形的每个顶点、每条边以及每条对角线都被染上 m 种颜色之一. 已 知每两个有公共边的边或对角线所染的颜色不相同, 每条边或对角线与它的 两个端点染色不同, 求 m 的最小可能值.
6. 设 n ≥ 7 为奇数. 将一个 n × n 棋盘进行黑白相间的染色, 使四个顶点处的 方格均为黑色. 现在, 用 m 个 L 形 (即 2 × 2 方格表中去掉一格) 盖住所有 黑色方格, 求 m 的最小可能值.