18届竞赛学案--神奇的圆锥曲线

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2018届浙江省高考试题逐类透析――圆锥曲线

七、平面解析几何（二）圆锥曲线一、高考考什么？[考试说明]5．掌握椭圆、抛物线的定义、标准方程、几何图形及简单几何性质。

6．会解决直线与圆、椭圆、抛物线的位置关系的问题，会判断圆与圆的位置关系。

7．了解双曲线的定义、标准方程、几何图形及简单几何性质，了解直线与双曲线的位置关系。

8. 了解方程与曲线的对应关系，会求简单的曲线的方程。

[知识梳理]弦长公式：若直线与圆锥曲线相交于两点A（）、B（），则：＝＝通径：椭圆、双曲线，抛物线定义及基本量：椭圆双曲线抛物线定义基本量离心率抛物线：若的焦点弦为AB，，则：①②；③[全面解读]圆锥曲线是高中数学教学的核心内容之一，在高考数学中占有十分重要的地位，是高考的重点、热点和难点。

综观历年高考，试题中几乎考查了解析几何教学中的所有内容，重点考查了定义、位置关系、弦长、离心率、渐近线等问题，有较高的思维度和灵活性，通过一定量的计算，分析研究圆锥曲线的性质特点，充分考查解析几何的本质。

[难度系数] ★★★★☆二、高考怎么考？[原题解析][2004年]（4）曲线y2=4x关于直线x=2对称的曲线方程是( )A．y2=8-4x B．y2=4x-8 C．y2=16-4x D．y2=4x-16（9）若椭圆(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被抛物线y2=2bx 的焦点分成5∶3的两段，则此椭圆的离心率为 ( )A． B． C． D．[2005年]（13）过双曲线(a＞0，b＞0)的左焦点且垂直于轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_________．[2008年]（12）已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A、B两点若，则=___________。

[2009年]（9）过双曲线（）的右顶点A作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B,C.若=,则双曲线的离心率是（）A． B． C． D．[2010年]（8）设、分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )A． B．C． D．（13）设抛物线的焦点为，点.若线段的中点在抛物线上，则到该抛物线准线的距离为________。

2018年高考数学(理)二轮复习讲练测专题2.11圆锥曲线中的综合问题(讲)含解析

2018年高考数学（理）二轮复习讲练测热点十一圆锥曲线的综合问题纵观近几年高考圆锥曲线的综合问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，主要注重考查学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力.其中直线与椭圆、抛物线的位置关系常常与平面向量、三角函数、函数的性质、不等式等知识交汇命题.涉及求轨迹、与圆相结合、定点、定值、最值、参数范围、存在性问题等.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.1.求轨迹方程求轨迹方程的基本方法有：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等.（1）求轨迹方程时,先看轨迹的形状能否预知,若能预先知道轨迹为何种圆锥曲线,则可考虑用定义法求解或用待定系数法求解;否则利用直接法或代入法.（2）讨论轨迹方程的解与轨迹上的点是否对应,要注意字母的取值范围.例1【2017课标II，理】设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P 满足。

(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线上，且。

证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。

【答案】(1) 。

(2)证明略。

【解析】（2）由题意知。

设,则，。

由得，又由（1）知，故。

所以，即。

又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F.例2【2018届湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高三2月联考】如图，一张坐标纸上一已作出圆及点，折叠此纸片，使与圆周上某点重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与直线的交点为，令点的轨迹为.（1）求轨迹的方程；（2）若直线与轨迹交于两个不同的点，且直线与以为直径的圆相切，若，求的面积的取值范围.【答案】 (1) ；(2) .试题解析：（1）折痕为的垂直平分线，则，由题意知圆的半径为，∴，∴的轨迹是以为焦点的椭圆，且，，∴，∴的轨迹的方程为.（2）与以为直径的圆相切，则到即直线的距离：，即，由，消去，得，∵直线与椭圆交于两个不同点，∴，，设，，则，，，又，∴，∴，设，则，∴，，∵关于在单调递增，∴，∴的面积的取值范围是.2. 圆锥曲线与圆相结合的问题处理有关圆锥曲线与圆相结合的问题,要特别注意圆心、半径及平面几何知识的应用,如直径对的圆心角为直角,构成了垂直关系;弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形.利用圆的一些特殊几何性质解题,往往使问题简化.例3【2017课标3，理20】已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C与A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.（1）证明：坐标原点O在圆M上；（2）设圆M过点，求直线l与圆M的方程.【答案】(1)证明略；(2)直线的方程为，圆的方程为 .或直线的方程为，圆的方程为 .【解析】所以，解得或 .当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为.当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为 .3.定值定点问题（1）求解定点和定值问题的基本思想是一致的,定值是证明求解的一个量与参数无关,定点问题是求解的一个点(或几个点)的坐标,使得方程的成立与参数值无关.解这类试题时要会合理选择参数(参数可能是直线的斜率、截距,也可能是动点的坐标等),使用参数表达其中变化的量,再使用这些变化的量表达需要求解的解题目标.当使用直线的斜率和截距表达直线方程时,在解题过程中要注意建立斜率和截距之间的关系,把双参数问题化为单参数问题解决.（2）证明直线过定点的基本思想是使用一个参数表示直线方程,根据方程的成立与参数值无关得出x,y的方程组,以方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点.例4【2018届河北省唐山市高三上学期期末】已知抛物线：的焦点，过点作两条互相垂直的直线，直线交于不同的两点，直线交于不同的两点，记直线的斜率为.(1)求的取值范围；(2)设线段的中点分别为点，证明：直线过定点.【答案】(1) {k|k＜－2或0＜k＜} (2)见解析【解析】试题分析：（1）写出直线的方程，与抛物线方程联立方程组，利用判别式求出的一个范围，另外直线的方程为与抛物线方程联立同样又得出的一个范围，两者求交集即得；（2）设，利用韦达定理可得即点坐标，用代替可得点坐标，计算出，得证结论．试题解析：（1）由题设可知k≠0，所以直线m的方程为y＝kx＋2，与y2＝4x联立，整理得ky2－4y＋8＝0，①由Δ1＝16－32k＞0，解得k＜．直线n的方程为y＝－x＋2，与y2＝4x联立，整理得y2＋4ky－8k＝0，由Δ2＝16k2＋32k＞0，解得k＞0或k＜－2．所以故k的取值范围为{k|k＜－2或0＜k＜}．（2）设A(x 1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)．由①得，y1＋y2＝，则y0＝，x0＝－，则M(－，)．同理可得N(2k2＋2k，－2k)．直线MQ的斜率k MQ＝＝，直线NQ的斜率k NQ＝＝＝k MQ，所以直线MN过定点Q(2，0)．例5【2018届河南省商丘市高三上学期期末】在平面直角坐标系中，已知两点，，动点满足，线段的中垂线交线段于点.（1）求点的轨迹的方程；（2）过点的直线与轨迹相交于两点，设点，直线的斜率分别为，问是否为定值？并证明你的结论.【答案】(1) ；(2)答案见解析.【解析】试题分析：（1）利用椭圆定义求出点的轨迹的方程；（2）讨论直线的斜率，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立方程得，利用根与系数关系表示，即可得到定值.试题解析：（Ⅰ）以题意可得：,，所以点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，且所以，所以轨迹的方程为.（Ⅱ）①当直线的斜率不存在时，由，解得，设，.②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，将代入整理化简，得，依题意，直线与轨迹必相交于两点，设，则，，又，，所以综上得：为定值2.（说明：若假设直线为，按相应步骤给分）4.最值、范围问题求解范围、最值问题的基本解题思想是建立求解目标与其他变量的关系(不等关系、函数关系等),通过其他变量表达求解目标,然后通过解不等式、求函数值域(最值)等方法确定求解目标的取值范围和最值.在解题时要注意其他约束条件对求解目标的影响,如直线与曲线交于不同两点时对直线方程中参数的约束、圆锥曲线上点的坐标范围等.例6【2018届吉林省长春市第十一高中、东北师范大学附属中学、吉林一中，重庆一中等五校高三1月联考】已知椭圆的短轴长为，离心率为，点，是上的动点，为的左焦点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若点在轴的右侧，以为底边的等腰的顶点在轴上，求四边形面积的最小值. 【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .试题解析：（Ⅰ）依题意得解得∴椭圆的方程是（Ⅱ）设设线段中点为∵∴中点，直线斜率为由是以为底边的等腰三角形∴∴直线的垂直平分线方程为令得∵∴由∴四边形面积当且仅当即时等号成立，四边形面积的最小值为.5.探索性问题解决直线与圆锥曲线位置关系的存在性问题,往往是先假设所求的元素存在,然后再推理论证,检验说明假设是否正确. 其解题步骤为:(1)先假设存在,引入参变量,根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组).(2)解此方程(组)或不等式(组),若有解则存在;若无解则不存在.(3)得出结论.例7【2018届河北省石家庄市高三上学期期末】已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点.（1）若以为直径的动圆内切于圆，求椭圆的长轴长；（2）当时，问在轴上是否存在定点，使得为定值？并说明理由.【答案】（Ⅰ）6（Ⅱ）见解析【解析】试题分析：（1）设的中点为，可得 ,当两个圆相内切时，两个圆的圆心距等于两个圆的半径差，即，所以，椭圆长轴长为；（2）先求得椭圆方程为，设直线AB方程为：，联立可得，设根据韦达定理及平面向量数量积公式可得，当即时为定值.试题解析：（Ⅰ）设的中点为M，在三角形中，由中位线得：当两个圆相内切时，两个圆的圆心距等于两个圆的半径差，即所以，椭圆长轴长为6.（Ⅱ）由已知，，所以椭圆方程为当直线AB斜率存在时，设直线AB方程为：设由得恒成立设当即时为定值当直线AB斜率不存在时，不妨设当时，为定值综上：在X轴上存在定点，使得为定值【反思提升】1.高考涉及考查轨迹问题通常是以下两类：一类是容易题，以定义法、相关点法、待定系数法等为主，另一类是高难度的纯轨迹问题，综合考查各种方法.“轨迹”、“方程”要区分求轨迹方程，求得方程就可以了；若是求轨迹，求得方程还不够，还应指出方程所表示的曲线类型（定形、定位、定量）.处理轨迹问题成败在于：对各种方法的领悟与解题经验的积累.所以在处理轨迹问题时一定要善于根据题目的特点选择恰当的方法（什么情况下用什么方法上面已有介绍，这里不在重复）确定轨迹的范围是处理轨迹问题的难点，也是学生容易出现错误的地方，在确定轨迹范围时，应注意以下几个方面：①准确理解题意，挖掘隐含条件；②列式不改变题意，并且要全面考虑各种情形；③推理要严密，方程化简要等价；④消参时要保持范围的等价性；⑤数形结合，查“漏”补“缺”.在处理轨迹问题时，要特别注意运用平面几何知识，其作用主要有：①题中没有给出明显的条件式时，可帮助列式；②简化条件式；③转化化归.2.涉及求取值范围的问题时,首先要找到产生范围的几个因素:(1)直线与曲线相交(判别式);(2)曲线上点的坐标的范围;(3)题目中给出的限制条件.其次要建立结论中的量与这些范围中的因素的关系;最后利用函数或不等式求变量的取值范围.3.解析几何中最值问题的基本解法有几何法和代数法.几何法是根据已知的几何量之间的相互关系,通过平面几何和解析几何的知识加以解决(如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等);代数法是建立求解目标关于某个或某两个变量的函数,通过求解函数的最值(普通方法、基本不等式方法、导数方法等)解决.4.存在性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存在.注意以下几点:(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论.(2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件.(3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要思维开放,采取另外的途径.。

2018圆锥曲线高考题全国卷真题汇总

20182010圆锥曲线高考题全国卷真题汇总(word版可编辑修改)
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，
A
点为
>0
两点，若，则圆。

专题16 圆锥曲线的综合应用(教学案)-2018年高考理数二轮复习精品资料(原卷版)

圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考的热点，主要以解答题的形式呈现，往往作为考题的压轴题之一，以椭圆或抛物线为背景，尤其是与条件或结论相关存在性开放问题，对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高要求．考点一圆锥曲线中的最值、范围圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解．例1、如图所示，设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF |－1.(1)求p 的值；(2)若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M ，求M 的横坐标的取值范围．【变式探究】已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．考点二定点、定值问题探究1．由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)，则直线必过定点(x 0，y 0)；若得到了直线方程的斜截式：y ＝kx ＋m ，则直线必过定点(0，m )．2．解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等与题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．例2、已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为32，A(a，0)，B(0，b)，O(0，0)，△OAB的面积为1.(1)求椭圆C的方程；(2)设P是椭圆C上一点，直线P A与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|·|BM|为定值．【方法规律】1．求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得出定值．2．定值问题求解的基本思路是使用参数表示要解决的问题，然后证明与参数无关，这类问题选择消元的方向是非常关键的．【变式探究】如图，椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)经过点A(0，－1)，且离心率为2 2.(1)求椭圆E的方程；(2)经过点(1，1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值．例3、已知焦距为22的椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右顶点为A，直线y＝43与椭圆C交于P，Q两点(P在Q的左边)，Q在x轴上的射影为B，且四边形ABPQ是平行四边形．(1)求椭圆C的方程；(2)斜率为k的直线l与椭圆C交于两个不同的点M，N.若M是椭圆的左顶点，D是直线MN上一点，且DA⊥AM.点G是x轴上异于点M的点，且以DN为直径的圆恒过直线AN和DG的交点，求证：点G是定点．【方法规律】1．动直线l过定点问题，设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m，0)．2．动曲线C过定点问题，引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．【变式探究】已知两点A (－2，0)，B (2，0)，动点P 在x 轴上的投影是Q ，且2P A →·PB →＝|PQ →|2. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过F (1，0)作互相垂直的两条直线交轨迹C 于点G ，H ，M ，N ，且E 1，E 2分别是GH ，MN 的中点．求证：直线E 1E 2恒过定点．考点三圆锥曲线中的存在性问题存在性问题的解题步骤：(1)先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)．(2)解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在． (3)得出结论．例3、已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，点A ⎝⎛⎭⎫1，22在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在斜率为2的直线，使得当该直线与椭圆C 有两个不同交点M ，N 时，能在直线y ＝53上找到一点P ，在椭圆C 上找到一点Q ，满足PM →＝NQ →？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．【方法规律】1．此类问题一般分为探究条件、探究结构两种．若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，不成立则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论．2．求解步骤：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在，否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．【变式探究】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，且过点P ⎝⎛⎭⎫1，32，F 为其右焦点． (1)求椭圆C 的方程；(2)设过点A (4，0)的直线l 与椭圆相交于M ，N 两点(点M 在A ，N 两点之间)，是否存在直线l 使△AMF 与△MFN 的面积相等？若存在，试求直线l 的方程；若不存在，请说明理由．1．(2017·全国卷Ⅱ)设点O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过点M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝2NM →.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .2.【2017课标1，理20】已知椭圆C ：2222=1x y a b +（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，32），P 4（1，3）中恰有三点在椭圆C 上.（1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.3.【2017课标II ，理】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =。

【课标通用】2018届高考数学(理)一轮课件：35-圆锥曲线的综合应用(含答案)

专题三十五
圆锥曲线的综合应用
考点80
考点81
考点82
考点83
试做真题
高手必备萃取高招对点精练
考点80轨迹与轨迹方程
��2 2 1.(2017 课标Ⅱ,理 20)设 O 为坐标原点,动点 M 在椭圆 C: +y =1 上, 2
过 M 作 x 轴的垂线,垂足为 N,点 P 满足�� = 2 ��. (1)求点 P 的轨迹方程; (2)设点 Q 在直线 x=-3 上,且�� ·��=1.证明:过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F.
|��| |��|
=
由 l 与圆 M 相切得
2 k= 时,将 4
�� ,可求得 ��1 |3��| 1+��2
Q(-4,0),所以可设 l:y=k(x+4).
2 k=± . 4
=1,解得
��2 当 + =1, 3 -4±6 2 并整理得 7x2+8x-8=0,解得 x1,2= . 7 18 所以|AB|= 1 + �� 2 |x2-x1|= . 7 2 18 当 k=- 时,由图形的对称性可知|AB|= .综上,|AB|=2 4 7 2 y= x+ 4
【解】由题知 F
1 ,0 2
.
��2 ,�� 2
设 l1:y=a,l2:y=b,则 ab≠0,且 A P - ,�� ,Q - ,�� ,R - ,
1 2 1 2 1 ��+�� 2 2

2018年高考数学浙江专版三维二轮专题复习训练：知能专

知能专练（十八）圆锥曲线中的热点问题一、选择题1．(2017·河北衡水中学模拟)已知点Q 在椭圆C ：x 216＋y 210＝1上，点P 满足OP ―→＝12(OF 1―→＋OQ ―→)(其中O 为坐标原点，F 1为椭圆C 的左焦点)，则点P 的轨迹为( )A ．圆B ．抛物线C ．双曲线D ．椭圆解析：选D 因为点P 满足OP ―→＝12(OF 1―→＋OQ ―→)，所以点P 是线段QF 1的中点．设P (x ，y )，由F 1为椭圆C ：x 216＋y 210＝1的左焦点，得F 1(－6，0)，故Q (2x ＋6，2y )，又点Q 在椭圆C ：x 216＋y210＝1上，所以(2x ＋6)216＋(2y )210＝1，即⎝⎛⎭⎫x ＋6224＋y 252＝1，所以点P 的轨迹是椭圆，故选D.2.(2017·安徽六安一中模拟)如图，已知F 1，F 2是椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 是椭圆Γ上任意一点，过F 2作∠F 1PF 2的外角的角平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹为( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线解析：选B 延长F2Q ，与F 1P 的延长线交于点M ，连接OQ .因为PQ 是∠F 1PF 2的外角的角平分线，且PQ ⊥F 2M ，所以在△PF 2M 中，|PF 2|＝|PM |，且Q 为线段F 2M 的中点．又O 为线段F 1F 2的中点，由三角形的中位线定理，得|OQ |＝12|F 1M |＝12(|PF 1|＋|PF 2|)．根据椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|OQ |＝a ，所以点Q 的轨迹为以原点为圆心，半径为a 的圆，故选B.3．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 为双曲线右支上的一点．若|PF 1|2|PF 2|＝8a ，则双曲线的离心率的取值范围是( ) A ．(1,2]B ．[2，＋∞)C ．(1,3]D ．[3，＋∞)解析：选C 设|PF 2|＝y ，则(y ＋2a )2＝8ay ⇒(y －2a )2＝0⇒y ＝2a ≥c －a ⇒e ＝ca ≤3，又因为e >1，可得e 的取值范围为(1,3]．4．已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( )A.34B.32C ．1D ．2解析：选D 由题意知，抛物线的准线l ：y ＝－1，过A 作AA 1⊥l 于A 1，过B 作BB 1⊥l 于B 1，设弦AB 的中点为M ，过M 作MM 1⊥l 于M 1.则|MM 1|＝|AA 1|＋|BB 1|2.|AB |≤|AF |＋|BF |(F 为抛物线的焦点)，即|AF |＋|BF |≥6，|AA 1|＋|BB 1|≥6,2|MM 1|≥6，|MM 1|≥3，故M 到x 轴的最短距离|MM 1|min ＝3－1＝2.二、填空题5．已知点A (－2，0)，点B (2，0)，且动点P 满足|PA |－|PB |＝2，则动点P 的轨迹与直线y ＝k (x －2)有两个交点的充要条件为k ∈________.解析：由已知得动点P 的轨迹为一双曲线的右支且2a ＝2，c ＝2，则b ＝c 2－a 2＝1，所以P 点的轨迹方程为x 2－y 2＝1(x >1)，其一条渐近线方程为y ＝x .若P 点的轨迹与直线y ＝k (x －2)有两个交点，则需k ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)6．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 29－y 24＝1的左、右焦点，P ，Q 为C 上的点，且满足条件：①线段PQ 的长度是虚轴长的2倍；②线段PQ 经过F 2，则△PQF 1的周长为________．若只满足条件②，则△PQF 1的周长的最小值为________．解析：由题意得a ＝3，b ＝2，c ＝13，|PQ |＝4b ＝8.由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝6，|QF 1|－|QF 2|＝6，△PQF 1的周长为|PF 1|＋|QF 1|＋|PF 2|＋|QF 2|＝(|PF 1|－|PF 2|)＋(|QF 1|－|QF 2|)＋2(|PF 2|＋|QF 2|)＝(|PF 1|－|PF 2|)＋(|QF 1|－|QF 2|)＋2|PQ |＝6＋6＋2×8＝28.若只满足条件②，△PQF 1的周长为|PF 1|＋|QF 1|＋|PF 2|＋|QF 2|＝(|PF 1|－|PF 2|)＋(|QF 1|－|QF 2|)＋2(|PF 2|＋|QF 2|)＝12＋2|PQ |，当PQ ⊥x 轴时弦|PQ |最短，令x ＝13，则有y 2＝4×⎝⎛⎭⎫139－1＝169，解得y ＝±43，此时|PQ |＝83，所以△PQF 1的周长的最小值为12＋2×83＝523. 答案：28523三、解答题7．(2017·浙东北三校模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，右焦点到直线x a ＋y b ＝1的距离为217. (1)求椭圆C 的方程；(2)若O 为坐标原点，过点O 作两条相互垂直的射线，与椭圆C 分别交于A ，B 两点，证明：点O 到直线AB 的距离为定值，并求|AB |的最小值．解：(1)由题意得椭圆的离心率e ＝c a ＝12，右焦点为(c,0)，又右焦点到直线x a ＋yb ＝1的距离为217，所以|bc －ab |a 2＋b 2＝217，又a 2＝b 2＋c 2，故a ＝2，b ＝3，c ＝1. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当直线AB 的斜率不存在时，x 2＝x 1，y 1＝－y 2，且y 21＝x 21，又x 214＋y 213＝1，解得|x 1|＝127＝2217，即点O 到直线AB 的距离为2217.当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆的方程联立消去y 得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，所以x 1＋x 2＝－8km3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2.因为OA ⊥OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0，所以x 1x 2＋(kx 1＋m )·(kx 2＋m )＝0，即(k 2＋1)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0，所以(k 2＋1)·4m 2－123＋4k 2－8k 2m 23＋4k2＋m 2＝0，整理得7m 2＝12(k 2＋1)，所以点O 到直线AB 的距离为|m |k 2＋1＝127＝2217. 因为OA ⊥OB ，所以|OA |2＋|OB |2＝|AB |2≥2|OA |·|OB |，当且仅当|OA |＝|OB |时取等号．由2217·|AB |＝|OA |·|OB |≤|AB |22得|AB |≥2×2217＝4217，即|AB |的最小值为4217.8．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－2，0)，B (2，0)，E 为动点，且直线EA 与直线EB 的斜率之积为－12.(1)求动点E 的轨迹C 的方程；(2)设过点F (1,0)的直线l 与曲线C 相交于不同的两点M ，N .若点P 在y 轴上，且|PM |＝|PN |，求点P 的纵坐标的取值范围．解：(1)设动点E 的坐标为(x ，y )，依题意可知y x ＋2·y x －2＝－12，整理得x 22＋y 2＝1(x ≠±2)．所以动点E 的轨迹C 的方程为x 22＋y 2＝1(x ≠±2)．(2)当直线l 的斜率不存在时，满足条件的点P的纵坐标为0.当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，将y ＝k (x －1)代入x 22＋y 2＝1并整理得，(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，Δ＝8k 2＋8>0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1.设MN 的中点为Q ，则x Q ＝2k 22k 2＋1，y Q ＝k (x Q －1)＝－k2k 2＋1，所以点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫2k 22k 2＋1，－k 2k 2＋1.由题意可知k ≠0，又直线MN 的垂直平分线的方程为y ＋k 2k 2＋1＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －2k 22k 2＋1.令x ＝0，解得y P ＝k 2k 2＋1＝12k ＋1k.当k >0时，因为2k ＋1k ≥22，所以0<y P≤122＝24，当且仅当k ＝22时等号成立；当k <0时，因为2k ＋1k ≤－22，所以0>y P ≥－122＝－24，当且仅当k ＝－22时等号成立．综上所述，点P 的纵坐标的取值范围是⎣⎡⎦⎤－24，24. 9.(2017·杭州模拟)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，直线l ：y ＝x ＋1与抛物线C 交于A ，B 两点，设直线OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2(其中O 为坐标原点)，且k 1·k 2＝－14.(1)求p 的值；(2)如图，已知点M (x 0，y 0)为圆：x 2＋y 2－y ＝0上异于O 点的动点，过点M 的直线m 交抛物线C 于E ，F 两点．若M 为线段EF 的中点，求|EF |的最大值．解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将y ＝x ＋1代入抛物线C ：x 2＝2py ，得x 2－2px －2p ＝0，则x 1x 2＝－2p .所以k 1·k 2＝y 1x 1·y 2x 2＝x 1x 24p 2＝－12p ＝－14，所以p ＝2.(2)设E (x 3，y 3)，F (x 4，y 4)，直线m ：y ＝k (x －x 0)＋y 0，与抛物线C ：x 2＝4y 联立，得x 2－4kx ＋4kx 0－4y 0＝0，(*)则x 3＋x 4＝4k ＝2x 0，所以k ＝12x 0.此时(*)式为x 2－2x 0x ＋2x 20－4y 0＝0，所以x 3·x 4＝2x 20－4y 0.所以|EF |＝1＋k 2·|x 3－x 4|＝1＋k 2·(x 3＋x 4)2－4x 3x 4＝1＋x 204·16y 0－4x 20＝(4＋x 20)·(4y 0－x 20).又x 20＋y 20－y 0＝0，所以|EF |＝(4＋y 0－y 20)·(3y 0＋y 20)≤(4＋y 0－y 20)＋(3y 0＋y 20)2＝2＋2y 0≤4(y 0≤1)，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧4＋y 0－y 20＝3y 0＋y 20，y 0＝1，即y 0＝1时取等号．所以|EF |的最大值为4.三、解答题10．(2017·宁波模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点P (－2,0)与点(1,1)．(1)求椭圆的方程；(2)过P 点作两条互相垂直的直线PA ，PB ，交椭圆于A ，B . ①证明：直线AB 经过定点； ②求△ABP 面积的最大值．解：(1)由题意得⎝ ⎛4a 2＋0b 2＝1，1a 2＋1b 2＝1，解得a 2＝4，b 2＝43，椭圆的方程为x 24＋3y 24＝1.(2)①证明：由对称性知，若存在定点，则必在x 轴上，当k PA ＝1时，l PA ：y ＝x ＋2，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 2＋3y 2＝4， ∴x 2＋3(x 2＋4x ＋4)＝4⇒x ＝－1. 以下验证：定点为(－1,0)，由题意知，直线PA ，PB 的斜率均存在，设直线PA 的方程为y ＝k (x ＋2)，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )．则x 2＋3k 2(x 2＋4x ＋4)＝4⇒x A ＝2－6k 21＋3k 2，y A ＝4k 1＋3k 2，同理x B ＝2k 2－6k 2＋3，y B ＝－4kk 2＋3，则y A x A ＋1＝4k 3－3k 2＝y Bx B ＋1，得证． ②由于直线不与x 轴平行，设直线AB 方程为x ＝ty －1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋3y 24＝1，x ＝ty －1，∴(t 2＋3)y 2－2ty －3＝0， ∴y A ＋y B ＝2tt 2＋3，y A y B ＝－3t 2＋3，S △PAB ＝12×1×|y A －y B |＝12×(y A ＋y B )2－4y A y B＝12×4t 2＋12t 2＋36t 2＋3＝4t 2＋9t 2＋3，令4t 2＋9＝λ∈[3，＋∞)，则t 2＝λ2－94，∴S △PAB ＝λλ2－94＋3＝4λλ2＋3＝4λ＋3≤44＝1，当且仅当λ＝3，即t ＝0时取等号．11.(2017·杭州模拟)设椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点为A (－2,0)，离心率e ＝32，过点P (1,0)的直线交椭圆E 于B ，C 两点，直线AB ，AC 分别交直线x ＝3于M ，N 两点．(1)求椭圆E 的方程；(2)以线段MN 为直径的圆是否过定点，若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．解：(1)由题意，a ＝2，e ＝c a ＝32，则c ＝3，故b ＝1，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)过定点．设直线BC 的方程为x ＝ty ＋1(t ∈R)，点B ，C 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1，x 2＋4y 2＝4得(t 2＋4)y 2＋2ty －3＝0，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2tt 2＋4，y 1·y 2＝－3t 2＋4，所以x 1x 2＝(ty 1＋1)(ty 2＋1) ＝t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＋1＝4－4t 2t 2＋4，x 1＋x 2＝(ty 1＋1)＋(ty 2＋1)＝t (y 1＋y 2)＋2＝8t 2＋4，又k AB ＝y 1x 1＋2，直线AB 的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫3，5y 1x 1＋2，同理，N ⎝⎛⎭⎫3，5y 2x 2＋2，假设过定点Q (m,0)，则QM ―→·QN ―→＝⎝⎛⎭⎫3－m ，5y 1x 1＋2·⎝⎛⎭⎫3－m ，5y 2x 2＋2＝(3－m )2＋25y 1y 2(x 1＋2)(x 2＋2)＝(3－m )2＋25y 1y 2x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝(3－m )2－7536＝0，m ＝3－536或m ＝3＋536，即定点为⎝⎛⎭⎫3－536，0或⎝⎛⎭⎫3＋536，0.12．(2017·台州模拟)如图，已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，过点P (1,0)作斜率为k 的直线l ，且直线l 与椭圆C 交于两个不同的点M ，N .(1)设点A (0,2)，k ＝1，求△AMN 的面积；(2)设点B (t,0)，记直线BM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2.问是否存在实数t ，使得对于任意非零实数k ，(k 1＋k 2)·k 为定值？若存在，求出实数t 的值及该定值；若不存在，请说明理由．解：(1)当k ＝1时，直线l 的方程为y ＝x －1. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝x －1，得x ＝0或x ＝85，当x ＝0时，y ＝－1，当x ＝85时，y ＝35，不妨设N (0，－1)，M ⎝⎛⎭⎫85，35.所以|AN |＝3.所以S △AMN ＝12×3×85＝125.(2)由题意知，直线MN 的方程为y ＝k (x －1)，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k (x －1)，得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0. 所以x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－41＋4k 2.由k 1＝y 1x 1－t ，k 2＝y 2x 2－t ，得(k 1＋k 2)·k ＝k ⎝⎛⎭⎫y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－1x 1－t ＋x 2－1x 2－t＝k 2[(x 1－t )(x 2－1)＋(x 2－t )(x 1－1)](x 1－t )(x 2－t )＝k 2[2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ]x 1x 2－t (x 1＋x 2)＋t 2＝k 2(2t －8)k 2(4－8t ＋4t 2)＋t 2－4. 若2t －8＝0，则t ＝4，(k 1＋k 2)·k ＝0为定值．若2t －8≠0，则当t 2－4＝0，即t ＝±2时，(k 1＋k 2)·k ＝2t －84－8t ＋4t 2为定值．所以当t ＝4时，(k 1＋k 2)·k ＝0；当t ＝2时，(k 1＋k 2)·k ＝－1；当t ＝－2时，(k 1＋k 2)·k ＝－13.。

21圆锥曲线省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件

2.1
探究点二：双曲线旳定义
思考 5 已知定点 A、B，且 AB＝4，动点 P 满足 PA－PB＝3，则 P 点的轨迹形状为_双__曲__线__旳__一__支___．
解析由动点 P 满足 PA－PB＝3<4＝AB，结合双曲线的定义及右图可知：点 P 的轨迹是以 A、B 为焦点的双曲线的一支．
2.经过对圆锥曲线性质旳研究，感受数形结合旳基本思想和了解代数措施研究几何性质旳优越性．
明目标、知重点
填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
填要点、记疑点
2.1
1．椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2旳距离旳和叫做椭圆，两个定点 F1，F2 叫做椭圆的圆的焦距．
等于常数(大于 F1F2)的点的轨迹焦点．两焦点间的距离叫做椭
明目标、知重点
填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探要点、究所然
2.1
探究点二：双曲线旳定义
思考 2 取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点 F1，F2 上，把笔尖放在点 M 处，拉开闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲线满足什么条件？答如图，曲线上的点满足条件：MF1－MF2＝常数；如果改变一下位置，使 MF2－MF1＝常数，可得到另一条曲线．
第2章圆锥曲线与方程
§2.1 圆锥曲线
本节知识目录
2.1
明目的、知要点
圆锥曲线
填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺
探究点一椭圆旳定义探究点二双曲线旳定义探究点三抛物线旳定义
明目标、知重点
填要点、记疑点
主目录

第18届全国中学生物理竞赛复赛答案.docx

由正弦定理、近曹定律和小角度近似得AF } _ /?] _ sin 斤 r } _1 1sin （i]-“）A -斤（也）-1n-\如亠丄(1) (2)R 、 n-\光线PF 】射到另一端面时，其折射光线为平行于主光轴的光线，由此可知该端面的球心C 2 一定在端面顶点3的左方，C Q B 等于球面的半径/?2,如图复解18-1-1. 仿照上面对左端球电占折射的关系可得亟+丄 R 2 n -(3) 乂有 BF]=L-AF]由（2）、（3）、（4）式并代入数值可得= 5 cm即右端为半径等于5 cm 的向外凸的球面.2.设从无限远处物点射入的平行光线用①、②表示，令①过q,②过A,如图复解18-1-2 所示，则这两条光线经左端球面折射后的相交点M,即为左端球血対此无限远物点成的像点.现在求M 点的位置。

在中(4) (5)sin （兀-右） sin sin （^ -（/）{）乂 nsin0； = sin0]已知空，处均为小用度，则冇R\1）nAM°、处1-刁第十八届全国屮学生物理竞赛复赛试题参考解答一、参考解答1. 对于一个望远系统来说，从主光轴上无限远处的物点发出的入射光为平行于主光轴的光线，它经过系统后的出射光线也应与主光轴平行，即像点也在主光轴上无限远处，如图复解18-1-1所示，图中q 为左端球面的球心.(7)与(2)式比较可知，AM « AF X ,即M位于过片垂直于主光轴的平而上.上而已知，玻璃棒为天文望远系统，则凡是过M点的傍轴光线从棒的右端面射出时都将是相互平行的光线.容易看出，从M 射出C?的光线将沿原方向射出，这也就是过M点的任意光线(包括光线①、②)从玻璃棒射出的平行光线的方向。

此方向与主光轴的夹角即为血，由图复18-1-2 nJ'得01 _ G片=A§_R1(9)~C^~BF\-R2III (2)、(3)式可得~BF{-R2 _ R2(10)二、参考解答1.已知在海平面处，大气压强p(0) = 101.3xl03 Pa .如图复解18-2-1,在z = 5000 m处, 大气压强为”(5000) = 53xlO3 Pa o(1)图复解18-2-1此处水沸腾时的饱和蒸气压"w应等于此值.由图复解18-2-2可知，对应的温度即沸点为t} =82 °C (2)达到此温度吋锅内水开始沸腾，温度不再升高，故在5000m高山上，若不加盖压力锅，锅内温度最高可达82°C.2.由图复解18-2-2可知，在Z = 120°C时，水的饱和蒸气压p w(120°) = 198xl03 Pa ,而在海平面处，大气压强；7(O) = lOlxlO3 Pa.可见压力阀的附加压强为p s = p w(120°)-p(0)= 198x1(P - 101.3x1()3= 96.7x103 Pa (3)在5000m高山上，大气压强与压力阀的附加压强之和为p'=+ “(5000) =96.7X103+53X103= 149.7x 1(? Pa (4)若在25时阀被顶起，贝眦时的几应等于P'，即Pw = P f⑸由图复解18-2-2可知4= 112 °C (6)此时锅内水开始沸腾，温度不再升高，故按正确方法使用此压力锅，在5000m高山上锅内水的温度最高可达112°C.P/103Paf [P r-^0)]/lO3Pa0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130El复解18223.在未按正确方法使用压力锅时，锅内有空气，设加压力阀时，内部水蒸汽已饱和.由图复解18-2-2可知，在/ = 27°C时，题中已给出水的饱和蒸气压仏(27。

(新课标版)备战2018高考数学二轮复习专题1.6圆锥曲线教学案

y2 1
3
【答案】 B
x2 y2 【解析】双曲线 C： a2 b 2 1 ( a＞ 0, b＞ 0) 的渐近线方程为 y
b x ，椭圆中： a
2
2
2
2
2
a 12, b 3, c a b 9,c 3 ，椭圆，即双曲线的焦点为
3,0 ，据此可得双曲线中的方程组：
b5
a2 c2 a2 b2 ，解得： a 2
A． 6 3
【答案】 A
B． 3 3
C． 2 3
D． 1 3
4 ．【2017 课标 1，理】已知双曲线
C：
x2 a2
y2 b2
1 （a>0， b>0）的右顶点为 A，以 A为圆心， b 为半径作圆
A，圆 A与双曲线 C的一条渐近线交于 M、 N两点 . 若∠ MAN=60°，则 C的离心率为 ________.
由题设可知
2
=16(4 k
2
m 1)
0 . ，设 A（ x1， y1）， B（ x2， y2），则 x1+x2=
8km 4k 2
1
，
x 1x2 =
4m2 4k 2
4. 1
而 k1 k2
y1 1 x1
y2 1 x2
kx1 m 1 kx2 m 1
x1
x2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2 kx1 x2 (m 1)( x1 x2 ) . 由题设 k1 k2 x1 x2
c3
4, b 2
x 5 ，则双曲线 C 的方程为
4
y2 1 . 故选 B.
5
7．【 2017 课标 3，理 20】已知抛物线 C： y2=2x，过点（ 2,0 ）的直线 l 交 C与 A, B 两点，圆 M是以线段 AB 为直径的圆 . （ 1）证明：坐标原点 O在圆 M上；

圆锥曲线详细教案 -完整获奖版

教学设计模板：（模板中的蓝色文字可去掉）
教学设计
课题名称：圆锥曲线
姓名：
贺红玉
工作单位：
耒阳二中
学科年级：
高二
教材版本：
人教A版
一、教学内容分析
圆锥曲线的定义反映了圆锥曲线的本质属性,它是无数次实践后的高度抽象.恰当地利用定义解题,许多时候能以简驭繁.因此,在学习了椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程、几何性质后,再一次强调定义,学会利用圆锥曲线定义来熟练的解题”。
3.在抛物线y22px上有一点A(4，m)，A点到抛物线的焦点F的距离为5，求抛物线的方程和点A的坐标。 x2y2
4.(1)已知点F是椭圆1的右焦点，M是这椭圆上的动点，A(2，2)是一个定点，求|MA|+|MF|的最小值。 x2y211
(2)已知A(,3)为一定点，F为双曲线1的右焦点，M在双曲线右支上移动，当|AM||MF|最小时，求M点的坐标。 2 x2
(3)已知点P(-2，3)及焦点为F的抛物线y，在抛物线上求一点M，使|PM|+|FM|最小。 8 x2y2 5.已知A(4，0)，B(2，2)是椭圆1内的点，M是椭圆上的动点，求|MA|+|MB|的最小值与最大值。
六、教学反思
1.本课将借助于多媒体，将使全体学生参与活动成为可能，使原来令人难以理解的抽象的数学理论变得形象，生动且通俗易懂，同时，运用“多媒体课件”辅助教学，节省了板演的时间，从而给学生留出更多的时间自悟、自练、自查，充分发挥学生的主体作用，这充分显示出“多媒体课件”与探究合作式教学理念的有机结合的教学优势。
在对学生们的解答做出判断后，我将把问题引申为：该双曲线的中心坐标是，实轴长为，焦距为。以深化对概念的理解。
（二）理解定义、解决问题

江苏省高中数学竞赛第52讲圆锥曲线(一)教案

常见二次曲线有圆、椭圆、双曲线、抛物线等，前面已经研究过圆，本讲将对竞赛中常见的有关椭圆、双曲线、抛物线等问题作一些研究．1．各曲线的定义(1)椭圆：{P | |PF 1|＋|PF 2|＝2a ，2a ＞|F 1F 2|，F 1、F 2为定点，2a 为正常数}； (2)双曲线：{P | ||PF 1|－|PF 2||＝2a ，2a ＜|F 1F 2|，F 1、F 2为定点，2a 为正常数}；(3)抛物线：{P ||PF ||PH |＝1，F 为定点，|PH |是P 到定直线l 的距离}．圆锥曲线的统一定义：平面上，到一个定点F 的距离与到一条定直线l 的距离之比为一个常数e 的点的轨迹叫做圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)．当0＜e ＜1时，曲线是椭圆；当e ＞1时，曲线是双曲线；当e ＝1时，曲线是抛物线．这个定点F 叫做曲线的焦点，定直线l 叫做曲线的准线，定点F 到定直线的距离p 叫做焦参数．2．标准方程(1)椭圆：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)；(2)双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1，y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)；(3)抛物线：y 2＝2px ，y 2＝－2px ，x 2＝2py ，x 2＝－2py (p ＞0)．3．几何性质：(见教材)4．直线与椭圆、双曲线、抛物线间关系的判别方法判断直线与椭圆、双曲线、抛物线的关系的方法主要有两种：一种是由它们的方程消去一个未知数(如y )，得到另一个未知数(如x )的一元二次方程，利用其根的判别式Δ＞0、Δ＝0、Δ＜0可分别判断直线与椭圆、双曲线、抛物线有两个不同的公共点、只有一个公共点、没有公共点．对于双曲线、抛物线还要特别注意二次项系数是否为零的讨论．另一种是取椭圆、双曲线的参数方程，再转化为三角方程是否有解的问题． A 类例题例1．椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的（）A ．7倍B ．5倍C ．4倍D ．3倍(1998年全国高考题)分析本题涉及到椭圆的几何性质、焦半径长，中点坐标公式等，也可以用椭圆的第二定义来求解．解由已知得F 1、F 2的坐标分别为(－3，0)、(3，0)．设P (x ，y )，线段PF 1的中点的横坐标为0，那么x 1－32＝0，x 1＝3．将x 1＝3代入椭圆方程得，y 1＝±32，所以P (3，±32)，则|PF 2|＝|y 1|＝32．因为|PF 1|＋|PF 2|＝43，则|PF 1|＝732，故|PF 1|＝7|PF 2|．说明本题也可以用焦半径公式求解，与焦半径有关的内容详见圆锥曲线(二)．例2．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(0＜a ＜b )的半焦距为c ，直线l 过(a ，0)、(0，b )两点，已知原点到直线l 的距离为34c ，则双曲线的离心率为( )A ．2B ． 3C ． 2D ．233(1996年全国高考题)解法一因为b ＞a ＞0，所以c 2＝a 2＋b 2＞2a 2，c ＞2a ，则离心率e ＝c a ＞2＞233，故排除选项C 、D ．因为直线l 过点(a ，0)、(0，b )，原点到直线l 的距离为34c ，则34c 2＝ab ，检验A 、B 分支，选A ．法二因为直线l 过点(a ，0)、(0，b )，则l 的方程为bx ＋ay －ab ＝0，所以原点到直线l 的距离为|－ab |a 2＋b2＝34c ，因为c 2＝a 2＋b 2(b ＞a ＞0)，所以ab c ＝34c ，整理得，3e 4－16e 2＋16＝0，解得e 2＝4或e 2＝43．因为b ＞a ＞0，所以c 2＝a 2＋b 2＞2a 2，所以e 2＝c 2a2＞2，故e 2＝4，即e ＝2，故选A ．例3．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过动点M (a ，0)且斜率为1的直线l 与该抛物线交于不同的两点A 、B ，|AB |≤2p ．(1)求a 的取值范围；(2)若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求ΔNAB 面积的最大值．(2001年北京、内蒙古、安徽春季高考题)解 (1)直线l 的方程为：y ＝x －a ，将y ＝x －a 代入y 2＝2px ，得x 2－2(a ＋p )x ＋a 2＝0．设直线l 与抛物线两个不同的交点坐标分别为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4(a ＋p )2－4a 2＞0，x 1＋x 2＝2(a ＋p )，x 1x 2＝a 2．又y 1＝x 1－a ，y 2＝x 2－a ，则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝8p (p ＋2a )．因为⎩⎨⎧0＜|AB |≤2p ，8p (p ＋2a )＞0．解得－p 2＜a ≤－p 4．(2)设AB 的垂直平分线交AB 于点Q ，令Q 坐标为(x 3，y 3)，则由中点坐标公式得 x 3＝x 1＋x 22＝a ＋p ，y 3＝y 1＋y 22＝(x 1－a )＋(x 2－a )2＝p ，所以，|QN |2＝(a ＋p －a )2＋(p －0)2＝2p 2，又ΔMQN 为等腰直角三角形，则|QN |＝|QM |＝2p ．所以S ΔNAB ＝12|AB |·|QN |＝22p ·|AB |≤22p ·2p ＝2p 2．即当|AB |＝2p 时ΔNAB 面积的最大，最大值为2p 2．说明平面解析几何是通过研究二次方程来研究二次曲线的，常常解题根据根与系数的关系整体利用两根的和与积．由于不论一元二次方程有无实根，根与系数的关系总成立，而解析几何中曲线的交点坐标是实数，因此使用根与系数关系时要注意检查该方程是否有实根．正确使用这一方法解题，大致有三个步骤：(1)把已知条件、要计算的对象、要证明的结论，写成x 1＋x 2、x 1x 2(或y 1＋y 2、y 1y 2)的式子；(2)由两条曲线(含直线)的方程消去一个未知数，得到另一个未知数的一元二次方程，根据根与系数关系写出x 1＋x 2、x 1x 2(或y 1＋y 2、y 1y 2)的表达式，代入第(1)步中的式子，并求出结果；(3)检查(2)中的结果是否违背(2)中的一元二次方程根的判别式Δ≥0．情景再现1．椭圆x 29＋y 24＝1的焦点为F 1、F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 横坐标的取值范围是_____________．(2000年全国高考题)2．已知P 为双曲线x 216－y 29＝1右支上的一点，F 1、F 2分别为左、右焦点，若|PF 1|：|PF 2|＝3：2，试求点P (x 0，y 0)的坐标．(1998年济南高考模拟题)3．如图，椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y ＝1交于A 、B 两点，22(其中O 为C 是线段AB 的中点，若|AB |＝22，OC 的斜率等于直角坐标系的原点)，求a 、b 的值．(1992年全国高考题)B 类例题例4．给定点A (－2，2)，已知B 是椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，F 1是椭圆的左焦点，求当|AB |＋53|BF 1|取最小值时，点B 的坐标．(1999年全国高中数学联赛)分析由于椭圆的离心率为35，结合待求式子中有53的特点，可以考虑将53|BF 1|利用椭圆的第二定义转化为B 点到相应准线的距离．解此椭圆的a ＝5，b ＝4，c ＝3，e ＝35，作椭圆的左准线l ：x ＝－253．对于椭圆上任一点B '，连AB '，B 'F 1，作B 'H ⊥l 于H ，则|B'F 1||B'H |＝35，即|B 'H |＝53|B 'F 1|．从而|AB '|＋53|B 'F 1|＝|AB '|＋|B 'H |．于是问题变为求|AB '|＋|B 'H |的最小值．作AC ⊥l 于C ，交椭圆于B ．则|AC |≤|AB '|＋|B 'H |，即|AC |为所求最小值．|AC |＝(－2)－(－253)=193．此时点B 的纵坐标y ＝2，代入椭圆方程，得点B 的横坐标为x ＝－523．则当|AB |＋53|BF 1|取最小值时，点B 的坐标为(－523，2)．例5．如图，直线l 的方程为x ＝－p 2，其中p ＞0；椭圆的中心为D (2＋p2，0)，焦点在xx一个顶点为A (p2，轴上，长半轴长为2，短半轴长为1，它的0)．问p 在哪个范围内取值时，椭圆上有四个不同的点，它们中每一个点到点A 的距离等于该点到直线l 的距离．（1988年全国高考题）解假定椭圆上有符合题意的四点，则这四个点的坐标都应满足下面的椭圆方程：[x －(2＋p2)]24＋y 2＝1，又这四个点的坐标应满足下面的抛物线方程y 2＝2px ，从而椭圆上有四点符合题意的充要条件是下面的方程组有四个不同的实数解：⎩⎨⎧[x －(2＋p 2)]24＋y 2＝1， (1)y 2＝2px (2)；将(2)式代入(1)式，得[x －(2＋p2)]2＋8px ＝4，即x 2＋(7p －4)x ＋p 24＋2p ＝0 (3)所以原方程组有4个不同的实数解，当且仅当方程(3)有两个不相等的正根，而这又等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(7p －4)2－4(p 24＋2p )＞0，x 1x 2＝p24＋2p ＞0，x 1＋x 2＝7p －4＜0，p ＞0．解得0＜p ＜13．所以，所求的p 的取值范围为(0，13)．例6．已知点A (0，2)和抛物线y 2＝x ＋4上两点B ，C ，使得AB ⊥BC ，求点C 的纵坐标的取值范围．(2002年全国高中数学联赛)解设B (y 02－4，y 0)，C (y 12－4，y 1)．则k AB ＝y 0－2y 20－4＝1y 0+2．k BC ＝y 1－y 0y 21－y20＝1y 1+y 0．由k AB ·k BC ＝－1，得(y 1＋y 0)(y 0＋2)＝－1．则y 02＋(y 1＋2)y 0＋(2y 1＋1)＝0．则得△＝(y 1＋2)2－4(2y 1＋1)＝y 12－4y 1≥0，x故y 1≤0，y 1≥4．当y 1＝0时，得B (－3，－1)，当y 1＝4时，得B (5，－3)均满足要求，故点C 的纵坐标的取值范围是(－∞，0]∪[4，+∞)．情景再现4．椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，直线y ＝x ＋1与该椭圆相交于P 和Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ |＝102．求椭圆的方程．（1991年全国高考题） 5．已知直线l 过坐标原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴，若点A (－1，0)和B (0，8)关于l 的对称点都在C 上，求直线l 和抛物线C 的方程．（1994年全国高考题） 6．已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别为C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点．(1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与椭圆C 1及双曲线C 2都恒有两个不同的交点，且l 与C 2的两个交点A 和B 满足OA →·OB →＜6（其中O 为原点），求k 的取值范围．(2005年高考题(重庆卷))C 类例题例7．点P (x 0，y 0)是抛物线y 2=2px 上的任意一定点，PA 、PB 是抛物线的两条互相垂直的弦，求证：AB 过定点．分析由于PA ⊥PB ，故可考虑引入参数k (斜率)．证明设点A 、B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，PA 的斜率为k ，则PA 的方程：y －y 0=k (x －x 0)．则y －y 0＝k (x －x 0)，可得x ＝y －y 0k＋x 0， ① y 2＝2px ，以①代入得：y 2－2pk (y －y 0)－2px 0＝0． ②y 02＝2px 0，代入②得：y 2－y 02－2pk (y －y 0)＝0． ③由于y ≠y 0，则y ＋y 0＝2pk． ④即得点A 的坐标为：A (x 1，2pk－y 0)；同理得B 的坐标为B (x 2，－2py －y 0)．因为y AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 2－y 1 y 122p －y 222p＝2py 2+y 1，故AB 的方程为：y －y 1=2p y 2+y 1(x －x 1)，即(y 1＋y 2)y －y 1y 2＝2px ． ⑤ (其中y 12＝2px 1) 又y 1＋y 2＝2pk－2py －2y 0； ⑥y 1y 2＝(2p k －y 0)(－2py －y 0)＝－4p 2－2pky 0＋2pyy 0＋y 02＝－(2p k－2py －2y 0)y 0－4p 2－2px 0． ⑦将⑥、⑦两式代入⑤，得(2pk－2py －2y 0)(y ＋y 0)－2p (x －x 0－2p )＝0． ⑧则x ＝x 0＋2p ，y ＝－y 0时，此式恒成立，故直线AB 恒过定点(x 0＋2p ，－y 0)．思考1 上述解法运算量很大，原因之一是将①x ＝y －y 0k＋x 0代入较繁．如果能避免此步代入，则运算可得到简化：改进1 将②－③：y 2－y 02＝2p (x －x 0)，再将①代入，即可得④式．思考2 将⑥、⑦两式代入较繁，如不用此式代入，则可减少运算量：改进2 由④式知：y 1＋y 0＝2pk，y 2＋y 0＝－2py ，两式相乘，得y 1y 2＋(y 1＋y 2)y 0＋y 02＝－4p 2． ⑨将⑨代入⑤，并以y 02＝2px 0代入得：(y 1＋y 2)y ＋(y 1＋y 2)y 0＋2px 0＋4p 2－2px ＝0，就是⑧式．思考3 运算过程中，设了斜率k ，又消去了y ，如果一开始不设k ，行吗？改进3 由PA ⊥PB ，得y 1－y 0x 1－x 0·y 2－y 0x 2－x 0＝－1，但y i －y j x i －x j ＝y i －y j y j 22p －y i 22p＝2py i ＋y j，于是就有(y 1＋y 0)(y 2＋y 0)＝－4p 2．这就是⑨式，不需要用k ．因此有如下简洁的证法：证明设P (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则得y 20＝2px 0，y 21＝2px 1，y 22＝2px 2．由于k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 2－y 1 y 122p －y 222p＝2p y 2＋y 1，则直线AB 方程为y －y 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x －x 1)，即(y 1＋y 2)y －y 1y 2＝2px ． ⑩因为PA ⊥PB ，故有y 1－y 0x 1－x 0·y 2－y 0x 2－x 0＝－1，但y i －y j x i －x j ＝2py i +y j，于是就有(y 1＋y 0)(y 2＋y 0)＝－4p 2，即y 1y 2＋(y 1＋y 2)y 0＋y 02＝－4p 2．代入⑩式，即得(y 1＋y 2)(y ＋y 0)－2p (x －x 0－2p )＝0．从而可得当x ＝x 0＋2p ，y ＝－y 0时，此式恒成立，故直线AB 恒过定点(x 0＋2p ，－y 0)．例8．设曲线C 1：x 2a2＋y 2＝1(a 为正常数)与C 2：y 2＝2(x ＋m )在x 轴上方仅有一个公共点P ．(1)求实数m 的取值范围(用a 表示)；(2)O 为原点，若C 1与x 轴的负半轴交于点A ，当0＜a ＜12时，试求ΔOAP 的面积的最大值(用a 表示)．(2001年全国高中数学联赛)解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2＝1，y 2＝2(x ＋m )．消去y 得，x 2＋2a 2x ＋2a 2m －a 2＝0． ①设f (x )＝x 2＋2a 2x ＋2a 2m －a 2，问题⑴转化为方程①在x ∈(－a ，a )上有唯一解或等根．只须讨论以下三种情况： 1︒Δ＝0得m ＝a 2＋12．此时x p ＝－a 2，当且仅当－a ＜－a 2＜a ，即0＜a ＜1时适合；2︒f (a )·f (－a )＜0当且仅当－a ＜m ＜a ；3︒f (－a )＝0得m ＝a ．此时x p ＝a －2a 2，当且仅当－a ＜a －2a 2＜a ，即0＜a ＜1时适合．由f (a )＝0得m ＝－a ，此时x p ＝－a －2a 2，由于－a －2a 2＜－a ，从而m ≠-a ．综上可知，当0＜a ＜1时，m ＝a 2＋12或－a ＜m ≤a ；当a ≥1时，－a ＜m ＜a ．(2)ΔOAP 的面积S ＝12ay p ．因为0＜a ＜12，故－a ＜m ≤a 时，0＜－a 2＋a a 2＋1－2m ＜a ，由唯一性得x p ＝－a 2＋a a 2＋1－2m ．显然当m ＝a 时，x p 取值最小．由于x p ＞0，从而y p ＝1－x p 2a2 取值最大，此时y p ＝2a －a 2 ，故S ＝a a －a 2．当m ＝a 2＋12时，x p ＝－a 2，y p ＝1－a 2 ，此时S ＝12a 1－a 2．下面比较a a －a 2 与12a 1－a 2的大小：令a a －a 2 ＝12a 1－a 2，得a ＝13．故当0＜a ≤13时，a a －a 2 ≤12a 1－a 2 ．此时S max ＝12a 1－a 2．当13＜a ＜12时，a a －a 2 ＞12a 1－a 2 ．此时S max ＝a a －a 2．情景再现7．已知在抛物线y ＝x 2上有一个正方形的三个顶点A 、B 、C ，求这种正方形面积的最小值．(上海市1998年高中数学竞赛)8．已知抛物线y 2＝2px 及定点A (a ，b )，B (－a ，0)，(ab ≠0，b 2≠2pa )，M 是抛物线上的点，设直线AM ，BM 与抛物线的另一交点分别为M 1，M 2．习题521．设直线l ：2x ＋y ＋2＝0关于原点对称的直线l '．若l '与椭圆x 2＋y 24＝1的交点为A 、C.B.A.B，点P为椭圆上的动点，则使ΔPAB的面积为12的点P的个数为（）(2005年高考题(山东卷))A．1 B．2 C．3 D．42．点P（－3，1）在椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左准线上．过点P且方向为a＝（2，－5）的光线，经直线y＝－2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）A．33B．13C．22D．12(2005年高考题(江苏卷)) 3．已知椭圆x22＋y2＝1的两个焦点为F1，F2，过右焦点F2作倾角为4的弦AB，则△ABF1的面积为( ) (第六届河南省高中数学竞赛)A．223B．43C．423D．4334．在下面四个图形中，已知有一个是方程y2＝－mnx与mx2＋ny2＝1(m≠0，n≠0)在同一坐标系中的示意图，它应是( )(1985年全国高中数学联赛)时，用了三种规格的正方形支架，如果抛物线的方程为y＝－x2+c，正方形ABCD的边长与正方形EFGH的边长之比为5∶1，则正方形MNPQ的边长为．(2004年上海市IT杯高二数学竞赛题)6．已知椭圆的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，直线x＝4是它的一条准线．(1)求椭圆的方程；(2)设A1，A2分别是椭圆的左顶点和右顶点，P是椭圆上满足|PA1|－|PA2|＝2的一点，求cos∠A1PA2的值．(2002年全国高中数学联赛山东赛区初赛赛题)7．椭圆x2＋4y2＝8中，AB是长为52的动弦，O为坐标原点，求三角形AOB的面积的取值范围．(2004年全国高中数学联赛福建赛区初赛赛题)8．设椭圆的方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，线段PQ是过左焦点F且不与x轴垂直的焦点弦，若在左准线上存在点R，使△PQR为正三角形，求离心率e的取值范围，并用e表示直线PQ的斜率．(2005年全国高中数学联赛江苏赛区初赛赛题)本节“情景再现”解答：1．(－35，35)． 2．P 点的坐标为(16，±315)．3．a ＝13，b ＝23．4．椭圆的方程为x 22＋y 223＝1，或x 223＋y 22＝1． 5．直线方程为y ＝1＋52x ，抛物线方程为y 2＝455x ． 6．(1)双曲线C 2的方程为x 23－y 2＝1．(2)k 的取值范围是(－1，－19515)∪(－33，－12)∪(12，33)∪(19515，1)． 7．设A (x 1，x 12)，B (x 2，x 22)，D (x 3，x 32)，直线AB 的斜率为k (k ＞0)：则点B 坐标满足x 22－x 12＝k (x 2－x 1)，(x 2≠x 1)，则x 2＝k －x 1．从而|AB |＝(k －2x 1)k 2＋1．同理|AD |＝(x 1－x 3)1＋1k2＝2kx 1＋1k2k 2＋1．令|AB |＝|AD |，得k 2(k －2x 1)＝2kx 1＋1，从而得x 1＝k 3－12k (k ＋1)．故|AB |＝(k －(k －k 3－12k (k ＋1))k 2＋1＝k 2＋1k (k ＋1)k 2＋1≥2kk (k+1)·2(k +1)2＝2．等号当且仅当k ＝1时成立，此时x 1＝0，即A 为原点，正方形面积最小值为2．8．设M (m22p ，m )．M 1(m 212p，m 1)，M 2(m222p ，m 2)，则由A 、M 、M 1共线，得b －mm 1－m＝a －m 22p m 212p －m 22p，则m 1＝2pa －bm b －m ，同法得m 2＝2pam；故M 1M 2所在直线方程为(m 1＋m 2)y ＝2px ＋m 1m 2．消去m 1，m 2，得2paby －bm 2y ＝2pbmx －2pm 2x ＋4p 2a 2－2pabm ． ⑴分别令m ＝0，1代入，得x ＝a ，y ＝2pa b ，以x ＝a ，y ＝2pab代入方程⑴知此式恒成立．即M 1M 2过定点(a ，2pab)．本节“习题12”解答：1．B ． 2．A ． 3．B ． 4．A ．5．1456－2． 6．(1)椭圆的方程为x 24＋y 23＝1．(2)cos ∠A 1PA 2＝|PA 1|2＋|PA 2|2－|A 1A 2|22|PA 1|·|PA 2|＝－19．7．令A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋b ．代入椭圆的方程整理得(4k 2＋1)x 2＋8kbx ＋4(b 2－2)＝0．故x 1＋x 2＝－8kb 4k 2＋1，x 1x 2＝4(b 2－2)4k 2＋1．则254＝AB 2＝16(k 2＋1)(4k 2＋1)2[2(4k 2＋1)－b 2]，得b 2＝2(4k 2＋1)－25(4k 2＋1)264(k 2＋1)．又原点O 到AB 的距离为|b |k 2＋1，则S ΔAOB ＝54·|b |k 2＋1．记u ＝4k 2＋1k 2＋1，则有S 2ΔAOB ＝－6251024(u 2－12825u )＝4－6251024(u －6425)2．u ＝4－3k 2＋1的取值范围为[1，4]（u ＝4为竖直弦）．故当u ＝6425时，S 2ΔAOB 的最大值为4；当u ＝1时，S 2ΔAOB的最小值为25751024．因此，S ΔAOB 的取值范围是[510332，2]．8．如图，设线段PQ 中点M ，过点P 、M 、Q 分别作准线的垂线，垂足分别为点P '，M '，Q '，则|MM '|＝12(|PP '|＋|QQ '|)＝12(|PF |e ＋|QF |e )＝|PQ |2e．假设存在点R ，则|RM |＝32|PQ |，且|MM '|＜|RM |，即|PQ |2e ＜32|PQ |，所以，e ＞33．于是，cos ∠RMM '＝|MM '||RM |＝12e ⨯13e，cot ∠RMM '＝13e 2－1．在图中，|PF |＜|QF |，且有k PQ ＝tan ∠QFx ＝tan ∠FMM '＝cot ∠RMM '＝13e 2－1．当e ＞33时，过点F 作斜率为13e 2－1的焦点弦PQ ，它的中垂线交左准线于R ，由上述过程知，|RM |＝32|PQ |．故∆PQR 为正三角形．根据对称性，当|FP |＞|FQ |时，有k PQ ＝－13e 2－1．所以，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e 的范围是(33，1)，且直线PQ 的斜率为±13e 2－1．。

高中数学竞赛第53讲圆锥曲线(二)教案

第53讲圆锥曲线(二)1．焦半径公式设P 为圆锥曲线上任一点,r 、d 分别为点P 到焦点及相应准线的距离,则r ＝ed ．(1)对于椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0),F 1(－c ,0)、F 2(c ,0)是它的两个焦点．设P (x ,y )是椭圆上的任一点,则有r 1＝|PF 1|＝a ＋ex ,r 2＝|PF 2|＝a －ex ．由椭圆的焦半径公式可知,椭圆上的某一点的焦半径的长是这一点的横坐标(对y 2a 2＋x 2b2＝1是纵坐标)的一次函数．焦半径公式的另一种形式(对于x 2a 2＋y 2b 2＝1,a ＞b ＞0)为r 1＝|PF 1|＝b 2a －c cosθ(θ是以F 1x为始边,F 1P 为终边的角,不是F 1P 的倾斜角)．(2)对于双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0,b ＞0),F 1(－c ,0)、F 2(c ,0)是它的两个焦点．设P (x ,y )是双曲线上的任一点,若点P 在双曲线的右支上,则有r 1＝|PF 1|＝ex ＋a ,r 2＝|PF 2|＝ex －a ；若点P 在双曲线的左支上,则有r 1＝|PF 1|＝－ex －a ,r 2＝|PF 2|＝－ex ＋a ．焦半径公式的另一种形式(对于x 2a 2－y 2b 2＝1,a ＞0,b ＞0)为r 2＝|PF 2|＝|b 2a －c cosθ|(θ是以F 2x 为始边,F 2P 为终边的角,不是F 2P 的倾斜角)．注意:当b 2a －c cosθ＞0时,点P 在右支上,当b 2a －c cosθ＜0时,点P 在左支上．(3)对于抛物线y 2＝2px (p ＞0),F (p2,0)是它的焦点,设P (x ,y )是抛物线上的任一点,则r ＝|PF |＝x ＋p 2．设∠xFP ＝θ,则r ＝p1－cos θ．2．共轭直径二次曲线平行弦的中点轨迹称为它的直径．若两直径中的每一直径平分与另一直径平行的弦,则称此两直径为共轭直径．(1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0),互为共轭直径的斜率关系为kk '＝－b 2a 2；(2)设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0,b ＞0),互为共轭直径的斜率关系为kk '＝b 2a2；(3)设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0),一组斜率为k 的平行弦的中点轨迹为射线y ＝pk． 3．过焦点的弦(1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0),过F 1(－c ,0)的弦长为2a ＋e (x 1＋x 2),过F 2(c ,0)的弦长为2a －e (x 1＋x 2)．过焦点的弦长是一个仅与它的中点横坐标有关的数．焦点弦长的另一种形式为l ＝2ab2a 2－c 2cos 2θ．(θ是以F 1x 为始边,F 1P 为终边的角,不是F 1P的倾斜角)．(2)设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0,b ＞0),过F 1(－c ,0)的弦长为|2a ＋e (x 1＋x 2)|,过F 2(c ,0)的弦长为|2a －e (x 1＋x 2)|．焦点弦长的另一种形式为l ＝|2ab2a 2－c 2cos 2θ |(θ是以F 2x 为始边,F 2P 为终边的角,不是F 2P的倾斜角)．(3)设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0),F (p 2,0),设∠xFP ＝θ,则焦点弦长为l ＝2p sin 2θ．4．双曲线的渐近线(1)如果曲线上的点无限远离原点时,存在一条直线l ,使得P 与此直线的距离无限趋向于零,则这条直线称为曲线C 的一条渐近线．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为x 2a 2－y 2b2＝0．(2)共轭双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝±1,共渐近线的双曲线系方程:x 2a 2－y 2b2＝λ．互为共轭的两条双曲线有以下性质:①λ＞0时得焦点在x 轴上的双曲线；λ＜0时得焦点在y 轴上的双曲线；λ＝0时即是双曲线的渐近线；②两共轭的双曲线的离心率e 1,e 2满足1e 12＋1e 22＝1；③它们的四个焦点在同一个圆上． A 类例题例1．设A (x 1,y 1)为椭圆x 2＋2y 2＝2上的一点,过点A 作一条斜率为－x2y 1的直线l ,又设d为原点到直线l 的距离,r 1,r 2分别为点A 到椭圆两焦点的距离．试证明r 1r 2·d 为常数．(1990年上海高考题) 分析根据题意利用焦半径公式计算r 1,r 2．解由椭圆方程x 22＋y 2＝1得,a 2＝2,b ＝1,c ＝1,则e ＝22．由r 1＝a ＋ex 1,r 2＝a －ex 1,得r 1r 2＝a 2－e 2x 21 ① 直线l 的方程为y －y 1＝－x2y 1(x －x 1),即 x 1x ＋2y 1y ＝x 21＋2y 21．错误!未指定书签。

2018届高考数学(全国通用)二轮复习压轴大题精品课件第2讲圆锥曲线的热点问题

4 2
1 1 1 2 2 2 设△AOB 的面积为 S(t)，所以 S(t)＝2|AB|· d＝2 －2t －2 ＋2≤ 2 ， 2 1 当且仅当 t ＝2时，等号成立.
2 故△AOB 面积的最大值为 2 .
1 2 3 4
解答
1 3.已知抛物线 y ＝4x，直线 l：y＝－2x＋b 与抛物线交于 A，B 两点.
c 2 解由题意知 e＝a＝ 2 ，2c＝2，
所以 c＝1，a＝ 2，则 b＝1，
x2 2 所以椭圆 E 的方程为 2 ＋y ＝1.
1 2 3 4
解答
3 (2)如图，动直线 l：y＝k1x－ 2 交椭圆 E 于 A，B 两点，C 是椭圆 E 上一 2 点，直线 OC 的斜率为 k2，且 k1k2＝ 4 .M 是线段 OC 延长线上一点，且 |MC|∶|AB|＝2∶3，⊙M 的半径为|MC|，OS，OT 是⊙M 的两条切线，切点分别为 S，T.求∠SOT 的最大值，并求取得最大值时直线 l 的斜率.
2 则 x2 ＝ 4 y ， x 1 1 2＝4y2，
12 12 y1－1 y2－1 4x1－1 4x2－1 1 ∴k1＋k2＝＋＝＋＝4(x1＋2＋x2＋2)＝－2. x1－2 x2－2 x1－2 x2－2
∴x1＋x2＝－12，
12 12 y2－y1 4x2－4x1 1 ∴kAB＝＝＝4(x1＋x2)＝－3. x2－x1 x2－x1
2
(1)若x轴与以AB为直径的圆相切，求该圆的方程；
1
2
3
4
解答
(2)若直线l与y轴负半轴相交，求△AOB(O为坐标原点)面积的最大值.
1
2
3
4
解答
x2 y2 4.(2017· 山东)在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E：a2＋b2＝1(a＞b＞0)的离 2 心率为 2 ，焦距为 2.

浙江专版2018年高考数学专题5平面解析几何突破点13圆锥曲线中的综合问题教学案

突破点13 圆锥曲线中的综合问题(对应学生用书第47页)[核心知识提炼]提炼1解答圆锥曲线的定值、定点问题，从三个方面把握 (1)从特殊开始，求出定值，再证明该值与变量无关． (2)直接推理、计算，在整个过程中消去变量，得定值．(3)在含有参数的曲线方程里面，把参数从含有参数的项里面分离出来，并令其系数为零，可以解出定点坐标.提炼2用代数法求最值与范围问题时从下面几个方面入手(1)若直线和圆锥曲线有两个不同的交点，则可以利用判别式求范围．(2)若已知曲线上任意一点、一定点或与定点构成的图形，则利用圆锥曲线的性质(性质中的范围)求解．(3)利用隐含或已知的不等关系式直接求范围． (4)利用基本不等式求最值与范围． (5)利用函数值域的方法求最值与范围．提炼3与圆锥曲线有关的探索性问题(1)给出问题的一些特殊关系，要求探索出一些规律，并能论证所得规律的正确性．通常要对已知关系进行观察、比较、分析，然后概括出一般规律．(2)对于只给出条件，探求“是否存在”类型问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后由假设出发，结合已知条件进行推理，若推出相符的结论，则存在性得到论证；若推出矛盾，则假设不存在．[高考真题回访]回访直线与圆锥曲线的综合问题1．(2017·浙江高考)如图131，已知抛物线x 2＝y ，点A －12，14，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，94，抛物线上的点P (x ，y )－12<x <32.过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .图131(1)求直线AP 斜率的取值范围． (2)求|PA |·|PQ |的最大值．[解](1)设直线AP 的斜率为k ，k ＝x 2－14x ＋12＝x －12，因为－12<x <32，所以直线AP 斜率的取值范围是(－1,1). 6分(2)联立直线AP 与BQ 的方程⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋12k ＋14＝0，x ＋ky －94k －32＝0，解得点Q 的横坐标是x Q ＝－k 2＋4k ＋32 k 2＋1 . 9分因为|PA |＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝1＋k 2(k ＋1)，|PQ |＝1＋k 2(x Q －x )＝－ k －1 k ＋12k 2＋1，所以|PA |·|PQ |＝－(k －1)(k ＋1)3.12分令f (k )＝－(k －1)(k ＋1)3，因为f ′(k )＝－(4k －2)(k ＋1)2，所以f (k )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12上单调递增，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减，因此当k ＝12时，|PA |·|PQ |取得最大值2716.15分2．(2016·浙江高考)如图132，设椭圆x 2a2＋y 2＝1(a >1)．图132(1)求直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段长(用a ，k 表示)；(2)若任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围． [解] (1)设直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段为AM ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2a2＋y 2＝1得(1＋a 2k 2)x 2＋2a 2kx ＝0，3分故x 1＝0，x 2＝－2a 2k1＋a 2k2.因此|AM |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2a 2|k |1＋a 2k2·1＋k 2. 5分(2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足|AP |＝|AQ |. 7分记直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1，k 2>0，k 1≠k 2. 由(1)知，|AP |＝2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21， |AQ |＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a k 22，故2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22， 9分所以(k 21－k 22)[1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22]＝0. 由于k 1≠k 2，k 1，k 2>0得 1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22＝0，因此⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 21＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 22＋1＝1＋a 2(a 2－2)．①因为①式关于k 1，k 2的方程有解的充要条件是 1＋a 2(a 2－2)>1，所以a > 2.13分因此，任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1<a ≤ 2.由e ＝c a ＝a 2－1a ，得0<e ≤22.所求离心率的取值范围为0<e ≤22.15分3．(2015·浙江高考)已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．(1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)．图133[解] (1)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1mx ＋b .3分由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1m 2x 2－2b m x ＋b 2－1＝0.5分因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m2>0.将线段AB 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2mbm 2＋2，m 2b m 2＋2代入直线方程y ＝mx ＋12解得b ＝－m 2＋22m 2.② 由①②得m <－63或m >63.7分(2)令t ＝1m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，62，则|AB |＝t 2＋1·－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12，且O 到直线AB 的距离为d ＝t 2＋12t 2＋1. 10分设△AOB 的面积为S (t )，所以S (t )＝12|AB |·d ＝12－2⎝⎛⎭⎪⎫t 2－122＋2≤22，当且仅当t 2＝12时，等号成立．故△AOB 面积的最大值为22.15分4．(2014·浙江高考)已知△ABP 的三个顶点都在抛物线C ：x 2＝4y 上，F 为抛物线C 的焦点，点M 为AB 的中点，PF →＝3FM →. (1)若|PF |＝3，求点M 的坐标； (2)求△ABP 面积的最大值．图134[解] (1)由题意知焦点F (0,1)，准线方程为y ＝－1.2分设P (x 0，y 0)，由抛物线定义知|PF |＝y 0＋1，得到y 0＝2，所以P (22，2)或P (－22，2)．由PF →＝3FM →得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，23或M ⎝ ⎛⎭⎪⎫223，23. 6分(2)设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＝4y 得x 2－4kx －4m ＝0.8分于是Δ＝16k 2＋16m ＞0，x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4m ，所以AB 的中点M 的坐标为(2k,2k 2＋m )．由PF →＝3FM →，得(－x 0,1－y 0)＝3(2k,2k 2＋m －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－6k ，y 0＝4－6k 2－3m .由x 20＝4y 0，得k 2＝－15m ＋415.10分由Δ＞0，k 2≥0，得－13＜m ≤43.又因为|AB |＝41＋k 2·k 2＋m ，点F (0,1)到直线AB 的距离为d ＝|m －1|1＋k2，所以S △ABP ＝4S △ABF ＝8|m －1|k 2＋m＝16153m 3－5m 2＋m ＋1.记f (m )＝3m 3－5m 2＋m ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＜m ≤43，令f ′(m )＝9m 2－10m ＋1＝0，解得m 1＝19，m 2＝1.12分可得f (m )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，19上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫19，1上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43上是增函数．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝256243 ＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，所以，当m ＝19时，f (m )取到最大值256243，此时k ＝±5515.所以，△ABP 面积的最大值为2565135.15分(对应学生用书第49页) 热点题型1 圆锥曲线中的定值问题题型分析：圆锥曲线中的定值问题是近几年高考的热点内容，解决这类问题的关键是引入变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式恒成立，数式变换等寻找不受参数影响的量.【例1】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32与椭圆右焦点的连线垂直于x 轴，直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点(均不在坐标轴上)． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设O 为坐标原点，若△AOB 的面积为3，试判断直线OA 与OB 的斜率之积是否为定值？【导学号：68334131】[解] (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋94b2＝1，a 2＝b 2＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝3，3分∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.4分(2)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋m ，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，5分由Δ＝(8km )2－16(4k 2＋3)(m 2－3)＞0，得m 2＜4k 2＋3. 6分∵x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋3，x 1x 2＝4m 2－124k 2＋3，∴S △OAB ＝12|m ||x 1－x 2|＝12|m |·434k 2＋3－m24k 2＋3＝3， 8分化简得4k 2＋3－2m 2＝0，满足Δ＞0，从而有4k 2－m 2＝m 2－3(*)，9分∴k OA ·k OB ＝y 1y 2x 1x 2＝ kx 1＋m kx 2＋m x 1x 2＝k 2x 1x 2＋km x 1＋x 2 ＋m 2x 1x 2＝－12k 2＋3m 24m －12＝－34·4k 2－m 2m －3，由(*)式，得4k 2－m2m －3＝1， 12分 ∴k OA ·k OB ＝－34，即直线OA 与OB 的斜率之积为定值－34.15分[方法指津]求解定值问题的两大途径1.由特例得出一个值此值一般就是定值 →证明定值：将问题转化为证明待证式与参数某些变量无关2．先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值．[变式训练1] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1过A (2,0)，B (0,1)两点．(1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值． [解] (1)由题意得a ＝2，b ＝1， ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.3分又c ＝a 2－b 2＝3，∴离心率e ＝c a ＝32. 5分(2)证明：设P (x 0，y 0)(x 0＜0，y 0＜0)，则x 20＋4y 20＝4. 6分又A (2,0)，B (0,1)，∴直线PA 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)．令x ＝0，得y M ＝－2y 0x 0－2，从而|BM |＝1－y M ＝1＋2y 0x 0－2. 9分直线PB 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1. 令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1，从而|AN |＝2－x N ＝2＋x 0y 0－1. 12分∴四边形ABNM 的面积S ＝12|AN |·|BM |＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 0y 0－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2y 0x 0－2＝x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋42 x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝2x 0y 0－2x 0－4y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝2.从而四边形ABNM 的面积为定值.15分热点题型2 圆锥曲线中的最值、范围问题题型分析：圆锥曲线中的最值、范围问题是高考重点考查的内容，解决此类问题常用的方法是几何法和代数法.【例2】设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .(1)证明|EA |＋|EB |为定值，并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围． [解] (1)因为|AD |＝|AC |，EB ∥AC ，所以∠EBD ＝∠ACD ＝∠ADC ，所以|EB |＝|ED |，故|EA |＋|EB |＝|EA |＋|ED |＝|AD |.又圆A 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝16，从而|AD |＝4，所以|EA |＋|EB |＝4.2分由题设得A (－1,0)，B (1,0)，|AB |＝2，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0).4分(2)当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1 ，x 24＋y23＝1，得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，则x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3.所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝12 k 2＋14k 2＋3. 过点B (1,0)且与l 垂直的直线m ：y ＝－1k(x －1)，点A 到直线m 的距离为2k 2＋1， 6分所以|PQ |＝242－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋12＝44k 2＋3k 2＋1.故四边形MPNQ 的面积S ＝12|MN || PQ |＝121＋14k 2＋3. 8分可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为(12,83).12分当l 与x 轴垂直时，其方程为x ＝1，|MN |＝3，|PQ |＝8，故四边形MPNQ 的面积为12.综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为[12,83). 15分[方法指津]与圆锥曲线有关的取值范围问题的三种解法1．数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后数形结合求解． 2．构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解． 3．构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域．[变式训练2] (名师押题)已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)，过其焦点作斜率为1的直线l 交抛物线C 于M ，N 两点，且|MN |＝16. (1)求抛物线C 的方程；(2)已知动圆P 的圆心在抛物线C 上，且过定点D (0,4)，若动圆P 与x 轴交于A ，B 两点，求|DA ||DB |＋|DB ||DA |的最大值. 【导学号：68334132】 [解] (1)设抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，则直线l ：y ＝x ＋p2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋p 2，x 2＝2py ，得x 2－2px －p 2＝0，∴x 1＋x 2＝2p ，∴y 1＋y 2＝3p ， ∴|MN |＝y 1＋y 2＋p ＝4p ＝16，∴p ＝4， ∴抛物线C 的方程为x 2＝8y .4分(2)设动圆圆心P (x 0，y 0)，A (x 1,0)，B (x 2,0)，则x 20＝8y 0，且圆P ：(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝x 20＋(y 0－4)2，令y ＝0，整理得x 2－2x 0x ＋x 20－16＝0，解得x 1＝x 0－4，x 2＝x 0＋4， 6分设t ＝|DA ||DB |＝x 0－4 2＋16x 0＋4 2＋16＝x 20－8x 0＋32x 20＋8x 0＋32＝1－16x 0x 20＋8x 0＋32，当x 0＝0时，t ＝1， ①7分当x 0≠0时，t ＝1－16x 0＋8＋32x 0. ∵x 0＞0，∴x 0＋32x 0≥82，∴t ≥1－168＋82＝3－22＝2－1，且t ＜1， ② 综上①②知2－1≤t ≤1.11分∵f (t )＝t ＋1t在[2－1,1]上单调递减，∴|DA ||DB |＋|DB ||DA |＝t ＋1t ≤2－1＋12－1＝22，当且仅当t ＝2－1，即x 0＝42时等号成立． ∴|DA ||DB |＋|DB ||DA |的最大值为2 2.15分热点题型3 圆锥曲线中的探索性问题题型分析：探索性问题一般分为探究条件和探究结论两种类型，若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在.若探究结论，则应先写出结论的表达式，再针对表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论.【例3】如图135，在平面直角坐标系xOy 中，已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a ＋y 2b ＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A ，B 分别是椭圆E 的左、右顶点，D (1,0)为线段OF 2的中点，且AF 2→＋5BF 2→＝0.图135(1)求椭圆E 的方程；(2)若M 为椭圆E 上的动点(异于点A ，B )，连接MF 1并延长交椭圆E 于点N ，连接MD ，ND 并分别延长交椭圆E 于点P ，Q ，连接PQ ，设直线MN ，PQ 的斜率存在且分别为k 1，k 2.试问是否存在常数λ，使得k 1＋λk 2＝0恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．[解题指导] (1)D 为OF2的中点→求c →＝0→a 与c 的关系→椭圆方程(2)假设存在常数λ→设点M ，N ，P ，Q 的坐标→ 直线MD 的方程与椭圆方程联立→用点M 的坐标表示点P ，Q 的坐标→点M ，F 1，N 共线→得到点M ，N 坐标的关系→求k 2→得到k 1与k 2的关系[解] (1)∵AF 2→＋5BF 2→＝0，∴AF 2→＝5F 2B →，∵a ＋c ＝5(a －c )，化简得2a ＝3c ，又点D (1,0)为线段OF 2的中点，∴c ＝2，从而a ＝3，b ＝5，左焦点F 1(－2,0)，故椭圆E 的方程为x 29＋y 25＝1.4分(2)假设存在满足条件的常数λ，使得k 1＋λk 2＝0恒成立，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，则直线MD 的方程为x ＝x 1－1y 1y ＋1，代入椭圆方程x 29＋y 25＝1，整理得，5－x 1y 21y 2＋x 1－1y 1y－4＝0，6分∵y 1＋y 3＝y 1 x 1－1 x 1－5，∴y 3＝4y 1x 1－5，从而x 3＝5x 1－9x 1－5，故点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫5x 1－9x 1－5，4y 1x 1－5，同理，点Q ⎝⎛⎭⎪⎫5x 2－9x 2－5，4y 2x 2－5.10分∵三点M ，F 1，N 共线，∴y 1x 1＋2＝y 2x 2＋2，从而x 1y 2－x 2y 1＝2(y 1－y 2)，从而k 2＝y 3－y 4x 3－x 4＝4y 1x 1－5－4y 2x 2－55x 1－9x 1－5－5x 2－9x 2－5＝x 1y 2－x 2y 1＋5 y 1－y 24 x 1－x 2＝7 y 1－y 2 4 x 1－x 2 ＝7k 14，故k 1－4k 27＝0，从而存在满足条件的常数λ，λ＝－47.15分[方法指津]探索性问题求解的思路及策略1．思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在．2．策略：(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．[变式训练3] 已知椭圆C ：x 2a ＋y 2b＝1(a ＞b ＞0)的焦点分别为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，点P 在椭圆C 上，满足|PF 1|＝7|PF 2|，tan ∠F 1PF 2＝4 3. (1)求椭圆C 的方程；(2)已知点A (1,0)，试探究是否存在直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于D ，E 两点，且使得|AD |＝|AE |？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.【导学号：68334133】[解] (1)由|PF 1|＝7|PF 2|，PF 1＋PF 2＝2a 得PF 1＝7a 4，PF 2＝a4.2分由余弦定理得cos ∠F 1PF ＝17＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 42－ 23 22×7a 4×a 4，∴a ＝2，∴所求C 的方程为x 24＋y 2＝1.4分(2)假设存在直线l 满足题设，设D (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，由Δ＝64k 2m 2－4(1＋4k 2)(4m 2－4)＝－16(m 2－4k 2－1)＞0，得4k 2＋1＞m 2.① 6分又x 1＋x 2＝－8km1＋4k2.设D ，E 中点为M (x 0，y 0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2，k AMk ＝－1，得m ＝－1＋4k 23k ，②将②代入①得4k 2＋1＞⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4k 23k 2，化简得20k 4＋k 2－1＞0⇒(4k 2＋1)(5k 2－1)＞0，解得k＞55或k ＜－55，所以存在直线l ，使得|AD |＝|AE |，此时k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－55∪⎝⎛⎭⎪⎫55，＋∞.15分。

2019年度全国数理化大赛(冬季)数学课件-神奇的圆锥曲线

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圆锥曲线在建筑学中的应用
人们在设计高大的立塔时，就采取单叶双曲面的体形，既轻巧又坚固。热电站的冷却水塔采用这一结构可以提高冷却回收率.

2018-2019学年苏教版选修1-1《2.1圆锥曲线》讲学案(含答案).doc

2． 1 圆 _锥 _曲_线椭圆的定义取一条定长的无弹性的细绳，把它的两端分别固定在图板的两点F1、 F2处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖．问题 1：若绳长等于两点F1、 F2的距离，画出的轨迹是什么曲线？提示：线段 F 1F 2.问题 2：若绳长L 大于两点F1、F 2的距离．移动笔尖(动点 M)满足的几何条件是什么？提示： MF 1＋ MF 2＝ L.平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于 F 1F 2)的点的轨迹叫做椭圆．(1)焦点：两个定点F1， F 2叫做椭圆的焦点．(2)焦距：两个焦点间的距离叫做椭圆的焦距.双曲线的定义2011 年 3 月 16 日，中国海军第7 批、第 8 批护航编队“温州号”导弹护卫舰，“马鞍山”号导弹护卫舰在亚丁湾东部海域高船集结点附近正式会合，共同护航，某时，“马鞍山”舰哨兵监听到附近海域有快艇的马达声，与“马鞍山”舰哨兵相距 1 600 m 的“温州号”舰， 3 s 后也监听到了马达声 (声速 340 m/s)，用 A、B 分别表示“马鞍山”舰和“温州号”舰所在的位置，点 M 表示快艇的位置．问题 1：“温州号”舰比“马鞍山”舰距离快艇远多少米？提示： MB － MA＝ 340×3＝ 1 020(m) ．问题 2：把快艇作为一个动点，它的轨迹是双曲线吗？提示：不是．平面内与两个定点 F1， F 2的距离的差的绝对值等于常数 (小于 F1F2的正数 )的点的轨迹叫做双曲线．(1)焦点：两个定点F1， F 2叫做双曲线的焦点．(2)焦距：两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.抛物线的定义如图，我们在黑板上画一条直线EF ，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在 C 点，将三角板的另一条直角边贴在直线 EF 上，在拉锁 D 处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线．问题 1：画出的曲线是什么形状？提示：抛物线．问题 2： DA 是点 D 到直线 EF 的距离吗？为什么？提示：是． AB 是 Rt△的一条直角边．问题 3：点 D 在移动过程中，满足什么条件？提示： DA ＝ DC .1．一般地，平面内到一个定点 F 和一条定直线l(F 不在 l 上 )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．2．椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线．1．圆锥曲线定义用集合语言可描述为：(1)椭圆 P＝ { M|MF 1＋ MF2＝ 2a,2a>F1F2} ；(2)双曲线 P＝ { M||MF 1－ MF 2|＝ 2a,2a<F1F 2} ；(3)抛物线 P＝ { M|MF ＝ d， d 为 M 到直线 l 的距离 } ．2．在椭圆定义中，当 2a＝ F1F2时， M 的轨迹为线段 F 1F 2，在双曲线定义中，当2a＝F1F 2 时， M 的轨迹为两条射线．3．过抛物线焦点向准线作垂线，垂足为N，则 FN 的中点为抛物线顶点，FN 所在直线为抛物线对称轴．4．对于椭圆、双曲线，两焦点的中点是它们的对称中心，两焦点所在直线及线段 F 1F 2 的垂直平分线是它们的对称轴．[ 对应学生用书 P19]圆锥曲线定义的理解[例 1]平面内动点M 到两点 F 1(－ 3,0)，F 2(3,0) 的距离之和为3m，问 m 取何值时M 的轨迹是椭圆？[思路点拨 ] 若 M 的轨迹是椭圆，则MF 1＋MF 2为常数，但要注意这个常数大于F1F2 .[精解详析 ] ∵ MF 1＋ MF2＝ 3m，∴M 到两定点的距离之和为常数，当3m 大于 F1F 2时，由椭圆定义知，M 的轨迹为椭圆，∴3m>F1F2＝3＋ 3 2＋ 0－ 0 2＝ 6，∴m>2，∴当 m>2 时， M 的轨迹是椭圆．[一点通 ]深刻理解圆锥曲线的定义是解决此类问题的前提，一定要注意定义中的约束条件：(1)在椭圆中，和为定值且大于 F 1F2；(2)在双曲线中，差的绝对值为定值且小于 F 1F2；(3)在抛物线中，点 F 不在定直线上．1．命题甲：动点P 到两定点A、 B 的距离之和PA＋ PB＝ 2a(a＞ 0， a 为常数 )；命题乙：P 点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的________条件．解析：若 P 点轨迹是椭圆，则PA＋ PB＝ 2a(a＞ 0，常数 )，∴甲是乙的必要条件．反过来，若PA＋PB ＝ 2a(a＞ 0，常数 )是不能推出P 点轨迹是椭圆的．这是因为：仅当2a＞AB 时， P 点轨迹才是椭圆；而当2a＝ AB 时， P 点轨迹是线段AB；当 2a＜AB 时， P 点无轨迹，∴甲不是乙的充分条件．综上，甲是乙的必要而不充分条件．答案：必要不充分2．动点P 到两个定点A(－ 2,0)， B(2,0) 构成的三角形的周长是10，则点P 的轨迹是________．解析：由题意知： PA＋ PB＋ AB＝ 10，又 AB＝ 4，∴PA＋ PB＝ 6>4.∴点 P 的轨迹是椭圆．答案：椭圆圆锥曲线的应用[例 2]设F1，F2是双曲线的两个焦点，Q 是双曲线上任一点，从某一焦点引∠ F 1QF 2的平分线的垂线，垂足是P，那么点P 的轨迹是什么曲线？[思路点拨 ]利用双曲线的定义，结合平面图形的性质判断．[精解详析 ] 如图所示，点Q 在双曲线的右支上，有QF1－ QF2＝2a.①延长 F1P、 QF2交于 L .∵∠ F 1QP＝∠ LQP， QP⊥ F1P，∴F 1Q＝QL ，代入①，则QL －QF 2＝2a，即 F2L ＝ 2a.取线段 F 1F2中点 O，则由 P 是 F1 L 中点有1 1PO＝2F 2L ＝2·2a＝ a.∴P 的轨迹是以 O 为圆心，以 a 为半径的圆．[一点通 ] 当点在圆锥曲线上时，点一定满足圆锥曲线的定义，如本题中，点 Q 在双曲线上，则有QF1－ QF2＝ 2a，这是定义的要求．另外利用平面图形的性质解题是解析几何中很常见的解题思想．3．平面内到两定点F1(－ 1,0)和 F 2(1,0)的距离的和为 3 的点的轨迹是________．解析： F 1F2＝ 2＜ 3，∴点 P 的轨迹是椭圆．答案：椭圆4．已知圆 C1：(x＋ 3)2＋y2＝1 和圆 C2：(x－ 3)2＋ y2＝ 9，动圆 M 同时与圆 C1和圆 C2相外切，试判断动圆圆心 M 的轨迹．解：设圆 M 的半径为r ，由题意，得MC 1＝ 1＋ r，MC 2＝3＋ r.∵MC 2－ MC 1＝2<C1C2，∴圆心 M 的轨迹是以C1， C2为焦点的双曲线的左支．5．已知定点 P(0,3) 和定直线 l ： y＋ 3＝0，动圆 M 过 P 点且与直线 l 相切．求证：圆心 M 的轨迹是一条抛物线．解：∵直线 y＋3＝ 0 与圆相切，∴圆心M 到直线 y＋3＝ 0 的距离为圆的半径r.又圆过点P(0,3) ，∴r ＝MP ，∴动点 M 到点 P(0,3) 的距离等于到定直线y＋ 3＝ 0 的距离，∴动点 M 的轨迹是以点P(0,3) 为焦点，以直线y＋ 3＝ 0 为准线的抛物线．椭圆定义中常数为动点到两焦点的距离之和，由三角形中两边之和大于第三边知，应要求常数大于焦距．双曲线定义中常数为动点到两焦点的距离之差的绝对值，由三角形中两边之差小于第三边知，应要求常数小于焦距．[对应课时跟踪训练(七)]1 ．平面内到一定点F和到一定直线l(F在l上)的距离相等的点的轨迹是________________________ ．答案：过点 F 且垂直于l 的直线2．设 F 1、 F2为定点， PF 1－PF 2＝ 5，F 1F 2＝ 8，则动点P 的轨迹是 ________．解析：∵5＜ 8，满足双曲线的定义，∴轨迹是双曲线．答案：双曲线3．以 F 1、 F2为焦点作椭圆，椭圆上一点 P1到 F 1、 F 2的距离之和为 10，椭圆上另一点 P2满足 P2F1＝ P2F2，则 P2F1＝ ________.解析：∵P2在椭圆上，∴ P2F 1＋ P2F2＝ 10，又∵P2F 1＝ P2F 2，∴P2 F1＝ 5.答案： 54．平面内动点P 到两定点 F 1(－ 2,0)，F2(2,0)的距离之差为m，若动点 P 的轨迹是双曲线，则m 的取值范围是 ________．解析：由题意可知，|m|＜ 4，且 m≠0，∴－ 4<m<4，且 m≠0.答案： (－ 4,0)∪ (0,4)5．已知椭圆上一点P 到两焦点F1、F 2的距离之和为20，则 PF 1·PF 2的最大值为 ________．解析：∵PF 1＋PF 2＝ 20，PF 1＋PF 2 2＝ ( 20 2∴PF1·PF2≤ ( 2 ) 2 ) ＝ 100.答案： 1006．已知抛物线的焦点为 F ，准线为 l ，过 F 作直线与抛物线相交于A、B 两点，试判断以AB 为直径的圆与l 的位置关系．解：如图，取AB 的中点 O2，过 A、 B、O2分别作 AA1⊥l ，BB 1⊥ l， O2O1⊥ l，根据抛物线的定义，知AA1＝ AF， BB1＝BF ，AA1＋ BB1 AF ＋BF AB∴O2O1＝ 2 ＝ 2 ＝2＝R(R 为圆的半径 )，∴以 AB 为直径的圆与l 相切．7．动点 P(x，y)的坐标满足x－ 2 2＋ y2＋x＋ 2 2＋ y2＝ 8.试确定点 P 的轨迹．解：设 A(2,0)，B(－ 2,0)，则 x－ 2 2＋ y2表示 PA，x＋ 2 2＋ y2表示 PB，又 AB＝ 4，∴PA＋ PB＝ 8＞ 4，∴点 P 的轨迹是以A、 B 为焦点的椭圆．8．在相距 1 600 m 的两个哨所A， B，听远处传来的炮弹爆炸声，已知当时的声速是340 m/s，在 A 哨所听到爆炸声的时间比在 B 哨所听到时间早 3 s．试判断爆炸点在怎样的曲线上？解：由题意可知点P 离 B 比离 A 远，且PB －PA＝340× 3＝ 1 020 m，而AB ＝ 1 600 m＞ 1 020 m，满足双曲线的定义，∴爆炸点应在以A， B 为焦点的双曲线的靠近 A 的一支上．。