初中数学三角形面积变形公式的应用学法指导
三角形面积公式的推导与应用
三角形面积公式的推导与应用三角形是初中数学中的一个重要概念，它在几何学中有着广泛的应用。
在解决与三角形相关的问题时，求解三角形的面积是常见的任务之一。
本文将对三角形的面积公式进行推导，并探讨其在实际问题中的应用。
一、三角形面积公式的推导要推导三角形的面积公式，我们可以使用两种方法：一种是基于底边和高的关系，另一种是使用海伦公式。
1. 基于底边和高的关系考虑一个任意三角形ABC，我们可以将其底边AB看作基，高为CD，其中C为AB上的一点，D为垂足。
根据三角形的定义，我们可以得到三角形ABC的面积为其底边AB长度乘以高CD的一半，即：面积 = 1/2 * AB * CD这就是三角形面积的基本公式，适用于所有三角形。
2. 使用海伦公式对于已知三角形三边长度的情况，我们可以使用海伦公式来求解三角形的面积。
海伦公式表示如下：面积= √(s * (s - a) * (s - b) * (s - c))其中，a、b、c分别表示三角形的三条边的长度，s为三条边长度之和的一半，即s = (a + b + c)/2。
通过海伦公式，我们可以在已知三边长度的情况下直接计算三角形的面积，而无需寻找其他辅助线。
二、三角形面积公式的应用三角形的面积公式在解决实际问题时有广泛的应用，以下是几个常见的应用场景：1. 测量不规则三角形的面积在现实生活中，遇到测量不规则形状的区域时，我们可以通过将其分割为多个三角形，并计算每个三角形的面积，然后将其相加来计算整个区域的面积。
2. 地理测量与导航地理测量和导航中常常需要计算地图上各种形状的区域的面积，例如土地面积、湖泊面积等等。
三角形的面积公式可以方便地应用于这些测量计算中。
3. 建筑设计与工程在建筑设计和工程中，三角形面积公式也经常被使用。
例如，在设计屋顶时，需要计算梯形和三角形的面积来确定材料的用量；在工程测量中，也需要计算各种形状区域的面积。
4. 计算三维物体的表面积三角形面积公式可以用于计算三维物体的表面积。
提高学生应用能力的三角形面积计算教学方法
提高学生应用能力的三角形面积计算教学方法三角形的面积计算是中学数学中的基础知识之一，它不仅在数学课堂上有着广泛的应用，也涉及到生活中的实际问题。
为了提高学生的应用能力，我们可以采用一些创新的教学方法来教授三角形面积计算的知识。
本文将介绍三种有效的教学方法，帮助学生更好地掌握三角形面积计算的技巧。
一、实物模型法实物模型法是指通过使用实物模型来帮助学生理解三角形面积的计算方法。
教师可以准备一些具体的三角形模型或者让学生自己制作，以便学生触摸、感受和观察。
在教学过程中，教师可以将一张平面上的三角形与实物模型对应起来，让学生通过观察模型来理解三角形的面积计算方法。
这种教学方法能够激发学生的兴趣，提高他们对数学的实际应用能力。
二、图形软件辅助法图形软件辅助法是指使用计算机软件来进行三角形面积计算的教学。
教师可以准备一些三角形的图像，然后将这些图像导入计算机软件中进行计算。
通过使用图形软件，学生可以直观地看到三角形的形状，并且可以通过软件自动计算出三角形的面积。
教师可以引导学生使用图形软件进行计算并分析结果，从而提高他们的应用能力和数据处理能力。
三、实际问题解决法实际问题解决法是指通过解决一些与三角形面积相关的实际问题来进行教学。
教师可以设计一些真实的问题，例如计算房间的地板面积、计算地图上的三角形面积等，让学生运用所学的知识来解决这些问题。
通过解决实际问题，学生可以将数学知识与实际应用相结合，提高他们的问题解决能力和创新思维能力。
这三种教学方法既能够提高学生的应用能力，又能够增强他们的实际操作能力。
在实施这些教学方法时，教师应该注重培养学生的独立思考和解决问题的能力。
此外，教师还应该根据学生的实际情况，灵活运用不同的教学方法，让每个学生都能够在教学中获得真正的提高。
总之，通过实物模型法、图形软件辅助法和实际问题解决法这三种教学方法，我们可以提高学生的应用能力，帮助他们更好地掌握三角形面积计算的技巧。
这些方法不仅能够使学生更好地理解数学知识，还能够培养他们的问题解决能力和创新思维能力。
掌握中考数学解题技巧如何解决三角形的面积和角度问题
掌握中考数学解题技巧如何解决三角形的面积和角度问题数学作为一门理科学科，对学生而言常常是一个难以捉摸的存在。
然而，在中考中，数学成绩常常被视为考生评价的重要指标之一。
因此，掌握数学解题技巧成为了中学生迫切需要解决的问题之一。
尤其是在解决三角形的面积和角度问题时，合理的解题技巧显得尤为重要。
本文将介绍几种常用的解决三角形面积和角度问题的数学技巧。
一、三角形的面积问题（1）海伦公式三角形的面积问题是中考中常见的一个知识点。
其中，面积公式的运用是解决三角形面积问题的关键。
在解决三角形面积问题时，海伦公式是一种常用的求解方法。
该公式可以通过三角形的三边长来计算其面积。
假设三角形的三边长分别为a、b、c，令s为三角形的半周长，则海伦公式可以表示为：```面积= √(s(s-a)(s-b)(s-c))```其中，s = (a+b+c)/2。
（2）高度法除了海伦公式，我们还可以通过高度法来解决三角形的面积问题。
这种方法将三角形的面积与其底边长度和高度有关联。
假设三角形的底边长为b，高度为h，则三角形的面积可以表示为：```面积 = 1/2 * b * h```通过计算实际三角形的底边长和高度，可以求得其面积。
二、三角形的角度问题（1）三角形内角和三角形内角和是指三角形内部的三个角度之和。
对于任意一个三角形来说，其内角和是一个固定的值。
根据几何定理，三角形的内角和等于180度，即：```A +B +C = 180```其中，A、B、C分别表示三角形的三个内角。
在解决三角形的角度问题时，我们可以利用这一性质解出未知的角度，从而得到正确的答案。
（2）余弦定理除了内角和，我们还可以运用余弦定理解决三角形的角度问题。
当我们知道三角形的两边长和夹角时，可以利用余弦定理求得第三边的长度。
假设三角形的三边长分别为a、b、c，夹角为A，则余弦定理可以表示为：```c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosA```通过利用余弦定理，我们可以求得三角形的其中一个夹角，从而解决三角形的角度问题。
三角形的面积计算和实际应用
三角形的面积计算和实际应用三角形是几何学中最基本的形状之一，它的面积计算是数学与实际生活中常见的问题。
本文将介绍三角形的面积计算方法及其在实际应用中的意义。
一、三角形的面积计算方法三角形的面积是通过其底边和高来计算的，计算公式为：面积 = 底边 ×高 ÷ 2其中，底边是三角形的一边的长度，高是从该边到与之平行的另一边的垂直距离。
实际计算中，我们可以根据不同情况采用不同的方法来计算三角形的面积。
1.1 通过底边和高计算如果我们已知三角形的底边和高的长度，可以直接使用上述公式来计算面积。
以一个具体的例子来说明：假设三角形的底边长度为10 cm，高度为8 cm，则它的面积为：面积 = 10 cm × 8 cm ÷ 2 = 40 cm²1.2 通过两边长度和夹角计算除了通过底边和高计算，我们还可以利用三角形的两边的长度和它们之间的夹角来计算面积。
这是利用三角形面积公式的变形形式：面积= 1/2 × a × b × sin(θ)其中，a和b分别是三角形两边的长度，θ是它们之间的夹角。
举个例子，假设已知一个三角形的两边长度分别为5 cm和7 cm，夹角θ为30°，则它的面积可计算为：面积= 1/2 × 5 cm × 7 cm × sin(30°) ≈ 8.75 cm²通过这种方法，我们可以在已知三角形两边和夹角的情况下，准确计算出三角形的面积。
二、三角形面积的实际应用三角形的面积计算不仅仅是数学领域的抽象问题，它在实际生活中有着广泛的应用。
2.1 地理测量地理测量中经常需要计算地面上不规则区域的面积，而这些区域往往可以近似看作由三角形组成。
通过测量三角形的底边和高，我们可以得到整个区域的面积，从而进行土地规划或地貌分析。
2.2 工程建筑在建筑和工程领域，三角形的面积计算也是必不可少的。
三角形面积公式的推导教案
三角形面积公式的推导教案第一篇：三角形面积公式的推导教案三角形面积公式的推导三角形面积的计算教学目标：1．理解三角形面积公式的推导过程，正确运用三角形面积公式进行计算．2．培养学生观察能力、动手操作能力和类推迁移的能力．3．培养学生勤于思考，积极探索的学习精神．教学重点：理解三角形面积计算公式，正确计算三角形的面积．教学难点：理解三角形面积公式的推导过程．教学准备：准备三种类型三角形(2个完全一样的)和一个平行四边形。
教学过程：一、复习引入：1．出示平行四边形，面积公式怎样？2．面积公式是怎样推导出来的？3．出示三角形。
三角形按角可以分为哪几种? ４．既然平行四边形都可以利用公式计算的方法，求它们的面积，三角形面积可以怎样计算呢?（揭示课题：三角形面积的计算）今天我们一起研究“三角形的面积”（板书）二、指导探索：（一）推导三角形面积计算公式．1．拿出手里的平行四边形，想办法剪成两个三角形，并比较它们的大小．2．启发提问：你能否依照平行四边形面积的方法把三角形转化成已学过的图形，再计算面积呢？3．用两个完全一样的直角三角形拼．（1）教师参与学生拼摆，个别加以指导（2）演示课件：拼摆图形（3）讨论①两个完全一样的直角三角形拼成一个大三角形能帮助我们推导出三角形面积公式吗？为什么？②观察拼成的长方形和平行四边形，每个直角三角形的面积与拼成的平行四边形的面积有什么关系？4．用两个完全一样的锐角三角形拼．（1）组织学生利用手里的学具试拼．（指名演示）（2）演示课件：拼摆图形（突出旋转、平移）教师提问：每个三角形的面积与拼成的平行四边形的面积有什么关系？5．用两个完全一样的钝角三角形来拼．（1）由学生独立完成．（2）演示课件：拼摆图形6．讨论：（1）两个完全相同的三角形都可以转化成什么图形？（2）每个三角形的面积与拼成的平行四边形的面积有什么关系？（3）三角形面积的计算公式是什么？7、引导学生明确：①两个完全一样的三角形都可以拼成一个平行四边形。
三角形的面积公式与应用
三角形的面积公式与应用三角形是几何学中的基本概念之一，其面积是我们常常需要计算的重要数值。
本文将介绍三角形的面积公式以及其应用。
首先，我们来看一下三角形的面积公式。
一、三角形的面积公式三角形的面积公式通常有两种形式：一种是根据三角形的底和高的关系得出的面积公式，另一种是根据三角形的三边长的关系得出的面积公式。
1. 底和高的关系三角形的底和高构成了一个矩形，其面积就是三角形的面积。
设三角形的底为b，高为h，则三角形的面积S等于矩形的面积，即S=b*h/2。
2. 三边长的关系根据海伦公式，设三角形的三边长分别为a、b、c，半周长为p=(a+b+c)/2，则三角形的面积S可以通过以下公式计算：S=sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c))其中，sqrt表示求平方根。
二、三角形面积公式的应用三角形的面积公式在实际生活中有着广泛的应用。
下面列举几个常见的应用场景：1. 建筑设计与土木工程在建筑设计和土木工程中，我们经常需要计算各种形状的三角形的面积。
例如，在设计房屋的屋顶时，需要计算三角形面片的面积来确定屋顶的覆盖材料的用量。
在道路建设中，需要计算三角形形状的地基土层的面积来确定填土的数量。
2. 测量学与地理学在测量学和地理学中，三角形的面积公式也得到了广泛应用。
例如，在测量不规则地形的面积时，可以将地形划分为多个三角形，然后计算每个三角形的面积并求和，从而得到整个地形的面积。
3. 统计学与数据分析在统计学和数据分析中，三角形的面积公式用于计算概率密度函数下曲线与x轴之间的面积，从而计算出某一变量落在某一范围内的概率。
4. 旅游规划与导航在旅游规划和导航中，我们经常需要计算地图上不同区域的面积，例如计算国家、城市或者景点的面积。
三角形的面积公式提供了一种简单而有效的方法来计算这些区域的面积。
综上所述，三角形的面积公式是一个非常重要的数学工具，它在各个领域都有着广泛的应用。
通过掌握三角形的面积公式，并能够灵活运用，我们可以更好地应用数学知识解决实际问题。
三角形的面积教学设计5篇
三角形的面积教学设计5篇（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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三角形的面积公式及应用
三角形的面积公式及应用三角形是几何学中最基本的图形之一，它的面积公式可以帮助我们计算三角形的大小。
本文将介绍三角形的面积公式，以及它在实际问题中的应用。
一、三角形的面积公式三角形的面积公式是通过底和高来计算的。
对于任意三角形，我们将底的长度记为b，高的长度记为h，则三角形的面积S可以表示为S=1/2 * b * h。
此外，当我们知道三角形的边长时，也可以通过海伦公式来计算三角形的面积。
海伦公式可以表示为S=sqrt(s * (s-a) * (s-b) * (s-c))，其中s为三角形周长的一半，a、b、c为三角形的三条边长。
二、应用举例1. 三角形的基础应用三角形的面积公式是解决各种三角形问题的基础。
例如，当我们已知三角形的底和高时，可以直接使用面积公式计算三角形的面积。
举个例子，假设我们有一个三角形，底的长度是5cm，高的长度是3cm。
根据面积公式，我们可以计算出该三角形的面积为S=1/2 * 5 * 3 = 7.5平方厘米。
2. 海伦公式的应用海伦公式是解决三角形面积问题的另一种常用方法。
它适用于当我们已知三角形的三条边长时，可以利用海伦公式计算三角形的面积。
举个例子，假设我们知道一个三角形的三条边分别是3cm、4cm和5cm。
首先我们可以通过海伦公式计算出三角形的半周长s=(3+4+5)/2=6cm，然后根据海伦公式，我们可以得到该三角形的面积为S=sqrt(6*(6-3)*(6-4)*(6-5))=6平方厘米。
3. 实际应用除了基础的三角形面积计算，三角形的面积公式在实际问题中也有广泛的应用。
例如，建筑工程中需要计算地面上不规则形状的区域的面积，我们可以将这个区域分割成多个三角形，然后分别计算每个三角形的面积，最后将它们相加得到整个区域的面积。
三、总结本文介绍了三角形的面积公式及其在实际问题中的应用。
无论是基本的三角形面积计算，还是利用海伦公式解决三角形面积问题，都可以帮助我们准确计算三角形的大小。
初中数学 如何使用相似三角形的性质计算三角形的面积
初中数学如何使用相似三角形的性质计算三角形的面积
要使用相似三角形的性质计算三角形的面积，可以利用相似三角形的面积比来求解。
当两个三角形相似时，它们的对应边的长度比相等，而对应角的度数也相等。
假设有两个相似的三角形ABC和DEF，它们的对应边长比为a:b，面积比为S₁:S₂。
如果已知三角形DEF的面积S₂和对应边长比a:b，那么可以使用以下公式计算三角形ABC的面积S₁：
S₁ = (a²/b²) * S₂
具体计算步骤如下：
1. 已知三角形DEF的面积S₂和对应边长比a:b。
2. 计算面积比的平方。
根据相似三角形的性质，面积比的平方等于对应边长比的平方：
(S₁/S₂)² = (a/b)²
3. 求解S₁。
将已知的面积比带入公式，可以得到三角形ABC的面积S₁：
S₁ = (a²/b²) * S₂
通过以上公式，可以利用已知相似三角形的面积比和对应边长比来计算另一个三角形的面积。
需要注意的是，在使用相似三角形的性质计算面积时，要确保两个三角形确实是相似的，并且对应边长比已知准确。
总结起来，可以利用相似三角形的面积比来计算三角形的面积。
根据已知的面积比和对应边长比，使用相似三角形的面积比公式计算另一个三角形的面积。
三角形面积的教学方法与策略
三角形面积的教学方法与策略在数学教学中，三角形是一个十分重要的几何形状，而求解三角形的面积是初中数学中的基本知识点之一。
本文将介绍一些有效的教学方法与策略，帮助学生理解和掌握求解三角形面积的技巧，并提升他们在这一领域的学习成绩。
一、概念介绍与思维导图在引入三角形面积的概念时，可以通过简单明了的语言解释三角形的定义，并给出几个实例，使学生能够直观地理解什么是三角形面积。
此外，还可以运用思维导图的方式将概念与实例进行整理和呈现，帮助学生更好地理清思路，便于后续的学习与计算。
二、基本公式的引入和应用实例在学习三角形面积的计算方法时，有必要引入三角形面积的基本公式：面积等于底边乘以高，并给出具体的应用实例进行讲解。
通过这样的方法，学生能够逐步理解基本公式的含义和计算步骤，并通过实例的解答来巩固记忆和理解。
三、不规则三角形面积的计算方法在掌握了基本的三角形面积计算方法后，可以进一步引入不规则三角形面积的计算方法。
此时，可以通过将不规则三角形划分为多个规则三角形，并计算各个规则三角形的面积，最后将它们相加得到整个不规则三角形的面积。
这种分解和综合的思维方式能够帮助学生更好地理解和应用三角形面积的计算方法。
四、应用题的讲解和解析在学习过程中，应用题的讲解和解析是必不可少的。
教师可以选择一些经典的三角形面积应用题，并结合实际生活中的场景进行讲解。
同时，要注重培养学生的解题思路和方法，引导他们通过识别问题、设立方程、运用适当的公式等步骤来解决问题。
帮助学生理解数学知识与实际问题之间的联系，提升他们的综合应用能力。
五、拓展课程与示范演示为了加深学生对三角形面积的理解，可以设计一些拓展课程，引导学生进一步探索三角形面积的性质和应用。
例如，介绍海伦公式及其应用，或者讲解其他与三角形面积相关的数学知识。
此外，教师还可以进行示范演示，展示实际运用三角形面积计算的过程，并引导学生参与互动，加深对知识点的理解和记忆。
六、巩固与练习在教学的最后阶段，需要进行一些巩固与练习，帮助学生进一步提升他们的计算能力和理解水平。
三角形的面积计算和应用
三角形的面积计算和应用三角形是几何学中最基本的形状之一，其面积计算涉及到许多数学原理和应用。
在本文中，我们将介绍三角形面积的计算方法，并探讨一些与三角形面积相关的实际应用。
一、三角形面积的计算方法计算三角形面积的方法有多种，根据已知条件的不同，我们可以使用以下几种常见的方法：1. 高度乘底边法：根据三角形的定义，我们知道一个三角形的面积可以表示为底边长度与高度的乘积的一半。
即：面积 = 1/2 ×底边 ×高度。
这种方法适用于已知三角形的底边长度和高度的情况。
2. 海伦公式：对于任意一个已知三角形的三条边长a、b、c，我们可以使用海伦公式计算其面积。
海伦公式的原理是利用三角形的三条边长来计算其半周长，然后再根据半周长和三边长的关系计算面积。
公式如下所示：面积= √(s × (s-a) × (s-b) × (s-c))，其中s为半周长，s = (a + b + c) / 2。
3. 正弦定理和余弦定理：正弦定理和余弦定理是解决三角形各边长和夹角关系的重要定理，它们可以用来计算三角形的面积。
一般情况下，我们可以利用正弦定理计算面积，其公式为：面积 = 1/2 × a × b × sin(C)，其中a和b为两边的长度，C为它们之间的夹角。
二、三角形面积的应用三角形面积的概念不仅仅局限于数学课堂，它在现实生活中也有广泛的应用。
以下是一些与三角形面积相关的实际应用：1. 建筑工程中的测量和设计：在建筑工程中，测量和设计是至关重要的环节。
通过计算三角形的面积，工程师可以确定建筑物的空间尺寸、材料用量以及结构强度等相关信息。
例如，在设计屋顶的结构时，工程师需要计算三角形面积以确定所需的材料量。
2. 农业土地规划：农业土地规划需要考虑到土地的面积和利用率。
通过计算三角形面积，农民可以更好地规划农田的利用，合理安排作物的种植和灌溉系统的设计。
中考复习计算三角形面积的公式与应用
中考复习计算三角形面积的公式与应用在中考数学复习中，计算三角形面积的公式是一个非常重要的知识点。
掌握了三角形面积的计算方法，并且能够灵活运用于实际问题中，不仅可以提高解题的效率，还能够增强对几何概念的理解。
本文将介绍三角形面积的基本公式以及其应用。
1. 三角形面积的基本公式三角形面积的计算公式有很多种，根据已知条件的不同，我们可以选择不同的公式进行计算。
以下是几种常用的计算公式：（1）通过底边和高当我们知道三角形的底边和高时，可以通过公式：$S = \frac{1}{2} \times \text{底边} \times \text{高}$ 来计算三角形的面积。
这个公式是最常见的计算三角形面积的方法，适用于各种类型的三角形。
（2）通过两边和其夹角当我们知道三角形的两边和它们的夹角时，可以通过公式：$S =\frac{1}{2} \times \text{边1} \times \text{边2} \times \sin(\text{夹角})$ 来计算三角形的面积。
这个公式基于三角形面积与正弦的关系，需要注意的是夹角的单位必须是弧度制。
（3）通过三边当我们知道三角形的三边长时，可以通过海伦公式计算三角形的面积。
海伦公式的表达式为：$S = \sqrt{p \times (p-\text{边1}) \times (p-\text{边2}) \times (p-\text{边3})}$，其中 $p$ 是半周长，可以通过公式$p = \frac{\text{边1} + \text{边2} + \text{边3}}{2}$ 计算得到。
2. 三角形面积的应用掌握了三角形面积的计算公式，我们可以将其灵活应用于实际问题中，解决各种与三角形面积相关的题目。
（1）确定图形的面积当我们遇到一个由多个三角形组成的图形时，可以将图形拆分为多个三角形，并利用三角形面积的计算公式求解。
通过将每个三角形的面积相加，即可得到整个图形的面积。
三角形面积的计算与应用
三角形面积的计算与应用三角形是几何形状中最常见的一种，计算三角形的面积是数学中的基础知识，也是应用数学在实际问题中的重要应用之一。
本文将介绍三角形面积的计算方法以及一些实际应用。
一、三角形面积的计算方法计算三角形的面积有多种方法，下面将介绍三种常用的计算方法。
1. 高乘底法高乘底法是最常见的计算三角形面积的方法。
三角形的面积等于底边长度乘以高，即S=1/2×底边长度×高。
在已知三角形底边和高的情况下，可以直接使用这个公式来计算面积。
例如，如果一个三角形的底边长度为6cm，高为4cm，那么可以通过计算得到面积S=1/2×6cm×4cm=12cm²。
2. 海伦公式对于已知三角形的三条边长a，b，c，可以使用海伦公式来计算面积。
海伦公式的表达式为S=√(p×(p-a)×(p-b)×(p-c))，其中p为三角形的半周长，即p=(a+b+c)/2。
例如，已知一个三角形的三条边长分别为3cm，4cm，5cm，先计算半周长p=(3cm+4cm+5cm)/2=6cm，然后带入海伦公式计算面积S=√(6cm×(6cm-3cm)×(6cm-4cm)×(6cm-5cm))=6cm²。
3. 两边夹角法当已知三角形的两条边长a，b和它们夹角的正弦值sinθ时，可以使用两边夹角法来计算面积。
表达式为S=1/2 × a × b × sinθ。
例如，如果一个三角形的两条边长分别为5cm和6cm，夹角的正弦值为0.8，则可以计算出面积S=1/2 × 5cm × 6cm × 0.8=12cm²。
二、三角形面积的应用三角形的面积计算不仅仅只是为了满足数学课堂上的要求，它在实际生活中也有很多应用。
1. 地理测量在地理测量中，计算不规则地形的面积是一个基本问题。
初中数学知识归纳三角形的面积计算及应用
初中数学知识归纳三角形的面积计算及应用三角形是初中数学中一个重要的图形概念，学习三角形的面积计算和应用可以帮助我们更好地理解和应用数学知识。
本文将对三角形的面积计算公式、计算步骤以及一些实际应用进行归纳总结。
一、三角形的面积计算公式计算三角形的面积通常有多种方法，其中最常用的是通过三角形的底边和高来计算。
对于一个任意形状的三角形，我们可以将它拆分为两个矩形或一个矩形和两个三角形，然后分别计算出每个矩形和三角形的面积，最后将它们相加。
假设三角形的底边长为b，高为h，则三角形的面积S可以通过以下公式来计算：S = 1/2 * b * h这个公式适用于所有的三角形，无论是等腰三角形、直角三角形还是一般的三角形都可以使用。
二、计算步骤为了更好地理解和应用上述的面积计算公式，我们可以通过以下步骤来计算一个具体的三角形的面积。
步骤1：观察三角形，确定底边和高。
首先，我们需要观察三角形，确定其中的底边和高。
底边可以是任意一条边，而高是从底边到顶点的垂直距离。
步骤2：测量底边和高的长度。
使用直尺或测量工具测量底边和高的长度，并记录下来。
确保测量的准确性，以免影响最后的计算结果。
步骤3：代入公式，计算面积。
将所得的底边长度和高的长度代入面积计算公式S = 1/2 * b * h 中，进行计算。
计算结果即为三角形的面积。
三、三角形面积计算的应用三角形的面积计算不仅仅是数学知识的应用，它还在日常生活中有许多实际的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 工程施工中的应用：在土木工程和建筑施工中，计算三角形的面积是非常重要的。
例如，在规划道路、设计房屋、建造桥梁等过程中，经常需要计算多个不规则形状的三角形的面积，以便进行材料采购和施工安排。
2. 农业中的应用：农业土地的面积计算通常会涉及到不规则形状的地块，而这些地块可以看做是由多个三角形组成。
以计算农田的面积为例，我们可以通过将农田划分为若干个三角形来计算其总面积，以便合理地规划农作物的种植和施肥。
浅谈三角形面积法在初中几何问题中的基本运用
浅谈三角形面积法在初中几何问题中的基本运用黄孝培摘要：三角形面积法的运用是解决初中几何问题的难点，通过巧妙处理三角形的高线、中线和角平分线与三角形面积的关系，引导学生逐步学会运用三角形面积法，从而突破解题中的思维定势，发展学生的数学思维，建构数学模型.关键词：三角形面积法；异题同构；构建数学模型收稿日期：2019-04-23作者简介：黄孝培（1982—），女，中学一级教师，主要从事初中教学研究.《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）中指出：教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验.现以三角形面积法的教学为例，谈谈笔者对《标准》的理解和践行.一般而言，运用三角形面积公式以及由面积公式推出的相关结论来计算或者证明平面几何题的方法，称之为三角形面积法.但是三角形面积法在日常教学中，容易被学生和教师忽视.对于较多的几何题型，虽然用常规的方法可以解决，但是步骤烦琐，有时辅助线的添加还不明了.仔细审题，常常可以发现这些题型具有一定的特性，其都在以显性或隐性的方式提醒大家，解题时如借助三角形面积法，则能收到良好的效果.一、在给定的条件中出现与高相关的线段三角形的高线是常见而有趣的线段，说其有趣，是因为其直接与三角形的面积相关.利用三角形面积法解题，离不开高线这个元素的承接转换.例1如图1，在△ABC 中，AB =AC ，点D 为底边BC 上任意一点，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F.求证：DE +DF 是一个定值.FABCD E图1此题的难点是确定出表示DE +DF 定值的线段，在这个问题上，我们常常用特殊情况来推测结果，即将题中的底边BC 上任一点D 移动到特殊位置，这里的特殊位置就是线段BC 的两个端点.不妨假定底边BC 上的任一点D 与点B 重合，此时DF 就是等腰三角形ABC 腰AC 上的高，由此猜想：DE +DF 等于一腰上的高线长.如图2，过点B 作BG ⊥AC 于点G ，即证DE +DF =BG.对于求证线段的和差关系，按照常规思路，学生一般是选用截长补短的方法来解决.故可过点D 作DH ⊥BG 于点H ，得矩形DFGH ，知HG =DF.再借助相关条件判定△BED ≌△DHB （AAS ），得DE =DH.从而结论得证.F ABCD E图2G H ··90其实，在出现了与高有关的线段时，我们可以巧妙地运用三角形的面积法来解题，这是因为三角形的面积是由一条边和这条边上的高两个量来确定的.因此，当两个三角形等底或同底时，三角形面积之间的数量关系就可以直接转换为对应高之间的数量关系.线段DE ，DF 是与高相关的线段，学生可以观察出，如图3，连接AD 后，△ABC 被分成了两个三角形，△ABC 的面积也就分成了两部分之和，即S △ABC =S △ABD +S △ACD .此时其都可以以等腰三角形ABC 的腰AB 或AC 为底边，底相等则面积的数量关系直接转换为对应高的数量关系，即DE +DF =BG （定值）.可见，运用三角形面积法对问题进行证明，过程简洁、明了，新颖又不烦琐，既能快速、有效地解题，又能开阔学生的解题思路.F ABCD E 图3G 为了让学生能够灵活运用三角形面积法，在此题的基础上，笔者带领学生进行变式训练.变式：如图4，在△ABC 中，AB =AC ，点D 为底边BC 延长线上任意一点，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 交AC 的延长线于点F ，DE +DF 是定值吗？如果是，说明理由，如果不是，那么DE 与DF 之间存在什么样的数量关系？FABC DE 图5H FABC DE 图4此题仍然是将动点D 移动到特殊位置点C 处，猜想出结论：DE -DF 等于一腰上的高线长.如图5，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，连接DA ，利用S △ABC =S △ABD -S △ACD ，由底相等推出对应底边上高的数量关系：DE -DF =CH （定值）.至此，笔者让学生做以小结，使大家认识到：今后遇到几何题，当题目中涉及两条及以上与高相关的线段，且最终判定这些线段之间是否存在等量关系或者和差关系时，可以尝试用三角形的面积公式来解题.其实，几何题的证明方法很多，在平时的练习中，可通过一题多解进行比较.合理运用三角形面积法可以使学生较好地完成知识的积累和贯通，并能在比较中筛选出简便的解题方法，这对学生理解数形关系、建构数学模型、锻炼思维品质很有好处.二、在给定的条件中出现三角形的中线可以发现，三角形的高线与三角形面积法有着紧密联系.其实，三角形的中线更是我们在面积法中构造底边相等的得力助手.例2如图6，在△ABC 中，已知边BC ，AC 上的中线AD ，BF 交于点M.求证：MD =12AM.F ABCD M图6F ABCD M 图7H 对于三角形重心定理的证明，课堂上讲解的常规方法是添加平行线，利用平行线分线段成比例定理来解决问题.如图7，过点D 作DH ∥BF ，交AC 于点H.由点D 为中点，得CH =FH =12FC.再由点F 为AC 中点，得AF =FC =2FH.最后由DH ∥MF ，得MD AM =FH AF.从而得到结论MD =12AM.我们依据同底同高或等底等高的两个三角形面积相等，可得三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两部分.因此，通过观察，发现线段AM ，MD 可以看作是同高的两个三角形△ABM 和△DBM 对应的底边.因此，要证明底边的倍分关系，只要说明这两个三角形面积的倍分关系即可.如图8，连接MC ，由BF ，MF 分别是△ABC 与△AMC 边AC 上的中线，得S △ABF =S △CBF ，S △AMF =S △CMF .根据等式的性质，得S △ABM =S △CBM .再利用DM 是△MBC 中BC 边上的中线，得S △DBM =S △DCM =12S △CBM .等量代换，得S △DBM =12S △ABM ，最终推出结论MD =12AM.··91F A BCD M图8在引导学生理解中线在三角形面积法运用中的作用后，进行变式训练.下面的变式1和变式2是对线段中点这个特殊条件进行衍生，变为线段的n 等分点，旨在举一反三中使学生领悟类比思想，进而掌握这一类习题的解题思路和解题要点，建立数学模型.变式1：如图9，在△ABC 中，已知点D 是边BC 上靠近点B 的一个三等分点，AD 与AC 上的中线BF 交于点M ，此时MD 和AM 之间存在着什么样的数量关系？FABCD M图9FABCD M图10变式2：如图10，在△ABC 中，已知点D 是边BC 上靠近点B 的一个三等分点，点F 是边AC 上靠近点A 的一个三等分点，AD 与BF 交于点M ，此时MD 和AM 之间存在着什么样的数量关系？变式1中连接MC ，BF 为中线的条件不变，根据例2仍可推出S △ABM =S △CBM .由点D 是边BC 上靠近点B 的一个三等分点，可得S △DBM S △CBM =BD BC =13.所以S△DBM S △ABM =13.再由S △DBM S △ABM =MDAM ，得到结论MD =13AM.变式2在变式1的基础上难度又有所增加，点F 变为边AC 上靠近点A 的一个三等分点，此时△ABM 和△CBM 的面积关系推导为S △ABF S △CBF =AF CF =12，S△AMF S △CMF =AF CF =12.所以S △ABM =S △ABF -S △AMF =12()S △CBF -S △CMF =12S △CBM .因为点D 是边BC 上靠近点B 的一个三等分点，所以变式1中得到的S△DBM S △CBM =13仍成立，进而得S △DBM =23S △ABM .推出结论MD =23AM.学生在进行变式探究后，将问题推广为点D 是边BC 上靠近点B 的一个n 等分点，点F 为AC 边上靠近点A 的一个m 等分点.并在相互讨论后推导出关于MD 和AM 之间数量关系的结论DM AM =m -1n.三、在给定的条件中出现角平分线就角平分线的性质在三角形面积法中的运用而言，因为角平分线上任意一点到角两边的距离相等，所以学生能自然联想到原三角形被角平分线所分得的两三角形的高相等.因此，例3就可以依据同高（或等高）的两个三角形的面积比等于底之比来理清解题思路.例3如图11，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，求证：AB AC =BD DC .ABC图11ABC图12E学生看到角平分线时，首先想到的可能是定义的运用，从两角相等的视角去解题.因此，在看到此题中证明线段成比例的要求后，急于构造平行线，利用平行线分线段成比例定理求证.如图12，即先过点D 作DE ∥AC ，交AB 于点E ，得BD DC =BE AE ，BE AB =DE AC.再根据角平分线的定义，以及平行线性质推出AE =DE ，最后通过等量代换证得结论.但是如果学生对角平分线的定义和性质理解透彻，且能灵活运用，则很容易想到运用角平分线的性质来解决该题.如图13，过点D 作DH ⊥AB 于点H ，DG ⊥AC 于点G.由AD 是∠BAC 的平分线，得S△ABD S △ADC =AB AC.又S △ABD S △ADC =BDCD，故通过等量代换即可完成证明.D ABCGH图13为了巩固三角形角平分线性质在三角形面积法解题中的运用，在例3的基础上进行如下变式训练.变式：如图14，AD 是△ABC 外角∠CAF 的平分线，交BC 的延长线于点D.求证：AB AC =BD DC.··92FABCD图14FAB C DHG图15如图15，过点D作DH⊥BA，交BA的延长线于点H，DG⊥AC，交AC的延长线于点G，仍可得S△ABDS△ADC=ABAC与S△ABD S△ADC =BDCD.学生独立完成证明，发现结论仍然成立.综上所述，三角形中的高线、中线、角平分线都能在一定条件下为三角形面积法的运用创设便利条件，且无论哪一类题型，他们的解题依据都是同底（或等底）的两个三角形的面积比等于高之比或同高（或等高）的两个三角形的面积之比等于底之比.本文所举例题都是较为常见且典型的，但也隐含着若干难点.题型只是形式，数学例题的价值在于它的典型性、变通性，既要考虑平时学习中的实用价值和解题的高效性，又要顾及数学思想的培养和数学模型的构建.要在众多的数学知识和方法中，选用三角形面积法合理解题，对于初中学生来说既是对学识和能力的挑战，又是《标准》的本质导向和学习要求.以上是笔者在教学过程中带领学生借助三角形面积法破解相关几何习题的概况.在平时的教学实践中已体现出较好的效果，学生的解题思路得以开阔，学生推理的敏捷性逐步呈现.当然，这是多因素交互作用的结果.在证明过程中的主要难点有突破学生解题中的思维定势，以及巧妙处理三角形中的三线与三角形面积的关系、动点与定值的关系等.对此，教师要在平时的教学中有意识地加强引导和讲解，让学生通过自主探究和相互研讨，在进行一题多解、举一反三的比较和甄别中，突破学习难点，发展数学思维，培养数学思想，这才是数学学习的意义所在.参考文献：［1］王贵林.例谈面积法在初中数学中的应用［J］.数学学习与研究（教研版），2009（6）：100-101.［2］李印.例谈面积法在解题中的妙用［J］.中学数学教学参考（中旬），2011（3）：24-25.不是通过几个模型、几个技巧，以及解决问题的一些套路，而是通过对知识本质的理解.要引导学生自己去探究、领悟、理解和运用，要让学生真正经历知识的发生、发展过程，掌握最基本的方法.2.提升学生作图、观察、猜想的能力随着科技的发展，现代教学技术越来越普及，除了要求尺规作图内容外，涉及到作图探究问题中的作图程序几乎都被技术演示所替代.教辅与学案的普及，使得学生不需要再抄题了，连作图的过程都省去了.这样做的后果是在很大程度上降低了学生的作图能力.这就导致如果题目不给图，学生就很难根据题目所给的条件作出准确的图形，更不要说根据图形对问题进行探究了.从教学实践来看，让学生尝试动手作图是培养学生抽象思维能力的关键，平时注重对学生准确作图能力进行培养，有助于学生分析基本图形的基本元素之间的数量及位置关系，以及从复杂图形中区分出基本图形，有助于提高学生的空间想象能力，更有助于提高其逻辑推理能力.提高作图的能力与意识，并不是要做多少高难度的作图题，而是要在平时课堂的知识探究过程中自然形成.有些时候，学生不会猜想、不敢猜想，这是因为很多教师对于新知发现过程的教学不够重视，导致学生的猜想能力没有得到足够的锻炼.从特殊的、具体的情形，去推测一般的情形是一种重要的研究问题的方法，是我们应对复杂的自然世界的一个朴素的策略，这种意识能使学生受益终生，也是培养学生创新能力的一条重要路径.参考文献：［1］乔太华，李东.立足师生发展，尽显一题之用：一道“探索研究”问题的教学实录及评析［J］.中学数学（初中版），2014（9）：16-19.［2］罗增儒.数学解题学引论［M］.西安：陕西师范大学出版社，2008.［3］沈岳夫.洞察试题结构构造基本图形［J］.中国数学教育（初中版），2017（11）：47-50.（上接第84页）··93。
简单易懂的三角形面积计算方法初中数学课程知识点教案
简单易懂的三角形面积计算方法初中数学课程知识点教案导入：为了帮助学生更好地理解和运用三角形面积计算方法，本节课将介绍几种简单易懂的计算方法，并结合实例进行讲解。
通过本节课的学习，相信同学们能够准确计算三角形的面积。
1. 面积计算方法一：直角三角形1.1 概念：直角三角形是指其中一个角为90°的三角形。
1.2 计算公式：直角三角形的面积等于两条直角边的乘积再除以2。
1.3 实例演示：例如，已知直角三角形的直角边分别为3 cm和4 cm，求其面积。
解答步骤：- 将已知数据代入计算公式：面积 = （3 cm × 4 cm）/ 2 = 6 cm² - 得出结论：直角三角形的面积为6 cm²。
2. 面积计算方法二：等边三角形2.1 概念：等边三角形是指三条边都相等的三角形。
2.2 计算公式：等边三角形的面积等于边长的平方再乘以根号3再除以4。
2.3 实例演示：例如，已知等边三角形的边长为5 cm，求其面积。
解答步骤：- 将已知数据代入计算公式：面积 = （5 cm × 5 cm ×√3）/ 4 ≈ 10.83 cm²- 得出结论：等边三角形的面积约为10.83 cm²。
3. 面积计算方法三：任意三角形3.1 概念：任意三角形是指没有特殊性质的三角形。
3.2 计算公式：可以使用海伦公式或高度与底边的关系来计算任意三角形的面积。
3.3 实例演示：例如，已知任意三角形的底边长度为6 cm，高度为4 cm，求其面积。
解答步骤：- 将已知数据代入计算公式（高度与底边的关系）：面积 = （6 cm × 4 cm）/ 2 = 12 cm²- 得出结论：任意三角形的面积为12 cm²。
小结：通过本节课的学习，我们学习了三种不同类型三角形的面积计算方法。
对于直角三角形，面积可以通过直角边的乘积再除以2来求解；对于等边三角形，面积可以通过边长的平方乘以根号3再除以4来求解；而对于任意三角形，可以使用海伦公式或高度与底边的关系来计算面积。
三角形面积计算教学中的思维导应用
三角形面积计算教学中的思维导应用三角形是几何学中常见的一个形状，计算三角形的面积是数学教学中的一个重要内容。
在教学过程中，采用思维导图作为辅助工具，可以帮助学生更好地理解和掌握三角形面积的计算方法。
本文将介绍三角形的面积计算方法，并探讨如何运用思维导图辅助教学，提高学生的学习效果。
一、三角形面积计算方法三角形的面积计算方法有多种，其中比较常用的有以下两种：1. 高乘底法：根据三角形的底边和高，可以直接计算出三角形的面积。
公式为：S = 1/2 ×底 ×高。
2. 海伦公式：当三角形的三边长已知时，可以应用海伦公式来计算三角形的面积。
公式为：S = √(p × (p-a) × (p-b) × (p-c))，其中p为三角形的半周长，即：p = (a+b+c)/2。
通过这两种方法，学生可以根据已知条件计算出任意三角形的面积。
然而，对于初学者来说，这些公式可能显得抽象而复杂。
因此，运用思维导图辅助教学将对学生的学习起到积极的促进作用。
二、思维导图在三角形面积计算教学中的应用思维导图是一种图形化的表达方式，通过将知识点、概念和相关信息以图形的形式展示出来，可以帮助学生更好地理解和记忆知识。
在三角形面积计算教学中，可以运用思维导图来呈现基本知识点和计算方法，提供一个整体的认知框架。
以下是一个在三角形面积计算教学中运用思维导图的示例：![思维导图示例图片]在这个思维导图中，我以面积计算的两种方法为中心，分别展开了高乘底法和海伦公式的具体步骤。
在每一个分支中，我用简洁的文字和图示说明了相关概念和计算公式，帮助学生理清了整个计算流程。
通过这种方式，学生可以更加直观地了解两种方法的运用，并根据实际情况选择合适的计算方式。
此外，在思维导图中，我还可以加入一些实例演算和习题，帮助学生加深对知识点的理解和应用能力。
通过解决一系列的计算问题，学生可以逐步掌握三角形面积的计算方法，并提高问题解决的能力。
三角形面积变形公式的应用
件的四个成立的结论．
Ｄ
Ａ
Ｆ
（２）如图３．△Ａ曰Ｃ中只有
厶４ＣＢ＝６０。时，请你证明Ｓ僦与
Ｓ出ｃ，的和等于Ｓ△Ａ∞与Ｓ△Ａ∞的和．
Ｅ
解：（１）在图２中，四个等边
Ｅ
三角形组成一个大的等边三角
图２
图３
形，图形很特殊，条件也很多．如图２中菱形就有ＡＢＥＣ．ＤＡＣＢ．ＡＢＣＦ等． 这些特殊图形中，写出四个成立的结论应该不是难事．
本文链接：/Periodical_zxsslh-cssy200609004.aspx
ＡＣ
ｂ
Ｊｓ“∞＝÷砒＝÷ｎ（６．ｓｉｎｃ）＝÷如ｓｉｎｃ．
说明：这个公式对于任意三角形均适用，但初中阶段尚未学习钝角 的三角函数．我们只讨论夹角为锐角的情况．
例 已知△ＡＢＣ，分别以ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ为边向形外作等边三角形 ＡＢＤ、等边三角形ＢＣＥ、等边三角形ＡＣＦ．
（１）如图２，当ＡＡＢＣ是等边Ｄ
三角形时．请你写出满足图中条
所以Ｊｓ“∞＝２ｌ ＡＢ·ＡＤ‘ｓｉｎ６０。＝Ｊ２－ＡＢ２。ｓｉｎ６０。
＝１．（ａ２一曲＋６２）ｓｉｎ６０。．
ＳａＡＢＣ＋ｓＭ肋＝丢如ｓｉｎ６０。＋丢（∥一曲＋６２）ｓｉｎ６０。
＝÷（舻＋６２）ｓｉｎ６０。＝Ｓ一“出弧。
方法２：如图５，过Ａ作ＡＭ／／ＦＣ，交ＢＣ于Ｍ，
连接ＤＭ．ＥＭ。显然厶～ＣＢ＝厶ＣＡＦ．得ＡＦ／／ＭＣ， 四边形ＡＭＣＦ为平行四边形．又因为尉＝ＦＣ，所以
①图形ＤＡ ＦＣＥＢ构成一个△ＤＥＲ②ＡＤＦＥ是等边三角形；③ＡＡＢＣ
万方数据
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跫銎中学裳裁馥化｝≯裙审版； Nhomakorabea的面积是△ＤＥＦ面积的—＿１；（垄）ＡＢ／／ＥＦ；⑤ＢＣ＝÷ＤＦ
三角形面积的分析及教学基本思路
三角形面积的分析及教学基本思路三角形面积的分析及教学基本思路一长方形，正方形，平行四边形，三角形和梯形，都是由三条或三条以上的线段，首尾顺序相接而组成的封闭图形。
它们相互之间不仅在特征上有着密切的联系而且在推导面积计算公式的过程中也有着密切的联系。
三角形面积计算公式的教学是在学生掌握了长方形，正方形，平行四边形的特征和面积计算的基础上进行的。
学生掌握了三角形面积的计算方法和获取这些知识的能力又为进一步学习梯形面积、圆的面积打下了良好的基础。
一节课的教学目标，要从知识、能力、思想品德教育三方面进行考虑，以体现学科教学中的素质教育思想。
本节课的教学目标是：（1）使学生理解、掌握三角形面积的计算公式，并能运用它正确计算三角形的面积；（2）通过指导实际操作，培养学生的抽象概括能力和思维的创造性；（3）使学生明白事物之间是相互联系、可以转化和变换的。
完成这一教学目标，要根据学生的认识规律，在指导学生进行实践活动的过程中，把动手操作与动脑思考、动口表述结合起来。
也就是说，首先把学习知识应有的思维活动“外化”为动手操作，然后通过这个“外化”的活动再“内力的以至情感方面的准备。
2.新知识的教学可以分为4个层次进行第一层，操作学具。
启发学生用学具袋中的两个三角形拼成一个学过的图形。
学生动手、动脑相互交流，得出“两个完全一样的（全等）三角形，可以拼成一个长方形、正方形或平行四边形。
第二层，观察与思考。
提出问题引导学生观察拼成的正方形、长方形或平行四边形与三角形的关系。
三角形的底和高与正方形的边长、长方形的长与宽，以及平行四边形底和高的关系？第三层，推导公式。
利用图形之间各部分的对应关系，思考它们面积之间的关系，最终推导出：因为，平行四边形面积＝底×高（平行四边形的面积是两个与它等底等高的三角形面积的2倍），所以，三角形的面积＝底×高÷2第四层，深化认识。
为了使学生加深对三角形面积计算公式的理解，进一步启发学生，用一个三角形通过割补的办法推导出三角形的面积计算公式。
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初中数学三角形面积变形公式的应用
本文结合实例，介绍一个面积公式的变形S ab C =
1
2
sin （a ，b 为三角形两边长，∠C 为a ，b 边的夹角）。
已知：如图1，在△ABC 中，a ，b 是边长，∠C 是a ，b 边的夹角。
求证：S ABC △=
1
2
ab C sin 。
图1
证明：如图1，作底边BC 上的高AH ，设其长为h 。
在Rt △AHC 中，sinC =
=AH AC h
b
，可得h=b ·sinC 。
S ABC △（·）===12121
2
ah a b C ab C sin sin 。
说明：这个公式对于任意三角形均适用，但初中阶段尚未学习钝角的三角函数，我们只讨论夹角为锐角的情况。
例 已知△ABC ，分别以AB ，BC ，CA 为边向形外作等边三角形ABD 、等边三角形BCE 、等边三角形ACF 。
（1）如图2，当△ABC 是等边三角形时，请你写出满足图中条件的四个成立的结论。
图2
（2）如图3，△ABC 中只有∠ACB=60°时，请你证明S △BCE 与S △ACF 的和等于S △ABC 与S △ABD
的和。
图3
解：（1）在图2中，四个等边三角形组成一个大的等边三角形，图形很特殊，条件也很多。
如图2中菱形就有ABEC ，DACB ，ABCF 等。
这些特殊图形中，写出四个成立的结论应
该不是难事。
①图形DAFCEB 构成一个△DEF ；②△DFE 是等边三角形；③△ABC 的面积是△DEF 的面积的
1
4；④AB ∥EF ；⑤BC =12
DF 。
（2）方法1：如图4，过A 作AM ⊥BC 于M ，设BC=a ，AC=b ，AM=h 。
图4
S △BCE + S △ACF =126012
6022a b ··sin sin ︒+︒
=
1
2
6022（）a b +︒sin S △ACB =1
2
60absin ︒。
在Rt △ACM 中，由∠ACB=60°可得CM=12b ，AM=32
b ，则BM BC CM a b =-=-⎛
⎝ ⎫⎭⎪12。
在Rt △AMB 中，
AB AM BM b a b b a ab b a ab b 222
2
2
2222232122121
4
=+=⎛⎝ ⎫⎭
⎪+-⎛⎝ ⎫⎭⎪
+-⨯+=-+ =
34。
所以S ABD △···（）。
=︒=︒
=-+︒12601
2
6012
60222
AB AD AB a ab b sin sin sin
S + S =12 =1
2
S + S ABC ABD BCE ACF △△△△（）（）。
ab a ab b a b sin sin sin 601
2
60602222︒+-+︒
+︒=
方法2：如图5，过A 作AM ∥FC 交BC 于M ，连接DM ，EM ，显然∠ACB=∠CAF ，得AF ∥MC ，四边形AMCF 为平行四边形。
又因为FA=FC ，所以平行四边形AMCF 为菱形，故AC=CM=AM ，∠MAC=60°。
在△BAC 与△EMC 中，CA=CM ，∠ACB=∠MCE ，CB=CE ，所以△BAC ≌△EMC ，得BA=EM 。
△ADM ≌△ABC ，得DM=BC 。
图5
所以DM=EB ，DB=EM ，四边形DBEM 为平行四边形。
S + S S S S S BEM ACF △△△△△△EMC BDM DAM MAC +=++， 即S S S S BCE △△△△。
+=+ACF ABC ABD
此公式还可以推广到平行四边形中。
设平行四边形相邻两边的长为a ，b ，锐内角为α，则S=absin α。