初中数学三角形面积变形公式的应用学法指导

初中数学三角形面积变形公式的应用

本文结合实例，介绍一个面积公式的变形S ab C =

1

2

sin （a ，b 为三角形两边长，∠C 为a ，b 边的夹角）。

已知：如图1，在△ABC 中，a ，b 是边长，∠C 是a ，b 边的夹角。

求证：S ABC △=

1

2

ab C sin 。

图1

证明：如图1，作底边BC 上的高AH ，设其长为h 。

在Rt △AHC 中，sinC =

=AH AC h

b

，可得h=b ·sinC 。 S ABC △（·）===12121

2

ah a b C ab C sin sin 。

说明：这个公式对于任意三角形均适用，但初中阶段尚未学习钝角的三角函数，我们只讨论夹角为锐角的情况。

例 已知△ABC ，分别以AB ，BC ，CA 为边向形外作等边三角形ABD 、等边三角形BCE 、等边三角形ACF 。

（1）如图2，当△ABC 是等边三角形时，请你写出满足图中条件的四个成立的结论。

图2

（2）如图3，△ABC 中只有∠ACB=60°时，请你证明S △BCE 与S △ACF 的和等于S △ABC 与S △ABD

的和。

图3

解：（1）在图2中，四个等边三角形组成一个大的等边三角形，图形很特殊，条件也很多。如图2中菱形就有ABEC ，DACB ，ABCF 等。这些特殊图形中，写出四个成立的结论应

该不是难事。

①图形DAFCEB 构成一个△DEF ；②△DFE 是等边三角形；③△ABC 的面积是△DEF 的面积的

1

4；④AB ∥EF ；⑤BC =12

DF 。 （2）方法1：如图4，过A 作AM ⊥BC 于M ，设BC=a ，AC=b ，AM=h 。

图4

S △BCE + S △ACF =126012

6022a b ··sin sin ︒+︒

=

1

2

6022（）a b +︒sin S △ACB =1

2

60absin ︒。

在Rt △ACM 中，由∠ACB=60°可得CM=12b ，AM=32

b ，则BM BC CM a b =-=-⎛

⎝ ⎫⎭⎪12。

在Rt △AMB 中，

AB AM BM b a b b a ab b a ab b 222

2

2

2222232122121

4

=+=⎛⎝ ⎫⎭

⎪+-⎛⎝ ⎫⎭⎪

+-⨯+=-+ =

34。

所以S ABD △···（）。

=︒=︒

=-+︒12601

2

6012

60222

AB AD AB a ab b sin sin sin

S + S =12 =1

2

S + S ABC ABD BCE ACF △△△△（）（）。

ab a ab b a b sin sin sin 601

2

60602222︒+-+︒

+︒=

方法2：如图5，过A 作AM ∥FC 交BC 于M ，连接DM ，EM ，显然∠ACB=∠CAF ，得AF ∥MC ，四边形AMCF 为平行四边形。又因为FA=FC ，所以平行四边形AMCF 为菱形，故AC=CM=AM ，∠MAC=60°。在△BAC 与△EMC 中，CA=CM ，∠ACB=∠MCE ，CB=CE ，所以△BAC ≌△EMC ，得BA=EM 。△ADM ≌△ABC ，得DM=BC 。

图5

所以DM=EB ，DB=EM ，四边形DBEM 为平行四边形。 S + S S S S S BEM ACF △△△△△△EMC BDM DAM MAC +=++， 即S S S S BCE △△△△。+=+ACF ABC ABD

此公式还可以推广到平行四边形中。设平行四边形相邻两边的长为a ，b ，锐内角为α，则S=absin α。