数理方程第1讲

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向量场函数F(M)=P(M)i+Q(M)j+R(M)k在点M 处的旋度是一个向量场函数, 记为rot F, R Q P R Q P rot F i k j y z z x x y i j k x y z P Q R
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v i L x t
(1.4)
i v C (1.5) x t (1.4)对x求偏导, 将(1.5)对t求偏导, 得 2 2 2 2 v i i v L , C 2 2 x tx tx t 2 2 v v LC 2 2 x t
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数量场函数f(M)的梯度是一个向量场函数, 记 为grad f(M) f f f grad f ( x, y, z ) i j k x y z 函数在某点的梯度是这样一个向量, 它的方向 与取得最大方向导数的方向一致, 而它的模为 方向导数的最大值.
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向量场函数F(M)=P(M)i+Q(M)j+R(M)k在点M 处的散度是一个标量场函数, 记为div F, P Q R div F x y z 在这里可看作稳定流动的不可压缩流体在 点M的源头强度—在单位体积内所产生的 流体的质量. 如果为负, 表示点M处流体 在消失.
V
S
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上式的负号表示热流流向是温度梯度的相反 方向。
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Q1 k grad u d S d t t1 S 因S为闭曲面, 式中的二重积分可利用高斯公 式化为三重积分, 即
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例2 传输线方程 对于直流电或低频的交流电, 电路的基尔霍夫 定律指出同一支路中电流相等, 但对于较高频 率的电流(指频率还没有高到能显著地辐射电 磁波的情况), 电路中导线的自感和电容的效 应不可忽略, 因而同一支路中电流未必相等.
9
今考虑一来一往的高频传输线, 它被当作具有 分布参数的导体. 在具有分布参数的导体中, 电流通过的情况, 可以用电流强度i和电压v来 描述, 此处i与v都是x,t的函数, 记作i(x,t)与 v(x,t). i i+Di LD x v x
T u ( x, t ) u ( x, t ) 2 2 x t
2 2
5
最后得
u T 2 u 2 a , (a ), 2 2 t x
2 2
(1.3)
(1.3)式称为一维波动方程.
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如果在振动过程中, 弦上另外还受到一个与弦 的振动方向平行的外力, 且假定在时刻t弦上x 点处的外力密度为F(x,t), 则按照同样的推动 办法, 可得到弦的强迫振动方程为 2 2 u 2 u a f ( x, t ) (1.3) 2 2 t x 其中 f ( x, t )
v i (i Di ) C Dx t i v C x t
i LD x v x CDx i+Di
(1.5)
v+Dv x+Dx
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v i L x t
(1.4)
i v C (1.5) x t (1.4)对t求偏导, 将(1.5)对x求偏导, 得 2 2 2 2 v i i v L 2 , C 2 tx t x tx 2 2 i i LC 2 2 t x
1
的弦在x点处所受的外力密度
F ( x, t ), 表示t时刻单位质量
7
u 2 u a 2 2 t x
2 2
(1.3) (1.3)
u 2 u a f ( x, t ) 2 2 t x
2 2
方程(1.3)与(1.3)'的差别在于(1.3)'的右端多了 一个与未知函数u无关的项f(x,t), 这个项称为 自由项. 包括有非零自由项的方程称为非齐次 方程, 自由项恒等于零的方程称为齐次方程. (1.3)为齐次一维波动方程, (1.3)'为非齐次一维 波动方程.
f f f f 2 2 2 Df x y z 2 2 2 其中 D 2 2 2 x y z
2 2 2 2
称为拉普拉斯(Laplace)算子.
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i j k x y z j k ( Pi Qj Rk ) F i y z x
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例4 热传导方程 在物体中任取一闭曲面S, 它所包围的区域记 作V. 假设在时刻t区域V内点M(x,y,z)处的温度 为u(x,y,z,t), n为曲面元素DS的法向(从V内指向 V外). 由传热学中傅里叶实验定律可知, 物体在无穷 小时间段dt内, 流过一个无穷小面积dS的热量 dQ与时间dt, 曲面面积dS, 以及物体温度u沿曲 面dS的法线方向的方向导数三者成正比
2
(1.16)
30
H 1 2 H, 2 t
2 2
(1.15)
E 1 2 E, (1.16) 2 t (1.15)与(1.16)称为三维波动方程. 用标量形式 表示可写成 2 2 2 2 u u u 2 2 2 u a u a 2 2 2 (1.17) 2 t y z x 1 2 u是E(或H)的任意一个分量, 而 a
n
dS
F ds
t
其中Fn为向量场函数在曲面元法线方向上 的投影, 而Ft为向量场函数在曲线切线方向 上的投影.
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例3 电磁场方程 电磁场的特性可用电场强度E与磁场强度H以 及电感应强度D与磁感应强度B来描述. 它们 可用麦克斯韦(Maxwell)方程组描述为: D rot H J (1.8) t B rot E （ 1.9) t div B 0 (1.10)
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最后得到H所满足的方程为
H H H 2 t t 同理, 若消去H即得E所满足的方程 2 E E 2 E 2 t t 如=0, 则 2 H 1 2 H, (1.15) 2 t
2 2
E 1 2 E, 2 t
i a b x1 x2 j y1 y2 k z1 z2
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( y1 z2 y2 z1 )i ( z1 x2 z2 x1 ) j ( x1 y2 x2 y1 )k
用M来代表三维空间中的一点x,y,z, 则一个数 量场函数就是一个三元函数, 用f(M)表示. 一 个向量场函数F(M), 表示每给一点, 都有一个 向量与之对应, F(M)可表示为 F(M)=P(M)i+Q(M)j+R(M)k 其中P(M),Q(M),R(M)都是数量函数. 一个数量场函数f(M)在某点x,y,z的沿l方向的 方向导数为 f f f f cos a cos cos l x y z 其中a,,为方向l的方向角
1
第一章 一些典型方程和定解条件的推导 §1.1 基本方程的建立
2
例1 弦的振动 设有一根均匀柔软的细弦, 平衡时沿直线拉紧, 而且除受不随时间而变的张力作用外, 不受外 力影响. 下面研究弦作微小横向振动的规律. 所谓"横向"是指全部运动出现在一个平面上, 而且弦上的点沿垂直于x轴的方向运动. 所谓"微小"是指的振动的幅度及弦在任意位 置处切线的倾角都很小, 以致它们的高于一次 方的项都可略而不计.
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向量微分算子的定义为 i j k x y z 它又称为(Nabla)算子或哈密尔顿(Hmilton) 算子. 运用向量微分算子, 设数量场函数为 f(x,y,z), 向量场函数为F(x,y,z)=Pi+Qj+Rk,
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i j k x y z f f f f i j k grad f x y z
P Q R div F x y z i F x P j y Q k rot F z R
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i j k x y z
高斯公式和斯托克斯公式可分别写成
F d v F d S ,
n
( F )

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从(1.11)和(1.12)还可以推出静电场的电位所 满足的微分方程. 因Egrad u, 由 div D= div E= 可得 div grad u/, 或 2 u . (1.18)

此非齐次方程称为泊松(Poisson)方程. 如果静电场是无源的, 即r=0, 则(1.18)变成 2u=0 (1.19) 这个方程称为拉普拉斯(Laplace)方程.
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最后得
i 1 i , 2 2 t LC x 2 2 v 1 v 2 2 t LC x 这两个方程称为高频传输线方程. 1 2 若令 a LC 这两个方程与(1.3)完全相同. 由此可见, 同 一个方程可以用来描述不同的物理现象
2 2
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复习高等数学内容 以i,j,k分别表示沿x,y,z轴正向的单位向量, 则 任何一个三维空间的点或者向量a可表示为 a=xi+yj+zk, 或表示为a=(x,y,z) 则二向量a1=(x1,y1,z1)和a2=(x2,y2,z2)的数量积 或点积为: a1· a2=x1x2+y1y2+z1z2 它们的向量积或叉积为
CDx
v+Dv
x+Dx
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L—每一回路单位的串联电感; C—每一单位长度的分路电容. i LDx v x CDx i+Di
v+Dv x+Dx
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i v (v Dv) LDx t v i L x t
i LD x v x CDx i+Di
(1.4)
v+Dv x+Dx
12
3
u
u ( x, t ) T sin a T sin a d s 2 t
2
ds
a
M'
பைடு நூலகம்a'
T'
M
T
O
N x
N' x+dx
x
4
或
u ( x, t ) T sin a T sin a d s 2 t
2
2
u ( x, t ) u ( x d x, t ) u ( x, t ) T d s 2 t x x (1.2) 或
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DS M
n
V
S
热场
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u d Q k d S d t n k (grad u ) n d S d t k grad u d S d t
DS M
n
k为热传导系数.这里为常数。 从时刻t1到t2, 通过曲面S流 入区域V的全部热量为(负号 表明热量是由高温向低温流 t2 动) Q1 k grad u d S d t t1 S
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—介电常数,—导磁率,—导电率.
E rot H E t H rot E t div H 0
(1.8)' （ 1.9)' (1.10)' (1.11)'
div E
rotrot H rot E rot E t 2 H H 2 t t
div D (1.11) J—传导电流面密度,—电荷的体密度.
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D rot H J t B rot E t div B 0 div D
(1.8) （ 1.9) (1.10) (1.11) (1.12)
D E B H J E
(1.13) (1.14)
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E rot H E t H rot E t div H 0
(1.8)' （ 1.9)' (1.10)' (1.11)'
div E
2
H H rotrot H 2 t t 而rotrot H=graddiv H2H=2H