数字信号处理程佩青第三版课件_第六章__IIR滤波器的设计方法-1

6.1 引言
数字滤波器： 是指输入输出均为数字信号，通过一定运算 关系改变输入信号所含频率成分的相对比例或者 滤除某些频率成分的器件。
优点：
高精度、稳定、体积小、重量轻、灵活，不要 求阻抗匹配，可实现特殊滤波功能
1、滤波器的基本概念
（1） 滤波器的功能
滤波器的功能是对输入信号进行滤波 以增强所需信号部分，抑制不要的部分。
H ( e j )
π
2π ω
带阻
2π π π 2π ω
2、LP到其他滤波器的变换
由LP实现的HP
LP实现的BP
LP实现的BRF
3、 滤波器的性能指标

带宽：当幅度降低到0.707时的宽度称为
滤波器的带宽（3dB带宽）

通带、阻带与过渡带：信号允许通过的频带 为通带，完全不允许通过的频带为阻带，通 带与阻带之间为过渡带。
2）最小相位延时系统的能量集中在n=0附近，而总 能量相同 m m 2 2 h(n ) hmin ( n ) m N 1

n 0 N 1
n 0

h(n )
2
hmin (n )
n 0
n 0 N 1
2
3）最小相位序列的
hmin (0)
最大：hmin (0)
h(0)
H * (e j ) H (e j ) e j ( e
j
)
H (e j ) 2 j ( e j ) e * j H (e )
பைடு நூலகம்
H (e j ) 1 H ( z ) 1 j (e ) ln * j ln 2 j H (e ) 2 j H ( z 1 ) z e j H (e j )
6、表征滤波器频率响应的特征参量

幅度平方响应
H (e ) H (e j ) H * (e j )
j
2
H (e ) H (e
1
j
j
) H ( z)H ( z )
j Im[ z ]
1
z e j
H ( z ) H ( z ) 的极点既是共轭的，又是以单
位圆成镜像对称的

逆因果稳定系统 z r , r 1 n > 0时，h(n) = 0
全部极点在单位圆外：po = N，pi = 0
H (e j ) arg 2 mi 2 pi 2 ( N M ) K 2
2 mi 2 ( N M ) 0
4）在
h H (e ) 相同的系统中， min ( n) 唯一
j
5）级联一个全通系统，可以将一最小相位系统转变成一 相同幅度响应的非最小相位延时系统
6.3 全通系统
对所有，满足： H ap (e j ) 1
称该系统为全通系统

一阶全通系统：
z 1 a H ap ( z ) 1 az 1 a为实数

群延迟响应
相位对角频率的导数的负值
d (e ) (e ) d
j
j
dH ( z ) 1 Re z dz H ( z ) z e j
若滤波器通带内 (e ) = 常数， 则为线性相位滤波器
j
7、IIR数字滤波器的设计方法
用一因果稳定的离散LSI系统逼近给定的性能要求：
*
1
1
a 1
极点： z a，a*
零点： z 1/ a ，1/a
*
两个零点（极点）共轭对称
零点与极点以单位圆为镜像对称

N 阶数字全通滤波器
z 1 ak * H ( z ) 1 k 1 1 ak z
N
d N d N 1 z ... d1z z 1 ( N 1) N 1 d1 z ... d N 1 z dN z
H ( z)
b z
k 0 N k k 1
M
k
即为求滤波器的各系数
1 ak z k
ak , bk
s平面逼近：模拟滤波器 z平面逼近：数字滤波器

先设计模拟滤波器，再转换为数字滤波器 计算机辅助设计法
6.2 最小与最大相位延时系统、最小 与最大相位超前系统
LSI系统的系统函数：
1
( N 1)
N
z D( z ) D( z )
r 1 极点： ( z ) 的根 z p re D 1 j 1 r 1 零点：D( z ) 的根 zo e r
j
N
1

全通系统的应用
1）任一因果稳定系统H(z)都可以表示成全通系 统Hap(z)和最小相位系统Hmin(z)的级联
z re z re H ap ( z ) j 1 j 1 1 re z 1 re z
把非稳定系统的单位圆外的极点映射到单位圆内

滚降与滚降率：滤波器幅频特性在过渡 带的衰减和衰减速度称为滚降与滚降率。

阻带衰减：输入信号在阻带的衰减量

带内平坦度：通带和阻带内的平坦程度
4、数字滤波器的设计步骤
数字滤波器的设计三个步骤:
(1) 按要求确定滤波器的性能参数；
(2) 用一个因果稳定的离散线性移不变系统的系 统函数去逼近去逼近这一性能要求；
第六章 IIR滤波器的设计
主要内容

理解数字滤波器的基本概念


了解最小相位延时系统
理解全通系统的特点及应用


掌握冲激响应不变法
掌握双线性变换法 掌握Butterworth、Chebyshev低通滤波器的特点 了解利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器的设计过程 了解利用频带变换法设计各种类型数字滤波器的方法
* z z0 , z0 映射到单位圆内的镜像位置：
构成Hmin(z)的零点。
而幅度响应不变：
P231 图6－6
H (e j ) H min (e j ) H ap (e j ) H min (e j )
2）级联一个全通系统可以使非稳定滤波器变成 一个稳定滤波器
1 j 单位圆外极点： z e ， r 1 r
相位超前系统
1）全部零点在单位圆内： mi M , mo 0
arg[] 2 N
为最大相位超前系统
2）全部零点在单位圆外： mi 0, mo M
arg[] 2 ( N M ) 为最小相位超前系统
最小相位延时系统的性质
1）在
H (e )
j
相同的系统中，具有最小的相位滞后
位于单位圆外的零/极矢量角度变化为 0
N H (e j ) M j j arg arg[e cm ] arg[e d k ] ( N M ) k 1 K m1
令： 单位圆内零点数为mi 单位圆外的零点数为mo 单位圆内的极点数为pi 单位圆外的极点数为po 则：
(e j cm )
(e j d k )
H (e ) e

模：
j
H (e ) K
e
m 1 N k 1
M
j
cm
e j d k
各零矢量模的连乘积 各极矢量模的连乘积

相角：
N H (e j ) M arg arg[e j cm ] arg[e j d k ] ( N M ) k 1 K m1
H ( z) K
(1 cm z 1 ) (1 d k z 1 )
k 1
M
M
m 1 N
Kz ( N M )
(z c
m 1 N k 1
M
m
)
(z d )
k
j j arg[ H ( e j )]
频率响应：
H (e ) Ke
j
j ( N M ) m 1 N k 1
H ( z ) H min ( z ) H ap ( z )
令：H ( z ) H1 ( z )( z z0 )( z z )
* 0
1
1
其中：H1(z)为最小相位延时系统，
1/ z0，1/z ， z0 1
* 0
为单位圆外的一对共轭零点
1 z z 1 z0 z H ( z ) H1 ( z ) z z0 z z 1 z z 1 z0 z 1
1/ a*
H(z)的极点：单位圆内的极点
0
a
a*
Re[ z ]
a 1

相位响应
j j j ( e j )
H ( e ) H (e ) e
Re H (e j ) j Im H (e j )
Im[ H (e j )] 相位响应： (e j ) arctan j Re[ H (e )]
通带最大衰减：1
1 20lg
H (e j 0 ) H (e
jc
)
20lg H (e
jc
) 20lg(1 1 )
阻带最小衰减： 2
2 20lg
H (e j 0 ) H (e
jst
)
20lg H (e
jst
) 20lg 2
H (e j 0 ) 1 其中： H (e jc ) 2 / 2 0.707 时， 1 3dB 当 称 c 为3dB通带截止频率
H (e ) arg 2 mi 2 pi 2 ( N M ) K 2 2 mi 2 M 2 mo 0
相位延时系统 1）全部零点在单位圆内： mi M , mo 0
arg[] 0
为最小相位延时系统
2）全部零点在单位圆外： mi 0, mo M arg[] 2 M 为最大相位延时系统
mi mo M
pi po N
H ( e j ) arg 2 ( N M ) 2 mi 2 pi K 2

因果稳定系统
j
z r , r 1 n < 0时，h(n) = 0
全部极点在单位圆内：po = 0，pi = N
1 1 * 0
z z z z H1 ( z ) 1 z z 1 z0 z 1 z z 1 z0 z
* 1 0 1
* 1 0 * 1 0 1 0 * 1 0
1
1
* 0 1
H min ( z ) H ap ( z )
* z 1/ z0 , 1/z0 , z0 1 把H(z)单位圆外的零点：
0 a 1
*
极点：z
a
零点： 1/ a z
z a H ap ( z ) 1 az 1
1
a为复数
0 a 1 极点：z a 零点： 1/ a* z
零极点以单位圆为镜像对称

实系数二阶全通系统
z a z a H ap ( z ) 1 1 1 az 1 a * z
N H (e j ) M j j arg arg[e cm ] arg[e d k ] ( N M ) k 1 K m1
当
0 2 , 2
j Im[ z ]
0
Re[ z ]
位于单位圆内的零/极矢量角度变化为2
a） 时域说明 b） 频域说明
（2） 四种基本的滤波器
四种基本滤波器为低通（LP）、高通 （HP）、带通（BP）和带阻滤波器（BRF）：
（3） 四种基本滤波器的数字表示
H ( e j )
低通
2π π
H ( e j )
π
2π
ω
高通
2π π
H ( e j )
π
2π ω
带通
2π π
(3) 用有限精度的运算实现；实现可以采用通用 计算机，也可以采用DSP。
5、数字滤波器的技术要求

选频滤波器的频率响应：
H (e ) H (e ) e
j
j
j
j ( j )
H (e ) 为幅频特性：表示信号通过该滤波器
后各频率成分的衰减情况
( j ) 为相频特性：反映各频率成分通过滤波
器后在时间上的延时情况
理想滤波器不可实现，只能以实际滤波器逼近



1 1 H (e ) 1 c 阻带： st H (e j ) 2 过渡带： c st
通带：
j
1 ：通带容限
2 ：阻带容限
c ：通带截止频率 st ：阻带截止频率