高二数学10月月考试题
2024-2025学年重庆市高二上学期10月月考数学质量检测试题(含解析)
2024-2025学年重庆市高二上学期10月月考数学质量检测试题一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1. 已知直线过点且与直线平行，则直线的一般式方程为（1l()2,5A 2:240l x y +-=1l ）A. B. 290x y ++=290x y +-=C. D. 290x y ++=290x y +-=2. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ）(2,2,1)a =- ()4,0,3b = b aA. （4，0，3）B. （4，0，3}C. （2，2，-1）D.591559（2，2，-1）133. 如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若1111ABCD A B C D -M 11A C 11B D ，则等于（）1,,AB a AD b AA c ===BM A. B. 1122-+a b c1122++a b cC. D. 1122--+ a b c1122a b c-++ 4. 已知空间三点O (0，0，0)，A (12)，B -1，2)，则以OA ，OB为邻边的平行四边形的面积为（ ）A. 8B. 4C. D. 5. 已知，，，直线l 过点B ，且与线段AP 相交，则直线l 的斜()2,3A -()3,2B --()1,1P率k 的取值范围是（ ）A. 或B. 4k ≤-34k ≥1354k -≤≤C .或 D.或34k ≤-4k ≥15k ≤-34k ≥6. 在棱长为的正四面体中，，，则（ ）3ABCD 2AM MB = 2CN ND=MN =A .D. 27. 如图所示，在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，棱长为1，E ，F 分别是BC，CD 上的点，且BE ＝CF ＝a (0<a <1)，则D ′E 与B ′F 的位置关系是（）A. 平行B. 垂直C. 相交D. 与a 值有关8. 已知二面角C -AB -D 的大小为120°，CA ⊥AB ，DB ⊥AB ，AB =BD =4，AC =2，M ，N分别为直线BC ，AD 上两个动点，则最小值为（）MN二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 直线，则（）:10l x ++=A. 点在上B. 的倾斜角为(-l l 5π6C. 的图象不过第一象限D. 的方向向量为l l )10. 下列结论正确的是（）A. 两个不同的平面的法向量分别是，则,αβ()()2,2,1,3,4,2u v =-=-αβ⊥B. 直线的方向向量，平面的法向量，则l ()0,3,0a =α()1,0,2u =//l αC. 若，则点在平面内()()()2,1,4,4,2,0,0,4,8AB AC AP =--==--P ABC D. 若是空间的一组基底，则向量也是空间一组基底,,a b b c c a +++ ,,a b c11. 如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且ABCDES SA ⊥ABCD ABCD DE ∥，分别是线段的中点，是线段上的一个动点SA 22,,SA AB DE M N ===,BC SB Q DC （含端点），则下列说法正确的是（）,D CA. 存在点，使得Q NQ SB⊥B. 存在点，使得异面直线与所成的角为Q NQ SA 60oC. 三棱锥体积的最大值是Q AMN -23D. 当点自向处运动时，二面角的平面角先变小后变大Q D C N MQ A --三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12. 已知点，则直线的倾斜角是______．)(),AB AB 13.如图，在四棱锥中，平面平面，底面是矩形，P ABCD -PCD ⊥ABCD ABCD ，，点是的中点，点为线段上靠近的三26AB BC ==,⊥=PC PD PC PD O CD E PB B 等分点，则点到直线的距离为______．E AO14.如图，在中，，过的中点的动直线与线段ABC V π6,4AC BC C ===AC M l 交于点，将沿直线向上翻折至，使得点在平面内的射影AB N AMN l 1A MN 1A BCMN 落在线段上，则斜线与平面所成角的正弦值的最大值为________．H BC 1A M BCMN四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15. 已知直线过点.l (2,2)P （1）若直线与垂直，求直线的方程；l 360x y -+=l （2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.l l 16. 已知空间中三点，，．(),1,2A m -()3,1,4B -()1,,1C n -（1）若，，三点共线，求的值；A B C m n +（2）若，的夹角是钝角，求的取值范围．AB BCm n +17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD 为直角梯形，且，，P ABCD -AB AD ⊥2AD BC =u u u r u u u r已知侧棱平面ABCD ，设点E 为棱PD 的中点．AP ⊥（1）证明：平面ABP ；//CE （2）若，求点P 到平面BCE 的距离．2AB AP AD ===18. 如图1，在中，，，分别为边，的中点，且MBC △BM BC ⊥A D MB MC ，将沿折起到的位置，使，如图2，连接，2BC AM ==△MAD AD PAD △PA AB ⊥PB .PC（1）求证：平面；PA ⊥ABCD （2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值；E PC DE PBD （3）线段上一动点满足，判断是否存在，使二面角PC G (01)PGPC λλ=≤≤λ的值；若不存在，请说明理由.G AD P --λ19. 人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离()11,A x y ()22,B x y；曼哈顿距离，余弦距离(,)D A B =1212(,)d A B x x y y =-+-，其中（为坐标原点）．(,)1cos(,)e A B A B =-cos(,)cos ,A B OA OB =〈〉O （1）若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离；(1,2)A -34,55B ⎛⎫⎪⎝⎭A B (,)d A B (,)e A B （2）若点，，求的最大值；(2,1)M (,)1d M N =(,)e M N （3）已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得P Q :1(1)l y k x -=-l ，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明min min (,)(,)d O P D O Q =l 理由．2024-2025学年重庆市高二上学期10月月考数学质量检测试题一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1. 已知直线过点且与直线平行，则直线的一般式方程为（1l()2,5A 2:240l x y +-=1l ）A. B. 290x y ++=290x y +-=C .D. 290x y ++=290x y +-=【正确答案】B【分析】根据题意，得到，结合直线的点斜式方程，即可求解.12l k =-【详解】直线的斜截式方程为，则其斜率为，2l24y x =-+2-因为直线过点，且与直线平行，所以，1l()2,5A 2l12l k =-则直线的点斜式方程为，即为．1l()522y x -=--290x y +-=故选：B.2. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ）(2,2,1)a =- ()4,0,3b = b aA. （4，0，3）B. （4，0，3}C. （2，2，-1）D.591559（2，2，-1）13【正确答案】C【分析】根据向量在向量上的投影向量的概念求解即可.【详解】向量在向量上的投影向量为，b a 22224035(2,2,1)22(1)9||||b aaa a a →→→→→→⋅⨯+-⋅=⋅=-++-故选：C3. 如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若1111ABCD A B C D -M 11A C 11B D ，则等于（ ）1,,AB a AD b AA c ===BMA. B. 1122-+a b c1122++a b cC. D. 1122--+ a b c1122a b c-++ 【正确答案】D【分析】根据空间向量的线性运算即可得到答案.【详解】因为为与的交点，M 11A C 11B D 所以111111()22BM BB B M AA BD AA AD AB =+=+=+-.111112222AB AD A ca b A =-++=-++故选：D.4. 已知空间三点O (0，0，0)，A (12)，B-1，2)，则以OA ，OB为邻边的平行四边形的面积为（ ）A. 8B. 4C. D. 【正确答案】D【分析】先求出OA ，OB 的长度和夹角，再用面积公式求出的面积进而求得四边形OAB △的面积.【详解】因为O (0，0，0)，A (12)，B-1，2)，所以，OA ==OB ==2),1,2),OA OB ==-，1cos ,2OA OB ==所以sin ,OA OB =以OA ，OB 为邻边的平行四边形的面积为1222ABC S =⨯⨯= 故选：D.5. 已知，，，直线l 过点B ，且与线段AP 相交，则直线l 的斜()2,3A -()3,2B --()1,1P 率k 的取值范围是（）A. 或B. 4k ≤-34k ≥1354k -≤≤C.或 D.或34k ≤-4k ≥15k ≤-34k ≥【正确答案】B【分析】画出图形，数形结合得到，求出，得到答案.BP BA k k k ≥≥,BP BA k k 【详解】如图所示：由题意得，所求直线l 的斜率k 满足，BP BA k k k ≥≥即且，所以．231325k -+≥=---123134k +≤=+1354k -≤≤故选：B ．6. 在棱长为的正四面体中，，，则（ ）3ABCD 2AM MB = 2CNND =MN =A. D. 2【正确答案】B【分析】将用、、表示，利用空间向量数量积的运算性质可求得.MN AB AC AD MN【详解】因为，所以，，2AM MB = 23AM AB=又因为，则，所以，，2CN ND = ()2AN AC AD AN -=- 1233AN AC AD =+ 所以，，122333MN AN AM AC AD AB=-=+-由空间向量的数量积可得，293cos 602AB AC AB AD AC AD ⋅=⋅=⋅==因此，1223MN AC AD AB =+-=.==故选：B.7. 如图所示，在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，棱长为1，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且BE ＝CF ＝a (0<a <1)，则D ′E 与B ′F 的位置关系是（）A. 平行B. 垂直C. 相交D. 与a 值有关【正确答案】B【分析】建立坐标系，利用向量的乘积计算出，即可求解''0D E B F ⋅=【详解】建立如图所示空间直角坐标系.则，，，，'(0,0,1)D (1,1,0)E a -'(1,1,1)B (0,1,0)F a -，'(1,1,1)D E a ∴=-- '(1,,1)B F a =---，''(1)(1)1()(1)(1)110D E B F a a a a ∴⋅=-⨯-+⨯-+-⨯-=--+=''D E B F∴⊥ 故选：B本题考查空间向量的垂直的定义，属于基础题8. 已知二面角C -AB -D 的大小为120°，CA ⊥AB ，DB ⊥AB ，AB =BD =4，AC =2，M ，N 分别为直线BC ，AD 上两个动点，则最小值为（ ）MN【正确答案】D【分析】将二面角放到长方体中，根据二面角的定义得到，根据C AB D --120CAF ∠=︒几何知识得到最小值为异面直线，的距离，然后将异面直线，的距离MNBC AD BC AD 转化为直线到平面的距离，即点到平面的距离，最后利用等体积求点BC ADE C ADE 到平面的距离即可.C ADE 【详解】如图，将二面角放到长方体中，取，过点作面交C AB D --4CE BD ==E ⊥EF ABD 面于点，ABD F 由题意可知，，所以为二面角的平面角，即AB AF ⊥CA AB ⊥CAF ∠C AB D --，120CAF ∠=︒因为，分别为直线，上的两个动点，所以最小值为异面直线，M N BC AD MNBC 的距离，AD 由题意知，，所以四边形为平行四边形，，CE BD ∥CE BD =CBDE CB DE ∥因为平面，平面，所以∥平面，则异面直线，的DE ⊂ADE CB ⊄ADE CB ADE BC AD 距离可转化为直线到平面的距离，即点到平面的距离，BC ADE C ADE 设点到平面的距离为，则，，C ADE d C ADED CAE V V --=1133ADE CAE S d S AB⋅⋅=⋅⋅ 在直角三角形中，，，所以，CAH 18012060CAH ∠=︒-︒=︒2CA =1HA=，CH EF ==3AF =AE ==直角梯形中，，ABDF FD ==AD ==，DE ==因为，，所以，，222AC AECE +=222AE DE AD +=CA AE ⊥AE DE ⊥，，122CAE S =⨯⨯=12ADE S =⨯= CAE ADE S AB d S ⋅===故选：D.方法点睛：求异面直线距离的方法：（1）找出异面直线的公垂线，然后求距离；（2）转化为过直线甲且与直线乙平行的平面与直线乙的距离.二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 直线，则（）:10l x ++=A. 点在上B. 的倾斜角为(-l l 5π6C. 的图象不过第一象限D. 的方向向量为l l )【正确答案】BC【分析】利用点与直线的位置关系可判断A选项；求出直线的斜率，可得出直线的倾斜l l 角，可判断B 选项；作出直线的图象可判断C 选项；求出直线的方向向量，可判断D 选l l 项.【详解】对于A 选项，，所以，点不在上，A 错；2210-++≠ (-l 对于B 选项，直线的斜率为，故的倾斜角为，B 对；lk =l 5π6对于C 选项，直线交轴于点，交轴于点，如下图所示：l x ()1,0-y 0,⎛ ⎝由图可知，直线不过第一象限，C 对；l对于D 选项，直线的一个方向向量为，而向量与这里不共线，Dl )1-)1-(错.故选：BC.10. 下列结论正确的是（）A. 两个不同的平面的法向量分别是，则,αβ()()2,2,1,3,4,2u v =-=-αβ⊥B. 直线的方向向量，平面的法向量，则l ()0,3,0a =α()1,0,2u =//l αC. 若，则点在平面内()()()2,1,4,4,2,0,0,4,8AB AC AP =--==--P ABC D. 若是空间的一组基底，则向量也是空间一组基底,,a b b c c a +++ ,,a b c【正确答案】ACD【分析】根据平面向量的法向量垂直判断A ，根据直线与平面的关系判断B ，根据空间中共面基本定理判断C ，由空间向量基本定理判断D.【详解】因为，所以，故A 正确；()()2,2,13,4,26820u v ⋅=-⋅-=-+-=αβ⊥因为直线的方向向量，平面的法向量，l ()0,3,0a =α()1,0,2u =不能确定直线是否在平面内，故B 不正确；因为，()0,4,82(2,1,4)(4,2,0)2AP AB AC→→=--=---=-所以，，共面，即点在平面内，故C 正确；AP AB ACP ABC 若是空间的一组基底，,,a b b c c a +++则对空间任意一个向量，存在唯一的实数组，d →(,,)x y z 使得，()()()d x a b y b c z c a =+++++于是，()()()d x z a x y b y z c =+++++ 所以也是空间一组基底，故D 正确.,,a b c故选：ACD.11. 如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且ABCDES SA ⊥ABCD ABCD DE ∥，分别是线段的中点，是线段上的一个动点SA 22,,SA AB DE M N ===,BC SB Q DC （含端点），则下列说法正确的是（）,D CA. 存在点，使得Q NQ SB⊥B. 存在点，使得异面直线与所成的角为Q NQ SA 60oC. 三棱锥体积的最大值是Q AMN -23D. 当点自向处运动时，二面角的平面角先变小后变大Q D C N MQ A --【正确答案】ACD【分析】以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，向量法证明线线垂直判断A 选项；向量法求异面直线所成的角判断选项B ；由，求体积最大值判断C 选项；向量法求Q AMN N AMQV V --=二面角余弦值的变化情况判断选项D.【详解】平面，四边形是正方形，SA ⊥ABCD ABCD 以A 为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，,,AB AD AS,,x y z由，22SA AB DE ===；()()()()()()()()0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,2,1,0,0,2,1,0,1,2,1,0A B C D E S N M ∴对于A ，假设存在点，使得，()(),2,002Q m m ≤≤NQ SB ⊥则，又，()1,2,1NQ m =--()2,0,2SB =-，解得：，()2120NQ SB m ∴⋅=-+=0m =即点与重合时，，A 选项正确；Q D NQ SB ⊥对于B ，假设存在点，使得异面直线与所成的角为，()(),2,002Q m m ≤≤NQ SA 60o，()()1,2,1,0,0,2NQ m SA =--=-，方程无解；1cos ,2NQ SA NQ SA NQ SA ⋅∴===⋅ 不存在点，使得异面直线与所成的角为，B 选项错误；∴Q NQ SA 60o对于C ，连接；,,AQ AMAN 设，()02DQ m m =≤≤，22AMQ ABCD ABM QCM ADQ mS S S S S =---=-当，即点与点重合时，取得最大值2；∴0m =Q D AMQ S △又点到平面的距离，N AMQ 112d SA ==，C 选项正确；()()maxmax 122133Q AMN N AMQ V V --∴==⨯⨯=对于D ，由上分析知：，()()1,2,1,1,1,1NQ m NM =--=-若是面的法向量，则，(),,m x y z =NMQ ()1200m NQ m x y z m NM x y z ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ 令，则，1x =()1,2,3m m m =-- 而面的法向量，AMQ ()0,0,1n =所以，令，cos ,m nm n m n ⋅==[]31,3t m =-∈则，而，cos ,m n ==11,13t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦由从到的过程，由小变大，则由大变小，即由小变大，Q D C m t 1t 所以先变大，后变小，由图知：二面角恒为锐角，cos ,m n故二面角先变小后变大，D 选项正确.故选：ACD.三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12. 已知点，则直线的倾斜角是______．)(),AB AB 【正确答案】π6【分析】根据已知两点的坐标求得直线的斜率，即可求得答案.AB 【详解】由于，)(),AB故直线的斜率为，AB k ==因为直线的倾斜角范围为，[0,π)故直线的倾斜角是，AB π6故π613.如图，在四棱锥中，平面平面，底面是矩形，P ABCD -PCD ⊥ABCD ABCD ，，点是的中点，点为线段上靠近的三26AB BC ==,⊥=PC PD PC PD O CD E PB B 等分点，则点到直线的距离为______．E AO【正确答案】3【分析】说明两两垂直，从而建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，根据空,,OO OC OP '间距离的向量求法，即可求得答案.【详解】取的中点为，连接，因为为的中点，所以AB O ',,PO OO AE ',PC PD O =CD ，PO CD ⊥又平面平面，平面平面，平面，PCD ⊥ABCD PCD ABCD CD =PO ⊂PCD 所以平面，平面，所以，⊥PO ABCD OO '⊂ABCD PO OO '⊥又底面是矩形，点是的中点，的中点为，所以，ABCD O CD AB O 'OO CD '⊥以点为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示，O ,,OO OC OP ',,x y z由，得，,,6PC PD PC PD CD ⊥==132PO CD ==所以，()()()3,3,0,3,3,0,0,0,3A B P -点为线段上靠近的三等分点，则，E PB B 22(3,3,3)33PE PB ==- 则，所以，，()2,2,1E ()1,5,1AE =-()3,3,0AO =-则，，||AE ==AO AE AO⋅== 因此点到直线的距离，E AO 3d =故314.如图，在中，，过的中点的动直线与线段ABC V π6,4AC BC C ===ACM l 交于点，将沿直线向上翻折至，使得点在平面内的射影AB N AMN l 1A MN 1A BCMN 落在线段上，则斜线与平面所成角的正弦值的最大值为________．H BC 1A M BCMN【分析】首先求出中边，角的正弦与余弦值，以底面点为空间原点建系（如ABC V AB B B 图1），设点，由，得，求出坐标，由(),,A x y z '(),0,0H x (,0,)A x z ',,A C M 得出满足的关系式，从而可得的范围也即的范围，翻折过程MC AM A M '==,x z z A H '中可得，设，，由向量的数量积为0从而得出关于MN AA '⊥1,,02N a a ⎛⎫⎪⎝⎭[)0,4a ∈x 的表达式，求得的范围，再由线面角的正弦值得出结论．a x 【详解】中，根据余弦定理，π,4C ABC =△，得AB ==sin sin ACABB C =，由知，则，sin B =AC AB <B C <cos B =如图1，以底面点为空间原点建系，根据底面几何关系，得点，设点B ()()4,2,0,6,0,0A C ，点的投影在轴上，即，由(),,A x y z 'A '(),0,0H x x ()(),0,,5,1,0A x z M '，根据两点间距离公式，MC AM A M '==．=22(5)1x z -+= 图1 图2如图2，在翻折过程中，作于点，则，AMN A MN '△≌△AE MN ⊥E A E MN '⊥并且平面，,,AE A E E AE A E ='⊂' A AE '所以平面平面，MN ⊥,A AE AA ''⊂A AE '所以，即，其中．MN AA '⊥0MN AA '⋅=()4,2,AA x z '=--又动点在线段上，设，所以，且．N AB 1,,02N a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭15,1,02MN a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ [)0,4a ∈由，得，0MN AA '⋅= ()()132245210,52,255x a a x a ⎛⎫⎛⎤----==+∈ ⎪ ⎥-⎝⎭⎝⎦又因为，对应的的取值为，即，22(5)1x z -+=z 40,5⎛⎤ ⎥⎝⎦40,5A H ⎛⎤'∈ ⎥⎝⎦由已知斜线与平面所成角是，1A MBCMN A MH '∠所以．sin A H A MH A M ⎛∠=∈ ⎝'''故斜线与平面1A MBCMN 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15. 已知直线过点.l (2,2)P （1）若直线与垂直，求直线的方程；l 360x y -+=l （2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.l l 【正确答案】（1）； 380x y +-=（2）或y x =40x y +-=【分析】（1）由垂直斜率关系求得直线的斜率，再由点斜式写出方程；l （2）分别讨论截距为0、不为0，其中不为0时可设为，代入点P ，即可求得0x y m ++=参数m【小问1详解】直线的斜率为，则直线的斜率为，则直线的方程为360x y -+=3l 13-l ，即；()1223y x -=--380x y +-=【小问2详解】当截距为0时，直线的方程为；l y x =当截距不为0时，直线设为，代入解得，故直线的方程为l 0x y m ++=(2,2)P 4m =-l .40x y +-=综上，直线的方程为或l y x =40x y +-=16. 已知空间中三点，，．(),1,2A m -()3,1,4B -()1,,1C n -（1）若，，三点共线，求的值；A B C m n +（2）若，的夹角是钝角，求的取值范围．AB BCm n +【正确答案】（1）；1-（2）且不同时成立.13m n +<10m n =-⎧⎨=⎩【分析】（1）由向量的坐标表示确定、，再由三点共线，存在使，AB CBR λ∈AB CB λ= 进而求出m 、n ，即可得结果.（2）由向量夹角的坐标表示求，再根据钝角可得cos ,AB BC <>，讨论的情况，即可求范围.2(3)2(1)180m n -+--<,AB BC π<>=m n +【小问1详解】由题设，，又，，三点共线，(3,2,6)AB m =-- (2,1,3)CB n =--A B C 所以存在使，即，可得，R λ∈AB CB λ=322(1)63m n λλλ-=⎧⎪=-⎨⎪-=-⎩210m n λ=⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以.1m n +=-【小问2详解】由，(2,1,3)BC n =--由（1）知：当时，有；,AB BC π<>=1m n +=-而，的夹角是钝cos ,||||AB BC AB BC AB BC ⋅<>==AB BC角，所以，可得；2(3)2(1)182()260m n m n -+--=+-<m n +13<综上，且不同时成立.13m n +<10m n =-⎧⎨=⎩17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD 为直角梯形，且，，P ABCD -AB AD ⊥2AD BC =u u u ru u u r已知侧棱平面ABCD ，设点E 为棱PD 的中点．AP ⊥（1）证明：平面ABP ；//CE （2）若，求点P 到平面BCE 的距离．2AB AP AD ===【正确答案】（1）见解析 （2【分析】（1）设为的中点,连接,，利用中位线的性质证明四边形是平F PA BF EF EFBC 行四边形，则可得平面.//CE ABP （2）点为坐标原点建立合适的空间直角坐标系，求出平面的法向量，A BCE (0,1,2)n =利用点到平面的距离公式即可.【小问1详解】设为的中点，连接,，F PA BF EF是的中点，，E PD 1//,2EF AD EF AD ∴=,且，2,//AD BC AD BC =∴ 12BC AD=，//,EF BC EF BC ∴=四边形是平行四边形，，∴EFBC //CE BF ∴又平面平面,BF ⊂ ,ABP CE ⊂/ABP 平面.//CE ∴ABP 【小问2详解】由于侧棱平面，面，AP ⊥ABCD ,AB AD ⊂ABCD ，，则以点为坐标原点,以,,所在的直线,AP AB AP AD ∴⊥⊥AB AD ⊥ A AD AB AP 为轴,轴,轴建立如图空间直角坐标系,x y z，，2AD = 112BC AD ∴==，，，，(0,0,2)P ∴(0,2,0)B (1,2,0)C (1,0,1)E ，，，(1,0,0)BC ∴= (0,2,1)CE =- (0,2,2)PB =-设平面的法向量,BCE (,,)n x y z =则有，即，00n BC n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 020x y z =⎧⎨-+=⎩令,则，1y =(0,1,2)n =点到平面的距离.∴PBCE ||||||||||||PB n PB n d PB n PB n ⋅⋅=⋅===⋅18. 如图1，在中，，，分别为边，的中点，且MBC △BM BC ⊥A D MB MC ，将沿折起到的位置，使，如图2，连接，2BC AM ==△MAD AD PAD △PA AB ⊥PB .PC（1）求证：平面；PA ⊥ABCD （2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值；E PC DE PBD （3）线段上一动点满足，判断是否存在，使二面角PC G (01)PGPC λλ=≤≤λ的值；若不存在，请说明理由.G AD P --λ【正确答案】（1）证明见解析（2（3）存在，14λ=【分析】（1）由中位线和垂直关系得到，，从而得到线面垂直；PA AD ⊥PA AB ⊥（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，求出线面角的正弦值；（3）求出两平面的法向量，根据二面角的正弦值列出方程，求出，得到答案.14λ=【小问1详解】因为，分别为，的中点，所以.A D MB MC AD BC ∥因为，所以，所以.BM BC ⊥BM AD ⊥PA AD ⊥又，，平面，PA AB ⊥AB AD A ⋂=,AB AD ⊂ABCD 所以平面.PA ⊥ABCD 【小问2详解】因为，，，所以，，两两垂直.PA AB ⊥PA AD ⊥90DAB ∠=︒AP AB AD 以为坐标原点，所在直线分别为轴，A ,,AB AD AP ,,x y z 建立如图所示的空间直角坐标系，A xyz -依题意有，，，，，，A (0,0,0)()2,0,0B ()2,2,0C D (0,1,0)()0,0,2P ()1,1,1E 则，，，.(2,2,2)PC =- (1,0,1)DE = (2,1,0)BD =-(2,0,2)BP =- 设平面的法向量，PBD ()111,,n x y z =则有()()()()11111111112,1,0,,202,0,2,,220BD n x y z x y BP n x y z x z ⎧⋅=-⋅=-+=⎪⎨⋅=-⋅=-+=⎪⎩令，得，，所以是平面的一个法向量.12y =11x =11z =()1,2,1n = PBD 因为，cos ,DE n DE n DE n⋅〈〉====⋅所以直线与平面DE PBD 【小问3详解】假设存在，使二面角λG AD P --即使二面角G AD P --由（2）得，，(2,2,2)(01)PG PC λλλλλ==-≤≤所以，，.(2,2,22)G λλλ-(0,1,0)AD = (2,2,22)AG λλλ=-易得平面的一个法向量为.PAD ()11,0,0n =设平面的法向量，ADG ()2222,,n x y z =，()()()()()2222222222220,1,0,,02,2,22,,22220AD n x y z y AG n x y z x y z λλλλλλ⎧⋅=⋅==⎪⎨⋅=-⋅=++-=⎪⎩ 解得，令，得，20y =2z λ=21x λ=-则是平面的一个法向量.()21,0,n λλ=-ADG由图形可以看出二面角，G AD P --故二面角G AD P --则有，1cos ,n，解得，.=112λ=-214λ=又因为，所以.01λ≤≤14λ=故存在，使二面角14λ=G AD P --19. 人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离()11,A x y ()22,B x y ；曼哈顿距离，余弦距离(,)D A B =1212(,)d A B x x y y =-+-，其中（为坐标原点）．(,)1cos(,)e A B A B =-cos(,)cos ,A B OA OB =〈〉O （1）若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离；(1,2)A -34,55B ⎛⎫⎪⎝⎭A B (,)d A B (,)e A B （2）若点，，求的最大值；(2,1)M (,)1d M N =(,)e M N （3）已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得P Q :1(1)l y k x -=-l ，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明min min (,)(,)d O PD O Q =l 理由．【正确答案】（1）145（2）1-（3）存在，和1y =y x=【分析】（1）代入和的公式，即可求解；(,)d A B (,)e A B （2）首先设，代入，求得点的轨迹，再利用数形结合，结合公式(),N x y (,)1d M N =N ，结合余弦值，即可求解；(),e A B （3）首先求的最小值，分和两种情况求的最小值，对比后，(),D O P 0k =0k ≠(),d O P 即可判断直线方程.【小问1详解】，348614(,)125555d A B +=--+-==，cos(,)cos ,OA OB A B OA OB OA OB⋅=〈〉===；()(),1cos ,1e A B A B =-=-=【小问2详解】设，由题意得：，(,)N x y (,)|2||1|1d M N x y =-+-=即，而表示的图形是正方形，|2||1|1x y -+-=|2||1|1x y -+-=ABCD 其中、、、．()2,0A ()3,1B ()2,2C ()1,1D 即点在正方形的边上运动，，，N ABCD (2,1)OM =(,)ON x y = 可知：当取到最小值时，最大，相应的cos(,)cos ,M N OM ON =<> ,OM ON <>有最大值．(,)e M N 因此，点有如下两种可能：N ①点为点，则，可得；N A (2,0)ON =cos(,)cos ,M N OM ON =<>==②点在线段上运动时，此时与同向，取，N CD ON (1,1)DC =(1,1)ON = 则cos(,)cos ,M N OM ON =<>==的最大值为．>(,)e M N 1【小问3详解】易知，则min (,)D O P (,1)P x kx k -+(,)()|||1|d O P h x x kx k ==+-+当时，，则，，满足题意；0k =(,)()|||1|d O P h x x ==+min (,)1d O P =min (,)1D O P =当时，，0k ≠1(,)()1k d O P h x x kx k x k x k -==+-+=+⋅-由分段函数性质可知，min 1(,)min (0),k d O P h h k ⎛⎫-⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭又且时等号成(0)|1|h k =-≥11k k h k k --⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭1k =立．综上，满足条件的直线有且只有两条，和．:1l y =y x =关键点点睛：本题第二问为代数问题，转化为几何问题，利用数形结合，易求解，第3问的关键是理解，同样是转化为代数与几何相结合的问题.min min (,)(,)d O P D O Q =。
江苏省泰州中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题
江苏省泰州中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．经过两点(0,3),(P Q -的直线的倾斜角为（ ） A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒2．若方程2224240x y mx y m m ++-+-=表示圆，则实数m 的取值范围是（ ） A ．0m < B ．12m <C ．1m >-D ．2m ≥3．平面内一点M 到两定点()10,3F -，()20,3F 的距离之和为10，则M 的轨迹方程是（ ）A ．2212516x y +=B ．2212516y x +=C ．2212516y x -=D ．2212516x y -=4．一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面3米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为（ ）A ．B ．C ．D ．5．若直线y x m =+与曲线x m 的取值范围是（ ）A ．m =B ．m m ≤C ．m D ．11m -<≤或m =6．已知点P 在圆22:(2)(1)4O x y -+-=上，点()()1,2,2,2A B --，则满足6AP BP ⋅=u u u r u u u r的点P的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．07．设直线 :10l x y +-=， 一束光线从原点 O 出发沿射线 ()0y kx x =≥ 向直线 l 射出， 经 l 反射后与 x 轴交于点 M ， 再次经 x 轴反射后与 y 轴交于点 N . 若MN =， 则 k 的值为（ ）A ．32B ．23C ．12D ．138．已知圆22:16O x y +=，点12,2F ⎛- ⎝，点E 是:2160l x y -+=上的动点，过E 作圆O 的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 与EO 交于点M ，则||MF 的最小值为（ ）A ．32B C D二、多选题9．已知ABC V 中，()1,2A -，()1,0B ，()3,4C ，则关于ABC V 下列说法中正确的有（ ） A ．某一边上的中线所在直线的方程为2y = B ．某一条角平分线所在直线的方程为2y = C ．某一边上的高所在直线的方程为20x y += D ．某一条中位线所在直线的方程为210x y -+= 10．下列说法正确的是（ ）A ．直线sin 20x y α++=的倾斜角θ的取值范围是π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B ．“1a =-”是“直线210a x y -+=与直线20x ay --=互相垂直”的充要条件C ．过点()1,2P 且在x 轴，y 轴截距相等的直线方程为30x y +-=D ．设点()()2,3,3,2A B ---，若点P x ,y 在线段AB 上（含端点），则11y x --的取值范围是(]3,4,4∞∞⎡⎫--⋃+⎪⎢⎣⎭11．已知圆O ：224x y +=，过圆O 外一点(),P a b 作圆O 的切线，切点为A ，B ，直线OP 与直线AB 相交于点D ，则下列说法正确的是（ ）A ．若点P 在直线40x y ++=上，则直线AB 过定点()1,1-- B ．当PA PB ⋅u u u r u u u r取得最小值时，点P 在圆2232x y +=上C ．直线PA ，PB 关于直线22ax by a b +=+对称D ．OP 与OD 的乘积为定值4三、填空题12．求过点(1,4)P -且与圆()()22231x y -+-=相切的直线方程为.13．已知方程22112x y m m+=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是14．已知P 为圆22(1)(1)1x y -+-=上任意一点，()()0,0,2,0O B ，则P O B 的最小值为.四、解答题15．已知点()()1,3,5,7A B --和直线:34200l x y +-=． (1)求过点A 与直线l 平行的直线1l 的方程； (2)求过AB 的中点与l 垂直的直线2l 的方程．16．已知以点()1,2A -为圆心的圆与______，过点()2,0B -的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点．从①直线270x y ++=相切；②圆()22320x y -+=关于直线210x y --=对称．这2个条件中任选一个，补充在上面问题的横线上并回答下列问题． (1)求圆A 的方程；(2)当MN =l 的方程．17．如图，将一块直角三角形木板ABO 置于平面直角坐标系中，已知1AB OB ==，AB OB ⊥，点11,24P ⎛⎫⎪⎝⎭是三角形木板内一点，现因三角形木板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P 的任一直线MN 将三角形木板锯成AMN V ，设直线MN 的斜率为k .(1)用k 表示出直线MN 的方程，并求出M 、N 的坐标；(2)求锯成的AMN V 的面积的最小值.18．如图，圆()22:10C x a x y ay a -++-+=.(1)若圆C 与y 轴相切，求圆C 的方程；(2)当4a =时，圆C 与x 轴相交于两点,M N （点M 在点N 的左侧）.问：是否存在圆222:O x y r +=，使得过点M 的任一条直线与该圆的交点,A B ，都有ANM BNM ∠=∠？若存在，求出圆方程，若不存在，请说明理由.19．已知()0,3A 、B 、C 为圆O ：222x y r +=（0r >）上三点．(1)若直线BC 过点()0,2，求ABC V 面积的最大值；(2)若D 为曲线()()22143x y y ++=≠-上的动点，且AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，试问直线AB 和直线AC的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.。
河南省南阳市2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题(含答案)
高二数学全卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．选择题用2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．5．本卷主要考查内容：北师大版选择性必修第一册第一章，第二章．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设直线的倾斜角为，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知双曲线的虚轴长是实轴长的3倍，则实数的值为（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知方程表示一个焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．4．直线被圆截得的弦长为（ ）ABCD ．5．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上任意一点，则的最小值为（ ）A ．1B ．C ．D ．6．已知椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则（ ）A ．B ．C ．D ．:80l x -+=αα=120︒60︒30︒150︒221(0)1x y a a a -=>+a 1214131822124x y m m+=--y m ()2,3()3,4()()2,33,4⋃()2,426y x =+22(2)4x y ++=23y x =F P PF 43323422122:1(0)x y C a b a b +=>>1e 22222:1x y C a b-=2e 22122e e +=112e e +=22211e e =+212e e =7．在平面直角坐标系中，已知圆，若圆上存在点，使得，则正数的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支相交于两点，，且的周长为10，则双曲线的焦距为（ ）A ．3BCD二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知椭圆的对称中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，若椭圆的长轴长为6，焦距为4，则椭圆的标准方程可能为（ ）A ．B ．C ．D ．10．如图，抛物线的焦点为，过抛物线上一点（点在第一象限）作准线的垂线，垂足为为边长为8的等边三角形．则（ ）A ．B ．C ．点的坐标为D ．点的坐标为11．已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线右支上的动点，过点作两渐近线的垂线，垂足分别为．若圆与双曲线的渐近线相切，则下列说法正确的是（ ）xOy ()222:()()(0),3,0C x a y a a a A -+-=>-C P 2PA PO =a (]0,1[]1,21,3⎡+⎣⎤⎦2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>12,F F 2F ,A B 12224BF BF AF ==1ABF △C C C 22149x y +=22195x y +=22194x y +=22159x y +=2:2(0)C y px p =>F C P P l ,H PHF △2p =4p =P (P (222:1(0)3x y C b b-=>12,F F P C P ,A B 22(2)1x y -+=CA ．双曲线的渐近线方程为B ．双曲线的离心率C ．当点异于双曲线的顶点时，的内切圆的圆心总在直线上D．为定值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．过点且在轴、轴上截距相等的直线方程为______．13．已知是圆______．14．如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，过椭圆左焦点的直线与椭圆相交于两点，，，则椭圆的离心率为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15．（本小题满分13分）已知的顶点坐标为．（1）若点是边上的中点，求直线的方程；（2）求边上的高所在的直线方程．16．（本小题满分15分）已知动点到点为常数且的距离与到直线的距离相等，且点在动点的轨迹上．（1）求动点的轨迹的方程，并求的值；（2）在（1）的条件下，已知直线与轨迹交于两点，点是线段的中点，求直线的方y x =C e =P C 12PF F △x =PA PB ⋅32()3,1x y (),P m n 22:(4)(4)8C x y -+-=2222:1(0)x y C a b a b+=>>12,F F 1F C,P Q 222QF PF =21cos 4PF Q ∠=C ABC △()()()1,6,3,1,4,2A B C ---D AC BD AB P (),0(F t t 0)t >x t =-()1,1-P P C t l C ,A B ()2,1M AB l程．17．（本小题满分15分）已知点，动点满足．（1）求动点的轨迹的方程；（2）已知圆的圆心为，且圆与轴相切，若圆与曲线有公共点，求实数的取值范围．18．（本小题满分17分）已知双曲线的一条渐近线方程为，点在双曲线上．（1）求双曲线的标准方程；（2）过定点的动直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，与其两条渐近线分别交于（点在点的左边）两点，证明：线段与线段的长度始终相等．19．（本小题满分17分）在平面直角坐标系中，已知椭圆，短轴长为2．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知点分别为椭圆的左、右顶点，点为椭圆的下顶点，点为椭圆上异于椭圆顶点的动点，直线与直线相交于点，直线与直线相交于点．证明：直线与轴垂直．()()2,0,6,0O A -(),P x y 3PA PO =P C Q (),(0)Q t t t >Q y Q C t 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>20x y +=()1-C C ()0,1P l C ,A B ,M N M N AM BN xOy 2222:1(0)x y C a b a b+=>>C ,A B C D C P C AP BD M BP AD N MN x2024~2025学年度10月质量检测·高二数学参考答案、提示及评分细则1．C 因为直线的斜率为，由斜率和倾斜角的关系可得又，．故选C ．2．D，解得．3．A 若方程表示为焦点在轴上的一个椭圆，有解得．4．B 圆心，直线被圆截得的弦长为．故选B ．5．D 设点的坐标为，有，故的最小值为．6．A 由，可得．7．C 设点的坐标为，有，整理为，可化为，若圆上存在这样的点，只需要圆与圆有交点，有，解得C ．8．B 设，可得，有，解得，在和中，由余弦定理有，解得，可得双曲线的焦距为．9．BD 由题意有，故椭圆的标准方程可能为或．10．BD 设抛物线的准线与轴的交点为，由，有:80l x +=k =tan α=0180α︒≤<︒30α=︒=18a =y 20,40,24,m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-<-⎩23m <<()2,0-=P ()00,x y 03344PF x =+≥PF 34222222221222221,1a b b a b b e e a a a a-+==-==+22122e e +=P (),x y =22230x y x +--=22(1)4x y -+=C P C 22(1)4x y -+=22a a -≤≤+13a ≤≤+221,2,4AF m BF m BF m ===13AF m =23410m m m m +++=1m =12AF F △12BF F △224194416048c c c c +-+-+=c =3,2,5a c b ====C 22195x y +=22159x y +=C x Q 60,PHF HFO FQ p ∠=∠=︒=，有，得，点的坐标为．11．ABC 由题意得，对于选项A ：双曲线的渐近线方程是，圆的圆心是，半径是1（舍去），又，故A 正确；则，离心率为B 正确；对于选项C ：设的内切圆与轴相切于点，由圆的切线性质知，所以，因此内心在直线，即直线上，故C 正确；对于选项D ：设，则，渐近线方程是，则为常数，故D 错误．故选ABC ．12．或 设在轴、轴上的截距均为，若，即直线过原点，设直线为，代入，可得，所以直线方程为，即；若，则直线方程为，代入，则，解得，所以此时直线方程为；综上所述：所求直线方程为或．13．表示点到原点的距离，由，有的取值范围为．14设椭圆的焦距为，有，在中，由余弦定理有，有，可得，有．在中，由余弦定理有可得2,HF p HQ ==28p =4p =P (0bx ±=22(2)1x y -+=()2,01,1b ==1-1,b b y x a ===2c ==c e a ===12PF F △x M 122F M F M a -=M x a =I x a =x a ==()00,P x y 222200001,333x y x y -=-=0x ±=3440x y +-=30x y -=x y a 0a =y kx =()3,113k =13y x =30x y -=0a ≠1x ya a+=()3,1311a a+=4a =4x y +=40x y +-=30x y -=⎡⎣P O 28OC r ==OC OP OC -≤≤+OP ≤≤⎡⎣C 222,,2c PF t QF t ==112,22,43PF a t QF a t PQ a t =-=-=-2PQF △2222(43)4a t t t t -=+-45t a =21886,,555QF a PQ a PF a ===22PF Q QPF ∠=∠12PF F △2c ==c e a ==15．解：（1）因为点是边上的中点，则，所以，所以直线的方程为，即；（2）因为，所以边上的高所在的直线的斜率为，所以边上的高所在的直线方程为，即．16．解：（1）由题意知，动点的轨迹为抛物线，设抛物线的方程为，则，所以，所以抛物线的方程为，故；（2）设点的坐标分别有，可得有，可得，有，可得直线的斜率为，故直线的议程为，整理为．17．解：（1）由得，，整理得，故动点的轨迹的方程为；（2）点的坐标为且圆与轴相切，圆的半径为，圆的方程为，D AC 3,42D ⎛⎫⎪⎝⎭14103932BD k --==--BD 01(3)9y x 1+=+109210x y -+=167312AB k --==-+AB 27-AB ()2247y x -=--27220x y +-=P C 22(0)y px p =>12p =12p =C 2y x =124p t ==,A B ()()1122,,,x y x y 12124,2,x x y y +=⎧⎨+=⎩211222y x y x ⎧=⎨=⎩222121y y x x -=-212121112y y x x y y -==-+l 12l 11(2)2y x -=-12y x =3PA PO =229PA PO =2222(6)9(2)x y x y ⎡⎤++=-+⎣⎦22(3)9x y -+=P C 22(3)9x y -+= Q (),(0)t t t >Q y ∴Q t ∴Q 222()()x t y t t -+-=圆与圆两圆心的距离为，圆与圆有公共点，，即，解得，所以实数的取值范围是．18．（1）解：由渐近线方程的斜率为，有，可得，将点代入双曲线的方程，有，联立方程解得故双曲线的标准议程为；（2）证明：设点的坐标分别为，线段的中点的坐标为，线段的中点的坐标为．设直线的方程为，联立方程解得，联立方程解得，可得，联立方程消去后整理为，∴Q C CQ == Q C 33t CQ t ∴-≤≤+2222|3|(3)(3)t t t t -≤-+≤+012t <≤t (]0,1220x y +=12-12b a -=-2a b =()1-C 22811a b-=222,811,a b a b =⎧⎪⎨-=⎪⎩2,1,a b =⎧⎨=⎩C 2214x y -=,,,A B M N ()()()()11223344,,,,,,,x y x y x y x y AB D ()55,x y MN E ()66,x y l 1y kx =+1,1,2y kx y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩3221x k =-+1,1,2y kx y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩4221x k =--5212242212141kx k k k ⎛⎫=--=- ⎪+--⎝⎭221,1,4y kx x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩y ()2241880k x kx -++=有，可得，由，可知线段和共中点，故有．19．（1）解：设椭圆的焦距为，由题意有：，解得故椭圆的标准方程为；（2）证明：由（1）知，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，设点的坐标为（其中，），有，可得，直线的方程为，整理为，直线的方程为，整理为，直线的方程为，联立方程，解得：，故点的横坐标为，直线的方程为， 联立方程，解得：，故点的横坐标为，122841k x x k +=--62441kx k =--46x x =AB MN AM BN =C 2c 22222a b c b c a⎧⎪=+⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩2,1,a b c ===C 2214x y +=A ()2,0-B ()2,0D ()0,1-P (),m n ()()2,00,2m ∈- 2214m n +=2244m n +=BD 121x y +=-112y x =-AD 121x y +=--112y x =--AP ()22ny x m =++()2,2112n y x m y x ⎧=+⎪⎪+⎨⎪=-⎪⎩24422m n x m n ++=-+M ()22222m n m n ++-+BP ()22ny x m =--()2,2112n y x m y x ⎧=-⎪⎪-⎨⎪=--⎪⎩42422n m x m n -+=+-N ()22222n m m n -++-又由，故点和点的横坐标相等，可得直线与轴垂直．()()()()()()22222222222222222222m n m n m n m n m n n m m n m n m n m n +++-+-+--++-+-=-++--++-()()()()()()()222222(2)4(2)42442880222222222222m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n ⎡⎤⎡⎤+-+--+-+-⎣⎦⎣⎦====-++--++--++-M N MN x。
山东省菏泽市鄄城县第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题(含解析)
高二数学试题考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写济楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教A 版选择性必修第一册第二章~第三章第2节.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（ ）A.B. C. D.2.已知双曲线的焦距为4，则的渐近线方程为（ ）A. B.C.D.3.已知椭圆与椭圆有相同的焦点，则（ ）A.B.C.3D.44.已知点在圆的外部，则实数的取值范围为（ ）A.B.C.D.5.已知点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，则（ ）A.2B.4C.6D.86.已知点，若过定点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围103x --=π6π32π35π6()222:11x C y a a-=>C y =y x=±y =y x =()222:1016x y C b b +=>221125x y +=b =()0,1-22220x y x my +--+=m ()3,∞-+()3,2-()()3,22,∞--⋃+()2,2-M 22:1916x y C -=12,F F C 1122MF F F MF +-=()()2,3,3,2A B ---()1,1P l AB l k是（ ）A.B.C.D.7.当变动时，动直线围成的封闭图形的面积为（ ）A.C.D.8.已知椭圆，若椭圆上的点到直线的最短距离，则长半轴长的取值范围为（ ）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若直线与直线平行，则的值可以是（）A.0B.2C.D.410.已知点是椭圆上关于原点对称且不与的顶点重合的两点，分别是的左､右焦点，为原点，则（ ）A.的离心率为B.C.的值可以为3D.若的面积为，则11.已知点及圆，点是圆上的动点，则（ ）A.过原点与点的直线被圆截得的弦长为B.过点作圆的切线，则切线方程为C.当点到直线的距离最大时，过点与平行的一条直线的方程为D.过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为(]3,4,4∞∞⎡⎫--⋃+⎪⎢⎣⎭34,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1,5∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭3,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦α2cos2sin24cos x y ααα+=π2π4π()2222:10x y E a b a b +=>>E 50x y ++=a (]0,2((⎤⎦()240a x y a -++=()()222420a x a a y -+++-=a 2-,A B 22:143x y C +=C 12,F F C O C 12228AF BF +=AB 12AF F V 3212154AF AF ⋅=()4,4P 22:40C x y x +-=Q C O P C P C 3440x y -+=Q PC Q PC 240x y ---=P C ,A B AB 240x y +-=三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若方程表示椭圆，则的取值范围是__________.13.已知圆与两直线都相切，且圆经过点，则圆的半径为__________.14.把放置在平面直角坐标系中，点在直线的上方，点在边上，平分，且点都在轴上，直线的斜率为，则点的坐标为__________；直线在轴上的截距为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知直线及点.（1）若与垂直的直线过点，求与的值；（2）若点与点到直线的距离相等，求的斜截式方程.16.（本小题满分15分）已知双曲线的顶点为，且过点.（1）求双曲线的标准方程；（2）过双曲线的左顶点作直线与的一条渐近线垂直，垂足为为坐标原点，求的面积.17.（本小题满分15分）已知圆经过点，且与圆相切于原点.（1）求圆的标准方程；（2）若直线不同时为0与圆交于两点，当取得最小值时，与圆交于两点，求的值.18.（本小题满分17分）已知椭圆的上顶点与左，右焦点连线的斜率之积为.（1）求椭圆的离心率；（2）已知椭圆的左､右顶点分别为，且，点是上任意一点（与不重合），直线22164x y m m +=--m C 220,220x y x y -+=++=C ()1,1C ABC V A BC ,D E BC AD ,BAC AE BC ∠⊥,A E y AD 40,y AD -+==AC3-C AB x :210l x ay a -+-=()2,2A -l 320x my -+=A m a A ()1,1B -l l ()2222:10,0x y C a b a b-=>>()(),A B -()4P C C A C ,H O OHA V 1C ()2,0-222:480C x y x y +-+=O 1C :20(,l ax by a b a b ++-=)1C ,A B AB l 2C ,C D CD ()2222:10x y C a b a b+=>>45-C C ,A B 6AB =M C ,A B分别与直线交于点为坐标原点，求.19.（本小题满分17分）已知点是平面内不同的两点，若点满足，且，则点的轨迹是以有序点对为“稳点”的-阿波罗尼斯圆.若点满足，则点的轨迹是以为“稳点”的-卡西尼卵形线.已知在平面直角坐标系中，.（1）若以为“稳点”的-阿波罗尼斯圆的方程为，求的值；（2）在（1）的条件下，若点在以为“稳点”的5-卡西尼卵形线上，求（为原点）的取值范围；（3）卡西尼卵形线是中心对称图形，且只有1个对称中心，若，使得以—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称.,MA MB :5l x =,,P Q O OP OQ ⋅,A B P (0PAPBλλ=>1)λ≠P (),A B λQ ()0QA QB μμ⋅=>Q (),A B μ()()()2,0,,2A B a b a -≠-(),A B λ221240x y x +-+=,,a b λQ (),A B OQ O 0,b λ==,a μ(),A B μ参考答案1.A 直线，所以其倾斜角为.故选A.2.D 由题意可知，所以，所以双曲线的渐近线方程为.故选D.3.C 因为椭圆与㮁圆有相同的焦点.所以，解得或（舍去）.故选C.4.C 由题意可知解得或.故选C.5.B 因为为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，所以，故，由于，所以.故选B6.A 直线过定点，且直线与线段相交，由图象知，或，则紏率的取值范围是.故选A 7.D 方程可化为变动时，点到该直线的距离，则该直线是圆的切线，所以动直线围成的封闭图形的面积是圆的面积，面积为.故选D.103x --=π6214a +=23a =22213x C y -=y x =()22221016x y C b b +=>221125x y +=216125b -=-3b =3b =-222(1)20,(2)420,m m ⎧-++>⎨-+-⨯>⎩32m -<<-2m >M 22:1916x y C -=12,F F C 212MF MF a -=112222MF F F MF c a +-=-3,4,5a b c ====1122221064MF F F MF c a +-=-=-= l ()312131,1,4,21314PA PA P k k ----==-==--- AB ∴34k …4k -…k (]3,4,4∞∞⎡⎫--⋃+⎪⎢⎣⎭2cos2sin24cos x a y a a +=()2cos2sin22,x a y a α-+=()2,02d ==22(2)4x y -+=2cos2sin24cos x y ααα+=22(2)4x y -+=4π8.C 设直线与，则的方程为，由整理，得，因为上的点到直线的最短，所以，整理得，由椭圆的离心，可知，所以，所以，则，所以.故选C.9.AB 因为两直线平行，由斜率相等得，所以或，解得或0或，当时两直线重合，舍去.故选.10.AD 对于A ，椭圆中，，离心率为，A 正确；对于B.由对称性可得，所以，B 错误；对于C ，设且，则，故，所以C 错误；对于D ，不妨设在第一象限，，则，是，则，则，故，故D 正确.故选AD.11.ACD 圆的标准方程为，圆的半径，对于，直线的方程为0，点到直线，所以直线被圆截得的弦长为正确；对于，圆的过点的切线斜率存在时，设其方程为，即，，解得，此时切线方程为，另一条切线是斜率不存在的切线错误；对于C ，当点到直线的距离最大时，过点与平行的一条直线，即为与直线距离为2的图的切线，直线的斜率为2，设该切线方程为，则正确；对于D ，设，，可得切线的方程分别为l 50x y ++=l 30x y ++=22221,30,x y ab x y ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩()2222222690a b x a x a a b +++-=E 50x y ++=()()422222Δ36490a a baa b =-+-…2290a b +-…E 22112b a -=2212b a =221902a a +-…26a …0a <…222424a a a a ---=-++20a -=2244a a ++=2a =2-2a =-AB 22:143x y C +=2,1a b c ===12c a =21BF AF =222124AF BF AF AF a +=+==(),,B m n n <<0n ≠22143m n +=)2OB ===()24,AB OB =∈A ()00,A x y 12013222AF F S c y =⋅⋅=V 032y =31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭21335,4222AF AF ==-=12154AF AF ⋅=C ()22(2) 4.2,0x y C -+=C 2r =A OP x y -=C OP OP C A =B C P ()44y k x -=-440kx y k --+=234k =3440x y -+=4,x B =Q PC Q PC PC C PC 20x y t -+=2,4t =-±(11,A x y ()22,B x y ,PA PB，将代入两方程得，所以者在直线上，所以直线的方程为，即，D 正确.故选ACD.12.且且也给分） 由题意得，且6—，所以且，所以实数的取值范围是.易知直线与关于轴对称或关于对称，又当圆心在上时，该圆不存在，所以圆的圆心在轴上，设圆的方程为，由题意可知，，整理得，解得或，当时，，当时，.14.（2分）（3分） 直线的方程与直线联立得，因为直线的斜率为3，所以直线的方程为，由，得直线的斜率为0，由，得，所以直线的方程为，与联立得.设直线与轴交于点，点关于直线的对称点为，则点在直线上，所以.联立解得代入，得，所以直线在轴上的截距为15.解：（1）因为直线过点，所以，解得，因为与垂直，()()11122220,20x x y y x x x x y y x x +-+=+-+=()4,4P ()()11122244240,44240x y x x y x +-+=+-+=()()1122,,,A x y B x y ()44240x y x +-+=AB ()44240x y x +-+=240x y +-=()()4,55,6{|46m m ⋃<<5},46m m ≠<<5m ≠60,40m m ->->4m m ≠-46m <<5m ≠m ()()4,55,6⋃220x y -+=220x y ++=x 2x =-2x =-C x C 222()x a y r -+==22730a a -+=12a =3a =12a =r =3a =r =(1,1)AE 0x =AD 40y -+=()0,4A AC -AC 34y x =-+AE BC ⊥BC AD =AD 3AE =BC 1y =34y x =-+()1,1C AB x (),0F t F AD (),G a b G AC b a t =-402b -+=122,a tb ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩34y x =-+t =AB x 320x my -+=()2,2A -6220m --+=2m =-3220x y ++=l所以.（2）解法一，若点与点到直线的距离相等，则直线与的斜率相等或的中点在上，又直钱的斜率为的中点坐标为，所以或.解得或.当时，的斜截式方程为，当时，的斜截式方程为.解法二：因为点与点到直线的距离相等，.解得，当时，的斜截式方程为，当时，的斜截式方程为.16.解：（1）因为双曲线的顶点为，且过点，所以，且，解得的标准方程为.（2）由双曲线方程，得渐近线方程为，，又，所以所以.123,32a a ==A()1,1B -l AB l AB l AB ()211,21AB --=---11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭11a =-1121022a a --+-=1a =-1a =1a =-l 3y x =-+1a =l 1y x =+A ()1,1B -l =1a =±1a =-l 3y x =-+1a =l 1y x =+()2222:10,0x y C a b a b-=>>()(),A B -()4P a =2254161a b -=a b ==C 221188x y -=221188x y -=230x y ±=,OH HA OA ⊥=OH =11542213OHA S OH HA =⨯⨯==V17.解：（1）因为圆与图相切，且点在圆的外部，所以圆与圆外切，则三点共线，图化为.所以圆心，故圆心在直线上.设圆的标准方程为，又圆过原点，则，圆经过点，则，解得，故圆的标准方程为.（2）由（1）可知，圆的圆心坐标为，由直线化为，所以直线恒过点，易知点在圆的内部，设点到直线的距离为，则，要使取得最小值，则取得最大值，所以，此时.所以，则直线的方程为，即.又圆心到直线的距离，所以.18.解：（1）椭圆的上顶点的坐标为，左､右焦点的坐标分别为，由题意可知，即，1C 2C ()2,0-2C 1C 2C 12,,C O C 222:480C x y x y +-+=22(2)(4)20x y -++=()22,4C -1C 2y x =-1C 222()(2)x t y t r -++=1C ()0,0O 225r r =1C ()2,0-222(2)(02)5t t t --++=1t =-1C 22(1)(2)5x y ++-=1C ()1,2-:20l ax by a b ++-=()()210a x b y ++-=L ()2,1P -P 1C 1C l d AB ==AB d 1PC l ⊥121112PC k -==-+1t k =-l ()12y x -=-+10x y ++=2C 10x y ++=d 'CD ==C ()0,b ()(),0,,0c c -45b b c c ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭2245b c =又，所以，即的离心率.（2）由，得，即，所以椭圆的方程为.设，则，即，又，则，因为直线分别与直线交于点，所以，所以.19.（1）解：因为以为“稳点”的一阿波罗尼斯圆的方程为，设是该圆上任意一点，则，所以，因为为常数，所以，且，所以.（2）解：由（1）知，设，由，所以，，監理得，即，所以，222a b c =+2295a c =225,9c ca a ==C e =6AB =26a =3,2a c b ===C 22194x y +=()00,M x y 2200194x y +=22003649x y -=()()3,0,3,0A B -()()0000:3,:333y yMA y x MB y x x x =+=-+-,MA MB :5L x =,P Q 0000825,,5,33y y P Q x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭()()220000220000163648216641615,5,2525253399999x y y y OP OQ x x x x -⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=+=+=-= ⎪ ⎪+---⎝⎭⎝⎭(),A B λ221240x y x +-+=(),P x y 22124x y x +=-22222222222222||(2)4416||()()22(122)24PA x y x y x xPB x a y b x y ax by a b a x by a b +++++===-+-+--++--+-+22||||PA PB 2λ2240,0a b b -+==2a ≠-2,0,a b λ====()()2,0,2,0A B -(),Q x y 5QA QB ⋅=5=()222242516x y x ++=+2240y x =--…42890x x --…()()22190x x +-…209x ……由，得，即的取值范围是.（3）证明：若，则以一阿波罗尼斯圆的方程为，整理得，该圆关于点对称.由点关于点对称及，可得—卡西尼卵形线关于点对称，令，解得，与矛盾，所以不存在实数，使得以—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称OQ ==209r ……13OQ ……OQ []1,30b =(),A B 2222(2)2()x y x a y ⎡⎤++=-+⎣⎦()22244240x y a x a +-++-=()22,0a +()()2,0,,0A B a -2,02a -⎛⎫ ⎪⎝⎭QA QB μ⋅=μ2,02a -⎛⎫⎪⎝⎭2222a a -+=2a =-2a ≠=-,a μ(),A B μ。
四川省成都2024-2025学年高二上学期10月月考试题 数学含答案
成都2024—2025学年度高二上期10月月考数学试卷（答案在最后）注意事项：1．本试卷分第I 卷和第II 卷两部分；2．本堂考试120分钟，满分150分；3．答题前，考生务必将自己的姓名、学号正确填写在答题卡上，并使用2B 铅笔填涂；4．考试结束后，将答题卡交回．第I 卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求．1．现须完成下列2项抽样调查：①从12瓶饮料中抽取4瓶进行食品卫生检查；②某生活小区共有540名居民，其中年龄不超过30岁的有180人，年龄在超过30岁不超过60岁的有270人，60岁以上的有90人，为了解居民对社区环境绿化方面的意见，拟抽取一个容量为30的样本.较为合理的抽样方法分别为（）A ．①随机数法，②抽签法B ．①随机数法，②分层抽样C ．①抽签法，②分层抽样D ．①抽签法，②随机数法2．已知向量()1,2,1a =- ，()3,,b x y = ，且//a b r r，那么实数x y +等于（）A ．3B ．-3C ．9D ．-93．若,l n 是两条不相同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中为真命题的是（）A ．若l n ⊥，n β⊥，则l //βB ．若αβ⊥，l α⊥，则l //βC ．若//αβ，l α⊂，则l //βD ．若//l α，//αβ，则l //β4．如图，空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，点M 为BC 中点，点N 在侧棱OA上，且2ON NA =，则MN =（）A ．121232a b c--+B ．211322a b c-++C ．211322a b c-- D ．111222a b c+-5．为了养成良好的运动习惯，某人记录了自己一周内每天的运动时长（单位：分钟），分别为53，57，45，61，79，49，x ，若这组数据的第80百分位数与第60百分位数的差为3，则x =（）A ．58或64B ．59或64C ．58D ．596．已知点D 在ABC V 确定的平面内，O 是平面ABC 外任意一点，正数,x y 满足23DO xOA yOB OC =+- ，则yx 21+的最小值为（）A ．25B ．29C ．1D ．27．现有一段底面周长为12π厘米和高为12厘米的圆柱形水管，AB 是圆柱的母线，两只蜗牛分别在水管内壁爬行，一只从A 点沿上底部圆弧顺时针方向爬行π厘米后再向下爬行3厘米到达P 点，另一只从B 沿下底部圆弧逆时针方向爬行π厘米后再向上爬行3厘米爬行到达Q 点，则此时线段PQ 长（单位：厘米）为（）A ．B ．C ．6D ．128．如图，四边形,4,ABCD AB BD DA BC CD =====ABD △沿BD 折起，当二面角A BD C --的大小在[,63ππ时，直线AB 和CD 所成角为α，则cos α的最大值为（）A ．16B C ．16D ．8二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列命题中，正确的是（）A ．两条不重合直线12,l l 的方向向量分别是()2,0,1a =-，()4,0,2b =- ，则12//l l B ．直线l 的方向向量()1,1,2c =-，平面α的法向量是()6,4,1m =- ，则l α⊥C ．两个不同的平面α，β的法向量分别是()2,2,1u =-，()3,4,2v =- ，则αβ⊥D ．直线l 的方向向量()0,1,1d = ，平面α的法向量()1,0,1n =，则直线l 与平面α所成角的大小为π310．小刘一周的总开支分布如图①所示，该周的食品开支如图②所示，则以下说法正确的是（）A ．娱乐开支比通信开支多5元B ．日常开支比食品中的肉类开支多100元C ．娱乐开支金额为100元D ．肉类开支占储蓄开支的1311．已知四面体OABC 的所有棱长都为1,,D E 分别是,OA BC 的中点.N M ,是该四面体内切球球面上的两点，P 是该四面体表面上的动点.则下列选项中正确的是（）A.DE 的长为44B.D 到平面ABC 的距离为66C.当线段MN 最长时，PN PM ⋅的最大值为31D.直线OE 与直线AB 所成角的余弦值为33第II 卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．某校高一年级共有学生200人，其中1班60人，2班50人，3班50人，4班40人．该校要了解高一学生对食堂菜品的看法，准备从高一年级学生中随机抽取40人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，则应从高一2班抽取的人数是．13．已知(2,1,3),(1,4,2)a b =-=-- ，c (4,5,)λ=，若,,a b c 三向量不能构成空间向量的一组基底，则实数λ的值为.14．在正方体ABCD A B C D -''''中，点P 是AA '上的动点，Q 是平面BB C C ''内的一点，且满足A D BQ '⊥，则平面BDP 与平面BDQ 所成角余弦值的最大值为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（满分13分）15．已知向量()6a m = ,，()1,0,2=b ，()()2R c m =∈ (1)求()a b c ⋅-的值；(2)求cos b c ,；(3)求a b - 的最小值.（满分15分）16．成都市政府委托市电视台进行“创建文明城市”知识问答活动，市电视台随机对该市1565～岁的人群抽取了n人，绘制出如图所示的频率分布直方图，回答问题的统计结果如表所示．组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率第一组[15，25)500.5第二组[25，35)180a第三组[35，45)x0.9第四组[45，55)90b第五组[55，65)y0.6a b x y的值；（1）分别求出,,,（2）从第二、三、四、五组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取7人，则从第二、三、四、五组每组回答正确的人中应各抽取多少人.-中，ABCD是边长为2的正方形，平面PBC⊥（满分15分）17．如图，在四棱锥P ABCDPC=.平面ABCD，直线PA与平面PBC所成的角为45︒，2（1）若E，F分别为BC，CD的中点，求证：直线AC⊥平面PEF；（2）求二面角D PA B--的正弦值.（满分17分）18．随着时代不断地进步，人们的生活条件也越来越好，越来越多的人注重自己的身材，其中体脂率是一个很重要的衡量标准.根据一般的成人体准，女性体脂率的正常范围是20%至25%，男性的正常范围是15%至18%.这一范围适用于大多数成年人，可以帮助判断个体是否存在肥胖的风险.某市有关部门对全市100万名成年女性的体脂率进行一次抽样调查统计，抽取了1000名成年女性的体脂率作为样本绘制频率分布直方图,如图.(1)求a ；(2)如果女性体脂率为25%至30%属“偏胖”，体脂率超过30%属“过胖”，那么全市女性“偏胖”，“过胖”各约有多少人？(3)小王说：“我的体脂率是调查所得数据的中位数.”小张说：“我的体脂率是调查所得数据的平均数.”那么谁的体脂率更低？（精确到小数点后2位）（满分17分）19．如图，四面体ABCD 中，2,AB BC BD AC AD DC ======(1)求证：平面ADC ⊥平面ABC ；(2)若(01)DP DB λλ=<<，①若直线AD 与平面APC 所成角为30°，求λ的值；②若PH ⊥平面,ABC H 为垂足，直线DH 与平面APC 的交点为G ．当三棱锥CHP A -体积最大时，求DGGH的值．高二上10月月考数学答案一、单选题：C D C C A B A B二、多选题：AC;BCD;BC3三、填空题：10；5；318:（1）由频率直方图可得，（2）由频率分布直方图可得样本中女性⨯=，所以全市女性50.020.1⨯=，10000000.1100000。
湖南省名校联考联合体2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题含答案
高二数学试卷（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：人教A 版必修第一，二册占60%，选择性必修第一册第一章至第二章第4节占40%.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集{}1,2,3,4,5U =，{}2,4A =，{}1,4,5B =，则()UB A ⋂=ð（）A.{}3B.{}4C.{}1,4 D.{}1,5【答案】D 【解析】【分析】利用补集与交集的定义可求解.【详解】因为全集{}1,2,3,4,5U =，{}2,4A =，所以{}U 1,3,5A =ð，又因为{}1,4,5B =，(){}{}{}U 51,3,51,4,51,A B == ð.故选：D.2.已知复数1i z a =+（0a >），且3z =，则a =（）A.1B.2C.D.【答案】D 【解析】【分析】利用复数的模的定义即可求解.【详解】因为1i z a =+，3z =3=，解得a =±，因为0a >，所以a =故选：D,3.已知1sin 3α=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则πcos 22α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.9B.19-C.79-D.9-【答案】A 【解析】【分析】根据同角三角函数关系得出余弦值，再结合诱导公式化简后应用二倍角正弦公式计算即可.【详解】因为221sin ,sin cos 13ααα=+=,又因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以cos 3α===,所以π12242cos 2sin22sin cos 22339αααα⎛⎫-===⨯⨯ ⎪⎝⎭.故选：A.4.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，且当0x ≤时，()22x af x =+，则()1f =（）A.2B.4C.2- D.4-【答案】A 【解析】【分析】利用题意结合奇函数的定义判断()f x 是奇函数，再利用奇函数的性质求解即可.【详解】因为定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，所以()f x 是奇函数，且()00f =，故0202a+=，解得2a =-，故当0x ≤时，()222x f x =-+，由奇函数性质得()()11f f =--，而()121222f --=-+=-，故()()112f f =--=，故A 正确.故选：A5.在正方体1111ABCD A B C D -中，二面角1B AC B --的正切值为（）A.2B.3C.3D.【答案】D 【解析】【分析】取AC 的中点M ，连接1,MB MB ，可得1B MB ∠是二面角1B AC B --的平面角，求解即可.【详解】取AC 的中点M ，连接1,MB MB ，由正方体1111ABCD A B C D -，可得11,AB B C AB BC ==，所以1,B M AC BM AC ⊥⊥，所以1B MB ∠是二面角1B AC B --的平面角，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，可得AC =，所以BM =在1Rt B B M 中，11tan B B B MB BM =∠==,所以二面角1B AC B --.故答案为：D.6.已知线段AB 的端点B 的坐标是()3,4，端点A 在圆()()22124x y -+-=上运动，则线段AB 的中点P的轨迹方程为（）A.()()22232x y -+-= B.()()22231x y -+-=C.()()22341x y -+-= D.()()22552x y -+-=【答案】B 【解析】【分析】设出动点P 和动点A 的坐标，找到动点P 和动点A 坐标的关系，再利用相关点法求解轨迹方程即可.【详解】设(,)P x y ，11(,)A x y ，由中点坐标公式得1134,22x y x y ++==，所以1123,24x x y y =-=-，故(23,2)A x y --4，因为A 在圆()()22124x y -+-=上运动，所以()()222312424x y --+--=，化简得()()22231x y -+-=，故B 正确.故选：B7.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵.已知在堑堵111ABC A B C -中，π2ABC ∠=，1AB BC AA ==，,,D E F 分别是所在棱的中点，则下列3个直观图中满足BF DE ⊥的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】B 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明逐个判断即可.【详解】在从左往右第一个图中，因为π2ABC ∠=，所以AB BC ⊥，因为侧棱垂直于底面，所以1AA ⊥面ABC ，如图，以B 为原点建立空间直角坐标系，设12AB BC AA ===，因为,,D E F 分别是所在棱的中点，所以(0,0,0),(0,1,0),(1,0,2),(1,1,0)B E D F所以(1,1,0)BF = ，(1,1,2)DE =-- ，故110BF DE ⋅=-+=，即BF DE ⊥得证，在从左往右第二个图中，我们建立同样的空间直角坐标系，此时(0,0,0),(1,1,0),(1,0,2),(0,1,1)B E D F ，所以(0,1,1)BF = ，(0,1,2)DE =-，故121BF DE ⋅=-=-，所以,BF DE 不垂直，在从左往右第三个图中，我们建立同样的空间直角坐标系，此时(0,0,0),(1,1,0),(1,0,0),(1,1,2)B E D F ，故(1,1,2)BF = ，(0,1,0)DE = ，即1BF DE ⋅=，所以,BF DE 不垂直，则下列3个直观图中满足BF DE ⊥的有1个，故B 正确.故选：B8.已知过点()1,1P 的直线l 与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B ，O 为坐标原点，则22OA OB+的最小值为（）A.12B.8C.6D.4【答案】B 【解析】【分析】根据题意可知直线l 的斜率存在设为(0)k k <，分别解出,A B 两点的坐标，表示出22OA OB +的表达式由基本不等式即可求得最小值.【详解】由题意知直线l 的斜率存在．设直线的斜率为(0)k k <，直线l 的方程为1(x 1)y k -=-，则1(1,0),(0,1)A B k k--，所以222222121(1)(1)112OA OB k k kk k k+=-+-=-++-+22212(2)28k k k k =+--++≥++=，当且仅当22212,k k k k-=-=，即1k =-时，取等号.所以22OA OB +的最小值为8.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得分分，有选错的得0分．9.已知函数()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的最小正周期为πB.()f x 的图象关于直线π85x =对称C.()f x 的图象关于点π,18⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称D.()f x 的值域为[]1,1-【答案】ABD 【解析】【分析】求得最小正周期判断A ；求得对称轴判断B ；求得对称中心判断C ；求得值域判断D.【详解】因为()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以的最小正周期为2ππ2T ==，故A 正确；由ππ2π,Z 42x k k +=+∈，可得ππ,Z 28k x k =+∈，所以()f x 图象的对称轴为ππ,Z 28k x k =+∈，当1k =时，图象的关于π85x =对称，故B 正确；由Z 2ππ,4k x k =∈+，可得ππ,Z 28k x k =-∈，所以()f x 图象的对称中心为ππ(,0),Z 28k k -∈，当0k =时，图象的关于点()π8,0-对称，故C 不正确；由()πsin 2[1,1]4f x x ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭，故()f x 的值域为[]1,1-，故D 正确.故选：ABD.10.若数据1x ，2x ，3x 和数据4x ，5x ，6x 的平均数、方差、极差均相等，则（）A.数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 与数据1x ，2x ，3x 的平均数相等B.数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 与数据1x ，2x ，3x 的方差相等C.数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 与数据1x ，2x ，3x 的极差相等D.数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 与数据1x ，2x ，3x 的中位数相等【答案】ABC 【解析】【分析】运用平均数，方差，极差，中位数的计算方法和公式计算，通过已知两组数据的平均数、方差、极差均相等这个条件，来分析这两组数据组合后的相关统计量与原数据的关系.【详解】设数据123,,x x x 的平均数为x ，数据456,,x x x 的平均数也为x .那么数据123456,,,,,x x x x x x 的平均数为123456()()3366x x x x x x x xx ++++++==，所以数据123456,,,,,x x x x x x 与数据123,,x x x 的平均数相等，A 选项正确.设数据123,,x x x 的方差为2s ，数据456,,x x x 的方差也为2s .对于数据123456,,,,,x x x x x x ，其方差计算为2222221234561[()((()()()]6x x x x x x x x x x x x -+-+-+-+-+-2222221234561[3(()(())3(((())]6x x x x x x x x x x x x =⨯-+-+-+⨯-+-+-2221(33)6s s s =+=,所以数据123456,,,,,x x x x x x 与数据123,,x x x 的方差相等，B 选项正确.设数据123,,x x x 的极差为R ，数据456,,x x x 的极差也为R .对于数据123456,,,,,x x x x x x ，其极差是这六个数中的最大值减去最小值，由于前面两组数据的极差相等，所以组合后数据的极差依然是R ，所以数据123456,,,,,x x x x x x 与数据123,,x x x 的极差相等，C 选项正确.设数据123,,x x x 按从小到大排列为123x x x ≤≤，中位数为2x .设数据456,,x x x 按从小到大排列为456x x x ≤≤，中位数为5x .对于数据123456,,,,,x x x x x x 按从小到大排列后，中位数不一定是2x ，所以数据123456,,,,,x x x x x x 与数据123,,x x x 的中位数不一定相等，D 选项错误.故选：ABC11.已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为6的菱形，1AA ⊥平面ABCD ，13AA =，π3DAB ∠=，点P 满足1AP AB AD t AA λμ=++，其中λ，μ，[]0,1t ∈，则（）A.当P 为底面1111D C B A 的中心时，53t λμ++=B.当1t λμ++=时，AP 长度的最小值为2C.当1t λμ++=时，AP 长度的最大值为6D.当221t λμλμ++==时，1A P为定值【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意，利用空间向量进行逐项进行分析求解判断.【详解】对于A ，当P 为底面1111D C B A 的中心时，由1AP AB AD t AA λμ=++ ，则11,,122t λμ===故2t λμ++=，故A 错误；对于B ，当1t λμ++=时，()22222222112·AP AB AD t AA AB AD t AA AB ADλμλμλμ=++=+++()()222223693636936t t λμλμλμλμ=+++=++-22245723636457236362t t t t λμλμ+⎛⎫=-+-≥-+- ⎪⎝⎭223273654273644t t t ⎛⎫=-+=-+⎪⎝⎭当且仅当13,84t λμ===，取最小值为2，故B 正确;对于C ，当1t λμ++=时，1AP AB AD t AA λμ=++，则点P 在1A BD 及内部，而AP是以A 为球心，以AP 为半径的球面被平面1A BD 所截图形在四棱柱1111ABCD A B C D -及内的部分，当=1=0t λμ=，时，=6AP ，当=0=10t λμ=，，时，=6AP ，可得1A P最大值为6，故C 正确；对于D ，221t λμλμ++==，()22223693636945AP t λμλμ=+++=+= ，而11=A P A A AP +，所以()22222111111=+2·=+2A P A A AP A A AP A A AP A A AB AD t AA λμ++⋅++ 22211=29452936A A AP t A A +-=+-⨯= ，则16A P = 为定值，故D 正确.故答案选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量()1,2a =- ，(),4b m =-．若()a ab ⊥+ ，则m =________．【答案】3-【解析】【分析】利用非零向量垂直时数量积为0，计算即可.【详解】()1,2a b m +=--．因为()a ab ⊥+ ，所以()1220m ---⨯=，解得3m =-．故答案为：3-.13.已知在正四棱台1111ABCD A B C D -中，()0,4,0AB = ，()13,1,1CB =- ，()112,0,0A D =-，则异面直线1DB 与11A D 所成角的余弦值为__________.【答案】19【解析】【分析】利用向量的线性运算求得1DB，根据向量的夹角公式可求异面直线1DB 与11A D 所成角的余弦值.【详解】111(0,4,0)(3,1,1)(3,3,1)DB DC CB AB CB =+=+=+-=，所以111111111·cos,19·DB A DDB A DDB A D==-，所以异面直线1DB与11A D所成角的余弦值为19.故答案为：1914.已知函数()21xg x=-，若函数()()()()()2121f xg x a g x a=+--+⎡⎤⎣⎦有三个零点，则a的取值范围为__________.【答案】()2,1--【解析】【分析】令()0f x=，可得()2g x=或()1g x a=--，函数有三个零点，则需方程()1g x a=--有两个解，则=与1y a=--的图象有两个交点，数形结合可求解.【详解】令()0f x=，可得()()()()21210g x a g x a⎡⎤+--+=⎣⎦，所以()()()[2][1]0g x g x a-++=，所以()2g x=或()1g x a=--，由()2g x=，又()21xg x=-，可得212x-=，解得21x=-或23x=，方程21x=-无解，方程23x=有一解，故()2g x=有一解，要使函数()()()()()2121f xg x a g x a⎡⎤=+--+⎣⎦有三个零点，则()1g x a=--有两解，即=与1y a=--的图象有两个交点，作出函数=的图象的示图如下：由图象可得011a<--<，解得21a-<<-.所以a的取值范围为(2,1)--.故答案为：(2,1)--.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos c b a B +=．（1）若π2A =，求B ；（2）若a =1b =，求ABC V 的面积.【答案】（1）π4（2）12【解析】【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再结合内角和定理与两角和与差的正弦公式化简等式得sin sin()B A B =-，代入π2A =求解可得；（2）由sin sin()B A B =-根据角的范围得2A B =，由正弦定理结合二倍角公式可得cos 2B =，从而得π4B =，再利用余弦定理求边c ，由面积公式可求结果.【小问1详解】因为2cos c b a B +=，所以由正弦定理得，sin sin 2sin cos C B A B +=，又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+代入上式得，所以()sin sin cos cos sin sin =-=-B A B A B A B ，由π2A =，则B 为锐角，且c sin s os n π2i B B B ⎛⎫-= ⎭=⎪⎝，所以π4B =.【小问2详解】由（1）知，()sin sin B A B =-，因为a =1b =，所以A B >，则0πA B <-<，π02B <<，故B A B =-，或πB A B A +-==（舍去）.所以2A B =，又a =1b =，由正弦定理得sin sin 22cos sin sin A B aB B B b====，则cos 2B =，则π4B =，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，则2122c =+-，化简得2210c c -+=，解得1c =，所以111sin 2222ABC S ac B === .故ABC V 的面积为12.16.甲、乙、丙三人打台球，约定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环.设甲、乙、丙三人水平相当，每场比赛双方获胜的概率都为12.（1）求甲连续打四局比赛的概率；（2）求在前四局中甲轮空两局的概率；（3）求第四局甲轮空的概率.【答案】（1）18（2）14（3）38【解析】【分析】（1）由题意知甲前三局都要打胜，计算可得甲连续打四局比赛的概率；（2）甲轮空两局的情况为，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，计算即可；（3）分析可得甲第四轮空有两种情况：第1种情况，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，第2种情况，第一局甲胜，第二局甲胜，第三局甲败，第四局轮空，计算即可.【小问1详解】若甲连续打四局，根据比赛规则可知甲前三局都要打胜，所以甲连续打四局比赛的概率311(28=；【小问2详解】在前四局中甲轮空两局的情况为，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，故在前四局中甲轮空两局的概率111(1(1)224-⨯-=；【小问3详解】甲第四轮空有两种情况：第1种情况，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，第2种情况，第一局甲胜，第二局甲胜，第三局甲败，第四局轮空，第1种情况的概率111(1)(1224-⨯-=；第2种情况的概率1111(12228⨯⨯-=；由互斥事件的概率加法公式可得第四局甲轮空的概率为113488+=.17.如图，在几何体PABCD 中，PA ⊥平面ABC ，//PA DC ，AB AC ⊥，2PA AC AB DC ===，E ，F 分别为棱PB ，BC 的中点.（1）证明：//EF 平面PAC ．（2）证明：AB EF ⊥.（3）求直线EF 与平面PBD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）6【解析】【分析】（1）构造线线平行，证明线面平行.（2）先证AB ⊥平面PACD ，得到AB PC ⊥，结合（1）中的结论，可得AB EF ⊥.（3）问题转化为直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值.设1CD =，表示CP 的长，利用体积法求C 到平面PBD 的距离，则问题可解.【小问1详解】如图，连接CP .在BCP 中，E ，F 分别为棱PB ，BC 的中点，所以//EF CP ,，又EF ⊄平面PAC ，CP ⊂平面PAC .所以//EF 平面PAC .【小问2详解】因为PA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以PA AB ⊥，又AB AC ⊥,,PA AC ⊂平面PAC ，且PA AC A = ，所以AB ⊥平面PAC .因为CP ⊂平面PAC ，所以AB CP ⊥.又因为//EF CP ，所以AB EF ⊥.【小问3详解】因为//EF CP ，所以直线EF 与平面PBD 所成角与直线PC 与平面PBD 所成角相等，设为θ.不妨设1CD =，则=PC 设C 到平面PBD 的距离为h .则13C PBD PBD V S h -=⋅ .又11212333C PBDB PCD PCD V V S AB --==⋅=⨯⨯= .在PBD △中，PB =BD PD ==，所以12PBD S =⨯= .所以33C PBD PBD V h S -=== .所以63sin θ6h PC ===.故直线EF 与平面PBD.18.设A 是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素a ，b ，c A Î，使得a b b c -=-，则称A 为“等差集”．（1）若集合{}1,3,5,9A =，B A ⊆，且B 是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的B ；（2）若集合{}21,,1A m m =-是“等差集”，求m 的值；（3）已知正整数3n ≥，证明：{}23,,,,nx x x x ⋅⋅⋅不是“等差集”．【答案】（1）答案见解析（2）2m =（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据等差集的定义结合子集的定义求解即可；（2）根据等差集定义应用a b b c -=-，即2a c b +=逐个计算判断即可；（3）应用反证法证明集合不是等差集.【小问1详解】因为集合{}1,3,5,9A =，B A ⊆，存在3个不同的元素a ，b ，c B ∈，使得a b b c -=-，则{}1,3,5,9B =或{}1,3,5B =或{}1,5,9B =.【小问2详解】因为集合{}21,,1A m m =-是“等差集”，所以221m m =+-或2211m m =+-或()2221m m +=-,计算可得1132m -±=或0m =或2m =或1334m =，又因为m 正整数,所以2m =.【小问3详解】假设{}22,,,,nx x x x⋅⋅⋅是“等差集”，则存在{},,1,2,3,,,m n q n m n q ∈<< ,2n m q x x x =+成立，化简可得2m n q n x x --=+,0m n x ->因为*N ,1x q n ∈-≥,所以21q n x x ->≥≥,所以=1与{}22,,,,nx x x x ⋅⋅⋅集合的互异性矛盾，所以{}22,,,,nx x x x⋅⋅⋅不是“等差集”．【点睛】方法点睛：解题方法是定义的理解，应用反证法设集合是等差集，再化简计算得出矛盾即可证明.19.过点()00,A x y 作斜率分别为1k ，2k 的直线1l ，2l ，若()120k k μμ=≠，则称直线1l ，2l 是()A K μ定积直线或()()00,x y K μ定积直线．（1）已知直线a ：()0y kx k =≠，直线b ：13y x k=-，试问是否存在点A ，使得直线a ，b 是()A K μ定积直线？请说明理由．（2）在OPM 中，O 为坐标原点，点P 与点M 均在第一象限，且点()00,M x y 在二次函数23y x =-的图象上．若直线OP 与直线OM 是()()0,01K 定积直线，直线OP 与直线PM 是()2P K -定积直线，直线OM与直线PM 是()00,202x y K x ⎛⎫- ⎪⎝⎭定积直线，求点P 的坐标．（3）已知直线m 与n 是()()2,44K --定积直线，设点()0,0O 到直线m ，n 的距离分别为1d ，2d ，求12d d 的取值范围．【答案】（1）存在，理由见解析（2）()1,2（3）[)0,8【解析】【分析】（1）由定积直线的定义运算可求结论；（2）设直线OM 的斜率为()0λλ≠，则直线OP 的斜率为1λ，利用定积直线的定义可得01x λ=或1-，进而2003x x λ-=，计算即可；（3）设直线():42m y t x -=+，直线()4:42n y x t-=-+，其中0t ≠，计算得12d d =，利用基本不等式可求12d d 的取值范围.【小问1详解】存在点()0,0A ，使得a ，b 是()A K μ定积直线，理由如下：由题意可得1133k k ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭，由()013y kx k y x k ⎧=≠⎪⎨=-⎪⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩，故存在点()0,0A ，使得a ，b 是()A K μ定积直线，且13μ=-．【小问2详解】设直线OM 的斜率为()0λλ≠，则直线OP 的斜率为1λ，直线PM 的斜率为2λ-．依题意得()2022x λλ⋅-=-，得2201x λ=，即01x λ=或1-．直线OM 的方程为y x λ=，因为点()200,3M x x -在直线OM 上，所以2003x x λ-=．因为点M 在第一象限，所以20031x x λ-==，解得02x =或2-（舍去），12λ=，()2,1M ，所以直线OP 的方程为12y x x λ==，直线PM 的方程为()2213y x x λ=--+=-+，由23y x y x =⎧⎨=-+⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，即点P 的坐标为()1,2．【小问3详解】设直线():42m y t x -=+，直线()4:42n y xt-=-+，其中0t ≠，则12d d ===2216171725t t ++≥=，当且仅当2216t t =，即24t =时，等号成立，所以08≤<，即1208d d ≤<，故12d d 的取值范围为[)0,8．【点睛】思路点睛：理解新定义题型的含义，利用定积直线的定义进行计算求解，考查了运算求解能力，以及基本不等式的应用.。
四川省南充2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题含答案
南充高中高2023级上期第一次月考数学试卷（答案在最后）考试时间：120分钟满分：150分注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.3.答非选择题时，将答案书写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效.4.考试结束后将答题卡交回.一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.“2sin 2θ=”是“π4θ=”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】判断“sin 2θ=”和“π4θ=”之间的逻辑推理关系，即可得答案.【详解】当2sin 2θ=时，π2π,Z 4k k θ=+∈或3π2π,Z 4k k θ=+∈，推不出π4θ=；当π4θ=时，必有2sin 2θ=，故“sin 2θ=”是“π4θ=”的必要不充分条件，故选：C2.设l ，m 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列说法正确的是（）A.若//l α，//m α，则//l mB.若//l α，//l β，则//αβC.若l α⊥，m α⊥，则//l mD.若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ【答案】C【分析】根据直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系和平面与平面的位置关系依次判断选项即可.【详解】对选项A ，若//l α，//m α，则l 与m 的位置关系是平行，相交和异面，故A 错误.对选项B ，若//l α，//l β，则α与β的位置关系是平行和相交，故B 错误.对选项C ，若l α⊥，m α⊥，则根据线面垂直的性质得l 与m 的位置关系是平行，故C 正确.对选项D ，若αγ⊥，βγ⊥，则α与β的位置关系是平行和相交，故D 错误.故选：C3.若sin 2αα-+=，则tan(π)α-=（）A. B.C.3D.3-【答案】C 【解析】【分析】由sin 2αα-+=两边同时平方，从而利用sin tan cos =aa a可以实现角α的弦切互化，【详解】由sin 2αα-+=两边同时平方，可得22sin cos 3cos 4αααα-+=，∴222222sin cos 3cos tan 34sin cos tan 1ααααααααα-+-+==++，解得tan 3α=-.()tan tan 3παα∴-=-=.故选：C.4.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别为11,DB A C 的中点，则直线1A M 和BN 夹角的余弦值为（）A.23B.33C.23D.13【解析】【分析】以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，根据向量夹角的余弦公式求解即可．【详解】分别以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则()1(2,0,2),(1,1,0),(2,2,0),1,1,2A M B N ，所以()1(1,1,2),1,1,2MA BN =-=--设向量1MA 与BN的夹角为θ，则1142cos 63MA BN MA BNθ⋅===⋅，所以直线1A M 和BN 夹角的余弦值为23，故选：C ．5.在三棱锥S ABC -中，()()20SC SA BS SC SA ++⋅-=，则ABC V 是（）A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形【答案】C 【解析】【分析】由向量的线性运算得到2,SC SA BS BC BA SC SA BC BA ++=+-=- ，从而说明22BC BA = ，即可求解.【详解】()()22,SC SA BS SC SA SB SC SB SA SB BC BA SC SA AC BC BA ++=+-=-+-=+-==- ，()()()()2220SC SA SB SC SA BC BA BC BA BC BA ∴+-⋅-=+⋅-=-= ，BC BA ∴=，即BC BA =，所以ABC V 是等腰三角形.故选：C6.杭州亚运会的三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”，如图，现将三张分别印有“琮踪”“宸宸”“莲莲”图案的卡片（卡片的形状､大小和质地完全相同）放入盒子中.若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是（）A.38B.29C.59D.34【答案】B 【解析】【分析】记印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片分别为,,A B C ，用列举法即可求解.【详解】记印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片分别为,,A B C ，(),x y 代表依次摸出的卡片，{},,,x y A B C ∈，则基本事件分别为：()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,A A A B A C B A B B B C C A C B C C ，其中一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的共有两种情况：()(),,,A B B A ，所以从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是29.故选：B.7.已知函数()3f x x =，若正实数a ，b 满足()()490f a f b +-=，则11a b+的最小值为（）A.1B.3C.6D.9【答案】A 【解析】【分析】根据函数的奇偶性可得49a b +=，再结合基本不等式“1”的代换可得解.【详解】由已知()3f x x =，定义域为R ，且()()()33f x x x f x -=-=-=-，则()f x 是R 上的奇函数，且函数()3f x x =在R 上单调递增，又()()490f a f b +-=，即()()()499f a f b f b =--=-，则49a b =-，即49a b +=，且0a >，0b >，所以()1111114144415999a b a b a b a b a b b a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又44a b b a +≥=，即()11141554199a b a b b a ⎛⎫+=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4a b b a =，即32a =，3b =时，等号成立，即11a b+的最小值为1.故选：A.8.已知正三棱锥P ABC -的六条棱长均为6，S 是ABC V 及其内部的点构成的集合．设集合{}5T Q S PQ =∈=，则集合T 所表示的曲线长度为（）A.5πB.2πC.3D.π【答案】B 【解析】【分析】求出以P 为球心，5为半径的球与底面ABC 的截面圆的半径后即可求解.【详解】设顶点P 在底面上的投影为O ，连接BO ，则O 为三角形ABC 的中心，且23632BO =⨯⨯=，故PO ==因为5PQ =，故1OQ =，故S 的轨迹为以O 为圆心，1为半径的圆，集合T 所表示的曲线长度为2π故选：B二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部份分分，有选错的得0分.）9.函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（）A.2ω=B.π6ϕ=C.()f x 的图象关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称D.()f x 在区间5ππ,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增【答案】ACD 【解析】【分析】根据三角函数的图象，先求得ω，然后求得ϕ，根据三角函数的对称性、单调性确定正确答案.【详解】()()5ππ2ππ,π,2,sin 22632T T f x x ωϕω=-=∴==∴==+，π2sin π133f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于πππ2π7π,22636ϕϕ-<<<+<，所以2πππ,326ϕϕ+==-，所以A 选项正确，B 选项错误.()ππππsin 2,2π,,66122k f x x x k x k ⎛⎫=--==+∈ ⎪⎝⎭Z ，当0k =时，得π12x =，所以()f x 关于π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称，C 选项正确，11111πππππ2π22π,ππ,26263k x k k x k k -+<-<+-+<<+∈Z ，当11k =时，得()f x 在54π,π63⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，则()f x 在区间5ππ,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以D 选项正确.故选：ACD10.对于随机事件A 和事件B ，()0.3P A =，()0.4P B =，则下列说法正确的是（）A.若A 与B 互斥，则()0.3P AB =B.若A 与B 互斥，则()0.7P A B ⋃=C.若A 与B 相互独立，则()0.12P AB =D.若A 与B 相互独立，则()0.7P A B ⋃=【答案】BC 【解析】【分析】根据互斥事件、相互独立事件的概率公式计算可得.【详解】对于A ：若A 与B 互斥，则()0P AB =，故A 错误；对于B ：若A 与B 互斥，则()()()0.7P A B P A P B =+= ，故B 正确；对于C ：若A 与B 相互独立，则()()()0.12P AB P A P B ==，故C 正确；对于D ：若A 与B 相互独立，则()()()()0.30.40.30.40.58P A B P A P B P AB ⋃=+-=+-⨯=，故D 错误.故选：BC11.如图，边长为1的正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 在平面互相垂直，动点,M N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且(0CM BN a a ==<<，则下列结论中正确的有（）A.(a ∃∈，使12MN CE=B.线段MN 存在最小值，最小值为23C.直线MN 与平面ABEF 所成的角恒为45°D.(a ∀∈，都存在过MN 且与平面BEC 平行的平面【分析】利用向量的线性运算可得()1MN a BC aBE =-+，结合向量的模的计算可判断B 的正误，结合向量夹角的计算可判断C 的正误，结合共面向量可判断D 的正误.【详解】因为四边形ABCD 正方形，故CB AB ⊥，而平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD 平面ABEF AB =，CB ⊂平面ABCD ，故CB ⊥平面ABEF ，而BE ⊂平面ABEF ，故CB BE ⊥.设MC AC λ=，则= BN BF λ，其中()0,1λ=，由题设可得MN MC CB BN AC CB BF λλ=++=++，()()()1BC BA CB BA BE BC BE λλλλ=-+++=-+，对于A ，当12λ=即2a =时，111222MN BC BE CE =-+= ，故A 正确；对于B ，()22222111221222MN λλλλλ⎛⎫=-+=-+=-+ ⎪⎝⎭ ，故22MN ≥，当且仅当12λ=即2a =时等号成立，故min 22MN =，故B 错误；对于C ，由B 的分析可得()1MN BC BE λλ=-+，而平面ABEF 的法向量为BC 且()211MN BC BC λλ⋅=-=-，故cos ,MN BC =，此值不是常数，故直线MN 与平面ABEF 所成的角不恒为定值，故C 错误；对于D ，由B 的分析可得()1MN BC BE λλ=-+ ，故,,MN BC BE为共面向量，而MN ⊄平面BCE ，故//MN 平面BCE ，故D 正确；故选：AD三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.复数2i12iz +=-的共轭复数z =______．【分析】根据复数的除法运算及共轭复数的概念可求解.【详解】因为2i 12i z +=-()()()()2i 12i 12i 12i ++=-+5i i 5==，所以z =i -.故答案为：i-13.已知向量()2,1,1a =- ，()1,,1b x = ，()1,2,1c =-- ，当a b ⊥ 时，向量b 在向量c上的投影向量为________．（用坐标表示）【答案】()1,2,1-【解析】【分析】先根据向量垂直得到方程，求出3x =，再利用投影向量公式求出答案.【详解】因为a b ⊥ ，所以210a b x ⋅=-+=，所以3x =．因为()1,3,1b = ，所以b 在c 上的投影向量为()1,2,1||||b c cc c c ⋅⋅=-=-．故答案为：()1,2,1-14.已知在ABC V 中，满足)34AB AC AB ACAB AC AB AC++=+,点M 为线段AB 上的一个动点，若MA MC ⋅ 取最小值3-时，则BC 边的中线长为______．【答案】1112【解析】【分析】设)34,,AB AC AB AC AD AN AE ABAC AB AC+===+，根据题意可推得||3,||4AD AN == ，2π3ADE ∠=，进一步根据MA MC ⋅ 取最小值3-时，求得对应的AC =AB =，由此即可得解.【详解】设)34,,AB AC AB AC AD AN AE ABAC AB AC+===+，则//,//AD EN AN DE ，四边形ADEN为平行四边形，||||3||3,||4,||4||||AB AD AD AN AE AC AN =====，22343712πcos 23423ADE ADE +-∴∠==-⇒∠=⨯⨯，又四边形ADEN 为平行四边形，3πBAC ∴∠=，设,,0,0MA AD AC AN λμλμ==≤≥，()()296MA MC MA MA AC AD AD AN λλμλλμ⋅=⋅+=⋅+=+，由题意2963λλμ+≥-即29630λλμ++≥恒成立，且存在,R λμ∈使得29630λλμ++=成立，其次29630λλμ++=当且仅当2296303Δ361080λλλμμμ⎧⎧=-++=⎪⇔⎨⎨=-=⎩⎪=⎩，此时AC ==AB ==所以BC边的中线长为122AB AC +===.故答案为：2.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.如图,四边形ABCD 为矩形,且2AD =,1AB =,PA ⊥平面ABCD ,1PA =,E 为BC 的中点．（1）求证：PE DE ⊥；（2）求四棱锥P ABCD -的外接球体积．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）连接AE ，由线面垂直得到PA DE ⊥，再由线面垂直的判定定理得到DE ⊥平面PAE ，即可证明；（2）由底面为矩形利用长方体的性质可得四棱锥外接球的半径，再由体积公式计算体积.【小问1详解】连结,AE E 为BC 的中点,1EC CD ==，∴DCE △为等腰直角三角形,则45DEC ∠=︒，同理可得45AEB ∠=︒，∴90AED ∠=︒，∴DE AE ⊥，又PA ⊥平面ABCD ，且DE ⊂平面ABCD ，∴PA DE ⊥，又∵AE PA A = ，,AE PA ⊂平面PAE ，∴DE ⊥平面PAE ，又PE ⊂平面PAE ，∴DE PE ⊥．【小问2详解】∵PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为矩形，∴P ABCD -的外接球直径2R =∴2R =，故：3344ππ332V R ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭，∴四棱锥P ABCD -．16.ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos cos a B b A b c -=+.（1）求角A 的值；（2）若a ABC = ，求,b c .【答案】（1）2π3（2）2，2【解析】【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换化简即可得解；（2）由三角形面积公式及余弦定理求解即可.【小问1详解】cos cos a B b A b c -=+ ，由正弦定理可得：sin cos sin cos sin sin A B B A B C -=+，sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+ ，sin cos sin cos sin sin cos cos sin A B B A B A B A B ∴-=++，即2sin cos sin B A B -=，sin 0B ≠ ，1cos 2A ∴=-，(0,π)A ∈ ，2π3A ∴=.【小问2详解】由题意，1sin 24ABC S bc A bc ===△，所以4bc =，由222222cos a b c bc A b c bc =+-=++，得()2216b c a bc +=+=，所以4b c +=，解得：2b c ==.17.全国执业医师证考试分实践技能考试与医学综合笔试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则执业医师考试“合格”，并颁发执业医师证书.甲、乙、丙三人在医学综合笔试中“合格”的概率依次为45，34，23，在实践技能考试中“合格”的概率依次为12，23，23，所有考试是否合格互不影响.（1）求甲没有获得执业医师证书的概率；（2）这三人进行实践技能考试与医学综合理论考试两项考试后，求恰有两人获得执业医师证书的概率.【答案】（1）35（2）13【解析】【分析】（1）先根据对立事件的概率公式结合独立事件概率乘积公式计算；（2）先应用对立事件的概率公式及独立事件概率乘积公式应用互斥事件求和计算；【小问1详解】记甲，乙，丙三人在医学综合笔试中合格依次为事件1A ，1B ，1C ，在实践考试中合格依次为2A ，2B ，2C ，设甲没有获得执业医师证书的概率为P124131()1525P P A A =-=-⨯=.【小问2详解】甲、乙、丙获得执业医师证书依次为12A A ，12B B ，12C C ，并且1A 与2A ，1B 与2B ，1C 与2C 相互独立，则()12412525P A A =⨯=，()12321432P B B =⨯=，()12224339P C C =⨯=,由于事件12A A ，12B B ，12C C 彼此相互独立，“恰有两人获得执业医师证书”即为事件：()()()()()()()()()121212121212121212A A B B C C A A B B C C A A B B C C ++，概率为212142141(1)(1)(1)52952952934P =⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯=.18.为深入学习贯彻习近平总书记关于禁毒工作重要指示精神，切实落实国家禁毒委员会《关于加强新时代全民禁毒宣传教育工作的指导意见》，巩固青少年毒品预防教育成果，大力推进防范青少年滥用涉麻精药品等成瘾性物质宣传教育活动，进一步增强青少年学生识毒防毒拒毒意识和能力，某市每年定期组织同学们进行禁毒知识竞赛活动，为了解同学们对禁毒知识的掌握情况，现从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：40,50，50,60，…，90,100得到如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）求样本成绩的第75百分位数；（3）已知落在50,60的平均成绩是56，方差是7，落在60,70的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数z 和总方差2s ．【答案】（1）0.030（2）84（3）平均数为62；方差为23【解析】【分析】（1）根据频率之和为1即可求解，（2）根据百分位数的计算公式即可求解，（3）根据平均数的计算公式可求得两组成绩的总平均数；再由样本方差计算总体方差公式可求得两组成绩的总方差，即可求解.【小问1详解】由每组小矩形的面积之和为1得，0.050.10.2100.250.11a +++++=，解得0.030a =．【小问2详解】成绩落在[)40,80内的频率为0.050.10.20.30.65+++=，落在[)40,90内的频率为0.050.10.20.30.250.9++++=，显然第75百分位数[)80,90m ∈，由()0.65800.0250.75m +-⨯=，解得84m =，所以第75百分位数为84；【小问3详解】由频率分布直方图知，成绩在[)50,60的市民人数为1000.110⨯=，成绩在[)60,70的市民人数为1000.220⨯=，所以10562065621020z ⨯+⨯==+；由样本方差计算总体方差公式，得总方差为()(){}222110756622046562231020s ⎡⎤⎡⎤=+-++-=⎣⎦⎣⎦+.19.如图，三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，且ABC V 与1ABA △均为等腰直角三角形，1π2ACB AA B ∠=∠=．（1）若1A BC 为等边三角形，证明：平面1AAB ⊥平面ABC ；（2）若二面角1A AB C --的平面角为π3，求以下各值：①求点1B 到平面1A CB 的距离；②求平面11B A C 与平面1A CB 所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）①2217，②277【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形及等边三角形的性质可得各边长，再根据勾股定理证明线线垂直，根据线线垂直可证线面垂直，进而可证面面垂直；（2）根据二面角的定义可值1CEA 为等边三角形，①利用等体积转化法可得点到平面距离；②根据二面角的定义可得两平面夹角.【小问1详解】设AB 的中点为E ，连接CE ，1A E ，如图所示，因为ABC V 与1ABA △均为等腰直角三角形，1π2ACB A AB ∠=∠=，故1cos 452BC A B AB ==⋅︒=CE AB ⊥，且112CE AB ==，1112A E AB ==，因为1A BC 为等边三角形，故12==AC BC ，故22211A C CE A E =+，即1CE A E ⊥，又AB ，1A E ⊂平面1AA B ，1A E AB E ⋂=，故CE ⊥平面1AA B ，且CE ⊂平面ABC ，故平面1AA B ⊥平面ABC ；【小问2详解】①由（1）知，CE AB ⊥，1A E AB ⊥，且平面1AA B ⋂平面ABC AB =，故1CEA ∠即二面角1A AB C --的平面角，即1π3CEA ∠=，故1CEA 为等边三角形，则111CA CE A E ===，因为CE AB ⊥，1A E AB ⊥，1A E CE E ⋂=，且CE ，1A E ⊂平面1CEA ，所以AB ⊥平面1CEA ，设线段1A E 中点为F ，则1CF A E ⊥，AB CF ⊥，又AB ，1A E ⊂平面11ABB A ，1AB A E E = ，CF ∴⊥平面11ABB A ，又在三角形1CEA中易知：2CF =，∴11111112133226C A BB A BB V CF S -=⋅=⨯⨯⨯⨯= ，又在三角形1A BC 中，由11AC =，1BC A B ==则22211113cos 24BC A B A CA BC BC AB +-∠==⋅，1sin 4A BC ∠=，则11117sin 24A BC S AB BC A BC =⋅⋅∠= ，设点1B 到平面1A CB 的距离为d ，又由1111113C A BB B A BC A BC V V S d --==⋅⋅△，可得7d =，即求点1B 到平面1A CB 的距离为2217；②由①知，AB ⊥平面1CEA ，而11//AB A B ，故11A B ⊥平面1CEA ，且1A C ⊂平面1CEA ，故111A B AC ⊥，则2211115B C A B AC =+=，设1AC 和1B C 的中点分别为M ，N ，连接MN ，BN ，BM，则11//MN A B ，11112MN A B ==，1MN AC ⊥，又因为12BC A B ==1BM A C ⊥，且MN ⊂平面11A B C ，BM ⊂平面1A BC ，故BMN ∠即二面角11B A C B --的平面角，且222211722BM BC CM BC A C ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，因为112BB AA BC ===，故1BN B C ⊥，则222211322BN BC CN BC B C ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，所以222731744cos 277212BM MN BN BMN BM MN +-+-∠==⋅⨯⨯，故平面11B A C 与平面1A CB 所成角的余弦值为277．。
江苏省扬州中学2024-2025学年高二上学期10月月考试题 数学(含答案)
2024—2025学年第一学期高二上10月自主学习效果评估数学试卷2024.10.08一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知，直线过定点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）A B. C. 或 D. 或2. 若圆与圆相切，则（）A. 6B. 3或6C. 9D. 3或93. 已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（ ）A. B. C. D.4. 若点在圆内，则直线与圆C 的位置关系为（ ）A. 相交B. 相切C. 相离D. 不能确定5. 圆心为，且与直线相切的圆的方程为（ ）A. B. C. D.6. 已知圆上有四个点到直线的距离等于1，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D.7. 已知圆关于直线对称，则实数（ ）.()()2,02,3A B ､l ()1,2P AB l k 21k -≤≤112k -≤≤12k ≤-1k ≥2k ≤-1k ≥()2221:(4)0O x y r r ++=>222:(2)9O x y -+=r =1:10l x y -+=2:210l x y --=1l 2l 3450x y +-=3410x y --=3410x y -+=4310x y --=4310x y -+=(),P a b221Cx y +=：1ax by +=(2,1)M -2+1=0x y -22(2)(1)5x y -+-=22(2)(1)5x y -++=22(2)(1)25x y -++=22(2)(1)25x y -+-=224x y +=y x b =+b ()2,2-(()1--()1,1-22:330C x y mx y +-++=:0l mx y m +-=m =A 1或 B. 1 C. 3 D. 或38. 若圆与圆交于两点，则的最大值为（ ）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9. 若直线与圆交于两点，则（ ）A. 圆的圆心坐标为B. 圆的半径为3C. 当时，直线倾斜角为D. 的取值范围是10. 已知点在上，点，，则（ ）A. 点到直线的距离最大值是B. 满足的点有2个C. 过直线上任意一点作的两条切线，切点分别为，则直线过定点D. 的最小值为11. 设直线系（其中均为参数，），则下列命题中是真命题的是（）A. 当时，存在一个圆与直线系中所有直线都相切B. 当时，若存在一点，使其到直线系中所有直线的距离不小于1，则C. 存在，使直线系中所有直线恒过定点，且不过第三象限D. 当时，坐标原点到直线系中所有直线的距离最大值为1三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分..的3-1-22:(cos )(sin )1(02π)M x y θθθ-+-=≤<22:240N x y x y +--=A B ､tan ANB ∠344543:2cos 0l x y θ-⋅=22:10E x y +--=,A B E ()-E 1cos 2θ=l π4AB ⎡⎢⎣P 22:4O x y +=e ()3,0A ()0,4B P AB 125AP BP ⊥P AB O e ,M N MN 4,13⎛⎫ ⎪⎝⎭2PA PB +:cos sin 1m n M x y θθ+=,,m n θ{}02π,,1,2m n θ≤≤∈1,1m n ==M 2,1m n ==(),0A a M 0a ≤,m n M m n =M12. 已知直线，圆，写出满足“对于直线上任意一点，在圆上总存在点使得”的的一个值______．13. 已知二次函数与轴交于两点，点，圆过三点，存在一条定直线被圆截得弦长为定值，则该定值为__________.14. 如图，点C 是以AB 为直径的圆O 上的一个动点，点Q 是以AB 为直径的圆O 的下半个圆（包括A ，B 两点）上的一个动点，，则的最小值为___________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 已知直线与直线．（1）若，求m 的值；（2）若点在直线上，直线过点P ，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程．16. 已知：及经过点的直线.（1）当平分时，求直线的方程；（2）当与相切时，求直线的方程.17. 如图，已知，直线.（1）若直线等分的面积，求直线的一般式方程；（2）若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）､（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程.的:1l x my =--22:6890O x y x y ++++=l A O B π2ABO ∠=m ()()223411y x m x m m =+---∈R x ,A B ()1,3CG ,,A B C l G ,3,2PB AB AB PB ⊥==1)3AP BA QC +⋅（()1:280l m x my ++-=2:40,R l mx y m +-=∈12l l //()1,P m 2l l l C e ()()22124x y -+-=()1,1P --l l C e l l C el (()(),0,0,12,0A BC (():20l k x y k k +--=∈R l ABC Vl (2,P P BC K AC I P PK18. 已知圆与直线相切于点，圆心在轴上.（1）求圆的标准方程；（2）若直线与圆交于两点，当数的值；（3）过点且不与轴重合的直线与圆相交于两点，为坐标原点，直线分别与直线相交于两点，记的面积为，求的最大值.19. 在数学中，广义距离是泛函分析中最基本概念之一．对平面直角坐标系中两个点和，记，称为点与点之间的“距离”，其中表示中较大者．（1）计算点和点之间的“距离”；（2）设是平面中一定点，．我们把平面上到点的“距离”为的所有点构成的集合叫做以点为圆心，以为半径的“圆”．求以原点为圆心，以为半径的“圆”的面积；（3）证明：对任意点．的M 340x -+=(M x M ()()():21174l m x m y m m +++=+∈R M ,P Q PQ =m M x M ,A B O ,OA OB 8x =,C D ,OAB OCD V V 12,S S 12S S ()111,P x y ()222,P x y 1212121212max ,11tx x y y PP x x y y ⎧⎫--⎪⎪=⎨⎬+-+-⎪⎪⎩⎭12t PP 1P 2P t -{}max ,p q ,p q ()1,2P ()2,4Q t -()000,P x y 0r >0P t -r 0P r t -O 12t -()()()111222333131223,,,,,,t t t P x y P x y P x y PP PP P P ≤+2024—2025学年第一学期高二上10月自主学习效果评估数学试卷2024.10.08一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】D二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.【9题答案】【答案】BC【10题答案】【答案】BCD【11题答案】【答案】ABC三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】1（答案不唯一）【13题答案】【14题答案】【答案】四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1） （2）或【16题答案】【答案】（1） （2）或.【17题答案】【答案】（1； （2）.【18题答案】【答案】（1） （2）. （3）.【19题答案】【答案】（1）； （2）4；（3）证明见解析.3--1m =-10x y -+=20x y -=3210x y -+=1x =-51270x y --=170y +-=2100x -=22(4)16x y -+=23m =-1423。
福建师大附中2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题(解析版)
福建师大附中2024-2025学年第一学期高二第一次月考数学试卷一、单选题（每小题5分，共40分）1. 若角α的终边上一点的坐标为(11)−，，则cos α=( )A. 1−B.C.D. 1【答案】C 【解析】【分析】根据任意角三角函数的定义即可求解.【详解】∵角α的终边上一点的坐标为(11)−，，它与原点的距离r=，∴cos x r α==， 故选：C.2. 下列函数中，在区间()1,2上为增函数的是 A. 1y x=B. y x =C. 21y x =−+D. 243y x x =−+【答案】B 【解析】【分析】根据基本初等函数的单调性判断出各选项中函数在区间()1,2上的单调性，可得出正确选项. 【详解】对于A 选项，函数1y x=在区间()1,2上为减函数； 对于B 选项，当()1,2x ∈时，y x =，则函数y x =在区间()1,2上为增函数；对于C 选项，函数21y x =−+在区间()1,2上为减函数； 对于D 选项，二次函数243y x x =−+在区间()1,2上为减函数. 故选B.【点睛】本题考查基本初等函数在区间上的单调性的判断，熟悉一次、二次、反比例函数的单调性是解题的关键，考查推理能力，属于基础题.3. 为了解甲、乙两个班级学生的物理学习情况，从两个班学生的物理成绩（均为整数）中各随机抽查20个，得到如图所示的数据图（用频率分布直方图估计总体平均数时，每个区间的值均取该区间的中点值），关于甲、乙两个班级的物理成绩，下列结论正确的是（ ）A. 甲班众数小于乙班众数B. 乙班成绩的75百分位数为79C. 甲班的中位数为74D. 甲班平均数大于乙班平均数估计值【答案】D 【解析】【分析】根据已知数据图，判断A ；根据频率分布直方图计算乙班成绩的75百分位数，判断B ；求出甲班的中位数，判断C ；求出两个班级的平均分，即可判断D.【详解】由甲、乙两个班级学生的物理成绩的数据图可知甲班众数为79， 由频率分布直方图无法准确得出乙班众数，A 错误； 对于乙班物理成绩的频率分布直方图，前三个矩形的面积之和为(0.0200.0250.030)100.75++×=， 故乙班成绩的75百分位数为80，由甲班物理成绩数据图可知，小于79分的数据有9个，79分的数据有6个， 故甲班的中位数为79，C 错误； 甲班平均数57258596768269279687882899874.820x ×++++×+×+×++×++=甲，乙班平均数估计值为10550.02650.025750.03+850.02950.00571.57= 4.8x =×+×+××+×=<乙（）， 即甲班平均数大于乙班平均数估计值，D 正确， 故选：D 4.的直三棱柱111ABC A B C −中，ABC 为等边三角形，且ABC的外接圆半径为 ） A. 12π B. 8π C. 6π D. 3π【答案】A为【解析】【分析】由棱柱体积求得棱柱的高，然后求得外接球的半径，得表面积．【详解】设ABC 的边长为a ，由ABC可得2πsin3a =，故a =则ABC的面积2S.可得11S AA AA ⋅==1AA =， 设三棱柱外接球的半径为R，则2221723233AA R =+=+=， 故该三棱柱外接球的表面积为24π12πR =. 故选：A ．5. 已知函数()()()sin 20f x x ϕπϕ=+−<<，将()f x 的图象向左平移3π个单位长度后所得的函数图象关于y 轴对称，则关于函数()f x ，下列命题正确的是 A. 函数()f x 在区间,63ππ−上有最小值 B. 函数()f x 的一条对称轴为12x π=C. 函数()f x 在区间,63ππ−上单调递增 D. 函数()f x 的一个对称点为,03π【答案】C 【解析】【分析】根据平移关系求出函数的解析式，结合函数的奇偶性求出φ的值，利用三角函数的性质进行判断即可．【详解】将()f x 的图象向左平移3π个单位长度后得到2[2]233y sin x sin x ππϕϕ=++=++（）（），此时函数为偶函数， 则232k k Z ππϕπ+=+∈，， 即06k k Z πϕππϕ=−+∈− ，，＜＜，∴当0k =时，6，πϕ=−则26f x sin x π=−（）（），当63x ππ−＜＜时22233262x x πππππ−−−，＜＜，＜＜， 则此时函数()f x 在区间,63ππ − 上单调递增，且()f x 在区间,63ππ−上没有最小值， 故C 正确， 故选C ．【点睛】本题主要考查三角函数性质判断，结合三角函数的平移关系求出函数的解析式是解决本题的关键．6. 如图，在三棱锥P ABC −中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，AC =6BC =，D ，E ，F ，G 分别为PB ，AB ，AC ，PC 的中点，Q 为DE 上一点，AQ GQ ⊥，当AQG 的面积取得最小值时，三棱锥Q AEF −外接球的表面积为（ ）A. 24πB. 28πC. 32πD. 36π【答案】B 【解析】【分析】连接GF ，GD ，根据中位线性质得到线线平行关系，再利用线面垂直的性质得到线线垂直，设EQ x =，DQ y =，根据222AQ GQ AG +=得到()2221697x y x y +++=++，得到12AQG S AQ GQ =⋅= ，再根据基本不等式即可求出最值，再转化为长方体外接球问题即可.【详解】连接GF ，GD ，因为D ，E ，F ，G 分别为PB ，AB ，AC ，PC 的中点，的所以2//,11,//,2GF GF PA PA DE PA PA DE ==，1//,2GD BC GD BC =，1//,2EF BC EF BC =，则//GF DE ，因为PA ⊥平面ABC ， 所以GF ⊥平面ABC ，DE ⊥平面ABC ，AE ⊂ 平面ABC ，所以DE AE ⊥，所以DE GD ⊥，AF ⊂ 平面ABC ，所以GF AF ⊥．设EQ x =，DQ y =，则AQ ，GQ ，AG ==，因为AQ GQ ⊥，所以222AQ GQ AG +=，即()2221697x y x y +++=++， 整理得9xy =，所以12AQGS AQ GQ =⋅= 由基本不等式得2216924216y x xy +≥=，当且仅当43y x =，即x =y =所以当AQC S 取得最小值时，EQ =，DQ =． 因为AF EF ⊥，QE ⊥平面AEF ，所以可将三棱锥Q AEF −补形为如图所示的长方体，则三棱锥Q AEF −的外接球即该长方体的外接球，易知该长方体外接球的直径为AQ =，故三棱锥Q AEF −，故三棱锥Q AEF −外接球的表面积为4π728π×=，故选：B ．【点睛】方法点睛：求解有关三棱锥外接球的问题时，常见方法有两种：一种是补形，解题时要认真分析图形，看能否把三棱锥补形成一个正方体（长方体），若能，则正方体（长方体）的顶点均在外接球的球面上，正方体（长方体）的体对角线为外接球的直径；另一种是直接法，三棱锥中过任意两个面的外接圆圆心的垂线的交点即三棱锥外接球的球心．7. 、，外接球表面积为20π，则正四棱台侧棱与底面所成角的正切值为（ ） A. 1 B. 3 C. 1或3 D.12或32【答案】C 【解析】【分析】在正四棱台1111ABCD A B C D −中，取截面11AAC C ，设正方形ABCD 、1111D C B A 的中心分别为O 、1O ，分析可知球心在直线1OO 上，对球心的位置进行分类讨论，求出1OO 的长，利用线面角的定义可求得结果.【详解】在正四棱台1111ABCD A B C D −中，设其上底面为正方形ABCD ，下底面为正方形1111D C B A ，设正方形ABCD 、1111D C B A 的中心分别为O 、1O ，由正四棱台的几何性质可知，1OO ⊥平面1111D C B A ，取截面11AAC C ， 则正四棱台的外接球球心E 在直线1O O 上，分以下两种情况讨论： ①E 在AC 、11A C 的同侧，如下图所示：设球E 的半径为R ，则24π20πR =，可得R =由圆的几何性质可知EO AC ⊥，111EO A C ⊥，且2AC ==，11114A C B =，所以，2OE =，11EO ，所以，11211OO EO EO =−=−=， 过点A 在平面11AAC C 内作11AF AC ⊥， 因为11//AC A C ，11AF A C ⊥，111OO A C ⊥，1//AF OO ∴，则四边形1AOO F 为矩形，且11AF OO ==，11O FAO ==，111211A F AO O F =−=−=， 因为1//AF OO ，则AF ⊥平面1111D C B A ，则1AA 与平面1111D C B A 所成角为1AA F ∠， 且11tan 1AFAA F A F∠==； ②若球心E 在线段1OO 上，如下图所示：设球E 的半径为R ，则24π20πR =，可得R =由圆的几何性质可知EO AC ⊥，111EO A C ⊥，且2AC ==，11114A C B =，所以，2OE =，11EO ，所以，11213OO EO EO =+=+=， 过点A 在平面11AAC C 内作11AF A C ⊥，因为11//AC A C ，11AF A C ⊥，111OO A C ⊥，1//AF OO ∴，则四边形1AOO F 为矩形，且13AF OO ==，11O FAO ==，111211A F AO O F =−=−=， 因为1//AF OO ，则AF ⊥平面1111D C B A ，则1AA 与平面1111D C B A 所成角为1AA F ∠， 且11tan 3AFAA F A F∠==. 综上所述，正四棱台侧棱与底面所成角的正切值为1或3. 故选：C.【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h ，从而不必作出线面角，则线面角θ满足sin hlθ=（l 为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a为直线l 的方向向量，n 为平面的法向量，则线面角θ的正弦值为sin cos ,a n θ=.8. 在ΔΔΔΔΔΔΔΔ中，BC CA CA AB ⋅=⋅ ，2BA BC += ，且233B ππ≤≤，则BA BC ⋅的取值范围是A [2,1)− B. 2,13C. 22,3 −D. 22,3−【答案】D 【解析】【分析】由BC CA CA AB ⋅=⋅，可以得到()0CA BC BA ⋅+= ，利用平面向量加法的几何意义，可以构造平行四边形BCDA ，根据()0CA BC BA ⋅+=，可知平行四边形BCDA 是菱形，这样在Rt BOA ∆中，可以求出菱形的边长，求出BA BC ⋅的表达式，利用233B ππ≤≤，构造函数，最后求出BA BC ⋅的取值范围.【详解】()0()0BC CA CA AB CA BC AB CA BC BA ⋅=⋅⇒⋅−=⇒⋅+=，以,BC BA 为邻边作平行四.边形BCDA ，如下图：所以BC BA BD += ，因此0CA BD CA BD ⋅=⇒⊥,所以平行四边形BCDA 是菱形，设CA BD O ∩=，2BA BC +=，所以=21BD BO ⇒=，在Rt BOA ∆中， 1cos cos 2BO ABO AB ABC AB ∠=⇒=∠ 212cos ()cos 1cos cos 2ABCy ABC ABC AB A C C B B ∠==⋅∠=⋅∠+∠ ， 设211cos [,]3322x ABC ABC x ππ=∠≤∠≤∴∈− ， 所以当11[,]22x ∈− 时，'22201(1)x y y x x =⇒=>++，21x y x =+是增函数，故2[2,]3y ∈−，因此本题选D.【点睛】本题考查了平面加法的几何意义、以及平面向量数量积的取值范围问题，利用菱形的性质、余弦的升幂公式、构造函数是解题的关键.二、多选题（每小题6分，共18分）9. 一组样本数据12,,,n x x x …的平均数为()0x x ≠，标准差为s ．另一组样本数据122,,,n n n x x x ++…，的平均数为3x ，标准差为s ．两组数据合成一组新数据1212,,,,,,n n n x x x x x +⋅⋅⋅⋅⋅⋅，新数据的平均数为y ，标准差为s ′，则（ ） A. 2y x > B. 2y x = C. s s ′> D. s s ′=【答案】BC 【解析】【分析】由平均数与标准差的定义求解判断． 【详解】由题意322nx n xyx n+⋅=， 222222121()()()nn k k ns x x x x x x x nx ==−+−++−=−∑，同理222222211(3)9nnkkk n k n ns xn x xnx=+=+=−⋅=−∑∑ 两式相加得22221210nk k ns x nx ==−∑，22222221122(2)8nnkk k k ns x n x x nx ==′=−⋅=−∑∑，所以2222ns ns ′>，s s ′>． 故选：BC ．10. 在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，点E ，F 分别为棱BC 与11D C 的中点，则下列选项正确的有（ ）A. 1//A B 平面1AECB. EF 与1BC 所成的角为30°C. ⊥EF 平面1B ACD. 平面1AEC 截正方体1111ABCD A B C D −的截面面积为 【答案】ABD 【解析】【分析】设点M 为棱11A D 的中点，得到四边形1AEC M 为平行四边形，利用线面平行的判定定理，证得1//A B 平面1AEC ，可判定A 正确；再得到四边形1AEC M 为菱形，求得截面的面积，可判定D 正确；设1CC 的中点为N ，证得1//EN BC ，得到NEF ∠为EF 与1BC 所成的角，利用余弦定理求得cos NEF ∠，可判定B 正确；假设⊥EF 平面1B AC 正确，得到1EF B C ⊥，结合11FC B C ⊥，证得1B C ⊥平面1EFC ，得到11B C EC ⊥，进而判定C 错误．【详解】如图1所示，设点M 为棱11A D 的中点，则1MC AE ，平行且相等，所以四边形1AEC M 为平行四边形，又1//A B ME ，1⊄A B 平面1AEC ，ME ⊂平面1AEC ，所以1//A B 平面1AEC ，故A 正确； 由上可知，四边形1AEC M 为平面1AEC 截正方体1111ABCD A B C D −的截面，易得11AE EC C M MA ====，故四边形1AEC M 为菱形，又其对角线EM =，1AC =12××，故D 正确； 设1CC 的中点为N ，连接,EN FN ，因为,E N 分别为BC 与1CC 的中点，所以1//EN BC ，故NEF ∠为EF 与1BC 所成的角，又EN FN ==，EF =由余弦定理可得222cos 2EN EF NF NEF EN EF +−∠==⋅ 所以EF 与1BC 所成的角为30°，故B 正确；如图2所示，假设⊥EF 平面1B AC 正确，则1EF B C ⊥，又11FC B C ⊥，1EF FC F ∩=，所以1B C ⊥平面1EFC ，得11B C EC ⊥． 在正方形11B C CB 中，11B C EC ⊥，显然不成立，所以假设错误， 即⊥EF 平面1B AC 错误，故C 错误． 故选：ABD ．11. 已知,a b 均为正数且11a b a b+=+，下列不等式正确的有（ ）A. 23+≥B.2+≥C. 3a +≥D.23a b a+≥ 【答案】BCD 【解析】【分析】由已知条件可得1ab =，然后逐个分析判断即可 【详解】由11a b a b+=+，得a b a b ab ++=，所以()()0ab a b a b +−+=，()(1)0a b ab +−= 因为,a b 均为正数，所以1ab =，对于A ，2≥===，即ab 时取等号，所以A 错误，对于B 2+≥=，即1a b ==时取等号，所以B 正确，对于C ，因为1ab =，所以1a b=，所以13a b +=+≥=，=，即1a b ==时取等号，所以C 正确，对于D ，因为1ab =，所以22223a a ba b b b a ab++==++≥，当且仅当2a b =，即1a b ==时取等号，所以D 正确，故选：BCD三、填空题（每小题5分，共15分）12. 已知1x >−，则41x x ++的最小值为___________. 【答案】3 【解析】【分析】由1x >−可得10x +>，将41x x ++整理为4111++−+x x ，再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为1x >−，所以10x +>，所以441111x x x x +=++−++13≥−=， 当且仅当411x x +=+，即1x =时取等号， 所以41x x ++的最小值为3， 故答案为：3【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 13. 已知函数222log ,1()32,1x a x f x x ax a x + =++<， ①若a ＝1，f （x ）的最小值是_____；②若f （x ）恰好有2个零点，则实数a 的取值范围是_____． 【答案】 ①. ﹣14 ②. 1(1,][0,)2−−+∞ 【解析】【分析】（1）对分段函数的两段函数分别求最小值，然后比较可得； （2）结合函数性质与解方程()0f x =，可得结论．【详解】（1）由题意22log 1,1()32,1x x f x x x x +≥ =++< ， 1x ≥时，2()log 1f x x =+单调递增，min ()(1)1f x f ==， 1x <时，2231()32()24f x x x x =++=+−，min 31()()24f x f =−=−， 所以32x =−时，min 1()4f x =−；（2）若0a =，则22log ,1(),1x x f x x x ≥ = <，恰有两个零点0和1，满足题意，若0a >，则1x ≥时，2()log 0f x x a a =+≥>无零点， 但1x <时，22()32f x x ax a =++有两个零点a −和2a −，满足题意，当0a <时，则1x ≥时，2()log f x x a =+是增函数，min ()0f x a =<，有一个零点， 1x <时，由22()320f x x ax a =++=得x a =−或2x a =−，因为()f x 只有两个零点，所以121a a −< −≥，解得112a −<≤−， 综上，a 的取值范围是1(1,][0,)2−−+∞ ．【点睛】本题考查求分段函数的最值，由分段函数的零点个数求参数取值范围．解题时需分类讨论，按分段函数的定义分类讨论．14. 如图所示，在△ABC 中，AB =AC =2，AD DC = ，2DE EB =，AE 的延长线交BC 边于点F ，若45AF BC ⋅=− ，则AE AC ⋅= ____.【答案】229【解析】【分析】过点D 做DG AF ,可得16EF AF =，15BF BC =，4155AF AB AC =+ 由45AF BC ⋅=− 可得2cos 3BAC ∠=，可得541()655AE ACAB AC AC ⋅=+⋅ ，代入可得答案. 【详解】解：如图，过点D 做DG AF ,易得：13EF BE DG BD ==,13EF DG =,12DG CD AF AC ==,故12DG AF =,可得：16EF AF =， 同理：12BF BE FG ED ==,11FG AD GC CD ==,可得15BF BC =, 1141()5555AF AB BF AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+−=+ ,由45AF BC ⋅=− ，可得22411424()()555555AB AC AC AB AC AB AB AC +⋅−=−+⋅=− , 可得：14244422cos 5555BAC ×−×+××∠=−,可得：2cos 3BAC ∠=， 255412122122()2246655353369AE AC AF AC AB AC AC AB AC AC ⋅=⋅=+⋅=⋅+=×××+×= ,故答案为：229. 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算和平面向量的数量积，由题意作出DG AF 是解题的关键.四、解答题（共77分）15. 如图1，在平面四边形PBCD 中，已知BC PB ⊥，PD CD ⊥，6PB =，2BC =，2DP CD =，DA PB ⊥于点A .将PAD △沿AD 折起使得PA ⊥平面ABCD ，如图2，设MD PD λ=（01λ≤≤）.（1）若23λ=，求证：PB //平面MAC ； （2）若直线AM 与平面PCD，求λ的值. 【答案】（1）证明见解析 （2）12λ= 【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可证明；（2）利用空间向量的坐标表示，表示出线面夹角的余弦值即可求解. 【小问1详解】在平面四边形PBCD 中，BC PB ⊥，6PB =，2BC =，所以CP =tan BPC ∠= 又PD CD ⊥，2DP CD =，所以CD =，PD =，1tan 2DPC ∠=， 所以()1123tan tan 111123BPD BPC DPC +∠=∠+∠==−×，所以45BPD ∠=°. 所以在Rt PAD △中，易得4PA AD ==. 因为DA PB ⊥，BC PB ⊥，所以//AD BC .在四棱锥P ABCD −中，连接BD ，设BD AC F ∩=，连接MF ，因为23λ=，所以2DMMP =， 又2AD DFBC FB==，所以MF PB ∥. 因为MF ⊂平面MAC ，PB ⊄平面MAC ，所以PB ∥平面MAC .【小问2详解】由题意易知AB ，AD ，AP 两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()2,2,0C ，()0,4,0D ，()0,0,4P ， 则()2,2,0CD =− ，()0,4,4PD =−.设平面PCD 法向量为(),,n x y z =，则00n CD n PD ⋅= ⋅=，即220440x y y z −+= −= ， 令1x =，得11y z == ，即()1,1,1n = . 由MD PD λ=，得()0,4,4MD λλ=− ， 故()0,44,4M λλ−，()0,44,4AM λλ=−.由直线AM 与平面PCD，的得cos ,AM n AM n AM n⋅==，解得12λ=. 16. 如图，直三棱柱111ABC A B C −的体积为1，AB BC ⊥，2AB =，1BC =．（1）求证：11BC A C ；（2）求二面角11B A C B −−的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2【解析】【分析】（1）法一：由线面垂直证明即可；法二：用空间直角坐标系证明即可；（2）法一：过O 作1OH A C ⊥于H ，连接BH ，由已知得出BHO ∠为二面角11B A C B −−的平面角，求解即可；法二：建立空间直角坐标系求解． 【小问1详解】直三棱柱111ABC A B C −的体积为：111121122V AB BC AA AA =×⋅⋅=×××=， 则11AA BC ==，四边形11BCC B 为正方形，法一：在直棱柱111ABC A B C −中，1BB ⊥面ABC ，11AB A B ∥， 又AB ⊂平面ABC ，则1AB BB ⊥，因为AB BC ⊥，1AB BB ⊥，1BB BC B = ，1,BB BC ⊂平面11BCC B ， 所以AB ⊥平面11BCC B ，又1BC⊂平面11BCC B ， 所以1AB BC ⊥，因为11AB A B ∥，所以11A B ⊥1BC ， 在正方形11BCC B 中，有11BC B C ⊥，因为11BC B C ⊥，11A B ⊥1B C ，1111A B B C B = ，111,A B B C ⊂平面11A CB ， 所以1⊥BC 平面11A CB ，又1A C ⊂平面11A CB ， 所以11BC A C ．法二：直棱柱111ABC A B C −，1BB ⊥平面ABC ，又AB BC ⊥，以B 为原点，BC ，BA ，1BB 所在直线为x 轴，y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系， 则()0,0,0B ，()10,0,1B ，()1,0,0C ，1(0,2,1)A ，1(1,0,1)C ，1(1,0,1)BC =，1(1,2,1)A C =−− ，11110(2)1(1)0BC A C ⋅=×+×−+×−=，所以11BC A C ．【小问2详解】由（1）得11BC A C ，设11B C BC O = ，在11A B C 中，过O 作1OH A C ⊥于H ，连接BH ，因为1OH A C ⊥，11BC A C ，1,OH BC ⊂平面BHO ，且1OH BC O ∩=， 所以1A C ⊥平面BHO ，又BH ⊂平面BHO ，所以1AC BH ⊥，所以BHO ∠为二面角11B A C B −−的平面角， 因为11Rt Rt COH CA B ∽△△，111CA CO OH A B =，得OH = 又在Rt BOH中，BO =BH =，cos OH BHO BH ∠=， 所以二面角11B A C B −−法二：()0,0,0B ，()10,0,1B ，()C ，1(0,2,1)A ，1(1,0,1)C ，(1,0,0)BC =，1(0,2,1)BA = ，设平面1BCA 的法向量：1111(,,)n x y z = ， 则111111020n BC x n BA y z ⋅== ⋅+ ，取11y =，得1(0,1,2)n =− ，1(1,0,1)B C=−，11(0,2,0)B A = ，设面11B CA 的法向量2222(,,)n x y z = ， 则21222112020n B C x z n B A y ⋅=−= ⋅== ，取21x =，得2(1,0,1)n = ， 设二面角11B A C B −−的大小为θ，则：121212|||cos ||cos ,|||||n n n n n n θ⋅=<>==因为θ为锐角，所以二面角11B A C B −−17. 如图，在四面体ABCD 中，△ABC 是等边三角形，平面ABC ⊥平面ABD ，点M 为棱AB 的中点，AB =2，AD=BAD =90°． （Ⅰ）求证：AD ⊥BC ；（Ⅱ）求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值； （Ⅲ）求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．【答案】(Ⅰ)证明见解析；． 【解析】【详解】分析：（Ⅰ）由面面垂直的性质定理可得AD ⊥平面ABC ，则AD ⊥BC ．（Ⅱ）取棱AC 的中点N ，连接MN ，ND ．由几何关系可知∠DMN （或其补角）为异面直线BC 与MD 所成的角．计算可得12MNcos DMN DM∠==．则异面直线BC 与MD（Ⅲ）连接CM ．由题意可知CM ⊥平面ABD ．则∠CDM 为直线CD 与平面ABD所成的角．计算可得CMsin CDM CD∠=．即直线CD 与平面ABD． 详解：（Ⅰ）证明：由平面ABC ⊥平面ABD ，平面ABC ∩平面ABD =AB ，AD ⊥AB ，可得AD ⊥平面ABC ，故AD ⊥BC ．（Ⅱ）取棱AC 的中点N ，连接MN ，ND ．又因为M 为棱AB 的中点，故MN ∥BC ．所以∠DMN （或其补角）为异面直线BC 与MD 所成的角．在Rt △DAM 中，AM =1，故DMAD ⊥平面ABC ，故AD ⊥AC ． 在Rt △DAN 中，AN =1，故DN．在等腰三角形DMN 中，MN =1，可得12cos MN DMN DM ∠==． 所以，异面直线BC 与MD（Ⅲ）连接CM ．因为△ABC 为等边三角形，M 为边AB 的中点，故CM ⊥AB ，CMABC ⊥平面ABD ，而CM ⊂平面ABC ，故CM ⊥平面ABD ．所以，∠CDM 为直线CD 与平面ABD 所成的角．Rt △CAD 中，CD=4．在Rt △CMD中，sin CM CDM CD ∠=． 所以，直线CD 与平面ABD点睛：本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础知识．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．18. 棱柱1111ABCD A B C D −的所有棱长都等于4，60ABC ∠=°，平面11AA C C ⊥平面ABCD ，160A AC ∠=°.（1）证明：1DB AA ⊥；（2）求二面角1D AA B −−的平面角的余弦值；（3）在直线1CC 上是否存在点P ，使//BP 平面11DA C ？若存在，求出点P 的位置.【答案】（1）证明见解析；（2）35；（3）点P 在1C C 的延长线上且使1C C CP =. 【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，结合10AA BD ⋅=，即可证得1DB AA ⊥；在（2）分别求得平面1AA D 和平面1AA B 的一个法向量，解向量的夹角公式，即可求解；（3）设1CP CC λ= ，求得BP 的坐标和平面11DA C 的法向量，结合30n BP ⋅= ，求得1λ=−，即可得到结论.【详解】由题意，连接BD 交AC 于O ，则BD AC ⊥，连接1A O ，在1AAO 中，14AA =，2AO =，160AAO ∠=°，∴2221112cos 60AO AA AO AA AO =+−=°⋅22211AO A O AA +=， ∴1A O AO ⊥，由于平面11AA C C ⊥平面ABCD ，所以1A O ⊥底面ABCD ，所以以OB 、OC 、1OA 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则()0,2,0A −，()B ，()0,2,0C，()D −，(10,0,A ， （1）由于()BD =−，(10,2,AA =，()2,0AB = ， 则10AA BD ⋅= ，∴1BD AA ⊥.（2）设平面1AA D 的法向量()2,,n x y z = ，则21200n AA n AD ⋅= ⋅=，即0y y += + ，取1x =，可得()21n =− ， 同理，可得平面1AA B的法向量()11,n = ， 所以1212123cos 5n n n n n n ⋅⋅==− ， 又由图可知成钝角，所以二面角1D A A B −−的平面角的余弦值是35. （3）假设在直线1CC 上存在点P ，使//BP 平面11DA C ，设1CP CC λ= ，(),,P x y z ，则()(,2,0,2,x y z λ−=，得(0,22,)P λ+，(22,)BP λ−+， 设3n ⊥ 平面11DA C ，则31131n A C n DA ⊥ ⊥ ，设()3333,,n x y z = ，得到333200y = +=，不妨取()31,0,1n =− ，又因为//BP 平面11DA C ，则30n BP ⋅= 即0−=得1λ=−.即点P 在1C C 的延长线上且使1C C CP =.【点睛】本题主要考查了空间向量在线面位置关系的判定与证明中的应用，以及直线与平面所成角的求解，其中解答中熟记空间向量与线面位置关系的关系，以及线面角的求解方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力.19. 已知非空集合A 是由一些函数组成，满足如下性质：①对任意()f x A ∈，()f x 均存在反函数1()f x −，且1()f x A −∈；②对任意()f x A ∈，方程()f x x =均有解；③对任意()f x 、()g x A ∈，若函数()g x 为定义在R 上的一次函数，则(())f g x A ∈.（1）若1()()2x f x =，()23g x x =−，均在集合A 中，求证：函数12()log (23)h x x A =−∈； （2）若函数2()1x a f x x +=+（1x ≥）在集合A 中，求实数a 的取值范围； （3）若集合A 中的函数均为定义在R 上的一次函数，求证：存在一个实数0x ，使得对一切()f x A ∈，均有00()f x x =.【答案】（1）见详解；（2）[]1,3a ∈；（3）见详解； 【解析】【分析】（1）由1()()2x f x A =∈，根据性质①可得112()log f x x A −=∈，且存在00x >，使得 1002log x x =，由()23g x x A =−∈，且为一次函数，根据性质③即可证明.（2）由性质②，方程()211x a x x x +=≥+，即a x =在[)1,x ∈+∞上有解，可得1a ≥，变形21()1211x a a f x x x x ++==++−++，[)()1,x ∈+∞.与2的关系分类讨论，利用基本不等式的性质即可求解.（3）任取()1f x ax b =+，()2f x cx d A =+∈，由性质①,0a c ≠，不妨设,1a c ≠，（若1a =，则0b =，()1f x x =）， 由性质③函数()()()()12g x f f x acx ad b A ==++∈， 由性质①：()()1x bc d h x A ac −−+=∈，由性质③：()()()()()1()acx bd b bc d ad b bc d h g x x A ac ac−++−++−+===∈ 由性质②方程：()()ad b bc d x x ac+−++=，可得ad b bc d +=+，即11b d a c =−−，即可得证. 【详解】（1）由1()()2x f x A =∈，根据性质①可得112()log f x x A −=∈，且存在00x >，使得 1002log x x =，由()23g x x A =−∈，且为一次函数，根据性质③可得：()()112()log (23)hx x f g x A −=−=∈.（2）由性质②，方程()211x a x x x +=≥+，即a x =在[)1,x ∈+∞上有解，1a ∴≥， 由22111()12111x a x a a f x x x x x +−+++===++−+++[)()1,x ∈+∞,2>，3a >时，112a −>，且()112a f f − =， ∴此时()f x 没有反函数，即不满足性质①.2≤，13a ≤≤时，函数()f x 在[)1,+∞上单调递增，∴此时()f x 有反函数，即满足性质①.综上：[]1,3a ∈.（3）任取()1f x ax b =+，()2f x cx d A =+∈，由性质①,0a c ≠，不妨设,1a c ≠，（若1a =，则0b =，()1f x x =），由性质③函数()()()()12g x f f x acx ad b A ==++∈， 由性质①：()()1x bc d h x A ac −−+=∈，由性质③：()()()()()1()acx bd b bc d ad b bc d h g x x A ac ac−++−++−+===∈ 由性质②方程：()()ad b bc d x x ac+−++=， ∴ad b bc d +=+，即11b d ac =−−， ()1f x x =，可得ax b x +=，1b x a =−, ()2f x x =，可得cx d x +=，1d x c =−, 由此可知：对于任意两个函数()1f x ，()2f x ，存在相同的0x 满足：()()10020f x x f x =，∴存在一个实数0x ，使得对一切()f x A ∈，均有00()f x x =.质，难度较大.。
山西大学附属中学校2024年高二10月月考数学试题及答案
山西大学附属中学2024～2025学年第一学期高二10月月考（总第二次）数学试题考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题（本小题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．若直线2:tan 5l x π=的倾斜角为α，则α=（ ）A ．0B ．25πC ．2πD ．不存在 2．已知向量(),2,1a x =− ，()2,4,2b =− ，若a b，则（ ） A ．1−B ．1C ．5−D ．53．已知直线1:2l y x a =−+与直线()22:22l y a x =−+，则“1a =−”是“12l l ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．在空间四边形OABC 中，若E ，F 分别是AB ，BC 的中点，H 是EF 上的点，且13EH EF =，记OH xOA yOB zOC =++，则(),,x y z 等于（ ）A ．111,,326B ．111,,263C ．111,,362D ．111,,2365．如图，在圆锥SO 中，AB 是底面圆O 的直径，2AB SO ==，D ，E 分别为SO ，SB 的中点，点C 是底面圆周上一点（不同于A ，B ）且OC AB ⊥，则直线AD 与直线CE 所成角的余弦值为（ ）ABCD ．126．已知直线l 过点()2,3,1A ，且()1,1,1a =为其一个方向向量，则点()4,3,2P 到直线l 的距离为（ ）ABCD7．已知两点()1,5A −，()0,0B ，若直线:22l y kx k =−+与线段AB 有公共点，则k 的取值范围为（ ） A ．(][),11,−∞−+∞ B ．(][],10,1−∞− C ．[][)1,01,−+∞D ．[]1,1−8．已知点P 和非零实数λ，若两条不同的直线1l ，2l 均过点P ，且斜率之积为λ，则称直线1l ，2l 是一组“P λ共轭线对”，如直线1:2l y x =，21:2l y x =−是一组“1O −共轭线对”，其中O 是坐标原点．已知1l ，2l 是一组“3O −共轭线对”，则1l ，2l 的夹角的最小值为（ ） A ．6πB ．3πC ．4πD ．12π二、选择题（本小题3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9．下列说法中不正确的是（ ）A ．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大B ．若直线过点()1,2，且它的倾斜角为45°，则这条直线必过点()3,4C ．过()11,x y ，()22,x y 两点的直线的方程为112121y y x x y y x x −−=−− D ．直线2y kx =−在在y 轴上的截距为210．在空间直角坐标系Oxyz 中，点()0,0,0O ，()2,1,1A −−，()3,4,5B ，下列结论正确的有（ ） A．AB =B ．向量OA 与OB的夹角的余弦值为C ．点A 关于z 轴的对称点坐标为()2,1,1−−−D ．向量OA 在OB 上的投影向量为110OB −11．如图，在三棱锥P ABC −中，AB BC ==BA BC ⊥，2PAPB PC ===，O 为AC 的中点，点M 是棱BC 上一动点，则下列结论正确的是（ ）A ．三棱锥P ABC −1+B ．若M 为棱BC 的中点，则异面直线PM 与ABC ．若PC 与平面PAM 所成角的正弦值为12，则二面角M PA C −−D ．PM MA +的取值范围为4三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12．已知点P 在平面ABC 上，点O 是空间内任意一点，且()1322OP OA mOB OC m R =++∈，则m 的值为_______________．13．直线的一个方向向量为()1,3v=−，且经过点()0,2，则直线的一般式方程为_______________.14．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D −中，P 为棱1BB 上一点，且12B P PB =，Q 为正方形11BB C C内一动点（含边界），若1D Q =且1D Q 与平面1A PD 所成的角最大时，线段1AQ 的长度为_______________.四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分13分）已知ABC △的顶点坐标分别是()1,5A −，()2,1B −−，()4,3C ，M 为BC 边的中点． （1）求BC 边上的中线AM 的一般式方程； （2）求经过点C 且与直线AB 垂直的直线方程． 16．（本小题满分15分）已知()2,1,2a =−，()4,2,b x =− ，且a b ⊥．（1）求a b +；（2）求a 与a b +夹角的余弦值．17．（本小题满分15分）已知直线():120l kx y kk −++=∈R （1）若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；（2）若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设AOB △的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程． 18．（本小题满分17分）已知在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD △是正三角形，点E ，F ，M ，O 分别是PC ，PD ，BC ，AD 的中点，PO ⊥平面ABCD ． （1）求证：EF PA ⊥；（2）求点B 到平面EFM 的距离；（3）在线段PA 上是否存在点N ，使得直线MN 与平面EFM PN 的长度；若不存在，说明理由．19．（本小题满分17分）已知Ω的正四面体ABCD ，设Ω的四个顶点到平面α的距离所构成的集合为M ，若M 中元素的个数为k ，则称α为Ω的k 阶等距平面，M 为Ω的k 阶等距集．（1）若α为Ω的1阶等距平面且1阶等距集为{}a ，求a 的所有可能值以及相应的α的个数；（2）已知β为Ω的4阶等距平面，且点A 与点B ，C ，D 分别位于β的两侧．是否存在β，使Ω的4阶等距集为{},2,3,4b b b b ，其中点A 到β的距离为b ？若存在，求平面BCD 与β夹角的余弦值；若不存在，说明理由．山西大学附中2024～2025学年第一学期高一（10月）月考（总第一次）数学评分细则一．选择题：1234567891011A DBAABCDABCBDABD三．填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分。
黑龙江省哈尔滨市2024-2025学年高二上学期10月月考试题 数学含答案
哈尔滨市2024-2025学年度上学期十月学业阶段性评价考试高二数学学科考试试卷（答案在最后）（考试时间：120分钟满分150分）第Ⅰ卷（共58分）一、单选题（共8小题，每小题5分，每小题只有一个选项符合题意）1.在空间直角坐标系中，点()2,1,4-关于x 轴对称的点坐标是（）A.()2,1,4-- B.()2,1,4 C.()2,1,4--- D.()2,1,4-2.若向量{}123,,e e e 是空间中的一个基底，那么对任意一个空间向量a，存在唯一的有序实数组(),,x y z ，使得：123a xe ye ze =++ ，我们把有序实数组(),,x y z 叫做基底{}123,,e e e 下向量a 的斜坐标.设向量p 在基底{},,a b c 下的斜坐标为()1,2,3-，则向量p 在基底{},,a b a b c +-下的斜坐标为（）A.13,,322⎛⎫--⎪⎝⎭B.13,,322⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C.13,,322⎛⎫-⎪⎝⎭ D.13,,322⎛⎫-⎪⎝⎭3.已知两条直线12:410,:20l ax y l x ay +-=++=，则“2a =”是“12l l //”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知平面α的一个法向量(2,2,1)n =--，点()1,3,0A -在平面α内，若点()2,1,P z -到α的距离为103，则z =（）A.16B.4- C.4或16- D.4-或165.已知点()2,3A -，()3,2B --，若过点()1,1的直线与线段AB 相交，则该直线斜率的取值范围是（）A.[)3,4,4⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦B.(]3,4,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣--⋃⎭∞C.3,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.34,4⎡⎤-⎢⎣⎦6.直线l 过点()2,3A ，则直线l 与x 轴、y 轴的正半轴围成的三角形的面积最小值为（）A.9B.12C.18D.247.如图，在平行六面体ABCD A B C D -''''中，5,3,7AB AD AA ='==，60BAD ∠=︒，45BAA DAA ''∠=∠=︒，则AC '的长为（）A. B.C.D.8.正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，所有棱长均为2，点E ，F 分别为棱BB 1，A 1C 1的中点，若过点A ，E ，F 作一截面，则截面的周长为（）A. B.C. D.2+二、多选题（共3小题，每小题有多个选项符合题意，全部选对的得6分，部分选对得得部分分，有选错的得0分）9.下列命题中正确的是（）A.若向量,a b 满足0a b ⋅<，则向量,a b 的夹角是钝角B.若,,OA OB OC 是空间的一组基底，且232OD OA OB OC =-+，则,,,A B C D 四点共面C.若向量{},,a b c 是空间的一个基底，若向量m a c =+，则{},,a b m 也是空间的一个基底D.若直线l 的方向向量为(1,0,3)e = ，平面α的法向量为(2,0,2)n =-，则直线l 与平面α所成角的余弦值为5510.以下四个命题为真命题的是（）A.过点()10,10-且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的4倍的直线的方程为11542y x =-+B.直线()cos 20R x θθ+=∈的倾斜角的范围是π5π0,,π66⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎢⎣⎦⎣⎭C.直线10x y +-=与直线2210x y ++=D.直线()()()1213m x m y m m -+-=-∈R 恒过定点()5,2-11.如图，在多面体ABCDES 中，SA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，且//DE SA ，22SA AB DE ===，,M N 分别是线段,BC SB 的中点，Q 是线段DC 上的一个动点（含端点,D C ），则下列说法正确的是（）A.不存在点Q ，使得NQ SB⊥B.存在点Q ，使得异面直线NQ 与SA 所成的角为60o C.三棱锥Q AMN -体积的最大值是23D.当点Q 自D 向C 处运动时，直线DC 与平面QMN 所成的角逐渐增大第Ⅱ卷（共92分）三、填空题（共3个小题，每小题5分）12.已知()()()1,1,0,0,3,0,2,2,2A B C ，则向量AB 在AC上的投影向量的坐标是______．13.当点()2,1P --到直线l ：()()()131240x y λλλλ+++--=∈R 距离的最大值时，直线l 的一般式方程是______．14.离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P 为多面体Γ的一个顶点，定义多面体Γ在点P 处的离散曲率为()122311112πP k k k Q PQ Q PQ Q PQ Q PQ -∅=-∠+∠++∠+∠ ，其中i Q （1i =，2，……，k ，3k ≥）为多面体Γ的所有与点P 相邻的顶点，且平面12Q PQ ，平面23Q PQ ，…，平面1k k Q PQ -和平面1k Q PQ 为多面体Γ的所有以P 为公共点的面.如图，四棱锥S ABCD -的底面ABCD 是边长为2的菱形，且2AC =，顶点S 在底面的射影O 为AC 的中点.若该四棱锥在S 处的离散曲率13S ∅=，则直线OS 与平面SAB 所成角的正弦值为___________.四、解答题（共5小题，总计77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知直线()():12360m a x a y a -++-+=，:230n x y -+=.（1）若坐标原点O 到直线m ，求a 的值；（2）当0a =时，直线l 过m 与n 的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l 的方程.16.已知ABC V 的顶点()1,2,A AB 边上的中线CM 所在直线的方程为210,x y ABC +-=∠的平分线BH 所在直线的方程为y x =.（1）求直线BC 的方程和点C 的坐标；（2）求ABC V 的面积．17.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，1AB =，2AD =，AC CD ==(1)求证：PD ⊥平面PAB ．(2)在棱PA 上是否存在点M ，使得//BM 平面PCD ？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由．18.已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA a = ，OB b =，则AOB ∠叫做向量a ，b 的夹角，记作,a b <> .定义a 与b 的“向量积”为：a b ⨯是一个向量，它与向量a ，b 都垂直，它的模sin ,a b a b a b ⨯=.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，4DP DA ==，E 为AD 上一点，AD BP ⨯=.（1）求AB 的长；（2）若E 为AD 的中点，求二面角P EB A --的余弦值；19.如图①所示，矩形ABCD 中，1AD =，2AB =，点M 是边CD 的中点，将ADM △沿AM 翻折到PAM △，连接PB ，PC ，得到图②的四棱锥P ABCM -，N 为PB 中点，（1）若平面PAM ⊥平面ABCD ，求直线BC 与平面PMB 所成角的大小；（2）设P AM D --的大小为θ，若π0,2θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，求平面PAM 和平面PBC 夹角余弦值的最小值.哈尔滨市2024-2025学年度上学期十月学业阶段性评价考试高二数学学科考试试卷（考试时间：120分钟满分150分）第Ⅰ卷（共58分）一、单选题（共8小题，每小题5分，每小题只有一个选项符合题意）【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】B二、多选题（共3小题，每小题有多个选项符合题意，全部选对的得6分，部分选对得得部分分，有选错的得0分）【9题答案】【答案】BC【10题答案】【答案】BD【11题答案】【答案】CD第Ⅱ卷（共92分）三、填空题（共3个小题，每小题5分）【12题答案】【答案】111,,663⎛⎫ ⎪⎝⎭【13题答案】【答案】3250x y +-=【14题答案】【答案】1323-四、解答题（共5小题，总计77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）【15题答案】【答案】（1）14a =-或73a =-（2）370x y -=或120x y -+=【16题答案】【答案】（1）2310x y --=，51(,)77，（2）107.【17题答案】【答案】(1)证明见解析；(2)存在，AM AP 的值为14.【18题答案】【答案】（1）2（2）13-【19题答案】【答案】（1）π6；（2）11。
湖南省常德市第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题
湖南省常德市第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．直线3210x y +-=的一个方向向量是（ ） A ．()2,3-B ．()2,3C ．()3,2-D ．()3,22．已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外任意一点，若2156OM OA OB OC λ=++u u u u r u u u r u u u r u u u r，则A ，B ，C ，M 四点共面的充要条件是（） A ．1730λ=B ．1330λ=C ．1730λ=- D ．1330λ=-3．直线l 过圆C ：22650x y y +-+=的圆心，并且与直线20x y ++=垂直，则直线l 的方程为（ ）A ．20x y +-=B ．20x y -+=C ．30x y +-=D ．30x y -+=4．在四面体P ABC 中，P A ，PB ，PC 两两垂直且相等，E 是AB 的中点，则异面直线AC 和PE 所成角为（ ） A ．3π B ．4π C ．23π D ．6π 5．两条平行直线230x y -+=和340ax y -+=间的距离为d ，则a ，d 分别为（ ）A ．6a =，d =B ．6a =-，dC ．6a =-，d =D ．6a =，d =6．已知两点A (3，2)和B (－1，4)到直线mx ＋y ＋3＝0的距离相等，则实数m 的值为（ ）A ．－6或12B ．－12或1C ．－12或12D ．0或127．空间直角坐标系O xyz -中，经过点()000,,P x y z ，且法向量为(),,m A B C =u r的平面方程为()()()0000A x x B y y C z z -+-+-=，经过点()000,,P x y z 且一个方向向量为()(),,0n μυωμυω=≠v的直线l 的方程为000x x y y z z μυω---==，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面α的方程为3570x y z -+-=，经过()0,0,0的直线l 的方程为321x y z==-，则直线l 与平面a 所成角的正弦值为（ ）A B C D 8．已知直线l ：(3)(2)20m x m y m ++---=，点()21A --，，(22)B -，，若直线l 与线段AB 相交，则m 的取值范围为（ ） A ．(4][4)-∞-⋃+∞，， B ．(22)-，C ．3[8]2-， D ．(4)+∞，二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．过11(,)x y ，22(,)x y 两点的直线方程为112121y y x x y y x x --=-- B ．点(0,2)关于直线1y x =+的对称点为(1,1)C ．直线20x y --=与两坐标轴围成的三角形的面积是2D ．经过点(1,1)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-=10．已知()0,2,3A ，()2,1,6B -，()1,1,5C -，()1,2,4P ，则下列说法正确的有（ ）A ．AB u u u r与AC u u u r 夹角的余弦为12B ．ABC V 的面积为C ．平面ABC 的一个法向量()1,1,1n =rD ．四面体P ABC -的体积为7311．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝2，∠BAD ＝60°，将△ABD 沿对角线BD 翻折到△PBD 位置，连结PC ，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）A ．PC 与平面BCD 所成的最大角为45°B ．存在某个位置，使得PB ⊥CDC ．当二面角P ﹣BD ﹣C 的大小为90°时，PC =D ．存在某个位置，使得B 到平面PDC三、填空题12．已知空间向量,,a b c r r r 两两夹角均为60o ，其模均为1，则2a b c +-=r r r .13．已知直线():22l y k x =-+，当k 变化时，点()1,2P -到直线l 的距离的取值范围是. 14．平面直角坐标系上有(1,1),(3,0)A B 两点，直线l 的方程为280x y +-=，直线l 上有一点P ，PA PB +最短，则P 点的坐标为 .四、解答题15．已知(),4,1a x =r ，()2,,1b y =--r ，()3,2,c z =-r ，//a b r r ，b c ⊥r r，求：(1)a r ，b r，c r ；(2)a c +r r 与b c +r r夹角的余弦值.16．已知直线:3260l x y --=.（1）若直线1l 过点()1,2M -，且1l l ⊥，求直线1l 的方程； （2）若直线，且直线2l 与直线l 之间的距离为13，求直线2l 的方程.17．已知ABC V 的顶点()2,8C -，直线AB 的方程为211y x =-+，AC 边上的高BH 所在直线的方程为320x y ++=. (1)求顶点A 和B 的坐标； (2)求ABC V 外接圆的一般方程.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ．2PA AB AD ===，四边形ABCD 满足AB AD ⊥，//BC AD ，4BC =，点M 为PC 中点，点E 为BC 边上的动点（Ⅰ）求证：//DM平面PAB．（Ⅱ）是否存在点E，使得二面角P DE B--的余弦值为23？若存在，求出线段BE的长度；若不存在，说明理由．19．在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB，AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合(如图所示).将矩形折叠，使点A落在线段DC上．（1）若折痕所在直线的斜率为k，试求折痕所在直线的方程;（2）当20k-≤时，求折痕长的最大值．。
广西壮族自治区2024-2025学年高二上学期10月月考试题 数学含答案
2023级“高中”10月高二年级新高考月考测试数学（答案在最后）（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i 为虚数单位，若复数12i1i z +=+，则复数z 的实部为（）A.12-B.39-C.12D.322.若向量)a =是直线l 的一个方向向量，则直线l 的倾斜角为（）A.π6B.π3C.2π3D.5π63.定义运算：a b ad bc c d=-．已知()sin cos180sin 270cos tan60ααα=+，则tan α=（）A.32B.233C.2- D.233-4.已知()3,4A --，()6,3B 两点到直线:10l ax y ++=的距离相等，求a 的值（）A.13B.97-C.13-或79-D.13或79-5.从1984年第23届洛杉矶夏季奥运会到2024年第33届巴黎夏季奥运会，我国获得的夏季奥运会金牌数依次为15、5、16、16、28、32、51、38、26、38、40，这11个数据的60%分位数是（）A.16B.30C.32D.516.关于x 的方程22cos cos cos 02Cx x A B -⋅⋅-=有一根为1，则ABC V 一定是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形7.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AC AB AA ==，120BAC ∠=︒，,,D E F 分别是棱11B C ，BC ，11A C 的中点，则异面直线AD 与EF 所成角的余弦值为（）A.310B.10C.25D.7108.已知函数212()log f x =，则()f x 有（）A.最小值2log 3-B.最大值2log 3-C.最小值32-D.最大值32-二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题的选项中，有多项符合题目要求.（答案有两个选项只选一个对得3分，错选不得分；答案有三个选项只选一个对得2分，只选两个都对得4分，错选不得分）9.在空间直角坐标系Oxyz 中，点(0,0,0)O ，(2,1,1)A --，(3,4,5)B ，下列结论正确的有（）A.AB =B.向量OA 与OB的夹角的余弦值为6-C.点A 关于z 轴的对称点坐标为(2,1,1)---D.向量OA 在OB 上的投影向量为110OB -u u u r 10.（多选）从今年起[]()1,8,N x x x ∈∈年内，小李的年薪y （万元）与年数x 的关系是20.2y x =+，小马的年薪y （万元）与年数x 的关系是0.5 1.2x y =+，则下列判断正确的有（）A.5年后小马的年薪超过小李B.6年后小马的年薪超过小李C.小马的年薪比小李的增长快D.小马的年薪比小李的增长慢11.已知ABC V 内角A B C ､､的对边分别是,2a b c A B =､､，则（）A.()2a b b c =+B.22b a c b+的最小值为3C.若ABC V 为锐角三角形，则()1,2cb∈D.若3a b ==，则3c =三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.过直线30x y +-=和260x y -+=的交点，且与直线3210x y -+=垂直的直线方程是____________．13.已知ABC V 是边长为6的等边三角形，点D 是AB 的中点，点G 是线段CD 上一点，满足15AG AB AC λ=+ ，则GA AC ⋅=__________．14.如图，正方体ABCD EFMN -的棱长为3，在棱AB 上有一动点H ，设直线EH 与平面DEM 所成的角为θ，当105cos 15θ=时，则此时点H 与点D 之间的距离HD =_____________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知直线()21R l y kx k k =-+∈：．（1）若直线l 不经过第二象限，求k 的取值范围．（2）若直线l 与x 轴、y 轴正半轴分别交于A 、B 两点，当△AOB 的面积为92时（O 为坐标原点），求此时相应的直线l 的方程．16.已知函数()1933xx f x a --=-⋅+.（1）若43a =，解不等式()0f x <；（2）若关于x 的方程()0f x =有解，求a 的取值范围.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 是正方形，PD DC =，PD ⊥底面ABCD ，E 是线段PC 的中点，F 在线段PB 上，EF PB ⊥．（1）证明：PB ⊥平面DEF ；（2）G 在线段PB 上，EG 与PA 所成的角为45 ，求平面DEF 与平面DEG 夹角的余弦值．18.在神舟十五号载人飞行任务取得了圆满成功的背景下．某学校高一年级利用高考放假期间组织1200名学生参加线上航天知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题：（1）若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取10人，求10人中成绩不高于50分的人数；（2）求a 的值，并以样本估计总体，估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数；（3）由首轮竞赛成绩确定甲、乙、丙三位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为23，乙复赛获优秀等级的概率为34，丙复赛获优秀等级的概率为12，甲、乙、丙是否获优秀等级互不影响，求三人中至少有两位同学复赛获优秀等级的概率．19.在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin2sin cos cos c B A C A a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）求角B 的大小；（2）点D 是AC 上的一点，ABD CBD ∠=∠，且1BD =，求ABC V 周长的最小值.2023级“高中”10月高二年级新高考月考测试数学（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】B二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题的选项中，有多项符合题目要求.（答案有两个选项只选一个对得3分，错选不得分；答案有三个选项只选一个对得2分，只选两个都对得4分，错选不得分）【9题答案】【答案】BD 【10题答案】【答案】BC 【11题答案】【答案】ABC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】23100x y +-=【13题答案】【答案】725-【14题答案】【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）12k ≥（2）3y x =-+或4213=-+y x 【16题答案】【答案】（1）{10}xx -<<∣（2）,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【17题答案】【答案】（1）证明见解析（2）3【18题答案】【答案】（1）4（2）0.030a =；平均数为71；中位数为2203（3）1724【19题答案】【答案】（1）π3 B ；（2）.。
湖南省长沙市2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题含答案
湖南2024—2025学年意高二第一学期第一次大徐习数学（答案在最后）时量：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知z=，则z=（）A.1i33-B.1i33+ C.12i33- D.12i33+【答案】A【解析】【分析】根据复数的除法运算，即可求出答案.【详解】由题意得11i333z-===-，故选：A2.设集合{}(){}212,ln1A x xB y y x=+≤==+，则A B=（）A.[]0,1B.[]3,0- C.[)3,∞-+ D.[)0,+∞【答案】C【解析】【分析】由绝对值不等式解出集合A，再由对数的单调性得到集合B，最后求并集即可；【详解】由题意可得21231x x-≤+≤⇒-≤≤，所以{}3|1A x x=-≤≤，因为211x+≥，所以()2ln10y x=+≥，所以{}|0B y y=≥，所以[)3,A B=-+∞，故选：C.3.）A.2π B.3πC. D.【答案】B【解析】【分析】设圆锥的底面半径为r，根据轴截面面积求出r，结合圆锥侧面积公式，即可求得答案.【详解】设圆锥的底面半径为r，，母线长为2r，1212r r⨯=∴=，则该圆锥的表面积为2π1π123π⨯+⨯⨯=，故选：B4.若角α满足ππcos()2cos()36αα+=-，则πcos(23α-=（）A.45- B.35- C.45 D.35【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用诱导公式求出t n(aπ6α-，再利用二倍角的余弦公式，结合齐次式法求值.【详解】由ππcos()2cos()36αα+=-，得πππcos[()]2cos()266αα+-=-，即ππsin(2cos()66αα--=-，则πtan(26α-=-所以2222ππcos()sin()ππ66cos(2)cos2()ππ36cos()sin()66αααααα----=-=-+-2222π1tan()1(2)36π1(2)51tan()6αα----===-+-+-.故选：B5.已知平面上三个单位向量,,a b c满足()2ac b=+，则a c⋅=（）A.12B.2C.14D.34【答案】C【解析】【分析】将()2ac b=+平方后求出78a b⋅=-，再根据数量积的运算律，即可求得答案.【详解】由题意知平面上三个单位向量,,a b c满足()2ac b=+，则()2214a bc==+，即22148488a a b b a b +⋅=++=⋅ ，则78a b ⋅=- ，故()2712222284a c a ab a a b =⋅=⋅++⋅=-⨯=，故选：C6.若函数()f x 在定义域[],a b 上的值域为()(),f a f b ⎡⎤⎣⎦，则称()f x 为“Ω函数”．已知函数()25,024,24x x f x x x m x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩是“Ω函数”，则实数m 的取值范围是（）A.[]4,10 B.[]4,14 C.[]10,14 D.[)10,+∞【答案】C 【解析】【分析】根据“Ω函数”的定义确定()25,024,24x x f x x x m x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩的值域为[0,]m ，结合每段上的函数的取值范围列出相应不等式，即可求得答案.【详解】由题意可知()25,024,24x x f x x x m x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩的定义域为[0,4]，又因为函数()25,024,24x x f x x x m x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩是“Ω函数”，故其值域为()()[0,4]f f ；而()()00,4f f m ==，则值域为[0,]m ；当02x ≤≤时，()5[0,10]f x x =∈，当24x <≤时，()24f x x x m =-+，此时函数在(2,4]上单调递增，则()(4,]f x m m ∈-，故由函数()25,024,24x x f x x x m x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩是“Ω函数”可得041010m m ≤-≤⎧⎨≥⎩，解得1014m ≤≤，即实数m 的取值范围是[]10,14，故选：C7.已知,A B 两点的坐标分别为()()0,1,1,0A B ，两条直线1:10l mx y -+=和()2:10l x my m +-=∈R 的交点为P ，则AP BP +的最大值为（）A.2B.C.1D.2【答案】D【解析】【分析】由直线所过定点和两直线垂直得到点P 的轨迹，再设ABP θ∠=，结合辅助角公式求出即可；【详解】由题意可得直线1:10l mx y -+=恒过定点()0,1A ，2:10l x my +-=恒过定点()1,0B ，且两直线的斜率之积为1-，所以两直线相互垂直，所以点P 在以线段AB 为直径的圆上运动，AB =，设ABP θ∠=，则,AP BP θθ==，所以π2sin 4AP BP θθθ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，所以当π4θ=时，即0m =时，AP BP +取得最大值2，此时点P 的坐标为()1,1.故选：D.8.已知点P 在椭圆τ：22221x y a b +=(a>b >0)上，点P 在第一象限，点P 关于原点O 的对称点为A ，点P 关于x 轴的对称点为Q ，设3,4PD PQ →→=直线AD 与椭圆τ的另一个交点为B ，若PA ⊥PB ，则椭圆τ的离心率e =（）A.12B.2C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】设P 的坐标，由题意可得,A Q 的坐标，再由向量的关系求出D 的坐标，求出,AD PA 的斜率，设B 坐标，,P B 在椭圆上，将,P B 的坐标代入椭圆的方程，两式相减所以可得224 PA PB b k k a⋅=-，再由PA PB ⊥可得,a b 的关系，进而求出离心率．【详解】设()11,P x y ，则()()1111,,,A x y Q x y ---，3,4PD PQ →→=，则11,2y D x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设()22,B x y ，则2211222222221 ,1x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得到：()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-=-，2121221212,,PBAD AB y y x x b k k k x x a y y -+==-⋅=-+即()1211211121124 ,4PA y y y y y y k x x x x x x ++===++，,PA PB ⊥故 1PA PBk k ⋅=-，即2241b a -=-，故2234a c =，故3 2e =.故选：C.【点睛】本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力，属于中档题.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若圆()22260x y x y a a +--+=∈R 上至多存在一点，使得该点到直线3450x y ++=的距离为2，则实数a 可能为（）A.5B.6C.7D.8【答案】BCD 【解析】【分析】根据圆的方程确定圆心和半径以及10a <，再结合题意列出相应不等式，即可求得答案.【详解】圆()22260x y x y a a +--+=∈R 即圆()()()221310x y a a -+-=-∈R ,需满足10a <，则圆心为()1,3圆心()1,3到直线3450x y ++=的距离为312545d ++==，要使圆()22260x y x y a a +--+=∈R 上至多存在一点，使得该点到直线3450x y ++=的距离为2，需满足42≥，解得610a ≤<，结合选项可知6，7，8符合题意，故选：BCD10.已知函数()f x 的定义域为(),1f x -R 为偶函数，()1f x +为奇函数，则下列选项正确的是（）A.()f x 的图象关于直线1x =-对称B.()f x 的图象关于点()1,0对称C.()31f -=D.()f x 的一个周期为8【答案】ABD 【解析】【分析】根据函数的奇偶性可推出函数的对称性，判断AB ；利用赋值法求出()1f 的值，结合对称性可求()3f ，判断C ；结合函数奇偶性、对称性可推出函数的周期，判断D.【详解】由于函数()f x 的定义域为(),1f x -R 为偶函数，则()()11f x f x --=-，即()()2f x f x --=，则()f x 的图象关于直线1x =-对称，A 正确；又()1f x +为奇函数，则()()11f x f x -+=-+，即()()2f x f x -+=-，故()f x 的图象关于点()1,0对称，B 正确；由于()()11f x f x -+=-+，令0x =，则()()()11,10f f f =-∴=，又()f x 的图象关于直线1x =-对称，故()()310f f -==，C 错误；又()()2f x f x --=，()()2f x f x -+=-，则()()22f x f x --=--+，故()()22f x f x -=-+，即()()4f x f x +=-，则()()8f x f x +=，即()f x 的一个周期为8，D 正确，故选：ABD11.在棱长均为1的三棱柱111ABC A B C -中，1160A AB A AC BAC ∠=∠=∠=，点T 满足1AT xAB y AC z AA =++，其中[],,0,1x y z ∈，则下列说法一定正确的有（）A.当点T 为三角形111A B C 的重心时，2x y z ++=B.当1x y z ++=时，AT 的最小值为3C.当点T 在平面11BB C C 内时，x y z ++的最大值为2D.当1x y +=时，点T 到1AA 的距离的最小值为2【答案】BCD 【解析】【分析】将AT 用1,,AB AC AA 表示，再结合1AT xAB y AC z AA =++ 求出,,x y z ，即可判断A ；将AT平方，将()1z x y =-+代入，再结合基本不等式即可判断B ；当点T 在平面11BB C C 内时，则存在唯一实数对(),λμ使得()11BT BB BC BB AC AB λμλμ=+=+- ，再根据1AT xAB y AC z AA =++ ，求出,,x y z ，再根据[],,0,1x y z ∈即可判断C ；求出AT 在1AA方向上的投影，再利用勾股定理结合基本不等式即可判断D.【详解】对于A ，当点T 为三角形111A B C 的重心时，()()11111211323AT A B A C AB AC =⨯+=+，所以1111133A AA A T AB AC A T A =++=+ ，又因为1AT xAB y AC z AA =++ ，所以1,13x y z ===，所以53x y z ++=，故A 错误；对于B ，2222211221222xy AB AC xz AB AA yz AC AA AT x AB y AC z AA +⋅+⋅+++⋅=+222x y z xy xz yz =+++++()()()21x y z xy xz yz xy xz yz =++-++=-++，因为1x y z ++=，所以()1z x y =-+，则()()()1xy xz yz xy x y z xy x y x y ⎡⎤++=++=++-+⎣⎦()()()()()2224x y xy x y x y x y x y +=++-+≤++-+()()223321144333x y x y x y ⎛⎫=-+++=-+-+≤ ⎪⎝⎭，当且仅当23x y +=时取等号，所以()2121133AT xy xz yz =-++≥-= ，所以3AT ≥，所以AT 的最小值为63，故B 正确；对于C ，当点T 在平面11BB C C 内时，则存在唯一实数对(),λμ使得()11BT BB BC BB AC AB λμλμ=+=+-，则()11AT AB BT AB AC AA μμλ=+=-++ ，又因为1AT xAB y AC z AA =++ ，所以1,,x y z μμλ=-==，所以11x y z μμλλ++=-++=+，因为[]0,1z λ=∈，所以[]11,2λ+∈，所以x y z ++的最大值为2，故C 正确；对于D ，当1x y +=时，由A 选项知，()()22222221AT x y z xy xz yz x y z xy x y z z xy z =+++++=++-++=+-+ ，AT 在1AA 方向上的投影为111111AT AA xAB AA y AC AA z AA AA AA ⋅=⋅+⋅+⋅111222x y z z =++=+，所以点T 到1AA的距离d ==因为()2144x y xy +≤=，所以2d =≥=，当且仅当12x y ==时，取等号，所以点T 到1AA的距离的最小值为2，故D 正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：当点T 在平面11BB C C 内时，则存在唯一实数对(),λμ使得()11BT BB BC BB AC AB λμλμ=+=+- ，再根据1AT xAB y AC z AA =++，求出,,x y z ，是解决C选项的关键.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知随机事件,A B 满足()()()111,,342P A P B P A B ==+=，则()P AB =____________．【答案】112【解析】【分析】根据随机事件的和事件的概率计算公式，即可求得答案.【详解】由题意可知()()()111,,342P A P B P A B ==+=，故()()()()P A B P A P B P AB +=+-,则()()()()111134212P AB P A P B P A B =+-+=+-=，故答案为：11213.已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为积为__________．【答案】100π【解析】【分析】分别求得上下底面所在平面截球所得圆的半径，找到球心，求得半径，再由球的表面积公式可得结果．【详解】由题意设三棱台为111ABC A B C -，如图，上底面111A B C所在平面截球所得圆的半径是112332O A =⨯⨯，1(O 为上底面截面圆的圆心)下底面222A B C所在平面截球所得圆的半径是2223432O A =⨯⨯，2(O 为下底面截面圆的圆心)由正三棱台的性质可知，其外接球的球心O 在直线12O O 上，当O 在线段12O O1=，无解；当O 在12O O1=，解得225R =，因此球的表面积是24π4π25100πS R ==⨯=．故答案为：100π14.已知2024是不等式()22log 2321log x x a a+->+的最小整数解，则a 的取值范围为____________．【答案】2021202222a ≤<【解析】【分析】结合分式不等式和对数函数与指数函数互换的性质变形不等式，再分21log a +大于零和小于零时分类讨论即可；【详解】由题意可得012230xa a a >⎧⎪⎪≠⎨⎪->⎪⎩，变形不等式可得()()222222223log 2log 2321log 01log 1log 1log xx a x x a a a a a a-+-+-+-=>+++，当211log 02a a +>⇒>时，有2223log 20x a x a-+->，由指数函数和对数函数的互化并整理可得2223240x x a a -⋅->，即()()2420xxaa -+>，解得24x a >或2x a <-（舍去），从而2log 4x a >，又12a >时2log 41a >，所以要使2024是不等式()22log 2321log x x aa+->+的最小整数解，有22023log42024a ≤<，解得2021202222a ≤<，所以2021202222a ≤<，当211log 002a a +<⇒<<时，注意到20242024323212a ->->，此时，不等式的分子大于零，不符合题意，综上，a 的取值范围为2021202222a ≤<.故答案为：2021202222a ≤<.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c ，将该指标大于c 的人判定为阳性，小于或等于c 的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为()p c ；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为()q c ．假设数据在组内均匀分布．（1）当漏诊率()0.5%p c =时，求临界值c 和误诊率()q c ；（2）已知一次调查抽取的未患病者样本容量为100，且该项医学指标检查完全符合上面频率分布直方图（图2），临界值99c =，从样本中该医学指标在[]95,105上的未患病者中随机抽取2人，则2人中恰有一人为被误诊者的概率是多少？【答案】（1）97.5c =，() 3.5%q c =（2）815【解析】【分析】（1）由图1，根据漏诊率()0.5%p c =列式求出c ，再由图2求出误诊率()q c ；（2）根据图2求出100个未患病者中，该项医学指标在[]95,105中的人数以及被误诊者的人数，再利用列举法和古典概型的概率公式可求出结果.【小问1详解】依题可知，图1第一个小矩形的面积为50.0020.5%⨯>，所以95100c <<，所以()950.0020.5%c -⨯=，解得97.5c =，()()0.0110097.550.0020.035 3.5%q c =⨯-+⨯==．【小问2详解】由题可知，100个未患病者中，该项医学指标在[]95,105中的有100(0.0100.002)56⨯+⨯=人，其中被误诊者有100(10099)0.0110050.0022⨯-⨯+⨯⨯=人，记随机抽取的2人恰有一人为被误诊者为事件A ．分别用a ，b ，c ，d ，E ，F 表示这6人，E ，F 代表被误诊的2人，样本空间{},,,,,,,,,,,,,,ab ac ad aE aF bc bd bE bF cd cE cF dE dF EF Ω=，事件{},,,,,,,A aE aF bE bF cE cF dE dF =，故()15n Ω=，()8n A =，()()()815n A P A n ==Ω，故2人中恰有一人为被误诊者的概率是815．16.已知圆22:80C x y y +-=，过点()2,2P 的直线l 与圆C 交于,A B 两点，点M 满足2OM OA OB =+，其中O 为坐标原点．（1）求点M 的轨迹方程；（2）若CMP !的面积为2，求AB ．【答案】（1）()()22132x y -+-=（2）【解析】【分析】（1）设s ，求出圆心坐标，利用CM MP ⊥的数量积为零求出轨迹方程即可；（2）设圆心到直线的距离为d ，由三角形面积公式求出2d ，再利用弦长公式求解即可；【小问1详解】由2OM OA OB =+可得点M 为线段AB 的中点，设s ，圆方程化为标准方程为()22416x y +-=，所以圆心()0,4C ，半径4r=，所以()(),4,2,2CM x y MP x y =-=--，因为CM MP ⊥，所以()(),42,20x y x y -⋅--=，整理可得()()22132x y -+-=，所以点M 的轨迹方程为()()22132x y -+-=，【小问2详解】设圆心到直线的距离为d ，因为M 为AB 的中点，且CM AB ⊥，CMP !的面积为2，CP =所以122d =，即4d =，解得24d =，由弦长公式可得AB ===17.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD是矩形，PA PD ==，PB PC ==90APB CPD ∠=∠=︒，点M ，N 分别是棱BC ，PD 的中点.（1）求证：//MN 平面PAB ；（2）若平面PAB ⊥平面PCD ，求直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）69【解析】【分析】（1）取PA 的中点为Q ，连接NQ ，BQ ，由平面几何知识可得//NQ BM 且NQ BM =，进而可得//MN BQ ，由线面平行的判定即可得证；（2）过点P 作PE AB ⊥交AB 于点E ，作PF CD ⊥交CD 于点F ，连接EF ，取EF 的中点为O ，连接OP ，建立空间直角坐标系后，求出平面PCD 的一个法向量为n 、直线MN 的方向向量MN，利用sin cos n MN n MN n MNθ⋅=⋅=⋅即可得解.【详解】（1）证明：取PA 的中点为Q ，连接NQ ，BQ ，如图：又点N 是PD 的中点，则//NQ AD 且12NQ AD =，又点M 是BC 的中点，底面ABCD 是矩形，则12BM AD =且//BM AD ，∴//NQ BM 且NQ BM =，∴四边形MNQB 是平行四边形，∴//MN BQ ，又MN ⊄平面PAB ，BQ ⊂平面PAB ，∴//MN 平面PAB ；（2）过点P 作PE AB ⊥交AB 于点E ，作PF CD ⊥交CD 于点F ，连接EF ，则PF AB ⊥，PE PF P = ，∴AB ⊥平面PEF ，又AB ⊂平面ABCD ，∴平面PEF ⊥平面ABCD ，∵3PA PD ==，6PB PC ==90APB CPD ∠=∠=︒，∴3AB CD ==，2PE PF ==2BE CF ==，1AE DF ==.设平面PAB ⋂平面PCD l =，可知////l CD AB ，∵平面PAB ⊥平面PCD ，∴90EPF ∠=︒，∴2EF =，取EF 的中点为O ，连接OP 、OM ，则OP ⊥平面ABCD ，1OP =，∴OM 、OF 、OP 两两垂直，以O 为坐标原点，分别以OM ，OF ，OP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系,O xyz -，如图所示，则()0,0,1P ，()2,1,0C ，()1,1,0D -，()2,0,0M ，111,,222N ⎛⎫-⎪⎝⎭，∴()2,1,1PC =- ，()1,1,1PD =--，511,,222MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设平面PCD 的一个法向量为(),,n x y z =，则由020n PD x y z n PC x y z ⎧⋅=-+-=⎨⋅=+-=⎩ ，令1y =可得()0,1,1n =r .设直线MN 与平面PCD 所成角为θ，则6sin cos 9n MN n MN n MNθ⋅=⋅===⋅∴直线MN 与平面PCD所成角的正弦值为9.【点睛】本题考查了线面平行的判定及利用空间向量求线面角，考查了空间思维能力与运算求解能力，属于中档题.18.已知P是椭圆C ：22221x y a b+=(a >b >0)上一点，以点P 及椭圆的左、右焦点F 1，F 2为顶点的三角形面积为2（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过F 2作斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，M 是l 1与C 两交点的中点，N 是l 2与C 两交点的中点，求△MNF 2面积的最大值．【答案】（1）22184x y +=；（2）49﹒【解析】【分析】(1)由椭圆过的点的坐标及三角形的面积可得a ，b ，c 之间的关系，求出a ，b 的值，进而求出椭圆的标准方程；(2)由题意设直线1l 的方程，与椭圆联立求出两根之和，进而求出交点的中点M 的纵坐标，同理求出N 的纵坐标，进而求出2MNF 面积的表达式，换元由函数的单调性求出其最大值．【小问1详解】由题意可得22222231122a b c c a b ⎧+=⎪⎪⎪⋅=⎨⎪=-⎪⎪⎩，解得：28a =，24b =，∴椭圆的标准方程为：22184x y +=；【小问2详解】由(1)可得右焦点2(2,0)F ，由题意设直线1l 的方程为：2x my =+，设直线与椭圆的交点1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，则中点M 的纵坐标为122M y y y +=，联立直线1l 与椭圆的方程222184x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理可得：22(2)480m y my ++-=，12242m y y m -+=+，∴222Mmy m -=+，同理可得直线2l 与椭圆的交点的纵坐标2212()21122()N m m y m m-⋅-==++-，∴2221|||||||2MNF M N S MF NF y y =⋅=⋅△22422222(1)2(1)||||2522(1)m m m m m m m m ++==++++222||121m mm m =+⋅++，设0m >，令212m t m+=，则2212MNF S t t=+△，令1()2f t t t =+，2t ，21()2f t t '=-，2t ，()0f t '>恒成立，∴()f t 在[2，)+∞单调递增，∴22241192222MNF S t t ==+⨯+△．∴2MNF 面积的最大值为：49．19.基本不等式是最基本的重要不等式之一，二元基本不等式为122a a +≥．由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法．基本不等式可以推广到一般的情形：对于n 个正数12,,...,n a a a ，它们的算术平均数121...1nn n i i a a a A a n n =+++==∑（注：121...nin i aa a a ==+++∑）不小于它们的几何平均数()11121...nnnn ni i G a a a a =⎛⎫== ⎪⎝⎭∏（注：121...ni n i a a a a ==∏），即)12...n n n a a a A G n+++≥≥，当且仅当12...n a a a ===时，等号成立．（1）已知0x y >>，求()1x y x y +-的最小值；（2）已知12,,...,0n a a a >且12...1n a a a +++=．（ⅰ）求证：()()2221111nnniii i a na==-≥-∏∏；（ⅱ）当2024n ≥，求3111nii i i a n a a =++-∑的最小值，其中11n a a +=．【答案】（1）3（2）（ⅰ）证明见解析（ⅱ）421n n -【解析】【分析】（1）直接使用均值不等式即可证明()13x y x y +≥-，再构造取到等号的例子即可；（2）（ⅰ）使用适当的1n +元和1n -元均值不等式，再将所得结果相乘即可；（ⅱ）先研究函数()()()ln 1ln 1f x x x =---+的性质，再利用相应性质得到结果.【小问1详解】由均值不等式得()()()1133x y x y y x y y x y +=+-+≥⋅--.而当2x =，1y =时，有0x y >>，()112321x y x y +=+=--.所以()1x y x y +-的最小值是3.【小问2详解】（ⅰ）由于12,,...,0n a a a >，12...1n a a a +++=，故对1,2,...,i n =，由均值不等式有()()11121112111......1......n i i i i i n i i i i n a a a a a a a a n a a a a a a a +-+-++=++++++++≥+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，()()11121112111......1......n i i i n i i n a a a a a a n a a a a a --+-+-=++++++≥-⋅⋅⋅⋅⋅⋅.将二者相乘，得()()2222211121111......nn nii i nia n a a a a a a+--+-≥-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅.再将该不等式对1,2,...,i n =相乘，即得()()()()()22212112222211111111n n n nn n n n nnn i i i i i i i i a n a n a n a -⋅++-====⎛⎫⎛⎫-≥-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∏∏∏∏.（ⅱ）对01x <<，设()()()ln 1ln 1f x x x =---+.则()1111f x x x'=--+，()()()2211011f x x x ''=+>-+.对01a b <<<，设()()()()()h u f u f b u b f b '=---，01u <<.则()()()h u f u f b '''=-，()()0h u f u ''''=>，所以()h u '在()0,1上递增.所以对0u b <<有()()()0h u f u f b '''=-<，对1b u <<有()()()0h u f u f b '''=->.这表明()h u 在()0,b 上递减，在(),1b 上递增，所以由a b ≠有()()()()()()0f a f b a b f b h a h b '---=>=.这就得到()()()()0f a f b a b f b '--->，同理有()()()()0f b f a b a f a '--->，即()()()()0f a f b a b f a '---<.再设()()()()()()11g t tf a t f b f ta t b =+--+-，01t ≤≤.则()()()()()()1g t f a f b a b f ta t b ''=---+-，()()()()210g t a b f ta t b ''''=--+-<.所以()g t '在[]0,1上递减.而()()()()()00g f a f b a b f b ''=--->，()()()()()10g f a f b a b f a ''=---<.所以一定存在01η<<，使得对0t η<<有()0g t '>，对1t η<<有()0g t '<.故()g t 在[]0,η上递增，在[],1η上递减，而()()010g g ==，结合()g t 的单调性，知对任意01t <<有()0g t >.特别地，有102g ⎛⎫>⎪⎝⎭，即()()022f a f b a b f ++⎛⎫-> ⎪⎝⎭，此即()()22f a f b a b f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭.对01b a <<<，同理有()()22f a f b a b f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭.而对01a b <=<，显然有()()22f a f b a b f ++⎛⎫= ⎪⎝⎭.综上，对任意(),0,1a b ∈，有()()22f a f b a b f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭.先证明一个引理：设()12,,...,0,1n a a a ∈，则()()()1212......n nf a f a f a a a a f nn ++++++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭.用数学归纳法证明.①当1n =时，结论显然成立.②若结论对n k =成立，则对()122,,...,0,1k a a a ∈，有()()()()()()()()()12212122.........222k k k k k f a f a f a f a f a f a f a f a f a k k k+++++++++++=+1212212122 (1)11222k k k k kk k k a a a a a a a a a a a a f f f f k k k k ++++++++++⎛++++++⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1212212122............22k k k kk k k k a a a a a a a a a a a a k k f f k ++++++++++⎛⎫+ ⎪+++++++⎛⎫≥=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭.从而结论对2n k =也成立.结合①②，可知原结论对无穷多个正整数n 成立.③若结论对1n k =+成立，则对()12,,...,0,1k a a a ∈，有()()()()()()12121212 (1)kk k k a a a f a f a f a f f a f a f a a a a k f k kk k +++⎛⎫++++ ⎪++++++⎛⎫⎝⎭=- ⎪⎝⎭()()()121212.........111k k k a a a f a f a f a f a a a k k f k k k k +++⎛⎫++++ ⎪++++⎛⎫⎝⎭≥⋅ ⎪+⎝⎭1221212.........111k k k k k a a a a a a a a a k k f f k k k k +++++⎛⎫++++ ⎪++++⎛⎫≥⋅-⎪ ⎪+⎝⎭⎪⎝⎭121212 (1)1k kka a a a a a a a a k f f f k k k k k ++++++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.从而结论对n k =也成立.由于原结论对无穷多个正整数n 成立，再结合③，即知原结论对任意的正整数n 成立.引理证毕，回到原题.由于我们有()()()21ln 1ln 1ln1f x x x x =---+=-，故1211111ln 122223332111111111e 1nn i i n n nna nnni i i i i i i i i i i i i i a a a n n n n n a a a a a a a =⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭====++++∏⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥===⋅ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∏∏∏()221111ln1111114ln11222222221eeeee111n nni i k i k k f a f a f n n n a n n n n n n n n n n n ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑=⋅=⋅≥⋅=⋅=⋅=⋅=-⎛⎫- ⎪⎝⎭.而当121...n a a a n ====时，有2343222111113111111nnni i i i i i a n n n nn n n n a a n n n n n===++===⋅=-----∑∑∑.所以3111ni i i i a n a a =++-∑的最小值是421nn -.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对全新知识和工具的运用，适当运用工具方可解决问题.。
江苏省盐城市东台市第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题(含答案)
2024年秋东台市第一中学高二年级月考一数学试题（考试时间120分钟 总分150分）命题人：审题人：第Ⅰ卷（选择题 共58分）一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请在答题纸的指定位置填涂答案选项．）1．经过，两点的直线的倾斜角是（ ）A ．B ．C ．D ．2．过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（ ）A ．B ．C ．D ．3．设为实数，若直线与圆相切，则点与圆的位置关系是（ ）A ．在圆外B ．在圆上C ．在圆内D ．不能确定4．已知圆，圆，则两圆的公切线有（ ）A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条5．若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的范围是（ ）A ．B ．C ．D ．6．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事体。
”事实上，有很多代数问题可以转化可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最小值为（ ）A ．B ．CD ．7．已知两点，，若直线上存在点满足，则实数的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．8．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，为切点，则直线经过定点（）()1,3A -()1,1B -45︒60︒90︒135︒30xy +-=260x y -+=230x y +-=4290x y +-=290xy -+=290x y +-=4290x y -+=,a b 1ax by +=221x y +=(),P a b 221:1C x y +=()()222:3449C x y -+-=:l y kx =-2360x y +-=l ππ,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭(),M x y (),N a b y =+3()1,0M -()1,0N 0x y m -+=P 0PM PN ⋅=m (][),22,-∞-+∞ (),-∞+∞[]2,2-⎡⎣22:1C x y +=P 240x y +-=P C ,PA PB ,A B ABA ．B ．C ．D ．二、多项选择题：（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．直线经过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．下列说法不正确的是（）A ．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率B．不经过原点的直线都可以用方程表示C ．“直线与直线互相垂直”是“”的充分不必要条件D ．直线的倾斜角的取值范围是11．设直线与圆，则下列结论正确的为（）A ．可能将的周长平分B ．若直线与圆相切，则C ．当时，圆上有且仅有2个点到直线的距离都等于1D ．若直线与圆交于两点，则面积的最大值为2第Ⅱ卷（非选择题 共92分）三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，计15分．不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上．）12．已知，则P 点关于直线的对称点的坐标为______．13．两条平行直线和间的距离为，则的值分别为______．14．已知圆，从点向圆作两条切线，切点分别为，，若，则点的轨迹方程为______；点到直线的最大距离为______．四、解答题：（本大题共5小题，共77分，请在答题纸指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分13分）已知的三个顶点为，，．（1）求边上的高的直线方程；11,42⎛⎫⎪⎝⎭11,24⎛⎫⎪⎝⎭⎫⎪⎪⎭⎛⎝l ()3,2-l 230x y +=320x y +=50x y --=10x y +-=1x ya b+=210a x y -+=20x ay --=1a =-sin 20x y α++=θπ3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭():4l y kx k =+∈R 22:4C x y +=l C l C k =1k =C l l C ,A B ABC △()2,1P :30l x y -+=Q 230x y -+=340ax y +-=d d ()()2200:4M x x y y -+-=()3,4N M ,NP NQ P Q π3PNQ ∠=M M 34250x y ++=ABC △()4,0A ()2,3B ()4,6C BC AD（2）求过点且与两点距离相等的直线方程．16．（本小题满分15分）已知圆的圆心在轴上，且经过点，．（1）求圆的标准方程；（2）过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程．17．已知圆．（1）若满足，求的取值范围；（2）若直线与圆交于不同的两点，当为锐角时，求的取值范围；18．（本小题满分17分）已知直线恒过点，且与轴，轴分别交于两点，为坐标原点．（1）求点的坐标；（2）当点到直线的距离最大时，求直线的方程；（3）当取得最小值时，求的面积．19．（本小题满分17分）．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现；平面内到两个定点的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，．点满足，设点所构成的曲线为．（1）求点的轨迹方程；（2）若，求点的轨迹的方程；（3）过作两条互相垂直的直线，与点的轨迹分别交于和四点，求四边形面积的最大值．B AC 、C x ()1,0A -()1,2B C ()0,2P l C ,M N MN =l 22:2O x y +=,x y 222x y +=2y x+:2l y kx =-O ,A B AOB ∠k :20l ax y a -+-=P x y ,A B O P O l l PA PB ⋅AOB △A B 、λ0λ>1λ≠xOy ()1,0A ()2,0B -P 12PA PB=P 1C P PA AQ =Q 2C A 1l 2l Q 2C M N 、P Q 、MPNQ2024年秋东台市第一中学高二年级月考一数学答案第Ⅰ卷（选择题 共58分）一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．）题号12345678答案CBBADADA二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分．）题号91011答案ACABCBCD第Ⅱ卷（非选择题 共92分）三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，计15分）．12．1314．；14四、解答题：15．（本小题满分13分）．【解析】（1）由点的坐标，得直线的斜率，由，得直线的斜率，由点斜式方程得直线的方程为，整理得，所以边上的高的直线方程为．（2）由点的坐标，得线段的中点坐标为，①到直线的距离相等，而直线轴，于是直线的方程为；②到与直线平行的直线的距离也相等，而直线轴，此时所求直线方程为，所以过点且与距离相等的直线方程为和．16．（本小题满分15分）．【解析】（1）设的中点为，则，由圆的性质得，所以，得，()2,5-()()223416x y -+-=B C 、BC 633422BC k -==-AD BC ⊥AD 123AD BC k k =-=-AD ()2043y x -=--2380x y +-=BC AD 2380x y +-=A C 、AC E ()4,3,A C BE BE y ⊥BE 3y =,A C AC AC x ⊥2x =B ,A C 2x =3y =AB D ()0,1D CD AB ⊥1CD AB K K ⨯=-1CD K =-所以线段的垂直平分线方程是．设圆的标准方程为，其中，半径为，由圆的性质，圆心在直线上，化简得，所以圆心，，所以圆的标准方程为；（2）由（1）设为中点，则，得，圆心到直线的距离，①当直线的斜率不存在时，的方程，此时，符合题意；②当直线的斜率存在时，设的方程，即，由题意得；故直线的方程为，即；综上直线的方程为或．17．（本小题满分15分）【解析】（1），令，即直线与圆有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径解得或．即（2）设的坐标分别为，，将直线代入，整理，得，，，，即，当为锐角时，AB 10x y +-=C ()222x a y r -+=(),0C a ()0r r >(),0C a CD 1a =()1,0C 2r CA ==C ()2214x y -+=F MN CF l ⊥FM FN ==C l 1d CF ===l l 0x =1CF =l l 2y kx =+20kx y -+=d 34k =-l 324y x =-+3480x y +-=l 0x =3480x y +-=22:2O x y +=2y k x+=:20l kx y --= l O ∴()0,0O l r =d =≤1k ≤-1k ≥][()2,11,y x+∈-∞-+∞ ,A B ()11,x y ()22,x y :2l y kx =-222x y +=()221420k x kx +-+=12241k x x k ∴+=+12221x x k =+()()224810k k ∆=--+>21k >AOB ∠()()1212121222OA OB x x y y x x kx kx ⋅=+=+--，解得，又，或．故的取值范围为．（用几何法同样得分）18．（本小题满分17分）【解析】（1）直线，整理可得：，可得直线恒过；（2）要使点到直线的距离最大，则，可得，即到直线的距离两边平方可得：，整理得，所以，所以，即．（3）由题意，直线的截距均不为0，由题意和（1）可得，，且、，因为，所以，，所以，仅当时等号成立，所以时取最小值，当，则，，此时的面积为；当，则，，此时的面积为；()()22121226212401k kx x k x x k-=+-++=>+23k <21k >1k <<-1k <<k ()(1- :20l ax y a -+-=()120a x y --+=()1,2P O l OP l ⊥OP ==O l d 224451a a a -+=+()22441210a a a ++=+=12a =-15022x y --+=250x y +-=2,0a A a -⎛⎫⎪⎝⎭()0,2B a -0a ≠2a ≠()1,2P PA ==PB ==124PA PB a a ⎛⎫⋅==+≥ ⎪ ⎪⎝⎭1a =±1a =±PA PB ⋅1a =()1,0A -()0,1B AOB △121a =-()3,0A ()0,3B AOB △92所以的面积为或．19．（本小题满分17分）【解析】（1）设点，化简可得．（2）设点，，由（1）点满足方程：即 代入上式消去可得的轨迹方程为．（3）设圆心到直线，的距离分别为，则当且仅当时，等号成立因此，四边形面积的最大值为7．AOB △1292(),P x y =()2224x y -+=(),Q x y ()00,P x y P ()202024x y -+=PA AQ= ()()001,1,x y x y ∴--=-0011x x y y-=-⎧⎨-=⎩002x xy y=-⎧∴⎨=-⎩Q 224x y +=O 1l 2l 12,d d 222121d d OA +==12S MN PQ =⋅==()()()22121222448817d d d d ≤-+-=-+=-=12d d =MPNQ。
北京市海淀区2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题含答案
2024-2025学年度第一学期高二数学10月月考（答案在最后）（2024.10）班级______姓名______学号______一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1.已知点()3,1,2P --，则点P 关于z 轴的对称点的坐标为（）A.()3,1,2- B.()3,1,2- C.()3,1,2--- D.()3,1,2--【答案】D 【解析】【分析】关于z 轴对称，则z 坐标值不变，,x y 坐标变为互为相反数即可.【详解】解：因为关于z 轴对称，则z 坐标值不变，,x y 坐标变为互为相反数所以，点P 关于z 轴的对称点的坐标为()3,1,2--故选：D.2.已知向量()1,2,1a =- ，()3,,b x y =- ，且a b ∥，那么b = （）A. B.6C.9D.18【答案】A 【解析】【分析】根据空间向量共线的充要条件求出,x y 的值，然后代入模的计算公式即可求解.【详解】因为a b ∥，且向量()1,2,1a =- ，()3,,b x y =- ，所以3121x y-==-，解得：6,3x y ==，所以b == ，故选：A.3.如图，在三棱锥O －ABC 中，D 是BC 的中点，若OA a = ，OB b = ，OC c = ，则AD等于（）A.a b c-++ B.a b c-+-C.1122a b c-++ D.1122a b c--- 【答案】C 【解析】【分析】利用空间向量的线性运算计算即可.【详解】因为D 为BC 的中点，所以()12AD AB AC =+，又,AB OB OA AC OC OA =-=- ，所以()()1111122222AD OB OA OC OA OA OB OC a b c ⎡⎤=-+-=-++=-++⎣⎦ ．故选:C ．4.已知正四棱锥S ABCD -，底面边长是2，体积是433，那么这个四棱锥的侧棱长为（）A.3B.2C.5D.22【答案】C 【解析】【分析】设正四棱锥的高为h ，由体积是33，求出3h =.利用勾股定理求出侧棱长.【详解】因为正四棱锥S ABCD -，底面边长是2，所以底面积为224⨯=.设正四棱锥的高为h ，由31433V h =⨯=，所以3h =.所以侧棱长为()222325l h =+=+=.5.故选：C5.如图，在三棱锥D ABC -中，AC BD =，且AC BD ⊥，E ，F 分别是棱DC ，AB 的中点，则EF 和AC 所成的角等于A .30°B.45°C.60°D.90°【答案】B 【解析】【分析】取BC 的中点G ，连接FG 、EG ，则EFG ∠为EF 与AC 所成的角．解EFG ．【详解】如图所示，取BC 的中点G ，连接FG ，EG ．E ，F 分别是CD ，AB 的中点，FG AC ，EG BD ∥，且12FG AC =，12EG BD =．EFG ∴∠为EF 与AC 所成的角．又AC BD = ，FG EG ∴=．又AC BD ⊥ ，FG EG ∴⊥，90FGE ∴∠=︒，EFG ∴△为等腰直角三角形，45EFG ∴∠=︒，即EF 与AC 所成的角为45°．故选：B ．【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，找角证角求角，主要是通过平移将空间角转化为平面角，再解三角形，属于基础题．6.已知,m n 是两条不重合的直线，α，β，γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若,,m m αβ⊥⊥则//αβ；②若,,αγβγ⊥⊥则//αβ；③若,,//,m n m n αβ⊂⊂则//αβ；④若,m n 是异面直线，,//,,//,m m n n αββα⊂⊂则//αβ．其中真命题是（）A.①和②B.①和③C.③和④D.①和④【答案】D 【解析】【分析】由题意逐一考查所给命题的真假即可确定真命题的编号.【详解】逐一考查所给的命题：①由线面垂直的性质定理可得若,,m m αβ⊥⊥则v/，该命题正确；②如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中，取平面,,αβγ分别为平面1111,,ABB A ADD A ABCD ，满足,,αγβγ⊥⊥但是不满足v/，该命题错误；③如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中，取平面,αβ分别为平面1111,ABB A ADD A ，直线,m n 分别为11BB ,DD ，满足,,//,m n m n αβ⊂⊂但是不满足v/，该命题错误；④若,m n 是异面直线，,//,,//,m m n n αββα⊂⊂由面面平行的性质定理易知v/，该命题正确；综上可得，真命题是①和④本题选择D 选项.【点睛】本题考查了空间几何体的线面位置关系判定与证明：（1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线；（2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键.7.在正方体1111ABCD A B C D -中，直线l 是底面ABCD 所在平面内的一条动直线，记直线1AC 与直线l 所成的角为α，则sin α的最小值是（）A.3B.12C.2D.63【答案】A 【解析】【分析】过C 作l 的平行线，过1A 作该平行线的垂线，垂足为P ，则1ACP α∠=，11||sin ||A P A C α=，根据11||||A P A A ≥可求出结果.【详解】如图：过C 作l 的平行线，过1A 作该平行线的垂线，垂足为P，则1ACP α∠=，所以11||sin ||A P A C α=，设正方体的棱长为1，则1||A C =，11||||1A P A A ≥=，所以11||sin ||A P A C α=≥3=,当且仅当P 与A 重合时，取得等号，所以sin α的最小值是3.故选：A .8.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，11145,60AA BAA DAA BAD ∠∠∠====，则1AC =uuu r（）A.1B.C.9D.3【答案】D 【解析】【分析】根据图形，利用向量的加法法则得到11AC AB AD AA =++，再利用1AC =求1AC uuu r的模长.【详解】在平行六面体1111ABCD A B C D -中，有AC AB AD =+ ，111AC AC AA AB AD AA =+=++，由题知，1AB AD ==，1AA =，1145BAA DAA ∠∠== ，60BAD ∠= ，所以1AB AD == ，1AA = ，AB 与AD的夹角为60BAD ∠=︒，AB 与1AA的夹角为145BAA ∠=︒，AD 与1AA 的夹角为145A AD ∠=︒，所以21AC ()21AB AD AA =++ 222111222AB AD AA AB AD AB AA AD AA =+++⋅+⋅+⋅112211cos 6021cos 4521cos 45=+++⨯⨯⨯︒+⨯︒+⨯︒9=.所以13AC = .故选：D.9.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，13,4,AB BC CC E ===为棱11B C 的中点，P 为四边形11BCC B内（含边界）的一个动点.且DP BE ⊥，则动点P 的轨迹长度为（）A.5B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】利用正方体性质以及线面垂直判定定理可证明BE ⊥平面DCF ，由线面垂直的性质可得当DP BE ⊥时，动点P的轨迹为CF =.【详解】如下图所示：作CF BE ⊥交1BB 于点F ，易知四边形11BCC B 是边长为4的正方形，利用三角形相似可知1BCF B BE ，即可得11B EBF BC BB =，所以2BF =，由勾股定理可知CF =，利用正方体性质可知DC ⊥平面11BCC B ，BE ⊂平面11BCC B ，所以DC BE ⊥；又CF BE ⊥，CF DC C = ，,CF DC ⊂平面DCF ，可知BE ⊥平面DCF ；由DP BE ⊥可知DP ⊂平面DCF ，又P 为四边形11BCC B 内（含边界）的一个动点，所以动点P 的轨迹为平面DCF 与四边形11BCC B 的交线，即为CF ，因此可得动点P的轨迹长度为CF =.故选：B10.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,2,1,2AC BC AC BC AA ⊥===，点D 在棱AC 上，点E 在棱1BB 上，下列结论中不正确．．．的是（）A.三棱锥E ABD -的体积的最大值为23B.点E 到平面11ACC A 的距离为1C.点D 到直线1C ED.1A D DB ++【答案】D 【解析】【分析】根据锥体的体积公式判断A ；根据直三棱柱的性质，结合AC BC ⊥，可得⊥BC 11ACC A ，进而判断B ；建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出点到距离，再根据函数的性质即可判断C ；将ABC V 翻折到与矩形11ACC A 共面时连接1A B 交AC 于点D ，此时1A D DB +取得最小值，进而利用勾股定理求出距离最小值，即可判断D.【详解】在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，对于A ：因为点E 在棱1BB 上，112A B A B ==，所以[]0,2BE ∈，又AC BC ⊥，2,1AC BC ==，点D 在棱AC 上，所以[]0,2AD ∈，[]110,122ABD S AD BC AD =⋅=∈ ，所以1233E ABD ABD V BE S -=⋅≤ ，当且仅当D 在C 点、E 在1B 点时取等号，故①正确；对于B ：在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，则⊥BC 11ACC A ，又点E 在棱1BB 上，所以点E 到平面11ACC A 的距离，即为1BC =,故B 正确；对于C ：如图建立空间直角坐标系，设(),0,0D a ，()0,1,E c ，[],0,2a c ∈，()10,0,2C ，所以()1,0,2C D a =- ，()10,1,2C E c =-，所以点D 到直线1C E的距离为d ===，当2c =时，2d =≥，当02c ≤<时，()2024c <-≤，即()21142c ≥-，则()215142c +≥-，即()241601512c <≤+-，所以当()()224221c c --+取最大值165，且20a =时，min 5d ==，即当D 在C点，E 在B 点时，点D 到直线1CE 的距离的最小值为5，故C 正确；对于D ：如图将ABC V 翻折到与矩形11ACC A 共面时连接1A B 交AC 于点D ，此时1A D DB +取得最小值，因为1112A C CC ==，1BC =，所以13BC =，所以1A B ==即1A D DB +D 错误.故选：D.二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分.）11.已知向量()2,5,4a =- ，()6,0,b x = ，若a b ⊥，则x =______.【答案】3【解析】【分析】根据空间向量数量积的坐标表示计算即可.【详解】因为()2,5,4a =- ，()6,0,b x = ，a b ⊥，所以265040a b x ⋅=-⨯+⨯+⨯=，解得3x =.故答案为：3.12.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则点1C 到直线1BD 的距离为______.【答案】3【解析】【分析】连接1BC ，利用等面积法可求点1C 到直线1BD 的距离.【详解】连接1BC ，由正方体1111ABCD A B C D -，可得11C D ⊥平面11CBB C ，因为1BC ⊂平面11CBB C ，所以111C D BC ^，因为正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，所以可得11BC BD ====，设点1C 到直线1BD 的距离为d ，由1111111122BC D S BD d BC C D =⨯=⨯ ，可得1132122d =，解得63d =，所以点1C 到直线1BD 的距离为63.故答案为：63.13.如图，60︒的二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ．已知4AB =，6AC =，8BD =，则CD 的长为__________【答案】217【解析】【分析】由向量的线性表示，根据向量模长根式即可代入求解.【详解】解：由条件，知00CA AB AB BD ⋅=⋅= ，，CD CA AB BD =++ ,所以2222222222648268cos12068CD CA AB BD CA AB AB BD CA BD =+++⋅+⋅+⋅=+++⨯⨯︒= ，所以17CD =故答案为：21714.在我国古代数学名著《九章算术》中，四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．已知在鳖臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2PA AB BC ===．M 为PC 的中点，则点P 到平面MAB 的距离为______．2【解析】【分析】利用等体积法求得P 到平面MAB 的距离.【详解】因为PA ⊥平面ABC ，⊂BC 平面ABC ，所以BC PA ⊥，依题意可知,,,,BC AB BC PA AB PA A AB PA ⊥⊥⋂=⊂平面PAB ，所以⊥BC 平面PAB ，由于M 是PC 的中点，所以M 到平面PAB 的距离是C 到平面PAB 的距离的一半，即M 到平面PAB 的距离是1.22AC PB ==,()222223PC =+，所以3AM BM ==，由于2AB =，所以()22123122MAB S =⨯-= ，12222PAB S =⨯⨯= ，设P 到平面MAB 的距离为h ，则M PAB P MAB V V --=，即11212233h h ⨯⨯=⇒=.215.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1B C 上运动，则下列结论正确的是________．①直线1BD ⊥平面11A C D②三棱锥11D A C P -的体积为定值③异面直线AP 与1A D 所成角的取值范围是ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦④直线1C P 与平面11A C D 所成角的正弦值的最大值为3【答案】①②④【解析】【分析】对于①，利用线面垂直的判定定理及线面垂直的性质定理，即可进行判断；对于②，利用线面平行的判定定理，得出1B C ∥平面11A C D ，再根据三棱锥的体积的计算方法，即可进行判断；对于③，利用异面直线所成角的计算方法，即可进行判断；对于④，通过建立空间直角坐标系，利用坐标法求出直线与平面所成角的正弦值，然后借助二次函数，即可进行判断.【详解】对于①，连接11B D ，1111AC B D ⊥，111A C BB ⊥，1111B D BB B ⋂=，11B D ⊂平面11BB D ，1BB ⊂平面11BB D ，∴11A C ⊥平面11BB D ，1BD ⊂ 平面11BB D ，∴111A C BD ⊥，同理，11DC BD ⊥，1111A C DC C ⋂=，11AC ⊂平面11AC D ，1DC ⊂平面11A C D ，∴直线1BD ⊥平面11A C D ，故①正确；对于②， 1A D ∥1B C ，1A D ⊂平面11A C D ，1B C ⊄平面11A C D ，∴1B C ∥平面11A C D ，点P 在线段1B C 上运动，∴点P 到平面11A C D 的距离为定值，又11A C D 的面积为定值，利用等体积法知三棱锥11D A C P -的体积为定值，故②正确；对于③， 1A D ∥1B C ，∴异面直线AP 与1A D 所成的角即为AP 与1B C 所成的角，当点P 位于C 点时，AP 与1B C 所成的角为π3，当点P 位于1B C 的中点时，1AB AC = ，∴1AP B C ⊥，此时，AP 与1B C 所成的角为90︒，∴异面直线AP 与1A D 所成角的取值范围是ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故③错误；对于④，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，(),1,P a a ，则()0,0,0D ，()11,0,1A ，()10,1,1C ，()11,0,1DA = ，()10,1,1DC = ，()1,0,1C P a a =- ，设平面11A C D 的法向量(),,n x y z =r ，则1100n DA n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即00x y y z +=⎧⎨+=⎩，令1x =，得()1,1,1n =-，所以，直线1C P 与平面11A C D 所成角的正弦值为：11C P n C P n ⋅==⋅ ，当12a =时，直线1C P 与平面11A CD3=，故④正确.故答案为：①②④三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）16.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，E ，F 分别为PC ，BD 的中点.（1）求证：//EF 平面PAD ；（2）若PA AD ⊥，AB ⊥平面PAD ，求证：⊥EF 平面ABCD .【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）连接AC ，进而根据线面平行的判定定理证明即可；（2）由AB ⊥平面PAD ，可得AB PA ⊥，进而结合PA AD ⊥可得PA ⊥面ABCD ，再结合//EF PA 即可求证.【小问1详解】证明：连接AC ，∵四边形ABCD 是平行四边形，且F 是BD 的中点，∴F 是AC 的中点，∵E 为PC 的中点，∴//EF PA ，∵PA ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ，∴//EF 平面PAD .【小问2详解】证明：∵AB ⊥平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，∴AB PA ⊥，∵PA AD ⊥，AB AD A ⋂=，,AB AD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥面ABCD ，∵//EF PA ，∴⊥EF 平面ABCD .17.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AB BC AA ===，E 、F 分别为AC 、1CC 的中点，11BF A B ⊥.（1）求证：1BE AC ⊥；（2）求直线1AC 与平面11ABB A 所成角的正弦值；（3）求点1A 到平面BEF 的距离.【答案】（1）证明见解析（2）33（36【解析】【分析】（1）首先通过线面垂直的判定定理得证BE ⊥平面11A ACC ，从而得证1BE AC ⊥；（2）法一：首先通过线面垂直的判定定理得证⊥BC 平面11A ABB ，从而得到1CA B ∠即为所求角，求出该角的正弦值即可得到答案.法二：由已知可证AB BC ⊥，建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式可求1AC 与平面11ABB A 所成角的正弦值.（3）利用空间向量法的点到面的距离公式可求解.【小问1详解】因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，所以1A A ⊥平面ABC ，因为BE ⊂平面ABC ，所以1A A BE ⊥，又因为AB BC =，E 为AC 中点，所以BE AC ⊥，因为11,A A AC A A A AC =⊂、I 平面11A ACC ，所以BE ⊥平面11A ACC ，因为1A C ⊂平面11A ACC ，所以1BE AC ⊥.【小问2详解】方法一：因为直三棱柱111ABC A B C -，所以1B B ⊥平面ABC ，因为AB ⊂平面ABC ，所以1BB AB ⊥，因为11BF A B ⊥，11//AB A B ，所以AB BF ⊥，因为11BB BF B BB BF =⊂ 、，平面11CBB C ，所以AB ⊥平面11B BCC .因为⊂BC 平面11CBB C ，所以AB BC ⊥，因为1BB BC ⊥，11,BB AB B BB AB =⊂ 、平面11ABB A ，所以⊥BC 平面11A ABB ，连结1A B ，1CA B ∠即为直线1AC 与平面11ABB A 所成角,因为12AB BC AA ===，所以AC =，1AC =，11sin 3BC CA B A C ∠==.所以1AC 与平面11ABB A 所成角的正弦值为33.方法二：因为直三棱柱111ABC A B C -，所以1B B ⊥平面ABC ，因为AB ⊂平面ABC ，所以1BB AB ⊥，因为11BF A B ⊥，11//AB A B ，所以AB BF ⊥，因为11BB BF B BB BF =⊂ 、，平面11CBB C ，所以AB ⊥平面11B BCC .因为11BC B BCC ⊂平面,所以AB BC ⊥，如图所示，以B 为原点，以1,,BA BC BB所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为()()()12,0,2,0,2,0,0,0,0A C B ，所以1(2,2,2)CA =- ，(0,2,0)BC = ，易知⊥BC 平面11ABB A ，所以BC 为平面11ABB A 的一个法向量，设1AC 与平面11ABB A 所成角为θ，所以111·sin cos ,3CA BC CA BC CA BCθ=<>= ，所以1AC 与平面11ABB A 所成角的正弦值为33.【小问3详解】设1A 到平面BEF 的距离为d ，因为()()()11,1,0,0,2,1,2,0,2E F A ，所以()()()11,1,0,0,2,1,2,0,2BE BF BA === ，设(,,)n x y z = 为平面BEF 的一个法向量，所以·0·0BE n BF n ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，即020x y y z +=⎧⎨+=⎩，令1x =，则1,2y z =-=，所以平面BEF 的一个法向量(1,1,2)n =- ，所以1·BA n d n=== ，因此点1A 到平面BEF.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PAD 为等腰直角三角形，且π2PAD ∠=，点F 为棱PC 上的点，平面ADF 与棱PB 交于点E .（1）求证：//EF AD ；（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，求平面PCD 与平面ADFE 所成锐二面角的大小.条件①：AE =条件②：平面PAD ⊥平面ABCD ；条件③：PB FD ⊥.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）证明见解析（2）π3【解析】【分析】（1）根据条件可以证明//AD 平面PBC ，再利用线面平行的性质定理即可证明出结论；（2）选条件①②可以证明出,,AB AD AP 两两垂直，建立空间直角坐标系A xyz -，求出相应坐标，再求出两平面的法向量，进而求出结果;选条件①③或②③同样可以证明求解.【小问1详解】证明：因为底面ABCD 是正方形，所以//AD BC ，⊂BC 平面PBC ，AD ⊄平面PBC ,所以//AD 平面PBC ，又因为平面ADF 与PB 交于点E .AD ⊂平面ADFE ，平面PBC 平面,ADFE EF =所以//EF AD .【小问2详解】选条件①②侧面PAD 为等腰直角三角形，且π,2PAD ∠=即2PA AD ==，PA AD⊥平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PA ⊂平面PAD ,则PA ⊥平面ABCD ，又ABCD 为正方形，所以,,PA AB PA AD AB AD ⊥⊥⊥.以点A 为坐标原点，,,AB AD AP 分别为x 轴,y 轴,z 轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0),(0,0,2),(2,2,0),(2,0,0),(0,2,0)A P CB D因为AE =，所以点E 为PB 的中点，则(1,0,1)E 从而：(2,2,2),(0,2,0),(1,0,1)PC AD AE =-==，设平面ADFE 的法向量为：(,,)n x y z = ，则020n AE x z n AD y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，令1x =，可得(1,0,1)n =- 设平面PCD 的法向量为：(,,)n a b c =，则2202220n PD b c n PC a b c ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ ，令1b =，可得(0,1,1)n = 所以1cos ,2PB n PB n PB n ⋅== 则两平面所成的锐二面角为π3选条件①③侧面PAD 为等腰直角三角形，且,2PAD π∠=即2,PA AD PA AD ==⊥,AD AB PA AB A ⊥⋂=，且两直线在平面内，可得AD ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，则AD PB ⊥.又因为,,PB FD AD FD D ⊥⋂=且两直线在平面内，则PB ⊥平面ADFE ,AE ⊂平面,ADFE 则PB AE ⊥因为PA AB =，所以PAB 为等腰三角形，所以点E 为PB 的中点又因为AE =，所以PAB 为等腰直角三角形，下面同①②选条件②③侧面PAD 为等腰直角三角形，且2PAD π∠=，即2,PA AD PA AD==⊥平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PA ⊂平面PAD ,则PA ⊥平面,ABCD ABCD 为正方形，所以,,PA AB PA AD AB AD ⊥⊥⊥.又因为,,PB FD AD FD D ⊥⋂=且两直线在平面内，则PB ⊥平面ADFE ，AE ⊂平面,ADFE 则PB AE⊥因为PA AB =，所以PAB 为等腰三角形，所以点E 为PB 的中点.下面同①②19.在梯形ABCD 中，//AB CD ，π3BAD ∠=，224AB AD CD ===，P 为AB 的中点，线段AC 与DP 交于O 点（如图1）.将△ACD 沿AC 折起到△ACD '位置，使得D O OP '⊥（如图2）.（1）求证：平面D AC '⊥平面ABC ；（2）线段PD '上是否存在点Q ，使得CQ 与平面BCD '所成角的正弦值为8?若存在，求出PQ PD '的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，13【解析】【分析】（1）先证明DPBC 四边形是菱形，从而证明D O '⊥平面ABC ，再根据面面垂直的判定定理即可得证；（2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【小问1详解】证明：∵在梯形ABCD 中，//AB CD ，224AB AD CD ===，π3BAD ∠=，P 为AB 的中点，∴//CD PB ，CD PB =，BC DP =，∴ADP △是正三角形，四边形DPBC 为菱形，∴AC BC ⊥，AC DP ⊥，∵,AC D O D O OP ''⊥⊥，又∵,,AC OP O AC OP ⋂=⊂平面ABC ，∴D O '⊥平面ABC ，∵D O '⊂平面D AC '，∴平面D AC '⊥平面ABC .【小问2详解】存在，13PQ PD '=，理由如下：∵'D O ⊥平面BAC ，OP ⊥AC ，∴OA ，OP ，'OD 两两互相垂直，如图，以点O 为坐标原点，OA ，OP ，'OD 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系.则()C ，()2,0B ，()0,0,1D '，()0,1,0P ，∴)2,1BD -'= ，)CD '= ，设平面'CBD 的一个法向量为(),,n x y z = ，则00n BD n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩''，即200y z z -+=+=⎪⎩，令1x =，则0y =，z =，(1,0,n ∴= ，设()01PQ PD λλ=≤'≤ ，∵)CP = ，()0,1,1PD -'= ，∴),CQ CP PQ CP PD λλλ'=+=+=- ，设CQ 与平面'BCD 所成角为θ，则sin cos ,8CQ n CQ n CQ n λθ⋅-==== ，即23720λλ-+=，01λ≤≤ ，解得13λ=，∴线段'PD 上存在点Q ，且'13PQ PD =，使得CQ与平面'BCD 所成角的正弦值为8.。
重庆市广益2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题含答案
重庆市广益2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题（时间：120分钟，分值：150分）（答案在最后）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线310y --=的倾斜角为（）A.30︒B.135︒C.60︒D.150︒【答案】A 【解析】【分析】根据直线倾斜角与斜率之间的关系即可得倾斜角．【详解】设直线的倾斜角为α，因为该直线的斜率为33，所以3tan 1803αα=︒≤<︒，所以30α=︒，故选：A2.已知直线1:230l ax y -+=与直线()2:310l x a y +-+=，若12l l ⊥，则a =（）A.6B.6- C.2D.2-【答案】A 【解析】【分析】根据两直线垂直的充要条件得到方程，求解方程得答案.【详解】解：因为直线1:230l ax y -+=与直线()2:310l x a y +-+=，且12l l ⊥，所以()()1230a a ⨯+-⨯-=，解得6a =，故选：A.3.若点()1,1P 在圆220x y x y k ++-+=的外部，则实数k 的取值范围是（）A.()2-+∞，B.12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C.12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ D.()2,2-【答案】C 【解析】【分析】根据点与圆的位置关系及方程表示圆列出方程组，从而可得出答案.【详解】解：因为点()1,1P 在圆220x y x y k ++-+=的外部，所以111101140k k ++-+>⎧⎨+->⎩，解得122k -<<.故选：C ．4.已知三棱锥O ABC -，点M ，N 分别为AB ，OC 的中点，且OA a = ，OB b = ，OC c = ，用a ，b ，c表示MN ，则MN等于（）A.1()2a b c +- B.1()2b c a +- C.1()2c a b -- D.1()2a b c -+ 【答案】C 【解析】【分析】根据空间向量的线性运算计算即可.【详解】MN MO ON=+ 111222OA OB OC=--+uu r uu ur uuu r 111222a b c =--+ .故选：C.5.某直线l 过点(3,4)B -，且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的2倍，则该直线的斜率是（）A.43-B.12-C.43或12- D.43-或12-【答案】D 【解析】【分析】讨论在x 轴和y 轴上的截距均为0或均不为0，设直线方程并由点在直线上求参数，即可得直线方程，进而写出其斜率.【详解】当直线在x 轴和y 轴上的截距均为0时，设直线的方程为y kx =，代入点(3,4)B -，则43k =-，解得43k =-，当直线在x 轴和y 轴上的截距均不为0时，设直线的方程为12x ym m +=，代入点(3,4)B -，则3412m m -+=，解得52m =，所以所求直线的方程为1552x y +=，即250x y +-=，综上，该直线的斜率是43-或12-．故选：D6.已知圆221:1C x y +=与圆222:870C x y x +-+=，则圆1C 与圆2C 的位置关系是（）A .相离B.相交C.内切D.外切【答案】D 【解析】【分析】求出两圆的圆心和半径，得到12124C C r r ==+，得到两圆外切.【详解】圆221:1C x y +=的圆心为()10,0C ，半径为11r =，圆()22222:87049C x y x x y +-+=⇒-+=，故圆心()24,0C ，半径为23r =，则12124C C r r ==+，所以圆1C 与圆2C 的位置关系是外切.故选：D7.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，侧面11A ADD 是正方形，且1120A AB ∠=︒，60DAB ∠=︒，2AB =，若P 是1C D 与1CD 的交点，则异面直线AP 与DC 的夹角的余弦值为（）A.3714B.64C.74D.614【答案】A 【解析】【分析】根据平行六面体的结构特征及向量对应线段位置关系，结合向量加法、数乘的几何意义,将AP 、DC，用基底1,,AA AB AD表示出来，在应用向量数量积的运算律即可.【详解】在平行六面体1111ABCD A B C D -中,四边形11DD C C 是平行四边形,侧面11A ADD 是正方形,又P 是11,C D CD 的交点,所以P 是1CD 的中点,因为DC AB =,1120A AB ∠=,60,2DAB AB ∠== ,所以()(()111111)2222AP AD AC AA AD AD AB AA AB AD =+=+++=++ ，所以()22221111||42444AP AA AB AD AA AB AA AD AB AD =+++⋅+⋅+⋅111444422204227422⎡⎛⎫⎤=++⨯+⨯⨯⨯-++⨯⨯⨯= ⎪⎢⎥⎝⎭⎦⎣，所以7,AP =又2DC =，所以()()11112·222AP DC AA AB AD DC AA AB AD AB ⋅=++=++⋅()21122AA AB AB AD AB =⋅++⋅()211cos120||2|cos602AA AB AB AD AB =⋅++⋅∣21112222223222⎡⎤⎛⎫=⨯⨯-++⨯⨯⨯= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，可得cos AP <,14AP DC DC AP DC⋅>==⋅，所以异面直线AP 与DC的夹角的余弦值为cos ,14AP DC =.故选：A.8.正四面体A BCD -的棱长为4，空间中的动点P满足PB PC += 则AP PD ⋅ 的取值范围为（）A.44⎡-+⎣B.C.4⎡-⎣D.[]14,2-【答案】D 【解析】【分析】分别取BC ，AD 的中点E ，F ，由题意可得点P 的轨迹是以E为半径的球面，又AP PD ⋅=24PF - ，再求出PF 的最值即可求解【详解】分别取BC ，AD 的中点E ，F，则2PB PC PE +==所以PE =故点P 的轨迹是以E为半径的球面，()()()()AP PD PF FA PF FD PF FA PF FA ⋅=-+⋅+=-+⋅- 2224FA PF PF =-=- ，又ED ===EF ====所以minPFEF ==，maxPF EF ==所以AP PD ⋅的取值范围为[]14,2-．故选：D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分，有选错的得0分.9.已知向量()2,0,2a =r ，13,1,22b ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，()1,2,3c =-，则下列结论正确的是（）A.a 与b垂直B.b 与c共线C.a 与c所成角为锐角D.a ，b ，c，可作为空间向量的一组基底【答案】BC 【解析】【分析】对A ：计算出a b ⋅ 即可得；对B ：由向量共线定理计算即可得；对C ：计算a c ⋅ 并判断a 与c是否共线即可得；对D ：借助空间向量基本定理即可得.【详解】对A ：132********a b ⎛⎫⎛⎫⋅=⨯-+⨯+⨯-=--=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭r r ，故a 与b 不垂直，故A 错误；对B ：由13,1,22b ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 、()1,2,3c =-，有12b c = ，故b 与c 共线，故B 正确；对C ：()21022380a c ⋅=⨯+⨯-+⨯=> ，且a 与c不共线，故a 与c所成角为锐角，故C 正确；对D ：由b 与c 共线，故a ，b ，c不可作为空间向量的一组基底，故D 错误.故选：BC .10.已知圆225()(12)2C x y --+=：，直线()():211740l m x m y m +++--=.则以下命题正确的有（）A.直线l 恒过定点()3,0B.y 轴被圆C截得的弦长为C.直线l 与圆C 恒相交D.直线l 被圆C 截得弦长最长时，直线的方程为250x y +-=【答案】CD 【解析】【分析】根据直线方程求出定点坐标即可判断选项A ；求出圆和y 轴的交点坐标，即可判断选项B ；利用定点和圆的位置关系即可判断选项C ；当弦长最长时，直线过圆心从而判断选项D.【详解】对于A ，直线()():211740l m x m y m +++--=，即()2740m x y x y +-++-=，由27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得3,1x y ==，故直线过定点()3,1P ，故A 错误；对于B,圆225()(12)2C x y --+=：，当0x =时，2y =±故y 轴被圆C 截得的弦长为，故B 错误；对于C ，直线过定点()3,1P ，225(1123)(2)<－＋－,故点P 在圆内，则直线l 与圆C 恒相交，故C 正确；对于D ，当直线l 被圆C 截得弦长最长时，直线过圆心()1,2，则()()2121740m m m +++--=，解得13m =-，故直线方程为：1250333x y -=＋，即250x y +-=，故D 正确.故选：CD11.如图，在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为11C D ，11A B ，AB 的中点，则（）A.1BC ∥平面AEFB.1A G ⊥平面AEFC.异面直线AF 与GC 所成角的余弦值为15D.点B 到平面AEF 的距离为5【答案】CD 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，通过空间向量运算依次判断4个选项.【详解】以D 为原点，DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图，则()2,0,0A ，()12,0,2A ，()2,1,2F ，()0,1,2E ，()2,1,0G ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()10,2,2C ，()2,1,2AE =- ，()0,1,2AF = ，()12,1,0GC =- ，()12,0,2BC =- ，()10,1,2AG =- ．对于选项A ，B ：设平面AEF 的法向量为(),,n x y z =，则0,0,n AE n AF ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，即22020x y z y z -++=⎧⎨+=⎩，令2y =-，则0x =，1z =，得()0,2,1n =-，所以1BC 与平面AEF 不平行，1A G 与平面AEF 不垂直，即A ，B 错误．对于选项C ：11cos ,555AF GC ==⨯ ，则异面直线AF 与GC 所成角的余弦值为15，即C 正确．对于选项D ：又()0,2,0AB =，所以点B 到平面AEF 的距离为55AB n n⋅=，即D 正确．故选：CD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分．12.过点(2,1)与直线:10l x y -+=平行的直线方程______.【答案】10x y --=【解析】【分析】根据平行关系可设直线方程为0x y C -+=，然后将(2,1)代入求解即可【详解】设与直线:10l x y -+=平行的直线方程为0x y C -+=，因为(2,1)在直线0x y C -+=上，所以2101C C -+=⇒=-，所以方程10x y --=即为所求；故答案为：10x y --=13.在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为1的正方形，2AP =，则直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为______.【答案】25##0.4【解析】【分析】由线面垂直得到线线垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面PCD 的法向量，利用线面角的正弦向量夹角公式进行求解.【详解】因为PA ⊥底面ABCD ，,AB AD ⊂平面ABCD ，所以PA AB ⊥，PA AD ⊥，又底面ABCD 是边长为1的正方形，所以AB AD ⊥，以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，2AP =，故()()()()0,0,2,1,0,0,1,1,0,0,1,0P B C D，设平面PCD 的法向量为 =s s ，则()()()(),,1,1,220,,0,1,220m PC x y z x y z m PD x y z y z ⎧⋅=⋅-=+-=⎪⎨⋅=⋅-=-=⎪⎩ ，解得0x =，令1z =，则2y =，故()0,2,1m =，()1,0,2PB =-，PB 与平面PCD 的夹角正弦值为25PB m PB m⋅==⋅.故答案为：2514.已知曲线1y =(2)4y k x =-+有且仅有一个公共点，那么实数k 的取值范围是______.【答案】35,412⎛⎫⎧⎫+∞⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭【解析】【分析】根据方程可知直线恒过定点，曲线为半圆，画出图象，数形结合可得到k 的取值范围．【详解】直线(2)4y k x =-+恒过点(2,4)A .由1y =22(1)4(1)x y y+-=≥，表示以(0,1)C 为圆心，2为半径的半圆，该半圆在直线1y =的上方.当直线与半圆相切于点E 时，直线方程可化为：240kx y k--+=，根据圆心(0,1)C 到直线的距离等于半径22=，解得512k =，当直线过点(2,1)B -时，4132(2)4k -==--，此时直线与曲线有两个公共点，当直线过点(2,1)D 时，直线斜率不存在，此时直线与曲线有一个公共点，综上得，实数k 的取值范围是35,412∞⎛⎫⎧⎫+⋃⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭.故答案为：35,412∞⎛⎫⎧⎫+⋃⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭.四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知(3,1),(1,2),A B ACB -∠的平分线所在的直线的方程为1y x =+．（1）求AB 的中垂线方程；（2）求AC 的直线方程．【答案】（1）8250x y --=；（2）210x y --=【解析】【分析】（1）求出AB 的中点坐标及14AB k =-，故求出AB 的中垂线斜率，点斜式求出方程；（2）()1,2B -关于1y x =+的对称点(),D s t 在直线AC 上，求出()1,0D ，利用两点式求出直线方程，得到答案.【小问1详解】AB 的中点坐标为31123,1,222-+⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又211134AB k -==---，故AB 的中垂线斜率为4，故AB 的中垂线方程为()3412y x -=-，即8250x y --=；【小问2详解】由对称性可知，()1,2B -关于1y x =+的对称点(),D s t 在直线AC 上，故21121122t s t s -⎧=-⎪⎪+⎨+-⎪=+⎪⎩，解得10s t =⎧⎨=⎩，故()1,0D ，故直线AC 的方程为130113y x --=--，即210x y --=.16.已知圆C 经过),,(02)(08,A B 两点，且与x 轴的正半轴相切.（1）求圆C 的标准方程；（2）若直线l ：30x y -+=与圆C 交于M ，N ，求||MN .【答案】（1）()()224525x y -+-=（2）【解析】【分析】（1）圆C 经过),,(02)(08,A B 两点，且与x 轴的正半轴相切，可设圆心82,2C a +⎛⎫ ⎪⎝⎭，即(5),0,a a >，可得半径．利用勾股定理、弦长公式计算进而得出答案．（2）求出圆心(4),5C 到直线l 的距离d ，即可得出弦长．【小问1详解】圆C 经过),,(02)(08,A B 两点，且与x 轴的正半轴相切，设圆心82,2C a +⎛⎫ ⎪⎝⎭，即(5),0,a a >，故半径=5r ，则22282()5,42a a -+=∴=，∴圆C 的标准方程为：()()224525x y -+-=．【小问2详解】圆心(4,5)到直线l ：30x y -+=的距离d ==，∴弦长MN ==．17.如图，在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为1,AB A C 的中点.（1）证明：1EF A CD ⊥平面；（2）求点1C 到平面1A CD 的距离.【答案】（1）见解析（22【解析】【分析】（1）建立坐标系求出点的坐标，利用向量的坐标运算求平面法向量即可求解，（2）利用向量法求解点面距离即可．【小问1详解】建立以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z轴的空间直角坐标系如图：则(0D ，0，0)，(2A ，0，0)，(0C ，2，0)，(2B ，2，0)，1(2A ，0，2)，1(0D ，0，2)E ，F 分别为AB ，1AC 的中点，(2E ∴，1，0)，(1F ，1，1)，1(2DA = ，0，2)，(0DC = ，2，0)，设平面1A CD 的法向量为(),,m x y z = ，则100m DA m DC ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即22020x z y +=⎧⎨=⎩，令1x =，则()1,0,1m =- 因为()=101，，EF - ，=EF m - ，所以//EF mEF ∴⊥平面1A CD ．【小问2详解】()10,0,2CC = ,()1,0,1m =- ,设点1C 到平面1A CD 的距离为d，所以1CC m d m⋅== 18.如图，在四棱锥S ABCD -中，四边形ABCD 是矩形，SAD 是等边三角形，平面SAD ⊥平面ABCD ，1AB =，E 为棱SA 上一点，P 为棱AD 的中点，四棱锥S ABCD -的体积为3.（1）若E 为棱SA 的中点，F 是SB 的中点，求证：平面//PEF 平面SCD ；（2）是否存在点E ，使得平面PEB 与平面SAD 的夹角的余弦值为3010？若存在，确定点E 的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在点E ，E 为AS 上靠近A 点的三等分点【解析】【分析】（1）以点P 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用两个平面法向量相同得证平行；（2）设AE AS λ= ，向量法表示已知条件中两平面夹角的余弦值，求解λ即可.【小问1详解】在等边三角形SAD 中，P 为AD 的中点，于是SP AD ⊥，又平面SAD ⊥平面ABCD ，平面SAD ⋂平面ABCD AD =，SP ⊂平面SAD ，SP ∴⊥平面ABCD ，SP ∴是四棱锥S ABCD -的高，设AD m =，则2SP m =，矩形ABCD 的面积S m =，113323S ABCD V S SP m m -∴=⋅=⋅=，2m ∴=，如图，以点P 为坐标原点，PA 所在直线为x 轴，过点P 且与AB 平行的直线为y 轴，PS 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,0)P ，(1,0,0)A ，(1,1,0)B，(S，1,0,22E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，11,,222F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1,0,22PE ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭，11,,222PF ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，设1 =1,1,1是平面PEF 的一个法向量，则110,0,n PE n PF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即1111113022110222x z x y z ⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，令11z =，则1x =，10y =，1(n ∴=.同理可得平面SCD 的一个法向量为2(n = .12n n = ，∴平面//PEF 平面SCD .【小问2详解】存在.设(()(01)AE AS λλλλ==-=-≤≤，则(1,0,0)()(1)PE PA AE λλ=+=+-=- ，(1,1,0)PB = ，设平面PEB 的一个法向量为(,,)m x y z =，则()100m PE x z m PB x y λ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令x ，则y =，1z λ=-，,,1)m λ∴=- ，易知平面SAD 的一个法向量为(0,1,0)AB =，cos ,10AB m AB m AB m⋅∴== .01λ≤≤ ，13λ∴=，∴存在点E ，且E 为AS 上靠近A 点的三等分点.19.已知在平面直角坐标系xOy 中，()0,1A ，()0,4B ，平面内动点P 满足2PA PB =．（1）求点P 的轨迹方程；（2）点P 轨迹记为曲线τ，若C ，D 是曲线τ与x 轴的交点，E 为直线l ：x ＝4上的动点，直线CE ，DE 与曲线τ的另一个交点分别为M ，N ，直线MN 与x 轴交点为Q ，求点Q 的坐标．【答案】（1）224x y +=（2）()10Q ，．【解析】【分析】(1)设点(),P x y 为曲线上任意一点，利用两点间距离公式表示条件关系，化简等式可得轨迹方程；(2)设()()4,0E t t ≠，联立直线CE 的方程和曲线τ的方程求点M 的坐标，联立直线DE 的方程和曲线τ的方程求点N 的坐标，求直线MN 的方程，确定其与x 轴的交点坐标即可.【小问1详解】设点(),P x y 为曲线上任意一点，因为2PA PB =，()0,1A ，()0,4B ，则=化简得224x y +=．【小问2详解】由题意得()2,0C -，()2,0D ，设()()4,0E t t ≠，则直线CE 的方程为()26t y x =+，直线DE 的方程为()22t y x =-，联立()22264t y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，，得2222364440363636t t t x x +++-=，则224236M t x t -=-+，即2272236M t x t -=+，()2242636M M t t y x t =+=+，所以22272224,.3636t t M t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭联立()222,24,t y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩得22224404t x t x t +-+-=，则22424N t x t +=+，即22284N t x t -=+，()28224N N t t y x t -=-=+，所以222288.44t t N t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，①当t ≠±时，直线MN 的斜率222222224883647222812364MN t t t t t k t t t t t --++==----++，则直线MN 的方程为222288284124t t t y x t t t ⎛⎫---=- ⎪+-+⎝⎭，即()28112t y x t =--，所以()10Q ，，②当t =±时，直线MN 垂直于x 轴，方程为1x =，也过定点()10Q ，．综上，直线MN 恒过定点()10Q ，．较高.。
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河南省开封十中2018-2019学年高二数学10月月考试题
一．选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
）
1. ABC ∆中，若︒===60,2,1B c a ，则ABC ∆的面积为 （ ）
A ．2
1 B ．23 C.1 D.3 2．下面三个结论:（1）数列若用图象表示，图象是一群孤立的点；（2）数列的项数是无限的；
（3）数列的通项的表示式是唯一的；其中正确的是（ ）
A.（1）（2）
B.（1）
C.（2）（3）
D.（1）（2）（3）
3．数列 10,6,3,1的一个通项公式为（ ）
A.12+-=n n a n
B.12-=n a n
C.2)1(+=n n a n
D.2
)1(-=n n a n 4．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =n 2-n+1，则（ ）
A.22-=n a n
B.⎩⎨⎧≥-==2,221,1n n n a n
C.n a n 2=
D.⎩
⎨⎧≥==2,21,1n n n a n 5.由11a =,3d =确定的等差数列{}n a ,当298n a =,序号n 等于 （ ）
A.99
B.100
C.96
D.101
6.在数列{}n a 中，1a =1，12n n a a +-=，则51a 的值为 （ ）
A ．99
B ．49
C ．102
D ． 101
7.在等比数列中，112a =，12q =，132n a =，则项数n 为 （ ） A. 3
B. 4
C. 5
D. 6 8.不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解集为R ，那么 （ ）
A. 0,0a <∆<
B. 0,0a <∆≤
C. 0,0a >∆≥
D. 0,0a >∆>
9.设,x y 满足约束条件12x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩
,则3z x y =+的最大值为 （ ）
A ． 5 B. 3 C. 7 D.-8
10.三角形的三边长分别为4、6、8，则此三角形为( )
A. 锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不存在
11.一个等比数列}{n a 的前n 项和为48，前2n 项和为60，则前3n 项和为（ ）
A.63
B.108
C.75
D.83
12. 若a>b>0，则下面不等式中成立的是（ ）
A ．2a b a b +>>
> B ．2
a b a b +>>>
C ．2a b a b +>>>
D ．2a b a b +>>> 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分。
)
13．在△ABC 中，A ＝60°，C ＝45°，b ＝4，则此三角形的最小边是____________．
14.已知等差数列{}n a 的前三项为32,1,1++-a a a ，则此数列的通项公式
为 .
15.不等式21131
x x ->+的解集是 ． 16．已知点（3，1）和（-1，1）在直线320x y a -+=的同侧，则a 的取值范围是
三、解答题
17.（10分）判断下列各对整式的大小
(1) m 2-2m+5 与-2m+5
(2) x 2+3与2x
18. （12分）已知等比数列{}n a 中，4
5,106431=+=+a a a a ，求其第4项及前5项和. 19. （12分） 求不等式的解集：0542<++-x x
20．(12分)锐角三角形ABC 中，边a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，角A ，B 满足2sin (A
＋B)－3＝0.求：
(1)角C 的度数；
(2)边c 的长度及△ABC 的面积．
21. （12分）若不等式0252>-+x ax 的解集是⎭
⎬⎫⎩⎨⎧<<221x x ， (1) 求a 的值；
(2) 求不等式01522>-+-a x ax 的解集.
22.(12分)已知等差数列{}n a 中，15741=++a a a ,45642=a a a ,求此数列的通项公式.
高二数学月考试卷答案
一．选择题：1-5 BBCBB 6-10 DCACC 11-12 AB
二．填空题。
13． ()134- 14．n a =2n －3 15．⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
-<<-312x x 16．(-∞,-7)∪(5,+∞) 三．解答题。
17. 解：(1) m 2-2m+5 ≥-2m+5
(2) x 2+3＞2x
18.解：设公比为q ，
由已知得 ⎪⎩
⎪⎨⎧=+=+45105131211q a q a q a a 即⎪⎩
⎪⎨⎧=+=+ 45)1(①10)1(23121 q q a q a ②÷①得 21,813==
q q 即 ， 将2
1=q 代入①得 81=a ， 1)2
1(83314=⨯==∴q a a ， 2312
11)21(181)1(5515=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯=--=q q a s 二． {x|x<-1或x>5}
三． 解:(1)由2sin (A ＋B)－3＝0，得sin (A ＋B)＝32
. ∵△ABC 为锐角三角形，∴A＋B ＝120°，∴∠C＝60°.
(2)∵a，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两个根， ∴a＋b ＝23，ab ＝2.
∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b)2－3ab ＝12－6＝6. ∴c＝ 6.
②
S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×32＝32
. 21．（1）依题意，可知方程2520ax x +-=的两个实数根为
12
和2， 由韦达定理得：12+2=5a - 解得：a =－2
（2）1{3}2
x x -<<
22.解： 322-==n a d n 时，当 1322+-=-=n a d n 时，当
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