质点运动学典型例题3

求解离心机工作的情况离心机常用来分离不同密度的各种物质，如油脂、生物制品和各种同位素（如图一）。

设离心机的转速,/100S r n =求距离转轴的距离cm r 10=处的颗粒在使用离心机时与未使用时沉降加速度之比值。

解：在未使用离心机时，试管处于铅直方向，液体中的颗粒受到重力G 和浮力1F 的作用，如图二，忽略颗粒运动时所受到的液体的阻力。

此时颗粒运动的加速度为1a ，根据牛顿运动定律，得11ma F mg =-如颗粒的体积为V ，密度为ρ，而液体的密度为ρ'，则.1g a ρρρ'-= 使离心机旋转时，试管处于水平位置。

这是液体中的颗粒受到周围液体对它的作用力2F ，如图三，此力的大小可以通过所在处，形状与大小和颗粒完全相同的液滴所受的向心力来计算。

因为此液滴与其它部分的液体一起做匀速圆周运动而不会向试管底部运动，即周围液体对液滴的作用力，等于液滴做匀速圆周运动所需的向心力，因而.22ωρVr F '=如取离心机为参考系，则颗粒还受到惯性离心力F ' 的作用，其大小为22ωρωVr mr F =='。

在非惯性系中，颗粒的运动方程为22ma F F =-',222Va Vr Vr ρωρωρ='- 即.22ωρρρr a '-= 因而 gr a a 221ω= 代入数值，得到40288.9)1002(1.0221=⨯⨯=πa a 这就大大加快了沉淀或分离的速度。

现代超离心机可使此值高达,106在小范围内 甚至可达810，从而使原子量今相差1%的同位素的分离成为可能。

在非惯性系中求解球环系统的运动情况一轻绳的两端分别连接小球A 和小环B ，球与环的质量相等，小环B 可在拉紧的钢丝上作无摩擦的滑动，如图一。

现使小球在图示的平面内摆动。

求：小球摆离铅垂线的最大角度θ时小环和小球的加速度。

解：当小球摆动时，小环沿钢丝做加速运动。

以小环B 为参考系，则小球受重力和绳子拉力外，还受惯性力B ma F =惯的作用，如图二。

其加速度A a '沿圆弧的切线方向。

在最大摆角为θ时的运动方程为,0cos sin =-+θθmg F T 惯A a m F mg '=+θθcos sin 惯小环B 在水平方向的运动方程为B ma T =θsin .解方程，得到)sin 1(sin 2,)sin 1(22sin 22θθθθ+='+=g a g a A B 。

小球A 相对地的加速度B A A a a a +'=，取如图二所示的坐标系，则有,)sin 1(22sin cos 2g a a a B A Ax θθθ+=-'= .)sin 1(sin 2sin 22g a a A Ay θθθ+='= 分析潮汐的成因潮汐主要是海水受月亮（和太阳）的引力造成的，同时又在作公转的地球这一非惯性系中受惯性力的作用。

试推导出地—月系统中引潮力的关系式。

解：忽略地球自转对海水的粘滞力。

以地球中心为原点，取地球和月球的质心连线为x 轴，y 轴与之垂直，如图一所示。

P 是某一块质量为m ∆的海水，这块海水受月球的吸引力为.302r r mM G r r mM G F ''∆=''∆= 月月引 因为任何质点在地心参考系内所受的惯性力，等于把它放在地心处时所受引力的负值，所以r r mM G r r mM G F 302月月惯∆-=∆-= 引潮力即为引F 与惯F 的合力，即.33）（月惯引潮rr r r mM G F F F -''∆-=+= 由图可以看出R r r -='θcos 222Rr R r R r r -+=-=' 故得，）（月潮32/322)cos 2(rr rR R r R r mM G F --+-∆=θ。

现在考虑地球上A 、B 、C 、D 四点海水受力情况，如图二.在A 点，海水受月球的引力引F 和惯性力惯F 的方向相反，由于A 点离月球比地球中心离月球近（相差一个地球半径的距离），所以引F 〉惯F ，A 点的引潮力潮F 指向月球。

C 点的情况正好与A 点相反，引F 〈惯F ，引潮力潮F 背离月球。

B 点的海水所受的引力与惯性力大小几乎相等（引F 略小于惯F ），但方向略有差异，故引潮力潮F 的方向指向地球中心，但其大小比A 点和C 点小。

D 点的情况与B 点相仿，引潮力潮F方向也是指向地球球心。

下面作定量计算。

因 ,cos )(θR r R r x -=- θsin )(R R r y -=- . 故;cos 2]1)cos 3cos 1[(]1)cos 31)(cos 1[(]1)cos 21)(cos 1[(]1)cos 21(cos 1[]1)cos 21(cos 1[3222/322/322/3222θθθθθθθθθθθR r m M G r R r R r m M G r R r R rm M G r R r R rm M G r R r R r m M G rR r R r R r m M G F x 月月月月月月潮）（∆=-+-∆≈-+-∆≈---∆=---∆≈-+--∆=- θθcos sin 32R rmM G r R r mM G F y 月月潮）（∆-=⋅∆-= 在0=θ和π处（即离月球最近和最远处），引潮力是背离地心的，在这些地方形成海水的高峰；在2πθ=和23π处，引潮力指向地心，形成海水的低谷。

随着地球的自转，一昼夜之间有两个高峰和两个低谷扫过每一个地方，形成两次高潮和两次低潮。

昼胀称潮，夜胀称汐。

上面的讨论没有涉及太阳的引力作用。

但是上面导出的引潮力公式也适用于太阳，只是把其中的月M 和月r 分别代之以太阳的质量日M 和日地间距日r 。

此公式表明引潮力与质量成正比，与距离的立方成反比，因此.18.2)1084.31050.1(1099.11035.735830222=⨯⨯⨯⨯==km km kg kg r r M M F F ）（）（）（月日日月日潮月潮可见月球的引潮力是太阳的2倍多。

事实上，潮汐是日、月引潮力线性叠加的结果，而合成的结果又与日、月的相对方位有关。

在朔日和望日，太阳和地球几乎在同一直线上，两引潮力彼此相加，形成每月的两次大潮。

求解在立体斜面上滑动的物体的速度一物体放在斜面上，物体与斜面间的摩擦因数μ恰好满足αμtg =，α为斜面的倾角。

今使物体获得一水平速度0V 而滑动，如图一，求：物体在轨道上任意一点的速度V 与φ的关系，设φ为速度与水平线的夹角。

解：物体在某一位置所受的力有：重力G，弹力N 以及摩擦力f 。

摩擦力f 总是与运动速度V 的方向相反，其数值ααααμμsin cos cos mg mg tg mg N f ====重力在斜面上的分力为1G ，如图二，将1G 分解为两个分力：1G ''是1G 沿轨迹切线方向的分力，φαφsin sin sin 11mg G G =='' ；1G'是沿轨迹法向的分力，φαφcos sin cos 11mg G G =='，如图三。

根据牛顿运动定律，得运动方程为τma f G =-''1（1） n ma G ='1（2） 由（1），)1(sin sin )sin sin sin (1-=-=φααφατg mg mg ma 而 ,dt dV a =τ得到 ,)1(sin sin dt g dV -=φα （3）式中φ是t 的函数，但是这个函数是个未知函数，因此还不能对上式积分，要设法在φ与t 中消去一个变量，才能积分，注意到φφd d dsV V dSdt 1== （4） 而φd ds表示曲线在该点的曲率半径ρ，根据（2）式，ρφα2cos sin V m mg = （5）由式（3）（4）（5），可得到,)sec (φφφd tg V dV-=φφφφd tgV dVV V ⎰⎰-=00)sec (， 积分，得到)sin 1ln()ln(sec cos ln ln 0φφφφ+-=+--=tg V V，.sin 10φ+=V V运用积分法求解链条的速度及其时间一条匀质的金属链条，质量为m ，挂在一个光滑的钉子上，一边长度为1L ，另一边长度为,2L 而且120L L <<，如图一。

试求：链条从静止开始滑离钉子时的速度和所需要的时间。

解：设金属链条的线密度为.21L L m+=λ当一边长度为x L +1，另一边长度为x L -2时受力如图二所示，则根据牛顿运动定律，得出运动方程,)()(11a x L T g x L λλ+=-+.)()(22a x L g x L T λλ-=--则.2)(2121g L L x L L a ++-= 因为dx VdV dt dx dx dV dt dV a ===，所以 ,2)(2121g L L x L L dx VdV ++-= ⎰⎰++-=x Vgdx L L x L L VdV 0212102)( .)(222121x x L L L L g V +-+= 令,2L x ≈可以求得链条滑离钉子时的速度大小21212L L g L L V += 再由,dtdx V =得到 22121)(2x x L L L L g dtdx +-+= ,20210221dt L L g x x L L dxt x ⎰⎰+=+-）（ 积分，得到,2])(2)(2ln[21022121t L L g x x L L L L x x +=+-+-+ ,2)(2)(2ln 212122121t L L g L L x x L L L L x +=-+-+-+ 令x=2L ,可以求得链条滑离钉子所需的时间为.ln 22ln 221212121212121L L L L g L L L L L L L L g L L t -++=-+++=求解棒下落过程中的最大速度在密度为1ρ的液体上方有一悬挂的长为L,密度为2ρ的均匀直棒，棒的下端刚与液面接触。

今剪断细绳，棒在重力和浮力的作用下下沉，若21ρρ<，求：棒下落过程中的最大速度。

解：剪断细绳后，直棒在下沉过程中受到重力G 和浮力F 的作用，如图一所示。

根据牛顿运动定律，有.dtdV m F mg =- （1） 随着棒往下沉，浮力逐渐增大。

当直棒所受合力为零，即mg F =时，棒的加速度为零，速度最大。

设棒达到最大速度时，棒浸入液体中的长度为1L ，设棒的截面积为S ，则有,211SLg g SL ρρ=解得，.121L L ρρ= （2） 取x 坐标如图所示，则（1）式可以写为.212dtdV SLSxg SLg ρρρ=- 做变量代换，令,dx dV V dt dx dx dV dt dV ==代入上式，得到 ;)1(21VdV gdx L x =-ρρ 两边积分，得到 ⎰⎰=-110021)1(V L VdV gdx L x ρρ 得到，212121121)21(V L L g gL =-ρρ 将（2）式代入（3）式，得棒的最大速度为.121Lg V ρρ= 运用微分法求解阻尼平抛质量为m 的物体，以初速为0V ，方向与地面成0θ角抛出。