第三章 截面图形的几何性质

sy Az
如图形对某一轴的静矩等于零，则该轴必过形心。 图形对形心轴的静矩等于零。
二、组合图形 由几个简单图形组成的平面图形称为组合图形
图形各组成部分对于某一轴的静矩之代数和， 就等于整个图形对于同一轴的静矩。
组合图形静矩的计算公式为
n
Sz
Ai
y i
i 1
n
Sy
Ai
z i
i 1
其中：A —— 第i 个简单图形 i
h
因此 d A b (h y) d y 所以对 x 轴的静矩为
h
S z
yd A
A
h b (h y) y d y bh2
0h
6
例 试确定图示截面形心 C 的位置。
解：将截面分为 1，2两个矩形
取 y 轴和 z 轴分别与截面
的底边和左边缘重合
n
y
Ai
y i
i 1
n
Ai
A1
y 1
A1
——
第 i个简单图形对 y ,z 轴的惯性矩、
惯性积。
组合图形的惯性矩，惯性积
n
I y I yi i 1
n
I z I zi i 1
n
I I
yz
yzi
i 1
例 求梯形截面对其形心轴 yc 的惯性矩。
解：将截面分成两个矩形截面。
截面的形心必在对称轴 zc 上。
取过矩形 2 的形心且平行 于底边的轴作为参考轴， 记作 y 轴 。
I y I y a2 A C
I z I zC b2 A
I I yz
y C
zC
abA
a
C(a,b)
yc
ob
y
【例题】
已知： 求：
I yc
bh3 12
Iy
zc
h
C
yc
解：
y
b
I y I yc a2 A
bh3
h 2
bh
bh3
12 2
3
二、组合图形的惯性矩 惯性积
I yi
I zi
I yzi
o
2
y 2 80
z2
10
y
所以
y
A1 y1 A 2 y2
A 1
A 2
37500 1900
20mm
z
A 1 z1 A
1
A 2 z2 A2
75500 1900
40mm
z 10
1
y 1
C(y, z)
z1
o
2
y 2 80
z2
10
y
20
例 试计算图示T型截面的形心位置。
解：zC=0，只需计算yC
将截面分为I、II两个矩形，建立如 图所示坐标系。
o
yc , zc ——过图形的形心 c 且与 y , z
轴平 行的坐 标轴（形心轴）
zc
C(a,b)
yc
b
y
Iy , Iz , Iyz _____ 图形对 y , z 轴的惯性矩和惯性积。
Iyc ,Izc , Iyc zc —— 图形对形心轴yc , zc 的惯性矩和惯性积。
则平行移轴公式为
z
zc
20 140
zc
20
1
yc
2
y
100
A1 20140 A2 100 20
z1 80
z2 0
所以截面的形心坐标为
z A1 z1 A2 z2 46.7mm A1 A2
20 140
zc
20
1
yc
2
z
y
100
I1 yC
1 12
20 1403
各矩形的面积和形心坐标如下：
A A 20mm 60mm=1200mm2
yC 10mm
于是：
yC 50mm
yC
yC Cy
60 z
C z
C zC
C
z
y 20
60
yC
Ai yCi A yC A yC 1200mHale Waihona Puke Baidu2 10mm+1200mm2 50mm 30mm
Ai
A A
1200mm2 1200mm2
y
Iz
Iy
d 4
64
Ip
d 4
32
y
D 4 d 4
Iy Iz
64
D 4 (1 4 )
64
dD
Ip
D 4
32
(1 4 )
§3-3 平行移轴公式
一、 平行移轴公式
z y , z ——任意一对坐标轴
C —— 图形形心
a
（a , b ) _____ 形心 c 在 yoz 坐标系下的
坐标。
y
解：建立如图所示坐标系，取图示微元
dA, dA 2πd
d
IP
2dA
A
d 2
2 (2πd)
πd 4
0
32
O
z
由于圆截面对任意方向的直径轴都是对
称的，故
Iy Iz
d
所以
Iy
Iz
IP 2
πd 4 64
常见图形的惯性矩 矩形：
b
圆形： d
h
z
z
空心圆形： D d
z
y
Iz
bh3 12
Iy
hb3 12
y
z dz
解：取平行于z轴的狭长条作为面积 元素，则 dA bdy
h y dy
Iz
y2dA
A
h
2 h
2
by2dy
bh3 12
O
z
同理
Iy
z2dA
A
b
2 b
2
hz2dz
b3h 12
b
因为z轴（或y轴）为对称轴，故惯性积 I yz 0
例 试计算图示圆形截面对O点的极惯性矩IP和对于其形 心轴（即直径轴）的惯性矩Iy和Iz。
§3-2 惯性矩和惯性积
定义：
截面对 O 点的极惯性矩为
I p
A
2dA
z
z
dA
y
y O
图形对 y , z 轴的惯性矩分别为
I y
A
z 2d A
I z
A
y 2d A
因为 2 y2 z2
I p
A
2dA
所以
I I I
p
y
z
z
z
dA
y
y 0
图形对 y , z 轴的惯性半径为
i y
I y
( yi , zi ) —— 第 i 个简单图形的形心坐标
计算平面图形的形心 C 坐标公式如下：
n
A i
y i
y i1 n
A i
i 1
n
A i
z i
z i1 n
A i
i 1
例1 试计算图示三角形截面对于与其底边重合的z轴的静矩。
y
h y dy
b(y )
O
z
b
解： 取平行于z轴的狭长条， 易求 b( y) b (h y)
A2
y 2
A2
i 1
z A1 z1 A2 z2 A1 A2
z 10
y 1 1
z1
z2
2 10
oy
y
2
80
矩形 1
A1 10 120 1200mm2
y 5mm 1
z1 60mm
矩形 2
A2 10 70 700mm2
y 10 70 45mm
2
2
z2 5mm
z 10
1
y 1
z1
平面图形的几何性质
一、定义
§3-1 静矩和形心
z
图形对 z , y 轴的静矩为：
dA
sz A ydA
z
sy AzdA
oy
y
静矩可正，可负，也可能等于零。单
位为：m3、cm3、mm3
z
平面图形的形心 C
坐标公式为：
y A ydA S z
zz
AA
dA
c
z A zdA S y
Oy
y
A
A
y
sz Ay
,
A
i
I z
z
A
图形对 y , z 轴的惯性积为
I yz
A
yzdA
惯性矩的数值恒为正，惯性积则可能为正值，负值，
也可能等于零。
z
若 y , z 两坐标轴中有一个为
dA z
图形的对称轴，则图形对 y , z 轴的 惯性积一定等于零 。
yy
y
例 试计算图示矩形截面对于其对称轴（即形心轴）z
和y的惯性矩Iz和Iy，及其惯性积Iyz。