13.4《最短路径问题》课件

·B
作法：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，
2.连接AE交河对岸与点M,
则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。
证 明 ： 由 平 移 的 性 质 ， 得 BN∥EM 且 BN=EM, MN=CD, BD∥CE, BD=CE,
所以A.B两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,
MP
l
三角形任意两边之和大于第三边
B/
证明: 在L上任取另一点M,连结AM 、 BM、B‘M.
∵ 直线 L是点Ｂ、Ｂ‘的对称轴，点P、M 在对称轴上，
∴PB=PB',MB=MB'.
∴AP+PB=AP+PB'=AB'
A
在△AMB'中， AM+MB'>AB',
MP
∴AM+MB>AP+PB, 即AP+PB 最小.
A/
。
A
C B小明
l
巩固新知
1.龟兔赛跑新规则：参赛者从A点出发到达直
练 线a上任意一点后，再回到直线a同侧的终点B，
习 一
最先达到终点者胜。下面是小猫、小猪、小猴、 小熊为他们设计的路线，其中路程最短的是（）
B
A
A
B A
B B
A
C
小猫
a C小猪a来自aC小猴
A‘
a C
小熊
2. 问题：如图所示，要在街道旁修建一个奶
. D
E
C
所以抽水站应建在河边的点D处，
如果另一侧放着一些小木棍，小明
还要跑到另一侧去取小木棍，则又应按
怎样的路线跑，去捡哪个位置的球、小
木棍，才能最快跑到目的地A?你能说
说为什么吗?
A/
。
l2
NA
M
B/ 。 l1
B小明
架桥问题
1. 如图，A.B两地在一条 河的两岸，现要在河上建 一座桥MN，桥造在何处 A· 才能使从A到B的路径 AMNB最短？（假设河的 两岸是平行的直线，桥要 与河垂直）
若桥的位置建在CD处，连接AC.CD.DB.CE, 则AB两地的距离为：
A·
MC
AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,
在△ACE中，∵AC+CE＞AE, ∴AC+CE+MN＞AE+MN, 即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN
ND E
所以桥的位置建在CD处，AB两地的路程最短。
B
• 4. 如图：C为马厩，D为帐篷，牧马 人某一天要从马厩牵出马，先到草地 边某一处牧马，再到河边饮马，然后 回到帐篷，请你帮他确定这一天的最 短路线。
作法：作点B关于直线 a 的对称点点C,连接AC交直线a于点D，则 点D为建抽水站的位置。
证明：在直线 a 上另外任取一点E，连接AE.CE.BE.BD,
∵点B.C关于直线 a 对称,点D.E 在直线 a上，∴DB=DC,EB=EC, ∴AD+DB=AD+DC=AC,
A.
·B
a
AE+EB=AE+EC 在△ACE中，AE+EC＞AC, 即 AE+EC＞AD+DB
第十三章 轴对称
13.4 课题学习 最短路径问题学.科.网.
教师：
如图所示，从A地到B地有三条路可供选
择，你会选走哪条路最近？你的理由是
什么？ 学.科.网.zxxk
C ①D E
A
②
B
两点之间,线段最短
③
F
(Ⅰ)两点在一条直线异侧
已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一 点P，使得PA+PB最小。
同理HD=HE，ND=NE,
F
∴CM+MN+ND=FM+MN+NE=AFE,
M
CG+GH+HD=FG+GH+HE,
·C
GO
H N
在四边形EFGH中，
∵FG+GH+HE＞FE（两点之间，线段最短），D ·
E
即CG+GH+HD＞CM+MN+ND
B
即CM+MN+ND最短
(Ⅲ)一点在两相交直线内部
已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两 边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周 长最小. 分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在 一条直线上时，三角形的周长最小
D
B
C
E
(Ⅲ)一点在两相交直线内部
知识链接
已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两 边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周 长最小.
练 角平分线OC上找一点P，使MP+NP最小，下列作
习 法正确的是（）
二
A N
A N
C
C
M
M
P
P O
（A） A
N
M
B C
P
O
B
（C）
O （B） A N
M P
O （D）
B C
N’ B
2. 如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便 灌溉作物， 要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问 该站建在河边什么地方， 可使所修的渠道最短，试在图中确定 该点。
作法：1.作点C关于直线
A
饮马问题
F
G
O
OA 的 对称点点F, 2. 作点D关于直线 OB
的对称点点E,
·C
H
D·
E
3.连接EF分别交直线OA.OB于
B
点G.H，
则CG+GH+DH最短
最短路线：A P Q B
N
A/
P
Q
B/
A
M
B
l
证明：在直线OA 上另外任取一点G，连接…
∵点F,点C关于直线OA对称，点G.M在OA上， ∴GF=GC,FM=CM,
连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。
P
思考？？？ 为什么这样做就能得到最短距离呢？
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根据：两点之间线段最短.
如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇 供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线 最短？
所以泵站建在点P可使输气管线最短
应用
P
(Ⅱ) 两点在一条直线同侧
B
l
B/
探究1
A.
探究1与探究2的区别与联系
探究2
A.
C
L
.B
B.
C
L
. B’
直线异侧两点到直线上 一点的距离和最小问题
轴转 对 称化
直线同侧两点到直线上 一点的距离和最小问题
八年级(5)班同学做游戏，在活动区 域边放了一些球(如下图)，则小明按 怎样的路线跑，去捡哪个位置的球， 才能最快拿到球跑到目的地A?
如图，直线L同侧有两点A、B。
在直线L上求一点p，使它到Ａ、Ｂ两
点的距离之和最小？
B
A
l
p
B/
已知：如图,A、B在直线L的同一侧，在L上 求一点P，使得PA+PB最小.
作法：① 作点B关于直线l的对称点B/.
② 连接AB/,交直线l于点P.
B
点P的位置即为所求. A
为什么这样做就能得 到最短距离呢？
站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地 方，才能使从A、B到它的距离之和最短．
请你自己动手 试一试！
归纳
• 只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小．作点 A关于直线“街道”的对称点A′，然后连接A′B，交“街 道”于点C，则点C就是所求的点．
巩固新知
1.∠AOB的边OA上有两点M、N，在∠AOB 的