相对论力学和电动力学-DSL

相对论的多普勒效应公式
当
v << c
ω ≈ ω0
则
v 1 − cos θ c
经典多普勒效应公式
若迎着光源运动方向观察辐射，由于 θ = 0 则
ω = ω0
1+ v c 1− v c
显 然 ω > ω 0 (v < < c )
π
2
这种现象称为纵向多普勒效应
θ= 若在垂直于光源运动方向观察，
则
ω = ω0 1 − ( v c ) 2
第二讲 相对论力学和电动力学
Relativistic Mechanics and Electrodynamics
6.3 相对论理论的四维形式
1、洛伦兹变换的四维形式 洛伦兹变换的四维形式 洛伦兹变换形式为
v t− 2 x x − vt ' c x' = ,t = v2 v2 1− 2 1− 2 c c y ' = y, z ' = z
Σ → ω，k Σ ' → ω '，k'
（2）多普勒效应
'
推导
v ω = ωγ (1 − cos θ ) c
若 ∑ ′ 为光源的静止参照系，则 ω ′ = ω 0， ω 0 为静 止光源的辐射角频率。 光 射角 率
ω'
v γ (1 − cos θ ) c
2 v ω0 1 −
ω=
=
c2
v (1 − cos θ ) c
' '
′ = k3 k3
v c
( μ = 3)
( μ =4 )
v c cos θ −
ω ′ = ωγ (1 − cos θ )
cos θ ′ =
光行差公式
tgθ ′ = sin θ v γ (cos θ − ) c
v 1 − cos θ c
v2 sin θ 1 − 2 c sin θ ′ = v 1 − cos θ c
1 1− β 2
β= , γ=
令x1 = x, x2 = y, x3 = z , x4 = ict , 则上式可写为
γ
′ = aμγ xγ xμ
洛伦兹变换
′ = aμγ xγ ≡ ∑ aμγ xγ = aμ 1 x1 + aμ 2 x2 + aμ 3 x3 + aμ 4 x4 其中xμ
1 ⎡ ⎢ 2 − 1 β ⎢ ⎢ 0 令：A = ⎢ 0 ⎢ ⎢ iβ ⎢− 2 ⎢ − β 1 ⎣
Uμ =
dt = dτ
dxμ dτ
1 = γu
u2 1− 2 c
U μ = γ μ (u1 , u2 , u3 , ic )
四维速度分量
dxμ dt 1 Uμ = ⋅ = uμ = γ u uμ 2 2 dt dτ 1− u c 其中uμ = dxμ dt ,( (μ =1,2,3)为通常意义下的速度 =1 2 3)为通常意义下的速度
0 0 1 0 0 1 0 0
⎤ ⎥ 1− β 2 ⎥ 0 ⎥ ⎥ 0 ⎥ 1 ⎥ ⎥ 2 1− β ⎥ ⎦
iβ
矩阵A为洛伦 兹变换矩阵
% = A−1或AA % = I , I 为单位矩阵 A的转置是A的逆矩阵 A
.
a μλ a μγ = δ λγ
δ λγ
⎧ 1, λ = γ =⎨ ⎩ 0, λ ≠ γ
A是正交矩阵,洛伦茲变换是正交变换
洛伦兹变换的反变换
′ = aμγ xγ xμ aμλ aμγ = δ λγ
′ aμ μλ xμ = xλ
例1.利用洛伦兹变换证明间隔不变性。 证明：
2 2 2 S 2 = x 2 + y 2 + z 2 − c 2t 2 = x12 + x2 + x3 + x4 = xλ xλ
同理：
′ xμ ′ S ′ 2 = xμ
′ xμ ′ = aμγ xγ aμλ xλ = δ λγ xγ xλ = xλ xλ 有 xμ 即S′2 = S2 , 可见间隔在洛伦兹 变换下是不变的。
2、物理量按洛伦兹变换性质分类 物理量按洛伦兹变换性质分类 （1）标量 物理量在洛伦兹变换下不变的量
例：间隔S 2 = xμ xμ，dS 2 = dxμ dxμ 为标量
显然ω < ω0 ( v << c )
这种现象称为横向多普勒效应
Σ ′y
Σ
纵向多普勒效应
v
o 当 θ =0
S
ω = ω0

1+ v 1− v
c >ω 0 c
Σ
S
v
横向多普勒效应 当 θ = 90o
Σ′
y
ω = ω0 1 − ( v c ) 2 < ω0
（3）光行差公式 光行差代表在不同的参考系观察光的传播方 向之间的关系。 向之间的关系
（2）矢量 与坐标有同样变换关系的量
′ = aμγ gγ gμ ′ = aμλ aγρ Tλρ （3）张量 张量的变换关系为 Tμγ
∂ ' ∂xμ
举例计算：偏导运算变换 达朗贝尔算符□= 固有时的微分形式
∇2 −
1 ∂ c 2 ∂t 2 1 dτ = dS c
四维速度矢量U μ
u2 dτ = dt 1 − 2 c
Σ
v k
Σ
θ
'
v
v k′
θ′
vω ⎞ ⎛ k1′ = a11k1 + a14 k4 = γ ⎜ k1 − 2 ⎟ c ⎠ ⎝
k1 = k cos θ =
k =
' 1
ω
c
cos θ
ω'
ω'
c
vω ⎞ ⎛ω cos θ = γ ⎜ cos θ − 2 ⎟ c c ⎠ ⎝c
'
cos θ '
v⎞ ⎛ 即 ω cos θ = γ ⎜ cos θ − ⎟ ω 即： c⎠ ⎝ ′ = k2 k2 ( μ = 2)
还可以通过速度变换公式求得
4、物理规律的协变性 物理规律的协变性 相对论原理要求一切惯性参考系都是等价的。在 不同惯性系，物理规律应该表现为相同的形式， 即物理规律的协变性。 例如在 Σ 系中
Fμ = Gμ
′ Σ → Σ′ Fμ′ = aμν Fν = aμν Gν = Gμ
′⎞ ⎡ γ ⎛ x1 ⎜ ′⎟ ⎢ ⎜ x2 ⎟ = ⎢ 0 闵可夫基四维坐标 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ′⎟ ⎢ 0 ( x , y , z ,ict ) → ⎜ x3 ⎜ ⎟ ⎢ ′ ⎠ ⎣ −i βγ ⎝ x4
v c
0 0 i βγ ⎤ ⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ x 1 0 0 ⎥ ⎥⎜ 2 ⎟ 0 1 0 ⎥ ⎜ x3 ⎟ ⎥⎜ ⎟ 0 0 γ ⎦⎝ x4 ⎠
′ = aμγ U γ 参考系变换时， U μ
3、多普勒效应与光行差公式 多普勒效应与光行 公式 （1）四维波矢量 k μ四维相位 φ v v 四维相位φ = k ⋅ x − ω t是标量
v iω iω k μ = (k1 , k2 , k3 , ) = ( k , ) c c
' k 满足洛伦兹变换 μ = aμν kν