实数完备性定理的证明及应用
《数学分析》实数完备性七大定理证明与七大定理相互证明
实数完备性的证明第一部分七个定理的证明1. 单调有界定理区间套定理证明：已知a n a n 1 （n），a n b n b l，由单调有界定理知｛a n｝存在极限，设lim a n = r，同理可知｛b n｝存在极限，设lim b n = rn ，由lim ( b nna n ) =0 得r r =0即r rn,有a n b n，令n ，有a n r r b n , n ,有a n r b n。
下面证明唯性。
用反证法。
如果不然。
则r i r2 , 同时对任意 a A , a r i , a D对任意b 有b r i b r2，不妨设r i r2 ,令r' r i r2 显然r i r' r22r A , r' B,这与A | B是R的一个分划矛盾。
唯-性得证。
定理证完。
2. 区间套定理确界定理证明：由数集A非空，知a A，不妨设a不是A的上界，另外，知b是A的上界，记［a i，b i ］=［a，b］，用a i，b i的中点电虫二等分［a i，b i］，如果引b i是A的上界，2 2则取［a2，b2】=［a i a i b i ］；如果a i b i不是A的上界，则取［a?，2 2b2】=［a S , b i］；用a2 , b2的中点邑匹二等分［a2 , b2】……如此继2 2续下去，便得区间套［a n , b n］。
其中a n不是A的上界，b n是A的上界。
n i由区间套定理可得，唯一的r ［a n, b n］，使lim a n = lim b n = r。
x A ,n nn nn i由 x b n ( n=1，2，)，同理可证非空有下界数集有下确界。
定理证完 3. 确界定理T 有限覆盖定理证明：设E 是闭区间［a , b ］的一个覆盖。
定义数集A={x a |区间［a ，x ］在E 中存在有限子覆盖}从区间的左端点x a 开始.由于在E 中有一个开区间覆盖a ,因此a 及其右侧充分邻近的点均在 A 中.这就保证了数集A 是非空的.从数 集A 的定义可见，若x A,则整个区间［a ，x ］ A.若A 无上界，则b A,那么［a ，b ］在E 中存在有限子覆盖. 若A 有上界，由确界定理可得r,使r=supA 。
数学分析第七章 实数的完备性[精]
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例: 数集S = {1}有唯一聚点 0,0S. n
开区间(0,1)的全体聚点之集是闭区 间[0,1].
说明: 聚点概念和下面两个定义等价:
定义2' 对于点集 S , 若点 x 的任何 邻域都含有 S中异于x 的点,即 U。(x; ) S ,则称 x 为 S 的聚点.
若 H 中开区间的个数是无限(有限)的, 则称 H 为 S 的一个
无限(有限)开覆盖.
例 开区间集
H = {(x - b - x , x + b - x) | x (a,b)}
2
2
覆盖[a, b), 但不能覆盖[a, b].
•2 定理7.3 (Heine-Borele 有限覆盖定理)
设H 为闭区间 [a,b] 的一个(无限)开覆盖,则从 H 中可 选出有限个开区间来覆盖 [a,b] .
数列{an}收敛 0, N 0,使得对m, n N, 有 an - am < .
证明"必要性" "充分性"
例 若数列{an}满足 an = 0.9 sin 0.9 + 0.92 sin 证明数列{an}收敛.
0.9 +L+ 0.9n sin n 0.9
二 聚点定理
•定义2 设 S 为数轴上的点集, x 为定点,(它可以属于S ,也可以不属于 S
但不能从中选出有限个 覆盖(0,1).
四 小结
(1) 区间套的概念; (2) 区间套定理; (3) 聚点的概念; (4) Weierstrass聚点定理; (5) 开覆盖的概念; (6) Heine-Borel有限覆盖定理;
实数完备性定理的等价性证明及其应用
实数完备性定理的等价性证明及其应用一、实数完备性定理的等价性证明：1.柯西收敛准则证明实数完备性：我们假设存在一个无穷序列{an}，满足对于任意的正实数ε，都存在正整数N，使得当m > n > N时，有，am - an，< ε。
由于{an}是有序序列，它必然有上确界和下确界。
我们将上确界记为A，下确界记为B。
首先，我们来证明A和B是相等的。
假设A > B，那么A - B > 0，根据柯西收敛准则，我们可以找到正整数N1，使得当p > q > N1时，有，ap - aq， < A - B。
由于A是上确界，所以存在一个正整数n1，使得an1 > A - (A - B) = B。
同样地，我们可以找到正整数N2，使得当r >s > N2时，有，ar - as， < A - B。
由于A是上确界，所以存在一个正整数n2，使得an2 > A - (A - B) = B。
由于n1和n2是正整数，所以我们可以取N = max{N1, N2}，使得当p > q > N时，有，ap - aq， < A- B。
但是，同时存在正整数n1和n2，使得an1 > B和an2 > B，与前面所述矛盾。
因此，A和B必然相等，记为C。
接下来，我们证明C是这个序列的极限。
假设对于任意的正实数ε，存在一个正整数N，使得当n > N时，有，an - C，< ε。
我们取ε =ε/2，那么根据柯西收敛准则，必然存在一个正整数N，使得当p > q >N时，有，ap - aq，< ε/2、由于C就是上确界和下确界，所以必然存在正整数n > N，使得，an - C，< ε/2、根据三角不等式，我们有，ap - C，≤ ，ap - aq， + ，aq - C，< ε/2 + ε/2 = ε。
因此，C就是这个序列的极限，这就证明了实数完备性。
《数学分析》实数完备性七大定理证明与七大定理相互证明
《数学分析》实数完备性七大定理证明与七大定理相互证明在数学分析中，实数完备性是一个非常重要的概念。
实数完备性是指实数轴上不存在任何空缺的性质，即任何实数序列都有收敛的子序列。
实数完备性可由七大定理进行证明，并且这七个定理之间也可以相互证明。
下面将对这七大定理进行证明，并且展示它们之间的相互证明。
第一个定理是确界定理（或称上确界定理）。
它的表述是：有上界的非空实数集必有上确界。
证明如下：先证明存在性，假设S是有上界的非空实数集，令M为S的一个上界，那么对于S中的任意元素x，都有x≤M。
接下来我们来证明M是S的上确界。
首先，我们要证明M是S的一个上界，即对于任意x∈S，x≤M。
其次，我们要证明对于任意ε>0，存在一个元素s∈S，使得M-ε<s≤M。
这两点都可以使用导致上确界的性质来证明。
因此，我们证明了确界定理。
第二个定理是区间套定理。
它的表述是：若{[an,bn]}是一个递减的闭区间序列，并且满足an≤bn，则存在一个唯一的实数x同时含于所有闭区间[an,bn]中。
证明如下：首先，我们证明了区间套的任意两个闭区间之间的交集不为空。
其次，我们证明了{an}是一个递增有上界的实数序列，{bn}是一个递减有下界的实数序列。
因此，根据实数完备性的定义，存在唯一的实数x满足an≤x≤bn，即x属于所有闭区间的交集。
第三个定理是柯西收敛准则。
它的表述是：一个实数序列是收敛的充分必要条件是它满足柯西收敛准则，即对于任意ε>0，存在自然数N，使得当m,n≥N时，有，am-an，<ε。
证明如下：首先，我们证明了柯西收敛准则蕴含了实数序列的有界性。
其次，我们证明了柯西收敛准则蕴含了实数序列的单调性。
因此，根据实数完备性的定义，实数序列的柯西收敛准则是实数序列收敛的充分必要条件。
第四个定理是实数域的离散性。
它的表述是：任意两个实数之间必存在有理数和无理数。
证明如下：假设a和b是两个实数，并且a<b。
用有限覆盖定理证明实数完备性的几个定理
用有限覆盖定理证明实数完备性的几个定理实数完备性是指实数集在实数轴上没有空隙，并且实数集没有空缺。
有限覆盖定理是证明实数完备性的一个重要工具。
下面我将用有限覆盖定理证明实数完备性的几个定理。
1.实数的确界性：任意非空有上界的实数集合A必有上确界。
证明过程如下：假设A是一个非空有上界的实数集合，我们要证明A存在上确界b。
由于集合A非空，因此存在一个实数x1，使得x1∈A。
由于A有上界，因此存在一个实数M，使得对于任意的a∈A，有a≤M。
我们可以构造一个实数集合B={M-δ，δ>0}，即B中的每个元素都是M减去一个正数。
根据有限覆盖定理，实数集合B必存在上确界c。
根据实数的稠密性，存在一个实数x2，使得x2∈A，并且x2>c-δ，其中δ>0。
从而得出M>x2>M-δ=c，即x2是集合A的一个上界。
综上所述，集合A的上界x2是集合A的上确界，即A存在上确界。
2.单调有界定理：单调有界数列必有极限。
证明过程如下：假设{an}是一个单调递增的有上界的数列，要证明数列{an}收敛。
由于数列{an}有上界，根据有限覆盖定理，存在一个实数b，使得b为数列{an}的上确界。
根据实数的稠密性，存在一个实数x，使得b>x>x-1，即x在实数轴上有一个邻域(x-1,x)。
由于数列{an}是递增的，因此存在一个正整数N，使得对于任意的n > N，都有an > x。
那么对于n > N，我们有：x - 1 < x < an ≤ b，即an在实数轴的邻域(x-1,x)中。
根据极值定理，我们得知数列{an}的确存在极限。
3.至少有一个无理数存在于任意两个有理数之间：证明过程如下：假设存在两个有理数p和q，且p<q。
我们要证明在p和q之间至少存在一个无理数。
根据有限覆盖定理，我们可以构造一个区间[p,q]，即区间的端点为p和q。
根据实数的稠密性，存在一个实数x，使得p<x<q。
实数的完备性
第七章 实数的完备性§1 实数完备性的基本定理1． 验证 数集},2,11)1{(L =+−n n n有且只有两个聚点11−=ξ和12=ξ 解 因{1+}21n 是{(-1)n+n 1}的所有偶数项组成的子列,且,1)211(lim =+∞→nn 故12=ξ是数集},2,11)1{(L =+−n n n的一个聚点.由于}1211{−+−n 是原数集的所有奇数项组成的子列,且,1)1211(lim −=−+−∞→n n 因而11−=ξ也是原数集的聚点.下证该数集再无其它聚点. 时，有则当取001}21,21min{,1εϕϕεϕ>−+=±≠∀n⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−+−−≥⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−+−−=−−−为奇数为偶数为奇数，为偶数）（n n n n n n n n n n ,11.1111,1111ϕϕϕϕϕ.1200εε>−≥n故ϕ不是该数集的聚点.这就证明原数集只有两个聚点,即1+与1−. 2．证明:任何有限数集都没有聚点.证 设S 是有限数集,则对任一S R a 因,1,0=∃∈ε是有限数集,故领域),(0εa U 内至多 有S 中的有限个点,故a 不是S 的聚点,由a 的任意性知,S 无聚点.3．设)},{(n n b a 是一严格开区间套,即1221b b b a a a n n <<<<<<<<L L L , 且.0)(lim =−∞→n n n a b 证明存在唯一一点ξ,有L ,2,1,=<<n b a n n ξ证 作闭区间列]},{[n n y x , 其中L ,2,1,2,211=+=+=++n b b y a a x n n n n n n ，由于),(,11N n b y b a x a n n n n n n ∈∀<<<<++ 故有(1) ))(,(],[),(11N n b a y x b a n n n n n n ∈∀⊂⊂++，从而L ,2,1],,[],[11=⊂++n y x y x n n n n(2) )(0N n a b x y n n n n ∈∀−<−<从而由]},{[.0)(lim ,0)(lim n n n n n n n n y x x y a b 所以得=−=−∞→∞→为闭区间套.由区间套定理知,存在一点).,2,1()1().,2,1](,[L L =<<=∈n b a n y x n n n n ξξ有由满足条件),2,1(L =<<n b a n n ξ的点ξ的唯一性的证明与区间套定理的证明相同.4．试举例说明:在有理数集内,确界原理、单调有界定理、聚点定理和柯西收敛准则一般都不能成立。
实数完备性定理及应用研究【整理版】.doc
前言实数完备性定理及应用研究1 前言实数完备性是数学分析的基础，而数学分析是数学专业的必修课程之一.数学分析的基础是实数理论。
实数系最重要的特征是完备性和连续性，有了实数的完备性和连续性，才能讨论极限，连续，微分和积分。
正是在讨论函数的各种极限运算的合法性的过程中，人们逐渐建立起严密的数学分析理论体系。
《数学分析》课程是一门面向数学类专业的基础课。
学好数学分析是学好其他后继数学课程如微分几何，微分方程，复变函数,实变函数与泛函分析，计算方法，概率论与数理统计等课的必备的基础。
作为数学系最重要的基础课之一，数学科学的逻辑性和历史继承性决定了数学分析在数学科学中举足轻重的地位，数学的许多新思想，新应用都源于这坚实的基础。
数学分析出于对实数完备性在理论体系上的严格化和精确化，从而确立了在整个自然科学中的基础地位，并运用于自然科学的各个领域。
同时，数学研究的主体是经过抽象后的对象，数学的思考方式有鲜明的特色，包括抽象化，逻辑推理，最优分析，符号运算等。
这些知识和能力的培养需要通过系统、扎实而严格的基础教育来实现，数学分析课程正是其中最重要的一个环节。
从人才培养的角度来讲，一个学生能否学好数学，很大程度上决定于他进大学伊始能否将《数学分析》这门课真正学到手。
课程的目标是通过系统的学习与严格的训练，全面掌握数学分析的基本理论知识；培养严格的逻辑思维能力与推理论证能力；具备熟练的运算能力与技巧；提高建立数学模型，并应用实数完备性这一工具解决实际应用问题的能力。
在学数学分析时，同一个证明题会有不同的证明方法，这是由于所用实数系定理不同造成的，怎样才能让大家对这些定理有一个统一的认识呢？这个问题一旦解决，就会为实数完备性相关定理的应用找到一个新的研究途径.第1页（共25页）实数完备性定理及应用研究2 选题背景2.1 题目来源实数系的完备性是实数的一个重要特征,与之相关的六个基本定理是彼此等价的,并且是论证其他一些重要定理(如一致连续性定理等)的依据,它们从不同的角度刻画了实数系的完备性,在理论上具有重要价值，因此对实数完备性的研究产生了浓厚的兴趣.本论文题来源于理论研究.2.2 研究目的及意义通过《数学分析》理论的学习，不难发现实数理论是整个数学分析的基础，而实数理论中又以实数的完备性的六个命题为最重要.为了让大家对这六个命题有一个全面的认识，本文将以有限覆盖定理为起始证明其他定理的正确性，并对实数完备性定理的应用作出分析和举例.2.3国内外现状和发展趋势与研究的主攻方向众所周知，在整个《数学分析》的知识中，实数系完备性基本定理是理论性最强的一部分. 实数理论的建立,给数学分析注入了严密性. 实数理论是数学分析的理论基础,而实数完备性定理又是实数理论中的重要内容之一,其中不乏精彩、美妙之处. 目前，实数完备性的研究主要集中在几个定理的循环证明以及定理的应用. 这六个定理虽然出发的角度不同，但描写的都是实数连续性这同一件事，它们相互之间是等价的. 实数完备性基本定理的证明不仅是《数学分析》的重点，也是该课教学的难点，不同的教材都有各自不同的处理方法，可谓是百家争鸣. 其中比较简单的是全部用区间套方法证明其他定理. 1987年，Botsko提出了一种统一处理这部分内容的新方法完全覆盖法，让大家对这方面的研究又燃起了新的斗志. 因此，许多学者在这些方面都做了一些工作. 另外，定理的应用也是研究的主要方向之一，这些定理从不同角度刻划了实数系的完备性，并且它们是论证其它一些重要定理和规则的依据，如连续函数介值定理，一致连续性定理等. 除此之外，实数完备性作为《数学分析》的基础知识，极大地考察了学生的基本功和论证能力，颇受考研出题者的喜爱.全面认识实数完备性 第3页（共25页）3 全面认识实数完备性3.1 确界定义]2[定义1 设S 为R 中的一个数集．若存在数M(L)，使得对一切S x ∈，都有 x ≤M(x ≥L)，则称S 为有上界(下界)的数集，数M(L)称为S 的一个上界(下界)．若数集S 既有上界又有下界，则称S 为有界集．若S 不是有界集，则称S 为无界集．定义2 设S 是R 中的一个数集．若数η满足：（i ）对一切S x ∈，有η≤x ，即η是S 的上界；（ii ）对任何ηα<存在S x o ∈，使得α>o x 即η又是S 的最小上界则称数η为数集S 的上确界，记作S sup =η定义3 设S 是R 中的一个数集．若数ξ满足：（i ）对一切S x ∈，有ξ≥x ，即ξ是S 的下界（ii ）对任何ξβ>，存在S x o ∈，使得,β<o x 即ξ又是S 的最大下界，则称 数ξ为数集S 的下确界，记作 S inf =ξ上确界与下确界统称为确界．3.2 极限以及数列定义]2[定义4 若函数f 的定义域为全体正整数集合+N ，则称R f →N +:或 ()+N ∈n n f , 为数列定义5 设{}n a 为数列，a 为定数.若对任给的正数ε（不论它多么小）， 总存在正整数N ，使得当N n >时有 ε<-a a n ，则称数列{}n a 收敛于a ，定 数a 称为数列{}n a 的极限，并记作 a a n =lim 或 ()∞→→n a a n .定义6 若数列{}n a 的各项满足关系式()11++≥≤n n n n a a a a ，则称{}n a 为实数完备性定理及应用研究 递增（递减）数列. 递增数列和递减数列通称为单调数列.3.3 区间套定义]2[定义7 设闭区间列[]{}n n b a ,具有如下性质：（i ）[][],...2,1,,,11=⊃++n b a b a n n n n ；（ii ）()0lim =-∞→n n n a b ， 则称[]{}n n b a ,为闭区间套，或简称区间套.3.4 聚点定义]2[定义8 设S 为数轴上的非空点集, ξ为直线上的一个定点(当然可以属 于S , 也可以不属S ). 若对于任意正数ε ,在()εξ;U 中含有S 的无限个点, 则 称ξ为的S 一个聚点.定义8' 设S 为实数集R 上的非空点集, R ∈ξ.若对于任意正数ε， ()φεξο≠S U ; ，则称ξ为的S 一个聚点.定义8″ 若存在各项互异的收敛数列{}S x n ⊂，则其极限ξ=∞→n n x lim 称为S 的一个聚点.下面简单叙述一下这三个定义的等价性.定义8 → 定义8' 由定义直接得到定义8' → 定义8″ 对任给的0>ε，由()φεξο≠S U ;， 那么取11=ε，()S U x 1;1ξο∈∃；取⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=ξε12,21min x ，()S U x 22;εξο∈∃； ..........取⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=-ξε1,1min n n x n ，()S U x n n εξο;∈∃； ..........这样就得到一列{}S x n ⊂.由n ε的取法，{}n x 两两互异，并且 nx n n 10≤<-<εξ 由此 ξ=∞→n n x lim实数完备性定理的证明第5页（共25页）定义8″ → 定义8 由极限的定义可知这是显然的.3.5 开覆盖定义]2[定义9 设S 为数轴上的点集，H 为开区间的集合（即H 的每一个元素都是形如),(βα的开区间）.若S 中任何一点都含在中至少一个开区间内，则称H 为S 的一个开覆盖，或称H 覆盖S .若H 中开区间的个数无限（有限）的，则称H 为S 的一个无限开覆盖（有限开覆盖）.4 实数完备性定理的证明]10[4.1 确界原理及其证明 确界原理 设S 为非空数集．若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必有下确界．]2[证 我们只证明关于上确界的结论，后一结论可类似地证明．为叙述的方便起见，不妨设S 含有非负数．由于S 有上界，故可找到非负整 数n ，使得)1对于任何S x ∈有1+<n x ;)2存在S a ∈0,使n a ≥0.对半开区间[)1,+n n 作10等分,分点为9.,,2.,1.n n n ,则存在,2,1,09, 中的一个数1n ,使得)1对于任何S x ∈有101.1+<n n x ； )2存在S a ∈1，使11.n n a ≥． 再对半开区间)101.,.[11+n n n n 作10等分，则存在9,2,1,0 中的一个数2n 使得 )1对于任何S x ∈有<x 221101.+n n n )2存在S a ∈2，使..212n n n a ≥继续不断地10等分在前一步骤中所得到的半开区间，可知对任何存在实数完备性定理及应用研究 9,2,1,0 中的—个数k n ，使得)1对于任何S x ∈有kk n n n n x 101.21+< )2存在S a k ∈，使 ..21k k n n n n a ≥将上述步骤无限地进行下去，得到实数..21 k n n n n =η．以下证明=ηS sup ．为此只需证明：（i ）对一切S x ∈有η≤x ； （ii ） 对任何ηα<，存在S ∈'α使'a <α．倘若结论（i ）不成立，即存在S x ∈使η>x ，则可找到x 的k 位不足近似k x ， 使=>k k x η+k n n n n 21.k101， 从而得 kk n n n n x 101.21+> ， 但这与不等式)1(相矛盾．于是（i ）得证．现设ηα<，则存在k 使η的k 位不足近似k k αη>，即k k n n n n α> 21.，根据数η的构造，存在S a ∈'使k a η≥'，从而有 k a η≥'αα≥>k ，即得到'a <α，．这说明（ii ）成立．4.2 单调有界定理及其证明单调有界定理 在实数系中，有界的单调数列必有极限. ]2[证 不妨设{}n a 为有上界的递增数列. 由确界原理，数列{}n a 有上确界，记为 {}n a a sup =. 下面证明a 就是{}n a 的极限.. 事实上，任给0>ε，按上确界的定义，存在数列{}n a 中的某一项N a 使得 N a a <-ε.又由{}n a 的递增性，当N n ≥时有 n N a a a ≤<-ε.另一方面，由于a 是数列{}n a 的一个上界，故对一切n a 都有ε+<≤a a a n .实数完备性定理的证明 第7页（共25页）所以当N n ≥时 εε+<<-a a a n ，这就证得a a n n =∞→lim . 同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限即为它的下确界.4.3 柯西收敛准则及其证明柯西收敛准则 数列{}n a 收敛的充要条件是：对任给的0>ε，存在正整数N 使得当N m n >,时有 ε<-m n a a .]2[ 证 (必要性)设 A a n n =∞→lim ，由数列极限的定义，对任给的0>ε，存在正整数N ，使得当N m n >,时有 2ε<-A a n , 2ε<-A a m因而有 ε<-+-<-A a A a a a m n m n .(充分性)由题设，对任给的0>ε，存在正整数N ，当N n ≥时，ε<-N n a a . 即当N n ≥时，有 ()εε+-∈N N n a a a ,.令21=ε，存在正整数1N ，当1N n ≥时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∈21,2111N N n a a a ， 取 []⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=21,21,1111N N a a βα. 令221=ε,存在正整数12N N ≥，当2N n ≥时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∈2221,2122N N n a a a , 取 [][]⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=22112221,21,,22N N a a βαβα. 显然有 [][]2211,,βαβα⊃ ，2122≤-αβ，并且当2N n ≥时，[]22,βα∈n a . .......... 令k 21=ε，存在1-≥k k N N ，当k N n ≥时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∈k N k N n k k a a a 21,21, 取[][]⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=--221121,21,,k k N N k k k k a a βαβα. .......... 这样就得到一列闭区间[]{}k k b a ,，满足（i ）[][],...2,1,,,11=⊃++k b a b a k k k k ；N a ε-N a ε+Na实数完备性定理及应用研究 （ii ）∞→→≤--k a b k k k ,0211 ；（iii ）对+N ∈∀k ，当k N n ≥时，[]k k n a βα,∈.由区间套定理，存在惟一的 []k k βαξ,∈.由区间套定理的推论，对任给的0>ε，存在0>N ,当N n >时[]()εξ;,U b a a n n n ⊂∈，所以εξ<-n a .这就证明了 ξ=∞→n n a lim . 故数列{}n a 收敛. 4.4 区间套定理及其证明区间套定理 若[]{}n n b a ,是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点ξ，使得[],...2,1,,=∈n b a n n ξ, 即,...2,1,=≤≤n b a n n ξ.]2[证 由定义7 的条件（i ）可知, 数列{}n a 为递增有界数列, 依单调有界定 理，{}n a 有极限ξ，且有 ,...2,1,=≤n a n ξ.同理，递减有界数列{}n b 也有极限，并按区间套的条件（ii ）有ξ==∞→∞→n n n n a b lim lim ，且,...2,1,=≥n b n ξ. 综上，可得 ,...2,1,=≤≤n b a n n ξ.下面证明满足 ,...2,1,=≤≤n b a n n ξ 的ξ是唯一的.设数'ξ也满足 ,...2,1,'=≤≤n b a n n ξ，则由 ,...2,1,=≤≤n b a n n ξ有 (),...2,1,'=-≤-n a b n n ξξ.由区间套的条件（ii ）得 ()0lim '=-≤-∞→n n n a b ξξ，故有 ξξ='. 注 区间套定理中的闭区间若改为开区间, 那么结论不一定成立. 例如对于开区间列 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛n 1,0 , 显然ξ是不存在的. 推论 若[](),...2,1,=∈n b a n n ξ是一个区间套[]{}n n b a ,所确定的点，则对任给 的0>ε，存在0>N ，使得当N n >时有[]()εξ;,U b a n n ⊂.证 由区间套定理的证明可得：ξ==∞→∞→n n n n a b lim lim . 由极限的保号性, 对于任意正数 ε , 存在 正整数N , 当N n ≥时，实数完备性定理的证明 第9页（共25页）有 n a <-εξ ，εξ+<n b ，即 εξεξ+<≤<-n n b a ，这就是说 []()εξ;,U b a n n ⊂.4.5 魏尔斯特拉斯聚点定理及其证明聚点定理 实数轴上的任意有界无限点集必有聚点. ]2[证 因为S 为有界点集, 所以存在正数M , 使[]M M S ,-⊂ , 且记 [][]M M b a ,,11-= .现将 []11,b a 等分为两个子区间. 因S 为无限点集，故两个子区间中至少有 一个含有S 中无穷多个点，记此子区间为[]22,b a ，则[][]2211,,b a b a ⊃且 M a b a b =-=-)(211122. 再将[]22,b a 等分为两个子区间，则其中至少有一个含有S 中无穷多个点，取 出这样一个子区间，记为[]33,b a ，则[][]3322,,b a b a ⊃，且 2)(212233M a b a b =-=- . 将此等分子区间的手续无限地进行下去，得到一个区间列[]{}n n b a ,，它满足 [][],...2,1,,,11=⊃++n b a b a n n n n ， )(021∞→→=--n M a b n n n ， 即[]{}n n b a ,是区间套，且其中每一个闭区间都含有S 中无穷多个点.由区间套定理，存在唯一的一点[],...2,1,,=∈n b a n n ξ.由区间套定理的推论，对任给的0>ε，存在0>N ,当N n >时[]()εξ;,U b a a n n n ⊂∈.从而()εξ;U 内含有S 中无穷多个点，按定义8ξ为S 的一个聚点.推论（致密性定理） 有界数列必有收敛子列. ]2[证 设{}n x 为有界数列.若{}n x 中有无限多个相等的项，则由这些项组成的 子列是一个常数列，而常数列总是收敛的 .若数列{}n x 不含有无限多个相等的项，则{}n x 在数轴上对应的点集必为有界 无限点集，故由聚点定理，点集{}n x 至少有一个聚点，记为ξ.实数完备性定理及应用研究 于是按定义8″，存在{}n x 的一个收敛子列（以ξ为其极限）.4.6 海涅-博雷尔有限覆盖定理及其证明有限覆盖定理 设H 为闭区间[]b a ,的一个（无限）开覆盖，则从H 中可选 出有限个开区间来覆盖[]b a ,.]2[证 （论反证）假设定理的结不成立，则不能用H 中有限个开区间来覆盖 []b a ,.现将 []b a , 等分为两个子区间，则两个子区间中至少有一个子区间不能用 H 中有限个开区间来覆盖. 记此子区间为[]11,b a ，则[][]b a b a ,,11⊂且 )(2111a b a b -=-. 再将[]11,b a 等分为两个子区间，同样，其中至少有一个子区间不能用H 中有 限个开区间来覆盖. 取出这样一个子区间，记为[]22,b a ，则[][]1122,,b a b a ⊂， 且 )(21222a b a b -=- . 将此等分子区间的手续无限地进行下去，得到一个区间列[]{}n n b a ,，它满足 [][],...2,1,,,11=⊃++n b a b a n n n n ， )(0)(21∞→→-=-n a b a b n n n ， 即[]{}n n b a ,是区间套，且其中每一个闭区间都不能用H 中有限个开区间来覆盖. 由区间套定理，存在唯一的一点[],...2,1,,=∈n b a n n ξ.由于H 是[]b a ,的一个开覆盖，故存在开区间H ∈),(βα，使),(βαξ∈. 于是，由区间套定理的推论，当n 充分大时有 []),(,βα⊂n n b a .这表明[]n n b a ,只须用H 中的一个开区间),(βα就能覆盖，与挑选[]n n b a ,时的假设“不能用H 中有限个开区间来覆盖”相矛盾.从而证得必存在属于H 的有限个开区间能覆盖[]b a ,注 定理的的结论只对闭区间[]b a ,成立，而对开区间则不一定成立.第11页（共25页）5 实数完备性的应用研究5.1实数完备性定理的循环证明]8[5.1.1用有限覆盖定理证明聚点定理]7[证 设S 为直线上的有界无限点集. 于是存在b a ,使[]b a S ,⊂. 假定[]b a ,在任何点都不是S 的聚点，则对每一点[]b a x ,∈都存在相应的0>x δ，使得()x x U δ;内至多包含S 的有限多个点.令()()b a x x U H x ,;∈=δ，则H 是[]b a ,的一个开覆盖.，据有限覆盖定理，H 中存在有限个邻域()1;1x x U δ，....，()nx n x U δ;，使得覆盖了H ，从而也覆盖了S .由于每个邻域中至多含有S 的有限个点，故这n 个邻域的并集也至多只含有S 的有限个点，于是S 为有限点集，这与题设S 为无限点集矛盾. 因此，在[]b a ,中至少有一点是S 的聚点. 5.1.2 用聚点定理证明柯西收敛准则证 设数列{}n a 为有界数列.若{}n a 中有无限多个相等的项，则由这些 项组成的子列是一个常数列，而常数列总是收敛的 .若数列{}n a 不含有无限多个相等的项，则{}n a 在数轴上对应的点集必为有界 无限点集，故由聚点定理，点集{}n a 至少有一个聚点，记为ξ.于是按定义8″，存在{}n a 的一个收敛子列（以ξ为其极限）.设数列{}n a 满足柯西条件. 先证明{}n a 是有界的.为此，取1=ε，则存在正 整数N ，当1+=N m 及N n >时，有 11<-+N n a a .由此得 111111+<+-≤+-=+++++N N N n N N n n a a a a a a a a . 令}1,,...,,max{121+=+N N a a a a M ，则对一切正整数n 均有M a n ≤. 于是，由致密性定理，有界数列{}n a 必有收敛子列{}k n a ，设A a k n k =∞→lim .对认给的0>ε，存在0>K ，当K k m n >,,时，同时有2ε<-m n a a （柯西条件）实数完备性定理及应用研究2ε<-A a K n （A a k n k =∞→lim ）因此当取()K k n m k >≥=时，得到εεε=+<-+-≤-22A a a a A a k k n n n n这就证明了A a n n =∞→lim .5.1.3 用柯西收敛准则证明确界原理证 设S 为非空有上界数集.由实数的阿基米德性，对任何正数α，存在整数αk ，使得αλααk =为S 的上界，而ααλαα)1(-=-k 不是S 的上界，即存在S ∈'α，使得ααα)1(->'k分别取n 1=α，,....2,1=n ，则对每一个正整数n ，存在相应的n λ，使得n λ为 S 的上界,而nn 1-λ不是S 的上界，故存在S ∈'α，使得nn 1->'λα . (6)又对正整数m ，m λ是S 的上界，故有αλ'≥m . 结合(6)式得nm n 1<-λλ ； 同理有 mn m 1<-λλ . 从而得 ⎪⎭⎫⎝⎛<-n m n m 1,1max λλ .于是，对任给的0>ε，存在0>N ，使得当N m n >,时有ελλ<-n m .由柯西收敛准则，数列{}n λ收敛. 记λλ=∞→n n lim . (7)现在证明λ就是S 的上确界. 首先，对任何S a ∈和正整数n 有n a λ≤，由(7)式得λ≤a ，即λ是S 的一个上界.其次，对任何0>δ，由)(01∞→→n n及(7)式，对充分大的n 同时有 21δ<n ， 2δλλ->n . 又因nn 1-λ不是S 的上界，故存在S ∈'α，使得n n 1->'λα .结合上式得δλδδλα-=-->'22 .这说明λ为S 的上确界.第13页（共25页）同理可证：若S 为非空有下界数集，则必存在下确界 . 5.1.4 用确界原理证明单调有界定理证 不妨设{}n a 为有上界的递增数列. 由确界原理，数列{}n a 有上确界， 记为{}n a a sup =. 下面证明a 就是{}n a 的极限.. 事实上，任给0>ε，按上确界的定义，存在数列{}n a 中的某一项N a 使得N a a <-ε.又由{}n a 的递增性，当N n ≥时有 n N a a a ≤<-ε.另一方面，由于a 是数列{}n a 的一个上界，故对一切n a 都有ε+<≤a a a n . 所以当N n ≥时 εε+<<-a a a n ，这就证得a a n n =∞→lim .同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限即为它的下确界. 5.1.5 用单调有界定理证明区间套定理证 由定义7 的条件（i ）可知, 数列{}n a 为递增有界数列, 依单调有界定 理，{}n a 有极限ξ，且有 ,...2,1,=≤n a n ξ.同理，递减有界数列{}n b 也有极限，并按区间套的条件（ii ）有ξ==∞→∞→n n n n a b lim lim ，且,...2,1,=≥n b n ξ.综上，可得 ,...2,1,=≤≤n b a n n ξ.下面证明满足 ,...2,1,=≤≤n b a n n ξ 的ξ是唯一的. 设数'ξ也满足 ,...2,1,'=≤≤n b a n n ξ，则由 ,...2,1,=≤≤n b a n n ξ有 (),...2,1,'=-≤-n a b n n ξξ.由区间套的条件（ii ）得 ()0lim '=-≤-∞→n n n a b ξξ，故有 ξξ='.5.15 用区间套定理证明有限覆盖定理证 假设定理的结不成立，则不能用H 中有限个开区间来覆盖[]b a ,.现将 []b a , 等分为两个子区间，则两个子区间中至少有一个子区间不能用H中有限个开区间来覆盖. 记此子区间为[]11,b a ，则[][]b a b a ,,11⊂实数完备性定理及应用研究且 )(2111a b a b -=-. 再将[]11,b a 等分为两个子区间，同样，其中至少有一个子区间不能用H 中有 限个开区间来覆盖. 取出这样一个子区间，记为[]22,b a ，则[][]1122,,b a b a ⊂， 且 )(21222a b a b -=- . 将此等分子区间的手续无限地进行下去，得到一个区间列[]{}n n b a ,，它满足[][],...2,1,,,11=⊃++n b a b a n n n n )(0)(21∞→→-=-n a b a b nn n ， 即[]{}n n b a ,是区间套，且其中每一个闭区间都不能用H 中有限个开区间来覆盖. 由区间套定理，存在唯一的一点[],...2,1,,=∈n b a n n ξ.由于H 是[]b a ,的一个开覆盖，故存在开区间H ∈),(βα，使),(βαξ∈.于是，由区间套定理的推论，当n 充分大时有 []),(,βα⊂n n b a .这表明[]n n b a ,只须用H 中的一个开区间),(βα就能覆盖，与挑选[]n n b a ,时的假设“不能用H 中有限个开区间来覆盖”相矛盾.从而证得必存在属于H 的有限个开区间能覆盖[]b a ,.5.2 实数完备性在其它定理证明中的应用]6[5.2.1 有界性定理的证明定理 若函数f 在闭区间[]b a ,上连续，则f 在[]b a ,上有界.证 （应用有限覆盖定理）由连续函数的局部有界性，对每一点[]b a x ,∈'，都存在邻域()x x U ''δ;及正数x M '，使得 ()x M x f '≤，()[]b a x U x x ,; ''∈δ.考虑开区间集 ()()b a x x U H x ,;∈''='δ，显然H 是[]b a ,的一个无限开覆盖.由有限覆盖定理，存在H 的一个有限子集()()k i b a x x U H i i i ,...,2,1,,;*=∈=δ覆盖了[]b a ,，且存在正数1M ，2M ，… ，k M ，使得对一切()[]b a x U x i i ,; δ∈ 有()i M x f ≤，k i ,...,2,1=.令i ki M M ≤≤=1max ，则对任何[]b a x ,∈，x 必属于某()i i x U δ;可以推出()M M x f i ≤≤. 这就证得f 在[]b a ,上有界.第15页（共25页）（应用致密性定理）倘若f 在[]b a ,上无上界，则对任何正整数n ，存在[]b a x n ,∈，使得()n x f n >. 依次取,...2,1=n ，则得到数列{}[]b a x n ,∈. 由致密性定理，它收敛子列{}k n x ，记ξ=∞→k n k x lim .由b x a k n ≤≤及数列极限的保不等式性，[]b a ,∈ξ. 利用f 在点ξ处连续，推得 +∞<=∞→)()(lim ξf x f k n k . （1）另一方面，由n x 的选取方法又有+∞=⇒+∞→≥>∞→)(lim )(k k n k k n x f k n x f ，这与（1）式相矛盾 . 所以f 在[]b a ,上有上界. 类似地可证f 在[]b a ,上有下界. 从而f 在[]b a ,上有界. 5.2.2 最大、最小值定理定理 若函数f 在闭区间[]b a ,上连续，则f 在[]b a ,上有最大值和最小值.证 （应用确界原理）由于已证得f 在[]b a ,上有界，故由确界原理，f 的值域[]()b a f ,有上确界，记为M .以下我们证明：存在[]b a ,∈ξ，使得()M f =ξ. 倘若不然，对一切[]b a x ,∈都有()M x f ≤. 令 ()()x f M x g -=1，[]b a x ,∈ .易见函数g 在[]b a ,上连续，故g 在[]b a ,上有上界. 设G 是g 的一个上界，则()()G x f M x g ≤-=<10 ，[]b a x ,∈.从而推得 ()GM x f 1-≤ ， []b a x ,∈但这与M 为[]()b a f ,的上确界（最小上界）相矛盾. 所以必存在[]b a ,∈ξ，使()M f =ξ，即f 在[]b a ,上有最大值.同理可证f 在[]b a ,上有最小值. 5.2.3 介值性定理定理 设函数f 在闭区间[]b a ,上连续，且()()b f a f ≠. 若μ为介于()a f 与()b f 之间的任何实数（()()b f a f <<μ或()()b f a f >>μ），则存在),(0b a x ∈，使得()μ=0x f .实数完备性定理及应用研究证 （应用确界原理） 不妨设()()b f a f <<μ. 令()()μ-=x f x g ，则g 也 是[]b a ,上的连续函数，且()0<a g ，()0>b g . 于是定理的结论转化为：存在),(0b a x ∈，使得()00=x g .这个简化的情形称为根的存在性定理.记]},[,0)({b a x x g x E ∈>=. 显然E 为非空有界数集（],[b a E ⊂且E b ∈）， 故由确界原理，E 有下确界，记E x inf 0=. 因()0<a g ，()0>b g ，由连续 函数的局保号型，存在0>δ,使得在[]δ+a a ,内()0<x g ，在[]b b ,δ-内()0>x g ， 由此易见a x ≠0，b x ≠0，即),(0b a x ∈.下证()00=x g . 倘若()00≠x g ，不妨设()00>x g ,则又由局部保号性，存在()η;0x U （),(b a ⊂），使得其内()0>x g ，特别有E x x g ∈-⇒>⎪⎭⎫ ⎝⎛-20200ηη. 但 这与E x inf 0=相矛盾，故必有()00=x g .（应用区间套定理） 同上述证法，我们把问题转化为证明根的存在性定理， 即若函数g 在闭区间[]b a ,上连续，()0<a g ，()0>b g ，则存在),(0b a x ∈使()00=x g .将[]b a ,等分为两个子区间[]c a ,与[]b c ,. 若()0=c g ，则c 即为所求；若()0≠c g ，则当()0>c g 时记[][]c a b a ,,11=，当()0<c g 记[][]b c b a ,,11=. 于是有()01<a g ，()01>b g ，且 [][]b a b a ,,11⊂， )(2111a b a b -=-. 再从区间[]11,b a 出发，重复上述过程，得到：或者在[]11,b a 的中点1c 上有()01=c g ，或者有闭区间[]22,b a ，满足()02<a g ，()02>b g ，且[][]1122,,b a b a ⊂，)(21222a b a b -=- . 将上述过程不断地进行下去，可能出现两种情形： （1）在某一区间的中点i c 上有()0=i c g ，则i c 即为所求；（2）在任一区间的i c 上均有()0≠i c g ，则得到闭区间列[]{}n n b a ,，满足()0<n a g ，()0>n b g ，且[][],...2,1,,,11=⊃++n b a b a n n n n ，)(0)(21∞→→-=-n a b a b nn n .第17页（共25页）由区间套定理，存在点[]n n b a x ,0∈，,...2,1=n .下证()00=x g .倘若()00≠x g ，不妨设()00>x g ,则由局部保号性，存在()δ;0x U ，使在其内有()0>x g . 而由区间套定理的推论，当n 充分大时有[]()δ;,0x U b a n n ⊂，因而有()0>n a g . 但这与[]n n b a ,选取时应满足的()0<n a g 相矛盾，故必有()00=x g .5.2.4 一致连续性定理定理 若函数f 在闭区间[]b a ,上连续，则f 在[]b a ,上一致连续.证 （应用有限覆盖定理由f 在闭区间[]b a ,上的连续性，任给0>ε，对每 一点),(b a x ∈，都存在0>x δ，使得当()x x U x δ;∈'时有()()2ε<-'x f x f . （1）考虑开区间集合 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=],[)2,(b a x x U H x δ，显然H 是[]b a ,的一个开覆盖. 由有限覆盖定理，存在H 的一个有限子集⎭⎬⎫⎩⎨⎧==k i x U Hi i ,...,2,1)2,(*δ覆盖了[]b a ,. 记 02min 1>⎭⎬⎫⎩⎨⎧=≤≤i ki δδ .对任何x '，[]b a x ,∈''，δ<''-'x x ，x '必属于*H 中某开区间，设)2;(ii x U x δ∈'，即2ii x x δ<-'. 此时有i iiii i x x x x x x δδδδδ=+≤+<-'+'-''≤-''222，故由（1）式同时有()()2ε<-'i x f x f 和 ()()2ε<-''i x f x f .由此得()()ε<''-'x f x f . 所以f 在[]b a ,上一致连续.（应用致密性定理） 用反证法. 倘若f 在[]b a ,上不一致连续，则存在某00>ε，对任何0>δ，都存在相应的两点x '，[]b a x ,∈''，尽管δ<''-'x x ， 有 ()()0ε≥''-'x f x f .实数完备性定理及应用研究令n1=δ（n 为正整数），与它相应的两点记为nx '，[]b a x n ,∈''， 尽管nx x 1<''-'，但有 ()()0ε≥''-'n nx f x f （2） 当n 取遍所有正整数时，得到数列}{nx '与],[}{b a x n ⊂''. 由致密性定理，存在}{n x ' 的收敛子列}{k nx '，设)](,[0∞→∈→'k b a x x k n . 同时有kn n n x x k k 1<''-' ⇒000→-'+'-''≤-''x x x x x x k k k k n n n n)(∞→k ， 又得 )(0∞→→''k x x k n. 最后，由（2）式有 ()()0ε≥''-'n n x f x f ， 在上式中令∞→k ，由f 的连续性及数列极限的保不等式性，得到()()()()000lim 0ε≥''-'=-=∞→k k n nk x f x f x f x f . 这与00>ε相矛盾. 所以f 在[]b a ,上一致连续. 5.2.5 根的存在定理定理 若函数f 在闭区间[]b a ,上连续且()a f 与()b f 异号（即()()0<b f a f ）， 则至少存在一点),(0b a x ∈，使得()00=x f ，即方程()0=x f 在),(b a 内至少有一个根.证 （应用有限覆盖定理） 设()x f 在闭区间[]b a ,上连续，()a f 与()b f 异 号，现证明方程()0=x f 在),(b a 内至少有一实根.假定方程()0=x f 在),(b a 内无实根，则对每一点),(b a x ∈，有()0≠x f ，据()x f 的连续性，存在正数x δ，使得()x f 在()[]b a x U x x ,; δ∈上与点x 处的函数值()x f 同号.令 ()[]},;{b a x x U H x ∈=δ，则H 是[]b a ,的一个开覆盖，据有限覆盖定理，H 中必存在有限个邻域能够覆盖[]b a ,.设这有限个邻域为：()1;1x x U δ，....，()n x n x U δ;，且n x x x <<<...21.不妨设其中任意两个邻域无包含关系（否则，去掉被包含邻 域仍能覆盖[]b a ,），于是()1;1--j x j x U δ ()jx jx U δ;φ≠),...,3,2(n j =.而()x f 在每个()j x j x U δ;内不变号，由此推得()x f 在()j x j nj x U U δ;1=内不变号，这与题设()a f ，()b f 异号矛盾.第19页（共25页）因此，方程()0=x f 在),(b a 内至少有一实根.5.3实数完备性在试题中的应用]1[例1 求下列数集的上、下确界，并依定义加以验证： （1）}2{2<=x x S ； （2）},!{+∈==N n n x x S ； 解 （1）2sup =S ，2inf -=S ，下面依定义验证.因22<x ，等价于22<<-x ，所以对任意的S x ∈，有2<x 且2->x ， 即2、2-分别是S 的上、下界. 又对任意的正数ε，不妨设22<ε，于是存 在220ε-=x ，221ε+-=x ，使0x ，S x ∈1，使ε->20x ，ε+-<21x ，所以由上下确界的定义2sup =S ，2inf -=S （2）+∞=S sup ，1inf =S ，下面依定义验证.对任意的S x ∈，+∞<≤x 1，所以1是S 的下界. 因为对任意的0>M ，令[]1+=M n ，则M n >!，故S 无上界，所以+∞=S sup ；对任意的正数ε，存在 S x ∈==1!11，使ε+<11x ，所以1inf =S .例2 设{}n x 为单调数列.证明：若{}n x 存在聚点，则必是唯一的，且为{}n x 的确界.证 设{}n x 为递增数列，设ξ为{}n x 的聚点.下证{}n x sup =ξ1）ξ是{}n x 的上界.若不然，{}n N x x ∈∃，使N x <ξ，取ξε-=N x 0，由{}n x 的递增性，()0,εξ 内只含有{}n x 中的有限项121,,,-N x x x .这与ξ是{}n x 的聚点矛盾.从而ξ是{}n x 的上界. 2）ξ<∀a ，取20a-=ξε，则(){}n N x x ⋂∈∃0,εξ ，使得N x a <.所以{}n x sup =ξ.由确界的唯一性，聚点是唯一的.例3 证明：在()b a ,上的连续函数f 为一致连续的冲要条件是()0+a f ，()0-b f 都存在.证 （必要性）设f 在()b a ,上一致连续，则()b a x x ,,,0,0///∈∀>∃>∀δε实数完备性定理及应用研究只要 δ<-///x x ，就有()()ε<-///x f x f （1） 取21δδ=，则()()b a a a x x ,,,1/// δ+∈∀，有（1）式成立.由柯西准则，()0+a f存在.同理()0-b f 也存在.（充分性）令()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=-∈=+=bx b f b a x x f a x a f x F ,0,,,0，则()x F 在[]b a ,上连续.从而()x F 在[]b a ,上一致连续，所以f 在()b a ,上一致连续. 例4 设f 定义在()b a ,上.证明：若对()b a ,内任一收敛数列{}n x ，极限()n n x f ∞→lim都存在，则f 在()b a ,上一致连续.证 假设f 在()b a ,上不一致连续，则00>∃ε，对0>δ，总存在()b a x x ,,///∈，尽管δ<-///x x ，但有()()0///ε≥-x f x f .令n1=δ，与它相应的两点记为()b a x x n n ,,///∈，尽管δ<-///n n x x ，但有()()0///ε≥-n n x f x f （1）当n 取遍所有正整数时，得数列{}{}()b a x x n n,,///⊂，由致密性定理，存在{}/n x 的收敛子列{}/kn x ，设0/lim x x k n k =∞→. 又()∞→→-+-≤-⇒<-k x x x x x x n x x k k k k kk n n n n kn n 010////0/////，即0//lim x x k n k =∞→ 由（1）式有()()0///ε≥-k k n n x f x f ，令∞→k ，得()()0///lim lim 0ε≥-=∞→∞→kk n k n k x f x f . 这与00>ε相矛盾. 所以f 在()b a ,上一致连续.例5 设函数)(x f 定义在[]b a ,上, []b a x ,0∈∀,极限)(lim 0x f xx →都存在.证明)(x f 在 []b a ,上有界.分析 函数f 在每点[]b a x ,∈处由函数极限的局部有界性,);(x x U δ∃,在其中f 有界,于是[]{}b a x x U H x ,),;(∈=δ成为[]b a ,的一个无限开覆盖. 然后可用有限覆盖定理得结论成立.读者从本例中可以了解如何应用有限覆盖定理.另外,本例可应用致密性定理,通过反证法来证明.证 因为)(x f 在[]b a ,上每点存在极限,由函数极限的局部有界性,[]b a x ,0∈∀,);(x x U δ∃与0>x M ,使得x x M t f x U t ≤∈∀)(),;(δ.所有这种邻域的集合[]{}b a x x U H x ,);(∈=δ成为[]b a ,的一个开覆盖;由有限覆盖定理,存在[]b a ,的有限开覆盖。
【毕业论文】实数完备性定理的等价证明及应用
【毕业论文】实数完备性定理的等价证明及应用【标题】实数完备性定理的等价证明及应用【作者】戴华东【关键词】单调有界定理区间套定理罗尔（Rolle）中值定理Botsko定理Dedekind?分割原理【指导老师】苟清明冯彬【专业】小学教育【正文】1?引言在数学史上,?实数系的逻辑基础――实数理论至19?世纪末叶才建立起来,?而实数理论的建立,?使得分析中注入了严密性。
实数理论是数学分析的理论基础,?而实数系完备性定理又是实数理论中的重要内容之一。
与之相关的六个基本定理（确界存在定理、单调有界定理、区间套定理、聚点定理、闭区间有限覆盖定理以及柯西收敛准则）是彼此等价的，它们从不同的角度刻划了实数系的完备性或连续性，并且它们是论证其它一些重要定理和规则的依据，如一致连续性定理、罗尔（Rolle）中值定理、Botsko定理、Dedekind?分割原理等。
因此在理论上具有重要价值。
2?预备知识定理2.1：确界原理非空有上（下）界的数集，必有上（下）确界。
定理2.2：单调有界定理任何有界的单调数列一定有极限。
定理2.3：区间套定理设?为一列闭区间，满足条件：(n=1,2,?);?,则存在唯一一点且?定理2.4：有限覆盖定理设?是一个闭区间，?为?的一个开覆盖，则在?中必存在有限个开区间，它构成?上的一个开覆盖。
定理2.5：聚点定理直线上的有界无限点集?至少有一个聚点。
定理2.6：Cauchy收敛准则数列?收敛的充要条件是：对任给的正数?，总存在某一个自然数N，使得当 N时，都有?。
定理2.7：Botsko定理?若?是?的一个完全覆盖，则?包含?的一个分划，即存在?，使每个闭区间都属于?。
定理2.8：闭区间上连续函数的整体性质设?在?上连续，则?有如下四个整体性质：１）?（有界性）?在?上有界；?２）?（最值性）?在?上存在最大、小值；3?）（介值性）?若?,?为?内任一数，则?，使?；４）?（一致连续性）?在?上一致连续。
关于实数完备性的研究
关于实数完备性的研究一、实数完备性理论的介绍什么是实数完备性？实数完备性就是是数学分析的基础，它是指六大定理的等价。
下面我们介绍一下六大定理。
1.1 确界原理1.1.1确界原理的定义x∈，都有定义1设S为R中的一个数集．若存在数M(L)，使得对一切Sx≤M(x≥L)，则称S为有上界(下界)的数集，数M(L)称为S的一个上界(下界)．若数集S既有上界又有下界，则称S为有界集．若S不是有界集，则称S为无界集．定义2设S是R中的一个数集．若数η满足：（i）对一切Sx∈，有ηx，即η是S的上界；≤（ii）对任何ηα<存在S>x即η又是S的最小上界x o∈，使得αoη则称数η为数集S的上确界，记作S=sup定义3 设S是R中的一个数集．若数ξ满足：（i）对一切Sx∈，有ξ≥x，即ξ是S的下界（ii）对任何ξβ>，存在Sx即ξ又是S的最大下界，则称x o∈，使得,β<o数ξ为数集S的下确界，记作Sξ=i n f上确界与下确界统称为确界．1.1.2确界原理及其证明确界原理设S为非空数集．若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界．12 证 我们只证明关于上确界的结论，后一结论可类似地证明．为叙述的方便起见，不妨设S 含有非负数．由于S 有上界，故可找到非负整 数n ，使得)1对于任何S x ∈有1+<n x ; )2存在S a ∈0,使n a ≥0.对半开区间[)1,+n n 作10等分,分点为9.,,2.,1.n n n ,则存在,2,1,09, 中的 一个数1n ,使得)1对于任何S x ∈有101.1+<n n x ； )2存在S a ∈1，使11.n n a ≥． 再对半开区间)101.,.[11+n n n n 作10等分，则存在9,2,1,0 中的一个数2n 使得 )1对于任何S x ∈有<x 221101.+n n n)2存在S a ∈2，使..212n n n a ≥继续不断地10等分在前一步骤中所得到的半开区间，可知对任何存在9,2,1,0 中的—个数k n ，使得)1对于任何S x ∈有kk n n n n x 101.21+< )2存在S a k ∈，使 ..21k k n n n n a ≥将上述步骤无限地进行下去，得到实数..21 k n n n n =η．以下证明=ηS sup ．为此只需证明：（i ） 对一切S x ∈有η≤x ；（ii ）对任何ηα<，存在S ∈'α使'a <α．倘若结论（i ）不成立，即存在S x ∈使η>x ，则可找到x 的k 位不足近似k x ， 使=>k k x η+k n n n n 21.k101， 从而得kk n n n n x 101.21+> ，3但这与不等式)1(相矛盾．于是（i ）得证．现设ηα<，则存在k 使η的k 位不足近似k k αη>，即k k n n n n α> 21.，根据数η的构造，存在S a ∈'使k a η≥'，从而有 k a η≥'αα≥>k ， 即得到'a <α，．这说明（ii ）成立．1.2单调有界原理1.2.1 极限以及数列定义定义4 若函数f 的定义域为全体正整数集合+N ，则称R f →N +: 或 ()+N ∈n n f , 为数列定义5 设{}n a 为数列，a 为定数.若对任给的正数ε（不论它多么小）， 总存在正整数N ，使得当N n >时有 ε<-a a n ，则称数列{}n a 收敛于a ，定 数a 称为数列{}n a 的极限，并记作 a a n =lim 或 ()∞→→n a a n . 定义6 若数列{}n a 的各项满足关系式()11++≥≤n n n n a a a a ，则称{}n a 为 递增（递减）数列. 递增数列和递减数列通称为单调数列.1.2.2 单调有界定理及其证明单调有界定理 在实数系中，有界的单调数列必有极限. ]2[证 不妨设{}n a 为有上界的递增数列. 由确界原理，数列{}n a 有上确界，记为{}n a a sup =. 下面证明a 就是{}n a 的极限.. 事实上，任给0>ε，按上确界的定义，存在数列{}n a 中的某一项N a 使得N a a <-ε.又由{}n a 的递增性，当N n ≥时有 n N a a a ≤<-ε.另一方面，由于a 是数列{}n a 的一个上界，故对一切n a 都有ε+<≤a a a n . 所以当N n ≥时 εε+<<-a a a n ，这就证得a a n n =∞→lim .4 同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限即为它的下确界.1.3 区间套定理1.3.1区间套定义定义7 设闭区间列[]{}n n b a ,具有如下性质：（i ）[][],...2,1,,,11=⊃++n b a b a n n n n ； （ii ）()0lim =-∞→n n n a b ，则称[]{}n n b a ,为闭区间套，或简称区间套.1. 3. 2区间套定理及其证明区间套定理 若[]{}n n b a ,是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点ξ，使得[],...2,1,,=∈n b a n n ξ, 即,...2,1,=≤≤n b a n n ξ.]2[证 由定义7 的条件（i ）可知, 数列{}n a 为递增有界数列, 依单调有界定 理，{}n a 有极限ξ，且有 ,...2,1,=≤n a n ξ.同理，递减有界数列{}n b 也有极限，并按区间套的条件（ii ）有ξ==∞→∞→n n n n a b lim lim ，且,...2,1,=≥n b n ξ.综上，可得 ,...2,1,=≤≤n b a n n ξ.下面证明满足 ,...2,1,=≤≤n b a n n ξ 的ξ是唯一的. 设数'ξ也满足 ,...2,1,'=≤≤n b a n n ξ，则由 ,...2,1,=≤≤n b a n n ξ有 (),...2,1,'=-≤-n a b n n ξξ.由区间套的条件（ii ）得 ()0lim '=-≤-∞→n n n a b ξξ，故有 ξξ='.注 区间套定理中的闭区间若改为开区间, 那么结论不一定成立. 例如对于开区间列 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛n 1,0 , 显然ξ是不存在的.推论 若[](),...2,1,=∈n b a n n ξ是一个区间套[]{}n n b a ,所确定的点，则对任给的0>ε，存在0>N ，使得当N n >时有[]()εξ;,U b a n n ⊂. 证 由区间套定理的证明可得：ξ==∞→∞→n n n n a b lim lim .5由极限的保号性, 对于任意正数 ε , 存在 正整数N , 当N n ≥时， 有 n a <-εξ ，εξ+<n b ，即 εξεξ+<≤<-n n b a ， 这就是说 []()εξ;,U b a n n ⊂.1.4.1聚点定理1.4.1聚点定义定义8 设S 为数轴上的非空点集, ξ为直线上的一个定点(当然可以属于S , 也可以不属S ). 若对于任意正数ε ,在()εξ;U 中含有S 的无限个点, 则 称ξ为的S 一个聚点.定义8' 设S 为实数集R 上的非空点集, R ∈ξ.若对于任意正数ε，()φεξο≠S U ; ，则称ξ为的S 一个聚点.定义8″ 若存在各项互异的收敛数列{}S x n ⊂，则其极限ξ=∞→n n x lim 称为S的一个聚点.下面简单叙述一下这三个定义的等价性. 定义8 → 定义8' 由定义直接得到定义8' → 定义8″ 对任给的0>ε，由()φεξο≠S U ;， 那么取11=ε，()S U x 1;1ξο∈∃；取⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=ξε12,21min x ，()S U x 22;εξο∈∃；..........取⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=-ξε1,1min n n x n ，()S U x n n εξο;∈∃；..........这样就得到一列{}S x n ⊂.由n ε的取法，{}n x 两两互异，并且 nx n n 10≤<-<εξ 由此 ξ=∞→n n x lim6 定义8″ → 定义8 由极限的定义可知这是显然的.1. 4. 2聚点定理及其证明聚点定理 实数轴上的任意有界无限点集必有聚点. ]2[证 因为S 为有界点集, 所以存在正数M , 使[]M M S ,-⊂ , 且记[][]M M b a ,,11-= .现将 []11,b a 等分为两个子区间. 因S 为无限点集，故两个子区间中至少有一个含有S 中无穷多个点，记此子区间为[]22,b a ，则[][]2211,,b a b a ⊃且 M a b a b =-=-)(211122. 再将[]22,b a 等分为两个子区间，则其中至少有一个含有S 中无穷多个点，取 出这样一个子区间，记为[]33,b a ，则[][]3322,,b a b a ⊃， 且 2)(212233Ma b a b =-=- . 将此等分子区间的手续无限地进行下去，得到一个区间列[]{}n n b a ,，它满足[][],...2,1,,,11=⊃++n b a b a n n n n ， )(021∞→→=--n Ma b n n n ， 即[]{}n n b a ,是区间套，且其中每一个闭区间都含有S 中无穷多个点.由区间套定理，存在唯一的一点[],...2,1,,=∈n b a n n ξ. 由区间套定理的推论，对任给的0>ε，存在0>N ,当N n >时[]()εξ;,U b a a n n n ⊂∈.从而()εξ;U 内含有S 中无穷多个点，按定义8ξ为S 的一个聚点.推论（致密性定理） 有界数列必有收敛子列. ]2[证 设{}n x 为有界数列.若{}n x 中有无限多个相等的项，则由这些项组成的 子列是一个常数列，而常数列总是收敛的 .若数列{}n x 不含有无限多个相等的项，则{}n x 在数轴上对应的点集必为有界 无限点集，故由聚点定理，点集{}n x 至少有一个聚点，记为ξ. 于是按定义8″，存在{}n x 的一个收敛子列（以ξ为其极限）.71.5 开覆盖定理1.5.1开覆盖定义定义9 设S 为数轴上的点集，H 为开区间的集合（即H 的每一个元素都是形如),(βα的开区间）.若S 中任何一点都含在中至少一个开区间内，则称H 为S 的一个开覆盖，或称H 覆盖S .若H 中开区间的个数无限（有限）的，则称H 为S 的一个无限开覆盖（有限开覆盖）.1.5.2有限覆盖定理及其证明有限覆盖定理 设H 为闭区间[]b a ,的一个（无限）开覆盖，则从H 中可选出有限个开区间来覆盖[]b a ,.]2[证 （论反证）假设定理的结不成立，则不能用H 中有限个开区间来覆盖[]b a ,.现将 []b a , 等分为两个子区间，则两个子区间中至少有一个子区间不能用H 中有限个开区间来覆盖. 记此子区间为[]11,b a ，则[][]b a b a ,,11⊂ 且 )(2111a b a b -=-. 再将[]11,b a 等分为两个子区间，同样，其中至少有一个子区间不能用H 中有 限个开区间来覆盖. 取出这样一个子区间，记为[]22,b a ，则[][]1122,,b a b a ⊂， 且 )(21222a b a b -=- . 将此等分子区间的手续无限地进行下去，得到一个区间列[]{}n n b a ,，它满足[][],...2,1,,,11=⊃++n b a b a n n n n ， )(0)(21∞→→-=-n a b a b nn n ， 即[]{}n n b a ,是区间套，且其中每一个闭区间都不能用H 中有限个开区间来覆盖. 由区间套定理，存在唯一的一点[],...2,1,,=∈n b a n n ξ.由于H 是[]b a ,的一个开覆盖，故存在开区间H ∈),(βα，使),(βαξ∈. 于是，由区间套定理的推论，当n 充分大时有 []),(,βα⊂n n b a .8 这表明[]n n b a ,只须用H 中的一个开区间),(βα就能覆盖，与挑选[]n n b a ,时的假设“不能用H 中有限个开区间来覆盖”相矛盾.从而证得必存在属于H 的有限个开区间能覆盖[]b a ,注 定理的的结论只对闭区间[]b a ,成立，而对开区间则不一定成立.1.6柯西收敛准则及其证明1.6.1柯西收敛准则及其证明柯西收敛准则 数列{}n a 收敛的充要条件是：对任给的0>ε，存在正整数N 使得当N m n >,时有 ε<-m n a a .]2[证 (必要性)设 A a n n =∞→lim ，由数列极限的定义，对任给的0>ε，存在正整 数N ，使得当N m n >,时有 2ε<-A a n , 2ε<-A a m因而有 ε<-+-<-A a A a a a m n m n .(充分性)由题设，对任给的0>ε，存在正整数N ，当N n ≥时，ε<-N n a a . 即当N n ≥时，有 ()εε+-∈N N n a a a ,.令21=ε，存在正整数1N ，当1N n ≥时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∈21,2111N N n a a a ，取 []⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=21,21,1111N N a a βα.令221=ε,存在正整数12N N ≥，当2N n ≥时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∈2221,2122N N n a a a ,取 [][]⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=22112221,21,,22N N a a βαβα.显然有 [][]2211,,βαβα⊃ ，2122≤-αβ，并且当2N n ≥时，[]22,βα∈n a .........令k 21=ε，存在1-≥k k N N ，当k N n ≥时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∈k N k N n k k a a a 21,21, 取[][]⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=--221121,21,,k k N N k k k k a a βαβα.........Na ε-N a ε+N a x9这样就得到一列闭区间[]{}k k b a ,，满足 （i ）[][],...2,1,,,11=⊃++k b a b a k k k k ； （ii ）∞→→≤--k a b k k k ,0211；（iii ）对+N ∈∀k ，当k N n ≥时，[]k k n a βα,∈. 由区间套定理，存在惟一的 []k k βαξ,∈.由区间套定理的推论，对任给的0>ε，存在0>N ,当N n >时[]()εξ;,U b a a n n n ⊂∈，所以εξ<-n a .这就证明了 ξ=∞→n n a lim . 故数列{}n a 收敛.二、引出问题----六大定理如何等价有限覆盖定理→聚点定理→柯西收敛准则→确界原理→单调有界定理→区间套定理→有限覆盖定理2.1用有限覆盖定理证明聚点定理证 设S 为直线上的有界无限点集. 于是存在b a ,使[]b a S ,⊂. 假定[]b a ,在任何点都不是S 的聚点，则对每一点[]b a x ,∈都存在相应的0>x δ，使得()x x U δ;内至多包含S 的有限多个点.令()()b a x x U H x ,;∈=δ，则H 是[]b a ,的一个开覆盖.，据有限覆盖定理，H 中存在有限个邻域()1;1x x U δ，....，()n x n x U δ;，使得覆盖了H ，从而也覆盖了S .由于每个邻域中至多含有S 的有限个点，故这n 个邻域的并集也至多只含有S 的有限个点，于是S 为有限点集，这与题设S 为无限点集矛盾. 因此，在[]b a ,中至少有一点是S 的聚点.2.2 用聚点定理证明柯西收敛准则证 设数列{}n a 为有界数列.若{}n a 中有无限多个相等的项，则由这些10 项组成的子列是一个常数列，而常数列总是收敛的 .若数列{}n a 不含有无限多个相等的项，则{}n a 在数轴上对应的点集必为有界 无限点集，故由聚点定理，点集{}n a 至少有一个聚点，记为ξ.于是按定义8″，存在{}n a 的一个收敛子列（以ξ为其极限）.设数列{}n a 满足柯西条件. 先证明{}n a 是有界的.为此，取1=ε，则存在正 整数N ，当1+=N m 及N n >时，有 11<-+N n a a .由此得 111111+<+-≤+-=+++++N N N n N N n n a a a a a a a a . 令}1,,...,,max {121+=+N N a a a a M ，则对一切正整数n 均有M a n ≤. 于是，由致密性定理，有界数列{}n a 必有收敛子列{}k n a ，设A a k n k =∞→lim .对认给的0>ε，存在0>K ，当K k m n >,,时，同时有2ε<-m n a a （柯西条件） 2ε<-A a K n （A a k n k =∞→lim ）因此当取()K k n m k >≥=时，得到εεε=+<-+-≤-22A a a a A a k k n n n n这就证明了A a n n =∞→lim .2. 3 用柯西收敛准则证明确界原理证 设S 为非空有上界数集.由实数的阿基米德性，对任何正数α，存在整数αk ，使得αλααk =为S 的上界，而ααλαα)1(-=-k 不是S 的上界，即存在S ∈'α，使得ααα)1(->'k分别取n 1=α，,....2,1=n ，则对每一个正整数n ，存在相应的n λ，使得n λ为 S 的上界,而nn 1-λ不是S 的上界，故存在S ∈'α，使得nn 1->'λα . (6)又对正整数m ，m λ是S 的上界，故有αλ'≥m . 结合(6)式得nm n 1<-λλ ；同理有 mn m 1<-λλ . 从而得 ⎪⎭⎫⎝⎛<-n m n m 1,1m a x λλ .于是，对任给的0>ε，存在0>N ，使得当N m n >,时有ελλ<-n m .由柯西收敛准则，数列{}n λ收敛. 记λλ=∞→n n lim . (7)现在证明λ就是S 的上确界. 首先，对任何S a ∈和正整数n 有n a λ≤，由(7)式得λ≤a ，即λ是S 的一个上界.其次，对任何0>δ，由)(01∞→→n n 及(7)式，对充分大的n 同时有21δ<n ， 2δλλ->n . 又因nn 1-λ不是S 的上界，故存在S ∈'α，使得n n 1->'λα .结合上式得δλδδλα-=-->'22 .这说明λ为S 的上确界.同理可证：若S 为非空有下界数集，则必存在下确界 .2 .4 用确界原理证明单调有界定理证 不妨设{}n a 为有上界的递增数列. 由确界原理，数列{}n a 有上确界， 记为{}n a a sup =. 下面证明a 就是{}n a 的极限.. 事实上，任给0>ε，按上确界的定义，存在数列{}n a 中的某一项N a 使得N a a <-ε.又由{}n a 的递增性，当N n ≥时有 n N a a a ≤<-ε.另一方面，由于a 是数列{}n a 的一个上界，故对一切n a 都有ε+<≤a a a n . 所以当N n ≥时 εε+<<-a a a n ，这就证得a a n n =∞→lim .同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限即为它的下确界.2 .5用单调有界定理证明区间套定理证 由定义7 的条件（i ）可知, 数列{}n a 为递增有界数列, 依单调有界定 理，{}n a 有极限ξ，且有 ,...2,1,=≤n a n ξ.同理，递减有界数列{}n b 也有极限，并按区间套的条件（ii ）有ξ==∞→∞→n n n n a b lim lim ，且,...2,1,=≥n b n ξ.综上，可得 ,...2,1,=≤≤n b a n n ξ.下面证明满足 ,...2,1,=≤≤n b a n n ξ 的ξ是唯一的. 设数'ξ也满足 ,...2,1,'=≤≤n b a n n ξ，则由 ,...2,1,=≤≤n b a n n ξ有 (),...2,1,'=-≤-n a b n n ξξ.由区间套的条件（ii ）得 ()0lim '=-≤-∞→n n n a b ξξ，故有 ξξ='.2. 6用区间套定理证明有限覆盖定理证 假设定理的结不成立，则不能用H 中有限个开区间来覆盖[]b a ,.现将 []b a , 等分为两个子区间，则两个子区间中至少有一个子区间不能用H中有限个开区间来覆盖. 记此子区间为[]11,b a ，则[][]b a b a ,,11⊂ 且 )(2111a b a b -=-. 再将[]11,b a 等分为两个子区间，同样，其中至少有一个子区间不能用H 中有 限个开区间来覆盖. 取出这样一个子区间，记为[]22,b a ，则[][]1122,,b a b a ⊂， 且 )(21222a b a b -=- . 将此等分子区间的手续无限地进行下去，得到一个区间列[]{}n n b a ,，它满足[][],...2,1,,,11=⊃++n b a b a n n n n )(0)(21∞→→-=-n a b a b n n n ， 即[]{}n n b a ,是区间套，且其中每一个闭区间都不能用H 中有限个开区间来覆盖. 由区间套定理，存在唯一的一点[],...2,1,,=∈n b a n n ξ.由于H 是[]b a ,的一个开覆盖，故存在开区间H ∈),(βα，使),(βαξ∈.于是，由区间套定理的推论，当n 充分大时有 []),(,βα⊂n n b a .这表明[]n n b a ,只须用H 中的一个开区间),(βα就能覆盖，与挑选[]n n b a ,时的假设“不能用H 中有限个开区间来覆盖”相矛盾.从而证得必存在属于H 的有限个开区间能覆盖[]b a ,.三 、实数完备性的理论基础实数完备性理论是在实数的基本性质的基础上衍生出来的，如不足近似、过剩近似，四则运算的封闭性，绝对值与不等式等等。
实数完备性基本定理的相互证明
实数完备性基本定理的相互证明实数完备性基本定理是数学分析课程中的重要定理之一，它刻画了实数的重要性质。
本文将从两个角度介绍实数完备性基本定理的证明，即从实数的有序性和上确界性质出发进行证明，相互补充，帮助读者更好地理解该定理。
一、从实数的有序性进行证明实数完备性基本定理可以通过比较序列与实数性质的关系来证明。
首先引入柯西序列的概念。
柯西序列是指一列实数序列，其满足对于任意正实数ε，存在正整数N，当n，m≥N时，|an-am|<ε。
柯西序列的定义即表明了序列中的元素越来越接近，它与实数的有序性相对应。
接下来，我们需要证明实数集合所有的柯西序列都是收敛的。
假设{an}是一个柯西序列，为了证明该序列的收敛性，我们需要构造出一个实数α，使得该序列收敛于α。
为此，我们可以构造一个新的序列{bn}，其中bn=sup{am: m≥n}。
首先，根据实数的上确界性质，该集合非空且有上界，因此sup存在。
其次，易知bn递增且有界（因为其满足an≤bn），所以该序列收敛于某一个实数α。
接下来，我们证明an收敛于α。
根据柯西序列的定义，对于任意给定的ε>0，存在正整数N，使得当m，n≥N时，有|am-an|<ε。
那么对于给定的ε>0，根据序列{bn}的收敛性，存在正整数M，使得当n≥M时，有|bn-α|<ε/2，同时根据序列{bn}的递增性质，有bn≥an。
于是可以得到：|an-α|=|an-bn+bn-α|≤|an-bn|+|bn-α|<ε/2+ε/2=ε这表明对于任意给定的ε>0，总存在正整数N=M，使得当n≥N 时，有|an-α|<ε。
因此，an收敛于α，柯西序列收敛于实数α。
这样，我们就证明了任意柯西序列都是收敛的，即实数集合中的柯西序列都有收敛性。
由此可得实数集合是完备的。
二、从实数的上确界性质进行证明实数完备性基本定理也可以通过实数的上确界性质进行证明。
实数的上确界性质是指，非空有上界的实数集合必有上确界。
实数系完备性基本定理的循环证明
实数系完备性基本定理的循环证明实数系的完备性基本定理是指实数系是一个完备的数系，即实数系中的有界非空集合必有上确界或下确界。
为了证明实数系的完备性基本定理，我们可以采用循环证明的方法。
循环证明的思想是通过引入一个递归过程，构造一个序列，然后使用序列的性质来证明定理的正确性。
让我们来进行详细的证明：首先，我们定义一个数集合A是非空的有下界的实数集合。
设A的下界为m。
1.构造序列a₁,a₂,a₃,...。
首先，在A中选择出一个数a₁，使得a₁>m。
这一步可以保证序列的递增性质。
然后，在A中选择出一个数a₂，使得a₂>a₁。
同样，这个数的选择可以保证序列的递增性质。
接着，继续在A中选择出一个数a₃，使得a₃>a₂。
同样的，这一步也可以保证递增性质。
以此类推，通过不断选择A中的元素，我们可以构造出一个序列a₁,a₂,a₃,...。
2.证明序列的有上界性质。
我们可以通过数学归纳法来证明序列a₁,a₂,a₃,...有上界的性质。
首先，由于m是A的下界，所以a₁>m。
因此，m是序列的一个上界。
然后，假设aₙ是序列的最大值，即aₙ>aₙ₋₁。
由于A是一个有上界的非空集合，所以存在一个实数M，使得M是A的上界。
我们可以证明aₙ≤M。
假设不成立，即aₙ>M，则存在一个数β，使得M<β<aₙ。
但是由于aₙ是序列中的最大值，不存在一个元素大于aₙ，因此β不可能属于集合A。
综上所述，M是序列的一个上界。
3.构造序列的上确界。
根据实数中的确界原理，非空的有上界的实数集合必有上确界。
因此，我们可以构造一个上确界L，使得L是序列a₁,a₂,a₃,...的上确界。
4.证明L是A的上确界。
首先，根据序列的定义，对于任意的正实数ε，存在一个正整数N，使得当n>N时，有aₙ>L-ε。
其次，由于aₙ是序列的一个元素，所以有aₙ≤L。
因此，L-ε<aₙ≤L。
综上所述，对于任意的正实数ε，存在一个元素aₙ满足L-ε<aₙ≤L。
实数完备性定理的证明及其应用
实数完备性定理的证明及其应用摘要：实数集的完备性是实数集的一个基本特征，它是微积分学的坚实的理论基础，可以从不同的角度来描述和刻画实数集的完备性，因此有多个实数集的完备性基本定理，包含六个实数集完备性基本定理.本文通过证明这六个基本定理的等价性，来对实数集完备性基本定理等价性进行系统的论述，让我们对实数集完备性的基本特征有进一步的认识和理解.关键词：完备性；区间套；连续性Completeness of the system of real numbers and applications Abstract :Completeness of the set of real numbers is its basic character , and it is stable background of calculus .It can be described and depicted in different anles , so there are considerable fundamental theorems about it . It contains six basic theorems . That the essay uses three different ways individually to prove the equivalence of the six principle theorems is systematic discussion about it , and makes us acquire more recongnition and understanding .Key Words: Completeness ; Interval;Continuity引言众所周知，数学分析研究的基本对象是函数及其各分析性质（主要包括连续性、可微性以及可积性），所用的知识是极限理论.极限理论问题首先是极限存在问题.一个数列是否存在极限，不仅与数列本身的结构有关，而且也与数列所在数集有关，如果在有理数集Q上讨论极限，那么单调有界的有理数列就不一定存在极限.例如，单调有界的有理数列11nn⎛⎫+⎪⎝⎭就不存在极限，因为它的极限是e，是无理数.由于实数集关于极限的运算是封闭的，是实数集的优点，是有别于有理数集的重要特征.因此，将极限理论建立在实数集上就使得极限理论有了巩固的基础.所以实数集的完备性是数学分析的基础，他在整个数学分析中占据着重要位置.1.实数完备性定理的定义1.1确界原理 设S 为非空数集.若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必下确界.1.2单调有界定理 在实数系中，有界的单调数列必有极限.1.3区间套定理 设[]{},n n a b 为一区间套：1. [][]11,,,1,2,.n n n n a b a b n ++⊃=⋅⋅⋅2. ()lim 0n n n b a →∞-=，则在实数系中存在唯一的一点[],,1,2,.n n a b n ξ∈=⋅⋅⋅即,1,2n n a b n ξ≤≤=⋅⋅⋅.1.4有限覆盖定理 设(){},H αβ=是闭区间[],a b 的一个无限开覆盖，即[],a b 中每一个点都含于H 中至少一个开区间(),αβ内，则在H 中必存在有限个开区间来覆盖[],a b .1.5聚点定理和致密性定理 （聚点定理）直线上的任一有界无限点集S 至少有一个聚点ξ，即在ξ的任意小邻域内都含有S 中无限多个点（ξ本身可以属于S ，也可以不属于S ）. （致密性定理）任何有界数列必定有收敛的子列.1.6柯西收敛准则 数列{}n a 收敛的充要条件是：0,N N ε+∀>∃∈，只要,n m N >，恒有||n m a a ε-<，（后者有称为柯西条件，满足柯西条件的数列又称为柯西列，或基本列）.2.实数完备性定理的证明定理1（确界原理）设S 为非空数集.若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必下确界.证明 我们只需证明非空有上界的数集必有上确界即可，对于非空有下界的 数集必有下确界可类似证明.为叙述的方便起见，不妨设S 含有非负数.由于S 有上界，故可找到非负整数n ，使得（1）对于任何x s ∈有1x n <+；（2）存在0a s ∈，使0a n ≥.对半开区间[),1n n +作10等分，分点为.1,.2,,.9n n n ⋅⋅⋅，则存在0,1,2,,9⋅⋅⋅中的一个数1n ，使得（1）对于任何x s ∈有11.10x n n <+；（2）存在1a s ∈，使得11.a n n ≥.再对半开区间111.,.10n n n n ⎡⎫+⎪⎢⎣⎭作10等分，则存在0,1,2,,9⋅⋅⋅中的一个数2n ，使得（1）对于任何x s ∈有1221.10x n n n <+；（2）存在2a s ∈，使212.a n n n ≥. 继续不断地10等分在前一步骤中所得到的半开区间，可知对任何1,2,,k =⋅⋅⋅存在0,1,2,⋅⋅⋅中的一个数k n ，使得（1）对于任何x s ∈有121.10k k x n n n n <⋅⋅⋅+………(1)；（2）存在k a s ∈，使12.k k a n n n n ≥⋅⋅⋅. 将上述步骤无限地进行下去，得到实数12.k n n n n η=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，以下证明s u p S η=，为此只需证明：（i ）对一切x s ∈有x η≤；（ii ）对任何αη<，存在a s '∈，使a α'<.倘若结论（i ）不成立，即存在x s ∈使x η>，则可找到x 的k 为不足近似k x ，使121.10k k k x n n n n η>=⋅⋅⋅+，从而得121.10k kx n n n n >⋅⋅⋅+，与不等式（1）矛盾，于是（i ）得证.现设αη<，则存在k 使η的k 位不足近似k k ηα>，即12.k k n n n n α⋅⋅⋅>.根据数η的构造，存在a s '∈使k a η'>，从而有k k a ηαα'≥>≥，即得到a α'<，说明（ii ）成立.定理2（单调有界定理）在实数系中，有界的单调数列必有极限.证明 不妨设{}n a 为有上界的递增数列，由确切原理，数列{}n a 有上确界，记{}sup n a a =，下面证明a 就是{}n a 的极限，事实上，任给0ε>，按上确界的定义，存在数列{}n a 中某一项N a ，使得N a a ε-<，又由{}n a 的递增性，当n N ≥时有N n a a a ε-<≤，另外，由于a 是{}n a 的一个上界，故对一切n a 都有n a a a ε≤<+，所以当n N ≥时有n a a a εε-<<+，这就证得lim n n a a →∞=，同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限极为它的下确界.定理3（区间套定理）设[]{},nna b 为一区间套： 1.[][]11,,,1,2,.n n n n a b a b n ++⊃=⋅⋅⋅ 2. ()lim 0n n n b a →∞-=，则在实数系中存在唯一的一点[],,1,2,.n n a b n ξ∈=⋅⋅⋅即,1,2n n a b n ξ≤≤=⋅⋅⋅（2）证明 由于1221n n a a a b b b ≤≤⋅⋅⋅≤≤⋅⋅⋅≤≤⋅⋅⋅≤≤，则知{}n a 为递增有界数列，依单调有界定理，{}n a 有极限ξ，且有,1,2n a n ξ≤=⋅⋅⋅（3）同理，递减有界数列{}n b 也有极限，并按区间套的条件 2.有lim lim n n n n b a ξ→∞→∞== （4）且,1,2,n b n ξ≥=⋅⋅⋅ （5） 联合（3）、（5）即得（2）式，最后证明满足（2）式的ξ是唯一的，设数ξ'也满足,1,2,n n a b n ξ'≤≤=⋅⋅⋅，则由（2）式有||,1,2n n b a n ξξ'-≤-=⋅⋅⋅，由区间套的条件 2.得||lim()0n n n b a ξξ→∞'-≤-=，故有ξξ'=.定理4（有限覆盖定理）设(){},H αβ=是闭区间[],a b 的一个无限开覆盖，即[],a b 中每一个点都含于H 中至少一个开区间(),αβ内，则在H 中必存在有限个开区间来覆盖[],a b .证明 用反证法 假设定理的结论不成立，即不能用H 中有限个开区间来覆盖[],a b . 将[],a b 等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间不能用H 中有限个开区间来覆盖，记这个子区间为[]11,a b ，则[][]11,,a b a b ⊂，且111()()2b a b a -=-，再将[]11,a b 等分为两个子区间，同样，其中至少有一个子区间不能用H 中有限个开区间来覆盖，记这个子区间为[]22,a b ，则至少[][]2211,,a b a b ⊂，且2221()()2b a b a -=-，重复上述步骤并不断地进行下去，则得到一个闭区间列[]{},nna b ，它满足[][]11,,,1,2,n n n n a b a b n ++⊃=⋅⋅⋅1()0,()2n n nb a b a n -=-→→∞ 即[]{},n n a b 是区间套，且其中每一个闭区间都不能用H 中有限个开区间来覆盖.由区间套定理，存在唯一的一点[],,1,2,n n a b n ξ∈=⋅⋅⋅，由于H 是[],a b 的一个开覆盖，故存在开区间(,)H αβ∈，使(,)ξαβ∈，于是知，当n 充分大时有[],(,)n n a b ξαβ∈，这表明[],n n a b 只需用H 中的一个开区间(,)αβ就能覆盖，与挑选[],n n a b 时的假设“不能用H 中有限个开区间来覆盖”相矛盾，从而证得必存在属于H 的有限个开区间能覆盖[],a b .定理5（聚点定理）直线上的任一有界无限点集S 至少有一个聚点ξ，即在ξ的任意小邻域内都含有S 中无限多个点（ξ本身可以属于S ，也可以不属于S ）. （致密性定理）任何有界数列必定有收敛的子列.1. （聚点定理） 证明 因S 为有界点集，故存在0M >，使得[],S M M ⊂-，记[][]11,,a b M M =-，先将[]11,a b 等分为两个子区间，因S 为无限聚点，故两个子区间中至少有一个含有S 中无穷多个点，记此子区间为[]22,a b ，则[][]1122,,a b a b ⊃，且22111()2b a b a M -=-=，再将[]22,a b 等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间含有S 中无穷多个点，取出这样的一个子区间，记为[]33,a b ，则[][]2233,,a b a b ⊃，且33221()22Mb a b a -=-=，将此等分子区间无限地进行下去，得到一个区间列[]{},n n a b ，它满足[][]11,,,1,2,n n n n a b a b n ++⊃=⋅⋅⋅ ，20()2n n n Mb a n --=→→∞ 即[]{},n n a b 是区间套，且其中每一个闭区间都含有S 中无穷多个点. 由区间套定理知，存在唯一的一点[],,1,2,n n a b n ξ∈=⋅⋅⋅，且对任给的0ε>，存在0N >，当n N >时有[],(,)n n a b U ξε⊂，从而(,)U ξε内含有S 中无穷多个点，则知ξ为S 的一个聚点.2. （致密性定理） 证明 设{}n x 为有界数列 下分两种情况讨论： （i ）{}n x 中含有无穷多个相等的项，记作12k n n n x x x ==⋅⋅⋅==⋅⋅⋅，则常数列{}k n x 收敛； （ii ）{}n x 不含无穷多个相等的项，记{}/n S x n N +=∈，则S 为有界无限点集，由聚点定理知S 至少有一个聚点ξ，由聚点的等价定义知，存在S 中各项互异的点列{}{}k n n x x S ⊂=，且,()k n x k ξ=→∞ 即lim k n k x ξ→∞= 则得以一敛子列{}k n x 收敛于ξ.定理6（柯西收敛准则）数列{}n a 收敛的充要条件是：0,N N ε+∀>∃∈，只要,n m N >，恒有||n m a a ε-<，（后者有称为柯西条件，满足柯西条件的数列又称为柯西列，或基本列）.证明 必要性 设lim n n a A →∞=，有数列极限定义，对任给的0ε>,存在0N >，当,m n N >时有||,||22m n a A a A εε-<-<， 因而||||||22m n m n a a a A a A εεε-≤-+-<+=充分性 先证明该数列必定有界，取01ε=，因为{}n x 满足柯西条件，所以00,N n N ∃∀>，有01||1n N x x +-<，令{}00121max ||,||,,||,||1N N M x x x x +=⋅⋅⋅+，则对一切n ，成立||n x M ≤，由致密性定理，在{}n x 中必有收敛子列：lim k n k x ξ→∞=，由条件，0,N ε∀>∃，当,n m N >时有||2n m x x ε-<，在上式中取k m n x x =，其中k充分大，满足k n N >，并且令k →∞，于是得到||2n x εξε-≤<，即得到数列{}n x 收敛.要证明实数完备性定理的等价性,还必须由定理6证明出定理1. 用数列的柯西收敛准则证明确界原理证明 设S 为非空有上界数集，由实数的阿基米德性知，对任何正数α，存在整数k α，使得k ααλα=为S 的上界，而(1)k ααλαα-=-不是S 的上界，即存在S α'∈，使得(1)k ααα'>-，分别取1,1,2,n nα==⋅⋅⋅，则对每一个正整数n ，存在相应的n λ，使得n λ为S 的上界，故存在a S '∈，使得1n a nλ'>- （6），又对正整数,m m λ是S 的上界，故有m a λ'≥，结合（6）式得1n m nλλ-<，同理有1m n m λλ-<，从而有11||max ,m n m n λλ⎧⎫-<⎨⎬⎩⎭，于是，对任给的0ε>，存在0N >，使得当,m n N >时有||m n λλε-<，由柯西收敛准则知，数列{}n λ收敛，记lim n n λλ→∞= （7）现在证明λ就是S 的上确界，首先，对任何a S ∈和正整数n 有n a λ≤，由（7）式得a λ≤，即λ是S 的一个上界，其次，对任何0δ>，由10()n n →→∞及（7）式，对充分大的n 同时有1,22n n δδλλ<>-，又因1n nλ-不是S 的上界，故存在a S '∈，使得1n a n λ'>-，结合上式得22a δδλλδ'>--=-，这说明λ为S 的上确界，同理可证，若S 为非空有下界数集，则必存在下确界.3.实数完备性定理的应用实数的完备性在闭区间上连续函数性质的证明以及积分学中都有很广泛的应用我们将通过一系列例题阐述实数完备性定理的应用，认识实数完备性定理的重要作用和地位.例1若函数()f x 在闭区间上[],a b 连续，那么()f x 在闭区间[],a b 上有界.证明 若不然，不妨假设()f x 在[],a b 上无界，那么存在[],n x a b ∈，使得(),1,2,n f x n n >=⋅⋅⋅，由此得知lim ()n n f x →∞=+∞，另外，因为{}[](,)n x a b ⊂是有界数列，所以由致密性定理，{}n x 有收敛的子列{}k n x ，设0lim k n k x x →∞=，由于k n a x b ≤≤，有极限的不等式性质知0a x b ≤≤，故()f x 在点0x 连续，有归结原则导出00lim ()lim ()lim ()()k n n n k x x f x f x f x f x →∞→∞→+∞====，矛盾，则知假设不成立，从而有函数()f x 在闭区间上[],a b 连续，则()f x 在闭区间[],a b 上有界例2若函数f 在闭区间[],a b 上连续，则f 在[],a b 上一致连续.证明 若不然，存在00ε>，以及区间[],a b 上的点列{}{},n n x y ，虽然l i m ()0n n n x y →∞-=，但是0|()()|,1,2,n n f x f y n ε-≥=⋅⋅⋅ （7），因为{}n x 有界，所以由致密性定理，{}n x 有一个收敛的子列{}n x ，设0lim k n k x x →∞=，又k n a x b ≤≤，由极限的不等式性质推得0a x b ≤≤，故()f x 在点0x 连续，有归结原则与（7）式得000lim |()()||()()|0k k n n k f x f y f x f y ε→∞≤-=-=，矛盾，则假设不成立，从而有f 在[],a b 上一致连续.用有限覆盖定理证命题的一般步骤：（1）[],,()x a b U x ∀∈∃，使得()U x 具有性质P ，即[]{}()/,H U x x a b =∈为[],a b 一个开覆盖；（2）运用有限覆盖定理（即存在H 中有限个开区间）设为12(),(),()k U x U x U x ⋅⋅⋅覆盖了[],a b ；（3）利用()i U x 具有性质P 得出[],a b 具有性质P .例3 用有限覆盖定理证明：闭区间上连续函数的有界性定理.证明 设()f x 在区间[],a b 上连续，根据连续函数的局部有界性定理，对于任意的[]0,x a b ∈，存在正数0x M 以及正数0x δ，当()[]000,,o x x x x x a b δδ∈-+ 时有|()|x f x M ≤作开区间集()[]()[]{},/|()|,,,,,x x x x x H x x f x M x a b x x x a b δδδδ=-+≤∈∈-+ ，显然H 覆盖了区间[],a b ，根据有限覆盖定理，存在H 中有限个开区间()()()11221122,,,,,,n n x x x x n x n x x x x x x x δδδδδδ-+-+⋅⋅⋅-+，它们也覆盖了[],a b ，令{}12max ,,,n x x x M M M M =⋅⋅⋅，呢么对于任意的[],x a b ∈，存在,1k k n ≤≤，使得(),k k k x k x x x x δδ∈-+，并且有|()|k x f x M M ≤≤.结束语实数集的完备性是实数集的一个基本特征,它是微积分学的坚实的理论基础.在证明闭区间上连续函数性质的时候,由于实数的完备性定理是等价的,所以可以用任何一个实数的完备性定理证明闭区间上连续函数的性质,只是证明的难度有所区别罢了，在平常的学习过程中我们一定要注重实数的完备性的重要性.参考文献[1]华东师范大学数学系.数学分析第三版[M].北京:高等教育出版社,2001:52-63. 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实数完备性的证明及其应用
实数完备性的证明及其应用摘要一、实数完备性定理 1、闭区间套定理如果n n a b {[,]}形成一个闭区间套，即满足11n n n n a b a b n N ++⊃∈(i)[,][,],，n n a b →∞n (ii)lim(,)=0，则存在惟一的实数ξ属于所有的闭区间n n [a ,b ]，且n n a b ξ→∞→∞=n n =lim lim 。
2、聚点定理（又称维尔斯特拉斯聚点定理） 如果S 为有界无限点集，则S 必有聚点。
3、柯西收敛准则数列{}n x 收敛的充分必要条件是：{}n x 是基本数列，即{}n x 满足：对于任意给定的0ε>，存在正整数N ，使得当,n m N >时成立n m x x ε-<。
4、单调有界定理单调递增（减）有上（下）界数列必有极限。
5、有限覆盖定理闭区间a b [,]的任意开覆盖H 都含有一个有限子覆盖，即H 中可找出有限个开集覆盖a b [,]。
6、确界存在定理非空有上界的数集必有上确界；非空有下届的数集必有下确界。
二、实数完备性基本定理的证明1、由闭区间套定理出发，推其余五个定理 1）闭区间套定理⇒聚点定理证 设数列{}n x 有界，于是存在实数11,a b ，成立11,1,2,3,n a x b n ≤≤= 将闭区间11[,]a b 等分为两个小区间111[,]2a b a +与111[,]2a bb +，则其中至少有一个含有数列{}n x 中的无穷多项，把它记为22[,]a b 。
再将闭区间22[,]a b 等分为两个小区间222[,]2a b a +与222[,]2a bb +，同样其中至少有一个含有数列{}n x 中的无穷多项，把它记为33[,]a b 这样的步骤可以一直做下，于是得到一个闭区间套{[,]}k k a b ，其中每一个区间套[,]k k a b 中都含有数列{}n x 中的无穷多项。
根据区间套定理，存在实数ξ，满足k k k k a b ξ→∞→∞==lim lim 。
实数集合的完备性及其在高等数学中的应用
实数集合的完备性及其在高等数学中的应用实数集合的完备性是高等数学中的一个重要概念。
完备性是指实数集合中不存在任何空隙，任何一个实数集合中的空隙都能通过一定的方法找到一个实数填补上去。
这一概念为高等数学的推理和证明提供了基础，同时也为许多实际问题的建模和解决提供了理论基础。
首先，我们来看实数集合的完备性在高等数学中的应用之一，即实数的连续性与完备性的关系。
在实数集合中，任何一个非空的有上界的子集都有上确界，这一性质称为实数的连续性定理。
通过实数集合的完备性，我们可以证明实数的连续性定理，进而建立实数集合与数轴的一一对应关系，实现实数的几何意义的表达。
其次，实数集合的完备性在高等数学中的应用之一是在实数的柯西序列和实数序列的极限性质的研究中。
实数集合的完备性可以保证柯西序列的收敛性，即对于任意给定的无穷小正数ε，存在某个正整数N，当n大于N时，柯西序列的前n项之差小于ε。
这一性质在实数的一致收敛和函数的连续性中起到了重要作用。
此外，实数集合的完备性还在实数的无理数性质研究中扮演着重要角色。
实数集合中存在无限多个有理数和无限多个无理数，且有理数和无理数之间无法建立一一对应。
实数集合的完备性确保了实数集合中的无理数是完全密集的，无法通过有限个有理数去划分。
这一性质保证了实数集合中的无理数具有无穷多的连续性，从而为实数的分析提供了坚实的基础。
另外，实数集合的完备性在数列的定义、数学分析的基本概念以及微积分的建立等方面也发挥着重要的作用。
实数集合的完备性确保了数列的极限存在性、函数的连续性、导数的定义与性质等数学分析中的基本概念的确立与应用。
实数集合的完备性还为微积分中的积分定义、积分的连续性以及微分方程的解的存在性等问题的研究提供了理论依据。
总结起来，实数集合的完备性是高等数学中的重要概念，其应用广泛而深远。
通过实数集合的完备性，我们可以在高等数学中建立实数的几何意义、分析性质以及无理数的连续性，从而推动高等数学的发展和应用。
数学分析基本定理
数学分析基本定理数学分析是现代数学的一个重要分支，涵盖了许多基本理论和定理。
其中，数学分析的基本定理是数学分析的核心，是一系列重要的定理，对于理解和应用数学分析具有重要意义。
本文将介绍数学分析的基本定理，包括实数完备性定理、最大值最小值定理、洛必达法则以及泰勒展开定理。
一、实数完备性定理实数完备性定理是数学分析中的一个重要定理，它描述了实数的性质。
实数完备性定理表明，每个非空有上界的实数集合必定存在上确界。
这个定理为数学分析的一些重要结论提供了基础。
证明：假设有一个非空实数集合S，且S有上界。
根据实数的性质，S必定存在上确界。
证毕。
二、最大值最小值定理最大值最小值定理是数学分析中的一个重要定理，它描述了函数的性质。
最大值最小值定理表明，在一定条件下，函数在闭区间内必定取得最大值和最小值。
证明：假设有一个定义在闭区间[a, b]上的函数f(x)。
如果f(x)在[a,b]上连续，那么f(x)在[a, b]上必定存在最大值和最小值。
证毕。
三、洛必达法则洛必达法则是数学分析中的一个重要定理，它用于求解函数的极限。
洛必达法则表明，在一定条件下，通过对函数分子和分母同时求导，可以简化复杂的极限计算问题。
定理：假设有两个函数f(x)和g(x)，且f(x)和g(x)在某一点a附近连续，且g(x)在该点导数不为0。
如果f(x)和g(x)的极限都存在或者为无穷大，那么f(x)/g(x)的极限等于f'(x)/g'(x)。
证明：设f(x)和g(x)满足上述条件，根据洛必达法则，可以通过对f(x)和g(x)同时求导，将极限问题简化为计算f'(x)和g'(x)的极限问题。
根据导数的定义和极限的定义，可以得出结论f'(x)/g'(x)是f(x)/g(x)的极限。
证毕。
四、泰勒展开定理泰勒展开定理是数学分析中的一个重要定理，它用于近似计算复杂函数的值。
泰勒展开定理表明，如果某个函数在某一点附近具有足够多的连续导数，那么该函数可以用一个多项式来近似表示。
实数完备性定理的等价性证明及其应用
实数完备性定理的等价性证明及其应用实数理论是数学分析的基础理论之一，微分学、积分学理论的建立与发展都以实数理论为基础． 在实数系内，作为公理，确界原理成立．确界原理描述了实数集的连续性，单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理、柯西收敛准则，与确界原理之间是等价的．六个定理在数学形式上不同，但是它们都是描述了实数集的连续性．它们之间的等价性称为实数完备性定理的等价性．本文给出实数完备性6个定理的另一种循环证明及部分应用．为学生学习这部分内容提供帮助．1 预备知识实数完备性其本定理定理1(确界原理)[1](7)P 设S 为非空数集，若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必有下确界．定理2(柯西收敛准则)[1](38)P 数列{}n a 收敛的充要条件是:对任给的0ε>，存在正整数N ，使得当,n m N >时有||n m a a ε-<．定理3(单调有界定理)[1](35)P 在实数系中，有界的单调数列必有极限．定理4(有限覆盖定理)[1](165)P 设H 为闭区间[,]a b 的一个(无限)开覆盖，则从H 中可选出有限个开区间来覆盖[,]a b ．定理5(聚点定理)[1](164)P 实轴上的任何有界无限点集S 至少有一个聚点．定理6(区间套定理)[1](161)P 若{[,]}n n a b 是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点ξ，使得[,],1,2,n n a b n ξ∈=L 即,1,2,n n a b n ξ≤≤=L ．2 实数完备性定理的等价性证明2.1 用确界定理证明柯西收敛准则证明 设{}n a 是柯西数列，即0ε∀>，∃正整数N ，,n m N ∀>，有||n m a a ε-<．取1m N =+，1ε=，因此11||||||1n N n N a a a a ++-≤-<，故而1||||1n N a a +<+．设121max{||,||,,||,||1}N N M a a a a +=+L 可见||n a M <，即{}n a 必有界，由确界定理知inf{}n a 存在，记为a ．1）若min{}n a a ≠，则0ε∀>，N ∃，使N a a a ε<<+．设12k ε=，存在k N n =(1k k n n ->)使12kn ka a a <<+．令k →∞，得k n a a →． 所以对于0ε∀>，K ∃，当k K >时有k n a a ε-<．取1max{,}N N K =，当1,k n N >时2k n n n n n a a a a a a ε-≤-+-<，所以lim n n a a →∞=．２）若min{}n a a =，作集合{|{},}n P x a x M x M =-<<中有有限项小于，P 显然为非空有界集合，故sup P 存在，记为sup b P =．由P 的性质，0ε∀>，必然有b P ε+∉，所以{}n a 中有无限项小于b ε+．,N ε∀∃，使n b a b ε-<<．设12k ε=，存在k N n =(1k k n n ->)使12k n k b a b -<<．令k →∞，得k n a b →．所以对于0ε∀>，K ∃，当k K >时有k n a b ε-<． 取1max{,}N N K =，{}n a 是柯西数列，当1,k n N >时，便有||||||2k n n n n n a b a a a b ε-≤-+-<，所以lim n n a b →∞=．2.2 用柯西收敛准则证明单调有界定理证明 设{}n a 递增且有上界M 的数列．若{}n a 不收敛，必为非柯西收敛数列，即0ε∃>，N ∀，n N ∃>，所以n N a a ε-≥．取11=N ，必11N n >∃使ε≥-11a a n 即ε+≥11a a n ． 取12n N =，必22N n >∃使21n n a a ε-≥即21n n a a ε≥+．L L L如此继续下去，一般地取1k k N n -=，必k k n N ∃>使1k k n n a a ε--≥．把上述不等式相加得1k n a a k ε-≥即1k n a k a ε≥+．当1M a k ε->时，可使k n a M >．这与M是{}n a 的上界矛盾，所以{}n a 收敛．2.3 用单调有界定理证明有限覆盖定理 证明 设H 是闭区间[,]a b 的一个开覆盖．若H 不存在[,]a b 的有限开覆盖，把[,]a b 一分为二，至少有一个闭区间不能被H 有限开覆盖（若否则[,]a b 能被H 有限开覆盖，矛盾）取出记为11[,]a b ，满足11[,][,]a b a b ⊂且111()2b a b a -=-，把11[,]a b 一分为二，至少有一个闭区间不能被H 有限开覆盖取出记为22[,]a b ，满足2211[,][,][,]a b a b a b ⊂⊂且2211211()()22b a b a b a -=-=-，如此继续下去得到闭区间列{[,]}n n a b 满足下面两条：（1）11[,][,]n n n n a b a b --⊂且1()2n n n b a b a -=-（1,2,n =L ）（2）每个闭区间[,]n n a b 都不能被H 有限覆盖．因为{}n a 递增且有上界，由单调有界定理可知，ξ∃ ，使lim n n a ξ→∞=，又因为0n n b a -→(n →∞)于是lim lim()lim n n n n n n n b b a a ξ→∞→∞→∞=-+=，即lim lim n n n n a b ξ→∞→∞==．0ε∀>，,N n N ∃∀>，使得n a ξεξε-<<+，n b ξεξε-<<+，从而[,](,)n n a b ξεξε⊂-+即开区间(,)ξεξε-+覆盖了闭区间[,]n n a b ，这与[,]n n a b 的作法矛盾，于是有限覆盖定理成立．2.4 用有限覆盖定理证明聚点定理证明 设{}S x =是有界无限点集，必存在a 、b 使a x b <<．若S 不存在聚点，则在闭区间[,]a b 中任一点x 都不会是S 的聚点，从而x 的x δ邻域(,)x U x δ至多只含S 的有限个点，让x 取遍[,]a b ，使得开覆盖{(,)|[,]}x U x x a b H δ∈=．由有限覆盖定理知H 必存在有限子覆盖~12{,,,}[,]k H U U U a b S =⊃⊃L ．因为每个(1,2,)i U i k =L 只含S 的有限个点，~H 只含S 的有限个点，这与~H S ⊃且S 是无限集矛盾，所以S 至少有一个聚点．2.5 用聚点定理证明区间套定理证明 设{[,]}n n a b 是一个闭区间列，121n n a a a b b ≤≤≤≤≤≤L L L ．因为数列{}n a 有界 ，记有界无限点集{|}n E a n N +=∈，根据聚点定理，E 至少有一个聚点ξ．根据聚点定义，取1ε=，1(,1)n a U ξ∃∈． 取12ε=，21(,)2n a U ξ∈，要求12n n <． L L取1k ε=，1(,)k n a U k ξ∈，要求1k k n n -<． L L如此无限继续下去，构造了数列{}n a 的子数列{}k n a ．因为k N +∀∈，有1k n a kξ-<．当k →∞时，有10k→，所以lim k n k a ξ→∞=，即子列{}k n a 收敛于ξ．又因为{}n a 单调递增，必然有1k k n n n a a a +≤≤．当k →∞时，n →∞．由迫敛性可以知道lim n n a ξ→∞=．又由于()n n n n b b a a =-+，n →∞，所以lim n n b ξ→∞=．又因为n k >时，有k n n k a a b b ≤≤≤，及{}n a 与{}n b 的单调性保证[,],1,2,n n a b n ξ∈=L ，即,1,2,n n a b n ξ≤≤=L ．最后证明ξ是唯一的．设'ξ也满足',1,2,n n a b n ξ≤≤=L ，则'||,1,2,n n b a n ξξ-≤-=L ．由区间套的条件得'||lim()0n n n b a ξξ→∞-≤-=，故有'ξξ=．2.6 用区间套定理证明确界定理证明 设M 为集合S 的上界，即x S ∀∈，有x M ≤．假设S 无最大值，即M S ∉，对于0x S ∀∈，将0[,]x M 二等分，若右半区间含有S 中的点，则右半区间记为11[,]a b ，否则就记左半区间为11[,]a b ．将11[,]a b 再二等分，用同样的方法选作22[,]a b ．如此继续下去，便得到闭区间套{[,]}n n a b ，使得n b 总是S 的上界，n a 总不是S 的上界．na 为单调递增的，nb 为单调递减的，当n →∞时，01()02n n nb a M x -=-→．根据区间套定理，可知存在唯一公共点[,],1,2,n n a b n ξ∈=L ．于是有lim lim n n n n a b ξ→∞→∞==．因为n b 总是S 的上界，即x S ∀∈，有n x b ≤．令n →∞时，得x ξ≤．又由于lim n n a ξ→∞=，即0,,,N n N ε>∃∀>有n a ξεξε-<<+．而n a 总不是S 的上界，于是一定存在1x S ∈使1n a x <，从而1x ξε-<，于是得sup S ξ=．同理可以证若S 为非空下界数集，则S 必存在下确界．3 实数完备性定理的应用区间套定理只是着眼于一点，凡属于整体到局部的问题常用此定理，但应用此定理时常常采用反证法．有限覆盖定理着眼于闭区间的整体，把每点近旁的局部性质推广到整个闭区间，从而证得闭区间上应满足的性质．例1 若函数()f x 定义在区间(,)a b 内，(,)x a b ∀∈，存在邻域(,)x x x x δδ-+使()f x 在(,)x x x x δδ-+内单调增加，则函数()f x 在(,)a b 内也单调增加．证法一（反证法，用区间套定理） 假设函数()f x 在(,)a b 内不是单调增加的，即11,(,)x y a b ∃∈，且11x y <，有11()()f x f y >．将11[,]x y 二等分，分别为111[,]2x y x +与111[,]2x yy +． 当111()()2x y f x f +>时，令11122[,][,]2x yx x y +=有22()()f x f y >，或者111()()2x y f f y +>时令11122[,][,]2x yy x y +=有22()()f x f y >．再将22[,]x y 二等分，记为222[,]2x y x +与222[,]2x y y +．当222()()2x y f x f +>时，令22233[,][,]2x y x x y +=有33()()f x f y >，或者222()()2x y f f y +>时令22233[,][,]2x y y x y +=有33()()f x f y >．如此继续下去，得闭区间列{[,]}n n x y 且1122[,][,][,]n n x y x y x y ⊃⊃⊃⊃L L ;111lim()lim02n n n n n y x y x -→∞→∞--==，且()(),1,2,n n f x f y n >=L ． 根据区间套定理，存在(,)a b α∈，使[,],1,2,n n x y n α∈=L ．已知存在邻域(,)αααδαδ-+，函数()f x 在(,)αααδαδ-+内单调增加．当0n 充分大时．有00[,](,)n n x y αααδαδ⊂-+而00()()n n f x f y >．这与函数()f x 在(,)αααδαδ-+内单调递增矛盾．于是()f x 在(,)a b 内必是单调递增．证法二（用有限覆盖定理） ,(,)c d a b ∀∈，c d <，求证()()f c f d <．[,]x c d ∀∈存在x 的邻域(,)(,)x x x U x x x δδδ=-+，使()f x 在(,)x U x δ内单调增加，所有(,)x U x δ，[,]x c d ∀∈覆盖了闭区间[,]c d ．由有限覆盖定理，在这些邻域内可取有限个邻域1212(,),(,),,(,)n x x n x U x U x U x δδδL 且（12n x x x <<<L ）覆盖[,]c d 且去掉任一个都不能覆盖[,]c d ．()f x 在每个邻域(,)i i x U x δ（1,2,,i n =L ）内单调增加．取11(,)(,)i i i i x i x y U x U x δδ++∈⋂．由(,)i i x U x δ的定义知1122()()()()()()()n f c f x f y f x f y f x f d <<<<<<<L ，由,c d 的任意性知函数()f x 在(,)a b 内也单调增加．例2 设f 是n 维欧氏空间中连通区域D 内定义的函数，对于D 内每一点，都有一个邻域，使得f 在该邻域内等于常数，证明f 在D 内等于常数．[2](116)P证明 设1x 与2x 是D 内任意两点，因为D 是n 维欧氏空间中连通区域，因此有在D 连接1x 与2x的折线L ．可以证明组成折线L 的每一条线段的两个端点处的函数值相等，因此可知12()()f x f x =．设这两个端点是1x 与2x ，连接1x 与2x 的线段L 为D 的闭集，L 上的每一点x 都有一个属于D 的邻域(,)x U x δ，在该邻域内f 等于常数，所有的(,)2xU x δ，x L ∈覆盖了闭集L ，由有限覆盖定理，在这些开邻域内可取有限个开邻域1212(,),(,),,(,)222nxxxn U x U x U x δδδL 覆盖L ．f 在每一个邻域(,)2ixi U x δ(1,2,,i n =L )内等于常数．取12min{,,,}222nxx xδδδδ=L ．把L 等分m 份，使每一小段的长度小于δ，分点为1122,,,m x a a a x ==L ，由于1121,(,)2xx a U x δ∈，所以12()()f x f a =，又由2a L ∈则存在一个i ，1i n ≤≤，使2(,)2ixi a U x δ∈且有3(,)2ixi a U x δ∈，于是23()()f a f a =．如此继续下去可得，1232()()()()()m f x f a f a f a f x =====L ，即f 在D 内等于常数． 例3 举例说明有限覆盖定理的结论在有理数集Q 中不成立．[3](38)P解 闭区间[1,2]中所有有理数的集合记为[1,2]r ．需要构造[1,2]r 的一个开覆盖，使它的任何有限覆盖都不能盖住[1,2]r ．[1,2]r x ∀∈，可取到正有理数x r (,)x x x r x r -+，这样就得到了[1,2]r 的一个开覆盖{}O α．任意的取{}O α的一个有限开覆盖，设为1111(,),,(,)n n x x n x n x x r x r x r x r -+-+L ．由于这些，且其2n 个端点都是有理数．故若设这2n 最靠近的为r ，则在rn 个开区间外．这表明{}O α的任一有限开覆盖都不能盖住[1,2]r ．例4 设函数f 在(,)-∞+∞上满足李普希兹条件:12,(,)x x ∀∈-∞+∞，1212()()f x f x L x x -≤-，其中01L <<，求证:存在唯一的0(,)x ∈-∞+∞，使00()f x x =(这种0x 称为f 的不动点)．[4](101)P证明 1(,)x ∀∈-∞+∞，按照1()n n x f x -=(1,2,n =L )构造的数列{}n x 满足柯西收敛准则的条件．由条件知:111()()n n n n n n x x f x f x L x x +---=-≤- 211221n n n L x x L x x ---≤-≤≤-L (1,2,n =L )又m n ∀>231112121()m m n m n m m m m n n x x x x x x x x x x L L L ------+-≤-+-++-≤-+++L L1211n L x x L-≤--．而1lim 0n n L-→∞=故{}n x 满足满足柯西收敛准则的条件．因而收敛，设0lim n n x x →∞=，再由1()n n x f x -=及f 在点0x 连续得: 00()f x x =．最后证唯一性．反证法，若10x x ≠也是f 的不动点， 则101010100()()x x f x f x L x x x x <-=-≤-<- 矛盾．。
第七章关于实数集完备性的基本定理
其中 c1
a1
2
b1
. 那么 [a1,
c1], [c1,
b1 ]
中至少有一
个区间含有 S 的无限多个点. 记该区间为[a2, b2].
显然有[a1,b1] [a2 ,b2 ],
b2
a2
1 2
(b1
a1 )
下面来证明唯一性. 设 1 也满足
an 1 bn ,
返回
那么 1 bn an 0. 即 1 , 惟一性得证. 推论 设 {[an ,bn]} 是一个区间套, [an , bn ], n 1, 2, . 则任给 > 0, 存在 N, 当 n N 时,
M (ii) bn an 2n2 0 ; (iii) 每个闭区间[an, bn] 均含S 的无限多个点.
由区间套定理, 存在惟一的 [an , bn ], n 1, 2, .
由定理 1的推论 : 对于任意的正数 ,存在 N ,
当n N使
[an , bn ] U ( ; ),
个区间的端点上的值异号. 将这个过程无限进行
下去, 得到一列闭子区间
{ [an , bn] }, 满足:
(i) [an1, bn1] [an , b n ], n 1, 2, ;
(ii)
bn
an
ba 2n
0 , n ;
(iii) F (an )F (bn ) 0.
开区间所覆盖. 由区间套定理,存在惟一的 , 使 [an , bn ], n 1, 2, .
因 [a1, b1], H 覆盖了[a, b], 故存在 ( , ) H , 使 （ , ）. 由定理 7.1推论，当n充分大时有
实数的完备性及其应用课件
设E [a,b],是E一个的开覆盖,则中存在有限 个开区间覆盖 E，即有限覆盖 E .
Borel:波雷尔,1871—1956,法国
取 0 1, 因为{ xn}是基本数列，所以N0，n N 0： | xn xN0 1 | 1. 令 M max{| x1 |,| x1 |,,| xN0 |,| xN01 | 1}，
则对一切n，成立｜ xn｜ M .即 { xn}有界.
由致密性定理或 Bolzano-Weierstrass定理，在｛ xn｝中
比如，偶数集、有理数集都是可数集.
定理1 (0,1)是不可数集，从而实数 集R是不可数集. 证 (反证法) 设 (0,1)是可数集,那么(0,1)可以与N有一一对应, 即(0,1)的元素可以排序，设为 x1, x2 ,, xn ,
将xn写成十进制形式： x1 0.a11a12a13 , x2 0.a21a22a23 , x3 0.a31a32a33 , , xn 0.an1an2an3 ,
二、实数完备性基本定理
1.确界存在定理 2.单调数列收敛定理 3. 区间套定理 4. 有限覆盖定理 5. 聚点原理 6. 收敛子列定理(致密性定理) 7. 柯西收敛原理
1、确界存在定理
首先定义数集的界, 上界, 下界. 定义1 对于数集E,
界 : M 0,x E, | x | M; 上界 : b,x E, x b; 下界 : a,x E, x a.
记 m inf E Inf { x}. Inf是拉丁文Infimum 的缩写. xE
实数完备性定理的证明及应用
实数完备性定理的证明及应用(共9页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-实数完备性定理的证明及应用学生姓名：xxx 学号：072数学与信息科学学院数学与应用数学专业指导老师：xxx 职称：副教授摘要：实数集的完备性是实数集的一个基本特征，他是微积分学的坚实的理论基础，从不同的角度来描述和刻画实数集的完备性，六个完备性定理是对实数完备性基本定理等价性的系统论述，让我们获得对实数集完备性的基本特征的进一步的认识和理解. 并用实数完备性定理证明闭区间上连续函数的若干性质．关键词：完备性；基本定理；等价性Testification and application about Real NumberCompletenessAbstract: Completeness of the set of reel numbers is its basic character, and it is stable theory background of calculus. It can be described and depicted in different angles, To prove the equivalence of the six principle theorem is systematic discussion about it and make us acquire more recognition and understanding. At the same time, the theorem of completeness of real numbers testpfyies the several qualities of the continuous function in closed interval.Key Words: sigmacompleteness; fundamental theorem; equivalence引言在数学分析学习中，我们知道，实数完备性定理是极限的理论基础，是数学分析理论的基石，对实数完备性表达通常有六个定理．在此，我们以实数连续性为公理，顺序证明其余六个基本定理，最后达到循环，从而证明等价性，并用实数完备性定理证明闭区间上连续函数的若干性质.1. 基本定义[1]定义1 设S是R中的一个数集．若数 满足：(1) 对一切x ∈S ，有x η≤，即η是S 的上界；(2) 对任何α<η，存在x ∈S ，使得x >α，即η又是S 的最小上界， 则称数η为数集S 的上确界，记作η=sup S ．定义2 设S 是R 中的一个数集．若ξ满足： (1) 对一切x ∈S ，有x ≤ξ，即ξ是S 的下界；(2) 对任何β>ξ，存在x ∈S ，使得x <ξ，即ξ又是S 的最大下界， 则称数ξ为数集S 的下确界，记作inf S ξ=．定义3 设闭区间列[]{},n n a b 具有如下性质: (1) [],n n a b ⊃[]11,n n a b ++，1,2,n =；(2) lim()0n n n b a →∞-=，则称[]{},n n a b 为闭区间套，或简称区间套．定义4[2] 设S 为数轴上的点集，ξ定点(它可以属于S ，也可以不属于S )．若ξ的任何邻域内都含有S 中无穷多个点，则称ξ为点集S 的一个聚点．其等价定义：对于点集S ，若点ξ的任何ε邻域内都含有S 中异于ξ的点，即(),u S ξε≠∅，则称ξ为S 的一个聚点．定义5 设S 为数轴上的点集，H 为开区间的集合(即H 的一个元素都是形如(),αβ的开区间)．若S 中任何一点都含在H 中至少一个开区间内，则称H 为S 的一个开覆盖，或称H 覆盖S ．若H 中开区间的个数是无限(有限)的，则称H为S 的一个无限(有限)开覆盖．2. 六个定理及证明定理1 维尔斯特拉斯聚点定理(Weierstrass 聚点定理) 直线上的有界无限点集S 至少有一个聚点． 定理2 柯西收敛准则(又叫实数完备性定理)数列{}n a 收敛的充要条件是：对任给的正数ε，总存在某一个自然数N ， 使得,n m N >时，都有m n a a -<ε．定理3 确界原理有上(下)界的数集必有上(下)确界． 定理4 单调有界定理任何有界的单调数列一定有极限． 定理5 区间套定理若[]{},n n a b 是一列闭区间，(1,2,)n =，又设 (1) [],n n a b ⊃[]11,n n a b ++，(1,2,)n =； (2) lim()0n n n b a →∞-=，则存在唯一的ξ∈[],n n a b ，(1,2,)n =．定理6 有限覆盖定理(也叫海涅-波莱尔定理)设[],a b 是闭区间，H 为[],a b 的一个开覆盖，则在H 中必存在有限个开区间，它构成[],a b 的开覆盖．3. 六个定理等价的证明以上定理，虽然表述各异，其实质都是描述实数集完备性的定理，下面将以循环证明方式，证明其等价性．维尔斯特拉斯聚点定理⇒柯西收敛准则⇒确界原理⇒单调有界定理⇒区间套定理⇒有限覆盖定理⇒维尔斯特拉斯聚点定理． 维尔斯特拉斯聚点定理⇒柯西收敛准则证明 若对∀ε>0，∃N >0，当,n m N >时，n m a a -<ε．取ε=1．则1N ∃>0，当n >1N 时，有1n N a a -<1，则n a ≤1+1N a ．令M =max {}1112,,,,1N N a a a a ⋅⋅⋅+，则对∀n ，都有n a ≤M ．从而数列{}n a 有界．(1) 若{}n a 看作点集，是一个有限点集，至少有一项i a 重复出现无穷多次，就以i a 为项构成子列，则{}i a 是常数列，必收敛．记lim k n i k a a ξ→∞==，则k k n n n n a a a a ξξε-≤-+-<．即 lim n n a ξ→∞=．(2) 若{}n a 构成无穷点集，由聚点定理{}n a 必有一个聚点ξ．由聚点定义2，必存在{}k n a ⊂{}n a ，且lim k n k a ξ→∞=则k k n n n n a a a a ξξε-≤-+-<．即 lim n n a ξ→∞=．柯西收敛准则 ⇒确界原理证明 设S 为非空有上界实数集，由实数的阿基米德性，对任何正数α，在整数k α，使得k ααλ=，α为S 的上界，而(1)k ααλαα-=-不是S 的上界，即在α'∈S ，使得(1)k ααα'>-．分别取1,1,2,n n α==⋅⋅⋅．则对每一个正整数，存在相应的n λ，使得n λ为S 的上界，而1n nλ-不是S 的上界，故存在α'∈S 使得1n nαλ'>-． (1)又对正整数m ，m λ是S 的上界．故有m λα'≥结合(1)式得1n m n λλ-<． 同理有 1m n mλλ-<，从而得∣m λ－n λ∣＜11max ,m n m n λλ⎛⎫-< ⎪⎝⎭．于是对任给0ε∀>，存在0N >，使得当,m n N >时，有m n λλε-<由柯西收敛准则，数列｛n λ｝收敛，记lim n n λλ→∞= (2)现在证明λ就是S 的上确界．首先，对任何α∈S 和正整数n ，有αλ≤，由(2)式得αλ≤．即λ是S 的一个上界．其次，对任给的0δ>，由1n →0（n →∞）及(2)式，对充分大的n 同时有 12n δ<，n λ＞2δλ-． 又因为n λ1n-不是S 的上界，故存在S α'∈，使α'＞1n nλ-结合上式22δδαλλδ'>--=-所以λ为S 的上确界．同理可证S 为非空下界数集，则必存在下确界． 确界原理⇒单调有界定理证明 不妨设{}n a 为有上界的递增数列．由确界原理，数列{}n a 有上确界．a ={}sup n a ．下面证明a 就是{}n a 的极限．事实上，任给ε>0，按上确界的定义，存在数列{}n a 中某一项N a ，使得N a a ε-<．又由{}n a 的递增性，当n N ≥时有N n a a a ε-<≤．另一方面，由于a 是{}n a 的一个上界，故对一切n a 都有n a a a ε≤<+，所以n N ≥，时有εε+<<-a a a n ．这就证得lim n n a a →∞=．同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限即为它的下确界．单调有界定理⇒区间套定理[7]证明 由闭区间列[]{},n n a b 的性质知，1221n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤≤．则{}n a 为递增有界数列．依单调有界定理，{}n a 有极限ξ，且有n a ξ≤，(1,2,)n =．同理，递减有界数列{}n b 也有极限，并按区间套的条件lim()0n n n b a →∞-=有lim lim n n n n b a ξ→∞→∞==，且n b ξ≥，(1,2,)n =；综上 n n a b ξ≤≤． 最后证明ξ是唯一的． 设数ξ'也满足n n a b ξ'≤≤，(1,2,)n =；则由n n a b ξ≤≤，n n a b ξ'≤≤可知()lim 0n n n b a ξξ→∞'-≤-=，故有ξξ'=．区间套定理⇒有限覆盖定理证明 用反证法．假设有限覆盖定理的结论不成立，即不能用H 中有限个开区间来覆盖[],a b ，将[],a b 等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间不能用H 中有限个开区间来覆盖，记这个区间为[]11,a b ，则[]11,a b ⊂[],a b ，且112b ab a --=．再将[]11,a b 等分为两个子区间，同样，其中至少有一个子区间不能用H 中有限个开区间来覆盖，记这个区间为[]22,a b ，则[]22,a b ⊂[]11,a b ，且2222b ab a --=． 重复上述步骤并不断地进行下去，则得到一个闭区间列[]{},n n a b ．它满足[],n n a b ⊃[]11,n n a b ++，(1,2,)n =；0()2n n n b ab a n --=→→∞， 即[]{},n n a b 是区间套，且其中每一个闭区间都不能用H 中有限个开区间来覆盖． 由区间套定理，存在唯一的一点ξ[],n n a b ∈，(1,2,)n =；由于H 是[],a b 的一个开覆盖，故存在开区间(),αβ∈H ，使ξ∈(),αβ．于是，由区间套定理的推论，当n 充分大时有[],n n a b ⊂(),αβ．这表明[],n n a b 只须用H 中的一个开区间(),αβ来覆盖，与挑选[],n n a b 时的假设“不能用H 中有限个开区间来覆盖”相矛盾．以而证得必存在属于H 的有限个开区间能覆盖[],a b ． 有限覆盖定理⇒聚点定理证明 若S 为R 上的有界无穷点集，则存在0M >，使S ⊂[],M M -． 对任意x ∈[],M M -，任意ε>0，记()[]{},,i i H u x x M M ε=∈-，显然H 覆盖了[],M M -．由有限覆盖定理，存在()[]{},,,1,2...i i H u x x M M i k ε*=∈-=也覆盖了[],M M -．即()1,ki i u x ε=⊃[],M M -⊃S ．由于S 是无穷点集，至少有一个0i x ，使得()0,i u x ε含有S 中无穷多个点．则0i x 是S 的聚点．4. 实数完备性定理的应用以上我们对实数完备性定理进行了循环证明，下面我们将对其在闭区间上连续函数性质的应用做一些举例证明．例1 证明有界性定理．证明（应用有限覆盖定理） 由连续函数的局部有界性，对没一点'[,]x a b ∈，都存在领域''(;)x U x δ及正数'x M ，使得()''',(;)[,].x x f x M x U x a b δ≤∈考虑开区间集{}'''(;)[,],x H U x x a b δ=∈显然H 是[,]a b 的一个无限开覆盖.由有限覆盖定理，存在H 的一个有限子集覆盖了[,]a b ，且存在正整数12,,,,k M M M 使得对一切(;)[,]i i x U x a b δ∈有(),i f x M ≤(1,2,,)i k =．令1max ,i i kM M ≤≤=则对任何[,],x a b x ∈必属于某(,)().i i i U x f x M M δ⇒≤≤这就证得在[,]a b 上有界．例2 证明最大最小值定理最大值最小值定理 若函数f 在[],a b 上连续，则f 在[],a b 上有最大值与最小值．证明 （应用确界原理） 由于已证得f 在[],a b 上有界，故由确界原理，f 的值域[](),fa b 有上确界，记为M ．以下我们证明：存在[],a b ξ∈，使()f M ξ=．倘若不然，对一切[,]x a b ∈都有()f x M <．令1(),[,]()g x x a b M f x =∈-易见函数g 在[],a b 上连续，故g 在[],a b 上有上界.设G 是g 的一个上界，则10(),[,].()g x G x a b M f x <=≤∈-从而推得1(),[,].f x M x a b G≤-∈但这与M 为[](),fa b 的上确界（最小上界）相矛盾．所以必存在[,]a b ξ∈，使()f M ξ=，即f 在[],a b 上有最大值．同理可证f 在[],a b 上有最小值．总结本文围绕着解决极限存在性之一中心问题，以聚点定理理为出发点，讨论了实数完备性的六个基本定理，着重讨论了以下几个方面： 1、基本定理的等价性各定理虽然形式不同，但从本质上讲，都是从不同侧面反映了实数的完备性，且它们相互等价． 2、基本定理的特征确界原理——分析、函数论中的重要角色，量变到质变的转折点，客观事物性质的数学表达；单调有界定理——几何意义十分明显；区间套定理——将“整体”局部化，“化整为零” ；聚点定理——“化整为邻”的另一途径，整体性态—收敛子列—局部性态； 有限覆盖定理——闭集的本质属性，局部到整体； 柯西准则——从运算上讲，极限在实数集合内是封闭的． 3、基本定理的意义实数完备性的六个基本定理，深刻剖析了实数域的完备结构，突出了存在性问题的研究，克服了极限方法上的局限性．参考文献[1] 强文久．数学分析的基本概念与方法[M]．北京：高等教育出版社，1989． [2] 陈传璋，金福临，朱学炎，欧阳光中.数学分析上册[M]．北京：人民教育出版社．[3] 华东师范大学数学系. 数学分析(第三版)上册[M]．北京：高等教育出版社，2003．[4] 江泽坚，吴智泉．实变函数论[M]．人民教育出版社，1961．[5] 王建午．实数的构造理论[M]．北京：人民教育出版社，1981．[6] G.波利亚等著．张奠宙等译．数学分析中的问题和定理第一卷[M]．上海：上海科学技术出版社，1981．[7] 沈燮昌．数学分析第二册[M]．北京：高等教育出版社，1986．[8] 吉林大学数学系．数学分析[M]．北京：人民教育出版社，1978．9。
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. .. .实数完备性定理的证明及应用学生：xxx 学号：数学与信息科学学院数学与应用数学专业指导老师：xxx 职称：副教授摘要：实数集的完备性是实数集的一个基本特征，他是微积分学的坚实的理论基础，从不同的角度来描述和刻画实数集的完备性，六个完备性定理是对实数完备性基本定理等价性的系统论述，让我们获得对实数集完备性的基本特征的进一步的认识和理解. 并用实数完备性定理证明闭区间上连续函数的若干性质．关键词：完备性；基本定理；等价性Testification and application about Real NumberCompletenessAbstract: Completeness of the set of reel numbers is its basic character, and it is stable theory background of calculus. It can be described and depicted in different angles, To prove the equivalence of the six principle theorem is systematic discussion about it and make us acquire more recognition and understanding. At the same time, the theorem of completeness of real numbers testpfyies the several qualities of the continuous function in closed interval.Key Words: sigmacompleteness; fundamental theorem; equivalence引言在数学分析学习中，我们知道，实数完备性定理是极限的理论基础，是数学分析理论的基石，对实数完备性表达通常有六个定理．在此，我们以实数连续性为公理，顺序证明其余六个基本定理，最后达到循环，从而证明等价性，并用实数完备性定理证明闭区间上连续函数的若干性质.1. 基本定义[1]定义1 设S 是R 中的一个数集．若数η满足：(1) 对一切x ∈S ，有x η≤，即η是S 的上界；(2) 对任何α<η，存在x ∈S ，使得x >α，即η又是S 的最小上界，则称数η为数集S 的上确界，记作η=sup S ．定义2 设S 是R 中的一个数集．若ξ满足：(1) 对一切x ∈S ，有x ≤ξ，即ξ是S 的下界；(2) 对任何β>ξ，存在x ∈S ，使得x <ξ，即ξ又是S 的最大下界，则称数ξ为数集S 的下确界，记作inf S ξ=．定义3 设闭区间列[]{},n n a b 具有如下性质:(1) [],n n a b ⊃[]11,n n a b ++，1,2,n =；(2) lim()0n n n b a →∞-=， 则称[]{},n n a b 为闭区间套，或简称区间套．定义4[2] 设S 为数轴上的点集，ξ定点(它可以属于S ，也可以不属于S )．若ξ的任何邻域都含有S 中无穷多个点，则称ξ为点集S 的一个聚点．其等价定义：对于点集S ，若点ξ的任何ε邻域都含有S 中异于ξ的点，即(),u S ξε≠∅，则称ξ为S 的一个聚点．定义5 设S 为数轴上的点集，H 为开区间的集合(即H 的一个元素都是形如(),αβ的开区间)．若S 中任何一点都含在H 中至少一个开区间，则称H 为S 的一个开覆盖，或称H 覆盖S ．若H 中开区间的个数是无限(有限)的，则称H 为S 的一个无限(有限)开覆盖．2. 六个定理及证明定理1 维尔斯特拉斯聚点定理(Weierstrass 聚点定理)直线上的有界无限点集S 至少有一个聚点．定理2 柯西收敛准则(又叫实数完备性定理)数列{}n a 收敛的充要条件是：对任给的正数ε，总存在某一个自然数N ，使得,n m N >时，都有m n a a -<ε．定理3 确界原理有上(下)界的数集必有上(下)确界．定理4 单调有界定理任何有界的单调数列一定有极限．定理5 区间套定理若[]{},n n a b 是一列闭区间，(1,2,)n =，又设(1) [],n n a b ⊃[]11,n n a b ++，(1,2,)n =；(2) lim()0n n n b a →∞-=， 则存在唯一的ξ∈[],n n a b ，(1,2,)n =．定理6 有限覆盖定理(也叫海涅-波莱尔定理)设[],a b 是闭区间，H 为[],a b 的一个开覆盖，则在H 中必存在有限个开区间，它构成[],a b 的开覆盖．3. 六个定理等价的证明以上定理，虽然表述各异，其实质都是描述实数集完备性的定理，下面将以循环证明方式，证明其等价性．维尔斯特拉斯聚点定理⇒柯西收敛准则⇒确界原理⇒单调有界定理⇒区间套定理⇒有限覆盖定理⇒维尔斯特拉斯聚点定理．3.1 维尔斯特拉斯聚点定理⇒柯西收敛准则证明 若对∀ε>0，∃N >0，当,n m N >时，n m a a -<ε．取ε=1．则1N ∃>0，当n >1N 时，有1n N a a -<1，则n a ≤1+1N a ．令M =max {}1112,,,,1N N a a a a ⋅⋅⋅+，则对∀n ，都有n a ≤M ．从而数列{}n a 有界．(1) 若{}n a 看作点集，是一个有限点集，至少有一项i a 重复出现无穷多次，就以i a 为项构成子列，则{}i a 是常数列，必收敛．记lim k n i k a a ξ→∞==，则 k k n n n n a a a a ξξε-≤-+-<．即 lim n n a ξ→∞=． (2) 若{}n a 构成无穷点集，由聚点定理{}n a 必有一个聚点ξ．由聚点定义2，必存在{}k n a ⊂{}n a ，且lim k n k a ξ→∞= 则k k n n n n a a a a ξξε-≤-+-<．即 lim n n a ξ→∞=． 3.2 柯西收敛准则 ⇒确界原理证明 设S 为非空有上界实数集，由实数的阿基米德性，对任何正数α，在整数k α，使得k ααλ=，α为S 的上界，而(1)k ααλαα-=-不是S 的上界，即在α'∈S ，使得(1)k ααα'>-．分别取1,1,2,n nα==⋅⋅⋅．则对每一个正整数，存在相应的n λ，使得n λ为S 的上界，而1n nλ-不是S 的上界，故存在α'∈S 使得 1n nαλ'>-． (1) 又对正整数m ，m λ是S 的上界．故有m λα'≥结合(1)式得1n m nλλ-<． 同理有 1m n m λλ-<， 从而得∣m λ－n λ∣＜11max ,m n m n λλ⎛⎫-< ⎪⎝⎭． 于是对任给0ε∀>，存在0N >，使得当,m n N >时，有m n λλε-<由柯西收敛准则，数列｛n λ｝收敛，记lim n n λλ→∞= (2) 现在证明λ就是S 的上确界．首先，对任何α∈S 和正整数n ，有αλ≤，由(2)式得αλ≤．即λ是S 的一个上界．其次，对任给的0δ>，由1n→0（n →∞）及(2)式，对充分大的n 同时有 12n δ<，n λ＞2δλ-． 又因为n λ1n-不是S 的上界，故存在S α'∈，使 α'＞1n nλ- 结合上式22δδαλλδ'>--=-所以λ为S 的上确界． 同理可证S 为非空下界数集，则必存在下确界．3.3 确界原理⇒单调有界定理证明 不妨设{}n a 为有上界的递增数列．由确界原理，数列{}n a 有上确界．a ={}sup n a ．下面证明a 就是{}n a 的极限．事实上，任给ε>0，按上确界的定义，存在数列{}n a 中某一项N a ，使得N a a ε-<．又由{}n a 的递增性，当n N ≥时有N n a a a ε-<≤．另一方面，由于a 是{}n a 的一个上界，故对一切n a 都有n a a a ε≤<+，所以n N ≥，时有εε+<<-a a a n ．这就证得lim n n a a →∞=． 同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限即为它的下确界．3.4 单调有界定理⇒区间套定理[7]证明 由闭区间列[]{},n n a b 的性质知，1221n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤≤．则{}n a 为递增有界数列．依单调有界定理，{}n a 有极限ξ，且有n a ξ≤，(1,2,)n =． 同理，递减有界数列{}n b 也有极限，并按区间套的条件lim()0n n n b a →∞-=有lim lim n n n n b a ξ→∞→∞==，且n b ξ≥，(1,2,)n =； 综上 n n a b ξ≤≤．最后证明ξ是唯一的．设数ξ'也满足n n a b ξ'≤≤，(1,2,)n =；则由n n a b ξ≤≤，n n a b ξ'≤≤可知()lim 0n n n b a ξξ→∞'-≤-=， 故有ξξ'=．3.5 区间套定理⇒有限覆盖定理证明 用反证法．假设有限覆盖定理的结论不成立，即不能用H 中有限个开区间来覆盖[],a b ，将[],a b 等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间不能用H 中有限个开区间来覆盖，记这个区间为[]11,a b ，则[]11,a b ⊂[],a b ，且112b a b a --=．再将[]11,a b 等分为两个子区间，同样，其中至少有一个子区间不能用H 中有限个开区间来覆盖，记这个区间为[]22,a b ，则[]22,a b ⊂[]11,a b ，且2222b a b a --=． 重复上述步骤并不断地进行下去，则得到一个闭区间列[]{},n n a b ．它满足[],n n a b ⊃[]11,n n a b ++，(1,2,)n =； 0()2n n nb a b a n --=→→∞， 即[]{},n n a b 是区间套，且其中每一个闭区间都不能用H 中有限个开区间来覆盖．由区间套定理，存在唯一的一点ξ[],n n a b ∈，(1,2,)n =；由于H 是[],a b 的一个开覆盖，故存在开区间(),αβ∈H ，使ξ∈(),αβ．于是，由区间套定理的推论，当n 充分大时有[],n n a b ⊂(),αβ．这表明[],n n a b 只须用H 中的一个开区间(),αβ来覆盖，与挑选[],n n a b 时的假设“不能用H 中有限个开区间来覆盖”相矛盾．以而证得必存在属于H 的有限个开区间能覆盖[],a b ．3.6 有限覆盖定理⇒聚点定理证明 若S 为R 上的有界无穷点集，则存在0M >，使S ⊂[],M M -．对任意x ∈[],M M -，任意ε>0，记()[]{},,i i H u x x M M ε=∈-， 显然H 覆盖了[],M M -．由有限覆盖定理，存在()[]{},,,1,2...i i H u x x M M i k ε*=∈-= 也覆盖了[],M M -．即()1,ki i u x ε=⊃[],M M -⊃S ．由于S 是无穷点集，至少有一个0i x ，使得()0,i u x ε含有S 中无穷多个点．则0i x 是S 的聚点．4. 实数完备性定理的应用以上我们对实数完备性定理进行了循环证明，下面我们将对其在闭区间上连续函数性质的应用做一些举例证明．例1 证明有界性定理．证明（应用有限覆盖定理） 由连续函数的局部有界性，对没一点'[,]x a b ∈， 都存在领域''(;)x U x δ及正数'x M ，使得()''',(;)[,].x x f x M x U x a b δ≤∈考虑开区间集{}'''(;)[,],x H U x x a b δ=∈ 显然H 是[,]a b 的一个无限开覆盖.由有限覆盖定理，存在H 的一个有限子集覆盖了[,]a b ，且存在正整数12,,,,k M M M 使得对一切(;)[,]i i x U x a b δ∈有(),i f x M ≤ (1,2,,)i k =．令1max ,i i kM M ≤≤= 则对任何[,],x a b x ∈必属于某(,)().i i i U x f x M M δ⇒≤≤这就证得在[,]a b 上有界． 例2 证明最大最小值定理最大值最小值定理 若函数f 在[],a b 上连续，则f 在[],a b 上有最大值与最小值．证明 （应用确界原理） 由于已证得f 在[],a b 上有界，故由确界原理，f 的值域[](),f a b 有上确界，记为M ．以下我们证明：存在[],a b ξ∈，使()f M ξ=．倘若不然，对一切[,]x a b ∈都有()f x M <．令1(),[,]()g x x a b M f x =∈- 易见函数g 在[],a b 上连续，故g 在[],a b 上有上界.设G 是g 的一个上界，则10(),[,].()g x G x a b M f x <=≤∈- 从而推得1(),[,].f x M x a b G≤-∈ 但这与M 为[](),f a b 的上确界（最小上界）相矛盾．所以必存在[,]a b ξ∈，使()f M ξ=，即f 在[],a b 上有最大值．同理可证f 在[],a b 上有最小值．总结本文围绕着解决极限存在性之一中心问题，以聚点定理理为出发点，讨论了实数完备性的六个基本定理，着重讨论了以下几个方面：1、基本定理的等价性各定理虽然形式不同，但从本质上讲，都是从不同侧面反映了实数的完备性，且它们相互等价．2、基本定理的特征确界原理——分析、函数论中的重要角色，量变到质变的转折点，客观事物性质的数学表达；单调有界定理——几何意义十分明显；区间套定理——将“整体”局部化，“化整为零”；聚点定理——“化整为邻”的另一途径，整体性态—收敛子列—局部性态；有限覆盖定理——闭集的本质属性，局部到整体；柯西准则——从运算上讲，极限在实数集合是封闭的．3、基本定理的意义实数完备性的六个基本定理，深刻剖析了实数域的完备结构，突出了存在性问题的研究，克服了极限方法上的局限性．参考文献[1] 强文久．数学分析的基本概念与方法[M]．：高等教育，1989．[2] 传璋，金福临，朱学炎，欧中.数学分析上册[M]．：人民教育．[3] 华东师大学数学系. 数学分析(第三版)上册[M]．：高等教育，2003．[4] 江泽坚，吴智泉．实变函数论[M]．人民教育，1961．[5] 王建午．实数的构造理论[M]．：人民教育，1981．[6] G.波利亚等著．奠宙等译．数学分析中的问题和定理第一卷[M]．：科学技术，1981．[7] 燮昌．数学分析第二册[M]．：高等教育，1986．[8] 大学数学系．数学分析[M]．：人民教育，1978．。