统计学第八章正交试验方差分析

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正交试验的方差分析-

方差分析的几点补充
1. 对于未排满列的正交表，如L9(34)中只有3个因素的情况，对第四列仍进行计算，求K14,K24，K34等，
并且求出第四列的差方和Q4。
这时会出现什是完全可以理解的，因为该表未排满时，正交表事实上不完全符合正交性的原则。这个差方和又叫做“空列误差”。又叫第一类误差。这就说明Qe1可直接由空列误差计算。
如：L4(23)试验，重复5次，
则fe2＝4(5-1）＝16。
该项为3×3＝9次。
4. 总的误差Qe＝Qe1＋Qe2。其中：
Qe 2
1 n r 2 2 x ij ( x ij ) r i 1 j 1 i 1 j 1
m
r
r: 各号重复次数；n: 试验号总数。 5. 误差自由度： fe=fe1+fe2。其中： fe2＝n(r-1）。
2. 还有一种误差，就是重复试验误差。
在实际工作中，每一水平不可能只作一次试验，一般都要做重复试验。重复试验引入的误差就叫重复试验误差，称为第二类误差。 3. 当考虑重复试验时，那么计算各Ki值时须用重复几次的和；另外，计算差方和时，水平数m项要改为水平数与重复次数的乘积，如3水平，重复3次，则

(整理)正交试验结果的方差分析方法

正交试验结果的方差分析方法计算公式和项目试验指标的加和值=,试验指标的平均值与表4-13一样，第j列的(1) I j”水平所对应的试验指标的数值之和(2) II j——“ 2”水平所对应的试验指标的数值之和(3)……(4) k j——同一水平出现的次数。

等于试验的次数除以第j列的水平数.(5)I j/k j——“水平所对应的试验指标的平均”(6)II j/k j——“2”水平所对应的试验指标的平均值(7)……以上各项的计算方法，与“极差法”同，见4.1.7节(8)偏差平方和(4-1)(9) fj ——自由度.fj第j列的水平数－1.(10）Vj——方差.Vj =Sj/fj(4-2)（11）Ve——误差列的方差。

(4-3)（12）Fj——方差之比(4-4)（13）查F分布数值表（见附录6），做显著性检验。

显著性检验结果的具体表示方法与第3章相同。

（14）总的偏差平方和(4-5) （15）总的偏差平方和等于各列的偏差平方和之和。

即(4-6) 式中，m为正交表的列数。

若误差列由5个单列组成，则误差列的偏差平方和S e等于5个单列的偏差平方和之和,即：S e=S e1+S e2+S e3+S e4+S e5；也可用S e= S总－S’来计算，其中：S’为安排有因素或交互作用的各列的偏差平方和之和应引出的结论。

与极差法相比，方差分析方法可以多引出一个结论：各列对试验指标的影响是否显著，在什么水平上显著。

在数理统计上，这是一个很重要的问题。

显著性检验强调试验误差在分析每列对指标影响中所起的作用。

如果某列对指标的影响不显著，那么，讨论试验指标随它的变化趋势是毫无意义的。

因为在某列对指标的影响不显著时，即使从表中的数据可以看出该列水平变化时，对应的试验指标的数值也在以某种“规律”发生变化，但那很可能是由于实验误差所致，将它作为客观规律是不可靠的。

有了各列的显著性检验之后，最后应将影响不显著的交互作用列与原来的“误差列”合并起来，组成新的“误差列”，重新检验各列的显著性。

(整理)正交试验结果的方差分析方法

(4-3)（12）Fj——方差之比(4-4)（13）查F分布数值表（见附录6），做显著性检验。

显著性检验结果的具体表示方法与第3章相同。

（14）总的偏差平方和(4-5) （15）总的偏差平方和等于各列的偏差平方和之和。

即(4-6) 式中，m为正交表的列数。

与极差法相比，方差分析方法可以多引出一个结论：各列对试验指标的影响是否显著，在什么水平上显著。

在数理统计上，这是一个很重要的问题。

显著性检验强调试验误差在分析每列对指标影响中所起的作用。

如果某列对指标的影响不显著，那么，讨论试验指标随它的变化趋势是毫无意义的。

有了各列的显著性检验之后，最后应将影响不显著的交互作用列与原来的“误差列”合并起来，组成新的“误差列”，重新检验各列的显著性。

实验设计的方差分析与正交试验

实验设计的方差分析与正交试验一、实验设计中的方差分析方差分析（analysis of variance，ANOVA）是一种统计方法，用于比较不同组之间的均值差异是否具有统计学上的显著性。

在实验设计中，方差分析主要被用来分析因变量（dependent variable）在不同水平的自变量（independent variable）中的变化情况。

通过比较不同组之间的方差，判断是否存在显著差异，并进一步分析差异的原因。

1. 单因素方差分析单因素方差分析是最简单的方差分析方法，适用于只有一个自变量的实验设计。

该方法通过比较不同组之间的方差来判断各组均值是否有差异。

步骤如下：（1）确定研究目的，选择合适的因变量和自变量。

（2）设计实验，确定各组的样本个数。

（3）进行实验，并收集数据。

（4）计算各组的平均值和总平均值。

（5）计算组内方差和组间方差。

（6）计算F值，通过计算F值来判断各组均值是否有显著差异。

2. 多因素方差分析多因素方差分析是在单因素方差分析的基础上，增加了一个或多个自变量的情况下进行的。

这种方法可以用来分析多个因素对因变量的影响，并判断各因素的主效应和交互效应。

步骤如下：（1）确定研究目的，选择合适的因变量和多个自变量。

（2）设计实验，确定各组的样本个数。

（3）进行实验，并收集数据。

（4）计算各组的平均值和总平均值。

（5）计算组内方差、组间方差和交互方差。

（6）计算F值，通过计算F值来判断各组均值是否有显著差异。

二、正交试验设计正交试验设计是一种设计高效实验的方法，可以同时考虑多个因素和各个因素之间的交互作用，并通过较少的试验次数得到较准确的结果。

1. 正交表的基本原理正交表的设计是基于正交原理，即每个因素和其他所有因素的交互效应都是独立的。

通过正交表设计实验，可以确保各因素和交互作用在样本中能够均匀地出现，从而减少误差来源，提高实验结果的可靠性。

2. 正交试验设计的步骤（1）确定要研究的因素和水平。

统计学-第八章正交试验方差分析

交互作用在正交试验中应用
交互作用概念及意义
交互作用定义
两个或多个因子同时变化时，对试验结果产生的综合影响，不能简单由单个因子的影响叠加得到。
交互作用意义
揭示因子间的相互作用关系，为优化试验方案、提高试验效率提供重要依据。
交互作用在正交表中表示方法
列间交互
在正交表中，通过专门设置的交互列来表示不同因子间的交互作用。
方差分析前提条件
独立性
各观测值之间相互独立，不受其他观测值的影响。
正态性
各总体应服从正态分布，或近似正态分布。
方差齐性
各总体的方差应相等或近似相等。
方差分析基本思想
分解思想
将总变异分解为因素效应和随机误差两部分，通过比较因素是否显著。
比较思想
通过比较不同组别间均值的差异，推断总体均值是否存在显著差异。在比较过程中，需要消除随机误差的影响，以确保比较的准确性和可靠性。
对于影响显著的因素，进一步进行多重比较，找出各水平间的差异。
结果讨论与总结
1 2
结果讨论
根据方差分析结果，讨论各因素对产品质量和产量的影响程度及显著性。结合实际情况，分析可能的原因和机理。
最佳生产条件确定
根据方差分析结果和多重比较结果，确定最佳生产条件，即各因素的最优水平组合。
3
生产建议
针对实际情况，提出相应的生产建议和改进措施，以提高产品质量和产量。同时指出需要进一步研究的问题和方向。
结果判断
在得出各因素对试验结果是否有显著影响的结论后，还需要进一步分析各水平对试验结果的影响程度。可以通过比较各水平的均值大小或效应值大小来判断各水平对试验结果的影响程度。同时，也可以结合实际情况和专业知识对结果进行解释和判断。

第八章.正交试验设计

第八章.正交试验设计第8章正交试验设计本章要求(1)掌握试验设计的基本概念；(2)掌握正交表的形式与特征；(3)掌握正交设计的试验步骤；(4)熟悉无交互作用的正交设计的数据直观分析方法；(5)熟悉正交设计的统计模型与方差分析；(6)了解正交设计的最佳条件选择。

正交试验设计法是研究与处理多因素实验的一种科学方法。

利用规格化的表格―正交表,科学地挑选试验条件,合理安排实验。

正交试验设计法最早由日本质量管量专家田口玄一提出,称为国际标准型正交试验法。

认为：“一个工程技术人员若不掌握正交试验设计法, 只能算半个工程师”。

我国工业企业特别是化工、纺织、医药、电子、机械行业,正交试验设计法的应用也取得相当的成就,中国数学家张里千教授发明了中国型正交试验设计法。

无交互作用单一指标的正交设计及其基本概念试验设计例为提高某化工产品的转化率，选择了三个有关因素进行条件试验，反应温度(A),反应时间(B),用碱量(C),并确定了它们的试验范围：A:80-90℃ B:90-150分钟C:5-7% 试验目的是搞清楚因素A、B、C对转化率有什么影响，哪些是主要的，哪些是次要的，从而确定最适生产条件，即温度、时间及用碱量各为多少才能使转化率高。

试制定试验方案。

这里，对因素A,在试验范围内选了三种状态；因子B和C也都取三种状态：A:A1=80℃,A2=85℃,A3=90℃ B:B1=90分，B2=120分，B3=150分C:C1=5%,C2=6%,C3=7% 当然，在正交试验设计中，因素可以是定量的，也可以是定性的。

而定量因素各水平间的距离可以相等，也可以不相等。

这个三因子三水平的条件试验，通常有两种试验进行方法：(Ⅰ)取三因素所有状态之间的组合，即AlBlC1,A1BlC2,A1B2C1, ……, A3B3C3,共有33=27次试验。

用图表示就是图1 立方体的27个节点。

这种试验法叫做全面试验法。

全面试验对各因素与指标间的关系剖析得比较清楚。

正交检验的极差分析和方差分析教材

正交检验的极差分析和方差分析教材正交检验的极差分析和方差分析引言：正交检验的极差分析和方差分析是统计学中常用的两种分析方法。

它们被广泛应用于实验设计和数据分析中，可以帮助我们判断变量之间的差异是否显著，并且确定是哪些因素对变量影响最为显著。

本文将重点介绍正交检验的极差分析和方差分析的基本原理和应用方法。

一、正交检验的极差分析1.1 基本原理正交检验的极差分析是通过观察不同水平的自变量对因变量的影响，推断不同水平之间的差异是否显著的一种方法。

它基于方差分析的原理，通过计算不同水平之间的平均差和标准差，判断不同水平之间的差异是否超过了预期的随机误差范围，从而得出结论。

1.2 应用方法首先，确定研究的自变量和因变量，并确定自变量的水平。

然后，通过随机抽样的方式获取样本数据，并计算每个水平下的极差。

接下来，计算整体样本数据的均值和方差，以及不同水平之间的平均差和标准差。

最后，使用统计方法，比较差异是否显著，并进一步推断不同水平之间的差异。

1.3 实例分析以某品牌洗衣机的不同水平温度对洗涤效果（洗涤时间）为例，通过极差分析探究不同水平温度下洗涤效果是否存在显著差异。

首先，选择3个不同水平的温度：40℃、60℃和80℃。

然后，使用这3个水平的温度进行多次洗涤实验，每次实验记录洗涤时间。

接下来，计算每个水平下的极差，并计算整体样本数据的均值和方差。

最后，使用正交检验的极差分析方法，比较不同水平之间的差异是否显著。

二、方差分析2.1 基本原理方差分析是通过比较不同组之间的方差大小，来判断不同组之间的差异是否显著的一种方法。

它基于总体方差和组内方差之间的关系，通过计算F统计量来比较差异是否显著。

2.2 应用方法首先，确定研究的自变量和因变量，并确定不同组别。

然后，通过随机抽样的方式获取样本数据，并计算每个组别的均值和方差。

接下来，计算总体样本数据的均值和方差，以及组内方差和组间方差。

最后，使用统计方法，计算F统计量，并比较差异是否显著。

正交试验设计中的方差分析

方差分析（ANOVA）是一种统计技术，用于比较三个或更多组数据的平均值是否存在显著差异。
目的
通过方差分析，可以确定不同组之间的平均值差异是否由随机误差引起，还是由处理因素或自变量引起。
方差分析的数学模型
数学模型
方差分析使用数学模型来描述数据之间的关系，特别是不同组之间的平均值差异。模型通常包括组间差异和组内差异两部分。
医学研究
通过正交试验设计中的方差分析，研究不同治疗方案、药物剂量等因素对疾病治疗效果的影响，为临床治疗提供科学依据。
方差分析的局限性
04
方差分析对数据的要求
独立性
数据必须是相互独立的，不存在相互关联或依赖关系。
正态性
数据应符合正态分布，才能保证统计推断的准确性。
同方差性
各组数据的方差应相等，否则可能导致误判。
制定试验方案
根据正交表设计试验方案，确定每个因素的每个水平。
实施试验
按照试验方案进行试验，记录每个试验的结果。
方差分析
利用方差分析法对试验结果进行分析，确定各因素对试验结果的影响程度和显著性。
优化方案
根据方差分析结果，优化试验方案，进行下一步试验。
方差分析的基本原理
02
方差分析的定义与目的
定义
拉丁方设计方差分
析
适用于需要控制试验条件的试验，通过拉丁方设计平衡试验条件和试验误差。
正交试验设计中的方差分析步骤
确定试验因素和水平
根据研究目的和实际情况确定试验因素和水平。
制定正交表
根据试验因素和水平选择合适的正交表。
安排试验
按照正交表进行试验，记录试验数据。
方差分析
对试验数据进行方差分析，包括自由度、离均平方和、均方、F值等计算。

正交试验结果的方差分析方法精品文档10页

(4-3)（12）Fj——方差之比(4-4)（13）查F分布数值表（见附录6），做显著性检验。

显著性检验结果的具体表示方法与第3章相同。

（14）总的偏差平方和(4-5) （15）总的偏差平方和等于各列的偏差平方和之和。

即(4-6) 式中，m为正交表的列数。

与极差法相比，方差分析方法可以多引出一个结论：各列对试验指标的影响是否显著，在什么水平上显著。

在数理统计上，这是一个很重要的问题。

显著性检验强调试验误差在分析每列对指标影响中所起的作用。

如果某列对指标的影响不显著，那么，讨论试验指标随它的变化趋势是毫无意义的。

有了各列的显著性检验之后，最后应将影响不显著的交互作用列与原来的“误差列”合并起来，组成新的“误差列”，重新检验各列的显著性。

正交试验设计及其方差分析

第三节正交试验设计及其方差分析在工农业生产和科学实验中,为改革旧工艺，寻求最优生产条件等,经常要做许多试验,而影响这些试验结果的因素很多，我们把含有两个以上因素的试验称为多因素试验.前两节讨论的单因素试验和双因素试验均属于全面试验（即每一个因素的各种水平的相互搭配都要进行试验),多因素试验由于要考虑的因素较多,当每个因素的水平数较大时，若进行全面试验，则试验次数将会更大.因此，对于多因素试验，存在一个如何安排好试验的问题。

正交试验设计是研究和处理多因素试验的一种科学方法，它利用一套现存规格化的表——正交表,来安排试验，通过少量的试验,获得满意的试验结果。

1.正交试验设计的基本方法正交试验设计包含两个内容：（1）怎样安排试验方案;（2）如何分析试验结果.先介绍正交表.正交表是预先编制好的一种表格。

比如表9—17即为正交表L4（23)，其中字母L表示正交，它的3个数字有3种不同的含义：（1) L4（23)表的结构:有4行、3列，表中出现2个反映水平的数码1，2.列数↓L4 （23)↑↑行数水平数（2) L4（23）表的用法：做4次试验，最多可安排2水平的因素3个。

最多能安排的因素数↓L4（23）↑↑试验次数水平数（3) L4（23）表的效率:3个2水平的因素.它的全面试验数为23=8次,使用正交表只需从8次试验中选出4次来做试验，效率是高的。

L4（23)↑↑实际试验数理论上的试验数正交表的特点:（1）表中任一列,不同数字出现的次数相同.如正交表L4（23)中，数字1，2在每列中均出现2次.（2）表中任两列，其横向形成的有序数对出现的次数相同.如表L4（23）中任意两列，数字1，2间的搭配是均衡的.凡满足上述两性质的表都称为正交表（Orthogonal table）.常用的正交表有L9（34），L8（27），L16（45）等,见附表。

用正交表来安排试验的方法，就叫正交试验设计.一般正交表L p(n m）中,p=m（n—1)+1.下面通过实例来说明如何用正交表来安排试验。

正交法方差分析详解

先列出一个表格三因素，三水平正交表为4列，9行正交表的作用:对于同一个因素的任一个水平,当实验组合中含有这个水平时,其他的参数取值是均匀的,没有重复.如B 因素取90这个水平时有三个组合,这三个组合为可以看出,在B 因素取90时,A 和C 因素分别取了没有重复的三个变量，即均匀的。

这有什么好处，下面引出方差分析中一些假设1. 实验的结果有一个期望值E 0值，这个E 0 值是所用参数可能取值得到的计算结果的期望值，而且假设计算结果是满足正态分布的。

即),(~20σE N X i 。

注意：E 0 不是这9个计算结果的平均值，这9个计算结果只是所有可能结果的9个样本而已，我们就是在用着9个样本来分析总体2. 对于单个参数而言，由于单个参数的任一水平的计算结果只受该参数影响，而不受其他参数的影响，所以单个参数的计算结果的期望和方差都应该满足）（20,σE N ，1、2这两条实际是为方差分析服务的。

3. 至于说在正交法中单个参数的计算结果只受该参数影响，而不受其他两个参数取值的影响，涉及了另一个假设：假设各个参数对计算结果的影响是独立的，也就是说计算结果是3个参数的作用的加和，比如说在B=30，C=64时，A 取12对计算结果的贡献是8。

当B=32，C=40时，A 取12对计算结果的贡献还是8。

当然，这都是理想状态，参数之间的作用肯定是有互相影响滴，这种影响叫做交互作用，而且，每次试验都有误差的，不可能互相没有影响，两次试验中A 对计算结果的贡献肯定是不相等的。

我们在试验时一般不急于考虑交互作用，且在我们这个项目中交互作用的影响比较小，查的文献中直接对交互作用闭口不提，所以就不考虑了。

这样的话不就可以列出各个参数下的计算结果的表达式了以B=90这个例子为例。

X 1=31=Y(A=80)+Y ’(A=80)+Y(B=90) +Y ’(B=90)+Y(C=5) +Y ’(C=5) X 4=53=Y(A=85)+Y ’(A=85)+Y(B=90) +Y ’(B=90)+Y(C=6) +Y ’(C=6) X 7=57=Y(A=90)+Y ’(A=90)+Y(B=90) +Y ’(B=90)+Y(C=7) +Y ’(C=7)其中Y （A=80）是理想状态下A 取80对计算结果的贡献，Y ’(A=80)是A 取80对计算结果贡献的实验误差。

正交试验的方差分析

计算平均离差平方和(均方):
在计算各因素离差平方和时，我们知道，它们都是若干项平方的和, 它们的大小与项数有关，因此不能确切反映各因素的情况。为了消除项数的影响，我们计算它们的平均离差的平方和。
因素的平均离差平方和 = (因素离差的平方和)/因素的自由度 = S因 /f因
试验误差的平均离差平方和 = (试验误差的离差的平方和)/试验误差的自由度 = SE / fE
33.212 ) 377.17, 35.882 ) 376.29,
QC
1 (6.272 9
35.212
59.162 )
531.00,
Q( AXB)1
1 (35.632 9
32.082
32.932 )
375.89,
Q( AXB)2
1 (34.302 9
31.732
34.612 ) 375.68,
考虑A，B的交互作用。试进行方差分析。
第22页/共47页
第三节： 2水平正交设计的方差分析
解：(选用正交表L8(27)
第23页/共47页
第三节： 2水平正交设计的方差分析
这里
ST
QT
P
8
xk2
k 1
T2 8
65668 1 (724)2 8
146
SA
1 8
(K1
K2 )2
1 8
(366 358)2
第四节：混合型正交设计的方差分析
混合型正交设计的方差分析，本质上与一般水平数相等正交设计的
方差分析相同，只要在计算时注意到各水平数的差别就行了。
8
现以L8(4X24)混合S型T 正交QT表为P例：k 1
xk2
1 8

正交设计试验资料的方差分析

数据整理
将收集到的数据整理成表格形式，便于后续分析。
数据筛选
对异常值进行筛选和处理，确保数据质量。
正交设计试验资料的方差分析过程
确定试验因素和水平
明确试验因素和各因素的水平，为后续分析提供基础。
计算各因素的效应值
根据试验结果，计算各因素的效应值。
计算误差平方和
根据效应值和水平，计算误差平方和。
跨学科融合
标准化与规范化
结合其他学科的理论和方法，拓展正交设计试验的应用领域，推动多学科交叉融合发展。
制定和完善正交设计试验的标准和规范，提高试验的可靠性和可比性。
正交设计试验资料方差分析的实际应用价值
科学研究
在科学研究领域，正交设计试验资料方差分析可用于探索和验证科学假设，揭示现象背后的机制和规律。
正交试验设计的基本原理
1 2
正交性原理
正交试验设计基于正交性原理，即每个因素在试验中出现的次数相同，且各次出现的概率相等。
均匀分散原理
正交试验设计通过均匀分散原理，确保每个水平在试验中都有均衡的分布，从而减少结果的偏差。
3
代表性原理
正交试验设计通过代表性原理，选取具有代表性的样本点进行试验，以反映整体情况。
正交设计试验资料的方差分析
• 正交设计试验概述 • 方差分析基础 • 正交设计试验资料的方差分析方法 • 实例分析 • 总结与展望
01
正交设计试验概述
正交试验设计的基本概念
正交试验设计是一种统计技术，用于在多因素、多水平条件下进行试验，以最小化试验次数，同时最大化信息收集。
它利用正交表来安排试验，确保每个因素的每个水平都被等可能地选取，从而得到全面而均衡的试验结果。

正交试验方差分析

1 1 2 2 1 1 2 2
1 1 2 2 2 2 1 1
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 2 1 2 1
1 2 2 1 1 2 2 1
1 2 2 1 2 1 1 2
65 74 71 73 70 78 62 67
给定显著性水平а，查临界值Fа（f因、fE）
α =0.05
2
2 iL

n m
n m
n
fE mn n
m每个试点重复试验次数，n为正交表行数即试点数
有重复试验Ln(ph)正交表各列（或各因素）离差平方和ss列、自由度f列计算
反应了该因素由于水平的改变引起的试验指标的波动程度。
1 1 列 2 2 （ K ） x ss am k x j T 列 mn j1 am j 1
列 j
p
2
p
f列 p 1
P为因素水平数，a为因素同一水平出现次数
Ln(ph)正交表有重复试验各离差平方和、自由度的关系
ss ss ss fT fT f T T E 1 E 1
ss T1 ss q
q 1
h
f T1 f q
q 1
h
无重复试验正交表Ln(ph)的方差分析计算
1 m 均值 xi xiL mL1
因素的任意水平试验数据总和为 K
1 因素均值为 k K j am
因素 j
因素 j
1 全部数据均值为 x x iL nm i 1L 1
全部数据总和为 x x T iL
n m i 1L 1
n
m
Ln(ph)正交表有重复试验总离差平方和ssT、自由度fT计算总离差平方和反映了全部试验数据的波动情况。