答案 控制系统的状态空间描述 习题解答

第2章 “控制系统的状态空间描述”习题解答
系统的结构如图所示。

以图中所标记的1x 、2x 、3x 作为状态变量，推导其状态空间表达式。

其中，u 、y 分别为系统的输入、输出，1α、2α、3α均为标量。

图系统结构图
解 图给出了由积分器、放大器及加法器所描述的系统结构图，且图中每个积分
器的输出即为状态变量，这种图形称为系统状态变量图。

状态变量图即描述了系统状态变量之间的关系，又说明了状态变量的物理意义。

由状态变量图可直接求得系统的状态空间表达式。

着眼于求和点①、②、③，则有
①：2111x x x
+=α ②： 3222x x x +=α ③：u x x +=333α 输出y 为1y x du =+，得
11
12223331000100
1x a x x a x u x a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
[]123100x y x du x ⎡⎤
⎢⎥=+⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
》
已知系统的微分方程 (1) u y y y y 354=+++
；(2) u u y y -=+ 32； (3) u u y y y y 75532+=+++。

试列写出它们的状态空间表达式。

(1) 解 选择状态变量1y x =，2y x =，3y x =，则有：
1223
31231
543x x x x x x x x u y x =⎧⎪=⎪⎨
=---+⎪⎪=⎩ 状态空间表达式为：[]112233123010000105413100x x x x u x x x y x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
(2) 解 采用拉氏变换法求取状态空间表达式。

对微分方程(2)在零初试条件
下取拉氏变换得：
3222332()3()()()
11()1223()232
s Y s sY s s U s U s s Y s s U s s s s s
+=---==
++ 由公式、可直接求得系统状态空间表达式为
1122330100001031002x x x x u x x ⎡⎤
⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦-⎢⎥
⎣⎦
123110
2
2x y x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥
=-
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦
[
(3) 解 采用拉氏变换法求取状态空间表达式。

对微分方程(3)在零初试条件
下取拉氏变换得：
323()2()3()5()5()7()s Y s s Y s sY s Y s s U s U s +++=+
332()57
()235
Y s s U s s s s +=+++ 在用传递函数求系统的状态空间表达式时，一定要注意传递函数是否为严格真有理分式，即m 是否小于n ，若m n =需作如下处理
323232
()57101518
5()235235
Y s s s s U s s s s s s s +---==+++++++ 再由公式、可直接求得系统状态空间表达式为
112233010000105321x x x x u x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ []1231005x y x u x ⎡⎤
⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦
已知下列传递函数，试用直接分解法建立其状态空间表达式，并画出状态变量
图。

(1)3321()6116s s g s s s s ++=+++ (2)23223
()231
s s g s s s s ++=+++
\
(1) 解
首先将传函(1)化为严格真有理式即：
232
()6105()11()()6116
Y s s s g s g s U s s s s ---'==+=++++ 令()
()()
Y s g s U s ''=
'，则有 123
123
6105()()16116s s s Y s U s s s s ---------''=+++，
123
1
()()
16116E s U s s s s
---''=+++， 即：
1231
2
3
()()6()11()6()()6()10()5()
E s U s s E s s E s s E s Y s s E s s E s s E s ------'=---'=---
由上式可得状态变量图如下：
}
由状态变量图或公式、直接求得能控标准型状态空间表达式
1122330
100001061161x x x x u x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
[]123x y x u x ⎡⎤
⎢⎥+⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
=-6-11-6
(2) 解 由已知得：
123
123
23()()123s s s Y s U s s s s ------++=+++，
令： 123
1
()()
123E s U s s s s ---=+++，
得： 1231
2
3
()()2()3()()()()2()3()
E s U s s E s s E s s E s Y s s E s s E s s E s ------=---=++
状态变量图如下：
:
状态表达式如下：
112233010000101321x x x x u x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣
⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
[]123321x y x x ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
列写图所示系统的状态空间表达式。

图
解 设 11()()x s y s = (7) ； 22()()x s y s = (8) 则由系统方框图 2.10P 可得：[]
112()()()c
x s u s x s s a
=-+ (9) |
[]
221()()()d
x s u s x s s b
=-+ (10)
对式()()710-进行拉氏反变换得
112121221122()()()()()()()()()()()()
x t ax t cx t cu t x t dx t bx t du t y t x t y t x t =--+=--+==
则系统状态空间表达式为
1112221122001001x x u a c c x x u d b d y x y x --⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦⎣⎦⎣⎦
已知系统的状态空间表达式为
[]512315124u y u
--⎡⎤⎡⎤
=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦=+x x x 求其对应的传递函数。

解
5131--⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，25⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
B ，[]12=
C ，4d =
1()()g s sI d -=-+C A B
15131111
()35(5)(1)3s s s s s s s s -+⎡⎤-=⎢⎥
-+⎣⎦+-⎡⎤-=
⎢⎥++++⎣⎦
I A I A
[]122
()()1121
1243
55(2)(4)4369168g s s d
s s s s s s s s -=-++-⎡⎤⎡⎤=
+⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦++=++C I A B。