曲线积分与曲面积分总结
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对弧长的曲线积分⎰⎰+=L
L y d x d y x f ds y x f 22),(),(
⎩⎨⎧==)
()(:t y y t x x L βα≤≤t dt t y t x t y t x f ⎰'+'βα)()())(),((22
(,,)((),(),(L L f x y z ds f x t y t z t =⎰⎰():()()x x t L y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩
βα≤≤t
((),(),(f x t y t z t βα
⎰
22222.2x y L L L e ds e ds e ds e π+===⎰
⎰⎰ 22=2(0)L x y y +≥为上半圆周
⎰+L dy y x q dx y x p ),(),(
⎩⎨⎧==)
()(:t y y t x x L α=t β=t dt t y t y t x q dt t x t y t x p )())(),(()())(),(('+'⎰βα
(,,)(,,)(,,)L P x y z dx Q x y z dy R x y z dz ++⎰
():()()x x t L y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩
α=t β
=t ((),(),())()((),(),())()((),(),())()P x t y t z t x t dt Q x t y t z t y t dt R x t y t z t z t dt
βα'''++⎰
11
(,)(,)(,)(,)L L L p x y dx q x y dy p x y dx q x y dy ++-+⎰⎰ 1(
)(,)(,)L D
q p dxdy p x y dx q x y dy x y
∂∂=±--+∂∂⎰⎰⎰
⎰⎰=∂∂-∂∂D dxdy y p x q )(
⎰+L dy y x q dx y x p ),(),(
y
p x q ∂∂=∂∂ ⎰⎰⎰+=+2
1212211),(),(),(),(21)
,(),(y y x x y x y x dy y x q dx y x p dy y x q dx y x p (,)(,)(,)P x y dx Q x y dy dU x y +=Q P x y
∂∂⇔
=∂∂
1、 ⎰⎰
⎰⎰++=
=∑xy D y x dxdy f f y x f y x ds z y x y x f z 221)),(,,(),,(),(μμ 2、
(,)(,,)(,(,),xz
D y f x z x y z ds x f x z z μμ∑==⎰⎰⎰⎰
3、
(,)(,,)((,),,yz
D x f y z x y z ds f y z y z μμ∑==⎰⎰⎰⎰
ds ∑
=∑⎰⎰面积。
2ds r π∑∑∑
===⎰⎰⎰⎰ ∑2222(0)
x y z z ++=≥
⎰⎰∑dxdy z y x R ),,(∑),(y x f z =xoy xy D ⎰⎰D
dxdy y x f y x R )),(,,( ⎰⎰∑
dzdx z y x Q ),,(∑
),(z x f y =xoz xz D ⎰⎰D dxdz z z x f x R )),,(,( ⎰⎰∑
dydz z y x P ),,(∑),(z y f x =yoz yz D ⎰⎰D dydz z y z y f R ),),,((
11
(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy
P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy ∑
∑+∑∑++=
++-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰1
(
)(,,)(,,)(,,)P Q R dv P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy x y z Ω
∑∂∂∂±++-++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ dv z
R y Q x P Rdxdy Qdzdx Pdydz )(
∂∂+∂∂+∂∂=++⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑ ∑Ω
2()z x dydz zdxdy ∑
+-⎰⎰∑221()(02)2z x y z =+≤≤
1、 2222,:1x y L e ds L x y ++=⎰
2、 2,:,01L xds L y x x =≤≤⎰
3、 (sin ())(cos )x x L
I e y b
x y dx e y ax dy =-++-⎰,a b y =4、 (sin )(cos )x x L I e y my dx e y m dy =-+-⎰L )0,(a )0,0(0,22≥=+y ax y x
5、
⎰+L dy xy x )2(2L )0,(a A )0(122
22≥=+y b y a x )0,(a B - 6、
222x y z e ds ++∑
⎰⎰∑2222x y z a ++=
7、 zdxdy dzdx zx y dydz yz x 2)()(22+-+-⎰⎰
∑∑221y x z +-=
zdxdy dzdx zx y dydz yz x
2)()(22+-+-⎰⎰∑∑02z z =≤≤8、