热力学第四章气体内的输运过程

设沿z方向有密度梯度，实验指出，单位时间内通过 垂直于z轴的某面传递的质量与该出的密度梯度成正比， z 与该面面积成正比，即：
d dM D dSdt dz z0
n（z） dS
dM
负号“-”表示质量从密度高处向密度低处传递， 与密度梯度方向相反，D 为扩散系数。
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n ut Z n u t
u 2 v
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Z 2vn 2d vn
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平均自由程为(mean free path)
1 2n 1 2d 2 n
平均自由程与平均 速率无关，与分子有效直 径及分子数密度有关。
P nkT
kT
2d 2 P 在标准状态下，多数气体平均自由程 ~10-8m， 只有氢气约为10-7m。一般d~10-10m，故 d。 可求得 Z ~109/秒。 每秒钟一个分子竟发生几十亿次碰撞！
A
B

这种相邻的流体之间因速度不同，引起的 相互作用力称为内摩擦力，或粘滞力。
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du 流速不均匀，沿 z 变化（或有梯度）,流速梯度 dz 不同流层之间有粘滞力f。
流速大的流层带动流速小 的流层，流速小的流层后拖流 速大的流层。 设，dS 的上层面上流体对 下层面上流体的粘滞力为 df， 反作用为 df '，这一对力满足 牛顿第三定律。
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圆柱体的截面积为 ，叫做分子的碰撞截面。 = d2
在t 内，A所走过的路程为 ut ， 相应圆柱体的 体积为 u ， t 设气体分子数密度为n。则 中心在此圆柱体内的分子总数，亦即在t时间 内与A相碰的分子数为 n ut 。 平均碰撞频率为
C M
B
A
测定实验
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2. 热传导现象
物体内各部分温度不均匀时，将有热量由温度较高 处传递到温度较低处，这种现象叫做热传导现象
设沿 z 方向温度梯度最大， 实验指出，单位时间内，通过 T1 垂直于z 轴的某指定面传递的热 量与该处的温度梯度成正比， 与该面的面积成正比，即：
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第四章

气体内的输运过程
4.1 气体分子的平均自由程 4.2 输运过程的宏观规律 4.3 输运过程的微观解释 ＊4.4 真空的获得及测量
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4.1
1.
气体分子的平均自由程（mean free path）
分子碰撞
分子相互作用的过程。
在dt时间内通过dS交换的分子数为：
1 dN nvdsdt 6
设分子最后一次受碰处与 ds面的距离为平均自 气体的粘滞系数 由程，则交换一对分子沿z轴正方向输运的动量为：
ds
vdt
（viscosity coefficient） dk m uz m uz 0 0 1
m uz
二
热传导现象的微观解释
S
气体动理论认为： a.温度较高的热层分子平均动能大， 温度较低的冷层分子平均动能小； b.由于两层分子碰撞和掺和，从热层 到冷层出现热运动能量的净迁移。
T1 T2 T2
T1
z
z
微观推导与粘滞力情况相似，只是动量换成平均动能
1 (t r 2s) dT dQ nv k dsdt 3 2 dz z0
由（1）百度文库（2）两式，得：
1 vcv 3
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三
扩散现象的微观解释
扩散现象是分子无规则热运动的结果。分子从密度高处 气体的扩散系数D 向密度低处运动，也可反方向运动，由于高密度处分子多， （diffusion coefficient） 从密度高处向密度低处运动的分子多，造成质量的净迁移。
7
v 1.70 103 1 9 1 Z ＝ s 8.10 10 s 7 2.10 10
即在标准状态下，在 1 s 内分子的平均碰撞次数约 有 80 亿次。
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因此

1 2 2d n
1
＝ m 10 2 25 1.414 3.14 2 10 2.69 10 273 2.10 10 m
7
v 1.70 103 1 9 1 Z ＝ s 8.10 10 s 7 2.10 10
即在标准状态下，在 1 s 内分子的平均碰撞次数约 有 80 亿次。
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4.2 输运过程的宏观规律
系统各部分的物理性质，如流速、温度或密度 不均匀时，系统处于非平衡态。
则分子运动平均自由程为
vt v Z t Z
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线度 ~ 10-8m
4
平均自由程和碰撞频率的大小反映了 分子间碰撞的频繁程度。在分子的平均速 率一定的情况下，分子间的碰撞越频繁， 则碰撞频率越大，平均自由程越小。 平均自由程和碰撞频率的大小是由气 体的性质和状态决定的。
1 D z轴正方向输运的气体质量为： v 在dt时间内通过dS 面沿 3
1 1 1 dM m nA vdsdt nB vdsdt vdsdt ( A B ) 6 6 6 1 1 d d vdsdt 2 v dsdt 6 3 dz z0 dz z0
u = u (z) x
由于上层分子动量大于下层，故上层定向动量减少， 下层定向动量增加，类似摩擦力。
定向动量在垂直于流速的方向上向流速较 小的气层的净迁移，这就是气体粘性的起源。
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在时间dt内，沿z轴正方向输运的总动量dK等于A、B 两部分在此时间内交换的分子数乘以每交换一对分子所 引起的动量改变。
n（z） dS
dM
负号“-”表示质量从密度高处向密度低处传递， 与密度梯度方向相反，D 为扩散系数。
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4.3 输运过程的微观解释



分子的热运动虽然是气体内输运过程的一个重 要因素，但却不是唯一的主要因素。 在研究输运过程时，我们还必须注意到另一个 因素，即分子间的碰撞。分子间的碰撞越频繁， 分子运动所循的路线就越曲折，分子由一处转 移到另一处所需的时间就越长。 所以，分子间相互碰撞的频繁程度直接决定着 输运过程的强弱。
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一 粘滞现象的微观解释
气体动理论的观点（微观上）认为，这种 粘滞力是动量传递的结果。 z B 气体既做整体运动,又做分子
热运动。 同一时间，平均来看，有等量 的气体分子从上、下两个方向穿过 P 面，这些分子既带有热运动的能 量和动量，还带有定向运动动量。
f F E S f A
z
A
f u = u (z) F E S f B x
比例系数称为粘滞系数（或粘度），
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du S 实验证明：f dz z0
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表示粘性力成对出现, 满足牛顿第三定律。
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测定 实验
A,B 为两筒，C 为悬丝，M 为镜面；A 保持恒定转速，B 会 跟着转一定角度，大小可通过 M 来测定，从而知道粘性力大小， 流速梯度及面积可测定，故粘度 可测。
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例题 求氢在标准状态下，在1s 内分子的平均碰撞 次数。已知氢分子的有效直径为210-10m。 解:按气体分子算术平均速率公式 算得
v
v 8RT
8 RT

8 8.31 273 3 ＝ m / s 1 . 70 10 m/s 3 3.14 2 10
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1 (t r 2s) k (1) 导热系数： nv 3 2
因为气体的定容热容量为：Cv'
dU (t r 2s ) Nk dT 2
Cv' dU (t r 2s) Nk (2) 定容比热为： cv M dT 2M
非平衡态问题是至今没有完全解决的问题，理 论只能处理一部分，另一部分问题还在研究中。
最简单的非平衡态问题：不受外界干扰时，系统自发地 从非平衡态向物理性质均匀的平衡态过渡过程 --- 输运过程。
介绍三种输运过程的基本规律：
粘滞（内摩擦）
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热传导
扩散
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1. 粘滞现象
现象：A 盘自由，B 盘由电机 带动而转动，慢慢 A 盘 也跟着转动起来。 解释：B 盘转动因摩擦作用力带 动周围的空气层，这层又 带动邻近层，直到带动A 盘。
a. 频繁地与其他分子相碰撞，分子的实际运动路径是曲 折无规的。 b. 正是碰撞，使得气体分子能量按自由度均分。 c. 在气体由非平衡态过渡到平衡态中起关键作用。 d. 气体速度按一定规律达到稳定分布。 e. 利用分子碰撞，可探索分子内部结构和运动规律。 f .在研究分子碰撞规律时，可把气体分子看作无吸引力 的有效直径（两分子质心间最小距离平均值）为d的刚球。
3. 扩散现象
两种物质混合时，如果其中一种物质在各 处的密度不均匀，这种物质将从密度大的地方 向密度小的地方散布，这种现象叫扩散现象
设沿z方向有密度梯度，实验指出，单位时间内通过 垂直于z轴的某面传递的质量与该出的密度梯度成正比， z 与该面面积成正比，即：
d dM D dSdt dz z0
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2.
平均自由程 平均碰撞频率
平均自由程：在一定的宏观条件下，一个气体分子 在连续两次碰撞间可能经过的各段自 由路程的平均值，用 表示。 平均碰撞频率：在一定的宏观条件下，一个气体分 子在单位时间内受到的平均碰撞次 数，用 Z表示。
若 t 运动过程中，分子运动平均速度为 v
第四章

气体内的输运过程


前面讨论的都是气体在平衡状态下的性质。实 际上，许多问题都牵涉到气体在非平衡态下的 变化过程。 当气体各处不均匀时发生的扩散过程，温度不 均匀时发生的热传导过程，以及各层流速不同 时发生的粘滞现象等等都是典型的非平衡态趋 向平衡态的变化过程，称为输运过程。 研究输运过程必须考虑到分子间相互作用对运 动情况的影响，即分子间的碰撞机构。
S
T1 T2 T2
z
z
dT dQ dSdt dz z0
负号“-”表示热从温度高处向温度低处传递， 为导热系数。
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3. 扩散现象
两种物质混合时，如果其中一种物质在各 处的密度不均匀，这种物质将从密度大的地方 向密度小的地方散布，这种现象叫扩散现象
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平均自由程 和平均碰撞频率 Z 的计算
设想：跟踪分子A，看其在一段时间t内与多 少分子相碰 假设：其他分子静止不动，只有分子A在它们 之间以平均相对速率 u 运动。
u 2 v
分子A的运动轨迹为一折线 以A的中心运动轨迹为轴线， 以分子有效直径d为半径， 作一曲折圆柱体。凡中心 在此圆柱体内的分子都会 与A相碰。
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四
理论结果与实验的比较
1 2n p n kT

v
0
0
uz
du 3 2m

dz z0
1 1 du du dK nmv dsdt v dsdt 3 3 dz z0 dz z0
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按公式 p=nkT 可知单位体积中分子数为
p 1.013 105 3 25 3 n ＝ m 2.69 10 m 23 kT 1.38 10 273
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因此

1 2 2d n
1
＝ m 10 2 25 1.414 3.14 2 10 2.69 10 273 2.10 10 m