河南省豫南九校2015届上期高三第三次联考数学(理)试题

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河南省豫南九校2015届高三上期第二次联考数学(文)试题(WORD版)

河南省豫南九校2015届高三（上）第二次联考数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知i为虚数单位，复数z=i（2﹣i）的模|z|=（）A．1 B．C．D．32．已知集合A={x|x2﹣x﹣2≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．[﹣1，2]B．[﹣2，﹣1]C．[﹣1，1]D．[1，2]3．下列函数中既是奇函数，又在（0，+∞）上单调递减的是（）A．y=sinx B．y=﹣x2+C．y=﹣x3D．y=e|x|4．某班的全体学生参加某项技能测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]，若不低于80分的人数是8，则该班的学生人数是（）A．45 B．50 C．55 D．605．下面几个命题中，真命题的个数是（）①命题“∃x0∈R，x02+1＞3x0”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x；②“方程x+=a有解”是“a≥2”的必要不充分条件；③设函数f（x）=，总存在x∈（﹣∞，﹣1）使得f（x）≥0成立；④若a，b∈[0，2]，则不等式a2+b2＜成立的概率．A．1 B．2C．3D．46．在等比数列{a n}中，a1=27，a4=a3a5，则a6=（）A．3﹣2B．3﹣3C．38D．397．将函数h（x）=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到函数f（x）的图象，则f（）=（）A．4 B．2﹣C．﹣2 D．2+8．如图，程序框图所进行的是求2+22+23+24+25的和运算，则①处条件是（）A．n＞6 B．n＜5 C．n＞5 D．n＜69．已知双曲线kx2﹣y2=1（k＞0）的一条渐近线与直线2x+y﹣3=0垂直，则双曲线的离心率是（）A．B．C．4D．10．已知函数f（x）=（）x﹣log x，若实数x0是方程f（x）=0的解，且0＜x1＜x0，则f（x1）的值（）A．恒为负B．等于零C．恒为正D．不大于零11．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．12．已知点O是平面上的一定点，△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若动点P满足﹣=λ（b+c），λ∈（0，+∞），则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）A．重心B．垂心C．内心D．外心二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．若函数f（x）=cosx+2xf′（），则f（x）在点（0，f（0））处的切线方程是_________．14．已知△ABC的内角A，B，C对边分别为a，b，c，若cosC=，且sinC=sinB，则△ABC的内角A=_________．15．已知变量x，y满足约束条件，目标函数Z=e2x+y的最大值为_________．16．设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为_________．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，对任意的正整数n，都有a n=5S n+1成立．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log4||，求数列{}前n项和T n．18．（12分）欧洲很多国家及美国已经要求禁止在校园出售软饮料，禁止向中小学生销售可口可乐等高热量碳酸饮料，原因是这些饮料被认为是造成儿童肥胖问题日益严重的主要原因之一．为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名六年级学生进行了问卷调查得到列联表：平均每天喝500mL以上为常喝，体重超过50kg为肥胖．常喝不常喝合计肥胖 2不肥胖18合计30已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为．（1）请将列联表补充完整（2）是否有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由（3）现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中（2名女生），抽取2人参加电视节目，则正好抽到一男一女的概率是多少？参考数据：P（K2≥K）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001K 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）19．（12分）如图，四边形ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=DA=3AF=6．（Ⅰ）求证：AC⊥BE（Ⅱ）求多面体ABCDEF的体积．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的长轴左右端点M，N与短轴上端点Q构成的三角形的面积为2，离心率e=．（Ⅰ）求椭圆的方程．（Ⅱ）若过椭圆C右焦点F2作垂直于线段MQ的直线L，交椭圆C于A，B两点，求四边形AMBQ 面积S．21．（12分）已知函数f（x）=﹣+lnx﹣2（1）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，求a的值．（2）若对任意x∈（0，+∞）都有f（x）＞2a成立，试求a的取值范围．【选考题】请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。

河南省豫南九校2015届高三上学期第二次联考数学(文)试题 Word版含答案

河南省豫南九校2015届高三（上）第二次联考数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知i为虚数单位，复数z=i（2﹣i）的模|z|=（）A．1 B．C．D．32．已知集合A={x|x2﹣x﹣2≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．[﹣1，2]B．[﹣2，﹣1]C．[﹣1，1]D．[1，2] 3．下列函数中既是奇函数，又在（0，+∞）上单调递减的是（）A．y=sinx B．y=﹣x2+C．y=﹣x3D．y=e|x|4．某班的全体学生参加某项技能测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]，若不低于80分的人数是8，则该班的学生人数是（）A．45 B．50 C．55 D．605．下面几个命题中，真命题的个数是（）①命题“∃x0∈R，x02+1＞3x0”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x；②“方程x+=a有解”是“a≥2”的必要不充分条件；③设函数f（x）=，总存在x∈（﹣∞，﹣1）使得f（x）≥0成立；④若a，b∈[0，2]，则不等式a2+b2＜成立的概率．A．1 B．2C．3D．46．在等比数列{a n}中，a1=27，a4=a3a5，则a6=（）A．3﹣2B．3﹣3C．38D．397．将函数h（x）=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到函数f（x）的图象，则f（）=（）A．4 B．2﹣C．﹣2 D．2+8．如图，程序框图所进行的是求2+22+23+24+25的和运算，则①处条件是（）A．n＞6 B．n＜5 C．n＞5 D．n＜69．已知双曲线kx2﹣y2=1（k＞0）的一条渐近线与直线2x+y﹣3=0垂直，则双曲线的离心率是（）A．B．C．4D．10．已知函数f（x）=（）x﹣log x，若实数x0是方程f（x）=0的解，且0＜x1＜x0，则f（x1）的值（）A．恒为负B．等于零C．恒为正D．不大于零11．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．12．已知点O是平面上的一定点，△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若动点P满足﹣=λ（b+c），λ∈（0，+∞），则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）A．重心B．垂心C．内心D．外心二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．若函数f（x）=cosx+2xf′（），则f（x）在点（0，f（0））处的切线方程是_________．14．已知△ABC的内角A，B，C对边分别为a，b，c，若cosC=，且sinC=sinB，则△ABC 的内角A=_________．15．已知变量x，y满足约束条件，目标函数Z=e2x+y的最大值为_________．16．设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为_________．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，对任意的正整数n，都有a n=5S n+1成立．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log4||，求数列{}前n项和T n．18．（12分）欧洲很多国家及美国已经要求禁止在校园出售软饮料，禁止向中小学生销售可口可乐等高热量碳酸饮料，原因是这些饮料被认为是造成儿童肥胖问题日益严重的主要原因之一．为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名六年级学生进行了问已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为．（1）请将列联表补充完整（2）是否有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由（3）现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中（2名女生），抽取2人参加电视节目，则正好抽到一男一女的概率是多少？（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）19．（12分）如图，四边形ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=DA=3AF=6．（Ⅰ）求证：AC⊥BE（Ⅱ）求多面体ABCDEF的体积．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的长轴左右端点M，N与短轴上端点Q构成的三角形的面积为2，离心率e=．（Ⅰ）求椭圆的方程．（Ⅱ）若过椭圆C右焦点F2作垂直于线段MQ的直线L，交椭圆C于A，B两点，求四边形AMBQ面积S．21．（12分）已知函数f（x）=﹣+lnx﹣2（1）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，求a的值．（2）若对任意x∈（0，+∞）都有f（x）＞2a成立，试求a的取值范围．【选考题】请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。

河南省名校2015届高三数学上学期期中试题理

河南省名校2015届高三数学上学期期中试题理一、选择题：本大题共12小题，每一小题5分，共60分.在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.请把答案填涂在答题纸的相应位置.1．在复平面内，复数201523Z i i =+-对应的点位于〔〕A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限 2．集合1|lg x M x y x -⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，{}2|23N y y x x ==++，如此()M N =R 〔〕A ．{x|10＜x ＜1}B ．{x|x ＞1}C ．{x|x ≥2}D ．{x|1＜x ＜2} 3．sin2α＝－2425，α∈〔－4π，0〕，如此sin α＋cos α＝〔〕A ．－15B ．15C ．－75D ．754．设f 〔x 〕是定义在R 上的奇函数，当0<x 时，f 〔x 〕＝x xe --〔e 为自然对数的底数〕，如此(ln 6)f 的值为〔〕 A ．ln6＋6 B ． ln6－6 C ．－ln6＋6 D ．－ln6－6 5．向量()82-+=，a b ，()816-=-，a b ，如此a 与b 夹角的余弦值为〔〕A ．6365B ．6365-C ．6365±D ．5136．执行右图所示的程序框图，会输出一列数，如此这个数列的第3项是 ( ) A ．870 B ．30 C ．6 D ．37．函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象向左平移6π 个单位后关于原点对称，如此函数f(x)在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 上的最小值为〔〕侧视图211xA ．32-B ．12-C ．12 D ．328．某几何体的三视图如下列图，且该几何体的体积是3，如此正视图中的x 的值是〔〕 A ．2B ．92C ．32D ．39. 数列{}n a 为等差数列，{}n b为等比数列，且满足：10031013a a π+=，692b b ⋅=，如此1201578tan1a a b b +=+〔〕A.1B.1-C.33 D.310．如图，把周长为1的圆的圆心C 放在y 轴上，顶点A 〔0，1〕，一动点M 从A 开始逆时针绕圆运动一周，记弧AM=x ，直线AM 与x 轴交于点N 〔t ，0〕，如此函数()t f x =的图像大致为〔〕11．函数()2014sin (01)(),log 1x x f x x x π⎧≤≤⎪=⎨>⎪⎩假设c b a 、、互不相等，且)()()(c f b f a f ==，如此c b a ++的取值范围是( )A ．〔1，2014〕B ．〔1，2015〕C ．〔2，2015〕D ．[2，2015] 12. 定义的R 上的函数()f x 满足)1()1(x f x f -=+且在),1[+∞上是增函数，不等式)1()2(-≤+x f ax f 对任意1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，如此实数a 的取值范围是( )A.[]3,1-- B.[]2,0- C. []5,1-- D. []2,1-第II 卷(共90分)二、填空题:本大题共4小题，每一小题5分，总分为20分.请把答案填在答题纸的相应位置.13．tan()2θπ-=，如此22sin sin cos 2cos 3θθθθ+-+的值为14. 图中阴影局部的面积等于．15．设正实数x 、y 、z 满足22340x xy y z -+-=，如此当xy z 取得最大值时，212x y z +-的最大值为 16.设()f x 是定义在R 上的偶函数，且对于x ∀∈R 恒有()()11f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()112xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭如此〔1〕()f x 的周期是2；〔2〕()f x 在〔1，2〕上递减，在〔2，3〕上递增；〔3〕()f x 的最大值是1，最小值是0；〔4〕当()3,4x ∈时，()312x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭其中正确的命题的序号是 .三、解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.〔本小题总分为12分〕设函数24()cos(2)2cos .3f x x x π=-+(1)求)(x f 的最大值，并写出使)(x f 取最大值时x 的集合；(2)ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，假设3(),22f B C b c +=+=，求a 的最小值.18．〔本小题总分为12分〕数列{}n a 的前n 项和为n S ，22n n S a =-.〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕设2log n n b a =，n c ＝11n n b b +，记数列{}n c 的前n项和nT .假设对n N *∈，()4n T k n ≤+ 恒成立，求实数k 的取值范围．A 1B 1C 119．〔本小题总分为12分〕如图，在斜三棱柱111C B A ABC -中，O 是AC 的中点，O A 1⊥平面ABC ，︒=∠90BCA ，BC AC AA ==1.〔Ⅰ〕求证：11AC B A ⊥；〔Ⅱ〕求二面角C BB A --1的余弦值.20.〔本小题总分为12分〕设椭圆22221(0)x y a b a b +=>> 的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A ，上顶点为B.|AB|＝32|F1F2|.(1)求椭圆的离心率；(2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F1，经过原点O 的直线l 与该圆相切，求直线l 的斜率．21. 〔本小题总分为12分〕函数)ln ()(2x x a x x f ++=，0>x ，R a ∈是常数．〔1〕求函数)(x f y =的图象在点()()1 , 1f 处的切线方程；〔2〕假设函数)(x f y =图象上的点都在第一象限，试求常数a 的取值范围；〔3〕证明：R a ∈∀，存在) , 1(e ∈ξ，使'()(1)()1f e f f e ξ-=-．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，如此按所做的第22题计分． 22．〔本小题总分为10分〕选修4－1：几何证明选讲如图，圆上的AC BD =，过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于E 点．〔Ⅰ〕求证：∠ACE ＝∠BCD ；〔Ⅱ〕假设BE ＝9，CD ＝1，求BC 的长．23．〔本小题总分为10分〕选修4－4：坐标系与参数方程直线l ：cos sin x t y t αα⎧⎨⎩＝＋m＝〔t 为参数〕恒经过椭圆C ：⎩⎨⎧==ϕϕsin 3cos 5y x 〔ϕ为参数〕的右焦点F ．〔Ⅰ〕求m 的值；〔Ⅱ〕设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求|FA|·|FB|的最大值与最小值．24. 〔本小题总分为10分〕函数()|21||23|.f x x x =++- 〔1〕求不等式()6f x ≤的解集；〔2〕假设关于x 的不等式|1|)(-<a x f 的解集非空，求实数a 的取值范围. 高三理科数学参考答案)(x f 的最大值为2 ………………………………………4分要使)(x f 取最大值，)(232,1)32cos(Z k k x x ∈=+=+πππ故x 的集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k x x ,6ππ………6分〔2〕由题意，231]3)(2cos[)(=+++=+πC B C B f ，即.21)322cos(=+-ππA化简得21)32cos(=-πA ……………………………………………………8分()0A π∈，，)35,3(32πππ-∈-∴A ，只有，.3π=A ………9分在ABC ∆中，由余弦定理，bcc b bc c b a 3)(3cos22222-+=-+=π………10分由2=+c b 知1)2(2=+≤c b bc ，即12≥a ，………………………………11分当1==c b 时，a 取最小值.1…………………………………12分18.解：〔1〕当1=n 时，21=a ，当2≥n 时，)22(2211---=-=--n n n n n a a S S a 即：21=-n na a ，∴数列{}n a 为以2为公比的等比数列 nn a 2=∴〔2〕由bn ＝log2an 得bn ＝log22n ＝n ，如此cn ＝11n n b b +＝()11n n +＝1n －11n +，Tn ＝1－12＋12－13＋…＋1n －11n +＝1－11n +＝1nn +.∵1n n +≤k(n ＋4)，∴k≥21454n n n n n n ＝(＋)(＋)＋＋＝145n n ＋＋.∵n ＋4n ＋＋5＝9，当且仅当n ＝4n ，即n ＝2时等号成立，∴145n n ＋＋≤19，因此k≥19，故实数k 的取值范围为1,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 19.〔Ⅰ〕因为⊥平面，所以.又，所以平面，所以. 因为，所以四边形是菱形，所以.所以平面，所以. ……………………5分〔Ⅱ〕以为单位长度，建立如下列图的空间直角坐标系，如此，，，.，，设是面的一个法向量，如此，即，令，取.同理面的一个法向量为. ……………………10分因为.所以二面角的余弦值. …………………………12分20. 解：(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c ，0)．由|AB|＝32|F1F2|，可得a2＋b2＝3c2. 又b2＝a2－c2，如此c2a2＝12，所以椭圆的离心率e ＝22.4分(2)由(1)知a2＝2c2，b2＝c2. 故椭圆方程为x22c2＋y2c2＝1.设P(x0，y0)．由F1(－c ，0)，B(0，c)，有F1P →＝(x0＋c ，y0)，F1B →＝(c ，c)．由，有F1P →·F1B →＝0，即(x0＋c)c ＋y0c ＝0. 又c≠0，故有x0＋y0＋c ＝0.①又因为点P 在椭圆上，所以x202c2＋y20c2＝1.②由①和②可得3x20＋4cx0＝0.而点P 不是椭圆的顶点，故x0＝－43c.代入①得y0＝c3，即点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－4c 3，c 3.设圆的圆心为T(x1，y1)，如此x1＝－43c ＋02＝－23c ，y1＝c 3＋c 2＝23c ，进而圆的半径r ＝〔x1－0〕2＋〔y1－c 〕2＝53c.设直线l 的斜率为k ，依题意，直线l 的方程为y ＝kx.由l 与圆相切，可得|kx1－y1|k2＋1＝r ，即⎪⎪⎪⎪k ⎝⎛⎭⎫－2c 3－2c 3k2＋1＝53c ，整理得k2－8k ＋1＝0，解得k ＝4±15，所以直线l 的斜率为4＋15或4－15. 21解：〔1〕函数的定义域为{}0|>x x ,)11(2)(/x a x x f ++=a f +=1)1(，a f 22)1(/+=函数)(x f y =的图象在点))1( , 1(f 处的切线为)1)(22()1(-+=+-x a a y ，即)12)(1(-+=x a y …………………………4分〔2〕①0=a 时，2)(x x f =，因为0>x ，所以点) , (2x x 在第一象限，依题意，0)ln ()(2>++=x x a x x f②0>a 时，由对数函数性质知，)1 , 0(∈x 时，)0 , (ln -∞∈x ，)0 , (ln -∞∈x a ，从而“0>∀x ，0)ln ()(2>++=x x a x x f 〞不成立 ③0<a 时，由0)ln ()(2>++=x x a x x f 得)ln 11(12x x x a +-<，设)ln 11()(2x x x x g +-=，xx x x x g ln 21)(33/+-=1)1()(-=≥g x g ，从而1)ln 11(12-<+-<x x x a ，01<<-a综上所述，常数a 的取值范围01≤<-a …………………………8分〔3〕计算知111)1()(-+++=--e aa e e f e f 设函数1)1(21)1()()()(/--++-=---=e ax a e x e f e f x f x g1)1()2(11)1(2----=--+-=e e e a e a a e g ，)1()1(11)(2---=--+-=e e a e e e a e a e e g 当2)1(->e e a 或2)1(2--<e e a 时， 222)1(])1(][)1()2([)()1(-------=e e e e a e e a e g g 0<，因为)(x g y =的图象是一条连续不断的曲线，所以存在) , 1(e ∈ξ，使0)(=ξg ，即) , 1(e ∈ξ，使1)1()()(/--=e f e f f ξ；当22)1(2)1(-≤≤--e e a e e 时，)1(g 、0)(≥e g ，而且)1(g 、)(e g 之中至少一个为正，由均值不等式知，1122)(2--+-≥e e a a x g ，等号当且仅当) , 1(2e ax ∈=时成立，所以)(x g 有最小值1)1(2)1(2112222----+-=--+-=e e a e a e e a a m ，且 01)3)(1()]1(2[1)1(2)1(222<---+---=----+-=e e e e a e e a e a m ，此时存在) , 1(e ∈ξ〔)2, 1(a ∈ξ或) , 2(e a∈ξ〕，使0)(=ξg综上所述，R a ∈∀，存在) , 1(e ∈ξ，使1)1()()(/--=e f e f f ξ………………12分〔22〕解：〔Ⅰ〕,AC BD ABC BCD =∴∠=∠．………………〔2分〕又EC 为圆的切线，,ACE ABC ∴∠=∠∴ACE BCD ∠=∠．……………〔5分〕〔Ⅱ〕EC 为圆的切线，∴CDB BCE ∠=∠，由〔Ⅰ〕可得BCD ABC ∠=∠，……………………………………〔7分〕∴△BEC ∽△CBD ，∴CD BCBC EB =，∴BC =3．……………………〔10分〕解：〔Ⅰ〕椭圆的参数方程化为普通方程，得221259x y +=，5,3,4,a b c ∴===如此点F 的坐标为(4,0).直线l 经过点(,0),4m m ∴=.…………………………………〔4分〕〔Ⅱ〕将直线l 的参数方程代入椭圆C 的普通方程，并整理得：222(9cos 25sin )72cos 810t t ααα++-=.设点,A B 在直线参数方程中对应的参数分别为12,t t ，如此12||||||FA FB t t ⋅==2228181.9cos 25sin 916sin ααα=++………………〔8分〕当sin 0α=时，||||FA FB ⋅取最大值9；当sin 1α=±时，||||FA FB ⋅取最小值81.25………………………〔10分〕24. 〔Ⅰ〕原不等式等价于313222(21)(23)6(21)(23)6x x x x x x ⎧⎧>-≤≤⎪⎪⎨⎨⎪⎪++-≤+--≤⎩⎩或或12(21)(23)6x x x ⎧<-⎪⎨⎪-+--≤⎩----3分word 11 / 11。

河南省豫南九校联盟2015届高三上学期第三次联考数学(文)

河南省豫南九校2015届高三上第三次联考数学（文）试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{1，2，3，4，5｝，B ＝{x ∈R ｜23x x ＋－≤0}，则∩B ＝ A ．{1，2} B ．{x ｜－2≤x ＜3} C ．{x ｜0≤x ＜3} D ．{0，1} 2．已知i 是虚数单位，z ＝21i－＋1，z 在复平面上对应的点为A ，则点A 到原点O 的距离为A ．1B ．2CD 3．己知向量a ＝（1，－2），b ＝（m ，－1），且a ∥b ，则实数m 的值为 A ．－2 B ．12C ．2D ．3 4．已知x 与y已求得关于y 与x A ．1 B ．0．85 C ．0．7 D ．0．5 5．已知函数f （x ）＝6x－2log x ，则在下列区间中，函数f （x ）有零点的是 A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（2，4） D ．（4，＋∞） 6．已知数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足n a ＋2＝21n a ＋－n a ，a 5＝4－a 3，则S 7＝ A ．7 B ．12 C ．14 D ．21 7．函数f （x ）＝2sin cos 1x xx ＋的图像大致为8．若变量x ，y 满足约束条件14040x x x y ⎧⎪⎨⎪⎩≥＋y －≤－3＋≤，则目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为A ．－4B ．0C ．4D ．8 9．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为A ．4B ．9C ．7D ．510．函数f （x ）＝Asin （ωx ＋ϕ）（其中A ＞0，ω＞0，｜ϕ｜＜2π）的图象如图，为了得到f （x ）的图象，则只需将g （x ）＝sin2x 的图象A ．向右平移6π个长度单位 B ．向右平移3π个长度单位 C ．向左平移6π个长度单位 D ．向左平移3π个长度单位11．已知双曲线2219x y m－＝的一个焦点在圆22x y ＋－4x －5＝0 上，则双曲线的离心率为 A ．43 BCD ．5312．已知函数f （x ）在R 上可导，其导函数为()f x '，若()f x '满足()()1f x f x x '－－＞0，y ＝()x f x e关于直线x ＝1对称，则不等式22()f x x －－＜f （0）的解集是A ．（－1，2）B ．（1，2）C ．（－1，0）∪（1，2）D ．（－∞，0）∪（1，＋∞）第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

河南省数学高三理数第三次联考试卷

河南省数学高三理数第三次联考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2020·淄博模拟) 已知集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高二上·寻乌期末) 已知均为实数，则“ ”是“ 构成等比数列”的（）A . 必要不充分条件B . 充分不必要条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2分） (2016高一上·武邑期中) 若函数在[﹣1，+∞）上单调递减，则a的取值范围是（）A . （﹣∞，﹣6]B . [﹣8，﹣6）C . （﹣8，﹣6]D . [﹣8，﹣6]4. （2分）给出以下命题①若则；②已知直线x=m与函数f(x)=sinx，的图象分别交于M,N两点，则|MN|的最大值为；③若A,B是△ABC的两内角，如果A>B，则sinA>sinB；④若A,B是锐角△ABC的两内角，则sinA>cosB。

其中正确的有（）个A . 1B . 2C . 3D . 45. （2分） (2016高二上·郴州期中) 在数列{an}中，a1=1，a2= ，若{ }等差数列，则数列{an}的第10项为（）A .B .C .D .6. （2分）若a>0,b>0，那么必有（）A .B .C .D .7. （2分）已知函数，若过点且与曲线相切的切线方程为，则实数a的值是（）A . -3B . 3C . 6D . 98. （2分） (2020高一下·乌拉特前旗月考) 设等差数列的前n项和为，且满足，，则当取得最大值时，n的值为（）A . 6B . 7C . 6或7D . 89. （2分）(2020·合肥模拟) 若实数x，y满足约束条件，则的最小值是（）A . -5B . -4C . 7D . 1610. （2分） (2016高一下·天津期末) 等差数列{an}共有2n+1项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，则n等于（）A . 9B . 10C . 11D . 1211. （2分）若函数在定义域上为奇函数，则实数k的值为（）A . ±1B . ﹣1C . 1D . 0或±112. （2分）(2019·湖州模拟) 已知数列满足，，则使的正整数的最小值是（）A . 2018B . 2019C . 2020D . 2021二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2019高一上·天津月考) 在R上定义运算⊙：⊙ ＝，则不等式⊙的解集是________．14. （1分） (2016高三上·泰兴期中) 等比数列{an}中，若a5=1，a8=8，则公比q=________．15. （2分） (2019高一下·杭州期末) 向量，且，则 ________；________．16. （1分） (2020高三上·成都月考) 已知等比数列的前项和，，若命题“ ，”为真，则实数的最大值为________.三、解答题 (共6题；共60分)17. （5分） (2017高三上·济宁开学考) 设函数f（x）=x2+aln（x+1）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）+ln 有两个极值点x1 ， x2且x1＜x2 ，求证F（x2）＞．18. （5分） (2018高三上·贵阳月考) 选修4-5：不等式选讲设函数 .（Ⅰ）作出函数的图象并求其值域；（Ⅱ）若，且，求的最大值.19. （15分） (2019高一上·迁西月考) 求下列函数的定义域或值域：（1）求的定义域；（2）的值域；（3）的值域.20. （10分）(2019·武威模拟) 已知函数，其中．（1）求函数的单调递增区间；（2）在中，角所对的边分别为，且，求的面积．21. （10分） (2020高二下·南宁期末) 如图，中，，，是边上一点.（1）若，，求；（2）若，求面积的最大值.22. （15分） (2018高一下·平原期末) 已知等差数列中，前项和为，，为等比数列且各项均为正数，，且满足： .（1）求与；（2）记，求的前项和；（3）若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共5分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共60分)考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、答案：19-3、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、答案：22-3、考点：解析：。

河南省豫南九校2015届高三(上)第二次联考数学(文)试卷

河南省豫南九校2015届高三（上）第二次联考数学（文）试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知i为虚数单位，复数z=i（2﹣i）的模|z|=（）A． 1 B．C．D．32．已知集合A={x|x2﹣x﹣2≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．[﹣1，2]B．[﹣2，﹣1]C．[﹣1，1]D．[1，2]3．下列函数中既是奇函数，又在（0，+∞）上单调递减的是（）A．y=sinx B．y=﹣x2+C．y=﹣x3D．y=e|x|4．某班的全体学生参加某项技能测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]，若不低于80分的人数是8，则该班的学生人数是（）A．45 B．50 C．55 D．605．下面几个命题中，真命题的个数是（）①命题“∃x0∈R，x02+1＞3x0”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x；②“方程x+=a有解”是“a≥2”的必要不充分条件；③设函数f（x）=，总存在x∈（﹣∞，﹣1）使得f（x）≥0成立；④若a，b∈[0，2]，则不等式a2+b2＜成立的概率．A． 1 B．2 C．3D．46．在等比数列{a n}中，a1=27，a4=a3a5，则a6=（）A．3﹣2B．3﹣3C．38D．397．将函数h（x）=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到函数f（x）的图象，则f（）=（）A． 4 B．2﹣C．﹣2 D．2+8．如图，程序框图所进行的是求2+22+23+24+25的和运算，则①处条件是（）A．n＞6 B．n＜5 C．n＞5 D．n＜69．已知双曲线kx2﹣y2=1（k＞0）的一条渐近线与直线2x+y﹣3=0垂直，则双曲线的离心率是（）A．B．C．4D．10．已知函数f（x）=（）x﹣log x，若实数x0是方程f（x）=0的解，且0＜x1＜x0，则f（x1）的值（）A．恒为负B．等于零C．恒为正D．不大于零11．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．12．已知点O是平面上的一定点，△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若动点P满足﹣=λ（b+c），λ∈（0，+∞），则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）A．重心B．垂心C．内心D．外心二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．若函数f（x）=cosx+2xf′（），则f（x）在点（0，f（0））处的切线方程是_________．14．已知△ABC的内角A，B，C对边分别为a，b，c，若cosC=，且sinC=sinB，则△ABC的内角A=_________．15．已知变量x，y满足约束条件，目标函数Z=e2x+y的最大值为_________．16．设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为_________．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，对任意的正整数n，都有a n=5S n+1成立．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log4||，求数列{}前n项和T n．18．（12分）欧洲很多国家及美国已经要求禁止在校园出售软饮料，禁止向中小学生销售可口可乐等高热量碳酸饮料，原因是这些饮料被认为是造成儿童肥胖问题日益严重的主要原因之一．为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名六年级学生进行了问卷调查得到列联表：平均每天喝500mL以上为常喝，体重超过已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为．（1）请将列联表补充完整（2）是否有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由（3）现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中（2名女生），抽取2人参加电视节目，则正好抽到一男一女的概率是多少？（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）19．（12分）如图，四边形ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=DA=3AF=6．（Ⅰ）求证：AC⊥BE（Ⅱ）求多面体ABCDEF的体积．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的长轴左右端点M，N与短轴上端点Q构成的三角形的面积为2，离心率e=．（Ⅰ）求椭圆的方程．（Ⅱ）若过椭圆C右焦点F2作垂直于线段MQ的直线L，交椭圆C于A，B两点，求四边形AMBQ面积S．21．（12分）已知函数f（x）=﹣+lnx﹣2（1）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，求a的值．（2）若对任意x∈（0，+∞）都有f（x）＞2a成立，试求a的取值范围．【选考题】请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。

2015年河南省豫南九校高考数学模拟试卷(理科)(3月份)

2015年河南省豫南九校高考数学模拟试卷（理科）（3月份）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知集合A={x|y=log2（x-1），y∈N*，x∈B}，B={2，3，4，5，6，7，8，9}，则A∩B=（）A.{1，2}B.{1，2，3}C.{3，5，9}D.{2，3，4，5，6，7，8，9}【答案】C【解析】解：由y=log2（x-1），得x-1＞0即x＞1．又x∈B，当x取3，5，9时，y符合题意，属于N*，则A∩B={3，5，9}∩{2，3，4，5，6，7，8，9}={3，5，9}．故选：C．由对数的性质得到x大于1，再由符合已知条件得到集合A中的元素，则A交B的答案可求．本题考查了交集及其运算，考查了对数的运算性质，是基础题．2.如图复平面内的点A表示复数z，则复数表示的点所在的象限为（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】解：由图可知：z=3+i，则复数===2-i表示的点（2，-1）所在的象限为第四象限．故选：D．利用复数的运算法则、几何意义即可得出．本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．3.2014年11月11日的“双十一”又掀购物狂潮，淘宝网站对购物情况做了一项调查，收回的有效问卷共500000份，其中购买下列四种商品的人数统计如下：服饰鞋帽198000人；家居用品94000人；化妆品116000人；家用电器92000人．为了解消费者对商品的满意度，淘宝网站用分层抽样的方法从中选出部分问卷进行调查，已知在购买“化妆品”这一类中抽取了116人，则在购买“家居用品”这一类中应抽取的问卷份数为（）A.92B.94C.116D.118【答案】B【解析】解：在购买“化妆品”这一类中抽取了116人，则在购买“家居用品”这一类中应抽取的问卷份数为x，则，解得x=94，故选：B根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．4.已知直线l的斜率为2，M、N是直线l与双曲线C：＞，＞的两个交点，设M、N的中点为P（2，1），则C的离心率为（）A. B. C.2 D.2【答案】A【解析】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则=1，①=1，②，∵点P（2，1）是AB的中点，∴x1+x2=4，y1+y2=2，∵直线l的斜率为2，∴，∴①-②得a2=b2，∴c2=2a2，∴e=．故选：A．设A（x1，y1），B（x2，y2），根据AB的中点P的坐标，表示出斜率，利用点差法，得到关于a、b的关系式，再求离心率本题考查了双曲线的简单性质，解题的关键是利用“设而不求”法求直线l的斜率．5.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：由三视图知几何体是圆锥的一部分，由俯视图与左视图可得：底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，∴几何体的体积V=××π×22×4=．故选：D．根据三视图判断几何体是圆锥的一部分，再根据俯视图与左视图的数据可求得底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，把数据代入圆锥的体积公式计算．本题考查了由三视图求几何体的体积，解答的关键是判断几何体的形状及三视图的数据所对应的几何量．6.若sin（-α）=，则cos（+2α）等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：==-=-=2 -1=2×-1=．故选A将看作整体，将化作的三角函数．观察已知的角与所求角的练习，做到整体代换．7.实数x，y满足条件，则22x-y的最小值为（）A. B. C.1 D.4【答案】B【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图，设z=2x-y，由z=2x-y得y=2x-z，平移直线y=2x-z，由图象可知当直线y=2x-z经过点C（0，1）时，直线y=2x-z的截距最大，此时z最小．将A（0，1）的坐标代入目标函数z=0-1=-1，即z=2x-y的最小值为-1，此时22x-y的最小值为．故选：B．设z=2x-y，利用数形结合求出z的最小值即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．8.如图所示，该程序框图的功能是计算数列{2n-1}前6项的和，则判断框内应填入的条件为（）A.i＞5B.i≥5C.i＞6D.i≥6【答案】C【解析】解：由算法的流程知，第一次运行，A=2×0+1=1，i=1+1=2；第二次运行，A=2×1+1=3，i=2+1=3；第三次运行，A=2×3+1=7，i=3+1=4；第四次运行，A=2×7+1=15，i=5；第五次运行，A=2×15+1=31，i=6；第六次运行，A=2×31+1=1+2+22+…+25==26-1=64-1=63，i=7；由于程序框图的功能是计算数列{2n-1}前6项的和，由题意，此时应该满足条件，终止运行，输出A=63，故判断框内应填入的条件为：i＞6故选：C．根据算法流程，依次计算运行结果，由等比数列的前n项和公式，判断程序退出循环的条件．本题考查循环结构的程序框图，等比数列的前n项和公式，根据算法流程判断程序的功能是关键，属于基本知识的考查．9.记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（）A.1440种B.960种C.720种D.480种【答案】B【解析】解：可分3步．第一步，排两端，∵从5名志愿者中选2名有A52=20种排法，第二步，∵2位老人相邻，把2个老人看成整体，与剩下的3名志愿者全排列，有A44=24种排法第三步，2名老人之间的排列，有A22=2种排法最后，三步方法数相乘，共有20×24×2=960种排法故选B因为2位老人不排在两端，所以从5名志愿者中选2名排在两端，因为2位老人相邻，所以把2位老人看成一个整体，与其他元素进行排列，注意整体之间的排列．本题主要考查了有限制的排列问题的解决，掌握这些常用方法．10.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC且PA=AB=4，BC=2，则三棱锥P-ABC 的外接球的体积为（）A.24πB.36πC.12πD.【答案】B【解析】解：∵在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC且PA=AB=4，BC=2，∴画出几何图形，可以构造补充图形为长方体，棱长为4，4，2．∵对角线长为=6．∴三棱锥P-ABC的外接球的半径为3，体积为×π×33=36π．故选：B．构造补充图形为长方体，几何体三棱锥P-ABC的外接球，与棱长为4，4，2．长方体的外接球应该是同一个外接球，再用长方体的对角线长求解外接球的半径，即可求解体积．本题考查了空间几何体的性质，构建容易操作的几何体，把问题转化求解，关键是有一定的空间想象能力．11.已知点A（1，2）在抛物线C：y2=4x上，过点A作两条直线分别交抛物线于点D，E，直线AD，AE的斜率分别为k AD，K AE．若直线DE过点（-1，-2），则k AD•k AE=（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】解：设F（-1，-2），过F点直线DE方程为：y+2=k（x+1），联立，消去x、整理得：ky2-4y+4k-8=0，由题意及韦达定理可得：y1+y2=，y1y2=，∴x1+x2==，x1x2==，∴k AD•k AE=•===2，故选：C．通过利用过F点直线DE与抛物线C方程，利用韦达定理计算即可．本题是一道直线与抛物线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．12.定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）+f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）=-2x2+12x-18，若函数y=f（x）-log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是（）A.（0，）B.（0，）C.（0，）D.（0，）【答案】B【解析】解：∵f（x+2）=f（x）-f（1），且f（x）是定义域为R的偶函数，令x=-1可得f（-1+2）=f（-1）-f（1），又f（-1）=f（1），可得f（1）=0则有，f（x+2）=f（x），∴f（x）是周期为2的偶函数．当x∈[2，3]时，f（x）=-2x2+12x-18=-2（x-3）2，函数f（x）的图象为开口向下、顶点为（3，0）的抛物线．∵函数y=f（x）-log a（x+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，令g（x）=log a（x+1），则f（x）的图象和g（x）的图象至少有3个交点．作出函数的图象，如图所示，∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得0＜a＜1．要使函数y=f（x）-log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则有g（2）＞f（2），即log a（2+1）＞f（2）=-2，∴log a3＞-2，∴3＜，解得-＜a＜．又a＞0，∴0＜a＜，故选：B．由题意可得函数f（x）的周期为2，当x∈[2，3]时，f（x）=-2x2+12x-18，令g（x）=log a（x+1），则f（x）的图象和g（x）的图象至少有3个交点，画出图形，数形结合，根据g（2）＞f（2），求得a的取值范围．本题主要考查函数周期性及其应用，解题的过程中用到了数形结合的方法，这也是高考常考的热点问题，属于中档题．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.已知•=0，|+|=t||，若+与-的夹角为，则t的值为______ ．【答案】2【解析】解：∵•=0，∴|+|=||∵|+|=t||，若+与-的夹角为，∴2=t2，即2=（t2-1）2，t＞0∴由向量的夹角公式cos=====，即=，t2=4，t=±2，t=-2（舍去），故答案为：2．根据题目条件得出|+|=||=t||，2=t2，即2=（t2-1）2，t＞0利用向量的夹角公式cos=，即可解得结论，即=．本题主要考查向量数量积的运算及夹角公式的应用，属于基础题．14.若（+4x2+4）3展开式的常数项为______ ．【答案】160【解析】解：∵（+4x2+4）3=的展开式中的第r+1项为T r+1=•26-r•x6-2r，令6-2r=0，求得r=3，故展开式中的常数项为•23=160，故答案为：160．先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．15.设锐角三角形ABC的三个内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若a=2，B=2A，则b的取值范围为______ ．【答案】（2，2）【解析】解：锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，B=2A，∴0＜2A＜，且B+A=3A，∴＜3A＜π．∴＜A＜，∴＜cos A＜，∵a=2，B=2A，∴由正弦定理可得：=b==2cos A，即b=4cos A，∴2＜4cos A＜2，则b的取值范围为：（2，2）．故答案为：（2，2）．由题意可得0＜2A＜，且＜3A＜π，解得A的范围，可得cos A的范围，由正弦定理求得=b=2cos A，根据cos A的范围确定出b范围即可．此题考查了正弦定理，余弦函数的性质，解题的关键是确定出A的范围，属于基本知识的考查．16.已知函数f（x）及g（x）（x∈D），若对于任意的x∈D，存在x0，使得f（x）≥f（x0），g（x）≥g（x0）恒成立且f（x0）=g（x0），则称f（x），g（x）为“兄弟函数”，已知函数f（x）=x2+px+q（p，q∈R），g（x）=是定义在区间[，2]上的“兄弟函数”，那么函数f（x）在区间[，2]上的最大值为______ ．【答案】2【解析】解：∵g（x）==x+-1≥2-1=1；（当且仅当x=，即x=1时，等号成立）∴g（x）在x=1处取得最小值1；又∵f（x）与g（x）是定义在区间[，2]上的“兄弟函数”，∴f（x）在x=1处取得最小值1；∴f（x）=x2+px+q=（x-1）2+1；又∵|-1|＜|2-1|，∴f max（x）=f（2）=1+1=2；故答案为：2．化简g（x）=x+-1，从而由基本不等式可判断g（x）在x=1处取得最小值1；从而可知f（x）在x=1处取得最小值1，再由二次函数的顶点式写出f（x）=（x-1）2+1，从而求函数的最大值．本题考查了学生对新定义的接受与转化能力，同时考查了基本不等式的应用及二次函数的性质应用，属于中档题．三、解答题(本大题共8小题，共94.0分)17.设数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且对任意正整数n，点（a n+1，S n）在直线2x+y-2=0上．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）是否存在实数λ，使得数列{S n+λ•n+}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，则说明理由．【答案】解：（Ⅰ）∵点（a n+1，S n）在直线2x+y-2=0上，∴2a n+1+S n-2=0．①n≥2时，2a n+s n-1-2=0．②①─②得2a n+1-2a n+a n=0，∴=（n≥2）．再由a1=1，可得a2=．∴{a n}是首项为1，公比为的等比数列，∴a n=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得s n==2-．若数列{S n+λ•n+}为等差数列，则s1+λ+，s2+2λ+，s3+3λ+成等差数列，∴2（s2+2λ+）=（s1+λ+）+（s3+3λ+），解得λ=2．又λ=2时，S n+λ•n+=2n+2，显然{2n+2}成等差数列，故存在实数λ=2，使得数列{S n+λ•n+}成等差数列．【解析】（Ⅰ）由已知条件可得2a n+1+S n-2=0，可得n≥2时，2a n+s n-1-2=0，相减可得=（n≥2）．由此可得{a n}是首项为1，公比为的等比数列，由此求得数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）先求出s n=2-，若数列{S n+λ•n+}为等差数列，则由第二项的2倍等于第一项加上第三项，求出λ=2，经检验λ=2时，此数列的通项公式是关于n的一次函数，故满足数列为等差数列，从而得出结论．本题主要考查等差关系的确定，根据数列的递推关系求通项，属于中档题．18.甲、乙、丙三名音乐爱好者参加某电视台举办的演唱技能海选活动，在本次海选中有合格和不合格两个等级．若海选合格记1分，海选不合格记0分．假设甲、乙、丙海选合格的概率分别为，，，他们海选合格与不合格是相互独立的．（Ⅰ）求在这次海选中，这三名音乐爱好者至少有一名海选合格的概率；（Ⅱ）记在这次海选中，甲、乙、丙三名音乐爱好者所得分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．【答案】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）记“甲海选合格”为事件A，“乙海选合格”为事件B，“丙海选合格”为事件C，“甲、乙、丙至少有一名海选合格”为事件E．则．（4分）（Ⅱ）ξ的所有可能取值为0，1，2，3．，，，．∴ξ的分布列为．（12分）【解析】（Ⅰ）记“甲海选合格”为事件A，“乙海选合格”为事件B，“丙海选合格”为事件C，“甲、乙、丙至少有一名海选合格”为事件E．利用对立事件的计算公式能求出结果．（Ⅱ）ξ的所有可能取值为0，1，2，3．分别求出相对应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一．19.已知三棱锥P-ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=AB，N为AB上一点，AB=4AN，M，S分别为PB，BC的中点．（Ⅰ）证明：CM⊥SN；（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小．【答案】证明：设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图．则P（0，0，1），C（0，1，0），B（2，0，0），M（1，0，），N（，0，0），S（1，，0）．（4分）（Ⅰ），，，，，，因为，所以CM⊥SN（6分）（Ⅱ），，，设a=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，则令x=2，得a=（2，1，-2）．因为＜，＞，所以SN与片面CMN所成角为45°．【解析】由PA=AC=AB，N为AB上一点，AB=4AN，我们不妨令PA=1，然后以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系．由此不难得到各点的坐标（1）要证明CM⊥SN，我们可要证明即可，根据向量数量积的运算，我们不难证明；（2）要求SN与平面CMN所成角的大小，我们只要利用求向量夹角的方法，求出SN 和方向向量与平面CMN的法向量的夹角，再由它们之间的关系，易求出SN与平面CMN 所成角的大小．如果已知向量的坐标，求向量的夹角，我们可以分别求出两个向量的坐标，进一步求出两个向量的模及他们的数量积，然后代入公式cosθ=即可求解20.已知椭圆C：=1（a＞b＞0）经过点（，1）一个焦点是F（0，1）．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C与y轴的两个交点为A1、A2，点P在直线y=a2上，直线PA1、PA2分别与椭圆C交于点M、N两点，试问：当点P在直线y=a2上运动时，直线MN是否恒经过定点Q？证明你的结论．【答案】解：（1）∵椭圆C：（a＞b＞0）经过点（，1），∴①又∵椭圆的一个焦点是F（0，1），∴a2-b2=1②由①②得：a2=4，b2=3，∴椭圆C的方程为：；（2）结论：直线MN恒经过定点Q（0，1）．证明如下：由（1）知a2=4，∴点P在直线y=4上，设P（t，4）．当MN斜率不存在时，直线MN即y轴，通过点Q（0，1）；当点P不在y轴上时，记A1（0，2）、A2（0，-2），M（x1，y1），N（x2，y2），则直线PA1方程：y=x+2=x+2，直线PA2方程：y=x-2=x-2，联立，得：（3+t2）x2+6tx=0，解得x1=-，y1=，∴k QM==，联立，得：（27+t2）x2-18tx=0解得x2=，y2=，∴k QN==，∵k QM==k QN，∴直线MN恒经过定点Q（0，1）．【解析】（1）通过将点（，1）代入椭圆方程、并利用a2-b2=1，计算即得结论；（2）分MN斜率不存在与存在两种情况讨论，当点P不在y轴上时，分别联立直线PA1方程、直线PA2方程与椭圆方程，计算出k QM、k QN即可．本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．21.已知函数f（x）=ax+xlnx的图象在点（e，f（e））（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3．（1）求实数a的值；（2）若k∈Z，且k＜对任意x＞1恒成立，求k的最大值．【答案】解：（1）由已知得f′（x）=a+lnx+1，故f′（e）=3，∴a+lne+1=3，∴a=1；（2）由（1）知，f（x）=x+xlnx∴k＜对任意x＞1恒成立，等价于k＜对任意x＞1恒成立令g（x）=，则g′（x）=令h（x）=x-lnx-2，x＞1，则h′（x）=1-=＞0∴h（x）在（1，+∞）上单调增加，∵h（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-2ln2＞0，∴h（x）在（1，+∞）上在唯一实数根x0，满足x0∈（3，4），且h（x0）=0当x∈（1，x0）时，h（x）＜0，∴g′（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，∴g′（x）＞0，∴g（x）=在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增∴g（x）min=g（x0）==∈（3，4），∴k＜g（x）min=x0∈（3，4），∴整数k的最大值为3．【解析】（1）由已知得f′（x）=a+lnx+1，故f′（e）=3，由此能求出a．（2）k＜对任意x＞1恒成立，等价于k＜对任意x＞1恒成立，求出右边的最小值，即可求得k的最大值．本题考查学生会利用导数求切线上过某点切线方程的斜率，会利用导函数的正负确定函数的单调区间，会利用导数研究函数的极值，掌握导数在最大值、最小值问题中的应用，属于中档题．22.如图，AB为圆O的直径，CD为垂直于AB的一条弦，垂足为E，弦BM与CD相交于点F．（Ⅰ）证明：A、E、F、M四点共圆；（Ⅱ）若MF=4BF=4，求线段BC的长．【答案】（Ⅰ）证明：如图，连结AM，由AB为直径可知∠AMB=90°，又CD⊥AB，所以∠AEF=∠AMB=90°，因此A、E、F、M四点共圆．（4分）（Ⅱ）解：连结AC，由A、E、F、M四点共圆，所以BF•BM=BE•BA，（6分）在RT△ABC中，BC2=BE•BA，（8分）又由MF=4BF=4知BF=1，BM=5，所以BC2=5，．（10分）【解析】（Ⅰ）连结AM，由AB为直径可知∠AMB=90°，又CD⊥AB，由此能证明A、E、F、M四点共圆．（Ⅱ）连结AC，由A、E、F、M四点共圆，得BF•BM=BE•BA，由此能求出线段BC的长．本题考查四点共圆的证明，考查线段长的求法，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．23.已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ-）．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若P（x，y）是直线l与圆面ρ≤4sin（θ-）的公共点，求x+y的取值范围．【答案】解：（1）因为圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ-），所以ρ2=4ρ（sinθ-cosθ），所以圆C的直角坐标方程为：x2+y2+2x-2y=0．…（5分）（2）设z=x+y由圆C的方程x2+y2+2x-2y=0，可得（x+1）2+（y-）2=4所以圆C的圆心是（-1，），半径是2将代入z=x+y得z=-t…（8分）由题意有：-2≤t≤2所以-2≤t≤2即x+y的取值范围是[-2，2]．…（10分）【解析】（1）利用极坐标与直角坐标的方程互化的方法，可得圆C的直角坐标方程；（2）将代入z=x+y得z=-t，又直线l过C（-1，），圆C的半径是2，可得结论．本题考查直线的参数方程与圆的极坐标方程与普通方程的互化，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．24.设函数f（x）=|x+1|-|x-2|（Ⅰ）解不等式f（x）≥2；（Ⅱ）若不等式f（x）≤|a-2|的解集为R，求实数a取值范围．【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）=|x+1|-|x-2|表示数轴上的x对应点到-1对应点的距离减去它到2对应点的距离，而数轴上的到-1对应点的距离减去它到2对应点的距离正好等于2，故不等式f（x）≥2的解集为{x|x≥}．（Ⅱ）若不等式f（x）≤|a-2|的解集为R，故|a-2|≥f max（x），而由绝对值的意义可得f max（x）=3，∴|a-2|≥3，∴a-2≥3，或a-2≤-3．解得a≥5，或a≤-1，即实数a取值范围为{a|a≥5，或a≤-1}．【解析】（Ⅰ）利用绝对值的意义可得数轴上的到-1对应点的距离减去它到2对应点的距离正好等于2，从而求得不等式f（x）≥2的解集．（Ⅱ）由题意可得|a-2|≥f max（x），而由绝对值的意义可得f max（x）=3，可得|a-2|≥3，由此求得不等式的解集．本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于基础题．。

河南省豫南九校2015届高三上学期第二次联考数学(文)试

河南省豫南九校2015届高三（上）第二次联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知i为虚数单位，复数z=i（2﹣i）的模|z|=（）A．1 B．C．D．3分析：根据复数的有关概念直接进行计算即可得到结论．解答：解：∵z=i（2﹣i）=2i+1，∴|z|=，故选：C．点评：本题主要考查复数的有关概念的计算，比较基础．2．已知集合A={x|x2﹣x﹣2≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．[﹣1，2]B．[﹣2，﹣1]C．[﹣1，1]D．[1，2]分析：求出A中不等式的解集确定出A，再由B，求出A与B的交集即可．解答：解：由A中不等式变形得：（x+1）（x﹣2）≥0，解得：x≤﹣1或x≥2，即A=（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），∵B=[﹣2，2），∴A∩B=[﹣2，﹣1]．故选：B．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．下列函数中既是奇函数，又在（0，+∞）上单调递减的是（）A．y=sinx B．y=﹣x2+C．y=﹣x3D．y=e|x|分析：对选项根据函数的奇偶性和单调性，一一加以判断，即可得到既是奇函数，又在（0，+∞）上单调递减的函数．解答：解：对于A．y=sinx是奇函数，在（2k，2k）（k为整数）是单调递减，故A错；对于B．y=﹣x2，定义域为{x|x≠0，且x∈R}，但f（﹣x）=﹣x2﹣≠=﹣（﹣x2），则不是奇函数，故B错；对于C．y=﹣x3，有f（﹣x）=﹣f（x），且y′=﹣3x2≤0，则既是奇函数，又在（0，+∞）上单调递减，故C对；对于D．y=e|x|，有f（﹣x）=e|﹣x|=f（x），则为偶函数，故D错．故选C．点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，判断单调性可用多种方法，证明时只能用单调性定义和导数法．4．某班的全体学生参加某项技能测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]，若不低于80分的人数是8，则该班的学生人数是（）A．45 B．50 C．55 D．60分析：根据频率分布直方图，利用频率=，求出样本容量来．解答：解：根据频率分布直方图，得；不低于80分的频率是0.015×10=0.15，∴该班人数是=60．故选：D．点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，解题时应根据频率、频数与样本容量的关系进行解答，是基础题．5．下面几个命题中，真命题的个数是（）①命题“∃x0∈R，x02+1＞3x0”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x；②“方程x+=a有解”是“a≥2”的必要不充分条件；③设函数f（x）=，总存在x∈（﹣∞，﹣1）使得f（x）≥0成立；④若a，b∈[0，2]，则不等式a2+b2＜成立的概率．A．1 B．2C．3D．4考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用；概率与统计；简易逻辑．分析：①特称命题的否定要特称改全称，同时否定结论，正确；②利用基本不等式求解“方程x+=a有解”然后判断充要条件；③x∈（﹣∞，﹣1）时，f（x）=﹣x2+2x，在（﹣∞，﹣1）上单调递增，f（x）≥0不恒成立；④考察几何概型，若a，b∈[0，2]围成边长为2的正方形，则不等式a2+b2＜围成以原点为圆心，半径为的圆（不包括圆周部分）第一象限部分，求面积比．解答：解：①命题“∃x0∈R，x02+1＞3x0”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”，正确；②当x＞0时，x+≥2=2；当x＜0时，x+=﹣[（﹣x）+]≤﹣2，则“方程x+=a有解”⇔“a≥2，或a≤﹣2”是“a≥2”的必要不充分条件，正确；③函数f（x）=，当x∈（﹣∞，﹣1），f（x）=﹣x2+2x是二次函数，图象开口向下，对称轴为x=1，在（﹣∞，﹣1）上单调递增，f（x）∈（﹣∞，﹣3），③错误；④a，b∈[0，2]，为直线x=0，x=2，y=0，y=2围成的正方形区域，面积为4；a2+b2＜1/4为以原点为圆心，半径为的圆（不包括圆周部分）而a≥0，b≥0，只有第一象限，它面积为=∴根据几何概型得P==，④错误；故选：B．点评：综合考察了特称命题的否定，不等式，充要条件，分段函数，二次函数，几何概型，知识点较多，容易出错，属于难题．6．在等比数列{a n}中，a1=27，a4=a3a5，则a6=（）A．3﹣2B．3﹣3C．38D．39考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知得27q3=27•q2×27•q4，从而q=3﹣1，由此能求出a6．解答：解：∵在等比数列{a n}中，a1=27，a4=a3a5，∴27q3=27•q2×27•q4，解得q=3﹣1，∴a6=27q5=27•3﹣5=3﹣2．故选：A．点评：本题考查数列的第6项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的通项公式的合理运用．7．将函数h（x）=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到函数f（x）的图象，则f（）=（）A．4 B．2﹣C．﹣2 D．2+考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：常规题型；三角函数的图像与性质．分析：函数h（x）=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，得到函数y=2sin[2（x﹣）+]的图象；再向上平移2个单位，得到函数f（x）=2sin（2x﹣）+2的图象；代入x=求出f（）的值．解答：解：将函数h（x）=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，得到函数y=2sin（2x ﹣）的图象；再向上平移2个单位，得到函数f（x）=2sin（2x﹣）+2的图象；∴f（）=2sin（2×﹣）+2=故答案为2+．点评：本题的易错点是函数h（x）=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，得到函数y=2sin[2（x﹣）+]的图象；而不是函数y=2sin（2x﹣+）的图象．8．如图，程序框图所进行的是求2+22+23+24+25的和运算，则①处条件是（）A．n＞6 B．n＜5 C．n＞5 D．n＜6考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：执行程序框图，写出每次循环得到的S，n的值，当第5次执行循环体，有S=2+22+23+24+25，n=6，此时应该退出循环，故①处条件是n＜6．解答：解：执行程序框图，有n=1，S=0第1次执行循环体，有S=2，n=2第2次执行循环体，有S=2+22，n=3第3次执行循环体，有S=2+22+23，n=4第4次执行循环体，有S=2+22+23+24，n=5第5次执行循环体，有S=2+22+23+24+25，n=6由题意，此时退出循环，输出S的值，综上，则①处条件是n＜6故答案为：D．点评：本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题．9．已知双曲线kx2﹣y2=1（k＞0）的一条渐近线与直线2x+y﹣3=0垂直，则双曲线的离心率是（）A．B．C．4D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：已知双曲线kx2﹣y2=1的一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直，可求出渐近线的斜率，由此求出k的值，得到双曲线的方程，再求离心率．解答：解：由题意双曲线kx2﹣y2=1的一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直，可得渐近线的斜率为，又由于双曲线的渐近线方程为y=±x故=，∴k=，∴可得a=2，b=1，c=，由此得双曲线的离心率为，故选：A．点评：本题考查直线与圆锥曲线的关系，解题的关键是理解一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直，由此关系求k，熟练掌握双曲线的性质是求解本题的知识保证．10．已知函数f（x）=（）x﹣log x，若实数x0是方程f（x）=0的解，且0＜x1＜x0，则f（x1）的值（）A．恒为负B．等于零C．恒为正D．不大于零考点：根的存在性及根的个数判断．专题：作图题；函数的性质及应用．分析：方程的解化为函数图象与x轴的交点，作图从而得到答案．解答：解：函数f（x）=（）x﹣log x的图象如下图：则由题意可知，f（x1）的值恒为负，故选A．点评：本题考查了函数的零点与方程的根的关系及作图能力，属于基础题．11．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为圆锥的．解答：解：由题意，该几何体为圆锥的，其底面面积为×π×22=π，高为4，则其体积V=×π×4=，故选B．点评：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力．12．已知点O是平面上的一定点，△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若动点P满足﹣=λ（b+c），λ∈（0，+∞），则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）A．重心B．垂心C．内心D．外心考点：向量加减混合运算及其几何意义；三角形五心．专题：平面向量及应用．分析：由题意，得出=λ（b+c）=λbc（+），、是单位向量，得出是∠BAC的平分线，即得结论．解答：解：根据题意，在△ABC中，动点P满足﹣=λ（b+c），λ∈（0，+∞），∴=λ（b+c）=λbc（+）=λbc（+）；∵、是单位向量，∴+在∠BAC的角平分线上，∴λbc（+）也在∠BAC的角平分线上，∴是∠BAC的平分线，∴动点P的轨迹一定通过△ABC的内心．故选：C．点评：本题考查了平面向量的应用问题，解题时应根据平面向量的几何意义进行解答，是中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．若函数f（x）=cosx+2xf′（），则f（x）在点（0，f（0））处的切线方程是y=x+1．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：利用导数先求f′（0），即切线的斜率k=f′（0），代入点斜式方程，即可求出对应的切线方程．解答：解：∵f（x）=cosx+2xf′（），∴f（0）=cos0=1，f′（x）=﹣sinx+2f′（），即f′（）=﹣sin+2f′（），则f′（）=，即f′（x）=﹣sinx+1，f′（0）=﹣sin0+1=1，∴所求切线方程为y﹣1=x，即y=x+1，故答案为：y=x+1点评：本题主要考查导数的计算以及导数的几何意义的应用，比较基础．14．已知△ABC的内角A，B，C对边分别为a，b，c，若cosC=，且sinC=sinB，则△ABC的内角A=．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：利用余弦定理表示出cosC，代入已知第一个等式整理得到关系式，第二个关系式利用正弦定理化简，代入上式得出的关系式整理表示出a，再利用余弦定理表示出cosA，把表示出的a与c代入求出cosA的值，即可确定出A的度数．解答：解：由已知等式及余弦定理得：cosC==，即a2+b2﹣c2=2a2①，将sinC=sinB，利用正弦定理化简得：c=b②，②代入①得：a2=b2﹣b2=b2，即a=b，∴cosA===，则A=．故答案为：．点评：此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握定理是解本题的关键．15．已知变量x，y满足约束条件，目标函数Z=e2x+y的最大值为e2．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：设z=2x+y，作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．设z=2x+y，由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点D（1，0）时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．代入目标函数z=2x+y得z=2×1+0=2．即z=2x+y的最大值为2，则Z=e2x+y的最大值为e2．故答案为：e2．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．16．设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为[0，2]．考点：分段函数的应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由分段函数可得当x=0时，f（0）=a2，由于f（0）是f（x）的最小值，则（﹣∞，0]为减区间，即有a≥0，则有a2≤x+a，x＞0恒成立，运用基本不等式，即可得到右边的最小值2+a，解不等式a2≤2+a，即可得到a的取值范围．解答：解：由于f（x）=，则当x=0时，f（0）=a2，由于f（0）是f（x）的最小值，则（﹣∞，0]为减区间，即有a≥0，则有a2≤x+a，x＞0恒成立，由x≥2=2，当且仅当x=1取最小值2，则a2≤2+a，解得﹣1≤a≤2．综上，a的取值范围为[0，2]．故答案为：[0，2]．点评：本题考察了分段函数的应用，考查函数的单调性及运用，同时考查基本不等式的应用，是一道中档题，也是易错题．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，对任意的正整数n，都有a n=5S n+1成立．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log4||，求数列{}前n项和T n．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）当n=1时，可求得a1=﹣，由a n=5S n+1，可得a n+1=5S n+1+1，两式相减，整理可得=﹣，知数列{a n}是首项为a1=﹣，公比为q=﹣的等比数列，于是可求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知a n=；依题意可求得b n=n，利用裂项法可得==﹣，从而可得答案．解答：解：（Ⅰ）当n=1时，a1=5S1+1，∴a1=﹣，…（2分）又a n=5S n+1，a n+1=5S n+1+1，a n+1﹣a n=5a n+1，即=﹣，…（4分）∴数列{a n}是首项为a1=﹣，公比为q=﹣的等比数列，∴a n=；…（6分）（Ⅱ）b n=log4||=log4|（﹣4）n|=n，…（8分）所以==﹣…（10分）所以T n=[（1﹣）+（）+…+（﹣）]=…（12分）点评：本题考查数列的求和，着重考查数列的递推关系的应用，求得数列{a n}的通项公式是关键，考查等比关系的确定与裂项法求和，属于中档题．18．（12分）欧洲很多国家及美国已经要求禁止在校园出售软饮料，禁止向中小学生销售可口可乐等高热量碳酸饮料，原因是这些饮料被认为是造成儿童肥胖问题日益严重的主要原因之一．为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名六年级学生进行了问已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为．（1）请将列联表补充完整（2）是否有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由（3）现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中（2名女生），抽取2人参加电视节目，则正好抽到一男一女的概率是多少？（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）考点：独立性检验的应用．专题：应用题；概率与统计．分析：（1）根据全部30人中随机抽取1人看营养说明的学生的概率为，做出看营养说明的人数，这样用总人数减去看营养说明的人数，剩下的是不看的，根据所给的另外两个数字，填上所有数字．（2）根据列联表所给的数据，代入求观测值的公式，把观测值同临界值进行比较，得到有99.5%的把握说看营养说明与性别有关．（3）利用列举法，求出基本事件的个数，即可求出正好抽到一男一女的概率．解答：解：（1）设常喝碳酸饮料肥胖的学生有x人，，∴x=6；常喝不常喝合计肥胖 6 2 8不胖 4 18 22合计10 20 30﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）（2）由已知数据可求得：K2=≈8.522＞7.879因此有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）（3）设常喝碳酸饮料的肥胖者男生为A、B、C、D，女生为E、F，则任取两人有AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共15种．其中一男一女有AE，AF，BE，BF，CE，CF，DE，DF．故抽出一男一女的概率是P=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）点评：本题考查画出列联表，考查等可能事件的概率，考查独立性检验，在求观测值时，要注意数字的代入和运算不要出错．19．（12分）如图，四边形ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=DA=3AF=6．（Ⅰ）求证：AC⊥BE（Ⅱ）求多面体ABCDEF的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（I）在正方形ABCD中，可得AC⊥BD．根据DE⊥平面ABCD，得DE⊥AC，由线面垂直的判定定理可得AC⊥平面BDE，从而可得AC⊥BE；（II）证明AB⊥平面ADEF，BC⊥平面CDE，利用V=V B﹣ADEF+V E﹣BCD，求出多面体ABCDEF 的体积．解答：（Ⅰ）证明：∵DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DE⊥AC．∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，又∵BD、DE是平面BDE内的相交直线，∴AC⊥平面BDE，结合BE⊂平面BDE，得AC⊥BE；（Ⅱ）解：∵AB⊥AD，AB⊥DE，AD∩DE=D，∴AB⊥平面ADEF，同理BC⊥平面CDE，∵AF∥DE，DE=DA=3AF=6，∴V=V B﹣ADEF+V E﹣BCD==84﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）点评：本题给出四棱锥的一条侧棱与底面垂直且底面是正方形，求证线线垂直并求多面体ABCDEF的体积，着重考查了线面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的长轴左右端点M，N与短轴上端点Q构成的三角形的面积为2，离心率e=．（Ⅰ）求椭圆的方程．（Ⅱ）若过椭圆C右焦点F2作垂直于线段MQ的直线L，交椭圆C于A，B两点，求四边形AMBQ面积S．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）利用椭圆C：+=1（a＞b＞0）的长轴左右端点M，N与短轴上端点Q 构成的三角形的面积为2，离心率e=，建立方程，求出a，b，即可求椭圆的方程．（Ⅱ）求出直线L的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理求出|AB|，再计算四边形AMBQ 面积S．解答：解：（Ⅰ）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的长轴左右端点M，N与短轴上端点Q构成的三角形的面积为2，离心率e=，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∴a=2，b=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）∴椭圆的方程为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）由（Ⅰ）知F2（1，0），M（﹣2，0），Q（0，）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）∴直线MQ斜率为，又∵L⊥MQ，∴直线L斜率k=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）直线L：y=﹣（x﹣1）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）代入椭圆方程得25x2﹣32x﹣20=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）设A（x1，y1），B（x2，y2）由韦达定理x1+x2=，x1x2=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）∴|AB|=•=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）∴四边形AMBQ面积S==．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）点评：本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=﹣+lnx﹣2（1）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，求a的值．（2）若对任意x∈（0，+∞）都有f（x）＞2a成立，试求a的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：（1）求函数的导数，根据导数的几何意义，结合直线垂直的关系即可求出a的值．（2）根据不等式恒成立，将不等式转化为求函数f（x）的最值，即可求出的取值范围．解答：解（1）∵f（x）=﹣+lnx﹣2，∴f′（x）=，∴f′（1）=2a+1，又∵曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直∴2a+1=﹣1∴a=﹣1．（2）f（x）=﹣+lnx﹣2的定义域为（0，+∞），∵对任意x∈（0，+∞）都有f（x）＞2a恒成立∴f（x）min＞2a，f′（x）==，当a≥0时，f′（x）≥0，即f（x）在（0，+∞）上单调递增，此时x→0时，f（x）→﹣∞不合题意，当a＜0时f（x）在（0，﹣2a）单调递减，在（﹣2a，+∞）单调递增∴f（x）min=f（﹣2a）=ln（﹣2a）﹣1＞2a，令g（x）=lnx+x﹣1则g（x）在（0，+∞）上单调递增且g（1）=0∴﹣2a＞1，综上a＜﹣．点评：本题主要考查导数的几何意义，以及利用导数求出函数的最值，综合考查导数的应用．【选考题】请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。

河南省豫南九校联考高三(上)期末数学试卷(理科)

河南省豫南九校联考高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|y=log2x，y∈Z}，B={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，则A∩B=（）A．{1，2，3，4}B．{2，4，6，8}C．{1，2，4，8}D．{2，4，8}2．设复数z满足（﹣1+3i）z=2（1+i），则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知命题p：“∃x0∈R，x02﹣2x0+3≤0”的否定是“∀x∈R，x2﹣2x+3＞0”，命题q：椭圆+=1的一个焦点坐标为（3，0），则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．￢p∨q D．p∨q4．为了得到函数y=1﹣2sin2（x﹣）的图象，可以将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度5．已知一个路口的红绿灯，红灯的时间为35秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为60秒，老王开车上班要经过3个这样的路口，则老王遇见两次绿灯的概率为（）A． B． C． D．6．函数f（x）=的图象可能是下列图形中的（）A． B． C． D．7．已知向量||=3，•=，|+|=，则向量在上的投影为（）A． B． C． D．28．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．6 B．7 C．8 D．99．已知实数x，y满足不等式组，若直线y=k（x+1）把不等式组表示的平面区域分成上、下两部分的面积比为1：2，则k=（）A．B．C．D．=（n∈N*），则=（）10．已知数列{a n}满足a1=，a n+1A．2015 B．2016 C．2017 D．201811．已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为抛物线C2：y2=2px的焦点F，且点F到双曲线的一条渐近线的距离为，若双曲线C1与抛物线C2在第一象限内的交点为P（x0，2），则该双曲线的离心率e为（）A．B．2 C．D．1+12．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+3）﹣f（x）=0，且f（x）=，若函数y=f（x）﹣x（t＞0）至少有9个零点，则t的取值范围为（）A．（0，）B．（0，54﹣24]C．（0，）D．（0，]二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．圆x2+y2﹣2x+4y﹣3=0上的点到直线x﹣y+5=0的距离的取值范围为．14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是．15．（x+﹣2）6的展开式中，x的系数为．16．已知函数f（x）=，若对任意的x1，x2∈[﹣1，2]，恒有af（1）≥|f（x1）﹣f（x2）|成立，则实数a的取值范围是．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若=，且b=4．（1）求角B；（2）求△ABC的面积的最大值．18．已知各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，若a5=2a3+a4，且S5=62．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求证：≤T n＜．19．袋中装着标有数字1，2，3，4，5的五副羽毛球拍，现从袋中任取4支球拍，每支球拍被取出的可能性都相等（1）求取出的4支球拍上的数字互不相同的概率（2）用ξ表示取出的4支球拍上的最大数字，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的菱形，∠BAD=60°，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=，M，N分别为BC，PA的中点（1）求证：BN∥平面PDM（2）求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的大小．21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0），椭圆的离心率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，求△F1AB的面积的最大值．22．已知函数f（x）=alnx﹣（a+1）x﹣（1）当a＜﹣1时，讨论f（x）的单调性（2）当a=1时，若g（x）=﹣x﹣﹣1，证明：当x＞1时，g（x）的图象恒在f（x）的图象上方（3）证明： ++…+＜（n∈N*，n≥2）河南省豫南九校联考高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|y=log2x，y∈Z}，B={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，则A∩B=（）A．{1，2，3，4}B．{2，4，6，8}C．{1，2，4，8}D．{2，4，8}【考点】交集及其运算．【分析】化简集合A，结合对数运算，再由交集定义即可得到所求．【解答】解：集合A={x|y=log2x，y∈Z}={x|x＞0，且为2的偶次幂}，B={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，则A∩B={2，4，8}．故选：D．2．设复数z满足（﹣1+3i）z=2（1+i），则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得z的坐标得答案．【解答】解：由（﹣1+3i）z=2（1+i），得=，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（），位于第四象限．故选：D．3．已知命题p：“∃x0∈R，x02﹣2x0+3≤0”的否定是“∀x∈R，x2﹣2x+3＞0”，命题q：椭圆+=1的一个焦点坐标为（3，0），则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．￢p∨q D．p∨q【考点】命题的真假判断与应用．【分析】先判定命题p、q的真假，再根据复合命题的真值表判定．【解答】解：命题p：“∃x0∈R，x02﹣2x0+3≤0”的否定是“∀x∈R，x2﹣2x+3＞0”，是真命题；命题q：椭圆+=1的交点在y轴上，一个焦点坐标为（0，3），是假命题；故p∧q为假命题；￢p∧q为假命题；￢p∨q为假命题；p∨q为真命题；故选：D．4．为了得到函数y=1﹣2sin2（x﹣）的图象，可以将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简可得函数解析式y=sin[2（x+）]，再利用函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：∵y=1﹣2sin2（x﹣）=cos（2x﹣）=sin（2x+）=sin[2（x+）]，故把函数y=sin2x的图象向左平移个单位可得函数y=cos2（x+）=1﹣2sin2（x﹣）的图象，故选：D．5．已知一个路口的红绿灯，红灯的时间为35秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为60秒，老王开车上班要经过3个这样的路口，则老王遇见两次绿灯的概率为（）A．B．C． D．【考点】几何概型．【分析】先求出遇到绿灯的概率，再求出老王遇见两次绿灯的概率，即可得出结论．【解答】解：由题意知本题是一个那可能事件的概率，试验发生包含的事件是总的时间长度为35+5+60=100秒，设绿灯为事件A，满足条件的事件是绿灯的时间为60秒，根据等可能事件的概率得到：P（A）=，∴老王遇见两次绿灯的概率为=．故选C．6．函数f（x）=的图象可能是下列图形中的（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的图象．【分析】利用x的范围，判断函数的值的范围，然后利用函数的导数，判断函数的单调性即可．【解答】解：函数f（x）=，可知x＜0，y＜0；当x＞0时，函数f′（x）=，令f′（x）=0，可得x=1．当x∈（0，1），f′（x）＜0，函数f（x）=是减函数，x＞1时，f′（x）＞0，函数f（x）=是增函数，函数图象B，A满足，C，D不正确；当x＜0时，函数f′（x）=＜0，函数是减函数，所以B正确，A不正确．故选：B．7．已知向量||=3，•=，|+|=，则向量在上的投影为（）A．B．C．D．2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】对|+|=两边平方计算||，根据向量的数量积的定义计算向量的夹角的余弦值，再代入投影公式计算．【解答】解：∵|+|=，∴||2+2+||2=，即9+3+||2=，∴||=，设的夹角为θ，则=||||cosθ，即=3×cosθ，∴cosθ=．∴向量在上的投影为||cosθ=3×=．故选：B．8．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】程序框图．【分析】根据程序框图，依次计算运行的结果，直到满足条件S＞1，即可得到n的值．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=2，S=0执行循环体，S=，n=3不满足条件S＞1，执行循环体，S=+，n=4不满足条件S＞1，执行循环体，S=++，n=5不满足条件S＞1，执行循环体，S=+++，n=6不满足条件S＞1，执行循环体，S=++++=，n=7满足条件S＞1，退出循环，输出n的值为7．故选：B．9．已知实数x，y满足不等式组，若直线y=k（x+1）把不等式组表示的平面区域分成上、下两部分的面积比为1：2，则k=（）A．B．C．D．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据面积比是1：2，即可确定k的值．【解答】解：作出不等式组对应平面区如图（三角形ABC部分），A（0，1），B（1，﹣1），∵直线y=k（x+1）过定点C（﹣1，0），∴C点在平面区域ABC内，∴点A到直线y=k（x+1）的距离d上=，点B到直线y=k（x+1）的距离d下=，∵直线y=k（x+1）把不等式组表示的平面区域分成上、下两部分的面积比为1：2，∴2×=，解得k=故选：A=（n∈N*），则=（）10．已知数列{a n}满足a1=，a n+1A．2015 B．2016 C．2017 D．2018【考点】数列递推式．【分析】a1=，a n+1=（n∈N*），取倒数可得：=2，利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵a1=，a n+1=（n∈N*），∴=2，∴数列是等差数列，首项为3，公差为2．∴=3+2（n﹣1）=2n+1，则==7+2×1005+1=2018．故选：D．11．已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为抛物线C2：y2=2px的焦点F，且点F到双曲线的一条渐近线的距离为，若双曲线C1与抛物线C2在第一象限内的交点为P（x0，2），则该双曲线的离心率e为（）A．B．2 C．D．1+【考点】圆锥曲线的综合；双曲线的简单性质．【分析】利用已知条件求出b，通过交点坐标，代入抛物线以及双曲线方程，转化求解双曲线的离心率即可．【解答】解：双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为抛物线C2：y2=2px的焦点F，可得=c，点F到双曲线的一条渐近线bx+ay=0的距离为，可得，b=，双曲线C1与抛物线C2在第一象限内的交点为P（x0，2），可得：24=2px0，，可得：a2c2=4，b2=3，可得a=1，c=2．双曲线的离心率为：2．故选：B．12．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+3）﹣f（x）=0，且f（x）=，若函数y=f （x）﹣x（t＞0）至少有9个零点，则t的取值范围为（）A．（0，）B．（0，54﹣24]C．（0，）D．（0，]【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】函数f（x）满足f（x+3）﹣f（x）=0，得周期T=3，函数y=f（x）﹣x（t＞0）的零点，就是y=f（x ）与y=的交点，作出两个函数的图象，利用图象确定函数零点的个数，求出t的取值范围．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（x+3）﹣f（x）=0，∴周期T=3画出函数f（x）在[﹣1，10]的图象，如图所示，当直线y=相切于点A（x0，y0）时刚好9个零点，当x∈（8，10）时，f（x）=﹣（x﹣9）2+1，所以过点A的切线方程为y﹣y0=﹣2（x0﹣9）（x﹣x0）∵切线过原点，﹣y0=﹣2（x0﹣9）（﹣x0），又∵y0=﹣（x0﹣9）2+1，解得x0=4，，=f′（x）=﹣2（x﹣9）=18﹣8，t的取值范围为（0，54﹣24]故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．圆x2+y2﹣2x+4y﹣3=0上的点到直线x﹣y+5=0的距离的取值范围为（2，6）．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】将圆的方程转化为标准方程，求出圆心和半径．再求出圆心到直线的距离，把此距离减去、加上半径，即可得到圆x2+y2﹣2x+4y﹣3=0上的点到直线x﹣y+5=0的距离的取值范围．【解答】解：圆x2+y2﹣2x+4y﹣3=0可化为（x﹣1）2+（y+2）2=8．∴圆心C（1，﹣2），半径r=2．∴圆心C（1，﹣2）到直线x﹣y+5=0的距离为d==4，∴圆x2+y2﹣2x+4y﹣3=0上的点到直线x﹣y+5=0的距离的取值范围为（2，6）．故答案为：（2，6）．14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是+．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可得，直观图是半个圆锥与三棱锥的组合体，由图中数据，可得几何体的体积．【解答】解：由三视图可得，直观图是半个圆锥与三棱锥的组合体，由图中数据，可得V=+=+，故答案为+．15．（x+﹣2）6的展开式中，x的系数为﹣792．【考点】二项式系数的性质．【分析】化（x+﹣2）6=，利用展开式的通项公式求出展开式中x的系数．【解答】解：∵（x+﹣2）6=，展开式的通项公式=••=（﹣1）r••x6﹣r，T r+1令6﹣r=1，得r=5，∴T6=（﹣1）5•x=﹣792x，∴展开式中x的系数为﹣792．故答案为：﹣792．16．已知函数f（x）=，若对任意的x1，x2∈[﹣1，2]，恒有af（1）≥|f（x1）﹣f（x2）|成立，则实数a的取值范围是[e2，+∞）．【考点】函数恒成立问题．【分析】求出f（x）的导数，求得在区间[﹣1，2]上的单调性，可得最值，即有|f（x1）﹣f（x2）|≤f （x）max﹣f（x）min=e，由恒成立思想，可得a的不等式，解不等式即可得到a的范围．【解答】解：函数f（x）=的导数为f′（x）=，当﹣1≤x≤0时，f′（x）≤0，f（x）递减；当0＜x≤2时，f′（x）＞0，f（x）递增．则f（0）取得极小值，且为最小值0，f（﹣1）﹣f（2）=﹣=e﹣＞0，则f（x）的最大值为f（﹣1）=e，即有|f（x1）﹣f（x2）|≤f（x）max﹣f（x）min=e，对任意的x1，x2∈[﹣1，2]，恒有af（1）≥|f（x1）﹣f（x2）|成立，即为a•≥e，解得a≥e2．则a的取值范围是[e2，+∞）．故答案为：[e2，+∞）．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若=，且b=4．（1）求角B；（2）求△ABC的面积的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由=，且b=4．利用正弦定理可得=，化简再利用余弦定理即可得出．（2）由（1）可得：ac=a2+c2﹣16≥2ac﹣16，解得ac≤16．即可得出．【解答】解：（1）∵=，且b=4．∴=，化为：a2+c2﹣16=ac．∴cosB===．又B∈（0，π），解得B=．（2）由（1）可得：ac=a2+c2﹣16≥2ac﹣16，解得ac≤16．当且仅当a=c=4时取等号．==4，∴S△ABC∴△ABC的面积的最大值为4．18．已知各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，若a5=2a3+a4，且S5=62．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求证：≤T n＜．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）设公比为q（q＞0），由a5=2a3+a4，且S5=62，得到关于a1，q方程组，解得即可，（2）根据数列求和公式，以及裂项求和，和放缩法即可证明【解答】解：（1）设公比为q（q＞0），由a5=2a3+a4，且S5=62，得，解得a1=2，q=2，∴a n=2n，（2）由（1）可知a n=2n+1，S n==2（2n﹣1），S n+1=2（2n+1﹣1），∴b n===（﹣），∴T n= [（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=（1﹣），∵n+1≥2，∴≤，∴（1﹣）≥，且（1﹣）＜，∴≤T n＜．19．袋中装着标有数字1，2，3，4，5的五副羽毛球拍，现从袋中任取4支球拍，每支球拍被取出的可能性都相等（1）求取出的4支球拍上的数字互不相同的概率（2）用ξ表示取出的4支球拍上的最大数字，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）设事件A表示“取出的4支球拍上的数字互不相同”，则P（A）=1﹣P（）=1﹣．（2）由题意可得ξ=2，3，4，5．则P（ξ=2）=．P（ξ=3）=，P（ξ=4）=，P（ξ=5）=．【解答】解：（1）设事件A表示“取出的4支球拍上的数字互不相同”，则P（A）=1﹣P（）=1﹣=．（2）由题意可得ξ=2，3，4，5．则P（ξ=2）==．P（ξ=3）==，P（ξ=4）==，P（ξ=5）==．∴ξ的分布列为：∴E（ξ）=+3×+4×+5×=．20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的菱形，∠BAD=60°，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=，M，N分别为BC，PA的中点（1）求证：BN∥平面PDM（2）求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的大小．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取AD中点E，连接BE，NE，则BE∥MD，NE∥PD，利用面面平行，证明线面平行；（2）利用面积关系，求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的大小．【解答】（1）证明：取AD中点E，连接BE，NE，则BE∥MD，NE∥PD，∵BE∩NE=E，MD∩PD=D，∴平面BEN∥平面MDP，∵BN⊂平面BEN，∴BN∥平面PDM（2）解：连接EP，EC，则PE=3，EB=2，EC==2∴PB=，PC=，∴cos∠PAB==﹣，cos∠PDC==﹣，∴sin∠PAB=，sin∠PDC=，∴平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值为，大小为arccos．21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0），椭圆的离心率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，求△F1AB的面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆的焦点，离心率e，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（2）设直线l的方程为x=ty+1，代入2x2+3y2=6得得（2t2+3）y2+4ty﹣4=0，由此利用韦达定理、弦长公式、换元法、函数单调性，结合已知条件能求出△F1PQ面积的最小值．【解答】解：（1）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0），∴2c=2，c=1，又∵e=，∴，∵a2=b2+c2，∴椭圆C的标准方程为：．（2）设直线l的方程为x=ty+1，代入2x2+3y2=6得得（2t2+3）y2+4ty﹣4=0，∴y1+y2=，y1y2=，△F1AB的面积s=2c•|y1﹣y2|=|y1﹣y2|=，令u=∈[1，+∞），则s==，∵y=2u+在[1，+∞）上是增函数，∴当μ=1，即t=0时，△F1AB的面积的最小值是．22．已知函数f（x）=alnx﹣（a+1）x﹣（1）当a＜﹣1时，讨论f（x）的单调性（2）当a=1时，若g（x）=﹣x﹣﹣1，证明：当x＞1时，g（x）的图象恒在f（x）的图象上方（3）证明： ++…+＜（n∈N*，n≥2）【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）由已知得x＞0，f′（x）=﹣（a+1）+，根据a=﹣2，﹣1＜a＜﹣2，a＞﹣2，利用导数性质分类讨论，能求讨论f（x）的单调性．（2）a=1时，f（x）=lnx﹣2x﹣，g（x）=﹣x﹣﹣1，设F（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣x+1，F′（x）=﹣1=，利用导数性质推导出f（x）＜g（x）恒成立，由此能证明g（x）的图象恒在f（x）图象的上方（3）由lnx﹣x+1≤0 （x＞0），设K（x）=lnx﹣x+1，则K′（x）=﹣1=．从而≤1﹣．令x=n2，得，从而，由此能证明++…+＜（n∈N*，n≥2）【解答】解：（1）∵函数f（x）=alnx﹣（a+1）x﹣，∴x＞0，f′（x）=﹣（a+1）+=，∵a＜﹣1，由f′（x）＞0，得[﹣（a+1）x﹣1]（x﹣1）＞0，当a=﹣2时，由f′（x）＞0，得x≠1，增区间为（﹣∞，1]，[1，+∞），无减区间；当﹣1＜a＜﹣2时，由f′（x）＞0得，x＞﹣或x＜1，增区间为（0，1]，[﹣，+∞），减区间为[1，﹣]；当a＞﹣2时，由f′（x）＞0得，x＜﹣或x＞1，增区间为（0，﹣]，[1，+∞），减区间为[﹣，1]．证明：（2）a=1时，f（x）=lnx﹣2x﹣，g（x）=﹣x﹣﹣1，设F（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣x+1，F′（x）=﹣1=，∵当x∈（0，1）时，F′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，F′（x）＜0∴F（x）≤F（1）=0，即f（x）＜g（x）恒成立，∴g（x）的图象恒在f（x）图象的上方．（3）由（2）知lnx﹣x+1≤0 （x＞0），设K（x）=lnx﹣x+1，则K′（x）=﹣1=．当x∈（0，1）时，k′（x）＞0，∴k（x）为单调递增函数；当x∈（1，∞）时，k′（x）＜0，∴k（x）为单调递减函数；∴x=1为k（x）的极大值点，∴k（x）≤k（1）=0．即lnx﹣x+1≤0，∴lnx≤x﹣1．由上知lnx≤x﹣1，又x＞0，∴≤1﹣．∵n∈N，n≥2，令x=n2，得，∴，+∴++…+≤（1﹣）= [n﹣1﹣（）]＜ [n﹣1﹣（）]===（n∈N*，n≥2）∴++…+＜（n∈N*，n≥2）2017年2月28日。

河南豫南九校高三上学期第三次联考数学理

河南省豫南九校2010届高三上学期第三次联考（数学理）命题：信阳市二高数学组校对：王伟第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）．1．已知全集U =A B U 中有m 个元素，()()U U A B U 痧中有n 个元素．若A B I 非空，则A B I的元素个数为（）A ．mnB ．m n +C ．n m -D ．m n - 2．已知{|(1,0)(0,1),},{|(1,1)(1,1),}P a a m m R Q b b n n R ==+∈==+-∈r r r r 是两个向量集合，则P Q =I ( ）A ．｛〔1，1〕｝B ．｛〔-1，1〕｝C ．｛〔1，0〕｝D ．｛〔0，1〕｝3、将函数)32sin(π+=x y 的图像经怎样平移后所得的图像关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,12π中心对称（）． .A 向左移12π .B 向左移6π .C 向右移12π .D 向右移6π 4、若方程11m y 2|m |x 22-=---表示焦点在y 轴上的双曲线，则它的半焦距C 的取值范围是( ) A 、（0，1） B 、（1，2） C 、（1，+∞） D 、与m 有关5．若)(x f 是R 上的减函数，且1)3(,3)0(-==f f ，设},2|1)(||{<-+=t x f x P}1)(|{-<=x f x Q ，若“P x ∈”是“Q x ∈”的充分不必要条件,则实数t 的取值范围是（）A ．0≤tB ．0≥tC ．3-≤tD ．3-≥t6．甲射手击中靶心的概率为１／３，乙射手击中靶心的概率时１／２，甲乙各射击一次，那么５／６等于（）Ａ.甲乙都击中靶心的概率Ｂ.甲乙恰好有一人击中靶心的概率Ｃ.甲乙至少有１人击中靶心的概率Ｄ.甲乙不全击中靶心的概率7．函数x xx xe e y e e --+=-的图像大致为（）8．设M 是ABC ∆内一点，且23,30AB AC BAC ⋅=∠=o u u u r u u u r ，定义()(,,)f M m n p =，其中,,m n p 分别是,,MBC MCA MAB ∆∆∆的面积，若1()(,,)2f M x y =，则14x y +的最小值是( ) A ．8 B ．9 C ．16 D ．189．已知函数(1)f x +为奇函数,函数(1)f x -为偶函数,且(0)2,(4)f f ==则（）A ．2B ．2-C ．4D ．4- 10．过曲线)0(2≠=a a xy 上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积是（）A ．22aB ．22aC ．2aD ．不确定11．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数。

河南省天一大联考(原豫东、豫北十所名校联考)2015届高三上学期阶段性测试(三) 数学(理) Word版含答案

天一大联考（原豫东、豫北十所名校联考） 2014-2015学年高中毕业班阶段性测试（三）数学（理科）本试题卷分第I 卷（选择题）和第H 卷（非选择题）两部分考生作答对，将答案答在答题卡上（答题注意事项见答题卡），在本试题卷上答题无效考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1)已知全集U=R ，集合 {}{}2|02,|0A x x B x x x =≤≤=->，则图中的阴影部分表示的集合为(A)(-∞,1]U(2,+∞) (B) ()(),01,2-∞(C)[1，2) (D)(1，2] (2)已知i 是虚数单位，则复数213(1)ii -++在复平面内所对应的点位于 (A)第四象限 (B)第三象限 (C)第二象限 (D)第一象限(3)已知数列 {}n a 的通项为 22n a n n λ=-,，则“ 0λ<”是“ 1,n n n N a a *+∀∈>”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件(4)已知圆 222:(1)C x y r ++=与抛物线 2:16D y x =的准线交于A ，B 两点，且 8AB =，则圆C 的面积为( A)5 π (B)9π (C)16π (D)25 π(5)已知 ()f x 是定义在R 上的奇函数，且当x>0对， 2cos ,08,()6log ,8,xx f x x x π⎧<≤⎪=⎨⎪>⎩((16))f f -=(A) 12-(B)32- (C)12 (D) 32(6)高三某班上午有4节课，现从6名教师中安排4人各上一节课如果甲、乙两名教师不上第一节课，丙必须上最后一节课，则不同的安排方案种数为( A)36 (B)24 (C)18 (D)12 (7)设 331sin(810),tan(),lg 85a b c π=-==，则它们的大小关系为 (A)a<b<c (B)a<c<b (C)b<c<a (D)c<a<b(8)函数 33()xx f x e-=的大致图象是(9)如图的几何体是长方体 1111ABCD A B C D -的一部分，其中 113,2AB AD DD BB cm ====则该几何体的外接球的表面积为(A 211cm π (B) 222cm π(C)211223cm ( D)21122cm π (10)执行如图所示的程序框图，输出的S 为 (A)1 006 (B)1 007 ( C)1 008 (D)1 009(11)双曲线 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线与直线X+2y +1 =0垂直， 12,F F 为C 的焦点A 为双曲线上一点，若 122F A F A =，则 21cos AF F∠= (A) 32 (B) 54 ( C) 55(D)14(12)设 ()ln f x x =，若函数 ()()g x f x ax =-在区间(0，4)上有三个零点，则实数a 的取值范围是(A) 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ (B) l n 2,2e ⎛⎫⎪⎝⎭ ( C) l n 21,2e ⎛⎫⎪⎝⎭ (D) l n 20,2⎛⎫⎪⎝⎭第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分(13)设 2010sin n xdx π=⎰，则 31nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为_________（用数字作答）（14某天，小赵、小张、小李、小刘四人一起到电影院看电影，他们到达电影院之后发现，当天正在放映A ，B ，C ，D ，E 五部影片于是他们商量一起看其中的一部影片：小赵说：只要不是B 就行；小张说：B ，C ，D ，F 都行；小李说：我喜欢D ，但是只要不是C 就行；小刘说：除了E 之外，其他的都可以据此判断，他们四人可以共同看的影片为____(15)△ABC 中， 2,1,120AB AC BAC ==∠=，若 2BD DC =，则 AD BC ⋅= =______________.(16)已知数列 {}n a 的各项取倒数后按原来顺序构成等差数列，各项都是正数的数列 {}n x满足 11233,39,x x x x =++=． 1211n nn a a an n n x x x ++++==，则 n x =__________.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 (17)（本小题满分10分）已知向量 2(3sin,1),(cos ,cos )444x x xm n ==，记 ()f x m n =⋅ (I)若 3()2f a =，求 2cos()3a π-的值； (Ⅱ)将函数 ()y f x =的图象向右平移 23π个单位得到 ()y g x =的图象，若函数()y g x k =-在 70,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点，求实数k 的取值范围(18)（本小题满分12分）设等差数列 {}n a 的前n 项和为 n S ， 561124,143a a S +==数列 {}n b 的前n 项和为n T 满足112(1)()n a n T a n N λ-*=--∈(I)求数列 {}n a 的通项公式及数列 11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和；(Ⅱ)是否存在非零实数 λ，使得数列 {}n b 为等比数列？并说明理由 (19)（本小题满分12分）已知国家某5A 级大型景区对每日游客数量拥挤等级规定如下表：该景区对3月份的游客量作出如图的统计数据：(I)某人3月份连续2天到该景区游玩，求这2天他遇到的游客拥挤等级均为良的概率； (Ⅱ)从该景区3月份游客人数低于10 000人的天数中随机选取3天，记这3天游客拥挤等级为优的天数为ξ，求ξ的分布列及数学期望(20)（本小题满分12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，AD ⊥DB ，其中三棱锥P- BCD 的三视图如图所示，且3s i n5B DC ∠=(I)求证：AD ⊥PB(Ⅱ)若PA 与平面PCD 所成角的正弦值为 121365，求AD 的长 (21)（本小题满分12分）已知椭圆 2222:1(0)x y E a b a b +=>>)过点 2(1,)2Q -，且离心率 22e =，直线 l 与E 相交于M ，N 两点，l 与x 轴、y 轴分别相交于C ，D 两点，0为坐标原点(I)求椭圆E 的方程：(Ⅱ)判断是否存在直线l ，满足 2,2OC OM OD OD ON OC =+=+？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由：22)（本小题满分12分）设函数 (),ln bxf x ax e x=-为自然对数的底数 (I)若函数f(x)的图象在点 22(,())e f e 处的切线方程为 2340x y e +-=，求实数a ，b 的值；(Ⅱ)当b=l 时，若存在 212,,x x e e ⎡⎤∈⎣⎦，使 12()'()f x f x a ≤+成立，求实数a 的最小值- 11 -。

河南省豫南九校高考数学质检试卷理(含解析)

河南省豫南九校2015届高考数学质检试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合P={x|x2﹣x﹣2≤0}，Q={x|log2（x﹣1）≤1}，则（∁R P）∩Q等于( ) A．[2，3] B．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）C．（2，3] D．（﹣∞，﹣1]∪（3，+∞）2．设复数z1=1﹣i，z2=+i，其中i为虚数单位，则的虚部为( ) A．B．C．D．3．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2，则a2等于( )A．﹣2 B．2 C．1 D．44．“m＞0”是“函数f（x）=m+log2x（x≥1）不存在零点”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件5．在（+）12的展开式中，x项的系数为( )A．C B．C C．C D．C6．已知双曲线kx2﹣y2=1（k＞0）的一条渐近线与直线x﹣2y﹣3=0平行，则双曲线的离心率是( )A．B．C．4D．7．一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为( )A．B．C．2D．8．已知函数f（x）=sin（x+），其中x∈[﹣，a]，若f（x）的值域是 [﹣，1]，则实数a的取值范围是( )A．（0，] B．[，] C．[，] D．[，π]9．如图所示的程序框图中输出的结果为( )A．2 B．﹣2 C．D．﹣10．O是平面上一点，A、B、C是平面上不共线三点，动点P满足：=+λ（+），λ∈[﹣1，2]，已知λ=1时，||=2，则•+•的最大值为( )A．﹣2 B．24 C．48 D．9611．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最小值为( )A．B．C．1 D．12．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=x2，当x＞0时，f（x+1）=f（x）+f（1），若直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有7个不同的公共点，则实数k的取值范围为( )A．（2﹣2，2﹣4）B．（+2，+）C．（2+2，2+4）D．（4，8）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中的横线上．13．设五个数值31，38，34，35，x的平均数是34，则这组数据的方差是__________．14．在平面直角坐标系中，不等式组（a为常数）表示的平面区域的面积是16，那么实数a的值为__________．15．表面积为6π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的高与底面半径的比为__________．16．有n个首项都是1的等差数列，设第m个数列的第k项为a mk（m，k=1，2，3，…，n，n≥3），公差为d m，并且a1n，a2n，a3n，…，a nn成等差数列．若d m=p1d1+p2d2（3≤m≤n，p1，p2是m的多项式），则p1+p2=__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=（1）求角C的大小，（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值．18．已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，且PD⊥底面ABCD，∠DAB=60°，E为AB 的中点．（1）证明：DC⊥平面PDE；（2）若PD=AD，求面DEP与面BCP所成二面角的余弦值．19．从棱长为1的正方体的8个顶点中任取3个点，设随机变量X是以这三点为顶点的三角形的面积．（1）求概率P（X=）；（2）求X的分布列，并求其数学期望E（X）20．已知椭圆M的对称轴为坐标轴，离心率为，且一个焦点坐标为（，0）．（1）求椭圆M的方程；（2）设直线l与椭圆M相交于A、B两点，以线段OA、OB为邻边作平行四边形OAPB，其中点P在椭圆M上，O为坐标原点，求点O到直线l的距离的最小值．21．已知函数f（x）=ln（x+），且f（x）在x=处的切线方程为y=g（x）．（1）求y=g（x）的解析式；（2）证明：当x＞0时，恒有f（x）≥g（x）；（3）证明：若a i＞0，且a i=1，则（a1+）（a2+）…（a n+）≥（）n（1≤i≤n，i，n∈N*）四、请考生在22、23、24三题中任选一题作答．如果多选，则按所做的第一题计分．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，过圆E外一点A作一条直线与圆E交于B，C两点，且，作直线AF与圆E相切于点F，连结EF交BC于点D，已知圆E的半径为2，∠EBC=30°（1）求AF的长；（2）求证：AD=3ED．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=4．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P坐标．【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=|2x﹣1|．（1）若对任意a、b、c∈R（a≠c），都有f（x）≤恒成立，求x的取值范围；（2）解不等式f（x）≤3x．河南省豫南九校2015届高考数学质检试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合P={x|x2﹣x﹣2≤0}，Q={x|log2（x﹣1）≤1}，则（∁R P）∩Q等于( ) A．[2，3] B．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）C．（2，3] D．（﹣∞，﹣1]∪（3，+∞）考点：交、并、补集的混合运算．专题：函数的性质及应用；集合．分析：由一元二次不等式的解法求出集合P，由对数函数的性质求出集合Q，再由补集、交集的运算分别求出∁R P和（∁R P）∩Q．解答：解：由x2﹣x﹣2≤0得，﹣1≤x≤2，则集合P={x|﹣1≤x≤2}，由log2（x﹣1）≤1=得0＜x﹣1≤2，解得1＜x≤3，则Q={x|1＜x≤3}所以∁R P={x|x＜﹣1或x＞2}，且（∁R P）∩Q={x|2＜x≤3}=（2，3]，故选：C．点评：本题考查交、并、补集的混合运算，以及对数不等式的解法，属于基础题．2．设复数z1=1﹣i，z2=+i，其中i为虚数单位，则的虚部为( ) A．B．C．D．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由题意结合复数代数形式的乘除运算化简得答案．解答：解：∵z1=1﹣i，z2=+i，∴=．∴的虚部为．故选：D．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2，则a2等于( )A．﹣2 B．2 C．1 D．4考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：利用S n=2a n﹣2，n分别取1，2，则可求a2的值．解答：解：n=1时，S1=2a1﹣2，∴a1=2，n=2时，S2=2a2﹣2，∴a2=a1+2=4．故选D．点评：本题考查数列递推式，考查学生的计算能力，属于基础题．4．“m＞0”是“函数f（x）=m+log2x（x≥1）不存在零点”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分必要条件的定义集合对数函数的性质分别判断其充分性和必要性，从而得到答案．解答：解：若“m＞0”，则函数f（x）=m+log2x＞0，（x≥1），故函数f（x）不存在零点，是充分条件，若函数f（x）=m+log2x（x≥1）不存在零点，则m＞0，是必要条件，故选：C．点评：本题考查了充分必要条件，考查了对数函数的性质，是一道基础题．5．在（+）12的展开式中，x项的系数为( )A．C B．C C．C D．C考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于1，求出r的值，即可求得x项的系数．解答：解：（+）12的展开式的通项公式为 T r+1=•，令6﹣=1，求得 r=6，故x项的系数为，故选：A．点评：本题主要考查二项式定理的应用，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．6．已知双曲线kx2﹣y2=1（k＞0）的一条渐近线与直线x﹣2y﹣3=0平行，则双曲线的离心率是( )A．B．C．4D．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用已知条件求出双曲线方程中k的值，然后求解离心率即可．解答：解：双曲线kx2﹣y2=1（k＞0）的一条渐近线与直线x﹣2y﹣3=0平行，可得双曲线的渐近线的斜率为：，即，解得k=，双曲线kx2﹣y2=1为：y2=1，得a=2，b=1，c=，∴双曲线的离心率为：．故选：A．点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，考查计算能力．7．一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为( )A．B．C．2D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：此几何体是底面积是S==1的三棱锥，与底面是边长为2的正方形的四棱锥构成的组合体，它们的顶点相同，底面共面，高为，即可得出．解答：解：此几何体是底面积是S==1的三棱锥，与底面是边长为2的正方形的四棱锥构成的组合体，它们的顶点相同，底面共面，高为，∴V==．点评：本题考查了三棱锥与四棱锥的三视图、体积计算公式，属于基础题．8．已知函数f（x）=sin（x+），其中x∈[﹣，a]，若f（x）的值域是[﹣，1]，则实数a的取值范围是( )A．（0，] B．[，] C．[，] D．[，π]考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：先求得x+的取值范围，由x+∈[﹣，]时f（x）的值域是[﹣，1]，可知≤a+≤，可解得实数a的取值范围．解答：解：∵x∈[﹣，a]，∴x+∈[﹣，a+]，∵x+∈[﹣，]时f（x）的值域是[﹣，1]，∴由函数的图象和性质可知≤a+≤，可解得a∈[，π]．故选：D．点评：本题主要考察了正弦函数的图象和性质，由函数的图象和性质得到不等式≤a+≤是解题的关键，属于基本知识的考查．9．如图所示的程序框图中输出的结果为( )A．2 B．﹣2 C．D．﹣考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：执行程序，依次写出每次循环得到的i，a的值，当i=2014时，退出循环，输出a 的值为2．解答：解：执行程序，有i=1，a=2i=2，a=﹣1i=3，a=i=4，a=2i=5，a=﹣1…a的取值周期为3，∵2013=3×671∴i=2013时，a的值与i=3时一样，即a=∴i=2014时，a=2．故选：A．点评：本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查．10．O是平面上一点，A、B、C是平面上不共线三点，动点P满足：=+λ（+），λ∈[﹣1，2]，已知λ=1时，||=2，则•+•的最大值为( ) A．﹣2 B．24 C．48 D．96考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据向量的数量积，以及数量的加减运算，以及二次函数的性质即可求出最大值解答：解：由满足：=+λ（+），得=λ（+），当λ=1时，由||=2，得+=，∴|+|=2，又•+•=•（+）=•（+﹣）=﹣λ（+）•（+﹣2λ（+）），=λ（2λ﹣1）（+）2=4（2λ2﹣λ）=8（λ﹣）2﹣2，∵λ∈[﹣1，2]，∴当λ=2时，有最大值，最大值为24，故选：B．点评：本题考查向量的加减运算，两个向量的数量积，体现了等价转化的数学思想，属于中档题11．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最小值为( )A．B．C．1 D．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先画出图象、做出辅助线，设|AF|=a、|BF|=b，由抛物线定义得2|MN|=a+b，由题意和余弦定理可得|AB|2=（a+b）2﹣ab，再根据基本不等式，求得|AB|2的取值范围，代入化简即可得到答案．解答：解：如右图：过A、B分别作准线的垂线AQ、BP，垂足分别是Q、P，设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF，由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得，|AB|2=a2+b2﹣2abcos120°=a2+b2+ab，配方得|AB|2=（a+b）2﹣ab，因为ab≤，则（a+b）2﹣ab≥（a+b）2﹣=（a+b）2，即|AB|2≥（a+b）2，所以≥=3，则，即所求的最小值是，故选：D．点评：本题考查抛物线的定义、简单几何性质，基本不等式求最值，余弦定理的应用等知识，属于中档题．12．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=x2，当x＞0时，f（x+1）=f（x）+f（1），若直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有7个不同的公共点，则实数k的取值范围为( )A．（2﹣2，2﹣4）B．（+2，+）C．（2+2，2+4）D．（4，8）考点：函数奇偶性的性质；抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：本题通过奇函数特征得到函数图象经过原点，且关于原点对称，利用f（x+1）=f（x）+f（1）得到函数类似周期性特征，从而可以画出函数的草图，再利用两个临界状态的研究，得到k的取值范围．解答：解：∵当0≤x≤1时，f（x）=x2，∴f（1）=1．∵当x＞0时，f（x+1）=f（x）+f（1），∴f（x+1）=f（x）+1，∴当x∈[n，n+1]，n∈N*时，f（x+1）=f（x﹣1）+2=f（x﹣2）+3=…=f（x﹣n）+n+1=（x﹣n）2+n+1，∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴函数图象经过原点，且关于原点对称．∵直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有7个不同的公共点，∴当x＞0时，直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有3个不同的公共点，∴由x＞0时f（x）的图象可知：直线y=kx与函数y=f（x）的图象相切位置在x∈[1，2]时，直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有5个不同的公共点，直线y=kx与函数y=f（x）的图象相切位置在x∈[2，3]时，直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有9个不同的公共点，∴直线y=kx与函数y=f（x）的图象位置情况介于上述两种情况之间．∵当x∈[1，2]时，由得：x2﹣（k+2）x+2=0，令△=0，得：k=．由得：x2﹣（k+4）x+6=0，令△=0，得：k=2．∴k的取值范围为（）．点评：本题考查了函数的奇偶性、周期性、函数图象与性质及其应用，本题有一定的综合性，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中的横线上．13．设五个数值31，38，34，35，x的平均数是34，则这组数据的方差是6．考点：极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：通过平均数求出x，然后利用方差公式求解即可．解答：解：由=34，解得x=32．所以方差为：=6．故答案为：6．点评：本题考查均值与方差的计算，基本知识的考查．14．在平面直角坐标系中，不等式组（a为常数）表示的平面区域的面积是16，那么实数a的值为2．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，由三角形的面积等于16列式求得a的值．解答：解：由约束条件作出可行域如图，图中阴影部分为等腰直角三角形，∴，解得：a=2．故答案为：2．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15．表面积为6π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的高与底面半径的比为2．考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．专题：导数的概念及应用；空间位置关系与距离．分析：设出圆柱的高为h，底面半径为r，由表面积公式，求出r与h的关系，写出圆柱的体积V的解析式，求出V取最大时的h与r的比值．解答：解：设该圆柱的高为h，底面半径为r，∴表面积为2πr2+2πrh=6π，即r2+rh=3，∴h=；∴圆柱的体积为V=πr2h=πr2•=πr（3﹣r2）=3πr﹣πr3，∴V′=3π﹣3πr2，令V′=0，解得r=1，此时V最大；此时h==2，∴==2．故答案为：2．点评：本题考查了圆柱体的表面积与体积公式的应用问题，解题时应利用公式建立函数解析式，利用导数求函数解析式的最值，是综合题．16．有n个首项都是1的等差数列，设第m个数列的第k项为a mk（m，k=1，2，3，…，n，n≥3），公差为d m，并且a1n，a2n，a3n，…，a nn成等差数列．若d m=p1d1+p2d2（3≤m≤n，p1，p2是m的多项式），则p1+p2=1．考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：先根据首项和公差写出数列的通项公式，利用通项公式表示出数列a1n，a2n，a3n，…，a nn中的第项减第2项，第3项减第4项，…，第n项减第n﹣1项，由此数列也为等差数列，得到表示出的差都相等，进而得到d n是首项d1，公差为d2﹣d1的等差数列，根据等差数列的通项公式表示出d m的通项，令p1=2﹣m，p2=m﹣1，得证，求出p1+p2即可．解答：解：由题意知a mn=1+（n﹣1）d m．则a2n﹣a1n=[1+（n﹣1）d2]﹣[1+（n﹣1）d1]=（n﹣1）（d2﹣d1），同理，a3n﹣a2n=（n﹣1）（d3﹣d2），a4n﹣a3n=（n﹣1）（d4﹣d3），…，a nn﹣a（n﹣1）n=（n﹣1）（d n ﹣d n﹣1）．又因为a1n，a2n，a3n，a nn成等差数列，所以a2n﹣a1n=a3n﹣a2n=…=a nn﹣a（n﹣1）n．故d2﹣d1=d3﹣d2=…=d n﹣d n﹣1，即d n是公差为d2﹣d1的等差数列．所以，d m=d1+（m﹣1）（d2﹣d1）=（2﹣m）d1+（m﹣1）d2．令p1=2﹣m，p2=m﹣1，则d m=p1d1+p2d2，此时p1+p2=1．故答案为：1．点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和公式化简求值，考查了利用函数的思想解决实际问题的能力，是一道中档题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=（1）求角C的大小，（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）已知等式左边利用正弦定理化简，右边利用诱导公式变形，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据sinA不为0求出cosC的值，即可确定出C的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，将c与cosC的值代入并利用基本不等式求出ab的最大值，进而确定出三角形ABC面积的最大值，以及此时a与b的值即可．解答：解：（1）∵A+C=π﹣B，即cos（A+C）=﹣cosB，∴由正弦定理化简已知等式得：=，整理得：2sinAcosC+sinBcosC=﹣sinCcosB，即﹣2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，∵sinA≠0，∴cosC=﹣，∵C为三角形内角，∴C=；（Ⅱ）∵c=2，cosC=﹣，∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即4=a2+b2+ab≥2ab+ab=3ab，∴ab≤，（当且仅当a=b时成立），∵S=absinC=ab≤，∴当a=b时，△ABC面积最大为，此时a=b=，则当a=b=时，△ABC的面积最大为．点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，且PD⊥底面ABCD，∠DAB=60°，E为AB 的中点．（1）证明：DC⊥平面PDE；（2）若PD=AD，求面DEP与面BCP所成二面角的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．专题：空间角．分析：（1）根据底面为含有60度的菱形，得△DAB为正三角形，从而得到AB⊥DE，结合PD⊥AB 利用线面垂直判定定理，即可证出DC⊥平面PDE；（2）分别以DE，DC，DP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出面DEP与面BCP的法向量，代入向量夹角公式，可得答案．解答：证明：（1）∵PD⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，∴PD⊥AB连接DB，在菱形ABCD中，∠DAB=60°∴△DAB为等边三角形…又∵E为AB的中点∴AB⊥DE又∵PD∩DE=D∴AB⊥底面PDE…∵AB∥CD∴CD⊥底面PDE…解：（2）如图，分别以DE，DC，DP所在直线为x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系∴…．∴∴…∴∴…点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，直线与平面垂直的判定，熟练掌握线面垂直的判定定理是解答（1）的关键，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键．19．从棱长为1的正方体的8个顶点中任取3个点，设随机变量X是以这三点为顶点的三角形的面积．（1）求概率P（X=）；（2）求X的分布列，并求其数学期望E（X）考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．专题：计算题；概率与统计．分析：（1）符合古典概型，利用概率公式求解；（2）由题意三角形的三边不可能都是正方体的棱，从而分别求概率及面积，从而列分布列及数学期望．解答：解：（1）从正方体的8个顶点中任取3个点，共有=56种情况，∵正方体的棱长为1，故若三点为顶点的角形的面积为，则该三角形的两边为正方体的相邻的棱，故共有8•=24个，故P（X=）==；（2）显然，三角形的三边不可能都是正方体的棱，若恰有一边为棱，则对于每一条棱，只有2种选择，故2×12=24种，面积为；P（X=）==；故都不是棱，则为正三角形，面积为；P（X=）=1﹣﹣=；则分布列是XP（X）E（X）=+×+×=．点评：本题考查了古典概型的判断与概率公式的应用及数学期望的求法，属于基础题．20．已知椭圆M的对称轴为坐标轴，离心率为，且一个焦点坐标为（，0）．（1）求椭圆M的方程；（2）设直线l与椭圆M相交于A、B两点，以线段OA、OB为邻边作平行四边形OAPB，其中点P在椭圆M上，O为坐标原点，求点O到直线l的距离的最小值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由题意可设椭圆的标准方程为：，可得，解得即可得出．（2）当直线l的向量存在时，设直线l的方程为：y=kx+m，与椭圆方程联立化为（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4=0，由△＞0，化为2+4k2﹣m2＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0）．可得x0=x1+x2，y0=y1+y2．代入椭圆方程．利用点到直线的距离公式可得：点O到直线l的距离d==即可得出．当直线l无斜率时时，由对称性可知：点O到直线l的距离为1．即可得出．解答：解：（1）由题意可设椭圆的标准方程为：，∴，解得a=2，b2=2，∴椭圆M的方程为．（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=kx+m，联立，化为（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4=0，△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣4）＞0，化为2+4k2﹣m2＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0）．∴x0=x1+x2=，y0=y1+y2=k（x1+x2）+2m=．∵点P在椭圆M上，∴，∴+=1，化为2m2=1+2k2，满足△＞0．又点O到直线l的距离d====．当且仅当k=0时取等号．当直线l无斜率时时，由对称性可知：点P一定在x轴上，从而点P的坐标为（±2，0），直线l的方程为x=±1，∴点O到直线l的距离为1．∴点O到直线l的距离的最小值为．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、向量的平行四边形法则、二次函数的单调性，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．已知函数f（x）=ln（x+），且f（x）在x=处的切线方程为y=g（x）．（1）求y=g（x）的解析式；（2）证明：当x＞0时，恒有f（x）≥g（x）；（3）证明：若a i＞0，且a i=1，则（a1+）（a2+）…（a n+）≥（）n（1≤i≤n，i，n∈N*）考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用；点列、递归数列与数学归纳法；不等式的解法及应用．分析：（1）求出原函数的导函数，得到切线的斜率k=，再求出f（）的值，代入直线方程的点斜式得答案；（2）令t（x）=f（x）﹣g（x），求导后得到导函数的零点，进一步得到函数的极小值点，求得说明；（3）由（1）知，求出f（x）在处的切线方程，然后证明，得到，进一步得到=，则结论得证．解答：（1）解：由f（x）=ln（x+），得，∴切线的斜率k=．又f（）=ln，∴f（x）在x=处的切线方程为y﹣，即y=g（x）=；（2）证明：令t（x）=f（x）﹣g（x）=，∵．∴当0＜x＜时，t′（x）0，∴．故t（x）≥0，即；（3）证明：由（1）知，，故f（x）在处的切线方程为，即．先证，令h（x）=（x＞0），∵==．∴0＜x＜时h′（x）0．∴．∴，∵a i＞0，∴．∴=．∴（a1+）（a2+）…（a n+）≥（）n ．点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，对于（3）的证明，关键在于对的证明，体现了数学转化思想方法，本题对于学生的计算能力要求过高，是难度较大的题目．四、请考生在22、23、24三题中任选一题作答．如果多选，则按所做的第一题计分．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，过圆E外一点A作一条直线与圆E交于B，C两点，且，作直线AF与圆E相切于点F，连结EF交BC于点D，已知圆E的半径为2，∠EBC=30°（1）求AF的长；（2）求证：AD=3ED．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：（1）延长BE交圆E于点M，连结CM，则∠BCM=90°，由已知条件求出AB，AC，再由切割线定理能求出AF．（2）过E作EH⊥BC于H，得到EDH∽△ADF，由此入手能够证明AD=3ED．解答：（1）解：延长BE交圆E于点M，连结CM，则∠BCM=90°，∵BM=2BE=4，∠EBC=30°，∴，又∵，∴，∴，根据切割线定理得，即AF=3（2）证明：过E作EH⊥BC于H，∵∠EOH=∠ADF，∠EHD=∠AFD，∴△EDH∽△ADF，∴，又由题意知CH=，EB=2，∴EH=1，∴，∴AD=3ED．点评：本题考查与圆有关的线段的求法，考查两条线段间数量关系的证明，是中档题，解题时要注意切割线定理的合理运用．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=4．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P坐标．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；坐标系和参数方程．分析：（1）由条件利用同角三角函数的基本关系把参数方程化为直角坐标方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ、y=ρsinθ，把极坐标方程化为直角坐标方程．（2）设P（cosα，sinα），则P到直线的距离为d，运用点到直线的距离公式和两角和的正弦公式以及正弦函数的值域即可得到最小值．解答：解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），则由sin2α+cos2α=1化为+y2=1，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=4，即有ρsinθcos+ρcosθsin=4，即为直线x+y﹣8=0；（2）设P（cosα，sinα），则P到直线的距离为d，则d==，则当sin（）=1，此时α=2k，k为整数，P的坐标为（，），距离的最小值为=3．点评：本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，正弦函数的值域，属中档题．【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=|2x﹣1|．（1）若对任意a、b、c∈R（a≠c），都有f（x）≤恒成立，求x的取值范围；（2）解不等式f（x）≤3x．考点：绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）根据|a﹣b|+|b﹣c|≥|a﹣c|，可得≥1，再根据f（x）≤恒成立，可得f（x）≤1，即|2x﹣1|≤1，由此求得x的范围．（2）不等式即|2x﹣1|≤3x，可得，由此求得不等式的解集．解答：解：（1）∵|a﹣b|+|b﹣c|≥|a﹣b+（b﹣c）|=|a﹣c|，故有≥1，再根据f（x）≤恒成立，可得f（x）≤1，即|2x﹣1|≤1，∴﹣1≤2x﹣1≤1，求得0≤x≤1．（2）不等式f（x）≤3x，即|2x﹣1|≤3x，∴，求得x≥，即不等式的解集为{x|x≥}．点评：本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题．。

数学---河南省中原名校(即豫南九校)2018届高三(上)第三次质检试卷(文)(解析版)

河南省中原名校（即豫南九校）2018届高三（上）第三次质检数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合M={x|（x﹣1）2＜9}，N={﹣2，0，1，2，4}，则M∩N=（）A．{0，1，2} B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣1，0，2，3} D．{0，1，2，3}2．（5分）已知点A（0，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则在方向上的投影为（）A．B．C．﹣D．﹣3．（5分）下列各函数中，最小值为2的是（）A．y=x+B．y=sin x+，x∈（0，）C．y=D．y=x+﹣3，（x＞1）4．（5分）把边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起，连接AC，得到三棱锥C﹣ABD，其正视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形（如图所示），则其侧视图的面积为（）A．B．C．1 D．5．（5分）将函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为（）A．B．C．0 D．6．（5分）已知函数，则函数y=f（x）的大致图象为（）A．B．C．D．7．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若B=2A，a=1，b=，则边c=（）A．1 B．2 C．D．2或18．（5分）在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a5=3，则log3a1+log3a2+…+log3a9等于（）A．9 B．12 C．8 D．2+log359．（5分）已知点P是椭圆上的一点，F1，F2是焦点，若∠F1PF2取最大值时，则△PF1F2的面积是（）A．B．12 C．D．10．（5分）设函数f（x）满足（n∈N*）且f（1）=2，则f（40）为（）A．95 B．97 C．105 D．39211．（5分）已知双曲线的离心率为3，若抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为（）A．B．x2=4yC．x2=12y D．x2=24y12．（5分）若函数f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f（x1）=x1，则关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2﹣2x，则不等式f（x）＞x的解集用区间表示为．14．（5分）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若（λ，μ∈R），则=．15．（5分）已知△P AD所在平面与矩形ABCD所在平面互相垂直，P A=PD=AB=4，∠APD=90°，若点P，A，B，C，D都在同一球面上，则此球的表面积为．16．（5分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），若椭圆上存在一点P使，则该椭圆的离心率的取值范围为．三、解答题（共7小题，满分70分）17．（12分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=4S2，a2n=2a n﹣1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面P AD⊥底面ABCD，P A⊥AD．E和F分别是CD和PC的中点，求证：（Ⅰ）P A⊥底面ABCD；（Ⅱ）BE∥平面P AD；（Ⅲ）平面BEF⊥平面PCD．19．（12分）2014年“双节”期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/h）分成六段：[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90）后得到如图的频率分布直方图．（1）求这40辆小型车辆车速的众数、平均数和中位数的估计值；（2）若从车速在[60，70）的车辆中任抽取2辆，求车速在[65，70）的车辆恰有一辆的概率．20．（12分）已知函数f（x）=﹣+x（x＞0，a＜0）（1）若函数f（x）在定义域内单调递增，求实数a的取值范围（2）若a=﹣，且关于x的方程f′（x）=﹣ln x﹣x+1+b在[1，3]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围．21．（12分）如图，已知椭圆C：，其左右焦点为F1（﹣1，0）及F2（1，0），过点F1的直线交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点，且|AF1|、|F1F2|、|AF2|构成等差数列．（1）求椭圆C的方程；（2）记△GF1D的面积为S1，△OED（O为原点）的面积为S2．试问：是否存在直线AB，使得S1=S2？说明理由．【选修4-4：坐标系与参数方程】22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）设点M（2，﹣1），曲线C1与曲线C2交于A，B，求|MA|•|MB|的值．【选修4-5：不等式选讲】23．已知函数f（x）=|x﹣a|（1）若f（x）≤m的解集为[﹣1，5]，求实数a，m的值（2）当a=2且0≤t＜2时，解关于x的不等式f（x）+t≥f（x+2）【参考答案】一、选择题1．A【解析】∵集合M={x|（x﹣1）2＜9}={x|﹣2＜x＜4}，N={﹣2，0，1，2，4}，∴M∩N={0，1，2}．故选：A．2．B【解析】根据题意，点A（0，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则=（1，1），=（5，5），则有•=1×5+1×5=10，||==5，则在方向上的投影==；故选：B．3．D【解析】A．x＜0时无最小值；B．∵x∈（0，），∴sin x∈（0，1），∴y=sin x+=2，因此最小值不是2；C．=2，因此最小值不是2；D．∵x＞1，∴x﹣1＞0．∴y=x﹣1+﹣2﹣2=2，当且仅当x=3时取等号，因此最小值是2．故选：D．4．C【解析】如图：∵正视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，∴平面BCD⊥平面ABD，又O为BD的中点，∴CO⊥平面ABD，OA⊥平面BCD，∴侧视图为直角三角形，且三角形的两直角边长为．∴侧视图的面积S=××=1．故选：C．5．B【解析】将函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，可得y=sin（2x+φ+）的图象，再根据得到一个偶函数的图象，∴φ+=kπ+，k∈Z，故可取φ=，故选：B．6．B【解析】函数y=f（x）是一个非奇非偶函数，图象不关于原点对称，故排除选项A、C，又当x=﹣1时，函数值等于0，故排除D，故选B．7．B【解析】∵B=2A，a=1，b=，∴由正弦定理得：，∴cos A=，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc cos A，即1=3+c2﹣3c，解得：c=2或c=1（经检验不合题意，舍去），则c=2．故选：B．8．A【解析】∵在各项均为正数的等比数列{a n}中，且a5=3，∴log3a1+log3a2+…+log3a9=log3（a1×a2×…×a9）==．故选：A．9．B【解析】由椭圆，得a=5，b=4，∴|PF1|+|PF2|=10，则，当且仅当|PF1|=|PF2|=5时上式取“=”．∴cos∠F1PF2=====≥．∴当∠F1PF2取最大值时，sin∠F1PF2=．∴△PF1F2的面积是S==．故选：B．10．D【解析】∵函数f（x）满足（n∈N*）且f（1）=2，∴，∴f（40）=f（40）﹣f（39）+f（39）﹣f（38）+f（38）﹣f（37）+…+f（2）﹣f（1）+f（1）=…++2=×+2=392．∴f（40）为392．故选：D．11．D【解析】由题意可得双曲线的渐近线为y=±x，化为一般式可得bx±ay=0，离心率e===3，解得：b=2a，c=3a，又抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点为（0，），故焦点到bx±ay=0的距离d===2，∴p==12，∴抛物线C2的方程为：x2=24y．故选：D．12．A【解析】f′（x）=3x2+2ax+b，x1，x2是方程3x2+2ax+b=0的两根，由3（f（x））2+2af（x）+b=0，得x=x1，或x=x2，即3（f（x））2+2af（x）+b=0的根为f（x）=x1或f（x2）=x2的解．如图所示，由图象可知f（x）=x1有2个解，f（x）=x2有1个解，因此3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数为3．故选A．二、填空题13．（﹣3，0）∪（3，+∞）【解析】设x＜0，则﹣x＞0，由题意可得f（﹣x）=﹣f（x）=（﹣x）2﹣2（﹣x）=x2+2x，∴f（x）=﹣x2﹣2x，故当x＜0时，f（x）=﹣x2﹣2x．由不等式f（x）＞x，可得，或，求得x＞3，或﹣3＜x＜0，故答案为：（﹣3，0）∪（3，+∞）．14．4【解析】以向量、的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系可得=（﹣1，1），=（6，2），=（﹣1，﹣3）∵∴，解之得λ=﹣2且μ=﹣因此，==4故答案为：415．48π【解析】设球心为O，如图．由P A=PD=AB=4，∠APD=90°，可求得AD=4．在矩形ABCD中，可求得对角线BD=．由于点P、A、B、C、D都在同一球面上，取AD的中点Q，则PQ⊥AD，△P AD所在平面与矩形ABCD所在平面互相垂直，PQ⊥矩形ABCD，△PQO是直角三角形．PO=OD=OB，∴球的半径R=BD=2．则此球的表面积等于=4πR2=48π．故答案为：48π．16．【解析】在△PF1F2中，由正弦定理得：则由已知得：，即：a|PF1|=c|PF2|设点（x0，y0）由焦点半径公式，得：|PF1|=a+ex0，|PF2|=a﹣ex0则a（a+ex0）=c（a﹣ex0）解得：由椭圆的几何性质知：x0＞﹣a则，整理得e2+2e﹣1＞0，解得：或，又e∈（0，1），故椭圆的离心率：，故答案为：．三、解答题17．解：（1）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由S5=4S2，a2n=2a n﹣1，得，解得a1=2，d=1．∴a n=2+（n﹣1）×1=n+1；（2）∵=，∴T n==．18．解：（Ⅰ）∵P A⊥AD，平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD=AD，由平面和平面垂直的性质定理可得P A⊥平面ABCD．（Ⅱ）∵AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，E和F分别是CD和PC的中点，故四边形ABED 为平行四边形，故有BE∥AD．又AD⊂平面P AD，BE不在平面P AD内，故有BE∥平面P AD．（Ⅲ）平行四边形ABED中，由AB⊥AD可得，ABED为矩形，故有BE⊥CD①．由P A⊥平面ABCD，可得P A⊥AB，再由AB⊥AD可得AB⊥平面P AD，∴CD⊥平面P AD，故有CD⊥PD．再由E、F分别为CD和PC的中点，可得EF∥PD，∴CD⊥EF②．而EF和BE是平面BEF内的两条相交直线，故有CD⊥平面BEF．由于CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD．19．解：（1）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于77.5，设图中虚线所对应的车速为x，则中位数的估计值为：0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×（x﹣75）=0.5，解得x=77.5，即中位数的估计值为77.5，平均数的估计值为：5×（62.5×0.01+67.5×0.02+72.5×0.04+77.5×0.06+82.5×0.05+87.5×0.02）=77．（2）从图中可知，车速在[60，65）的车辆数为：m1=0.01×5×40=2（辆），车速在[65，70）的车辆数为：m2=0.02×5×40=4（辆）设车速在[60，65）的车辆设为a，b，车速在[65，70）的车辆设为c，d，e，f，则所有基本事件有：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f），共15种其中车速在[65，70）的车辆恰有一辆的事件有：（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f）共8种∴车速在[65，70）的车辆恰有一辆的概率为．20．解：（1）f′（x）=﹣ax2﹣2x+1 （x＞0，a＜0），要使函数f（x）在定义域内单调递增，则f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，即a，（x＞0）g（x）=≥﹣1∴a≥﹣1则求实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1]（2）a=﹣时，关于x的方程f′（x）=﹣ln x﹣x+1+b在[1，3]上恰有两个不同的实根，⇔=﹣ln x﹣在[1，3]上恰有两个不同的实根，⇒b=ln x+﹣在[1，3]上恰有两个不同的实根，令h（x）=ln x+﹣，x∈[1，3]h′（x）===∴h（x）在（1，2）递减，在（2，3）递增h（1）=﹣，h（2）=ln2﹣2，h（3）=ln3﹣，h（1）＜h（3）∴b的取值范围是21．解：（1）因为|AF1|、|F1F2|、|AF2|构成等差数列，所以2a=|AF1|+|AF2|=2|F1F2|=4，所以a=2．又因为c=1，所以b2=3，所以椭圆C的方程为．（2）假设存在直线AB，使得S1=S2，显然直线AB不能与x，y轴垂直．设AB方程为y=k（x+1）将其代入，整理得（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12=0设A（x1，y1），B（x2，y2），所以．故点G的横坐标为．所以G（，）．因为DG⊥AB，所以×k=﹣1，解得x D=，即D（，0）∵Rt△GDF1和∵Rt△ODE1相似，∴若S1=S2，则|GD|=|OD|所以，整理得8k2+9=0．因为此方程无解，所以不存在直线AB，使得S1=S2．22．解：（1）曲线C1的参数方程为（t为参数），消去参数t化为x+y=1；由曲线C2的极坐标方程为，平方化为ρ2+3ρ2sin2θ=4，∴x2+4y2=4，化为直角坐标方程：=1．（2）将代入C2直角坐标方程得，∴，∴MA|•|MB|=．23．解：（1）∵f（x）≤m，∴|x﹣a|≤m，即a﹣m≤x≤a+m，∵f（x）≤m的解集为{x|﹣1≤x≤5}，∴，解得a=2，m=3．（2）当a=2时，函数f（x）=|x﹣2|，则不等式f（x）+t≥f（x+2）等价为|x﹣2|+t≥|x|．当x≥2时，x﹣2+t≥x，即t≥2与条件0≤t＜2矛盾．当0≤x＜2时，2﹣x+t≥x，即0≤x≤，成立．当x＜0时，2﹣x+t≥﹣x，即t≥﹣2恒成立．综上不等式的解集为（﹣∞，]．。

河南省豫南九校2015届高三上期第二次联考数学(理) 扫描

河南省豫南九校2015届高三上期第二次联考豫南九校2014-2015学年上期第二次联考高三（理科）数学参考答案一、选择题：1-5 C A B D D 6-1O C D A B A 11-12 D A 二、填空题： 13、7314、 2 15、 6π 16、 2 三、解答题：17、解：（1）当1n =时，()11111,S a S a a a =-+∴=………………………1分当2n ≥时，()1n n n S a S a =-+ ①()1111n n n S a S a ---=-+ ②①-②得, 1n n a a a -∴=⨯ 即1nn a a a -= 故数列{}n a 是首项为1a a =，公比为a 的等比数列，1n n n a a a a -∴=⨯=…………………………………………………………………3分故2323,a a a a ==由3a 是16a 与2a 的等差中项可得31226a a a =+，即3226a a a =+ 因为0a ≠，所以2260a a --=，即()()2320a a +-= 解得2a =或32a =-（舍去） 2a ∴=故2n n a =……………………………………………………………………………6分（2）把2n n a =代入2log n an n b a =,得222log 2nnnn b n ==⋅231222322n n T n ∴=⨯+⨯+⨯++⋅ ①234121222322n n T n +∴=⨯+⨯+⨯++⋅ ②…………………………………9分①-②得()23111121222222222212n n n n n n n T n n n ++++--=++++-⋅=-⋅=--⋅-.()111222122n n n n T n n +++∴=-++⋅=-⋅+………………………………………12分xzA 1C 1B 118、解：(Ⅰ)由频率分布直方图得,获得参赛资格的人数为500×(0.0050＋0.0043＋0.0032)×20＝125人.……………2分设500名学生的平均成绩为x ,则x ＝(30＋502×0.0065＋50＋702×0.0140＋70＋902×0.0170＋90＋1102×0.0050＋110＋1302×0.0043＋130＋1502×0.0032)×20＝78.48分. …………………………………………………………………………..…………6分（II ）设学生甲答对每道题的概率为()P A ,则21(1())9P A -=,∴()P A ＝23. 学生甲答题个数ξ的可能值为3,4,5,则(3)P ξ==,31313233=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛(4)P ξ=＝,271031323231313313=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛C C (5)P ξ=＝.27832312224=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛C ……………..………10分所以ξ的分布列为E ξ＝13×3＋1027×4＋827×5＝10727.…………………………..……………….. 12分 19、解：（1）平面11A ACC ⊥平面ABC ,,AC BC ⊥BC ∴⊥平面11A ACC ……………………………………………………………………2分而1A A ⊂平面11A ACC ，1A A BC ∴⊥……………………………………………………3分 1111,//A B C C A A C C ⊥11A A A B ∴⊥……………………………………………………………………………4分而1BC A B B =，1A A ∴⊥平面1A BC ………………………………………………………………………5分而1AC ⊂平面1A BC ,11A A AC ∴⊥…………………………………………………6分（2）建立如图所示直角坐标系C xyz -，不妨设2AC BC ==，因为11A A AC =则()()()()12,0,0,0,2,0,1,0,1,0,0,0A B A C()()10,2,0,1,0,1,CB CA ==()112,2,0,A B AB ==-…………………………………8分设()1,,n a b c =为面1BAC 的一个法向量则111020000n CB b b a c a c n CA ⎧⋅===⎧⎧⎪∴∴⎨⎨⎨+==-⋅=⎩⎩⎪⎩取()11,0,1n =-…………9分设()2,,n x y z =为面11A B C 的一个法向量则21211002200n CA x z x y z x y n A B ⎧⋅=+=⎧⎪∴∴==-⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩取()21,1,1n =-…………………………………………………………………………10分1212126cos ,n n n n n n ⋅∴〈〉==⋅ 故二面角11B AC B --………………………………………………12分20.解：（1）设M （,x y ）由题意，M 到定点F 的距离等于到定直线x =－1的距离，所以M 的轨迹是以F 为焦点的抛物线，12p= 2p ∴= ∴曲线H 的方程为24y x =……3分（2）设直线AB ：11221,(,),(,),(1,)x my A x y B x y C n =+-由得2440y my --=24=-2121242,1x x m x x +=+=………………………………………………5分则M 的坐标为（1212,22x x y y ++）即M （221,2m m +）………………6分由CM AB k k ⋅=221122m n m m-⋅=-+得324n m m =+，则C （－1，324m m +）…7分2||2(CM m ==+212|||4(1)AB y y m =-=+…………………………9分由|||CM AB m ==得 ……………………11分 ∴存在这样的点C （－1，±ABC ∆为正三角形…………12分21. 解：（1）由1(21)2()()2ln 1a x f x f x x x ++=++ ……………① 得1(21)112()+()2ln 11a x f f x x x x+=++……………………… ②①×2－②得，()2ln 1axf x x x =++ 8a =-时，/2828()2ln ,()1(1)x f x x f x x x x =-=-++ =222(1)0(1)x x x -≥+于是f(x)在定义域上为单调增函数……………5分（2）2/2222(4)2()(1)(1)a x a x f x x x x x +++=+=++由题设知/()0f x =有两个不相等的正实数根12,x x ，则 1242a x x ++=-＞0 121x x =＞0 a ⇒＜－8 ……………6分 2(4)16a ∆=+-＞0 而12121212121212()()2ln 2ln 2ln()()1111ax ax x xf x f x x x x x a x x x x +=+++=++++++ =121212121222ln()1x x x x x x a a x x x x +++⋅=+++…………………8分又()2ln (1)f x xx a x -⋅+=，故欲证原不等式等价于证明不等式 ()2ln ()2ln ()2()2(1)(1)2f x x f x x f x f x x x x x x x--+--+>≥-=也就是证明：对任意x ＞0, ln 1x x ≤-…………………………10分令()ln 1(g x x x x =-+＞0），由于/1(1)0()1g g x x==-且当0＜x ＜1时/()g x ＞0，g(x)在（0，1）上为增函数()(1)0g x g ∴≤= ()0g x ∴≤ 故()()()1222f x f x f x x++>-成立 ………………………………………………………………………12分22. 证明：（1）因为AB 是O 的直径，所以90ACB ∠=,即AC BC ⊥, 因为D 是BC 的中点，由垂径定理得OD BC ⊥,因为OD ∥AC, 又因为点O 是AB 的中点，所以点E 为BC 的中点，所以OE=12AC ……………5分(2) 连接CD ，因为PC 是O 的切线，所以PCD PAC ∠=∠,又P ∠是公共角，所以PCD ∆∽PAC ∆, 得PC PD CD PA PC AC ==,22PD PC PD CD PA PA PC AC⋅==⋅ 又D 是BC 的中点，且OD BC ⊥，所以CD=BD ，因此22PD BD PA AC =……………10分 23、解（1）曲线C的方程可化为cos sin y θθ==⎩(θ为参数)，通过先平方再求和得2213x y +=直线l 的极坐标方程展开得cos sin 4ρθρθ+=，∴直线的直角坐标方程为40x y +-=…………………………………………………4分（2）设与直线l 平行的直线l '的方程为0x y m ++=联立方程得223300x y x y m ⎧+-=⎨++=⎩，消元得224230y my m ++-=令()2244430m m -⨯-=，得2m =或2m =-，当2m =时曲线C 上的点到直线l 的距离最大，此时，直线l '与曲线C 的切点为31,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭…………………………………………7分而直线l 与直线l '∴曲线C 上的点到直线l 的最大距离为31,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭.……10分24、解：（1）由已知得()2max326t t m m +--≤-…………………………………1分因为323(2)5t t t t +--≤+--=（当且仅当2t ≥时取等号）……………………………………………………………3分 265m m ∴-≥解得15m ≤≤所以，实数m 的取值范围是[]1,5……………………………………………………5分（2）由（1）可知，5λ=3455x y z ∴++=由柯西不等式，可得()()()222222234534525xy z x y z ++++≥++=…………………………………7分22212x y z ∴++≥当且仅当345x y z ==，即321,,1052x y z ===时等号成立故222x y z ++的最小值为12……………………………………………………………10分。

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河南豫南九校2015届上期高三第三次联考数学（理）试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。

1．集合A ＝｛x ∈R ｜2x ＝x}，B ＝｛x ∈R ｜3x ＝x}，则集合A ∩B 的子集个数为A ．1B ．2C ．4D ．8 2．已知等比数列{n a }中，a 3，a 7是一元二次方程2x ＋7x ＋9＝0的两根则a 5＝ A ．3 B ．－3 C ．±3 D ．93．设随机变量ξ服从正态分布N （μ，2δ），（δ＞0）若p （ξ＜0）＋p （ξ＜1）＝1，则μ的值A ．－1B ．1C ．－12D ．124．若复数a ＝3＋2i ，b ＝4＋mi ，要使复数ab为纯虚数，则实数m 的值为 A ．－6 B ．6 C ．83 D ．－835．已知数列{n a }，a 1＝1，1n a ＋＝n a ＋n ，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是A ．n ≤8?B ．n ≤9?C ．n ≤10?D ．n ≤11? 6．曲线y ＝2x与直线y ＝x －1及x ＝4所围成的封闭图形的面积为 A ．2－ln2B ．4－2ln2C ．4－ln2D ．2ln27．已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是A ．23cm 3B 3C ．43cm 3 D ．83cm 3 8．已知x ，y 满足约束条件30101x y x y ⎧⎪⎨⎪⎩＋3－≤－y ＋≥≥－，则 z ＝2x －y 的最大值为A ．－3B ．1C ．13D ．159．已知sin10°＝k ，则sin110°＝A ．1－2kB ．22k －1C ．1－22kD ．1＋22k10．过抛物线2y ＝4x 的焦点F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，l 1交C 于A 、B ，l 2交C 于M 、N ．则1AB＋1MN ＝ A．B ．12C D ．1411．二次函数y ＝2x －2x ＋2与y ＝2x －＋ax ＋b （a ＞0，b ＞0）在它们的一个交点处的切线互相垂直，则1a ＋4b的最小值为 A ．245 B ．4 C ．185 D ．16512．定义[x]表示不超过x 的最大整数，若f （x ）＝cos （x －[x]），则下列结论中：①y ＝f （x ）为偶函数；②y ＝f （x ）为周期函数，周期为2π； ③y ＝f （x ）的最小值为cos1，无最大值： ④y ＝f （x ）无最小值，最大值为1．正确的命题的个数为A ．0个B ．1个C ．3个D ．4个第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分．共20分 13．5()x a ＋的展开式中3x 的系数是10，则实数a 的值为 _______________（用数字作答）14．如图，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，AP ＝3，则AP uu u r ·AC uuur ＝______________．15．已知△ABC 的三个顶点在以O 为球心的球面上，且∠B ＝90°, BC ＝1，AC ＝3，已知三棱锥O －ABC的体积为O 的表面积为_______________． 16．正实数列{n a }满足n a ＝12n n a ma －－，n ＝3，4，…其中m 为非零实数，若a 1·a 2014＝4，则 m ＝___________.三、解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）已知m r ＝（asinx ，cosx ），n r ＝（sinx ，bcosx ），其中a ，b ，x ∈R ，若f （x ）＝m r ·n r满足f （6π）＝2，且f （x ＋3π）＝f （3π－x ）．（1）求a ，b 的值：（2）若关于x 的方程f （x ）＋2log k ＝0在区间[0，2π]上总有实数解，求实数k 的取值范围．18．（本小题满分12分）市面上有三种新型产品，经调查发现第一种产品受欢迎的概率为45，第二、三种产品受欢迎的概率分别为p ，q （p ＞q ），且不同种产品是否受欢迎相互独立．记ξ为三种新型产品受欢迎的数量，其分布列为（1）求至少有一种产品受欢迎的概率；（2）求p ，q 的值；（3）求数学期望E ξ． 19．（本小题满分12分）如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ， △ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ． F 为CD 的中点．（1）求证：AF ∥平面BCE ；（2）求证：平面BCE ⊥平面CDE ：（3）求直线BF 和平面BCE 所成角的正弦值．20．（本小题满分12分）如图已知椭圆2221x a b2y ＋＝（a ＞b ＞0）的离心率A （0，1）．（1）求椭圆的方程；（2）过点A 作两条互相垂直的直线分别交椭圆于M ，N 两点．求证：直线恒过定点P ．并求点P 的坐标．21．（本小题满分12分）已知a ∈R ，函数f （x ）＝ax＋lnx －1，g （x ）＝（lnx －l ）x e ＋x （其中e 为自然对数的底数）．（1）判断函数f （x ）在（0，e ]上的单调性；（2）是否存在实数x 0∈（0，＋∞），使曲线y ＝g （x ）在点x ＝x 0处的切线与y 轴垂直?若存在，求出x 0的值；若不存在，请说明理由．【选作题】请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号。

22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图AB 是圆O 的直径，以B 为圆心的圆B 与圆O 的一个交点为P ，过点A 作直线交圆O 于点Q ，交圆B 于点M 、N ．（1）求证：QM ＝QN ；（2）设圆O 的半径为2，圆B 的半径为1，当AM ＝103时，求MN 的长．23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：2sin ρθ＝2acos θ（a ＞0），过点P （－2，－4）的直线l的参数方程为：x ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝－2y ＝－4 （t 为参数），直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点．（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）若｜PM ｜，｜MN ｜，｜PN ｜成等比数列，求a 的值．24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设f （x ）＝2｜x ｜－｜x ＋3｜．（1）求不等式f （x ）≤7的解集S ；（2）若关于x 的不等式f （x ）＋｜2t －3｜≤0有解，求参数t 的取值范围．理数答案及提示1-5 CBDAB 6-10BCCCD 11-12CB 13、1± 14、18 15、16π 16、1210.提示：法一：可利用过焦点的弦长θ2sin 2pAB =进行计算. 法二：可通过特殊位置来考虑：将AB 看做通径，则+∞→MN ，此时01→MN412111=→+∴p MN AB 16.提示：依条件可知}{n a 是一个T=6的周期数列. 17、解（1）n m x f ⋅=)(=,2sin 2)2cos 1(2x bx a +- 由2)6(=πf 得83=+b a ……………………………………(3分)又)32()0(πf f =得a b 3= …………………………………...(5分) 则有32,2==b a ………………………………（6分）（2）由（1）得1)62sin(2)(+-=πx x f∴∈],2,0[πx ]3,0[)(],2,1[)62sin(2∈∴-∈-x f x π…………(9分)∴]0,3[)(log 2-∈-=x f k]1,81[∈∴k ………………………………..（12分）18．解：设事件i A 表示“第i 种产品受欢迎”，i=1,2,3; 由题意得q A P P A p A p ===)(,)(,54)(321 （1）设所求事件为B ，则4543)0(1)(==-=ξp B p ………..(3分) （2）由题意得：452)1)(1(51)()0(321=--===q p A A A p p ξ45854)()3(321====pq A A A p p ξ整理得：31,32.,1,92==∴>=+=q p q p q p pq ……(8分) （3）由题意知：)1(==ξp a =)(321A A A p +)(321A A A p +)(321A A A p=4513………………………(10分) 4522)3()1()0(1)2(==-=-=-===ξξξξp p p p b1527=∴ξE ……………………….(12分)19.（1）证明:取CE 的中点G,连FG 、BG. 可证得四边形GFAB 为平行四边形，则AF//BG即可证得AF//平面BCE. …………………………..(4分)（2）依题意证得BG ⊥平面CDE ，即可证得平面BCE ⊥平面CDE …….(8分) （1）设AD=DE=2AB=2,建立如图所示的坐标系A —xyz, 则A(0,0,0),C(2,0,0),B(0,0,1),D(1,3,0),E(1,3,2),F （)0,23,23 设平面BCE 的法向量为),,,(zy x =由0,0=⋅=⋅可取)2,3,1(-=，)1,23,23(-=BF设BF 和平面BCE 所成的角为θ，则： sin θ42……………………………(12分)20.（1）由题意得：a=2, b=1所以椭圆C 的方程为：1422=+y x ………………(3分) （2）法1：直线MN 恒过定点P （0，)53-，下面给予证明：设直线1l 的方程为,1+=kx y 联立椭圆方程，消去y 得;08)14(22=++kx x k ,解得1441,148222+-=+-=k k y k k x M M同理可得：44,48222+-=+=k k y k k x N N ……………………(8分) k k x y k M M MP 51532-=+=，kk x y k N N NP51532-=+=NP MP k k =∴.故直线MN 恒过定点P （０，)53- ……………………(12分) 法2：同法（1）求得M 、N 两点坐标后，可得直线ＭＮ的方程为：53512--=x k k y∴直线ＭＮ恒过定点Ｐ（０，)53- ．．．．．．．．．．．．．．．．．．（12分）21.解: (1),1ln )(-+=x xax f ),0(+∞∈x 2)(xax x f -='∴, ①若)(,0x f a ≤在(0，e)上单调递增；②)(,0x f e a <<在（0，a ）上单调递减，在(a,e) 上单调递增; ③若,e a ≥)(x f 在(0，e)上单调递减. ……………………..(5分) (2)因为x e x x g x +-=)1(ln )(，),0(+∞∈x 所以1)1ln 1()(+-+='x e x xx g 由（1）易知，当a=1时，1ln 1)(-+=x xx f 在),0(+∞∈x 的最小值为： 0)1()(min ==f x f即,01ln 1),,0(000≥-++∞∈x x x 又011)1ln 1()(,000000>≥+-+='∴>x x e x x x g e曲线)(x g y =在点0x x =处的切线与y 轴垂直等价于方程0)(0='x g 有实数解.而,0)(0>'x g 即方程0)(0='x g 无实数解，故不存在. …………(12分) 22.（1）证明：连接BM 、BN 、BQ 、BPB 为小圆的圆心，∴BM=BN又因AB 为大圆的直径， ∴MN BQ ⊥ QN QM =∴……..(5分) （2）因AB 为大圆的直径，,900=∠∴APB ∴AP 为圆B 的切线，.2AN AM AP ⋅=∴由已知AB=4，PB=1，15222=-=PB AB AP . 又AM=310 所以MN=67 (10))23.解:(1)曲线C 的直角坐标方程,22ax y =直线的普通方程为2-=x y ………………………….(4分) （2）将直线的参数方程代入,22ax y =得.0)4(8)4(222=+++-a t a t设M 、N 两点对应的参数分别为,,21t t 则有+1t ),4(8),4(22212a t t a t +=++=,2PN PM MN ⋅=212212214)()(t t t t t t -+=-∴=21t t解得1=a 或4-=a （舍） …………………………………..(10分)24.解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤----<+-=0,303,333,3)(x x x x x x x f在同一坐标系下作出)(x f y =与7=y 的图像，可知二者相交于横坐标为10,421=-=x x的两点，因此得S=[]10,4-. …………………………………….（5分）（2）由（1）知，)(x f 的最小值为-3，则不等式032)(≤-+t x f 有解，且只需,0323≤-+-t解得,30≤≤t t ∴的取值范围是]3,0[. ……………………………….(10分)。