河南省豫南九校2015届上期高三第三次联考数学(理)试题

河南豫南九校2015届上期高三第三次联考
数学（理）试题
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第Ⅰ卷 选择题（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符
合题目要求的。

1．集合A ＝｛x ∈R ｜2x ＝x}，B ＝｛x ∈R ｜3x ＝x}，则集合A ∩B 的子集个数为
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8 2．已知等比数列{n a }中，a 3，a 7是一元二次方程2x ＋7x ＋9＝0的两根则a 5＝ A ．3 B ．－3 C ．±3 D ．9
3．设随机变量ξ服从正态分布N （μ，2δ），（δ＞0）若p （ξ＜0）＋p （ξ＜1）＝1，
则μ的值
A ．－1
B ．1
C ．－12
D ．12
4．若复数a ＝3＋2i ，b ＝4＋mi ，要使复数
a
b
为纯虚数，则实数m 的值为 A ．－6 B ．6 C ．83 D ．－8
3
5．已知数列{n a }，a 1＝1，1n a ＋＝n a ＋n ，若利用如图
所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框内
的条件是
A ．n ≤8?
B ．n ≤9?
C ．n ≤10?
D ．n ≤11? 6．曲线y ＝
2
x
与直线y ＝x －1及x ＝4所围成的封闭 图形的面积为 A ．2－ln2
B ．4－2ln2
C ．4－ln2
D ．2ln2
7．已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的
尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是
A ．
23
cm 3
B 3
C ．
43cm 3 D ．83
cm 3 8．已知x ，y 满足约束条件30
1
01x y x y ⎧⎪
⎨⎪⎩
＋3－≤－y ＋≥≥－，则 z ＝2x －y 的最大值为
A ．－3
B ．1
C ．13
D ．15
9．已知sin10°＝k ，则sin110°＝
A ．1－2k
B ．22k －1
C ．1－22k
D ．1＋22k
10．过抛物线2y ＝4x 的焦点F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，l 1交C 于A 、B ，l 2交C 于M 、
N ．则
1AB
＋1MN ＝ A
．
B ．12
C D ．14
11．二次函数y ＝2x －2x ＋2与y ＝2x －＋ax ＋b （a ＞0，b ＞0）在它们的一个交点处的切
线 互相垂直，则1a ＋4
b
的最小值为 A ．
245 B ．4 C ．185 D ．165
12．定义[x]表示不超过x 的最大整数，若f （x ）＝cos （x －[x]），则下列结论中：
①y ＝f （x ）为偶函数；
②y ＝f （x ）为周期函数，周期为2π； ③y ＝f （x ）的最小值为cos1，无最大值： ④y ＝f （x ）无最小值，最大值为1．
正确的命题的个数为
A ．0个
B ．1个
C ．3个
D ．4个
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分．共20分 13．5
()x a ＋的展开式中3
x 的系数是10，则实数a 的值为 _______________（用数字作答）
14．如图，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，
AP ＝3，则AP uu u r ·AC uuu
r ＝______________．
15．已知△ABC 的三个顶点在以O 为球心的球面上，且∠B ＝90°, BC ＝1，AC ＝3，已知
三棱锥O －ABC
的体积为
O 的表面积为_______________． 16．正实数列{n a }满足n a ＝
1
2
n n a ma －－，n ＝3，4，…其中m 为非零实数，若a 1·a 2014＝4，
则 m ＝___________.
三、解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）
已知m r ＝（asinx ，cosx ），n r ＝（sinx ，bcosx ），其中a ，b ，x ∈R ，若f （x ）＝m r ·n r
满足f （
6
π
）＝2，且f （x ＋
3
π
）＝f （
3
π
－x ）．
（1）求a ，b 的值：
（2）若关于x 的方程f （x ）＋2log k ＝0在区间[0，
2
π
]上总有实数解，求实数k 的取
值范围．
18．（本小题满分12分）
市面上有三种新型产品，经调查发现第一种产品受欢迎的概率为
4
5
，第二、三种产品受欢迎的概率分别为p ，q （p ＞q ），且不同种产品是否受欢迎相互独立．记ξ为三种新型产品受欢迎的数量，其分布列为
（1）求至少有一种产品受欢迎的概率； （2）求p ，q 的值； （3）求数学期望E ξ． 19．（本小题满分12分）
如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ， △ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ． F 为CD 的中点．
（1）求证：AF ∥平面BCE ；
（2）求证：平面BCE ⊥平面CDE ：
（3）求直线BF 和平面BCE 所成角的正弦值．
20．（本小题满分12分）
如图已知椭圆2221x a b
2
y ＋＝
（a ＞b ＞0）的离心率
A （0，1）． （1）求椭圆的方程；
（2）过点A 作两条互相垂直的直线分别交椭圆于
M ，N 两点．求证：直线恒过定点P ．并求点P 的坐标．
21．（本小题满分12分） 已知a ∈R ，函数f （x ）＝
a
x
＋lnx －1，g （x ）＝（lnx －l ）x e ＋x （其中e 为自然对数的底数）．
（1）判断函数f （x ）在（0，e ]上的单调性；
（2）是否存在实数x 0∈（0，＋∞），使曲线y ＝g （x ）在点x ＝x 0处的切线与y 轴垂
直?若存在，求出x 0的值；若不存在，请说明理由．
【选作题】
请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号。

22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图AB 是圆O 的直径，以B 为圆心的圆B 与
圆O 的一个交点为P ，过点A 作直线交圆O 于 点Q ，交圆B 于点M 、N ． （1）求证：QM ＝QN ；
（2）设圆O 的半径为2，圆B 的半径为1，当
AM ＝
10
3
时，求MN 的长．
23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：
2
sin ρθ＝2acos θ（a ＞0），过点P （－2，－4）的直线l
的参数方程为：x ⎧
⎪⎪⎨
⎪⎪⎩
＝－2y ＝－4 （t 为参数），直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点．
（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）若｜PM ｜，｜MN ｜，｜PN ｜成等比数列，求a 的值．
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设f （x ）＝2｜x ｜－｜x ＋3｜． （1）求不等式f （x ）≤7的解集S ；
（2）若关于x 的不等式f （x ）＋｜2t －3｜≤0有解，求参数t 的取值范围．
理数答案及提示
1-5 CBDAB 6-10BCCCD 11-12CB 13、1± 14、18 15、16π 16、
12
10.提示：法一：可利用过焦点的弦长θ
2
sin 2p
AB =
进行计算. 法二：可通过特殊位置来考虑：将AB 看做通径，则+∞→MN ，此时
01
→MN
4
12111=→+∴
p MN AB 16.提示：依条件可知}{n a 是一个T=6的周期数列. 17、解（1）n m x f ⋅=)(=
,2sin 2
)2cos 1(2x b
x a +- 由2)6
(=π
f 得83=+b a ……………………………………(3分)
又)3
2(
)0(π
f f =得a b 3= …………………………………...(5分) 则有32,2==b a ………………………………（6分） （2）由（1）得1)6
2sin(2)(+-
=π
x x f
∴∈],2,0[πx ]3,0[)(],2,1[)62sin(2∈∴-∈-x f x π
…………(9分)
∴]0,3[)(log 2-∈-=x f k
]1,8
1
[∈∴k ………………………………..（12分）
18． 解：设事件i A 表示“第i 种产品受欢迎”，i=1,2,3; 由题意得q A P P A p A p ===
)(,)(,5
4
)(321 （1） 设所求事件为B ，则4543
)0(1)(=
=-=ξp B p ………..(3分) （2） 由题意得：45
2
)1)(1(51)()0(321=--===q p A A A p p ξ
45
8
54)()3(321====pq A A A p p ξ
整理得：3
1
,32.,1,92==∴>=+=
q p q p q p pq ……(8分) （3） 由题意知：)1(==ξp a =)(321A A A p +)(321A A A p +)(321A A A p
=
45
13
………………………(10分) 45
22
)3()1()0(1)2(==-=-=-===ξξξξp p p p b
15
27
=∴ξE ……………………….(12分)
19.（1）证明:取CE 的中点G,连FG 、BG. 可证得四边形GFAB 为平行四边形，则AF//BG
即可证得AF//平面BCE. …………………………..(4分)
（2） 依题意证得BG ⊥平面CDE ，即可证得平面BCE ⊥平面CDE …….(8分) （1） 设AD=DE=2AB=2,建立如图所示的坐标系A —xyz, 则A(0,0,0),C(2,0,0),B(0,0,1),D(1,3,0),E(1,3,2),F （)0,2
3,
23 设平面BCE 的法向量为),,,(z
y x =由0,0=⋅=⋅
可取)2,3,1(-=，)1,2
3,
23(-=BF
设BF 和平面BCE 所成的角为θ，则： sin θ4
2
……………………………(12分)
20.（1）由题意得：a=2, b=1
所以椭圆C 的方程为：14
22
=+y x ………………(3分) （2）法1：直线MN 恒过定点P （0，)5
3-，下面给予证明： 设直线1l 的方程为,1+=kx y 联立椭圆方程，消去y 得;
08)14(2
2
=++kx x k ,解得1
441,14822
2+-=+-=k k y k k x M M
同理可得：4
4
,482
22+-=+=k k y k k x N N ……………………(8分) k k x y k M M MP 51532-=+
=
，k
k x y k N N NP
5153
2
-=+=
NP MP k k =∴.
故直线MN 恒过定点P （０，)5
3
- ……………………(12分) 法2：同法（1）求得M 、N 两点坐标后，可得直线ＭＮ的方程为：
5
3512--=x k k y
∴直线ＭＮ恒过定点Ｐ（０，)5
3
- ．．．．．．．．．．．．．．．．．．（12
分）
21.解: (1),1ln )(-+=
x x
a
x f ),0(+∞∈x 2)(x
a
x x f -=
'∴, ①若)(,0x f a ≤在(0，e)上单调递增；
②)(,0x f e a <<在（0，a ）上单调递减，在(a,e) 上单调递增; ③若,e a ≥)(x f 在(0，e)上单调递减. ……………………..(5分) (2)因为x e x x g x +-=)1(ln )(，),0(+∞∈x 所以1)1ln 1
(
)(+-+='x e x x
x g 由（1）易知，当a=1时，
1ln 1
)(-+=
x x
x f 在),0(+∞∈x 的最小值为： 0)1()(min ==f x f
即,01ln 1
),
,0(00
0≥-++∞∈x x x 又011)1ln 1
(
)(,000
00
0>≥+-+='∴>x x e x x x g e
曲线)(x g y =在点0x x =处的切线与y 轴垂直等价于方程0)(0='x g 有实数解.
而,0)(0>'x g 即方程0)(0='x g 无实数解，故不存在. …………(12分) 22.（1）证明：连接BM 、BN 、BQ 、BP
B 为小圆的圆心，∴BM=BN
又因AB 为大圆的直径， ∴MN BQ ⊥ QN QM =∴……..(5分) （2）因AB 为大圆的直径，,900=∠∴APB ∴AP 为圆B 的切线，
.2AN AM AP ⋅=∴
由已知AB=4，PB=1，15222=-=PB AB AP . 又AM=
310 所以MN=6
7
(10)
)
23.解:(1)曲线C 的直角坐标方程,22ax y =
直线的普通方程为2-=x y ………………………….(4分) （2）将直线的参数方程代入,22ax y =得
.0)4(8)4(222=+++-a t a t
设M 、N 两点对应的参数分别为,,21t t 则有+1t ),4(8),4(22212a t t a t +=++=
,2
PN PM MN ⋅=
212212214)()(t t t t t t -+=-∴=21t t
解得1=a 或4-=a （舍） …………………………………..(10分)
24.解：（1）⎪⎩
⎪
⎨⎧>-≤≤----<+-=0,303,333
,3)(x x x x x x x f
在同一坐标系下作出)(x f y =与7=y 的图像，可知二者相交于横坐标为10
,421=-=x x
的两点，因此得S=[]10,4-. …………………………………….（5分）
（2）由（1）知，)(x f 的最小值为-3，则不等式032)(≤-+t x f 有解，且只需
,0323≤-+-t
解得,30≤≤t t ∴的取值范围是]3,0[. ……………………………….(10分)。