河南省豫南九校2015届上期高三第三次联考数学(理)试题

河南豫南九校2015届上期高三第三次联考

数学（理）试题

（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）

第Ⅰ卷 选择题（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符

合题目要求的。

1．集合A ＝｛x ∈R ｜2x ＝x}，B ＝｛x ∈R ｜3x ＝x}，则集合A ∩B 的子集个数为

A ．1

B ．2

C ．4

D ．8 2．已知等比数列{n a }中，a 3，a 7是一元二次方程2x ＋7x ＋9＝0的两根则a 5＝ A ．3 B ．－3 C ．±3 D ．9

3．设随机变量ξ服从正态分布N （μ，2δ），（δ＞0）若p （ξ＜0）＋p （ξ＜1）＝1，

则μ的值

A ．－1

B ．1

C ．－12

D ．12

4．若复数a ＝3＋2i ，b ＝4＋mi ，要使复数

a

b

为纯虚数，则实数m 的值为 A ．－6 B ．6 C ．83 D ．－8

3

5．已知数列{n a }，a 1＝1，1n a ＋＝n a ＋n ，若利用如图

所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框内

的条件是

A ．n ≤8?

B ．n ≤9?

C ．n ≤10?

D ．n ≤11? 6．曲线y ＝

2

x

与直线y ＝x －1及x ＝4所围成的封闭 图形的面积为 A ．2－ln2

B ．4－2ln2

C ．4－ln2

D ．2ln2

7．已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的

尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是

A ．

23

cm 3

B 3

C ．

43cm 3 D ．83

cm 3 8．已知x ，y 满足约束条件30

1

01x y x y ??

???

＋3－≤－y ＋≥≥－，则 z ＝2x －y 的最大值为

A ．－3

B ．1

C ．13

D ．15

9．已知sin10°＝k ，则sin110°＝

A ．1－2k

B ．22k －1

C ．1－22k

D ．1＋22k

10．过抛物线2y ＝4x 的焦点F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，l 1交C 于A 、B ，l 2交C 于M 、

N ．则

1AB

＋1MN ＝ A

．

B ．12

C D ．14

11．二次函数y ＝2x －2x ＋2与y ＝2x －＋ax ＋b （a ＞0，b ＞0）在它们的一个交点处的切

线 互相垂直，则1a ＋4

b

的最小值为 A ．

245 B ．4 C ．185 D ．165

12．定义[x]表示不超过x 的最大整数，若f （x ）＝cos （x －[x]），则下列结论中：

①y ＝f （x ）为偶函数；

②y ＝f （x ）为周期函数，周期为2π； ③y ＝f （x ）的最小值为cos1，无最大值： ④y ＝f （x ）无最小值，最大值为1．

正确的命题的个数为

A ．0个

B ．1个

C ．3个

D ．4个

第Ⅱ卷 非选择题（共90分）

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分．共20分 13．5

()x a ＋的展开式中3

x 的系数是10，则实数a 的值为 _______________（用数字作答）

14．如图，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，

AP ＝3，则AP uu u r ·AC uuu

r ＝______________．

15．已知△ABC 的三个顶点在以O 为球心的球面上，且∠B ＝90°, BC ＝1，AC ＝3，已知

三棱锥O －ABC

的体积为

O 的表面积为_______________． 16．正实数列{n a }满足n a ＝

1

2

n n a ma －－，n ＝3，4，…其中m 为非零实数，若a 1·a 2014＝4，

则 m ＝___________.

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分12分）

已知m r ＝（asinx ，cosx ），n r ＝（sinx ，bcosx ），其中a ，b ，x ∈R ，若f （x ）＝m r ·n r

满足f （

6

π

）＝2，且f （x ＋

3

π

）＝f （

3

π

－x ）．

（1）求a ，b 的值：

（2）若关于x 的方程f （x ）＋2log k ＝0在区间[0，

2

π

]上总有实数解，求实数k 的取

值范围．

18．（本小题满分12分）

市面上有三种新型产品，经调查发现第一种产品受欢迎的概率为

4

5

，第二、三种产品受欢迎的概率分别为p ，q （p ＞q ），且不同种产品是否受欢迎相互独立．记ξ为三种新型产品受欢迎的数量，其分布列为

（1）求至少有一种产品受欢迎的概率； （2）求p ，q 的值； （3）求数学期望E ξ． 19．（本小题满分12分）

如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ， △ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ． F 为CD 的中点．

（1）求证：AF ∥平面BCE ；

（2）求证：平面BCE ⊥平面CDE ：

（3）求直线BF 和平面BCE 所成角的正弦值．

20．（本小题满分12分）

如图已知椭圆2221x a b

2

y ＋＝

（a ＞b ＞0）的离心率

A （0，1）． （1）求椭圆的方程；

（2）过点A 作两条互相垂直的直线分别交椭圆于

M ，N 两点．求证：直线恒过定点P ．并求点P 的坐标．

21．（本小题满分12分） 已知a ∈R ，函数f （x ）＝

a

x

＋lnx －1，g （x ）＝（lnx －l ）x e ＋x （其中e 为自然对数的底数）．

（1）判断函数f （x ）在（0，e ]上的单调性；

（2）是否存在实数x 0∈（0，＋∞），使曲线y ＝g （x ）在点x ＝x 0处的切线与y 轴垂

直?若存在，求出x 0的值；若不存在，请说明理由．

【选作题】

请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号。

22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图AB 是圆O 的直径，以B 为圆心的圆B 与

圆O 的一个交点为P ，过点A 作直线交圆O 于 点Q ，交圆B 于点M 、N ． （1）求证：QM ＝QN ；

（2）设圆O 的半径为2，圆B 的半径为1，当

AM ＝

10

3

时，求MN 的长．

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：

2

sin ρθ＝2acos θ（a ＞0），过点P （－2，－4）的直线l

的参数方程为：x ?

???

???

＝－2y ＝－4 （t 为参数），直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点．

（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）若｜PM ｜，｜MN ｜，｜PN ｜成等比数列，求a 的值．

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设f （x ）＝2｜x ｜－｜x ＋3｜． （1）求不等式f （x ）≤7的解集S ；

（2）若关于x 的不等式f （x ）＋｜2t －3｜≤0有解，求参数t 的取值范围．

理数答案及提示

1-5 CBDAB 6-10BCCCD 11-12CB 13、1± 14、18 15、16π 16、

12

10.提示：法一：可利用过焦点的弦长θ

2

sin 2p

AB =

进行计算. 法二：可通过特殊位置来考虑：将AB 看做通径，则+∞→MN ，此时

01

→MN

4

12111=→+∴

p MN AB 16.提示：依条件可知}{n a 是一个T=6的周期数列. 17、解（1）n m x f ?=)(=

,2sin 2

)2cos 1(2x b

x a +- 由2)6

(=π

f 得83=+b a ……………………………………(3分)

又)3

2(

)0(π

f f =得a b 3= …………………………………...(5分) 则有32,2==b a ………………………………（6分） （2）由（1）得1)6

2sin(2)(+-

=π

x x f

∴∈],2,0[πx ]3,0[)(],2,1[)62sin(2∈∴-∈-x f x π

…………(9分)

∴]0,3[)(log 2-∈-=x f k

]1,8

1

[∈∴k ………………………………..（12分）

18． 解：设事件i A 表示“第i 种产品受欢迎”，i=1,2,3; 由题意得q A P P A p A p ===

)(,)(,5

4

)(321 （1） 设所求事件为B ，则4543

)0(1)(=

=-=ξp B p ………..(3分) （2） 由题意得：45

2

)1)(1(51)()0(321=--===q p A A A p p ξ

45

8

54)()3(321====pq A A A p p ξ

整理得：3

1

,32.,1,92==∴>=+=

q p q p q p pq ……(8分) （3） 由题意知：)1(==ξp a =)(321A A A p +)(321A A A p +)(321A A A p

=

45

13

………………………(10分) 45

22

)3()1()0(1)2(==-=-=-===ξξξξp p p p b

15

27

=∴ξE ……………………….(12分)

19.（1）证明:取CE 的中点G,连FG 、BG. 可证得四边形GFAB 为平行四边形，则AF//BG

即可证得AF//平面BCE. …………………………..(4分)

（2） 依题意证得BG ⊥平面CDE ，即可证得平面BCE ⊥平面CDE …….(8分) （1） 设AD=DE=2AB=2,建立如图所示的坐标系A —xyz, 则A(0,0,0),C(2,0,0),B(0,0,1),D(1,3,0),E(1,3,2),F （)0,2

3,

23 设平面BCE 的法向量为),,,(z

y x =由0,0=?=?

可取)2,3,1(-=，)1,2

3,

23(-=BF

设BF 和平面BCE 所成的角为θ，则： sin θ4

2

……………………………(12分)

20.（1）由题意得：a=2, b=1

所以椭圆C 的方程为：14

22

=+y x ………………(3分) （2）法1：直线MN 恒过定点P （0，)5

3-，下面给予证明： 设直线1l 的方程为,1+=kx y 联立椭圆方程，消去y 得;

08)14(2

2

=++kx x k ,解得1

441,14822

2+-=+-=k k y k k x M M

同理可得：4

4

,482

22+-=+=k k y k k x N N ……………………(8分) k k x y k M M MP 51532-=+

=

，k

k x y k N N NP

5153

2

-=+=

NP MP k k =∴.

故直线MN 恒过定点P （０，)5

3

- ……………………(12分) 法2：同法（1）求得M 、N 两点坐标后，可得直线ＭＮ的方程为：

5

3512--=x k k y

∴直线ＭＮ恒过定点Ｐ（０，)5

3

- ．．．．．．．．．．．．．．．．．．（12

分）

21.解: (1),1ln )(-+=

x x

a

x f ),0(+∞∈x 2)(x

a

x x f -=

'∴, ①若)(,0x f a ≤在(0，e)上单调递增；

②)(,0x f e a <<在（0，a ）上单调递减，在(a,e) 上单调递增; ③若,e a ≥)(x f 在(0，e)上单调递减. ……………………..(5分) (2)因为x e x x g x +-=)1(ln )(，),0(+∞∈x 所以1)1ln 1

(

)(+-+='x e x x

x g 由（1）易知，当a=1时，

1ln 1

)(-+=

x x

x f 在),0(+∞∈x 的最小值为： 0)1()(min ==f x f

即,01ln 1

),

,0(00

0≥-++∞∈x x x 又011)1ln 1

(

)(,000

00

0>≥+-+='∴>x x e x x x g e

曲线)(x g y =在点0x x =处的切线与y 轴垂直等价于方程0)(0='x g 有实数解.

而,0)(0>'x g 即方程0)(0='x g 无实数解，故不存在. …………(12分) 22.（1）证明：连接BM 、BN 、BQ 、BP

B 为小圆的圆心，∴BM=BN

又因AB 为大圆的直径， ∴MN BQ ⊥ QN QM =∴……..(5分) （2）因AB 为大圆的直径，,900=∠∴APB ∴AP 为圆B 的切线，

.2AN AM AP ?=∴

由已知AB=4，PB=1，15222=-=PB AB AP . 又AM=

310 所以MN=6

7

(10)

)

23.解:(1)曲线C 的直角坐标方程,22ax y =

直线的普通方程为2-=x y ………………………….(4分) （2）将直线的参数方程代入,22ax y =得

.0)4(8)4(222=+++-a t a t

设M 、N 两点对应的参数分别为,,21t t 则有+1t ),4(8),4(22212a t t a t +=++=

,2

PN PM MN ?=

212212214)()(t t t t t t -+=-∴=21t t

解得1=a 或4-=a （舍） …………………………………..(10分)

24.解：（1）??

?

??>-≤≤----<+-=0,303,333

,3)(x x x x x x x f

在同一坐标系下作出)(x f y =与7=y 的图像，可知二者相交于横坐标为10

,421=-=x x

的两点，因此得S=[]10,4-. …………………………………….（5分）

（2）由（1）知，)(x f 的最小值为-3，则不等式032)(≤-+t x f 有解，且只需

,0323≤-+-t

解得,30≤≤t t ∴的取值范围是]3,0[. ……………………………….(10分)