实变函数期末考试题库
实变函数试题库参考答案
《实变函数》试题库及参考答案（完整版）选择题1,下列对象不能构成集合的是:（ ）A 、全体自然数B 、0,1 之间的实数全体C 、[0, 1]上的实函数全体D 、全体大个子2、下列对象不能构成集合的是:（ ）A 、{全体实数}B 、{全体整数}C 、{全体小个子}D 、{x ：x>1}3、下列对象不能构成集合的是:（ ）A 、{全体实数}B 、{全体整数}C 、{x ：x>1}D 、{全体胖子}4、下列对象不能构成集合的是:（ ）A 、{全体实数}B 、{全体整数}C 、{x ：x>1}D 、{全体瘦子}5、下列对象不能构成集合的是:（ ）A 、{全体小孩子}B 、{全体整数}C 、{x ：x>1}D 、{全体实数}6、下列对象不能构成集合的是:（ ）A 、{全体实数}B 、{全体大人}C 、{x ：x>1}D 、{全体整数}7、设}1:{ααα≤<-=x x A , I 为全体实数, 则ααA I∈⋃= ( ) A 、(-1, 1) B 、(-1, 0) C 、(-∞, +∞) D 、(1,+∞)8、设}1111:{ix i x A i -≤≤+-=, N i ∈, 则i i A ∞=⋃1= ( ) A 、(-1, 1) B 、(-1, 0) C 、[0, 1]D 、[-1, 1]9、设}110:{ix x A i +≤≤=, N i ∈, 则i i A ∞=⋂1= ( ) A 、(0, 1) B 、[0, 1] C 、[0, 1] D 、(0, +∞)10、设}1211:{ix i x A i +<<-=, N i ∈, 则i i A ∞=⋃1= ( ) A 、[1, 2] B 、(1, 2) C 、 (0, 3) D 、(1, 2)11、设}23:{+≤≤=i x i x A i , N i ∈, 则i i A ∞=⋂1= ( ) A 、(-1, 1) B 、[0, 1] C 、Φ D 、{0}12、设}11:{ix i x A i <<-=, N i ∈, 则i i A ∞=⋂1= ( ) A 、(-1, 1) B 、[0, 1] C 、Φ D 、{0}13、设]1212,0[12--=-n A n , ]211,0[2nA n +=, N n ∈,则=∞→n n A lim ( )A 、[0, 2]B 、[0, 2]C 、[0, 1]D 、[0, 1]14、设]1212,0[12--=-n A n , ]211,0[2nA n +=, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( ) A 、[0, 2]B 、[0, 2]C 、[0, 1]D 、[0,1]15、设),0(n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( )A 、ΦB 、[0, n]C 、RD 、(0, ∞)16、设)1,0(nA n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( ) A 、(0, 1)B 、(0, n1) C 、{0} D 、Φ 17、设)1,0(12nA n =-, ),0(2n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( )A 、ΦB 、(0, n1) C 、(0, n) D 、(0, ∞) 18、设)1,0(12nA n =-, ),0(2n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( ) A 、ΦB 、(0, n1) C 、(0, n) D 、(0, ∞) 19、设A 、B 、C 是三个集合, 则A-(A-B)= ( )A 、B B 、AC 、A ⋂BD 、A ⋃B20、设A 、B 、C 是三个集合, 则A-(B ⋃C)= ( )A 、(A-B)⋂(A-C)B 、(A-B)⋃(A-C)C 、A ⋂BD 、A ⋂C21、设A 、B 、C 是三个集合, 则A-(B ⋂C)= ( )A 、(A-B)⋂(A-C)B 、(A-B)⋃(A-C)C 、A ⋂BD 、A ⋂C22、设A 、B 、S 是三个集合, 且S A ⊂, S B ⊂, 则)(B A C s -= ( )A 、BC A C s s ⋃ B 、B C A C s s ⋂ C 、B A C s ⋃D 、B A C s ⋂23、设A 、B 、S 是三个集合, 且S A ⊂, S B ⊂, 则)(B A C s ⋃= ( )A 、BC A C s s ⋃ B 、B C A C s s ⋂ C 、B A C s ⋃D 、B C A s ⋃24、设A 、B 、C 是三个集合, 则A-(B-C) = ( )A 、 A ⋃C-B B 、 A-B-C C 、 (A-B)⋃(A ⋂C)D 、 C-(B-A)25、集合E 的全体内点所成的集合称为E 的 ( )A 、开核B 、边界C 、导集D 、闭包26、集合E 的全体聚点所成的集合称为E 的 ( )A 、开核B 、边界C 、导集D 、闭包27、集合E 的全体边界点和内点所成的集合是E 的 ( )A 、开核B 、边界C 、导集D 、闭包28、E-E ＇所成的集合是 ( )A 、开核B 、边界C 、外点D 、{E 的全体孤立点}29、E 的全体边界点所成的集合称为E 的 ( )A 、开核B 、边界C 、导集D 、闭包30、设点P 是集合E 的边界点, 则 ( )A 、P 是E 的聚点B 、P 是E 的孤立点C 、P 是E 的内点D 、P 是CE 的边界点31、设)3,2()1,0(⋃=G , 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(21, 1) C 、[0, 1] D 、(0, 2) 32、设)1,0(1=G , )2,21()0,1(2⋃-=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(0, 2)C 、(-1, 21) D 、(-1, 2) 33、设)4,0(1=G , )4,3()1,0(2⋃=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(3, 4)C 、(0, 4)D 、 (1, 4)34、设)1,0(1=G , )4,3()2,1(2⋃=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(0, 3)C 、(0, 4)D 、(1, 4)35、设)2,0(1=G , )4,3()2,1(2⋃=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(0, 2)C 、(1, 2)D 、(1, 4)36、设)2,1()1,0(1⋃=G , )23,21()0,1(2⋃-=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(21, 23) B 、(1, 2) C 、(0, 1) D 、(-1, 0) 37、若B A ⊂ ，则下列命题错误的是： ( )A 、B A ⊂ B 、A ＇⊂B ＇C 、B A ∂⊂∂D 、B A ⊂38、若C B A =⋃, 则下列命题正确的是：（ ）A 、 CB A =⋃ B 、 A ＇⋃B ＇=C ＇ C 、C B A ∂=∂⋃∂D 、{A 的孤立点}⋃{B 的孤立点}={C 的孤立点}39、若C B A =⋂, 则下列命题错误的是：（ ）A 、 CB A =⋂ B 、C ＇⊂ A ＇⋂B ＇ C 、C B A =⋂D 、{A 的孤立点}⋂{B 的孤立点}={C 的孤立点}40、设CA 是A 的余集，则下列命题正确的是：（ ）A 、 )()(CA A C =B 、)(CA A ∂=∂C 、C(A ＇)＝（CA ）＇D 、CA A C =)(41、设A －B=C, 则下列命题正确的是：（ ）A 、CB A ∂=∂-∂ B 、C B A =- C 、A ＇－B ＇＝C ＇D 、{A 的孤立点}－{B 的孤立点}={C 的孤立点}42、 (2-4-1-2) 下列命题错误的是：（ ）A 、A 是闭集B 、A ＇是闭集C 、A ∂是闭集D 、 A 是闭集43、若A 是闭集，B 是开集，则A －B 是：（ ）A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断 44、若A 是开集，B 是闭集，则A －B 是：（ ）A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断 45、若}{n A 是一开集列，则n n A ∞=⋃1是：（ ）A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断 46、若}{n A 是一开集列，则n n A ∞=⋂1是：（ ）A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断 47、若}{n A 是一闭集列，则n n A ∞=⋃1是：（ ）A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断 48、若}{n A 是一闭集列，则n n A ∞=⋂1是：（ ）A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断 49、若]1,0[ QE =，则=mE （ ）A 、0B 、1C 、2D 、350、下述结论（ ）正确.A 、E m E m **>B 、E m E m *≥*C 、E m E m **<D 、E m E m **≤51、下列说法正确的是（ ）A 、x x f 1)(=在（0，1）有限B 、x x f 1)(=在)1,21(无界 C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=0,]1,0(,1)(x x x x f ，在[0，1]有限 D 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=0,1]1,0(,1)(x x x x f ，在[0，1]有界 52、函数列n n x x f =)(在[0，1]上（ ）于0.A 、a ，e 一致收敛B 、收敛C 、一致收敛D 、基本上一致收敛53、设E 是[0，1]中的不可测集，⎩⎨⎧-∈-∈=Ex E x x f ]1,0[,1,1)( 则下列函数在[0，1]上可测的是（ ）.A 、)(x fB 、)(x f +C 、|)(|x fD 、)(x f -54、若)(x f 可测，则它必是（ ）.A 、连续函数B 、单调函数C 、简单函数D 、简单函数列的极限55、若Q E -=]1,0[，则=mE （ ）A 、0B 、1C 、2D 、356、下列说法不正确的是（ ）A 、E 的测度有限，则E 必有界B 、E 的测度无限，则E 必无界C 、有界点集的测度有限D 、n R 的测度无限57、（4-4-2-1）下述论断正确的是（ ）A 、x x f tg )(=在)4,0(π无界 B 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=2,)2,0[,tg )(ππx x x x f 在]2,0[π有限 C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=2,1)2,0[,tg )(ππx x x x f 在]2,0[π有界 D 、x x f tg )(=在)2,0(π有限58、函数列n n x x f )21()(=在[0, 2]上（ ）于0. A 、收敛 B 、一致收敛 C 、基本上一致收敛 D 、a.e.一致收敛59、设⎩⎨⎧-∈-∈=E x x E x x x f ]1,0[,,)(其中E 是[0,1]的不可测集，则下列函数在[0, 1]可测的是（ ）.A 、|)(|x fB 、)(x fC 、)(x f +D 、)(x f -60、一个函数在其定义域中的（ ）点处都是连续的.A 、边界点B 、内点C 、聚点D 、孤立点.61、0P 是康托尔（cantor ）集，则=0mP （ ）A 、0B 、1C 、2D 、362、设A 是B 的真子集，则（ ）A 、B m A m **< B 、B m A m **≤C 、B m A m **>D 、B m A m **≥63、下列说法正确的是（ ）A 、x x f ctg )(=在)2,4(ππ无界 B 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=0,]2,0(ctg )(x x x x f π在]2,0[π有限 C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=0,1]2,0(ctg )(x x xx f π在]2,0[π有界 D 、x x f ctg )(=在)2,0(π有限64、函数列n n n x x f 2)(=在]21,0[上（ ）于0. A 、收敛 B 、一致收敛、 C 、基本上一致收敛 D 、a. e.一致收敛65、设E 是[0, 1]上的不可测集，⎩⎨⎧-∈-∈=E x xE x x x f ]1,0[)(22则下列函数在[0, 1]可测的是（ ）. A 、)(x f B 、)(x f + C 、|)(|x f D 、)(x f -66、设E 为可测集，则下列结论中正确的是（ ）A 、若)}({x f n 在E 上a , e 收敛于一个a , e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n 一致收敛于)(x fB 、若)}({x f n 在E 上a , e 收敛于一个a , e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n 基本上一致收敛于)(x fC 、若)}({x f n 在E 上a , e 收敛于一个a , e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n ⇒)(x fD 、若)}({x f n 在E 上基本上一致收敛于)(x f ，则)(x f n a , e 收敛于)(x f67、G 表示康托尔（cantor ）集在[0,1]中的余集，则mG=（ ）A 、0B 、1C 、2D 、368、设21,S S 都可测，则21S S （ ）A 、可测B 、不可测C 、可能可测也可能不可测D 、以上都不对69、下列说法正确的是（ ）A 、x x f sec )(=在)4,0(π上无界 B 、x x f sec )(=在)4,0(π上有限C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=2)2,0[sec )(ππx x x x f 在]2,0[π上有限 D 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=21)2,0[sec )(ππx x x x f 在]2,0[π上有界 70、函数列n n n x x f 3)(=在]31,0[上（ ）于0 A 、收敛 B 、一致收敛 C 、基本上一致收敛 D 、a. e.一致收敛71、设⎩⎨⎧-∈∈-=Ex x E x x x f ]1,0[,,)(33，其中E 是[0, 1]上的不可测集，则（ ）在[0, 1]可测.A 、)(x f 、B 、)(x f +C 、)(x f -D 、|)(|x f72、关于连续函数与可测函数，下列论述中正确的是（ ）A 、它们是同一概念B 、a , e 有限的可测函数是连续函数C 、a , e 有限的可测函数是基本上连续的函数D 、a , e 有限的可测函数是a , e 连续的函数73、()=-)2,1()1,0( m ( )A 、1、B 、2C 、3D 、474、A 可测，B 是A 的真子集，则（ ）A 、mB mA ≥ B 、B m mA *≥C 、B m mA *=D 、以上都不对75、下列说法正确的是（ ）A 、21)(x x f =在(0, 1)有限、B 、21)(xx f =在]1,21[无界 C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=0,]1,0(,1)(2x x x x f 在[0, 1]有限 D 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=1,1]1,0(,1)(2x x x x f 在[0, 1]有界76、函数列x x f n n sin )(=在]2,0[π上（ ）于0.A 、收敛B 、基本上一致收敛C 、一致收敛D 、a. e.一致收敛77、设⎩⎨⎧-∈∈-=Ex x E x x x f ]1,0[,,)(22其中E 是[0, 1]上的不可测集，则（ ）在[0, 1]上是可测的.A 、|)(|x fB 、)(x fC 、)(x f +D 、)(x f -78、关于简单函数与可测函数下述结论不正确的是（ ）A 、简单函数一定是可测函数B 、简单函数列的极限是可测函数C 、简单函数与可测函数是同一概念D 、简单函数列的极限与可测函数是同一概念79、()=-]3,2()1,1[ m （ ）A 、1B 、2C 、3D 、480、L 可测集类，对运算（ ）不封闭.A 、可数和B 、有限交C 、单调集列的极限D 、任意和.81、下列说法正确的是（ ）A 、31)(x x f =在)1,21(无界B 、31)(xx f =在)1,0(有限C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=0]1,0(1)(3x x x x f 在[0, 1]有限D 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=01]1,0(1)(3x x x x f 在[0, 1]有界82、函数列x x f n n cos )(=在]2,0[π上（ ）于0.A 、基本一致收敛B 、收敛C 、一致收敛D 、a. e.一致收敛83、设E 是]2,0[π中的不可测集，⎪⎩⎪⎨⎧-∈-∈=E x x E x x x f ]2,0[,sin ,sin )(π 则下列函数在]2,0[π上可测的是（ ）.A 、)(x fB 、|)(|x fC 、)(x f +D 、)(x f -84、关于依测度收敛，下列说法中不正确的是（ ）A 、依测度收敛不一定一致收敛B 、依测度收敛不一定收敛C 、若)}({x f n 在E 上 a.e.收敛于 a.e.有限的可测函数)(x f ，则)()(x f x f n ⇒D 、若)()(x f x f n ⇒，则存在子列)}({x f i n a. e.收敛于)(x f85、设)(x f 是可测集E 上的非负可测函数，则)(x f （ ）A 、必可积B 、必几乎处处有限C 、必积分确定D 、不一定积分确定86、设)(x f 在可测集E 上可积，则在E 上（ ）A 、)(x f +与)(x f -只有一个可积B 、)(x f +与)(x f -皆可积C 、)(x f +与)(x f -不一定可积D 、)(x f +与)(x f -至少有一个不可积87、设0=mE （Φ≠E ），)(x f 是E 上的实函数，则下面叙述正确的是（ ）A 、)(x f 在E 上不一定可测B 、)(x f 在E 上可测但不一定可积C 、)(x f 在E 上可积且积分值为0D 、)(x f 在E 上不可积88、)(x f 在可测集E 上)(L 可积的必要条件是，)(x f 为（ ）A 、连续函数B 、几乎处处连续函数C 、单调函数D 、几乎处处有限的可测函数89、设)(x D 为狄立克雷函数，则⎰=10)()(dx x D L （ ） A 、 0 B 、 1 C 、1/2 D 、不存在90、设)(x f 为Cantor 集的特征函数，则⎰=10)()(dx x f L （ ） A 、 0 B 、 1/3 C 、2/3 D 、 1填空题1、设A 为一集合，B 是A 的所有子集构成的集合；若A =n, 则B =2、设A 为一集合，B 是A 的所有子集构成的集合；若A 是一可数集, 则B =3、若c A =, c B =, 则=⋃B A4、若c A =, B 是一可数集, 则=⋃B A5、若c A =, n B =, 则=⋃B A6、若}{n A 是一集合列, 且c A n =, =⋃∞=n n A 1 7、若I A ∈αα}{是任意集族, 其中I 是指标集, 则ααA I∈⋂=8、若I A ∈αα}{是任意集族, 其中I 是指标集, 则ααA I∈⋃= 9、若I A ∈αα}{是任意集族, 其中I 是指标集, S 是一集合, 则)(ααA C IS ∈⋂= 10、若I A ∈αα}{是任意集族, 其中I 是指标集, S 是一集合, 则)(ααA C IS ∈⋃= 11、若}{n A 是任意一个集合列, 则=∞→n n A lim 12、若}{n A 是任意一个集合列, 则=∞→n n A lim13、欧氏空间n R 中, 任意两点),,(21n x x x x =, ),,(21n y y y y =的距离d(x, y)=14、C[a, b]空间中,任意两元素x(t), y(t) 的距离 d(x, y)= 15、2l 空间中, 任意两元素 ),,,(21 n x x x x =, ),,(21 n y y y y =的距离 d(x, y)=16、欧氏空间2R 中, 任意两点),(21x x x =, ),(21y y y =的距离 d(x, y)=17、欧氏空间3R 中, 任意两点),,(321x x x x =, ),,(321y y y y =的距离d(x, y)=18、欧氏空间4R 中, 任意两点),,,(4321x x x x x =, ),,,(4321y y y y y =的距离d(x,y)=19、设2R X =,}1:),{(22<+=y x y x E ,则E =20、设3R X =, }1:),,{(222<++=z y x z y x E , 则E =21、设2R X =,}1:),{(22<+=y x y x E ,则E ∂=22、设2R X =,}1:),{(22<+=y x y x E ,则E ＇=23、设3R X =, }1:),,{(222<++=z y x z y x E , 则 E ∂=24、设3R X =, }1:),,{(222<++=z y x z y x E , 则E ＇=25、设A= [0, 1] , B = [3, 4] , 则 d(A, B) =26、设C 是康托完备集, G= [0, 1]－C , 则d (C, G) =27、设C 是康托完备集, 则C 的半径)(C δ=28、两个非空集合A, B 距离的定义为 d (A, B ) =29、一个非空集合A 的直径的定义为)(A δ=30、设A = [0, 1] ⋂Q, 则)(A δ=31、n R E ⊂，对每一列覆盖E 的开区间 ∞=⊃1i i E I ，定义=E m *________。
《实变函数》试卷及参考答案
《实变函数》试卷及参考答案《实变函数》试卷一一、单项选择题(3分×5=15分)1、1、下列各式正确的是( ),,,,limAA,,,limAA,,,(A); (B); nknk,,,,nnkn11nknn,,,,,,,,limAA,,,limAA,,,(C); (D); nknk,,,,nnkn1,,nkn1,,n2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是( ),'P,mP,0(A) c (B) (C) (D) P,PP,P3、下列说法不正确的是( ) (A) 凡外侧度为零的集合都可测(B)可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 (D)波雷耳集都可测fx()E是上的有限的可测函数列,则下面不成立的是( ) 4、设ae..,,n sup()fxfxfx()(),fxfx()(),(A)若, 则 (B) 是可测函数 ,,nnnnfxfx()(), (C)是可测函数;(D)若,则可测 inf()fxfx(),,nnn5、设f(x)是上有界变差函数，则下面不成立的是( ) [a,b](A) 在上有界 (B) 在上几乎处处存在导数 f(x)[a,b]f(x)[a,b]b'f'(x)dx,f(b),f(a)f(x)(C)在上L可积 (D) [a,b],a二. 填空题(3分×5=15分)()(())CACBAAB,,,,,1、_________ sso'E0,12、设是上有理点全体，则=______,=______,=______. EEE,, nET3、设是中点集，如果对任一点集都有R1 (第页，共47页)EL_________________________________，则称是可测的、可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数. 4f(x)(填“充分”，“必要”，“充要”)ab,ab,5、设为上的有限函数，如果对于的一切分划，使fx(),,,,ab,______________________,则称为上的有界变差函数。
实变函数(复习资料_带答案)资料
集。
0, 开集 G E,使 m* (G E)
，则 E 是可测
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3. （6 分）在 a, b 上的任一有界变差函数 f ( x) 都可以表示为 两个增函数之差。
5. （8 分）设 f ( x) 在 E a,b 上可积，则对任何 0 ，必存
b
在 E 上的连续函数 ( x) ，使 | f ( x) (x) | dx . a
E
四、解答题 （8 分× 2=16 分） .
1、（8分）设 f (x)
x2, x为无理数 ，则 f ( x) 在 0,1 上是否 R
1, x为有理数
可积，是否 L 可积，若可积，求出积分值。
五、证明题 （6 分× 4+10=34 分） . 1、（6 分）证明 0,1 上的全体无理数作成的集其势为 c
可测集；
二. 填空题 (3 分× 5=15 分)
1、设 An
11 [ , 2 ], n 1,2,
，则 lim An
_________。
nn
n
2、设 P 为 Cantor 集，则 P
o
，mP _____，P =________。
3、设 Si 是一列可测集，则 m i 1 Si ______ mSi i1 4、鲁津定理：
4.（8 分）设函数列 fn (x) ( n 1,2, ) 在有界集 E 上“基本上” 一致收敛于 f ( x) ，证明： fn (x) a.e.收敛于 f ( x) 。
2． x
E , 则存在 E中的互异点列
{
xn },
使 lim n
xn
x ……… .2
分
xn E, f ( xn ) a ………………… .3 分
实变函数期末考试卷A卷资料
（3）因为 xnxnxxnnxnxxnnx2121sin121222132221)(xF 显然)(xF在]1,0[上可积。于是由Lebesgue控制收敛定理，有 0sin1)(limsin1)(lim10322211032221dxnxxnnxLdxnxxnnxRnn 2. 设为有理数，的无理数；为小于的无理数为大于xxxxxxf,01,;1,)(2试计算]2,0[)(dxxf。 解：因为有理数集的测度为零，所以 2)(xxf ..ea 于]1,0[， xxf)( ..ea 于]2,1[。 于是 ]2,1[]1,0[]2,0[)()()(dxxfdxxfdxxf dxxdxx211026112331 四、证明题（每题8分，共40分） 1. 证明：)()(11nnnnAAAA
Hale Waihona Puke 实变函数 一、 判断题（每题2分，共20分） 1.若A是B的真子集，则必有BA。 （×） 2.必有比a小的基数。 （√） 3.一个点不是E的聚点必不是E的内点。 （√） 4.无限个开集的交必是开集。 （×） 5.若E，则0*Em。 （×） 6.任何集nRE都有外测度。 （√） 7.两集合的基数相等，则它们的外测度相等。 （×） 8.可测集的所有子集都可测。 （×） 9.若)(xf在可测集E上可测，则)(xf在E的任意子集上也可测。（×） 10.)(xf在E上可积必积分存在。 （×） 1.设E为点集，EP，则P是E的外点.（ × ） 2.不可数个闭集的交集仍是闭集. （ × ） 3.设nE是一列可测集,且1,1,2,,nnEEn则1()lim().nnnnmEmE（× ） 4.单调集列一定收敛. （√ ） 5.若()fx在E上可测,则存在F型集,()0FEmEF,()fx在F上连续.（ × ）
证明：)(1nnAA(AnnA1c) )(1cnnAA =)(1cnnAA )(1nnAA 2. 设M是直线上一族两两互不相交的非空开区间组成的集合，证明M是至多可列集。 证明：由有理数集的稠密性可知，每一个开区间中至少有一个有理数，从每个开区间中取定一个有理数，组成一个集合A。因为这些开区间是互不相交的，所以此有理数集A与开区间组成的集合M是一一对应的。则A是有理数集的子集，故至多可列，所以M也是至多可列集。 3. 证明：若0Em，则E为可测集。 证明：对任意点集T，显然成立着 )()(cETmETmTm。 另一方面，因为0Em，而EET，所以EmETm)(，于是)(ETm0。又因为cETT，所以)(cETmTm，从而 )()(cETmETmTm。 总之，)()(cETmETmTm。故E是可测集。 4. 可测集E上的函数)(xf为可测函数充分必要条件是对任何有理数r，集合])([rxfE是可测集。
实变函数期末考试题
上单调函数的不连续点所成之集的测度等于n上的广11 ()k E f ak∞=≥+=_________.7．设f是[a上的单调函数，则8．设f是可测集E上的非负可测函数，则_________.9．区间[上的有界是10．设F (x)是定义在的充要条件是：1jk j k A∞∞==； B.1jk j kA∞∞==C.1lim k j k k j kA A ∞∞→∞===； D. 1lim k j k k j kA A ∞∞→∞===。
2．设f (x )是E 上的可测函数，则对任意实数a ，有 ( )A. E [x ; f (x ) >a ]是开集；B. E [x ; f (x ) ≥ a ]是闭集；C. E [x ; f (x ) >a ]是可测集；D. E [x ; f (x ) = a ]是零测集。
3．下列断言中错误的是 ( )A. 有理点集为零测集；B. Cantor 集为零测集；C. 零测集的子集是零测集；D. 无穷个零测集的并是零测集。
4．设f (x )为可测集E 上的可测函数，若()Ef x dx <+∞⎰，则下列断言错误的是 ( )A. f (x )在E 上L-积分存在；B. f (x )在E 上L-可积；C. f (x )在E 上未必L-可积；D. f (x )在E 上a.e.有限。
5．设{}k f 是nE ⊂上的可测函数列，lim ()k k f x →∞存在，则lim ()k k f x →∞是 （ ）A.简单函数；B.连续函数；C.可测函数；D.单调函数。
6．设f 是[,]a b 上有界变差函数，则有 ( )A. ()f x 连续；B. ()f x '存在；C ．()f x ' a.e.存在；D. ()f x ''存在。
7．设E 是可测集，A 是不可测集，0mE =，则E A 是 （ ）.A 可测集且测度为零； .B 可测集但测度未必为零； .C 不可测集； .D 以上都不对。
实变函数(复习资料,带答案)
《实变函数》试卷一一、单项选择题（3分×5=15分） 1、下列各式正确的是（ ）（A ）1lim n k n n k n A A ∞∞→∞===⋃⋂; （B ）1lim n k n k n n A A ∞∞==→∞=⋂⋃;（C ）1lim n k n n k nA A ∞∞→∞===⋂⋃; （D ）1lim n k n k nn A A ∞∞==→∞=⋂⋂;2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ） （A ）=P c (B) 0mP = (C) P P ='(D) P P =3、下列说法不正确的是（ ）(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( )（A ）若()()n f x f x ⇒, 则()()n f x f x → (B){}sup ()n nf x 是可测函数（C ）{}inf ()n nf x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ⇒,则()f x 可测5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ）(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数（C ）)('x f 在],[b a 上L 可积 (D)⎰-=b aa fb f dx x f )()()('二. 填空题(3分×5=15分)1、()(())s s C A C B A A B ⋃⋂--=_________2、设E 是[]0,1上有理点全体，则'E =______,oE =______,E =______.3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都_________________________________，则称E 是L 可测的 4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”）5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使_____________________________________,则称()f x 为[],a b 上的有界变差函数。
(完整版)实变函数(复习资料_带答案)
《实变函数》试卷一一、单项选择题（3分×5=15分） 1、下列各式正确的是（ ）（A ）1lim n k n n k n A A ∞∞→∞===⋃⋂; （B ）1lim n k n k n n A A ∞∞==→∞=⋂⋃;（C ）1lim n k n n k nA A ∞∞→∞===⋂⋃; （D ）1lim n k n k nn A A ∞∞==→∞=⋂⋂;2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ）（A ）=P c (B) 0mP = (C) P P =' (D) P P =ο3、下列说法不正确的是（ ）(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( )（A ）若()()n f x f x ⇒, 则()()n f x f x → (B){}sup ()n nf x 是可测函数（C ）{}inf ()n nf x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ⇒,则()f x 可测5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ）(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数（C ）)('x f 在],[b a 上L 可积 (D)⎰-=b aa fb f dx x f )()()('二. 填空题(3分×5=15分)1、()(())s s C A C B A A B ⋃⋂--=_________2、设E 是[]0,1上有理点全体，则'E =______,oE =______,E =______.3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都_________________________________，则称E 是L 可测的4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”）5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使_____________________________________,则称()f x 为[],a b 上的有界变差函数。
实变函数(复习资料,带答案).doc
《实变函数试卷一一、单项选择题(3分X5=15分)1、下列各式正确的是( )_________ oo oo oo oo(A) limA = u n A ; (B) lim A = n u A ;n—H=1k=n，?一z?=l k=n00 00 00 00(C) limA" = n u ; (D) lim= A k ;打一＞oo z:=l k=n z?=l k=n2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是( )(A) ~P= c (B) mP = 0 (C) P = P (D) P=P3、下列说法不正确的是( )(A)凡外侧度为零的集合都可测(B)可测集的任何子集都可测(C)开集和闭集都是波雷耳集(D)波雷耳集都可测4、设以(4是£上的E有限的可测函数列，则下而不成立的是( )(A)若又(x)=>/(x),则又(x) + /(x) (B)sup{/…Cr)}是可测函数(O inf{//%)}是可测函数；(D)若/T H又⑺=>/U)，则/(X)可测5、设f(X)是上有界变差函数，则卜*面不成立的是()(A) /(X)在［6Z，/7］上有界(B) /(X)在［6/，刎上儿乎处处存在导数c b(C) / (X)在上L 可积(D) J a f\x)cbc=f(b)-f(a)二.填空题(3分X 5=15分)1、(C s AuC v5)n(A-(A-B))= ________________2、设£是［0，1］上有理点全体，则E - ______ , E- ________ , E- _______ .3、设£是/?。
中点集，如果对任一点集r都,贝1J称£是£可测的4、/⑶可测的________ 条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.(填“充分”，“必要”，“充要”)5、设/(x)为上的有限函数，如果对于的一切分划，使_____________________________________ ，则称/(x)为［6Z，/7］上的有界变差函数。
(完整版)实变函数期末复习
实变函数期末复习选择题1．设,...,],)(,[21121=-+=n nA nn 则 （ ） A.],[lim 10=∞→n n A B.],(lim 10=∞→n n A C.],(lim 30=∞→n n A D.),(lim 30=∞→n n A2.设N i i x i x A i ∈+≤≤=},:{23，则=∞=I 1i i A （ ） A.（-1,1） B.[0,1] C.∅ D.{0}3.集合E 的全体聚点所组成的集合称为E 的 （ ）A.开集B.边界C.导集D.闭包4.若}{n A 是一闭集列，则Y ∞=1n n A是 （ ）A.开集B.闭集C.既非开集又非闭集D.无法判断5若)(x f 可测，则它必是 （ ）A.连续函数B.单调函数C.简单函数D.简单函数列的极限 6关于简单函数与可测函数下述结论不正确的是 （ ）A.简单函数一定是可测函数B.简单函数列的极限是可测函数C.简单函数与可测函数是同一概念D.简单函数列的极限与可测函数是同一概念7设)(x f 是可测集E 上的非负可测函数，则)(x f （ ）A.必可积B.必几乎处处有限C.必积分确定D.不一定积分确定8设E 是可测集，则下列结论中正确的是 （ ）A.若)}({x f n 在E 上a.e 收敛于一个a.e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n 一致收敛于)(x fB.若)}({x f n 在E 上基本上一致收敛于)(x f ，则)(x f n a.e 收敛于)(x fC.若)}({x f n 在E 上a.e 收敛于一个a.e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n 基本上一致收敛于)(x fD.若)}({x f n 在E 上a.e 收敛于一个a.e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n ⇒)(x f9设)(x f 是可测集E 上可积，则在E 上 （ ）A.）（x f +与)(x f - 只有一个可积B.）（x f +与)(x f - 皆可积C.）（x f +与)(x f - 一定不可积D.）（x f +与)(x f - 至少有一个可积 10.)(x f 在可测集E 上)(L 可积的必要条件是，)(x f 为 （ ）A 、连续函数B 、几乎处处连续函数C 、单调函数D 、几乎处处有限的可测函数11设)(x D 为狄立克雷函数，则⎰=10)()(dx x D L （ ）A 、 0B 、 1C 、1/2D 、不存在 12设}{nE 是一列可测集，ΛΛ⊃⊃⊃⊃n E E E 21，且+∞<1mE ，则有 （ ）（A ）n n n n mE E m ∞→∞==⎪⎭⎫ ⎝⎛⋂lim 1 (B) n n n n mE E m ∞→∞=≤⎪⎭⎫ ⎝⎛⋃lim 1 （C ）n n n n mE E m ∞→∞=<⎪⎭⎫ ⎝⎛⋂lim 1; （D ）以上都不对 13设),0(n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim( ) A 、Φ B 、[0, n] C 、R D 、(0, ∞)14设)1,0(n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( )A 、(0, 1)B 、(0, n1) C 、{0} D 、Φ、 填空题1、设A 为一集合，B 是A 的所有子集构成的集合；若A =n, 则B =2、设A 为一集合，B 是A 的所有子集构成的集合；若A 是一可数集, 则B =3、若c A =, c B =, 则=⋃B A4、若c A =, B 是一可数集, 则=⋃B A5、若c A =, n B =, 则=⋃B A6、若}{n A 是一集合列, 且c A n =, =⋃∞=n n A 1 7、设}{i S 是一列递增的可测集合，则=∞→)lim (n n S m _______。
成人教育《实变函数 》期末考试复习题及参考答案
一、单项选择题1．下列命题或表达式正确的是 DA ．}{b b ⊂B ．2}2{=C ．对于任意集合B A ,，有B A ⊂或A B ⊂D ．φφ⊂ 2．下列命题不正确的是 AA ．若点集A 是无界集，则+∞=A m *B ．若点集E 是有界集，则+∞<E m *C ．可数点集的外测度为零D ．康托集P 的测度为零 3．下列表达式正确的是 DA.}0),(m ax {)(x f x f -=+B ．)()()(x f x f x f -++= C.)()(|)(|x f x f x f -+-=D ．}),(min{)]([n x f x f n = 4．下列命题不正确的是 BA ．开集、闭集都是可测集B ．可测集都是Borel 集C ．外测度为零的集是可测集D ．σF 型集，δG 型集都是可测集 5．下列集合基数为a （可数集）的是 CA ．康托集PB ．)1,0(C ．设i n nx x x x x A R A |),,,({,21 ==⊂是整数，},,2,1n i =D ．区间)1,0(中的无理数全体二、计算题1. 设()3cos 0,\2x x E f x x x E π⎧∈⎪=⎨⎡⎤∈⎪⎢⎥⎣⎦⎩，E 为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦中有理数集，求()0,2f x dx π⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰.解：因为0mE =，所以()cos ,.f x x a e =于[]0,1 于是()0,0,22cos f x dx xdx ππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=⎰⎰而cos x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上连续，所以黎曼可积，由牛顿莱布尼公式 []()22000,1cos cos sin |1xdx R xdx x ππ===⎰⎰因此()0,21f x dx π⎡⎤⎢⎥⎣⎦=⎰2. 设()()[]22cos ,0,11n nx nx f x x n x =∈+，求()[]0,1lim n n f x dx →∞⎰.解：因为()n f x 在[]0,1上连续，所以可测()1,2,n =又()()[]2222cos 1,0,1,1,2,1122n nx nx nx nx f x x n n x n x nx =≤≤=∈=++而22lim01n nxn x →∞=+，所以()lim 0n n f x →∞=.因此由有界控制收敛定理()[]()[][]0,10,10,1limlim 00nnn n f x dx f x dx dx →∞→∞===⎰⎰⎰三、判断题 1. 若,A B 可测, A B ⊂且A B ≠,则mA mB <.(×)2. 设E 为点集, P E ∉, 则P 是E 的外点. (×)3. 点集11,2,,E n⎧⎫=⎨⎬⎩⎭的闭集.(×) 4. 任意多个闭集的并集是闭集.(×) 5. 若n ER ⊂,满足*m E =+∞, 则E 为无限集合.(√)6.非可数的无限集为c 势集。
实变函数复习资料,带答案
《实变函数》试卷一一、单项选择题(3分×5=15分) 1、下列各式正确的就是( )(A)1lim n k n n k n A A ∞∞→∞===⋃⋂; (B)1lim n k n k n n A A ∞∞==→∞=⋂⋃;(C)1lim n k n n k nA A ∞∞→∞===⋂⋃; (D)1lim n k n k nn A A ∞∞==→∞=⋂⋂;2、设P 为Cantor 集,则下列各式不成立的就是( ) (A)=P c (B) 0mP = (C) P P ='(D) P P =3、下列说法不正确的就是( )(A) 凡外侧度为零的集合都可测(B)可测集的任何子集都可测(C) 开集与闭集都就是波雷耳集 (D)波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 就是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的就是( )(A)若()()n f x f x ⇒, 则()()n f x f x → (B){}sup ()n nf x 就是可测函数(C){}inf ()n nf x 就是可测函数;(D)若()()n f x f x ⇒,则()f x 可测5、设f(x)就是],[b a 上有界变差函数,则下面不成立的就是( )(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数(C))('x f 在],[b a 上L 可积 (D)⎰-=b aa fb f dx x f )()()('二、 填空题(3分×5=15分)1、()(())s s C A C B A A B ⋃⋂--=_________2、设E 就是[]0,1上有理点全体,则'E =______,oE =______,E =______、 3、设E 就是n R 中点集,如果对任一点集T 都_________________________________,则称E 就是L 可测的4、)(x f 可测的________条件就是它可以表成一列简单函数的极限函数、(填“充分”,“必要”,“充要”)5、设()f x 为[],a b 上的有限函数,如果对于[],a b 的一切分划,使_____________________________________,则称()f x 为[],a b 上的有界变差函数。
实变函数测试题与答案
实变函数测试题与答案实变函数测试题一、填空题1.设 $A_n=\begin{pmatrix} 1/n \\ 1/(n+1) \\ \cdots \\ 1/(2n) \end{pmatrix}$，则 $\lim\limits_{n\to\infty}A_n=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \cdots \\ 0 \end{pmatrix}$。
2.$(a,b)$ 与 $(-\infty,+\infty)$ 之间存在两个集合之间的一一映射，因此它们的基数相同。
3.设 $E$ 是函数 $y=f(x)$ 的图形上的点所组成的集合，则$E=\{(x,f(x)):x\in\mathbb{R}\}$。
4.若集合 $E\subset\mathbb{R}$ 满足 $E'\subset E$，则$E$ 是闭集。
5.若 $(\alpha,\beta)$ 是直线上开集 $G$ 的一个构成区间，则 $(\alpha,\beta)$ 是连通集。
6.设 $E$ 是闭区间 $[a,b]$ 中的全体无理数集，则$m(E)=b-a$。
7.若 $\{f_n(x)\}$ 在 $E$ 上几乎处处有限且可测，$f(x)$ 在 $E$ 上几乎处处有限且可测，并且$\lim\limits_{n\to\infty} f_n(x)=f(x)$，则 $\{f_n(x)\}$ 在 $E$ 上依测度收敛于 $f(x)$。
8.XXX{R}$，$x$ 是 $E$ 的聚点，$f(x)$ 是实变函数，则存在 $\{x_n\}\subset E$，使得 $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=x$ 且 $\lim\limits_{n\to\infty} f(x_n)$ 存在。
9.若 $\{f_n(x)\}$ 在 $E$ 上几乎处处有限且可测，$f(x)$ 在 $E$ 上几乎处处有限且可测，并且对于任意$\sigma>0$，都有 $\lim\limits_{n\to\infty} m\{x\in E:|f_n(x)-f(x)|\geq\sigma\}=0$，则 $\{f_n(x)\}$ 在 $E$ 上依测度收敛于$f(x)$。
实变函数期末考试卷A卷
实变函数期末考试卷A 卷一、 判断题（每题2分，共20分）1.若A 是B 的真子集，则必有B A <。
（×）2.必有比a 小的基数。
（√）3.一个点不是E 的聚点必不是E 的内点。
（√）4.无限个开集的交必是开集。
（×）5.若φ≠E ，则0*>E m 。
（×）6.任何集nR E ⊂都有外测度。
（√） 7.两集合的基数相等，则它们的外测度相等。
（×） 8.可测集的所有子集都可测。
（×） 9.若)(x f 在可测集E 上可测，则)(x f 在E 的任意子集上也可测。
（×） 10.)(x f 在E 上可积必积分存在。
（×） 1.设E 为点集，E P ∉，则P 是E 的外点.（ × ）2.不可数个闭集的交集仍是闭集. （ × ）3.设{}n E 是一列可测集,且1,1,2,,n n E E n +⊂=则1()lim ().n n n n m E m E ∞→∞==（× ） 4.单调集列一定收敛. （√ ）5.若()f x 在E 上可测,则存在Fσ型集,()0F E m E F ⊂-=,()f x 在F 上连续.（ × ） 二、填空题（每空2分，共20分）1.设B 是1R 中无理数集，则=B c 。
2.设1,1,,31,21,1R n A ⊂⎭⎬⎫⎩⎨⎧= ，则=0A φ ，='A }0{ 。
3.设,2,1,0),11,11(=++-=n n n A n ，则=⋃∞=n n A 0 )1,1(- ，=⋂∞=n n A 1 }0{ 。
4.有界变差函数的不连续点构成的点集是 至多可列 集。
5.设E 是]1,0[上的Cantor 集，则=mE 0 。
6.设A 是闭集，B 是开集，则B A \是 闭 集。
7.闭区间],[b a 上的有界函数)(x f Rimann 可积的充要条件是 )(x f 是],[b a 上的几乎处处的连续函数 。
实变函数期末考试题库
实变函数期末考试题库一、选择题1. 下列函数符合实变函数的定义的是：（）A. f(x) = x^2 - 5x + 6, x ∈ [0, ∞)B. f(x) = √(x + 2), x ∈ (-∞, 3]C. f(x) = 1/x, x ∈ (-∞, 0)D. f(x) = |x|, x ∈ R2. 实变函数的定义域是指函数所能取的值的范围。
下列函数的定义域是：（）A. f(x) = 2x + 1, x ∈ ZB. f(x) = √(x^2 - 4), x ∈ RC. f(x) = log(x), x ∈ (-∞, ∞)D. f(x) = 1/(x - 2), x ∈ R - {2}3. 下列函数中，连续性具有间断点的是：（）A. f(x) = 3x - 2, x ∈ (-∞, 10)B. f(x) = |x|, x ∈ RC. f(x) = {x^2, x < 0; 2x, x ≥ 0}, x ∈ RD. f(x) = 1/x, x ∈ (-∞, 0) U (0, ∞)4. 设f(x)和g(x)为两个实变函数，下列函数中不是实变函数的是：（）A. f(x) + g(x)B. f(x)g(x)C. f(x)/g(x), g(x) ≠ 0D. g(f(x))5. 若f(x)为实变函数，则下列函数中一定是实变函数的是：（）A. f(x)/xB. √f(x)C. ∣f(x)∣D. f(x + 1)二、填空题1. 若f(x)在x = a处连续，则f(x)在x = a处一定是__________函数。
答：连续2. 设f(x) = 2x^2 + bx +1，若f(x)在x = -1处连续，则b的取值范围是__________。
答：33. 设f(x) = (x - 1)/(x + 3) + e^x，则f(x)的定义域是__________。
答：(-∞, -3) U (-3, ∞)4. 设函数f(x) = |2x - 5|，则f(x)在点x = ________处不连续。
实变函数期末复习资料试卷
）
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∞ （C） m⎛ ∩ En ⎞ ⎜n ⎟ < lim mEn ;（D）以上都不对 ⎝ =1 ⎠ n → ∞
5、设 f(x)是 [ a, b] 上绝对连续函数，则下面不成立的是（ (A) f (x) 在 [ a, b] 上的一致连续函数 （C） f ( x ) 在 [ a, b] 上 L 可积 得 分 二. 填空题(3 分×5=15 分) 1、设集合 N ⊂ M ，则 M − ( M − N) = 2、设 P 为 Cantor 集，则 P = 3 、 设 E 是 _________
∞ ⎞ ______ ∞ mS 3、设 {Si } 是一列可测集，则 m ⎛ ∪ S ⎜ i =1 i ⎟ ∑ i ⎝ ⎠ i =1
o
4、 ______________________________________________________ 鲁津定理： _______________________________________________________________ 5、 设 F ( x) 为 [ a , b ] 上的有限函数， 如果_________________________________ _______________________________________________________________ ______________________________则称 F ( x) 为 [ a , b ] 上的绝对连续函数。
考 生
安庆师范学院
第
实变函数证明题大全（期末考试）
实变函数证明题⼤全（期末考试）1、设',()..E R f x E a e ?是上有限地可测函数，证明：存在定义在'R 上地⼀列连续函数{}n g ，使得lim ()()..n n g x f x a e →∞=于E.证明：因为()f x 在E 上可测，由鲁津定理是，对任何正整数n ，存在E 地可测⼦集n E ，使得1()n m E E n-<，同时存在定义在1R 上地连续函数()n g x ，使得当n x E ∈时，有()()n g x f x =所以对任意地0η>，成⽴[||]n n E f g E E η-≥?-由此可得1[||]()n n mE f g n m E E n-≥≤-<，因此lim [||]0n n mE f g n →∞-≥=即()()n g x f x ?，由黎斯定理存在{}n g 地⼦列{}k n g ，使得lim ()()k n k g x f x →∞=，..a e 于E2、设()(,)f x -∞∞是上地连续函数，()g x 为[,]a b 上地可测函数，则(())f g x 是可测函数. 证明：记12(,),[,]E E a b =-∞+∞=，由于()f x 在1E 上连续，故对任意实数1,[]c E f c >是直线上地开集，设11[](,)n n n E f c αβ∞=>=，其中(,)n n αβ是其构成区间（可能是有限个，nα可能为-∞nβ可有为+∞）因此222211[()][]([][])n n n n n n E f g c E g E g E g αβαβ∞∞==>=<<=><因为g 在2E 上可测，因此22[],[]n n E g E g αβ><都可测.故[()]E f g c >可测.3、设()f x 是(,)-∞+∞上地实值连续函数，则对于任意常数a ，{|()}E x f x a =>是⼀开集，⽽{|()}E x f x a =≥总是⼀闭集.证明：若00,()x E f x a ∈>则，因为()f x 是连续地，所以存在0δ>，使任意(,)x ∈-∞∞，0||()x x f x a δ-<>就有，即任意00U(,),,U(,),x x x E x E E δδ∈∈?就有所以是开集若,n x E ∈且0(),()n n x x n f x a →→∞≥则，由于()f x 连续，0()lim ()n n f x f x a →∞=≥，即0x E ∈，因此E 是闭集.4、（1）设2121(0,),(0,),1,2,,n n A A n n n-==求出集列{}n A 地上限集和下限集证明：lim (0,)n n A →∞=∞设(0,)x ∈∞，则存在N ，使x N <，因此n N >时，0x n <<，即2n x A ∈，所以x 属于下标⽐N ⼤地⼀切偶指标集，从⽽x 属于⽆限多n A ，得lim n n x A →∞∈，⼜显然lim (0,),lim (0,)n n n n A A →∞→∞∞=∞所以lim n n A φ→∞=若有lim n n x A →∞∈，则存在N ，使任意n N >，有n x A ∈，因此若21n N ->时，211,0,00n x A x n x n -∈<<→∞<≤即令得，此不可能，所以lim n n A φ→∞=（2）可数点集地外测度为零. 证明：证明：设{|1,2,}i E x i ==对任意0ε>，存在开区间i I ，使i i x I ∈，且||2i iI ε=所以1i i I E ∞=?，且1||i i I ε∞==∑，由ε地任意性得*0m E =5、设}{n f 是E 上地可测函数列，则其收敛点集与发散点集都是可测地. 证：显然，{}n f 地收敛点集可表⽰为0[lim ()lim ()]n n x x E E x f x f x →∞→∞===11[lim lim ]n nx x k E f f k ∞→∞→∞=-<∏. 由n f 可测lim n x f →∞及lim n x f →∞都可测，所以lim lim n n x x f f →∞→∞-在E 上可测.从⽽，对任⼀⾃然数k ，1[lim lim ]n n x x E f f k→∞→∞-<可测.故 011[lim lim ]n n x x k E E f f k ∞→∞→∞==-<∏可测.既然收敛点集0E 可测，那么发散点集0E E -也可测.6、设qR E ?，存在两侧两列可测集{n A }，{n B },使得n A ?E ?n B 且m （n A -n B ）→0，（n→∝）则E 可测.证明：对于任意i ，i n n B B ?∞=1，所以E B E B i n n -?∞=-1⼜因为E A i ?，i i i A B E B -?-所以对于任意i ，)(**1E B m E B m i n n -≤-∞=）（ )(*i i A B m -≤)(i i A B m -= 令i →∝，由)(i i A B m -→0 得0*1=-∞=）（E B m n n 所以E B n n -∞=1是可测地⼜由于n B 可测，有n n B ∞=1也是可测地所以)(11E B B E n n n n --=∞=∞= 是可测地.7、设在E 上()()n f x f x ?，⽽()()n n f x g x =..a e 成⽴，1,2n =，则有()()n g x f x ?设[]n n n E E f g =≠，则110n n n n m E mE ∞∞==??≤= ∑.σ?>1n n n n E f g E E f f σσ∞=??-≥-≥所以1nnn nn m E f g m EmE fσσσ∞=-≥?≤+?-≥?=?-≥?因为()()n f x f x ?，所以0lim lim 0n n nnmE f g mE f f σσ≤?-≥?≤?-≥?=即()()n g x f x ?8、证明：()A B A B '''?=?.证明：因为A A B ??，B A B ??，所以，()A A B ''??，()B A B ''??，从⽽()A B A B '''反之，对任意()x A B '∈?，即对任意(,)B x δ，有(,)()((,))((,))B x A B B x A B x B δδδ??=为⽆限集，从⽽(,)B x A δ?为⽆限集或(,)B x B δ?为⽆限集⾄少有⼀个成⽴，即x A '∈或x B '∈，所以，x A B ''∈?，()A B A B '''.综上所述，()A B A B '''?=?.9、证明：若()()n f x f x ?，()()n f x g x ?（x E ∈），则()()f x g x =..a e 于E . 证明：由于11[()()][]n E x f x g x E x f g n∞=≠=-≥，⽽ 111[][][]22n n E x f g E x f f E x f g k k k-≥?-≥?-≥，所以，111[][][]22n n mE x f g mE x f f mE x f g k k k-≥≤-≥+-≥，由()()n f x f x ?，()()n f x g x ?（x E ∈）得1lim []02n n mE x f f k →∞-≥=，1lim []02n n mE x f g k→∞-≥=.所以，1[]0mE x f g k-≥=，从⽽[()()]0mE x f x g x ≠=，即()()f x g x =..a e 于E . 10、、证明：若()()n f x f x ?，()()n g x g x ?（x E ∈），则()()()()n n f x g x f x g x ±?±（x E ∈）.证明：对任意0σ>，由于()()[()()]()()()()n n n n f x g x f x g x f x f x g x g x ±-±≤-+-，所以，由()()[()()]n n f x g x f x g x σ±-±≥可得，1()()2n f x f x σ-≥和1()()2n g x g x σ-≥⾄少有⼀个成⽴.从⽽11[[]][][]22n n n n E x f g f g E x f f E x g g σσσ±-±≥?-≥?-≥，所以，11[[]][][]22n n n n mE x f g f g mE x f f mE x g g σσσ±-±≥≤-≥+-≥.⼜由()()n f x f x ?，()()n g x g x ?（x E ∈）得，1lim []02n n mE x f f σ→∞-≥=，1lim []02n n mE x g g σ→∞-≥=. 所以，lim [[]]0n n n mE x f g f g σ→∞±-±≥=，即()()()()n n f x g x f x g x ±?±（x E ∈）.11、若()()n f x f x ?（x E ∈），则()()n f x f x ?（x E ∈）.证明：因为()()()()n n f x f x f x f x -≥-，所以，对任意0σ>，有[][]n n E x f f E x f f σσ-≥?-≥，[][]n n mE x f f mE x f f σσ-≥≤-≥.⼜由()()n f x f x ?（x E ∈）得，lim []0n n mE x f f σ→∞-≥=.所以，lim []0n n mE x f f σ→∞-≥=，即()()n f x f x ?（x E ∈）.12、证明：1R 上地连续函数必为可测函数.证明：设()f x 是1R 上地连续函数，由连续函数地局部保号性，对任意实数a ，11[]{(),}R x f a x f x a x R >=>∈是开集，从⽽是可测集.所以，()f x 是1R 上地可测函数.13、证明：1R 上地单调函数必为可测函数.证明：不妨设()f x 是1R 上地单调递增函数，对任意实数a ，记inf{()}A x f x a =>，由单调函数地特点得，当{()}A x f x a ∈>时，{()}[,)x f x a A >=+∞，显然是可测集；当{()}A x f x a ?>时，{()}(,)x f x a A >=+∞，也显然是可测集.故()f x 是1R 上地可测函数.14、设()()f x L E ∈，n E 是E 地可测⼦集，且mE <+∞，若l i m n n m E m E →∞=，则l i m ()d ()dnE En f x x f x x →∞=??. 证明：因为n E 是E 地可测⼦集，且mE <+∞，所以，()n n m E E mE mE -=-，从⽽由lim n n mE mE →∞=得，lim ()lim 0n n n n m E E mE mE →∞→∞-=-=.⼜()()f x L E ∈，由积分地绝对连续性，lim[()d ()d ]lim ()d 0nnEE E E n n f x x f x x f x x -→∞→∞-==?.15、设()()f x L E ∈，若对任意有界可测函数()x ?都有()()d 0Ef x x x ?=?，则()0f x =..a e 于E .证明：由题设，取1,[()0]()0,[()0]1,[()0]x E x f x x x E x f x x E x f x ??∈>?=∈=??-∈，显然()x ?为E 上地有界可测函数，从⽽()d ()()d 0EEf x x f x x x ?==?.所以，()0f x =..a e 于E ，即()0f x =..a e 于E .16、设()()f x L E ∈，[]n e E f n =≥，证明（1）lim 0n n me →∞=；（2）lim 0n n n me →∞=.证明：由()d ()d nn e En me f x x f x x ?≤≤?得，（1）lim 0n n me →∞=.（2）由（1），注意到()()f x L E ∈，由积分地绝对连续性得，lim ()d 0ne nf x x →∞=?，从⽽注意到0()d nn e n me f x x ≤?≤?，所以，lim 0n n n me →∞=.17、若()f x 是[,]a b 上地单调函数，则()f x 是[,]a b 上地有界变差函数，且()()()baV f f b f a =-.证明：不妨设()f x 是[,]a b 上地单调增函数，任取[,]a b 地⼀个分割011:i i n T a x x x x x b -=<<<<<<=则11011()()[()()]()()nnii i i n i i f x f xf x f x f x f x --==-=-=-∑∑()()()()f b f a f b f a =-=-，所以，11()sup()()()()nbii V f f x f xf b f a -==-=-∑.18、若()f x 在[,]a b 上满⾜：存在正常数K ，使得对任意12,[,]x x a b ∈，都有1212()()f x f x K x x -≤-，则（1）()f x 是[,]a b 上地有界变差函数，且()()ba V f Kb a ≤-；（2）()f x 是[,]a b 上地绝对连续函数.证明：（1）由题设，任取[,]a b 地⼀个分割011:i i n T a x x x x x b -=<<<<<<=则111111()()()()nn ni i i i i i i i i f x f x K x x K x x K b a ---===-≤-=-=-∑∑∑，所以，()f x 是[,]a b 上地有界变差函数，且11()sup()()()nbi i aTi V f f x f x K b a -==-≤-∑.（2）在[,]a b 内，任取有限个互不相交地开区间(,)i i x y ，1,2,,i n =.由于111()()n niiii i i i i f x f y K x yK x y ===-≤-=-∑∑∑，于是，对任意0ε>，取Kεδ=，则当1ni ii x yδ=-<∑时，有11()()nni i i i i i f x f y K x y ε==-≤-<∑∑，即()f x 是[,]a b 上地绝对连续函数.19、若()f x 是[,]a b 上地绝对连续函数，则()f x 是[,]a b 上地有界变差函数.证明：由()f x 是[,]a b 上地绝对连续函数，取1ε=，存在0δ>，对任意有限个互不相交地开区间(,)i i x y ，1,2,,i n =，只要1n i i i x y δ=-<∑时，有1()()1ni i i f x f y =-<∑.现将[,]a b 等分，记分点为011i i n a a a a a a b -=<<<<<<=，使得每⼀等份地长度⼩于δ.易得1()1ii a a V f -≤，即()f x 是1[,]i i a a -上地有界变差函数.⼜11[,][,]n i i i a b a a -==，所以，11()()ii na baa i V f V f n -==≤<+∞∑，即()f x 是[,]a b 上地有界变差函数.20、若()f x 是[,]a b 上地有界变差函数，则（1）全变差函数()xa V f 是[,]ab 上地递增函数；（2）()()xaV f f x -也是[,]a b 上地递增函数.证明：（1）对任意12,[,]x x a b ∈，21x x >，注意到21()0x x V f ≥，有21211()()()()x x x x aax aV f V f V f V f =+≥，即()xaV f 是[,]a b 上地递增函数.（2）对任意12,[,]x x a b ∈，21x x >，注意到211()()()x i i x V f f x f x -≥-，有21212121()()[()()]()[()()]x x x aax V f f x V f f x V f f x f x ---=--2121()()()0x x V f f x f x ≥--≥，即()()xaV f f x -是[,]a b 上地递增函数.21、证明Jordan 分解定理：()f x 是[,]a b 上地有界变差函数?()f x 可表⽰成[,]a b 上地两个增函数之差.证明：“充分性”显然成⽴.下证“必要性”.事实上，()()[()()]xxaaf x V f V f f x =--，由上题()xaV f 和()()xaV f f x -都是[,]a b 上地递增函数.版权申明本⽂部分内容，包括⽂字、图⽚、以及设计等在⽹上搜集整理.版权为个⼈所有This article includes some 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实变函数试题库参考答案
《实变函数》试题库及参考答案（完整版）选择题1,下列对象不能构成集合的是:（ ）A 、全体自然数B 、0,1 之间的实数全体C 、[0, 1]上的实函数全体D 、全体大个子2、下列对象不能构成集合的是:（ ）A 、{全体实数}B 、{全体整数}C 、{全体小个子}D 、{x ：x>1}3、下列对象不能构成集合的是:（ ）A 、{全体实数}B 、{全体整数}C 、{x ：x>1}D 、{全体胖子}4、下列对象不能构成集合的是:（ ）A 、{全体实数}B 、{全体整数}C 、{x ：x>1}D 、{全体瘦子}5、下列对象不能构成集合的是:（ ）A 、{全体小孩子}B 、{全体整数}C 、{x ：x>1}D 、{全体实数}6、下列对象不能构成集合的是:（ ）A 、{全体实数}B 、{全体大人}C 、{x ：x>1}D 、{全体整数}7、设}1:{ααα≤<-=x x A , I 为全体实数, 则ααA I∈⋃= ( ) A 、(-1, 1) B 、(-1, 0) C 、(-∞, +∞) D 、(1,+∞)8、设}1111:{ix i x A i -≤≤+-=, N i ∈, 则i i A ∞=⋃1= ( ) A 、(-1, 1) B 、(-1, 0) C 、[0, 1]D 、[-1, 1]9、设}110:{ix x A i +≤≤=, N i ∈, 则i i A ∞=⋂1= ( ) A 、(0, 1) B 、[0, 1] C 、[0, 1] D 、(0, +∞)10、设}1211:{ix i x A i +<<-=, N i ∈, 则i i A ∞=⋃1= ( ) A 、[1, 2] B 、(1, 2) C 、 (0, 3) D 、(1, 2)11、设}23:{+≤≤=i x i x A i , N i ∈, 则i i A ∞=⋂1= ( ) A 、(-1, 1) B 、[0, 1] C 、Φ D 、{0}12、设}11:{ix i x A i <<-=, N i ∈, 则i i A ∞=⋂1= ( ) A 、(-1, 1) B 、[0, 1] C 、Φ D 、{0}13、设]1212,0[12--=-n A n , ]211,0[2nA n +=, N n ∈,则=∞→n n A lim ( )A 、[0, 2]B 、[0, 2]C 、[0, 1]D 、[0, 1]14、设]1212,0[12--=-n A n , ]211,0[2nA n +=, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( ) A 、[0, 2]B 、[0, 2]C 、[0, 1]D 、[0,1]15、设),0(n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( )A 、ΦB 、[0, n]C 、RD 、(0, ∞)16、设)1,0(nA n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( ) A 、(0, 1)B 、(0, n1) C 、{0} D 、Φ 17、设)1,0(12nA n =-, ),0(2n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( )A 、ΦB 、(0, n1) C 、(0, n) D 、(0, ∞) 18、设)1,0(12nA n =-, ),0(2n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( ) A 、ΦB 、(0, n1) C 、(0, n) D 、(0, ∞) 19、设A 、B 、C 是三个集合, 则A-(A-B)= ( )A 、B B 、AC 、A ⋂BD 、A ⋃B20、设A 、B 、C 是三个集合, 则A-(B ⋃C)= ( )A 、(A-B)⋂(A-C)B 、(A-B)⋃(A-C)C 、A ⋂BD 、A ⋂C21、设A 、B 、C 是三个集合, 则A-(B ⋂C)= ( )A 、(A-B)⋂(A-C)B 、(A-B)⋃(A-C)C 、A ⋂BD 、A ⋂C22、设A 、B 、S 是三个集合, 且S A ⊂, S B ⊂, 则)(B A C s -= ( )A 、BC A C s s ⋃ B 、B C A C s s ⋂ C 、B A C s ⋃D 、B A C s ⋂23、设A 、B 、S 是三个集合, 且S A ⊂, S B ⊂, 则)(B A C s ⋃= ( )A 、BC A C s s ⋃ B 、B C A C s s ⋂ C 、B A C s ⋃D 、B C A s ⋃24、设A 、B 、C 是三个集合, 则A-(B-C) = ( )A 、 A ⋃C-B B 、 A-B-C C 、 (A-B)⋃(A ⋂C)D 、 C-(B-A)25、集合E 的全体内点所成的集合称为E 的 ( )A 、开核B 、边界C 、导集D 、闭包26、集合E 的全体聚点所成的集合称为E 的 ( )A 、开核B 、边界C 、导集D 、闭包27、集合E 的全体边界点和内点所成的集合是E 的 ( )A 、开核B 、边界C 、导集D 、闭包28、E-E ＇所成的集合是 ( )A 、开核B 、边界C 、外点D 、{E 的全体孤立点}29、E 的全体边界点所成的集合称为E 的 ( )A 、开核B 、边界C 、导集D 、闭包30、设点P 是集合E 的边界点, 则 ( )A 、P 是E 的聚点B 、P 是E 的孤立点C 、P 是E 的内点D 、P 是CE 的边界点31、设)3,2()1,0(⋃=G , 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(21, 1) C 、[0, 1] D 、(0, 2) 32、设)1,0(1=G , )2,21()0,1(2⋃-=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(0, 2)C 、(-1, 21) D 、(-1, 2) 33、设)4,0(1=G , )4,3()1,0(2⋃=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(3, 4)C 、(0, 4)D 、 (1, 4)34、设)1,0(1=G , )4,3()2,1(2⋃=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(0, 3)C 、(0, 4)D 、(1, 4)35、设)2,0(1=G , )4,3()2,1(2⋃=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(0, 2)C 、(1, 2)D 、(1, 4)36、设)2,1()1,0(1⋃=G , )23,21()0,1(2⋃-=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(21, 23) B 、(1, 2) C 、(0, 1) D 、(-1, 0) 37、若B A ⊂ ，则下列命题错误的是： ( )A 、B A ⊂ B 、A ＇⊂B ＇C 、B A ∂⊂∂D 、B A ⊂38、若C B A =⋃, 则下列命题正确的是：（ ）A 、 CB A =⋃ B 、 A ＇⋃B ＇=C ＇ C 、C B A ∂=∂⋃∂D 、{A 的孤立点}⋃{B 的孤立点}={C 的孤立点}39、若C B A =⋂, 则下列命题错误的是：（ ）A 、 CB A =⋂ B 、C ＇⊂ A ＇⋂B ＇ C 、C B A =⋂D 、{A 的孤立点}⋂{B 的孤立点}={C 的孤立点}40、设CA 是A 的余集，则下列命题正确的是：（ ）A 、 )()(CA A C =B 、)(CA A ∂=∂C 、C(A ＇)＝（CA ）＇D 、CA A C =)(41、设A －B=C, 则下列命题正确的是：（ ）A 、CB A ∂=∂-∂ B 、C B A =- C 、A ＇－B ＇＝C ＇D 、{A 的孤立点}－{B 的孤立点}={C 的孤立点}42、 (2-4-1-2) 下列命题错误的是：（ ）A 、A 是闭集B 、A ＇是闭集C 、A ∂是闭集D 、 A 是闭集43、若A 是闭集，B 是开集，则A －B 是：（ ）A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断 44、若A 是开集，B 是闭集，则A －B 是：（ ）A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断 45、若}{n A 是一开集列，则n n A ∞=⋃1是：（ ）A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断 46、若}{n A 是一开集列，则n n A ∞=⋂1是：（ ）A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断 47、若}{n A 是一闭集列，则n n A ∞=⋃1是：（ ）A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断 48、若}{n A 是一闭集列，则n n A ∞=⋂1是：（ ）A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断 49、若]1,0[ QE =，则=mE （ ）A 、0B 、1C 、2D 、350、下述结论（ ）正确.A 、E m E m **>B 、E m E m *≥*C 、E m E m **<D 、E m E m **≤51、下列说法正确的是（ ）A 、x x f 1)(=在（0，1）有限B 、xx f 1)(=在)1,21(无界 C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=0,]1,0(,1)(x x x x f ，在[0，1]有限 D 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=0,1]1,0(,1)(x x x x f ，在[0，1]有界 52、函数列n n x x f =)(在[0，1]上（ ）于0.A 、a ，e 一致收敛B 、收敛C 、一致收敛D 、基本上一致收敛53、设E 是[0，1]中的不可测集，⎩⎨⎧-∈-∈=Ex E x x f ]1,0[,1,1)( 则下列函数在[0，1]上可测的是（ ）.A 、)(x fB 、)(x f +C 、|)(|x fD 、)(x f -54、若)(x f 可测，则它必是（ ）.A 、连续函数B 、单调函数C 、简单函数D 、简单函数列的极限55、若Q E -=]1,0[，则=mE （ ）A 、0B 、1C 、2D 、356、下列说法不正确的是（ ）A 、E 的测度有限，则E 必有界B 、E 的测度无限，则E 必无界C 、有界点集的测度有限D 、n R 的测度无限57、（4-4-2-1）下述论断正确的是（ ）A 、x x f tg )(=在)4,0(π无界 B 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=2,)2,0[,tg )(ππx x x x f 在]2,0[π有限 C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=2,1)2,0[,tg )(ππx x x x f 在]2,0[π有界 D 、x x f tg )(=在)2,0(π有限58、函数列n n x x f )21()(=在[0, 2]上（ ）于0. A 、收敛 B 、一致收敛 C 、基本上一致收敛 D 、a.e.一致收敛59、设⎩⎨⎧-∈-∈=E x x E x x x f ]1,0[,,)(其中E 是[0,1]的不可测集，则下列函数在[0, 1]可测的是（ ）.A 、|)(|x fB 、)(x fC 、)(x f +D 、)(x f -60、一个函数在其定义域中的（ ）点处都是连续的.A 、边界点B 、内点C 、聚点D 、孤立点.61、0P 是康托尔（cantor ）集，则=0mP （ ）A 、0B 、1C 、2D 、362、设A 是B 的真子集，则（ ）A 、B m A m **< B 、B m A m **≤C 、B m A m **>D 、B m A m **≥63、下列说法正确的是（ ）A 、x x f ctg )(=在)2,4(ππ无界 B 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=0,]2,0(ctg )(x x x x f π在]2,0[π有限 C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=0,1]2,0(ctg )(x x xx f π在]2,0[π有界 D 、x x f ctg )(=在)2,0(π有限64、函数列n n n x x f 2)(=在]21,0[上（ ）于0. A 、收敛 B 、一致收敛、 C 、基本上一致收敛 D 、a. e.一致收敛65、设E 是[0, 1]上的不可测集，⎩⎨⎧-∈-∈=Ex xE x x x f ]1,0[)(22则下列函数在[0, 1]可测的是（ ）. A 、)(x f B 、)(x f + C 、|)(|x f D 、)(x f -66、设E 为可测集，则下列结论中正确的是（ ）A 、若)}({x f n 在E 上a , e 收敛于一个a , e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n 一致收敛于)(x fB 、若)}({x f n 在E 上a , e 收敛于一个a , e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n 基本上一致收敛于)(x fC 、若)}({x f n 在E 上a , e 收敛于一个a , e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n ⇒)(x fD 、若)}({x f n 在E 上基本上一致收敛于)(x f ，则)(x f n a , e 收敛于)(x f67、G 表示康托尔（cantor ）集在[0,1]中的余集，则mG=（ ）A 、0B 、1C 、2D 、368、设21,S S 都可测，则21S S （ ）A 、可测B 、不可测C 、可能可测也可能不可测D 、以上都不对69、下列说法正确的是（ ）A 、x x f sec )(=在)4,0(π上无界 B 、x x f sec )(=在)4,0(π上有限C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=2)2,0[sec )(ππx x x x f 在]2,0[π上有限 D 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=21)2,0[sec )(ππx x x x f 在]2,0[π上有界 70、函数列n n n x x f 3)(=在]31,0[上（ ）于0 A 、收敛 B 、一致收敛 C 、基本上一致收敛 D 、a. e.一致收敛71、设⎩⎨⎧-∈∈-=Ex x E x x x f ]1,0[,,)(33，其中E 是[0, 1]上的不可测集，则（ ）在[0, 1]可测.A 、)(x f 、B 、)(x f +C 、)(x f -D 、|)(|x f72、关于连续函数与可测函数，下列论述中正确的是（ ）A 、它们是同一概念B 、a , e 有限的可测函数是连续函数C 、a , e 有限的可测函数是基本上连续的函数D 、a , e 有限的可测函数是a , e 连续的函数73、()=-)2,1()1,0( m ( )A 、1、B 、2C 、3D 、474、A 可测，B 是A 的真子集，则（ ）A 、mB mA ≥ B 、B m mA *≥C 、B m mA *=D 、以上都不对75、下列说法正确的是（ ）A 、21)(x x f =在(0, 1)有限、B 、21)(xx f =在]1,21[无界 C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=0,]1,0(,1)(2x x x x f 在[0, 1]有限 D 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=1,1]1,0(,1)(2x x x x f 在[0, 1]有界76、函数列x x f n n sin )(=在]2,0[π上（ ）于0.A 、收敛B 、基本上一致收敛C 、一致收敛D 、a. e.一致收敛77、设⎩⎨⎧-∈∈-=Ex x E x x x f ]1,0[,,)(22其中E 是[0, 1]上的不可测集，则（ ）在[0, 1]上是可测的.A 、|)(|x fB 、)(x fC 、)(x f +D 、)(x f -78、关于简单函数与可测函数下述结论不正确的是（ ）A 、简单函数一定是可测函数B 、简单函数列的极限是可测函数C 、简单函数与可测函数是同一概念D 、简单函数列的极限与可测函数是同一概念79、()=-]3,2()1,1[ m （ ）A 、1B 、2C 、3D 、480、L 可测集类，对运算（ ）不封闭.A 、可数和B 、有限交C 、单调集列的极限D 、任意和.81、下列说法正确的是（ ）A 、31)(x x f =在)1,21(无界B 、31)(xx f =在)1,0(有限C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=0]1,0(1)(3x x x x f 在[0, 1]有限D 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=01]1,0(1)(3x x x x f 在[0, 1]有界82、函数列x x f n n cos )(=在]2,0[π上（ ）于0.A 、基本一致收敛B 、收敛C 、一致收敛D 、a. e.一致收敛83、设E 是]2,0[π中的不可测集，⎪⎩⎪⎨⎧-∈-∈=E x x E x x x f ]2,0[,sin ,sin )(π 则下列函数在]2,0[π上可测的是（ ）.A 、)(x fB 、|)(|x fC 、)(x f +D 、)(x f -84、关于依测度收敛，下列说法中不正确的是（ ）A 、依测度收敛不一定一致收敛B 、依测度收敛不一定收敛C 、若)}({x f n 在E 上 a.e.收敛于 a.e.有限的可测函数)(x f ，则)()(x f x f n ⇒D 、若)()(x f x f n ⇒，则存在子列)}({x f i n a. e.收敛于)(x f85、设)(x f 是可测集E 上的非负可测函数，则)(x f （ ）A 、必可积B 、必几乎处处有限C 、必积分确定D 、不一定积分确定86、设)(x f 在可测集E 上可积，则在E 上（ ）A 、)(x f +与)(x f -只有一个可积B 、)(x f +与)(x f -皆可积C 、)(x f +与)(x f -不一定可积D 、)(x f +与)(x f -至少有一个不可积87、设0=mE （Φ≠E ），)(x f 是E 上的实函数，则下面叙述正确的是（ ）A 、)(x f 在E 上不一定可测B 、)(x f 在E 上可测但不一定可积C 、)(x f 在E 上可积且积分值为0D 、)(x f 在E 上不可积88、)(x f 在可测集E 上)(L 可积的必要条件是，)(x f 为（ ）A 、连续函数B 、几乎处处连续函数C 、单调函数D 、几乎处处有限的可测函数89、设)(x D 为狄立克雷函数，则⎰=10)()(dx x D L （ ） A 、 0 B 、 1 C 、1/2 D 、不存在90、设)(x f 为Cantor 集的特征函数，则⎰=10)()(dx x f L （ ） A 、 0 B 、 1/3 C 、2/3 D 、 1填空题1、设A 为一集合，B 是A 的所有子集构成的集合；若A =n, 则B =2、设A 为一集合，B 是A 的所有子集构成的集合；若A 是一可数集, 则B =3、若c A =, c B =, 则=⋃B A4、若c A =, B 是一可数集, 则=⋃B A5、若c A =, n B =, 则=⋃B A6、若}{n A 是一集合列, 且c A n =, =⋃∞=n n A 1 7、若I A ∈αα}{是任意集族, 其中I 是指标集, 则ααA I∈⋂=8、若I A ∈αα}{是任意集族, 其中I 是指标集, 则ααA I∈⋃= 9、若I A ∈αα}{是任意集族, 其中I 是指标集, S 是一集合, 则)(ααA C IS ∈⋂= 10、若I A ∈αα}{是任意集族, 其中I 是指标集, S 是一集合, 则)(ααA C IS ∈⋃= 11、若}{n A 是任意一个集合列, 则=∞→n n A lim 12、若}{n A 是任意一个集合列, 则=∞→n n A lim13、欧氏空间n R 中, 任意两点),,(21n x x x x =, ),,(21n y y y y =的距离d(x, y)=14、C[a, b]空间中,任意两元素x(t), y(t) 的距离 d(x, y)= 15、2l 空间中, 任意两元素 ),,,(21 n x x x x =, ),,(21 n y y y y =的距离 d(x, y)=16、欧氏空间2R 中, 任意两点),(21x x x =, ),(21y y y =的距离 d(x, y)=17、欧氏空间3R 中, 任意两点),,(321x x x x =, ),,(321y y y y =的距离d(x, y)=18、欧氏空间4R 中, 任意两点),,,(4321x x x x x =, ),,,(4321y y y y y =的距离d(x,y)=19、设2R X =,}1:),{(22<+=y x y x E ,则E =20、设3R X =, }1:),,{(222<++=z y x z y x E , 则E =21、设2R X =,}1:),{(22<+=y x y x E ,则E ∂=22、设2R X =,}1:),{(22<+=y x y x E ,则E ＇=23、设3R X =, }1:),,{(222<++=z y x z y x E , 则 E ∂=24、设3R X =, }1:),,{(222<++=z y x z y x E , 则E ＇=25、设A= [0, 1] , B = [3, 4] , 则 d(A, B) =26、设C 是康托完备集, G= [0, 1]－C , 则d (C, G) =27、设C 是康托完备集, 则C 的半径)(C δ=28、两个非空集合A, B 距离的定义为 d (A, B ) =29、一个非空集合A 的直径的定义为)(A δ=30、设A = [0, 1] ⋂Q, 则)(A δ=31、n R E ⊂，对每一列覆盖E 的开区间 ∞=⊃1i i E I ，定义=E m *________。
实变函数题库
《实变函数》试题题库一、计算题1、设⎩⎨⎧=为无理数时当为有理数时当x x x x f x ,,)(1 ，计算⎰]1,0[)(dx x f 。
2、设⎪⎩⎪⎨⎧=为无理数时当为有理数时当x e x e x f x x ,,)(2，计算⎰]1,0[)(dx x f 。
3、设⎩⎨⎧=为无理数时当为有理数时当x x x x x f ,sin ,cos )(，计算⎰]1,0[)(dx x f 。
4、设0P 为Cantor 集，⎩⎨⎧-∈∈=时当时当002]1,0[,,)(P x x P x x x f ，计算⎰]1,0[)(dx x f 。
5、设0P 为Cantor 集，⎪⎩⎪⎨⎧-∈∈=时当时当00]1,0[,,)(2P x e P x e x f x x ，计算⎰]1,0[)(dx x f 。
6、设0P 为Cantor 集，⎩⎨⎧-∈∈=时当时当00]1,0[,sin ,cos )(P x x P x x x f ，计算⎰]1,0[)(dx x f 。
7、求⎰+∞→1051sin )(lim 22nxdx R xn nxn 。
8、求⎰+∞→101sin )(lim 222/1nxdx R xn nx n 。
9、求⎰+∞→121cos )(lim 22nxdx R x n nx n 。
10、求⎰+∞→101cos )(lim 223/2nxdx R xn nx n 。
11、求⎰++∞→1021)cos (sin )(lim 242dx nx nx R xn x n n 。
12、求⎰+∞→101242/33)(lim dx R xn x n n 。
二、简答题1、构造{自然数全体}到{偶数全体}的一一映射.2、构造(0, 1)到R 的一一映射.3、构造(0, 1)到 [0, ∞] 的一一映射.4、构造{能被3整数整除的正整数}到{正整数全体}的一一映射.5、构造(0,1)到(0, 1)⋃(2, 3) 的一一映射.6、构造{奇数全体}到{偶数全体}的一一映射.7、（请说明：在),0(+∞=E 上的函数列nxx x f n +=)(， ,2,1=n ，不测度收敛于x x f =)( 8、请叙述L 测度的可列可加性。
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《实变函数》期末考试试题汇编目录《实变函数》期末考试模拟试题（一） (2)《实变函数》期末考试模拟试题（二） (7)《实变函数》期末考试模拟试题（三） (13)《实变函数》期末考试模拟试题（四） (18)《实变函数》期末考试模拟试题（五） (27)《实变函数》期末考试模拟试题（六） (30)《实变函数》期末考试模拟试题（七） (32)《实变函数》期末考试模拟试题（八） (36)《实变函数》期末考试模拟试题（九） (41)《实变函数》期末考试模拟试题（十） (47)《实变函数》期末考试题（一） (57)《实变函数》期末考试题（二） (63)《实变函数》期末考试模拟试题（一）（含解答）一、选择题（单选题）1、下列集合关系成立的是（ A ）（A ）(\)A B B A B ⋃=⋃ （B ）(\)A B B A ⋃= （C ）(\)B A A A ⋃⊆ （D ）(\)B A A ⊆ 2、若n E R ⊂是开集，则（ B ）（A ）E E '⊂ （B ）E 的内部E = （C ）E E = （D ）E E '= 3、设P 是康托集，则（ C ）（A ）P 是可数集 （B ）P 是开集 （C ）0mP = （D ）1mP = 4、设E 是1R 中的可测集，()x ϕ是E 上的简单函数，则（ D ） （A ）()x ϕ是E 上的连续函数 （B ）()x ϕ是E 上的单调函数 （C ）()x ϕ在E 上一定不L 可积 （D ）()x ϕ是E 上的可测函数5、设E 是n R 中的可测集，()f x 为E 上的可测函数，若()d 0Ef x x =⎰，则（ A ）（A ）在E 上，()f z 不一定恒为零 （B ）在E 上，()0f z ≥ （C ）在E 上，()0f z ≡ （D ）在E 上，()0f z ≠ 二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案） 1、设E 是[0,1]中的无理点全体，则（C 、D ）（A ）E 是可数集 （B ）E 是闭集 （C ）E 中的每一点都是聚点 （D ）0mE > 2、若1E R ⊂至少有一个内点，则（ B 、D ）（A ）*m E 可以等于零 （B ）*0m E > （C ）E 可能是可数集 （D ）E 是不可数集3、设[,]E a b ⊂是可测集，则E 的特征函数()E X x 是 （A 、B 、C ） （A ）[,]a b 上的简单函数 （B ）[,]a b 上的可测函数 （C ）E 上的连续函数 （D ）[,]a b 上的连续函数4、设()f x 在可测集E 上L 可积，则（ B 、D ）（A ）()f z +和()f z -有且仅有一个在E 上L 可积 （B ）()f z +和()f z -都在E 上L 可积 （C ）()f z 在E 上不一定L 可积 （D ）()f z 在E 上一定L 可积5、设()f z 是[,]a b 的单调函数，则（ A 、C 、D ）（A ）()f z 是[,]a b 的有界变差函数 （B ）()f z 是[,]a b 的绝对连续函数 （C ）()f z 在[,]a b 上几乎处处连续 （D ）()f z 在[,]a b 上几乎处处可导 三、填空题（将正确的答案填在横线上）1、设X 为全集，A ，B 为X 的两个子集，则\A B=C A B ⋂ 。
2、设n E R ⊂，如果E 满足E E '⊂，则E 是 闭 集。
3、若开区间(,)αβ是直线上开集G 的一个构成区间，则(,)αβ满足(,)G αβ⊂、,G Gαβ∉∉。
4、设A 是无限集，则A 的基数A≥ a （其中a 表示可数基数）。
5、设1E ，2E 为可测集，2mE <+∞，则12(\)m E E ≥12mE mE -。
6、设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，若对任意实数a ，都有[()]E x f x a > 是 可测集 ，则称()f x 是可测集E 上的可测函数。
7、设0x 是1E R ⊂的内点，则*m E >0。
8、设函数列{()}n f x 为可测集E 上的可测函数列，且()()()n f x f x x E ⇒∈，则由黎斯定理可得，存在{()}n f x 的子列{()}kn f x ，使得()kn f x ..a e →()()f x x E ∈。
9、设()f x 是E 上的可测函数，则()f x 在E 上的L 积分不一定存在，且()f x 在E 上 不一定 L 可积。
10、若()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数，则()f x 一定 是 [,]a b 上的有界变差函数。
四、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”）1、可列（数）个闭集的并集仍为闭集。
（ × ）2、任何无限集均含有一个可数子集。
（ √ ）3、设E 是可测集，则一定存在G δ型集G ，使得E G ⊂，且(\)0m G E =。
（ √ ）4、设E 是零测集，()f z 是E 上的实函数，则()f x 不一定是E 上的可测函数。
（ × ）5、设()f z 是可测集E 上的非负可测函数，则()f x 必在E 上L 可积。
（ × ） 五、简答题1、简述无穷多个开集的交集是否必为开集？ 答：不一定为开集。
例如 取1R 上一列开集为11(1,1)n n--+，1,2,3,n=而111(1,1)[1,1]n n n∞=⋂--+=-是闭集，不是开集。
2、可测集E 上的可测函数与简单函数有何关系？答：①简单函数是可测函数；②可测函数不一定是简单函数；③可测函数一定可以表示成一列简单函数的极限。
3、[,]a b 上的有界变差函数与单调函数有何关系？答：①单调函数是有界变差函数；②有界变差函数不一定是单调函数，但一定可以表示成单调函数的和或差。
六、计算题 1、设1[0,1]()0[0,1]x Q D x x Q∈⋂⎧=⎨∉⋂⎩，其中Q 是有理数集，求[0,1]()d D x x ⎰。
解： 因为{[0,1]}0m Q ⋂=，所以()0..D x a e =于[0,1]，于是[0,1][0,1]()00D x dx dx ==⎰⎰2、求0ln()limcos d xn x n e x x n+∞-→∞+⋅⎰。
解： 因为ln()ln(11)1)cos (1)x x xx x n x n x n e x e e x e n n n----++-+-+≤≤≤+ 而(1)x x e dx +∞-+<+∞⎰所以，由L 控制收敛定理00ln()ln()lim cos d lim cos d 0d 0x xn n x n x n e x x e x x x n n +∞+∞+∞--→∞→∞++⋅=⋅==⎰⎰⎰七、证明题1、证明集合等式：()\(\)(\)A B C A C B C ⋃=⋃证明： （方法1）对任意()\x A B C ∈⋃，有()x A B ∈⋃且x C ∉，即x A ∈或x B ∈且x C ∉ 所以 \x A C ∈或\x B C ∈，即(\)(\)x A C B C ∈⋃。
反之，对任意(\)(\)x A C B C ∈⋃，有\x A C ∈或\x B C ∈，即x A ∈或x B ∈且x C ∉，所以()x A B ∈⋃且x C ∉，即()\x A B C ∈⋃， 综上所述，()\(\)(\)A B C A C B C ⋃=⋃。
（方法2）()\()()()(\)(\)cccA B C A B C A C B C A C B C ⋃=⋃⋂=⋂⋃⋂=⋃。
2、设0E 是[0,1]中的有理点全体，则0E 是可测集且00mE =。
证明： 因为0E 是可数集，则012{,,,,}n E r r r =对任意0ε>，取开区间11(,)22n n n n r r εε++-+，1,2,n =，显然它们把0E 覆盖住。
于是 *012nn m E εε∞=≤=∑。
让0ε→得，*00m E =，从而0E 是可测集且00mE =。
3、证明：1R 上的实值连续函数()f x 必为1R 上的可测函数。
证明：因为对于任意实数a ，由连续函数的局部保号性易知，1[()]R x f x a >是开集，从而1[()]R x f x a >是可测集。
所以()f x 必为1R 上的可测函数。
4、设()f x 是可测集1E R ⊂上的L 可积函数，{}n E 为E 的一列可测子集，mE <+∞，如果lim n n mE mE →∞=，则lim ()d ()d nn E Ef x x f x x →∞=⎰⎰。
证明：因为mE <+∞且n E E ⊂，所以(\)n n n mE m E E mE mE ==- 从而由题设 lim (\)lim 0n n n n m E E mE mE mE mE →∞→∞=-=-=又()f x 在1E R ⊂上的L 可积，且(\)()d ()d ()d ()d nn nnEE E E E E f x x f x x f x x f x x ⋃-=-⎰⎰⎰⎰\\()d ()d ()d ()d E E E E E E f x x f x x f x x f x x =+-=⎰⎰⎰⎰所以由积分的绝对连续性得\lim(()d ()d )lim ()d 0nnn n E EE E f x x f x x f x x →∞→∞-==⎰⎰⎰即lim ()d ()d nn E Ef x x f x x →∞=⎰⎰。
5、设()f x 是可测集1E R ⊂上的L 可积函数，{}n E 为E 中的一列递增可测子集，1lim ()d ()d nnn n E E f x x f x x ∞=→∞=⎰⎰。
证明：记()()()n n E f x f x x χ=⋅，其中1,()0,n nE nx E x x E χ∈⎧=⎨∉⎩显然在1n n E ∞=上，()()()()n n E f x f x x f x χ=⋅→，()()n f x f x ≤且1()()nnn n E E f x dx f x dx ∞==⎰⎰于是由勒贝格控制收敛定理即可的结论。
《实变函数》期末考试模拟试题（二）（含解答）一、选择题（单选题）1、下列集合关系成立的是（ A ）（A ）()()()A B C A B A C ⋂⋃=⋂⋃⋂ （B ）(\)A B A ⋂=∅ （C ）(\)B A A ⋂≠∅ （D ）(\)B A A ⊆ 2、若n E R ⊂是闭集，则（ B ）（A ）E 的内部E = （B ）E E = （C ）E E '⊂ （D ）E E '= 3、设Q 是有理数集，则（ C ）（A ）0mQ > （B ）Q 是闭集 （C ）0mQ = （D ）Q 是不可数集 4、设()f x 为1R 上的连续函数，a 为任意实数，则（ D ）（A ）1[()]R x f x a ≤是开集 （B ）1[()]R x f x a ≥是开集 （C ）1[()]R x f x a >是闭集 （D ）1[()]R x f x a >是开集 5、 设E 是n R 中的可测集，()f x ，()g x 都是E 上的可测函数，若()()d 0Ef xg x x -=⎰，则（ A ）（A ）()()..f z g x a e =于E （B ）在E 上，()()f z g x = （C ）在E 上，()()f z g x ≠ （D ）在E 上，()()f z g x ≤ 二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案） 1、设E 是[0,1]中的有理点全体，则（C 、D ）（A ）E 是闭集 （B ）E 中的每一点都是内点 （C ）E 是可数集 （D ）0mE = 2、若1E R ⊂的外测度为零，则（ B 、D ）（A ）E 一定是可数集 （B ）E 一定是可测集 （C ）E 不一定是可数集 （D ）0mE =3、设()nmE E R <+∞⊂，函数列{()}n f x 为E 上几乎处处有限的可测函数列，()f x 为E 上几乎处处有限的可测函数，若()()()n f x f x x E ⇒∈，则下列哪些结论不一定成立（A 、B 、C 、D ）（A ）()d Ef x x ⎰存在 （B ）()f x 在E 上L 可积（C ）..()()()a e n f x f x x E →∈ （D ）lim ()d ()d n n EEf x x f x x →∞=⎰⎰4、若()f x 在可测集E 上有L 积分值，则（A 、C ） （A ）()f z +和()f z -中至少有一个在E 上L 可积 （B ）()f z +和()f z -都在E 上L 可积 （C ）()f z 在E 上也有L 积分值 （D ）()f z 在E 上一定L 可积5、设()f z 是[,]a b 的绝对连续函数，则（ A 、B 、C ）（A ）()f z 是[,]a b 上的连续函数 （B ）()f z 是[,]a b 上的一致连续函数 （C ）()f z 是[,]a b 上的有界变差函数 （D ）()f z 在[,]a b 上处处可导 三、填空题（将正确的答案填在横线上） 1、 设A ，B 是两个集合，则A B⋃=(\)B A A ⋃2、设n E R ⊂，如果E 满足int E E =，则E 是 开 集。