时域有限差分法(姚伟)介绍
时域有限差分法二维
时域有限差分法二维1. 引言时域有限差分法（Finite Difference Time Domain, FDTD）是一种常用的数值计算方法，用于求解电磁场在时域中的传播和辐射问题。
本文将以二维情况为例，深入探讨时域有限差分法的原理和应用。
通过本文的介绍和解读，您将更全面地理解这一方法，并能够灵活应用于相关领域。
2. 时域有限差分法简介2.1 原理概述时域有限差分法是一种迭代求解偏微分方程的方法，通过将时域和空间离散化，将连续问题转化为离散问题。
在二维情况下，假设空间网格分辨率为Δx和Δy，时间步长为Δt。
根据电磁场的麦克斯韦方程组，可以利用中心差分公式进行离散化计算，得到求解方程组的更新方程。
2.2 空间离散化对于二维情况，空间离散化可以采用正交网格或非正交网格。
常见的正交网格包括方形格点、Yee网格等，而非正交网格则具有更灵活的形态。
根据需要和应用场景，选择合适的离散化方法对问题进行求解。
2.3 时间离散化时间离散化主要有显式和隐式两种方法。
显式方法将时间推进方程展开成前一时刻的电场和磁场与当前时刻的源项之间的关系，容易计算但对时间步长有限制；隐式方法则是通过迭代或矩阵计算求解当前时刻的电场和磁场。
3. 时域有限差分法的应用领域时域有限差分法广泛应用于电磁场传播和辐射问题的数值模拟中。
以下是几个典型的应用领域：3.1 辐射问题时域有限差分法可以模拟电磁波在空间中的辐射传播过程。
可以用于分析天线的辐射特性，设计无线通信系统的天线，或者分析电磁波在无线电频段的传播情况。
3.2 波导问题对于波导结构，时域有限差分法可以求解其模式、传输特性等问题。
波导结构广泛应用于光子学器件、微波器件等领域，时域有限差分法为建立数值模型和解析波导特性提供了一种有效的数值计算手段。
3.3 散射问题时域有限差分法在散射问题的数值模拟中也有重要应用。
通过模拟散射体与电磁波的相互作用过程，可以研究和分析散射体的散射特性，例如雷达散射截面的计算、微波散射问题等。
时域有限差分法介绍
时域有限差分法介绍
时域有限差分法（Finite Difference Time Domain, FDTD）是
一种数值求解电磁波在时域中传播的方法。
它通过将空间和时间连续
性方程离散化，将偏微分方程转化为差分方程，并使用差分法来近似
求解波动方程。
时域有限差分法可以用于研究不同频率和波长的电磁波在各向同性、各向异性以及具有非线性、色散等特性的介质中的传播和相互作用。
它广泛应用于光学和电磁学领域中，可用于模拟光纤、微波器件、天线、光子晶体、超材料等的性能。
该方法的基本思想是将空间划分为离散的单元，称为网格，其中
包含了电场、磁场、电流和电荷等物理量。
通过对空间坐标和时间进
行离散化，可以将连续的偏微分方程转化为差分方程。
具体地，通过
泰勒展开将时域和空域的导数转化为有限差分的形式。
在时域有限差分法中，电场和磁场被分别定义在正方形的网格节
点上。
通过应用麦克斯韦方程组的差分形式，可以得到给定时间步长
的下一个时间步的电场和磁场值。
这些值可以根据初始条件和边界条
件进行更新。
时域有限差分法具有较好的稳定性和精度，可以模拟各种复杂的
电磁现象。
然而，它在处理边界条件和非均匀介质等问题时存在一些
困难。
因此，研究者们提出了各种改进的时域有限差分法，以提高其
适用性和效率。
时域有限差分法
时域有限差分法
时域有限差分法的基本思想是用中心差商代替场量对时间和空间的一阶偏微商, 通过在时域的递推模拟波的传播过程, 从而得出场分布。
它最早由K.S.Yee 于1966 年提出，在此之后的20 年内，其研究进展缓慢，只是在电磁散射、电磁兼容领域有一些初步的应用。
自80 年代末，时域有限差分法成为电磁场数值计算的重要方法之一。
在声学数值计算中，时域有限差分法已应用于水声学、噪声控制及室内声学等方面的数值模拟。
时域有限差分法(Finite difference time domainmethod，FDTD)直接离散时域波动方程，不需要任何形式的导出方程，故不会因为数学模型而限制其应用范围。
它的差分格式中包含有介质的参量，只须赋予各网格相应的参量，就能模拟各种复杂的结构，这是时域有限差分法的一个突出优点。
另外，由于时域有限差分法采用步进法进行计算，故能很容易地实现各种复杂时域宽带信号的模拟，而且可以非常方便地获得空间某一点的时域信号波形。
时域有限差分方法、编程技巧与应用
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时域有限差分
z
z
Ezn (i, j 1/ 2, k 1/ 2) y
Ezn (i, j 1, k 1/ 2) Ezn (i, j, k 1/ 2) y
偏微分方程离散
作业报告9，推导其他5个偏微分方程 的差分格式。
整理后得
Hx
n
1 2
n 1 1 1 1 i, j , k H x 2 i, j , k 2 2 2 2
H x t
n
i , j 1/2, k 1/2
1 E y Ez z y i , j 1/2,k 1/2
Ezn
n
Eyn Hxn
z y
(i,j+1/2,k+1/2)
方程离散点
Ezn
Eyn
偏微分方程离散
H x t
n i , j 1/2, k 1/2
t
E n 1 x, y, z E n x, y, z
Eyn Hxn
n
1 E y Ez z y i , j 1/2,k 1/2
Ezn
方程离散点
z y
(i,j+1/2,k+1/2)
Ezn
写成取样离散格式
Eyn
n H xn (i, j 1/ 2, k 1/ 2) 1 E y (i, j 1/ 2, k 1/ 2) Ezn (i, j 1/ 2, k 1/ 2) t z y
Ampère’s Equation
D x, y, z, t H x, y , z , t t
Maxwell方程组
B x, y, z, t E x, y, z, t t
时域有限差分算法
时域有限差分算法Finite-Difference Time-Domain (FDTD) Algorithm时域有限差分算法（Finite-Difference Time-Domain，FDTD）FDTD is a numerical technique used to solve Maxwell's equations in the time domain.时域有限差分算法是一种用于在时域中求解麦克斯韦方程的数值技术。
It discretizes the spatial and temporal domains, allowing for the simulation of electromagnetic wave propagation and interaction with complex structures.该算法将空间和时间域离散化，从而能够模拟电磁波的传播以及与复杂结构的相互作用。
The algorithm is widely used in various fields, including antenna design, microwave engineering, and electromagnetic compatibility analysis.该算法广泛应用于多个领域，包括天线设计、微波工程和电磁兼容性分析。
The main advantage of FDTD is its ability to handle arbitrary geometries and material properties, making it a powerful tool for electromagnetic modeling and simulation.时域有限差分算法的主要优势在于其能够处理任意几何形状和材料属性，使其成为电磁建模和模拟的有力工具。
However, it can be computationally demanding, especially for large-scale problems, due to the need to discretize both space andtime.然而，由于需要同时离散化空间和时间，时域有限差分算法在计算上可能要求较高，尤其是对于大规模问题。
时域有限差分法
时域有限差分法时域有限差分（FiniteDifferenceinTimeDomain,称FDTD）法是一种广泛应用于电磁场仿真的数值计算方法，它以离散时间步长来描述电磁场的变化，可以准确模拟空间内电磁场随时间变化的波动特性。
在时域有限差分仿真中，以Maxwell方程描述电磁场的运动，将时域的空间变化转换为表示时间的一维网格，用有限差分技术对Maxwell 方程组及其边界条件进行求解，可以得到空间中电磁场的离散值的解，从而达到仿真电磁场变化的目的。
FDTD仿真技术的最早应用出现在1960年代。
由于它的有效性和快速灵活性，FDTD仿真技术得到了快速发展，在电磁场仿真中得到了普遍应用。
FDTD仿真技术具有以下优点：1.基本实现简单，编程简单，计算效率高；2.可以准确仿真各种复杂电磁环境中电磁波传播的特性，如介质内各种参数随时间变化；3.不仅可以仿真欧姆模型，还可以用于局部质点模型的仿真；4.容易添加吸收边界，有效地抑制反射和折射现象；5.可以定制计算区域，灵活处理各种复杂的边界条件；6.计算中可以容易地加入激励和探测源；7.可以同时计算多个激励源和探测源，完成多源多探测器的仿真；8.可以方便地仿真非线性电磁材料的特性；9.单片机控制的实时仿真可以实时进行激励和探测调制；10.可以方便地模拟分布式电磁系统。
时域有限差分仿真技术的基本原理是采用有限差分法，沿时间轴以离散的步长，用一维数组离散地表示各点的电场态，并以此实现电磁场系统的时间域模拟。
FDTD法在时间域上使用一维离散网格，将Maxwell方程组及其边界条件分解，分别应用一阶导数近似公式（如中心差分公式）求解，按照计算元（grid point）在时空域中的局部特性，分别设定电磁场源、介质参数和边界条件，利用时域有限差分公式迭代求解Maxwell方程，可以得到边界条件和激励源允许的范围内的空间中的电磁场的离散值的解，从而达到仿真电磁场变化的目的。
借助时域有限差分法可以实现对天线、微波传输线、无线局域网、雷达、全波器件等电磁系统的仿真，其结果可以用于设计、性能预测、状态诊断、运行维护、电磁干扰抑制等诸多应用领域。
时域有限差分方法
时域有限差分方法
时域有限差分方法（FDTD）是一种数值求解电磁场问题的方法，适用于计算复杂的电磁现象。
该方法将电磁场方程离散化为差分形式，然后通过不断迭代求解差分方程，得到电磁场在时域上的时变分布。
具体来说，FDTD方法将空间和时间分割成网格，然后在每个网格点上估计电磁场的值。
通过使用差分方程，可以将电场和磁场的时变分布递推到下一个时间步。
一般而言，FDTD方法采用中心差分形式的差分方程，以提高数值解的稳定性和精度。
FDTD方法的主要优点是适用于计算非线性、吸收、散射等复杂电磁现象。
由于差分形式的方程可以直接计算，相比其他数值方法（如有限元方法和边界元方法），FDTD方法具有较高的计算速度。
然而，FDTD方法也存在一些限制。
由于需要将空间和时间分割为网格，因此对于复杂几何形状和大尺寸问题，需要较大的计算资源和内存。
此外，FDTD方法对吸收边界条件的处理也比较复杂，需要采用合适的数值技巧来避免误差累积。
总的来说，FDTD方法是一种广泛应用于电磁场问题求解的数值方法，具有较高的计算速度和适用性。
在实际应用中，可以结合其他方法或技术对其进行改进和优化，以适应各种特定问题的求解需求。
时域有限差分法
Understand the capabilities of parallel FDTD Solutions Learn how to setup a parallel simulation Study a CMOS image sensor design
y3 y3 y3 … y3 y2 y2 y2 … y2 y1 y1 y1 … y1
x1, y3 x2 , y3 x3 y3 … x1, y2 x2 , y2 x3 y2 … x1,y1 x2 ,y1 x3,y1 …
x
x
x
xn ,ym
…
xn ,y3 xn ,y2 xn ,y1
© 2008 Lumerical Solutions, Inc.
E = exp(-X^2/9 – Y^2/4); E has size n by m
y
x1 x2 x3 … xn y
ym ym ym … ym y
x1, ym x2, ym x3 ym …
x1 x2 x3 … xn
……………
…
…
…
…
x1 x2 x3 … xn …………… x1 x2 x3 … xn
© 2008 Lumerical Solutions, Inc.
Scripting: Script files and example
# start a loop over each desired radius for(i=1:length(rad)) {
# switch to layout mode so that you can edit the objects switchtolayout; # switch to the structures tab to edit the scattering rod structures; # set the radius of the object named "rod" to the desired value setnamed("rod","radius",rad(i)); # output which simulation is running ?"running simulation " + num2str(i) + " of " + num2str(length(rad)); # run the simulation run; # get transmission and reflection T(i) = transmission("transmission"); R(i) = abs(transmission("reflection")); side_power(i) = transmission("y2")-transmission("y1"); # get the frequency at which the data was recorded f = getdata("transmission",“f"); } # end of the main loop over the radius
第三章 时域有限差分法
第三章時域有限差分法此章節將介紹時域有限差分法(Finite Difference Time Domain Method)的發展起源、理論、精確度與穩定條件。
3.1 FDTD發展歷史FDTD的概念是Yee[18]在1966年所提出，當初只用來解決電磁場在空間中的傳播情形。
1975年Taflove和Brodwin修正Yee的演算法並且推導出FDTD穩定收斂的條件[19][20]。
1977年Holland[21]、Kunz 和Lee[22]應用在解析電磁脈衝(Electromagnetic Pulse, EMP)的問題上。
1981年Mur[23]提出了吸收邊界條件(Absorbing Boundary Condition, ABC)的觀念，當電磁波傳播至模擬邊界時可以減小或消除反射的電磁波，也稱為非反射邊界條件(Non-reflecting Boundary Condition)或輻射邊界條件(Radiating Boundary Condition)，在有限的空間裡模擬電磁波在邊界一去不復返的效果。
1994年Berenger[24]提出一個更有效更完美的吸收邊界，完全匹配層(Perfect Matched Layer, PML)；並與Katz等人[25]將完全匹配層延伸至三維空間上。
3.2 馬克斯威爾方程式F D T D 的基礎計算是由電磁波的馬克斯威爾方程式 (Maxwell ’s equation)中與時間相關的式子而來的，一個為法拉第定律(Faraday ’s Law )另一個為安培定律(Ampere ’s Law)。
其式子如下: 法拉第定律:E tB⨯-∇=∂∂ (3.1) 安培定律:J H tD-⨯∇=∂∂ (3.2) 假設介質為線性(linear)、等向性(isotropic)、非色散材料(nondispersive materials )，我們可以用簡單的式子來表示D 與E 和B 與H 的關係:H B μ= (3.3)E D ε= (3.4) E J σ= (3.5)其中0μμμr =為導磁係數(magnetic permeability )，0εεεr =為介電係數(electrical permittivity )，σ為導電係數(electric conductivity)。
三维最优时域有限差分方法
三维最优时域有限差分方法三维最优时域有限差分方法是一种常用的数值模拟方法，广泛应用于地球物理勘探、地震波传播、声波传播等领域。
本文将介绍三维最优时域有限差分方法的基本原理、算法步骤以及应用案例。
一、基本原理三维最优时域有限差分方法是基于时域有限差分技术的一种扩展方法。
它将连续弹性波动方程离散化为离散差分方程，通过对差分方程进行求解，可以模拟出波场在三维空间的传播情况。
在三维空间中，波动方程可以表示为：∂²u/∂t² = c²(∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² + ∂²u/∂z²)其中，u为波场变量，t为时间变量，c为波速。
为了离散化该方程，我们可以采用中心差分法，将空间导数和时间导数近似为差分形式。
二、算法步骤三维最优时域有限差分方法的算法步骤如下：1. 网格划分：将三维空间划分为网格，网格节点上的数值表示波场的振幅。
2. 初始条件：给定初始时刻的波场分布。
3. 时间推进：根据差分方程进行时间推进，更新波场在下一个时间步的数值。
4. 边界条件：根据边界条件，更新边界上的波场数值。
5. 终止条件：根据模拟需求确定模拟的时间步数，当达到终止条件时停止模拟。
三、应用案例三维最优时域有限差分方法在地球物理勘探中有着广泛的应用。
以地震勘探为例，地震波在地下传播会受到地下介质的影响，通过模拟地震波在地下的传播情况，可以帮助勘探人员了解地下的地质构造。
在地球物理勘探中，三维最优时域有限差分方法可以模拟地震波在地下的传播路径和振幅变化。
通过调整模拟参数和观测参数，可以优化勘探过程，提高地震勘探的效率和准确性。
三维最优时域有限差分方法还可以应用于声波传播、地震波反演等领域。
在声波传播模拟中，可以模拟声波在三维空间中的传播路径和声压变化。
在地震波反演中，可以根据观测数据反推地下介质的物理属性。
总结：三维最优时域有限差分方法是一种常用的数值模拟方法，可以模拟三维空间中波场的传播情况。
时域有限差分法
时域有限差分法时域有限差分法是一种有效的解决数值计算中微分方程的方法，它深受数学、物理、工程、生物和其他领域的研究者们的重视。
它可以用来解决各种复杂的微分方程以及在工程、航空、医学、控制等方面形成重要的分析工具和模型。
时域有限差分法诞生于20世纪60年代，它是一种有效的数值解法，通过将求解微分方程的过程转化为一系列简单的计算步骤来实现。
它的基本思想是，通过对数值函数的有限多项式拟合，将微分方程分段变换为一个简单的离散数据集，并使用其中的方程来求解问题。
时域有限差分法的关键部分之一是分子格栅。
分子格栅是一种数值技术，它利用一组有限的数值点，使得一组变量随时间的变化具有渐进性，从而得到了高精度的计算结果。
它可以用来求解多种微分方程，如常微分方程、偏微分方程、椭圆型方程、非线性方程、矩阵方程等等。
随着时域有限差分法的发展，越来越多的应用出现了，例如在气动学中可以用来模拟气体流动，在控制学中可以用来研究控制系统的动态行为等等。
同时，有限差分法作为一种数值方法，也可以应用于经典的有限差分方程的求解，它的实际应用十分广泛，促进了许多领域的发展。
以上就是时域有限差分法的基本介绍，本文介绍了时域有限差分法的原理与特点、发展历史以及它在各个领域中的应用情况。
时域有限差分法深受世界各地研究者的重视，它的应用开拓了许多新的研究领域，并带来了许多新的发现。
由于它的稳定性高，计算精度高，耗时少、分散性强，被广泛应用于工程、航空、医学和控制等领域，成为重要的分析工具与模型，为这些领域的发展做出了巨大的贡献。
总之，时域有限差分法是一种重要的数值计算方法，为各种研究领域都提供了有效的分析手段，发挥了重要的作用。
它不仅提高了数值计算的精度，而且还大大提高了计算效率，节省了研究成本，使许多研究领域得到了快速发展和提升，受到了广大研究者的重视和喜爱。
时域有限差分法的图形处理单元的加速
时域有限差分法的图形处理单元的加速摘要：时域有限差分法，即FDTD（Finite Difference Time Domain），是计算电磁学的一种重要方法。
作为一种天然的并行算法，它的计算过程可以划分为多个同时进行相似计算的子计算。
这个方法主要是把麦克斯韦方程在时间上和空间上进行差分化，并且通过时间领域上的更新来模仿电磁场的变化来计算问题，因而有利于解决很多电磁场问题。
而图形处理单元即GPU（Graphic Processing Unit）相对于CPU的高性能计算速度以及NVIDA公司生产的GPU特有的高并行结构，为时域有限差分的加速提供了可能。
关键字：时域有限差分法；图形处理单元；麦克斯韦方程；并行算法1 FDTD的基本原理FDTD算法是1966年K.S.Yee发表在AP上的一篇论文建立起来的，后被称为Yee网格空间离散方式。
核心思想是把带时间变量的麦克斯韦旋度方程转化为差分形式，故中文称之为“时有限差分法”。
麦克斯韦方程如下：其中H是磁场强度，E是电场强度，D是电位移，B是磁通量密度。
上述两个矢量方程描述了麦克斯韦方程中磁场与电场复杂交错的关系。
由于在三维空间中每个矢量方程又可以分解为三个标量方程，因此该方程组可以化为6个标量方程如下所示：这样的话便将问题的几何空间离散为空间网格，电场和磁场的分量便被置于空间离散的网格点上。
而这是FDTD计算的前提。
我们再用差分近似替代麦克斯韦这6个标量方程中的时间和空间导数，构造一系列方程，均以前一时间步电磁场瞬时值来“预测”后一时间步电磁场的瞬时值，由此构造时间不断向前推近的算法，来模拟时域中的电磁场变化过程。
1966年，Yee首次给出了麦克斯韦旋度方程的一组差分形式，这组方程在空间和时间上一离散的形式给出，使用的是中心差分法。
对空间（X轴方向）的中心差分法离散公式如下：对Y轴，Z轴方向的中心差分离散以此类推。
对时间的中心差分离散公示如下：图1为Yee单元网格的结构：我们根据6个麦克斯韦标量方程，结合上述中心差分法，便可以得到三维问题下的FDTD更新方程如下：其余的五个方程也如法可以写出，因此任何时刻可一次算出一个点，并行算法可计算出多个点。
时域有限差分法介绍
时域有限差分法（FDTD）是求解电磁波传输问题的一种数值模拟方法。
它是一种在时域内对波动方程进行差分逼近的方法，通过迭代求解离散化后的波动方程，可以得到
电磁波在空间和时间上的分布情况，进而预测电磁波传输的行为。
时域有限差分法主要包括以下几个步骤：
1. 空间离散化：将待求解区域划分为若干个小网格，然后在每个网格内选择一个计算点，利用有限差分法对该点的电场、磁场进行离散化处理，建立电场和磁场的离散计
算模型。
2. 时间推进：时间也进行离散化，将求解时间区间等分成若干个小时间步长，然后依
次求解每个时间步长中（t+Δt）时刻的电场、磁场分布情况。
3. 边界条件处理：根据物理边界条件，对离散化后的电场、磁场进行边界条件处理，
使其在边界处满足边界条件。
4. 迭代求解：在时间和空间上依次迭代求解电场、磁场的分布情况，直到满足设定的
收敛条件或达到一定的迭代次数为止。
时域有限差分法是求解电磁波传输问题的常用方法，它具有以下几个优点：
1. 可以模拟任意形状的物体和复杂的介质结构，适用于不规则和非线性介质。
2. 空间和时间离散化均匀，计算精度高，能够得到电磁波在空间和时间上的分布情况，提供更加详细的仿真结果。
3. 算法简单，易于实现和计算，适用于大规模计算和高性能计算。
4. 可以模拟各种类型的电磁波，如光、微波、射频信号等，广泛应用于光学、无线通信、雷达、医学影像等领域。
总的来说，时域有限差分法是一种有效的求解电磁波传输问题的数值模拟方法，具有
广泛的应用前景。
三维最优时域有限差分方法
三维最优时域有限差分方法引言：数值模拟在科学和工程领域中起着重要作用，其中有限差分方法是最常用的数值模拟方法之一。
在地球物理勘探和计算机图形学中，三维最优时域有限差分方法被广泛应用于波场模拟和成像。
本文将介绍三维最优时域有限差分方法的原理和应用。
一、最优时域有限差分方法简介：最优时域有限差分方法是一种用于求解偏微分方程的数值方法。
它通过将连续的时域和空域离散化为有限的网格点，利用差分近似来逼近连续的偏微分方程，从而得到离散的数值解。
二、三维最优时域有限差分方法原理：三维最优时域有限差分方法的核心思想是将三维偏微分方程转化为差分形式，并通过调整差分系数来提高数值解的精度和稳定性。
在三维空间中，我们将连续的波场分割为离散的网格点，每个网格点上的数值代表了该点上的波场值。
通过应用差分近似来逼近偏微分方程，我们可以得到离散的时间步进方程。
三、三维最优时域有限差分方法的优势：三维最优时域有限差分方法具有以下优势：1. 精度高：通过调整差分系数，可以提高数值解的精度，使其接近连续解。
2. 稳定性好：合理选择差分系数可以提高数值解的稳定性，避免出现数值发散或震荡现象。
3. 计算效率高：三维最优时域有限差分方法可以通过并行计算来提高计算效率，适用于大规模计算。
四、三维最优时域有限差分方法的应用：三维最优时域有限差分方法在地球物理勘探和计算机图形学中有广泛的应用。
以下是两个具体的应用案例：1. 地震波场模拟：地震波场模拟是地球物理勘探中的重要环节，可以帮助我们了解地下结构和地震波传播规律。
三维最优时域有限差分方法可以模拟地震波在地下的传播过程，通过调整差分系数和参数，可以得到地震波在不同地层中的传播速度和幅度分布，从而帮助我们解释地震数据。
2. 三维图像重建：在计算机图形学中，三维最优时域有限差分方法可以用于三维图像的重建。
通过将三维空间离散化为网格点，并利用差分近似来逼近图像的偏微分方程，可以得到离散的数值解。
第十一章-时域有限差分方法
第十一章 时域有限差分方法自从1966年K. S. Yee 创建时域有限差分法 (Finite Difference Time Domain ，简称FDTD) 以来[1]，已经发展成为一种理论完整、应用广泛的数值方法，并且与矩量法和有限元法一起奠定了计算电磁学的基础。
本章将介绍时域有限差分的基本理论，数值模拟技术，若干相关的专题以及工程实例。
11-1 差分的基本概念时域有限差分法是对微分形式的Maxwell 方程进行差分求解的技术。
在详述其之前，首先简单回顾差分的基本概念。
已知分段连续函数()f x 在位置x 处的增量可表示为()()()f x f x x f x ∆=+∆- (11-1-1)其差商为()()()f x f x x f x xx∆+∆-=∆∆ (11-1-2)当x ∆→0时，()f x 的导数定义为差商的极限，即()()()()'limlimx x f x f x x f x f x xx∆→∆→∆+∆-==∆∆ (11-1-3)当x ∆足够小时，()f x 的导数可以近似为d d f fx x∆≈∆ (11-1-4) 根据导数取值位置的不同，差分格式分为前向差分、后向差分和中心差分。
前向差分定义为()()x f x x f x fx x+∆-∆=∆∆ (11-1-5) 后向差分定义为()()x f x f x x fx x--∆∆=∆∆ (11-1-6) 中心差分定义为()()22x f x x f x x fx x+∆--∆∆=∆∆ (11-1-7) 将()f x x +∆在点x 处展开为Taylor 级数，得()()()()()232323d d d 11d 2!d 3!d f x f x f x f x x f x x x x x x x+∆=+∆+∆+∆ (11-1-8)()()()()()232323d d d 11d 2!d 3!d f x f x f x f x x f x x x x x x x-∆=-∆+∆-∆ (11-1-9)将方程 (11-1-8) 和 (11-1-9) 代入 (11-1-5) ~ (11-1-7)后可以发现，前向和后向差分具有一阶精度，中心差分具有二阶精度。
一种非条件稳定的隐式时域有限差分法
一种非条件稳定的隐式时域有限差分法
高文军;吕善伟
【期刊名称】《电子学报》
【年(卷),期】2002(030)006
【摘要】介绍一种基于交替方向隐式(ADI)技术的时域有限差分法(FDTD).该方法是非条件稳定的,时间步长不再受到Courant稳定条件的限制,而是由数值色散误差来确定.与传统的FDTD相比,ADI-FDTD增大了时间步长,从而缩短了总的计算时间,特别是当空间网格远小于波长时,优点更加突出.首次把完全匹配层(PML)边界条件应用到ADI-FDTD计算中,采用幂指数形式的时间步进算法,推导了相应的迭代公式.进行了实例计算,并与传统FDTD的结果对比,验证了ADI-FDTD的有效性与优越性.【总页数】3页(P900-902)
【作者】高文军;吕善伟
【作者单位】北京航空航天大学电子工程系,北京,100083;北京航空航天大学电子工程系,北京,100083
【正文语种】中文
【中图分类】TM15
【相关文献】
1.一维抛物型方程的一种无条件稳定双层隐格式 [J], 张瑞平;赵凤群
2.一种降低交替方向隐式时域有限差分数值色散的方法 [J], 赵安兴;黄斌科;蒋延生;汪文秉
3.无条件稳定的交替方向隐式FDTD算法 [J], 刘波;高本庆;薛正辉;胡沥
4.非完全信息环境中一种基于隐马尔科夫的博弈式功率控制机制 [J], 朱江;张玉平
5.平衡隐式方法的均方A-稳定条件 [J], 牟育;吕显瑞;王鹏
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伊犁师范学院硕士研究生————期末考核科目：电磁波有限时域差分方法姓名：***学号：*************学院：电子与信息工程学院专业：无线电物理时域有限差分法1 选题背景在多种可用的数值方法中，时域有限差分法(FDTD)是一种新近发展起来的可选方法。
1966年，K.S.Yee 首次提出电磁场数值计算的新方法—时域有限差分法(Finite Difference- Time Domain ，简称FDTD)。
经历了二十年的发展FDTD 法才逐渐走向成熟。
上世纪80年代后期以来FDTD 法进入了一个新的发展阶段，即由成熟转为被广泛接受和应用的阶段。
FDTD 法是解决复杂问题的有效方法之一，是一种直接基于时域电磁场微分方程的数值算法，它直接在时域将Maxwell 旋度方程用二阶精度的中心差分近似，从而将时域微分方程的求解转换为差分方程的迭代求解。
是电磁场和电磁波运动规律和运动过程的计算机模拟。
原则上可以求解任意形式的电磁场和电磁波的技术和工程问题，并且对计算机内存容量要求较低、计算速度较快、尤其适用于并行算法。
现在FDTD 法己被广泛应用于天线的分析与设计、目标电磁散射、电磁兼容、微波电路和光路时域分析、生物电磁剂量学、瞬态电磁场研究等多个领域[1]。
2 原理分析2.1 FDTD 的Yee 元胞E,H 场分量取样节点在空间和时间上采取交替排布，利用电生磁，磁生电的原理t t ∂∂=∂∂=⨯∇E D H ε t t ∂∂-=∂∂-=⨯∇HB E μ图1 Yee 模型如图1所示，Yee 单元有以下特点[2]：1）E 与H 分量在空间交叉放置，相互垂直；每一坐标平面上的E 分量四周由H 分量环绕，H 分量的四周由E 分量环绕；场分量均与坐标轴方向一致。
2）每一个Yee 元胞有8个节点，12条棱边，6个面。
棱边上电场分量近似相等，用棱边的中心节点表示，平面上的磁场分量近似相等，用面的中心节点表示。
3）每一场分量自身相距一个空间步长，E 和H 相距半个空间步长 4）每一场分量自身相距一个时间步长，E 和H 相距半个时间步长，电场取n 时刻的值，磁场取n+0.5时刻的值；即：电场n 时刻的值由n-1时刻的值得到，磁场n+0.5时刻的值由n-0.5时刻的值得到；电场n 时刻的旋度对应n+0.5时刻的磁场值，磁场n+0.5时刻的旋度对应(n+0.5)+0.5时刻的电场值，逐步外推。
5）3个空间方向上的时间步长相等，以保证均匀介质中场量的空间变量与时间变量完全对称。
应用这种离散方式，将含时间变量的Maxwell 方程转化为一组差分方程，并在时间轴上逐步推进地求解空间电磁场。
由电磁问题的初值和边界条件，就可以逐步推进地求解以后各时刻空间电磁场分布。
2.2 Maxwell 方程FDTD 的差分格式麦克斯韦第一、二方程 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫⎝⎛+∂∂-=⨯∇+∂∂=⨯∇m t t J B E J D H （1）式中，J 时电流密度，反映电损耗，mJ 是磁流密度，单位2m V /，反映磁损耗。
主要与上式对应。
各向同性介质中的本构关系：H JE J H B E D m mγγμε==== （2）其中m γ是磁阻率，计算磁损耗的。
以H E ,为变量，在直角坐标中，展开麦克斯韦第一、二方程，分别为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+∂∂=∂∂-∂∂+∂∂=∂∂-∂∂+∂∂=∂∂-∂∂zz x y y y zx x xy z Et E y H x H E t E x H z H E t E z H yH γεγεγε （3） ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-∂∂-=∂∂-∂∂-∂∂-=∂∂-∂∂-∂∂-=∂∂-∂∂zm z x y y m y zx x m xy z Ht H y E x E H t H x E z E H t H z E yE γμγμγμ （4） 令()t ,z ,y ,x f 代表H E,在直角坐标中的任何一个分量，离散符号取为()()()k ,j ,i ft n ,z k ,y j ,x i f t z y x f n=∆∆∆∆=,,, （5）()t ,z ,y ,x f 关于时间和空间的一阶偏导数取中心差分近似为()()[]()()[]()()[]()()⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∆≈∂∂--+∆≈∂∂--+∆≈∂∂--+∆≈∂∂+∆=∆=∆=∆=k ,j ,i f k ,j ,i f t 1t f k ,j ,i f k ,j ,i f z 1z f k ,j ,i f k ,j ,i f y 1y f k ,j ,i f k ,j ,i f x 1x f 21-n 21n t n t 21n 21n z k z 21n21n yj y 21n21n xi x （6） 可以看出，每一节点上沿某一方向场分量的一阶偏微分可以用在该方向上相邻两点的一阶中心差商来描述，将式(1)用一阶中心差商方程取代，整理后便得到一阶差分方程，它具有二阶精度[3]。
Yee 元胞如图1所示，规定为1）剖分节点与场分量所在棱边中点不同，场分量的位置，即H E,节点是Yee 元胞节点的相对位置，不需要单独编码；2）当空间存在媒质分界面时，场量自动满足场的连续性条件，2t1t 2t 1t H H ,E E ==电磁分量的取样方式不仅符合法拉第电磁感应定律和安培环路定律的自然结构，也符合麦克斯韦方程的差分计算。
其次，时间步长可以取为电磁波传播一个空间步长所需时间的一半，因此E 与H 在时间顺序上交替抽样，时间间隔相差半个时间步长。
2.3 一维问题均匀平面波（TEM 波）是一维问题，设电磁波沿z 轴方向传播，则00==z z , H E ，场量和介质参数均与x ，y 无关，即0y ,0x =∂∂=∂∂，麦克斯韦方程为ym y xxxyH γt H μz E γE t E εz H +∂∂=∂∂-+∂∂=∂∂-（7）和xm x y yy x H γtH μz E γE tE εz H +∂∂=∂∂-+∂∂=∂∂- （8）旋转坐标轴后可以只保留一组公式[4]，设保留（7） Yee 元胞如图2所示E xH yz图2 一维Yee 元胞差分格式为()()()()()() k H k H z 1m CB k E m CA k E2121n y2121n y nx1n x⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+∆-=+++ （9）()()()()()()[]k E 1k E z1m CQ k H m CP k H n x n x2121n y2121n y-+∆-+=+-+（10）如果介质无损耗，则0 ,0m ==γγ2.4 二维问题三维通常是散射问题，二维是TE 、TM 波问题，一维是TEM 波问题。
在二维场中，所有物理量与Z 坐标无关，既0z /=∂∂。
于是在TE 和TM 波的表达式分别为TE 波（0E z =） ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-∂∂-=∂∂-∂∂+∂∂=∂∂-+∂∂=∂∂H t H y E x E E t E x H E tE y H zm z x y y y zx x z γμγεγε （11）TM 波（0H z =） ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+∂∂=∂∂-∂∂-∂∂-=∂∂--∂∂-=∂∂zz x y y m y zxm x zEt E y H x H H t H x E H t H y E γεγμγμ （12）图3分别给出了TM 波和TE 波的Yee 元胞图图3 TM 波的Yee 元胞 图4 TE 波的Yee 元胞对于TE 波，只要令0=z E ，在z ∆上，yx H H , 不随z 变化，m 中去掉k 即可得到：()()()()()()j ,i H j ,i H y 1m CB j ,i E m CA j ,i E212121n z212121n z 21n x211n x⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-++∆++=++++ 式中：j ,i m 21+= （13）()()()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++∆-+=++++212121n z212121n z 21n y211n yj ,i H j ,i H x 1m CB j ,i E m CA j ,i E式中：21j ,i m += （14）()()()()()()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∆+-++-∆+-++⋅-++=++-+yj ,i E 1j ,i E x j ,i E j ,1i E m CQj ,i H m CP j ,i H 21n x21n x21n y21n y212121n z212121n z式中，2121j ,i m ++= （15） 对TM 波，只要令0=z H ，在z ∆上，yx E E , 不随z 变化，m 中去掉k ，即可得到：()()()()()()[] j ,i E 1j ,i E y1m CQ j ,i H m CP j ,i H n z n z2121n x2121n x-+∆-+=+-+式中，21j ,i m += （16） ()()()()()()[]j ,i E j ,1i E x1m CQ j ,i H m CP j ,i H n z nz 2121n y2121n y-+∆++=+-+式中，j ,i m 21+= （17）()()()()()()()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∆--+-∆--++=+++++yj ,i H j ,i H x j ,i H j ,i H m CBj ,i E m CA j ,i E 2121n x 2121n x 2121n y 2121n y n z 1n z式中：j ,i m = （18）为了编写统一的TE 和TM 波二维FDTD 程序，可将描述TE 波差分公式(13)～(15)中相应的标号整体移动1/2，即坐标（x,y ）分别沿x 和y 轴方向移动半个网格，并将离散时间也移动半个时间步长，式(13)～(15)可以重新写为()()()()()()[] j ,i H 1j ,i Hy 1m CB j ,i E m CA j ,i E n z n z2121n x2121n x-+∆++=+-+式中：21j ,i m += （19）()()()()()()[]j ,i H j ,1i H x1m CB j ,i E m CA j ,i E n z n z 2121n y2121n y-+∆-+=+-+式中：j ,i m 21+= （20）()()()()()()()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∆--+-∆--+-=+++++yj ,i E j ,i E x j ,i E j ,i E m CQj ,i H m CP j ,i H 2121n x 2121n x 2121n y 2121n y n z 1n z式中，j ,i m += （21） 可以看出，TE 波的FDTD 公式(19)～(21)与TM 波的FDTD 公式(16)～(18)形式相同，给编程带来极大方便。