就一些经典的恒等变形题谈谈数学思维的5个境界

就一些经典的恒等变形题谈谈数学思维的5个境界

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经典情境1命题原型

1ab =求1111a b

+++ 到三个情况例题设1abc =.试求111

a b c ab a bc b ca c ++++++++的值. 分析：此题关键是abc=1这个条件难用对于代数式的题我们希望字母越少越好式子的结构越简单越好那么我们可以借鉴含参数方程的思路把c 看为未知数，ab 看为已知数c 看为未知数1c ab

=

代入要求的式子类似解方程组的代入消元法可以得到 原式=1

111111a b ab ab a b b a ab ab ab

++++++++ =1

111a b ab ab a b a a ab ab ++++++++=1111a ab ab a ab a a ab ++++++++=1 分析2：借助分析1的思路虽然有点呆但是思路很自然。通过代入消元法居然达到了通分的目的。那么我们是不是可以巧妙的通分了。答案是肯定的。我们把第二个加数分子和分母同

时乘以a ，第三个同时乘以ab 得到了

1a ab abc ab a abc ab a caab abc ab

++++++++把abc 在用1代入马上得到了原式=1111a ab ab a ab a a ab ++++++++=1 分析3用特殊值法很容易猜出答案是1，可是问题在如何证明。观察结构分子是一次式，分母的次数不一致我们如果能使得分子和分母次数统一就好办了。可以设,,x y z a b c y z x === 再代入1x xz y

x y x xy yz xz y z y =++++同理另外两个加数分别为yz xy yz xz ++和xy xy yz xz

++三个一加和为1

第一个层面题目会做就是思路1方法朴实而自然。思路2恒等变形极其巧妙。思路3化齐次是典型的高手思维。根据我多年的经验，遇到条件求值问题化齐次肯定是行册通的。齐次式的本质相当于增加了一个条件，齐次式本身就是起到了消元的作用其中奥妙需要读者加以体会。到了第二个境界一题多解。才列举的三种解法的共性其实就是如何应用abc=1这个条件第一种方法思路最自然第三种方法最巧妙。命题原型其实就是1ab =求1111a b

+++ 当然两个的更容易。如何加以推广呢？我们观察题目的字母循序。把字母按字母顺序表顺时针写成一圈我们发现就是个轮换对称式，不管从哪个字母开始结果不变，任何2个字母交换次序结果也不变。对于轮换对称式的处理我们要加以体会。我们看3个字母的时候我们都是

按加数两个，1个，常数顺时针排列的，分子都是第二个加数我调整称为第一个加数或 第三个加数都完全是对的。立即就可以得到设1abc =求111111

ab a bc b ca c ++++++++ 变式2求

111

ab bc ac ab a bc b ca c ++++++++ 变式3 求212121111ab a bc b ac c ab a bc b ca c +-+-+-++++++++ 对于3个可以写出这么多推广结论我们是否可以根据规律变得更一般呢？答案是肯定的。 1abcd =求11111111a ab abc b bc bcd c cd cda d da dab

+++++++++++++++ 其实还可以按这个规律推广到5个甚至多个，有些解方程的题也可以以此为背景进行改造。 经典情境2 +0a b c +=求1

11111()()()a b c b c a c a b +++++

分析1：如上题样把c 当未知数，ab 当已知数c=-a-b 代入消元再把分母相同的数配对马上可以解决问题，具体和上题的做法类似这里不重复。

分析2：去括号原题把分子相同的数放一起，我们真正计算为了方便必然是把分母相同的数放一起。1

11111()()()a c a b b c a b c b c a c a b b c a

++++++++=++此时条件恰到好处的用上了每组分子和分母互为相反数。于是得到-1-1-1=-3

分析3;观察三个加数结构括号都是少了1/a,1/b,1/c 我们配上去

原式= 1

11111111()()()a b c b c a a c b a b c ++++++++-3= 111()()3a b c b c a

++++-=-3 分析4：因为要求式子是齐次式。我们可以设a=xc,z=yc 变为了已知x+y+1=0 求11x y x y y x x y +++++再把分母相同的数配对得到原式= 11()y x x y x y

+++++又是很明显的3个-1相加得到-3

小结：这四种共同应用了配对的思路。第二和三种方法很巧也很有代表性第四种又是化齐次的高手思维。

在此基础上可以改变几个很典型的解方程的题和计算题解关于x 的方程3x a b x b c x c a c a b ++++++++=- 其中111()0a b c

++≠ 提示每个加数加1分子就一致了很容易解出x=-a-b-c

解关于x 的方程1112()x a x b x c bc ac ab a b c

---++=++其中a ，b,c 为正 其实此题也是以情境2为命题背景的

分析：第一组分母是bc 我们把第一个加数减去

11b c +第二个减去11a c +第三个减去11a b

+ 于是有111111()()()0x a x b x c bc b c ac a c ab a b

-----+--+--= 于是有111()()x a b c ab bc ac ---++=0马上得到x=a+b+c 显然另外那个乘数大于0 在情境2的原型下可以改造出很多精彩的题目大家不妨欣赏下