就一些经典的恒等变形题谈谈数学思维的5个境界

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第二讲式的恒等变形常用的技巧

第二讲式的恒等变形常用的技巧
一、定义
恒等变形(Identity Transformation)，即恒等转换，是数学中用来把一个等式变成另一个等式，保持等式的真值不变的变形方法，是一种常见的数学技术，被广泛用于研究不等式和方程的性质。

二、作用
恒等变形可以帮助人们更快地理解某一关系，从而推导出证明结果，它可以帮助学生更深入地掌握算法，提高学习效率，发展思维能力。

三、常用技巧
1. 左右交换法
左右交换法是把等式中的等号之外的式子分成两边，然后左右交换这两边的式子，例如，把x+y=6变成y+x=6.
2. 同乘除法
同乘除法是在等式中的式子两边同乘除一个数，例如，把2x+3y=6变成x+1.5y=3.
3. 组合法
组合法是通过简单的加减乘除把两边的式子组合起来，例如，把
x+y=6变成x+2y=8.
4. 公式法
公式法是把等式中式子变成另一个形式，如把2x+3y=6变成3x-2y=6.
5. 变数法
变数法是把等式中的公式变成另一个形式，如把x+2y=8变成2x+y=8.
6. 变换形式法
变换形式法是把等式中的公式变成另一个形式，如把2x+3y=6变成6-3y=2x.。

数学中的恒等变形与化归思想

恒等式的性质
恒等式的性质1
如果两个恒等式相等，那么它们的相反数也相等。
恒等式的性质2
如果两个恒等式相等，那么它们的倒数也相等。
恒等式的性质3
如果两个恒等式相等，那么它们的和、差、积、商（除数不为0）也相等。
恒等式的性质总结
恒等式具有一些基本性质，这些性质可以用于化简和推导其
他恒等式。
恒等式的证明方法
用首项和公比表示等比数列的任意一项。
求和公式
用于求等差或等比数列的和。
04
数学中的化归思想
分解与化归
分解
将一个数学问题或复杂的问题分解为若干个简单的子问题，从而使问题更容易解决。
化归
将原问题转化为一个或多个已知的或更简单的问题，以便更容易地解决原问题。
函数与化归
函数
用函数表示变量之间的关系，以便更好地描述和预测现象。
数学中的恒等变形与化归思想
目录
• 恒等变形 • 化归思想 • 数学中的恒等变形 • 数学中的化归思想 • 恒等变形与化归思想在数学问题中的应用
01
恒等变形
恒等式的定义
恒等式
如果无论用什么数代入等式两边，等式都成立，则称这个等式为恒等式。
恒等式的定义总结
恒等式是数学中的一个重要概念，它表示两个解析式之间的等价关系，可以用于化简和推导其他恒等式。
THANKS
感谢观看
和差化积
将两个三角函数的和或差转化为另外两个函数的积，便于进一步计算。
积化和差
将两个三角函数的积转化为另外两个函数的差或和转化为易于计算的三角函数。
数列中的恒等变形
等差数列的通项公式
用首项和公差表示等差数列的任意一项。

学数学的四种境界

学数学的四种境界
著名数学家华罗庚曾说过：宇宙之大,粒子之微, 火箭之速,化工之巧,地球之变,生物之谜,日用之繁,无处不用数学，在当今这个科技是第一生产力的时代，科技是核心竞争力的世界，数学的学习、发展和创新尤为重要，顺应社会进步，数学的学习应分为几重境界，让学习者能够理清前进的方向，共赴理想的未来。

一、求知境界
数学的学习一开始就是弄清知识点，理顺知识点的前因后果，并能够用所学知识点进行解题，这也是大部分学生的境界。

二、求巧境界
数学学习到一定程度，有了一定的练习，积累了一定经验后就会开始总结，寻找各种题型的共性，寻求解题的不同方向和方法，使用解题技巧，实现举一反三的效果，部分进入此境界，学习的时候会显得更加轻松，效果也会更好。

三、求己境界
在进入求巧境界后会有一定的成就感，能解决很多的数学问题，但是很多人不知道学习数学的作用，会有一种怀疑自我的感觉，有力使不出，这个时候需要静下心来思考学习数学的目的，抛开考试，抛开分数，只求学习数学给自己带来的最真实的感受，让学习数学成为自己生活的一部分，能够用数学思维解决生活中的问题，切身体会数学的意义，进入此境界就完成了自我的一次升华，让数学融入到自己的生活紧密相连。

四、求人境界
与生活相连的数学在一定时间的积淀会萌生放之四海而皆准的感觉，万物归一，万理归一，进入求人境界让人从数学中领悟人生的真谛，感知人生的意义，追寻人生的升华。

数学的五种境界

数学学习的五种境界左勤勇数学学习水平的五种层次或者说五种境界：懂、会、熟、巧、通.懂.就是刚才童鞋们谈到的那样.老师在上面讲，你在下面坐着听.听懂了，这是最低要求.如果听不懂课，后面的练习、考试当然无从谈起.万丈高楼平地起，这个环节就是打地基.当然，如果课都听不懂，那就要高度警惕了：是老师表达能力太差还是自己接受能力不好呢？还有童鞋说，不会的题我看看答案也看懂了，可是自己怎么就想不到呢？这依然属于”懂“的层次.有老师或者答案给你一个逻辑切入点，带着你往前走，最后你到了目的地.于是，你说了：这题也不难吗，我好像也能做.这是幻觉，不信换道同类型的题试试？会.会指的是没有老师指导，无同学帮助，无答案提示，不参考笔记的情况下，你自己能独立地完成解题.这个层次意味着你找到了解决问题的入口，能够清楚往下走的流程，并且顺利到达目的地.熟.在”会“的前提下，加入了解题速度的要求.一道题无时间限制，你能慢悠悠地想，慢悠悠地写，慢悠悠的算，还能检查.显然，这不是考试的状态.考试都是限时的，要求你在短时间内拟定思路、准确运算、规范表达.这就是好多童鞋的感慨：我感觉都会呀，怎么一考试都不得分呢？你是不是在时间紧迫的时候就慌了，一慌就漏洞百出了？巧.巧指的是你能从不同角度观察和分析同一道题，能够在多个解法之中选择最优解法.在限定时间内，能够准确审题，判断解法的优劣并顺利执行，的确需要相当的积累.通.武侠小说里讲的打通任督二脉，大约就是这样的状态吧.通的主要表现就是数学知识、数学方法、数学思想之间能够快速建立联系、无障碍切换.亲爱的朋友们，你在哪一层呢？可以肯定地讲，到达”熟“这个层次，高考数学就到了120分以上.。

就一些经典的恒等变形题谈谈数学思维的5个境界

就一些经典的恒等变形题谈谈数学思维的5个境界肖老师电话1588632 qq490788061经典情境1命题原型1ab =求1111a b+++ 到三个情况例题设1abc =.试求111a b c ab a bc b ca c ++++++++的值. 分析：此题关键是abc=1这个条件难用对于代数式的题我们希望字母越少越好式子的结构越简单越好那么我们可以借鉴含参数方程的思路把c 看为未知数，ab 看为已知数c 看为未知数1c ab=代入要求的式子类似解方程组的代入消元法可以得到原式=1111111a b ab ab a b b a ab ab ab++++++++ =1111111a b ab ab a b a a ab ab ++++++++=1111a ab ab a ab a a ab++++++++=1 分析2：借助分析1的思路虽然有点呆但是思路很自然。

通过代入消元法居然达到了通分的目的。

那么我们是不是可以巧妙的通分了。

答案是肯定的。

我们把第二个加数分子和分母同时乘以a ，第三个同时乘以ab 得到了1a ab abc ab a abc ab a caab abc ab++++++++把abc 在用1代入马上得到了原式=1111a ab ab a ab a a ab ++++++++=1 分析3用特殊值法很容易猜出答案是1，可是问题在如何证明。

观察结构分子是一次式，分母的次数不一致我们如果能使得分子和分母次数统一就好办了。

可以设,,x y z a b c y z x === 再代入1x xz yx y x xy yz xzy z y =++++同理另外两个加数分别为yz xy yz xz ++和xy xy yz xz ++三个一加和为1第一个层面题目会做就是思路1方法朴实而自然。

思路2恒等变形极其巧妙。

思路3化齐次是典型的高手思维。

根据我多年的经验，遇到条件求值问题化齐次肯定是行册通的。

齐次式的本质相当于增加了一个条件，齐次式本身就是起到了消元的作用其中奥妙需要读者加以体会。

恒等变形知识点总结

恒等变形知识点总结恒等变形是指根据等式的性质和算术运算的性质，将一个等式变形成另一个等式的过程。

在变换的过程中，通过适当的运算，将等式的两侧转变成相同的表达式。

首先，我们来看一下恒等变形的基本原则，它包括以下几个方面：1. 相等的两个数（对象）可以相互规约。

2. 等式的两边加(或减)相等的数(或算式)仍相等。

3. 等式的两边同乘(或同除)一个不为零的数(或数的倒数)仍相等。

4. 在等式中引进(或去除)平方根，绝对值符号对方程做平方根变形，只有当两边都为非负数时，该等式才成立。

这些基本原则是我们进行恒等变形时需要牢记的，只有在遵守这些原则的前提下，我们才能正确进行恒等变形。

在进行恒等变形时，我们通常会用到一些基本的代数运算，例如加减法、乘除法、开平方、平移等，这些运算在恒等变形中起着非常重要的作用。

接下来，我们来看一些常见的恒等变形的方法和技巧。

1. 加减法变形加减法变形是指用等于同一个数的两个数互换位置，并相加或相减，来得到一个新的等式。

例如：a +b =c 和 a = c - b这里，我们可以将第一个等式两边分别减去b，得到新的等式 a = c - b。

通过这个例子，我们可以看出，加减法变形是一种常见且有效的恒等变形方法，它可以帮助我们将一个复杂的等式化简成一个简单的等式。

2. 乘除法变形乘除法变形是指用等于同一数的两个数相除或相乘，得到新的等式。

例如：ab = c 和 a = c/b这里，我们可以将第一个等式两边都除以b，得到新的等式a = c/b。

通过这个例子，我们可以看出，乘除法变形也是一个常见且有效的恒等变形方法。

3. 平方根变形平方根变形是指用等于同一数的两个数同时开平方，得到新的等式。

例如：a^2 = c 和a = √c这里，我们可以将第一个等式两边同时开平方，得到新的等式a = √c。

通过这个例子，我们可以看出，平方根变形也是一个常见且有效的恒等变形方法。

4. 移项变形移项变形是指将等式中的某一项移到等式的另一侧，得到新的等式。

提高中学生数学恒等式证明能力的六个技巧

提高中学生数学恒等式证明能力的六个技巧数学是一门让人们又爱又恨的学科。

对于中学生来说，数学恒等式证明是学习数学过程中的一项重要任务。

它不仅考察了学生的逻辑思维能力，而且培养了他们的严密性和系统性。

本文将介绍六个提高中学生数学恒等式证明能力的技巧，帮助学生们在数学学习中取得更好的成绩。

首先，建立正确的数学思维方式是提高数学恒等式证明能力的关键。

学生要摆脱“只想到结果”的思维定势，而是培养学会思考问题、找到问题的关键点。

在解决恒等式证明问题时，学生要运用逻辑推理和归纳演绎的方法，严谨地分析每个步骤，确保每一步的真实性和可逆性。

只有形成正确的思维方式，学生才能更好地解决数学恒等式证明问题。

其次，熟练掌握基本的数学恒等式是提高数学证明能力的基础。

中学生要掌握一些基本的数学恒等式，如基本的代数恒等式、三角函数恒等式等。

这些基本恒等式是解决高级数学证明问题的基础，学生要通过大量的练习，熟悉它们的特点和应用方法，以便在实际证明过程中能够灵活运用。

第三，合理利用分类讨论方法可以提高数学证明能力。

在证明数学恒等式时，学生可以将问题进行分类分析，通过分析特殊情况，进而得到一般情况的结论。

例如，在证明一个等式成立时，可以将等式的参数分为两种情况进行讨论，分别对每种情况进行证明，最后得到一般结论。

第四，善于利用数学恒等式的性质和特点也是提高数学证明能力的技巧之一。

学生在解决数学证明问题时，应该善于发现数学恒等式的特点和性质，运用它们来简化证明过程。

例如，在证明一个等式时，可以利用恒等式的对称性、逆运算等性质，合理地选择步骤，简化证明的过程。

第五，培养学生发散思维是提高数学证明能力的重要方法。

学生在解决数学证明问题时，要不拘一格，灵活运用各种数学方法和技巧，寻找不同的解题思路。

通过多角度思考问题，可以从不同的角度出发，找到不同的证明方法，培养学生的创新能力和灵活性。

最后，多做真题和综合题可以提高学生的数学证明能力。

做真题和综合题是检验学生数学恒等式证明能力的有效方式。

五大数学思想在解题中运用

“五大”数学思想在解题中的运用1．换元思想换元法又称变量替换法，即根据所要求解的式子的结构特征，巧妙地设置新的变量来替代原来表达式中的某些式子或变量，对新的变量求出结果后,返回去再求出原变量的结果.换元法通过引入新的变量，将分散的条件联系起来，使超越式化为有理式、高次式化为低次式、隐性关系式化为显性关系式，从而达到化繁为简、变未知为已知的目的.例1已知1)f x =+，求()f x .分析：采用整体思想，可把1)f 1”看作一个整体，然后采用另一参数替代.解：令1t =，则2(1)(1)x t t =-≥代入原式有22()(1)2(1)1f t t t t =-+-=-.∴2()=1(1)f x x x -≥.评注：1”换作另一个元(字母)“t ”，然后从中解出x 与t 的关系，代入原式中便可求出关于“t ”的函数关系，此即为函数解析式，但在利用这种方法时应注意自变量的取值范围的变化情况，否则就得不到正确的表达式.此法是求函数解析式的常用方法.例2设)(x f 是定义在),1(+∞上的一个函数，且有112)(-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x f x f ，求)(x f .分析：欲求)(x f ，必须消去已知中的⎪⎭⎫ ⎝⎛x f 1，不难想到再寻找到一个方程.可由x 与x1的倒数关系，用x1去替换已知式中的x 便可得到另一个方程.然后联立解之可得. 解：112)(-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x f x f ①用x1代换x ，又得 11)(21-=⎪⎭⎫⎝⎛x x f x f ②将②代入①消去⎪⎭⎫ ⎝⎛x f 1，得12)(4)(--=x x f x f ，3132)(+=x x f 又∵),1(+∞∈x ，∴3132)(+=x x f ，),1(+∞∈x 例3对于∈x R ，不等式04)1(log 12log 2)1(4log 222222>+++++aa a a x a a x 恒成立，求实数a 的范围.分析：观察不等式的结构特点，有些局部地方重复出现，不妨换元，使复杂的不等式问题变成熟知的一元二次不等式问题.解：设12log 2+=a au ，则原不等式022)3(2>-+-⇔u ux u x ① ∵∈x R 时，不等式恒成立，但当3=u 时，①式变为1066>⇔>-x x 与条件∈x R 不符，∴3≠u .当3≠u 时，①式对∈x R 恒成立⎩⎨⎧<--->-⇔.0)2)(3(44,032u u u u⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+>+⇔<+⇔<⇔⎩⎨⎧><<⇔.112,012012log 0.60,32a a a aa a u u u u 或1011100)1)(1(0)1(<<⇔⎩⎨⎧<<--<>⇔⎩⎨⎧<-+>+⇔a a a a a a a a 或，即)1,0(∈a .评注：本题使用换元法起到了沟通问题的条件和结论的中介作用，并使运算得以简化，令人耳目一新.例4已知,,a b c 是不为1的正数，,,(0,)x y z ∈+∞，且有xyza b c ==和112x z y+=，求证：,,a b c 顺次成等比数列.证明：令xyza b c k ===，∴log ,log ,log a b c x k y k z k === ∵112x z y +=，∴112log log log a c b k k k +=. ∴lg lg 2lg lg lg lg a c bk k k+=，lg lg 2lg a c b +=. ∴2b ac =，∵,,a b c 均不为0， ∴,,a b c 成等比数列.评注：换元沟通了已知与未知，起到了桥梁作用.2．数形结合思想数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过对图形的认识，数形结合的转化，可以培养思维的灵活性，形象性，使问题化难为易，化抽象为具体. 通过“形”往往可以解决用“数”很难解决的问题.例5已知∈<=x x x U ,50|{2N }，}6,1{=L M C U ，}3,2{=L C M U ，}5,0{)(=L M C U ，求M 和L .解：题目中出现U 、M 、L 、M C U 、L C U 多种集合，就应想到利用文氏图解决问题.第一步：求全集∈<=x x x U ,50|{2N }}7,6,5,4,3,2,1,0{=第二步：将}6,1{=L M C U ，}3,2{=L C M U ，}5,0{)(=L M C U 中的元素在图中依次定位.第三步：将元素4、7定位.第四步：根据图中的元素位置得}7,4,3,2{=M ，}7,4,6,1{=L .例6对一切实数x ，若a x x >++-25恒成立，求实数a 的取值范围。

高中数学三角恒等式变形技巧

高中数学三角恒等式变形技巧在高中数学的学习中，三角恒等式是一个重要的知识点。

学生们常常会遇到需要根据已知的三角恒等式来推导出新的恒等式的情况。

在这个过程中，掌握一些三角恒等式的变形技巧是非常有帮助的。

本文将介绍几种常见的变形技巧，并通过具体的例题进行说明。

一、平方差公式的变形平方差公式是我们在学习三角函数时经常接触到的一个恒等式，即：sin^2x - cos^2x = 1在解题过程中，我们常常需要根据这个公式来进行变形。

例如，以下是一道常见的题目：已知 sin^2x = 1/4，求 cos^2x 的值。

解析：首先，我们可以利用平方差公式将已知条件进行变形：sin^2x - cos^2x = 11/4 - cos^2x = 1然后，我们可以通过移项和化简的方法求解出 cos^2x 的值：cos^2x = 1/4 - 1cos^2x = -3/4通过这个例题，我们可以看到，利用平方差公式进行变形可以帮助我们解决一些关于三角函数平方的问题。

二、和差化积公式的变形和差化积公式是我们在学习三角函数时另一个重要的恒等式，即：sin(x ± y) = sinxcosy ± cosxsiny在解题过程中，我们可以利用这个公式将已知条件进行变形，从而得到新的恒等式。

例如，以下是一道常见的题目：已知 sin2x = 2sinx，求 cos2x 的值。

解析：首先，我们可以利用和差化积公式将已知条件进行变形：sin2x = 2sinxsin(x + x) = 2sinx然后，我们可以利用和差化积公式的逆向思维，将 sin(x + x) 进行变形：sin(x + x) = sinxcosx + cosxsinx2sinxcosx = 2sinx接着，我们可以通过移项和化简的方法求解出 cos2x 的值：sinxcosx = sinxcos2x = cos^2x - sin^2xcos2x = cos^2x - (1 - cos^2x)cos2x = 2cos^2x - 1通过这个例题，我们可以看到，利用和差化积公式进行变形可以帮助我们解决一些关于三角函数和的问题。

初中奥数恒等变形知识点归纳整理

初中奥数恒等变形知识点归纳整理恒等概念是对两个代数式来说，如果两个代数式里的字母换成任意的数值，这两个代数式的值都相等，就说这两个代数式恒等.表示两个代数式恒等的等式叫做恒等式.如：a+b=b+a;2x+5x=7x都是恒等式.而t2+6=5t，x+7=4都不是恒等式.以前学过的运算律都是恒等式.将一个代数式换成另一个和它恒等的代数式，叫做恒等变形(或恒等变换).以恒等变形的意义来看，它不过是将一个代数式，从一种形式变为另一种形式，但有一个条件，要求变形前和变形后的两个代数式是恒等的，就是“形”变“值”不变.如何判断一个等式是否是恒等式，通常有以下两种判断多项式恒等的方法.1.如果两个多项式的同次项的系数都相等，那么这两个多项式是恒等的.如2x2+3x-4和3x-4+2x2当然恒等，因为这两个多项式就是同一个.反之，如果两个多项式恒等，那么它们的同次项的系数也都相等(两个多项的常数项也看作是同次项).2.通过一系列的恒等变形，证明两个多项式是恒等的.如：如果ax2+bx+c=px2+qx+r是恒等式，那么必有：a=p，b=q，c=r例：求b、c的值，使下面的恒等成立.x2+3x+2=(x-1)2+b(x-1)+c ①解一：∵①是恒等式，对x的任意数值，等式都成立设x=1，代入①，得12+3×1+2=(1-1)2+b(1-1)+cc=6再设x=2，代入①，因为已得c=6，故有22+3×2+2=(2-1)2+b(2-1)+6b=5∴x2+3x+2=(x-1)2+5(x-1)+6解二：将右边展开x2+3x+2=(x-1)2+b(x-1)+c=x2-2x+1+bx-b+c=x2+(b-2)x+(1-b+c)比较两边同次项的系数，得由②得b=5将b=5代入③得1-5+c=2c=6∴x2+3x+2=(x-1)2+5(x-1)+6这个问题为依照x-1的幂展开多项式x2+3x+2，这个解题方法叫做待定系数法，它是先假定一个恒等式，其中含有待定的系数，如上例的b、c，然后根据恒等的意义或性质，列出b、c应适合的条件，然后求出待定系数值.。

数学解题的五层境界

数学解题的五层境界
第一层境界：正确解题
兵来将挡，水来土掩，见招拆招
很多同学以为如果一道题目做错，订正一下，知道哪里错了，怎么做，就行了，其实这只是最低境界。

第二层境界：一题多解
多点开花，条条大道通罗马；似倚天剑轻灵无双，剑招千变万化，虚实相间，谁与争锋
我们要养成的良好习惯是，不要满足于用一种做法和思路解题。

一道题目做完之后想一想还有没有其它方法，哪种方法更简单。

对于最后的结果，是不是可以有其它的合理解释。

第三层境界：多题一解
以静制动，以不变应万变，一招制敌；似玄铁神器，重剑无锋，却刚猛异常，一剑挥下，纵它千百变，亦必摧之
完成一道题目的分析后，尝试推而广之，或者把其中的数字换成字母，或者把一些条件做一些改变，从这道题目延伸出去，探究与此相关的一类题目。

第四层境界：发现定理
无招胜有招，渐成大家；至此境界，草木皆为利刃，随心所欲，敌未动，已毙于无形
到了这个境界，可以自己发现一些结论或定理、规律。

这些结论、定理规律都是解题的有用工具。

解题高手都有自己的定理库。

第五层境界：自己编题
自成一派，独孤求败；高处不胜寒，自己跟自己玩
解题的最高境界是能够编题。

不是所有的人都具备编题的能力。

解题高手拿到一道题目，会知道出题者的意图，会发现出题者的陷阱。

即便出题者粗心出现了一个错误，他也能够很快地纠正纠偏。

摘自网络。

三角函数恒等变形技巧

三角函数恒等变形技巧三角函数是数学中非常重要的一部分，它们在几何、解析和应用数学中都广泛应用。

在处理三角函数方程和恒等式时，有时我们需要利用一些技巧来进行变形，以便简化方程的形式或证明两个三角函数的恒等式。

本文将介绍一些常用的三角函数恒等变形技巧。

1.利用和差角公式：和差角公式是三角函数的基本变形公式之一、它可以将一个三角函数形式的和（差）角转化为一个含有同一函数的乘积形式。

例如，对于正弦函数来说，和差角公式可以表示为：sin(A ± B) = sin A cos B ± cos A sin B。

2.利用倍角公式：倍角公式是将角度加倍后的三角函数值与原始三角函数值之间的关系。

例如，对于正弦函数来说，倍角公式可以表示为：sin(2A) = 2sin A cos A。

3.利用半角公式：半角公式是将角度减半后的三角函数值与原始三角函数值之间的关系。

例如，对于正弦函数来说，半角公式可以表示为：sin(A/2) = ±√[(1 - cos A) / 2]。

4.利用倒角公式：倒角公式是将角度的倒数与三角函数的倒数之间的关系。

例如，对于正弦函数来说，倒角公式可以表示为：sin(A) / sin(π - A) = csc A。

5.利用平方公式：平方公式是将一个三角函数平方与其他三角函数之间的关系。

例如，对于正弦函数来说，平方公式可以表示为：sin² A + cos² A = 16.利用互余公式：互余公式是将一个三角函数与其余补角的关系。

例如，对于正弦函数来说，互余公式可以表示为：sin A = cos (π/2 - A)。

7.利用对称性：三角函数具有一些对称性质，如正弦函数和余弦函数的奇偶性、正切函数和余切函数的周期性等。

利用这些对称性质可以简化一些三角函数的表达式。

以上是一些常见的三角函数恒等变形技巧，它们在解决三角函数方程和证明三角函数恒等式时非常有用。

当遇到复杂的三角函数问题时，我们可以尝试结合这些技巧进行变形，以便更好地理解和求解问题。

数学思维的5个品质——以2013年中考典题的破解为例

第１２期
苑建广：数学思维的５个品质
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思
维
的５个
品
质
以２０１３年中考典题的破解为例
（晋州市实验中学河北晋・Ｉ，ｌｏ５２２６ｏ）
●苑建广
数学与思维犹如一对夫妻，共同演绎着千古不朽的神话． “ 数学是思维的体操 ” ，数学活动的核心是思维活动，数学的存在和发展离不开思维，都要
变式１如图２，把“ 点在ＢＣ上 ” 变为“ 点Ｅ念域和概念系；对数学事实掌握清楚，形成科学合Ｃ的延长线上 ” 时，亦可得阴影部分的面积为理的命题域和命题系．头脑中内化的数学知识是系在Ｂ４，ｒｒ．统化和网络化的，犹如一棵倒挂的树：各知识点在这个网络中处于一定位置，知识点之间呈现出可推理的结构关系，并因此蕴含了思维方法和策略．（２）具备良好的数学交流能力和符号意识，可以自如地将其他语言等价翻译为数学语言，发现或抽象出数学模型，实现横向或纵向数学化．图２图３图４（３）能自觉运用分析、比较、抽象、概括等思维变式２如图３，当四边形ＡＢＣＤ和四边形操作，发现形异质同的数学对象之间的内在联系．ＦＧＢ均为平行四边形，且２个平行四边形相似，（４）即使解决问题的条件不是明确给定的，也Ｅ点在射线ＢＣ上运动时，阴影部分的面积为平行能不受表面现象的困扰，从表象中挖掘隐含条件，四边形ＡＢＣＤ面积的一半．为解决问题作出适当的铺垫．（５）在解决具体的问题后，能主动自觉地去寻变式３如图４，当四边形ＡＢＣＤ和四边形找具有普遍意义的方法、模式，将思想、方法、结论ＥＦＧＢ均为等腰梯形，且２个等腰梯形相似，点等概括、迁移、推广到一般情境中去．在射线ＢＣ上运动时，阴影部分的面积等于ＡＡＢＣ例１如图１，正方形ＡＢＣＤ的边长为４，点Ｅ的面积．在ＢＣ上，四边形ＥＦＧＢ也是正方形，以Ｂ为圆心，变式４如图５，当ＡＡＢＣ— ＡＥＤＢ，点Ｅ在射ＢＡ长为半径画ＡＣ，联结ＡＦ，ＣＦ，则图中阴影部分线ＢＣ上运动时，阴影部分的面积等于ＡＡＢＣ的面的面积为积．

小学数学恒等变形练习题

小学数学恒等变形练习题恒等变形是小学数学中的一个重要内容，通过灵活运用等式变形的方法，可以解决各种数学问题。

在小学数学的学习中，恒等变形也是一个考察学生逻辑思维和解题能力的重要方面。

下面将为大家提供一些小学数学恒等变形练习题，希望对大家的学习有所帮助。

1. 求解以下等式：(1) 6x + 12 = 30(2) 3y - 5 = 12解答：(1) 首先，将等式两边减去12，得到6x = 18然后，再将等式两边除以6，得到x = 3所以方程的解为x = 3(2) 首先，将等式两边加上5，得到3y = 17然后，再将等式两边除以3，得到y = 17/3所以方程的解为y = 17/32. 化简以下等式：(1) 3(x + 2) + 2x = 4(x - 1) + 6(2) 2(3x + 4) - 5(x - 2) = 3(2 - x) + 12解答：(1) 首先，将等式两边进行分配和合并同类项，得到3x + 6 + 2x = 4x - 4 + 6然后，将等式两边的同类项合并，得到5x + 6 = 4x + 2接下来，将等式两边减去4x，得到x + 6 = 2最后，将等式两边减去6，得到x = -4所以方程的解为x = -4(2) 首先，将等式两边进行分配和合并同类项，得到6x + 8 - 5x + 10 = 6 - 3x + 12然后，将等式两边的同类项合并，得到x + 18 = -3x + 18接下来，将等式两边减去x，得到18 = -4x + 18最后，将等式两边减去18，得到0 = -4x所以方程的解为x = 03. 完成以下等式：(1) 10 + x - 5 = 3x - 1(2) 2(3 - y) + 5 = 4 - y解答：(1) 首先，将等式两边进行合并同类项，得到x + 5 = 3x - 6然后，将x移到等式左边，得到5 + 6 = 3x - x接下来，将等式两边进行合并运算，得到11 = 2x最后，将等式两边除以2，得到x = 11/2所以方程的解为x = 11/2(2) 首先，将等式两边进行分配和合并同类项，得到6 - 2y + 5 = 4 - y然后，将等式两边的同类项合并，得到11 - 2y = 4 - y接下来，将y移到等式左边，得到11 - 4 = -y + 2y最后，将等式两边进行合并运算，得到7 = y所以方程的解为y = 7通过以上练习题的解答，我们可以看出恒等变形在小学数学中的应用非常广泛。

自主招生试题中常用的四种恒等变形——兼论恒等变形在中学数学学习中的基础地位

几厂］的根，（＝）再考虑到本题的结论，可以得出：若）＝＋＋（ ≠ ）则）有根的充要条ｎｃａ０，＝件是尢厂］有实数根．（）：当然，［（］的实数根未必都是ｆ）＝的根，ｆｆ）＝（因此｛Ｉ（ｆ）＝｝｛Ｉ）｝］＝．
证明注意到当 ≥２时，
：＞￣（）＋（一１（＋／一１Ｊ）一１＞０．），
于是．＜１．
，
白 √ 一＋，一ｊ、／１ｊ
从而
＜４－，ｚ２・／－ｊｖＴ￣
＝
２一（期（古预目）
数学是运算的科学，而运算的核心是恒等变形．从某种意义上讲，数学问题的解决其本质就是通过恒等变形进行化简直至导出结论的过程．与高考相比，自主招生考试在数学思维与能力上提出了更高的要
求．这种要求体现在运算上，首先知识面要求更宽，除常规的因式分解、配方换元、待定系数等，还要求考生掌握对称变换、裂项相消等变形方式；其次恒等变形的难度进一步加大，方法与技巧的要求更高，譬如三次方程的韦达定理，结合表达式的对称性进行均值换元、通过裂项相消进行恒等变形与不等放缩等．
例２已知函数）＝＋＋（ ≠０，ｃ口）且）没有实数根，＝试判断尢厂］＝（）是否有实数根？并证明你的结论．（０８２０年上海交通大学自主招生考试试题）解没有．）＝＋（一）ｃ０无实数根，以因为一ｂ１＋＝所
△＝（ｂ一１一ａ＜．）４ｃＯ
考察

数学解题教学的“五个境界”

教学参谋1解法贼2018年8月数学解题教学的“五个境界”®江苏省西亭高级中学马宇杰数学教学离不开解题,虽然解题不是数学学习的全部，但它却是掌握数学的一个重要的途径.正如美国数学家哈尔莫斯所言:“数学真正的组成部分应该是问题和解，解题才是数学的心脏波利亚也曾说过“掌握数学就是意味着善于解题，中学数学教学的首要任务就是加强解题训练因此，解题教学自然成为数学教学的重要组成部分，如何开展更有效的解题教学是广大一线教师不得不思考的问题.境界一、关注题目解法，追求听懂会做“解题”与“解题教学”是两个不同的概念.解题就是 “解决问题”,即求出数学题的答案，这个答案在数学上也叫做“解”，“解题”是以获得“答案”为最终目的.解题教学是揭示解题过程的一种教学活动，它通常由对例题、习题以及数学结论的分析、探索、讲解和反思等环节组成，“解题教学”关注更多的是过程.要进行“解题教学”教师首先必须“会解题”，但教师“会解题，，未必“会解题教学比如，教师讲得头头是道，学生听得云里雾里；又或者学生能够听懂却不会自己解答.这样的现象就称为“解题”与“解题教学”“脱节图1“解题视角”的不同是造成“脱节”的主要原因.对一道题目来说,“解题视角”一般有三个，如图1所示，一是标准答案视角，即命题者视角，它舍弃一些“不重要”的步骤，把解题过程以最精炼形式呈现出来，但对教师与学生而言，这是一种“阉割”的解题过程;二是教师视角，它立足教师的已有经验与思维水平，展现的是教师对问题的分析过程,并“想当然”的认为学生也能够理解并接受;三是学生视角，不同学生对同一问题的思索，暴露出来的是“稀奇古怪”思维障碍.因此，在开展解题教学之前，教师首先要对这三种视角进行分析整合，内化标准答案，结合学生的学情，优化解题步骤，把解题过程以易于学生理解的方式呈现出来，进而实现“解题”与“解题教学”的统一，这就是解题教学的第一个境界•境界二、关注教学“套路”,追求课堂效率显然，“境界一”的关注点是“某道题”,因此很难摆脱“就题论题”的局限性.题目是“做不完，讲不尽”的，而教学课时是有限的，因此解题教学的关注点应该从“题” 的层面上升到“课”的层面上，重点探索解题教学的“套路套路”是网络流行语言.而在解题教学中,“套路”指的就是比较成熟的、被证明是有效的、易于学生接受的操作步骤与教学模式.图2笔者在解题教学中就经常采用“尝试一碰撞一提炼一训练”的套路，如图2所示•当然，解题教学的套路不一而足，它往往“因人而异”、“因题而异”某种程度上还受教师的教学理念、学校教学传统等因素的影响.境界三、关注理论引领,追求知识个性“套路”更多的是从宏观的角度把観堂教学的方向与节奏，它解决了普适性的问题，实现了“只要是解题教学，都可以用套用”的目的，但过度追求共性就容易产生忽视知识点个性的弊端比如，立体几何解题教学,重点在于培养空间想象能力，而解析几何解题教学，重点是发展 “几何关系代数化”的能力，若采用同一套路就很难圆满达成教学目标因此，在“套路”的大框架下，我们还需根据知识的特点以及要达成的教学目标，引人先进的教学理论,然后立足理论的内涵，册更具针对性的教学流程问题1 (2016浙江理，19 )如图3,设椭圆^1ar(a >l ).96十龙*?高中咖年8月(I)求岜线尸&+1被肫网截辟的线段长a表；j〇；(丨丨）若任竞以点■U(U)为岡心的网_-〕椭岡至多y o个公儿点.求椭岡闽心率的取mm m-杏题市点每丧间形认_知能力~数，形抖换运箅能力-对丁_閔形化何特怔的允分认知u解决这个问题的关键、!f ii对T动态阁形的珂解电多地依赖丁-学生的K规患象的承养n杵教；套路的大#姑w况钽象核心索苏珂念进行S T R针对性的数学设计.宵观扭象核心劣葬指的恐偕助儿B K观和空间钽象感知亊物的形态4变化利蜊图形那射.和吭决数学问迥的思维:a 程.m蛲k关键字_'钽象"h感有1~变化以设计以卜教孚流程，如i m所士，卯I丨用围彤描述，1[解问m本成一^挖m儿何竞义，违」):数形联系一运用动态想象，_尕运动i*律'利fflm形描述理解阅题本质二〉挖概几何总义逑立数形聣系M用动态想象褐示运动规俾+ "汽然语矿转«1麵艦-•数a关系获得几何斛枰-由被动场知到(主释现，由电一角K到多种角度來祐知运动当中的不变Km-i境界四、关注问题本质，追求拓展应用“解一執.会—-戈.通_ -片"是斛靱玟7的水恨迫求，S.文现这一目标，除T兑规的做题外，史为脊效的途径焐以典阳例韪为钱体.通过探索网超的来龙去脉.祸A 问勉的本质，进冊促逬知识方法的迁移，形成思绯体系.如采说传统的解题教学是“家常菜”的话，那么这种圯具深充性的較孕軟开冇朵'以问閾I的访(2)问为例，可以直接以k交点个数11为切人口 .也可以以;'交点?r为突硖n T关于这个问@的解法不少于5种，何解法本身对学生退维能力的捣升,拧题3换个甲'怙汁乂有拟多咩f k程陷人迷硭.因此，+剧教学的f i戍位该兒通过探索问埵的晾弓流，揭示问蹉的实质.建立解法之剛勺肤系,从而使学屮获行忝统的认舡f iif t lS i.P I!咖原理闬5探索问题的淞勻流忖以按M“探究解法_探究联系一探充原坷一应用原？r的流程进行，如所私"找允环))中，教帅和孕生起努_m丨丨到圯多的解法，免分展现思维的多样性;在"探究联系”坏丨;中、教帅畀引导-孕生比杖汽祌解法的优劣件，进而洼；解法之㈣的联泵r採究原碑"就岛舍弈问题的丨丨-:本质城忡，明晰问赳的炮吧及堪本肽理.品后■'应用w』^r斛央问赳-正如华岁庚先生所言:h数学是一个敗则，无数内容，一种方法，■到处可用>因此.并不能仅停留在题目的寿斯，啪珏吳深入其内部，找到刘®的源头，进ifi丨获得宜观翻■境界五，关注“稚化思维”,追求自然和谐枚育心理学中有一个概念叫做_‘自c人效应'卽:耍使对方接受你的观点,就应当勹对方保持同体觇的关系.也就是说.要把对/!_1自己视为-体.苏积姆朴斯裡t iR为r教师必須在朶种枵晚h变敁孩r."这钪m w 教师要把戶d的外在权威防蔽尥来，不以一个知识+:离的教师A栌.而£把A L i的思维降格到亇4」.的扣.维水平h，右*识地退四到与肀生和仿的思排狀态+晚拟学生的认知过祝；筘卜_t來，相学生平等对话，一起分担w 难，体脸成功,一起铨历知识连构利应用的过程,这就是^稚化忍缃”T的舴驵教学.不可泞认，驭使教师的思t r排化L i m礼一[解迦铨骀的积巢水乎=人M发荇水平的差#客观上r大_r教师5学生之间的思维鸿沟;二位柞射题教学之前，师通常都炬做『功课'对题h该怎么人f i多少艸解法、怎么启发引导孕生、如何挖掴问题的滟在价w啤怙况了然于咐,在这f况下，教师祚舄杷自d尚作ufe^'从而无视，4■.的感受与建议，使符课f异变为"教帅夬浈特技”的敁所.迆丁-这梓的怙5i i,无卉迮u 教师埒以尝试事先不傲思，而是在课上与学生-起解题，惑学生之所遇、难伞生之所啡、排孕生之听怙_\如见遝R.作瑪，教师可以古场辟出JS1大政《:如阳强H难龙大.教师和乍牛一起攻克啡关，即使M K解迦不成功，也可以总站文败的原闪绂的斛题提供宝货的经验.正如兵名年裔数学家消荫堂所说;^时教授备课不id,笨手T脚地苒错了数.从他搔手、念念嵙词的改正中. 反而可以着出他的思路，真讯学到些东西."当场解M ffi 恶教师具备扎实的解靼功版，还X要具有u拉下瓯子'师牛.平等对活的男气.当然，上迷并非全是“低级与商级”的关系，tt如,_‘境界〃确实M于解■腿教学的W级阶K T J S 界二”与“埔界三"却存在着苴补的关系.而"埯界四"与'■塊坪i T屯M体现_r—种教孕理念，理应贳穿于斛勉教学的全过拉-則此，:i i五个埼界赵涑.五个解题教肀的视角t我fil成该根据苧情、规情及教苧B标，灵活运用-D学谋教#。

浅谈学习高等数学的四种境界

浅谈学习高等数学的四种境界大学的高等数学课程包括大量的概念、定义和定理，通过学习来获取美妙的宇宙结构，深入了解它们之间的联系，丰富学生的知识结构。

想要学好高等数学课程，要掌握跨越不同境界的学习技巧。

接下来，就以“浅谈学习高等数学的四种境界”为标题，就学习高等数学的四种境界进行详细阐述。

第一种境界是记忆。

这是最基本也是最重要的一个境界，是数学学习的基础，是其他境界的基础。

记忆就是记住所学的知识，比如：定义、公式、定理、证明等。

这个过程除了直接记忆外，还要通过理解以及结构化来深入记忆，例如：利用数学定理推导出数学公式；学习一些数学定理，同时记忆实际意义；记忆一些典型的例子，以便理解抽象概念，以及其它一些记忆技巧。

第二种境界是理解。

在记忆完知识点之后，就要开始理解它们之间的联系，理解所学知识的实际意义，理解抽象概念。

虽然这个过程的重点是复习和理解，但是要牢记记忆的技巧，结合反复的练习，才能够真正理解所学的知识。

第三种境界是概括。

这种境界的重点是将所学知识概括出一些准确的定义，熟悉它们之间的联系，例如：熟悉定义、公式、定理、证明等数学思想，理解数学结构；熟悉数学证明的最佳结构，以及数学直观思维；熟悉数学解决问题的步骤；熟悉数学抽象思维。

第四种境界是实践。

实践是掌握数学知识最好的方法。

实践是练习，是将所学知识付诸实践，实践中不仅要记住所学的知识点，还要理解它们的联系，发现新的知识，解决新的问题，学会分析问题，掌握新的知识，把所学知识扎根于脑海中。

实践是掌握数学知识最有效的方式。

以上就是关于学习高等数学的四种境界的介绍，我们应该清楚地认识这些境界，理解它们之间的联系，逐步提高自己的学习能力，不断的练习，只有这样，才能学好高等数学。

高等数学作为一门学科，其学习具有严谨的理论框架，也有科学的学习方法，学习者可以根据各自的情况，结合四种境界，实施分阶段学习，这样才能有效地掌握所学的知识。

只有通过反复记忆、理解、概括、实践，深入地学习，才能学好高等数学。

三角恒等变换中的数学思想

十摩隸訊知识篇 • 知识结构与拓展高一数学 2018年 3 月
三角恒_ 变换卬的数学思想
三角函数是以角为自变量的函数，因此三角恒等变换离不开角的变换。三角恒等变换问题的解题思想方法有：灵活变角的思想，整体换元的思想，转化与化归思想等。下面举例分析。
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点拨：本题的解题过程，充分体现了切化
弦、异名化同名、异角化同角等转化与化归思
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作者单位：广东广州市天河外国语学校
(责任编辑郭正华）
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就一些经典的恒等变形题谈谈数学思维的5个境界

第二讲 式的恒等变形常用的技巧

数学中的恒等变形与化归思想

学数学的四种境界

数学的五种境界

就一些经典的恒等变形题谈谈数学思维的5个境界

恒等变形知识点总结

提高中学生数学恒等式证明能力的六个技巧

五大数学思想在解题中运用

高中数学三角恒等式变形技巧

初中奥数恒等变形知识点归纳整理

数学解题的五层境界

三角函数恒等变形技巧

数学思维的5个品质——以2013年中考典题的破解为例

小学数学恒等变形练习题

自主招生试题中常用的四种恒等变形——兼论恒等变形在中学数学学习中的基础地位

数学解题教学的“五个境界”

浅谈学习高等数学的四种境界

三角恒等变换中的数学思想

第二讲式的恒等变形常用的技巧